Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 161Soru →

Aşağıdaki tabloda, ff ve gg fonksiyonları ile bu fonksiyonların birinci türevlerinin x=1x = 1 noktasındaki değerleri verilmiştir:

Fonksiyonx=1x=1 noktasındaki değerix=1x=1 noktasındaki türevinin değeri
ff3322
gg−1-155
Buna göre,
h(x)=x2⋅f(x)−g(x)x+1h(x) = \frac{x^2 \cdot f(x) - g(x)}{x + 1}
biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(1)h'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp tablodaki değerler yerine yazıldığında sonuç yarım olarak bulunur.
Bölüm türevi kuralı ve çarpım türevi kuralı doğru bir şekilde işletilip, verilen değerler yerlerine yerleştirildiğinde sonucun yarım olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)h(x) fonksiyonunun türevini almak için bölüm türevi kuralı kurulur.
h′(x)=[x2⋅f(x)−g(x)]′⋅(x+1)−[x2⋅f(x)−g(x)]⋅(x+1)′(x+1)2h'(x) = \frac{[x^2 \cdot f(x) - g(x)]' \cdot (x + 1) - [x^2 \cdot f(x) - g(x)] \cdot (x + 1)'}{(x + 1)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
2
Pay kısmının türevi için çarpım ve fark türevi kuralları uygulanır.
[x2⋅f(x)−g(x)]′=2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)−g′(x)[x^2 \cdot f(x) - g(x)]' = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) - g'(x)
x2⋅f(x)x^2 \cdot f(x) ifadesi çarpım durumunda olduğundan çarpım türevi kuralı uygulanmalıdır.
3
Elde edilen ifadelerde x=1x = 1 yazılarak tablodaki değerler yerleştirilir.
Payın türevinin x=1x=1 noktasındaki değeri: 2(1)⋅f(1)+12⋅f′(1)−g′(1)=2(3)+2−5=32(1) \cdot f(1) + 1^2 \cdot f'(1) - g'(1) = 2(3) + 2 - 5 = 3 olur. Payın x=1x=1 noktasındaki değeri: 12⋅f(1)−g(1)=3−(−1)=41^2 \cdot f(1) - g(1) = 3 - (-1) = 4 olur. Paydanın türevinin x=1x=1 noktasındaki değeri: 11 olur. Paydanın x=1x=1 noktasındaki değeri: 1+1=21 + 1 = 2 olur.
Fonksiyonların belirli bir noktadaki türev değerini bulmak için o noktadaki fonksiyon ve türev değerleri yerine konulur.
4
Bulunan tüm değerler bölüm türevi formülünde birleştirilir.
h′(1)=3⋅2−4⋅122=6−44=24=12h'(1) = \frac{3 \cdot 2 - 4 \cdot 1}{2^2} = \frac{6 - 4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
Bölüm türevinin sonucunu hesaplamak için tüm adımlardan elde edilen değerler ana formüle yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Bölüm ve çarpım türevi kurallarının birlikte uygulanması
Soru 162Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=(x2−3x)⋅g(x)+g(x)x2+1f(x) = (x^2 - 3x) \cdot g(x) + \frac{g(x)}{x^2 + 1}
eşitliği sağlanmaktadır.
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=10g'(0) = 10 olduğuna göre, f′(0)f'(0) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türev kuralları uygulanıp bilinen değerler yerine yazıldığında f′(0)f'(0) değeri −5-5 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonun türevi toplam kuralı gereği iki ayrı parçada hesaplanır. İlk parçada çarpım kuralı, ikinci parçada bölüm kuralı uygulanır. Elde edilen türev ifadesinde x=0x=0 yazılarak verilen g(0)=5g(0)=5 ve g′(0)=10g'(0)=10 değerleri yerine konduğunda sonuç −5-5 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunu çarpım ve bölüm kurallarına göre açma
f′(x)=[(2x−3)⋅g(x)+(x2−3x)⋅g′(x)]+g′(x)⋅(x2+1)−g(x)⋅2x(x2+1)2f'(x) = \left[(2x-3) \cdot g(x) + (x^2-3x) \cdot g'(x)\right] + \frac{g'(x) \cdot (x^2+1) - g(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
Toplam durumundaki fonksiyonun türevi alınırken ilk terime çarpım kuralı, ikinci terime ise bölüm kuralı uygulanır.
2
Türev fonksiyonunda x=0x = 0 yazma
f′(0)=[(−3)⋅g(0)+0]+g′(0)⋅1−g(0)⋅012f'(0) = \left[(-3) \cdot g(0) + 0\right] + \frac{g'(0) \cdot 1 - g(0) \cdot 0}{1^2}
Bizden istenen x=0x=0 noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 00 yazılır.
3
Verilen değerleri yerine koyarak aritmetik işlemleri tamamlama
f′(0)=−3⋅5+10=−15+10=−5f'(0) = -3 \cdot 5 + 10 = -15 + 10 = -5
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=10g'(0) = 10 değerleri yerleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kurallarının Uygulanması
Soru 163Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2−x,x≥35x−9,x<3 f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & x \ge 3 \\ 5x - 9, & x < 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

lim⁡h→0f(3+h)−f(3−h)h \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3-h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Limitin değeri 10'dur.
Limit ifadesine f(3)f(3) terimi eklenip çıkarılarak limit ikiye ayrıldığında, ifade lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h+lim⁡h→0f(3−h)−f(3)−h\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{-h} şekline dönüşür. Bu limitlerin her ikisi de f′(3)f'(3) değerine eşittir ve toplamda 2f′(3)2f'(3) elde edilir. Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki türevi 5 olduğundan, limitin değeri 2×5=102 \times 5 = 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki sürekliliğini kontrol edelim.
lim⁡x→3+f(x)=32−3=6\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3^2 - 3 = 6, lim⁡x→3−f(x)=5(3)−9=6\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5(3) - 9 = 6 ve f(3)=6f(3) = 6 olup, limitler ve fonksiyon değeri eşit olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması şarttır.
2
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki sağdan ve soldan türevlerini limit tanımıyla hesaplayalım.
Sağdan türev: f+′(3)=lim⁡x→3+(x2−x)−6x−3=5f'_+(3) = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x^2-x) - 6}{x-3} = 5. Soldan türev: f−′(3)=lim⁡x→3−(5x−9)−6x−3=5f'_-(3) = \lim_{x \to 3^-} \frac{(5x-9) - 6}{x-3} = 5 bulunur. Sağ ve sol türevler eşit olduğundan f′(3)=5f'(3) = 5 olur.
Sağ ve sol türevlerin eşit olması durumunda fonksiyonun o noktada türevi vardır ve bu ortak değere eşittir.
3
Verilen limit ifadesini türev tanımına benzeterek hesaplayalım.
lim⁡h→0f(3+h)−f(3−h)h=2f′(3)\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3-h)}{h} = 2f'(3) olur. f′(3)=5f'(3) = 5 yerine yazıldığında 2×5=102 \times 5 = 10 elde edilir.
Limit tanımındaki iki terimi f(3)f(3) ekleyip çıkararak düzenlediğimizde ifade f′(3)+f′(3)=2f′(3)f'(3) + f'(3) = 2f'(3) halini alır.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki türevi
Soru 164Soru →

Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} olan daire şeklindeki bir kartondan bir daire dilimi kesilip kıvrılarak bir dik dairesel koni elde ediliyor. Buna göre, elde edilebilecek en büyük hacimli koninin yüksekliği kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 434\sqrt{3}

Cevap

En büyük hacimli koninin yüksekliği 43 cm4\sqrt{3}\text{ cm}'dir.
Oluşturulacak koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olduğunda, Pisagor teoreminden r2=144−h2r^2 = 144 - h^2 elde edilir. Koninin hacim fonksiyonu V(h)=π3(144h−h3)V(h) = \frac{\pi}{3}(144h - h^3) olarak yazılır. Bu fonksiyonun türevi V′(h)=π3(144−3h2)V'(h) = \frac{\pi}{3}(144 - 3h^2) olup, türevin sıfır olduğu pozitif hh değeri h=43h = 4\sqrt{3} olarak bulunur. Bu değer hacmi en büyük yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin geometrik değişkenleri ile kartonun yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak.
Oluşan dik dairesel koninin ana doğrusunun (yanal ayrıtının) uzunluğu, kartonun yarıçapı olan L=12 cmL = 12\text{ cm} olur. Koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olmak üzere, dik üçgenden r2+h2=122=144  ⟹  r2=144−h2r^2 + h^2 = 12^2 = 144 \implies r^2 = 144 - h^2 bağıntısı elde edilir.
Koninin hacmini tek bir değişkenler cinsinden ifade edebilmek amacıyla yükseklik ile yarıçap arasındaki bağıntıyı kurmamız gerekir.
2
Koninin hacim fonksiyonunu yükseklik (hh) cinsinden yazmak.
V(h)=13πr2h=13π(144−h2)h=π3(144h−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (144 - h^2) h = \frac{\pi}{3} (144h - h^3)
Maksimum hacmi bulmak için hacim formülünde r2r^2 yerine hh cinsinden eşiti yazılarak tek değişkenli fonksiyona geçiş yapılır.
3
Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulmak.
V′(h)=π3(144−3h2)=0  ⟹  144−3h2=0  ⟹  3h2=144  ⟹  h2=48  ⟹  h=43 cmV'(h) = \frac{\pi}{3} (144 - 3h^2) = 0 \implies 144 - 3h^2 = 0 \implies 3h^2 = 144 \implies h^2 = 48 \implies h = 4\sqrt{3}\text{ cm}
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını (maksimum/minimum noktaları) bulmak için türevin sıfır olduğu değerler incelenir.
4
Bulunan h=43h = 4\sqrt{3} değerinin maksimum hacmi verdi��ini doğrulamak.
h∈(0,12)h \in (0, 12) aralığında V′(h)V'(h) türevinin işaret tablosu incelendiğinde, h=43h = 4\sqrt{3} noktasına kadar fonksiyonun artan, bu noktadan sonra azalan olduğu görülür. Dolayısıyla bu değer maksimum hacmi verir.
Kritik noktanın gerçekten yerel maksimum noktası olduğunu garanti etmek için işaret incelemesi yapılır.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde değişkenlerin birbirine bağlanması, tek değişkenli fonksiyon oluşturulması ve bu fonksiyonun türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi.
Soru 165Soru →

Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin diğer üç kenarı toplam 40 metre40\text{ metre} tel örgüyle çevrilecektir. Buna göre, bu bahçenin alanı en çok kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Bahçenin alanı en çok 200 metrekare200\text{ metrekare} olabilir.
Bahçenin duvara dik kenarları xx metre olarak seçildiğinde, tel ile çevrilecek diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur. Alan fonksiyonu A(x)=40x−2x2A(x) = 40x - 2x^2 şeklindedir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınarak sıfıra eşitlenir: A′(x)=40−4x=0⇒x=10A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10 elde edilir. Bu değer fonksiyon yerine konulduğunda alan en fazla A(10)=10⋅(40−20)=200 metrekareA(10) = 10 \cdot (40 - 20) = 200\text{ metrekare} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bahçenin kenar uzunluklarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.
Bahçenin duvara dik olan kenarları xx metre ise, diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Toplam tel uzunluğu 40 metre40\text{ metre} olduğundan tel ile çevrilen üç kenarın toplamı 2x+y=402x + y = 40 eşitliğini sağlamalıdır.
2
Alan fonksiyonunu yazın.
A(x)=x⋅(40−2x)=40x−2x2A(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2
Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının çarpımına eşittir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
A′(x)=40−4x=0⇒x=10A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.
4
Maksimum alan değerini hesaplayın.
A(10)=10⋅20=200A(10) = 10 \cdot 20 = 200
x=10x = 10 değeri için alan fonksiyonu en büyük değerine ulaşır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Alan fonksiyonu A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol). Parabollerin en büyük veya en küçük değeri tepe noktasında (r=−b/(2a)r = -b/(2a)) oluşur. Burada r=−40/(2⋅(−2))=10r = -40 / (2 \cdot (-2)) = 10 olur. Maksimum alan ise A(10)=−2(10)2+40(10)=200 m2A(10) = -2(10)^2 + 40(10) = 200\text{ m}^2 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 166Soru →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−3)(x−a)2(x−b)f'(x) = (x-3)(x-a)^2(x-b)
olarak veriliyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı NN olduğuna göre,

I. a=3a = 3 ve b≠3b \neq 3 ise N=2N = 2 dir.
II. N=0N = 0 ise b=3b = 3 tür.
III. N=2N = 2 ise a≠ba \neq b dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen türev fonksiyonunda birinci ve ikinci öncüller matematiksel olarak kesinlikle doğrudur. Birinci öncüldeki durumda türevin kökleri tek kuvvetli olduğundan işaret değiştirir. İkinci öncülde ise ekstremum bulunmama durumu sadece tüm köklerin çift katlı olmasıyla mümkündür, bu da ancak ikinci parametrenin üçe eşit olmasıyla sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin köklerini ve katlılık durumlarını analiz etmek.
Türevin kökleri 33, aa ve bb'dir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmezken, tek katlı (veya tek kuvvetli) köklerde türevin işareti değişir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır.
2
Birinci öncülü değerlendirmek.
a=3a = 3 ve b≠3b \neq 3 durumunda f′(x)=(x−3)3(x−b)f'(x) = (x-3)^3(x-b) elde edilir. Kökler 33 (üç katlı) ve bb (tek katlı) olup her ikisi de tek katlı kök gibi davranarak türevin işaretini değiştirir. Bu durumda iki ekstremum noktası vardır (N=2N = 2).
Tek kuvvetli kökler işaret değişimine neden olur.
3
İkinci öncülü değerlendirmek.
b≠3b \neq 3 olduğunda aa'nın değeri ne olursa olsun (a=3a = 3, a=ba = b veya hepsi farklı) türevin en az bir tek katlı kökü bulunur ve işaret değişimi gerçekleşir. Dolayısıyla N=0N = 0 olması ancak b=3b = 3 iken türevin f′(x)=(x−3)2(x−a)2≥0f'(x) = (x-3)^2(x-a)^2 \geq 0 biçiminde olmasıyla mümkündür.
Hiç ekstremum noktasının olmaması için türev fonksiyonunun işaret değiştirmemesi gerekir.
4
Üçüncü öncülü değerlendirmek.
a=b≠3a = b \neq 3 seçildiğinde (örneğin a=b=1a = b = 1), türev f′(x)=(x−3)(x−1)3f'(x) = (x-3)(x-1)^3 olur. Burada 33 (tek katlı) ve 11 (üç katlı) noktalarında işaret değişimi olur ve N=2N = 2 sağlanır, ancak a=ba = b'dir.
Aksi bir örnek göstererek öncülün her zaman doğru olmadığını kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Türevin işaret değiştirdiği noktaların yerel ekstremum noktaları olması ve çift katlı köklerde ekstremum noktası oluşmaması.
Soru 167Soru →

Gerçel sayılar kümesinin x=−1x = -1 dışındaki tüm noktalarında türevlenebilir ff fonksiyonu,

f(x)=x2−f′(2)⋅x−42x+1f(x) = \frac{x^2 - f'(2) \cdot x - 42}{x + 1}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bölümün türevi kuralı uygulanarak fonksiyonun türevi alınır, f′(2)f'(2) sabiti bulunur ve ardından f′(1)=10f'(1) = 10 olarak hesaplanır.
Türev kuralı gereğince f′(2)=5f'(2) = 5 sabiti bulunur. Bu değer yerine yazıldığında elde edilen türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında sonuç 10 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev ifadesindeki f′(2)f'(2) değerini sabit bir sayı olarak belirlemek üzere f′(2)=kf'(2) = k dönüşümü yapılır.
f(x)=x2−kx−42x+1f(x) = \frac{x^2 - kx - 42}{x + 1} fonksiyonu elde edilir.
Türev alma işlemi sırasında bilinmeyen türev değerini bir sabit parametre gibi yönetebilmek için.
2
Elde edilen fonksiyonun türevini almak için bölümün türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=(2x−k)(x+1)−(x2−kx−42)⋅1(x+1)2=x2+2x−k+42(x+1)2f'(x) = \frac{(2x - k)(x + 1) - (x^2 - kx - 42) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - k + 42}{(x + 1)^2} türev fonksiyonu bulunur.
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevini hesaplamak için.
3
f′(2)=kf'(2) = k eşitliğini kurmak amacıyla türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılır.
k=22+2(2)−k+42(2+1)2  ⟹  k=50−k9  ⟹  10k=50  ⟹  k=5k = \frac{2^2 + 2(2) - k + 42}{(2 + 1)^2} \implies k = \frac{50 - k}{9} \implies 10k = 50 \implies k = 5 değeri bulunur.
Türev fonksiyonundaki bilinmeyen kk sabitinin değerini bulmak için.
4
Bulunan k=5k = 5 değeri türev fonksiyonunda yerine yazılarak f′(1)f'(1) değeri hesaplanır.
f′(x)=x2+2x+37(x+1)2f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 37}{(x + 1)^2} fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=12+2(1)+37(1+1)2=404=10f'(1) = \frac{1^2 + 2(1) + 37}{(1 + 1)^2} = \frac{40}{4} = 10 elde edilir.
Bizden istenen f′(1)f'(1) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve türev değerinin parametre olarak kullanıldığı fonksiyonların çözümü.
Soru 168Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x3−3(a−1)x2+3(a2−3a+2)x+5f(x) = x^3 - 3(a-1)x^2 + 3(a^2 - 3a + 2)x + 5
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı, apsisleri çarpımına eşittir.
Buna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının varlığı için türevin diskriminant��nın pozitif olması (a>1a > 1) gerekir. Apsislerin toplamı ile çarpımının eşitliğinden elde edilen a2−5a+4=0a^2 - 5a + 4 = 0 denkleminin köklerinden bu şartı sağlayan değer 4'tür.
Doğru seçenekteki değer olan 4, türevin sıfıra eşitlendiği denklemin iki farklı reel kökü olmasını (a>1a > 1 şartını) sağlar ve ekstremum noktalarının apsisleri toplamı ile çarpımını birbirine eşitler.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleyen denklemi elde etmek.
f′(x)=3x2−6(a−1)x+3(a2−3a+2)=0f'(x) = 3x^2 - 6(a-1)x + 3(a^2 - 3a + 2) = 0 denklemi, yani sadeleştirildiğinde x2−2(a−1)x+(a2−3a+2)=0x^2 - 2(a-1)x + (a^2 - 3a + 2) = 0 denklemi bulunur.
Bir polinom fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türevinin işaret değiştirdiği (tek katlı kökleri olan) noktalardır.
2
Ekstremum noktalarının var olabilmesi için türev denkleminin iki farklı reel kökünün olması gerektiğini belirlemek.
Δ>0  ⟹  [−2(a−1)]2−4(a2−3a+2)>0  ⟹  4(a−1)>0  ⟹  a>1\Delta > 0 \implies [-2(a-1)]^2 - 4(a^2 - 3a + 2) > 0 \implies 4(a-1) > 0 \implies a > 1 şartı elde edilir.
Eğer Δ≤0\Delta \le 0 ise türev fonksiyonu işaret değiştirmez, dolayısıyla yerel ekstremum noktası oluşmaz.
3
Kökler toplamı ve k��kler çarpımı formüllerini kullanarak aa parametresine bağlı denklemi kurmak.
Kökler toplamı x1+x2=2(a−1)x_1 + x_2 = 2(a-1), kökler çarpımı x1⋅x2=a2−3a+2x_1 \cdot x_2 = a^2 - 3a + 2 olarak bulunur. Soruda verilen eşitlikten 2(a−1)=a2−3a+2  ⟹  a2−5a+4=02(a-1) = a^2 - 3a + 2 \implies a^2 - 5a + 4 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden bir denklemin kökler toplamı −b/a-b/a ve kökler çarpımı c/ac/a formülleriyle hesaplanır.
4
Elde edilen denklemi çözüp a>1a > 1 şartını sağlayan değeri seçmek.
a2−5a+4=0  ⟹  (a−1)(a−4)=0  ⟹  a=1a^2 - 5a + 4 = 0 \implies (a-1)(a-4) = 0 \implies a = 1 veya a=4a = 4 bulunur. a>1a > 1 olması gerektiğinden a=4a = 4 olarak belirlenir.
a=1a = 1 değeri için Δ=0\Delta = 0 olup fonksiyonun yerel ekstremum noktası bulunmadığından bu değer elenir.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarda yerel ekstremum noktalarının varlığı ve türevin kökleri ile ilişkisi.
Soru 169Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+5x+cf(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + c
fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet doğruları arasında eğimi en küçük olan doğrunun denklemi y=2x−3y = 2x - 3 olarak veriliyor.

Buna göre, cc gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İstenen c gerçel sayısı -4 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 olarak elde edilir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası apsisi olan x=1x = 1 noktasında gerçekleşir. Teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) olup, bu nokta aynı zamanda y=2x−3y = 2x - 3 teğet doğrusu üzerinde bulunduğundan ordinatı y=2(1)−3=−1y = 2(1) - 3 = -1 olur. Grafiğin de bu noktadan geçmesi gerektiğinden f(1)=−1f(1) = -1 eşitliği kurulur ve 3+c=−13 + c = -1 den c=−4c = -4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir xx noktasındaki teğetinin eğimini veren fonksiyonu bulun.
f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
2
Teğet eğiminin en küçük olduğu noktayı bulmak için f′(x)f'(x) parabolünün tepe noktasını hesaplayın.
r=−−62⋅3=1r = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1
f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiğinden, en küçük değerini tepe noktasında (x=rx = r) alır.
3
Eğimi en küçük olan teğet doğrusunun değme noktasının apsisi x=1x = 1 olduğuna göre, bu noktadaki teğet eğimini bulun.
m=f′(1)=3(1)2−6(1)+5=2m = f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 2
Bu eğim değeri, verilen y=2x−3y = 2x - 3 teğet doğrusunun eğimiyle (yani 2 ile) de uyuşmaktadır.
4
Değme noktasının yy koordinatını bulmak için x=1x = 1 değerini teğet doğrusunun denkleminde yerine yazın.
y=2(1)−3=−1y = 2(1) - 3 = -1
Teğet doğrusu ile eğri, değme noktasında çakışırlar; bu nedenle değme noktası olan (1,−1)(1, -1) her iki denklemi de sağlar.
5
(1,−1)(1, -1) noktası f(x)f(x) eğrisi üzerinde olduğundan, bu noktayı fonksiyon denkleminde yerine yazarak cc değerini çözün.
f(1)=−1  ⟹  13−3(1)2+5(1)+c=−1  ⟹  3+c=−1  ⟹  c=−4f(1) = -1 \implies 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) + c = -1 \implies 3 + c = -1 \implies c = -4
Fonksiyonun kuralını sağlayan değme noktası yardımıyla bilinmeyen cc sabiti bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim fonksiyonunun minimum değeri parabolün tepe noktası yardımıyla bulunur.
Soru 170Soru →

Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden bir f(x)f(x) polinom fonksiyonu için f(1)=4f(1) = 4 eşitliği sağlanmaktadır.

lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h=7 \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 7

olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İkinci dereceden polinom fonksiyonunun katsayıları belirlendikten sonra f(3)f(3) değeri hesaplandığında doğru cevap 18 olarak bulunur.
Türevin limit tanımı gereğince lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} limitinin değeri f′(2)f'(2) ye eşittir. f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b polinomunun türevi f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a olup f′(2)=4+a=7f'(2) = 4 + a = 7 denklemi çözüldüğünde a=3a = 3 bulunur. f(1)=4  ⟹  1+a+b=4  ⟹  b=0f(1) = 4 \implies 1 + a + b = 4 \implies b = 0 elde edilir. Buradan fonksiyon f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x olur ve f(3)=32+3(3)=18f(3) = 3^2 + 3(3) = 18 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom fonksiyonunun genel formunu yazarak verilen noktayı yerine koyma
a+b=3a + b = 3
Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b polinomunda f(1)=4f(1) = 4 bilgisini uygulamak amacıyla.
2
Limit ifadesini türevin limit tanımı ile eşleştirme
f′(2)=7f'(2) = 7
lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} limitinin ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki anlık değişim oranı olan türev değerini ifade ettiğini belirlemek amacıyla.
3
Türev fonksiyonunu bulup bilinen türev değerini yerine yazarak aa katsayısını çözme
a=3a = 3
f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a olduğundan f′(2)=4+a=7f'(2) = 4 + a = 7 eşitliğini çözmek amacıyla.
4
Bulunan aa katsayısını kullanarak bb katsayısını belirleme
b=0b = 0
a+b=3a + b = 3 denkleminde a=3a = 3 değerini yerine yazarak bb sabitini bulmak amacıyla.
5
Belirlenen fonksiyon kuralında x=3x = 3 yazarak istenen değeri hesaplama
f(3)=18f(3) = 18
f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x kuralında x=3x = 3 değerini hesaplayarak sonuca ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranı, o noktadaki türevine eşittir ve bu değer türevin limit tanımı olan lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} limitinin hesaplanmasıyla bulunur.
Soru 171Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+2f(x) = x^2 - ax + 2
g(x)=x3−3x2+bx+1g(x) = x^3 - 3x^2 + bx + 1
fonksiyonları veriliyor. ff fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu ile gg fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Aranan a⋅ba \cdot b çarpımının değeri 3 olarak bulunur.
Verilen iki doğrunun çakışık olması, eğimlerinin ve y-eksenini kestikleri noktaların aynı olmasını gerektirir. Eğimlerin eşitliğinden 2−a=−1/b2 - a = -1/b elde edilir. y-kesim noktalarının eşitliğinden ise 2b−3+2/b=12b - 3 + 2/b = 1 denklemi çözülerek b=1b=1 bulunur. Bu değer eğim eşitliğinde yerine yazıldığında a=3a=3 bulunur ve çarpımları 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki teğet denklemini elde etmek.
y=(2−a)x+1y = (2 - a)x + 1 doğrusu.
Teğet doğrusunun denklemi y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) formülü kullanılarak bulunur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki normal denklemini elde etmek.
y=−1bx+(2b−3+2b)y = -\frac{1}{b}x + \left(2b - 3 + \frac{2}{b}\right) doğrusu.
Normal doğrusunun eğimi, teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir (mn=−1/mtm_n = -1 / m_t).
3
Doğruların çakışık olması şartını kullanarak denklem sistemini çözmek.
a=3a = 3 ve b=1b = 1 değerleri.
İki doğrunun çakışık olmas�� için eğimleri ve sabit terimleri (y-kesim noktaları) eşit olmalıdır.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
3
Soru kökünde istenen ifade a⋅ba \cdot b çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin teğet ve normal doğrularının denklemlerinin türev yardımıyla bulunması ve doğruların analitik incelenmesi.

Alternatif Yöntem

Teğet ve normal doğrularının çakışık olması, aslında her iki doğrunun da aynı doğruyu temsil ettiği anlamına gelir. Bu doğrunun y=mx+ny = mx + n formundaki gösterimi düşünüldüğünde, f′(1)=mf'(1) = m ve −1/g′(2)=m-1/g'(2) = m eşitliği kurulabilir. Aynı zamanda, doğrunun üzerindeki teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) ve normal noktası (2,g(2))(2, g(2)) bu doğrunun denklemini sağlamalıdır. Buradan hareketle eğim formülünden m=g(2)−f(1)2−1m = \frac{g(2) - f(1)}{2 - 1} yazılarak da çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 172Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları, x≠−1x \neq -1 olmak üzere,
f(x)=(x2+2)⋅g(x)f(x) = (x^2 + 2) \cdot g(x)
g(x)=x2⋅f(x)−8x+1g(x) = \frac{x^2 \cdot f(x) - 8}{x + 1}
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -152

Cevap

f'(1) değeri -152 olarak bulunur.
Verilen iki fonksiyonel denklemde x = 1 yazarak f(1) ve g(1) değerleri bulunur. Ardından her iki denklemin türevi alınarak x = 1 için türev değerleri arasında bir sistem kurulur. Bu sistemi çözdüğümüzde aranan türev değeri -152 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 için f(1) ve g(1) değerlerini hesaplama
f(1) = 24 ve g(1) = 8
Verilen eşitliklerde x yerine 1 yazıldığında f(1) = 3g(1) ve g(1) = (f(1) - 8)/2 denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden g(1) = 8 ve f(1) = 24 bulunur.
2
f(x) fonksiyonunun t��revini alıp x = 1 yazma
f'(1) = 16 + 3g'(1)
f(x) = (x^2 + 2) * g(x) ifadesine çarpım kuralı uygulanır: f'(x) = 2x * g(x) + (x^2 + 2) * g'(x). x = 1 yazılıp g(1) = 8 değeri yerine konduğunda f'(1) = 16 + 3g'(1) ilişkisine ulaşılır.
3
g(x) fonksiyonunun türevini alıp x = 1 yazma
g'(1) = 20 + f'(1)/2
g(x) = (x^2 * f(x) - 8) / (x + 1) ifadesine bölüm ve çarpım kuralları uygulanır: g'(x) = [(2x * f(x) + x^2 * f'(x)) * (x + 1) - (x^2 * f(x) - 8)] / (x + 1)^2. x = 1 ve f(1) = 24 yazıldığında g'(1) = [(48 + f'(1)) * 2 - 16] / 4 = 20 + f'(1)/2 ilişkisi bulunur.
4
Oluşan denklem sistemini çözme
f'(1) = -152
f'(1) = 16 + 3 * g'(1) denkleminde g'(1) yerine (20 + f'(1)/2) yazılarak f'(1) = 76 + 1.5 * f'(1) elde edilir. Buradan f'(1) = -152 bulunur.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm türev kurallarının fonksiyonel denklem sistemlerinde uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 173Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolüne dışındaki bir P(1,−3)P(1, -3) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor. Buna göre, AA ve BB noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Değme noktalarından geçen doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.
Teğet değme noktaları olan A(3, 9) ve B(-1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemi y = 2x + 3 olup y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir teğet noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla ifade etmek.
Teğet noktası T(t,t2)T(t, t^2) olsun. Fonksiyonun türevi f′(x)=2xf'(x) = 2x olduğundan bu noktadaki teğet eğimi m=2tm = 2t olur. Teğet doğrusunun denklemi: y−t2=2t(x−t)⇒y=2tx−t2y - t^2 = 2t(x - t) \Rightarrow y = 2tx - t^2 olarak bulunur.
Türevin geometrik yorumu gereği, teğet doğrusunun eğimi o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğet doğrusunun dışındaki P(1,−3)P(1, -3) noktasından geçtiğini kullanarak teğet noktalarının apsislerini bulmak.
−3=2t(1)−t2⇒t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0-3 = 2t(1) - t^2 \Rightarrow t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0 denkleminden t1=3t_1 = 3 ve t2=−1t_2 = -1 bulunur.
P(1,−3)P(1, -3) noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
3
Teğet değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını hesaplamak.
t1=3t_1 = 3 için A(3,9)A(3, 9) ve t2=−1t_2 = -1 için B(−1,1)B(-1, 1) elde edilir.
Apsis değerleri f(x)=x2f(x) = x^2 kuralında yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
4
A(3,9)A(3, 9) ve B(−1,1)B(-1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulup y-eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplamak.
Doğrunun eğimi mAB=9−13−(−1)=2m_{AB} = \frac{9 - 1}{3 - (-1)} = 2 olup denklemi y−1=2(x+1)⇒y=2x+3y - 1 = 2(x + 1) \Rightarrow y = 2x + 3 olur. x=0x = 0 için ordinat y=3y = 3 olarak bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun denklemi yazıldıktan sonra y-eksenini kestiği noktayı bulmak için apsis sıfır alınır.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Denklemleri)

Alternatif Yöntem

Pratik Yol (Kutup Doğrusu): y = x^2 parabolüne dışındaki bir P(x0, y0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarından geçen doğrunun (kutup doğrusu) denklemi (y + y0) / 2 = x * x0 formülü ile bulunur. P(1, -3) noktası için bu denklem (y - 3) / 2 = x * 1 => y = 2x + 3 olur. Bu doğrunun y-keseni x = 0 için y = 3 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 174Soru →

Analitik düzlemde birinci bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi y=12−2xy = 12 - 2x doğrusu üzerinde olan bir dikdörtgen çiziliyor.

Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Maksimum alan değeri 18 birimkaredir.
Alan fonksiyonu A(x)=x(12−2x)=12x−2x2A(x) = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2 olarak kurulur. Bu fonksiyonun türevi olan A′(x)=12−4xA'(x) = 12 - 4x ifadesini sıfıra eşitleyen x=3x = 3 değeri için alan en büyük değerini alır. Maksimum alan A(3)=3(12−2(3))=18A(3) = 3(12 - 2(3)) = 18 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını ve alan fonksiyonunu belirleyin.
Dikdörtgenin bir köşesi y=12−2xy = 12 - 2x doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları (x,12−2x)(x, 12 - 2x) olur. Alan fonksiyonu A(x)=x⋅y=x(12−2x)=12x−2x2A(x) = x \cdot y = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2 olarak elde edilir.
Maksimum/minimum problemlerinde en büyük olması istenen niceliği tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek gerekir.
2
Alan fonksiyonunun birinci türevini alarak kritik noktayı bulun.
A′(x)=12−4xA'(x) = 12 - 4x türev fonksiyonu elde edilir. 12−4x=012 - 4x = 0 denkleminden kritik nokta x=3x = 3 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.
3
Bulunan kritik değeri alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayın.
A(3)=3⋅(12−2(3))=3⋅6=18A(3) = 3 \cdot (12 - 2(3)) = 3 \cdot 6 = 18 birimkare bulunur.
Maksimum alan değerini bulmak için, bu alanı veren xx değeri orijinal alan fonksiyonunda yerine yazılmalıdır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Soru 175Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2)
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=2g(2) = 2
g′(2)=12g'(2) = \frac{1}{2}
olduğuna göre, (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Doğru cevap 4 olacaktır.
Doğru cevaba ulaşmak için zincir kuralı iki kez doğru bir şekilde uygulanmalıdır. İlk olarak (f∘f)′(2)=f′(f(2))⋅f′(2)(f \circ f)'(2) = f'(f(2)) \cdot f'(2) eşitliği kurulur. f(2)=g(2)=2f(2) = g(2) = 2 olduğu bulunur. Ardından f′(x)=g′(x2−2)⋅2xf'(x) = g'(x^2 - 2) \cdot 2x türevi alınarak f′(2)=g′(2)⋅4=2f'(2) = g'(2) \cdot 4 = 2 elde edilir. Bu değerler bileşke türev formülünde yerine yazıldığında 2⋅2=42 \cdot 2 = 4 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulanarak (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) ifadesinin açılımı yazılır.
(f∘f)′(2)=f′(f(2))⋅f′(2)(f \circ f)'(2) = f'(f(2)) \cdot f'(2)
Bileşke fonksiyon türevinde dıştaki fonksiyonun türevi alınır, içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
2
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2) eşitliğinde x=2x = 2 yazılarak f(2)f(2) değeri bulunur.
f(2)=g(22−2)=g(2)=2f(2) = g(2^2 - 2) = g(2) = 2
Bileşke türev formülündeki f′(f(2))f'(f(2)) ifadesini hesaplamak için öncelikle içteki f(2)f(2) değerine ihtiyaç vardır.
3
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2) fonksiyonunun her iki tarafının xx'e göre türevi alınır.
f′(x)=g′(x2−2)⋅2xf'(x) = g'(x^2 - 2) \cdot 2x
Bileşke fonksiyon türev kuralı uyarınca dıştaki gg fonksiyonunun türevi alındıktan sonra, içteki x2−2x^2 - 2 ifadesinin türevi olan 2x2x ile çarpılması gerekir.
4
Türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak f′(2)f'(2) değeri hesaplanır.
f′(2)=g′(2)⋅(2⋅2)=12⋅4=2f'(2) = g'(2) \cdot (2 \cdot 2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2
g′(2)=12g'(2) = \frac{1}{2} bilgisi kullanılarak f′(2)f'(2) değeri elde edilir.
5
Bulunan f(2)=2f(2) = 2 ve f′(2)=2f'(2) = 2 değerleri birinci adımdaki bileşke türev formülünde yerine yazılır.
(f∘f)′(2)=f′(2)⋅f′(2)=2⋅2=4(f \circ f)'(2) = f'(2) \cdot f'(2) = 2 \cdot 2 = 4
Aranan (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) değeri, elde edilen bu iki değerin çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı
Soru 176Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonunun türevi, x∈R∖{2,4}x \in \mathbb{R} \setminus \{2, 4\} için
f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−4)(x−2)(x−4)2f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3) (x-4)}{(x-2) (x-4)^2}
olarak verilmiştir.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 9'dur.
Fonksiyon gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu için türevinin işaret değiştirdiği her noktada yerel ekstremum vardır. Türev fonksiyonunun sadeleşmiş hali olan f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−2)(x−4)f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3)}{(x-2)(x-4)} ifadesinin işaret tablosu yapıldığında x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 noktalarında işaret değişimi olduğu görülür. Dolayısıyla bu üç nokta yerel ekstremum noktasıdır ve apsisleri toplamı 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun kritik noktalarını belirleme.
Kritik noktalar x=1x = 1, x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevinin işaret değiştirdiği noktalarda oluşabileceğinden, önce türevi sıfır yapan veya tanımsız yapan değerler tespit edilir.
2
Türev fonksiyonunun sadeleşmiş halini ve işaret durumunu analiz etme.
x≠4x \neq 4 i��in türev ifadesi f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−2)(x−4)f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3)}{(x-2)(x-4)} halini alır.
Sadeleştirme işlemi, işaret tablosunun daha rahat incelenmesini sağlar. Ancak paydada sadeleşen terimin çift/tek katlılık durumuna göre etkisi unutulmamalıdır.
3
Türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturma.
Türevin işaret tablosuna göre; (−∞,1)(-\infty, 1) aralığında negatif, (1,2)(1, 2) aralığında negatif (işaret değişmedi), (2,3)(2, 3) aralığında pozitif (işaret değişti), (3,4)(3, 4) aralığında negatif (işaret değişti), (4,∞)(4, \infty) aralığında pozitif (işaret değişti) olur.
Türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek yerel ekstremum noktalarını bulmak için gereklidir.
4
Süreklilik şartı altında yerel ekstremum noktalarını belirleyip apsisleri toplama.
Türevin işaret değiştirdiği x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 noktaları yerel ekstremum noktalarıdır. Toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 olur.
ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan, türevinin tanımlı olmadığı x=2x=2 ve x=4x=4 noktalarında da türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremumdur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun sürekli olduğu noktalarda türevinin işaret değiştirmesi, o noktanın yerel ekstremum noktası olması için yeterlidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 177Soru →

Analitik düzlemde, y=x2y = x^2 parabolü üzerinde bulunan ve A(8,52)A\left(8, \frac{5}{2}\right) noktasına en yakın olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabol üzerinde verilen noktaya en yakın olan noktanın koordinatları toplamı 6'dır.
Parabol üzerindeki genel bir P(x,x2)P(x, x^2) noktasının A(8,5/2)A(8, 5/2) noktasına olan uzaklığının karesi f(x)=(x−8)2+(x2−5/2)2f(x) = (x-8)^2 + (x^2-5/2)^2 fonksiyonudur. Bu fonksiyonun türevi olan f′(x)=4x3−8x−16f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 ifadesini sıfır yapan tek gerçel sayı x=2x=2 değeridir. Bu apsis değeri parabol denkleminde yerine yazıldığında en yakın nokta P(2,4)P(2, 4) olarak elde edilir. Koordinatları toplamı ise 2+4=62+4=6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir noktayı temsil eden koordinatları belirleyin.
P(x,x2)P(x, x^2) noktası parabol üzerindeki herhangi bir noktayı temsil eder.
y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki tüm noktaların ordinatı, apsisinin karesine eşittir.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak P(x,x2)P(x, x^2) ile A(8,52)A\left(8, \frac{5}{2}\right) noktaları arasındaki uzaklığın karesini veren fonksiyonu yazın.
f(x)=(x−8)2+(x2−52)2f(x) = (x - 8)^2 + \left(x^2 - \frac{5}{2}\right)^2 fonksiyonu elde edilir. Bu ifade açılıp düzenlendiğinde f(x)=x4−4x2−16x+2814f(x) = x^4 - 4x^2 - 16x + \frac{281}{4} halini alır.
Uzaklığı minimum yapan xx değeri ile uzaklığın karesini minimum yapan xx değeri aynıdır. Kareköklü ifadeyle uğraşmamak için uzaklığın karesi fonksiyon olarak seçilmiştir.
3
Elde edilen fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirlemek üzere sıfıra eşitleyin.
f′(x)=4x3−8x−16=0f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem ortak çarpan parantezine alınarak 4(x3−2x−4)=04(x^3 - 2x - 4) = 0 şeklinde yazılabilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
4
x3−2x−4=0x^3 - 2x - 4 = 0 denkleminin gerçel köklerini bulun.
x=2x = 2 değeri denklemi sağlar (23−2(2)−4=8−4−4=02^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0). Polinom b��lmesi yapıldığında denklem (x−2)(x2+2x+2)=0(x - 2)(x^2 + 2x + 2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. x2+2x+2=0x^2 + 2x + 2 = 0 çarpanının diskriminantı Δ=22−4(1)(2)=−4<0\Delta = 2^2 - 4(1)(2) = -4 < 0 olduğundan buradan gerçel kök gelmez. Dolayısıyla tek kritik nokta x=2x = 2'dir.
Türev fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktalar incelenerek en yakın noktanın apsisi belirlenir.
5
Bulunan apsis değerini parabol denkleminde yerine yazıp koordinatları ve koordinatların toplamını bulun.
x=2x = 2 için parabol üzerindeki en yakın nokta P(2,22)=P(2,4)P(2, 2^2) = P(2, 4) olur. Bu noktanın koordinatları toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olarak bulunur.
Soru kökünde en yakın noktanın koordinatlarının toplamı sorulmaktad��r.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığın optimizasyonu.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın P(x,x2)P(x, x^2) noktasından parabole çizilen teğet doğrusu, PAPA doğru parçasına dik olmak zorundadır. P(x,x2)P(x, x^2) noktasındaki teğetin eğimi türev yardımıyla mt=2xm_t = 2x bulunur. Bu noktadaki normalin eğimi ise mn=−12xm_n = -\frac{1}{2x} olur. PP ve A(8,2.5)A(8, 2.5) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise x2−2.5x−8\frac{x^2 - 2.5}{x - 8}'dir. İki doğrunun diklik şartından: x2−2.5x−8=−12x⇒2x3−5x=−x+8⇒2x3−4x−8=0⇒x3−2x−4=0\frac{x^2 - 2.5}{x - 8} = -\frac{1}{2x} \Rightarrow 2x^3 - 5x = -x + 8 \Rightarrow 2x^3 - 4x - 8 = 0 \Rightarrow x^3 - 2x - 4 = 0 denklemi elde edilir. Buradan tek gerçel kök x=2x=2 olarak bulunur. Dolayısıyla aranan nokta P(2,4)P(2, 4) olup koordinatları toplamı 6'dır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 178Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere, ff fonksiyonu
f(x)=4sin⁡(3π2−x) f(x) = 4\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)
kuralı ile verilmiştir.
Buna göre,
lim⁡h→0f(π6+3h)−f(π6−h)2h \lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{6} + 3h\right) - f\left(\frac{\pi}{6} - h\right)}{2h}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Verilen limit ifadesi düzenlendiğinde 2f′(π6)2f'\left(\frac{\pi}{6}\right) değerine karşılık gelir. Fonksiyonun indirgenmiş hali f(x)=−4cos⁡(x)f(x) = -4\cos(x) olup türevi f′(x)=4sin⁡(x)f'(x) = 4\sin(x) şeklindedir. x=π6x = \frac{\pi}{6} için türev değeri 2 olduğundan limitin sonucu 2×2=42 \times 2 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunu trigonometrik indirgeme kuralları ile sadeleştirin.
f(x)=4sin⁡(3π2−x)=−4cos⁡(x)f(x) = 4\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -4\cos(x)
3π2\frac{3\pi}{2} açısına göre indirgeme yapıldığında sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür ve üçüncü bölgede sinüs negatif olduğu için önüne eksi işareti gelir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini al��n.
f′(x)=−4(−sin⁡(x))=4sin⁡(x)f'(x) = -4(-\sin(x)) = 4\sin(x)
Kosinüs fonksiyonunun türevi −sin⁡(x)-\sin(x) olduğundan zincir kuralı gereği eksi işaretleri birbirini artı yapar.
3
x=π6x = \frac{\pi}{6} noktasındaki türev değerini hesaplayın.
f′(π6)=4sin⁡(π6)=4×12=2f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 \times \frac{1}{2} = 2
sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değeri türev fonksiyonunda yerine yazılır.
4
Verilen limit ifadesini türevin limit tanımı cinsinden düzenleyin.
lim⁡h→0f(π6+3h)−f(π6−h)2h=2f′(π6) \lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{6} + 3h\right) - f\left(\frac{\pi}{6} - h\right)}{2h} = 2f'\left(\frac{\pi}{6}\right)
Pay kısmındaki terimlerin türev katsayıları 3−(−1)=43 - (-1) = 4 olup paydadaki 2 ile bölündüğünde 2f′(π6)2f'\left(\frac{\pi}{6}\right) ifadesine eşit olur.
5
Bulunan türev değerini limit ifadesinde yerine yazarak sonucu bulun.
2×2=42 \times 2 = 4
Daha önce hesaplanan f′(π6)=2f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve trigonometrik fonksiyonların indirgeme özellikleri ile türev hesabı
Soru 179Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanıml�� ff fonksiyonu

f(x)={x2+4x+5,x<1x2−6x+15,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & x < 1 \\ x^2 - 6x + 15, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Yerel ekstremum değerlerinin toplamı 17'dir.
Yerel ekstremum değerleri, fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarındaki görüntüleridir. Fonksiyonun yerel minimumları x=−2x = -2 (f(−2)=1f(-2) = 1) ve x=3x = 3 (f(3)=6f(3) = 6) noktalarında; yerel maksimumu ise türevinin olmadığı fakat sürekli olup artanlıktan azalanlığa geçtiği x=1x = 1 (f(1)=10f(1) = 10) noktasındadır. Bu değerlerin toplamı 1+10+6=171 + 10 + 6 = 17 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dalların türevlerini alarak kritik noktaları belirleme
x<1x < 1 için f′(x)=2x+4f'(x) = 2x + 4 ve x>1x > 1 için f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6 bulunur. Buradan türevi sıfır yapan aday noktalar x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olarak elde edilir.
Fonksiyonun türevlenebildiği aralıklardaki yerel ekstremum adaylarını bulmak amacıyla türevin kökleri hesaplanır.
2
Kritik noktaların aralıklara uygunluğunu kontrol etme
x=−2x = -2 değeri x<1x < 1 şartını, x=3x = 3 değeri ise x>1x > 1 şartını sağladığı için her ikisi de geçerli kritik noktalardır.
Her bir türev kuralının geçerli olduğu tanım aralığına uygun noktaları belirlemek gerekir.
3
Sınır noktası olan x=1x = 1 noktasında süreklilik ve artanlık-azalanlık incelemesi
lim⁡x→1−f(x)=10\lim_{x \to 1^-} f(x) = 10, lim⁡x→1+f(x)=10\lim_{x \to 1^+} f(x) = 10 ve f(1)=10f(1) = 10 olduğundan fonksiyon x=1x = 1 noktasında süreklidir. x∈(−2,1)x \in (-2, 1) aralığında f′(x)>0f'(x) > 0 (artan) ve x∈(1,3)x \in (1, 3) aralığında f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) olduğundan x=1x = 1 noktası yerel maksimum noktasıdır.
Fonksiyonun türevinin olmadığı veya kural değiştirdiği noktalarda da yerel ekstremum bulunabileceğini incelemek ve süreklilik şartını doğrulamak gerekir.
4
Ekstremum değerlerini bulma ve toplama
f(−2)=1f(-2) = 1 (yerel minimum), f(1)=10f(1) = 10 (yerel maksimum) ve f(3)=6f(3) = 6 (yerel minimum) değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1+10+6=171 + 10 + 6 = 17 olur.
Soruda istenen yerel ekstremum değerlerinin toplamını hesaplamak için bu ordinat değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevinin sıfır olması şart değildir; fonksiyon sürekli olduğu bir noktada artanlıktan azalanlığa (veya tersi) geçiş yapıyorsa o nokta bir yerel ekstremum noktasıdır.
Soru 180Soru →

Bir dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1/4; -0,25; -0.25

Cevap

Parabol üzerindeki koordinatların toplamının en küçük değeri −1/4-1/4 olur.
Parabol üzerindeki noktalar P(x,x2)P(x, x^2) biçimindedir. Bu noktanın koordinatları toplamı f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x fonksiyonunu tanımlar. Bu fonksiyonun türevi f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 olup, türevin sıfır olduğu x=−1/2x = -1/2 değerinde fonksiyon en küçük değerine ulaşır. En küçük değer ise f(−1/2)=−1/4f(-1/2) = -1/4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki herhangi bir noktayı değişken cinsinden ifade edin.
y=x2y = x^2 olduğundan, parabol üzerindeki bir nokta P(x,x2)P(x, x^2) şeklinde yazılır.
Nokta parabol üzerinde bulunduğundan ordinat değeri apsisin karesine eşittir.
2
Koordinatlar toplamını veren fonksiyonu tanımlayın.
f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
P(x,x2)P(x, x^2) noktasının koordinatları toplamı x+y=x+x2x + y = x + x^2 ifadesine karşılık gelir.
3
Tanımlanan fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek en küçük değeri veren xx değerini bulun.
f′(x)=2x+1=0  ⟹  x=−12f'(x) = 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
Bir fonksiyonun yerel ekstremum değerleri, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda oluşur.
4
Bulunan xx değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük değeri hesaplayın.
f(−12)=(−12)2+(−12)=14−12=−14f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}
Kritik noktadaki fonksiyon değeri, koordinatlar toplamının alabileceği en küçük değeri verir.

Anahtar Kavram

Bir parabol üzerindeki değişken bir noktanın koordinat ilişkisi kurulduktan sonra toplamı veren fonksiyonun türevi yardımıyla minimum değeri hesaplanır.
ÖncekiSayfa 9 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 9 | Examkin