Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 181Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasında sürekli olduğu bilinmektedir. Buna göre, g(x)=(x−x0)⋅f(x)g(x) = (x - x_0) \cdot f(x) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasında her zaman türevlenebilir olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Türevin limit tanımına göre limit alındığında (x−x0)(x - x_0) terimleri sadeleşir ve geriye yalnızca lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x) kalır. ff fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında sürekli olduğundan bu limit değeri mevcut ve f(x0)f(x_0) gerçel sayısına eşittir. Bu nedenle gg fonksiyonu bu noktada her zaman türevlenebilirdir.

Adım Adım Çözüm

1
gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasındaki değerini hesaplayın.
g(x0)=(x0−x0)⋅f(x0)=0⋅f(x0)=0g(x_0) = (x_0 - x_0) \cdot f(x_0) = 0 \cdot f(x_0) = 0
Türevin limit tanımını yazabilmek için fonksiyonun o noktadaki görüntüsünü bilmemiz gerekir.
2
gg fonksiyonunun x=x0x = x_0 noktasındaki türevlenebilirliğini incelemek amacıyla türevin limit tanımını oluşturun.
g′(x0)=lim⁡x→x0g(x)−g(x0)x−x0=lim⁡x→x0(x−x0)f(x)−0x−x0g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)f(x) - 0}{x - x_0}
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması, limit türev tanımının mevcudiyetiyle belirlenir.
3
Elde edilen limit ifadesinde gerekli sadeleştirmeleri yapın ve süreklilik şartını uygulayın.
\lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)f(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
x≠x0x \neq x_0 koşulu altında pay ve paydadaki (x−x0)(x - x_0) terimleri sadeleşir. ff fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında sürekli olarak verildiğinden, limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine (f(x0)f(x_0)) eşit olur. Bu limit gerçel bir sayı belirttiğinden gg fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilirdir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve süreklilik ile türevlenebilme arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 182Soru →
yy değişkeni tt değişkenine, tt değişkeni ise xx bağımsız değişkenine bağlı olarak
y=t2−ty = t^2 - t
t=x2−3xt = x^2 - 3x
eşitlikleriyle tanımlanmaktadır.

Buna göre, x=4x = 4 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

35
Zincir kuralına göre dydx=dydt⋅dtdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} eşitliği geçerlidir. x=4x = 4 için t=4t = 4 olur. dydt=2t−1\frac{dy}{dt} = 2t - 1 türevinde t=4t = 4 yazıldığında 77 elde edilir. dtdx=2x−3\frac{dt}{dx} = 2x - 3 türevinde x=4x = 4 yazıldığında 55 elde edilir. Bu iki değer çarpıldığında 7⋅5=357 \cdot 5 = 35 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı bağıntısını kurma
dydx=dydt⋅dtdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
yy değişkeni tt'ye, tt ise xx'e bağlı olduğundan yy'nin xx'e göre türevi zincir kuralı ile hesaplanır.
2
x=4x = 4 için tt değerini belirleme
t=4t = 4
dydt\frac{dy}{dt} türevinde tt yerine yazılacak değeri bulmak gerekir.
3
dydt\frac{dy}{dt} türevini bulup t=4t = 4 değerini yerine yazma
dydt∣t=4=7\frac{dy}{dt}\Big|_{t=4} = 7
y=t2−ty = t^2 - t fonksiyonunun türevi alınıp noktadaki değeri hesaplanır.
4
dtdx\frac{dt}{dx} türevini bulup x=4x = 4 değerini yerine yazma
dtdx∣x=4=5\frac{dt}{dx}\Big|_{x=4} = 5
t=x2−3xt = x^2 - 3x fonksiyonunun türevi alınıp noktadaki değeri hesaplanır.
5
Türev değerlerini çarparak sonucu bulma
35
Zincir kuralı gereği elde edilen türev değerleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonun türevini hesaplama.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, t=x2−3xt = x^2 - 3x ifadesi y=t2−ty = t^2 - t denkleminde yerine yazılarak yy doğrudan xx cinsinden ifade edilebilir: y=(x2−3x)2−(x2−3x)y = (x^2 - 3x)^2 - (x^2 - 3x). Ardından bu ifadenin xx'e göre türevi alınır: dydx=2(x2−3x)(2x−3)−(2x−3)\frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 3x)(2x - 3) - (2x - 3). x=4x = 4 yazıldığında, 2(16−12)(8−3)−(8−3)=2(4)(5)−5=40−5=352(16 - 12)(8 - 3) - (8 - 3) = 2(4)(5) - 5 = 40 - 5 = 35 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 183Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−ax2+4xf(x) = x^3 - ax^2 + 4x
eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile
g(x)=x2−bx+cg(x) = x^2 - bx + c
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

a + b + c toplamının değeri 17'dir.
Verilen f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusu ile g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun çakışık (aynı doğru) olması, bu iki doğrunun eğimlerinin eşit olmasını ve her iki noktanın da bu doğru üzerinde bulunmasını gerektirir. Buradan elde edilen denklemler çözüldüğünde a = 3, b = 5 ve c = 9 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin toplamı ise 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğimini ve denklemini a cinsinden bulma.
f'(1) = 7 - 2a (eğim) ve teğet noktası P(1, 5-a). Teğet doğrusu: y - (5-a) = (7-2a)(x-1)
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimini b cinsinden ve normal noktasını b ile c cinsinden bulma.
g'(2) = 4 - b (teğet eğimi), normal doğrusunun eğimi m_N = -1/(4-b) ve normal noktası Q(2, 4-2b+c).
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Doğruların çakışık olması şartını kullanarak a, b ve c bilinmeyenlerini çözme.
Eğimlerin eşitliğinden 7 - 2a = -1/(4-b) elde edilir. Ortak eğimin 1 olması durumunda a = 3, b = 5 bulunur. Ortak doğru denklemi y = x + 1 olur. Q(2, g(2)) noktası bu doğru üzerinde olduğundan g(2) = 3 olmalıdır. Buradan c = 9 bulunur.
Çakışık doğruların eğimleri ve geçtikleri noktalar aynı olmalıdır.
4
a, b ve c değerlerinin toplamını hesaplama.
a + b + c = 3 + 5 + 9 = 17
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının denklemleri ile bu doğruların eğimleri arasındaki ilişki (m_teget * m_normal = -1).
Soru 184Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu
f(x)={x2−4x+a,x≤3−x2+bx−5,x>3f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + a, & x \le 3 \\ -x^2 + bx - 5, & x > 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında bir yerel maksimumu olduğu bilindiğine göre, aa tam sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Fonksiyonun gerçel sayılar üzerinde sürekli olması sebebiyle x=3x = 3 noktasındaki sol ve sağ limitler birbirine eşit olmalıdır. Buradan a=3b−11a = 3b - 11 ilişkisi elde edilir. x=3x = 3 noktasının bir yerel maksimum noktası olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda artan, sağında ise azalan olması gerekir. Sol tarafta (x<3x < 3 için) türev f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olup x∈(2,3)x \in (2, 3) aralığında pozitif olduğundan fonksiyon artandır. Sağ tarafta ise (x>3x > 3 için) fonksiyonun azalan olması için türevi olan f′(x)=−2x+b≤0f'(x) = -2x + b \le 0 şartı sağlanmalıdır. Buradan b≤2xb \le 2x ve x→3+x \to 3^+ için b≤6b \le 6 bulunur. Bu sınır değeri a=3b−11a = 3b - 11 eşitliğinde yerine yazıldığında a≤7a \le 7 elde edilir. Dolayısıyla aa tam sayısının alabileceği en büyük değer 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik şartını uygulayarak a ve b değişkenleri arasındaki ilişkiyi bulma
a−3=3b−14  ⟹  a=3b−11a - 3 = 3b - 14 \implies a = 3b - 11
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan x=3x = 3 noktasında sol limit, sağ limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.
2
x<3x < 3 için fonksiyonun artış/azalış durumunu inceleme
x∈(2,3)x \in (2, 3) aralığında f′(x)=2x−4>0f'(x) = 2x - 4 > 0 olduğundan fonksiyon artandır.
x=3x = 3 noktasının yerel maksimum olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda artan, sağında ise azalan (veya sabit) olması gerekir. Sol taraftaki türev incelendiğinde x=3x = 3 noktasına yaklaşırken fonksiyonun artan olduğu görülür.
3
x>3x > 3 için yerel maksimum şartını kullanarak b değerine sınır getirme
b≤6b \le 6
x>3x > 3 için f′(x)=−2x+bf'(x) = -2x + b olur. x=3x=3'ün yerel maksimum olması için x>3x > 3 bölgesinde (3'ün sağ komşuluğunda) fonksiyonun azalan olması, yani f′(x)≤0f'(x) \le 0 olması gerekir. Buradan −2x+b≤0  ⟹  b≤2x-2x + b \le 0 \implies b \le 2x olur. x→3+x \to 3^+ limiti için bu şartın sağlanması b≤6b \le 6 olmasını gerektirir.
4
Elde edilen sınır değerini a'nın ifadesinde yerine yazarak en büyük tam sayı değerini bulma
a≤7a \le 7 olup, en büyük aa tam sayısı 7'dir.
a=3b−11a = 3b - 11 eşitliğinde b≤6b \le 6 sınırını kullanırsak a≤3(6)−11=7a \le 3(6) - 11 = 7 elde ederiz.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik şartı ile türevin işaret değişimine göre yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi
Soru 185Soru →

Bir firmanın ürettiği xx adet ürünün tanesini 60−2x60 - 2x TL'den satacağı öngörülmektedir.

Buna göre, bu firmanın bu ürünlerin satışından elde edebileceği toplam gelirin en büyük olmas�� için kaç adet ürün satması gerekir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Gelirin en yüksek seviyeye ulaşması için satılması gereken ürün adedi 15'tir.
Toplam gelir fonksiyonu R(x)=60x−2x2R(x) = 60x - 2x^2 olarak bulunur. Bu fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktayı bulmak için türevi alınarak sıfıra eşitlenir: R′(x)=60−4x=0R'(x) = 60 - 4x = 0 denklemi çözüldüğünde geliri maksimum yapan ürün adedi 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) oluşturmak için satılan ürün adedi (xx) ile birim satış fiyatı (60−2x60 - 2x) çarpılır.
R(x)=x⋅(60−2x)=60x−2x2R(x) = x \cdot (60 - 2x) = 60x - 2x^2
Toplam geliri tek bir değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Gelirin en büyük değerini almasını sağlayan xx değerini bulmak için fonksiyonun türevi alınır.
R′(x)=60−4xR'(x) = 60 - 4x
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıfıra eşittir.
3
Elde edilen türev fonksiyonu sıfıra eşitlenerek denklem çözülür.
60−4x=0⇒4x=60⇒x=1560 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15
Türevin işaret değiştirdiği bu kritik nokta, geliri maksimum yapan ürün adedidir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Soru 186Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x+1}{x-1}
fonksiyonunun x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu,
g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3
parabolüne teğettir.

Buna göre, kk gerçel sayısın��n alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

−1-1 değeri doğrudur.
Normal doğrusunun denklemi y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2 olarak elde edilir. Bu doğrunun g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3 parabolü ile teğet olması, ortak çözüm denklemi olan x2−(4k+2)x+4=0x^2 - (4k+2)x + 4 = 0 ifadesinin diskriminantının sıfır olmasını gerektirir. Buradan elde edilen k=12k = \frac{1}{2} ve k=−32k = -\frac{3}{2} değerlerinin toplamı −1-1 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon üzerindeki teğet ve normal noktasının koordinatlarını bulma.
x=2x = 2 için f(2)=2+12−1=3f(2) = \frac{2+1}{2-1} = 3 bulunur. Dolayısıyla normal doğrusunun geçtiği nokta P(2,3)P(2, 3) koordinatlarına sahiptir.
Normal doğrusunun denklemini yazabilmek için geçtiği noktayı belirlememiz gerekir.
2
Türev yard��mıyla teğet ve normal doğrularının eğimlerini hesaplama.
f′(x)=1⋅(x−1)−(x+1)⋅1(x−1)2=−2(x−1)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} olarak bulunur. x=2x=2 yaz��ldığında teğet eğimi mt=f′(2)=−2m_t = f'(2) = -2 olur. Teğet ile normal birbirine dik olduğundan normal eğimi mn=−1mt=12m_n = \frac{-1}{m_t} = \frac{1}{2} elde edilir.
Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir; normal doğrusunun eğimi ise teğet eğimiyle çarpımı −1-1 olacak şekilde bulunur.
3
Normal doğrusunun denklemini oluşturma.
Eğimi mn=12m_n = \frac{1}{2} olan ve P(2,3)P(2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi: y−3=12(x−2)⇒y=12x+2y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 2 olarak elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak normal doğrusunun denklemi bulunur.
4
Normal doğrusunun parabole teğetlik şartını uygulama.
Normal doğrusu ile g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3 parabolü teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır:
14x2−kx+3=12x+2⇒14x2−(k+12)x+1=0\frac{1}{4}x^2 - kx + 3 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow \frac{1}{4}x^2 - \left(k + \frac{1}{2}\right)x + 1 = 0
Denklemi 44 ile genişlettiğimizde:
x2−(4k+2)x+4=0x^2 - (4k + 2)x + 4 = 0
Teğetlik şartı için Δ=0\Delta = 0 olmalıdır:
Δ=[−(4k+2)]2−4⋅1⋅4=0⇒(4k+2)2=16\Delta = [-(4k + 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \Rightarrow (4k + 2)^2 = 16
Buradan:
4k+2=4⇒k=124k + 2 = 4 \Rightarrow k = \frac{1}{2}
veya
4k+2=−4⇒k=−324k + 2 = -4 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}
değerleri bulunur.
Bir doğru ile bir parabolün birbirine teğet olması, ortak kesim denkleminin çift katlı köke sahip olmasını, yani diskriminantının sıfıra eşit olmasını gerektirir.
5
kk değerlerinin toplamını hesaplama.
Alınabilecek değerlerin toplamı: 12+(−32)=−1\frac{1}{2} + \left(-\frac{3}{2}\right) = -1 olarak bulunur.
Soruda kk sayısının alabileceği tüm gerçel değerlerin toplamı istendiği için hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadan çizilen normal doğrusunun denklemini yazma ve bu doğrunun bir parabole teğet olması durumunu ortak çözüm denkleminin diskriminantı yardımıyla analiz etme.
Soru 187Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi
y=3x−5y = 3x - 5
olarak verilmiştir.
Buna göre,
g(x)=f(x2+1)2x+1g(x) = \frac{f(x^2 + 1)}{2x + 1}
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi olan g′(1)g'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 169\frac{16}{9}

Cevap

Doğru cevap 169\frac{16}{9} değeridir.
Doğru cevap, bölüm kuralı ve zincir kuralı tam ve doğru olarak uygulandığında elde edilen 169\frac{16}{9} değeridir. Teğet doğrusunun denkleminden elde edilen f(2)=1f(2) = 1 ve f′(2)=3f'(2) = 3 değerleri formülde yerlerine yazıldığında bu sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminden fonksiyonun de��erini ve türevini elde etme
f(2)=1f(2) = 1 ve f′(2)=3f'(2) = 3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=3x−5y = 3x - 5 olduğundan, bu noktanın ordinatı f(2)=3(2)−5=1f(2) = 3(2) - 5 = 1 ve teğet doğrusunun eğimi fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan f′(2)=3f'(2) = 3 olur.
2
Bölüm ve zincir kurallarını uygulayarak g′(x)g'(x) ifadesini oluşturma
g′(x)=f′(x2+1)⋅2x⋅(2x+1)−f(x2+1)⋅2(2x+1)2g'(x) = \frac{f'(x^2 + 1) \cdot 2x \cdot (2x + 1) - f(x^2 + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}
Bölüm kuralı uygulandıktan sonra pay kısmındaki f(x2+1)f(x^2+1) ifadesinin türevi için zincir kuralı (f′(x2+1)⋅2xf'(x^2+1) \cdot 2x) kullanılmıştır.
3
x=1x = 1 değerini yerine yazarak sonucu hesaplama
g′(1)=169g'(1) = \frac{16}{9}
g′(1)=f′(2)⋅2(1)⋅(2(1)+1)−f(2)⋅2(2(1)+1)2=3⋅2⋅3−1⋅29=18−29=169g'(1) = \frac{f'(2) \cdot 2(1) \cdot (2(1) + 1) - f(2) \cdot 2}{(2(1) + 1)^2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{9} = \frac{18 - 2}{9} = \frac{16}{9} bulunur.

Anahtar Kavram

Bölüm kuralı, zincir kuralı ve teğet doğrusu denklemi aracılığıyla türev değeri bulma
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 188Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen oluşturuluyor. Bu dikdörtgenin parabol üzerindeki köşesinden parabole çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle birinci bölgede oluşturduğu dik üçgenin alanı en küçük değerini aldığında, bu dikdörtgenin alanı kaç birimkare olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Teğet doğrusunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alan��nı minimum yapan a=2a = 2 değeri için çizilen dikdörtgenin alanı 16 birimkaredir.
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar kullanılarak oluşturulan üçgenin alan fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde a=2a=2 değeri elde edilir. Bu değer dikdörtgenin alan formülünde yerine yazıldığında alan 16 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki köşenin koordinatlarını belirleme
Birinci bölgedeki köşe P(a,12−a2)P(a, 12 - a^2) olur (0<a<120 < a < \sqrt{12}).
Dikdörtgenin bir köşesi parabolün üzerindedir ve alanı bu değişken cinsinden ifade edeceğiz.
2
Parabole PP noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulma
Teğet denklemi: y=−2ax+a2+12y = -2ax + a^2 + 12
Türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini (m=−2am = -2a) ve geçtiği noktayı kullanarak denklemi oluştururuz.
3
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulma
yy-eksenini kestiği nokta: a2+12a^2 + 12, xx-eksenini kestiği nokta: a2+122a\frac{a^2 + 12}{2a}
Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Dik üçgenin alan fonksiyonunu yazma
A(a)=(a2+12)24aA(a) = \frac{(a^2 + 12)^2}{4a}
Üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
5
Alan fonksiyonunun minimum noktasını bulma
a=2a = 2
Fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek yerel minimum noktasını buluruz. Bölümün türevi kuralı uygulandığında A′(a)=(a2+12)(3a2−12)4a2=0  ⟹  a=2A'(a) = \frac{(a^2+12)(3a^2-12)}{4a^2} = 0 \implies a = 2 elde edilir.
6
Dikdörtgenin alanını hesaplama
Alan = 16 birimkare
Bulunan a=2a = 2 değerini dikdörtgenin alan formülünde (a⋅(12−a2)a \cdot (12 - a^2)) yerine yazarız.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ile maksimum ve minimum problemleri uygulaması
Soru 189Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x2−4x∣−axf(x) = |x^2 - 4x| - ax
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı 11 olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,−4]∪[4,∞)(-\infty, -4] \cup [4, \infty)

Cevap

En geniş değer aralığı (−∞,−4]∪[4,∞)(-\infty, -4] \cup [4, \infty) aralığıdır.
Fonksiyonun parçalı tanımından elde edilen parabollerin tepe noktaları incelendiğinde, a≥4a \ge 4 veya a≤−4a \le -4 koşulu sağlandığında iç bölgedeki parabolün tepe noktası (0,4)(0,4) aralığının dışına taşar. Bu durumda sınır noktalarında yön değişimi gerçekleşmez ve fonksiyon tüm gerçel sayılar kümesinde yalnızca tek bir yerel minimum noktasına sahip olur. Dolayısıyla doğru aralık bu iki kümenin birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer ifadesinin kritik noktaları olan x=0x=0 ve x=4x=4 değerlerine göre fonksiyon parçalı tanımlı olarak yazılır.
f(x)={x2−(4+a)x,x<0 veya x>4−x2+(4−a)x,0≤x≤4f(x) = \begin{cases} x^2 - (4+a)x, & x < 0 \text{ veya } x > 4 \\ -x^2 + (4-a)x, & 0 \le x \le 4 \end{cases}
Fonksiyonun farklı bölgelerdeki davranışını ve türevlenebilen parçalarını ayrı ayrı analiz etmek amacıyla parçalı biçime dönüştürülmüştür.
2
Parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklardaki türev fonksiyonları ve ekstremum adayı olan tepe noktaları belirlenir.
x<0x < 0 ve x>4x > 4 bölgeleri için f′(x)=2x−(4+a)f'(x) = 2x - (4+a) olup tepe noktası x1=4+a2x_1 = \frac{4+a}{2}'dir. 0<x<40 < x < 4 bölgesi için f′(x)=−2x+(4−a)f'(x) = -2x + (4-a) olup tepe noktası x2=4−a2x_2 = \frac{4-a}{2}'dir.
Her bir parabolik parçanın tepe noktasının kendi tanımlı olduğu aralığa düşüp düşmediğini kontrol ederek ekstremum noktalarının varlığını incelemek gerekir.
3
a≥4a \ge 4 koşulu altında fonksiyonun ekstremum noktaları incelenir.
a≥4a \ge 4 için x2=4−a2≤0x_2 = \frac{4-a}{2} \le 0 olur, dolayısıyla (0,4)(0,4) aralığında tepe noktası bulunmaz. Bu aralıkta f′(x)<0f'(x) < 0 olup fonksiyon azalandır. x>4x > 4 bölgesinde ise x1=4+a2≥4x_1 = \frac{4+a}{2} \ge 4 olduğundan bu noktada azalandan artana geçiş olur. Sonuç olarak yalnızca x1x_1 apsisli nokta tek yerel minimum noktasıdır.
Belirlenen parametre sınırında fonksiyonun yalnızca bir yerel ekstremuma sahip olduğunu doğrulamak için bu analiz yapılır.
4
a≤−4a \le -4 koşulu altında fonksiyonun ekstremum noktaları incelenir.
a≤−4a \le -4 için x2=4−a2≥4x_2 = \frac{4-a}{2} \ge 4 olur, yani (0,4)(0,4) aralığında tepe noktası yoktur ve bu aralıkta fonksiyon artandır. x<0x < 0 bölgesinde ise x1=4+a2≤0x_1 = \frac{4+a}{2} \le 0 olup fonksiyon bu noktada azalandan artana geçer. Böylece yalnızca x1x_1 noktası tek yerel minimum noktası olur.
Negatif yöndeki parametre sınırında da tek ekstremum koşulunun sağlandığını göstermek için bu analiz yapılır.
5
Elde edilen iki durum birleştirilerek aa parametresinin en geniş aralığı yazılır.
a∈(−∞,−4]∪[4,∞)a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)
Her iki bölgede de tek yerel ekstremum noktası şartı sağlandığından bu iki kümenin birleşimi en geniş çözüm kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi
Soru 190Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonunun bir x=ax = a noktasında sürekli olması, bu noktada türevlenebilir olması için yeterli bir koşuldur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Süreklilik, türevlenebilirlik için yeterli bir koşul değildir; dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
Süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Bu nedenle sürekli olan her fonksiyonun o noktada türevlenebilir olması gerekmez.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki mantıksal gerektirmeyi incelemek.
Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir (T  ⟹  ST \implies S), fakat bu önermenin karşıtı (S  ⟹  TS \implies T) her zaman doğru değildir.
İki kavram arasındaki mantıksal yönü belirlemek için.
2
Sürekli olup türevlenemeyen bir fonksiyon örneği (karşıt örnek) ele almak.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasında sürekli olduğu (lim⁡x→0∣x∣=f(0)=0\lim_{x \to 0} |x| = f(0) = 0) fakat sağdan ve soldan türevlerinin farklı olması sebebiyle türevsiz olduğu görülür.
Sürekliliğin türevlenebilirlik için yeterli bir koşul olmadığını doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir, ancak süreklilik türevlenebilirliği garanti etmez.
Soru 191Soru →

Tanımlı oldukları kümelerde türevlenebilir yy, uu ve vv fonksiyonları

y=u3−2u2+1y = u^3 - 2u^2 + 1
u=sqrtv+1u = \\sqrt{v+1}
v=2x2−x−3v = 2x^2 - x - 3

eşitlikleriyle verilmektedir.

Buna göre, x=2x = 2 noktasında fracdydx\\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Zincir kuralı doğru bir şekilde uygulanarak elde edilen türev değeri 7'dir.
Zincir kuralı uygulanarak değişkenlerin türevleri fracdydu=4\\frac{dy}{du} = 4, fracdudv=frac14\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{4} ve fracdvdx=7\\frac{dv}{dx} = 7 olarak bulunmuş ve çarpımları sonucunda 7 değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x=2x = 2 değeri için sırasıyla vv ve uu değişkenlerinin değerlerini hesaplayın.
x=2x = 2 için:
v=2(2)2−2−3=8−5=3v = 2(2)^2 - 2 - 3 = 8 - 5 = 3

v=3v = 3 için:
u=sqrt3+1=sqrt4=2u = \\sqrt{3+1} = \\sqrt{4} = 2
Türevlerin hesaplanacağı noktaları belirlemek için her değişkenin değerini bulmamız gerekir.
2
Her bir fonksiyonun kendi bağımsız değişkenine göre türevini alın ve ilgili noktadaki değerini hesaplayın.
- fracdydu=3u2−4uimpliesu=2\\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u \\implies u = 2 için fracdydu=3(2)2−4(2)=12−8=4\\frac{dy}{du} = 3(2)^2 - 4(2) = 12 - 8 = 4
- fracdudv=frac12sqrtv+1impliesv=3\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{2\\sqrt{v+1}} \\implies v = 3 için fracdudv=frac12sqrt4=frac14\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{2\\sqrt{4}} = \\frac{1}{4}
- fracdvdx=4x−1impliesx=2\\frac{dv}{dx} = 4x - 1 \\implies x = 2 için fracdvdx=4(2)−1=7\\frac{dv}{dx} = 4(2) - 1 = 7
Zincir kuralı formülünü uygulayabilmek için her bir bileşenin türev değerine ihtiyaç vardır.
3
Zincir kuralını uygulayarak fracdydx\\frac{dy}{dx} değerini bulun.
fracdydx=fracdyducdotfracdudvcdotfracdvdx=4cdotfrac14cdot7=7\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dv} \\cdot \\frac{dv}{dx} = 4 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot 7 = 7
Zincir kuralına göre bağımlı değişkenin en içteki bağımsız değişkene göre türevi, ara türevlerin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi hesaplanırken zincir kuralı uygulanır. Birden fazla bağımlı değişken içeren ifadelerde türev, her adımın türevinin birbiriyle çarpılmasıyla bulunur.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm değişkenler xx cinsinden tek bir fonksiyon olarak yazılabilir: y=(sqrt2x2−x−2)3−2(2x2−x−2)+1y = (\\sqrt{2x^2-x-2})^3 - 2(2x^2-x-2) + 1. Bu ifadenin türevi doğrudan xx'e göre alındığında da aynı sonuç elde edilir ancak işlemler daha karmaşık olacaktır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 192Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir hh fonksiyonu için
h(2)=5h(2) = 5
h′(2)=4h'(2) = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(x)=x2⋅h(x)f(x) = x^2 \cdot h(x)
g(x)=f(x)x2+1g(x) = \frac{f(x)}{x^2+1}

olduğuna göre, g′(2)g'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen türev değeri 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2⋅h(x)f(x) = x^2 \cdot h(x) fonksiyonunun türevi çarpım kuralı yardımıyla hesaplanır.
f′(x)=2x⋅h(x)+x2⋅h′(x)f'(x) = 2x \cdot h(x) + x^2 \cdot h'(x)
Çarpımın türevi kuralını uygulamak.
2
x=2x = 2 için f(2)f(2) ve f′(2)f'(2) değerleri hesaplanır.
f(2)=20f(2) = 20 ve f′(2)=36f'(2) = 36
Bir sonraki adımda bölüm türevinde kullanılacak olan fonksiyon ve türev değerlerini elde etmek.
3
g(x)=f(x)x2+1g(x) = \frac{f(x)}{x^2+1} fonksiyonunun türevi bölüm kuralı yardımıyla hesaplanır.
g′(x)=f′(x)⋅(x2+1)−f(x)⋅2x(x2+1)2g'(x) = \frac{f'(x) \cdot (x^2+1) - f(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
Bölümün türevi kuralını uygulamak.
4
g′(x)g'(x) ifadesinde x=2x = 2 yazılır ve elde edilen değerler yerine konur.
g′(2)=36⋅5−20⋅425=4g'(2) = \frac{36 \cdot 5 - 20 \cdot 4}{25} = 4
g′(2)g'(2) değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kurallarından çarpım ve bölüm kurallarının uygulanması.
Soru 193Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x eğrisine x=ax = a ve x=bx = b (a≠ba \neq b) apsisli noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir. Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık 252\sqrt{5} birim olduğuna göre, 4⋅a⋅b4 \cdot a \cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Doğru cevap -5'tir.
Türev fonksiyonu yardımıyla teğetlerin paralel olma koşulu kullanılarak teğet noktalarının apsisleri arasında b = -a ilişkisi bulunmuştur. Bu noktalar üzerinden çizilen teğet doğrularının genel denklemleri oluşturulmuş ve paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak a^2 = 5/4 değerine ulaşılmıştır. Buradan, a * b = -5/4 ve 4 * a * b = -5 sonucu elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrularının paralel olmasından yararlanarak a ve b arasındaki bağıntıyı bulun.
f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 e��rinin türev fonksiyonudur. x=ax = a ve x=bx = b noktalarındaki teğet doğruları paralel olduğundan eğimleri eşittir: f′(a)=f′(b)⇒3a2−3=3b2−3⇒a2=b2f'(a) = f'(b) \Rightarrow 3a^2 - 3 = 3b^2 - 3 \Rightarrow a^2 = b^2. Soruda a≠ba \neq b verildiği için b=−ab = -a olmalıdır.
Paralel teğet doğrularının eğimleri birbirine eşittir.
2
Teğet doğrularının denklemlerini genel formda yazın.
x=ax = a noktasındaki teğet doğrusunun eğimi m=3a2−3m = 3a^2 - 3 ve geçtiği nokta (a,a3−3a)(a, a^3 - 3a)'dır. Doğru denklemi: y−(a3−3a)=(3a2−3)(x−a)⇒(3a2−3)x−y−2a3=0y - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(x - a) \Rightarrow (3a^2 - 3)x - y - 2a^3 = 0 olarak elde edilir. Benzer şekilde, x=−ax = -a noktasındaki teğet doğrusunun denklemi de (3a2−3)x−y+2a3=0(3a^2 - 3)x - y + 2a^3 = 0 olur.
Doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayabilmek için doğru denklemlerinin genel formda yazılması gerekir.
3
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak a değerini hesaplayın.
İki paralel doğru arasındaki uzaklık d=∣2a3−(−2a3)∣(3a2−3)2+(−1)2=4∣a∣39a4−18a2+10d = \frac{|2a^3 - (-2a^3)|}{\sqrt{(3a^2 - 3)^2 + (-1)^2}} = \frac{4|a|^3}{\sqrt{9a^4 - 18a^2 + 10}} formülü ile bulunur. Bu uzaklık 252\sqrt{5} birim olarak verilmiştir. Her iki tarafın karesi alınarak düzenleme yapıldığında: 16a69a4−18a2+10=20⇒4a6−45a4+90a2−50=0\frac{16a^6}{9a^4 - 18a^2 + 10} = 20 \Rightarrow 4a^6 - 45a^4 + 90a^2 - 50 = 0 denklemi elde edilir. u=a2u = a^2 dönüşümü ile 4u3−45u2+90u−50=04u^3 - 45u^2 + 90u - 50 = 0 kübik denklemi yazılır. Denklemin köklerinden biri u=54u = \frac{5}{4} olarak bulunur.
Teğet noktalarının apsislerinin karesini belirlemek.
4
İstenen 4 * a * b ifadesini hesaplayın.
a2=54a^2 = \frac{5}{4} ve b=−ab = -a olduğundan, a⋅b=−a2=−54a \cdot b = -a^2 = -\frac{5}{4} bulunur. Buradan 4⋅a⋅b=4⋅(−54)=−54 \cdot a \cdot b = 4 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -5 elde edilir.
Soru kökündeki ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumunda teğet doğrusunun denkleminin yazılması, paralel teğetlerin eğim eşitliği ve analitik düzlemde paralel doğrular arasındaki uzaklık bağıntısı.
Soru 194Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=2x3−3x2+ax+5f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + 5
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsislerinin çarpımı −2-2'dir.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Yerel ekstremum değerlerinin toplamı -3'tür.
Doğru cevap olan −3-3 değeri, türev fonksiyonunun kökler çarpımı özelliğinden a=−12a = -12 parametresinin bulunması, ardından elde edilen türev denkleminin çözülerek yerel maksimum apsisi x=−1x = -1 ve yerel minimum apsisi x=2x = 2 olarak bulunmasıyla elde edilir. Bu apsislerin fonksiyondaki değerleri sırasıyla 1212 ve −15-15 olup toplamları −3-3 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak ekstremum noktalarını belirleyen denklemi oluşturun.
f′(x)=6x2−6x+af'(x) = 6x^2 - 6x + a
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türev fonksiyonunu sıfır yapan ve işaret değiştiren köklerdir.
2
Türev denkleminin kökler çarpımı formülünü kullanarak aa parametresini hesaplayın.
x1⋅x2=a6=−2  ⟹  a=−12x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{6} = -2 \implies a = -12
Soruda yerel ekstremum noktalarının apsisler çarpımının −2-2 olduğu verilmiştir. İkinci dereceden denklemlerde kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülü ile hesaplanır.
3
a=−12a = -12 değerini türev denkleminde yerine yazarak ekstremum noktalarının apsislerini bulun.
6x2−6x−12=0  ⟹  6(x2−x−2)=0  ⟹  6(x−2)(x+1)=0  ⟹  x1=−16x^2 - 6x - 12 = 0 \implies 6(x^2 - x - 2) = 0 \implies 6(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1 ve x2=2x_2 = 2
Türevin sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için denklem çarpanlarına ayrılır.
4
Bulunan apsis değerlerini orijinal fonksiyonda yerine yazarak yerel ekstremum değerlerini hesaplayın.
f(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+5=12f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 12 (yerel maksimum değeri)
f(2)=2(2)3−3(2)2−12(2)+5=−15f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = -15 (yerel minimum değeri)
Bir noktanın ekstremum değeri, o noktanın apsis değerinin fonksiyon altındaki görüntüsüdür.
5
Hesaplanan yerel ekstremum değerlerini toplayın.
12+(−15)=−312 + (-15) = -3
Soruda yerel ekstremum değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin sıfıra eşit olduğu ve işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri ise yerel ekstremum değerleridir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 195Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu yardımıyla g(x)=f(x⋅f(x))g(x) = f(x \cdot f(x)) fonksiyonu tanımlanıyor.

f(3)=1f(3) = 1
f′(3)=2f'(3) = 2

olduğuna göre, g′(3)g'(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İstenen g′(3)g'(3) türev değeri 1414 olarak bulunur.
Zincir kuralı ve çarpım kuralı doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında g′(3)=14g'(3) = 14 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x⋅f(x))g(x) = f(x \cdot f(x)) fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=f′(x⋅f(x))⋅ddx(x⋅f(x))g'(x) = f'(x \cdot f(x)) \cdot \frac{d}{dx}(x \cdot f(x))
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
x⋅f(x)x \cdot f(x) ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayın.
ddx(x⋅f(x))=f(x)+x⋅f′(x)\frac{d}{dx}(x \cdot f(x)) = f(x) + x \cdot f'(x)
Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv' kuralına göre hesaplanır.
3
Türev ifadelerini birleştirerek g′(x)g'(x) fonksiyonunu elde edin.
g′(x)=f′(x⋅f(x))⋅(f(x)+x⋅f′(x))g'(x) = f'(x \cdot f(x)) \cdot (f(x) + x \cdot f'(x))
Zincir ve çarpım kurallarından gelen sonuçlar birleştirilerek genel türev kuralı oluşturulur.
4
Elde edilen türev fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak verilen değerleri yerine koyun.
g′(3)=f′(3)⋅(1+3⋅2)=2⋅7=14g'(3) = f'(3) \cdot (1 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot 7 = 14
Türevlenebilir fonksiyonların verilen noktalardaki değerleri yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı ve çarpım kuralının birlikte uygulanması
Soru 196Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılarda tanımlı

f(x)=x2−ax+4x2+1f(x) = \frac{x^2 - ax + 4}{x^2 + 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 33'tür.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Yerel ekstremum değerlerinin çarpımı 3'tür.
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen ax2−6x−a=0ax^2 - 6x - a = 0 denkleminin kökleri ekstremum apsisleridir. Apsisler toplamı 3 olarak verildiğinden a=2a = 2 bulunur. Bu durumda apsislerin sağladığı denklem x2−3x−1=0x^2 - 3x - 1 = 0 olur. Fonksiyonun kurallarında derecesi düşürülerek f(xi)=xi+53xi+2f(x_i) = \frac{x_i + 5}{3x_i + 2} elde edilir. Kökler toplamı (33) ve kökler çarpımı (−1-1) değerleri rasyonel çarpımda yerine yazıldığında aranan çarpım değeri 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak sıfıra eşitleyin.
f′(x)=(2x−a)(x2+1)−2x(x2−ax+4)(x2+1)2=ax2−6x−a(x2+1)2=0f'(x) = \frac{(2x - a)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - ax + 4)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{ax^2 - 6x - a}{(x^2 + 1)^2} = 0 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, fonksiyonun türevini sıfır yapan noktalardır.
2
Ekstremum noktalarının apsisleri toplamından faydalanarak aa değerini bulun.
ax2−6x−a=0ax^2 - 6x - a = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Kökler toplamı x1+x2=−−6a=6a=3  ⟹  a=2x_1 + x_2 = -\frac{-6}{a} = \frac{6}{a} = 3 \implies a = 2 bulunur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı formülü −b/a-b/a şeklindedir.
3
aa değerini yerine yazarak apsislerin sağladığı denklemi sadeleştirin.
2x2−6x−2=0  ⟹  x2−3x−1=0  ⟹  x2=3x+12x^2 - 6x - 2 = 0 \implies x^2 - 3x - 1 = 0 \implies x^2 = 3x + 1 bağıntısı elde edilir. Ayrıca kökler çarpımı x1x2=−1x_1 x_2 = -1 ve kökler toplamı x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 olur.
Fonksiyon değerlerini sadeleştirmek için x2x^2 yerine doğrusal bir ifade yazmak kolaylık sağlar.
4
Ekstremum noktalarındaki fonksiyon değerlerinin çarpımını hesaplayın.
f(xi)=xi2−2xi+4xi2+1=3xi+1−2xi+43xi+1+1=xi+53xi+2f(x_i) = \frac{x_i^2 - 2x_i + 4}{x_i^2 + 1} = \frac{3x_i + 1 - 2x_i + 4}{3x_i + 1 + 1} = \frac{x_i + 5}{3x_i + 2} olur. Değerlerin çarpımı:

f(x1)⋅f(x2)=x1+53x1+2⋅x2+53x2+2=x1x2+5(x1+x2)+259x1x2+6(x1+x2)+4f(x_1) \cdot f(x_2) = \frac{x_1 + 5}{3x_1 + 2} \cdot \frac{x_2 + 5}{3x_2 + 2} = \frac{x_1 x_2 + 5(x_1 + x_2) + 25}{9x_1 x_2 + 6(x_1 + x_2) + 4}

Burada bilinen değerler yerine yazıldığında:

−1+5(3)+259(−1)+6(3)+4=3913=3\frac{-1 + 5(3) + 25}{9(-1) + 6(3) + 4} = \frac{39}{13} = 3 bulunur.
Yerel ekstremum değerleri, fonksiyonun ekstremum apsislerindeki görüntüleridir. Bu değerlerin çarpımı rasyonel ifadelerin çarpımı ve kök katsayı ilişkileriyle bulunur.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonlarda türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi ve ikinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkilerinin fonksiyon değerlerine uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 197Soru →

Bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonunun bir x0x_0 noktasında limitinin var olması ve lim⁡x→x0−f′(x)=lim⁡x→x0+f′(x)\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) koşulunun sağlanması, bu fonksiyonun x0x_0 noktasında türevlenebilir olması için her zaman yeterli bir koşul mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması şarttır. Fonksiyonun o noktada limitinin olması ve türev fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması, o noktada sürekli olduğunu garanti etmez. Dolayısıyla bu koşullar türevlenebilirlik için her zaman yeterli değildir.
Verilen ifade her zaman doğru değildir; çünkü türevlenebilirlik için süreklilik şarttır ve limitin varlığı ile türev limitlerinin eşitliği sürekliliği garanti etmez.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişkiyi hatırlayalım.
Bir fonksiyonun x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilir olması için bu noktada sürekli olması gerekir. Yani, lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) eşitli��i sağlanmalıdır.
Süreklilik, türevlenebilmenin temel ve gerekli bir ön koşuludur.
2
Verilen koşulların sürekliliği garanti edip etmediğini inceleyelim.
Soruda ff fonksiyonunun x0x_0 noktasında limitinin var olduğu ve türev limitlerinin eşit olduğu verilmiştir. Ancak fonksiyonun bu noktadaki değeri olan f(x0)f(x_0) hakkında bilgi verilmemiştir. Dolayısıyla f(x0)≠lim⁡x→x0f(x)f(x_0) \neq \lim_{x \to x_0} f(x) durumu gerçekleşebilir.
Sürekliliğin sağlanması için limit değerinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması zorunludur.
3
İddianın her zaman doğru olmadığını gösteren bir karşıt örnek sunalım.
f(x)=xf(x) = x (eğer x≠0x \neq 0 ise) ve f(0)=1f(0) = 1 fonksiyonunu seçelim. Bu fonksiyon için x0=0x_0 = 0 noktasında limit lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0 olup mevcuttur. x≠0x \neq 0 için f′(x)=1f'(x) = 1 olduğundan lim⁡x→0−f′(x)=lim⁡x→0+f′(x)=1\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1 olur. Ancak f(0)=1≠0f(0) = 1 \neq 0 olduğundan fonksiyon sürekli değildir ve dolayısıyla x0=0x_0 = 0'da türevlenemez.
Tek bir karşıt örnek, genel bir iddianın her zaman doğru olmadığını göstermek için yeterlidir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme için sürekliliğin gerekli bir koşul olması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 198Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=5g(2) = 5
g′(2)=−2g'(2) = -2
eşitlikleri verilmektedir.
Buna göre,
f(x)=x2⋅g(x)−2g(x)−xf(x) = \frac{x^2 \cdot g(x) - 2}{g(x) - x}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010

Cevap

1010 değeri doğru cevaptır.
Çarpım ve bölüm türevi kuralları eksiksiz uygulandığında, payın türevi 1212, paydanın türevi −3-3 olarak bulunur. Bölüm türevi formülüyle bu değerler yerine yazıldığında doğru değer olan 1010 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve payda fonksiyonlarının değerleri ile türev değerlerini belirleyin.
u(x)=x2⋅g(x)−2u(x) = x^2 \cdot g(x) - 2 ve v(x)=g(x)−xv(x) = g(x) - x olarak tanımlayalım. x=2x = 2 için u(2)=22⋅g(2)−2=4⋅5−2=18u(2) = 2^2 \cdot g(2) - 2 = 4 \cdot 5 - 2 = 18 ve v(2)=g(2)−2=5−2=3v(2) = g(2) - 2 = 5 - 2 = 3 olur.
Bölüm türevi formülünde kullanılacak temel bileşenlerin değerlerini bulmak için.
2
Çarpım kuralını kullanarak payın türevini bulun.
u′(x)=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)u'(x) = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) olur. x=2x = 2 noktasındaki değeri: u′(2)=2(2)g(2)+22g′(2)=4(5)+4(−2)=20−8=12u'(2) = 2(2)g(2) + 2^2 g'(2) = 4(5) + 4(-2) = 20 - 8 = 12 olarak hesaplanır.
Pay kısmındaki çarpım durumundaki ifadenin türevini elde etmek için.
3
Paydanın türevini bulun.
v′(x)=g′(x)−1v'(x) = g'(x) - 1 olur. x=2x = 2 noktasındaki değeri: v′(2)=g′(2)−1=−2−1=−3v'(2) = g'(2) - 1 = -2 - 1 = -3 olarak hesaplanır.
Payda kısmının türevini elde etmek için.
4
Bölüm türevi kuralını uygulayarak sonucu hesaplayın.
f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)[v(x)]2f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} formülünden f′(2)=12⋅3−18⋅(−3)32=36+549=909=10f'(2) = \frac{12 \cdot 3 - 18 \cdot (-3)}{3^2} = \frac{36 + 54}{9} = \frac{90}{9} = 10 elde edilir.
Bölüm fonksiyonunun türev değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Çarpım ve Bölüm Kuralları)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 199Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+x+2f(x) = x^2 + x + 2
g(x)=−x2+3x+1g(x) = -x^2 + 3x + 1

eğrilerinin her ikisine de teğet olan doğrulardan birinin yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak teğet doğrularından birinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2 olabilir.
Ortak teğet doğrularının denklemleri y=x+2y = x + 2 ve y=3x+1y = 3x + 1 olarak elde edilir. Bu doğruların y-eksenini kestiği noktaların ordinatları sırasıyla 2 ve 1'dir. Seçeneklerde verilen 2 değeri, bu ortak teğetlerden birinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak teğet doğrusunun denklemini y=mx+ny = mx + n olarak kabul edip, bu doğrunun f(x)=x2+x+2f(x) = x^2 + x + 2 parabolüne teğet olma koşulunu yazalım.
x2+(1−m)x+2−n=0x^2 + (1-m)x + 2-n = 0 denkleminin diskriminantı Δ1=0\Delta_1 = 0 olmalıdır. Buradan 4n=−m2+2m+74n = -m^2 + 2m + 7 elde edilir.
Bir doğrunun parabole teğet olması için ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalı, yani diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır.
2
y=mx+ny = mx + n doğrunun g(x)=−x2+3x+1g(x) = -x^2 + 3x + 1 parabolüne teğet olma koşulunu yazalım.
x2+(m−3)x+n−1=0x^2 + (m-3)x + n-1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ2=0\Delta_2 = 0 olmalıdır. Buradan 4n=m2−6m+134n = m^2 - 6m + 13 elde edilir.
Aynı teğet doğrusunun ikinci parabole de teğet olması için bu ortak çözümün de diskriminantı sıfır olmalıdır.
3
Elde edilen iki 4n4n ifadesini birbirine eşitleyerek ortak teğet doğrularının eğimleri olan mm değerlerini bulalım.
−m2+2m+7=m2−6m+13  ⟹  2m2−8m+6=0  ⟹  m2−4m+3=0  ⟹  m=1-m^2 + 2m + 7 = m^2 - 6m + 13 \implies 2m^2 - 8m + 6 = 0 \implies m^2 - 4m + 3 = 0 \implies m = 1 veya m=3m = 3 bulunur.
Her iki teğet koşulunu da sağlayan ortak eğim değerlerini bulmak amacıyla denklemler ortak çözülür.
4
Bulunan mm değerlerini kullanarak teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktaların ordinatları olan nn değerlerini hesaplayalım.
m=1m = 1 için 4n=−(1)2+2(1)+7=8  ⟹  n=24n = -(1)^2 + 2(1) + 7 = 8 \implies n = 2 bulunur. m=3m = 3 için 4n=−(3)2+2(3)+7=4  ⟹  n=14n = -(3)^2 + 2(3) + 7 = 4 \implies n = 1 bulunur.
nn değeri, doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. Seçeneklerde 2 değeri yer almaktadır.

Anahtar Kavram

İki eğrinin ortak teğet doğrularının bulunması ve türevin geometrik yorumu
Soru 200Soru →
f:R∖{−1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x)=x2−3xx+1f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı -2'dir.
Doğru seçenekte belirtilen -2 değeri, fonksiyonun tanımlı olduğu ve türevinin işaret değiştirdiği x = -3 ve x = 1 yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=(2x−3)(x+1)−(x2−3x)(1)(x+1)2=2x2−x−3−x2+3x(x+1)2=x2+2x−3(x+1)2f'(x) = \frac{(2x-3)(x+1) - (x^2-3x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 - x - 3 - x^2 + 3x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle birinci türevi hesaplamamız gerekir.
2
Türevin payını sıfır yapan kritik noktalar bulunur.
x2+2x−3=0  ⟹  (x+3)(x−1)=0  ⟹  x=−3 veya x=1x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0 \implies x = -3 \text{ veya } x = 1
Türevin sıfır olduğu noktalar, fonksiyonun yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur ve yerel ekstremum noktaları belirlenir.
Paydadaki (x+1)2(x+1)^2 ifadesi x≠−1x \neq -1 için daima pozitif olduğundan, türevin işareti payın işaretine bağlıdır. x=−1x = -1 çift katlı kök olup fonksiyon bu noktada tanımsızdır. İşaret tablosu incelendiğinde; x=−3x = -3 noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum, x=1x = 1 noktasında ise türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum noktası vardır.
Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olması için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir.
4
Bulunan yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplanır.
−3+1=−2-3 + 1 = -2
Soruda bizden yerel ekstremum noktalar��nın apsislerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların yerel ekstremum noktalarının türev yardımıyla bulunması ve paydanın köklerinin ekstremum noktası olamayacağının belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 10 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 10 | Examkin