Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 141Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir olan ff fonksiyonu
f(x)=x3+3x2+(m−2)x+1f(x) = x^3 + 3x^2 + (m-2)x + 1
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonu daima artan olduğuna göre, mm gerçel sayısının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [5,∞)[5, \infty)

Cevap

m gerçel sayısının değer aralığı 5 kapalı, sonsuz açık aralığıdır.
Verilen fonksiyonun daima artan olması için türevi olan ikinci dereceden ifadenin her yerde sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Başkatsayısı pozitif olan bu ifadenin her yerde negatif olmayan değerler alması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Yapılan hesaplamalar sonucunda diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan aralığın 5 kapalı, sonsuz açık aralığı olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevinin alınması
f′(x)=3x2+6x+m−2f'(x) = 3x^2 + 6x + m - 2
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevi incelenir. Fonksiyonun her xx gerçel sayısı için daima artan olması, birinci türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olması (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) anlamına gelir.
2
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunun diskriminant (delta) yardımıyla analiz edilmesi
Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
f′(x)=3x2+6x+(m−2)f'(x) = 3x^2 + 6x + (m-2) ikinci dereceden bir ifadedir. Başkatsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, bu ifadenin her xx gerçel sayısı için negatif olmaması (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) ancak ve ancak diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması ile mümkündür. Δ=0\Delta = 0 durumunda oluşan çift katlı kök, türevin işaretini değiştirmediği için fonksiyonun artanlığını bozmaz.
3
Diskriminant eşitsizliğinin çözülerek m parametresinin aralığının bulunması
m≥5m \geq 5 yani [5,∞)[5, \infty)
f′(x)=3x2+6x+(m−2)f'(x) = 3x^2 + 6x + (m-2) ifadesinde Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır:
Δ=62−4⋅3⋅(m−2)≤0\Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m-2) \leq 0
36−12(m−2)≤036 - 12(m-2) \leq 0
Her iki taraf 12 ile sadeleştirilirse:
3−(m−2)≤0  ⟹  3−m+2≤0  ⟹  5≤m3 - (m-2) \leq 0 \implies 3 - m + 2 \leq 0 \implies 5 \leq m elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her noktada sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu durum diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması koşuluna bağlıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 142Soru →
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Yerel maksimum noktasının apsisi -1 değeridir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x-3)(x+1) ifadesinin işaret tablosunda, x=−1x = -1 noktasında türevin işareti artıdan eksiye geçmektedir. Bu durum, fonksiyonun bu noktada artanlıktan azalanlığa geçtiğini ve dolayısıyla yerel maksimum değerine ulaştığını gösterir. Bu nedenle doğru cevap -1 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının yerini bulmak amacıyla türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek için türev fonksiyonu hesaplanır.
2
Türevin köklerini bulmak için türev ifadesi sıfıra eşitlenir.
3x2−6x−9=0  ⟹  3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03x^2 - 6x - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan kritik noktalar, yerel ekstremum noktası olmaya aday noktalardır.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0, −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
Türevin işaret değişimi incelenerek hangi kritik noktanın yerel maksimum veya yerel minimum olduğu saptanır.
4
İşaret tablosuna göre yerel maksimum noktası belirlenir.
x=−1x = -1 apsisli noktada türevin işareti pozitiften negatife (++'dan −-'ye) geçtiği için fonksiyon bu noktada yerel maksimuma ulaşır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği nokta fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonların yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevin sıfır olduğu yerlerde işaret değişimi incelenir. Türevin işaretinin pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.
Tahmini Süre:50s
Soru 143Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=12x2−4xf(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

g(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
g(x) fonksiyonunun türevi sıfırdan küçük veya eşitlendiğinde elde edilen eşitsizliğin çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamları 9 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulun ve türev denkleminde yerine yazın.
f′(x)=x−4  ⟹  f′(x2−3x)=x2−3x−4f'(x) = x - 4 \implies f'(x^2 - 3x) = x^2 - 3x - 4 ve g′(x)=(x2−3x−4)(2x−3)g'(x) = (x^2 - 3x - 4)(2x - 3)
Türevin işaret incelemesini yapabilmek için fonksiyonun açık ifadesine ulaşmamız gerekir.
3
g′(x)g'(x) ifadesini çarpanlarına ayırıp köklerini belirleyin.
g′(x)=(x−4)(x+1)(2x−3)=0  ⟹  x1=−1,x2=1.5,x3=4g'(x) = (x-4)(x+1)(2x-3) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1.5, x_3 = 4
İşaret tablosu oluşturabilmek için türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.
4
g′(x)≤0g'(x) \leq 0 eşitsizliği için işaret tablosu oluşturarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları belirleyin.
Azalan olduğu aralıklar: (−∞,−1](-\infty, -1] ve [1.5,4][1.5, 4]
Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklar, fonksiyonun azalan olduğu aralıklardır.
5
Belirlenen aralıklarda yer alan pozitif tam sayıları bulun ve toplayın.
Pozitif tam sayılar: 2,3,42, 3, 4 ve toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9
(−∞,−1](-\infty, -1] aralığında pozitif tam sayı yoktur. [1.5,4][1.5, 4] aralığındaki pozitif tam sayılar ise 2,32, 3 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenir. Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 144Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x3−g(2x))=3x2−4x+1f(x^3 - g(2x)) = 3x^2 - 4x + 1
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=3g(2) = 3
f′(−2)=2f'(-2) = 2
olduğuna göre, g′(2)g'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 1 değeridir.
Verilen fonksiyon eşitliğinde her iki tarafın türevi zincir kuralına uygun şekilde alındığında f′(x3−g(2x))⋅(3x2−2g′(2x))=6x−4f'(x^3 - g(2x)) \cdot (3x^2 - 2g'(2x)) = 6x - 4 denklemi elde edilir. Burada x=1x = 1 yazılıp bilinen değerler yerine konulduğunda g′(2)=1g'(2) = 1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır. Sol tarafta bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı uygulanır.
f′(x3−g(2x))⋅(3x2−2g′(2x))=6x−4f'(x^3 - g(2x)) \cdot (3x^2 - 2g'(2x)) = 6x - 4
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre [f(u(x))]′=f′(u(x))⋅u′(x)[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x) ve zincir kuralına göre [g(2x)]′=2g′(2x)[g(2x)]' = 2g'(2x) olur.
2
Verilen g(2)=3g(2) = 3 ve f′(−2)=2f'(-2) = 2 değerlerini denklemde yerine koyabilmek amacıyla türev eşitliğinde x=1x = 1 yazılır.
f′(1−g(2))⋅(3⋅12−2g′(2))=6⋅1−4  ⟹  f′(−2)⋅(3−2g′(2))=2f'(1 - g(2)) \cdot (3 \cdot 1^2 - 2g'(2)) = 6 \cdot 1 - 4 \implies f'(-2) \cdot (3 - 2g'(2)) = 2
x=1x = 1 seçildiğinde türevlenebilir fonksiyonların içindeki ifadeler bilinen değerlerle eşleşir.
3
Verilen f′(−2)=2f'(-2) = 2 değeri yerine yazılarak denklem g′(2)g'(2) için çözülür.
2⋅(3−2g′(2))=2  ⟹  3−2g′(2)=1  ⟹  2g′(2)=2  ⟹  g′(2)=12 \cdot (3 - 2g'(2)) = 2 \implies 3 - 2g'(2) = 1 \implies 2g'(2) = 2 \implies g'(2) = 1
Ende edilen birinci dereceden denklem çözülerek aranan türev değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralının uygulanması ve içteki fonksiyonun türevinin çarpım olarak yazılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 145Soru →
f(x)=x33−9x2+45x+4f(x) = \frac{x^3}{3} - 9x^2 + 45x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen fonksiyonun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 13'tür.
Zincir kuralı yardımıyla g'(x) fonksiyonunun türevi alınıp çarpanlarına ayrıldığında kökler -3, -1, 1, 3, 5 olarak bulunur. İşaret tablosunda g'(x)'in negatif olduğu bölgelerdeki pozitif tam sayılar 1, 3, 4, 5'tir ve toplamları 13 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevini alıp çarpanlarına ayırın.
f′(x)=x2−18x+45=(x−3)(x−15)f'(x) = x^2 - 18x + 45 = (x - 3)(x - 15)
Bileşke fonksiyonun türevinde kullanmak üzere f' fonksiyonunun kuralını elde etmek.
2
Zincir kuralını uygulayarak g'(x) türevini yazın.
g′(x)=(2x−2)⋅f′(x2−2x)g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)
g(x) fonksiyonunun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonunu bulmak.
3
f' fonksiyonunda x yerine x^2 - 2x yazarak g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayır��n.
g′(x)=2(x−1)(x2−2x−3)(x2−2x−15)=2(x−1)(x−3)(x+1)(x−5)(x+3)g'(x) = 2(x - 1)(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 15) = 2(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x - 5)(x + 3)
Türev fonksiyonunun köklerini bulmak için ifadeyi doğrusal çarpanlarına ayırmak.
4
g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulun ve küçükten büyüğe sıralayın.
Kökler: −3,−1,1,3,5-3, -1, 1, 3, 5
İşaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek.
5
g'(x) için işaret tablosu oluşturarak azalanlık (g′(x)≤0g'(x) \leq 0) aralıklarını belirleyin.
Azalan aralıklar: (−∞,−3]∪[−1,1]∪[3,5](-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, 5]
Türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler fonksiyonun azalan olduğu bölgelerdir.
6
Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları toplayın.
1+3+4+5=131 + 3 + 4 + 5 = 13
Soruda istenen pozitif tam sayıların toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalıdır.
Soru 146Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=3(x−a)(x−b)f'(x) = 3(x-a)(x-b)
eşitliği sağlanmaktadır.

aa ve bb birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları arasındaki uzaklık 20\sqrt{20} birimdir.

Buna göre, ∣a−b∣|a-b| değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

22 değeri doğrudur.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri aa ve bb olup, fonksiyonun ordinat değerleri arasındaki farkın mutlak değeri ∣f(a)−f(b)∣=∣a−b∣32|f(a)-f(b)| = \frac{|a-b|^3}{2} şeklinde elde edilir. İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak d2+d64=20d^2 + \frac{d^6}{4} = 20 denklemi yazılır ve buradan d=2d = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleme
Türev fonksiyonu olan f′(x)=3(x−a)(x−b)f'(x) = 3(x-a)(x-b) ifadesinin kökleri x=ax = a ve x=bx = b'dir. a≠ba \neq b olduğundan, türev bu noktalarda işaret değiştirir ve dolayısıyla ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri aa ve bb olur.
Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği kökleridir.
2
Ekstremum noktalarının ordinatları arasındaki farkı cebirsel olarak ifade etme
f′(x)=3x2−3(a+b)x+3abf'(x) = 3x^2 - 3(a+b)x + 3ab integral alınarak fonksiyon f(x)=x3−32(a+b)x2+3abx+Cf(x) = x^3 - \frac{3}{2}(a+b)x^2 + 3abx + C şeklinde elde edilir. Buradan f(a)−f(b)=−12(a−b)3f(a) - f(b) = -\frac{1}{2}(a-b)^3 bulunur.
Noktalar arasındaki uzaklığı hesaplamak için ekstremum noktalarının koordinatları belirlenmelidir.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama
A(a,f(a))A(a, f(a)) ve B(b,f(b))B(b, f(b)) noktaları arasındaki uzaklık d=(a−b)2+(f(a)−f(b))2d = \sqrt{(a-b)^2 + (f(a)-f(b))^2} formülüyle hesaplanır. Buradan (a−b)2+(a−b)64=20(a-b)^2 + \frac{(a-b)^6}{4} = 20 elde edilir.
İki noktanın koordinatları bilindiğinde aralarındaki uzaklık Pisagor teoremi yardımıyla bulunur.
4
Elde edilen denklemi çözerek ∣a−b∣|a-b| değerini bulma
u=(a−b)2u = (a-b)^2 dönüşümü yapılırsa, u+u34=20  ⟹  u3+4u−80=0u + \frac{u^3}{4} = 20 \implies u^3 + 4u - 80 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin tek gerçel kökü u=4u = 4'tür. Buradan ∣a−b∣=4=2|a-b| = \sqrt{4} = 2 bulunur.
Cebirsel dereceyi düşürerek ∣a−b∣|a-b| değerini elde etmek için değişken dönüştürme yöntemi kullanılır.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri türevinin tek katlı kökleridir ve bu noktalar arasındaki geometrik uzaklık iki nokta arası uzaklık formülü ile bulunur.
Soru 147Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(2x−g(x))=x2−3x+4f(2x - g(x)) = x^2 - 3x + 4
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=3g(2) = 3
g′(2)=4g'(2) = 4
olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12-\frac{1}{2}

Cevap

−12-\frac{1}{2}
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı uyarınca sol tarafta f′(2x−g(x))⋅(2−g′(x))f'(2x - g(x)) \cdot (2 - g'(x)) ifadesi oluşur. Denklemde f′(1)f'(1) değerine ulaşmak amacıyla x=2x = 2 yazılır. Soruda verilen g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=4g'(2) = 4 değerleri yerine konduğunda f′(1)⋅(2−4)=4−3f'(1) \cdot (2 - 4) = 4 - 3 denklemi elde edilir. Buradan f′(1)⋅(−2)=1f'(1) \cdot (-2) = 1 olup doğru sonuç −12-\frac{1}{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevini alın.
f′(2x−g(x))⋅(2−g′(x))=2x−3f'(2x - g(x)) \cdot (2 - g'(x)) = 2x - 3
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Elde edilen türev denkleminde f′(1)f'(1) değerine ulaşmak için 2x−g(x)=12x - g(x) = 1 eşitliğini sağlayan xx değerini belirleyin.
x=2x = 2 için 2(2)−g(2)=4−3=12(2) - g(2) = 4 - 3 = 1 elde edilir.
Soruda g(2)=3g(2) = 3 bilgisi verildiği için x=2x = 2 yazıldığında bileşke fonksiyonun içinin 11 olduğu görülür.
3
Türev denkleminde x=2x = 2 yazarak bilinen g′(2)=4g'(2) = 4 değerini yerine yerleştirin ve f′(1)f'(1) değerini yalnız bırakın.
f′(1)⋅(2−g′(2))=2(2)−3⇒f′(1)⋅(2−4)=1⇒f′(1)⋅(−2)=1⇒f′(1)=−12f'(1) \cdot (2 - g'(2)) = 2(2) - 3 \Rightarrow f'(1) \cdot (2 - 4) = 1 \Rightarrow f'(1) \cdot (-2) = 1 \Rightarrow f'(1) = -\frac{1}{2}
Verilen türev değerleri denklemde yerine konularak basit bir birinci dereceden denklem çözümüyle bilinmeyen türev değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir.

Alternatif Yöntem

Zincir kuralı formülü doğrudan uygulanmak yerine, diferansiyel gösterimi kullanılarak u=2x−g(x)u = 2x - g(x) dönüşümüyle dy/dx=(dy/du)⋅(du/dx)dy/dx = (dy/du) \cdot (du/dx) bağıntısı üzerinden de çözüm gerçekleştirilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 148Soru →
Doğrusal bir yol boyunca hareket eden bir hareketlinin zamana (tt, saniye) bağlı konum fonksiyonu
s(t)=t2+ts(t) = t^2 + t
metre olarak verilmiştir.

Buna göre,
I. Hareketlinin [1,3][1, 3] saniye aralığındaki ortalama hızı 5 m/s5\text{ m/s}'dir.
II. Hareketlinin t=2t = 2. saniyedeki anlık hızı 6 m/s6\text{ m/s}'dir.
III. Hareketlinin t=3t = 3. saniyedeki anlık hızı 7 m/s7\text{ m/s}'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III öncülleri doğrudur.
I ve III öncüllerini içeren seçenek doğrudur. Çünkü [1,3][1, 3] saniye aralığındaki ortalama hız s(3)−s(1)3−1=5 m/s\frac{s(3)-s(1)}{3-1} = 5\text{ m/s} ve t=3t=3 anındaki anlık hız s′(3)=7 m/ss'(3) = 7\text{ m/s} olarak doğru hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortalama hızın hesaplanması
[1,3][1, 3] saniye aralığındaki ortalama hız s(3)−s(1)3−1=12−22=5 m/s\frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{12 - 2}{2} = 5\text{ m/s} olarak bulunur. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Bir fonksiyonun belli bir aralıktaki ortalama değişim oranı (ortalama hızı), fonksiyon değerlerinin farkının bağımsız değişkenlerin farkına oranına eşittir.
2
Konum fonksiyonunun türevinin (hız fonksiyonunun) bulunması
s′(t)=2t+1s'(t) = 2t + 1 hız fonksiyonu elde edilir.
Bir hareketlinin anlık hızı, konum fonksiyonunun zamana göre anlık değişim oranıdır ve bu da konum fonksiyonunun türevi ile bulunur.
3
t=2t = 2 noktasındaki anlık hızın hesaplanması
s′(2)=2(2)+1=5 m/ss'(2) = 2(2) + 1 = 5\text{ m/s} olarak bulunur. Öncüldeki 6 m/s6\text{ m/s} ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
t=2t=2 noktasındaki anlık hız, hız fonksiyonunda t=2t=2 yazılarak hesaplanır.
4
t=3t = 3 noktasındaki anlık hızın hesaplanması
s′(3)=2(3)+1=7 m/ss'(3) = 2(3) + 1 = 7\text{ m/s} olarak bulunur. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.
t=3t=3 noktasındaki anlık hız, hız fonksiyonunda t=3t=3 yazılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Anlık değişim oranı türeve eşittir. Ortalama değişim oranı ise fonksiyon değerlerinin değişiminin zaman aralığına oranıdır.
Soru 149Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir ff fonksiyonu ve bir aa gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.

II. ff fonksiyonu x=ax = a noktasında sürekli ve ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilirdir.

III. ff fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II ifadesi her zaman doğrudur.
Yalnız II ifadesi doğrudur. Sürekli bir fonksiyonun mutlak değeri bir noktada türevlenebiliyorsa, o noktada fonksiyonun kendisi भी türevlenebilirdir. Eğer fonksiyonun o noktadaki değeri sıfırdan farklıysa fonksiyon işaret değiştirmediği için türevlenebilirlik korunur; eğer sıfıra eşitse mutlak değer fonksiyonu orada bir yerel minimuma sahip olur ve bu da türev değerinin sıfır olmasını gerektirerek orijinal fonksiyonun da türevini sıfır yapar.

Adım Adım Çözüm

1
I. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek geliştirmek.
f(x)=1f(x) = 1 (x≥ax \geq a için) ve f(x)=−1f(x) = -1 (x<ax < a için) olarak tanımlanan parçalı fonksiyon ele alındığında, ∣f(x)∣=1|f(x)| = 1 olur. Sabit fonksiyon olan ∣f∣|f| her yerde (ve dolayısıyla x=ax = a noktasında) türevlenebilirdir. Ancak ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sağdan limiti 11, soldan limiti −1-1 olduğundan bu noktada sürekli değildir.
Bir ��nermenin genel geçerliliğini çürütmek için en az bir karşıt örnek göstermek yeterlidir.
2
II. ifadenin ispatını iki ayrı durum (f(a)≠0f(a) \neq 0 ve f(a)=0f(a) = 0) altında gerçekleştirmek.
Durum 1: f(a)≠0f(a) \neq 0 olsun. Süreklilik nedeniyle aa noktasının küçük bir komşuluğunda ff işaret değiştirmez. Bu komşulukta ∣f(x)∣=f(x)|f(x)| = f(x) veya ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x) olur. ∣f∣|f| türevlenebildiğinden ff de türevlenebilirdir. Durum 2: f(a)=0f(a) = 0 olsun. ∣f(x)∣≥0=∣f(a)∣|f(x)| \geq 0 = |f(a)| olduğundan x=ax=a noktası ∣f∣|f| için bir yerel minimumdur. Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremumundaki türevi 00 olacağından (∣f∣)′(a)=0(|f|)'(a) = 0 olur. Buradan \lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{x-a} = 0 \implies \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} = 0 olur. olur. f(a)=0 oldug˘undanbulimit olduğundan bu limit f'(a) = 0$ olduğunu gösterir.
Sürekli bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasının, fonksiyonun kendi türevlenebilirliğini gerektirdiğini matematiksel olarak doğrulamak.
3
III. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek bulmak.
f(x)=x−af(x) = x - a doğrusal fonksiyonu her yerde ve dolayısıyla x=ax = a noktasında türevlenebilirdir (f′(a)=1f'(a) = 1). Ancak ∣f(x)∣=∣x−a∣|f(x)| = |x - a| fonksiyonunun x=ax = a noktasında grafiğinde bir sivri uç (kırılma) oluşur. Bu noktada sağdan türev 11, soldan türev −1-1 olduğundan ∣f∣|f| fonksiyonunun x=ax = a noktasında türevi yoktur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır değerini aldığı noktalarda türevini kaybedebileceğini göstermek.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki mantıksal ilişki ve mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilme koşulları.
Soru 150Soru →

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(x)=x2−2x+2g(x) = x^2 - 2x + 2

eşitliği verilmektedir.
f(2)=2f(2) = 2
f′(2)=3f'(2) = 3

olduğuna göre, h(x)=(f∘f)(x)+(f∘g)(x)h(x) = (f \circ f)(x) + (f \circ g)(x) biçiminde tanımlanan hh fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Soruda istenen türev değeri 15'tir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı zincir kuralına dayanır. h′(x)=f′(f(x))⋅f′(x)+f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) + f'(g(x)) \cdot g'(x) ifadesinde verilen değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)h(x) fonksiyonunun türev ifadesini bileşke fonksiyonun türev kuralını kullanarak yazmak
h′(x)=f′(f(x))⋅f′(x)+f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) + f'(g(x)) \cdot g'(x)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki değerini ve türevini bulmak
g(2)=2g(2) = 2 ve g′(2)=2g'(2) = 2
Türev ifadesinde g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.
3
Elde edilen değerleri h′(2)h'(2) ifadesinde yerine yazıp sonucu hesaplamak
h′(2)=3⋅3+3⋅2=15h'(2) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 15
Verilen f(2)=2f(2) = 2, f′(2)=3f'(2) = 3 değerleri ve hesaplanan g(2)=2g(2) = 2, g′(2)=2g'(2) = 2 değerleri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 151Soru →
f(x)=∣x2−9∣−axf(x) = |x^2 - 9| - ax fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde tam olarak 3 tane yerel ekstremum noktası olduğu bilinmektedir. Buna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Fonksiyonun 3 yerel ekstremum noktasına sahip olmasını sağlayan 11 farklı tam sayı değeri vardır.
Fonksiyonun tam olarak 3 adet yerel ekstremum noktasına sahip olabilmesi için −6<a<6-6 < a < 6 koşulunun sağlanması gerekir. Bu aralıkta yer alan tam sayıların sayısı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerin kritik noktalarını belirleyip fonksiyonu parçalı biçimde yazın.
x<−3x < -3 veya x>3x > 3 için f(x)=x2−ax−9f(x) = x^2 - ax - 9; −3<x<3-3 < x < 3 için f(x)=9−x2−axf(x) = 9 - x^2 - ax elde edilir.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi, fonksiyonun farklı aralıklardaki cebirsel ifadesini belirlemek için gereklidir.
2
Aralıklara göre fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyin.
∣x∣>3|x| > 3 için f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a ve buradan kritik nokta x=a/2x = a/2 bulunur. ∣x∣<3|x| < 3 için f′(x)=−2x−af'(x) = -2x - a ve buradan kritik nokta x=−a/2x = -a/2 bulunur.
Ekstremum noktalarının bulunabilmesi için türevin işaret değiştirdiği yerel noktalar veya köşeler aranmalıdır.
3
Ekstremum noktası sayısının tam olarak 3 olması için gereken parametre sınırını analiz edin.
−6<a<6-6 < a < 6 olduğunda x=−a/2x = -a/2 noktası (−3,3)(-3, 3) aralığına düşer ve yerel maksimum olur. Aynı zamanda türevin bu aralıktaki sınırlarında (x=−3x = -3 ve x=3x = 3) işaret değişimi gerçekleşerek iki adet yerel minimum noktası oluşur. Toplamda 3 ekstremum noktası elde edilir.
Parametrenin sınır değerleri aşıldığında türevin kökleri ilgili aralıkların dışına çıkmakta ve köşe noktalarında yön değişimi engellendiği için ekstremum sayısı 1'e düşmektedir.
4
Bulunan aralıktaki tam sayıların adedini hesaplayın.
−6<a<6-6 < a < 6 aralığındaki tam sayılar {−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} olup 11 adettir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısını belirleyerek sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Fonksiyonun türevlenemediği köşe noktalarında da (sağ ve sol türev işaretleri zıt olmak koşuluyla) ekstremum noktaları bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 152Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Fonksiyonun yerel minimum değeri 0'dır.
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kritik noktalardan x=2x = 2 noktasında türev işaret değiştirerek negatiften pozitife geçmektedir. Bu yüzden x=2x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır ve bu noktadaki fonksiyon değeri f(2)=0f(2) = 0 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x
Ekstremum noktalarının apsislerini (kritik noktaları) bulmak için fonksiyonun türevi alınmalıdır.
2
Türevin kökleri (kritik noktalar) bulunur.
3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=0  ⟹  x1=03x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosu yapılarak yerel minimum noktası belirlenir.
x<0x < 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), 0<x<20 < x < 2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x>2x > 2 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Bu durumda x=2x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır.
Türevin işareti negatiften pozitife döndüğü nokta yerel minimum noktasıdır.
4
Yerel minimum noktasının ordinatı (yerel minimum değeri) hesaplanır.
f(2)=23−3(2)2+4=8−12+4=0f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0
Yerel minimum değeri, bu noktanın fonksiyondaki görüntüsüdür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri bulunur ve işaret tablosu yardımıyla ekstremum noktalarının türü belirlenir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 153Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=14x2+6f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 6
g(x)=−14x2+4g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

ff fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir AA noktasından çizilen teğet doğrusu ile gg fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir BB noktasından çizilen teğet doğrusu dik kesişmektedir.

Bu teğet doğruları yy ekseni üzerindeki bir PP noktasında kesi��tiğine göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kesişim noktasının ordinat�� 5'tir.
Soruda verilen fonksiyonların türevleri alınıp teğet eğimleri çarpımı −1-1'e eşitlendiğinde ab=4ab=4 elde edilir. Teğetlerin yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları eşitlenirse a2+b2=8a^2+b^2=8 denklemine ulaşılır. Buradan a2=4a^2=4 bulunur ve kesişim noktasının ordinatı 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktalarını değişkenler cinsinden yazma
A(a,14a2+6)A\left(a, \frac{1}{4}a^2+6\right) ve B(b,−14b2+4)B\left(b, -\frac{1}{4}b^2+4\right)
Teğet noktalarının koordinatlarını belirlemek i��in genel formüller yazılır.
2
Türev yardımıyla teğet eğimlerini hesaplama
m1=a2m_1 = \frac{a}{2} ve m2=−b2m_2 = -\frac{b}{2}
Teğet doğrusunun eğimi, değme noktasındaki türev değerine eşittir.
3
Doğruların diklik şartını uygulama
ab=4ab = 4
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
4
Kesişim noktasının y ekseni üzerinde olma şartını kullanma
a2+b2=8a^2 + b^2 = 8
Teğetlerin yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları birbirine eşit olmalıdır.
5
Elde edilen denklem sisteminden teğet noktalarının apsislerinin karelerini bulma
a2=4a^2 = 4 ve b2=4b^2 = 4
a2+b2=8a^2+b^2=8 ve a2b2=16a^2b^2=16 eşitlikleri çözüldüğünde tam kare ifade elde edilir.
6
Kesişim noktasının ordinatını bulma
5
a2=4a^2=4 değeri teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinat ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, dik kesişen doğruların eğimleri ilişkisi ve analitik geometri uygulamaları.
Soru 154Soru →
Tanımlı olduğu kümede f(x)=3x+1f(x) = \sqrt{3x+1} fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
lim⁡h→0f(5+4h)−f(5−4h)h \lim_{h \to 0} \frac{f(5+4h) - f(5-4h)}{h}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limitin değeri 3 olarak bulunur.
Verilen limit ifadesi türevin limit tanımına göre düzenlendiğinde 8f′(5)8f'(5) değerine karşılık gelir. f(x)=3x+1f(x) = \sqrt{3x+1} fonksiyonunun türevi alınıp x=5x = 5 yazıldığında elde edilen f′(5)=38f'(5) = \frac{3}{8} değeri limit ifadesinde yerine yazılırsa limitin değeri 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türev tanımına benzetmek.
lim⁡h→0f(5+4h)−f(5−4h)h=8f′(5)\lim_{h \to 0} \frac{f(5+4h) - f(5-4h)}{h} = 8f'(5)
Türevin limit tanımı gereği lim⁡h→0f(x+ah)−f(x−bh)h=(a+b)f′(x)\lim_{h \to 0} \frac{f(x+ah) - f(x-bh)}{h} = (a+b)f'(x) eşitliği geçerlidir. Burada a=4a=4 ve b=4b=4 olduğundan limit 8f′(5)8f'(5) değerine eşittir.
2
Fonksiyonun türevini hesaplamak.
f′(x)=323x+1f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}
g(x)=u(x)g(x) = \sqrt{u(x)} ise g′(x)=u′(x)2u(x)g'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} kuralı uygulanır.
3
x=5x = 5 noktasındaki türev değerini bulmak.
f′(5)=38f'(5) = \frac{3}{8}
Türev fonksiyonunda xx yerine 55 yazıldığında f′(5)=323⋅5+1=3216=38f'(5) = \frac{3}{2\sqrt{3\cdot 5+1}} = \frac{3}{2\sqrt{16}} = \frac{3}{8} elde edilir.
4
Limit değerini hesaplamak.
8⋅38=38 \cdot \frac{3}{8} = 3
İlk adımda elde edilen 8f′(5)8f'(5) ifadesinde f′(5)f'(5) değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı kullanılarak bir noktalı değişim oranının türev değeriyle ilişkilendirilmesi
Soru 155Soru →

f(x)=x2+5x+1f(x) = x^2 + 5x + 1 fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x=−1x = -1 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türev değerine eşit olduğundan doğru cevap 3'tür.
Verilen f(x)=x2+5x+1f(x) = x^2 + 5x + 1 fonksiyonunun türevi alındığında f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5 elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi, eğrinin teğet noktasındaki türevine eşit olduğundan, x=−1x = -1 apsisli noktadaki teğetin eğimi m=f′(−1)m = f'(-1) olur. Buradan m=2(−1)+5=3m = 2(-1) + 5 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5
Bir fonksiyonun grafiğine herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak için öncelikle fonksiyonun türev kuralı elde edilmelidir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine −1-1 yazılır.
f′(−1)=2(−1)+5=3f'(-1) = 2(-1) + 5 = 3
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasının apsisindeki türev değeridir. Bu nedenle türevde x=−1x = -1 yazılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 156Soru →

mm bir gerçel sayı ve m≠−1m \neq -1 olmak üzere,

f(x)=x2−mx+1x2+x+1f(x) = \frac{x^2 - mx + 1}{x^2 + x + 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı 44 olduğuna göre, ff fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Yerel minimum değeri -2 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevi alınıp sadeleştirildiğinde kritik noktalar -1 ve 1 olarak bulunur. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerinin ortalaması olan y-kesim noktası formülü kullanılarak m değeri 8 olarak elde edilir. m = 8 için türev tablosu yapıldığında, fonksiyonun x = 1 noktasında yerel minimuma sahip olduğu görülür. Fonksiyonda x = 1 yazılarak yerel minimum değeri -2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak f(x) fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=(2x−m)(x2+x+1)−(2x+1)(x2−mx+1)(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(2x - m)(x^2 + x + 1) - (2x + 1)(x^2 - mx + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
Ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun birinci türevi bulunmalıdır.
2
Türev ifadesinin pay kısmı düzenlenerek sadeleştirilir.
f′(x)=(m+1)(x2−1)(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(m + 1)(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
Kritik noktaları daha rahat görebilmek için türevi çarpanlarına ayırmak gerekir.
3
Türevi sıfır yapan kritik noktalar (apsisler) bulunur.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=1x_2 = 1
x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 denkleminin gerçel kökü olmadı��ından, türevin kökleri yalnızca payı sıfır yapan değerlerdir.
4
Yerel ekstremum noktalarının koordinatları belirlenir.
A(−1,m+2)A(-1, m + 2) ve B(1,2−m3)B\left(1, \frac{2 - m}{3}\right)
Kritik noktaların apsisleri orijinal fonksiyonda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
5
A ve B noktalarının orta noktası bulunur. Bu noktaların apsislerinin toplamının yarısı 0 olduğundan, orta nokta doğrudan y-ekseni üzerindedir ve doğrunun y-kesim noktasıdır.
Orta Nokta=(0,(m+2)+2−m32)=(0,m+43)Orta\ Nokta = \left(0, \frac{(m + 2) + \frac{2 - m}{3}}{2}\right) = \left(0, \frac{m + 4}{3}\right)
Simetrik apsislere (-1 ve 1) sahip iki noktadan geçen doğrunun y-eksenini kestiği nokta, bu noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
6
y-kesim noktasının ordinatı 4'e eşitlenerek m değeri bulunur.
m+43=4  ⟹  m=8\frac{m + 4}{3} = 4 \implies m = 8
Soruda doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 4 olarak verilmiştir.
7
m = 8 değeri için türevin işareti incelenerek yerel minimum noktası saptanır ve değeri hesaplanır.
m=8>−1m = 8 > -1 olduğundan türevin işareti x=1x = 1 noktasında negatiften pozitife geçer. Dolayısıyla x=1x = 1 yerel minimum noktasıdır. Yerel minimum değeri: f(1)=2−83=−2f(1) = \frac{2 - 8}{3} = -2
Türevin işaret değiştirdiği yön analiz edilerek yerel minimum noktasının ordinat değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyonun bu noktalardaki teğetlerinin eğimi sıfırdır.
Soru 157Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için türevi negatiftir.

Buna göre,
g(x)=f(x2−8x+12)g(x) = f(x^2 - 8x + 12)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,4](-\infty, 4]

Cevap

(−∞,4](-\infty, 4] aralığı
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı gereğince g′(x)=(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)g'(x) = (2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12) şeklindedir. Soruda ff fonksiyonunun türevinin daima negatif olduğu belirtildiğinden f′(x2−8x+12)<0f'(x^2 - 8x + 12) < 0 olur. Fonksiyonun artan olması için türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) gerekir. Negatif bir çarpanla çarpıldığında sonucun sıfırdan büyük veya eşit olması için diğer çarpanın sıfırdan küçük veya eşit olması (2x−8≤02x - 8 \leq 0) şarttır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x≤4x \leq 4 elde edilir ve en geniş aralık (−∞,4](-\infty, 4] olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)g'(x) = (2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretinin incelenmesi gerekir.
2
Soruda verilen ff fonksiyonunun türevinin daima negatif olduğu bilgisini kullanarak türev çarpanlarının işaretini belirleyin.
f′(x2−8x+12)<0f'(x^2 - 8x + 12) < 0
Her xx gerçel sayısı için f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan, bileşke fonksiyon türevindeki f′f' terimi daima negatiftir.
3
Fonksiyonun artan olması için türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği koşulunu (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) çözün.
(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)≥0  ⟹  2x−8≤0  ⟹  x≤4(2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12) \geq 0 \implies 2x - 8 \leq 0 \implies x \leq 4
Çarpanlardan biri daima negatif (f′<0f' < 0) olduğundan, çarpımın sonucunun pozitif veya sıfır olması için diğer çarpan olan (2x−8)(2x - 8) ifadesinin negatif veya sıfır olması şarttır. Buradan en geniş aralık (−∞,4](-\infty, 4] olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık analizi ve bileşke fonksiyonların türevi.
Soru 158Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=x3−3ax2+bx+1f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx + 1
eğrisinin x=1x = 1 ve x=3x = 3 apsisli noktalarındaki teğetleri birbirine paraleldir.

Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık 455\frac{4\sqrt{5}}{5} birim olduğuna göre, bb gerçel sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

b gerçel sayısının alabileceği en küçük değer 7'dir.
Teğetlerin paralel olması eğimlerinin (türevlerinin) eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlikten a=2a = 2 bulunur. Daha sonra teğet noktaları belirlenerek iki teğet doğrusunun denklemleri genel formda yazılır. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü kullanılarak elde edilen denklem çözüldüğünde bb için 77 ve 1111 değerleri bulunur. En küçük değer sorulduğundan doğru yanıt 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır ve teğetlerin paralel olma koşulu kurulur.
f′(x)=3x2−6ax+bf'(x) = 3x^2 - 6ax + b elde edilir. Teğetler paralel olduğundan eğimleri eşittir, yani f′(1)=f′(3)f'(1) = f'(3) olur.
Bir eğrinin üzerindeki noktalardan çizilen teğetlerin eğimleri, o noktalardaki türev değerlerine eşittir.
2
f′(1)=f′(3)f'(1) = f'(3) eşitli��i çözülerek aa parametresi bulunur.
3(1)2−6a(1)+b=3(3)2−6a(3)+b  ⟹  3−6a=27−18a  ⟹  12a=24  ⟹  a=23(1)^2 - 6a(1) + b = 3(3)^2 - 6a(3) + b \implies 3 - 6a = 27 - 18a \implies 12a = 24 \implies a = 2 bulunur.
Teğetlerin eğim eşitliğinden bilinmeyen parametrelerden biri belirlenir.
3
a=2a = 2 değeri yerine yazılarak teğet doğrularının denklemleri oluşturulur.
Eğim m=f′(1)=b−9m = f'(1) = b - 9 olur. x=1x = 1 için teğet noktası (1,f(1))=(1,b−4)(1, f(1)) = (1, b-4)'tür. Teğet denklemi: y−(b−4)=(b−9)(x−1)  ⟹  (b−9)x−y+5=0y - (b-4) = (b-9)(x-1) \implies (b-9)x - y + 5 = 0 olur. x=3x = 3 için teğet noktası (3,f(3))=(3,3b−26)(3, f(3)) = (3, 3b-26)'dır. Teğet denklemi: y−(3b−26)=(b−9)(x−3)  ⟹  (b−9)x−y+1=0y - (3b-26) = (b-9)(x-3) \implies (b-9)x - y + 1 = 0 olur.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü kullanabilmek için her iki doğrunun genel denklemi yazılır.
4
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak bb değerleri bulunur ve en küçüğü seçilir.
d=∣5−1∣(b−9)2+(−1)2=4(b−9)2+1=45  ⟹  (b−9)2+1=5  ⟹  (b−9)2=4  ⟹  b−9=±2d = \frac{|5 - 1|}{\sqrt{(b-9)^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{(b-9)^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \implies (b-9)^2 + 1 = 5 \implies (b-9)^2 = 4 \implies b - 9 = \pm 2 olur. Buradan b=11b = 11 veya b=7b = 7 bulunur. En küçük değer 77 olur.
Verilen uzaklık değeri kullanılarak bb parametresinin alabileceği değerler hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu kullanılarak teğet doğrularının eğimlerinin bulunması ve analitik geometrideki paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülüyle ilişkilendirilmesi.
Soru 159Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
parabolüne dışındaki bir P(a,b)P(a, b) noktasından çizilen teğet doğruları birbirine diktir.
PP noktası
g(x)=−x2+4x+kg(x) = -x^2 + 4x + k
parabolünün tepe noktası olduğuna göre, kk kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −94-\frac{9}{4}

Cevap

k sayısının de��eri -9/4 olmalıdır.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin dik kesişme şartı olan eğimler çarpımının −1-1 olması kuralı ve parabolün tepe noktası koordinatları eksiksiz uygulanarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2
Parabol üzerindeki herhangi bir teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimini veren fonksiyonu bulmak için türev alınır.
2
Parabol üzerindeki genel bir T(t,t2−2t+3)T(t, t^2 - 2t + 3) teğet noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi yazılır.
y−(t2−2t+3)=(2t−2)(x−t)⇒y=(2t−2)x−t2+3y - (t^2 - 2t + 3) = (2t - 2)(x - t) \Rightarrow y = (2t - 2)x - t^2 + 3
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü uygulanarak teğet doğrusunun genel denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun dışındaki P(a,b)P(a, b) noktasından geçtiği bilgisi kullanılarak tt değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
b=(2t−2)a−t2+3⇒t2−2at+2a+b−3=0b = (2t - 2)a - t^2 + 3 \Rightarrow t^2 - 2at + 2a + b - 3 = 0
P(a,b)P(a, b) noktası teğet doğrusunun üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.
4
Çizilen teğet doğrularının birbirine dik olması koşulu kökler cinsinden ifade edilir.
m1⋅m2=−1⇒(2t1−2)(2t2−2)=−1⇒4(t1t2−(t1+t2)+1)=−1m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow (2t_1 - 2)(2t_2 - 2) = -1 \Rightarrow 4(t_1 t_2 - (t_1 + t_2) + 1) = -1
Teğet noktalarının apsisleri t1t_1 ve t2t_2, teğetlerin eğimleri ise m1=2t1−2m_1 = 2t_1 - 2 ve m2=2t2−2m_2 = 2t_2 - 2 olup, dik doğruların eğimler çarpımı −1-1'dir.
5
Elde edilen tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemden kökler toplamı ve kökler çarpımı çekilerek diklik bağıntısında yerine yazılır ve bb değeri bulunur.
t1+t2=2at_1 + t_2 = 2a ve t1t2=2a+b−3t_1 t_2 = 2a + b - 3 değerleri yerine yazıldığında: 4(2a+b−3−2a+1)=−1⇒4(b−2)=−1⇒b=744(2a + b - 3 - 2a + 1) = -1 \Rightarrow 4(b - 2) = -1 \Rightarrow b = \frac{7}{4}
İkinci dereceden denklemin kök-katsayı ilişkileri kullanılarak teğetlerin geçtiği noktanın ordinatı bb doğrudan hesaplanır.
6
P(a,b)P(a, b) noktasının g(x)=−x2+4x+kg(x) = -x^2 + 4x + k parabolünün tepe noktası olduğu bilgisi kullanılarak kk değeri hesaplanır.
r=−42(−1)=2⇒Pr = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \Rightarrow P noktasının apsisi a=2a = 2'dir. Tepe noktasının ordinatı g(2)=b=74⇒−(2)2+4(2)+k=74⇒4+k=74⇒k=−94g(2) = b = \frac{7}{4} \Rightarrow -(2)^2 + 4(2) + k = \frac{7}{4} \Rightarrow 4 + k = \frac{7}{4} \Rightarrow k = -\frac{9}{4}
PP noktasının koordinatları, tepe noktasının koordinat formülleri kullanılarak g(x)g(x) parabolüyle eşleştirilir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemleri, teğetlerin dik kesişmesi koşulu ve parabolün tepe noktası ilişkisi.
Soru 160Soru →
Bir teknoloji mağazasında satılan bir ürünün adet satış fiyatı xx TL olmak üzere, bu üründen elde edilen günlük kâr fonksiyonu
K(x)=−x2+100x−1600K(x) = -x^2 + 100x - 1600
olarak modellenmiştir.
Buna göre, bu teknoloji mağazasının bu üründen elde edebileceği günlük maksimum kâr kaç TL'dir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 900

Cevap

Günlük maksimum kâr 900 TL'dir.
Maksimum kârı bulmak amacıyla kâr fonksiyonunun birinci türevi alınarak sıfıra eşitlenir: K′(x)=−2x+100=0K'(x) = -2x + 100 = 0 denkleminden x=50x = 50 elde edilir. Bu değer en yüksek kârı veren ürün satış fiyatıdır. Maksimum kâr miktarını bulmak için bu fiyat değeri fonksiyonda yerine yazılır: K(50)=−2500+5000−1600=900K(50) = -2500 + 5000 - 1600 = 900 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr fonksiyonunun türevini alınız.
K′(x)=−2x+100K'(x) = -2x + 100
Maksimum veya minimum noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevi hesaplanır.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulunuz.
−2x+100=0  ⟹  x=50-2x + 100 = 0 \implies x = 50
Türevin sıfır olduğu nokta, fonksiyonun yerel maksimum (tepe) noktasının apsis değeridir.
3
Bulunan kritik değeri kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı hesaplayınız.
K(50)=−502+100(50)−1600=−2500+5000−1600=900K(50) = -50^2 + 100(50) - 1600 = -2500 + 5000 - 1600 = 900
Maksimum kâr değerini bulmak için fonksiyonun tepe noktasının ordinat değeri (kk) hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması, tepe noktası koordinatları.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 8 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 8 | Examkin