Maksimum ve Minimum Problemleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2

Bir teknoloji firması ürettiği

x

adet akıllı cihaz için toplam maliyet fonksiyonunu (bin TL cinsinden)

C(x) = x^3 - 5x^2 + 12x + 10

ve bu cihazların adet başına satış fiyatını (bin TL cinsinden)

P(x) = 36 - 2x

olarak belirlemiştir.

Buna göre, bu firmanın elde edebileceği maksimum kâr kaç bin TL'dir?

16

42

70

80

112

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Maksimum kâr 70 bin TL'dir.

Toplam kâr fonksiyonu

K(x) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 10

olarak elde edilir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınır:

K'(x) = -3x^2 + 6x + 24

. Türevin kökleri incelendiğinde

x = 4

(pozitif ürün miktarı) maksimum noktasıdır.

x = 4

değeri kâr fonksiyonunda yerine yazıldığında maksimum kâr 70 bin TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kâr fonksiyonunu (

K(x)

) oluşturmak için toplam gelir fonksiyonundan (

R(x)

) toplam maliyet fonksiyonu (

C(x)

) çıkarılır.

R(x) = x \cdot P(x) = x(36 - 2x) = 36x - 2x^2

bin TL.

K(x) = R(x) - C(x) = (36x - 2x^2) - (x^3 - 5x^2 + 12x + 10) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 10

olur.

Kâr, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla hesaplanır.

2

Kâr fonksiyonunun türevi alınır ve sıfıra eşitlenerek kritik noktalar bulunur.

K'(x) = -3x^2 + 6x + 24 = 0

denkleminden

-3(x^2 - 2x - 8) = 0

ve buradan

-3(x-4)(x+2) = 0

elde edilir.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri incelenmelidir.

3

Fiziksel kısıtlar göz önüne alınarak uygun kritik nokta belirlenir ve maksimum kâr hesaplanır.

Ürün miktarı

x \ge 0

olmalıdır, bu nedenle

x = 4

kritik noktası seçilir. Maksimum kâr:

K(4) = -(4)^3 + 3(4)^2 + 24(4) - 10 = -64 + 48 + 96 - 10 = 70

bin TL olarak bulunur.

Birinci türevin işaret tablosunda

x = 4

noktasında türev artıdan eksiye geçtiği için bu nokta yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Maksimum ve Minimum Problemleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 22Soru →

Bir peyzaj mimarı, yarıçapı $6$ metre olan yarım daire biçimindeki bir park alanının içine dikdörtgen şeklinde bir yeşil alan tasarlayacaktır. Bu dikdörtgenin bir kenarı yarım dairenin çapı üzerinde, diğer iki köşesi ise yarım daire yayı üzerindedir. Buna göre, bu yeşil alanın alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36; 36 metrekare

Cevap

Tasarlanabilecek yeşil alanın alanı en fazla 36 metrekare olabilir.

Yarım daire içine yerleştirilen dikdörtgenin alanı

A(x) = 2x\sqrt{36-x^2}

fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun türevinin sıfır olduğu nokta

x = 3\sqrt{2}

değeridir ve bu noktadaki alan en büyük değerine ulaşarak

36

metrekare olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenin boyutlarını yarım dairenin yarıçapı cinsinden ifade etmek için bir koordinat sistemi kurun veya değişkenleri belirleyin.

Yarım dairenin yarıçapı

R = 6

metredir. Dikdörtgenin merkezini orijin kabul edersek, dikdörtgenin yatay kenarının yarısı

x

olsun. Bu durumda dikdörtgenin taban köşeleri

(-x, 0)

ve

(x, 0)

noktalarında olur. Dikdörtgenin yüksekliği ise yarım dairenin sınır eğrisi olan

y = \sqrt{36 - x^2}

fonksiyonu ile belirlenir.

Dikdörtgenin alanını tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek amacıyla değişken tanımlaması yapılır.

2

Dikdörtgenin alan fonksiyonunu

x

değişkenine bağlı olarak yazın.

Dikdörtgenin taban uzunluğu

2x

ve yüksekliği

y = \sqrt{36 - x^2}

olduğundan, alan fonksiyonu

A(x) = 2x \cdot \sqrt{36 - x^2}

olarak elde edilir.

Maksimum değeri bulabilmek amacıyla türevi alınacak alan fonksiyonunu oluşturmak gerekir.

3

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulun.

Alan fonksiyonunun karesini alarak veya doğrudan çarpımın türevi kuralını uygulayarak türevi alabiliriz. Doğrudan türev alırsak:

A'(x) = 2\sqrt{36-x^2} + 2x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{36-x^2}} = 2\sqrt{36-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{36-x^2}} = \frac{2(36-x^2) - 2x^2}{\sqrt{36-x^2}} = \frac{72 - 4x^2}{\sqrt{36-x^2}}

bulunur. Türevi sıfır yapan değer için pay sıfır olmalıdır:

72 - 4x^2 = 0 \implies x^2 = 18 \implies x = 3\sqrt{2}

metre (genişlik pozitif olmalıdır).

Bir fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktalarda (yerel ekstremum) birinci türevi sıfırdır.

4

Bulunan

x

değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayın.

A(3\sqrt{2}) = 2(3\sqrt{2})\sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = 6\sqrt{2}\sqrt{18} = 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 36

metrekare olarak bulunur.

Soruda istenen en büyük alan değerini elde etmek için kritik nokta fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Soru 23Soru →

Dik koordinat düzleminde, $A(5, 0)$ noktası ile $y = \sqrt{2x}$ eğrisi üzerindeki bir $P(x, y)$ noktası veriliyor.

Buna göre, $P$ ile $A$ noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

3

4

5

9

\sqrt{10}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En küçük uzaklık değeri 3 birimdir.

Uzaklık fonksiyonunu veren ifadenin karekökünün içi en küçük değerini

x = 4

noktasında alır ve bu noktadaki uzaklık

\sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = 3

birimdir.

Adım Adım Çözüm

1

Eğri üzerindeki keyfi bir

P(x, y)

noktasının

A(5, 0)

noktasına olan uzaklık formülünü yazınız.

d = \sqrt{(x-5)^2 + y^2}

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

şeklindedir.

2

y = \sqrt{2x}

bağıntısını kullanarak uzaklık formülünü tek bir değişkene bağlı hale getiriniz.

d(x) = \sqrt{(x-5)^2 + 2x} = \sqrt{x^2 - 10x + 25 + 2x} = \sqrt{x^2 - 8x + 25}

Türev alabilmek için fonksiyonun tek bir değişkene (

x

'e) bağlı olması gerekir.

3

Uzaklık fonksiyonunu minimum yapmak için karekökün içindeki ifadenin türevini alıp sıfıra eşitleyiniz.

f(x) = x^2 - 8x + 25 \implies f'(x) = 2x - 8 = 0 \implies x = 4

Karekök fonksiyonu artan olduğundan, fonksiyonun en küçük değeri içindeki ifadenin en küçük olduğu noktada gerçekleşir.

4

Bulunan

x = 4

değerini uzaklık formülünde yerine yazarak en küçük uzaklığı hesaplayınız.

d(4) = \sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = \sqrt{16 - 32 + 25} = \sqrt{9} = 3

birim

Minimum değeri veren

x

noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için yerine koyma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla tek değişkene indirgenen fonksiyonun türevi kullanılarak minimum değerinin bulunması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 24Soru →

Dik koordinat düzleminde, dik kenarları koordinat eksenleri üzerinde olan ve hipotenüsü $P(1, 8)$ noktasından geçen birinci bölgedeki bir dik üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?

8

12

16

18

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

Doğru cevap 16 birimkaredir. Hipotenüsü

P(1, 8)

noktasından geçen ve dik kenarları koordinat eksenleri üzerinde olan dik üçgenin alan fonksiyonu

A(a) = \frac{4a^2}{a-1}

şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde kritik nokta

a = 2

olarak bulunur. Fonksiyonda

a = 2

yazıldığında en küçük alan değeri 16 birimkare elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin eksenleri kestiği noktaları belirleyerek hipotenüs doğrusunun denklemini yazma

Dik üçgenin köşeleri

A(a, 0)

ve

B(0, b)

olsun (

a > 1, b > 0

). Bu noktalardan geçen hipotenüs doğrusunun denklemi

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

olur.

Hipotenüs doğrusunun üzerindeki noktaları ilişkilendirmek için doğru denklemi yazılmalıdır.

2

P(1, 8)

noktasını doğru denkleminde yerine yazarak

b

değişkenini

a

cinsinden ifade etme

\frac{1}{a} + \frac{8}{b} = 1 \implies \frac{8}{b} = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} \implies b = \frac{8a}{a-1}

elde edilir.

Alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı hale getirmek için değişkenler arasında bağıntı kurulur.

3

Üçgenin alan fonksiyonunu oluşturma

Alan(a) = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{8a}{a-1} = \frac{4a^2}{a-1}

bulunur.

Türev yardımıyla en k��çük değeri bulmak için alan fonksiyonu tanımlanmalıdır.

4

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulma

Alan'(a) = \frac{8a(a-1) - 4a^2 \cdot 1}{(a-1)^2} = \frac{4a^2 - 8a}{(a-1)^2} = 0 \implies 4a(a-2) = 0

olur.

a > 1

olduğu için

a = 2

bulunur.

Fonksiyonun yerel ekstremum (minimum) noktasını bulmak için türevinin kökleri incelenir.

5

Kritik noktayı alan fonksiyonunda yerine yazarak en küçük alan değerini hesaplama

Alan(2) = \frac{4(2^2)}{2-1} = 16

birimkare elde edilir.

Minimum alanın sayısal değerini bulmak için elde edilen

a = 2

değeri fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AO-GO) kullanılarak da çözülebilir:

\frac{1}{a} + \frac{8}{b} = 1 \geq 2\sqrt{\frac{8}{ab}} \implies 1 \geq \frac{32}{ab} \implies ab \geq 32

olur. Buradan üçgenin alanı

\text{Alan} = \frac{ab}{2} \geq 16

olarak doğrudan elde edilebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 25Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi birinci bölgede $y = 12 - x^2$ parabolü üzerinde olan bir dikdörtgen tasarlanıyor. Bu dikdörtgenin alanı en büyük değerini aldığında, parabol üzerindeki köşesinin koordinatları olan $(x, y)$ ikilisi nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (2, 8); (2,8); 2,8; 2, 8

Cevap

Dikdörtgenin alanını maksimum yapan parabol üzerindeki köşenin koordinatları (2, 8) ikilisidir.

Alanı en büyük yapan x değeri, alan fonksiyonunun türevinin sıfır olduğu yerdir. Bu değer x = 2'dir ve parabole yerleştirildiğinde y = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenin alan fonksiyonunu oluşturun.

A(x) = x \cdot (12 - x^2) = 12x - x^3

Birinci bölgedeki köşenin koordinatları

(x, y)

ve

y = 12 - x^2

olduğundan dikdörtgenin kenar uzunlukları

x

ve

12 - x^2

birimdir. Alan bu iki değerin çarpımıdır.

2

Alan fonksiyonunun birinci t��revini alıp sıfıra eşitleyin.

A'(x) = 12 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 4

Bir fonksiyonun yerel maksimum değerini bulmak için türevinin sıfır olduğu kritik noktalar incelenmelidir.

3

Kritik noktayı ve buna karşılık gelen y değerini belirleyin.

x = 2

için

y = 12 - 2^2 = 8

Dikdörtgen birinci bölgede olduğundan

x > 0

olmalıdır, bu yüzden

x = 2

kökü seçilir. Parabol denkleminde yerine yazılarak

y

koordinatı bulunur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 26Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = x^2$ parabolü üzerindeki bir $P(x, y)$ noktasının $A\left(0, \frac{17}{4}\right)$ noktasına olan uzaklığı en az kaç birimdir?

2

4

\frac{15}{4}

\frac{\sqrt{15}}{2}

\frac{17}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

En kısa uzaklık 2 birimdir.

Parabol üzerindeki genel bir noktanın A noktasına uzaklık fonksiyonunun karesi olan

d^2 = x^4 - \frac{15}{2}x^2 + \frac{289}{16}

ifadesinin türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde en yakın noktanın apsisinin karesi

x^2 = \frac{15}{4}

bulunur. Bu değer uzaklık bağıntısında yerine yazıldığında uzaklığın karesinin minimum değeri 4, uzaklığın kendisi ise 2 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol üzerindeki genel bir P noktasının koordinatlarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.

y = x^2

olduğu için parabol üzerindeki herhangi bir nokta

P(x, x^2)

şeklinde yazılır.

İki nokta arasındaki uzaklık form��lünü tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürmek için.

2

P(x, x^2)

ile

A\left(0, \frac{17}{4}\right)

noktaları arasındaki uzaklığın karesini (

d^2

) veren fonksiyonu oluşturun.

d^2 = (x - 0)^2 + \left(x^2 - \frac{17}{4}\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{17}{2}x^2 + \frac{289}{16} = x^4 - \frac{15}{2}x^2 + \frac{289}{16}

Uzaklığı minimize etmek için önce uzaklığın karesini veren fonksiyonu türevlenebilir hale getirmek gerekir.

3

x^2 = y

dönüşümü uygulayarak fonksiyonu basitleştirin ve türevini alarak kritik noktayı bulun.

g(y) = y^2 - \frac{15}{2}y + \frac{289}{16}

(

y \ge 0

) elde edilir. Türevi:

g'(y) = 2y - \frac{15}{2}

. Türevi sıfıra eşitlediğimizde

y = \frac{15}{4}

bulunur.

Türevi sıfır yapan nokta, fonksiyonun yerel minimum noktasını verir.

4

Bulunan

y = \frac{15}{4}

değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük

d^2

değerini ve ardından karekökünü alarak en kısa uzaklığı bulun.

d^2 = g\left(\frac{15}{4}\right) = \left(\frac{15}{4}\right)^2 - \frac{15}{2}\left(\frac{15}{4}\right) + \frac{289}{16} = \frac{225 - 450 + 289}{16} = \frac{64}{16} = 4

. Buradan

d = \sqrt{4} = 2

bulunur.

Uzaklığın karesinin minimum değeri 4 olduğuna göre, en kısa uzaklığın kendisi 2 birimdir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bir noktanın bir eğriye olan en kısa uzaklığını hesaplama

Soru 27Soru →

Bir çiftçi, bir kenarı düz bir nehir boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir araziyi tel örgüyle çevirmek istemektedir. Nehir kenar��ndaki kenar için tel örgü kullanılmayacaktır. Nehire dik olan iki kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı $10\text{ TL}$ , nehire paralel olan kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı ise $15\text{ TL}$ 'dir. Bu iş için en fazla $1200\text{ TL}$ bütçe ayıran çiftçinin çevirebileceği arazinin alanı en fazla kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1200

Cevap

Çiftçinin çevirebileceği maksimum alan

1200\text{ m}^2

olarak bulunur.

Mali kısıt altında oluşturulan alan fonksiyonunun türevini sıfır yapan

x = 30

değeri için alan en büyük değerini alır ve bu değer

1200\text{ m}^2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıt denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden ifade etme

20x + 15y = 1200 \Rightarrow y = 80 - \frac{4}{3}x

Bütçe kısıtını kullanarak alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek

2

Alan fonksiyonunu tek değişkenli olarak kurma

A(x) = 80x - \frac{4}{3}x^2

Maksimum değeri türev yardımıyla bulabilmek için fonksiyonu tek değişkenli hale getirmek

3

Türevi sıfır yapan noktayı bulma ve maksimum alanı hesaplama

A'(x) = 80 - \frac{8}{3}x = 0 \Rightarrow x = 30

ve

A(30) = 1200

Birinci türevin sıfır olduğu nokta yerel maksimum noktasını verir

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde kısıt denklemini kullanarak tek değişkenli hedef fonksiyonu oluşturma ve türev yardımıyla optimizasyon yapma

Soru 28Soru →

Toplam uzunluğu $36\text{ cm}$ olan bir telin tamamı bükülerek bir daire dilimi oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu daire diliminin alanı en fazla kaç $\text{cm}^2$ olabilir?

54

72

80

81

162

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $81$

Cevap

Oluşturulabilecek daire diliminin maksimum alanı

81\text{ cm}^2

olmalıdır.

Doğru seçenekte belirtilen

81

değeri, çevre bağıntısından elde edilen

a = 36 - 2r

ifadesinin alan formülü olan

A = \frac{1}{2}ra

içinde yerine yazılmasıyla elde edilen

A(r) = 18r - r^2

fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlenerek (

r = 9

) hesaplanan maksimum alandır.

Adım Adım Çözüm

1

Daire diliminin geometrik elemanlarını tanımlama ve çevre bağıntısını oluşturma.

Daire diliminin yarıçapı

r

ve yay uzunluğu

a

olmak üzere, çevre

2r + a = 36

olarak yazılır. Buradan yay uzunluğu

a = 36 - 2r

şeklinde elde edilir.

Değişken sayisini bire indirmek için yarıçap ile yay uzunluğu arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.

2

Alan fonksiyonunu tek değişkene bağlı olarak yazma.

Alan

A(r) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a = \frac{1}{2}r(36-2r) = 18r - r^2

olarak bulunur.

Türev alarak maksimum alanı veren yarıçap değerini bulabilmek için tek değişkenli bir alan fonksiyonu gereklidir.

3

Alan fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma.

A'(r) = 18 - 2r

olur.

18 - 2r = 0 \Rightarrow r = 9

bulunur.

Alan fonksiyonunun maksimum değerini aldığı noktada birinci türevi sıfırdır.

4

Maksimum alan değerini hesaplama.

A(9) = 18(9) - 9^2 = 162 - 81 = 81\text{ cm}^2

elde edilir.

Kritik yarıçap değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak alabileceği en büyük değeri hesaplarız.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması (Maksimum-Minimum Problemleri)

Soru 29Soru →

Eni $10\text{ cm}$ ve boyu $16\text{ cm}$ olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun dört köşesinden birer kenar uzunluğu $x\text{ cm}$ olan eş kareler kesilerek çıkartılıyor. Kalan karton parçası katlanarak üstü açık bir dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu yapılıyor. Bu kutunun hacminin alabileceği en büyük değer kaç $\text{cm}^3$ tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Kutunun alabileceği en büyük hacim 144 cm³'tür.

Kutunun hacim fonksiyonu

V(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x

olup, tanım aralığı

0 < x < 5

şeklindedir. Fonksiyonun türevinin bu aralıktaki tek kökü

x = 2

olduğundan maksimum hacim

V(2) = 144\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kutunun boyutlarını belirleyip hacim fonksiyonunu x cinsinden yazın.

Kutunun yüksekliği

x

cm, taban kenarları ise

10 - 2x

cm ve

16 - 2x

cm olur. Hacim fonksiyonu

V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x

olarak elde edilir.

Kutunun hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

2

Kutunun boyutlarının fiziksel olarak tanımlı olabilmesi için x değişkeninin tanım kümesini belirleyin.

Kenar uzunlukları pozitif olmalıdır:

x > 0

,

10 - 2x > 0 \implies x < 5

ve

16 - 2x > 0 \implies x < 8

. Buradan tanım kümesi

(0, 5)

aralığı olarak bulunur.

Uzunluk ölçüleri negatif veya sıfır olamaz.

3

Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulun.

V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 0 \implies 3x^2 - 26x + 40 = 0

elde edilir. Bu denklemin kökleri

x = 2

ve

x = \frac{20}{3}

olarak bulunur.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda aranır.

4

Bulunan kritik noktaları tanım kümesi yönünden inceleyin ve maksimum hacmi hesaplayın.

x = \frac{20}{3} \approx 6{}67

değeri

(0, 5)

tanım aralığının dışındadır. Bu nedenle tek geçerli kritik nokta

x = 2

olur. Hacim fonksiyonunda

x = 2

yazıldığında maksimum hacim

V(2) = 2 \cdot (10 - 4) \cdot (16 - 4) = 144

olarak bulunur.

Maksimum hacim, geçerli tanım kümesindeki tek yerel maksimum noktası olan x = 2 değerinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde türev kullanılarak optimizasyon yapılması.

Soru 30Soru →

Bir turizm şirketi, düzenleyeceği bir kültür turu için kişi başı ücreti $3000 \text{ TL}$ olarak belirlemiştir. Bu tura en fazla 150 kişi katılabilmektedir. Tura katılan kişi sayısı 80'den fazla olduğunda, 80'in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcılara ki��i başı $15 \text{ TL}$ indirim yapılacaktır.

Buna göre, bu tura kaç kişi katılırsa şirketin elde edeceği toplam gelir en fazla olur?

100

120

130

140

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Toplam gelirin en fazla olması için tura 140 kişi katılmalıdır.

Toplam geliri modelleyen

R(x) = 4200x - 15x^2

fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde elde edilen

140

değeri, şirkete en yüksek geliri sağlayan katılımcı sayısıdır. Bu değer turun kapasite sınırı olan 150 değerini aşmadığından geçerli çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1

Katılımcı sayısına bağlı olarak kişi başı bilet fiyatını veren cebirsel ifadeyi oluşturun.

Tura katılan kişi sayısı

x

olsun (

80 < x \le 150

). 80'in üzerindeki katılımcı sayısı

x - 80

olur. Bu durumda kişi başı bilet fiyatı

3000 - 15(x - 80) = 4200 - 15x \text{ TL}

olarak belirlenir.

Toplam geliri bulmak için öncelikle bilet fiyatının katılımcı sayısına bağlı denklemini yazmamız gerekir.

2

Toplam gelir fonksiyonunu (

R(x)

) kurun.

R(x) = x \cdot (4200 - 15x) = 4200x - 15x^2

elde edilir.

Toplam gelir, toplam katılımcı sayısı ile kişi başı bilet fiyatının çarpılmasına eşittir.

3

Gelir fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı hesaplayın.

R'(x) = 4200 - 30x

olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde

4200 - 30x = 0 \implies 30x = 4200 \implies x = 140

bulunur.

Fonksiyonun yerel maksimum değerini araştırmak için türevin sıfır olduğu kritik noktayı bulmalıyız.

4

Bulunan kritik noktanın sınır koşullarını sağladığını ve geliri maksimum yaptığını doğrulayın.

x = 140

değeri

80 < x \le 150

tanım aralığındadır.

R''(x) = -30 < 0

olduğundan bu noktada fonksiyon maksimum değerini alır.

Kritik noktanın fiziksel sınırları aşmadığından ve yerel maksimum noktası olduğundan emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum-minimum problemlerinin modellenmesi ve çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Türev kullanmak yerine, elde edilen

R(x) = -15x^2 + 4200x

fonksiyonunun kolları aşağı doğru olan bir parabol belirttiği görülebilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri tepe noktasının apsisinde (

r

) gerçekleşir. Buradan

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4200}{2 \cdot (-15)} = 140

olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 31Soru →

Bir afiş tasarımında, afişin ortasındaki dikdörtgen biçimindeki baskı alanının $50 \text{ cm}^2$ olması planlanmaktadır. Afişin üst ve alt kısmında dörder $\text{cm}$ , sağ ve sol yanlarında ise ikişer $\text{cm}$ boşluk bırakılacaktır. Baskı alanı da dikdörtgen şeklinde olduğuna göre, bu afişin toplam alanının en küçük değeri kaç $\text{cm}^2$ dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 162

Cevap

Afişin toplam alanının alabileceği en küçük değer

162 \text{ cm}^2

dir.

Baskı alanının boyutları

x

ve

y

olup çarpımları 50'dir. Kenar boşlukları eklendiğinde afişin boyutları

x+4

ve

y+8

olur. Toplam alan fonksiyonu

A(x) = 8x + \frac{200}{x} + 82

şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde

x = 5

elde edilir.

x = 5

değeri fonksiyona yazıldığında en küçük alan

162 \text{ cm}^2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Baskı alanının kenar uzunluklarını değişkenler cinsinden ifade etme ve aralarındaki ilişkiyi yazma

Baskı alanı dikdörtgen şeklinde olup kenarları

x

ve

y

ise,

x \cdot y = 50 \implies y = \frac{50}{x}

olur.

Toplam alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için kenarlar arasındaki ilişkiyi kurmamız gerekir.

2

Afişin toplam boyutlarını belirleme ve toplam alan fonksiyonunu oluşturma

Genişlik

x + 4

, yükseklik

y + 8

olup toplam alan

A(x) = (x + 4)\left(\frac{50}{x} + 8\right) = 8x + \frac{200}{x} + 82

olarak elde edilir.

Tasarım gereği kenarlarda bırakılan boşlukları baskı alanının boyutlarına ekleyerek afişin toplam alan formülünü oluşturmalıyız.

3

Alan fonksiyonunun türevini alıp kritik noktayı bulma

A'(x) = 8 - \frac{200}{x^2} = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = 5

bulunur.

Bir fonksiyonun yerel minimum değerini bulmak için türevinin köklerini (kritik noktaları) incelememiz gerekir.

4

Bulunan kritik değer için minimum alanı hesaplama

A(5) = 8(5) + \frac{200}{5} + 82 = 162 \text{ cm}^2

elde edilir.

Elde edilen kritik nokta olan

x = 5

değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak minimum alan değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemlerinin çözümü

Alternatif Yöntem

Aritmetik-Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak da çözülebilir.

8x > 0

ve

\frac{200}{x} > 0

olduğundan,

8x + \frac{200}{x} \geq 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80

olur. Buradan toplam alan en az

80 + 82 = 162 \text{ cm}^2

olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 32Soru →

Bir teknoloji şirketi ürettiği bir yazılım lisansından elde edece��i kârı en üst düzeye çıkarmak istemektedir. Bu yazılımın $x$ bin adet satılması durumunda elde edilecek toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları sırasıyla,

R(x) = -2x^2 + 30x + 10

C(x) = \frac{1}{9}(3x-3)^3 - 11x^2 + 48x - 40

bin TL olarak modellenmiştir. Buna göre, bu şirketin elde edebileceği maksimum kâr kaç bin TL'dir?

29

41

53

47

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

Maksimum kâr 53 bin TL'dir.

Toplam gelir fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonu çıkarılarak kâr fonksiyonu

P(x)

elde edilir.

P(x)

fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen köklerden yerel maksimum noktası olan

x = 3

değeri kâr fonksiyonunda yerine yazıldığında maksimum kâr 53 bin TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kâr fonksiyonunu (

P(x)

) toplam gelir fonksiyonundan (

R(x)

) toplam maliyet fonksiyonunu (

C(x)

) çıkararak elde ediniz.

P(x) = R(x) - C(x) = (-2x^2 + 30x + 10) - (\frac{1}{9}(3x-3)^3 - 11x^2 + 48x - 40) = -\frac{1}{9}(3x-3)^3 + 9x^2 - 18x + 50

Kârı en üst düzeye çıkaran noktayı bulmak için öncelikle kâr fonksiyonunu tanımlamamız gerekir.

2

Kâr fonksiyonunun türevini (

P'(x)

) zincir kuralını uygulayarak alınız.

P'(x) = -\frac{1}{9} \cdot 3(3x-3)^2 \cdot 3 + 18x - 18 = -(3x-3)^2 + 18x - 18 = -9x^2 + 36x - 27

Maksimum veya minimum değerlerin adaylarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan kritik noktaları bulmalıyız.

3

Türev fonksiyonunu sıfıra eşitleyip köklerini bulunuz.

-9x^2 + 36x - 27 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1

veya

x = 3

Türevin sıfır olduğu noktalar fonksiyonun yerel ekstremum noktalarıdır.

4

Türev işaret tablosunu inceleyerek hangi kritik noktanın yerel maksimum olduğunu belirleyiniz.

x = 3

noktasında fonksiyon artanlıktan azalanlığa geçtiği için yerel maksimumdur.

Maksimum kârı elde etmek için yerel maksimum noktasını tespit etmeliyiz.

5

Belirlenen yerel maksimum noktasını kâr fonksiyonunda yerine yazıp maksimum kârı hesaplayınız.

P(3) = -\frac{1}{9}(9-3)^3 + 9(3)^2 - 18(3) + 50 = -24 + 81 - 54 + 50 = 53

bin TL

Maksimum kâr miktarını bulmak için

x = 3

değerini kâr fonksiyonuna yerleştiririz.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü

Alternatif Yöntem

Kârın maksimum olması için marjinal gelirin marjinal maliyete eşit olması gerekir, yani

R'(x) = C'(x)

eşitliği doğrudan çözülerek de

x = 3

kritik noktası bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 33Soru →

Yarıçapı $6\text{ cm}$ olan bir yarım çemberin içine, tabanlarından biri çemberin çapı olacak şekilde bir ikizkenar yamuk çiziliyor. Buna göre, alanı en büyük olan bu yamuğun üst taban uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6; altı; 6 cm; 6cm

Cevap

Alanı en büyük olan ikizkenar yamuğun üst taban uzunluğu 6 cm'dir.

Yamuğun alanı fonksiyon olarak ifade edilip türevi sıfıra eşitlendiğinde en büyük alanı veren x değeri 3 olarak bulunur. Üst taban uzunluğu

2x

olduğu için cevap 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun boyutlarını değişkenler cinsinden belirleme

Yarım çemberin yarıçapı

R = 6\text{ cm}

olduğundan, çapı (ve dolayısıyla yamu��un alt tabanı)

AB = 12\text{ cm}

'dir. Yamuğun üst köşelerinden birini koordinat düzleminde çember üzerindeki

C(x, y)

noktası olarak alırsak, çember denklemi

x^2 + y^2 = 36

olduğundan yükseklik

y = \sqrt{36 - x^2}

olur. Yamuğun üst taban uzunluğu ise

2x

olur.

Yamuğun alanını tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek.

2

Alan fonksiyonunu oluşturma

Yamuğun alanı

Alan = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}

formülüyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda:

A(x) = \frac{12 + 2x}{2} \cdot \sqrt{36 - x^2} = (6 + x)\sqrt{36 - x^2}

fonksiyonu elde edilir.

Maksimum alan değerini veren x değerini türev yardımıyla bulmak.

3

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleme

A(x)

fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyelim. Kolaylık olması açısından fonksiyonun karesi olan

f(x) = [A(x)]^2 = (6+x)^2(36-x^2)

fonksiyonunun türevini alabiliriz:

f'(x) = 2(6+x)(36-x^2) + (6+x)^2(-2x) = 2(6+x)[(36-x^2) - x(6+x)] = 2(6+x)(36 - 6x - 2x^2) = 0

. Buradan

2x^2 + 6x - 36 = 0 \implies x^2 + 3x - 18 = 0 \implies (x+6)(x-3) = 0

bulunur. Uzunluk pozitif olacağından

x = 3

olmalıdır.

Fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum) noktasını belirlemek.

4

İstenen üst taban uzunluğunu hesaplama

Maksimum alan için

x = 3\text{ cm}

olmalıdır. Yamuğun üst taban uzunluğu

2x

olarak tanımlandığı için üst taban uzunluğu

2 \cdot 3 = 6\text{ cm}

olarak bulunur.

Soruda doğrudan üst taban uzunlu��u sorulduğu için sonucu bu değişkene göre hesaplamak.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve geometrik şekillerin optimizasyonu.

Alternatif Yöntem

Bir yarım çember içine çizilebilecek maksimum alanlı yamuk, çemberin içine çizilen düzgün altıgenin yarısıdır. Düzgün altıgende köşegenler yardımıyla oluşan tüm üçgenler eşkenar üçgen olup kenar uzunlukları çemberin yarıçapına eşittir. Dolayısıyla en büyük alanlı yamuğun üst taban uzunluğu doğrudan çemberin yarıçapına eşit olup 6 cm'dir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 34Soru →

Hacmi $24\pi \text{ cm}^3$ olan dik dairesel silindir biçiminde üstü kapalı bir teneke kutu üretilecektir. Bu kutunun alt ve üst tabanlarında kullanılacak malzemenin birim kare maliyeti $3 \text{ TL/cm}^2$ , yan yüzeyinde kullanılacak malzemenin birim kare maliyeti ise $2 \text{ TL/cm}^2$ dir.

Buna göre, bu kutunun toplam malzeme maliyetinin en az olması için yüksekliği kaç $\text{cm}$ olmalıdır?

2

3

4

6

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Malzeme maliyetini en aza indiren yükseklik değeri 6 cm'dir.

Toplam maliyet fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen yarıçap değeri için yüksekliğin 6 cm olduğu bulunur. Bu değer maliyeti en aza indiren yüksekliktir.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin hacim formülünü yazarak yükseklik (

h

) ile yarıçap (

r

) arasındaki ilişkiyi belirleyin.

V = \pi r^2 h = 24\pi \implies h = \frac{24}{r^2}

Maliyet fonksiyonunu tek bir değişşkene (

r

) bağlı olarak yazabilmek için bu ilişki gereklidir.

2

Tabanların ve yan yüzeyin alanlarını birim maliyetleriyle çarparak toplam maliyet fonksiyonunu oluşturun.

C(r) = 3 \cdot (2\pi r^2) + 2 \cdot (2\pi r h) = 6\pi r^2 + 4\pi r h

. Buradan

h

yerine

\frac{24}{r^2}

yazıldığında:

C(r) = 6\pi r^2 + \frac{96\pi}{r}

elde edilir.

Maliyetin minimum olduğu noktayı türev yardımıyla bulmak için maliyet fonksiyonu oluşturulmalıdır.

3

Maliyet fonksiyonunun

r

değişkenine göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.

C'(r) = 12\pi r - \frac{96\pi}{r^2} = 0 \implies 12\pi r = \frac{96\pi}{r^2} \implies r^3 = 8 \implies r = 2

cm

Maliyet fonksiyonunu minimum yapan yarıçap değerini bulmak için birinci türevin kökü hesaplanır.

4

Bulunan

r = 2

cm değerini kullanarak silindirin yüksekliğini (

h

) hesaplayın.

h = \frac{24}{r^2} = \frac{24}{2^2} = 6

cm

Soruda bizden minimum maliyeti sağlayan yükseklik (

h

) değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözülmesi, kısıt denkleminin (hacim) hedef fonksiyonda (maliyet) yerine yazılması.

Soru 35Soru →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekli��i $12\text{ cm}$ olan bir dik dairesel koninin içerisine, tabanı koninin tabanı ile çakışacak biçimde bir dik dairesel silindir yerleştirilecektir. Buna göre, bu silindirin hacmi en fazla kaç $\pi\text{ cm}^3$ olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

En büyük hacimli silindirin hacmi

64\pi\text{ cm}^3

olup aranan değer 64'tür.

Koninin içerisine yerleştirilebilecek en büyük hacimli silindirin boyutları benzerlik oranı kullanılarak

h = 12 - 2r

şeklinde yazılır. Hacim fonksiyonunun türevi yardımıyla maksimum hacmi veren yarıçap

r = 4\text{ cm}

olarak bulunur. Bu değer hacim formülünde yerine yazıldığında maksimum hacim

64\pi\text{ cm}^3

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin yarıçapı

r

ve yüksekliği

h

değişkenleri arasında benzerlik yardımıyla bir bağıntı kurun.

h = 12 - 2r

Koninin ana doğrusu ve yüksekliği ile silindirin kesiti arasında oluşan benzer üçgenlerden

\frac{12-h}{12} = \frac{r}{6}

elde edilir.

2

Silindirin hacmini veren fonksiyonu

r

değişkenine bağlı olarak yazın.

V(r) = 12\pi r^2 - 2\pi r^3

Silindirin hacmi

V = \pi r^2 h

formülüyle hesaplanır. Burada

h = 12 - 2r

ifadesi yerine yazılır.

3

Hacim fonksiyonunun maksimum noktasını bulmak için türevini al��p sıfıra eşitleyin.

r = 4

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfırdır.

V'(r) = 24\pi r - 6\pi r^2 = 6\pi r(4-r) = 0

denkleminin kökleri

r=0

ve

r=4

olup, maksimum hacim

r=4

için gerçekleşir.

4

Maksimum hacmi hesaplayın.

V(4) = 64\pi

r = 4

için

V(4) = \pi \cdot 4^2 \cdot (12 - 2 \cdot 4) = 64\pi

elde edilir. Hacmin

\pi

cinsinden değeri sorulduğu için aranan sayı 64'tür.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması, geometrik şekillerde optimizasyon problemleri.

Maksimum ve Minimum Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar