Examkin

Problemler

889 soru

Tüm türler889Çoktan seçmeli593Sayısal232Eşleştirme29Sıralama35
Soru 301Soru →

Durgun sudaki hızı sabit olan motorlu bir tekne, bir nehirde akıntı yönünde hareket ederek A limanından B limanına 4 saatte gitmiştir. Bu tekne, B limanından A limanına akıntıya karşı aynı rotayı izleyerek 6 saatte dönmü��tür.

Tekne, B'den A'ya doğru yaptığı dönüş yolculuğunun tam yarısına geldiğinde nehirdeki akıntı tamamen durmuş ve nehir durgun su haline gelmiştir. Teknenin motor gücü (durgun sudaki hızı) yolculuk boyunca sabit kalmıştır.

Buna göre, tekne dönüş yolculuğunun kalan kısmını kaç saatte tamamlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,4

Cevap

Dönüş yolculuğunun kalan kısmı 2,4 saatte tamamlanır.
Gidiş ve dönüş sürelerinden faydalanarak teknenin durgun sudaki hızı v = 5d/24 olarak hesaplanır. Dönüş yolunun kalan yarısı olan d/2 mesafesi, akıntının durmasıyla sadece v hızıyla gidileceğinden, süre (d/2) / (5d/24) = 2,4 saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gidiş ve dönüş yolları için hız-zaman denklemlerini kurma
Yolun tamamı d, teknenin durgun sudaki hızı v ve akıntı hızı v_a olsun. Gidiş denklemi: d = 4 * (v + v_a) => v + v_a = d/4. Dönüş denklemi: d = 6 * (v - v_a) => v - v_a = d/6.
Yol, hız ile zamanın çarpımına eşittir. Akıntı yönünde giderken hızlar toplanır, akıntıya karşı giderken çıkarılır.
2
Teknenin durgun sudaki hızını (v) yol cinsinden bulma
(v + v_a) = d/4 ve (v - v_a) = d/6 denklemleri taraf tarafa toplanırsa: 2v = d/4 + d/6 = 5d/12 => v = 5d/24 olarak bulunur.
Akıntının durması durumunda teknenin yeni hızı sadece durgun sudaki hızı (v) olacağından v değerini d cinsinden ifade etmemiz gerekir.
3
Kalan yol ve yeni hız ile süreyi hesaplama
Dönüş yolunun tam yarısında akıntı durduğuna göre kalan yol d/2'dir. Yeni hız ise v = 5d/24'tür. Kalan süre: (d/2) / (5d/24) = (d/2) * (24/5d) = 12/5 = 2,4 saat.
Kalan süre, kalan yolun yeni hıza bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Akıntı problemlerinde nehirde hareket yönüne göre hızların toplanması veya çıkarılması, akıntı kesildiğinde hızın sadece durgun su hızına eşit olması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 302Soru →

Bir babanın bugünkü yaşı; büyük çocuğunun bugünkü yaşının 33 kat��na, küçük çocuğunun bugünkü yaşının ise 44 katına eşittir.

Küçük çocuk, büyük çocuğun bugünkü yaşına geldiğinde babanın yaşı, iki çocuğun yaşları toplamından 1616 fazla olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Babanın bugünkü yaşı 48'dir.
Babanın yaşı çocuklarının yaşlarının sırasıyla 3 ve 4 katı olduğundan babaya 12x12x yaşını verdiğimizde büyük çocuk 4x4x, küçük çocuk 3x3x yaşında olur. Küçük çocuğun büyük çocuğun yaşına gelmesi için aralarındaki fark olan xx yıl geçmelidir. xx yıl sonra baba 13x13x, çocuklar ise 5x5x ve 4x4x yaşlarına gelir. Gelecekte babanın yaşının çocukların yaşları toplamından 16 fazla olduğu bilgisi kullanılarak 13x=(5x+4x)+1613x = (5x + 4x) + 16 denklemi kurulur. Buradan x=4x = 4 ve babanın bugünkü yaşı 12×4=4812 \times 4 = 48 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Babanın ve çocukların yaşlarını ortak bir değişken cinsinden ifade edin.
Babanın yaşı 12x12x, büyük çocuğun yaşı 4x4x, küçük çocuğun yaşı 3x3x olarak belirlenir.
Babanın yaşı hem 3'ün hem de 4'ün katı olduğu için kolaylık sağlaması adına en küçük ortak kat olan 12x seçilmiştir.
2
Küçük çocuğun büyük çocuğun yaşına gelmesi için geçmesi gereken süreyi belirleyin.
Geçen süre 4x−3x=x4x - 3x = x yıldır.
Bir kişinin başka bir kişinin yaşına gelmesi için aralarındaki yaş farkı kadar yıl geçmesi gerekir.
3
Belirlenen süre sonunda her bir kişinin yeni yaşını hesaplayın.
Babanın yeni yaşı 12x+x=13x12x + x = 13x, büyük çocuğun yeni yaşı 4x+x=5x4x + x = 5x, küçük çocuğun yeni yaşı 3x+x=4x3x + x = 4x olur.
Aradan geçen süre gruptaki herkesin yaşına eklenmelidir.
4
Gelecekteki yaşlar arasındaki ilişkiyi kullanarak denklemi kurun ve çözün.
13x=(5x+4x)+16  ⟹  13x=9x+16  ⟹  4x=16  ⟹  x=413x = (5x + 4x) + 16 \implies 13x = 9x + 16 \implies 4x = 16 \implies x = 4 bulunur.
Soruda gelecekte babanın yaşının çocukların yaşları toplamından 16 fazla olacağı belirtilmiştir.
5
Babanın bugünkü yaşını hesaplayın.
12x=12×4=4812x = 12 \times 4 = 48 bulunur.
Babanın bugünkü yaşı başlangıçta 12x olarak kabul edilmiştir.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde geçen sürenin gruptaki tüm bireylerin yaşına eşit miktarda eklenmesi gerekliliği.
Soru 303Soru →

Bir manav, kilogramını 3030 TL'den aldığı çileklerin bir kısmının ezilerek çürümesi nedeniyle çöpe atmıştır. Manav, kalan sağlam çileklerin kilogram satış fiyatını, maliyet fiyatı üzerinden %40\%40 kâr elde edecek şekilde belirlemiştir.

Manav bu satışın sonunda, çileklerin tamamı için ödediği toplam paraya göre %19\%19 kâr elde ettiğine göre, aldığı çileklerin yüzde kaç��nı çöpe atmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Alınan çileklerin %15'i çöpe atılmıştır.
Doğru yanıt olan %15 seçeneği, manavın başlangıçta satın aldığı toplam çilek maliyeti (30003000 TL) ile hedeflenen toplam gelirin (35703570 TL) belirlenmesi ve bu gelirin, kilogramı %40 kârla (4242 TL) satılan sağlam çileklerden elde edildiği düşünülerek satılan sağlam miktarın (8585 kg) bulunmasıyla doğrulanır. Toplam 100100 kg çileğin 8585 kg'ı satıldığına göre geriye kalan 1515 kg'ı (%15'i) çöpe atılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam çilek miktarı ve maliyet belirleme
Toplam çilek miktarı 100100 kg olsun. Kilogram alış fiyatı 3030 TL olduğundan, toplam maliyet 100×30=3000100 \times 30 = 3000 TL olur.
Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için başlangıç miktarı 100 kg olarak seçilmiştir.
2
Tüm satıştan elde edilen toplam geliri hesaplama
Toplam kâr oran�� %19 olduğundan, toplam satış geliri 3000×(1+0,19)=3000×1,19=35703000 \times (1 + 0,19) = 3000 \times 1,19 = 3570 TL olur.
Manavın tüm satışın sonunda kasasına giren toplam parayı bulmak için toplam kâr maliyete eklenir.
3
Sağlam çileklerin kilogram satış fiyatını belirleme
Kilogram satış fiyatı, maliyet üzerinden %40 kârla 30×(1+0,40)=30×1,40=4230 \times (1 + 0,40) = 30 \times 1,40 = 42 TL olur.
Kalan çileklerin birim satış fiyatını belirlemek için birim maliyete kâr oranı uygulanır.
4
Satılan sağlam çilek miktarını bulma
Satılan çilek miktarı xx kg ise, 42×x=357042 \times x = 3570 eşitliğinden x=357042=85x = \frac{3570}{42} = 85 kg bulunur.
Elde edilen toplam geliri, birim satış fiyatına bölerek satılan sağlam çilek miktarına ulaşılır.
5
Çöpe atılan çilek yüzdesini hesaplama
Çöpe atılan çilek miktarı 100−85=15100 - 85 = 15 kg'dır. Başlangıçtaki miktar 100 kg olduğundan bu oran %15 olur.
Toplam miktardan satılan miktar çıkarılarak fire miktarı ve bunun toplam miktara göre yüzdesi bulunur.

Anahtar Kavram

Kâr-zarar ve fire problemlerinde, kâr oranlarının uygulandığı matrahların (maliyet tabanlarının) doğru belirlenmesi ve denklem kurulması.

Alternatif Yöntem

Çileklerin kilogram birim maliyetini 11 TL kabul edelim. Toplam çilek miktarı 100100 birim olsun. Toplam maliyet 100100 TL'dir. Toplam kâr %19 olduğundan toplam ciro 119119 TL olmalıdır. Kalan xx birim çilek, birim maliyeti üzerinden %40 kârla yani 1,41,4 TL'ye satılmıştır. Buradan 1,4⋅x=1191,4 \cdot x = 119 denklemi kurulur. Her iki taraf 10 ile çarpılıp 14'e bölünürse x=119014=85x = \frac{1190}{14} = 85 birim bulunur. Satılan miktar 85 birim olduğundan çöpe atılan miktar 100−85=15100 - 85 = 15 birim, yani %15 olur. Bu yöntemle kilogram alış fiyatı olan 30 TL'yi işleme dahil etmeden daha hızlı çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 304Soru →

Bir oyuncakçı, maliyeti 200200 TL olan bir oyuncak arabayı %30\%30 kârla satmak üzere etiketliyor. Daha sonra bu oyuncağın etiket fiyatı üzerinden %10\%10 indirim uyguluyor. Buna göre, bu oyuncağın indirimli satış fiyatı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 234

Cevap

Oyuncağın indirimli satış fiyatı 234 TL'dir.
Maliyeti 200 TL olan oyuncağa %30 kâr eklendiğinde etiket fiyatı 260 TL olur. Bu etiket fiyatına %10 indirim uygulandığında indirim tutarı 26 TL olarak hesaplanır. Etiket fiyatından indirim tutarı çıkarıldığında indirimli satış fiyatı 234 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Oyuncağın %30 kârlı etiket fiyatını hesaplayınız.
200+200×30100=200+60=260200 + 200 \times \frac{30}{100} = 200 + 60 = 260 TL
Etiket fiyatı, maliyet fiyatına kâr miktarının eklenmesiyle belirlenir.
2
Etiket fiyatı üzerinden uygulanacak %10 indirim miktarını bulunuz.
260×10100=26260 \times \frac{10}{100} = 26 TL
İndirim oranı, indirim öncesi satış fiyatı olan etiket fiyatına uygulanmalıdır.
3
İndirimli satış fiyatını hesaplayınız.
260−26=234260 - 26 = 234 TL
İndirimli fiyat, etiket fiyatından indirim miktarının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Ardışık yüzde değişimlerinin doğru matrahlara uygulanarak hesaplanması
Soru 305Soru →

A ve B noktaları arasındaki uzaklığın 36 km36\text{ km} olduğu doğrusal bir yolda, Ali ve Burak isimli iki arkadaş A noktasından B noktasına gitmek istemektedir. Yanlarında sadece bir kişinin binebileceği tek bir elektrikli bisiklet vardır.

Ali ve Burak'ın yürüme ve bisiklet kullanma hızları aşağıdaki gibidir:
- Ali yürürken saatte 6 km6\text{ km}, bisikletle giderken saatte 24 km24\text{ km} sabit hızla hareket etmektedir.
- Burak ise yürürken saatte 4 km4\text{ km}, bisikletle giderken saatte 16 km16\text{ km} sabit hızla hareket etmektedir.

Ali ve Burak aynı anda A noktasından yola çıkıyorlar. Ali bisiklete binip Burak yürüyerek başlıyor. Ali yol üzerindeki bir C noktasında bisikleti bırakıp yoluna yürüyerek hemen devam ediyor. Arkadan yürüyerek gelen Burak ise C noktasına ulaştığında Ali'nin bıraktığı bisiklete hemen binerek kalan yolu bisikletle tamamlıyor.

Her ikisi de aynı anda B noktasına ulaştığına göre, bisikletin C noktasında hareketsiz kaldığı süre kaç saattir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2.5

Cevap

Bisikletin C noktasında hareketsiz kaldığı süre 2,5 saattir.
Ali'nin A'dan C'ye bisikletle gidiş süresi ve C'den B'ye yürüyüş süresinin toplamı, Burak'ın A'dan C'ye yürüyüş süresi ile C'den B'ye bisikletle gidiş süresinin toplamına eşittir. Buradan C noktasının A'dan uzaklığı 12 km12\text{ km} bulunur. Ali bisikleti 12/24=0,512/24 = 0,5 saatte bırakır, Burak ise 12/4=312/4 = 3 saatte alır. Aradaki fark olan 2,52,5 saat bisikletin hareketsiz kaldığı süredir.

Adım Adım Çözüm

1
A ile C arasındaki mesafeyi xx değişkeniyle tanımlamak ve C ile B arasındaki mesafeyi ifade etmek.
AC=x kmAC = x\text{ km} ve CB=36−x kmCB = 36 - x\text{ km}
Yolun iki farklı hızla gidilen bölümlerinin uzunluklarını belirlemek için.
2
Ali ve Burak'ın hareket sürelerini xx cinsinden ifade etmek.
TAli=x24+36−x6T_{\text{Ali}} = \frac{x}{24} + \frac{36 - x}{6} saat ve TBurak=x4+36−x16T_{\text{Burak}} = \frac{x}{4} + \frac{36 - x}{16} saat
Her iki hareketlinin toplam seyahat sürelerini karşılaştırabilmek için.
3
Sürelerin eşitliğini kullanarak xx değerini bulmak.
x=12 kmx = 12\text{ km}
İki arkadaşın B noktasına aynı anda vardığı bilgisiyle C noktasının konumunu belirlemek için.
4
Ali ve Burak'ın C noktasına ulaşma sürelerini hesaplamak.
Ali için 0,50,5 saat, Burak için 33 saat
Bisikletin C noktasında Ali tarafından bırakıldığı ve Burak tarafından alındığı zamanları belirlemek için.
5
İki süre arasındaki farkı bulmak.
3−0,5=2,53 - 0,5 = 2,5 saat
Bisikletin C noktasında boşta beklediği süreyi hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve mesafe arasındaki ilişkiyi kullanarak hareket denklemleri kurma ve çok adımlı sistemleri çözme.
Soru 306Soru →

Bir ailedeki anne, baba ve iki çocuğun yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Anne ile babanın yaşları farkı, çocukların yaşları farkının 22 katıdır.
* Babanın yaşının annenin yaşına oranının 76\frac{7}{6} olduğu bir yılda, büyük çocuğun yaşı küçük çocuğun yaşının 22 katıdır.
* Çocukların yaşları toplamının 4545 olduğu bir yılda ise annenin yaşının babanın yaşına oranı 910\frac{9}{10} olacaktır.

Buna göre, küçük çocuk doğdu��unda anne kaç yaşındaydı?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Küçük çocuk doğduğunda anne 33 yaşındaydı.
Küçük çocuğun doğum yılındaki anne yaşını bulmak için, herhangi bir yıldaki anne yaşından küçük çocuğun o yıldaki yaşı çıkarılır. T1T_1 yılında anne 36, küçük çocuk ise 3 yaşındadır. Buradan küçük çocuk doğduğunda annenin yaşının 33 olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yaş farklarını değişkenlerle tanımlamak
Anne-babanın yaş farkı d1=B−Ad_1 = B - A ve çocukların yaş farkı d2=C\c1−C\c2d_2 = Ç_1 - Ç_2 olsun. İlk verilen bilgiye göre d1=2d2d_1 = 2d_2 olur.
Yaş farkı zamanla değişmediği için bu farkları sabit birer değişken olarak kullanmak işlemleri basitleştirir.
2
İlk yılı (T1T_1) analiz etmek
Babanın yaşının annenin yaşına oranı 76\frac{7}{6} ise, aralarındaki fark d1d_1 olduğu için annenin yaşı 6d16d_1, babanın yaşı 7d17d_1 olur. Aynı yılda büyük çocuk küçük çocuğun 22 katı yaşta olduğundan ve yaş farklar�� d2d_2 olduğundan küçük çocuk d2d_2, büyük çocuk 2d22d_2 yaşındadır.
Verilen oranları kullanarak her bir kişinin o yıldaki yaşını yaş farkı değişkenleri cinsinden ifade etmek.
3
İkinci yılı (T2T_2) analiz etmek
Annenin yaşının babanın yaşına oranı 910\frac{9}{10} ise, babanın yaşı 10d110d_1, annenin yaşı 9d19d_1 olur. İki yıl arasında geçen süre annenin yaşındaki değişimden 9d1−6d1=3d19d_1 - 6d_1 = 3d_1 yıl olarak bulunur.
İkinci yıldaki oranları kullanarak zaman farkını bulmak.
4
Denklemi kurup çözmek
T2T_2 yılında çocukların yaşları 2d2+3d12d_2 + 3d_1 ve d2+3d1d_2 + 3d_1 olur. Toplamları: 3d2+6d1=453d_2 + 6d_1 = 45 olur. d1=2d2d_1 = 2d_2 eşitliği yerine yazılırsa 3d2+12d2=45⇒15d2=45⇒d2=33d_2 + 12d_2 = 45 \Rightarrow 15d_2 = 45 \Rightarrow d_2 = 3 ve d1=6d_1 = 6 bulunur.
Çocukların ikinci yıldaki yaşları toplamı bilgisini kullanarak değişkenlerin değerlerini hesaplamak.
5
İstenen yaş hesabını yapmak
T1T_1 yılında annenin yaşı 6×6=366 \times 6 = 36 ve küçük çocuğun yaşı d2=3d_2 = 3'tür. Küçük çocuk doğduğunda (yani 3 yıl önce) anne 36−3=3336 - 3 = 33 yaşındaydı.
Küçük çocuğun doğum yılındaki anne yaşını bulmak.

Anahtar Kavram

Yaş farkının zamanla değişmediği ilkesi kullanılarak oranların ortak zaman değişkenleriyle çözülmesi
Soru 307Soru →

Saatteki sabit hızı 90 km90\text{ km} olan bir tren, 1200 metre1200\text{ metre} uzunluğundaki bir tüneli, tünele girmeye başladığı andan tamamen çıkana kadar geçen sürede 1 dakikada1\text{ dakikada} geçmiştir.

Buna göre, bu trenin boyu kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Trenin boyu 300 metredir.
Trenin dakikadaki hızı 1500 metre1500\text{ metre} olarak hesaplanır. Trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken yol tünel boyu ile kendi boyunun toplamı (1200+L1200 + L) olduğundan, 1200+L=15001200 + L = 1500 eşitliğinden trenin boyu 300 metre300\text{ metre} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Trenin saatteki hızını metre/dakika birimine çevirin.
Trenin hızı saatte 90 km90\text{ km}'dir. 90 km=90 000 metre90\text{ km} = 90\,000\text{ metre} ve 1 saat=60 dakika1\text{ saat} = 60\text{ dakika} olduğuna göre, trenin dakikadaki hızı 90 00060=1500 metre/dakika\frac{90\,000}{60} = 1500\text{ metre/dakika} olur.
Soruda verilen zaman birimi dakika ve uzunluk birimi metre olduğu için hız birimini de metre/dakika cinsine dönüştürmemiz gerekir.
2
Trenin 1 dakikada1\text{ dakikada} aldığı toplam yolu hesaplayın.
Tren sabit hızla 1 dakika1\text{ dakika} hareket ettiğine göre aldığı yol 1500×1=1500 metre1500 \times 1 = 1500\text{ metre}'dir.
Alınan yol formülü olan Yol=Hız×ZamanYol = Hız \times Zaman ilişkisini kullanmak için.
3
Tünel geçiş problemlerinde alınan toplam yol bağıntısını kurun.
Bir trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken toplam yol, tünel uzunluğu ile trenin kendi boyunun toplamına eşittir. Yani, Toplam Yol=Tu¨nel Boyu+Tren Boyu\text{Toplam Yol} = \text{Tünel Boyu} + \text{Tren Boyu}'dur.
Trenin tünelden tamamen çıkabilmesi için son vagonunun da tüneli terk etmesi gerektiğinden, tren kendi boyu kadar ek mesafe katetmelidir.
4
Eşitliği çözerek trenin boyunu (LL) bulun.
1200+L=1500  ⟹  L=300 metre1200 + L = 1500 \implies L = 300\text{ metre} bulunur.
Toplam yol değerini ve tünel boyunu denklemde yerine koyarak bilinmeyen tren boyunu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Tren ve tünel geçiş problemlerinde alınan toplam yol, tünel boyu ile tren boyunun toplamına eşittir ve birimler (km/sa, m, dakika) işlem yapılmadan önce mutlaka birbiriyle uyumlu hale getirilmelidir.
Soru 308Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya iki basamaklı sayılarla ilgili yeni bir işlem tanımlamıştır. Bu tanıma göre, her iki basamaklı abab doğal sayısı için ⋆\star işlemi, sayının onlar basamağındaki rakamın karesi ile birler basamağındaki rakamın karesinin farkı alınarak hesaplanmaktadır. Öğretmen bu işlemi şu şekilde sembolize etmiştir:

ab⋆=a2−b2ab \star = a^2 - b^2

Buna göre, tahtadaki bu tanıma uygun olarak ab⋆=15ab \star = 15 eşitliğini sağlayan kaç farklı abab iki basamaklı doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2 farklı iki basamaklı doğal sayı yazılabilir.
Tanımlanan işleme göre a2−b2=15a^2 - b^2 = 15 olmalıdır. Buradan (a−b)(a+b)=15(a - b)(a + b) = 15 yazılır. Rakamlar kümesinde bu koşulu sağlayan ve aa ile bb değerlerinin rakam olduğu durumlar incelenirse, (a,b)(a, b) ikilileri (4,1)(4, 1) ve (8,7)(8, 7) olarak bulunur. Dolayısıyla abab iki basamaklı sayısı 41 ve 87 olmak üzere 2 farklı değer alabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan ⋆\star işlemini matematiksel denklem olarak ifade edin.
a2−b2=15a^2 - b^2 = 15 denklemi elde edilir.
Soruda verilen kurala göre iki basamaklı abab sayısının hanelerindeki rakamların kareleri farkı 15'e eşitlenmelidir.
2
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak denklemi çarpanlarına ayırın.
(a−b)(a+b)=15(a - b)(a + b) = 15 elde edilir.
a2−b2a^2 - b^2 ifadesi iki kare farkı özdeşliği ile daha kolay çözülebilir hale getirilir.
3
15 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını belirleyin ve rakam koşuluna göre eşleştirin.
Çarpan çiftleri (15,1)(15, 1) ve (5,3)(5, 3)'tür. aa ve bb rakam olduğu için a+ba+b en fazla 9+9=189+9=18 olabilir.
aa ve bb değerlerinin rakam olması sınır koşullarını belirler.
4
Her iki çarpan çifti için denklem sistemlerini çözerek aa ve bb rakamlarını bulun.
1. Durum: a+b=15a+b=15 ve a−b=1  ⟹  a=8,b=7a-b=1 \implies a=8, b=7 (87 sayısı). 2. Durum: a+b=5a+b=5 ve a−b=3  ⟹  a=4,b=1a-b=3 \implies a=4, b=1 (41 sayısı).
Elde edilen aa ve bb değerlerinin rakam olduğu ve iki basamaklı abab sayısını oluşturduğu doğrulanır.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemler ve Sayı Basamakları
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 309Soru →

Bir e-ticaret sitesi, müşterilerine yapacakları alışverişlerde kullanmak üzere iki farklı indirim kuponu tanımlamıştır:

* 1. Kupon: Alışveriş tutarı üzerinden %20 indirim sağlar.
* 2. Kupon: 500 TL ve üzeri alışverişlerde geçerli olmak üzere, alışveriş tutarından 150 TL indirim sağlar.

Bu e-ticaret sitesinden alışveriş yapan bir müşteri, sepetindeki ürünlerin toplam tutarına bu kuponlardan yalnızca birini uygulayabilmektedir. Sitenin kargo ücreti politikası ise şu şekildedir:

* İndirim uygulandıktan sonraki sepet tutarı 400 TL ve üzerinde ise kargo ücretsizdir.
* İndirim uygulandıktan sonraki sepet tutarı 400 TL'nin altında ise faturaya 50 TL kargo ücreti eklenmektedir.

Sepetindeki ürünlerin toplam değeri AA TL olan bir müşteri, 2. kuponu kullanabilme şartını sağlamaktadır. Bu müşteri 1. kuponu tercih ettiğinde ödeyeceği toplam tutarın, 2. kuponu tercih ettiğinde ödeyeceği toplam tutara eşit olduğunu fark ediyor.

Buna göre, AA değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1250

Cevap

Farklı A değerlerinin toplamı 1250 TL'dir.
Doğru cevap 1250 değeridir. Çünkü AA tutarı için yapılan analizde; kargonun ücretsiz olduğu aralıkta (A≥550A \geq 550) birinci ve ikinci kuponun eşitlendiği değer 750 TL, kargo ücretinin eklendiği aralıkta (500≤A<550500 \leq A < 550) ise eşitlendiği değer 500 TL olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 1250 TL yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Müşterinin 2. kuponu kullanabildiği bilindiğine göre, sepet tutarı için başlangıç koşulu A≥500A \geq 500 olmalıdır. İlk olarak 1. kuponun tercih edilmesi durumunu inceleyelim.
1. kupon uygulandığında sepet tutarı %20 indirim ile A×(1−0,20)=0,8AA \times (1 - 0,20) = 0,8A olur. A≥500A \geq 500 olduğundan, indirimli tutar 0,8A≥0,8×500=4000,8A \geq 0,8 \times 500 = 400 TL olur. Bu tutar 400 TL ve üzerinde olduğu için kargo ücretsizdir. Dolayısıyla 1. kuponla ödenecek toplam tutar: U¨1=0,8AÜ_1 = 0,8A olarak belirlenir.
1. kuponun uygulanması sonucunda ödenecek net tutarı ve kargo durumunu belirlemek amacıyla yapılmıştır.
2
2. kuponun tercih edilmesi durumunu inceleyelim. Bu durumda sepet tutarı A−150A - 150 olur. Kargo ücreti sınırını belirlemek için bu tutarı iki aralıkta incelemeliyiz.
Durum 2.1: A−150≥400⇒A≥550A - 150 \geq 400 \Rightarrow A \geq 550 ise kargo ücretsizdir. Ödenecek toplam tutar: U¨2=A−150Ü_2 = A - 150 olur. Durum 2.2: A−150<400⇒A<550A - 150 < 400 \Rightarrow A < 550 (başlangıç koşulu ile 500≤A<550500 \leq A < 550) ise faturaya 50 TL kargo ücreti eklenir. Ödenecek toplam tutar: U¨2=A−150+50=A−100Ü_2 = A - 150 + 50 = A - 100 olur.
İkinci kuponun uygulanmasıyla oluşacak tutarın kargo ücreti sınırının altında kalıp kalmama olasılıklarını ayrıştırmak amacıyla yapılmıştır.
3
Her iki durum için ödenecek toplam tutarların eşitliği şartını (U¨1=U¨2Ü_1 = Ü_2) uygulayalım.
1. Durum (A≥550A \geq 550 için): 0,8A=A−150⇒0,2A=150⇒A=7500,8A = A - 150 \Rightarrow 0,2A = 150 \Rightarrow A = 750 Bulunan 750 değeri A≥550A \geq 550 koşulunu sağladığı için geçerlidir. 2. Durum (500≤A<550500 \leq A < 550 için): 0,8A=A−100⇒0,2A=100⇒A=5000,8A = A - 100 \Rightarrow 0,2A = 100 \Rightarrow A = 500 Bulunan 500 değeri 500≤A<550500 \leq A < 550 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
Her iki farklı aralıktaki eşitlik durumundan gelebilecek geçerli AA değerlerini tespit etmek amacıyla yapılmıştır.
4
Elde edilen geçerli AA değerlerini toplayalım.
Farklı AA değerlerinin toplamı: 750+500=1250 TL750 + 500 = 1250\text{ TL} olarak bulunur.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak amacıyla yapılmıştır.

Anahtar Kavram

Koşullu durum içeren yüzde problemlerinde, değişkenlerin tanımlı olduğu aralıklar doğrultusunda denklem kurma ve analiz etme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 310Soru →

Bir anne ile kızının bugünkü yaşları toplam�� 4242'dir. 33 yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 33 katı olacağına göre, kızın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Kızın bugünkü yaşı 99 olarak bulunur.
Kızın bugünkü yaşına xx deyip annenin yaşını 42−x42-x olarak modelledikten sonra, her ikisinin de 33 yıl sonraki yaşlarını bulup aralarındaki 33 kat ilişkisini veren birinci dereceden denklem çözüldüğünde kızın bugünkü yaşı 99 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kızın ve annenin bugünkü yaşlarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.
Kızın bugünkü yaşı xx ise, annenin bugünkü yaşı 42−x42 - x olur.
Yaşlar toplamı 4242 olarak verildiğinden, tek bilinmeyen kullanmak işlemleri kolaylaştırır.
2
Anne ve kızın 33 yıl sonraki yaşlarını belirleyin.
Kızın 33 yıl sonraki yaşı x+3x + 3, annenin 33 yıl sonraki yaşı ise (42−x)+3=45−x(42 - x) + 3 = 45 - x olur.
Zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşı aynı miktarda artar.
3
33 yıl sonraki yaş oranına göre denklemi kurun ve çözün.
45−x=3(x+3)⇒45−x=3x+9⇒4x=36⇒x=945 - x = 3(x + 3) \Rightarrow 45 - x = 3x + 9 \Rightarrow 4x = 36 \Rightarrow x = 9 bulunur.
33 yıl sonra annenin yaşının, kızının yaşının 33 katı olacağı belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşının aynı miktarda artması.
Soru 311Soru →

Bir akıllı telefonun bataryası tamamen dolu iken kesintisiz olarak video izlenmeye başlanmıştır. Bu telefonun batarya şarjı %100\%100 seviyesinden %80\%80 seviyesine düştüğünde, telefonda 3 saat boyunca video izlendiği görülmüştür.

Buna göre, bu telefonun kalan batarya şarjı ile aynı koşullarda en fazla kaç saat daha video izlenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Telefonun kalan batarya şarjı ile aynı koşullarda en fazla 12 saat daha video izlenebilir.
Bataryanın %100\%100'den %80\%80'e inmesi, bataryanın %20\%20'sinin tüketildiğini gösterir. %20\%20 şarj ile 3 saat video izlenebildiğine göre, kalan %80\%80 şarj (tüketilen miktarın tam 4 katı) ile 3×4=123 \times 4 = 12 saat daha video izlenebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Harcanan batarya yüzdesinin hesaplanması
Harcanan batarya miktarı %20\%20'dir.
Batarya seviyesi %100\%100'den %80\%80'e düştüğü için harcanan miktar bu iki değerin farkı alınarak bulunur.
2
Kalan batarya yüzdesinin belirlenmesi
Kalan batarya miktarı %80\%80'dir.
Batarya seviyesi son durumda %80\%80 olarak belirtilmiştir.
3
Doğru orantı yardımıyla kalan sürenin hesaplanması
Kalan izleme süresi 12 saattir.
%20\%20 batarya ile 3 saat video izlenebildiğine göre, kalan %80\%80 batarya (tüketilen miktarın 4 katı) ile bunun 4 katı kadar süre video izlenebilir.

Anahtar Kavram

Doğru Orantı ile Yüzde Hesaplama
Soru 312Soru →

Bir e-ticaret platformu üzerinden özelleştirilmiş tasarım tişörtler satan bir girişimcinin maliyet ve satış koşulları aşa��ıdaki gibidir:

* Her bir tişörtün üretim maliyeti 240240 TL'dir.
* Platform, satılan her ürünün satış fiyatı üzerinden %20\%20 oranında komisyon almaktadır.
* Satıcı, platform üzerinden gönderilen her sipariş için alıcıya ulaştırılmak üzere 3030 TL sabit kargo ücreti ödemektedir.

Bu girişimci, aynı siparişte iki adet tişört satın alan müşteriler için ikinci tişörte %30\%30 indirim uygulamaktadır. İki adet tişört tek bir siparişte alındığı için tek bir kargo paketiyle gönderilmekte ve satıcı sadece bir kez kargo ücreti (3030 TL) ödemektedir.

Girişimci, iki adet tişört içeren bir siparişin satışından bu siparişe ait toplam maliyet (üretim, kargo ve komisyon dahil) üzerinden %25\%25 net kâr elde etmiştir.

Buna göre, bir tişörtün indirimsiz satış fiyatı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 500

Cevap

Bir tişörtün indirimsiz satış fiyatı 500 TL'dir.
İki tişörtlük siparişte toplam satış geliri 1,7x1,7x olur. Bu gelirin %20\%20'si olan 0,34x0,34x platform komisyonudur. İki tişörtün üretim maliyeti 480480 TL ve tek kargo ücreti 3030 TL olduğundan toplam maliyet 510+0,34x510 + 0,34x olur. Elde edilen kâr ise 1,7x−(510+0,34x)=1,36x−5101,7x - (510 + 0,34x) = 1,36x - 510 olur. Kârın toplam maliyete oranı %25\%25 (yani 1/41/4) olduğundan, 1,36x−510=0,25(510+0,34x)1,36x - 510 = 0,25(510 + 0,34x) denklemi çözülerek x=500x = 500 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tişörtün indirimsiz satış fiyatını xx cinsinden tanımlayarak iki tişörtün toplam satış gelirini yazma.
Birinci tişörtün satış fiyatı xx TL, ikinci tişörtün %30\%30 indirimli satış fiyatı 0,7x0,7x TL olup, toplam satış geliri S=x+0,7x=1,7xS = x + 0,7x = 1,7x TL olarak belirlenir.
Siparişteki toplam geliri satış fiyatına bağlı olarak ifade etmek için.
2
İki tişörtlük siparişin toplam maliyetini bileşenlerine ayırarak hesaplama.
Üretim maliyeti: 2×240=4802 \times 240 = 480 TL. Platform komisyonu: 1,7x×0,20=0,34x1,7x \times 0,20 = 0,34x TL. Kargo ücreti: 3030 TL. Toplam maliyet: C=480+30+0,34x=510+0,34xC = 480 + 30 + 0,34x = 510 + 0,34x TL olur.
Kâr oranını uygulayabilmek için toplam maliyet ifadesine ihtiyaç vardır.
3
Elde edilen net kâr ifadesini oluşturma.
Net Kâr = Toplam Satış Geliri - Toplam Maliyet = 1,7x−(510+0,34x)=1,36x−5101,7x - (510 + 0,34x) = 1,36x - 510 TL.
Kâr miktarını cebirsel olarak belirlemek için.
4
Kârın maliyete oranını kullanarak denklem kurma ve xx değerini çözme.
Net Kâr = %25×Toplam Maliyet  ⟹  1,36x−510=0,25×(510+0,34x)\%25 \times \text{Toplam Maliyet} \implies 1,36x - 510 = 0,25 \times (510 + 0,34x). Her iki tarafı 4 ile çarparsak: 4×(1,36x−510)=510+0,34x  ⟹  5,44x−2040=510+0,34x  ⟹  5,1x=2550  ⟹  x=5004 \times (1,36x - 510) = 510 + 0,34x \implies 5,44x - 2040 = 510 + 0,34x \implies 5,1x = 2550 \implies x = 500 TL elde edilir.
Tişörtün indirimsiz satış fiyatını bulmak için denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Maliyet, komisyon ve indirim durumlarında kâr oranının toplam maliyet üzerinden hesaplanması
Soru 313Soru →

Aşağıda, doğrusal yollarda sabit hızlarla hareket eden bazı taşıtların durumları verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki hareket durumlarını sağ sütundaki doğru sürelerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Saatteki hızı 60 km60\text{ km} olan bir otomobilin, aynı yönde saatteki hızı 40 km40\text{ km} olan bir kamyonun 10 km10\text{ km} gerisinden harekete başlayıp kamyonu yakalaması için geçen süre
Durgun sudaki hızı saatte 24 km24\text{ km} olan bir motorun, akıntı hızı saatte 6 km6\text{ km} olan bir nehirde akıntıya karşı 18 km18\text{ km} gidip akıntı yönünde 30 km30\text{ km} yol alması için geçen toplam süre
Saatteki hızı 90 km90\text{ km} olan 150 metre150\text{ metre} uzunluğundaki bir trenin, 600 metre600\text{ metre} uzunluğundaki bir tüneli tamamen geçmesi için geçen süre

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İlk hareket durumu 30 dakika ile, ikinci hareket durumu 120 dakika ile, üçüncü hareket durumu ise 30 saniye ile eşleşir.
İlk hareket durumunda bağıl hız formülü kullanılarak yakalama süresi 30 dakika, ikinci durumda akıntı etkisi hesaba katılarak toplam süre 120 dakika, üçüncü durumda ise toplam geçiş mesafesi tren ve tünel boyunun toplamı alınarak geçiş süresi 30 saniye olarak doğru şekilde eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk hareket durumunda yakalama süresini hesaplayınız.
Yakalama süresi 05 saat=30 dakika0{}5\text{ saat} = 30\text{ dakika} olarak bulunur.
Arkadaki otomobilin hızı 60 km/sa60\text{ km/sa}, öndeki kamyonun hızı 40 km/sa40\text{ km/sa} ve aralarındaki mesafe 10 km10\text{ km}'dir. Yakalama süresi t=MesafeHız Farkı=1060−40=05 saatt = \frac{\text{Mesafe}}{\text{Hız Farkı}} = \frac{10}{60 - 40} = 0{}5\text{ saat} olur. 05 saat×60 dk/sa=30 dakika0{}5\text{ saat} \times 60\text{ dk/sa} = 30\text{ dakika} elde edilir.
2
İkinci hareket durumunda nehirdeki gidiş-dönüş süresini hesaplayınız.
Toplam süre 2 saat=120 dakika2\text{ saat} = 120\text{ dakika} olarak bulunur.
Akıntıya karşı giderken hızlar çıkarılır: vkars¸ı=24−6=18 km/sav_{\text{karşı}} = 24 - 6 = 18\text{ km/sa}. Alınan yol 18 km18\text{ km} olduğuna göre geçen süre t1=1818=1 saatt_1 = \frac{18}{18} = 1\text{ saat} olur. Akıntı yönünde giderken hızlar toplanır: vyo¨n=24+6=30 km/sav_{\text{yön}} = 24 + 6 = 30\text{ km/sa}. Alınan yol 30 km30\text{ km} olduğuna göre geçen süre t2=3030=1 saatt_2 = \frac{30}{30} = 1\text{ saat} olur. Toplam süre t1+t2=1+1=2 saatt_1 + t_2 = 1 + 1 = 2\text{ saat} olup, bu da 2×60=120 dakika2 \times 60 = 120\text{ dakika} eder.
3
Üçüncü hareket durumunda trenin tüneli geçme süresini hesaplayınız.
Tüneli tamamen geçme süresi 30 saniye30\text{ saniye} olarak bulunur.
Trenin tüneli tamamen geçebilmesi için alması gereken toplam yol x=tren boyu+tu¨nel boyu=150+600=750 mx = \text{tren boyu} + \text{tünel boyu} = 150 + 600 = 750\text{ m}'dir. Saatteki hızı 90 km90\text{ km} olan trenin hızı metre/saniye cinsinden v=90×10003600=25 m/snv = 90 \times \frac{1000}{3600} = 25\text{ m/sn} olur. Geçen süre t=xv=75025=30 saniyet = \frac{x}{v} = \frac{750}{25} = 30\text{ saniye} olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişki olan Yol = Hız x Zaman formülü ile bu formülün bağıl hız, nehir akıntısı ve tünel geçişi gibi özel durumlarına uygulanması.

Alternatif Yöntem

Birim dönüşümlerine dikkat ederek, kilometre/saat cinsinden verilen hızları metre/saniye cinsine çevirmek için hız değerini doğrudan 518\frac{5}{18} ile çarpmak hesaplama kolaylığı sağlar. Örneğin: 90×518=25 m/sn90 \times \frac{5}{18} = 25\text{ m/sn}.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 314Soru →

Bir e-ticaret sitesinin deposundaki ürünlerin %60\%60'ı A kategorisinde, geri kalanı ise B kategorisindedir. Bu depodaki A kategorisindeki ürünlerin %10\%10'u, B kategorisindeki ürünlerin ise %15\%15'i paketleme hatası nedeniyle kargoya verilememiştir.

Depoda paketleme hatası olmayan ve kargoya verilebilecek durumda olan toplam 264264 ürün bulunduğuna göre, başlangıçta depoda toplam kaç ürün vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Başlangıçta depoda toplam 300 ürün vardır.
Doğru seçenekte belirtilen 300 değeri, A kategorisinden gelen %54 sağlam ürün payı ile B kategorisinden gelen %34 sağlam ürün payının toplanıp (%88) bu değerin 264'e eşitlenmesiyle hatasız şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Kategorilerin paylarını ve bu kategorilerdeki hatasız ürün oranlarını belirleyin.
A kategorisinin payı %60\%60, B kategorisinin payı %40\%40'tır. A kategorisindeki hatasız ürün oranı %100−%10=%90\%100 - \%10 = \%90, B kategorisindeki hatasız ürün oranı ise %100−%15=%85\%100 - \%15 = \%85'tir.
Her bir kategoriden ne oranda sağlam ürün geleceğini hesaplamak için temel oranları belirlemeliyiz.
2
Kategorilere göre sağlam ürünlerin toplam depoya oranını hesaplayın.
A kategorisinden gelen sağlam ürünlerin tüm depoya oranı: %60×%90=%54\%60 \times \%90 = \%54. B kategorisinden gelen sağlam ürünlerin tüm depoya oranı: %40×%85=%34\%40 \times \%85 = \%34. Toplam sağlam ürün oranı: %54+%34=%88\%54 + \%34 = \%88.
Depodaki toplam sağlam ürün sayısının, başlangıçtaki toplam ürün sayısının yüzde kaçı olduğunu bulmak için.
3
Toplam sağlam ürün oranını gerçek sayıya eşitleyerek başlangıçtaki toplam ürün sayısını bulun.
Toplam ürün sayısı TT olsun. T×88100=264  ⟹  T=264×10088=3×100=300T \times \frac{88}{100} = 264 \implies T = 264 \times \frac{100}{88} = 3 \times 100 = 300.
Bize verilen kargoya verilebilecek 264 ürün bilgisini kullanarak başlangıçtaki toplam ürün miktarını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir bütünün farklı alt gruplarına ait yüzdelerin ağırlıklı ortalamasını alarak genel yüzdeyi hesaplama ve bu yüzdeyi kullanarak başlangıç değerini bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 315Soru →

Bir sinema salonundaki koltukların %30\%30'u doludur. Bu salona 24 izleyici daha geldiğinde salondaki koltukların %50\%50'si dolmuş olmaktadır. Buna göre, bu sinema salonundaki toplam koltuk sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Sinema salonundaki toplam koltuk sayısı 120120'dir.
Doluluk oranındaki artış %50−%30=%20\%50 - \%30 = \%20'dir. Salondaki toplam koltuk sayısının %20\%20'si 24 olduğuna göre, toplam koltuk sayısı 24×5=12024 \times 5 = 120 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Salondaki toplam koltuk sayısına xx diyerek doluluk oranlarındaki değişimi belirleyin.
Doluluk oranı %30\%30'dan %50\%50'ye çıkmıştır. Dolayısıyla artış miktarı %50−%30=%20\%50 - \%30 = \%20'dir.
Gelen izleyicilerin salonun yüzde kaçına karşılık geldiğini bulmak için.
2
Bu artış miktarını gelen izleyici sayısı olan 24 ile eşitleyerek denklemi kurun.
xx sayısının %20\%20'si 24'tür. 20100⋅x=24\frac{20}{100} \cdot x = 24 veya 15⋅x=24\frac{1}{5} \cdot x = 24 olur.
Yüzde bağıntısını matematiksel denkleme dökmek için.
3
Denklemi çözerek xx değerini hesaplayın.
x=24⋅5=120x = 24 \cdot 5 = 120 bulunur.
Toplam koltuk sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Yüzde Hesaplama ve Fark Yöntemi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 316Soru →

Hibrit bir otomobil, A ve B şehirleri arasındaki yolun toprak kısmını elektrik motoruyla saatte ortalama 60 km60\text{ km} hızla, asfalt kısmını ise benzinli motoruyla saatte ortalama 90 km90\text{ km} hızla gitmiştir. Bu yolun asfalt kısmının uzunluğu, toprak kısmının uzunluğunun 33 katıdır.

Buna göre, bu otomobilin A şehrinden B şehrine gidene kadarki tüm hareketi boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Otomobilin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 80 kilometredir.
Toprak yolun uzunluğuna xx dediğimizde asfalt yol 3x3x olur ve toplam yol 4x4x birimdir. Toprak yolda geçen süre x/60x/60 saat, asfalt yolda geçen süre ise 3x/90=x/303x/90 = x/30 saattir. Bu iki sürenin toplamı yolculuğun tamamı için harcanan süreyi (x/20x/20 saat) verir. Toplam yol olan 4x4x ifadesini toplam süreye oranladığımızda ortalama hız saatte 80 kilometre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yol uzunluklarını değişken cinsinden ifade etme
Toprak yolun uzunluğu xx km ise, asfalt yolun uzunluğu 3x3x km olur. Toplam yol x+3x=4xx + 3x = 4x km'dir.
Ortalama hız formülünde kullanılacak toplam yolu belirlemek amacıyla yol bölümlerini tek bir değişken cinsinden yazarız.
2
Her bir yol bölümünde geçen süreleri hesaplama
Toprak yolda geçen süre t1=x60t_1 = \frac{x}{60} saat, asfalt yolda geçen süre ise t2=3x90=x30t_2 = \frac{3x}{90} = \frac{x}{30} saat olur.
Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak her iki bölümde harcanan süreleri belirleriz.
3
Toplam hareket süresini bulma
Toplam süre ttoplam=t1+t2=x60+x30=x+2x60=3x60=x20t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{60} + \frac{x}{30} = \frac{x + 2x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20} saat olur.
Farklı yol kesimlerinde geçen süreleri toplayarak toplam hareket süresini elde ederiz.
4
Ortalama hızı hesaplama
Vort=Toplam YolToplam Su¨re=4xx20=4x⋅20x=80 km/saV_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{4x}{\frac{x}{20}} = 4x \cdot \frac{20}{x} = 80\text{ km/sa} olarak bulunur.
Ortalama hızın temel tanımı olan toplam yolun toplam zamana oranı formülünü uygularız.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hareketlinin aldığı toplam yolun, bu yolu almak için harcadığı toplam süreye oranıdır (Vort=xtoplamttoplamV_{\text{ort}} = \frac{x_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}). Hızların doğrudan aritmetik ortalaması ortalama hızı vermez.
Soru 317Soru →

Elif, Hande ve Kemal'in bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Elif, Hande'nin bugünkü yaşına geldiğinde Kemal'in yaşı, Hande'nin yaşının 32\frac{3}{2} katı olacaktır.
* Hande, Kemal'in bugünkü yaşına geldiğinde Elif'in yaşı, Hande'nin yaşının 56\frac{5}{6}'sı olacaktır.
* Elif ile Kemal'in bugünkü yaşları toplamı 52'dir.

Buna göre, Hande'nin bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Hande'nin bugünkü yaşı 22'dir.
Elif, Hande ve Kemal'in yaşları sırasıyla EE, HH ve KK olsun. Soruda verilen durumlar doğrultusunda kurulan birinci denklemden E+2K=4HE + 2K = 4H ve ikinci denklemden 6E+K=6H6E + K = 6H elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde yaşlar sırasıyla 8x8x, 11x11x ve 18x18x oranlarında bulunur. Elif ile Kemal'in bugünkü yaşları toplamı olan 8x+18x=528x + 18x = 52 eşitliğinden x=2x = 2 bulunur. Buradan Hande'nin bugünkü yaşı 11×2=2211 \times 2 = 22 olarak elde edilir. Bu nedenle 22 olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin bugünkü yaşlarını değişkenlerle ifade edip yaş sıralamasını belirleme.
Elif'in bugünkü yaşı EE, Hande'nin bugünkü yaşı HH ve Kemal'in bugünkü yaşı KK olsun (E<H<KE < H < K).
Problemde verilen zaman geçişlerini ve yaş ilişkilerini doğru kurgulamak için başlangıç değişkenleri tanımlanmalıdır.
2
Elif'in Hande'nin yaşına geldiği durum için denklem kurma.
Geçen süre H−EH - E yıldır. Bu süre sonunda Kemal'in yaşı K+H−EK + H - E, Hande'nin yaşı ise 2H−E2H - E olur. Verilen orandan K+H−E=32(2H−E)  ⟹  E+2K=4HK + H - E = \frac{3}{2}(2H - E) \implies E + 2K = 4H elde edilir.
Geçen zamanın gruptaki her bireyin yaşına eşit miktarda eklenece��ini kullanarak birinci durumdaki yaş bağıntısını elde etmek gerekir.
3
Hande'nin Kemal'in yaşına geldiği durum için denklem kurma.
Geçen süre K−HK - H yıldır. Bu süre sonunda Elif'in yaşı E+K−HE + K - H, Hande'nin yaşı ise KK olur. Verilen orandan E+K−H=56K  ⟹  6E+K=6HE + K - H = \frac{5}{6}K \implies 6E + K = 6H elde edilir.
İkinci zaman aralığındaki yaş değişimlerini modelleyerek ikinci bağıntıyı oluşturmak gerekir.
4
Elde edilen denklemleri ortak çözerek yaşlar arasındaki oranları bulma.
E=4H−2KE = 4H - 2K ifadesini 6E+K=6H6E + K = 6H denkleminde yerine yazarsak 18H=11K18H = 11K elde edilir. Buradan H=11xH = 11x, K=18xK = 18x ve E=8xE = 8x bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek tüm kişilerin yaşlarını tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek gerekir.
5
Elif ile Kemal'in yaşları toplamından yararlanarak bilinmeyeni bulma.
E+K=52  ⟹  8x+18x=52  ⟹  26x=52  ⟹  x=2E + K = 52 \implies 8x + 18x = 52 \implies 26x = 52 \implies x = 2 bulunur.
Verilen toplam yaş bilgisini kullanarak bilinmeyen kat sayısını (xx) hesaplamak gerekir.
6
Hande'nin bugünkü yaşını hesaplama.
H=11x  ⟹  H=11×2=22H = 11x \implies H = 11 \times 2 = 22 olarak bulunur.
Bulunan kat sayı değeriyle Hande'nin bugünkü yaş ifadesini çarparak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçişinin tüm kişilere eşit yansıması ve yaş farkının sabitliği ilkelerinin denklemlerle modellenmesi.
Soru 318Soru →

Yan yana duran 6 kutunun her birinde başlangıçta soldan sağa sırasıyla 4, 2, 5, 3, 1 ve 7 adet bilye bulunmaktadır. Bu kutulara uygulanan her bir işlemde, yan yana bulunan herhangi iki kutu seçilerek bu kutuların her birine birer bilye eklenmekte ya da her birinden birer bilye çıkarılmaktadır. Kutulardaki bilye sayısı hiçbir zaman negatif bir değer almadığına göre, yapılan işlemler sonucunda kutulardaki bilye sayısı aşağıdakilerden hangisi gibi olamaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (3,3,3,3,3,3)(3, 3, 3, 3, 3, 3)

Cevap

Tüm kutularda 3 bilye bulunması, yani (3,3,3,3,3,3)(3, 3, 3, 3, 3, 3) durumu
Her işlemde seçilen iki kutunun biri tek indisli konumda, diğeri ise çift indisli konumda yer alır. Bu nedenle, yapılan her ekleme veya çıkarma işlemi tek indisli kutuların toplamı ile çift indisli kutuların toplamını eşit miktarda değiştirir. Dolayısıyla bu iki grubun toplam bilye sayıları arasındaki fark (T−C\cT - Ç) daima korunur. Başlangıçtaki fark 10−12=−210 - 12 = -2 olup, tüm kutularda 3 bilye olması durumunda fark 9−9=09 - 9 = 0 olmaktadır. Bu fark korunamadığı için bu duruma ulaşılamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Kutuları indislerine göre gruplandırma
Kutuları 1'den 6'ya kadar numaralandırıp tek indisli kutular {1,3,5}\{1, 3, 5\} ve çift indisli kutular {2,4,6}\{2, 4, 6\} olmak üzere iki gruba ayıralım.
Her işlemin kutu grupları üzerindeki etkisini incelemek amacıyla.
2
İşlemlerin etkisini analiz etme
Yan yana seçilen herhangi iki kutudan biri daima tek indisli grupta, diğeri ise çift indisli grupta yer alır. Bu iki kutuya aynı anda 1 bilye eklemek ya da çıkarmak, her iki grubun toplam bilye sayısını aynı anda 1 artırır ya da 1 azaltır.
Sistemdeki değişmez (invariant) özelliği bulmak amacıyla.
3
Değişmez (invariant) bağıntıyı tanımlama
Tek indisli kutulardaki toplam bilye sayısı TT ve çift indisli kutulardaki toplam bilye sayısı C\cÇ olsun. Yapılan her işlemde hem TT hem de C\cÇ aynı miktarda değişeceğinden, T−C\cT - Ç farkı hiçbir işlemle değişmez ve daima sabit kalır.
Sistemin ulaşabileceği durumları sınırlayan kuralı belirlemek amacıyla.
4
Başlangıç durumu ile seçeneklerdeki durumları karşılaştırma
Başlangıçta T0=4+5+1=10T_0 = 4 + 5 + 1 = 10 ve C\c0=2+3+7=12Ç_0 = 2 + 3 + 7 = 12 olduğundan sabit fark T−C\c=10−12=−2T - Ç = 10 - 12 = -2 olmalıdır. Tüm kutularda 3 bilye olması durumunda ise T=3+3+3=9T = 3 + 3 + 3 = 9 ve C\c=3+3+3=9Ç = 3 + 3 + 3 = 9 olup fark T−C\c=9−9=0T - Ç = 9 - 9 = 0 olur. Farkın −2-2 olması gerektiğinden bu duruma ulaşılamaz.
Hangi durumun elde edilemeyeceğini saptamak amacıyla.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemlerde Değişmezlik (İnvariant) İlkesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, başlangıç durumundan hedef duruma geçmek için yapılması gereken değişimler yazılıp, yan yana olan kutuların değişim miktarları arasında doğrusal bir denklem sistemi kurulabilir. Kurulan bu denklem sisteminin tüm kutularda 3 bilye olması durumunda tutarsız olduğu, diğer durumlarda ise tutarlı çözümler verdiği gösterilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 319Soru →

Bir havalimanında bulunan 180 metre180\text{ metre} uzunluğundaki bir yürüyen bant, sabit hızla hareket etmektedir. Bu yürüyen bant üzerinde, bandın hareket yönüyle aynı doğrultuda sabit hızla yürüyen Hakan, bandın başından sonuna 45 saniyede45\text{ saniyede} ulaşabilmektedir.

Hakan, bant üzerinde yürümeye başladıktan tam ortasına geldiği anda bant elektrik arızası nedeniyle durmuştur. Hakan, yürüme hızını değiştirmeden bandın kalan yarısını 60 saniyede60\text{ saniyede} tamamlamıştır.

Buna göre, yürüyen bant çalışırken Hakan bant üzerinde hiç yürümeden dursaydı, bandın başından sonuna kaç saniyede ulaşırdı?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Hakan'ın bant üzerinde hiç yürümeden durması durumunda bandın başından sonuna ulaşma süresi 72 saniyedir.
Hakan'ın yürüyen bantla birlikte hareket ederken sahip olduğu toplam hız 4 m/sn'dir. Yolun yarısında bant durduktan sonra kalan 90 metreyi kendi hızıyla 60 saniyede tamamladığı için kendi yürüme hızı 1,5 m/sn olur. Buradan bandın hızı 2,5 m/sn olarak bulunur. Hakan yürümeden durduğunda sadece bandın hızıyla hareket edeceğinden, 180 metrelik yolu 72 saniyede tamamlar.

Adım Adım Çözüm

1
Hakan'ın normal şartlardaki toplam hız��nı belirleme.
vH+vB=4 m/snv_H + v_B = 4\text{ m/sn}
Hakan normalde 180 metrelik yolu yürüyen bantla birlikte 45 saniyede tamamladığı için toplam hız yolun zamana bölünmesiyle bulunur: 18045=4 m/sn\frac{180}{45} = 4\text{ m/sn}.
2
Bandın durduğu ikinci bölümde Hakan'ın sadece kendi hızını hesaplama.
vH=1,5 m/snv_H = 1,5\text{ m/sn}
Yolun tam ortasında (180/2=90 metre180 / 2 = 90\text{ metre}) bant durduğu için kalan 90 metrelik mesafeyi Hakan sadece kendi hızıyla 60 saniyede geçmiştir. Dolay��sıyla vH=9060=1,5 m/snv_H = \frac{90}{60} = 1,5\text{ m/sn} olur.
3
Yürüyen bandın hızını bulma.
vB=2,5 m/snv_B = 2,5\text{ m/sn}
Normal şartlardaki toplam hız vH+vB=4 m/snv_H + v_B = 4\text{ m/sn} olduğundan ve vH=1,5 m/snv_H = 1,5\text{ m/sn} bulunduğundan, bandın hızı vB=4−1,5=2,5 m/snv_B = 4 - 1,5 = 2,5\text{ m/sn} olarak elde edilir.
4
Hakan'ın bant üzerinde hiç yürümeden durması durumunda geçecek süreyi hesaplama.
72 saniye72\text{ saniye}
Hakan bant üzerinde yürümeden durursa sadece bandın hızıyla hareket eder. Bu durumda 180 metrelik yolu t=1802,5=72 saniyedet = \frac{180}{2,5} = 72\text{ saniyede} tamamlar.

Anahtar Kavram

Bileşik hareket ve bağıl hız prensipleri kullanılarak değişken hareket koşullarında hız ve zaman denklemlerinin kurulması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 320Soru →

Bir sayı doğrusu oyunu oynayan Arda, Berk ve Cenk'in başlangıçtaki konumları sıfır noktasıdır. Her biri birer kez zar atarak zarda gelen sayıya göre sağa doğru ilerlemektedir.
- Arda'nın attığı zar aa olup ilerlediği mesafe a2a^2 birimdir.
- Berk'in attığı zar bb olup ilerlediği mesafe 3b+53b + 5 birimdir.
- Cenk'in attığı zar cc olup ilerlediği mesafe c3−cc^3 - c birimdir.

Oyuncuların zarda attıkları aa, bb ve cc sayıları ardışık pozitif tam sayılardır.
Oyuncuların sayı doğrusu üzerindeki son konumları sırasıyla AA, BB ve CC'dir.
Bu konumlar hakkında aşağıdakiler bilinmektedir:
- Cenk'in konumu en geride, Arda'nın konumu ise ortadadır.
- Berk'in attığı zar sayısı, Arda'nın attığı zar sayısından büyüktür.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının küçükten b��yüğe doğru sıralanışı nasıldır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru zarların sıralaması c, a, b şeklindedir.
Cenk'in son konumu C = c³ - c, Arda'nın son konumu A = a² ve Berk'in son konumu B = 3b + 5'tir. Verilen C < A < B eşitsizliğini ve b > a şartını sağlayan ardışık pozitif tam sayı grupları incelendiğinde, bu şartları sadece {1, 2, 3} (c=1, a=2, b=3) ve {2, 3, 4} (c=2, a=3, b=4) kümesi sağlar. Her iki durumda da c < a < b sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Oyuncuların son konumlarını veren fonksiyonları belirleyelim.
A=a2A = a^2, B=3b+5B = 3b + 5 ve C=c3−cC = c^3 - c olarak ifade edilir.
Soruda verilen kurala göre oyuncuların ilerleme mesafeleri başlangıç noktası sıfır olduğundan doğrudan son konumlarının koordinatlarını verir.
2
Verilen konumsal sıralama ve zar ilişkilerini analiz edelim.
Cenk en geride ve Arda ortada olduğundan C<A<BC < A < B eşitsizliği sağlanmalıdır. Ayrıca b>ab > a koşulu verilmiştir.
Soruda Cenk'in en geride (en küçük), Arda'nın ise ortada olduğu ve Berk'in zarının Arda'nınkinden büyük olduğu belirtilmiştir.
3
Zar sayılarının ardışık pozitif tam sayılar olduğunu kullanarak olası durumları inceleyelim.
a,b,ca, b, c ardışık pozitif tam sayılar olduğundan {a,b,c}={k,k+1,k+2}\{a, b, c\} = \{k, k+1, k+2\} şeklindedir. b>ab > a olduğundan olası üç durum vardır: 1) c<a<bc < a < b, 2) a<c<ba < c < b, 3) a<b<ca < b < c.
b>ab > a koşulunu sağlayan ardışık üç sayının permütasyonlarını belirlemek için.
4
c<a<bc < a < b durumunu (yani c=k,a=k+1,b=k+2c = k, a = k+1, b = k+2) test edelim.
k=1k = 1 için c=1,a=2,b=3  ⟹  C=0,A=4,B=14c = 1, a = 2, b = 3 \implies C = 0, A = 4, B = 14 olup C<A<BC < A < B sağlanır. k=2k = 2 için c=2,a=3,b=4  ⟹  C=6,A=9,B=17c = 2, a = 3, b = 4 \implies C = 6, A = 9, B = 17 olup C<A<BC < A < B sağlanır. k≥3k \ge 3 için C>AC > A olmaktadır.
Bu durumun hangi kk değerleri için konumsal sıralamayı sağladığını bulmak için.
5
a<c<ba < c < b ve a<b<ca < b < c durumlarının eşitsizliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Her iki durumda da en küçük zar aa olduğundan C=c3−cC = c^3 - c değeri her zaman A=a2A = a^2'den büyük veya eşit olur, dolayısıyla C<AC < A eşitsizliği hiçbir zaman sağlanamaz.
Diğer olası sıralamaların neden geçerli olamayacağını matematiksel olarak ispatlamak için.
6
Bulunan tek geçerli durumu kullanarak zar sayılarının sıralamasını belirleyelim.
Tek geçerli durum c<a<bc < a < b olduğundan, zarların küçükten büyüğe sıralaması c<a<bc < a < b şeklindedir.
Sorunun bizden istediği nihai sıralamaya ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemler
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 16 / 45Sonraki
Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 16 | Examkin