Examkin

Sayı Problemleri

278 soru

Soru 221Soru →

Bir okul kantinindeki otomat makinesinde meyve suyu ve süt olmak üzere iki çeşit içecek satılmaktadır. Bu içeceklerin satış fiyatları ve boş şişelerinin geri dönüşüm kutusuna atılması durumunda elde edilen iade (depozito) bedelleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

İçecek TürüSatış Fiyatı (TL)Boş Şişe İade Bedeli (TL)
Meyve Suyu181822
Süt242433

Bu otomattan belirli bir günde toplam 7070 adet içecek satın alınmış ve bu alımlar için toplam 14401440 TL ödenmiştir. Gün sonunda satın alınan bu içeceklerin tamamının boş şişeleri geri dönüşüm kutusuna atılarak iade bedelleri alınmıştır.

Buna göre, süt şişelerinin geri iadesinden elde edilen toplam iade bedeli kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Süt şişelerinin geri iadesinden elde edilen toplam iade bedeli 90 TL'dir.
Doğru yanıt olan 90 değeri, otomattan satın alınan 30 adet süt şişesinin her birinin 3 TL olan iade bedeliyle çarpılması (30×3=9030 \times 3 = 90) sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Satın alınan meyve suyu ve süt miktarları için değişkenler belirlenir ve toplam içecek sayısı denklemi kurulur.
Meyve suyu sayısı mm ve süt sayısı ss olsun. Toplam içecek sayısı: m+s=70m + s = 70.
İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için birinci bağıntıyı elde etmek.
2
İçeceklerin birim fiyatları kullanılarak toplam ödenen tutar üzerinden ikinci denklem kurulur.
18m+24s=144018m + 24s = 1440 TL.
Toplam harcama miktarını veren denklem ile sistemin ikinci bağıntısını elde etmek.
3
Kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.
İkinci denklem 6 ile sadeleştirildiğinde 3m+4s=2403m + 4s = 240 elde edilir. Birinci denklem 3 ile çarpılarak (3m+3s=2103m + 3s = 210) bu denklemden çıkarılırsa, s=30s = 30 ve buradan m=40m = 40 bulunur.
Satın alınan meyve suyu ve süt adetlerini tek tek belirlemek.
4
Süt şişelerinden elde edilen toplam iade bedeli hesaplanır.
30×3=9030 \times 3 = 90 TL.
İstenen süt şişesi adetini birim iade bedeliyle çarparak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ve Sayı Problemleri
Soru 222Soru →

Bir müzeye giriş ücretleri ve gruplara uygulanan indirim oranları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Müzenin kişi başı tam giriş ücreti 30 TL30\text{ TL}'dir.
* Kişi sayısı en az 10, en fazla 24 olan gruplardaki her bir kişiye giriş ücretinde 5 TL5\text{ TL} indirim uygulanmaktadır.
* Kişi sayısı en az 25 olan gruplardaki her bir kişiye ise giriş ücretinde 8 TL8\text{ TL} indirim uygulanmaktadır.

Bu müzeyi aynı gün ziyaret eden iki farklı gruptan birinci gruptaki kişi sayısı, ikinci gruptaki kişi sayısının 2 katıdır.

Bu iki grubun müzeye ödediği toplam ücret 1035 TL1035\text{ TL} olduğuna göre, ikinci gruptaki kişi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İkinci gruptaki kişi sayısı 15'tir.
İkinci gruptaki kişi sayısı 15 olarak alındığında, bu grup 10 ile 24 kişi arasında olduğu için kişi başı 25 TL öder ve toplam ödemesi 375 TL olur. Birinci grup ise bunun iki katı olan 30 kişiden oluşur ve 25 kişiden fazla olduğu için kişi başı 22 TL öder, toplam ödemesi 660 TL olur. İki grubun toplam ödemesi 375 + 660 = 1035 TL olarak şartı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Gruplardaki kişi sayılarını değişkenler cinsinden belirleme
İkinci grubun kişi sayısı xx ise birinci grubun kişi sayısı 2x2x olur.
Birinci grubun kişi sayısının ikinci grubun kişi sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.
2
Kişi sayılarına göre indirimli fiyatları ve toplam ücret denklemini oluşturma
xx sayısının 10≤x<2510 \leq x < 25 aralığında olduğu varsayıldığında, ikinci grup kişi başı 30−5=25 TL30 - 5 = 25\text{ TL} öder. Bu durumda birinci grubun kişi sayısı 2x≥252x \geq 25 olacağından birinci grup kişi başı 30−8=22 TL30 - 8 = 22\text{ TL} öder. Denklem: 25⋅x+22⋅(2x)=103525 \cdot x + 22 \cdot (2x) = 1035 olarak kurulur.
Grupların kişi sayıları farklı indirim aralıklarına denk geldiği için kişi başı ücretler farklılaşmaktadır.
3
Kurulan denklemi çözerek bilinmeyeni bulma ve aralık kontrolü yapma
25x+44x=1035  ⟹  69x=1035  ⟹  x=1525x + 44x = 1035 \implies 69x = 1035 \implies x = 15 bulunur. Bulunan 1515 değeri 10≤x<2510 \leq x < 25 koşulunu ve 2⋅15=30≥252 \cdot 15 = 30 \geq 25 koşulunu sağlamaktadır.
Denklemin çözümünden elde edilen değerin başlangıçta kabul edilen aralık kabulleriyle uyuşup uyuşmadığı doğrulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde aralıklara göre değişen doğrusal ilişkileri kullanarak denklem kurma ve çözme.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerde verilen değerler doğrudan denenerek toplam bilet fiyatının 1035 TL olup olmadığı kontrol edilebilir. Örneğin 15 değeri için gruplar 15 ve 30 kişidir. 15 kişilik grup için kişi başı bilet 25 TL, 30 kişilik grup için ise 22 TL olduğundan toplam tutar 15×25+30×22=375+660=1035 TL15 \times 25 + 30 \times 22 = 375 + 660 = 1035\text{ TL} olarak kolayca bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 223Soru →

Bir çiçekçi, elindeki güller ve papatyalarla her bir buket içinde eşit sayıda çiçek olacak şekilde iki farklı türde buket hazırlamaktadır. Buketlerin içerdiği çiçek sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buket TürüGül SayısıPapatya Sayısı
1. Tür35
2. Tür53

Çiçekçinin hazırladığı 1. tür buketlerin sayısı, 2. tür buketlerin sayısının 2 katından 4 eksiktir.

Çiçekçi bu buketlerin tamamını hazırlamak için toplam 131 adet gül kullandığına göre, bu buketlerde kullanılan toplam papatya sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 149

Cevap

Hazırlanan buketlerde kullanılan toplam papatya sayısı 149'dur.
Verilen ilişkiler doğrultusunda 2. tür buket sayısı xx alındığında, 1. tür buket sayısı 2x−42x-4 olur. Gül sayıları üzerinden kurulan 3(2x−4)+5x=1313(2x-4) + 5x = 131 denklemi çözüldüğünde x=13x=13 bulunur. Buradan 1. tür buket sayısı 22, 2. tür buket sayısı 13 olarak elde edilir. Toplam papatya sayısı ise 22×5+13×3=14922 \times 5 + 13 \times 3 = 149 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Buket sayıları için değişken tanımlama ve bağıntı kurma
2. tür buket sayısı xx olarak belirlenirse, 1. tür buket sayısı 2x−42x - 4 olur.
Soruda verilen 1. tür buket sayısının, 2. tür buket sayısının 2 katından 4 eksik olduğu bilgisi cebirsel olarak ifade edilmiştir.
2
Kullanılan toplam gül sayısı üzerinden denklem oluşturma ve çözme
3(2x−4)+5x=131⇒6x−12+5x=131⇒11x=143⇒x=133(2x - 4) + 5x = 131 \Rightarrow 6x - 12 + 5x = 131 \Rightarrow 11x = 143 \Rightarrow x = 13 bulunur.
1. tür buketlerin her birinde 3 gül, 2. tür buketlerin her birinde 5 gül bulunduğu bilgisi kullanılarak toplam gül sayısına eşitlenmiştir.
3
Buket türlerinin adetlerini bulma
1. tür buket sayısı 2(13)−4=222(13) - 4 = 22 adet, 2. tür buket sayısı ise 1313 adettir.
Bulunan xx değeri yerine yazılarak her bir buket türünün toplam miktarı hesaplanmıştır.
4
Toplam papatya sayısını hesaplama
5×22+3×13=110+39=1495 \times 22 + 3 \times 13 = 110 + 39 = 149 adet papatya bulunur.
1. tür buketlerde 5'er, 2. tür buketlerde 3'er adet papatya kullanıldığı bilgisiyle toplam papatya miktarına ulaşılmıştır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen değişkenler arasında doğrusal bağıntı kurma ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözme

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine sayısal tahminlerden gidilebilir. Toplam gül sayısı 131 tek bir sayı olduğundan ve 2. tür buketlerdeki gül sayısı 5 (sonu 0 veya 5 ile biten bir sayı) olduğundan, 1. tür buketlerin gül toplamı (3×Buket Sayısı3 \times \text{Buket Sayısı}) tek sayı olmalıdır. Buradan deneme yanılma yapılarak da sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 224Soru →

Bir şehrin bisiklet paylaşım sisteminde A ve B olmak üzere iki farklı tipte toplam 34 adet istasyon bulunmaktadır. Bu istasyonlardaki bisikletler ve park yerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Başlangıçta tüm istasyonlardaki bisiklet park yerleri tamamen doludur.
* Gün içinde A tipi istasyonların yarısının her birinden 3'er bisiklet, B tipi istasyonların ise ��çte birinin her birinden 5'er bisiklet alınmıştır.
* Son durumda sistemdeki toplam boş park yeri sayısı 54 olmuştur.

Buna göre, bu bisiklet paylaşım sistemindeki B tipi istasyon sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

B tipi istasyon sayısı 18'dir.
B tipi istasyon sayısı yy, A tipi istasyon sayısı xx olarak belirlendiğinde; toplam istasyon sayısı x+y=34x + y = 34 ve boş park yerlerinin toplamı 1.5x+53y=541.5x + \frac{5}{3}y = 54 olarak yazılır. Bu denklem sistemi çözüldüğünde y=18y = 18 ve x=16x = 16 değerleri elde edilir. Dolayısıyla B tipi istasyon sayısı 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve istasyon sayısına göre ilk denklemin kurulması.
A tipi istasyon sayısı xx, B tipi istasyon sayısı yy olsun. Toplam istasyon sayısı 34 olduğundan x+y=34x + y = 34 denklemi elde edilir.
İstasyonlar arasındaki ilişkiyi cebirsel olarak ifade etmek.
2
Alınan bisiklet miktarlarına ve oluşan boş park yeri sayısına göre ikinci denklemin kurulması.
A tipi istasyonların yarısından (x/2x/2) 3'er bisiklet alınırsa 3⋅x2=3x23 \cdot \frac{x}{2} = \frac{3x}{2} boş yer oluşur. B tipi istasyonların üçte birinden (y/3y/3) 5'er bisiklet alınırsa 5⋅y3=5y35 \cdot \frac{y}{3} = \frac{5y}{3} boş yer oluşur. Toplam boş yer sayısı 54 olduğuna göre, 3x2+5y3=54\frac{3x}{2} + \frac{5y}{3} = 54 denklemi elde edilir.
Oluşan boş yer miktarını veren bağıntıyı kurmak.
3
İkinci denklemin paydalarının eşitlenerek sadeleştirilmesi.
3x2+5y3=54  ⟹  9x+10y6=54  ⟹  9x+10y=324\frac{3x}{2} + \frac{5y}{3} = 54 \implies \frac{9x + 10y}{6} = 54 \implies 9x + 10y = 324 denklemi elde edilir.
İşlemleri kolaylaştırmak için rasyonel ifadeyi tam sayılı denkleme dönüştürmek.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözülmesi.
x+y=34x + y = 34 denkleminden x=34−yx = 34 - y ifadesi bulunur. Bu ifade 9x+10y=3249x + 10y = 324 denkleminde yerine yazılırsa: 9(34−y)+10y=324  ⟹  306−9y+10y=324  ⟹  y=189(34 - y) + 10y = 324 \implies 306 - 9y + 10y = 324 \implies y = 18 bulunur.
Soruda istenen B tipi istasyon sayısını (yy) bulmak.

Anahtar Kavram

İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Sayı Problemleri Kurma
Soru 225Soru →

Bir metro hattında sefer yapan bir tren, her biri eşit yolcu kapasitesine sahip 66 vagondan oluşmaktadır. Bu trendeki yolcu sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İlk 33 vagondaki toplam yolcu sayısı, trenin toplam yolcu kapasitesinin 14\frac{1}{4}'ine eşittir.
* Son 33 vagondaki toplam yolcu sayısı, ilk 33 vagondaki toplam yolcu sayısının 22 katından 4040 eksiktir.
* Bir durakta, ilk 33 vagondan toplam 4040 yolcu inmiş, son 33 vagondan ise toplam 6060 yolcu inmiştir. Trendeki diğer vagonlardan yolcu inmemiş ve trene yeni yolcu binmemiştir.
* Son durumda trendeki toplam yolcu sayısı, trenin toplam yolcu kapasitesinin 13\frac{1}{3}'üne eşit olmuştur.

Buna göre, başlangıçta trendeki toplam yolcu sayısı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 212212

Cevap

Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı 212212'dir.
Trenin vagon kapasitesi CC olarak belirlendiğinde, verilen sözel ifadelerden ilk 3 vagondaki yolcu sayısı 15C1{}5C, son 3 vagondaki yolcu sayısı 3C−403C - 40 ve başlangıçtaki toplam yolcu sayısı 45C−404{}5C - 40 olarak elde edilir. Duraktaki toplam 100 kişilik azalmayla birlikte son durumdaki yolcu sayısı 45C−1404{}5C - 140 olur. Bu sayı toplam kapasitenin üçte biri olan 2C2C'ye eşitlendiğinde vagon kapasitesi C=56C = 56 bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam yolcu sayısı 45×56−40=2124{}5 \times 56 - 40 = 212 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Trenin her bir vagonunun kapasitesine CC diyelim. Bu durumda trenin toplam yolcu kapasitesi 6C6C olur. Verilen ilk bilgiyi kullanarak ilk 33 vagondaki yolcu sayısını (P1P_1) ifade edelim.
P1=14×6C=15CP_1 = \frac{1}{4} \times 6C = 1{}5C
İlk 3 vagondaki yolcu sayısı toplam kapasitenin dörtte birine eşit olarak verilmiştir.
2
Son 33 vagondaki yolcu sayısını (P2P_2), ilk 33 vagondaki yolcu sayısının 22 katından 4040 eksik olacak şekilde ifade edelim ve başlangıçtaki toplam yolcu sayısını CC cinsinden bulalım.
P2=2×(15C)−40=3C−40P_2 = 2 \times (1{}5C) - 40 = 3C - 40
Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı: P1+P2=15C+3C−40=45C−40P_1 + P_2 = 1{}5C + 3C - 40 = 4{}5C - 40
Son 3 vagondaki yolcu sayısının ilişkisi ilk 3 vagondakine bağlı olarak tanımlanmıştır.
3
Durakta vagonlardan inen yolcu sayılarını hesaba katarak yeni toplam yolcu sayısını belirleyelim ve bunu son durumdaki toplam kapasite ilişkisine eşitleyelim.
Yeni toplam yolcu sayısı: (P1−40)+(P2−60)=45C−140(P_1 - 40) + (P_2 - 60) = 4{}5C - 140
Son durum ilişkisi: 45C−140=13×6C=2C4{}5C - 140 = \frac{1}{3} \times 6C = 2C
İlk 3 vagondan 40 yolcu, son 3 vagondan 60 yolcu indiği ve bu durumun trenin toplam kapasitenin üçte birine karşılık geldiği belirtilmiştir.
4
Elde edilen denklemi çözerek CC değerini bulalım ve ard��ndan başlangıçtaki toplam yolcu sayısını hesaplayalım.
45C−2C=140  ⟹  25C=140  ⟹  C=564{}5C - 2C = 140 \implies 2{}5C = 140 \implies C = 56
Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı: 45×56−40=252−40=2124{}5 \times 56 - 40 = 252 - 40 = 212
Vagon kapasitesi bulunduktan sonra başlangıçtaki toplam yolcu sayısı formülünde yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler kullanarak denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Alternatif Yöntem

Bilinmeyenleri vagon kapasitesi yerine doğrudan toplam kapasite üzerinden tanımlayarak da çözüme ulaşılabilir. Trenin toplam kapasitesine TT denirse, ilk 3 vagondaki yolcu sayısı P1=T4P_1 = \frac{T}{4}, son 3 vagondaki yolcu sayısı ise P2=T2−40P_2 = \frac{T}{2} - 40 olur. Durakta gerçekleşen inişlerden sonra trendeki toplam yolcu sayısı (P1+P2)−100=3T4−140(P_1 + P_2) - 100 = \frac{3T}{4} - 140 olur. Bu değer T3\frac{T}{3}'e eşitlenerek T=336T = 336 bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam yolcu sayısı 3×3364−40=212\frac{3 \times 336}{4} - 40 = 212 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 226Soru →

Bir serada yetiştirilen domatesler, her birinde kendi içinde eşit sayıda domates bulunan küçük veya büyük boy kasalara doldurulacaktır.

* Küçük kasalardaki domates sayısı, büyük kasalardaki domates sayısının yarısından 44 fazladır.
* Seradaki domateslerin tamamı, sadece küçük kasalar kullanılarak doldurulduğunda 3030 kasa tam dolmaktadır.
* Seradaki domateslerin tamamı, sadece büyük kasalar kullanılarak doldurulduğunda ise 1818 kasa tam dolmakta ve geriye 1212 adet domates kalmaktadır.

Buna göre, bir küçük kasada kaç adet domates vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Bir küçük kasadaki domates sayısı 22'dir.
Küçük kasadaki domates sayısı yy, büyük kasadaki domates sayısı xx olarak tanımlandığında, verilen bilgilerden y=x2+4y = \frac{x}{2} + 4 ve dolayısıyla x=2y−8x = 2y - 8 elde edilir. Toplam domates sayısı her iki paketleme türünde de aynı olacağından 30y=18x+1230y = 18x + 12 eşitliği yazılır. Bu eşitlikte xx yerine 2y−82y - 8 yazıldığında 30y=18(2y−8)+1230y = 18(2y - 8) + 12 denklemi elde edilir. Denklem çözüldüğünde 30y=36y−132⇒6y=132⇒y=2230y = 36y - 132 \Rightarrow 6y = 132 \Rightarrow y = 22 sonucuna ulaşılır. Bu değer bir küçük kasadaki domates sayısını vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük kasadaki domates sayısını yy, büyük kasadaki domates sayısını xx değişkeni ile ifade edip aralarındaki ilişkiyi yazalım.
y=x2+4⇒x=2y−8y = \frac{x}{2} + 4 \Rightarrow x = 2y - 8 elde edilir.
Küçük kasadaki domates sayısının, büyük kasadakinin yarısından 44 fazla olduğu belirtilmiştir. Denklem çözümünü kolaylaştırmak adına xx değerini yy türünden ifade ederiz.
2
Toplam domates miktarını her iki durum için de birbirine eşitleyen denklemi kuralım.
30y=18x+1230y = 18x + 12
Toplam domates sayısı, 30 küçük kasanın kapasitesine veya 18 büyük kasanın kapasitesine 12 eklenmesine eşittir.
3
Birinci adımda bulduğumuz x=2y−8x = 2y - 8 ifadesini ikinci adımdaki denklemde yerine yazarak yy değerini çözelim.
30y=18(2y−8)+12⇒30y=36y−144+12⇒6y=132⇒y=2230y = 18(2y - 8) + 12 \Rightarrow 30y = 36y - 144 + 12 \Rightarrow 6y = 132 \Rightarrow y = 22 bulunur.
Soruda bizden istenen küçük kasadaki domates sayısı (yy) olduğu için tek bilinmeyenli denklemi çözerek sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla sayı problemi çözme

Alternatif Yöntem

Denklem çözmek yerine seçenekler elenerek de kontrol edilebilir. Ancak en sistematik yol, küçük kasadaki domates sayısına yy deyip toplam domates miktarını yy cinsinden ifade etmektir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 227Soru →

Bir kafede bulunan masalar 4 kişilik veya 6 kişiliktir. Bu kafedeki 4 kişilik masaların bir kısmında dörder kişi oturmakta, geri kalan 4 kişilik masaların her birinde ise ikişer sandalye boş kalmaktadır. 6 kişilik masaların ise tamamında altışar kişi oturmaktadır.

Bu kafede toplam 18 masa, boş kalan toplam 10 sandalye ve kafede oturan toplam 80 müşteri bulunmaktadır.

Buna göre, kafede bulunan toplam 4 kişilik masa sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Kafede bulunan toplam 4 kişilik masa sayısı 9'dur.
Kafedeki toplam masa sayısı 18, boş sandalye sayısı 10 ve oturan kişi sayısı 80'dir. 4 kişilik masaların her birinde 2 sandalye boş kaldığına göre, bu durumda 5 adet kısmen dolu masa vardır. Geriye kalan 13 masa ise tam doludur. Tam dolu 4 kişilik masa sayısı xx, 6 kişilik masa sayısı zz dersek, x+z=13x+z=13 olur. Müşteri sayısı denkleminden 4x+6z+10=80  ⟹  4x+6z=704x + 6z + 10 = 80 \implies 4x + 6z = 70 elde edilir. Bu iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde x=4x=4 ve z=9z=9 bulunur. Toplam 4 kişilik masa sayısı ise tam dolu ve kısmen dolu olanların toplamı olup 4+5=94+5=9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve boş sandalye sayısından yola çıkarak kısmen dolu masaların belirlenmesi
Kısmen dolu 4 kişilik masa sayısı y=5y = 5 olarak bulunur.
4 kişilik masaların bir kısmında 4 kişi oturmakta (0 boş sandalye), kalan kısmında ise her masada 2 sandalye boş kalmaktadır. Toplam boş sandalye sayısı 10 olduğuna göre, boş sandalyesi olan 4 kişilik masa sayısı yy olmak üzere, 2y=10  ⟹  y=52y = 10 \implies y = 5 olur.
2
Toplam masa sayısı denkleminden tam dolu 4 kişilik ve 6 kişilik masa sayıları arasında ilişki kurulması
x+z=13x + z = 13 denklemi elde edilir.
Kafedeki tam dolu 4 kişilik masa sayısı xx, 6 kişilik masa sayısı zz olsun. Toplam masa sayısı 18 olduğuna göre, x+y+z=18  ⟹  x+5+z=18  ⟹  x+z=13x + y + z = 18 \implies x + 5 + z = 18 \implies x + z = 13 olur.
3
Müşteri sayısı bilgisini kullanarak ikinci bir denklem elde edilmesi ve bu denklemlerin ortak çözülmesi
z=9z = 9 ve x=4x = 4 bulunur.
Kafedeki toplam müşteri sayısı 80'dir. Dolu 4 kişilik masalarda 4x4x kişi, kısmen dolu masalarda 2y=2×5=102y = 2 \times 5 = 10 kişi ve 6 kişilik masalarda 6z6z kişi oturmaktadır. Buradan 4x+10+6z=80  ⟹  4x+6z=70  ⟹  2x+3z=354x + 10 + 6z = 80 \implies 4x + 6z = 70 \implies 2x + 3z = 35 denklemi kurulur. x+z=13x + z = 13 denklemini −2-2 ile çarpıp taraf tarafa toplarsak: −2x−2z=−26-2x - 2z = -26 ve 2x+3z=352x + 3z = 35 ifadelerinden z=9z = 9 bulunur. x+z=13  ⟹  x+9=13  ⟹  x=4x + z = 13 \implies x + 9 = 13 \implies x = 4 elde edilir.
4
Toplam 4 kişilik masa sayısının hesaplanması
Toplam 4 kişilik masa sayısı 4+5=94 + 5 = 9 olarak bulunur.
Kafedeki 4 kişilik masa sayısı, tam dolu masalar ile kısmen dolu masaların toplamıdır. Bu değer x+y=4+5=9x + y = 4 + 5 = 9 olur.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve denklem sistemlerini çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 228Soru →

Bir okul kütüphanesine yeni alınan kitapların tamamı, her bir rafta eşit sayıda kitap olacak şekilde boş raflara dizilecektir.

* Kitaplar 1212 rafa dizildiğinde, son raf hariç diğer tüm raflar tamamen dolmakta; son rafta ise 44 kitaplık boş yer kalmaktadır.
* Kitaplar 88 rafa dizildiğinde, her raftaki kitap sayısı ilk durumdaki dolu bir raftaki kitap sayısından 55 fazla olmakta ve tüm raflar tamamen dolmaktadır.

Buna göre, kütüphaneye yeni alınan toplam kitap sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Toplam kitap sayısı 128'dir.
Kitapların dizilim senaryolarına göre yazılan 12x−4=8(x+5)12x - 4 = 8(x+5) denkleminden dolu raf kapasitesi x=11x = 11 bulunur. Buradan toplam kitap sayısı 8×(11+5)=1288 \times (11 + 5) = 128 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki dolu bir rafın alacağı kitap sayısına xx diyelim. Bu durumda toplam kitap sayısını veren ifadeyi yazalım.
Toplam kitap sayısı: 12x−412x - 4
12 rafın 11 tanesi tamamen dolu (11x11x kitap), son rafta ise 4 kitaplık boş yer kalmıştır yani x−4x-4 kitap vardır. Toplamda 11x+x−4=12x−411x + x - 4 = 12x - 4 kitap olur.
2
İkinci durumdaki raf sayısını ve her raftaki kitap sayısını kullanarak toplam kitap sayısını veren ikinci ifadeyi yazalım.
Toplam kitap sayısı: 8(x+5)8(x + 5)
Kitaplar 8 rafa dizildiğinde her rafta ilk durumdakinden 5 fazla kitap (x+5x+5) bulunmakta ve tüm raflar dolmaktadır.
3
Her iki durumda da toplam kitap sayısı aynı olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek xx değerini bulalım.
12x−4=8(x+5)  ⟹  12x−4=8x+40  ⟹  4x=44  ⟹  x=1112x - 4 = 8(x + 5) \implies 12x - 4 = 8x + 40 \implies 4x = 44 \implies x = 11
Eşitliğin iki tarafındaki benzer terimleri düzenleyip bilinmeyeni çekeriz.
4
Bulduğumuz x=11x = 11 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak toplam kitap sayısını hesaplayalım.
8×(11+5)=8×16=1288 \times (11 + 5) = 8 \times 16 = 128
Toplam kitap sayısını bulmak için ikinci durumdaki 8(x+5)8(x+5) ifadesinde xx yerine 1111 yazarız.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve doğrusal denklem sistemlerini çözme.
Soru 229Soru →

Bir lojistik firması, taşıma kapasiteleri sırasıyla 33 ton ve 55 ton olan A ve B tipi kamyonlarla toplam 120120 ton yük taşıyacaktır.

Bu taşıma işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Kamyonlar her seferinde tamamen dolu olarak hareket etmektedir.
* A tipi kamyonların yaptığı toplam sefer sayısı, B tipi kamyonların yaptığı toplam sefer sayısının en az 22 kat�� olmalıdır.

Buna göre, taşıma işleminin tamamlanması için B tipi kamyonların yaptığı sefer sayısı en fazla kaç olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

B tipi kamyonların yapabileceği sefer sayısı en fazla 9'dur.
B tipi kamyonların sefer sayısı en fazla 9 olabilir. Toplam yük denkleminden x=40−53yx = 40 - \frac{5}{3}y bağıntısı elde edilir ve sefer sayısının tam sayı olması için B tipi kamyon sefer sayısı 3'ün katı olmalıdır. x≥2yx \ge 2y eşitsizliği çözüldüğünde B tipi kamyon sefer sayısının en fazla 10,91 olabileceği görülür. Bu aralıkta 3'ün katı olan en büyük değer 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Kamyonların sefer sayılarına göre toplam yük denklemini kurma
A tipi kamyonların sefer sayısı xx, B tipi kamyonların sefer sayısı yy olsun. Toplam taşınan yük 120120 ton olduğuna göre denklemimiz: 3x+5y=1203x + 5y = 120 olur.
Her kamyonun taşıdığı yük miktarı ile sefer sayısının çarpımı toplam yükü vermelidir.
2
Sefer sayılarının tam sayı olma koşulunu analiz etme
3x=120−5y  ⟹  x=40−53y3x = 120 - 5y \implies x = 40 - \frac{5}{3}y elde edilir. Sefer sayısı negatif olamayacak bir tam sayı olduğundan, yy değeri mutlaka 33'ün bir katı (0,3,6,9,…0, 3, 6, 9, \dots) olmalıdır.
Kamyon sefer sayısının fiziksel olarak tam sayı olması zorunluluğundan yy değişkeninin kısıtını belirlemek için.
3
Eşitsizlik kısıtlamasını uygulayarak en büyük sefer sayısını belirleme
A tipi sefer sayısı, B tipi sefer sayısının en az 2 katı olmalıdır: x≥2yx \ge 2y. Bir önceki adımda bulduğumuz xx değerini yerine yazarsak: 40−53y≥2y  ⟹  40≥113y  ⟹  120≥11y  ⟹  y≤12011≈10,9140 - \frac{5}{3}y \ge 2y \implies 40 \ge \frac{11}{3}y \implies 120 \ge 11y \implies y \le \frac{120}{11} \approx 10,91 elde edilir. yy değeri 3'ün katı olan bir doğal sayı olduğuna göre bu koşulu sağlayan en büyük yy değeri 99 olarak bulunur.
Verilen kat ilişkisine dayalı eşitsizliği çözerek en büyük sınır değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde doğrusal denklem sistemleri, eşitsizlik kısıtları ve tam sayı bölünebilme özelliklerinin birlikte uygulanması

Alternatif Yöntem

Deneme metoduyla değer tablosu oluşturulabilir. yy değerine sırasıyla 3'ün katları olan 0,3,6,9,120, 3, 6, 9, 12 değerleri verilerek karşılık gelen xx değerleri x=40−53yx = 40 - \frac{5}{3}y formülünden hesaplanır. y=9y = 9 için x=25x = 25 bulunur ve 25≥2⋅925 \ge 2 \cdot 9 (yani 25≥1825 \ge 18) koşulu sağlanır. Bir sonraki kat olan y=12y = 12 için x=20x = 20 bulunur fakat 20≥2⋅1220 \ge 2 \cdot 12 (yani 20≥2420 \ge 24) koşulu sağlanmadığı için en büyük değerin 9 olduğu bu şekilde de görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 230Soru →

Bir metro istasyonunda çalışmayan bir yürüyen merdiveni yürüyerek çıkan Burak ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Burak merdiveni çıkarken her adımda ya 22 basamak ya da 33 basamak çıkmıştır.
* Burak'ın 22 basamak çıktığı adım sayısı, 33 basamak çıktığı adım sayısının 33 katından 44 eksiktir.
* Burak bu merdiveni toplam 2828 adımda tamamlamıştır.

Buna göre, bu merdiven toplam kaç basamaklıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Toplam basamak sayısı 64'tür.
Soruda verilen bilgiler doğrultusunda denklem kurulduğunda Burak'ın 33 basamak çıktığı adım sayısı 88, 22 basamak çıktığı adım sayısı ise 2020 olarak elde edilir. Buradan toplam basamak sayısı 3×8+2×20=643 \times 8 + 2 \times 20 = 64 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması
Burak'ın 33 basamak çıktığı adım sayısı xx, 22 basamak çıktığı adım sayısı yy olsun.
Problemi matematiksel olarak modellemek için bilinmeyenleri belirleriz.
2
Denklem sisteminin kurulması
Toplam adım sayısı: x+y=28x + y = 28
Adım sayıları arasındaki ilişki: y=3x−4y = 3x - 4
Soruda verilen toplam adım sayısını ve adımlar arasındaki bağıntıyı matematiksel ifadelere dönüştürürüz.
3
Denklem sisteminin çözülmesi
yy ifadesini toplam adım denkleminde yerine yazarsak:
x+(3x−4)=28  ⟹  4x−4=28  ⟹  4x=32  ⟹  x=8x + (3x - 4) = 28 \implies 4x - 4 = 28 \implies 4x = 32 \implies x = 8 bulunur.
Buradan y=28−8=20y = 28 - 8 = 20 elde edilir.
Yerine koyma metodu yardımıyla her bir adım türünün sayısını hesaplarız.
4
Toplam basamak sayısının hesaplanması
Toplam basamak sayısı: 3x+2y=3(8)+2(20)=24+40=643x + 2y = 3(8) + 2(20) = 24 + 40 = 64 olarak bulunur.
Adım sayılarını adım büyüklükleri ile çarparak merdivenin toplam basamak sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel durumları birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürerek çözme.
Soru 231Soru →

Bir kargo şubesinde bulunan iki farklı teraziyle ilgili a��ağıdakiler bilinmektedir:

* I. terazi, üzerine konulan bir cismin ağırlığının 22 katından 100100 gram eksik göstermektedir.
* II. terazi, üzerine konulan bir cismin ağırlığının 33 katından 200200 gram eksik göstermektedir.

Bu terazilerden birine A cismi, diğerine ise B cismi konulduğunda göstergelerdeki değerlerin toplamı 48004800 gram olmaktadır. Eğer A cismi II. teraziye, B cismi ise I. teraziye konulsaydı göstergelerdeki değerlerin toplamı 54005400 gram olacaktı.

Buna göre, A cisminin gerçek ağırlığı B cisminin gerçek ağırlığından kaç gram fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 600

Cevap

A cisminin gerçek ağırlığı B cisminin gerçek ağırlığından 600 gram fazladır.
Doğru olan 600 değeri, iki durum için yazılan 2a+3b=51002a + 3b = 5100 ve 3a+2b=57003a + 2b = 5700 denklemlerinin taraf tarafa çıkarılması sonucunda doğrudan elde edilen a−b=600a - b = 600 eşitliğinden bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve terazi denklemlerini oluşturma
A cisminin gerçek ağırlığı aa gram, B cisminin gerçek ağırlığı bb gram olsun. I. terazinin gösterdiği değer 2x−1002x - 100, II. terazinin gösterdiği değer ise 3x−2003x - 200 olur.
Soruda verilen bilgileri matematiksel model haline getirmek için değişkenler tanımlanır.
2
Birinci durum için denklem kurma
A cismi I. terazide (2a−1002a - 100), B cismi II. terazide (3b−2003b - 200) iken toplam ağırlık:
(2a−100)+(3b−200)=4800⇒2a+3b=5100(2a - 100) + (3b - 200) = 4800 \Rightarrow 2a + 3b = 5100
İlk durumdaki toplam gösterge değerini veren denklemi oluşturmak için.
3
İkinci durum için denklem kurma
A cismi II. terazide (3a−2003a - 200), B cismi I. terazide (2b−1002b - 100) iken toplam ağırlık:
(3a−200)+(2b−100)=5400⇒3a+2b=5700(3a - 200) + (2b - 100) = 5400 \Rightarrow 3a + 2b = 5700
İkinci durumdaki toplam gösterge değerini veren denklemi oluşturmak için.
4
Denklem sistemini çözerek aralarındaki farkı bulma
Elde edilen denklemleri taraf tarafa çıkaralım:
(3a+2b)−(2a+3b)=5700−5100⇒a−b=600(3a + 2b) - (2a + 3b) = 5700 - 5100 \Rightarrow a - b = 600
Soruda bizden istenen A ve B cisimlerinin gerçek ağırlıkları arasındaki farkı (a−ba - b) doğrudan elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi.
Soru 232Soru →

Bir çiçek serasında bulunan A ve B türü saksı çiçeklerinin sulanmasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Serada bu iki türden toplam 8080 adet saksı çiçeği bulunmaktadır.
* A türündeki her bir çiçek günde 33 defa, B türündeki her bir çiçek ise günde 22 defa sulanmaktadır.
* A türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarı, B türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarının 22 katıdır.
* A türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarı 44 birimdir.
* Gün boyunca seradaki tüm çiçeklerin sulanması için toplam 560560 birim su kullanılmıştır.

Buna göre, serada B türünde kaç adet saksı çiçeği vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

B türündeki saksı çiçeği sayısı 50'dir.
A türündeki bir çiçeğin günlük tüketimi 12 birim, B türündeki bir çiçeğin günlük tüketimi 4 birimdir. Toplam 80 çiçek ve 560 birim su bilgisiyle kurulan denklem sisteminden B türündeki çiçek sayısı 50 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Çiçek sayıları için değişkenleri belirleyelim.
A türü çiçek sayısı xx ve B türü çiçek sayısı yy olsun. Toplam çiçek sayısı 8080 olduğundan ilk denklem: x+y=80x + y = 80 olur.
Çiçeklerin sayıları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Çiçeklerin günlük su tüketim miktarlarını hesaplayalım.
A türü çiçeğin bir sulamada tükettiği su 44 birimdir ve günde 33 kez sulanmaktadır. Dolayısıyla bir A türü çiçeğin günlük su tüketimi 3×4=123 \times 4 = 12 birimdir. B türü çiçeğin bir sulamadaki tüketimi A'nın yarısı kadar (4÷2=24 \div 2 = 2 birim) olup günde 22 kez sulanmaktadır. Dolayısıyla bir B türü çiçeğin günlük su tüketimi 2×2=42 \times 2 = 4 birimdir.
Çiçeklerin toplam günlük su tüketimini veren denklemi oluşturmak için tür başına günlük su kullanımını belirlemek gerekir.
3
Toplam su tüketimini veren denklemi kuralım.
Toplam su tüketimi 560560 birim olduğuna göre, ikinci denklem: 12x+4y=56012x + 4y = 560 olur.
Çiçek sayısını bulabilmek için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak gerekir.
4
Oluşan denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim.
İlk denklemi 44 ile çarparak yazalım: 4x+4y=3204x + 4y = 320. İkinci denklemden bu denklemi taraf tarafa çıkaralım: (12x+4y)−(4x+4y)=560−320  ⟹  8x=240  ⟹  x=30(12x + 4y) - (4x + 4y) = 560 - 320 \implies 8x = 240 \implies x = 30 bulunur. Bu değeri ilk denklemde yerine koyalım: 30+y=80  ⟹  y=5030 + y = 80 \implies y = 50 elde edilir.
Bilinmeyenlerden birini yok ederek diğerinin değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Alternatif Yöntem

Denklemleri sadeleştirerek çözebiliriz: 12x+4y=56012x + 4y = 560 denkleminin her terimini 44'e böldüğümüzde 3x+y=1403x + y = 140 elde ederiz. Bu denklemden x+y=80x + y = 80 denklemini çıkardığımızda 2x=60  ⟹  x=302x = 60 \implies x = 30 bulunur. Buradan da B türündeki çiçek sayısı y=80−30=50y = 80 - 30 = 50 olarak kolayca bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 233Soru →

Bir kahve dükkanında uygulanan 'Askıda Kahve' kampanyasında müşteriler kendilerine kahve alırken aynı zamanda ihtiyaç sahipleri için askıya kahve bırakabilmektedir. Bu dükkanda satılan bir fincan kahvenin fiyatı 6060 TL'dir. Dükkan sahibi kampanya kapsamında askıya bırakılan her 33 fincan kahve için kendisi de askıya 11 fincan kahve eklemektedir.

Bir gün boyunca bu dükkandan toplam 120120 fincan kahve satın alınmış ve bu kahvelerin bir kısmı müşteriler tarafından kendileri için içilmiş, geri kalan kısmı ise askıya bırakılmıştır.

Gün sonunda dükkan sahibinin ekledikleriyle birlikte askıda toplam 4848 fincan kahve biriktiğine göre, bu gün boyunca müşteriler kendileri için kaç fincan kahve satın almıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

Müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı 84'tür.
Müşterilerin askıya bıraktığı kahve sayısı yy olsun. Dükkan sahibi askıya bırakılan her 33 kahve için 11 kahve eklediğinden, dükkan sahibinin eklediği kahve sayısı y3\frac{y}{3} olur. Askıda biriken toplam kahve sayısı y+y3=4y3y + \frac{y}{3} = \frac{4y}{3} olarak ifade edilir. Bu değer 4848'e eşitlendiğinde 4y3=48\frac{4y}{3} = 48 denkleminden y=36y = 36 bulunur. Toplam satın alınan 120120 kahveden askıya bırakılan 3636 kahve çıkarıldığında, müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı 120−36=84120 - 36 = 84 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Müşterilerin askıya bıraktığı kahve sayısına yy denilerek değişken tanımlanır.
Müşterilerin askıya bıraktı��ı kahve sayısı = yy
Bilinmeyen değerler arasında matematiksel ilişki kurabilmek için.
2
Dükkan sahibinin katkısını hesaba katarak askıdaki toplam kahve sayısını veren denklem kurulur.
Dükkan sahibi y3\frac{y}{3} kahve ekler. Toplam askıdaki kahve sayısı: y+y3=4y3y + \frac{y}{3} = \frac{4y}{3} olur.
Her 3 fincan kahve için dükkan sahibinin de 1 fincan eklediği bilgisine dayanarak.
3
Askıdaki toplam kahve sayısı olan 4848 değeri kurulmuş olan denkleme eşitlenerek çözülür.
4y3=48⇒4y=144⇒y=36\frac{4y}{3} = 48 \Rightarrow 4y = 144 \Rightarrow y = 36 olarak bulunur.
Müşteriler tarafından askıya bırakılan asıl kahve adedini tespit etmek için.
4
Müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı hesaplanır.
Toplam satın alınan 120120 fincan kahveden askıya bırakılan 3636 fincan kahve çıkarıldığında, kendileri için alınan kahve sayısı 120−36=84120 - 36 = 84 olarak hesaplanır.
Müşterilerin satın aldığı toplam kahve miktarı kendi içtikleri ve askıya bıraktıklarının toplamına eşit olduğu için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde oran-orantı mantığıyla bilinmeyenleri belirleyip denklem kurma ve çözme.
Soru 234Soru →

Bir şehirde bulunan akıllı bisiklet kiralama istasyonunda tek kişilik ve iki kişilik olmak üzere toplam 4545 adet bisiklet bulunmaktadır. Bu istasyondan bisiklet kiralayan bir grup turistle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Gruptaki her bir turist bir bisiklete binmiştir.
* Tek kişilik bisikletlerin her birine 11 kişi, iki kişilik bisikletlerin her birine ise 22 kişi binmiştir.
* İstasyondaki tek kişilik bisikletlerin tamamı kiralanmış, iki kişilik bisikletlerin ise bir kısmı boş kalmıştır.
* Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı, boş kalan iki kişilik bisiklet sayısının 33 katıdır.

Gruptaki toplam turist sayısı 5757 olduğuna göre, bu istasyondaki iki kişilik bisiklet sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İstasyondaki iki kişilik bisiklet sayısı 24'tür.
İki kişilik bisiklet sayısına DD, tek kişilik bisiklet sayısına TT denildiğinde; toplam bisiklet sayısı T+D=45T + D = 45 olur. Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı DkD_k ve boş kalan iki kişilik bisiklet sayısı DbD_b olmak üzere, Dk=3DbD_k = 3D_b ilişkisiyle D=4DbD = 4D_b elde edilir. Bisikletlerdeki toplam kişi sayısı T+2Dk=T+6Db=57T + 2D_k = T + 6D_b = 57 olur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde Db=6D_b = 6 ve buradan toplam iki kişilik bisiklet sayısı olan 4⋅6=244 \cdot 6 = 24 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bisiklet türleri ve durumlarına göre değişkenleri tanımlama
Tek kişilik bisiklet sayısı TT, iki kişilik bisiklet sayısı DD olsun. T+D=45T + D = 45 olur. İki kişilik bisikletlerden boş kalanlar DbD_b, kiralananlar DkD_k ise D=Db+DkD = D_b + D_k olur. Dk=3DbD_k = 3D_b olduğundan D=4DbD = 4D_b elde edilir.
Sorudaki toplam bisiklet sayısını ve iki kişilik bisikletlerin durumunu matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Turist sayısına göre ikinci denklemi kurma
Tek kişilik bisikletlerin tamamı kiralandığı için binen kişi sayısı T⋅1=TT \cdot 1 = T olur. Kiralanan iki kişilik bisikletlere binen kişi sayısı 2⋅Dk=2(3Db)=6Db2 \cdot D_k = 2(3D_b) = 6D_b olur. Toplam turist sayısı: T+6Db=57T + 6D_b = 57 elde edilir.
Turist sayısının bisiklet türlerine göre dağılımını kullanarak yeni bir denklem oluşturmak için.
3
Elde edilen denklem sistemini çözme
T+4Db=45T + 4D_b = 45 ve T+6Db=57T + 6D_b = 57 denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında 2Db=12  ⟹  Db=62D_b = 12 \implies D_b = 6 bulunur. Buradan toplam iki kişilik bisiklet sayısı D=4⋅6=24D = 4 \cdot 6 = 24 olarak hesaplanır.
Değişkenleri yok etme metodunu kullanarak bilinmeyenleri bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 235Soru →

Bir konser salonundaki koltuk düzeni ve bilet satışları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki koltuklar arka arkaya sıralar halinde dizilmiştir ve her sırada eşit sayıda koltuk bulunmaktadır.
* Salondaki toplam sıra sayısı, bir sıradaki koltuk sayısından 44 fazladır.
* Bu salonda her sıradaki koltuk sayıs�� 22 azaltılıp toplam sıra sayısı 33 artırılsaydı salondaki toplam koltuk sayısı değişmeyecekti.
* Salondaki tüm koltukların biletleri satıldığında elde edilen toplam gelir 5040050400 TL'dir.

Buna göre, bu konser salonunda satılan bir biletin fiyatı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Bir biletin satış fiyatı 200 TL'dir.
Salondaki koltuk düzenine göre sıra sayısı rr ve her sıradaki koltuk sayısı ss olmak üzere r=s+4r = s + 4 ve (r+3)(s−2)=r⋅s(r+3)(s-2) = r \cdot s denklemleri kurulur. Bu denklem sistemi çözüldüğünde koltuk sayısı 1414 ve sıra sayısı 1818 bulunur. Toplam koltuk sayısı 18×14=25218 \times 14 = 252 olur. Toplam gelir olan 5040050400 TL, toplam koltuk sayısı olan 252252'ye bölündüğünde bilet fiyatı 200200 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Salondaki toplam sıra sayısına rr, bir sıradaki koltuk sayısına ss diyelim. Verilen bilgileri kullanarak değişkenler arasındaki ilişkileri denklem olarak yazalım.
Sıra sayısı koltuk sayısından 44 fazla olduğu için r=s+4r = s + 4 olur. Her sıradaki koltuk sayısı 22 azaltılıp (s−2s-2), sıra sayısı 33 artırıldığında (r+3r+3) toplam koltuk sayısı değişmediği için (r+3)(s−2)=r⋅s(r + 3)(s - 2) = r \cdot s denklemi elde edilir.
Problemi matematiksel olarak modellemek ve bilinmeyenleri bulmak için denklem sistemini kurmamız gerekir.
2
Elde edilen ikinci denklemde parantezleri açarak sadeleştirme yapalım.
(r+3)(s−2)=r⋅s  ⟹  r⋅s−2r+3s−6=r⋅s  ⟹  3s−2r=6(r + 3)(s - 2) = r \cdot s \implies r \cdot s - 2r + 3s - 6 = r \cdot s \implies 3s - 2r = 6 denklemine ulaşılır.
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi basitleştirmek ve birinci derece denkleme dönüştürmek için.
3
r=s+4r = s + 4 eşitliğini 3s−2r=63s - 2r = 6 denkleminde yerine koyarak ss ve rr değerlerini bulalım.
3s−2(s+4)=6  ⟹  3s−2s−8=6  ⟹  s=143s - 2(s + 4) = 6 \implies 3s - 2s - 8 = 6 \implies s = 14 olarak bulunur. Buradan r=14+4=18r = 14 + 4 = 18 olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek koltuk ve sıra sayılarını belirlemek için.
4
Toplam koltuk sayısını hesaplayalım.
Toplam koltuk sayısı = r⋅s=18×14=252r \cdot s = 18 \times 14 = 252 adettir.
Bir biletin fiyatını bulabilmek için toplam koltuk sayısına ihtiyacımız vardır.
5
Toplam geliri toplam koltuk sayısına bölerek bir biletin fiyatını bulalım.
Bilet fiyatı = 50400/252=20050400 / 252 = 200 TL olur.
Tüm koltukların satılması durumunda elde edilen toplam gelirden tek bir biletin fiyatına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri kurma ve sayı problemlerinde değişkenler arası ilişkileri modelleme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 236Soru →

Ayhan'ın cüzdanında 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik banknotlardan oluşan toplam 35 adet kâğıt para vardır. Bu paralarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* 10 TL'lik banknotların toplam değeri, 20 TL'lik banknotların toplam değerine eşittir.
* Cüzdandaki paraların toplam değeri en az 650 TL'dir.

Buna göre, Ayhan'ın cüzdanındaki 50 TL'lik banknotların sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Ayhan'ın cüzdanındaki 50 TL'lik banknotların sayısı en az 5'tir.
Cüzdandaki 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik banknot sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olarak tanımlanırsa; toplam banknot sayısı x+y+z=35x + y + z = 35 olur. 10 TL'liklerin toplam değeri 20 TL'liklerin toplam değerine eşit olduğundan 10x=20y10x = 20y yani x=2yx = 2y elde edilir. Bu durumda toplam banknot sayısı 2y+y+z=35  ⟹  3y+z=352y + y + z = 35 \implies 3y + z = 35 olur. Buradan y=35−z3y = \frac{35 - z}{3} yazılabilir. Toplam para miktarı en az 650 TL olduğundan 10x+20y+50z≥65010x + 20y + 50z \geq 650 eşitsizliği yazılır. x=2yx = 2y ifadesi yerine yazılırsa 40y+50z≥650  ⟹  4y+5z≥6540y + 50z \geq 650 \implies 4y + 5z \geq 65 elde edilir. Burada yy yerine 35−z3\frac{35 - z}{3} yazılırsa 4(35−z3)+5z≥65  ⟹  140−4z+15z≥195  ⟹  11z≥55  ⟹  z≥54\left(\frac{35 - z}{3}\right) + 5z \geq 65 \implies 140 - 4z + 15z \geq 195 \implies 11z \geq 55 \implies z \geq 5 bulunur. Dolayısıyla 50 TL'lik banknot sayısı en az 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Banknot sayıları için değişkenleri tanımlama ve toplam banknot sayısı denklemini yazma.
xx: 10 TL'lik, yy: 20 TL'lik, zz: 50 TL'lik banknot sayısı olmak üzere; x+y+z=35x + y + z = 35.
Problemi matematiksel olarak ifade edebilmek için değişkenleri belirlememiz gerekir.
2
10 TL ve 20 TL'lik banknotların değer eşitliğinden yararlanarak değişkenleri birbiri cinsinden ifade etme.
10x=20y  ⟹  x=2y10x = 20y \implies x = 2y. Bu ifadeyi toplam banknot sayısında yerine yazarsak: 2y+y+z=35  ⟹  3y+z=352y + y + z = 35 \implies 3y + z = 35 elde edilir. Buradan y=35−z3y = \frac{35 - z}{3} olur.
Bilinmeyen sayısını azaltmak ve eşitsizlikte tek bir değişken bırakmak için.
3
Toplam para miktarı için en az 650 TL koşulunu kullanarak eşitsizlik kurma ve çözme.
10x+20y+50z≥650  ⟹  10(2y)+20y+50z≥650  ⟹  40y+50z≥650  ⟹  4y+5z≥6510x + 20y + 50z \geq 650 \implies 10(2y) + 20y + 50z \geq 650 \implies 40y + 50z \geq 650 \implies 4y + 5z \geq 65. Bu eşitsizlikte yy yerine 35−z3\frac{35 - z}{3} yazarsak: 4(35−z3)+5z≥65  ⟹  140−4z+15z≥195  ⟹  11z≥55  ⟹  z≥54\left(\frac{35 - z}{3}\right) + 5z \geq 65 \implies 140 - 4z + 15z \geq 195 \implies 11z \geq 55 \implies z \geq 5 bulunur.
50 TL'lik banknot sayısının alabileceği en küçük değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişkenler arasında ilişki kurma ve birinci dereceden eşitsizlik modellemesi.

Alternatif Yöntem

Değer vererek ve seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. En az değeri aradığımız için en küçük seçenekten başlanarak deneme yapılabilir. Örneğin, 50 TL'lik banknot sayısı 5 olarak seçilirse geriye kalan 30 banknot 10 TL ve 20 TL'liklerden oluşur. x+y=30x+y=30 ve x=2yx=2y eşitliklerinden y=10y=10 ve x=20x=20 bulunur. Bu durumda toplam para 20×10+10×20+5×50=200+200+250=65020 \times 10 + 10 \times 20 + 5 \times 50 = 200 + 200 + 250 = 650 TL olur ve en az 650 TL şartını tam olarak sağlar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 237Soru →

Bir okul kütüphanesindeki iki basamaklı abab tane rafın her birine eşit sayıda kitap dizilecektir. Bu işlemle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kitaplar her rafa 1212 adet dizilirse tüm kitaplar dizilmekte ve boş raf kalmamaktadır.
* Eğer kütüphanedeki raf sayısı iki basamaklı baba olsaydı ve her rafa 2121 kitap dizilseydi, yine tüm kitaplar dizilecek ve boş raf kalmayacaktı.
* Kütüphanedeki toplam kitap sayısı 300300 ile 600600 arasındadır.

Buna göre, kütüphanedeki raf sayısı (abab) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Kütüphanedeki raf sayısı 42'dir.
Kütüphanedeki toplam kitap sayısı her iki durumda da aynı kalmaktadır. 12⋅ab=21⋅ba12 \cdot ab = 21 \cdot ba eşitliğinde basamak çözümlemesi yapıldığında a=2ba = 2b ilişkisine ulaşılır. abab ve baba iki basamaklı sayılar olduğu için aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan ve toplam kitap sayısı olan 12⋅ab12 \cdot ab değerini 300300 ile 600600 arasında tutan tek seçenek ab=42ab = 42 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kütüphanedeki toplam kitap sayısını veren denklemi abab ve baba iki basamaklı sayıları cinsinden yazın.
Toplam kitap sayısı T=12⋅ab=21⋅baT = 12 \cdot ab = 21 \cdot ba olur.
12'şerli ve 21'erli dizimlerde kitap sayısının değişmediğini kullanarak iki basamaklı sayılarla bir eşitlik elde etmek gerekir.
2
İki basamakl�� sayıları çözümleyerek aa ve bb rakamları arasındaki ilişkiyi bulun.
12⋅(10a+b)=21⋅(10b+a)  ⟹  4⋅(10a+b)=7⋅(10b+a)  ⟹  40a+4b=70b+7a  ⟹  33a=66b  ⟹  a=2b12 \cdot (10a + b) = 21 \cdot (10b + a) \implies 4 \cdot (10a + b) = 7 \cdot (10b + a) \implies 40a + 4b = 70b + 7a \implies 33a = 66b \implies a = 2b elde edilir.
Basamak çözümlemesi yapılarak bilinmeyen rakamlar arasındaki doğrusal ilişkiyi sade bir biçimde ortaya çıkarmak gerekir.
3
aa ve bb rakamlarının alabileceği değerleri belirleyerek toplam kitap sayılarını hesaplayın.
aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olduğundan:
* b=1  ⟹  a=2  ⟹  ab=21b = 1 \implies a = 2 \implies ab = 21 ve T=12⋅21=252T = 12 \cdot 21 = 252
* b=2  ⟹  a=4  ⟹  ab=42b = 2 \implies a = 4 \implies ab = 42 ve T=12⋅42=504T = 12 \cdot 42 = 504
* b=3  ⟹  a=6  ⟹  ab=63b = 3 \implies a = 6 \implies ab = 63 ve T=12⋅63=756T = 12 \cdot 63 = 756
* b=4  ⟹  a=8  ⟹  ab=84b = 4 \implies a = 8 \implies ab = 84 ve T=12⋅84=1008T = 12 \cdot 84 = 1008
Olası tüm durumları inceleyerek hangi durumun kütüphanedeki kitap sayısı sınırlamasına uyacağını belirlemek gerekir.
4
Toplam kitap sayısının 300300 ile 600600 arasında olması koşulunu uygulayın.
300<T<600300 < T < 600 koşulunu sağlayan tek kitap sayısı T=504T = 504 olup, bu durum ab=42ab = 42 raf sayısına karşılık gelir.
Soruda verilen aralık kısıtına göre tek bir benzersiz çözüm seçilir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi yöntemiyle sayı problemlerinde denklem kurma ve kısıtlara göre değer verme işlemleri.
Soru 238Soru →

Bir grup arkadaş, toplam kiralama ücretini eşit olarak paylaşarak bir halı saha kiralamıştır. Bu gruptaki kişi sayısı iki basamaklı bir abab sayısıdır.

Eğer gruba 66 kişi daha katılsaydı ve toplam ücret yine eşit olarak paylaşılsaydı, kişi başına düşen ücret ilk duruma göre %25\%25 daha az olacaktı.

Buna göre, başlangıçtaki grupta bulunan kişi sayısının rakamları toplamı (a+ba+b) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Başlangıçtaki grupta bulunan kişi sayısının rakamları toplamı 99'dur.
Kurulan rasyonel denklem çözüldüğünde başlangıçtaki kişi sayısı 1818 olarak bulunur. Bu sayının rakamları toplamı 1+8=91 + 8 = 9 olduğu için doğru seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki kişi sayısını ve kişi başına düşen ücreti sembollerle ifade etme.
Gruptaki kişi sayısı n=abn = ab ve toplam kiralama ücreti TT olsun. Bu durumda başlangıçta kişi başına düşen ücret Tn\frac{T}{n} olur.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi kurabilmek için ilk durumun matematiksel modelini oluşturmak gerekir.
2
Gruba 66 kişi katıldığında oluşan yeni durumu ifade etme.
Gruptaki kişi sayısı n+6n+6 olur. Bu durumda kişi başına düşen yeni ücret Tn+6\frac{T}{n+6} olur.
Kişi sayısı arttığında kişi başına düşen ücretin nasıl değiştiğini belirlemek gerekir.
3
Yeni ücretin ilk ücrete göre %25\%25 daha az olması koşulunu kullanarak denklem kurma.
Bir değerin %25\%25 azalması, o değerin %75\%75'ine (yani 34\frac{3}{4}'üne) eşit olması demektir. Buradan kurulan denklem: Tn+6=34⋅Tn\frac{T}{n+6} = \frac{3}{4} \cdot \frac{T}{n} olur.
Soruda verilen yüzdece azalma bilgisini matematiksel bir eşitliğe dönüştürmek gerekir.
4
Kurulan denklemi çözerek başlangıçtaki kişi sayısını bulma.
Denklemde TT terimleri sadeleştirilirse 1n+6=34n\frac{1}{n+6} = \frac{3}{4n} elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında 4n=3(n+6)  ⟹  4n=3n+18  ⟹  n=184n = 3(n+6) \implies 4n = 3n + 18 \implies n = 18 bulunur.
Değişken sadeleştirmesi ve cebirsel işlemler yardımıyla bilinmeyen kişi sayısına ulaşmak amaçlanır.
5
Başlangıçtaki kişi sayısının rakamları toplamını hesaplama.
Kişi sayısı ab=18ab = 18 olduğundan, a=1a = 1 ve b=8b = 8 değerleri elde edilir. Rakamları toplamı ise a+b=1+8=9a + b = 1 + 8 = 9 olur.
Soruda bizden doğrudan kişi sayısı değil, bu sayının rakamları toplamı istendiği için son adımı tamamlamak gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri rasyonel ifadeler ve oran-orantı yardımıyla cebirsel denklemlere dönüştürme ve çözme.
Soru 239Soru →

Bir seramik atölyesinde üretilen tabaklar, her birinde eşit sayıda tabak bulunan kutulara yerleştirilecektir. Bu tabaklar kutulara yerleştirilirken iki farklı paketleme seçeneği belirlenmiştir:

* 1. Seçenek: Tabakların bir kısmı her kutuda 1212 tabak olacak şekilde, kalan tabaklar ise her kutuda 1818 tabak olacak şekilde kutulanıyor. Bu durumda toplam 2525 kutu kullanılıyor.
* 2. Seçenek: Tabakların tamamı her kutuda 1515 tabak olacak şekilde kutulanıyor. Bu durumda ise toplam 2626 kutu kullanılıyor.

Buna göre, 1. seçenekteki kutulardan kaç tanesinde 1212 tabak bulunmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

1. seçenekteki kutulardan 10 tanesinde 12 tabak bulunmaktadır.
Toplam tabak sayısı 2. seçenekten 15×26=39015 \times 26 = 390 olarak bulunur. 1. seçenekteki 12 tabaklık kutu sayısına x, 18 tabaklık kutu sayısına y dersek x+y=25x + y = 25 ve 12x+18y=39012x + 18y = 390 denklemleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde 12 tabak bulunan kutu sayısı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam tabak sayısını hesaplama
Toplam tabak sayısı: 15×26=39015 \times 26 = 390
2. seçenekte tüm tabaklar her birinde 15 tabak olan 26 kutuya konulduğu için toplam tabak sayısı bu iki değerin çarpımına eşittir.
2
Değişkenleri tanımlama ve denklem sistemini kurma
x+y=25x + y = 25 ve 12x+18y=39012x + 18y = 390
1. seçenekteki 12 tabaklık kutu sayısı x, 18 tabaklık kutu sayısı y olarak belirlenirse toplam kutu sayısı 25, toplam tabak sayısı ise 390 olur.
3
Denklem sistemini çözerek 12 tabaklık kutu sayısını bulma
x=10x = 10
İlk denklemden y = 25 - x yazılarak ikinci denklemde yerine konur: 12x+18(25−x)=390⇒12x+450−18x=390⇒−6x=−60⇒x=1012x + 18(25 - x) = 390 \Rightarrow 12x + 450 - 18x = 390 \Rightarrow -6x = -60 \Rightarrow x = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem kurma ve çözme yoluyla sayı problemlerini modelleme.
Soru 240Soru →

Bir belediye, çevre duyarlılığını artırmak amacıyla mahallelere akıllı geri dönüşüm otomatları yerleştirmiştir. Bu otomatlara atılan atık türlerine göre kartlara yapılacak puan etkileri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Atık TürüPuan Etkisi
Cam Şişe+15+15
Plastik Şişe+10+10
Karton Kutu−5-5

Bir gün içerisinde bu otomata cam şişe, plastik şişe ve karton kutulardan oluşan toplam 4040 adet atık atan Ceren'in kartındaki puan değişimi net +250+250 puan olmuştur.

Ceren'in otomata attığı plastik şişe sayısı, cam şişe sayısının 22 katı olduğuna göre, Ceren otomata kaç adet karton kutu atmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Ceren'in otomata attığı karton kutu sayısı 13'tür.
Cam şişe sayısı xx, plastik şişe sayısı 2x2x ve karton kutu sayısı yy olarak seçildiğinde, toplam atık sayısından 3x+y=403x + y = 40 elde edilir. Puan hesabından ise 15x+10(2x)−5y=250  ⟹  7x−y=5015x + 10(2x) - 5y = 250 \implies 7x - y = 50 denklemi bulunur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 10x=9010x = 90 eşitliğinden x=9x = 9 olarak hesaplanır. Buradan karton kutu sayısı olan yy değeri 40−3(9)=1340 - 3(9) = 13 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri tanımlayarak değişkenleri belirleyelim.
Cam şişe sayısı xx olsun. Plastik şişe sayısı, cam şişe sayısının 2 katı olduğundan 2x2x olur. Karton kutu sayısı ise yy olsun.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel modele dökebilmek için değişken ataması yapılır.
2
Toplam atık sayısı ve puan değişimi bilgilerini kullanarak denklemleri kuralım.
Toplam atık sayısı 40 olduğundan: x+2x+y=40  ⟹  3x+y=40x + 2x + y = 40 \implies 3x + y = 40 elde edilir.

Puan hesabı yapıldığında: 15x+10(2x)−5y=250  ⟹  35x−5y=25015x + 10(2x) - 5y = 250 \implies 35x - 5y = 250 elde edilir. Bu denklemi 5 ile sadeleştirirsek 7x−y=507x - y = 50 olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemi elde ederek ortak çözüm yapabilmek için.
3
Elde edilen denklemleri ortak çözerek karton kutu sayısını bulalım.
3x+y=403x + y = 40
7x−y=507x - y = 50

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
10x=90  ⟹  x=910x = 90 \implies x = 9 bulunur.

İlk denklemde xx yerine 9 yazarak yy değerini bulalım:
3(9)+y=40  ⟹  27+y=40  ⟹  y=133(9) + y = 40 \implies 27 + y = 40 \implies y = 13 elde edilir.
Denklem sistemini yok etme metoduyla çözerek bizden istenen karton kutu sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen ilişkileri değişkenler yardımıyla modellemek ve birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerini yok etme yöntemiyle çözmek.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 12 / 14Sonraki
Sayı Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 12 | Examkin