Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 181Soru →

Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden tahtaya yazdığı üç basamaklı ABCABC doğal sayısını 1515 ile çarpmalarını istemiştir. Sınıftaki öğrencilerden biri, bu sayının onlar basamağındaki rakamı 22 fazla, birler basamağındaki rakamı ise 66 eksik görerek çarpma işlemini yapmış ve hatalı bir sonuç elde etmiştir.

Buna göre, öğrencinin bulduğu hatalı sonuç ile doğru sonuç arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 210

Cevap

Hatalı sonuç ile doğru sonuç arasındaki fark 210'dur.
Onlar basamağındaki rakamın 2 artırılması sayıyı 20 artırır, birler basamağındaki rakamın 6 azaltılması ise sayıyı 6 azaltır. Böylece sayı net olarak 14 artmış olur. Sayı 15 ile çarpılacağı için elde edilen hatalı sonuç ile doğru sonuç arasındaki fark 14×15=21014 \times 15 = 210 olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Basamaklardaki rakamların değişmesinin sayının değerine etkisini hesaplayınız.
Onlar basamağındaki rakamın 2 artırılması sayının değerini 2×10=202 \times 10 = 20 artırır. Birler basamağındaki rakamın 6 azaltılması ise sayının değerini 6×1=66 \times 1 = 6 azaltır.
Bir sayının basamağındaki rakamın değişmesi, sayının değerini o basamağın değeri ile rakamın değişim miktarının çarpımı kadar etkiler.
2
Sayının net değişim miktarını belirleyiniz.
Net değişim =20−6=+14= 20 - 6 = +14 olur. Yani sayının değeri 14 artmıştır.
Artış ve azalış miktarları birleştirilerek sayının son durumdaki toplam değişimi bulunur.
3
Bu değişimin 15 ile çarpım sonucuna etkisini hesaplayınız.
Sonuçtaki fark =14×15=210= 14 \times 15 = 210 olur.
Çarpım durumundaki bir ifadede çarpanlardan biri ne kadar değişirse, sonuç da o değişimin diğer çarpanla çarpımı kadar değişir.

Anahtar Kavram

Basamak değeri ve çözümleme prensipleri kullanılarak bir sayıdaki basamak değişimlerinin çarpım sonucuna etkisini hesaplama.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 182Soru →

aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
* a+ba + b toplamının bir irrasyonel sayı,
* a⋅ba \cdot b çarpımının bir rasyonel sayı
olduğu biliniyor.

Buna göre,
I. aa ve bb irrasyonel sayılardır.
II. a−ba - b farkı bir irrasyonel sayıdır.
III. a2+b2a^2 + b^2 toplamı bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Sıfırdan farklı iki gerçel sayının toplamı irrasyonel ve çarpımı rasyonel ise, bu sayıların her ikisi de irrasyonel olmak zorundadır. Farkları veya kareleri toplamı rasyonel de olabilir, irrasyonel de olabilir. Dolayısıyla yalnız birinci öncül kesinlikle doğrudur.
Toplamları irrasyonel, çarpımları ise rasyonel olan sıfırdan farklı iki gerçel sayının her ikisi de irrasyonel olmak zorundadır. Eğer biri rasyonel olsaydı, çarpımın rasyonel olması için diğeri de rasyonel olmak zorunda kalırdı; bu durumda toplamları da rasyonel olurdu ve bu durum verilen bilgiyle çelişirdi. Bu nedenle yalnız birinci öncülün yer aldığı seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülün doğruluğunu çelişki yöntemiyle analiz etme.
aa ve bb sayılarından en az birinin rasyonel olduğu varsayıldığında, sıfırdan farklı rasyonel sayıların bölümü de rasyonel olacağından diğer sayı da rasyonel olur. Bu durumda toplamları da rasyonel olmak zorundadır. Ancak bu durum toplamın irrasyonel olması bilgisiyle çeliştiği için aa ve bb sayılarının her ikisi de irrasyoneldir.
Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalılık ve eleman özelliklerini incelemek.
2
İkinci öncül için fark ifadesini inceleme ve karşıt örnek oluşturma.
a=1+2a = 1 + \sqrt{2} ve b=−1+2b = -1 + \sqrt{2} irrasyonel sayıları seçildiğinde, a+b=22a+b = 2\sqrt{2} (irrasyonel) ve a⋅b=1a \cdot b = 1 (rasyonel) ��artları sağlanır. Ancak bu durumda a−b=(1+2)−(−1+2)=2a - b = (1+\sqrt{2}) - (-1+\sqrt{2}) = 2 olup rasyonel bir sayıdır.
İki irrasyonel sayının farkının her zaman irrasyonel olmadığını göstermek.
3
Üçüncü öncül için a2+b2a^2 + b^2 ifadesini özdeşlik yardımıyla düzenleme ve analiz etme.
a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab yazılır. abab rasyoneldir, ancak (a+b)2(a+b)^2 ifadesi her zaman rasyonel olmak zorunda değildir. Örneğin, a+b=1+2a+b = \sqrt{1+\sqrt{2}} ve ab=−1ab = -1 için a2+b2=(1+2)−2(−1)=3+2a^2+b^2 = (1+\sqrt{2}) - 2(-1) = 3+\sqrt{2} irrasyoneldir.
Kareler toplamının rasyonel olup olmadığını toplamın karesi ve çarpımın ilişkisi üzerinden sorgulamak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri

Alternatif Yöntem

Öncülleri incelerken ikinci dereceden denklemlerin kök katsayı ilişkilerinden yararlanılabilir. aa ve bb sayıları, x2−(a+b)x+ab=0x^2 - (a+b)x + ab = 0 denkleminin kökleridir. T=a+bT = a+b (irrasyonel) ve C\c=abÇ = ab (rasyonel) olmak üzere, denklemin diskriminantı Δ=T2−4C\c\Delta = T^2 - 4Ç olur. T2T^2 irrasyonel seçilebildiğinden, Δ\Delta ve dolayısıyla köklerin kareleri toplamı olan a2+b2=T2−2C\ca^2+b^2 = T^2 - 2Ç ifadesi de irrasyonel olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 183Soru →

Rakamları sıfırdan farklı, iki basamaklı bir ABAB doğal sayısı için onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakam yer değiştirdiğinde sayının değeri 27 azalmaktadır.

Buna göre, A+BA + B toplamının alabileceği en küçük değer kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük toplam 5 değeridir.
İki basamaklı sayıların çözümlenmesi yapıldığında basamaklar farkı A−B=3A - B = 3 olarak bulunur. Rakamları sıfırdan farklı olan en küçük iki basamaklı ABAB sayısı için B=1B = 1 ve A=4A = 4 seçilir. Bu durumda rakamlar toplamı en az 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak çözümlemesi kurallarına göre açınız.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A olarak yazılır.
Sayıların basamak değerlerini cebirsel olarak ifade edebilmek için.
2
Sayının değerinin 27 azaldığını belirten denklemi kurarak AA ile BB rakamları arasındaki ilişkiyi bulunuz.
AB−BA=27⇒(10A+B)−(10B+A)=27⇒9(A−B)=27⇒A−B=3AB - BA = 27 \Rightarrow (10A + B) - (10B + A) = 27 \Rightarrow 9(A - B) = 27 \Rightarrow A - B = 3 elde edilir.
Onlar ve birler basamakları arasındaki farkı belirlemek için.
3
Rakamları sıfırdan farklı koşuluna uygun olarak A−B=3A - B = 3 eşitliğini sağlayan ve A+BA + B toplamını en küçük yapan AA ve BB rakamlarını bulunuz.
B=1B = 1 ve A=4A = 4 seçilir. Buradan en küçük toplam A+B=4+1=5A + B = 4 + 1 = 5 olur.
Soruda istenen en küçük toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak değerlerinin farkı ilişkisinin incelenmesi.
Soru 184Soru →

Bir sayı doğrusu üzerindeki nötr (işaretsiz) başlangıç noktasına olan uzaklıkları sırasıyla 4, 6 ve 9 birim olan xx, yy ve zz gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:
* x5⋅y2⋅z3<0x^5 \cdot y^2 \cdot z^3 < 0
* y⋅z>0y \cdot z > 0
* x−y>0x - y > 0

Buna göre,
−x2−(−y)2z−(−z)2+86\frac{-x^2 - (-y)^2}{z - (-z)^2 + 86}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İfadenin değeri 13'tür.
Verilen eşitsizlikler analiz edildiğinde x=4x = 4, y=−6y = -6 ve z=−9z = -9 değerleri elde edilir. Bu değerler rasyonel ifadede işlem önceliklerine ve parantezli/parantezsiz üs alma kurallarına dikkat edilerek yerine yazıldığında pay −52-52, payda −4-4 bulunur. Bölme işleminin sonucunda 13 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç noktasına olan uzaklık tanımından faydalanarak değişkenlerin mutlak değerlerini belirlemek.
∣x∣=4|x| = 4, ∣y∣=6|y| = 6 ve ∣z∣=9|z| = 9 elde edilir.
Bir gerçel sayının başlangıç noktasına (sıfır noktasına) olan uzaklığı o sayının mutlak değerine eşittir.
2
x5⋅y2⋅z3<0x^5 \cdot y^2 \cdot z^3 < 0 eşitsizliğini incelemek.
xx ve zz gerçel sayıları zıt işaretlidir (x⋅z<0x \cdot z < 0).
y≠0y \neq 0 olduğundan y2>0y^2 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için x5⋅z3<0x^5 \cdot z^3 < 0 olmalıdır, bu da xx ile zz'nin zıt işaretli olmasını gerektirir.
3
y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliğini incelemek.
yy ve zz gerçel sayıları aynı işaretlidir.
İki gerçel sayının çarpımının pozitif olması için ikisinin de aynı işaretli olması gerekir.
4
İşaret ilişkilerini birleştirmek.
xx ile yy gerçel sayıları zıt işaretlidir.
xx ile zz zıt, yy ile zz aynı işaretli olduğundan xx ile yy mutlaka zıt işaretli olmalıdır.
5
x−y>0x - y > 0 eşitsizliğini kullanmak.
x>0x > 0 ve y<0y < 0 bulunur.
Zıt işaretli iki sayının farkının pozitif çıkması için büyük olan sayının (xx) pozitif, küçük olan sayının (yy) negatif olması gerekir.
6
Tüm değişkenlerin kesin değerlerini bulmak.
x=4x = 4, y=−6y = -6 ve z=−9z = -9 olur.
y<0y < 0 ve yy ile zz aynı işaretli olduğundan z<0z < 0 olur. Mutlak değer büyüklükleri kullanılarak değerler belirlenir.
7
Bulunan değerleri istenen ifadede yerine yazıp hesaplamak.
13 elde edilir.
Pay: −x2−(−y)2=−(4)2−(6)2=−16−36=−52-x^2 - (-y)^2 = -(4)^2 - (6)^2 = -16 - 36 = -52. Payda: z−(−z)2+86=−9−(9)2+86=−90+86=−4z - (-z)^2 + 86 = -9 - (9)^2 + 86 = -90 + 86 = -4. Sonuç: −52−4=13\frac{-52}{-4} = 13 olur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda dört işlem kuralları, üs alma işlemleri ve mutlak değer yardımıyla işaret analizi.
Soru 185Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının birler basamağındaki rakam silinip bu rakam sayının soluna eklendiğinde elde edilen üç basamaklı sayı CABCAB olmaktadır.

ABC−CAB=270ABC - CAB = 270

olduğuna göre, bu koşulu sağlayan üç basamaklı tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4131

Cevap

Koşulu sağlayan ��ç basamaklı tüm ABCABC sayılarının toplamı 4131'dir.
Verilen ABCABC ve CABCAB sayıları çözümlendiğinde 100A+10B+C−(100C+10A+B)=270  ⟹  90A+9B−99C=270100A + 10B + C - (100C + 10A + B) = 270 \implies 90A + 9B - 99C = 270 eşitliği elde edilir. Bu denklemi 9 ile sadeleştirdiğimizde 10A+B−11C=3010A + B - 11C = 30 olur. Burada 10A+B10A + B ifadesi iki basamaklı ABAB sayısını ifade ettiği için AB=11C+30AB = 11C + 30 yazabiliriz. CABCAB üç basamaklı bir sayı olduğundan C≥1C \ge 1 olmalıdır. Ayrıca AA ve BB birer rakam olduğu için A=C+3≤9  ⟹  C≤6A = C+3 \le 9 \implies C \le 6 olur. Bu durumda CC için 1, 2, 3, 4, 5, 6 değerleri verilebilir. Buna göre elde edilen ABCABC sayıları 411, 522, 633, 744, 855, 966'dır. Bu sayıların toplamı ise 411+522+633+744+855+966=4131411 + 522 + 633 + 744 + 855 + 966 = 4131 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayılarda çözümleme işlemini uygulayarak denklemi oluşturma.
90A+9B−99C=27090A + 9B - 99C = 270 eşitliği elde edilir.
Sayıların basamak değerlerine göre çözümlenmesi, aralarındaki farkı basitleştirmemizi sağlar.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirme.
10A+B−11C=3010A + B - 11C = 30 veya iki basamaklı sayı formunda AB−11C=30AB - 11C = 30 elde edilir.
Her terim 9'un katı olduğundan denklemin her iki tarafı da 9'a bölünerek daha sade bir biçim elde edilir.
3
CC rakamına değerler vererek ABAB iki basamaklı sayısını ve dolayısıyla A,B,CA, B, C rakamlarını belirleme.
CC değerleri 1'den 6'ya kadar değişirken ABCABC sayıları sırasıyla 411, 522, 633, 744, 855, 966 olarak bulunur.
C≥1C \ge 1 olmalıdır çünkü CABCAB üç basamaklı bir sayıdır. Ayrıca AA ve BB birer rakam olmak zorunda olduğundan A=C+3≤9  ⟹  C≤6A = C+3 \le 9 \implies C \le 6 sınırlandırması bulunur.
4
Bulunan tüm ABCABC sayılarının toplamını hesaplama.
411+522+633+744+855+966=4131411 + 522 + 633 + 744 + 855 + 966 = 4131 bulunur.
Soruda bizden bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Çözümleme yöntemi kullanılarak basamak analizinin yapılması ve rakam olma şartlarına göre değer verilmesi.
Soru 186Soru →
Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı ile iki basamaklı ABAB, BCBC ve ACAC doğal sayıları için,
ABC=4⋅(AB+BC)+5⋅ACABC = 4 \cdot (AB + BC) + 5 \cdot AC
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplam�� kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1429

Cevap

1429
Çözümleme yapıldığında elde edilen denklem 5A=17B+4C5A = 17B + 4C şeklindedir. İki basamaklı sayı koşullarından dolayı B≠0B \neq 0 olmalıdır. Bu koşullara uygun olarak denklemi sağlayan değerler sadece ABC=512ABC = 512 ve ABC=917ABC = 917 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 14291429 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıları basamak çözümlemesi kullanarak açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
AB=10A+BAB = 10A + B
BC=10B+CBC = 10B + C
AC=10A+CAC = 10A + C
Çözümleme yaparak sayılar arasındaki ilişkileri daha basit bir cebirsel denklem biçimine getirmek.
2
Çözümlenmiş ifadeleri denklemde yerine koyalım ve denklemi düzenleyelim.
100A+10B+C=4⋅((10A+B)+(10B+C))+5⋅(10A+C)100A + 10B + C = 4 \cdot ((10A + B) + (10B + C)) + 5 \cdot (10A + C)
100A+10B+C=4⋅(10A+11B+C)+50A+5C100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + 11B + C) + 50A + 5C
100A+10B+C=40A+44B+4C+50A+5C100A + 10B + C = 40A + 44B + 4C + 50A + 5C
100A+10B+C=90A+44B+9C100A + 10B + C = 90A + 44B + 9C
10A−34B−8C=010A - 34B - 8C = 0
Eşitliğin her iki tarafındaki terimleri bir araya getirerek sade bir bağıntı elde etmek.
3
Elde edilen denklemi sadeleştirip basamak sınırlarını belirleyelim.
5A=17B+4C5A = 17B + 4C

Sayıların basamak yapısından dolayı:
- A∈{1,2,…,9}A \in \{1, 2, \dots, 9\}
- ABAB, BCBC ve ACAC iki basamaklı sayılar olduğu için A≠0A \neq 0 ve B≠0B \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla B∈{1,2,…,9}B \in \{1, 2, \dots, 9\} ve C∈{0,1,…,9}C \in \{0, 1, \dots, 9\} olmalıdır.
Bilinmeyenlerin alabileceği değer aralıklarını tanımlayarak deneme yanılma sürecini daraltmak.
4
BB rakamına göre olası durumları inceleyelim.
Eğer B≥3B \ge 3 ise 17B≥5117B \ge 51 olur. Ancak A≤9A \le 9 olduğundan 5A≤455A \le 45'tir. Dolayısıyla B≥3B \ge 3 için çözüm yoktur.

B=1B = 1 için:
5A=17+4C  ⟹  4C=5A−175A = 17 + 4C \implies 4C = 5A - 17
5A−175A - 17 ifadesinin 4'ün katı olması gerekir. Bu şartı sağlayan AA rakamları:
- A=5  ⟹  4C=8  ⟹  C=2A = 5 \implies 4C = 8 \implies C = 2 (Geçerli rakamlar: A=5,B=1,C=2  ⟹  ABC=512A=5, B=1, C=2 \implies ABC = 512)
- A=9  ⟹  4C=28  ⟹  C=7A = 9 \implies 4C = 28 \implies C = 7 (Geçerli rakamlar: A=9,B=1,C=7  ⟹  ABC=917A=9, B=1, C=7 \implies ABC = 917)

B=2B = 2 için:
5A=34+4C  ⟹  4C=5A−345A = 34 + 4C \implies 4C = 5A - 34
5A−345A - 34 ifadesinin 4'ün katı olması gerekir. A∈{7,8,9}A \in \{7, 8, 9\} için denediğimizde:
- A=7  ⟹  4C=1A = 7 \implies 4C = 1 (Çözüm yok)
- A=8  ⟹  4C=6A = 8 \implies 4C = 6 (Çözüm yok)
- A=9  ⟹  4C=11A = 9 \implies 4C = 11 (Çözüm yok)
Rakam kısıtlamalarını kullanarak denklemi sağlayan tüm geçerli (A,B,C)(A, B, C) üçlülerini bulmak.
5
Bulunan geçerli sayıların toplamını hesaplayalım.
Geçerli ABCABC sayıları 512512 ve 917917'dir.
512+917=1429512 + 917 = 1429
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Soru 187Soru →
Üç basamaklı ABCABC ve BCABCA doğal sayıları için,
ABC−BCA=378ABC - BCA = 378
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısı 957 olup, rakamları toplamı 21'dir.
Verilen denklem çözümlenip sadeleştirildiğinde 11A−C=10B+4211A - C = 10B + 42 eşitliğine ulaşılır. En büyük ABCABC sayısını oluşturabilmek için en büyük yüzler basamağı rakamı olan A=9A=9 seçilir. Buradan 99−C=10B+42  ⟹  57−C=10B99 - C = 10B + 42 \implies 57 - C = 10B bulunur. CC bir rakam olduğundan bu eşitliği sağlayan tek değer C=7C=7 ve B=5B=5 olur. Böylece elde edilen en büyük ABCABC sayısı 957'dir. Bu sayının rakamları toplamı ise 9+5+7=219 + 5 + 7 = 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve BCABCA sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle açın.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve BCA=100B+10C+ABCA = 100B + 10C + A
Sayı basamakları arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek için çözümleme yapılması gerekir.
2
Çözümlenmiş ifadeleri ABC−BCA=378ABC - BCA = 378 denkleminde yerine yazıp sadeleştirin.
99A−90B−9C=378  ⟹  11A−10B−C=4299A - 90B - 9C = 378 \implies 11A - 10B - C = 42
Denklemi 9 ile bölerek daha sade ve analiz edilmesi kolay bir eşitlik elde etmek için.
3
Elde edilen 11A−C=10B+4211A - C = 10B + 42 denklemini sağlayan A,B,CA, B, C rakam değerlerini bulun.
BB değeri 1'den 5'e kadar değer alabilir. En büyük ABCABC sayısını bulmak için en büyük yüzler basamağı olan A=9A=9 değeri seçildiğinde B=5B=5 ve C=7C=7 olur.
BCABCA üç basamaklı sayı olduğu için BB sıfır olamaz. En büyük ABCABC sayısını bulmak amacıyla yüzler basamağındaki AA rakamını en büyük seçmeye çalışırız.
4
En büyük ABCABC sayısı olan 957 sayısının rakamları toplamını hesaplayın.
9+5+7=219 + 5 + 7 = 21
Soruda en büyük sayının rakamları toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenerek kısıtlı değişkenlere göre değer analizi yapılması.
Soru 188Soru →

Bir sayı makinesi, içine atılan bir xx gerçel sayısı için aşağıdaki kurallara göre çalışmaktadır:

* xx bir rasyonel sayı ise ekranda 2x−12x - 1 sayısı görünmektedir.
* xx bir irrasyonel sayı ise ekranda x2x^2 sayısı görünmektedir.

Bu makineye atılan bir xx sayısı için ekranda bir tam sayı göründüğüne göre, xx aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5\sqrt{5}

Cevap

Makineye atılan sayının karekök 5 olması durumunda ekranda bir tam sayı görünür.
Karekök 5 sayısı bir irrasyonel sayıdır. Makinenin çalışma kuralına göre, sisteme irrasyonel bir sayı girildiğinde ekranda bu sayının karesi gösterilir. Karekök 5 sayısının karesi 5 olup, 5 bir tam sayıdır. Bu nedenle bu girdi aranan koşulu sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Seçeneklerde verilen sayıların rasyonel ve irrasyonel olma durumlarını belirlemek.
Karekök 5, karekök 3 bölü 2 ve karekök 2,5 say��ları irrasyonel sayılardır. 3 bölü 4 ve 2 bölü 3 sayıları ise rasyonel sayılardır.
Hangi girdi için hangi işlemin uygulanacağını seçmek amacıyla sayı kümelerini sınıflandırmamız gerekir.
2
Rasyonel sayılar için tanımlanan 2x - 1 kuralını uygulamak.
3 bölü 4 sayısı için 2 * (3/4) - 1 = 1/2 elde edilir. 2 bölü 3 sayısı için 2 * (2/3) - 1 = 1/3 elde edilir. Her iki sonuç da tam sayı değildir.
Rasyonel sayıların makinedeki çıktısının tam sayı olup olmadığını kontrol etmek.
3
İrrasyonel sayılar için tanımlanan x'in karesi kuralını uygulamak.
Karekök 3 bölü 2 sayısı için sonuç 3/4 olur. Karekök 2,5 sayısı için sonuç 2,5 olur. Karekök 5 sayısı için sonuç 5 olur. Bu sonuçlardan yalnızca 5 bir tam sayıdır.
İrrasyonel sayıların makinedeki çıktılarından hangisinin tam sayı olduğunu tespit etmek.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin tanımı ile elemanlarının ayırt edilmesi
Soru 189Soru →
Sıfırdan farklı xx, yy ve zz tam sayıları için
x2⋅y−zx^2 \cdot y - z
ifadesi bir tek sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z

Cevap

x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen x2⋅y−zx^2 \cdot y - z ifadesinin tek sayı olması için ya x⋅yx \cdot y çift ve zz tek olmalıdır ya da x⋅yx \cdot y tek ve zz çift olmalıdır. İlk durumda xx veya yy çift olmak zorundadır. İkinci durumda ise zz çift olmak zorundadır. Her iki olasılıkta da xx, yy ve zz sayılarından en az biri çift sayıdır. Bir çarpım işleminde çarpanlardan en az biri çift sayı olduğunda sonuç daima çift sayı olacağından, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin teklik-çiftlik durumunu analiz etme
x2⋅y−zx^2 \cdot y - z ifadesi bir tek sayıdır. xx tam sayı olduğundan x2x^2 ile xx ifadelerinin teklik-çiftlik karakteri aynıdır. Buradan x⋅y−zx \cdot y - z ifadesinin tek sayı olduğu anlaşılır.
Bir tam sayının pozitif kuvvetlerinin teklik-çiftlik durumu tabanınkiyle aynıdır.
2
Değişkenlerin alabileceği olası durumları belirleme
x⋅y−zx \cdot y - z ifadesinin tek sayı olması i��in iki durum söz konusudur:
1. Durum: x⋅yx \cdot y çift ve zz tek sayıdır. x⋅yx \cdot y çift ise xx veya yy sayılarından en az biri çifttir.
2. Durum: x⋅yx \cdot y tek ve zz çift sayıdır. x⋅yx \cdot y tek ise hem xx hem de yy tek sayıdır, bu durumda zz çift sayıdır.
İki tam sayının farkının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift sayı olması gerekir.
3
Bulunan durumları seçeneklerle karşılaştırarak sentezleme
Belirlenen her iki durumda da xx, yy ve zz tam sayılarından en az birinin çift sayı olması zorunludur. Dolayısıyla bu üç sayının çarpımı olan x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Çarpanlarından en az biri çift sayı olan çarpım işlemlerinin sonucu daima çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler ve kuvvet alma kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 190Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı olan pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayılarla ilgili aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. Her xx gerçel sayısı için, −x4-x^4 ile (−x)4(-x)^4 ifadelerinin toplamı işaretsiz bir sayıdır.
II. Her yy gerçel sayısı için, −y2-y^2 ifadesi negatif bir sayıdır.
III. zz sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere, (−z)−3(-z)^{-3} ile −z−3-z^{-3} ifadelerinin çarpımı her zaman pozitif bir sayıdır.

Buna göre, bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü ifadeler her zaman doğrudur.
Birinci ve üçüncü ifadelerin birlikte yer aldığı seçenek doğrudur. Birinci ifadede parantez içindeki negatif tabanın çift kuvveti pozitif olacağından (−x)4=x4(-x)^4 = x^4 olur ve −x4+x4=0-x^4 + x^4 = 0 elde edilir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Üçüncü ifadede ise sıfırdan farklı zz sayısı için (−z)−3=−z−3(-z)^{-3} = -z^{-3} olup, bu iki aynı ifadenin çarpımı karesini vereceğinden daima pozitif olur. İkinci ifade ise y=0y = 0 için sıfıra eşit olduğundan ve sıfır sayısı negatif olmadığından her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadeyi analiz edin.
−x4+(−x)4=−x4+x4=0-x^4 + (-x)^4 = -x^4 + x^4 = 0 bulunur. Sıfır (00) sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Dolayısıyla birinci ifade her zaman doğrudur.
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olduğundan (−x)4=x4(-x)^4 = x^4 olur. Bu durumda −x4-x^4 ile x4x^4 birbirini götürür.
2
İkinci ifadeyi analiz edin.
y=0y = 0 için −y2=−02=0-y^2 = -0^2 = 0 olur. Sıfır (00) sayısı negatif değildir, nötrdür (işaretsizdir). Dolayısıyla ikinci ifade her zaman doğru değildir.
Sıfır sayısı pozitif veya negatif sınıfına girmez, işaretsizdir.
3
Üçüncü ifadeyi analiz edin.
(−z)−3⋅(−z−3)=(−z−3)⋅(−z−3)=(z−3)2=z−6>0(-z)^{-3} \cdot (-z^{-3}) = (-z^{-3}) \cdot (-z^{-3}) = (z^{-3})^2 = z^{-6} > 0 bulunur. Sıfırdan farklı her zz gerçel sayısı için z−6z^{-6} daima pozitiftir. Dolayısıyla üçüncü ifade her zaman doğrudur.
Tek kuvvet negatif tabanın işaretini dışarı çıkarır: (−z)−3=−z−3(-z)^{-3} = -z^{-3} olur. Aynı iki sayının çarpımı karesini vereceğinden sıfırdan farklı her sayı için sonuç pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayıların özellikleri ile üslü ifadelerde parantez kullanımı.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 191Soru →

Matematik öğretmeni Selim Bey, öğrencilerinin sayı kümeleri arasındaki farkı kavramaların�� sağlamak amacıyla tahtaya şu KK kümesini yazmıştır:

K={−4,  −32,  0,  1.8,  7,  9}K = \{-4, \; -\frac{3}{2}, \; 0, \; 1.8, \; \sqrt{7}, \; 9\}

Selim Bey öğrencilerinden, bu kümenin elemanlarından üç farklı say�� seçerek bu sayıları sırasıyla a,ba, b ve cc olarak adlandırmalarını istemiştir. Seçilecek bu sayılar için şu koşullar belirlenmiştir:

* aa bir tam sayıdır.
* bb rasyonel sayı olmasına rağmen bir tam sayı değildir.
* cc rasyonel sayı değildir.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı (a,b,c)(a, b, c) sıralı üçlüsü oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Koşulları sağlayan 6 farklı sıralı üçlü oluşturulabilir.
Soruda belirtilen koşullara göre: a sayısı tam sayılar kümesinden seçilmelidir, bu koşula uyan elemanlar -4, 0 ve 9 olmak üzere 3 tanedir. b sayısı rasyonel sayı olup tam sayı olmayanlar kümesinden seçilmelidir, bu koşula uyan elemanlar -3/2 ve 1.8 olmak üzere 2 tanedir. c sayısı rasyonel olmayan (irrasyonel) sayılar kümesinden seçilmelidir, bu koşula uyan tek eleman \sqrt{7}'dir. Bu kümeler birbirleriyle kesişmediği için seçilen elemanlar otomatik olarak birbirinden farklı olur. Çarpma yoluyla sayma kuralı gereğince 3 * 2 * 1 = 6 farklı sıralı üçlü oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin elemanlarını sayı kümelerine göre sınıflandırmak
Tam sayılar: -4, 0, 9. Rasyonel olup tam sayı olmayanlar: -3/2, 1.8. İrrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar: \sqrt{7}
Her bir değişken için hangi sayıların seçilebileceğini belirlemek amacıyla bu sınıflandırma yapılır.
2
Değişkenler için aday eleman sayılarını belirlemek
a için 3 aday (-4, 0, 9), b için 2 aday (-3/2, 1.8), c için 1 aday (\sqrt{7})
Her bir pozisyona kaç farklı seçeneğin gelebileceğini tespit etmek gerekir.
3
Çarpma kuralını uygulayarak toplam sıralı üçlü sayısını hesaplamak
3 * 2 * 1 = 6
Birbirinden bağımsız olarak yapılan bu seçimlerin toplam sonucunu bulmak için seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Elemanların Sınıflandırılması
Soru 192Soru →

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için a3⋅b2⋅c<0a^3 \cdot b^2 \cdot c < 0, a−b<ca - b < c ve b2⋅c−a2⋅c=0b^2 \cdot c - a^2 \cdot c = 0 koşulları sağlanmaktadır. Buna göre, c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesinin alabileceği en büyük değer işaretsiz (nötr) bir gerçel sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Önerme doğrudur. c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesinin alabileceği en büyük değer 00 olup, bu sayı işaretsizdir (nötrdür).
Koşulları sağlayan durumlarda c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi en fazla 00 değerini alabilir ve sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
b2⋅c−a2⋅c=0b^2 \cdot c - a^2 \cdot c = 0 eşitliğini analiz etmek.
c≠0c \neq 0 olduğundan her iki taraf cc ile bölünürse b2=a2b^2 = a^2 elde edilir. Buradan b=ab = a veya b=−ab = -a olur.
Değişkenler arasındaki eşitlik ilişkilerini belirlemek.
2
a3⋅b2⋅c<0a^3 \cdot b^2 \cdot c < 0 eşitsizliğini analiz etmek.
b≠0b \neq 0 olduğundan b2>0b^2 > 0 olur. Dolayısıyla a3⋅c<0a^3 \cdot c < 0 elde edilir, bu da aa ile cc sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.
Değişkenlerin işaret durumlarını tespit etmek.
3
b=ab = a durumunu incelemek.
a−b<c  ⟹  a−a<c  ⟹  c>0a - b < c \implies a - a < c \implies c > 0 olur. aa ile cc zıt işaretli olduğundan a<0a < 0 ve dolayısıyla b<0b < 0 olur. Bu durumda c⋅(a−b)=c⋅0=0c \cdot (a - b) = c \cdot 0 = 0 elde edilir.
İlk olasılığa göre ifadenin değerini hesaplamak.
4
b=−ab = -a durumunu incelemek.
a−b<c  ⟹  a−(−a)<c  ⟹  2a<ca - b < c \implies a - (-a) < c \implies 2a < c olur. aa ve cc zıt işaretli olduğundan, eğer a>0a > 0 ve c<0c < 0 olsaydı 2a<c2a < c (pozitif < negatif) çelişkisi doğardı. Dolayısıyla a<0a < 0 ve c>0c > 0 olmalıdır. Bu durumda c⋅(a−b)=c⋅(2a)=2ac<0c \cdot (a - b) = c \cdot (2a) = 2ac < 0 elde edilir.
İkinci olasılığa göre ifadenin değerini hesaplamak.
5
Sonuçları birleştirerek ifadenin en büyük değerini ve işaretini bulmak.
c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi 00 veya negatif değerler alabilir. Bu değerlerin en büyüğü 00 olup, 00 sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
Önermenin doğruluk değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işlemler, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik analizi.
Soru 193Soru →
aa ve bb tam sayıları için
5a−b5a - b
ifadesinin bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ba + b

Cevap

İki tam sayıdan biri tek diğeri çift olduğunda toplamları her zaman tek sayı olacağından, doğru cevap a+ba + b ifadesidir.
Biri tek, diğeri çift olan iki tam sayının toplamı daima bir tek sayı olduğundan, a+ba + b ifadesi her zaman tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 5a−b5a - b ifadesinin tek sayı olma durumunu inceleyin.
5a5a ve bb ifadelerinden biri tek, diğeri çift sayıdır.
İki tam sayının farkı tek sayı ise, bu sayılardan biri tek diğeri çifttir.
2
5a5a ifadesinin tek veya çift olma durumunu aa değişkenine bağlı olarak yorumlayın.
aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumları zıttır (biri tek iken diğeri çift).
Bir tek sayı (55) ile bir tam sayının (aa) çarpımının tekliği, o tam sayının tekliğine bağlıdır. Bu nedenle 5a5a ile aa aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.
3
a+ba + b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu değerlendirin.
a+ba + b toplamı her zaman tek sayıdır.
Biri tek, diğeri çift olan iki tam sayının toplamı her zaman tek sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altındaki özellikleri ve üs durumlarında tam sayı koşullarının önemi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 194Soru →

A={−3,−1,0,2,4}A = \{-3, -1, 0, 2, 4\} kümesinin elemanlarından seçilen birbirinden farklı iki sayının çarpımı ile elde edilebilecek en büyük negatif sayı ile en küçük pozitif sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

En büyük negatif çarpım değeri olan -2 ile en küçük pozitif çarpım değeri olan 3'ün toplamı 1'dir.
Çarpım sonucu elde edilen negatif sayıların kümesi {−12,−6,−4,−2}\{-12, -6, -4, -2\} olup, bu gruptaki en büyük sayı −2-2'dir. Çarpım sonucu elde edilen pozitif sayıların kümesi ise {3,8}\{3, 8\} olup, bu gruptaki en küçük sayı 33'tür. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) olduğundan her iki gruba da dahil edilmemiştir. Bu iki değerin toplamı −2+3=1-2 + 3 = 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birbirinden farklı iki elemanın çarpımı ile elde edilebilecek tüm olası sonuçları hesaplamak.
Olası tüm çarpımlar şunlardır: (−3)⋅(−1)=3(-3) \cdot (-1) = 3, (−3)⋅0=0(-3) \cdot 0 = 0, (−3)⋅2=−6(-3) \cdot 2 = -6, (−3)⋅4=−12(-3) \cdot 4 = -12, (−1)⋅0=0(-1) \cdot 0 = 0, (−1)⋅2=−2(-1) \cdot 2 = -2, (−1)⋅4=−4(-1) \cdot 4 = -4, 0⋅2=00 \cdot 2 = 0, 0⋅4=00 \cdot 4 = 0 ve 2⋅4=82 \cdot 4 = 8. Küme olarak çarpım sonuçları {−12,−6,−4,−2,0,3,8}\{-12, -6, -4, -2, 0, 3, 8\} şeklindedir.
Soruda istenen en büyük negatif ve en küçük pozitif çarpım değerlerini bulmak için tüm olası çarpım sonuçlarını görmek gerekir.
2
Elde edilen sonu��lar arasından negatif olanları belirlemek ve en büyüğünü seçmek.
Negatif çarpım sonuçları {−12,−6,−4,−2}\{-12, -6, -4, -2\} kümesidir. Bu sayılardan en büyüğü −2-2'dir. Sıf��r sayısı işaretsiz (nötr) olduğu için bu gruba dahil edilmez.
Negatif sayılarda sıfıra yakın olan sayı daha büyüktür. Dolayısıyla en büyük negatif çarpım değeri −2-2 olur.
3
Elde edilen sonuçlar arasından pozitif olanları belirlemek ve en küçüğünü seçmek.
Pozitif çarpım sonuçları {3,8}\{3, 8\} kümesidir. Bu sayılardan en küçüğü 33'tür. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) olduğu için pozitif sayılar grubuna dahil edilmez.
Pozitif sayılardan en küçüğünü belirlemek gerekir. Sıfır sayısı pozitif olmadığı için en küçük pozitif sayı 33 olarak belirlenir.
4
Bulunan en büyük negatif sayı ile en küçük pozitif sayıyı toplamak.
−2+3=1-2 + 3 = 1 elde edilir.
Soru bizden bu iki değerin toplamını bulmamızı istemektedir.

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayıların tanımları ve bu sayıların kendi aralarındaki çarpım işlemleri.
Soru 195Soru →

Bir bilgisayar programı, sisteme girilen bir sayı kümesindeki elemanlardan rasyonel olmayan (irrasyonel) sayıları tespit edip ayıklamaktadır. Bu programa girdi olarak K={−9,227,π,0,5,2.3‾}K = \{-\sqrt{9}, \frac{22}{7}, \pi, 0, \sqrt{5}, 2.\overline{3}\} kümesi veriliyor. Buna göre, bu program KK kümesinden kaç tane sayı ayıklar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Programın ayıklayacağı sayı adedi 2'dir.
Kümedeki sayılardan yalnızca π\pi ve 5\sqrt{5} sayıları irrasyoneldir. Bu durumda program toplamda 2 sayıyı ayıklar.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümesini belirleme
−9=−3∈Q-\sqrt{9} = -3 \in \mathbb{Q}, 227∈Q\frac{22}{7} \in \mathbb{Q}, π∈Q′\pi \in \mathbb{Q}', 0∈Q0 \in \mathbb{Q}, 5∈Q′\sqrt{5} \in \mathbb{Q}', 2.3‾∈Q2.\overline{3} \in \mathbb{Q}
Sayıların rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu ayırt etmek için tanımlarını kullanırız.
2
Rasyonel olmayan (irrasyonel) sayıları sayma
π\pi ve 5\sqrt{5} olmak üzere 2 tane irrasyonel sayı vardır.
Program sadece irrasyonel olan sayıları ayıklamaktadır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ayrımı
Soru 196Soru →

Bir xx gerçel sayısı için

x+94xx + \frac{9}{4x}

ifadesinin bir tam sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı xx rasyonel sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bu koşulu sağlayan rasyonel sayıların sayısı 6'dır.
Verilen rasyonel ifadenin tam sayı olmasını sağlayan rasyonel sayılar x=p/qx = p/q şeklinde yazıldığında, bölünebilme analizi sonucunda paydanın q=2q=2 ve payın p∈{±1,±3,±9}p \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 9\} olması gerektiği görülür. Bu durum ±1/2\pm 1/2, ±3/2\pm 3/2 ve ±9/2\pm 9/2 olmak üzere tam 6 adet rasyonel sayı değeri üretir.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel sayı tanımını uygulayarak x=p/qx = p/q şeklinde yazılması
x=pqx = \frac{p}{q} (burada p,q∈Zp, q \in \mathbb{Z}, q>0q > 0 ve obeb(p,q)=1\text{obeb}(p, q) = 1)
Her rasyonel sayı, aralarında asal iki tam sayının oranı biçiminde tek şekilde yazılabilir.
2
İfadeyi düzenleyerek tek bir rasyonel kesir haline getirmek ve tam sayıya eşitlemek
4p2+9q24pq=k\frac{4p^2 + 9q^2}{4pq} = k (k∈Zk \in \mathbb{Z})
Toplama işlemini gerçekleştirerek bölünebilme analizi yapabilmek.
3
Paydadaki çarpanların payı bölme koşullarını incelemek
qq sayısı 44'ü, pp sayısı ise 99'u bölmelidir.
pp ve qq aralarında asal olduğundan, paydadaki qq çarpanı paydaki 4p24p^2 terimini bölmek için 44'ü bölmelidir. Benzer şekilde paydadaki pp çarpanı 99'u bölmelidir.
4
Eşitliğin her iki tarafının 4 ile bölünebilirliğini kontrol etmek
9q29q^2 sayısı 44'ün katı olmalı, dolayısıyla qq çift sayı olmalıdır.
4p2+9q2=4kpq4p^2 + 9q^2 = 4kpq denkleminde 4p24p^2 ve 4kpq4kpq çift ve hatta 4'ün katıdır, bu yüzden kalan terim de 4'ün katı olmalıdır.
5
q=4q=4 olasılığını değerlendirmek
q=4q=4 için p2+36=4kp  ⟹  p2=4(kp−9)p^2 + 36 = 4kp \implies p^2 = 4(kp - 9) olur ki bu pp'nin çift olmasını gerektirir. Ancak pp ve qq aralarında asal olduğundan pp tek olmalıdır. Bu çelişki nedeniyle q=4q = 4 olamaz.
Aralarında asallık özelliğinin korunması gerekliliğini test etmek.
6
q=2q=2 olasılığını değerlendirip olası pp değerlerini bulmak
q=2q=2 için p2+9=2kpp^2 + 9 = 2kp elde edilir. 9'un tek bölenleri olan p∈{±1,±3,±9}p \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 9\} değerlerinin hepsi bu eşitliği sağlayan bir kk tam sayısı üretir. Bu da 6 farklı çözüm (x=±1/2,±3/2,±9/2x = \pm 1/2, \pm 3/2, \pm 9/2) anlamına gelir.
Tüm olası çözümleri listeleyerek toplam sayıyı belirlemek.

Anahtar Kavram

Rasyonel sayı kümesinin tanımı, rasyonel ve tam sayı kümeleri arasındaki temel farklar ve bölünebilme teorisi.
Soru 197Soru →

Bir alışveriş merkezinin otopark asansörünün gün içinde durduğu katlar −2-2, −1-1, 00, 33 ve 44 olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu kat numaralarından kaç tanesi doğal sayılar kümesinin bir elemanıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen kat numaralarından 3 tanesi doğal sayılar kümesinin bir elemanıdır.
Doğal sayılar kümesi sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşur (N={0,1,2,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}). Bu nedenle −2-2 ve −1-1 doğal sayı değilken, 00, 33 ve 44 doğal sayıdır. Sonuç olarak toplam 33 kat numarası doğal sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğal sayılar kümesinin (N\mathbb{N}) elemanlarını tanımlayalım.
N={0,1,2,3,4,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\} kümesi elde edilir. Bu kümede negatif sayılar yer almaz ve en küçük elemanı sıfırdır.
Sayıların hangi kümeye ait olduğunu doğru belirlemek için o kümenin tanımını hatırlamak gerekir.
2
Verilen kat numaralarını (−2-2, −1-1, 00, 33, 44) tek tek inceleyelim.
−2-2 ve −1-1 sayıları negatif tam sayılardır, dolayısıyla doğal sayı değildir. 00, 33 ve 44 sayıları ise doğal sayılar kümesinin birer elemanıdır.
Her bir kat numarasının doğal sayılar kümesinin tanımına uyup uymadığını kontrol etmek için.
3
Doğal sayı olduğu belirlenen elemanların toplam sayısını bulalım.
00, 33 ve 44 olmak üzere toplam 33 adet kat numarası doğal sayıdır.
Soruda istenen toplam adede ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Doğal sayılar kümesinin tanımı ve elemanlarının belirlenmesi
Soru 198Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a2+3a+ba^2 + 3a + b ifadesinin bir çift sayı,
* b2−b+cb^2 - b + c ifadesinin bir tek sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b⋅(a+c)b \cdot (a + c)

Cevap

b \cdot (a + c) ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
b sayısının çift olduğu, c sayısının tek olduğu ve a'nın paritesinin belirsiz olduğu tespit edilmiştir. b çift bir sayı olduğundan, herhangi bir tam sayı ile çarpımı olan b \cdot (a + c) ifadesi daima bir çift tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadenin analiz edilmesi
b sayısının çift oldu��u belirlenir.
a bir tam sayı olmak üzere, a^2 + 3a = a(a + 3) ifadesi ardışık karakterli iki sayının çarpımı mantığına dayanır. a tek ise a+3 çift, a çift ise a+3 tek olduğundan, bu çarpım her durumda çifttir. Çift bir sayıya b eklendiğinde sonuç çift olduğuna göre b sayısı kesinlikle çifttir. Bu aşamada a'nın tekliği veya çiftliği hakkında kesin bir bilgi elde edilemez.
2
İkinci ifadenin analiz edilmesi
c sayısının tek olduğu belirlenir.
b^2 - b = b(b - 1) ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımı olduğundan her zaman çifttir. Çift bir sayıya c eklendiğinde sonuç tek sayı olduğuna göre c sayısı kesinlikle tektir.
3
Seçeneklerin kontrol edilmesi
b \cdot (a + c) ifadesinin her zaman çift sayı olduğu görülür.
b sayısının çift tam sayı olduğu kanıtlanmıştır. a ve c birer tam sayı olduğundan toplamları olan a + c de bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olacağından b \cdot (a + c) ifadesinin sonucu daima çifttir. Diğer seçeneklerde ise a sayısının paritesinin bilinmemesi veya negatif üs durumunda ifadenin tam sayı olmama ihtimali (rasyonel sayı olması) nedeniyle kesinlik sağlanamaz.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri, ardışık sayıların çarpımının paritesi ve üs işlemlerinde taban/üs tam sayı koşulları.
Soru 199Soru →

Bir bilgisayar programına girilen aa, bb ve cc gerçel sayılarından biri negatif, biri pozitif, diğeri ise işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Program, girilen bu sayılar arasında aşağıdaki eşitsizliklerin sağlandığını denetlemektedir:

* a2⋅b>0a^2 \cdot b > 0
* −b3⋅c≥0-b^3 \cdot c \ge 0
* c−a>0c - a > 0

Program bu üç eşitsizliğin de sağlandığını onayladığına göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−a)3⋅(−b)2(-a)^3 \cdot (-b)^2

Cevap

(−a)3⋅(−b)2(-a)^3 \cdot (-b)^2
İfadedeki (−a)3⋅(−b)2(-a)^3 \cdot (-b)^2 çarpımında, aa negatif olduğundan −a-a pozitif bir sayıdır ve tek kuvveti (−a)3(-a)^3 de pozitif olur. bb pozitif olduğundan −b-b negatif bir sayıdır ancak çift kuvveti (−b)2(-b)^2 pozitif olur. İki pozitif sayının çarpımı kesinlikle pozitif bir gerçel sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
İşaretsiz (nötr) olan gerçel sayının 00 olduğunu belirlemek.
a,b,ca, b, c sayılarından biri 00'dır.
Gerçel sayılar kümesinde işaretsiz (nötr) olan tek sayı 00 sayısıdır.
2
cc sayısının 00 olduğunu tespit etmek.
a≠0a \neq 0, b≠0b \neq 0 ve buradan c=0c = 0 bulunur.
a2⋅b>0a^2 \cdot b > 0 eşitsizliğinde çarpım sonucu sıfırdan büyük olduğundan çarpılan sayılardan hiçbiri sıfır olamaz (a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0). Dolayısıyla sıfır olan tek değişken cc'dir.
3
aa ve bb sayılarının işaretlerini bulmak.
b>0b > 0 ve a<0a < 0 olarak bulunur.
a≠0a \neq 0 oldu��undan a2>0a^2 > 0'dır. a2⋅b>0a^2 \cdot b > 0 olması için b>0b > 0 olmalıdır. c=0c = 0 ve c−a>0c - a > 0 eşitsizliğinden 0−a>0  ⟹  a<00 - a > 0 \implies a < 0 elde edilir.
4
Değerleri seçeneklerdeki ifadelere uygulayarak pozitif olan ifadeyi bulmak.
(−a)3⋅(−b)2(-a)^3 \cdot (-b)^2 ifadesinin pozitif olduğu belirlenir.
a<0  ⟹  −a>0  ⟹  (−a)3>0a < 0 \implies -a > 0 \implies (-a)^3 > 0 ve b>0  ⟹  −b<0  ⟹  (−b)2>0b > 0 \implies -b < 0 \implies (-b)^2 > 0'dır. İki pozitif sayının çarpımı daima pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ve Sıfırın Nötrlüğü

Alternatif Yöntem

Eşitsizlikleri sağlayan uygun değerler seçilebilir. Örneğin c=0c = 0, b=1b = 1 ve a=−2a = -2 değerleri seçildiğinde tüm öncüller sağlanır. Bu değerler seçeneklerde yerine yazılarak da doğru cevaba ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 200Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, x4x^4 ifadesinin değeri daima pozitif bir sayı belirtir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
İfade yanlıştır çünkü x=0x=0 için x4x^4 ifadesinin değeri sıfıra eşit olur ve sıfır pozitif değil, işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenin alabileceği değer aralığını ve özel durumları belirleyin.
Değişkenimiz olan xx bir gerçel sayıdır. Dolayısıyla xx pozitif, negatif veya sıfır (nötr) değerlerini alabilir.
Gerçel sayılar k��mesi pozitif sayılar, negatif sayılar ve nötr olan sıfır sayısından oluşur.
2
Sıfır (nötr) değerinin çift kuvvetini inceleyin.
x=0x = 0 için x4=04=0x^4 = 0^4 = 0 olur.
Sıfırın tüm pozitif tam sayı kuvvetleri sıfıra eşittir.
3
Elde edilen sonucun işaretini değerlendirin.
00 sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır, pozitif bir sayı değildir.
Sıfır sayısının pozitif veya negatif bir işareti yoktur.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği ve çift kuvvetlerin sıfır için sonucu.
Tahmini Süre:45s
ÖncekiSayfa 10 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 10 | Examkin