Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 161Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b
ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1

Cevap

a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen a(a+b)a(a+b) çarpımının tek sayı olmasından yola çıkılarak aa tek ve bb çift tam sayı olarak bulunur. Bu değerler a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesine uygulandığında, terimler sırasıyla çift, tek ve tek olur. Bu tam sayıların toplamı (Çift + Tek + Tek) her zaman çift sayı sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b ifadesini ortak çarpan parantezine alın.
a(a+b)a(a + b) ifadesi elde edilir.
Çarpanların teklik-çiftlik durumunu ayrı ayrı analiz edebilmek için ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olma durumunu inceleyin.
aa tek sayı ve a+ba + b tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
bb tam sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
bb çift sayıdır.
aa tek sayı olduğuna göre, a+ba + b toplamının tek sayı olabilmesi için bb çift sayı olmalıdır (Tek + Çift = Tek).
4
a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesinin teklik-çiftlik durumunu değerlendirin.
a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesinin sonucu her zaman çift sayıdır.
aa tek ve bb çift tam sayı olduğundan, a⋅ba \cdot b çift, aa tek ve 11 tek sayıdır. Bu terimlerin toplamı olan Çift + Tek + Tek işlemi çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem Kuralları ve Değişken Analizi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 162Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
* a2+b⋅ca^2 + b \cdot c ifadesinin bir çift sayı,
* b2+a⋅cb^2 + a \cdot c ifadesinin bir tek sayı
olduğu biliniyor.

Buna göre,
I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. ac+ca^c + c
III. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Doğru olan ifadeler I ve III'tür. Verilen denklemlerden yola çıkılarak yapılan analizde a sayısının çift, b sayısının tek ve c sayısının çift olduğu kesin olarak bulunur. Birinci öncülde çift ile tekin çarpımı çift, buna çift eklenirse sonuç çift olur. Üçüncü öncülde c sayısı çift olduğundan, parantez içi ne olursa olsun (tam sayı olmak kaydıyla) sonuç çift olur. İkinci öncülde ise üs negatif olabileceğinden teklik-çiftlik garantisi yoktur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik ve çiftlik durumlarını analiz ederek a, b ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirleyin.
a^2 + bc çift ve b^2 + ac tek olarak verilmiştir. Eğer a tek sayı olsaydı, a^2 tek olurdu. Toplamın çift olması için bc tek olmalı, yani hem b hem de c tek olmalıdır. Bu durumda b^2 + ac ifadesi (tek)^2 + tek.tek = tek + tek = çift olurdu, fakat bu ifade tek olarak verilmiştir. Dolayısıyla a çift sayı olmak zorundadır. a çift ise ac çifttir. b^2 + ac tek olduğundan b^2 tek, yani b tek sayı olmalıdır. a^2 + bc çift ve a^2 çift olduğundan bc çift olmalıdır; b tek olduğundan c çift sayı olmalıdır. Sonuç olarak: a çift, b tek, c çift olmalıdır.
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını kesinleştirmek, öncülleri doğru değerlendirmek için ilk ve en kritik adımdır.
2
Birinci öncülü (a.b + c) kontrol edin.
a çift, b tek ve c çift olduğundan, a.b + c = (çift . tek) + çift = çift + çift = çift olur. a, b ve c tam sayı olduğundan bu sonuç her zaman bir çift tam sayıdır.
Birinci öncülün doğruluğunu test etmek.
3
İkinci öncülü (a^c + c) kontrol edin.
a çift ve c çift tam sayılardır. Ancak c negatif bir çift tam sayı olabilir (örneğin c = -2, a = 2). Bu durumda 2^(-2) + (-2) = 1/4 - 2 = -7/4 ifadesi bir tam sayı olmadığından teklik veya çiftliğinden söz edilemez.
İkinci öncüldeki kuvvetin negatif olma durumunu (tam sayı tanımını) test etmek.
4
Üçüncü öncülü ((a + b).c) kontrol edin.
a çift, b tek olduğundan a+b tek tam sayıdır. c çift tam sayı olduğundan, (a+b).c ifadesi (tek . çift) = çift olur. Sonuç her zaman bir çift tam sayıdır.
Üçüncü öncülün doğruluğunu test etmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özelliklerinde tam sayı tanımı ve negatif üs durumunun incelenmesi.
Soru 163Soru →
İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için,
AB−BA=A+BAB - BA = A + B
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, AA rakamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

A rakamı 5 olmalıdır.
Verilen denklemde iki basamaklı sayılar çözümlendiğinde (10A+B)−(10B+A)=A+B(10A + B) - (10B + A) = A + B eşitliğinden 9(A−B)=A+B9(A-B) = A+B bulunur. Bu ifade düzenlendiğinde 8A=10B8A = 10B yani 4A=5B4A = 5B elde edilir. AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olduğu için bu eşitliği sağlayan değerler A=5A = 5 ve B=4B = 4'tür. Dolayısıyla aranan rakam 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıları çözümleyin.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A
Basamak analizi kurallarına göre iki basamaklı sayıları onluk tabanda açmak gerekir.
2
Çözümlenen ifadeleri verilen denklemde yerine yazın ve sadeleştirin.
(10A+B)−(10B+A)=A+B(10A + B) - (10B + A) = A + B ise 9A−9B=A+B9A - 9B = A + B elde edilir. Benzer terimleri bir araya topladığımızda 8A=10B8A = 10B olur.
Denklemin sol tarafındaki çıkarmayı yaparak AA ve BB değişkenleri arasındaki ilişkiyi sade bir biçimde görmek gerekir.
3
Katsayıları sadeleştirerek rakam değerlerini belirleyin.
4A=5B4A = 5B eşitliğinde AA ve BB birer rakam ve iki basamaklı sayıların başındaki rakamlar olduklarından sıfırdan farklıdır. Bu durumda tek seçenek A=5A = 5 ve B=4B = 4 olmasıdır.
Aralarında asal katsayılara sahip olan bu eşitliği sağlayan tek haneli pozitif tam sayı değerlerini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle çözülmesi.
Soru 164Soru →
x=−24x = -2^4
y=(−3)2y = (-3)^2
z=0z = 0

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi pozitif bir gerçel sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y - x

Cevap

y - x ifadesi pozitif bir gerçel sayı belirtir.
y - x ifadesinde y = 9 ve x = -16 değerleri yerine yazıldığında 9 - (-16) = 25 değeri elde edilir. 25 sayısı sıfırdan büyük olduğu için pozitif bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
x, y ve z sayılarının değerlerini ve işaretlerini belirleyiniz.
x = -16 (negatif), y = 9 (pozitif) ve z = 0 (nötr) olarak bulunur.
Parantezsiz -2^4 ifadesinde üs sadece 2 sayısına aittir, bu nedenle -2^4 = -16 olur. Parantezli (-3)^2 ifadesinde ise taban -3 olup çift kuvvet sonucu pozitiftir, yani (-3)^2 = 9 olur. 0 sayısı ise işaretsizdir.
2
Seçeneklerde verilen ifadelerin değerlerini hesaplayarak işaretlerini kontrol ediniz.
y - x ifadesinin değeri 9 - (-16) = 25 (pozitif) olarak hesaplanır.
Diğer seçenekler incelendiğinde; x + y = -7 (negatif), x \cdot y = -144 (negatif), y \cdot z = 0 (nötr/işaretsiz) ve x - y = -25 (negatif) değerlerini alır. Bu durumda yalnızca y - x ifadesi pozitif bir değer belirtir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Üslü İşlemler ve Sıfırın Nötrlüğü
Soru 165Soru →

Rakamları birbirinden farklı, üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının yüzler ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde elde edilen üç basamaklı sayı, ABCABC sayısından 297297 eksiktir. Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları toplamı bir çift sayı olan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Koşulları sağlayan 2424 farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir.
Basamak çözümlemesi uygulandığında 99(A−C)=29799(A-C) = 297 yani A−C=3A-C=3 eşitliği elde edilir. Sayıların üç basamaklı olma şartından AA ve CC sıfır olamaz, bu da bize 6 adet (A,C)(A,C) ikilisi verir. A−CA-C tek sayı olduğundan A+CA+C toplamı daima tektir. Rakamlar toplamının çift olması için BB tek sayı olmalıdır. Rakamları farklılık kuralından dolayı BB rakamı, AA veya CC için seçilen tek rakamı alamaz. Bu durumda her ikili için BB rakamı 4 farklı değer alabilir ve toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı sayı oluşturulur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve CBACBA sayılarının çözümlemesini yaparak aralarındaki farkı ifade ediniz.
ABC−CBA=99(A−C)=297⇒A−C=3ABC - CBA = 99(A - C) = 297 \Rightarrow A - C = 3 bulunur.
Yüzler ve birler basamağı yer değiştirdiğinde sayının değerinin 297297 azaldığı belirtilmiştir.
2
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılar olduğu için AA ve CC rakamlarının alabileceği değer ikililerini belirleyiniz.
(A,C)(A, C) ikilileri (4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),(9,6)(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6) olmak üzere 6 farklı değer alabilir.
Sayıların üç basamaklı olabilmesi için A≠0A \neq 0 ve C≠0C \neq 0 olmalıdır.
3
Rakamlar toplamının çift olması koşulunu analiz ederek BB rakamının türünü belirleyiniz.
A+B+CA + B + C toplamının çift sayı olabilmesi için BB rakamı tek sayı olmalıdır.
A−C=3A - C = 3 olduğundan AA ve CC rakamlarının biri tek diğeri çifttir. Dolayısıyla A+CA + C toplamı daima tek bir sayıdır. Toplamın çift olması için BB rakamının tek sayı olması gerekir.
4
Rakamların birbirinden farklı olma koşulunu da dikkate alarak yazılabilecek tüm ABCABC sayılarını hesaplayınız.
Her (A,C)(A, C) ikilisi için BB yerine yazılabilecek 4 farklı tek rakam bulunmaktadır. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı sayı yazılabilir.
Normalde 5 farklı tek rakam {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} vardır. Ancak her (A,C)(A, C) ikilisinde rakamlardan biri tek olduğundan, BB rakamı bu tek rakama eşit olamaz. Bu nedenle her ikili için BB rakamı 4 farklı değer alabilir.

Anahtar Kavram

Basamak Çözümleme ve Koşullu Sayı Oluşturma
Soru 166Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a3⋅b<0a^3 \cdot b < 0
a2⋅(c−b)≤0a^2 \cdot (c - b) \le 0
b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,
I. a2−a⋅ba^2 - a \cdot b
II. b2−a⋅bb^2 - a \cdot b
III. (a−b)2(a - b)^2
IV. b2⋅c2b^2 \cdot c^2
V. c⋅(b−a)c \cdot (b - a)

ifadelerinden kaç tanesinin değeri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen eşitsizlikleri sağlayan tüm gerçel sayı durumları için I, II ve III numaralı ifadelerin değerleri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır. IV ve V numaralı ifadeler ise c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit olabildikleri için kesinlikle pozitif değillerdir. Bu nedenle doğru cevap 3'tür.
Verilen eşitsizliklerden aa ile bb'nin zıt işaretli olduğu ve c≤bc \le b olduğu bulunur. b>0b > 0 durumunda 0≤c≤b0 \le c \le b ve a<0a < 0 elde edilir. Bu durumda cc sıfır değerini alabilir. b<0b < 0 durumunda ise c<0c < 0 ve a>0a > 0 olur. Bu iki duruma göre; a2−aba^2 - ab ve b2−abb^2 - ab ifadeleri her zaman pozitif çarpanların çarpımı veya kareler toplamı biçiminde yazılıp pozitif bulunur. (a−b)2(a-b)^2 ifadesi a≠ba \ne b olduğundan sıfırdan farklı bir sayının karesi olarak daima pozitiftir. Ancak b2⋅c2b^2 \cdot c^2 ve c⋅(b−a)c \cdot (b - a) ifadeleri c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit oldukları için kesinlikle pozitif değildirler. Bu yüzden yalnızca 3 ifade kesinlikle pozitiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b<0a^3 \cdot b < 0 eşitsizliğinin analiz edilmesi
a≠0a \ne 0, b≠0b \ne 0 ve aa ile bb zıt işaretlidir.
Çarpımın sıfırdan küçük olması için çarpanların sıfırdan farklı ve zıt işaretli olması gerekir.
2
a2⋅(c−b)≤0a^2 \cdot (c - b) \le 0 eşitsizliğinin analiz edilmesi
c≤bc \le b
a≠0a \ne 0 olduğundan a2>0a^2 > 0 olur ve eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmez.
3
b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0 eşitsizliğinin b>0b > 0 ve b<0b < 0 durumlarına göre incelenmesi
b>0b > 0 iken 0≤c≤b0 \le c \le b ve a<0a < 0; b<0b < 0 iken c≤b<0c \le b < 0 ve a>0a > 0 elde edilir.
b3b^3 teriminin işareti bb'nin işaretiyle aynıdır. b<0b < 0 durumunda eşitsizliği b3b^3 ile bölerken negatif bir sayıya bölündüğü için yön değiştirme kuralı uygulanmalıdır.
4
Öncüllerdeki ifadelerin işaretlerinin her iki durum için ayrı ayrı kontrol edilmesi
I, II ve III kesinlikle pozitif; IV ve V ise c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit olabildiği için kesinlikle pozitif değildir.
Sıfır sayısı nötrdür, işareti yoktur ve pozitif kabul edilemez. Bu nedenle sıfır olabilen ifadeler kesinlikle pozitif sınıfına girmez.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret analizi, sıfırın nötr olma özelliği ve negatif sayıların kuvvetlerinde eşitsizlik yön değişimi
Soru 167Soru →

Bir kırtasiyedeki üç farklı rafta bulunan kitap sayıları sırasıyla aa, bb ve cc tam sayılarıdır. Bu kitap sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Üç raftaki toplam kitap sayısı çift bir sayıdır.
* Birinci ve ikinci raftaki kitap sayılarının çarpımı ile üçüncü raftaki kitap sayısının toplamı tek bir sayıdır.

Buna göre,

I. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
II. a⋅b+b⋅c+c⋅aa \cdot b + b \cdot c + c \cdot a
III. (a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1)

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüllerdeki ifadeler her zaman çift sayıdır.
Birinci öncüldeki üç sayının çarpımı, tüm durumlarda en az bir çift sayı barındırdığı için daima çifttir. Üçüncü öncülde ise her üç durumda da en az bir sayı tek olduğundan, bu sayının bir fazlası çift olacak ve çarpımın sonucunu çift yapacaktır. Bu nedenle birinci ve üçüncü öncüller her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgileri teklik ve çiftlik kurallarına göre matematiksel ifadelere dönü��türmek.
a+b+c≡0(mod2)a + b + c \equiv 0 \pmod 2 ve a⋅b+c≡1(mod2)a \cdot b + c \equiv 1 \pmod 2 bağıntıları elde edilir.
Sayıların teklik-çiftlik özelliklerini cebirsel olarak analiz edebilmek için denklem sistemini kurmamız gerekir.
2
cc değişkenini yalnız bırakarak diğer denklemde yerine yazmak.
c≡a+b(mod2)c \equiv a + b \pmod 2 olduğundan, bu ifade ikinci denklemde yerine yazıldığında a⋅b+a+b≡1(mod2)a \cdot b + a + b \equiv 1 \pmod 2 elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirlemeyi kolaylaştırmak.
3
a⋅b+a+b≡1(mod2)a \cdot b + a + b \equiv 1 \pmod 2 ifadesini sağlayan aa ve bb değerlerini incelemek.
Bu ifadeyi sağlayan üç durum vardır:
1. Durum: aa çift, bb tek ise cc tek olur.
2. Durum: aa tek, bb çift ise cc tek olur.
3. Durum: aa tek, bb tek ise cc çift olur.
aa, bb ve cc tam sayılarının alabileceği tüm teklik-çiftlik olasılıklarını belirlemek.
4
Elde edilen üç durumu öncüllerdeki ifadelere uygulayarak teklik-çiftlik durumlarını incelemek.
I. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımında her üç durumda da en az bir değişken çift olduğundan sonuç daima çifttir.
II. a⋅b+b⋅c+c⋅aa \cdot b + b \cdot c + c \cdot a ifadesi her üç durumda da tek sayı sonucunu verir.
III. (a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) çarpımında, her durumda değişkenlerden en az biri tek sayı olduğundan, bu değişkenin 1 fazlası çift sayı olur ve çarpımı çift yapar.
Öncüllerin her zaman çift olup olmadığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin teklik ve çiftlik özellikleri.
Soru 168Soru →

Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için,
* x−y<0x - y < 0
* y⋅z3<0y \cdot z^3 < 0
* x2⋅(y−z)>0x^2 \cdot (y - z) > 0
* x3⋅z5>0x^3 \cdot z^5 > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,
I. x⋅y−z>0x \cdot y - z > 0
II. x2⋅y−z3>0x^2 \cdot y - z^3 > 0
III. (x−z)2⋅y>0(x - z)^2 \cdot y > 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Verilen eşitsizlikleri sağlayan değişkenlerin işaretleri x<0x < 0, y>0y > 0 ve z<0z < 0 olup, bu duruma göre sadece ikinci öncüldeki x2⋅y−z3x^2 \cdot y - z^3 ifadesi her zaman pozitiftir. Bu nedenle doğru cevap 'Yalnız II' seçeneğidir.
Değişkenlerin işaretleri x<0x < 0, y>0y > 0 ve z<0z < 0 olarak belirlendikten sonra, ikinci öncüldeki x2⋅y−z3x^2 \cdot y - z^3 ifadesinin her iki teriminin de pozitif olduğu görülür. İki pozitif sayının toplamı her zaman pozitif olacağından 'Yalnız II' ifadesi her zaman doğrudur. Birinci öncülde negatif ve pozitif sayıların toplamının işareti belirsizdir, üçüncü öncülde ise değişkenlerin birbirine eşit olma durumunda ifadenin sıfıra eşitlenebileceği unutulmamalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x3⋅z5>0x^3 \cdot z^5 > 0 ve y⋅z3<0y \cdot z^3 < 0 eşitsizliklerinden yola çıkarak değişkenlerin işaret ilişkilerini analiz etmek.
xx ile zz aynı işaretli, yy ile zz ise zıt işaretli olmalıdır.
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, pozitif sayıların tek kuvvetleri pozitif olduğundan, tek kuvvetler tabanın işaretini etkilemez.
2
x2⋅(y−z)>0x^2 \cdot (y - z) > 0 eşitsizliğinde x2x^2 teriminin işaretini belirleyip yy ile zz aras��ndaki sıralamayı bulmak.
xx sıfırdan farklı olduğu için x2>0x^2 > 0 olur. Dolayısıyla y−z>0y - z > 0 yani y>zy > z elde edilir.
Sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi pozitif olduğundan, çarpımın pozitif olması için diğer çarpanın da pozitif olması gerekir.
3
Elde edilen y>zy > z ve yy ile zz'nin zıt işaretli olması bilgilerini birleştirerek tüm değişkenlerin işaretlerini kesinleştirmek.
y>0y > 0, z<0z < 0 ve x<0x < 0 olarak bulunur.
Zıt işaretli iki sayıdan büyük olanı pozitif, küçük olanı negatif olmak zorundadır. xx ile zz aynı işaretli olduğundan xx de negatif olur.
4
Bulunan işaretlere göre öncülleri sırasıyla test etmek.
I. öncül belirsizdir, II. öncül daima doğrudur, III. öncül ise x=zx = z durumu için yanlıştır.
I. öncülde negatif ve pozitif sayıların toplamı büyüklüklerine bağlıdır. III. öncülde farklı iki değişkenin birbirine eşit olabilme durumu (x=zx=z) sıfır sonucunu doğurabilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların İşaret Analizi ve Kuvvet Kuralları
Soru 169Soru →

Bir bilgisayar programına girilen aa, bb ve cc tam sayıları için sistem şu bilgileri vermektedir:
* 3a+4b+5c3a + 4b + 5c toplamı bir çift sayıdır.
* 2a+3b+4c2a + 3b + 4c toplamı bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+ca \cdot b + c

Cevap

a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi her zaman bir çift sayıya eşittir.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinde, aa ve cc tam sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. bb ise tek sayıdır. Değişkenlerin alabileceği iki durum vardır: İkisi de tek olduğunda çarpım ve toplam işlemleri sonucunda tek⋅tek+tek=c¸ift\text{tek} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} elde edilir. İkisi de çift olduğunda c¸ift⋅tek+c¸ift=c¸ift\text{çift} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{çift} elde edilir. Bu nedenle bu ifade her zaman bir çift sayıya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
3a+4b+5c3a + 4b + 5c toplamının çift sayı olma durumunu analiz etmek.
4b4b ifadesi, bb tam sayısı ne olursa olsun çift bir sayıdır. Dolay��sıyla, toplamın çift sayı olabilmesi için 3a+5c3a + 5c toplamının da çift sayı olması gerekir. Bu durum, aa ve cc sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı (ikisi de tek veya ikisi de çift) oldu��unu gösterir.
İlk ifadedeki çift terimi sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi bulmak.
2
2a+3b+4c2a + 3b + 4c toplamının tek sayı olma durumunu analiz etmek.
2a2a ve 4c4c ifadeleri, aa ve cc tam sayılarından bağımsız olarak her zaman çift sayıdır. Toplamın tek sayı olabilmesi için 3b3b ifadesinin tek sayı olması gerekir. Buradan bb tam sayısının tek sayı olduğu kesinleşir.
bb değişkeninin paritesini kesin olarak belirlemek.
3
Elde edilen verileri (aa ile cc aynı paritede, bb tek sayı) değerlendirerek her zaman çift sayı olan ifadeyi bulmak.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinde; aa ve cc tek sayılar ise tek⋅tek+tek=tek+tek=c¸ift\text{tek} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} olur. aa ve cc çift sayılar ise c¸ift⋅tek+c¸ift=c¸ift+c¸ift=c¸ift\text{çift} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{çift} + \text{çift} = \text{çift} olur. Dolayısıyla bu ifade her durumda çift sayıdır.
Olası tüm durumları inceleyerek doğru seçeneği belirlemek.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile işlemler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 170Soru →
Birer tam sayı olan xx ve yy için,
x⋅(y+1)x \cdot (y + 1)
çarpımının bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅yx \cdot y

Cevap

x⋅yx \cdot y ifadesi her zaman çift sayıdır.
xx tek tam sayı ve yy çift tam sayı olduğundan, bu iki sayının çarpımı olan x⋅yx \cdot y ifadesi her zaman çift bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın tek sayı olma koşulunu analiz edin.
xx tek sayı ve y+1y + 1 tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için çarpılan her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
yy değişkeninin tek mi çift mi olduğunu belirleyin.
yy bir çift sayıdır.
y+1y + 1 tek sayı ise, tek bir sayıdan 11 (tek sayı) çıkarıldığında çift bir sayı elde edilir.
3
xx ve yy değerlerini kullanarak seçenekleri değerlendirin.
x⋅yx \cdot y her zaman çift sayıdır.
Tek sayı (xx) ile çift sayının (yy) çarpımı her zaman bir çift sayıya eşittir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 171Soru →

Sayı doğrusu üzerinde işaretlenen a,ba, b ve cc sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* aa bir tam sayı, bb ise tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
* aa sayısının bb sayısına olan uzaklığı 2,42,4 birimdir.
* bb sayısının cc sayısına olan uzaklığı 1,61,6 birimdir.

cc sayısı bir doğal sayı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

En küçük aa tam sayısı −4-4 olarak bulunur.
Sayı doğrusundaki uzaklık ilişkileri yazılıp cc sayısı aa cinsinden ifade edildiğinde, cc'nin bir doğal sayı (dolayısıyla tam sayı) olabilmesi için rasyonel kısımların birbirini tam sayıya tamamlaması gerekir. Buradan c=a+4c = a + 4 veya c=a−4c = a - 4 elde edilir. Doğal sayıların en küçük elemanı 00 olduğundan, c≥0c \geq 0 eşitsizliğinden a≥−4a \geq -4 bulunur. Dolayısıyla aa'nın en küçük değeri −4-4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık ifadelerini mutlak değer veya denklem şeklinde yazma.
∣a−b∣=2,4  ⟹  b=a±2,4|a - b| = 2,4 \implies b = a \pm 2,4
∣b−c∣=1,6  ⟹  c=b±1,6|b - c| = 1,6 \implies c = b \pm 1,6
Sayı doğrusundaki iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların farkının mutlak değerine eşittir.
2
bb değerini cc eşitliğinde yerine yazarak cc ile aa arasındaki ilişkileri bulma.
c=(a±2,4)±1,6c = (a \pm 2,4) \pm 1,6
Buradan dört olası durum elde edilir:
1. c=a+2,4+1,6=a+4c = a + 2,4 + 1,6 = a + 4
2. c=a+2,4−1,6=a+0,8c = a + 2,4 - 1,6 = a + 0,8
3. c=a−2,4+1,6=a−0,8c = a - 2,4 + 1,6 = a - 0,8
4. c=a−2,4−1,6=a−4c = a - 2,4 - 1,6 = a - 4
cc sayısını doğrudan aa değişkenine bağlı olarak inceleyebilmek için.
3
Sayı kümelerinin özelliklerini kullanarak geçerli durumları belirleme.
aa bir tam sayı ve cc bir doğal sayı (aynı zamanda bir tam sayı) olduğundan, cc bir tam sayı olmalıdır. a±0,8a \pm 0,8 ifadeleri tam sayı olamayacağından 2. ve 3. durumlar elenir. Geçerli durumlar c=a+4c = a + 4 veya c=a−4c = a - 4 olur.
Tam sayılar ile tam sayı olmayan rasyonel sayıların toplamının tam sayı olamayacağı gerçeğini uygulamak.
4
c∈Nc \in \mathbb{N} (doğal sayı) koşulunu uygulayarak en küçük aa değerini hesaplama.
c≥0c \geq 0 olmalıdır.
c=a+4≥0  ⟹  a≥−4c = a + 4 \ge 0 \implies a \ge -4
c=a−4≥0  ⟹  a≥4c = a - 4 \ge 0 \implies a \ge 4
Bu iki aralıktan elde edilen en küçük aa tam sayısı −4-4'tür.
Doğal sayıların en küçük elemanının 00 olduğu bilgisini kullanarak aa üzerindeki alt sınırı bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin eleman özelliklerinin (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar) ve sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ilişkilerinin kavranması.
Soru 172Soru →

Bir laboratuvardaki üç farklı deney tüpünün sıcaklıkları santigrat derece (∘C^\circ\text{C}) cinsinden sırasıyla xx, yy ve zz olarak ölçülmüştür.

Bu sıcaklık değerleri şu şekildedir:
* x=−32x = -3^2
* y=(−3)2y = (-3)^2
* z=0z = 0

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Negatif, Pozitif, İşaretsiz

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif ve işaretsiz olan seçenektir.
İlk ifadede parantez olmadığından −32=−9-3^2 = -9 negatif, ikinci ifadede parantezli çift kuvvet olduğundan (−3)2=9(-3)^2 = 9 pozitif ve üçüncü ifade olan 00 sayısı işaretsiz (nötr) bir değerdir. Bu nedenle doğru sıralama negatif, pozitif, işaretsiz şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
x=−32x = -3^2 ifadesinin işaretini belirleyin.
x=−9x = -9 (Negatif)
Parantez kullanılmadığı için kuvvet alma işlemi işaretten bağımsızdır. −32=−(3⋅3)=−9-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 olur.
2
y=(−3)2y = (-3)^2 ifadesinin işaretini belirleyin.
y=9y = 9 (Pozitif)
Negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti pozitiftir. (−3)2=(−3)⋅(−3)=9(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 olur.
3
z=0z = 0 değerinin işaretini belirleyin.
z=0z = 0 (İşaretsiz / Nötr)
Sıfır sayısı pozitif ya da negatif değildir, işaretsizdir.

Anahtar Kavram

Negatif sayıların parantezli ve parantezsiz kuvvetlerinin hesabı ile sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği
Tahmini Süre:45s
Soru 173Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a+b<0a + b < 0
(a⋅b)3⋅c5=0(a \cdot b)^3 \cdot c^5 = 0
a2⋅c>b2⋅ca^2 \cdot c > b^2 \cdot c
koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c⋅(a−b)c \cdot (a - b)

Cevap

c * (a - b) ifadesi
Doğru olan ifadede, değişkenlerin her iki olası durumunda da çarpımın sonucu negatif çıkmaktadır. Birinci durumda a sıfır, b negatif ve c negatif olduğundan c * (a - b) ifadesi negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı olup negatiftir. İkinci durumda a negatif, b sıfır ve c pozitif olduğundan c * (a - b) ifadesi pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı olup yine negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği analiz ederek değişkenlerin sıfır olma durumunu inceleme.
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 olduğu için aa, bb veya cc sayılarından en az birinin sıfır olması gerektiği belirlenir.
Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
2
a2⋅c>b2⋅ca^2 \cdot c > b^2 \cdot c eşitsizliğini kullanarak cc ve a2−b2a^2 - b^2 ifadelerinin işaretlerini belirleme.
(a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 elde edilir. Bu çarpım sıfırdan büyük olduğu için c≠0c \neq 0 ve a2≠b2a^2 \neq b^2 olmalıdır. Dolayısıyla sıfır olan değişken aa veya bb olmalıdır.
Eşitsizlik yönü ve çarpımın işareti analiz edilerek sıfır olamayacak değişkenler elenir.
3
a=0a = 0 durumunu (Durum 1) inceleme.
a2−b2=−b2<0a^2 - b^2 = -b^2 < 0 olur (çünkü b≠0b \neq 0). (a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 olması için c<0c < 0 olmalıdır. a+b<0  ⟹  0+b<0  ⟹  b<0a + b < 0 \implies 0 + b < 0 \implies b < 0 elde edilir. Bu durumda işaretler (a,b,c)=(0,−,−)(a, b, c) = (0, -, -) olur.
Değişkenlerden birinin sıfır olması varsayımı altında diğer değişkenlerin işaretleri bulunur.
4
b=0b = 0 durumunu (Durum 2) inceleme.
a2−b2=a2>0a^2 - b^2 = a^2 > 0 olur (çünkü a≠0a \neq 0). (a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 olması için c>0c > 0 olmalıdır. a+b<0  ⟹  a+0<0  ⟹  a<0a + b < 0 \implies a + 0 < 0 \implies a < 0 elde edilir. Bu durumda işaretler (a,b,c)=(−,0,+)(a, b, c) = (-, 0, +) olur.
Diğer olası sıfır durumu incelenerek alternatif işaret dağılımı belirlenir.
5
Her iki durum için doğru seçenekteki ifadenin değerini inceleme.
c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi Durum 1 için −b⋅c<0-b \cdot c < 0 ve Durum 2 için a⋅c<0a \cdot c < 0 değerlerini alır. Her iki durumda da sonuç kesinlikle negatiftir.
Bulunan tüm durumların ortak olarak sağladığı kesin sonucu tespit etmek.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın İşaretsizlik Özelliği

Alternatif Yöntem

Değişkenlerin işaretlerini ve sıfır olma durumlarını belirledikten sonra, seçenekleri test etmek amacıyla her iki durumu da temsil edecek uygun değerler seçilebilir. Örneğin Durum 1 için a = 0, b = -1, c = -2 değerleri; Durum 2 için a = -2, b = 0, c = 1 değerleri verilerek seçeneklerin her iki durum için de negatif değer üretip üretmediği hızlıca kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 174Soru →

Bir xx gerçel sayısı için M(x)M(x) kümesi, k⋅xk \cdot x çarpımını bir tam sayı yapan kk pozitif tam sayılarının kümesidir. M(x)M(x) kümesinin en küçük elemanı e(x)e(x) olarak tanımlanıyor. Eğer böyle bir kk pozitif tam sayısı yoksa e(x)=0e(x) = 0 kabul ediliyor.

Buna göre, elemanları
A={−24;  73;  18;  0;  π;  −155;  22⋅8}A = \left\{ -2{}4; \,\, \frac{7}{3}; \,\, \sqrt{18}; \,\, 0; \,\, \pi; \,\, -\frac{15}{5}; \,\, 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \right\}
kümesinin elemanları olan xx değerleri için e(x)e(x) değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Hesaplanan e(x) değerlerinin toplamı 11'dir.
Kümedeki rasyonel sayıların en sade hallerinin paydalarındaki en küçük pozitif tam sayılar sırasıyla 5 ve 3'tür. İrrasyonel olan sayıların e(x) değerleri tanımdan dolayı 0'dır. Tam sayı olan elemanlar için ise 1 ile çarpımları tam sayı olduğundan e(x) değerleri 1'dir. Bu değerlerin toplamı 11 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tüm elemanları en sade biçimlerine getirerek hangi sayı kümesine ait olduklarını belirlemek.
-2,4 = -12/5 (Rasyonel), 7/3 (Rasyonel), \sqrt{18} = 3\sqrt{2} (İrrasyonel), 0 (Tam sayı), \pi (İrrasyonel), -15/5 = -3 (Tam sayı), 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} = 8 (Tam sayı).
Her bir elemanın rasyonel, irrasyonel veya tam sayı olma durumuna göre e(x) fonksiyonunun tanımı değişmektedir.
2
Tanıma uygun olarak her bir x elemanı için e(x) değerlerini hesaplamak.
e(-2,4) = 5, e(7/3) = 3, e(\sqrt{18}) = 0, e(0) = 1, e(\pi) = 0, e(-15/5) = 1, e(2\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}) = 1.
k pozitif tam sayı olmak üzere k*x çarpımını tam sayı yapan en küçük k değerini bulmak veya çarpımı tam sayı yapacak pozitif tam sayı bulunamayan irrasyonel sayılar için 0 değerini atamak.
3
Hesaplanan e(x) değerlerini toplamak.
5 + 3 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 11.
Soru kökündeki toplam ifadesine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin (tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) özellikleri ve elemanlarının bu kümelere göre sınıflandırılması.
Soru 175Soru →

Bir öğrenci, defterine yazdığı iki basamaklı bir doğal sayının onlar basamağındaki rakamı 3 artırıp, birler basamağındaki rakamı 4 azaltarak yeni bir sayı elde etmiştir.

Buna göre, son durumda elde edilen yeni sayı ilk sayıdan kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Yeni sayı ilk sayıdan 26 fazladır.
Onlar basamağındaki 3 birimlik artış sayı değerini 3×10=303 \times 10 = 30 artırırken, birler basamağındaki 4 birimlik azalış sayı değerini 4×1=44 \times 1 = 4 azaltır. Bu durumda net değişim 30−4=2630 - 4 = 26 artış şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk sayıyı basamak değerlerini kullanarak sembolik olarak ifade etme
Sayı 10A+B10A + B olarak yazılır.
Onlar basamağındaki rakamın basamak değeri 10, birler basamağındaki rakamın basamak değeri 1'dir.
2
Basamaklardaki değişimlerin sayı değerine etkisini hesaplama
Onlar basamağındaki 3 artış sayıyı 30 artırır; birler basamağındaki 4 azalış sayıyı 4 azaltır.
Her basamaktaki rakam değişimi, ilgili basamağın basamak değeri ile çarpılarak sayının değerindeki toplam değişime yansır.
3
Toplam net değişimi belirleme
Net değişim +30−4=+26+30 - 4 = +26 olarak bulunur.
Artış ve azalış miktarları toplanarak net sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir sayının basamaklarındaki rakamların değişmesi durumunda, sayının değerindeki toplam değişim, her basamaktaki rakamın değişim miktarı ile o basamağın basamak değerinin çarpımlarının toplamına eşittir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 176Soru →

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,

3a+b3a + b

ifadesi bir tek sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

İki tam sayının çarpımını gösteren ifade her zaman çift sayıdır.
aa ve bb tam sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğu belirlenmiştir. Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı her zaman bir çift sayı oluşturur. Bu nedenle iki sayının çarpımı her zaman çift bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
3a+b3a + b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz etme.
3a+b3a + b tek sayı ise, 3a3a ve bb ifadelerinden biri tek diğeri çift olmalıdır.
İki tam sayının toplamının tek olması için bu sayıların teklik-çiftlik karakterlerinin farklı olması gerekir.
2
aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirleme.
aa çift iken bb tek, aa tek iken bb çift olmalıdır.
3a3a ifadesinin teklik-çiftlik karakteri aa ile aynıdır. Dolayısıyla aa ve bb değişkenlerinden biri tek sayı iken diğeri çift sayı olmak zorundadır.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını değerlendirme.
Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı her zaman çift sayı olduğundan, a⋅ba \cdot b ifadesi her zaman çift sayıdır.
Çarpım durumunda çarpanlardan en az birinin çift sayı olması, sonucun çift tam sayı olmasını garanti eder.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ile tam sayılarda temel işlemler
Soru 177Soru →

−32-3^2 sayısı ile (−3)2(-3)^2 sayısının toplamı, işaretsiz (nötr) bir sayı olan 00 değerine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur, çünkü −32=−9-3^2 = -9 ve (−3)2=9(-3)^2 = 9 olup bu iki sayının toplamı işaretsiz (nötr) olan 00 sayısına eşittir.
Verilen ifade doğrudur çünkü parantezsiz negatif sayının karesi negatif, parantezli negatif sayının karesi ise pozitiftir; bunların toplamı olan sıfır sayısı nötr bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
−32-3^2 ifadesinin değerini hesaplayın.
−32=−9-3^2 = -9
Kuvvet parantez içinde veya parantezsiz olduğunda, tabanın önündeki negatif işaret kuvvetten etkilenmez.
2
(−3)2(-3)^2 ifadesinin değerini hesaplayın.
(−3)2=9(-3)^2 = 9
Negatif bir sayının çift kuvveti parantez dışındaysa sonuç pozitif olur.
3
Elde edilen sonuçları toplayıp toplamın işaretini kontrol edin.
−9+9=0-9 + 9 = 0 ve 00 sayısı işaretsizdir.
Toplama işleminin sonucu olan sıfır sayısı ne pozitif ne de negatiftir, işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Negatif sayıların çift kuvvetlerinde parantezin önemi ve sıfırın işaretsiz (nötr) olması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 178Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamlarının çarpımının 2 katı ile onlar basamağındaki rakamın 4 katının toplamına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABAB sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Koşulu sağlayan iki basamaklı sayılar 16 ve 24 olup, bu sayıların toplamı 40'tır.
Çözümleme adımları takip edildiğinde denklemi sağlayan iki basamaklı sayılar yalnızca 16 ve 24 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı ise 40 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB doğal sayısı için basamak çözümlemesi yapılır.
AB=10A+BAB = 10A + B ifadesi elde edilir.
Sayının basamak değerlerini matematiksel eşitliğe dökmek amacıyla bu çözümleme yapılır.
2
Soruda verilen koşul denklem şeklinde yazılır.
10A+B=2AB+4A10A + B = 2AB + 4A denklemi kurulur.
Sayının kendisinin, rakamlar çarpımının 2 katı ile onlar basamağının 4 katının toplamına eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Elde edilen denklem düzenlenerek sadeleştirilir.
6A+B=2AB6A + B = 2AB haline getirilir.
Denklemin her iki tarafından 4A4A ifadesi çıkarılarak daha sade bir form elde edilir.
4
Denklem 2A2A ifadesini yalnız bırakacak şekilde düzenlenir.
B=2AB−6A  ⟹  B=2A(B−3)  ⟹  2A=BB−3B = 2AB - 6A \implies B = 2A(B - 3) \implies 2A = \frac{B}{B - 3} eşitliği elde edilir.
AA ve BB değişkenlerinin alabileceği rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için değişkenler ayrıştırılır.
5
2A2A ifadesinin tam sayı olması ve A,BA, B değerlerinin rakam olması koşulu kullanılarak değer analizi yapılır.
B−3B - 3 ifadesi 3 sayısının pozitif bir böleni olmalıdır. Buradan B−3=1  ⟹  B=4B - 3 = 1 \implies B = 4 için A=2A = 2 (AB=24AB = 24) ve B−3=3  ⟹  B=6B - 3 = 3 \implies B = 6 için A=1A = 1 (AB=16AB = 16) bulunur.
AA ve BB birer rakamdır. Ayrıca ABAB iki basamaklı sayı olduğundan A≠0A \neq 0 olmalıdır. Negatif bölen durumlarında AA değeri negatif veya sıfır çıktığı için elenir.
6
Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı hesaplanır.
16+24=4016 + 24 = 40 bulunur.
Soru kökünde bizden istenen durum tüm olası sayıların toplamını bulmaktır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam kısıtlamalarına göre değer analizi yapılması.
Soru 179Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
(a−2)4⋅(b+3)<0 (a - 2)^4 \cdot (b + 3) < 0
(−a)5⋅(c−1)3>0 (-a)^5 \cdot (c - 1)^3 > 0
(a−2)⋅(b+3)⋅c=0 (a - 2) \cdot (b + 3) \cdot c = 0
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aa ve bb birer tam sayı olmak üzere, a−b+ca - b + c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer 5'tir.
Verilen eşitsizlik sisteminin çözümüyle a>0a > 0, a≠2a \neq 2, b<−3b < -3 ve c=0c = 0 olduğu kesinleşir. a−b+ca - b + c ifadesini en küçük yapmak için a=1a = 1 ve b=−4b = -4 alınır. Buradan 1−(−4)+0=51 - (-4) + 0 = 5 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz ederek a ve b değişkenlerinin sınırlarını belirleme
a≠2a \neq 2 ve b<−3b < -3
Çift dereceli bir kuvvet (44. kuvvet) taban sıfır olmadığı sürece daima pozitiftir. Çarpımın negatif çıkması için diğer çarpanın negatif olması gerekir.
2
Çarpımın sıfır olma durumunu kullanarak c değerini bulma
c=0c = 0
Çarpımın sonucunun sıfır çıkması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. İlk adımdan diğer çarpanların sıfır olamayacağı bilindiği için cc değişkeni sıfıra eşit olmalıdır.
3
İkinci eşitsizlikte c = 0 değerini yazarak a'nın işaretini bulma
a>0a > 0
(−a)5⋅(−1)3>0  ⟹  (−a5)⋅(−1)>0  ⟹  a5>0(-a)^5 \cdot (-1)^3 > 0 \implies (-a^5) \cdot (-1) > 0 \implies a^5 > 0 olduğundan aa pozitif olmalıdır.
4
Koşullara uygun en küçük a ve en büyük b tam sayı değerlerini belirleme
a=1a = 1 ve b=−4b = -4
a−b+ca - b + c ifadesinin değerini minimize etmek için aa en küçük pozitif tam sayı (11), bb ise −3-3'ten küçük en büyük tam sayı (−4-4) seçilmelidir.
5
Değerleri yerine koyarak nihai sonucu hesaplama
1−(−4)+0=51 - (-4) + 0 = 5
Belirlenen değerlerin toplamı en küçük sonucu verir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda kuvvet alma, eşitsizlik çözümü ve sıfırın işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Soru 180Soru →

Bir soğuk hava deposunun sıcaklığı başlangıçta sıfırın altında 1212 °C olarak ölçülmüştür. Bu deponun sıcaklığı her saatin sonunda 33 °C artmaktadır. Buna göre, deponun sıcaklığı en az kaç saat sonra ilk kez bir doğal sayıya eşit olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Deponun sıcaklığının ilk kez bir doğal sayı olması için en az 4 saat geçmesi gerekir.
Deponun sıcaklığının ilk kez bir doğal sayı olması, sıcaklığın en küçük doğal sayı olan 00 °C değerine ulaşması demektir. Başlangıç sıcaklığı −12-12 °C iken saatte 33 °C artışla 44 saatin sonunda sıcaklık 00 °C olur.

Adım Adım Çözüm

1
Deponun xx saat sonraki sıcaklık ifadesini yazın.
Sıcaklık −12+3x-12 + 3x olur.
Başlangıç sıcaklığı −12-12 °C olup her saat 33 °C artmaktadır.
2
Doğal sayılar kümesinin elemanlarını ve en küçük elemanını belirleyin.
Doğal sayılar kümesi 00 elemanını içerir ve en küçük doğal sayı 00'dır.
Sıcaklığın doğal sayı olabilmesi için en az 00 °C'ye ulaşması gerekir.
3
Sıcaklık ifadesini 00'a eşitleyerek geçen süreyi bulun.
−12+3x=0⇒3x=12⇒x=4-12 + 3x = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4
Geçen süre tam sayı olmalıdır ve 44 saatin sonunda sıcaklık tam olarak 00 °C olur.

Anahtar Kavram

Doğal sayılar kümesinin elemanları ve sıfırın bir doğal sayı olması.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 9 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 9 | Examkin