Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 201Soru →
İki basamaklı AAAA, BBBB ve ABAB doğal sayıları için,
AA+BB−AB=84AA + BB - AB = 84
eşitliği veriliyor.

Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Rakamların çarpımı olan A⋅BA \cdot B ifadesinin değeri 32'dir.
Verilen iki basamaklı sayıların çözümlenmiş halleri denklemde yerine yazıldığında 10B+A=8410B + A = 84 elde edilir. Bu ifade iki basamaklı BABA sayısının çözümlenmiş halidir. Dolayısıyla BA=84BA = 84 eşitliğinden B=8B = 8 ve A=4A = 4 bulunur. Buradan rakamların çarpımı A⋅B=32A \cdot B = 32 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AA=11AAA = 11A, BB=11BBB = 11B ve AB=10A+BAB = 10A + B ifadeleri elde edilir.
İki basamaklı sayıların basamak analizi kurallarına göre çözümlenmesi için.
2
Elde edilen çözümlenmiş ifadeleri verilen denklemde yerine yazıp benzer terimleri sadeleştirelim.
11A+11B−(10A+B)=84  ⟹  A+10B=8411A + 11B - (10A + B) = 84 \implies A + 10B = 84 denklemi bulunur.
Denklemi sade bir hale getirerek AA ve BB arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
AA ve BB birer rakam olduğundan basamak çözümlemesi mantığıyla değerlerini belirleyelim.
B=8B = 8 ve A=4A = 4 olarak bulunur.
10B+A10B + A ifadesi, onlar basamağı BB, birler basamağı AA olan iki basamaklı BABA sayısının açılımıdır. Buradan BA=84BA = 84 olmalıdır.
4
A⋅BA \cdot B çarpımını hesaplayalım.
4⋅8=324 \cdot 8 = 32 sonucuna ulaşılır.
Soruda bizden istenen rakamların çarpım değerini bulmaktır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenmesi.
Soru 202Soru →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının farklı iki basamağındaki rakamlar seçilerek yazılabilecek tüm iki basamaklı doğal sayıların toplamı S(ABC)S(ABC) ile gösterilmektedir.

Örneğin;
S(123)=12+13+21+23+31+32=132S(123) = 12 + 13 + 21 + 23 + 31 + 32 = 132
olmaktadır.
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan bir ABCABC doğal sayısı için
ABC=S(ABC)+123ABC = S(ABC) + 123
eşitliği sağlandığına göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Koşulu sağlayan üç basamaklı sayı 475'tir ve bu sayının rakamları toplamı 16'dır.
Verilen koşullara göre çözümlenen denklemde A=4A=4, B=7B=7 ve C=5C=5 değerleri tek geçerli çözümdür. Rakamlar toplamı 4+7+5=164+7+5=16 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen S(ABC)S(ABC) fonksiyonunun tanımına göre iki basamaklı sayıların toplamını çözümleyerek ifade ediniz.
S(ABC)=22(A+B+C)S(ABC) = 22(A + B + C) elde edilir.
S(ABC)S(ABC) toplamındaki her bir rakam onlar basamağında 2 kez ve birler basamağında 2 kez yer alır. Bu da her bir rakam için 2×10+2×1=222 \times 10 + 2 \times 1 = 22 çarpanı getirir.
2
Verilen ABC=S(ABC)+123ABC = S(ABC) + 123 eşitliğinde sayıları basamak değerlerine göre açarak yerine yazınız ve denklemi sadeleştiriniz.
26A=4B+7C+4126A = 4B + 7C + 41 denklemi elde edilir.
100A+10B+C=22(A+B+C)+123100A + 10B + C = 22(A + B + C) + 123 denklemi düzenlendiğinde 78A−12B−21C=12378A - 12B - 21C = 123 olur. Her iki taraf 3 ile bölündüğünde sadeleşmiş denklem elde edilir.
3
26A=4B+7C+4126A = 4B + 7C + 41 denkleminde AA rakamı için olası değerleri sınırlandırarak analiz ediniz.
AA rakamı yalnızca 44 değerini alabilir.
B,C≤9B, C \leq 9 olduğundan sağ tarafın en büyük değeri 4(8)+7(9)+41=1364(8) + 7(9) + 41 = 136 (farklı rakamlar için) olur, bu da A≤5A \leq 5 olmasını gerektirir. A<4A < 4 için ise sol taraf çok küçük kalır veya tam sayı çözümü vermez. Modulo aritmetiği ve teklik-çiftlik incelemesiyle A=4A=4 olduğu belirlenir.
4
A=4A = 4 için 4B+7C=634B + 7C = 63 denkleminin sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlarla olan çözümünü bulunuz.
B=7B = 7 ve C=5C = 5 olarak bulunur.
CC tek sayı olmalıdır. C=5C=5 için 4B=28  ⟹  B=74B = 28 \implies B=7 bulunur. Diğer durumlarda rakam olma veya sıfırdan farklı olma koşulları sağlanmaz.
5
Bulunan A=4A=4, B=7B=7 ve C=5C=5 değerlerinin toplamını hesaplayınız.
A+B+C=16A + B + C = 16 bulunur.
Soruda ABCABC sayısının rakamları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı basamaklarının çözümlenmesi ve verilen kısıtlar altında değer aralığı analizi ile denklem çözümü.
Soru 203Soru →

Bir bilgisayar programı, sisteme girilen üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının yüzler basamağındaki rakamı 2 artırıp, birler basamağındaki rakamı 4 azaltarak yeni bir sayı elde ediyor. Programın elde ettiği bu yeni sayı, sisteme girilen ABCABC sayısının 3 katından 434 eksiktir. Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Başlangıçtaki sayının rakamları toplamı 9'dur.
Doğru seçenekte belirtilen değer olan 9, başlangıçtaki sayının basamak değerlerindeki değişimlerin doğru analiz edilmesiyle bulunur. Sayının yüzler basamağındaki 2 artış sayıya 200 eklerken, birler basamağındaki 4 azalış sayıdan 4 çıkarır. Bu durumda yeni sayı ABC+196ABC + 196 olur. Denklem kurulduğunda ABC+196=3⋅ABC−434ABC + 196 = 3 \cdot ABC - 434 eşitliğinden 2⋅ABC=6302 \cdot ABC = 630 ve buradan da ABC=315ABC = 315 bulunur. Rakamlar toplamı 3+1+5=93 + 1 + 5 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki ABCABC sayısı ile yeni elde edilen sayı arasındaki ilişkiyi basamak değerlerini kullanarak belirleme.
Yeni sayı = ABC+196ABC + 196
Yüzler basamağının 2 artması sayı değerini 2×100=2002 \times 100 = 200 artırırken, birler basamağının 4 azalması sayı değerini 4×1=44 \times 1 = 4 azaltır. Toplam değişim +200−4=+196+200 - 4 = +196 olur.
2
Soruda verilen denklem ilişkisini kurarak ABCABC sayısını yalnız bırakma.
ABC+196=3⋅ABC−434ABC + 196 = 3 \cdot ABC - 434
Yeni sayının, başlangıçtaki sayının 3 katından 434 eksik olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi çözerek ABCABC sayısını bulma.
ABC=315ABC = 315
2⋅ABC=6302 \cdot ABC = 630 ise ABC=315ABC = 315 elde edilir.
4
Bulunan ABCABC sayısının rakamları toplamını hesaplama.
3+1+5=93 + 1 + 5 = 9
ABCABC sayısının yüzler basamağı 3, onlar basamağı 1 ve birler basamağı 5'tir.

Anahtar Kavram

Basamak Değeri Çözümlemesi

Alternatif Yöntem

Bu soru çözümleme yapmadan değer verilerek de çözülebilir. Yüzler basamağının 2 artıp birler basamağının 4 azalması sayının değerini 196 artırır. Seçeneklerdeki rakamlar toplamını veren üç basamaklı sayıları tek tek deneyerek de sonuca ulaşılabilir, fakat denklem kurmak en hızlı ve güvenli yoldur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 204Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅c(a + b) \cdot c
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a⋅c+ba \cdot c + b
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. bc+ab^c + a

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri her zaman tek sayıdır.
I ve II öncüllerindeki ifadeler, aa ve bb sayılarının zıt paritede olması ve cc sayısının tek olması durumlarının her ikisinde de tek sayı sonucunu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ifadesini analiz ederek temel çarpanların paritesini belirlemek.
a+ba+b ifadesi tek sayı ve cc sayısı tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
a+ba+b toplamının tek olmasından hareketle aa ve bb değişkenlerinin durumlarını incelemek.
aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır. Bu durumda a⋅ba \cdot b çarpımı kesinlikle çift sayıdır.
İki tam sayının toplamının tek olması için bu sayıların biri tek, diğeri çift olmalıdır.
3
Birinci öncüldeki a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayıdır.
aa çift ve bb tek ise: c¸ift⋅tek+tek=c¸ift+tek=tek\text{çift} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. aa tek ve bb çift ise: tek⋅tek+c¸ift=tek+c¸ift=tek\text{tek} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur.
4
İkinci öncüldeki a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayıdır.
a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman çift, cc ise tek sayıdır. Bu durumda c¸ift+tek=tek\text{çift} + \text{tek} = \text{tek} elde edilir.
5
Üçüncü öncüldeki bc+ab^c + a ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayı değildir, hatta tam sayı bile olmayabilir.
cc sayısının pozitif olduğu belirtilmemiştir. Örneğin, c=−1c = -1 (tek sayı) ve b=2b = 2 (çift sayı), a=1a = 1 (tek sayı) alınırsa bc+a=2−1+1=32b^c + a = 2^{-1} + 1 = \frac{3}{2} olur. Rasyonel sayıların teklik-çiftlik durumu tanımlı değildir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma ve üs alma kuralları ile üssün pozitif tam sayı olma zorunluluğu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 205Soru →

A={−5,−43,−1,0,1.2,2,3,227,π}A = \{-5, -\frac{4}{3}, -1, 0, 1.2, \sqrt{2}, 3, \frac{22}{7}, \pi\} kümesi veriliyor.

Bu kümenin elemanlarından;
* tam sayı olanların sayısı aa,
* rasyonel sayı olanların sayısı bb,
* pozitif gerçel sayı olanların sayısı cc

olarak belirleniyor.

Buna göre, 3a+2b−c3a + 2b - c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

��fadenin doğru değeri 21'dir.
Verilen kümedeki elemanlar incelendiğinde; tam sayılar {−5,−1,0,3}\{-5, -1, 0, 3\} olmak üzere 4 tanedir (a=4a = 4). Rasyonel sayılar {−5,−43,−1,0,1.2,3,227}\{-5, -\frac{4}{3}, -1, 0, 1.2, 3, \frac{22}{7}\} olmak üzere 7 tanedir (b=7b = 7). Pozitif gerçel sayılar ise {1.2,2,3,227,π}\{1.2, \sqrt{2}, 3, \frac{22}{7}, \pi\} olmak üzere 5 tanedir (c=5c = 5). Bu değerler yerine yazıldığında 3a+2b−c=3(4)+2(7)−5=213a + 2b - c = 3(4) + 2(7) - 5 = 21 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını tek tek inceleyerek tam sayı olanları belirlemek.
−5,−1,0-5, -1, 0 ve 33 sayıları tam sayıdır. Dolayısıyla tam sayı olan eleman sayısı a=4a = 4 olur.
Sayı kümelerinin tanımlarına göre tam sayılar kümesi negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıları kapsar.
2
Kümenin elemanlarından rasyonel sayı olanları belirlemek.
−5,−43,−1,0,1.2,3-5, -\frac{4}{3}, -1, 0, 1.2, 3 ve 227\frac{22}{7} sayıları rasyonel sayılardır. Dolayısıyla rasyonel sayı olan eleman sayısı b=7b = 7 olur.
İki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılar rasyonel sayıdır. Burada 1.2=651.2 = \frac{6}{5} rasyoneldir. Ayrıca 227\frac{22}{7} sayısı da rasyoneldir (yaklaşık olarak π\pi değerine eşit olsa da rasyonel bir sayıdır). 2\sqrt{2} ve π\pi sayıları ise irrasyoneldir.
3
Kümenin elemanlarından pozitif gerçel sayı olanları belirlemek.
1.2,2,3,2271.2, \sqrt{2}, 3, \frac{22}{7} ve π\pi sayıları pozitif gerçel sayılardır. Dolayısıyla pozitif gerçel sayı olan eleman sayısı c=5c = 5 olur.
Sıfırdan büyük olan gerçel sayılar pozitif gerçel sayılardır. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) olduğundan bu gruba dahil edilmez.
4
3a+2b−c3a + 2b - c ifadesinin değerini hesaplamak.
3(4)+2(7)−5=12+14−5=213(4) + 2(7) - 5 = 12 + 14 - 5 = 21 bulunur.
Bulunan a=4,b=7a=4, b=7 ve c=5c=5 değerleri ifadede yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin (tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve gerçel sayılar) özellikleri ve elemanlarının doğru sınıflandırılması.
Soru 206Soru →

aa negatif bir gerçel sayı ve bb nötr (işaretsiz) bir gerçel sayıdır.

a<ca < c olduğuna göre, aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a−b<c−ba - b < c - b

Cevap

İki taraftan nötr sayının çıkarıldığı eşitsizlik daima doğrudur.
Nötr sayı sıfıra eşit olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafından sıfır çıkarılması eşitsizliğin yönünü ve doğruluğunu etkilemez. Bu nedenle iki taraftan nötr sayının çıkarıldığı ifade daima başlangıçtaki eşitsizlik ile aynı doğruluğa sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1
Nötr (işaretsiz) gerçel sayının tanımını kullanarak bb değişkeninin değerini belirleyin.
b=0b = 0 olur.
Sayı doğrusunda işaretsiz (nötr) olan tek gerçel sayı sıfırdır.
2
Doğru seçenekteki ifadede b=0b = 0 değerini yerine yazarak eşitsizliği sadeleştirin.
a−b<c−b⇒a−0<c−0⇒a<ca - b < c - b \Rightarrow a - 0 < c - 0 \Rightarrow a < c elde edilir.
Sıfır sayısı çıkarma işleminde etkisiz elemandır.
3
Elde edilen eşitsizliğin başlangıçta verilen koşulla tutarlılığını kontrol edin.
a<ca < c ifadesi başlangıçta verilen koşul ile birebir aynıdır ve daima doğrudur.
Soruda a<ca < c olduğu başlangıçta bilgi olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Temel Özellikleri ve Eşitsizlik Kuralları
Soru 207Soru →

Bir xx ger��el sayısı için x4>−x3x^4 > -x^3 eşitsizliğinin sağlanması, xx sayısının pozitif bir gerçel sayı olması için gerek ve yeter koşuldur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır (doğruluk değeri False'tur).
Verilen önermenin yanlış olmasının nedeni, eşitsizliği sağlayan negatif gerçel sayıların da bulunmasıdır (örneğin x=−2x = -2 eşitsizliği sağlar ancak pozitif değildir). Dolayısıyla eşitsizliğin sağlanması, xx'in pozitif olması için gerek bir koşul değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Gerek ve yeter koşul ifadesinin matematiksel mantığını kuralım.
x4>−x3x^4 > -x^3 eşitsizliğinin sağlanması ile x>0x > 0 koşulunun birbirini çift yönlü gerektirmesi (x4>−x3  ⟺  x>0x^4 > -x^3 \iff x > 0) incelenmelidir. Koşulun gerek ve yeter olması için hem sağa doğru hem de sola doğru gerektirmenin doğru olması gerekir.
Önermenin doğruluğunu test etmek için gerekli ve yeterli olma durumlarını ayrı ayrı değerlendirmek.
2
x>0x > 0 (pozitif sayı) durumunda eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
x>0x > 0 ise x4>0x^4 > 0 olur. Ayrıca x3>0x^3 > 0 olacağından −x3<0-x^3 < 0 olur. Pozitif bir sayı, negatif bir sayıdan her zaman büyük olduğu için x4>−x3x^4 > -x^3 eşitsizliği x>0x > 0 olan tüm sayılar için her zaman doğrudur. Bu yönüyle koşul yeterlidir.
Pozitif sayıların tüm kuvvetlerinin pozitif olmasından yararlanarak eşitsizliğin sol ve sağ taraflarının işaretlerini belirlemek.
3
x<0x < 0 (negatif sayı) durumunda parantezli kuvvet kurallarını ve eşitsizlik yön değiştirmesini uygulayalım.
x<0x < 0 iken x4>0x^4 > 0 (negatif tabanın çift kuvveti pozitiftir) ve x3<0x^3 < 0 (negatif tabanın tek kuvveti negatiftir) olur. Buradan −x3>0-x^3 > 0 elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğundan, her iki tarafı negatif bir sayı olan x3x^3'e bölelim. Eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğü için yön değiştirir: x4>−x3⇒x4x3<−x3x3⇒x<−1x^4 > -x^3 \Rightarrow \frac{x^4}{x^3} < \frac{-x^3}{x^3} \Rightarrow x < -1 bulunur. Bu aralık sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumunu da dışarıda bırakır.
Negatif sayıların tek ve çift kuvvetlerinin işaretlerini doğru analiz etmek ve negatif bölen durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesini yönetmek.
4
Koşulun gerekliliğini test etmek için negatif bölgeden karşıt örnek verelim.
x<−1x < -1 aralığından seçilen x=−2x = -2 sayısı için (−2)4=16(-2)^4 = 16 ve −(−2)3=8-(-2)^3 = 8 olup 16>816 > 8 eşitsizliği sağlanır. Ancak x=−2x = -2 pozitif bir sayı değildir. Bu durum, eşitsizliğin sağlanmasının x>0x > 0 olmasını gerektirmediğini gösterir. Dolayısıyla önerme yanlıştır.
Önermeyi çürüten en az bir gerçel sayı (karşıt örnek) bularak gerek koşul olmadığını ispatlamak.

Anahtar Kavram

Negatif ve pozitif sayıların kuvvetleri ile eşitsizliklerin yön değiştirme kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 208Soru →

aa ve bb sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere,

ab+a⋅ba^b + a \cdot b

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. a⋅ba \cdot b
II. bab^a
III. ab⋅ba^b \cdot b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen toplamın tek sayı olması, her iki durumda da bb değişkeninin çift tam sayı, aa değişkeninin ise tek tam sayı olmasını gerektirir. Bu durumda, birinci öncüldeki çarpım ve üçüncü öncüldeki ifade daima çift tam sayıdır. İkinci öncüldeki ifade ise aa değişkeninin negatif olması durumunda rasyonel sayı belirtebileceğinden her zaman çift sayı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin tam sayı olma koşulunun incelenmesi
aba^b ifadesi bir tam sayı olmak zorundadır.
aa ve bb sıfırdan farklı tam sayılar olduğundan, a⋅ba \cdot b ifadesi daima bir tam sayıd��r. İki tam sayının toplamı veya farkı yine tam sayı olacağından, ab+a⋅ba^b + a \cdot b ifadesinin tek sayı (dolayısıyla tam sayı) olması için aba^b ifadesinin de tam sayı olması gerekir.
2
bb değişkeninin negatif olma durumunun (b<0b < 0) incelenmesi
bb çift tam sayı ve aa tek tam sayı olmalıdır (a∈{−1,1}a \in \{-1, 1\}).
b<0b < 0 iken aba^b ifadesinin tam sayı olabilmesi için taban aa sayısı yalnızca 11 veya −1-1 olabilir. a=1a = 1 ise 1b+b=1+b1^b + b = 1 + b tek sayı olmalıdır, buradan bb çift çıkar. a=−1a = -1 ise (−1)b−b(-1)^b - b tek sayı olmalıdır; bb çift ise (−1)b−b=1−b(-1)^b - b = 1 - b (tek) olur, bb tek ise (−1)b−b=−1−b(-1)^b - b = -1 - b (çift) olur. Dolayısıyla her iki durumda da bb çift sayıdır.
3
bb değişkeninin pozitif olma durumunun (b>0b > 0) incelenmesi
bb çift tam sayı ve aa tek tam sayı olmalıdır.
b>0b > 0 iken aba^b daima tam sayıdır. aa çift olsaydı ab+a⋅ba^b + a \cdot b çift + çift = çift olurdu, bu çelişkidir. Dolayısıyla aa tek olmalıdır. aa tek ise aba^b tektir ve toplamın tek olması için a⋅ba \cdot b çift olmalıdır. aa tek olduğundan bb çift olmalıdır.
4
Öncüllerin teker teker analiz edilmesi
I. öncül her zaman çift, II. öncül her zaman çift değil, III. öncül her zaman çifttir.
I. a⋅ba \cdot b ifadesinde bb çift olduğundan çarpım daima çifttir. II. bab^a ifadesinde aa negatif olabileceğinden (a=−1,b=2a = -1, b = 2 için 2−1=1/22^{-1} = 1/2) ifade tam sayı olmayabilir. III. ab⋅ba^b \cdot b ifadesinde, b>0b > 0 ise aba^b tek ve bb çift olduğundan çarpım çifttir; b<0b < 0 ise a=±1a = \pm 1 ve bb çift olduğundan ab=1a^b = 1 olur ve 1⋅b=b1 \cdot b = b (çift) elde edilir. Dolayısıyla I ve III her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda negatif üs kavramı ve teklik-çiftlik üzerindeki etkisi
Soru 209Soru →
Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı ile iki basamaklı ABAB ve BCBC doğal sayıları için,
ABC−(AB+BC)=266ABC - (AB + BC) = 266
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, rakamları farklı bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2758

Cevap

Rakamları farklı koşulunu sağlayan tüm ABC doğal sayılarının toplamı 2758'dir.
Denklem çözümlendiğinde 90A−B=26690A - B = 266 bağıntısı elde edilir. Rakam değer kısıtlamalarına göre bu eşitliği sağlayan tek çift A=3A=3 ve B=4B=4'tür. C rakamı sadeleştiği için serbesttir ancak sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden C, 3 ve 4 değerlerini alamaz. Geriye kalan 8 farklı rakam değeri kullanılarak yazılan sayıların toplamı 2758 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikteki sayıları basamak çözümlemesi yöntemiyle açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C, AB=10A+BAB = 10A + B ve BC=10B+CBC = 10B + C olarak yazılır.
Harfli ifadelerle verilen sayılar�� basamak değerlerine ayırarak cebirsel olarak sadeleştirmek için çözümleme yapılır.
2
Çözümlediğimiz ifadeleri denklemde yerine yazarak gerekli sadeleştirmeleri yapalım.
(100A+10B+C)−(10A+B+10B+C)=266(100A + 10B + C) - (10A + B + 10B + C) = 266
(100A+10B+C)−(10A+11B+C)=266(100A + 10B + C) - (10A + 11B + C) = 266
90A−B=26690A - B = 266 elde edilir.
Denklemin sol tarafındaki parantez içi toplamı yapıldıktan sonra çıkarma işlemi uygulanarak C değişkeninin sadeleştiği görülür.
3
Elde edilen denklemde A ve B değerlerinin rakam olması koşulunu kullanarak uygun değerleri bulalım.
90A−B=266  ⟹  B=90A−26690A - B = 266 \implies B = 90A - 266 olur. BB bir rakam olduğundan 0≤B≤90 \le B \le 9 olmalıdır. Buradan 266≤90A≤275266 \le 90A \le 275 eşitsizliğinden tek uygun değer A=3A = 3 olarak bulunur. A=3A = 3 için B=4B = 4 elde edilir.
Basamak analizinde harfler rakamları temsil ettiğinden değer aralığı kısıtı kullanılarak değişkenlerin tekil değerleri belirlenir.
4
Denklemde sadeleşen C rakamının alabileceği değerleri rakamları farklı olma koşuluna göre belirleyelim.
A=3A = 3 ve B=4B = 4 olduğundan C∉{3,4}C \notin \{3, 4\} olmalıdır. Dolayısıyla CC rakamı {0,1,2,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinden seçilebilir.
Soruda verilen 'rakamları farklı' koşulu uyarınca, bulunan A ve B rakamlarının C rakamı olarak tekrar kullanılamayacağı belirlenir.
5
Belirlenen tüm ABC sayılarını yazıp toplayalım.
Oluşabilecek sayılar 340,341,342,345,346,347,348,349340, 341, 342, 345, 346, 347, 348, 349 olmak üzere 8 tanedir. Toplamları:
340+341+342+345+346+347+348+349=2758340 + 341 + 342 + 345 + 346 + 347 + 348 + 349 = 2758 olarak hesaplanır.
Koşulları sağlayan tüm sayıların toplamını bulmak için basamak yapısı korunan bu sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Soru 210Soru →

İki basamaklı ABAB ve CDCD doğal sayıları için, bu sayıların onlar basamağındaki rakamlar kendi aralarında yer değiştirildiğinde elde edilen iki basamaklı sayıların çarpımı, ilk durumdaki sayıların çarpımından 360 fazladır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı (AB,CD)(AB, CD) sıralı sayı çifti vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Otuz dört
Denklemin çözümünden elde edilen (C−A)(D−B)=36(C - A)(D - B) = 36 eşitliğinde, rakam kısıtlamalarına uyan tüm pozitif ve negatif çarpan çiftleri (6×66 \times 6, 4×94 \times 9, −6×−6-6 \times -6 ve −4×−9-4 \times -9) değerlendirildiğinde toplamda 34 farklı (AB,CD)(AB, CD) sıralı çifti oluşmaktadır. Bu nedenle otuz dört cevabı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyip çarpım denklemini kurmak.
AB=10A+BAB = 10A + B ve CD=10C+DCD = 10C + D sayıları tanımlanır. Onlar basamağı yer değiştirildiğinde yeni sayılar CB=10C+BCB = 10C + B ve AD=10A+DAD = 10A + D olur.
Çözümleme yaparak basamaklar arasındaki ilişkileri cebirsel olarak ifade etmek gerekir.
2
Yeni çarpım ile eski çarpım arasındaki farkı eşitlemek.
(10C+B)(10A+D)−(10A+B)(10C+D)=360(10C + B)(10A + D) - (10A + B)(10C + D) = 360 denklemi elde edilir.
Soruda verilen artış miktarı cebirsel olarak bu farka eşittir.
3
Denklemi dağıtarak sadeleştirmek.
(100AC+10CD+10AB+BD)−(100AC+10AD+10BC+BD)=360  ⟹  10(CD+AB−AD−BC)=360  ⟹  10[C(D−B)−A(D−B)]=360  ⟹  (C−A)(D−B)=36(100AC + 10CD + 10AB + BD) - (100AC + 10AD + 10BC + BD) = 360 \implies 10(CD + AB - AD - BC) = 360 \implies 10[C(D - B) - A(D - B)] = 360 \implies (C - A)(D - B) = 36 elde edilir.
Ortak terimler sadeleştirilerek rakamlar arasındaki ilişki çarpanlara ayrılmış biçime getirilir.
4
Rakam kısıtlamalarını belirlemek.
ABAB ve CDCD iki basamaklı sayılar olduğundan A,C∈{1,2,…,9}A, C \in \{1, 2, \dots, 9\} olmalıdır (onlar basamağı sıfır olamaz). B,D∈{0,1,…,9}B, D \in \{0, 1, \dots, 9\} olabilir. Bu durumda C−AC - A farkı en fazla 8, en az -8 olabilir. D−BD - B farkı ise en fazla 9, en az -9 olabilir.
Basamak analizinde en büyük basamağın sıfır olamayacağı kuralı ve rakamların tek haneli doğal sayılar olması kuralı geçerlidir.
5
36'yı veren ve kısıtlamalara uyan çarpan çiftlerini bulup durumları saymak.
x⋅y=36x \cdot y = 36 denkleminde ∣x∣≤8|x| \le 8 ve ∣y∣≤9|y| \le 9 şartını sağlayan tam sayı çiftleri şunlardır:
- C−A=6C - A = 6 ve D−B=6D - B = 6 için: (A,C)∈{(1,7),(2,8),(3,9)}(A,C) \in \{(1,7), (2,8), (3,9)\} (3 durum) ve (B,D)∈{(0,6),(1,7),(2,8),(3,9)}(B,D) \in \{(0,6), (1,7), (2,8), (3,9)\} (4 durum) olup 3×4=123 \times 4 = 12 çift vardır.
- C−A=4C - A = 4 ve D−B=9D - B = 9 için: (A,C)∈{(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(5,9)}(A,C) \in \{(1,5), (2,6), (3,7), (4,8), (5,9)\} (5 durum) ve (B,D)∈{(0,9)}(B,D) \in \{(0,9)\} (1 durum) olup 5×1=55 \times 1 = 5 çift vardır.
- C−A=−6C - A = -6 ve D−B=−6D - B = -6 için: (A,C)∈{(7,1),(8,2),(9,3)}(A,C) \in \{(7,1), (8,2), (9,3)\} (3 durum) ve (B,D)∈{(6,0),(7,1),(8,2),(9,3)}(B,D) \in \{(6,0), (7,1), (8,2), (9,3)\} (4 durum) olup 3×4=123 \times 4 = 12 çift vardır.
- C−A=−4C - A = -4 ve D−B=−9D - B = -9 için: (A,C)∈{(5,1),(6,2),(7,3),(8,4),(9,5)}(A,C) \in \{(5,1), (6,2), (7,3), (8,4), (9,5)\} (5 durum) ve (B,D)∈{(9,0)}(B,D) \in \{(9,0)\} (1 durum) olup 5×1=55 \times 1 = 5 çift vardır.
Çarpımları 36 yapan tüm olası basamak farkı kombinasyonları ayrı ayrı incelenmelidir.
6
Tüm durumları toplamak.
Toplam çift sayısı: 12+5+12+5=3412 + 5 + 12 + 5 = 34 olarak bulunur.
Birbirinden bağımsız tüm geçerli durumların toplamı bize genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve çarpım farklarının rakam sınırlandırmaları altında incelenmesi
Soru 211Soru →

pp ve qq iki tam sayıdır.

p+3qp + 3q

ifadesinin bir çift sayıya eşit olduğu bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: p+qp + q

Cevap

p+qp + q
Verilen p+3qp + 3q ifadesi çift olduğundan, pp ve qq tam sayılarının ikisi de tek ya da ikisi de çift olmak zorundadır. Aynı paritede olan iki tam sayının toplamı olan ifade her zaman çift sayı olacağından doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin paritesini analiz etme
pp ve qq tam sayılarının aynı pariteye sahip olduğu belirlenir.
p+3qp + 3q ifadesinin çift sayı olması için pp ve 3q3q ifadelerinin ikisinin de çift veya ikisinin de tek olması gerekir. 3q3q ifadesinin paritesi qq ile aynı olduğundan, pp çift ise qq da çift, pp tek ise qq da tek olmalıdır.
2
Seçeneklerdeki ifadelerin paritelerini test etme
p+qp + q ifadesinin her iki durumda da çift olduğu gösterilir.
pp ve qq tam sayılarının ikisi de çift olduğunda p+qp+q çift + çift = çift olur. İkisi de tek olduğunda p+qp+q tek + tek = çift olur. Her iki durumda da sonuç kesinlikle çift sayıdır.

Anahtar Kavram

İki tam sayının toplamının tekliği veya çiftliği, bu sayıların tek tek paritelerine bağlıdır. Aynı paritedeki iki sayının toplamı veya farkı her zaman çift bir sayıdır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 212Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya yazdığı aa, bb ve cc tam sayıları hakkında öğrencilerine şu bilgileri vermiştir:

* a⋅b+aa \cdot b + a sayısı tek sayıdır.
* b+cb + c sayısı çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+c)a \cdot (b + c)

Cevap

a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesi her zaman çift sayıdır.
bb ve cc çift tam sayılar olduğundan, toplamları olan b+cb+c ifadesi de her zaman çift bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olduğundan, a⋅(b+c)a \cdot (b+c) ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b+aa \cdot b + a ifadesini ortak çarpan parantezine alarak inceleyin.
a⋅b+a=a(b+1)a \cdot b + a = a(b+1) olur. Bu ifadenin tek sayı olduğu belirtilmiştir. İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan aa tek sayı ve b+1b+1 tek sayı (dolayısıyla bb çift sayı) olarak bulunur.
Çarpımın teklik-çiftlik özelliğini kullanarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.
2
b+cb + c ifadesinin çift sayı olmasını kullanarak cc sayısının durumunu belirleyin.
bb çift sayı olduğuna göre, toplamın çift olması için cc sayısı da çift sayı olmalıdır. Böylece aa tek, bb çift ve cc çift tam sayılar olarak elde edilir.
İkinci öncüldeki toplama işleminin sonucundan üçüncü değişkenin karakteristiğini ortaya çıkarmak için bu adım uygulanır.
3
Seçenekleri bu bilgiler doğrultusunda ve tam sayıların negatif olabilme durumunu göz önünde bulundurarak analiz edin.
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinde b+cb+c her zaman çift bir tam sayıdır. Bir çift tam sayı ile aa tam sayısının çarpımı, aa ne olursa olsun her zaman çift sayıdır. Kuvvet içeren diğer seçeneklerde ise üssün negatif olma durumunda sonucun tam sayı olmama ihtimali vardır.
Her zaman doğru olan seçeneği belirlemek ve negatif üs tuzaklarını elemek amacıyla son kontrol yapılır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler ve üslü ifadelerde tam sayı kuvvetlerin rasyonel sonuçlar üretebilme durumu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 213Soru →

Bir şehrin gün içindeki en düşük hava sıcaklığı −4-4 °C, en yüksek hava sıcaklığı ise 1212 °C olarak ölçülmüştür.

Buna göre, ölçülen bu sıcaklık değerlerinin her ikisi birden;

I. Doğal sayılar (N\mathbb{N})
II. Tam sayılar (Z\mathbb{Z})
III. Rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q})

kümelerinden hangilerinin birer elemanıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III ifadelerinin yer aldığı seçenek
Ölçülen sıcaklık değerleri olan -4 ve 12 sayıları birer tam sayıdır (Z). Ayrıca her tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayı (Q) şeklinde ifade edilebildiğinden her ikisi de rasyonel sayıdır. Dolayısıyla II ve III ifadeleri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sıcaklık değerlerinin sayı türlerini belirleme
-4 ve 12 değerleri elde edilir. -4 negatif bir tam sayı, 12 ise pozitif bir tam sayıdır.
Sayı kümeleriyle karşılaştırma yapabilmek için sayıların işaret ve tamlık durumları incelenmelidir.
2
Doğal sayılar kümesi (N) ile karşılaştırma
Doğal sayılar kümesi sıfır ve pozitif tam sayıları kapsar. -4 negatif olduğundan doğal sayı değildir. 12 ise doğal sayıdır. Dolayısıyla I. öncül yanlıştır.
Her iki sıcaklık değerinin de aynı kümede olup olmadığı test edilmelidir.
3
Tam sayılar kümesi (Z) ile karşılaştırma
-4 ve 12 değerlerinin her ikisi de tam sayıdır. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Negatif ve pozitif tam sayıların kümedeki varlığı doğrulanmalıdır.
4
Rasyonel sayılar kümesi (Q) ile karşılaştırma
Her tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır. -4 = -4/1 ve 12 = 12/1 biçiminde yazılabildiğinden her iki değer de rasyonel sayıdır. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.
Tam sayılar ile rasyonel sayılar arasındaki alt küme ilişkisi kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisi ve eleman özellikleri
Soru 214Soru →

xx, yy ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x⋅y∈Zx \cdot y \in \mathbb{Z}
y⋅z∈Zy \cdot z \in \mathbb{Z}
x⋅z∈R∖Qx \cdot z \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. yy bir irrasyonel sayıdır.
II. x2⋅z2x^2 \cdot z^2 bir rasyonel sayıdır.
III. x+zx + z bir irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Yalnız I ifadesi doğrudur çünkü y sayısı rasyonel kabul edildiğinde, sıfırdan farklı olmasının da etkisiyle x ve z sayılarının rasyonel olması kaçınılmazdır. Bu durumda rasyonel iki sayının çarpımı olan xz de rasyonel olmak zorunda kalır ki bu durum xz'nin irrasyonel sayı olması koşuluyla çelişir. Dolayısıyla y sayısı kesinlikle irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
y sayısının rasyonel veya irrasyonel olma durumunu çelişki yöntemiyle incelemek.
yy sayısının rasyonel olduğunu varsayalım. Bu durumda y=pqy = \frac{p}{q} (p,q∈Z∖{0}p, q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}) yazılabilir. x⋅y=a∈Zx \cdot y = a \in \mathbb{Z} olduğundan x⋅pq=a  ⟹  x=a⋅qp∈Qx \cdot \frac{p}{q} = a \implies x = \frac{a \cdot q}{p} \in \mathbb{Q} olur. Benzer şekilde, y⋅z=b∈Zy \cdot z = b \in \mathbb{Z} olduğundan z⋅pq=b  ⟹  z=b⋅qp∈Qz \cdot \frac{p}{q} = b \implies z = \frac{b \cdot q}{p} \in \mathbb{Q} olur. İki rasyonel sayının çarpımı da rasyonel olacağından x⋅z∈Qx \cdot z \in \mathbb{Q} olmalıdır. Ancak soruda x⋅zx \cdot z çarpımının irrasyonel olduğu verilmiştir. Bu çelişki nedeniyle yy rasyonel olamaz, dolayısıyla yy bir irrasyonel sayıdır. I. önerme her zaman doğrudur.
Birinci önermenin doğruluğunu kesinleştirmek.
2
x^2 * z^2 ifadesinin rasyonel olmasının zorunlu olup olmadığını karşı örnekle analiz etmek.
y=21/8y = 2^{1/8} seçelim (irrasyoneldir). x=27/8x = 2^{7/8} ve z=27/8z = 2^{7/8} olsun. Bu durumda x⋅y=27/8⋅21/8=2∈Zx \cdot y = 2^{7/8} \cdot 2^{1/8} = 2 \in \mathbb{Z} ve y⋅z=21/8⋅27/8=2∈Zy \cdot z = 2^{1/8} \cdot 2^{7/8} = 2 \in \mathbb{Z} koşulları sağlanır. x⋅z=27/8⋅27/8=214/8=27/4x \cdot z = 2^{7/8} \cdot 2^{7/8} = 2^{14/8} = 2^{7/4} irrasyoneldir. Ancak x2⋅z2=(x⋅z)2=(27/4)2=27/2=82x^2 \cdot z^2 = (x \cdot z)^2 = (2^{7/4})^2 = 2^{7/2} = 8\sqrt{2} sayısı da irrasyoneldir. Dolayısıyla II. önerme her zaman doğru değildir.
İkinci önermenin her zaman sağlanmadığını bir karşı örnekle ispatlamak.
3
x + z ifadesinin irrasyonel olmasının zorunlu olup olmadığını karşı örnekle analiz etmek.
y=21/4y = 2^{1/4} seçelim (irrasyoneldir). x=23/4x = 2^{3/4} ve z=−23/4z = -2^{3/4} olsun. Bu durumda x⋅y=23/4⋅21/4=2∈Zx \cdot y = 2^{3/4} \cdot 2^{1/4} = 2 \in \mathbb{Z} ve y⋅z=21/4⋅(−23/4)=−2∈Zy \cdot z = 2^{1/4} \cdot (-2^{3/4}) = -2 \in \mathbb{Z} koşulları sağlanır. x⋅z=23/4⋅(−23/4)=−26/4=−22x \cdot z = 2^{3/4} \cdot (-2^{3/4}) = -2^{6/4} = -2\sqrt{2} irrasyoneldir. Ancak x+z=23/4+(−23/4)=0∈Qx + z = 2^{3/4} + (-2^{3/4}) = 0 \in \mathbb{Q} (rasyonel) olur. Dolayısıyla III. önerme her zaman doğru değildir.
Üçüncü önermenin her zaman sağlanmadığını toplamın sıfır olabildiği durum üzerinden göstermek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki ilişkiler, rasyonel ve irrasyonel sayıların kapalılık özellikleri
Soru 215Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere,

I. x2+1x^2 + 1
II. (x−1)2(x - 1)^2
III. x4x^4

ifadelerinden hangileri her xx gerçel sayısı için daima pozitif bir sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Yalnız birinci öncüldeki ifade, bilinmeyen hangi gerçel sayı seçilirse seçilsin en az 1 değerini alacağından daima pozitif bir sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülün incelenmesi
x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan x2+1≥1>0x^2 + 1 \geq 1 > 0 bulunur.
Her gerçel sayının çift kuvveti (karesi) en az sıfırdır. Bu ifadeye pozitif bir sayı olan 1 eklendiğinde sonuç daima 1 veya daha büyük, dolayısıyla kesinlikle pozitif olur.
2
İkinci öncülün incelenmesi
x=1x = 1 için (x−1)2=0(x-1)^2 = 0 olur.
Parantezli ifadenin tabanını sıfır yapan gerçel sayı değeri ifadenin sonucunu sıfır yapar. Sıfır sayısı ise nötr (işaretsiz) bir sayıdır ve pozitif değildir.
3
Üçüncü öncülün incelenmesi
x=0x = 0 için x4=0x^4 = 0 olur.
Taban sıfır seçildiğinde sıfırın tüm pozitif tam sayı kuvvetleri sıfıra eşittir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olduğundan pozitif değildir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların çift kuvvetlerinin en az sıfır olması ve sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 216Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamlarının toplamının 8 katına eşittir.

Buna göre, rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen iki basamaklı BABA doğal sayısı ile AA ve BB rakamlarının çarpımının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

İki basamaklı BA sayısı ile A ve B rakamlarının çarpımının toplamı 41'dir.
AB sayısı çözümlenerek 10A + B = 8A + 8B denklemi kurulur. Buradan 2A = 7B elde edilir. A ve B birer rakam ve A sıfırdan farklı olduğuna göre bu eşitliği sağlayan tek değerler A = 7 ve B = 2'dir. Dolayısıyla BA sayısı 27 olur. Rakamların çarpımı A * B = 14'tür. Bu iki değerin toplamı 27 + 14 = 41 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AB sayısını çözümleyerek verilen eşitliği yazalım.
10A+B=8(A+B)10A + B = 8(A + B)
AB sayısı 10A+B10A + B şeklinde çözümlenir.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirerek A ile B arasındaki ilişkiyi bulalım.
2A=7B2A = 7B
10A+B=8A+8B  ⟹  2A=7B10A + B = 8A + 8B \implies 2A = 7B elde edilir.
3
A ve B'nin rakam olma koşulunu ve AB'nin iki basamaklı sayı olma koşulunu kullanarak değerlerini bulalım.
A=7A = 7 ve B=2B = 2
2A=7B2A = 7B eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı rakam çifti sadece A=7A=7 ve B=2B=2'dir.
4
İstenen BA + A * B ifadesinin değerini hesaplayalım.
41
BA=27BA = 27 ve A⋅B=7⋅2=14A \cdot B = 7 \cdot 2 = 14 olduğundan toplamları 27+14=4127 + 14 = 41 olur.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam olma koşullarının uygulanması.
Soru 217Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının yüzler basamağındaki rakam ile onlar basamağındaki rakam yer değiştirdiğinde sayının değeri 180 azalıyor. Bu sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakam yer değiştirdiğinde ise sayının değeri 27 artıyor.

Buna göre, rakamları sıfırdan farklı olan bu koşulları sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Rakamları sıfırdan farklı olan en büyük sayının rakamları toplamı 23'tür.
Çözümleme adımları uygulandığında yüzler basamağı ile onlar basamağı arasındaki farkın 2, birler basamağı ile onlar basamağı arasındaki farkın ise 3 olduğu görülür. Sayının rakamları sıfırdan farklı birer rakam olmak zorunda olduğundan, birler basamağının en fazla 9 olabileceği kuralından yola çıkılarak onlar basamağı en fazla 6, yüzler basamağı da en fazla 8 olarak belirlenir. Bu durumda elde edilen en büyük sayı 869 olup rakamları toplamı 23'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Yüzler ve onlar basamağının yer değiştirmesini analiz etme
ABC−BAC=180⇒90(A−B)=180⇒A−B=2ABC - BAC = 180 \Rightarrow 90(A-B) = 180 \Rightarrow A-B = 2
Yüzler ve onlar basamakları yer değiştirdiğinde oluşan sayı BACBAC olur ve sayının değeri 180 azalır.
2
Onlar ve birler basamağının yer değiştirmesini analiz etme
ACB−ABC=27⇒9(C−B)=27⇒C−B=3ACB - ABC = 27 \Rightarrow 9(C-B) = 27 \Rightarrow C-B = 3
Onlar ve birler basamakları yer değiştirdiğinde oluşan sayı ACBACB olur ve sayının değeri 27 artar.
3
Rakam kısıtlamalarını kullanarak en büyük sayıyı belirleme
B=6B = 6 için A=8A = 8 ve C=9C = 9 bulunur. En büyük sayı 869869 olur.
Sayının en büyük olması için yüzler basamağındaki AA en büyük seçilmelidir. C=B+3≤9C = B+3 \leq 9 kısıtından dolayı BB en fazla 6 olabilir. Bu durumda A=8A = 8 olur.
4
Rakamlar toplamını hesaplama
8+6+9=238 + 6 + 9 = 23
Bulunan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplanır.

Anahtar Kavram

Basamak Çözümlemesi ve Sayı Değeri Analizi
Soru 218Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a2+ba^2 + b
ifadesinin bir çift sayıya,
b2+cb^2 + c
ifadesinin ise bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+ba + b
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. bc+ab^c + a

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Verilen bilgilere göre, aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. Dolayısıyla, her iki durumda da (ikisi de çift veya ikisi de tek olduğunda) toplamları olan a+ba + b her zaman çift sayıdır. Bu nedenle sadece birinci öncül her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek.
aa ile bb aynı teklik-çiftlik karakterine sahipken, bb ile cc zıt karakterdedir.
a2+ba^2 + b toplamının çift olması için a2a^2 ile bb aynı karakterde olmalıdır. b2+cb^2 + c toplamının tek olması için b2b^2 ile cc zıt karakterde olmalıdır. Herhangi bir xx tam sayısı için x2x^2 ile xx aynı teklik-çiftlik özelliğine sahiptir.
2
Değişkenlerin alabileceği olası durumları belirlemek.
Olası durumlar: 1) aa çift, bb çift, cc tek; 2) aa tek, bb tek, cc çift.
Bir önceki adımdaki karakter eşleşmelerine göre değişken pariteleri bu iki durumu oluşturur.
3
Birinci öncülü (a+ba+b) değerlendirmek.
a+ba+b ifadesi her zaman çift sayıdır.
aa ve bb aynı karakterde olduğundan (çift+çift veya tek+tek), toplamları her zaman çift sayı olur.
4
İkinci öncülü (a⋅c+ba \cdot c + b) değerlendirmek.
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi tek sayı olabilir.
İkinci durumda (aa tek, bb tek, cc çift) a⋅c+b=tek⋅c¸ift+tek=c¸ift+tek=teka \cdot c + b = \text{tek} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. Dolayısıyla her zaman çift sayı değildir.
5
Üçüncü öncülü (bc+ab^c + a) değerlendirmek.
bc+ab^c + a ifadesi her zaman çift sayı olmak zorunda değildir, tam sayı bile olmayabilir.
a,b,ca, b, c tam sayı olduğundan cc negatif olabilir. Örneğin a=5a=5, b=3b=3, c=−2c=-2 için 3−2+5=46/93^{-2} + 5 = 46/9 olur ve bu bir tam sayı olmadığından teklik-çiftlik belirtmez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların özellikleri, üslü ifadelerde taban ve üs ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 219Soru →

İki basamaklı bir doğal sayının onlar basamağındaki rakam 3 artırılıp, birler basamağındaki rakam 4 azaltılıyor. Buna göre, bu sayının değeri nasıl değişir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26 artar

Cevap

Sayının değeri 26 artar.
Onlar basamağındaki rakamın 3 artırılması sayı değerine +30+30 etkisi yapar. Birler basamağındaki rakamın 4 azaltılması sayı değerine −4-4 etkisi yapar. Bu iki etki birleştirildiğinde net değişim +30−4=+26+30 - 4 = +26 olur. Dolayısıyla sayının değeri 26 artar.

Adım Adım Çözüm

1
Onlar basamağındaki değişimin etkisini belirleme
Onlar basamağının değeri 3 artırıldığında, sayı 3×10=303 \times 10 = 30 artar.
Onlar basamağının basamak değeri 10'dur.
2
Birler basamağındaki değişimin etkisini belirleme
Birler basamağının değeri 4 azaltıldığında, sayı 4×1=44 \times 1 = 4 azalır.
Birler basamağının basamak değeri 1'dir.
3
Net değişimi hesaplama
30−4=2630 - 4 = 26 artış gerçekleşir.
Sayıdaki artış miktarı azalış miktarından fazla olduğu için sayının değeri net olarak artar.

Anahtar Kavram

Sayıların basamak çözümlemesi ve basamak değerlerindeki değişimlerin sayı değerine etkisi.
Tahmini Süre:45s
Soru 220Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
P=−x4P = -x^4
R=(−x)5R = (-x)^5
S=x2S = x^2
ifadeleri tanımlanıyor.
PP, RR ve SS sayılarından en az birinin işaretsiz (nötr) olduğu ve bu üç sayıdan en fazla bir tanesinin pozitif olduğu bilindiğine göre,
(x−3)2−(x+1)3(x - 3)^2 - (x + 1)^3
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İfadenin değeri 8'dir.
Verilen koşullara göre ifadelerden en az birinin nötr olabilmesi ve en fazla birinin pozitif olabilmesi yalnızca x=0x = 0 durumunda mümkündür. x=0x = 0 değeri hedef ifadede yerine yazıldığında (0−3)2−(0+1)3=9−1=8(0-3)^2 - (0+1)^3 = 9 - 1 = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x>0x > 0 durumu için ifadelerin işaretlerini belirleme
P=−x4<0P = -x^4 < 0 (negatif), R=(−x)5<0R = (-x)^5 < 0 (negatif), S=x2>0S = x^2 > 0 (pozitif)
Pozitif bir sayının çift kuvvetinin negatifi negatif, negatif bir tabanın tek kuvveti yine negatiftir. Bu durumda pozitif olan sadece bir ifade vardır ancak hiçbir ifade nötr (sıfır) değildir.
2
x<0x < 0 durumu için ifadelerin işaretlerini belirleme
P=−x4<0P = -x^4 < 0 (negatif), R=(−x)5>0R = (-x)^5 > 0 (pozitif), S=x2>0S = x^2 > 0 (pozitif)
xx negatif ise −x-x pozitif olur ve tek kuvveti de pozitiftir. Bu durumda pozitif olan iki ifade vardır, bu da 'en fazla bir pozitif' koşulunu ihlal eder. Ayrıca nötr ifade yoktur.
3
x=0x = 0 durumu için ifadelerin değerlerini belirleme
P=0P = 0, R=0R = 0, S=0S = 0
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Bu durumda tüm ifadeler sıfır olduğundan 'en az birinin nötr olması' ve sıfır adet pozitif değer bulunduğundan 'en fazla bir tanesinin pozitif olması' koşulları birlikte sağlanır.
4
Elde edilen tek geçerli x=0x = 0 değerini hedef ifadede yerine yazıp sonucu hesaplama
(0−3)2−(0+1)3=9−1=8(0-3)^2 - (0+1)^3 = 9 - 1 = 8
Koşulları yalnızca x=0x = 0 değeri sağladığı için bu değerle işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda kuvvet kuralları ve sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği
ÖncekiSayfa 11 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 11 | Examkin