Examkin

Basamak Analizi ve Çözümleme

72 soru

Tüm türler72Çoktan seçmeli38Sayısal34
Soru 1Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı BCBC doğal sayısının 13 katından 20 fazladır.

Buna göre, AA rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

A rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Çözümleme yapıldığında elde edilen 25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5 denkleminde, BCBC iki basamaklı doğal sayısının alabileceği değerler 1010 ile 9999 arasındadır. Bu koşul altında 3⋅BC+53 \cdot BC + 5 ifadesinin 2525'in katı olması için AA rakamı yalnızca 22, 55 ve 88 değerlerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 1515 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının basamak çözümlemesini yapmak.
ABC=100A+BCABC = 100A + BC
ABCABC üç basamaklı sayısının son iki basamağını ayırarak çözümleme yapmak, BCBC iki basamaklı terimi ile sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
Soruda verilen sözel ifadeyi denklem olarak yazmak.
100A+BC=13⋅BC+20  ⟹  100A=12⋅BC+20100A + BC = 13 \cdot BC + 20 \implies 100A = 12 \cdot BC + 20
Matematiksel modeli kurarak değişkenleri düzenlemek.
3
Denklemin katsayılarını en büyük ortak bölen ile sadeleştirmek.
25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5
Daha küçük katsayılarla çalışmak ve değer verme aşamasında işlem kolaylığı sağlamak.
4
BCBC ifadesinin iki basamaklı bir doğal sayı olma şartını uygulayarak AA değerlerini aramak.
A∈{2,5,8}A \in \{2, 5, 8\} ve buna karşılık gelen BC∈{15,40,65}BC \in \{15, 40, 65\}
10≤BC≤9910 \leq BC \leq 99 sınırları dahilinde 3⋅BC+53 \cdot BC + 5 ifadesinin 25'in katı olmasını sağlayan rakamlar belirlenir.
5
Bulunan rakamları toplamak.
2+5+8=152 + 5 + 8 = 15
AA rakamının alabileceği tüm farklı değerlerin toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Çözümleme yaparken tüm basamakları tek tek açmak yerine (100A+10B+C100A + 10B + C), ortak blokları (100A+BC100A + BC) birlikte gruplandırmak işlem kolaylığı sağlar.

Alternatif Yöntem

25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5 denkleminde eşitliğin sağ tarafı 55'in katıdır. Dolayısıyla sol taraftaki 25A25A da 55'in katı olmalıdır. Buradan 3⋅BC3 \cdot BC ifadesinin 55'in katı olması gerektiği, yani BCBC sayısının birler basamağının (CC) 00 veya 55 olması gerektiği görülür. C=0C = 0 veya C=5C = 5 değerleri üzerinden deneme yapılarak BC∈{15,40,65}BC \in \{15, 40, 65\} değerlerine daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamları toplamının 4 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABAB sayısının onlar basamağındaki rakam kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En büyük sayının onlar basamağındaki rakam olan 4
Verilen koşulu sağlayan iki basamaklı en büyük sayı 4848'dir ve bu sayının onlar basamağındaki rakam 44'tür.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB iki basamaklı sayısını basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B olur.
Onlar basamağındaki rakam 10, birler basamağındaki rakam 1 ile ��arpılarak çözümlenir.
2
Verilen eşitliği kullanarak AA ve BB rakamları arasındaki ilişkiyi bulalım.
10A+B=4(A+B)  ⟹  10A+B=4A+4B  ⟹  6A=3B  ⟹  2A=B10A + B = 4(A + B) \implies 10A + B = 4A + 4B \implies 6A = 3B \implies 2A = B elde edilir.
Sayının, rakamları toplamının 4 katına eşit olduğu bilgisi denklem olarak yazılıp sadeleştirilmiştir.
3
2A=B2A = B eşitliğini sağlayan AA ve BB rakamlarını belirleyelim ve en büyük ABAB sayısını bulalım.
AA ve BB birer rakam ve ABAB iki basamaklı sayı olduğundan A≠0A \neq 0 olmalıdır. Bu durumda olası (A,B)(A, B) ikilileri: (1,2)(1, 2), (2,4)(2, 4), (3,6)(3, 6) ve (4,8)(4, 8)'dir. En büyük sayı 4848 olarak bulunur.
En büyük iki basamaklı sayıyı elde etmek için onlar basamağındaki AA rakamını en büyük seçmemiz gerekir. B=2AB = 2A bir rakam olduğundan B≤9B \leq 9 olmalıdır, bu yüzden AA en fazla 44 olabilir.

Anahtar Kavram

İki Basamaklı Sayıların Çözümlenmesi ve Basamak Değeri İlişkisi
Soru 3Soru →

Üzerinde 11, 22, 33 ve 44 rakamlarının yazılı olduğu dört kartın tamamı kullanılarak iki basamaklı iki doğal sayı elde ediliyor. Buna göre, elde edilen bu iki sayının toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Elde edilen iki basamaklı sayıların toplamının alabileceği en küçük değer 37'dir.
Oluşturulacak iki basamaklı iki sayının onlar basamağına en küçük rakamlar olan 1 ve 2, birler basamağına ise kalan 3 ve 4 rakamları yazıldığında en küçük toplam olan 37 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıların çözümlenmesi
AB+CD=10(A+C)+(B+D)AB + CD = 10(A + C) + (B + D)
Basamak değerlerinin toplam üzerindeki etkisini belirlemek için çözümleme yapılması gerekir.
2
Onlar basamağındaki rakamların seçilmesi
AA ve CC rakamları 11 ve 22 olarak belirlenir.
Onlar basamağının ağırlığı 10 olduğundan toplamın en küçük olması için buraya en küçük rakamlar yazılmalıdır.
3
Birler basamağındaki rakamların seçilmesi ve toplamın bulunması
BB ve DD rakamları 33 ve 44 olarak belirlenir ve toplam 13+24=3713 + 24 = 37 bulunur.
Kalan büyük rakamlar birler basamağına atanarak toplam minimuma indirilir.

Anahtar Kavram

Basamak çözümlemesi ve basamak değerlerine göre rakam yerleştirme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 4Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısının onlar basamağı 3 artırılıp, birler basamağı 4 azaltıldığında elde edilen yeni sayı ile ABAB sayısının toplamı 116 olmaktadır. Buna göre, ABAB sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

İki basamaklı ABAB doğal sayısı 45'tir.
Onlar basamağı 3 artan ve birler basamağı 4 azalan bir sayının değeri 30−4=2630 - 4 = 26 artar. Sayının ilk hâli ABAB ise, yeni hâli AB+26AB + 26 olur. Bu iki sayının toplamı AB+(AB+26)=116AB + (AB + 26) = 116 denklemine eşittir. Denklem çözüldüğünde 2⋅AB=902 \cdot AB = 90 ve buradan AB=45AB = 45 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Basamaklarındaki değişimlerin sayının değerine olan net etkisini hesaplama
Yeni sayı, başlangıçtaki ABAB sayısından 26 fazladır (AB+26AB + 26).
Onlar basamağının basamak değeri 10 olduğundan 3 artış sayıyı 30 artırır. Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan 4 azalış sayıyı 4 azaltır. Net değişim +30−4=+26+30 - 4 = +26 olur.
2
Verilen toplam ilişkisini kullanarak denklem kurma
2⋅AB+26=1162 \cdot AB + 26 = 116 denklemi elde edilir.
ABAB sayısı ile yeni elde edilen AB+26AB + 26 sayısının toplamı 116 olarak verilmiştir.
3
Denklemi çözerek başlangıçtaki sayıyı bulma
AB=45AB = 45 olarak bulunur.
2⋅AB=902 \cdot AB = 90 eşitliğinde her iki taraf 2'ye bölünerek bilinmeyen sayı yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Basamak değeri kavramı ve basamaklar üzerindeki değişimlerin sayı değerine etkisinin çözümlenerek denkleme aktarılmas��.
Soru 5Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısının onlar basamağındaki rakam 3 azaltılıp, birler basamağındaki rakam 5 artırılarak iki basamaklı yeni bir sayı elde ediliyor.

Buna göre, başlangıçtaki ABAB sayısı elde edilen yeni sayıdan kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Başlangıçtaki sayı yeni sayıdan 25 fazladır.
Onlar basamağındaki 3 azalış sayıyı 30 azaltırken, birler basamağındaki 5 artış sayıyı 5 artırır. Bu durumda sayı net olarak 25 azalır. Dolayısıyla başlangıçtaki sayı, yeni sayıdan 25 fazladır.

Adım Adım Çözüm

1
Onlar basamağındaki değişimin sayının değerine etkisini hesaplamak
Onlar basamağının basamak değeri 10 olduğundan, bu basamaktaki 3 azalış sayının değerini 3×10=303 \times 10 = 30 azaltır.
Bir basamaktaki rakamın değişimi, o basamağın basamak değeriyle çarpılarak sayının değerindeki toplam değişime yansıtılır.
2
Birler basamağındaki değişimin sayının değerine etkisini hesaplamak
Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan, bu basamaktaki 5 artış sayının değerini 5×1=55 \times 1 = 5 artırır.
Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan, rakamdaki artış miktarının kendisi kadar sayının değerine eklenir.
3
Sayıdaki net değişimi bulmak ve farkı belirlemek
Net değişim −30+5=−25-30 + 5 = -25 olarak bulunur. Yani yeni sayı, başlangıçtaki sayıdan 25 eksiktir. Bu da başlangıçtaki sayının yeni sayıdan 25 fazla olduğunu gösterir.
Azalma ve artış miktarları toplanarak sayının son durumdaki net değişimi tespit edilir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı bir sayının basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle basamak değerlerinin belirlenmesi.
Soru 6Soru →
Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı için K(ABC)K(ABC) işlemi,
K(ABC)=AB+BC+CAK(ABC) = AB + BC + CA
biçiminde tanımlanıyor. Burada ABAB, BCBC ve CACA iki basamaklı doğal sayılardır.

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamlarının toplamının 35 katına eşittir.

Buna göre, K(ABC)K(ABC) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Doğru yanıt 99'dur.
Çözümleme sonucunda elde edilen 65A=25B+34C65A = 25B + 34C eşitliğinde 5 ile bölünebilme kuralı uygulandığında C=5C = 5 olmalıdır. Buradan elde edilen 13A=5B+3413A = 5B + 34 eşitliğini sağlayan rakamlar A=3A=3 ve B=1B=1'dir. Bu rakamlarla oluşturulan iki basamaklı sayıların toplamı 31+15+53=9931 + 15 + 53 = 99 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıyı basamaklarına çözümleyerek verilen bağıntıyı denkleme dönüştürmek
65A=25B+34C65A = 25B + 34C
100A+10B+C=35(A+B+C)100A + 10B + C = 35(A + B + C) denklemindeki terimler bir araya toplanarak sadeleştirilmiştir.
2
Bölünebilme analizini kullanarak birler basamağını tespit etmek
C=5C = 5
65A65A ve 25B25B sayıları 5'in tam katı olduğundan 34C34C sayısı da 5'in katı olmalıdır. CC bir rakam olduğundan 00 veya 55 olabilir, ancak C=0C = 0 durumu rakam sınırlarını aşan değerler üretir.
3
Denklemde CC yerine yazarak diğer rakamları elde etmek
A=3A = 3 ve B=1B = 1
13A=5B+3413A = 5B + 34 eşitliğini sağlayan tek rakam çifti A=3A = 3 ve B=1B = 1 değerleridir. Sayımız böylelikle 315315 olarak bulunur.
4
İşlem tanımına göre iki basamaklı sayıları toplayıp sonuca ulaşmak
31+15+53=9931 + 15 + 53 = 99
Rakamlar yerlerine yerleştirilerek AB=31AB = 31, BC=15BC = 15 ve CA=53CA = 53 sayıları toplanmıştır.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları Çözümleme ve Bölünebilme Yardımıyla Rakam Denklemi Çözme

Alternatif Yöntem

ABC=35(A+B+C)ABC = 35(A+B+C) eşitliğinde 3535 çarpanından dolayı ABCABC sayısının 5'in katı olması gerektiği doğrudan görülür. Bu nedenle birler basamağı C=0C = 0 veya C=5C = 5 olmalıdır. C=0C = 0 için ABC=AB0ABC = AB0 olup 10⋅AB=35(A+B)  ⟹  20A+2B=7A+7B  ⟹  13A=5B10 \cdot AB = 35(A+B) \implies 20A + 2B = 7A + 7B \implies 13A = 5B olur ki bunu sağlayan bir BB rakamı bulunamaz. Böylelikle doğrudan C=5C = 5 durumu incelenerek çözüm süresi kısaltılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

AA, BB ve CC sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere, üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için,

* A>B>CA > B > C
* ABC−CBA=594ABC - CBA = 594

koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Koşulları sağlayan 15 farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir.
Çözümleme yapıldığında ABC−CBA=99(A−C)=594ABC - CBA = 99(A-C) = 594 elde edilir. Buradan A−C=6A-C = 6 bulunur. A,B,CA, B, C sıfırdan farklı rakamlar olduğundan ve A>B>CA > B > C koşulu bulunduğundan, C=1C=1 için BB 5 değer, C=2C=2 için BB 5 değer ve C=3C=3 için BB 5 değer alabilir. Toplamda 15 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve CBACBA sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve CBA=100C+10B+ACBA = 100C + 10B + A elde edilir.
Sayıların basamak değerlerini belirleyerek aralarındaki farkı basitleştirmek için.
2
Verilen çıkarma işlemini çözümleme sonuçlarını kullanarak yazalım.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)=594ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 594 olur.
Çıkarma işlemindeki ortak 10B10B teriminin sadeleşmesini görmek ve AA ile CC arasındaki bağıntıyı bulmak için.
3
99(A−C)=59499(A-C) = 594 eşitliğinden A−CA-C farkını bulalım.
A−C=6A - C = 6 elde edilir.
AA ve CC rakamları arasındaki sayısal farkı netleştirmek için.
4
A,B,CA, B, C rakamlarının sıfırdan farklı olduğu ve A>B>CA > B > C koşulunu sağladığı durumları inceleyelim.
A−C=6A-C=6 için sıfırdan farklı rakam çiftleri:

* C=1  ⟹  A=7C = 1 \implies A = 7 olur. Bu durumda 7>B>17 > B > 1 olmalıdır. BB rakamı 2,3,4,5,62, 3, 4, 5, 6 değerlerini alabilir (5 farklı sayı).
* C=2  ⟹  A=8C = 2 \implies A = 8 olur. Bu durumda 8>B>28 > B > 2 olmalıdır. BB rakamı 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 değerlerini alabilir (5 farklı sayı).
* C=3  ⟹  A=9C = 3 \implies A = 9 olur. Bu durumda 9>B>39 > B > 3 olmalıdır. BB rakamı 4,5,6,7,84, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir (5 farklı sayı).
Koşulları sağlayan tüm olası basamak değerlerini tek tek belirlemek için.
5
Bulunan tüm durumların sayısını toplayalım.
5+5+5=155 + 5 + 5 = 15 farklı ABCABC sayısı yazılabilir.
Soruda istenen toplam farklı sayı adedine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Soru 8Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamları toplamının 44 katına eşittir. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABAB sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4848

Cevap

48
İki basamaklı ABAB sayısı çözümlenip verilen eşitlikte yerine yazıldığında 2A=B2A = B bağıntısı elde edilir. AA ve BB birer rakam ve A≠0A \neq 0 olduğundan, bu koşulu sağlayan en büyük sayı A=4A = 4 ve B=8B = 8 değerleri ile elde edilen 4848 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB doğal sayısını çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B
Basamak analizi kurallarına göre onlar basamağındaki rakam 1010 ile, birler basamağındaki rakam ise 11 ile çarpılarak çözümlenir.
2
Soruda verilen eşitliği kuralım ve düzenleyelim.
10A+B=4(A+B)⇒10A+B=4A+4B⇒6A=3B⇒2A=B10A + B = 4(A + B) \Rightarrow 10A + B = 4A + 4B \Rightarrow 6A = 3B \Rightarrow 2A = B
ABAB sayısının rakamları toplamının 44 katına eşit olduğu belirtilmiştir. Bu denklemde benzer terimler bir araya getirilerek sadeleştirme yapılır.
3
2A=B2A = B koşulunu sağlayan AA ve BB rakamlarını belirleyelim.
AA ve BB birer rakam olmak üzere, AA sıfırdan farklı olmalıdır. Bu durumda yazabileceğimiz (A,B)(A, B) ikilileri:
- A=1A = 1 için B=2⇒AB=12B = 2 \Rightarrow AB = 12
- A=2A = 2 için B=4⇒AB=24B = 4 \Rightarrow AB = 24
- A=3A = 3 için B=6⇒AB=36B = 6 \Rightarrow AB = 36
- A=4A = 4 için B=8⇒AB=48B = 8 \Rightarrow AB = 48
ABAB iki basamaklı sayı olduğundan onlar basamağındaki AA rakamı sıfır olamaz. Ayrıca BB bir rakam olduğundan en fazla 99 değerini alabilir, dolayısıyla AA en fazla 44 olabilir.
4
Elde edilen sayılar arasından en büyük olanı seçelim.
En büyük ABAB sayısı 4848 olarak bulunur.
Koşulu sağlayan sayılar 12,24,36,4812, 24, 36, 48 olup, bunlar arasından en büyüğü 4848'dir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve rakam kısıtlamaları.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 9Soru →

Üç basamaklı A2BA2B doğal sayısı, iki basamaklı ABAB doğal sayısından 200200 fazladır. Buna göre, A+BA + B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

A + B toplamının alabileceği en büyük değer 11'dir.
Verilen sayıların basamak çözümlenmesi yapıldığında A2B−AB=90A+20A2B - AB = 90A + 20 ifadesi elde edilir. Bu ifade 200200 değerine eşitlendiğinde A=2A = 2 olarak bulunur. Toplamın en büyük olması için serbest kalan BB rakamı 99 seçilir ve doğru sonuca 2+9=112 + 9 = 11 olarak ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleme
A2B=100A+20+BA2B = 100A + 20 + B ve AB=10A+BAB = 10A + B
Sayılar arasındaki büyüklük ilişkisini cebirsel denkleme dönüştürmek amacıyla çözümleme yöntemi kullanılır.
2
Fark denklemini kurma ve sadeleştirme
90A+20=200⇒A=290A + 20 = 200 \Rightarrow A = 2
İki sayının farkının 200 olduğu bilgisi kullanılarak denklemin her iki tarafındaki birler basamağı olan B rakamları sadeleştirilir ve A değeri elde edilir.
3
A + B toplamının alabileceği en büyük değeri belirleme
A+B=2+9=11A + B = 2 + 9 = 11
A değeri 2 olarak sabitlendiğinden, toplamı en büyük yapmak amacıyla B rakamı seçilebilecek en büyük rakam olan 9 olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Basamak analizi yardımıyla çok basamaklı sayıları çözümleme ve sadeleşen basamaklar yardımıyla bilinmeyenleri sınırlandırma.
Soru 10Soru →
İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için,
AB−BA=A+BAB - BA = A + B
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, AA rakamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

A rakamı 5 olmalıdır.
Verilen denklemde iki basamaklı sayılar çözümlendiğinde (10A+B)−(10B+A)=A+B(10A + B) - (10B + A) = A + B eşitliğinden 9(A−B)=A+B9(A-B) = A+B bulunur. Bu ifade düzenlendiğinde 8A=10B8A = 10B yani 4A=5B4A = 5B elde edilir. AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olduğu için bu eşitliği sağlayan değerler A=5A = 5 ve B=4B = 4'tür. Dolayısıyla aranan rakam 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıları çözümleyin.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A
Basamak analizi kurallarına göre iki basamaklı sayıları onluk tabanda açmak gerekir.
2
Çözümlenen ifadeleri verilen denklemde yerine yazın ve sadeleştirin.
(10A+B)−(10B+A)=A+B(10A + B) - (10B + A) = A + B ise 9A−9B=A+B9A - 9B = A + B elde edilir. Benzer terimleri bir araya topladığımızda 8A=10B8A = 10B olur.
Denklemin sol tarafındaki çıkarmayı yaparak AA ve BB değişkenleri arasındaki ilişkiyi sade bir biçimde görmek gerekir.
3
Katsayıları sadeleştirerek rakam değerlerini belirleyin.
4A=5B4A = 5B eşitliğinde AA ve BB birer rakam ve iki basamaklı sayıların başındaki rakamlar olduklarından sıfırdan farklıdır. Bu durumda tek seçenek A=5A = 5 ve B=4B = 4 olmasıdır.
Aralarında asal katsayılara sahip olan bu eşitliği sağlayan tek haneli pozitif tam sayı değerlerini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle çözülmesi.
Soru 11Soru →

Rakamları birbirinden farklı, üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının yüzler ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde elde edilen üç basamaklı sayı, ABCABC sayısından 297297 eksiktir. Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları toplamı bir çift sayı olan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Koşulları sağlayan 2424 farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir.
Basamak çözümlemesi uygulandığında 99(A−C)=29799(A-C) = 297 yani A−C=3A-C=3 eşitliği elde edilir. Sayıların üç basamaklı olma şartından AA ve CC sıfır olamaz, bu da bize 6 adet (A,C)(A,C) ikilisi verir. A−CA-C tek sayı olduğundan A+CA+C toplamı daima tektir. Rakamlar toplamının çift olması için BB tek sayı olmalıdır. Rakamları farklılık kuralından dolayı BB rakamı, AA veya CC için seçilen tek rakamı alamaz. Bu durumda her ikili için BB rakamı 4 farklı değer alabilir ve toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı sayı oluşturulur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve CBACBA sayılarının çözümlemesini yaparak aralarındaki farkı ifade ediniz.
ABC−CBA=99(A−C)=297⇒A−C=3ABC - CBA = 99(A - C) = 297 \Rightarrow A - C = 3 bulunur.
Yüzler ve birler basamağı yer değiştirdiğinde sayının değerinin 297297 azaldığı belirtilmiştir.
2
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılar olduğu için AA ve CC rakamlarının alabileceği değer ikililerini belirleyiniz.
(A,C)(A, C) ikilileri (4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),(9,6)(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6) olmak üzere 6 farklı değer alabilir.
Sayıların üç basamaklı olabilmesi için A≠0A \neq 0 ve C≠0C \neq 0 olmalıdır.
3
Rakamlar toplamının çift olması koşulunu analiz ederek BB rakamının türünü belirleyiniz.
A+B+CA + B + C toplamının çift sayı olabilmesi için BB rakamı tek sayı olmalıdır.
A−C=3A - C = 3 olduğundan AA ve CC rakamlarının biri tek diğeri çifttir. Dolayısıyla A+CA + C toplamı daima tek bir sayıdır. Toplamın çift olması için BB rakamının tek sayı olması gerekir.
4
Rakamların birbirinden farklı olma koşulunu da dikkate alarak yazılabilecek tüm ABCABC sayılarını hesaplayınız.
Her (A,C)(A, C) ikilisi için BB yerine yazılabilecek 4 farklı tek rakam bulunmaktadır. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı sayı yazılabilir.
Normalde 5 farklı tek rakam {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} vardır. Ancak her (A,C)(A, C) ikilisinde rakamlardan biri tek olduğundan, BB rakamı bu tek rakama eşit olamaz. Bu nedenle her ikili için BB rakamı 4 farklı değer alabilir.

Anahtar Kavram

Basamak Çözümleme ve Koşullu Sayı Oluşturma
Soru 12Soru →

Bir öğrenci, defterine yazdığı iki basamaklı bir doğal sayının onlar basamağındaki rakamı 3 artırıp, birler basamağındaki rakamı 4 azaltarak yeni bir sayı elde etmiştir.

Buna göre, son durumda elde edilen yeni sayı ilk sayıdan kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Yeni sayı ilk sayıdan 26 fazladır.
Onlar basamağındaki 3 birimlik artış sayı değerini 3×10=303 \times 10 = 30 artırırken, birler basamağındaki 4 birimlik azalış sayı değerini 4×1=44 \times 1 = 4 azaltır. Bu durumda net değişim 30−4=2630 - 4 = 26 artış şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk sayıyı basamak değerlerini kullanarak sembolik olarak ifade etme
Sayı 10A+B10A + B olarak yazılır.
Onlar basamağındaki rakamın basamak değeri 10, birler basamağındaki rakamın basamak değeri 1'dir.
2
Basamaklardaki değişimlerin sayı değerine etkisini hesaplama
Onlar basamağındaki 3 artış sayıyı 30 artırır; birler basamağındaki 4 azalış sayıyı 4 azaltır.
Her basamaktaki rakam değişimi, ilgili basamağın basamak değeri ile çarpılarak sayının değerindeki toplam değişime yansır.
3
Toplam net değişimi belirleme
Net değişim +30−4=+26+30 - 4 = +26 olarak bulunur.
Artış ve azalış miktarları toplanarak net sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir sayının basamaklarındaki rakamların değişmesi durumunda, sayının değerindeki toplam değişim, her basamaktaki rakamın değişim miktarı ile o basamağın basamak değerinin çarpımlarının toplamına eşittir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 13Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamlarının çarpımının 2 katı ile onlar basamağındaki rakamın 4 katının toplamına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABAB sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Koşulu sağlayan iki basamaklı sayılar 16 ve 24 olup, bu sayıların toplamı 40'tır.
Çözümleme adımları takip edildiğinde denklemi sağlayan iki basamaklı sayılar yalnızca 16 ve 24 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı ise 40 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB doğal sayısı için basamak çözümlemesi yapılır.
AB=10A+BAB = 10A + B ifadesi elde edilir.
Sayının basamak değerlerini matematiksel eşitliğe dökmek amacıyla bu çözümleme yapılır.
2
Soruda verilen koşul denklem şeklinde yazılır.
10A+B=2AB+4A10A + B = 2AB + 4A denklemi kurulur.
Sayının kendisinin, rakamlar çarpımının 2 katı ile onlar basamağının 4 katının toplamına eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Elde edilen denklem düzenlenerek sadeleştirilir.
6A+B=2AB6A + B = 2AB haline getirilir.
Denklemin her iki tarafından 4A4A ifadesi çıkarılarak daha sade bir form elde edilir.
4
Denklem 2A2A ifadesini yalnız bırakacak şekilde düzenlenir.
B=2AB−6A  ⟹  B=2A(B−3)  ⟹  2A=BB−3B = 2AB - 6A \implies B = 2A(B - 3) \implies 2A = \frac{B}{B - 3} eşitliği elde edilir.
AA ve BB değişkenlerinin alabileceği rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için değişkenler ayrıştırılır.
5
2A2A ifadesinin tam sayı olması ve A,BA, B değerlerinin rakam olması koşulu kullanılarak değer analizi yapılır.
B−3B - 3 ifadesi 3 sayısının pozitif bir böleni olmalıdır. Buradan B−3=1  ⟹  B=4B - 3 = 1 \implies B = 4 için A=2A = 2 (AB=24AB = 24) ve B−3=3  ⟹  B=6B - 3 = 3 \implies B = 6 için A=1A = 1 (AB=16AB = 16) bulunur.
AA ve BB birer rakamdır. Ayrıca ABAB iki basamaklı sayı olduğundan A≠0A \neq 0 olmalıdır. Negatif bölen durumlarında AA değeri negatif veya sıfır çıktığı için elenir.
6
Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı hesaplanır.
16+24=4016 + 24 = 40 bulunur.
Soru kökünde bizden istenen durum tüm olası sayıların toplamını bulmaktır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam kısıtlamalarına göre değer analizi yapılması.
Soru 14Soru →

Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden tahtaya yazdığı üç basamaklı ABCABC doğal sayısını 1515 ile çarpmalarını istemiştir. Sınıftaki öğrencilerden biri, bu sayının onlar basamağındaki rakamı 22 fazla, birler basamağındaki rakamı ise 66 eksik görerek çarpma işlemini yapmış ve hatalı bir sonuç elde etmiştir.

Buna göre, öğrencinin bulduğu hatalı sonuç ile doğru sonuç arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 210

Cevap

Hatalı sonuç ile doğru sonuç arasındaki fark 210'dur.
Onlar basamağındaki rakamın 2 artırılması sayıyı 20 artırır, birler basamağındaki rakamın 6 azaltılması ise sayıyı 6 azaltır. Böylece sayı net olarak 14 artmış olur. Sayı 15 ile çarpılacağı için elde edilen hatalı sonuç ile doğru sonuç arasındaki fark 14×15=21014 \times 15 = 210 olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Basamaklardaki rakamların değişmesinin sayının değerine etkisini hesaplayınız.
Onlar basamağındaki rakamın 2 artırılması sayının değerini 2×10=202 \times 10 = 20 artırır. Birler basamağındaki rakamın 6 azaltılması ise sayının değerini 6×1=66 \times 1 = 6 azaltır.
Bir sayının basamağındaki rakamın değişmesi, sayının değerini o basamağın değeri ile rakamın değişim miktarının çarpımı kadar etkiler.
2
Sayının net değişim miktarını belirleyiniz.
Net değişim =20−6=+14= 20 - 6 = +14 olur. Yani sayının değeri 14 artmıştır.
Artış ve azalış miktarları birleştirilerek sayının son durumdaki toplam değişimi bulunur.
3
Bu değişimin 15 ile çarpım sonucuna etkisini hesaplayınız.
Sonuçtaki fark =14×15=210= 14 \times 15 = 210 olur.
Çarpım durumundaki bir ifadede çarpanlardan biri ne kadar değişirse, sonuç da o değişimin diğer çarpanla çarpımı kadar değişir.

Anahtar Kavram

Basamak değeri ve çözümleme prensipleri kullanılarak bir sayıdaki basamak değişimlerinin çarpım sonucuna etkisini hesaplama.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →

Rakamları sıfırdan farklı, iki basamaklı bir ABAB doğal sayısı için onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakam yer değiştirdiğinde sayının değeri 27 azalmaktadır.

Buna göre, A+BA + B toplamının alabileceği en küçük değer kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük toplam 5 değeridir.
İki basamaklı sayıların çözümlenmesi yapıldığında basamaklar farkı A−B=3A - B = 3 olarak bulunur. Rakamları sıfırdan farklı olan en küçük iki basamaklı ABAB sayısı için B=1B = 1 ve A=4A = 4 seçilir. Bu durumda rakamlar toplamı en az 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak çözümlemesi kurallarına göre açınız.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A olarak yazılır.
Sayıların basamak değerlerini cebirsel olarak ifade edebilmek için.
2
Sayının değerinin 27 azaldığını belirten denklemi kurarak AA ile BB rakamları arasındaki ilişkiyi bulunuz.
AB−BA=27⇒(10A+B)−(10B+A)=27⇒9(A−B)=27⇒A−B=3AB - BA = 27 \Rightarrow (10A + B) - (10B + A) = 27 \Rightarrow 9(A - B) = 27 \Rightarrow A - B = 3 elde edilir.
Onlar ve birler basamakları arasındaki farkı belirlemek için.
3
Rakamları sıfırdan farklı koşuluna uygun olarak A−B=3A - B = 3 eşitliğini sağlayan ve A+BA + B toplamını en küçük yapan AA ve BB rakamlarını bulunuz.
B=1B = 1 ve A=4A = 4 seçilir. Buradan en küçük toplam A+B=4+1=5A + B = 4 + 1 = 5 olur.
Soruda istenen en küçük toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak değerlerinin farkı ilişkisinin incelenmesi.
Soru 16Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının birler basamağındaki rakam silinip bu rakam sayının soluna eklendiğinde elde edilen üç basamaklı sayı CABCAB olmaktadır.

ABC−CAB=270ABC - CAB = 270

olduğuna göre, bu koşulu sağlayan üç basamaklı tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4131

Cevap

Koşulu sağlayan ��ç basamaklı tüm ABCABC sayılarının toplamı 4131'dir.
Verilen ABCABC ve CABCAB sayıları çözümlendiğinde 100A+10B+C−(100C+10A+B)=270  ⟹  90A+9B−99C=270100A + 10B + C - (100C + 10A + B) = 270 \implies 90A + 9B - 99C = 270 eşitliği elde edilir. Bu denklemi 9 ile sadeleştirdiğimizde 10A+B−11C=3010A + B - 11C = 30 olur. Burada 10A+B10A + B ifadesi iki basamaklı ABAB sayısını ifade ettiği için AB=11C+30AB = 11C + 30 yazabiliriz. CABCAB üç basamaklı bir sayı olduğundan C≥1C \ge 1 olmalıdır. Ayrıca AA ve BB birer rakam olduğu için A=C+3≤9  ⟹  C≤6A = C+3 \le 9 \implies C \le 6 olur. Bu durumda CC için 1, 2, 3, 4, 5, 6 değerleri verilebilir. Buna göre elde edilen ABCABC sayıları 411, 522, 633, 744, 855, 966'dır. Bu sayıların toplamı ise 411+522+633+744+855+966=4131411 + 522 + 633 + 744 + 855 + 966 = 4131 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayılarda çözümleme işlemini uygulayarak denklemi oluşturma.
90A+9B−99C=27090A + 9B - 99C = 270 eşitliği elde edilir.
Sayıların basamak değerlerine göre çözümlenmesi, aralarındaki farkı basitleştirmemizi sağlar.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirme.
10A+B−11C=3010A + B - 11C = 30 veya iki basamaklı sayı formunda AB−11C=30AB - 11C = 30 elde edilir.
Her terim 9'un katı olduğundan denklemin her iki tarafı da 9'a bölünerek daha sade bir biçim elde edilir.
3
CC rakamına değerler vererek ABAB iki basamaklı sayısını ve dolayısıyla A,B,CA, B, C rakamlarını belirleme.
CC değerleri 1'den 6'ya kadar değişirken ABCABC sayıları sırasıyla 411, 522, 633, 744, 855, 966 olarak bulunur.
C≥1C \ge 1 olmalıdır çünkü CABCAB üç basamaklı bir sayıdır. Ayrıca AA ve BB birer rakam olmak zorunda olduğundan A=C+3≤9  ⟹  C≤6A = C+3 \le 9 \implies C \le 6 sınırlandırması bulunur.
4
Bulunan tüm ABCABC sayılarının toplamını hesaplama.
411+522+633+744+855+966=4131411 + 522 + 633 + 744 + 855 + 966 = 4131 bulunur.
Soruda bizden bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Çözümleme yöntemi kullanılarak basamak analizinin yapılması ve rakam olma şartlarına göre değer verilmesi.
Soru 17Soru →
Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı ile iki basamaklı ABAB, BCBC ve ACAC doğal sayıları için,
ABC=4⋅(AB+BC)+5⋅ACABC = 4 \cdot (AB + BC) + 5 \cdot AC
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplam�� kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1429

Cevap

1429
Çözümleme yapıldığında elde edilen denklem 5A=17B+4C5A = 17B + 4C şeklindedir. İki basamaklı sayı koşullarından dolayı B≠0B \neq 0 olmalıdır. Bu koşullara uygun olarak denklemi sağlayan değerler sadece ABC=512ABC = 512 ve ABC=917ABC = 917 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 14291429 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıları basamak çözümlemesi kullanarak açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
AB=10A+BAB = 10A + B
BC=10B+CBC = 10B + C
AC=10A+CAC = 10A + C
Çözümleme yaparak sayılar arasındaki ilişkileri daha basit bir cebirsel denklem biçimine getirmek.
2
Çözümlenmiş ifadeleri denklemde yerine koyalım ve denklemi düzenleyelim.
100A+10B+C=4⋅((10A+B)+(10B+C))+5⋅(10A+C)100A + 10B + C = 4 \cdot ((10A + B) + (10B + C)) + 5 \cdot (10A + C)
100A+10B+C=4⋅(10A+11B+C)+50A+5C100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + 11B + C) + 50A + 5C
100A+10B+C=40A+44B+4C+50A+5C100A + 10B + C = 40A + 44B + 4C + 50A + 5C
100A+10B+C=90A+44B+9C100A + 10B + C = 90A + 44B + 9C
10A−34B−8C=010A - 34B - 8C = 0
Eşitliğin her iki tarafındaki terimleri bir araya getirerek sade bir bağıntı elde etmek.
3
Elde edilen denklemi sadeleştirip basamak sınırlarını belirleyelim.
5A=17B+4C5A = 17B + 4C

Sayıların basamak yapısından dolayı:
- A∈{1,2,…,9}A \in \{1, 2, \dots, 9\}
- ABAB, BCBC ve ACAC iki basamaklı sayılar olduğu için A≠0A \neq 0 ve B≠0B \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla B∈{1,2,…,9}B \in \{1, 2, \dots, 9\} ve C∈{0,1,…,9}C \in \{0, 1, \dots, 9\} olmalıdır.
Bilinmeyenlerin alabileceği değer aralıklarını tanımlayarak deneme yanılma sürecini daraltmak.
4
BB rakamına göre olası durumları inceleyelim.
Eğer B≥3B \ge 3 ise 17B≥5117B \ge 51 olur. Ancak A≤9A \le 9 olduğundan 5A≤455A \le 45'tir. Dolayısıyla B≥3B \ge 3 için çözüm yoktur.

B=1B = 1 için:
5A=17+4C  ⟹  4C=5A−175A = 17 + 4C \implies 4C = 5A - 17
5A−175A - 17 ifadesinin 4'ün katı olması gerekir. Bu şartı sağlayan AA rakamları:
- A=5  ⟹  4C=8  ⟹  C=2A = 5 \implies 4C = 8 \implies C = 2 (Geçerli rakamlar: A=5,B=1,C=2  ⟹  ABC=512A=5, B=1, C=2 \implies ABC = 512)
- A=9  ⟹  4C=28  ⟹  C=7A = 9 \implies 4C = 28 \implies C = 7 (Geçerli rakamlar: A=9,B=1,C=7  ⟹  ABC=917A=9, B=1, C=7 \implies ABC = 917)

B=2B = 2 için:
5A=34+4C  ⟹  4C=5A−345A = 34 + 4C \implies 4C = 5A - 34
5A−345A - 34 ifadesinin 4'ün katı olması gerekir. A∈{7,8,9}A \in \{7, 8, 9\} için denediğimizde:
- A=7  ⟹  4C=1A = 7 \implies 4C = 1 (Çözüm yok)
- A=8  ⟹  4C=6A = 8 \implies 4C = 6 (Çözüm yok)
- A=9  ⟹  4C=11A = 9 \implies 4C = 11 (Çözüm yok)
Rakam kısıtlamalarını kullanarak denklemi sağlayan tüm geçerli (A,B,C)(A, B, C) üçlülerini bulmak.
5
Bulunan geçerli sayıların toplamını hesaplayalım.
Geçerli ABCABC sayıları 512512 ve 917917'dir.
512+917=1429512 + 917 = 1429
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Soru 18Soru →
Üç basamaklı ABCABC ve BCABCA doğal sayıları için,
ABC−BCA=378ABC - BCA = 378
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısı 957 olup, rakamları toplamı 21'dir.
Verilen denklem çözümlenip sadeleştirildiğinde 11A−C=10B+4211A - C = 10B + 42 eşitliğine ulaşılır. En büyük ABCABC sayısını oluşturabilmek için en büyük yüzler basamağı rakamı olan A=9A=9 seçilir. Buradan 99−C=10B+42  ⟹  57−C=10B99 - C = 10B + 42 \implies 57 - C = 10B bulunur. CC bir rakam olduğundan bu eşitliği sağlayan tek değer C=7C=7 ve B=5B=5 olur. Böylece elde edilen en büyük ABCABC sayısı 957'dir. Bu sayının rakamları toplamı ise 9+5+7=219 + 5 + 7 = 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve BCABCA sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle açın.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve BCA=100B+10C+ABCA = 100B + 10C + A
Sayı basamakları arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek için çözümleme yapılması gerekir.
2
Çözümlenmiş ifadeleri ABC−BCA=378ABC - BCA = 378 denkleminde yerine yazıp sadeleştirin.
99A−90B−9C=378  ⟹  11A−10B−C=4299A - 90B - 9C = 378 \implies 11A - 10B - C = 42
Denklemi 9 ile bölerek daha sade ve analiz edilmesi kolay bir eşitlik elde etmek için.
3
Elde edilen 11A−C=10B+4211A - C = 10B + 42 denklemini sağlayan A,B,CA, B, C rakam değerlerini bulun.
BB değeri 1'den 5'e kadar değer alabilir. En büyük ABCABC sayısını bulmak için en büyük yüzler basamağı olan A=9A=9 değeri seçildiğinde B=5B=5 ve C=7C=7 olur.
BCABCA üç basamaklı sayı olduğu için BB sıfır olamaz. En büyük ABCABC sayısını bulmak amacıyla yüzler basamağındaki AA rakamını en büyük seçmeye çalışırız.
4
En büyük ABCABC sayısı olan 957 sayısının rakamları toplamını hesaplayın.
9+5+7=219 + 5 + 7 = 21
Soruda en büyük sayının rakamları toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenerek kısıtlı değişkenlere göre değer analizi yapılması.
Soru 19Soru →
İki basamaklı AAAA, BBBB ve ABAB doğal sayıları için,
AA+BB−AB=84AA + BB - AB = 84
eşitliği veriliyor.

Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Rakamların çarpımı olan A⋅BA \cdot B ifadesinin değeri 32'dir.
Verilen iki basamaklı sayıların çözümlenmiş halleri denklemde yerine yazıldığında 10B+A=8410B + A = 84 elde edilir. Bu ifade iki basamaklı BABA sayısının çözümlenmiş halidir. Dolayısıyla BA=84BA = 84 eşitliğinden B=8B = 8 ve A=4A = 4 bulunur. Buradan rakamların çarpımı A⋅B=32A \cdot B = 32 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AA=11AAA = 11A, BB=11BBB = 11B ve AB=10A+BAB = 10A + B ifadeleri elde edilir.
İki basamaklı sayıların basamak analizi kurallarına göre çözümlenmesi için.
2
Elde edilen çözümlenmiş ifadeleri verilen denklemde yerine yazıp benzer terimleri sadeleştirelim.
11A+11B−(10A+B)=84  ⟹  A+10B=8411A + 11B - (10A + B) = 84 \implies A + 10B = 84 denklemi bulunur.
Denklemi sade bir hale getirerek AA ve BB arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
AA ve BB birer rakam olduğundan basamak çözümlemesi mantığıyla değerlerini belirleyelim.
B=8B = 8 ve A=4A = 4 olarak bulunur.
10B+A10B + A ifadesi, onlar basamağı BB, birler basamağı AA olan iki basamaklı BABA sayısının açılımıdır. Buradan BA=84BA = 84 olmalıdır.
4
A⋅BA \cdot B çarpımını hesaplayalım.
4⋅8=324 \cdot 8 = 32 sonucuna ulaşılır.
Soruda bizden istenen rakamların çarpım değerini bulmaktır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenmesi.
Soru 20Soru →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının farklı iki basamağındaki rakamlar seçilerek yazılabilecek tüm iki basamaklı doğal sayıların toplamı S(ABC)S(ABC) ile gösterilmektedir.

Örneğin;
S(123)=12+13+21+23+31+32=132S(123) = 12 + 13 + 21 + 23 + 31 + 32 = 132
olmaktadır.
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan bir ABCABC doğal sayısı için
ABC=S(ABC)+123ABC = S(ABC) + 123
eşitliği sağlandığına göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Koşulu sağlayan üç basamaklı sayı 475'tir ve bu sayının rakamları toplamı 16'dır.
Verilen koşullara göre çözümlenen denklemde A=4A=4, B=7B=7 ve C=5C=5 değerleri tek geçerli çözümdür. Rakamlar toplamı 4+7+5=164+7+5=16 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen S(ABC)S(ABC) fonksiyonunun tanımına göre iki basamaklı sayıların toplamını çözümleyerek ifade ediniz.
S(ABC)=22(A+B+C)S(ABC) = 22(A + B + C) elde edilir.
S(ABC)S(ABC) toplamındaki her bir rakam onlar basamağında 2 kez ve birler basamağında 2 kez yer alır. Bu da her bir rakam için 2×10+2×1=222 \times 10 + 2 \times 1 = 22 çarpanı getirir.
2
Verilen ABC=S(ABC)+123ABC = S(ABC) + 123 eşitliğinde sayıları basamak değerlerine göre açarak yerine yazınız ve denklemi sadeleştiriniz.
26A=4B+7C+4126A = 4B + 7C + 41 denklemi elde edilir.
100A+10B+C=22(A+B+C)+123100A + 10B + C = 22(A + B + C) + 123 denklemi düzenlendiğinde 78A−12B−21C=12378A - 12B - 21C = 123 olur. Her iki taraf 3 ile bölündüğünde sadeleşmiş denklem elde edilir.
3
26A=4B+7C+4126A = 4B + 7C + 41 denkleminde AA rakamı için olası değerleri sınırlandırarak analiz ediniz.
AA rakamı yalnızca 44 değerini alabilir.
B,C≤9B, C \leq 9 olduğundan sağ tarafın en büyük değeri 4(8)+7(9)+41=1364(8) + 7(9) + 41 = 136 (farklı rakamlar için) olur, bu da A≤5A \leq 5 olmasını gerektirir. A<4A < 4 için ise sol taraf çok küçük kalır veya tam sayı çözümü vermez. Modulo aritmetiği ve teklik-çiftlik incelemesiyle A=4A=4 olduğu belirlenir.
4
A=4A = 4 için 4B+7C=634B + 7C = 63 denkleminin sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlarla olan çözümünü bulunuz.
B=7B = 7 ve C=5C = 5 olarak bulunur.
CC tek sayı olmalıdır. C=5C=5 için 4B=28  ⟹  B=74B = 28 \implies B=7 bulunur. Diğer durumlarda rakam olma veya sıfırdan farklı olma koşulları sağlanmaz.
5
Bulunan A=4A=4, B=7B=7 ve C=5C=5 değerlerinin toplamını hesaplayınız.
A+B+C=16A + B + C = 16 bulunur.
Soruda ABCABC sayısının rakamları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı basamaklarının çözümlenmesi ve verilen kısıtlar altında değer aralığı analizi ile denklem çözümü.
Sayfa 1 / 4Sonraki