Examkin

Sayı Kümeleri

114 soru

Tüm türler114Çoktan seçmeli57Sayısal57
Soru 81Soru →

Bir sayı doğrusu üzerindeki bazı noktalar işaretlenerek bir KK kümesi oluşturuluyor:

K={−6; −94; −2; 0; 153; 17}K = \left\{ -6;\, -\frac{9}{4};\, -\sqrt{2};\, 0;\, \frac{15}{3};\, \sqrt{17} \right\}

Bu kümenin elemanlarından;

- Doğal sayı olanların sayısı aa,
- Rasyonel sayı olanların sayısı bb,
- Gerçel (reel) sayı olup rasyonel sayı olmayanların sayısı cc

olarak belirleniyor.

Buna göre, a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru cevap 6'dır.
Kümedeki doğal sayılar 00 ve 153=5\frac{15}{3} = 5 olmak üzere 2 tanedir (a=2a=2). Rasyonel sayılar −6-6, −94-\frac{9}{4}, 00 ve 55 olmak üzere 4 tanedir (b=4b=4). İrrasyonel sayılar −2-\sqrt{2} ve 17\sqrt{17} olmak üzere 2 tanedir (c=2c=2). Bu değerlerle yapılan a⋅b−ca \cdot b - c işlemi 2⋅4−2=62 \cdot 4 - 2 = 6 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümelerindeki yerini belirlemek.
−6∈Z⊂Q-6 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}, −94∈Q-\frac{9}{4} \in \mathbb{Q}, −2∈Q′-\sqrt{2} \in \mathbb{Q}', 0∈N⊂Q0 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}, 153=5∈N⊂Q\frac{15}{3} = 5 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}, 17∈Q′.\sqrt{17} \in \mathbb{Q}'.
Soruda istenen aa, bb ve cc değerlerini bulabilmek için küme elemanlarının özelliklerini analiz etmeliyiz.
2
Doğal sayı olan elemanları seçip adetlerini (aa) belirlemek.
Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\} şeklindedir. Kümedeki doğal sayılar 00 ve 55 (yani 153\frac{15}{3}) olup a=2a = 2 bulunur.
Sıfırın ve tam sayıya sadeleşen kesirlerin doğal sayı olduğunu doğrulamak.
3
Rasyonel sayı olan elemanları seçip adetlerini (bb) belirlemek.
Rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q}, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Kümedeki rasyonel sayılar −6-6, −94-\frac{9}{4}, 00 ve 153=5\frac{15}{3} = 5 olup b=4b = 4 bulunur.
Tam sayıların ve ondalıklı/kesirli ifadelerin rasyonel sayı olduğunu saptamak.
4
İrrasyonel (rasyonel olmayan gerçel) sayı olan elemanları seçip adetlerini (cc) belirlemek.
Rasyonel olmayan gerçel sayılar irrasyonel sayılardır (Q′\mathbb{Q}'). Kümedeki irrasyonel sayılar −2-\sqrt{2} ve 17\sqrt{17} olup c=2c = 2 bulunur.
Kök dışına tam çıkamayan gerçel sayıların irrasyonel olduğunu belirlemek.
5
a⋅b−ca \cdot b - c ifadesini hesaplamak.
2⋅4−2=62 \cdot 4 - 2 = 6 elde edilir.
Bulunan a=2a = 2, b=4b = 4 ve c=2c = 2 değerlerini soruda istenen denklemde yerine yazmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımı ve elemanlarının bu kümeler bazında sınıflandırılması (Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, İrrasyonel Sayılar ve Gerçel Sayılar).
Soru 82Soru →

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
* a+ba + b rasyonel sayıdır.
* a⋅ca \cdot c irrasyonel sayıdır.
* b⋅cb \cdot c rasyonel sayıdır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre;
I. aa irrasyonel sayıdır.
II. cc irrasyonel sayıdır.
III. a⋅ba \cdot b rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur. Verilen koşullarda c sayısının rasyonel olduğu kabul edilirse a, b ve a * c sayılarının tamamının rasyonel olması gerektiği çelişkisine ulaşılır. Bu yüzden c ve dolayısıyla b ile a sayıları da irrasyonel olmak zorundadır. Ancak toplamları rasyonel olan iki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel de irrasyonel de olabileceğinden üçüncü ifade her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
c sayısın��n rasyonel veya irrasyonel olma durumu çelişki yöntemiyle incelenir.
c sayısı rasyonel olsaydı, b * c rasyonel ve c sıfırdan farklı olduğundan b = (b * c) / c ifadesi de iki rasyonel sayının bölümü olarak rasyonel olmak zorundaydı. b rasyonel olduğunda, a + b rasyonel olduğundan a = (a + b) - b farkı da rasyonel olurdu. Bu durumda iki rasyonel sayının çarpımı olan a * c de rasyonel olurdu, fakat a * c'nin irrasyonel olduğu verilmiştir. Dolayısıyla c kesinlikle irrasyoneldir.
c sayısının kümesini belirlemek için rasyonel olduğu varsayılarak çelişki aranır.
2
b sayısının rasyonel veya irrasyonel olma durumu incelenir.
b sayısı rasyonel olsaydı, sıfırdan farklı b rasyonel sayısı ile irrasyonel c sayısının çarpımı olan b * c irrasyonel olmak zorundaydı. Ancak b * c'nin rasyonel olduğu verilmiştir. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla b kesinlikle irrasyoneldir.
c'nin irrasyonel olduğu bilgisi kullanılarak b'nin kümesi belirlenir.
3
a sayısının rasyonel veya irrasyonel olma durumu incelenir.
b irrasyonel bir sayı ve a + b = q (q rasyonel) olduğuna göre, a = q - b olur. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının farkı irrasyonel olduğundan, a kesinlikle irrasyoneldir.
b'nin irrasyonelliği kullanılarak a'nın kümesi belirlenir.
4
a * b çarpımının rasyonellik durumu karşıt örneklerle test edilir.
a ve b irrasyonel sayılar olduğunda a * b çarpımı her zaman rasyonel olmak zorunda değildir. Örneğin, a = 3 - sqrt(2) ve b = sqrt(2) alındığında a + b = 3 (rasyonel), c = sqrt(2) için b * c = 2 (rasyonel), a * c = 3*sqrt(2) - 2 (irrasyonel) sağlanır fakat a * b = 3*sqrt(2) - 2 (irrasyonel) olur. Öte yandan, a = 1 - sqrt(2) ve b = 1 + sqrt(2) alındığında ise a * b = -1 (rasyonel) olur. Dolayısıyla III. ifade her zaman doğru değildir.
Her zaman doğruluk arandığı için iddiayı çürüten karşıt örnekler analiz edilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Altındaki Kapalılık Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 83Soru →
A={−4,3,0,153,−2.5,1.44,π,−72}A = \left\{ -4, \sqrt{3}, 0, \frac{15}{3}, -2.5, \sqrt{1.44}, \pi, -\frac{7}{2} \right\}

kümesi veriliyor.

Bu kümenin elemanlarından rasyonel sayı olanların sayısı RR, tam sayı olanların sayısı TT ve pozitif olmayan gerçel sayı olanların sayısı PP olarak belirleniyor.

Buna göre, R+T+PR + T + P toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Kümedeki elemanların doğru sınıflandırılması sonucu elde edilen rasyonel sayı adedi R = 6, tam sayı adedi T = 3 ve pozitif olmayan gerçel sayı adedi P = 4 değerlerinin toplamı 13'tür.
Rasyonel sayı adedi 6, tam sayı adedi 3 ve pozitif olmayan gerçel sayı adedi 4 olarak hesaplanır. Bu üç değer toplandığında 13 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın rasyonel sayı olup olmadığını belirleme
Rasyonel sayılar kümesi (Q) elemanları: -4, 0, \frac{15}{3} (5), -2.5, \sqrt{1.44} (1.2) ve -\frac{7}{2}. Toplam R = 6 eleman.
Soruda istenen rasyonel sayı adedini (R) doğru tespit etmek için.
2
Kümedeki elemanların tam sayı olma durumlarını inceleme
Tam sayılar kümesi (Z) elemanları: -4, 0 ve \frac{15}{3} = 5. Toplam T = 3 eleman.
Tam sayı adedini (T) bulmak için. Kesirli olarak gösterilen \frac{15}{3} ifadesinin sadeleşerek 5 tam sayısına eşit olduğuna dikkat edilir.
3
Pozitif olmayan gerçel sayıları belirleme
Pozitif olmayan gerçel sayılar (sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olanlar): -4, 0, -2.5 ve -\frac{7}{2}. Toplam P = 4 eleman.
Pozitif olmayan gerçel sayı adedini (P) bulmak için. Sıfır (0) sayısının işareti olmamakla birlikte pozitif olmadığı unutulmamalıdır.
4
Bulunan değerleri toplama
R + T + P = 6 + 3 + 4 = 13
Soruda bizden istenen toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) arasındaki farklar ve gerçel sayıların işaret özellikleri (pozitiflik, negatiflik ve sıfırın durumu).
Soru 84Soru →

Sayı kümeleri arasındaki ilişkileri inceleyen bir öğrenci; Doğal sayılar (N\mathbb{N}), Tam sayılar (Z\mathbb{Z}), Rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}) ve Gerçel sayılar (R\mathbb{R}) kümelerinden birer eleman seçerek a∈Na \in \mathbb{N}, b∈Z∖Nb \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}, c∈Q∖Zc \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ve d∈R∖Qd \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} sayılarını belirliyor.

Buna göre,
I. a+ba + b negatif bir tam sayı olabilir.
II. b⋅cb \cdot c bir doğal sayı olabilir.
III. c+dc + d bir rasyonel sayı olabilir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Doğru cevap 'I ve II' ifadesidir. Doğal sayı olan aa ile negatif tam sayı olan bb için a=1,b=−2a=1, b=-2 seçilerek toplamın negatif tam sayı (1−2=−11 - 2 = -1) olabileceği görülür. Negatif tam sayı olan bb ile tam sayı olmayan rasyonel sayı olan cc için b=−2,c=−1/2b=-2, c=-1/2 seçilerek çarpımın bir doğal sayı (−2⋅(−1/2)=1-2 \cdot (-1/2) = 1) olabileceği doğrulanır. Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı ise daima irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin ait olduğu sayı kümelerini belirlemek.
aa doğal sayıdır (a≥0a \ge 0 ve tam sayı), bb negatif tam sayıdır (b≤−1b \le -1 ve tam sayı), cc tam sayı olmayan rasyonel sayıdır (örneğin kesirli sayılar), dd ise irrasyonel sayıdır.
Öncülleri doğru yorumlamak amacıyla değişkenlerin değer aralıklarını ve sayı türlerini tanımlamak gerekir.
2
Birinci öncülü (a+ba + b) incelemek.
a=1∈Na = 1 \in \mathbb{N} ve b=−2∈Z∖Nb = -2 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} seçilirse, a+b=1+(−2)=−1a + b = 1 + (-2) = -1 olur. −1-1 bir negatif tam sayı olduğu için bu öncül doğrudur.
Toplama işleminin sonucunun negatif bir tam sayı olup olamayacağını örnek değerlerle doğrulamak.
3
İkinci öncülü (b⋅cb \cdot c) incelemek.
b=−2∈Z∖Nb = -2 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} ve c=−1/2∈Q∖Zc = -1/2 \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} seçilirse, b⋅c=(−2)⋅(−1/2)=1b \cdot c = (-2) \cdot (-1/2) = 1 olur. 11 bir doğal sayı olduğu için bu öncül doğrudur.
Çarpma işleminin sonucunun bir doğal sayı olabileceğini örnek değerlerle doğrulamak.
4
Üçüncü öncülü (c+dc + d) incelemek.
cc rasyonel, dd irrasyonel bir sayıdır. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir, hiçbir zaman rasyonel olamaz. Bu nedenle bu öncül yanlıştır.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların kapalılık ve toplama özelliklerini analiz etmek.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları, alt kümeleri ve rasyonel/irrasyonel sayılarda işlemler
Soru 85Soru →
xx ve yy gerçel sayılardır.
x⋅y=12x \cdot y = 12
olduğuna göre, x+yx + y toplamının [−10,10][-10, 10] kapalı aralığındaki bir tam sayıya eşit olduğu ve xx sayısının rasyonel olmadığı biliniyor.
Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen şartları sağlayan x + y toplamının alabileceği 4 farklı değer vardır.
Verilen x ve y sayılarının çarpımı 12 ve toplamları k olsun. Bu durumda x ve y, t^2 - kt + 12 = 0 denkleminin kökleridir. Köklerin gerçel sayı olması için Delta = k^2 - 48 >= 0 olmalıdır. Buradan |k| >= 7 elde edilir. [-10, 10] aralığındaki k tam sayıları {-10, -9, -8, -7, 7, 8, 9, 10} olur. x'in rasyonel olmaması (yani irrasyonel olması) için Delta = k^2 - 48 ifadesi bir tam kare olmamalıdır. k = +-7 için Delta = 1 (1'in karesi) ve k = +-8 için Delta = 16 (4'ün karesi) olup kökler rasyonel çıkar. k = +-9 için Delta = 33 ve k = +-10 için Delta = 52 tam kare olmadığından kökler irrasyoneldir. Dolayısıyla sağlayan k değerleri {-10, -9, 9, 10} olup toplamda 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
x ve y sayılarının toplamını k kabul edip bu sayıları kök kabul eden ikinci dereceden denklemi kurmak.
t^2 - kt + 12 = 0 denklemi elde edilir.
Köklerin rasyonellik ve reellik durumunu diskriminant üzerinden analiz edebilmek.
2
Köklerin gerçel sayı olması için diskriminant şartını uygulamak.
Delta = k^2 - 48 >= 0 bağıntısından |k| >= 7 elde edilir.
x ve y'nin gerçel sayı olduğu bilgisine uyması için.
3
k tam sayısının [-10, 10] aralığındaki olası değerlerini yazmak.
k elemanıdır {-10, -9, -8, -7, 7, 8, 9, 10} kümesi bulunur.
Tanımlanan aralıktaki tam sayı değerlerini sınırlandırmak.
4
x sayısının rasyonel olmaması için diskriminantın tam kare olmama şartını incelemek.
k = +-7 için Delta = 1 (tam kare), k = +-8 için Delta = 16 (tam kare) olduğundan bu değerler elenir. k = +-9 için Delta = 33 (tam kare değil), k = +-10 için Delta = 52 (tam kare değil) olduğundan bu değerler sağlanır.
Rasyonel olmayan (irrasyonel) gerçel sayı şartını kontrol etmek.
5
Sağlayan değerleri belirleyip saymak.
{-10, -9, 9, 10} olmak üzere 4 farklı değer bulunur.
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri (Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar, Gerçel Sayılar)
Soru 86Soru →

Aşağıda verilen yedi elemanlı AA kümesinin elemanlarından beş tanesi, yan yana bulunan beş kutunun içine her kutuda farklı bir sayı olacak biçimde soldan sağa doğru sırasıyla aa, bb, cc, dd ve ee şeklinde yerleştirilecektir:

A={2,4; −1,4; 13; 53; −3,5; 1,2; 3}A = \left\{ 2,4; \ -1,4; \ \frac{1}{3}; \ \frac{5}{3}; \ -3,5; \ 1,2; \ \sqrt{3} \right\}

Kutulara yerleştirilen bu sayılar aşağıdaki şartları sağlamaktadır:
- a+ba + b toplamı bir tam sayıdır.
- c+dc + d toplamı bir tam sayıdır.
- ee sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre, kutulara yerleştirilmeyen iki sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2.3

Cevap

Kutulara yerleştirilmeyen iki sayının toplamı -2,3'tür.
Kümedeki tek irrasyonel sayı olan 3\sqrt{3} sayısı e kutusuna yerleştirilir. Geriye kalan altı rasyonel sayı içinden toplamları tam sayı olan benzersiz çiftler yalnızca {2,4;−1,4}\{2,4; -1,4\} (toplamı 1) ve {13;53}\{\frac{1}{3}; \frac{5}{3}\} (toplamı 2) olduğundan, bu dört sayı a,b,c,da, b, c, d kutularına yerleşir. Geriye kalan −3,5-3,5 ve 1,21,2 sayılarının toplamı −2,3-2,3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki sayıları sayı kümelerine göre sınıflandırmak
Kümedeki tek irrasyonel sayı 3\sqrt{3}'tür. Diğer sayılar (2,42,4, −1,4-1,4, 13\frac{1}{3}, 53\frac{5}{3}, −3,5-3,5, 1,21,2) rasyonel sayılardır.
ee sayısının irrasyonel olması şartını sağlayan tek seçeneğin belirlenmesi gerekir.
2
Geriye kalan rasyonel sayılar arasından toplamları tam sayı olan çiftleri belirlemek
2,4+(−1,4)=1∈Z2,4 + (-1,4) = 1 \in \mathbb{Z} ve 13+53=63=2∈Z\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2 \in \mathbb{Z} çiftleri bulunur. Diğer hiçbir ikilinin toplamı tam sayı değildir.
a+ba+b ve c+dc+d toplamlarının tam sayı olması şartını sağlayan elemanları seçmek gerekir.
3
Kutulara yerleştirilmeyen sayıları bulup toplamak
Yerleştirilmeyen sayılar −3,5-3,5 ve 1,21,2 olup, toplamları −3,5+1,2=−2,3-3,5 + 1,2 = -2,3 olarak bulunur.
Soruda istenen yerleştirilmeyen iki sayının toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ayırt edilmesi ve sayı kümelerinde toplama işlemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 87Soru →

xx gerçel sayısı için x2+2xx^2 + 2x ifadesinin bir rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. xx bir rasyonel sayıdır.
II. (x+1)2(x+1)^2 bir rasyonel sayıdır.
III. xx irrasyonel sayı ise x2−2xx^2 - 2x de irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur.
İkinci öncüldeki ifade (x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 biçiminde açıldığında, rasyonel olduğu bilinen bir ifadeye rasyonel bir tam sayı olan 1 eklenmektedir. Rasyonel sayılar kümesi toplama işlem altında kapalı olduğu için bu toplam yine bir rasyonel sayıdır. Üçüncü öncülde ise, eğer xx irrasyonel iken x2−2xx^2 - 2x ifadesi rasyonel olsaydı, rasyonel olan x2+2xx^2 + 2x ifadesinden bu ifade çıkarılarak elde edilen 4x4x rasyonel olurdu, bu da xx'in rasyonel olmasını gerektirirdi. Bu bir çelişki oluşturduğundan x2−2xx^2 - 2x kesinlikle irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü incelemek amacıyla karşıt örnek oluşturma.
x2+2x=1x^2 + 2x = 1 denklemi kurulur. Bu denklemin kökleri x=−1±2x = -1 \pm \sqrt{2} olup irrasyoneldir. Dolayısıyla xx rasyonel olmak zorunda değildir.
Bir öncülün kesinlikle doğru olmadığını göstermek için aksine bir örnek bulmak yeterlidir.
2
İkinci öncüldeki ifadeyi cebirsel olarak açma ve rasyonel sayıların özelliklerini kullanma.
(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 yazılır. x2+2xx^2 + 2x rasyonel olduğundan, buna rasyonel bir sayı olan 1 eklendiğinde elde edilen (x+1)2(x+1)^2 de kesinlikle rasyonel olur.
Rasyonel sayıların toplama işlemine göre kapalı olması özelliğini kullanmak.
3
Üçüncü öncül için çelişkiyle kanıt (olmayana ergi) yöntemini uygulama.
x2+2x=qx^2 + 2x = q (rasyonel) ve x2−2x=px^2 - 2x = p (rasyonel olsun). Taraf tarafa çıkarma yapıldığında (x2+2x)−(x2−2x)=q−p  ⟹  4x=q−p  ⟹  x=q−p4(x^2 + 2x) - (x^2 - 2x) = q - p \implies 4x = q - p \implies x = \frac{q-p}{4} elde edilir. Rasyonel sayıların farkı ve bölümü rasyonel olduğundan xx rasyonel olmalıdır. Bu durum xx'in irrasyonel olması varsayımı ile çelişir. Demek ki x2−2xx^2 - 2x rasyonel olamaz, irrasyonel olmalıdır.
İki ifadenin de rasyonel olması durumunda xx'in de rasyonel olmak zorunda kalacağını göstererek çelişki elde etmek.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, kapalılık özelliği ve çelişki yöntemi ile ispat.
Soru 88Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için
x2+y2=8x^2 + y^2 = 8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının bir tam sayı olduğu durumda x+yx + y toplamının alabileceği farklı rasyonel sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

x + y toplamının alabileceği farklı rasyonel sayı değerlerinin sayısı 5'tir.
xx ve yy gerçel sayıları için (x+y)2=8+2xy(x+y)^2 = 8 + 2xy olup, gerçel sayı olma sınırından dolayı −4≤xy≤4-4 \leq xy \leq 4 elde edilir. Bu aralıkta xyxy tam sayısı için 8+2xy8+2xy ifadesini tam kare yapan değerler xy∈{−4,−2,4}xy \in \{-4, -2, 4\} olup, x+yx+y toplamı 0,±2,±40, \pm 2, \pm 4 olmak üzere 5 farklı rasyonel sayı değeri alabilir.

Adım Adım Çözüm

1
x+yx+y toplamının karesini alarak verilen değerleri yerine yerleştirin.
(x+y)2=8+2xy(x+y)^2 = 8 + 2xy eşitliği elde edilir.
x+yx+y toplamı ile xyxy çarpımı arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
xx ve yy sayılarının gerçel sayı olma koşulunu uygulayarak xyxy çarpımının sınırlarını belirleyin.
(x−y)2=8−2xy≥0  ⟹  xy≤4(x-y)^2 = 8 - 2xy \geq 0 \implies xy \leq 4 ve (x+y)2≥0  ⟹  8+2xy≥0  ⟹  xy≥−4(x+y)^2 \geq 0 \implies 8 + 2xy \geq 0 \implies xy \geq -4 olup −4≤xy≤4-4 \leq xy \leq 4 bulunur.
Gerçel sayı kümelerinde çalışıldığı için karelerin negatif olamama kuralını uygulamak.
3
xyxy çarpımının tam sayı koşulunu kullanarak alabileceği tam sayı değerlerini listeleyin.
xy∈{−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}xy \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} olur.
Soruda verilen tam sayı kümesi tanımını uygulamak.
4
x+yx+y toplamını rasyonel yapan xyxy değerlerini tespit edip bu toplamın alabileceği değerleri hesaplayın.
s=x+ys = x+y rasyonel sayısı için s2=8+2xys^2 = 8 + 2xy tam sayı olduğundan 8+2xy8+2xy ifadesinin bir tam kare olması gerekir. Buradan:
- xy=−4  ⟹  s2=0  ⟹  s=0xy = -4 \implies s^2 = 0 \implies s = 0
- xy=−2  ⟹  s2=4  ⟹  s=±2xy = -2 \implies s^2 = 4 \implies s = \pm 2
- xy=4  ⟹  s2=16  ⟹  s=±4xy = 4 \implies s^2 = 16 \implies s = \pm 4
olmak üzere x+yx+y toplamı {−4,−2,0,2,4}\{-4, -2, 0, 2, 4\} kümesindeki 5 farklı rasyonel değeri alabilir.
Rasyonel sayıların karesinin rasyonel olması ve tam sayı katsayılı denklemde tamkarelik koşulunu incelemek.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri (Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, Gerçel Sayılar) ve Tanımlılık Koşulları
Soru 89Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakamdır.

ab\frac{a}{b} ve bc\frac{b}{c} ifadelerinden biri doğal sayı, diğeri ise rasyonel sayı olup tam sayı değildir.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Koşulları sağlayan en büyük toplam değeri 21'dir.
Verilen koşullara uygun olarak en büyük a+b+ca + b + c toplamını elde etmek için rakamlar {9,8,4}\{9, 8, 4\} olarak seçilmelidir. Bu durumda oranlardan biri doğal sayı (22) iken, diğeri tam sayı olmayan bir rasyonel sayı (98\frac{9}{8} veya 49\frac{4}{9}) olmaktadır. Bu rakamların toplamı en fazla 2121 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rakamların değer aralığını ve temel kısıtları belirleme.
aa, bb ve cc sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlar olduğundan, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinden seçilmelidir.
Değişkenlerin alabileceği değer kümesini sınırlandırmak.
2
Oranlardan birinin doğal sayı olmasını sağlayacak şekilde en büyük rakamları seçme.
bb sayısının cc'nin tam katı olması durumunu inceleyelim. Toplamı büyük yapmak için b=8b = 8 ve c=4c = 4 seçildiğinde bc=84=2\frac{b}{c} = \frac{8}{4} = 2 bir doğal sayı olur.
Toplamı en büyük yapan rakam çiftini bulmak.
3
Diğer oranın rasyonel sayı olup tam sayı olmama koşulunu inceleme.
b=8b = 8 ve c=4c = 4 iken geriye kalan en büyük rakam a=9a = 9 olarak seçilirse ab=98\frac{a}{b} = \frac{9}{8} ifadesi rasyonel sayıdır ve tam sayı değildir. Bu durumda a+b+c=9+8+4=21a + b + c = 9 + 8 + 4 = 21 elde edilir.
Kalan değişkeni en büyük seçerek tüm koşulların sağlandığını doğrulamak.
4
Alternatif durumları karşılaştırarak sonucun kesinliğini sağlama.
Eğer ab\frac{a}{b} doğal sayı ve bc\frac{b}{c} rasyonel sayı (tam sayı olmayan) olarak seçilseydi, en büyük değerler için a=8a = 8, b=4b = 4 ve c=9c = 9 alınabilirdi. Bu durumda 84=2∈N\frac{8}{4} = 2 \in \mathbb{N} ve 49∉Z\frac{4}{9} \notin \mathbb{Z} olurdu. Buradan da a+b+c=8+4+9=21a + b + c = 8 + 4 + 9 = 21 değeri elde edilirdi.
Farklı birleşimlerin daha büyük bir toplam verip vermeyeceğini kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki farklar (doğal sayılar ile tam sayı olmayan rasyonel sayılar) ve temel aritmetik işlemler.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 90Soru →

x,yx, y ve zz sayıları sırasıyla Z\mathbb{Z} (tam say��lar), Q∖Z\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} (tam sayı olmayan rasyonel sayılar) ve R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} (irrasyonel sayılar) kümelerinin birer elemanıdır.

Buna göre;
I. x⋅yx \cdot y sayıs�� bir tam sayıdır.
II. x⋅zx \cdot z sayısı bir irrasyonel sayıdır.
III. y+zy + z sayısı bir irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III
Yalnızca üçüncü öncül her zaman doğrudur. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyonel bir sayı verir. Diğer öncüllerde ise x=1x=1 ve y=1/2y=1/2 seçildiğinde çarpımın tam sayı çıkmadığı, x=0x=0 seçildiğinde ise irrasyonel bir sayı ile çarpımın sıfır (rasyonel) çıktığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncül olan x⋅yx \cdot y ifadesinin tam sayı olma durumunu incelemek.
x=1∈Zx = 1 \in \mathbb{Z} ve y=12∈Q∖Zy = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} değerleri seçildiğinde, x⋅y=1⋅12=12x \cdot y = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} elde edilir. 12\frac{1}{2} bir tam sayı olmadığından, birinci öncül her zaman doğru değildir.
Bir önermenin her zaman doğru olmadığını göstermek için en az bir tane karşıt örnek (aksine örnek) bulmak yeterlidir.
2
İkinci öncül olan x⋅zx \cdot z ifadesinin irrasyonel olma durumunu incelemek.
x=0∈Zx = 0 \in \mathbb{Z} ve z=2∈R∖Qz = \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} değerleri seçildiğinde, x⋅z=0⋅2=0x \cdot z = 0 \cdot \sqrt{2} = 0 elde edilir. 00 sayısı bir rasyonel sayı olduğundan, ikinci öncül her zaman doğru değildir.
Sıfır sayısının bir tam sayı olduğu ve irrasyonel sayılarla çarpımının sonucu rasyonele dönüştürdüğü durumunu test etmek.
3
Üçüncü öncül olan y+zy + z ifadesinin irrasyonel olma durumunu incelemek.
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyonel bir sayıdır. Aksini varsayarsak, y+z=qy + z = q (q∈Qq \in \mathbb{Q}) olsun. Buradan z=q−yz = q - y yazılabilir. Rasyonel iki sayının farkı da rasyonel olacağından zz rasyonel olmalıdır. Ancak bu durum zz'nin irrasyonel olması tanımıyla çelişir. Dolayısıyla üçüncü öncül her zaman doğrudur.
Toplama işleminin sayı kümeleri üzerindeki kapalılık ve karakterizasyon özelliklerini matematiksel çelişki yöntemiyle ispatlamak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımı, eleman özellikleri ve bu kümeler arasındaki işlemlerin rasyonellik/irrasyonellik durumları.
Soru 91Soru →

xx bir tam sayı ve yy bir rasyonel sayı olmak üzere,

* x∈Z∖Z+x \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}^+
* y∈Q∖Zy \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
* x≥−8x \geq -8

olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
3x−2y=53x - 2y = 5
eşitliğini sağlayan kaç farklı xx değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitliği sağlayan 5 farklı xx değeri vardır.
Eşitliği sağlayan 5 değeri doğrudur. Pozitif olmayan ve −8-8'den büyük ya da eşit olan tam sayılar arasından, yy sayısını tam sayı yapmayan (yani xx'in çift tam sayı olduğu) durumlar seçilmiştir. Bu değerler −8,−6,−4,−2-8, -6, -4, -2 ve 00 olmak üzere 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ve yy sayılarının ait olduğu sayı kümelerini belirleyelim.
x∈Z∖Z+x \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}^+ olduğundan xx pozitif olmayan bir tam sayıdır. Dolayısıyla x≤0x \leq 0 olmalıdır. x≥−8x \geq -8 koşuluyla birleştirildiğinde xx değeri {−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0\} kümesinden bir eleman olabilir. y∈Q∖Zy \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} olduğundan yy bir rasyonel sayıdır ancak tam sayı değildir.
Soru kökündeki sayı kümelerinin elemanlarını doğru tanımlamak için.
2
Verilen eşitliği kullanarak yy değişkenini xx cinsinden ifade edelim.
3x−2y=5  ⟹  2y=3x−5  ⟹  y=3x−523x - 2y = 5 \implies 2y = 3x - 5 \implies y = \frac{3x - 5}{2} elde edilir.
yy sayısının tam sayı olmama koşulunu xx üzerinden inceleyebilmek için.
3
yy sayısının tam sayı olmamasını sağlayan xx değerlerini tespit edelim.
y=3x−52y = \frac{3x - 5}{2} ifadesinin bir tam sayı olmaması için pay kısmındaki 3x−53x - 5 ifadesinin 2 ile tam bölünmemesi, yani tek sayı olması gerekir. 3x−53x - 5 tek sayı ise 3x3x çift sayı olmalıdır. Bu durumda xx bir çift tam sayı olmalıdır. xx'in alabileceği değerler kümesindeki çift sayılar {−8,−6,−4,−2,0}\{-8, -6, -4, -2, 0\} olup toplamda 5 tanedir.
y∉Zy \notin \mathbb{Z} koşulunu sağlayan çift xx tam sayılarını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri Tanımları ve Eleman Özellikleri
Soru 92Soru →

Bir laboratuvardaki üç farklı soğutucunun sıcaklık değerleri santigrat derece (°C) cinsinden sırasıyla aa, bb ve cc olarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık değerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* aa sıcaklık değeri, negatif tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
* bb sıcaklık değeri, tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
* cc sıcaklık değeri, bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre,

I. a⋅ba \cdot b bir pozitif rasyonel sayıdır.
II. a+ca + c bir irrasyonel sayıdır.
III. b⋅cb \cdot c bir irrasyonel sayıd��r.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
Doğru olan ifade 'II ve III' seçeneğidir. aa rasyonel bir sayı (a∈Z⊂Qa \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}) ve cc irrasyonel bir sayı olduğu için toplamları (a+ca+c) her zaman irrasyoneldir. bb tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olduğundan sıfıra eşit olamaz (b≠0b \neq 0). Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel bir sayının çarpımı (b⋅cb \cdot c) da her zaman irrasyoneldir. Birinci öncüldeki a⋅ba \cdot b ifadesi rasyonel olsa da bb pozitif seçildiğinde negatif çıkabileceğinden her zaman pozitif değildir.

Adım Adım Çözüm

1
aa, bb ve cc sayılarının ait oldukları sayı kümelerini ve özelliklerini belirleyelim.
aa negatif tam sayı (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-), bb tam sayı olmayan rasyonel sayı (b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ve b≠0b \neq 0) ve cc irrasyonel sayı (c∈Q′c \in \mathbb{Q}') olarak tanımlanır.
Öncülleri doğru bir şekilde değerlendirebilmek için sayıların hangi kümelere ait olduğunu netleştirmemiz gerekir.
2
I. öncülü (a⋅ba \cdot b bir pozitif rasyonel sayıdır) inceleyelim.
aa tam sayı (dolayısıyla rasyonel) ve bb rasyonel olduğundan, çarpımları olan a⋅ba \cdot b rasyoneldir. Ancak, aa negatif iken bb sayısı pozitif seçilirse (örneğin b=1,5=32b = 1,5 = \frac{3}{2}), çarpım sonucu negatif bir rasyonel sayı (a⋅b=−3a \cdot b = -3) çıkar. Bu durumda çarpım her zaman pozitif değildir.
Çarpımın pozitiflik özelliğini test etmek için sayıların işaret olasılıklarını değerlendiririz.
3
II. öncülü (a+ca + c bir irrasyonel sayıdır) inceleyelim.
aa rasyonel bir sayı ve cc irrasyonel bir sayı olduğundan, bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. (Eğer rasyonel olsaydı, a+c=r∈Q⇒c=r−a∈Qa + c = r \in \mathbb{Q} \Rightarrow c = r - a \in \mathbb{Q} olurdu ki bu cc'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.) Bu nedenle II. öncül her zaman doğrudur.
Rasyonel sayıların kapalılık özelliğinden faydalanarak toplamın karakterini belirleriz.
4
III. öncülü (b⋅cb \cdot c bir irrasyonel sayıdır) inceleyelim.
bb tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olduğu için 00 olamaz (b≠0b \neq 0). Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. (Eğer çarpım rasyonel olsaydı, yani b⋅c=r∈Qb \cdot c = r \in \mathbb{Q} olsaydı, b≠0b \neq 0 olduğundan c=rb∈Qc = \frac{r}{b} \in \mathbb{Q} çelişkisi doğardı.) Bu nedenle III. öncül her zaman doğrudur.
Sıfırdan farklı rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların çarpımının özelliğini rasyonel sayılar kümesindeki bölme işleminin kapalılığıyla ispatlarız.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri ve bu kümeler arasındaki toplama ve çarpma işlemlerinin sonuçlarının küme üyelikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 93Soru →

aa ve bb gerçel sayıları için,
* a∈Z∖Na \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}
* b∈Q+b \in \mathbb{Q}^+
* a+b=−1.4a + b = -1.4
olduğuna göre, b−ab - a farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2.6

Cevap

Koşulları sağlayan en büyük aa tam sayısı −2-2 ve buna karşılık gelen bb değeri 0.60.6 olduğundan, b−ab - a farkının en küçük değeri 2.6'dır.
Verilen koşullarda a sayısı negatif bir tam sayı olmak zorundadır. b > 0 şartını sağlamak adına a < -1.4 olmalıdır. Bu şartı sağlayan en büyük a negatif tam sayısı -2'dir. a = -2 için b = 0.6 pozitif rasyonel sayısı elde edilir ve b - a farkının en küçük değeri 0.6 - (-2) = 2.6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Z \ N kümesini belirleme
aa sayısı bir negatif tam sayıdır (a∈{−1,−2,−3,… }a \in \{-1, -2, -3, \dots\}).
Doğal sayılar kümesi 0 elemanını içerdiğinden, tam sayılar kümesinden doğal sayılar kümesi çıkarıldığında sadece negatif tam sayılar kalır.
2
b > 0 eşitsizliğini değişken cinsinden kurma
a<−1.4a < -1.4
bb sayısı pozitif rasyonel sayı olduğundan b>0b > 0 olmalıdır. a+b=−1.4a + b = -1.4 denkleminden b=−1.4−ab = -1.4 - a çekilerek eşitsizlikte yerine yazılır.
3
a sayısının alabileceği en büyük değeri belirleme
a=−2a = -2
aa sayısı −1.4-1.4'ten küçük bir negatif tam sayı olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı −2-2'dir.
4
b değerini ve b - a farkını hesaplama
b=0.6b = 0.6 ve b−a=2.6b - a = 2.6
a=−2a = -2 için b=−1.4−(−2)=0.6b = -1.4 - (-2) = 0.6 rasyonel sayısı elde edilir. Buradan b−a=0.6−(−2)=2.6b - a = 0.6 - (-2) = 2.6 bulunur.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin (tam sayılar, doğal sayılar, rasyonel sayılar) eleman özelliklerinin kavranması ve eşitsizlik kısıtları altında değer bulma
Soru 94Soru →

Matematik öğretmeni Selim Bey, derste sayı kümeleri arasındaki alt küme ilişkilerini göstermek için tahtaya bir Venn şeması çizmiştir. Şemadaki bölgeler aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* I. Bölge: Doğal sayılar kümesi (N\mathbb{N})
* II. Bölge: Tam sayılar kümesinde olup doğal sayılar kümesinde olmayan elemanlar (Z∖N\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N})
* III. Bölge: Rasyonel sayılar kümesinde olup tam sayılar kümesinde olmayan elemanlar (Q∖Z\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z})
* IV. Bölge: Gerçel sayılar kümesinde olup rasyonel sayılar kümesinde olmayan elemanlar (R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})

Selim Bey daha sonra tahtaya şu beş sayıyı yazmıştır:

* a=−9a = -\sqrt{9}
* b=0.9b = \sqrt{0.9}
* c=204c = \frac{20}{4}
* d=2.7‾d = 2.\overline{7}
* e=−12e = -\frac{1}{2}

Buna göre; aa, bb, cc, dd ve ee sayılarından hangileri şemada aynı bölgede yer alır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: dd ve ee

Cevap

dd ve ee sayılarının yer aldığı seçenek doğrudur. Çünkü her iki sayı da tam sayı olmayan rasyonel sayılardır (III. bölge).
Doğru seçenek dd ve ee sayılarının aynı bölgede olduğunu belirten seçenektir. Her iki sayı da rasyonel olup tam sayı olmadığından III. bölgede yer alır. a=−3a = -3 negatif tam sayısı II. bölgede, c=5c = 5 doğal sayısı I. bölgede ve b=0.9b = \sqrt{0.9} irrasyonel sayısı IV. bölgede yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıları sadeleştirip değerlerini belirleyelim.
a=−9=−3a = -\sqrt{9} = -3, b=0.9=310b = \sqrt{0.9} = \frac{3}{\sqrt{10}}, c=204=5c = \frac{20}{4} = 5, d=2.7‾=259d = 2.\overline{7} = \frac{25}{9}, e=−12e = -\frac{1}{2} olarak bulunur.
Sayı kümelerini belirlemek için ifadelerin en sade biçimini bulmak gerekir.
2
Her bir sayının ait olduğu sayı kümesini ve dolayısıyla şemadaki bölgesini tespit edelim.
* c=5c = 5 bir doğal sayı olduğundan I. bölgededir.
* a=−3a = -3 negatif bir tam sayı olduğundan II. bölgededir.
* d=259d = \frac{25}{9} ve e=−12e = -\frac{1}{2} tam sayı olmayan rasyonel sayılar olduğundan III. bölgededir.
* b=310b = \frac{3}{\sqrt{10}} rasyonel olamayan gerçel sayı (irrasyonel) olduğundan IV. bölgededir.
Tanımlanan bölgelerin küme karşılıklarını kullanarak sayıları yerleştiririz.
3
Aynı bölgede yer alan sayıları seçelim.
dd ve ee sayılarının her ikisi de III. bölgede yer almaktadır.
Seçeneklerde verilen eşleştirmelerden sadece bu ikisi aynı küme bölgesindedir.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve gerçel sayılar) tanımı ve birbirleriyle olan alt küme ilişkileri.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 95Soru →

Bir bölgede günün farklı saatlerinde ölçülen hava sıcaklığı değerleri sırasıyla −5,4∘C-5,4^\circ\text{C}, −9∘C-\sqrt{9}^\circ\text{C}, −12∘C-\frac{1}{2}^\circ\text{C}, 0∘C0^\circ\text{C}, 2∘C\sqrt{2}^\circ\text{C}, 3∘C3^\circ\text{C} ve 164∘C\frac{16}{4}^\circ\text{C} olarak kaydedilmiştir.

Bu ölçüm değerleri arasından;
- Rasyonel sayı olanların sayısı aa,
- Tam sayı olanların sayısı bb,
- Pozitif gerçek sayı olanların sayısı cc

olarak belirleniyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Doğru cevap 13'tür.
Verilen sayılardan −5,4-5,4, −3-3, −0,5-0,5, 00, 33 ve 44 olmak üzere 6 tanesi rasyoneldir (a=6a=6). Bunlardan −3-3, 00, 33 ve 44 olmak üzere 4 tanesi tam sayıdır (b=4b=4). Pozitif olan gerçek sayılar ise 2\sqrt{2}, 33 ve 44 olmak üzere 3 tanedir (c=3c=3). Toplamları 6+4+3=136+4+3=13 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sıcaklık değerlerini sadeleştirerek gerçek değerlerini bulalım.
−9=−3-\sqrt{9} = -3 ve 164=4\frac{16}{4} = 4 olur. Kümedeki sayılar: −5,4-5,4; −3-3; −0,5-0,5; 00; 2\sqrt{2}; 33; 44 şeklindedir.
Kareköklü ve kesirli ifadelerin hangi sayı kümesine ait olduğunu belirlemeyi kolaylaştırmak için.
2
Rasyonel sayıların sayısını (aa) belirleyelim.
−5,4-5,4, −3-3, −0,5-0,5, 00, 33 ve 44 rasyonel sayıdır. Bu durumda a=6a = 6 olur. 2\sqrt{2} sayısı ise irrasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}), iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayıları içerir.
3
Tam sayıların sayısını (bb) belirleyelim.
−3-3, 00, 33 ve 44 tam sayıdır. Bu durumda b=4b = 4 olur.
Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}), kesirli kısmı olmayan pozitif ve negatif tam sayıları ile sıfırı içerir.
4
Pozitif gerçek sayıların sayısını (cc) belirleyelim.
2\sqrt{2}, 33 ve 44 sayıları sıfırdan büyük oldukları için pozitif gerçek sayılardır. Bu durumda c=3c = 3 olur. 00 işaretsizdir.
Sıfırdan büyük olan tüm gerçek sayılar pozitif gerçek sayılar kümesine dahildir.
5
a+b+ca + b + c toplamını hesaplayalım.
a+b+c=6+4+3=13a + b + c = 6 + 4 + 3 = 13 bulunur.
Bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin elemanlarını ayırt etme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 96Soru →

Bir binanın asansöründe katları gösteren panelde; otopark katı aa, giriş katı bb ve yönetim ofisinin bulunduğu kat cc olarak belirtilmiştir. Bu kat numaraları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* aa, bb ve cc sayıları sırasıyla negatif tam sayılar kümesi (Z−\mathbb{Z}^-), doğal sayılar kümesi (N\mathbb{N}) ve pozitif tam sayılar kümesinin (Z+\mathbb{Z}^+) birer elemanıdır.
* Yönetim ofisi ile giriş katı arasındaki kat farkı, giriş katı ile otopark katı arasındaki kat farkının 2 katıdır.
* Otopark katı ile yönetim ofisi arasındaki kat farkı 12'dir.

Otopark katının numarası alabileceği en büyük değerde olduğuna göre, yönetim ofisinin bulunduğu katın numarası (cc) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Yönetim ofisinin bulunduğu katın numarası 11'dir.
Otopark katı olan aa negatif bir tam sayı olduğundan alabileceği en büyük değer -1'dir. b−a=4b - a = 4 ilişkisinden giriş katı b=3b = 3 (doğal sayı) ve c−a=12c - a = 12 ilişkisinden yönetim ofisi katı c=11c = 11 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kat numaralarını ait oldukları sayı kümelerine göre tanımlama
a≤−1a \leq -1 (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-), b≥0b \geq 0 (b∈Nb \in \mathbb{N}), c≥1c \geq 1 (c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+)
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını ve sınır koşullarını belirlemek için.
2
Katlar arasındaki farkları veren denklemleri kurma
c−a=12c - a = 12 ve c−b=2(b−a)c - b = 2(b - a)
Soruda verilen kat farkı ilişkilerini matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
3
Denklemleri ortak çözerek katlar arasındaki fark ilişkisini sadeleştirme
b−a=4b - a = 4 ve c−b=8c - b = 8
Değişkenleri birbirine bağlayan temel farkı bulmak için.
4
En büyük aa değeri için sınır koşullarını uygulayıp cc değerini hesaplama
a=−1a = -1 için b=3b = 3 ve c=11c = 11
Otopark katının en büyük negatif tam sayı değeri üzerinden yönetim ofisi katını bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımı, eleman özelliklerinin sınır koşullarıyla analizi ve mutlak değerle uzaklık hesabı.
Soru 97Soru →
R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesi ve Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesi olmak üzere,
A={x∈R∣25−x2∈Z}A = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{25 - x^2} \in \mathbb{Z} \right\}
kümesi tanımlan��yor.

Buna göre, AA kümesinin rasyonel olan elemanlarının sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Verilen kümenin elemanlarının rasyonel olabilmesi için, x2=25−k2x^2 = 25 - k^2 denkleminde 25−k225 - k^2 ifadesinin bir tam kare sayı olması gerekmektedir. Negatif olmayan kk tam sayıları için bu koşulu sağlayan durumlar incelendiğinde xx değerleri −5,−4,−3,0,3,4,5-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5 olarak bulunur. Bu değerlerin her biri rasyonel sayı olduğundan toplam 7 adet rasyonel eleman vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Kök dışına tam sayı olarak çıkma koşulunu belirleme
25−x2=k\sqrt{25 - x^2} = k (Burada k≥0k \ge 0 ve k∈Zk \in \mathbb{Z})
Kareköklü bir ifadenin sonucunun tam sayı olması için karekökün içinin bir tam kare olması ve sonucun negatif olmayan bir tam sayıya eşit olması gerekir.
2
Karekökün içinin alabileceği değer aralığını belirleme
25−x2=k225 - x^2 = k^2 eşitliğinden x2=25−k2x^2 = 25 - k^2 elde edilir. xx gerçel sayı olduğundan x2≥0x^2 \ge 0 olmalıdır, bu da 25−k2≥0  ⟹  k2≤2525 - k^2 \ge 0 \implies k^2 \le 25 olmasını gerektirir.
xx sayısının gerçel sayı olması için karekökün içerisindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması şarttır.
3
kk tam sayısının alabileceği değerleri bulma
k∈{0,1,2,3,4,5}k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Karesi 25'ten küçük veya eşit olan negatif olmayan tam sayılar bunlardır.
4
xx sayısının rasyonel olmasını sağlayan durumları belirleme
x=±25−k2x = \pm\sqrt{25 - k^2} ifadesinin rasyonel olması için 25−k225 - k^2 değerinin bir tam kare olması gerekir. Bu durumda 25−k2=m225 - k^2 = m^2 (m∈Zm \in \mathbb{Z}, m≥0m \ge 0) yazılabilir. Buradan k2+m2=25k^2 + m^2 = 25 elde edilir.
Bir sayının karekökünün rasyonel olabilmesi için kök içerisindeki sayının rasyonel bir sayının karesi olması gerekir. Burada xx değerlerinin tam sayı çıkması rasyonellik şartını sağlar.
5
k2+m2=25k^2 + m^2 = 25 denklemini sağlayan negatif olmayan tam sayı çiftlerini bulma ve xx değerlerini hesaplama
(k,m)(k, m) çiftleri: (0,5)(0, 5), (3,4)(3, 4), (4,3)(4, 3), (5,0)(5, 0) olabilir. Bu durumlarda xx değerleri sırasıyla:
- k=0  ⟹  x2=25  ⟹  x=±5k = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5
- k=3  ⟹  x2=16  ⟹  x=±4k = 3 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4
- k=4  ⟹  x2=9  ⟹  x=±3k = 4 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3
- k=5  ⟹  x2=0  ⟹  x=0k = 5 \implies x^2 = 0 \implies x = 0
olur.
Toplamları 25 olan tam kare tam sayılar belirlenerek bu şartı sağlayan rasyonel xx değerleri listelenir.
6
Rasyonel elemanların toplam sayısını bulma
Rasyonel elemanlar kümesi {−5,−4,−3,0,3,4,5}\{-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5\} olup eleman sayısı 7'dir.
Bulunan tüm rasyonel değerler sayılarak kümenin rasyonel eleman sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların alt kümeleri olan rasyonel, irrasyonel ve tam sayı kümelerinin elemanlarının özelliklerini kavrama ve bu kümeler arasındaki ilişkileri analiz etme.
Soru 98Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya çizdiği bir tablonun hücrelerine aşağıdaki gibi altı farklı gerçel sayı yazmıştır:

−0,04-\sqrt{0,04}π−3\pi - 300
82\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}−124-\frac{12}{4}1,6\sqrt{1,6}

Öğretmen, öğrencilerinden bu sayılardan;
* Tam sayı olanların kümesini TT,
* Pozitif gerçel sayı olanların kümesini PP,
* Rasyonel sayı olup tam sayı olmayanların kümesini RR

olarak belirlemelerini istemiştir.

Buna göre; TT, PP ve RR kümelerinin eleman sayıları sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3, 3, 1

Cevap

Sırasıyla 3, 3 ve 1 olan seçenektir.
Doğru seçenekte belirtilen eleman sayıları sırasıyla 3, 3 ve 1'dir. Tablodaki tam sayılar 00, 22 ve −3-3 olmak üzere 3 tanedir. Pozitif gerçel sayılar π−3\pi - 3, 22 ve 1,6\sqrt{1,6} olmak üzere 3 tanedir (0 nötrdür). Rasyonel sayı olup tam sayı olmayan tek sayı ise −0,04=−0,2-\sqrt{0,04} = -0,2 olduğundan bu kümenin eleman sayısı 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tablodaki her bir sayının en sade değerini hesaplayarak ait oldukları sayı kümelerini analiz edelim.
−0,04=−0,2-\sqrt{0,04} = -0,2 (Negatif, Rasyonel, Tam sayı değil)
π−3≈3,14−3=0,14\pi - 3 \approx 3,14 - 3 = 0,14 (Pozitif, İrrasyonel)
00 (İşaretsiz, Tam sayı, Rasyonel)
82=82=4=2\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2 (Pozitif, Tam sayı)
−124=−3-\frac{12}{4} = -3 (Negatif, Tam sayı)
1,6=1610=410\sqrt{1,6} = \sqrt{\frac{16}{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} (Pozitif, İrrasyonel)
Sayıların hangi sayı kümelerine ait olduğunu belirlemek için en sade hâllerini bilmemiz gerekir.
2
Tam sayı olan sayıları belirleyerek T kümesini oluşturalım.
T={0,2,−3}T = \{0, 2, -3\} kümesi elde edilir. Eleman sayısı s(T)=3s(T) = 3 olur.
00, 22 ve −3-3 sayıları tam sayılar kümesinin (Z\mathbb{Z}) elemanlarıdır.
3
Pozitif gerçel sayıları belirleyerek P kümesini oluşturalım.
P={π−3,2,1,6}P = \{\pi - 3, 2, \sqrt{1,6}\} kümesi elde edilir. Eleman sayısı s(P)=3s(P) = 3 olur.
00 sayısı nötrdür (işaretsizdir). −0,04-\sqrt{0,04} ve −3-3 sayıları negatiftir. Geriye kalan π−3\pi - 3, 22 ve 1,6\sqrt{1,6} sayıları ise pozitif gerçel sayılardır.
4
Rasyonel sayı olup tam sayı olmayan sayıları belirleyerek R kümesini oluşturalım.
R={−0,2}R = \{-0,2\} kümesi elde edilir. Eleman sayısı s(R)=1s(R) = 1 olur.
−0,04=−0,2-\sqrt{0,04} = -0,2 rasyonel bir sayıdır ancak tam sayı değildir. 00, 22 ve −3-3 tam sayıdır. π−3\pi - 3 ve 1,6\sqrt{1,6} ise irrasyoneldir.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Elemanlarının Sınıflandırılması

Alternatif Yöntem

Sayıları rasyonel ve irrasyonel olarak iki ana gruba ayırıp incelemek de bir yöntemdir. Rasyonel sayılar kümesi Q={−0,04,0,82,−124}\mathbb{Q} = \{-\sqrt{0,04}, 0, \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}, -\frac{12}{4}\}, irrasyonel sayılar kümesi ise I={π−3,1,6}\mathbb{I} = \{\pi - 3, \sqrt{1,6}\} şeklindedir. T kümesi Q\mathbb{Q} içindeki tam sayıları (0, 2, -3) içerdiğinden eleman sayısı 3'tür. R kümesi ise Q\mathbb{Q}'da olup tam sayı olmayanları (yalnızca -0,2) içerdiğinden eleman sayısı 1'dir. Pozitif sayılar kümesi P ise her iki gruptaki pozitif elemanların birleşimidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 99Soru →
Bir kimya laboratuvarındaki hassas bir deney sırasında, reaksiyon kabının sıcaklığı farklı zamanlarda ölçülmüş ve santigrat derece (∘C^\circ\text{C}) cinsinden aşağıdaki 6 değer elde edilmiştir:
−3.5,0,2,4,−93,π-3.5, \quad 0, \quad \sqrt{2}, \quad 4, \quad -\frac{9}{3}, \quad \pi
Bu sıcaklık değerlerinden;
* Rasyonel sayı olanların kümesi AA,
* Tam sayı olanların kümesi BB,
* Pozitif gerçel sayı olanların kümesi CC
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, (A∖B)∪(C∩B)(A \setminus B) \cup (C \cap B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen kümenin eleman sayısı 2'dir.
Verilen sayılardan rasyonel olanlar A={−3.5,0,4,−3}A = \{-3.5, 0, 4, -3\}, tam sayı olanlar B={0,4,−3}B = \{0, 4, -3\} ve pozitif gerçel olanlar C={2,4,π}C = \{\sqrt{2}, 4, \pi\} kümelerini oluşturur. A∖B={−3.5}A \setminus B = \{-3.5\} kümesi rasyonel olup tam sayı olmayanları gösterirken, C∩B={4}C \cap B = \{4\} kümesi pozitif tam sayıları gösterir. Bu iki kümenin birleşimi olan {−3.5,4}\{-3.5, 4\} kümesi 2 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların sayı kümelerine üyeliklerini tek tek belirlemek.
−3.5∈Q-3.5 \in \mathbb{Q}; 0∈Q0 \in \mathbb{Q} ve 0∈Z0 \in \mathbb{Z}; 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} ve 2∈R+\sqrt{2} \in \mathbb{R}^+; 4∈Q4 \in \mathbb{Q}, 4∈Z4 \in \mathbb{Z} ve 4∈R+4 \in \mathbb{R}^+; −93=−3-\frac{9}{3} = -3 olup −3∈Q-3 \in \mathbb{Q} ve −3∈Z-3 \in \mathbb{Z}; π∉Q\pi \notin \mathbb{Q} ve π∈R+\pi \in \mathbb{R}^+
Kümeleri doğru oluşturabilmek için her bir sayının hangi sayı kümesine ait olduğunu bilmemiz gerekir.
2
AA, BB ve CC kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazmak.
A={−3.5,0,4,−3}A = \{-3.5, 0, 4, -3\}, B={0,4,−3}B = \{0, 4, -3\} ve C={2,4,π}C = \{\sqrt{2}, 4, \pi\}
Küme işlemlerini bu listeler üzerinden doğrudan gerçekleştirmek.
3
A∖BA \setminus B ve C∩BC \cap B işlemlerini uygulamak.
A∖B={−3.5}A \setminus B = \{-3.5\} ve C∩B={4}C \cap B = \{4\}
Birleşim işleminden önceki alt bileşenleri bulmak.
4
Bulunan kümelerin birleşimini alarak eleman sayısını belirlemek.
(A∖B)∪(C∩B)={−3.5,4}(A \setminus B) \cup (C \cap B) = \{-3.5, 4\} olup bu kümenin eleman sayısı 2'dir.
Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı Kümelerinin Özellikleri ve Küme İşlemleri
Soru 100Soru →

Sayı doğrusu üzerinde yerleri işaretlenmiş aa, bb ve cc gerçel sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* b∈Z∖Nb \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}
* a∈Q∖Za \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
* c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
* b<a<cb < a < c
* b⋅a⋅c>0b \cdot a \cdot c > 0
* a+c<0a + c < 0

Buna göre; bb, aa ve cc sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −3-3, −2.5-2.5, 5\sqrt{5}

Cevap

İlk elemanı −3-3, ikinci elemanı −2.5-2.5 ve üçüncü elemanı 5\sqrt{5} olan seçenek doğrudur.
Doğru seçenekte verilen değerler sırasıyla incelendiğinde; ilk sayının negatif bir tam sayı (b=−3b = -3), ikinci sayının tam sayı olmayan negatif bir rasyonel sayı (a=−2.5a = -2.5) ve üçüncü sayının pozitif bir irrasyonel sayı (c=5c = \sqrt{5}) olduğu görülür. Bu sayılar hem b<a<cb < a < c sıralamasını sağlar hem de iki negatif ve bir pozitif sayının çarpımı pozitif olacağından b⋅a⋅c>0b \cdot a \cdot c > 0 koşulunu ve mutlak değerce daha büyük olan negatif sayı ile pozitif sayının toplamı negatif olacağından a+c<0a + c < 0 koşulunu sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullardaki sayı kümelerini tanımlama ve eleman özelliklerini belirleme
b∈Z∖Nb \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} ifadesi, bb sayısının bir tam sayı olduğunu fakat doğal sayı olmadığını gösterir. Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,3,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} olduğundan, bb negatif bir tam sayı olmalıdır.
a∈Q∖Za \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ifadesi, aa sayısının bir rasyonel sayı olduğunu fakat tam sayı olmadığını belirtir.
c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ifadesi, cc sayısının rasyonel olmayan bir gerçel sayı, yani irrasyonel bir sayı (örneğin 2,5,π\sqrt{2}, \sqrt{5}, \pi) olduğunu gösterir.
Sayıların hangi sayı kümelerine ait olduğunu belirleyerek seçenekleri elemek için.
2
Eşitsizlikler ve işaret kuralları yardımıyla sayıların işaretlerini analiz etme
b⋅a⋅c>0b \cdot a \cdot c > 0 verilmiştir. bb sayısının negatif bir tam sayı olduğunu bildiğimizden (b<0b < 0), çarpımın pozitif olması için a⋅c<0a \cdot c < 0 olmalıdır. Bu durum aa ve cc sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.
b<a<cb < a < c eşitsizliğine göre a<ca < c olduğundan, negatif olan sayı aa (a<0a < 0), pozitif olan sayı ise cc (c>0c > 0) olmalıdır.
a+c<0a + c < 0 koşulunda aa negatif ve cc pozitif olduğuna göre, toplamın negatif çıkması için negatif olan aa sayısının mutlak değerce pozitif olan cc sayısından büyük olması gerekir (∣a∣>c|a| > c).
Sayıların yönünü, işaretlerini ve mutlak değer ilişkilerini sınırlandırıp doğru seçeneğe ulaşmak için.
3
Seçenekleri elde edilen kurallara göre test etme
−3-3, −2.5-2.5 ve 5\sqrt{5} değerleri için:
* b=−3b = -3 negatif bir tam sayıdır (sağlar).
* a=−2.5a = -2.5 tam sayı olmayan rasyonel bir sayıdır (sağlar).
* c=5c = \sqrt{5} irrasyonel bir sayıdır (sağlar).
* −3<−2.5<5-3 < -2.5 < \sqrt{5} sıralaması doğrudur (sağlar).
* (−3)⋅(−2.5)⋅5=7.55>0(-3) \cdot (-2.5) \cdot \sqrt{5} = 7.5\sqrt{5} > 0 koşulu doğrudur (sağlar).
* −2.5+5<0-2.5 + \sqrt{5} < 0 koşulu doğrudur, çünkü 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236 olup 2.236<2.52.236 < 2.5 değerindedir (sağlar).
Koşulların tamamını sağlayan tek seçeneğin doğruluğunu netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Kümeler Arasındaki İlişkiler (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel ve Gerçel Sayılar)
ÖncekiSayfa 5 / 6Sonraki