Examkin

Tek ve Çift Sayılar

93 soru

Soru 41Soru →

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc tam sayıları için,
- a(b+c)a(b + c) çarpımının bir çift sayı,
- a+b⋅ca + b \cdot c toplamının bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c

Cevap

a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesi her zaman bir tek sayıdır.
a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesi, aa, bb ve cc tam sayılarının alabileceği her iki olası parite durumunda da tek sayı sonucunu vermektedir. Dört işlem sonucu tam sayı olduğundan tanımsızlık veya rasyonellik sorunu yaşanmaz.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki koşulu analiz etmek için durumları belirleme.
a(b+c)a(b + c) çift ve a+b⋅ca + b \cdot c tek sayı olmalıdır.
Değişkenlerin teklik ve çiftlik durumların�� inceleyerek tutarlı senaryoları bulmak.
2
aa sayısının tek olduğu durumu inceleme.
aa tek ise, a(b+c)a(b + c) çift olduğundan b+cb + c çift olmalıdır. Yani bb ve cc aynı paritede olmalıdır. Eğer bb ve cc tek olursa, b⋅cb \cdot c tek olur ve a+b⋅ca + b \cdot c toplamı tek + tek = çift olur; bu durum ikinci koşulla çelişir. Dolayısıyla, bb ve cc çift olmalıdır. Bu durumda aa tek, bb çift, cc çift olur ve koşullar sağlanır.
Birinci olasılığın tutarlılığını test etmek.
3
aa sayısının çift olduğu durumu inceleme.
aa çift ise, a(b+c)a(b + c) her zaman çifttir. a+b⋅ca + b \cdot c toplamının tek olması için b⋅cb \cdot c çarpımı tek olmalıdır. Bu durumda hem bb hem de cc tek sayı olmak zorundadır. Bu durumda aa çift, bb tek, cc tek olur ve tüm koşullar sağlanır.
İkinci olasılığın tutarlılığını test etmek.
4
Elde edilen iki durumu seçeneklerdeki ifadeler üzerinde deneme.
Durum 1: aa tek, bb çift, cc çift. Durum 2: aa çift, bb tek, cc tek. Her iki durumda da a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinin sonucunu kontrol ederiz. Durum 1 için: tek ⋅\cdot (çift + 1) + çift = tek ⋅\cdot tek + çift = tek + çift = tek. Durum 2 için: çift ⋅\cdot (tek + 1) + tek = çift ⋅\cdot çift + tek = çift + tek = tek.
Her zaman tek sayı olan ifadeyi doğrulamak.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ile tam sayı kuvvetlerinde negatif üs durumu.
Soru 42Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅cb(a + b) \cdot c^b
ifadesinin bir tek tam sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. (a+1)⋅(b+c)(a + 1) \cdot (b + c)
II. a⋅b⋅(c+1)a \cdot b \cdot (c + 1)
III. a+b⋅ca + b \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Verilen (a+b)⋅cb(a+b) \cdot c^b ifadesinin tek tam sayı olması koşulunda, bb sayısının negatif tam sayı veya sıfır olabileceği unutulmamalıdır. Tüm olası durumlar analiz edildiğinde, (a+1)⋅(b+c)(a+1) \cdot (b+c) ifadesinin her durumda çift sayı sonuç verdiği görülür. Bu nedenle yalnızca birinci öncül her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (a+b)⋅cb(a+b)\cdot c^b ifadesinin tek tam sayı olma koşullarını analiz etmek.
cbc^b ve a+ba+b çarpanlarının tek tam sayı olması gerektiği belirlenir ancak bb tam sayısının negatif ve sıfır değerleri dikkate alınır.
bb sayısının işareti ve değeri, taban cc ve üs bb arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini doğrudan etkiler.
2
bb tam sayısının pozitif, sıfır ve negatif olma durumlarını ayrı ayrı incelemek.
1) b>0b > 0 ise cc tek, aa ve bb farklı tekliğe/çiftliğe sahiptir.
2) b=0b = 0 ise c0=1c^0 = 1 olup aa tek, bb çift (sıfır), cc ise herhangi bir tam sayıdır.
3) b<0b < 0 ise (b=−k,k>0b = -k, k > 0) ifadesi (a−k)/ck(a-k)/c^k şeklinde bir tek sayı belirtir. Eğer cc çift ise a−ka-k çift olmalıdır, yani aa ve bb aynı tekliğe/çiftliğe sahiptir. Eğer cc tek ise aa ve bb farklı tekliğe/çiftliğe sahiptir.
Değişkenlerin işaret ve değer sınırı belirtilmediği için tüm olası tam sayı senaryolarının belirlenmesi gerekir.
3
Birinci öncülü ((a+1)⋅(b+c)(a+1) \cdot (b+c)) her senaryo için değerlendirmek.
Tüm senaryolar analiz edildiğinde; cc tek ise aa ile bb farklı paritede olduğundan b+cb+c veya a+1a+1 ifadelerinden en az biri kesinlikle çifttir. cc çift ise, b=0b=0 durumunda aa tek olduğundan a+1a+1 çifttir; b<0b < 0 durumunda ise aa ve bb aynı paritede olacağından aa ve bb çift ise b+cb+c çift, aa ve bb tek ise a+1a+1 çifttir. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.
Çarpım durumundaki bir ifadenin her durumda çift sayı sonuç verdiğini doğrulamak.
4
İkinci ve üçüncü öncüller için aksi örnekler (tek sayı çıkaran durumlar) bulmak.
a=7a = 7, b=−1b = -1 ve c=2c = 2 tam sayıları için (7−1)⋅2−1=3(7-1) \cdot 2^{-1} = 3 (tek sayı) sağlanır. Bu değerler için ikinci öncül 7⋅(−1)⋅3=−217 \cdot (-1) \cdot 3 = -21 (tek sayı) olur. a=3a = 3, b=0b = 0 ve c=2c = 2 tam sayıları için (3+0)⋅20=3(3+0) \cdot 2^0 = 3 (tek sayı) sağlanır. Bu değerler için üçüncü öncül 3+0⋅2=33 + 0 \cdot 2 = 3 (tek sayı) olur.
Diğer öncüllerin her zaman çift sayı olmadığını karşıt örneklerle kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayı özellikleri ile negatif ve sıfır üs durumlarının incelenmesi
Soru 43Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b
ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1

Cevap

a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen a(a+b)a(a+b) çarpımının tek sayı olmasından yola çıkılarak aa tek ve bb çift tam sayı olarak bulunur. Bu değerler a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesine uygulandığında, terimler sırasıyla çift, tek ve tek olur. Bu tam sayıların toplamı (Çift + Tek + Tek) her zaman çift sayı sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b ifadesini ortak çarpan parantezine alın.
a(a+b)a(a + b) ifadesi elde edilir.
Çarpanların teklik-çiftlik durumunu ayrı ayrı analiz edebilmek için ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olma durumunu inceleyin.
aa tek sayı ve a+ba + b tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
bb tam sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
bb çift sayıdır.
aa tek sayı olduğuna göre, a+ba + b toplamının tek sayı olabilmesi için bb çift sayı olmalıdır (Tek + Çift = Tek).
4
a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesinin teklik-çiftlik durumunu değerlendirin.
a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesinin sonucu her zaman çift sayıdır.
aa tek ve bb çift tam sayı olduğundan, a⋅ba \cdot b çift, aa tek ve 11 tek sayıdır. Bu terimlerin toplamı olan Çift + Tek + Tek işlemi çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem Kuralları ve Değişken Analizi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 44Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
* a2+b⋅ca^2 + b \cdot c ifadesinin bir çift sayı,
* b2+a⋅cb^2 + a \cdot c ifadesinin bir tek sayı
olduğu biliniyor.

Buna göre,
I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. ac+ca^c + c
III. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Doğru olan ifadeler I ve III'tür. Verilen denklemlerden yola çıkılarak yapılan analizde a sayısının çift, b sayısının tek ve c sayısının çift olduğu kesin olarak bulunur. Birinci öncülde çift ile tekin çarpımı çift, buna çift eklenirse sonuç çift olur. Üçüncü öncülde c sayısı çift olduğundan, parantez içi ne olursa olsun (tam sayı olmak kaydıyla) sonuç çift olur. İkinci öncülde ise üs negatif olabileceğinden teklik-çiftlik garantisi yoktur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik ve çiftlik durumlarını analiz ederek a, b ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirleyin.
a^2 + bc çift ve b^2 + ac tek olarak verilmiştir. Eğer a tek sayı olsaydı, a^2 tek olurdu. Toplamın çift olması için bc tek olmalı, yani hem b hem de c tek olmalıdır. Bu durumda b^2 + ac ifadesi (tek)^2 + tek.tek = tek + tek = çift olurdu, fakat bu ifade tek olarak verilmiştir. Dolayısıyla a çift sayı olmak zorundadır. a çift ise ac çifttir. b^2 + ac tek olduğundan b^2 tek, yani b tek sayı olmalıdır. a^2 + bc çift ve a^2 çift olduğundan bc çift olmalıdır; b tek olduğundan c çift sayı olmalıdır. Sonuç olarak: a çift, b tek, c çift olmalıdır.
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını kesinleştirmek, öncülleri doğru değerlendirmek için ilk ve en kritik adımdır.
2
Birinci öncülü (a.b + c) kontrol edin.
a çift, b tek ve c çift olduğundan, a.b + c = (çift . tek) + çift = çift + çift = çift olur. a, b ve c tam sayı olduğundan bu sonuç her zaman bir çift tam sayıdır.
Birinci öncülün doğruluğunu test etmek.
3
İkinci öncülü (a^c + c) kontrol edin.
a çift ve c çift tam sayılardır. Ancak c negatif bir çift tam sayı olabilir (örneğin c = -2, a = 2). Bu durumda 2^(-2) + (-2) = 1/4 - 2 = -7/4 ifadesi bir tam sayı olmadığından teklik veya çiftliğinden söz edilemez.
İkinci öncüldeki kuvvetin negatif olma durumunu (tam sayı tanımını) test etmek.
4
Üçüncü öncülü ((a + b).c) kontrol edin.
a çift, b tek olduğundan a+b tek tam sayıdır. c çift tam sayı olduğundan, (a+b).c ifadesi (tek . çift) = çift olur. Sonuç her zaman bir çift tam sayıdır.
Üçüncü öncülün doğruluğunu test etmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özelliklerinde tam sayı tanımı ve negatif üs durumunun incelenmesi.
Soru 45Soru →

Bir kırtasiyedeki üç farklı rafta bulunan kitap sayıları sırasıyla aa, bb ve cc tam sayılarıdır. Bu kitap sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Üç raftaki toplam kitap sayısı çift bir sayıdır.
* Birinci ve ikinci raftaki kitap sayılarının çarpımı ile üçüncü raftaki kitap sayısının toplamı tek bir sayıdır.

Buna göre,

I. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
II. a⋅b+b⋅c+c⋅aa \cdot b + b \cdot c + c \cdot a
III. (a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1)

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüllerdeki ifadeler her zaman çift sayıdır.
Birinci öncüldeki üç sayının çarpımı, tüm durumlarda en az bir çift sayı barındırdığı için daima çifttir. Üçüncü öncülde ise her üç durumda da en az bir sayı tek olduğundan, bu sayının bir fazlası çift olacak ve çarpımın sonucunu çift yapacaktır. Bu nedenle birinci ve üçüncü öncüller her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgileri teklik ve çiftlik kurallarına göre matematiksel ifadelere dönü��türmek.
a+b+c≡0(mod2)a + b + c \equiv 0 \pmod 2 ve a⋅b+c≡1(mod2)a \cdot b + c \equiv 1 \pmod 2 bağıntıları elde edilir.
Sayıların teklik-çiftlik özelliklerini cebirsel olarak analiz edebilmek için denklem sistemini kurmamız gerekir.
2
cc değişkenini yalnız bırakarak diğer denklemde yerine yazmak.
c≡a+b(mod2)c \equiv a + b \pmod 2 olduğundan, bu ifade ikinci denklemde yerine yazıldığında a⋅b+a+b≡1(mod2)a \cdot b + a + b \equiv 1 \pmod 2 elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirlemeyi kolaylaştırmak.
3
a⋅b+a+b≡1(mod2)a \cdot b + a + b \equiv 1 \pmod 2 ifadesini sağlayan aa ve bb değerlerini incelemek.
Bu ifadeyi sağlayan üç durum vardır:
1. Durum: aa çift, bb tek ise cc tek olur.
2. Durum: aa tek, bb çift ise cc tek olur.
3. Durum: aa tek, bb tek ise cc çift olur.
aa, bb ve cc tam sayılarının alabileceği tüm teklik-çiftlik olasılıklarını belirlemek.
4
Elde edilen üç durumu öncüllerdeki ifadelere uygulayarak teklik-çiftlik durumlarını incelemek.
I. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımında her üç durumda da en az bir değişken çift olduğundan sonuç daima çifttir.
II. a⋅b+b⋅c+c⋅aa \cdot b + b \cdot c + c \cdot a ifadesi her üç durumda da tek sayı sonucunu verir.
III. (a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) çarpımında, her durumda değişkenlerden en az biri tek sayı olduğundan, bu değişkenin 1 fazlası çift sayı olur ve çarpımı çift yapar.
Öncüllerin her zaman çift olup olmadığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin teklik ve çiftlik özellikleri.
Soru 46Soru →

Bir bilgisayar programına girilen aa, bb ve cc tam sayıları için sistem şu bilgileri vermektedir:
* 3a+4b+5c3a + 4b + 5c toplamı bir çift sayıdır.
* 2a+3b+4c2a + 3b + 4c toplamı bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+ca \cdot b + c

Cevap

a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi her zaman bir çift sayıya eşittir.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinde, aa ve cc tam sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. bb ise tek sayıdır. Değişkenlerin alabileceği iki durum vardır: İkisi de tek olduğunda çarpım ve toplam işlemleri sonucunda tek⋅tek+tek=c¸ift\text{tek} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} elde edilir. İkisi de çift olduğunda c¸ift⋅tek+c¸ift=c¸ift\text{çift} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{çift} elde edilir. Bu nedenle bu ifade her zaman bir çift sayıya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
3a+4b+5c3a + 4b + 5c toplamının çift sayı olma durumunu analiz etmek.
4b4b ifadesi, bb tam sayısı ne olursa olsun çift bir sayıdır. Dolay��sıyla, toplamın çift sayı olabilmesi için 3a+5c3a + 5c toplamının da çift sayı olması gerekir. Bu durum, aa ve cc sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı (ikisi de tek veya ikisi de çift) oldu��unu gösterir.
İlk ifadedeki çift terimi sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi bulmak.
2
2a+3b+4c2a + 3b + 4c toplamının tek sayı olma durumunu analiz etmek.
2a2a ve 4c4c ifadeleri, aa ve cc tam sayılarından bağımsız olarak her zaman çift sayıdır. Toplamın tek sayı olabilmesi için 3b3b ifadesinin tek sayı olması gerekir. Buradan bb tam sayısının tek sayı olduğu kesinleşir.
bb değişkeninin paritesini kesin olarak belirlemek.
3
Elde edilen verileri (aa ile cc aynı paritede, bb tek sayı) değerlendirerek her zaman çift sayı olan ifadeyi bulmak.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinde; aa ve cc tek sayılar ise tek⋅tek+tek=tek+tek=c¸ift\text{tek} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} olur. aa ve cc çift sayılar ise c¸ift⋅tek+c¸ift=c¸ift+c¸ift=c¸ift\text{çift} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{çift} + \text{çift} = \text{çift} olur. Dolayısıyla bu ifade her durumda çift sayıdır.
Olası tüm durumları inceleyerek doğru seçeneği belirlemek.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile işlemler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 47Soru →
Birer tam sayı olan xx ve yy için,
x⋅(y+1)x \cdot (y + 1)
çarpımının bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅yx \cdot y

Cevap

x⋅yx \cdot y ifadesi her zaman çift sayıdır.
xx tek tam sayı ve yy çift tam sayı olduğundan, bu iki sayının çarpımı olan x⋅yx \cdot y ifadesi her zaman çift bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın tek sayı olma koşulunu analiz edin.
xx tek sayı ve y+1y + 1 tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için çarpılan her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
yy değişkeninin tek mi çift mi olduğunu belirleyin.
yy bir çift sayıdır.
y+1y + 1 tek sayı ise, tek bir sayıdan 11 (tek sayı) çıkarıldığında çift bir sayı elde edilir.
3
xx ve yy değerlerini kullanarak seçenekleri değerlendirin.
x⋅yx \cdot y her zaman çift sayıdır.
Tek sayı (xx) ile çift sayının (yy) çarpımı her zaman bir çift sayıya eşittir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 48Soru →

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,

3a+b3a + b

ifadesi bir tek sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

İki tam sayının çarpımını gösteren ifade her zaman çift sayıdır.
aa ve bb tam sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğu belirlenmiştir. Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı her zaman bir çift sayı oluşturur. Bu nedenle iki sayının çarpımı her zaman çift bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
3a+b3a + b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz etme.
3a+b3a + b tek sayı ise, 3a3a ve bb ifadelerinden biri tek diğeri çift olmalıdır.
İki tam sayının toplamının tek olması için bu sayıların teklik-çiftlik karakterlerinin farklı olması gerekir.
2
aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirleme.
aa çift iken bb tek, aa tek iken bb çift olmalıdır.
3a3a ifadesinin teklik-çiftlik karakteri aa ile aynıdır. Dolayısıyla aa ve bb değişkenlerinden biri tek sayı iken diğeri çift sayı olmak zorundadır.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını değerlendirme.
Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı her zaman çift sayı olduğundan, a⋅ba \cdot b ifadesi her zaman çift sayıdır.
Çarpım durumunda çarpanlardan en az birinin çift sayı olması, sonucun çift tam sayı olmasını garanti eder.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ile tam sayılarda temel işlemler
Soru 49Soru →
Sıfırdan farklı xx, yy ve zz tam sayıları için
x2⋅y−zx^2 \cdot y - z
ifadesi bir tek sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z

Cevap

x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen x2⋅y−zx^2 \cdot y - z ifadesinin tek sayı olması için ya x⋅yx \cdot y çift ve zz tek olmalıdır ya da x⋅yx \cdot y tek ve zz çift olmalıdır. İlk durumda xx veya yy çift olmak zorundadır. İkinci durumda ise zz çift olmak zorundadır. Her iki olasılıkta da xx, yy ve zz sayılarından en az biri çift sayıdır. Bir çarpım işleminde çarpanlardan en az biri çift sayı olduğunda sonuç daima çift sayı olacağından, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin teklik-çiftlik durumunu analiz etme
x2⋅y−zx^2 \cdot y - z ifadesi bir tek sayıdır. xx tam sayı olduğundan x2x^2 ile xx ifadelerinin teklik-çiftlik karakteri aynıdır. Buradan x⋅y−zx \cdot y - z ifadesinin tek sayı olduğu anlaşılır.
Bir tam sayının pozitif kuvvetlerinin teklik-çiftlik durumu tabanınkiyle aynıdır.
2
Değişkenlerin alabileceği olası durumları belirleme
x⋅y−zx \cdot y - z ifadesinin tek sayı olması i��in iki durum söz konusudur:
1. Durum: x⋅yx \cdot y çift ve zz tek sayıdır. x⋅yx \cdot y çift ise xx veya yy sayılarından en az biri çifttir.
2. Durum: x⋅yx \cdot y tek ve zz çift sayıdır. x⋅yx \cdot y tek ise hem xx hem de yy tek sayıdır, bu durumda zz çift sayıdır.
İki tam sayının farkının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift sayı olması gerekir.
3
Bulunan durumları seçeneklerle karşılaştırarak sentezleme
Belirlenen her iki durumda da xx, yy ve zz tam sayılarından en az birinin çift sayı olması zorunludur. Dolayısıyla bu üç sayının çarpımı olan x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Çarpanlarından en az biri çift sayı olan çarpım işlemlerinin sonucu daima çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler ve kuvvet alma kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 50Soru →
aa ve bb tam sayıları için
5a−b5a - b
ifadesinin bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ba + b

Cevap

İki tam sayıdan biri tek diğeri çift olduğunda toplamları her zaman tek sayı olacağından, doğru cevap a+ba + b ifadesidir.
Biri tek, diğeri çift olan iki tam sayının toplamı daima bir tek sayı olduğundan, a+ba + b ifadesi her zaman tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 5a−b5a - b ifadesinin tek sayı olma durumunu inceleyin.
5a5a ve bb ifadelerinden biri tek, diğeri çift sayıdır.
İki tam sayının farkı tek sayı ise, bu sayılardan biri tek diğeri çifttir.
2
5a5a ifadesinin tek veya çift olma durumunu aa değişkenine bağlı olarak yorumlayın.
aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumları zıttır (biri tek iken diğeri çift).
Bir tek sayı (55) ile bir tam sayının (aa) çarpımının tekliği, o tam sayının tekliğine bağlıdır. Bu nedenle 5a5a ile aa aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.
3
a+ba + b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu değerlendirin.
a+ba + b toplamı her zaman tek sayıdır.
Biri tek, diğeri çift olan iki tam sayının toplamı her zaman tek sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altındaki özellikleri ve üs durumlarında tam sayı koşullarının önemi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 51Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a2+3a+ba^2 + 3a + b ifadesinin bir çift sayı,
* b2−b+cb^2 - b + c ifadesinin bir tek sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b⋅(a+c)b \cdot (a + c)

Cevap

b \cdot (a + c) ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
b sayısının çift olduğu, c sayısının tek olduğu ve a'nın paritesinin belirsiz olduğu tespit edilmiştir. b çift bir sayı olduğundan, herhangi bir tam sayı ile çarpımı olan b \cdot (a + c) ifadesi daima bir çift tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadenin analiz edilmesi
b sayısının çift oldu��u belirlenir.
a bir tam sayı olmak üzere, a^2 + 3a = a(a + 3) ifadesi ardışık karakterli iki sayının çarpımı mantığına dayanır. a tek ise a+3 çift, a çift ise a+3 tek olduğundan, bu çarpım her durumda çifttir. Çift bir sayıya b eklendiğinde sonuç çift olduğuna göre b sayısı kesinlikle çifttir. Bu aşamada a'nın tekliği veya çiftliği hakkında kesin bir bilgi elde edilemez.
2
İkinci ifadenin analiz edilmesi
c sayısının tek olduğu belirlenir.
b^2 - b = b(b - 1) ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımı olduğundan her zaman çifttir. Çift bir sayıya c eklendiğinde sonuç tek sayı olduğuna göre c sayısı kesinlikle tektir.
3
Seçeneklerin kontrol edilmesi
b \cdot (a + c) ifadesinin her zaman çift sayı olduğu görülür.
b sayısının çift tam sayı olduğu kanıtlanmıştır. a ve c birer tam sayı olduğundan toplamları olan a + c de bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olacağından b \cdot (a + c) ifadesinin sonucu daima çifttir. Diğer seçeneklerde ise a sayısının paritesinin bilinmemesi veya negatif üs durumunda ifadenin tam sayı olmama ihtimali (rasyonel sayı olması) nedeniyle kesinlik sağlanamaz.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri, ardışık sayıların çarpımının paritesi ve üs işlemlerinde taban/üs tam sayı koşulları.
Soru 52Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅c(a + b) \cdot c
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a⋅c+ba \cdot c + b
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. bc+ab^c + a

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri her zaman tek sayıdır.
I ve II öncüllerindeki ifadeler, aa ve bb sayılarının zıt paritede olması ve cc sayısının tek olması durumlarının her ikisinde de tek sayı sonucunu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ifadesini analiz ederek temel çarpanların paritesini belirlemek.
a+ba+b ifadesi tek sayı ve cc sayısı tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
a+ba+b toplamının tek olmasından hareketle aa ve bb değişkenlerinin durumlarını incelemek.
aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır. Bu durumda a⋅ba \cdot b çarpımı kesinlikle çift sayıdır.
İki tam sayının toplamının tek olması için bu sayıların biri tek, diğeri çift olmalıdır.
3
Birinci öncüldeki a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayıdır.
aa çift ve bb tek ise: c¸ift⋅tek+tek=c¸ift+tek=tek\text{çift} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. aa tek ve bb çift ise: tek⋅tek+c¸ift=tek+c¸ift=tek\text{tek} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur.
4
İkinci öncüldeki a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayıdır.
a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman çift, cc ise tek sayıdır. Bu durumda c¸ift+tek=tek\text{çift} + \text{tek} = \text{tek} elde edilir.
5
Üçüncü öncüldeki bc+ab^c + a ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
İfade her zaman tek sayı değildir, hatta tam sayı bile olmayabilir.
cc sayısının pozitif olduğu belirtilmemiştir. Örneğin, c=−1c = -1 (tek sayı) ve b=2b = 2 (çift sayı), a=1a = 1 (tek sayı) alınırsa bc+a=2−1+1=32b^c + a = 2^{-1} + 1 = \frac{3}{2} olur. Rasyonel sayıların teklik-çiftlik durumu tanımlı değildir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma ve üs alma kuralları ile üssün pozitif tam sayı olma zorunluluğu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 53Soru →

aa ve bb sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere,

ab+a⋅ba^b + a \cdot b

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. a⋅ba \cdot b
II. bab^a
III. ab⋅ba^b \cdot b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen toplamın tek sayı olması, her iki durumda da bb değişkeninin çift tam sayı, aa değişkeninin ise tek tam sayı olmasını gerektirir. Bu durumda, birinci öncüldeki çarpım ve üçüncü öncüldeki ifade daima çift tam sayıdır. İkinci öncüldeki ifade ise aa değişkeninin negatif olması durumunda rasyonel sayı belirtebileceğinden her zaman çift sayı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin tam sayı olma koşulunun incelenmesi
aba^b ifadesi bir tam sayı olmak zorundadır.
aa ve bb sıfırdan farklı tam sayılar olduğundan, a⋅ba \cdot b ifadesi daima bir tam sayıd��r. İki tam sayının toplamı veya farkı yine tam sayı olacağından, ab+a⋅ba^b + a \cdot b ifadesinin tek sayı (dolayısıyla tam sayı) olması için aba^b ifadesinin de tam sayı olması gerekir.
2
bb değişkeninin negatif olma durumunun (b<0b < 0) incelenmesi
bb çift tam sayı ve aa tek tam sayı olmalıdır (a∈{−1,1}a \in \{-1, 1\}).
b<0b < 0 iken aba^b ifadesinin tam sayı olabilmesi için taban aa sayısı yalnızca 11 veya −1-1 olabilir. a=1a = 1 ise 1b+b=1+b1^b + b = 1 + b tek sayı olmalıdır, buradan bb çift çıkar. a=−1a = -1 ise (−1)b−b(-1)^b - b tek sayı olmalıdır; bb çift ise (−1)b−b=1−b(-1)^b - b = 1 - b (tek) olur, bb tek ise (−1)b−b=−1−b(-1)^b - b = -1 - b (çift) olur. Dolayısıyla her iki durumda da bb çift sayıdır.
3
bb değişkeninin pozitif olma durumunun (b>0b > 0) incelenmesi
bb çift tam sayı ve aa tek tam sayı olmalıdır.
b>0b > 0 iken aba^b daima tam sayıdır. aa çift olsaydı ab+a⋅ba^b + a \cdot b çift + çift = çift olurdu, bu çelişkidir. Dolayısıyla aa tek olmalıdır. aa tek ise aba^b tektir ve toplamın tek olması için a⋅ba \cdot b çift olmalıdır. aa tek olduğundan bb çift olmalıdır.
4
Öncüllerin teker teker analiz edilmesi
I. öncül her zaman çift, II. öncül her zaman çift değil, III. öncül her zaman çifttir.
I. a⋅ba \cdot b ifadesinde bb çift olduğundan çarpım daima çifttir. II. bab^a ifadesinde aa negatif olabileceğinden (a=−1,b=2a = -1, b = 2 için 2−1=1/22^{-1} = 1/2) ifade tam sayı olmayabilir. III. ab⋅ba^b \cdot b ifadesinde, b>0b > 0 ise aba^b tek ve bb çift olduğundan çarpım çifttir; b<0b < 0 ise a=±1a = \pm 1 ve bb çift olduğundan ab=1a^b = 1 olur ve 1⋅b=b1 \cdot b = b (çift) elde edilir. Dolayısıyla I ve III her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda negatif üs kavramı ve teklik-çiftlik üzerindeki etkisi
Soru 54Soru →

pp ve qq iki tam sayıdır.

p+3qp + 3q

ifadesinin bir çift sayıya eşit olduğu bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: p+qp + q

Cevap

p+qp + q
Verilen p+3qp + 3q ifadesi çift olduğundan, pp ve qq tam sayılarının ikisi de tek ya da ikisi de çift olmak zorundadır. Aynı paritede olan iki tam sayının toplamı olan ifade her zaman çift sayı olacağından doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin paritesini analiz etme
pp ve qq tam sayılarının aynı pariteye sahip olduğu belirlenir.
p+3qp + 3q ifadesinin çift sayı olması için pp ve 3q3q ifadelerinin ikisinin de çift veya ikisinin de tek olması gerekir. 3q3q ifadesinin paritesi qq ile aynı olduğundan, pp çift ise qq da çift, pp tek ise qq da tek olmalıdır.
2
Seçeneklerdeki ifadelerin paritelerini test etme
p+qp + q ifadesinin her iki durumda da çift olduğu gösterilir.
pp ve qq tam sayılarının ikisi de çift olduğunda p+qp+q çift + çift = çift olur. İkisi de tek olduğunda p+qp+q tek + tek = çift olur. Her iki durumda da sonuç kesinlikle çift sayıdır.

Anahtar Kavram

İki tam sayının toplamının tekliği veya çiftliği, bu sayıların tek tek paritelerine bağlıdır. Aynı paritedeki iki sayının toplamı veya farkı her zaman çift bir sayıdır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 55Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya yazdığı aa, bb ve cc tam sayıları hakkında öğrencilerine şu bilgileri vermiştir:

* a⋅b+aa \cdot b + a sayısı tek sayıdır.
* b+cb + c sayısı çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+c)a \cdot (b + c)

Cevap

a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesi her zaman çift sayıdır.
bb ve cc çift tam sayılar olduğundan, toplamları olan b+cb+c ifadesi de her zaman çift bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olduğundan, a⋅(b+c)a \cdot (b+c) ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b+aa \cdot b + a ifadesini ortak çarpan parantezine alarak inceleyin.
a⋅b+a=a(b+1)a \cdot b + a = a(b+1) olur. Bu ifadenin tek sayı olduğu belirtilmiştir. İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan aa tek sayı ve b+1b+1 tek sayı (dolayısıyla bb çift sayı) olarak bulunur.
Çarpımın teklik-çiftlik özelliğini kullanarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.
2
b+cb + c ifadesinin çift sayı olmasını kullanarak cc sayısının durumunu belirleyin.
bb çift sayı olduğuna göre, toplamın çift olması için cc sayısı da çift sayı olmalıdır. Böylece aa tek, bb çift ve cc çift tam sayılar olarak elde edilir.
İkinci öncüldeki toplama işleminin sonucundan üçüncü değişkenin karakteristiğini ortaya çıkarmak için bu adım uygulanır.
3
Seçenekleri bu bilgiler doğrultusunda ve tam sayıların negatif olabilme durumunu göz önünde bulundurarak analiz edin.
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinde b+cb+c her zaman çift bir tam sayıdır. Bir çift tam sayı ile aa tam sayısının çarpımı, aa ne olursa olsun her zaman çift sayıdır. Kuvvet içeren diğer seçeneklerde ise üssün negatif olma durumunda sonucun tam sayı olmama ihtimali vardır.
Her zaman doğru olan seçeneği belirlemek ve negatif üs tuzaklarını elemek amacıyla son kontrol yapılır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler ve üslü ifadelerde tam sayı kuvvetlerin rasyonel sonuçlar üretebilme durumu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 56Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a2+ba^2 + b
ifadesinin bir çift sayıya,
b2+cb^2 + c
ifadesinin ise bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+ba + b
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. bc+ab^c + a

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Verilen bilgilere göre, aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. Dolayısıyla, her iki durumda da (ikisi de çift veya ikisi de tek olduğunda) toplamları olan a+ba + b her zaman çift sayıdır. Bu nedenle sadece birinci öncül her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek.
aa ile bb aynı teklik-çiftlik karakterine sahipken, bb ile cc zıt karakterdedir.
a2+ba^2 + b toplamının çift olması için a2a^2 ile bb aynı karakterde olmalıdır. b2+cb^2 + c toplamının tek olması için b2b^2 ile cc zıt karakterde olmalıdır. Herhangi bir xx tam sayısı için x2x^2 ile xx aynı teklik-çiftlik özelliğine sahiptir.
2
Değişkenlerin alabileceği olası durumları belirlemek.
Olası durumlar: 1) aa çift, bb çift, cc tek; 2) aa tek, bb tek, cc çift.
Bir önceki adımdaki karakter eşleşmelerine göre değişken pariteleri bu iki durumu oluşturur.
3
Birinci öncülü (a+ba+b) değerlendirmek.
a+ba+b ifadesi her zaman çift sayıdır.
aa ve bb aynı karakterde olduğundan (çift+çift veya tek+tek), toplamları her zaman çift sayı olur.
4
İkinci öncülü (a⋅c+ba \cdot c + b) değerlendirmek.
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi tek sayı olabilir.
İkinci durumda (aa tek, bb tek, cc çift) a⋅c+b=tek⋅c¸ift+tek=c¸ift+tek=teka \cdot c + b = \text{tek} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. Dolayısıyla her zaman çift sayı değildir.
5
Üçüncü öncülü (bc+ab^c + a) değerlendirmek.
bc+ab^c + a ifadesi her zaman çift sayı olmak zorunda değildir, tam sayı bile olmayabilir.
a,b,ca, b, c tam sayı olduğundan cc negatif olabilir. Örneğin a=5a=5, b=3b=3, c=−2c=-2 için 3−2+5=46/93^{-2} + 5 = 46/9 olur ve bu bir tam sayı olmadığından teklik-çiftlik belirtmez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların özellikleri, üslü ifadelerde taban ve üs ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 57Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
x⋅zx \cdot z
ifadesinin bir tek sayıya,
x⋅y+zx \cdot y + z
ifadesinin ise bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (x−y)⋅z(x - y) \cdot z

Cevap

Parantez içinde x eksi y çarpı z ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Parantez içinde x eksi y çarpı z ifadesi her zaman çift bir sayıdır. Çünkü x ve y tek sayılar olduğundan farkları olan x - y her zaman çift bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile z tam sayısının çarpımı da daima çift bir sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
x ve z tam sayılarının çarpımının tek sayı olmasından yola çıkarak bu sayıların tekliğini veya çiftliğini belirleyin.
x ve z tam sayılarının çarpımı tek sayı olduğundan, hem x hem de z tek sayı olmak zorundadır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
x çarpı y artı z ifadesinin çift sayı olmasından yola çıkarak y tam sayısının tekliğini veya çiftliğini belirleyin.
x çarpı y artı z ifadesi çift sayı ve z tek sayı olduğundan, x çarpı y ifadesi tek sayı olmalıdır. x tek sayı olduğundan, y de tek sayı olmak zorundadır.
Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı tek sayı olacağından, sonucun çift olabilmesi için z (tek) ile toplanan x çarpı y ifadesinin tek sayı olması gerekir. İki sayının çarpımı tek ise ikisinin de tek olması gerekir.
3
Elde edilen sonuçlara göre x, y ve z sayılarının tamamının tek sayı olduğunu kullanarak seçeneklerdeki ifadeleri inceleyin.
x ve y tek sayı olduğundan farkları (x - y) her zaman çift bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile z tam sayısının çarpımı olan (x - y) çarpı z ifadesi her zaman çift bir sayıdır. Diğer seçeneklerdeki üslü ifadeler ise negatif üs durumunda tam sayı belirtmeyebileceği için her zaman çift sayı olamazlar.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çift sayıdır. Ancak negatif tam sayı üsleri rasyonel sonuçlar doğurabileceğinden teklik-çiftlik kavramı kapsamında incelenemez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların özellikleri ile tam sayılarda işlemler
Soru 58Soru →
xx, yy ve zz birer tam sayı olmak üzere,
(x−y)⋅(y−z)(x - y) \cdot (y - z)
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. x+zx + z
II. x⋅z+yx \cdot z + y
III. x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z

ifadelerinden hangileri her zaman çift say��dır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen çarpım ifadesinin tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Bu durumda x−yx-y ve y−zy-z ifadelerinin ikisi de tek sayıdır. İki tam sayının farkının tek sayı olması, bu sayıların zıt pariteye (biri tek, diğeri çift) sahip olduğunu gösterir. Dolayısıyla, yy çift sayı ise xx ve zz tek sayı; yy tek sayı ise xx ve zz çift sayıdır. Her iki durumda da xx ve zz aynı pariteye sahiptir.

I. öncüldeki x+zx + z ifadesinde, aynı paritedeki iki sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından bu ifade her zaman çift sayıdır.

III. öncüldeki x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z ifadesi y(x+z)y(x + z) şeklinde ortak çarpan parantezine alınabilir. x+zx+z her zaman çift sayı olduğundan, bu toplamın yy tam sayısı ile çarpımı da her zaman çift sayı olur.

Bu nedenlerle doğru yanıt 'I ve III' seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek
x−yx - y ve y−zy - z ifadelerinin ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
Değişkenlerin parite ilişkisini belirlemek
xx ve zz aynı pariteye (ikisi de çift veya ikisi de tek) sahipken, yy bunlardan farklı pariteye sahiptir.
x−yx - y tek ise xx ve yy farklı paritededir. y−zy - z tek ise yy ve zz farklı paritededir. Dolayısıyla xx ve zz aynı paritede olmalıdır.
3
Öncülleri tek tek değerlendirmek
I. x+zx + z her zaman çift sayıdır. II. x⋅z+yx \cdot z + y her zaman tek sayıdır. III. x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z her zaman çift sayıdır.
Aynı paritedeki iki sayının toplamı çifttir. Birinci öncül her zaman çift olur. İkinci öncülde her iki durumda da sonuç tek olur. Üçüncü öncül y(x+z)y(x + z) olarak yazıldığında, x+zx + z çift olduğundan sonuç her zaman çift olur.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 59Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere, aba^b ve bcb^c ifadeleri de birer tam sayıdır.

ab+bca^b + b^c

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

Değişkenlerin çarpımı olan a⋅ba \cdot b ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Olası iki durumda da aa ve bb tam sayılarından biri tek iken diğeri çifttir. Çarpanlardan en az biri çift sayı olduğundan, bu iki sayının çarpımı her zaman bir çift tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
aba^b ve bcb^c ifadelerinin tam sayı olma koşullarını incelemek.
Negatif bir üssün sonucu tam sayı yapabilmesi için tabanın ±1\pm 1 olması gerekir. Dolayısıyla, b<0b < 0 ise a∈{−1,1}a \in \{-1, 1\} (yani aa tektir). Benzer şekilde, c<0c < 0 ise b∈{−1,1}b \in \{-1, 1\} (yani bb tektir).
Taban sıfırdan farklı bir tam sayı iken üssün negatif olması durumunda ifadenin tam sayı çıkması yalnızca tabanın çarpmaya göre tersinin de tam sayı olmasıyla mümkündür.
2
ab+bca^b + b^c toplamının tek sayı olma durumlarını analiz etmek.
İki tam sayının toplamının tek olması için biri çift, diğeri tek olmalıdır.
- Durum 1: aba^b çift ve bcb^c tek olsun. aba^b çift ise aa çift olmalıdır (bu durumda b>0b > 0 olur). bcb^c tek ise bb tek olmalıdır.
- Durum 2: aba^b tek ve bcb^c çift olsun. bcb^c çift ise bb çift olmalıdır (bu durumda c>0c > 0 olur). aba^b tek ise aa tek olmalıdır.
Zıt teklik-çiftlik karakterindeki iki tam sayının toplamı her zaman tek sayıdır.
3
Elde edilen veriler doğrultusunda seçenekleri değerlendirmek.
Her iki durumda da aa ve bb değişkenlerinden biri tek iken diğeri çifttir. Bu nedenle a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman bir çift sayıdır. Diğer seçeneklerdeki ifadeler ise negatif üs durumlarında rasyonel sayı belirtebileceğinden veya teklik-çiftlik durumu değişkenlik göstereceğinden her zaman çift sayı olmazlar.
Bir çift tam sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çift bir tam sayıdır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda teklik ve çiftlik kavramlarında tabanın ve üssün tam sayı olma sınırları ile işaretlerinin incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 60Soru →
Tam sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için
a2+3a+ba^2 + 3a + b
toplamının bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b3+3b^3 + 3

Cevap

İçinde b'nin tek kuvveti ile tek bir sayının toplamını barındıran ifade her zaman çift sayıdır.
Verilen toplamda a(a+3)a(a+3) terimi her zaman çift olduğu için bb sayısı mutlaka tek sayıdır. Tek bir sayının pozitif tam sayı kuvvetleri de tek olacağından b3b^3 tektir. Tek sayı ile tek sayı olan 3'ün toplamı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
a2+3aa^2 + 3a ifadesinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
a2+3a=a(a+3)a^2 + 3a = a(a+3) şeklinde yazılabilir. aa tam sayısı tek ise a+3a+3 çift, aa çift ise a+3a+3 tek olacağından bu çarpım her zaman çift sayıdır.
Toplama işlemindeki diğer terimlerin karakterini belirlemek için bilinen kısmın paritesini bulmak gerekir.
2
bb sayısının teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.
a2+3aa^2 + 3a çift olduğundan, çift sayı ile bb sayısının toplamının tek olması için bb sayısının tek sayı olması gerekir.
Çift bir sayı ile ancak tek bir sayı toplandığında sonuç tek sayı olur.
3
Seçeneklerdeki ifadeleri bb'nin tek sayı olduğu ve aa hakkında kesin bilgi olmadığı durumuna göre incelemek.
bb tek sayı ise b3b^3 de tek sayıdır. Buradan b3+3b^3 + 3 ifadesi tek ile tekin toplamı olacağından çift olur. Diğer seçenekler ise ya aa değerine bağlıdır ya da tam sayı olma garantisi taşımamaktadır.
Her zaman çift sayı olan doğru seçeneği tespit etmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların özellikleri ile ardışık tam sayıların çarpımının çift olması prensibi.
ÖncekiSayfa 3 / 5Sonraki
Tek ve Çift Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin