Examkin

Tek ve Çift Sayılar

93 soru

Soru 21Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı birer tam sayı olmak üzere,

* a+b⋅ca + b \cdot c
* a⋅b+ca \cdot b + c
* a⋅(b+c)a \cdot (b + c)

sayılarından iki tanesinin tek sayı, bir tanesinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. a+ca + c tek sayıdır.
II. a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 çift sayıdır.
III. ba+cb^a + c çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci öncüllerin her zaman doğru olduğunu belirten 'I ve II' ifadesidir.
Verilen iki tek, bir çift sayı koşulunu yalnızca aa sayısının çift, bb ve cc sayılarının ise tek olduğu durum sağlamaktadır. Buna göre; çift sayı ile tek sayının toplamı olan birinci öncül daima tektir. Tam sayıların karelerinin toplamından elde edilen ikinci öncül daima çifttir. Üçüncü öncülde ise aa üssü negatif bir çift tam sayı olabileceğinden (örneğin a=−2a = -2), bab^a ifadesi rasyonel bir sayı belirtir ve teklik-çiftlik aranmaz. Bu nedenle yalnızca birinci ve ikinci öncüller her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç ifadenin teklik-çiftlik durumlarını incelemek için değişkenlerin durumlarını analiz etmek.
Sadece aa çift, bb tek ve cc tek olduğunda iki tek ve bir çift sayı elde edilir.
Olası tüm teklik-çiftlik durumları test edildiğinde; aa çift (Ç), bb tek (T), cc tek (T) iken:
* a+bc≡C¸+T⋅T≡Ta + bc \equiv \text{Ç} + \text{T} \cdot \text{T} \equiv \text{T}
* ab+c≡C¸⋅T+T≡Tab + c \equiv \text{Ç} \cdot \text{T} + \text{T} \equiv \text{T}
* a(b+c)≡C¸⋅(T+T)≡C¸a(b+c) \equiv \text{Ç} \cdot (\text{T} + \text{T}) \equiv \text{Ç}
koşulu sağlayan tek durumdur.
2
Elde edilen aa (çift), bb (tek), cc (tek) tam sayı bilgileriyle birinci öncülü test etmek.
a+ca+c ifadesi daima tektir.
Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı (a+c≡C¸+T≡Ta+c \equiv \text{Ç} + \text{T} \equiv \text{T}) her zaman tektir.
3
İkinci öncülü test etmek.
a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 ifadesi daima çifttir.
aa çift olduğundan karesi çift, bb ve cc tek olduğundan kareleri tektir. C¸+T+T≡C¸\text{Ç} + \text{T} + \text{T} \equiv \text{Ç} kuralından toplam daima çifttir.
4
Üçüncü öncülü test etmek.
ba+cb^a + c ifadesi her zaman çift olmayabilir, hatta bir tam sayı bile belirtmeyebilir.
aa çift bir tam sayıdır fakat negatif bir sayı da olabilir (örneğin a=−2a = -2). Bu durumda ba=b−2=1b2b^a = b^{-2} = \frac{1}{b^2} ifadesi rasyonel bir sayıdır ve teklik-çiftlik özelliği aranmaz.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel dört işlem kuralları ile üslü ifadelerde üssün negatif olma durumunun teklik-çiftlik üzerindeki etkisi.
Soru 22Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a2−a+3ba^2 - a + 3b
ifadesinin bir çift sayıya eşit olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

a ile b sayılarının çarpımı her zaman bir çift sayıdır.
b sayısının çift sayı olduğu belirlendikten sonra, çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımının her zaman çift sayı olacağı kuralından dolayı bu ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadedeki terimlerin teklik-çiftlik durumunu analiz edin.
a2−aa^2 - a ifadesi a(a−1)a(a-1) şeklinde yazılabilir. Ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çift olduğundan, a2−aa^2 - a ifadesi her zaman çift sayıdır.
Toplama ve çıkarma işlemlerinde teklik ve çiftlik kurallarını uygulamak için bilinen kısımları ayırmak gerekir.
2
b sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
a2−aa^2 - a ifadesi çift olduğundan, (a2−a)+3b(a^2 - a) + 3b ifadesinin çift olabilmesi için 3b3b ifadesinin de çift sayı olması gerekir. Buradan bb sayısının kesinlikle çift sayı olduğu sonucuna varılır.
Çift bir sayıya ancak çift bir sayı eklendiğinde sonuç çift sayı olur.
3
a sayısının durumunu değerlendirin.
aa tam sayısı hakkında herhangi bir teklik veya çiftlik bilgisi elde edilemez; aa tek veya çift olabilir.
a2−aa^2 - a ifadesi aa tek de olsa çift de olsa her zaman çift sayı sonuç verdiğinden, aa hakkında kesin bir yargıya varılamaz.
4
Seçenekleri b'nin çift sayı, a'nın ise herhangi bir tam sayı olduğu bilgisine göre test edin.
bb çift sayı olduğundan, aa tam sayısı ne olursa olsun a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman çift sayı olacaktır.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların çarpımının çift olması ve çarpma işleminde çift çarpanın yutan eleman gibi davranarak sonucu çift yapması özelliği.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 23Soru →
aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,
a⋅b+ca \cdot b + c
ifadesinin çift sayı,
b+cb + c
ifadesinin ise tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+b+ca + b + c tek sayıdır.
II. (a−c)b(a - c)^b çift sayıdır.
III. ba+cb^a + c tek sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Yalnız I öncülü her zaman doğrudur. Belirlenen paritelere göre çift, tek ve çift sayıların toplamı her zaman tek sayıdır ve tam sayılarda toplama işlemi tanımlı olduğundan bu sonuç kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarından hareketle değişkenlerin paritelerini belirlemek.
bb tek sayı, cc çift sayı ve aa çift sayı olmalıdır.
Eğer bb çift olsaydı, b+cb+c tek olduğundan cc tek olurdu. Bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi çift + tek = tek sayı olurdu ki bu verilen bilgiyle çelişir. Dolayısıyla bb tek, cc çift olmalıdır. a⋅b+ca \cdot b + c çift olduğundan ve cc çift olduğundan a⋅ba \cdot b çift olmalıdır. bb tek olduğundan aa çift olmak zorundadır.
2
I. öncülün doğruluğunu test etmek.
a+b+ca + b + c ifadesi her zaman tek sayıdır.
Çift (aa) + Tek (bb) + Çift (cc) = Tek sayı olur. Tam sayılar kümesinde toplama işlemi her zaman tanımlıdır ve sonuç tam sayıdır.
3
II. öncülün doğruluğunu test etmek.
(a−c)b(a - c)^b ifadesi her zaman çift sayı olmak zorunda değildir.
bb negatif bir tek sayı olabilir (örneğin b=−1b = -1). a=4a = 4 ve c=2c = 2 seçilirse (4−2)−1=2−1=1/2(4-2)^{-1} = 2^{-1} = 1/2 olur. Rasyonel sayıların teklik-çiftlik özelliği yoktur.
4
III. öncülün doğruluğunu test etmek.
ba+cb^a + c ifadesi her zaman tek sayı olmak zorunda değildir.
aa negatif bir çift sayı olabilir (örneğin a=−2a = -2). b=3b = 3 ve c=2c = 2 seçilirse 3−2+2=19/93^{-2} + 2 = 19/9 olur. Rasyonel sayıların teklik-çiftlik özelliği yoktur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda dört işlem özellikleri ile üs alma kuralları. Negatif üslerin sayıları rasyonel yapması ve rasyonel sayıların teklik-çiftlik özelliğinin olmaması.
Soru 24Soru →

Her biri birer tam sayı olan aa, bb ve cc sayıları için
* a+ba + b toplamının çift sayı
* b⋅cb \cdot c çarpımının tek sayı
olduğu biliniyor.

Buna göre,
I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
III. ac+ba^c + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri her zaman bir çift sayıya e��ittir.
Verilen bilgiler doğrultusunda aa, bb ve cc sayılarının tamamı tek tam sayıdır. Tek sayıların çarpımı tek olduğundan a⋅ba \cdot b tektir, buna tek sayı olan cc eklendiğinde sonuç çift sayı olur. a+ca + c toplamı iki tek sayının toplamı olduğundan çifttir, çift bir sayının bb tam sayısı ile çarpımı da çifttir. Üçüncü öncülde ise negatif üs durumunda ifadenin tam sayı olmama olasılığı bulunduğundan her zaman çift sayıya eşit olduğunu söyleyemeyiz.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpımın teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.
bb ve cc sayılarının her ikisi de tek tam sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
Verilen toplamın teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.
aa sayısı tek tam sayıdır.
bb tek sayı olduğuna göre, a+ba + b toplamının çift sayı olabilmesi için aa say��sının da tek sayı olması gerekir.
3
Birinci öncülü (a⋅b+ca \cdot b + c) değerlendirmek.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.
aa ve bb tek sayı olduğundan çarpımları a⋅ba \cdot b tek sayıdır. Tek sayı olan a⋅ba \cdot b ile tek sayı olan cc toplandığında sonuç çift sayı olur.
4
İkinci öncülü (b⋅(a+c)b \cdot (a + c)) değerlendirmek.
b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi her zaman çift sayıdır.
aa ve cc tek sayı olduğundan toplamları a+ca + c çift sayıdır. Çift bir sayının herhangi bir tam sayı (bb) ile çarpımı her zaman çift sayıdır.
5
Üçüncü öncülü (ac+ba^c + b) değerlendirmek.
ac+ba^c + b ifadesi her zaman çift sayıya eşit değildir.
cc tek bir tam sayıdır ve negatif olabilir (örneğin c=−1c = -1). Bu durumda a=3a = 3 ve b=1b = 1 için ac+b=3−1+1=4/3a^c + b = 3^{-1} + 1 = 4/3 elde edilir ki bu sayı tam sayı bile değildir, dolayısıyla tekliği veya çiftliği tanımlı değildir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ve kuvvet alırken üssün pozitifliği/negatifliği durumunun incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 25Soru →

Bir kargo firmasında bulunan üç farklı koli grubundaki koli sayıları sırasıyla aa, bb ve cc pozitif tam sayılarıdır.
* Birinci ve ikinci gruptaki koli sayılarının toplamı bir tek sayıdır.
* İkinci ve üçüncü gruptaki koli sayılarının çarpımı bir çift sayıdır.

Buna göre;
I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III
Yalnız üçüncü ifade incelendiğinde; ikinci değişken çift olduğunda çarpım doğrudan çift sayı olur. İkinci değişken tek olduğunda ise birinci ve üçüncü değişkenler çift olmak zorundadır. Bu durumda parantez içi toplam çift olacağından çarpım yine çift sayı olur. Dolayısıyla bu ifade her durumda çift sayıya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel öncülleri matematiksel teklik-çiftlik ifadelerine dönüştürmek.
a+ba + b toplam�� bir tek sayı (T) ve b⋅cb \cdot c çarpımı bir çift sayıdır (Ç).
Soru kökündeki bilgileri analiz edebilmek için cebirsel gösterimlerden yararlanmamız gerekir.
2
a,ba, b ve cc değişkenlerinin alabileceği teklik-çiftlik durumlarını belirlemek için durum analizi yapmak.
İki temel durum mevcuttur:
1. Durum: bb çift (Ç) ise aa tek (T) olmalıdır. Bu durumda cc sayısı tek (T) veya çift (Ç) olabilir.
2. Durum: bb tek (T) ise aa çift (Ç) ve cc çift (Ç) olmalıdır.
Toplamın tek olması için terimlerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir; çarpımın çift olması için ise en az bir terimin çift olması şarttır.
3
Elde edilen tüm olası teklik-çiftlik kombinasyonlarını öncüllerde yerine yazarak denetlemek.
I. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi: 1. durum altında cc tek olduğunda T⋅C\c+T=TT \cdot Ç + T = T (tek) olur.
II. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesi: 1. durum altında cc tek olduğunda (T+C\c)⋅T=T(T + Ç) \cdot T = T (tek) olur.
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi: bb çift ise çarpım çift olur. bb tek ise aa ve cc çift olduğundan a+ca+c toplamı çift olur ve çarpım yine çift olur.
İfadelerin 'her zaman' çift sayı olabilmesi için tüm olasılıklarda çift sayı üretmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri ile çok değişkenli durum analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 26Soru →

Aslı, Banu ve Cemal'in ellerindeki kart sayıları sırasıyla aa, bb ve cc pozitif tam sayılarıdır.

* Aslı kartlarının yarısını Banu'ya verirse, Banu'nun kart sayısı tek sayı oluyor.
* Banu kartlarının üçte birini Cemal'e verirse, Cemal'in kart sayısı çift sayı oluyor.

Buna göre,

I. b+cb + c
II. a+b+ca + b + c
III. a⋅b+ca \cdot b + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Birinci ve ikinci ifadeler her zaman çift sayıdır. bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu belirlendiğinde, toplamları olan b+cb + c ifadesinin daima çift olduğu ortaya çıkar. aa sayısının da çift olduğu bilindiğinden, a+b+ca + b + c toplamı da iki çift sayının toplamı olarak daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bölme işlemlerinden değişkenlerin temel özelliklerini belirleme
aa sayısı çift sayıdır ve bb sayısı 3'ün katı olan bir pozitif tam sayıdır.
Aslı kartlarının yarısını (a/2a/2), Banu ise kartlarının üçte birini (b/3b/3) verebildiğine göre kart sayıları tam sayı olmalıdır.
2
Birinci ifadeden elde edilen parite ilişkisini kurma
b+a2b + \frac{a}{2} toplamı tek sayıdır.
Aslı kartlarının yarısını Banu'ya verdiğinde Banu'nun yeni kart sayısı tek sayı olmaktadır.
3
İkinci ifadeden elde edilen parite ilişkisini kurma
c+b3c + \frac{b}{3} toplamı çift sayıdır.
Banu kartlarının üçte birini Cemal'e verdiğinde Cemal'in yeni kart sayısı çift sayı olmaktadır.
4
bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını ilişkilendirme
bb ve cc sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. Yani ikisi de aynı anda tek veya ikisi de aynı anda çifttir.
b=3mb = 3m (mm tam sayı) olsun. Bu durumda bb ile mm aynı paritededir. İkinci adımdan, c+mc + m çift olduğuna göre cc ile mm aynı paritededir. Dolayısıyla bb ile cc aynı paritededir.
5
Önermeleri tek tek analiz etme
I. b+cb+c toplamı daima çifttir. II. a+b+ca+b+c toplamı daima çifttir. III. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi ise her zaman çift değildir.
bb ve cc aynı paritede olduğundan toplamları b+cb+c daima çifttir. aa çift olduğundan a+(b+c)a+(b+c) da daima çifttir. Ancak a/2a/2 çift ise bb ve cc tek olur, bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c tek olur. a/2a/2 tek ise bb ve cc çift olur, bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c çift olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma işlemleri ve bölme içeren tam sayı koşullarının analiz edilmesi.
Soru 27Soru →

Verilen xx ve yy tam sayıları için x+yx + y toplamının bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅yx \cdot y

Cevap

İki sayının çarpımı olan ifade daima çift sayıdır.
Toplamları tek sayı olan iki tam sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Çarpma işleminde çarpanlardan birinin çift sayı olması, çarpımın sonucunun daima çift sayı olmasını sağlar. Bu yüzden iki sayının çarpımını gösteren ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamları tek olan iki tam sayının teklik-çiftlik durumlarını belirleyin.
Sayılardan biri tek, diğeri çift sayıdır.
İki tam sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
Seçeneklerdeki çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumunu inceleyin.
İki sayının çarpımı daima çift sayı olur.
Çarpanlardan biri çift olduğunda çarpımın sonucu daima çift olacağından, biri tek diğeri çift olan iki sayının çarpımı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Toplamları tek olan iki tam sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Çarpanlarından en az biri çift olan çarpım işlemleri daima çift sayıdır.
Soru 28Soru →
Tam sayılar kümesinin elemanları olan aa, bb ve cc için
a⋅b+ca \cdot b + c
b⋅c+ab \cdot c + a
ifadelerinin her ikisinin de birer tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+b+ca + b + c
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
III. ab+bc+caa^b + b^c + c^a

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman çift sayıdır.
Birinci ve ikinci ifadeler, bb sayısının tek veya çift olmasına bağlı her iki durumda da çift sayı sonucu verir. Üçüncü ifade ise negatif üs durumunda tam sayı belirtmeyebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarının belirlenmesi.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı ve b⋅c+ab \cdot c + a ifadesinin de tek sayı olduğu belirlenir.
Soruda bu iki ifadenin tek sayı olduğu doğrudan verilmiştir.
2
bb değişkeninin durumuna göre durum analizi yapılması.
Durum 1: Eğer bb çift sayı ise, a⋅ba \cdot b çift olur. a⋅b+ca \cdot b + c tek olduğundan cc tek sayı olmalıdır. Benzer şekilde, b⋅cb \cdot c çift olur ve b⋅c+ab \cdot c + a tek olduğundan aa tek sayı olmalıdır. Bu durumda bb çift, aa ve cc tektir.
Durum 2: Eğer bb tek sayı ise, a⋅b+ca \cdot b + c tek olduğundan a+ca + c toplamı tek olmalıdır. Bu durumda aa ve cc sayılarından biri çift, diğeri tek sayı olmak zorundadır.
Çarpım ve toplam işlemlerinde teklik ve çiftlik kurallarını incelemek amacıyla durum analizi yapılmıştır.
3
Öncüllerin her iki durum için de değerlendirilmesi.
I. a+b+ca + b + c ifadesi: Durum 1 için Tek + Çift + Tek = Çift olur. Durum 2 için a+ca+c tek ve bb tek olduğundan Tek + Tek = Çift olur. Dolayısıyla bu ifade her zaman çifttir.
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesi: Durum 1'de bb çift olduğundan çarpım çifttir. Durum 2'de aa ve cc sayılarından en az biri çift olduğundan çarpım yine çifttir. Dolayısıyla bu ifade her zaman çifttir.
III. ab+bc+caa^b + b^c + c^a ifadesi: Soruda aa, bb ve cc'nin pozitif tam sayı olduğu belirtilmemiştir. Örneğin, b=−2b = -2 gibi negatif bir tam sayı seçildiğinde ifade rasyonel sayıya dönüşebilir ve tek veya çift olarak tanımlanamaz.
Her bir öncülün kesinlikle çift sayı olup olmadığını test etmek amacıyla analiz gerçekleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler ve üslerin negatif tam sayı olabilme durumu
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 29Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
(x−y)⋅(y−z)(x - y) \cdot (y - z)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+zx + z

Cevap

x+zx + z ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
xx ve zz sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. İki tek sayının toplamı veya iki çift sayının toplamı her zaman çift sayı olduğundan, x+zx + z ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın sonucunu analiz etme
(x−y)(x - y) ve (y−z)(y - z) ifadelerinin her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için çarpanların her birinin ayrı ayrı tek sayı olması gerekir.
2
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirleme
xx ile yy zıt karakterde (biri tek ise diğeri çift), yy ile zz de zıt karakterdedir. Buradan xx ve zz sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu (ikisi birden tek veya ikisi birden çift) sonucuna ulaşılır.
x−yx - y farkının tek olması için xx ve yy sayılarının paritelerinin farklı olması gerekir. Benzer şekilde y−zy - z farkının tek olması için yy ve zz sayılarının paritelerinin farklı olması gerekir. Bu durumda xx ile zz, yy'ye göre zıt paritede olduklarından kendi aralarında aynı paritede olurlar.
3
Seçenekleri değerlendirme
x+zx + z ifadesi, aynı pariteye sahip iki sayının toplamı olduğundan (T + T = Ç veya Ç + Ç = Ç) her zaman bir çift sayıdır.
Aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki tam sayının toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Anahtar Kavram

İki tam sayının çarpımı tek sayı ise çarpanların her ikisi de tek sayıdır. Zıt paritedeki sayıların farkı tek, aynı paritedeki sayıların toplamı çift sayıdır.
Soru 30Soru →

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,

3a+b3a + b

ifadesinin bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a−b+3a - b + 3

Cevap

İki sayının farkının 3 fazlasını gösteren ifade her zaman tek sayıdır.
İki tam sayının toplamı çift ise bu iki sayı aynı pariteye sahiptir. Aynı paritedeki iki sayının farkı daima çifttir. Çift bir sayıya tek bir sayı olan 3 eklendiğinde elde edilen sonuç daima tek sayı olur. Bu nedenle iki sayının farkının 3 fazlasını gösteren ifade her zaman tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin paritesinden hareketle değişkenlerin durumunu belirlemek.
3a + b ifadesi çift sayı olarak verilmiştir. Bu ifade 2a + (a + b) şeklinde yazıldığında, 2a çift sayı olduğundan a + b ifadesi de kesinlikle çift sayı olmalıdır.
Değişkenlerin parite ilişkisini saptamak için.
2
a ve b sayılarının teklik-çiftlik durumlarını sınıflandırmak.
a + b çift sayı ise, a ve b tam sayılarının her ikisi de tek ya da her ikisi de çift olmalıdır. Yani a ve b aynı pariteye sahiptir.
Seçeneklerdeki ifadelerin değerlerini inceleyebilmek için.
3
Seçeneklerde verilen ifadelerin paritelerini kontrol etmek.
a ve b aynı paritede olduğundan a - b farkı daima çift bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile tek bir sayı olan 3'ün toplamı daima tek sayı olur.
Her zaman tek sayı olan ifadeyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların aritmetik işlemleri ve üslerin tam sayı olma koşulu altındaki durumları.
Soru 31Soru →

aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,

a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. a+ca + c
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. ab+ca^b + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur. Çünkü b·(a+c) ifadesi tek sayı olduğundan hem b hem de a+c tektir. Buradan a+c her zaman tektir (birinci öncül doğru). a ve c'den biri tek diğeri çift olmalıdır. b tek olduğundan, a·b + c ifadesi her iki durumda da (a tek iken a·b+c = tek·tek + çift = tek; a çift iken a·b+c = çift·tek + tek = tek) tek sayı olur (ikinci öncül doğru). Ancak b sayısı negatif bir tek sayı (örneğin -1) olabileceğinden a^b tam sayı olmayabilir ve bu durumda teklik-çiftlikten bahsedilemez (üçüncü öncül her zaman doğru değildir).

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin çarpanlarına ayrılması ve teklik-çiftlik durumunun belirlenmesi
a⋅b+b⋅c=b(a+c)a \cdot b + b \cdot c = b(a+c) ifadesi tek sayıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan bb tek sayı ve a+ca+c tek sayı olarak bulunur.
Çarpımın sonucunun tek sayı olabilmesi için gerekli koşulu uygulamak.
2
Birinci öncülün (a+ca+c) incelenmesi
Birinci adımda a+ca+c ifadesinin tek sayı olduğu doğrudan bulunmuştur. Dolayısıyla I. öncül her zaman tek sayıdır.
Bulunan temel sonuç ile birinci öncülü karşılaştırmak.
3
İkinci öncülün (a⋅b+ca \cdot b + c) incelenmesi
a+ca+c tek sayı olduğundan aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
- Durum 1: aa tek, cc çift ve bb tek ise; a⋅b+c=tek⋅tek+c¸ift=tek+c¸ift=teka \cdot b + c = \text{tek} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur.
- Durum 2: aa çift, cc tek ve bb tek ise; a⋅b+c=c¸ift⋅tek+tek=c¸ift+tek=teka \cdot b + c = \text{çift} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. Her iki durumda da a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi tek sayıdır.
aa ve cc değişkenlerinin olası teklik-çiftlik durumlarını yerine koyarak ifadenin sonucunu analiz etmek.
4
Üçüncü öncülün (ab+ca^b + c) incelenmesi ve negatif üs durumunun sorgulanması
a,ba, b ve cc tam sayılar olarak tanımlandığı için bb negatif bir tek sayı olabilir (örneğin b=−1b = -1). Bu durumda ab=a−1=1aa^b = a^{-1} = \frac{1}{a} ifadesi a≠1a \neq 1 ve a≠−1a \neq -1 için bir tam sayı belirtmez. Dolayısıyla ab+ca^b + c ifadesi her zaman tek sayı veya çift sayı olarak sınıflandırılamaz.
Tam sayılar kümesinde negatif üslerin rasyonel sayılara yol açabileceğini göz önünde bulundurmak.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler ve Kuvvet Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →

aa, bb ve cc tam sayıları için

* a2+a⋅ba^2 + a \cdot b ifadesinin bir çift sayı,
* b2+b⋅cb^2 + b \cdot c ifadesinin bir tek sayı

olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2⋅c+b⋅ca^2 \cdot c + b \cdot c

Cevap

Doğru cevap a2⋅c+b⋅ca^2 \cdot c + b \cdot c ifadesidir.
Doğru seçenek olan a2⋅c+b⋅ca^2 \cdot c + b \cdot c ifadesi ortak çarpan parantezine alındığında c⋅(a2+b)c \cdot (a^2 + b) elde edilir. cc çift bir tam sayı olduğundan, bu ifadenin bir tam sayı ile çarpımı her zaman çift bir tam sayı olacaktır. Bu durum aa ve bb tam sayılarının değerlerinden bağımsız olarak her zaman geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b ifadesi ortak çarpan parantezine alınarak analiz edilir.
a(a+b)a(a+b) çarpımı çift sayı olmalıdır. Bu durumda aa çift sayı ise bb herhangi bir tam sayı olabilir; aa tek sayı ise a+ba+b toplamının çift olması için bb de tek sayı olmalıdır.
Birinci ifadenin çarpanlarının teklik-çiftlik durumunu belirlemek amacıyla.
2
b2+b⋅cb^2 + b \cdot c ifadesi ortak çarpan parantezine alınarak analiz edilir.
b(b+c)b(b+c) çarpımı tek sayı olmalıdır. Bir çarpımın tek sayı olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması gerekir. Buradan bb tek sayı ve b+cb+c tek sayı olarak bulunur. bb tek sayı olduğuna göre, cc çift sayı olmalıdır.
İkinci ifadenin çarpanlarının teklik-çiftlik durumlarını kesinleştirmek amacıyla.
3
Elde edilen sonuçlar birleştirilerek değişkenlerin durumları belirlenir.
bb kesinlikle tek sayı ve cc kesinlikle çift sayıdır. Birinci adımdaki analizde aa çift olduğunda da bb tek sayı olabildiği için, aa değişkeni tek veya çift olabilir. Dolayısıyla iki olası durum vardır: ya aa, bb tek ve cc çift; ya da aa, cc çift ve bb tek sayıdır.
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını tam olarak tespit etmek amacıyla.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin tam sayı olma ve her zaman çift sayı olma durumları incelenir. Değişkenlerin negatif veya sıfır tam sayı değerleri alabileceği göz önünde bulundurulur.
a2⋅c+b⋅ca^2 \cdot c + b \cdot c ifadesi c⋅(a2+b)c \cdot (a^2+b) olarak yazılabilir. cc çift bir tam sayı olduğu için, bu ifadenin sonucu aa ve bb tam sayılarının değerlerinden bağımsız olarak daima çift bir tam sayıdır. Üslü ifadeler içeren diğer seçenekler ise negatif veya sıfır üs durumlarında tam sayı belirtmeyebilir ya da tek sayı çıkabilir.
Her zaman doğru olan seçeneği doğrulamak ve diğer seçeneklerdeki tuzakları açıklamak amacıyla.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler, ortak çarpan parantezine alma ve üslü ifadelerde taban ile üs ilişkileri (üslerin negatif veya sıfır olma durumları).

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılarak da seçenekler elenebilir; ancak tam sayıların negatif ve sıfır olabilme durumları göz önüne alınmalıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 33Soru →
Bir nn tam sayısı için
3n−53n - 5
ifadesinin bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: n2+2n^2 + 2

Cevap

n2+2n^2 + 2 ifadesi her zaman bir tek sayıdır.
Verilen 3n−53n - 5 ifadesi çift sayı olduğuna göre 3n3n tek, dolayısıyla nn tek tam sayıdır. Buradan n2n^2 tek tam sayı olur ve buna çift sayı olan 2 eklendiğinde elde edilen n2+2n^2 + 2 ifadesi her zaman tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin teklik-çiftlik durumunu analiz etme
3n−53n - 5 ifadesinin çift sayı olduğu verilmiştir. 55 sayısı bir tek sayıdır. Çift bir sonuç elde etmek için 3n3n ifadesinin tek sayı olması gerekir (Tek−Tek=C\ciftTek - Tek = Çift).
3n−53n - 5 ifadesinin çift sayı olma koşulundan yararlanarak 3n3n ifadesinin teklik durumunu belirlemek.
2
nn değişkeninin teklik-çiftlik durumunu bulma
3n3n tek sayı ise ve 33 çarpanı tek sayı olduğundan, nn sayısı da tek bir tam sayı olmak zorundadır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
3
Seçenekleri analiz etme
nn tek tam sayı olduğundan n2n^2 de tek tam sayıdır. Bu durumda n2+2n^2 + 2 ifadesi (Tek + Çift) her zaman tek tam sayı olur. Diğer seçenekler ya çift sayıdır ya da tam sayı belirtmeyebilir (örneğin nnn^n ifadesi n=−3n = -3 için tam sayı değildir).
Bulunan nn değerini seçeneklerde yerine koyarak hangisinin her zaman tek sayı olduğunu belirlemek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların temel özellikleri ile işlem kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 34Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
- a⋅b−ca \cdot b - c ve a⋅c−ba \cdot c - b sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.
- a+b+ca + b + c toplamı tek sayıdır.
bilgileri veriliyor.

Buna göre;
I. ab+ca^b + c
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III ifadesi her zaman çift sayıdır.
Üçüncü ifadede b çift tam sayı olduğunda çarpım çift sayıdır. b tek tam sayı olduğunda ise c çift olmak zorundadır. a çift sayı olduğundan a + c toplamı da çift olur ve tek sayı ile çift sayının çarpımı yine çift sayı sonucunu verir. Bu durum her zaman geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin toplamının paritesini inceleyelim.
(a⋅b−c)+(a⋅c−b)=a(b+c)−(b+c)=(a−1)(b+c)(a \cdot b - c) + (a \cdot c - b) = a(b + c) - (b + c) = (a - 1)(b + c) elde edilir. Biri tek diğeri çift olan iki sayının toplamı her zaman tektir. Buradan (a−1)(b+c)(a - 1)(b + c) çarpımının tek sayı olduğu anlaşılır.
Toplama işleminin sonucundan yararlanarak ortak paranteze alma ve teklik-çiftlik kurallarını uygulamak için bu adım yapılır.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olmasından çarpanların durumlarını belirleyelim.
Çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan a−1a - 1 tektir, yani aa çift sayıdır. Ayrıca b+cb + c tektir, yani bb ve cc sayılarından biri tek iken diğeri çift sayıdır.
Çarpma işleminde sonucun tek sayı olmasının tek yolu çarpanların her ikisinin de tek sayı olmasıdır.
3
Verilen ikinci koşul ile durumları uyumluluğunu kontrol edelim.
a+b+ca + b + c toplamında aa çift, bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olduğundan toplam c¸ift+tek+c¸ift=tek\text{çift} + \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur. Bu durum, verilen ikinci koşul olan toplamın tek sayı olması şartını doğrular.
Bulunan teklik-çiftlik durumlarının soruda verilen diğer bilgilerle çelişip çelişmediğini kontrol etmek amacıyla uygulanır.
4
Öncülleri tek tek değerlendirelim.
I. ab+ca^b + c ifadesinde bb değişkeni negatif bir tam sayı (örneğin b=−2b = -2) seçilirse ab=a−2a^b = a^{-2} ifadesi rasyonel sayı olur ve tam sayılar kümesinde teklik-çiftlik aranmaz.
II. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinde bb çift ve cc tek seçildiğinde sonuç c¸ift⋅c¸ift+tek=tek\text{çift} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} çıkar.
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinde bb çift ise sonuç çifttir. bb tek ise cc çift olur, aa zaten çift olduğundan a+ca+c toplamı çift olur ve tek ile çiftin çarpımından sonuç yine çift bulunur. Dolayısıyla sadece üçüncü ifade her zaman çift sayıdır.
Her bir öncülün tüm tam sayı olasılıkları altındaki davranışı incelenerek kesin sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile rasyonel sayı üreten negatif üs durumunun analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 35Soru →
aa, bb ve cc tam sayıları için
(a+b)⋅(b−c)(a + b) \cdot (b - c)
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+ca + c
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
III. a⋅c+ba \cdot c + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen ifadenin tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan aa ve cc sayılarının aynı teklik-çiftlik karakterine, bb sayısının ise bunlardan farklı bir karaktere sahip olduğu bulunur. Bu durumda, aynı karakterdeki iki sayının toplamı olan birinci öncül (a+ca + c) ile çarpımda en az bir çift sayı bulunmasını garanti eden ikinci öncül (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla, I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ifadesinin teklik durumunu analiz etme.
a+ba + b ve b−cb - c ifadelerinin her ikisinin de tek sayı olduğu sonucuna varılır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki sayının da tek sayı olması şarttır.
2
aa, bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını belirleme.
bb çift ise aa ve cc tek; bb tek ise aa ve cc çifttir. Dolayısıyla, aa ve cc aynı teklik karakterine sahiptir, bb ise bunlardan farklıdır.
Toplam ve fark işlemlerinde sonucun tek sayı olması için işleme giren sayıların zıt teklik karakterinde olması gerekir.
3
Öncülleri tek tek değerlendirme.
I. a+ca + c ifadesi her zaman çifttir (aynı karakterli sayıların toplamı). II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı her zaman çifttir (çarpanlardan en az biri her zaman çifttir). III. a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi her zaman tektir.
Değişkenlerin tüm olası teklik-çiftlik durumlarını öncüllerde yerine koyarak kesinlik testi yapılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin teklik-çiftlik kuralları.
Soru 36Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin bir tek sayı,
* (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin bir çift sayı

olduğu biliniyor. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b⋅(a+c)b \cdot (a + c)

Cevap

b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çift bir tam sayı olduğundan, bb sayısının çift olduğu durumda b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik ve çiftlik durumlarını inceleyerek değişkenlerin karakterini belirlemek.
bb çift bir tam sayı, cc tek bir tam sayı olmalıdır. aa sayısı ise tek veya çift olabilir.
Eğer bb tek sayı olsaydı, (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin çift olması için a+ca + c çift olmalı, yani aa ve cc aynı karakterde (ikisi de tek veya ikisi de çift) olmalıydı. Bu durumda a⋅b−ca \cdot b - c ifadesi, aa ve cc tek ise Tek - Tek = Çift; aa ve cc çift ise Çift - Çift = Çift olurdu. Ancak bu ifadenin tek sayı olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bb kesinlikle çift bir tam sayı olmalıdır. bb çift olduğunda a⋅ba \cdot b çift olur. a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin tek sayı olması için çift bir sayıdan tek sayı çıkarılmalıdır, bu yüzden cc tek sayı olmalıdır. bb çift olduğundan (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesi aa tam sayısının teklik-çiftlik durumundan bağımsız olarak her zaman çift sayı olur; yani aa hakkında kesin bir hükme varılamaz.
2
Bulunan teklik-çiftlik durumlarına göre seçenekleri tek tek değerlendirmek.
b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinin daima bir çift tam sayı olduğu görülür.
bb çift bir tam sayıdır. aa ve cc birer tam sayı olduğundan, toplamları olan a+ca + c de bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çift bir tam sayı vereceğinden bu ifade her zaman çifttir.

Anahtar Kavram

Tam Sayılarda Teklik ve Çiftlik Durumlarının Analizi ile Kuvvet Kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 37Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+aa \cdot b + a
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+ba \cdot b + b

Cevap

Çarpımları ile ikinci değişkenin toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır.
Çarpımları ile ikinci değişkenin toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır. Çünkü aa tek ve bb çift tam sayı olduğunda, a⋅ba \cdot b çift tam sayıdır. Çift bir sayıya çift bir sayı olan bb eklendiğinde sonuç her zaman çift bir tam sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak analiz edin.
a⋅b+a=a(b+1)a \cdot b + a = a(b + 1) olarak yazılır.
İfadenin çarpanlarını belirlemek teklik-çiftlik analizini kolaylaştırır.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olması durumunu inceleyin.
aa tek sayı ve b+1b + 1 tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
Bulunan sonuçlardan değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirleyin.
aa tek bir tam sayıdır. b+1b + 1 tek sayı olduğundan, bb çift bir tam sayıdır.
Tek sayıya 1 eklenirse veya çıkarılırsa çift sayı elde edilir.
4
Elde edilen aa (tek) ve bb (çift) tam sayı değerlerini seçeneklerde yerine yazarak her zaman çift olan ifadeyi belirleyin.
a⋅b+ba \cdot b + b ifadesinde; aa tek, bb çift olduğundan a⋅ba \cdot b çifttir. Çift ile çiftin toplamı (a⋅b+ba \cdot b + b) çift bir tam sayı olur.
aa ve bb tam sayı olduğundan çarpımları ve toplamları da tam sayıdır ve üslü ifadelerdeki gibi rasyonel sayı olma riski taşımaz.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri ile üslerin tam sayı olma durumunun incelenmesi.
Soru 38Soru →

Bir tiyatro salonunda yan yana bulunan aa tane sıranın her birinde bb adet koltuk boş kalmış, diğer cc tane sıranın her birinde ise aa adet koltuk boş kalmıştır.

Bu salondaki toplam boş koltuk sayısı tek bir sayı olduğuna göre,

I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. b⋅c+ab \cdot c + a
III. ba+cb^a + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Verilen ifadelerden I, II ve III her zaman bir tek sayıdır.
Toplam boş koltuk sayısı olan a(b+c)a(b + c) ifadesi tek sayı olduğuna göre, aa tek sayı ve b+cb + c toplamı tek sayı olmalıdır. b+cb + c tek sayı olduğundan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Buna göre: I. öncüldeki a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi, bb ve cc sayılarının her iki durumunda da tek sayı verir. II. öncüldeki b⋅cb \cdot c ifadesi, çarpanlardan biri çift olduğundan daima çift olup tek sayı olan aa ile toplandığında sonuç daima tek sayıdır. III. öncüldeki bab^a ifadesinin üssü olan aa pozitif bir tam sayı olduğundan bab^a tabanla aynı teklik-çiftliktedir. Dolayısıyla ba+cb^a + c ifadesinin teklik-çiftliği b+cb + c ile aynıdır ve daima tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam boş koltuk sayısını veren cebirsel ifadeyi kuralım.
Toplam boş koltuk sayısı a⋅b+c⋅a=a(b+c)a \cdot b + c \cdot a = a(b + c) şeklindedir.
Salonda aa tane sıranın her birinde bb koltuk ve cc tane sıranın her birinde aa koltuk boş olduğundan toplam boş koltuk sayısı bu iki grubun toplamına eşittir.
2
Toplam boş koltuk sayısının tek sayı olmasını kullanarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirleyelim.
aa tek sayıdır ve b+cb + c tek sayıdır. Buradan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
İki tam sayının çarpımı tek ise çarpanların her ikisi de tek olmak zorundadır. İki tam sayının toplamı tek ise bu sayılardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.
3
Birinci öncülü (a⋅b+ca \cdot b + c) inceleyelim.
bb tek ve cc çift ise Tek⋅Tek+C¸ift=Tek\text{Tek} \cdot \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek} olur. bb çift ve cc tek ise Tek⋅C¸ift+Tek=Tek\text{Tek} \cdot \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek} olur. Dolayısıyla a⋅b+ca \cdot b + c daima tektir.
aa tek olduğundan a⋅ba \cdot b ifadesinin teklik-çiftlik durumu bb ile aynıdır; bu ifadeye farklı teklik-çiftlik durumundaki cc eklendiğinde sonuç her iki durumda da tek olur.
4
İkinci öncülü (b⋅c+ab \cdot c + a) inceleyelim.
bb ve cc sayılarından biri kesinlikle çift olduğundan, b⋅cb \cdot c çarpımı daima çifttir. aa tek olduğundan, b⋅c+ab \cdot c + a toplamı daima tektir.
Çarpanlardan en az biri çift olan bir çarpımın sonucu çift sayıdır. Çift bir sayıya tek bir sayı eklendiğinde sonuç tek sayı olur.
5
Üçüncü öncülü (ba+cb^a + c) inceleyelim.
aa pozitif tek sayı olduğundan, bab^a ifadesinin teklik-çiftlik durumu taban olan bb ile aynıdır. Dolayısıyla ba+cb^a + c ifadesinin teklik-çiftliği b+cb + c ile aynı olup daima tektir.
Taban tam sayı ve üs pozitif tam sayı olduğunda, taban çift ise sonuç çift (b=0b=0 için 0a=00^a=0 çift), taban tek ise sonuç tektir. Bu durumda bab^a ifadesinin teklik-çiftlik durumu bb ile tamamen aynı kalır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemleri
Soru 39Soru →

Ardışık üç tam sayının toplamı bir çift sayıya eşittir.

Bu sayılardan en küçüğü xx olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2+3x^2 + 3

Cevap

x2+3x^2 + 3
Ardışık üç tam sayının toplamı 3x+33x+3 ifadesidir. Bu toplamın çift sayı olması, 3x3x ifadesinin tek ve dolayısıyla en küçük sayı olan xx'in tek bir tam sayı olduğunu gösterir. xx tek bir tam sayı ise, karesi olan x2x^2 de tektir. Tek bir tam sayıya tek bir sayı olan 3 eklendiğinde elde edilen x2+3x^2+3 ifadesi her zaman çift bir tam sayı olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç tam sayının toplamını veren cebirsel ifadeyi yazmak.
En küçük tam sayı xx olduğuna göre, diğer ardışık tam sayılar x+1x+1 ve x+2x+2 olur. Bu sayıların toplamı x+(x+1)+(x+2)=3x+3x + (x+1) + (x+2) = 3x+3 ifadesine eşittir.
Sayıların ardışık olma özelliğini kullanarak toplamı tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
2
Toplamın çift sayı olması bilgisinden yararlanarak xx tam sayısının karakterini belirlemek.
3x+33x+3 ifadesi çift bir sayı ise, çift sayıdan tek sayı çıkarıldığında tek sayı elde edileceğinden 3x3x ifadesi tek bir sayı olmak zorundadır. Çarpımları tek olan iki tam sayıdan her biri tek olmalıdır; dolayısıyla 33 tek sayı olduğundan xx de tek bir tam sayı olmak zorundadır.
xx tam sayısının tek sayı olduğunu tespit etmek.
3
xx sayısının tek tam sayı olma durumuna göre seçenekleri analiz etmek.
xx tek bir tam sayı ise, tekin karesi tek olacağından x2x^2 tektir. Tek bir sayı ile tek bir sayı olan 3'ün toplamı (x2+3x^2+3) her zaman bir çift tam sayı belirtir. Diğer seçeneklerdeki ifadeler ise xx'in negatif olması durumunda tam sayı belirtmeyebilir veya her zaman tek sayı sonuçları üretir.
Her zaman çift sayı belirten doğru seçeneği netleştirmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çarpma ve kuvvet işlemlerinin kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 40Soru →

Her biri birer tam sayı olan aa, bb ve cc değişkenleri için,
* a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin bir tek sayıya,
* (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin bir çift sayıya
eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c

Cevap

a * (b + 1) + c
Belirlenen teklik-çiftlik durumlarına göre aa tek, bb çift ve cc tek sayıdır. Çarpma ve toplama işlemlerinden oluşan a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinde b+1b+1 tek, a⋅(b+1)a \cdot (b+1) tek ve tek bir sayıya tek olan cc eklendiğinde sonuç her zaman çift tam sayı olur. Bölme veya değişken üssü barındırmadığı için her zaman tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen ifadenin çarpanlarını analiz edelim.
aa tek sayı ve (b+c)(b + c) tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımı tek sayı ise bu çarpanların her ikisi de tek sayı olmak zorundadır. a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek olduğundan aa tektir ve b+cb+c toplamı da tektir.
2
bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek için ikinci ifadeyi inceleyelim.
bb çift sayı ve cc tek sayı olmalıdır.
b+cb + c toplamı tek sayı olduğuna göre bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. E��er bb tek sayı olsaydı, cc çift sayı olurdu. Bu durumda a+ca+c toplamı tek + çift = tek olurdu ve (a+c)⋅b(a+c) \cdot b ifadesi tek ⋅\cdot tek = tek çıkardı. Ancak bu ifadenin çift olduğu bilinmektedir. Çelişkiyi önlemek için bb çift, cc tek sayı olmak zorundadır.
3
Elde edilen verileri kullanarak seçenekleri değerlendirelim.
a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinin her zaman çift sayı olduğu görülür.
bb çift sayı olduğundan b+1b + 1 tek sayıdır. aa tek sayı olduğundan a⋅(b+1)a \cdot (b + 1) çarpımı tek ⋅\cdot tek = tek olur. Bu tek sayıya tek olan cc sayısı eklendiğinde tek + tek = çift tam sayı elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel toplama ve çarpma kuralları ile üslü ifadelerde tam sayı/negatiflik koşulları.
ÖncekiSayfa 2 / 5Sonraki