Examkin

Trigonometrik Denklemler

40 questions

All types40Multiple choice20True / False8Numeric12
Question 21Question →
cos⁡(3x)−sin⁡(x)=3(sin⁡(3x)+cos⁡(x))\cos(3x) - \sin(x) = \sqrt{3}(\sin(3x) + \cos(x))

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Show answer & explanation

Answer: 13π6\frac{13\pi}{6}

Answer

Verilen denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı 13π6\frac{13\pi}{6} radyandır.
Denklemin her iki tarafı 2'ye bölünerek düzenlendiğinde kosinüs toplam ve fark formülleri elde edilir. Bu formüller yardımıyla denklem cos⁡(3x+π3)=cos⁡(x−π6)\cos(3x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) biçimini alır. Kosinüsün genel çözüm formüllerinden [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel kökleri sırasıyla 3π4\frac{3\pi}{4}, 11π24\frac{11\pi}{24} ve 23π24\frac{23\pi}{24} olarak bulunur. Bu köklerin toplamı da 13π6\frac{13\pi}{6} değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi düzenlemek ve her iki tarafı 22'ye bölmek.
12cos⁡(3x)−32sin⁡(3x)=32cos⁡(x)+12sin⁡(x)\frac{1}{2}\cos(3x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x)
Katsayıları bilinen özel açıların trigonometrik değerleriyle eşleştirip toplam-fark formüllerini uygulayabilmek.
2
Toplam ve fark formüllerini uygulayarak her iki tarafı kosinüs cinsinden tek bir terim olarak ifade etmek.
cos⁡(3x+π3)=cos⁡(x−π6)\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)
Denklemi cos⁡(A)=cos⁡(B)\cos(A) = \cos(B) formuna getirerek standart çözüm adımlarına geçebilmek.
3
Kosinüs denkleminin genel çözüm formüllerini iki durum için yazmak.
Birinci durum: 3x+π3=x−π6+2kπ⇒x=−π4+kπ3x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
İkinci durum: 3x+π3=−(x−π6)+2kπ⇒x=−π24+kπ23x + \frac{\pi}{3} = -\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin genel çözümünün θ=α+2kπ\theta = \alpha + 2k\pi ve θ=−α+2kπ\theta = -\alpha + 2k\pi olmasından dolayı.
4
Elde edilen genel çözümlerden [0,π][0, \pi] kapalı aralığında olan kökleri bulmak ve toplamak.
Birinci durumdan x=3π4x = \frac{3\pi}{4}.
İkinci durumdan x=11π24x = \frac{11\pi}{24} ve x=23π24x = \frac{23\pi}{24}.
Köklerin toplamı: 3π4+11π24+23π24=13π6\frac{3\pi}{4} + \frac{11\pi}{24} + \frac{23\pi}{24} = \frac{13\pi}{6}
Belirtilen aralık sınırlarına uyan tüm farklı kökleri tam ve doğru olarak elde etmek.

Key Concept

Trigonometrik denklemleri toplam ve fark formülleri kullanarak sadeleştirme ve belirli bir aralıktaki köklerini bulma.
Question 22Question →
sin⁡(2x)−cos⁡(x)=2sin⁡(x)−1\sin(2x) - \cos(x) = 2\sin(x) - 1 denkleminin [0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Denklemin verilen kapalı aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklemin yarım açı dönüşümü yapılıp çarpanlarına ayrılmasıyla sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} ve cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 denklemlerine ulaşılır. Bu denklemlerin [0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] aralığındaki çözümleri x=0x = 0, x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olmak üzere 3 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)−2sin⁡(x)+1=02\sin(x)\cos(x) - \cos(x) - 2\sin(x) + 1 = 0
Denklemi tek bir açı türüne indirgemek için yarım açı dönüşümü yapıl��r.
2
Denklemi çarpanlarına ayırın.
(2sin⁡(x)−1)(cos⁡(x)−1)=0(2\sin(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0
Gruplandırma yöntemi kullanılarak ortak terim olan (cos⁡(x)−1)(\cos(x) - 1) parantezine alınır.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyin.
sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} veya cos⁡(x)=1\cos(x) = 1
Çarpımın sonucunun sıfır olması için her bir çarpanın sıfır olma durumları incelenir.
4
Belirlenen aralıktaki kökleri yazın.
x=0x = 0 ve x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
[0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] aralığındaki trigonometrik değerler tespit edilir.

Key Concept

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Estimated Time:2m 0s
Question 23Question →
cos⁡(2x)−3sin⁡(2x)=1\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) = 1

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Show answer & explanation

Answer: 5π3\frac{5\pi}{3}

Answer

Farklı gerçel köklerin toplamı olan 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.
Verilen denklem, her iki tarafı 22'ye bölünerek kosinüsün toplam formülü yardımıyla cos⁡(2x+π3)=12\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} haline getirilir. x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x+π32x + \frac{\pi}{3} açısının alabileceği ve kosinüsü 12\frac{1}{2} olan değerler π3\frac{\pi}{3}, 5π3\frac{5\pi}{3} ve 7π3\frac{7\pi}{3} olarak bulunur. Buradan xx değerleri sırasıyla 00, 2π3\frac{2\pi}{3} ve π\pi elde edilir. Bu köklerin toplamı ise 5π3\frac{5\pi}{3} değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin her iki tarafı 22'ye bölünerek acos⁡(u)+bsin⁡(u)=ca\cos(u) + b\sin(u) = c biçimine getirilir.
12cos⁡(2x)−32sin⁡(2x)=12\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2}
Toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için katsayıları bilinen trigonometrik değerlerle eşleştirmek gerekir.
2
cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} ve sin⁡(π3)=32\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri denklemde yerine yazılarak kosinüs toplam formülü uygulanır.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)−sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x+π3)=12\cos(2x)\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \implies \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x+π32x + \frac{\pi}{3} açısının değer aralığı belirlenir.
2x+π3∈[π3,7π3]2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]
Belirtilen sınırlardaki köklerin doğru tespit edilebilmesi için açı aralığının güncellenmesi gerekir.
4
Kosinüsü 12\frac{1}{2} olan ve belirlenen aralıkta yer alan açılar bulunarak xx değerleri çekilir.
2x+π3=π3  ⟹  x=02x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \implies x = 0
2x+π3=5π3  ⟹  x=2π32x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3}
2x+π3=7π3  ⟹  x=π2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \implies x = \pi
Trigonometrik denklemin çözüm kümesindeki elemanları tespit etmek.
5
Elde edilen farklı kökler toplanır.
0+2π3+π=5π30 + \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}
Soruda istenen kökler toplamı değerine ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik Denklemlerin Toplam-Fark Formülleri ile Çözümü

Alternative Method

Denklem cos⁡(2x)−1=3sin⁡(2x)\cos(2x) - 1 = \sqrt{3}\sin(2x) şeklinde düzenlenip her iki tarafın karesi alınarak da çözülebilir. Ancak kare alma işlemi yalancı kökler üretebileceğinden, bulunan değerlerin orijinal denklemde sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir.
Estimated Time:2m 0s
Question 24Question →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
2sin⁡2(x)+3cos⁡(x)−3=02\sin^2(x) + 3\cos(x) - 3 = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı 4π4\pi radyandır.

Bu ifade doğru mudur?

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur. Denklemin [0, 2π] aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı 4π radyandır.
Denklemin çözümü sonucunda kosinüs değerleri 12\frac{1}{2} ve 11 olarak elde edilir. Bu değerleri [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığında sağlayan kökler sırasıyla {0,π3,5π3,2π}\left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\right\} şeklindedir. Bu köklerin toplamı 4π4\pi radyan yaptığından verilen ifade tamamen doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak denklemi tek bir fonksiyona bağlı yazma.
sin⁡2(x)=1−cos⁡2(x)\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) yazılarak denklem 2(1−cos⁡2(x))+3cos⁡(x)−3=02(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) - 3 = 0 şeklinde düzenlenir.
Denklemi çözebilmek için tüm terimleri aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenleme ve çarpanlarına ayırma.
−2cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1=0  ⟹  2cos⁡2(x)−3cos⁡(x)+1=0-2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 1 = 0 \implies 2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0 olur. Çarpanlarına ayrıldığında (2cos⁡(x)−1)(cos⁡(x)−1)=0(2\cos(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Kosinüs cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edip köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulmak için.
3
Kosinüs değerlerini belirleme ve bu değerleri sağlayan kökleri bulma.
cos⁡(x)=12  ⟹  x1=π3,x2=5π3\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x_1 = \frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{5\pi}{3} ve cos⁡(x)=1  ⟹  x3=0,x4=2π\cos(x) = 1 \implies x_3 = 0, x_4 = 2\pi bulunur.
[0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığındaki tüm gerçel kökleri eksiksiz tespit etmek için.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplama.
Toplam=0+π3+5π3+2π=4π\text{Toplam} = 0 + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} + 2\pi = 4\pi radyandır.
Soru kökündeki ifadenin doğruluğunu doğrulamak için.

Key Concept

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen trigonometrik denklemlerin çözümü ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.

Alternative Method

Denklemi ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle de çözebiliriz: 2(1−cos⁡2(x))+3cos⁡(x)−3=0  ⟹  2(1−cos⁡(x))(1+cos⁡(x))−3(1−cos⁡(x))=0  ⟹  (1−cos⁡(x))(2+2cos⁡(x)−3)=0  ⟹  (1−cos⁡(x))(2cos⁡(x)−1)=02(1-\cos^2(x)) + 3\cos(x) - 3 = 0 \implies 2(1-\cos(x))(1+\cos(x)) - 3(1-\cos(x)) = 0 \implies (1-\cos(x))(2+2\cos(x)-3) = 0 \implies (1-\cos(x))(2\cos(x)-1) = 0 elde edilir ve buradan yine aynı köklere ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Question 25Question →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
cos⁡(2x)+3sin⁡(x)−2=0\cos(2x) + 3\sin(x) - 2 = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Show answer & explanation

Answer: 3π2\frac{3\pi}{2}

Answer

Verilen denklemin farklı gerçel köklerinin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır.
Denklemin doğru çözümü için cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 1−2sin⁡2(x)1 - 2\sin^2(x) yazılarak ikinci dereceden 2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (2sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−1)=0(2\sin(x) - 1)(\sin(x) - 1) = 0 olup kökleri sin⁡(x)=1/2\sin(x) = 1/2 ve sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 değerleridir. [0,2π][0, 2\pi] aralığında bu değerleri sağlayan açılar sırasıyla π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6} ve π2\frac{\pi}{2} radyandır. Köklerin toplamı ise π6+5π6+π2=3π2\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} olur.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formülü kullanılarak cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesini sin⁡(x)\sin(x) cinsinden yazın.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) yazıldığında denklem 1−2sin⁡2(x)+3sin⁡(x)−2=01 - 2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 2 = 0 haline gelir. Düzenlendiğinde 2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 elde edilir.
Denklemdeki tüm trigonometrik ifadeleri aynı değişkene dönüştürerek çözülebilir bir ikinci dereceden denklem elde etmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırın.
2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)+1=0  ⟹  (2sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−1)=02\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 \implies (2\sin(x) - 1)(\sin(x) - 1) = 0 elde edilir. Buradan sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} veya sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 bulunur.
Denklemin köklerini bulmak için çarpanların her birini sıfıra eşitlemek.
3
Belirtilen [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki kökleri tespit edin.
sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} için x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} bulunur. sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 için x=π2x = \frac{\pi}{2} bulunur.
Tanım kümesi aralığında denklemi sağlayan tüm x değerlerini bulmak.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplayın.
Toplam=π6+5π6+π2=π+π2=3π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} radyan elde edilir.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri yardımıyla ikinci dereceden denklemlere dönüştürerek belirli bir aralıktaki köklerini bulma.
Estimated Time:2m 0s
Question 26Question →
x∈(0,π)x \in (0, \pi) olmak üzere,
sin⁡(3x)+sin⁡(x)=sin⁡(2x)\sin(3x) + \sin(x) = \sin(2x)
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.
Verilen denklem toplam-çarpım dönüşümü yardımıyla sin⁡(2x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0 şeklinde yazılır. (0,π)(0, \pi) açık aralığında sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 denklemini sağlayan tek kök x=π2x = \frac{\pi}{2}'dir (00 ve π\pi açık aralıkta değildir). Aynı aralıkta cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan tek kök x=π3x = \frac{\pi}{3}'tür. Bu durumda denklemin bu aralıkta toplam 2 farklı kökü bulunur.

Step-by-Step Solution

1
sin⁡(3x)+sin⁡(x)\sin(3x) + \sin(x) ifadesine toplam-çarpım dönüşüm formülünü uygulayın.
2sin⁡(2x)cos⁡(x)2\sin(2x)\cos(x)
Trigonometrik denklemleri çarpanlarına ayırabilmek için toplam şeklindeki ifadeleri çarpım şekline dönüştürmek gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazıp tüm terimleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.
sin⁡(2x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0
Kök kaybını önlemek amacıyla her iki tarafı sadeleştirmek yerine ortak paranteze alma yöntemi kullanılır.
3
sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki köklerini inceleyin.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
2x=kπ  ⟹  x=kπ22x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2} genel çözümünden, (0,π)(0, \pi) açık aralığına sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} düşer. Sınır değerleri olan 00 ve π\pi açık aralığa dahil değildir.
4
2cos⁡(x)−1=0  ⟹  cos⁡(x)=122\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki köklerini bulun.
x=π3x = \frac{\pi}{3}
Kosinüs fonksiyonunun birinci bölgede 12\frac{1}{2} değerini aldığı açı π3\frac{\pi}{3} radyandır.
5
Bulunan farklı kök sayılarını toplayarak sonuca ulaşın.
{π3,π2}\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right\} kümesinden 2 farklı kök elde edilir.
Bulunan köklerin her ikisi de verilen açık aralıkta yer alan ve birbirinden farklı olan geçerli gerçel köklerdir.

Key Concept

Toplam-çarpım formülleri yardımıyla trigonometrik denklemlerin çarpanlarına ayrılması ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Question 27Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
cos⁡(4x)+sin⁡(3x)=cos⁡(2x)\cos(4x) + \sin(3x) = \cos(2x)
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 6'dır.
Denklemin çözümü için öncelikle kosinüs fark formülü uygulanarak ifade sin⁡(3x)(1−2sin⁡(x))=0\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan sin⁡(3x)=0\sin(3x) = 0 ve sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} denklemleri elde edilir. İlk denklemin [0,π][0, \pi] aralığında 4 farklı kökü, ikinci denklemin ise 2 farklı kökü vardır. Bu köklerin tamamı birbirinden farklı olduğundan denklemin toplam 6 farklı gerçel kökü bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin terimleri tek bir tarafa toplanır.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+sin⁡(3x)=0\cos(4x) - \cos(2x) + \sin(3x) = 0
Dönüşüm formüllerini uygulayabilmek için terimleri gruplandırmak gerekir.
2
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)\cos(4x) - \cos(2x) ifadesine dönüşüm formülü uygulanır.
−2sin⁡(3x)sin⁡(x)+sin⁡(3x)=0-2\sin(3x)\sin(x) + \sin(3x) = 0
cos⁡(A)−cos⁡(B)=−2sin⁡(A+B2)sin⁡(A−B2)\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) özdeşliği kullanılır.
3
Ortak çarpan olan sin⁡(3x)\sin(3x) parantezine alınır.
sin⁡(3x)(1−2sin⁡(x))=0\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0
Çarpanlarına ayırarak her bir çarpanın sıfır olabileceği durumlar incelenir.
4
sin⁡(3x)=0\sin(3x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulunur.
x∈{0,π3,2π3,π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\right\}
3x∈[0,3π]3x \in [0, 3\pi] olduğundan 3x=0,π,2π,3π3x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi değerlerini alabilir.
5
1−2sin⁡(x)=01 - 2\sin(x) = 0 yani sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulunur.
x∈{π6,5π6}x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}
[0,π][0, \pi] aralığında sinüsü 12\frac{1}{2} olan açılar π6\frac{\pi}{6} ve 5π6\frac{5\pi}{6}'dır.
6
Tüm farklı kökler birleştirilerek toplam kök sayısı hesaplanır.
x∈{0,π6,π3,2π3,5π6,π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\right\} olmak üzere 6 farklı kök vardır.
Bulunan tüm kökler birbirinden farklıdır ve verilen aralığın içindedir.

Key Concept

Trigonometrik denklemleri dönüşüm formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Question 28Question →
x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi) olmak üzere,
tan⁡(x)⋅sin⁡(x)−3sin⁡(x)−tan⁡(x)+3=0\tan(x)\cdot\sin(x) - \sqrt{3}\sin(x) - \tan(x) + \sqrt{3} = 0
denklemi veriliyor.

Buna göre, bu denklemin [0,2π)[0, 2\pi) aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Show answer & explanation

Answer: 5π3\frac{5\pi}{3}

Answer

Farklı gerçel köklerin toplamı 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.
Denklem çarpanlarına ayrıldığında (sin⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\sin(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 elde edilir. Ancak tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonu x=π2x = \frac{\pi}{2} değerinde tanımlı olmadığından, sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 eşitliğinden gelen x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü elenir. Sadece tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} eşitliğini sağlayan x=π3x = \frac{\pi}{3} ve x=4π3x = \frac{4\pi}{3} kökleri geçerlidir. Bu köklerin toplamı 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde ortak terimleri gruplandırarak çarpanlara ayırın.
sin⁡(x)(tan⁡(x)−3)−(tan⁡(x)−3)=0\sin(x)(\tan(x) - \sqrt{3}) - (\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 ifadesinden (sin⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\sin(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 elde edilir.
Çarpım halindeki ifadelerin köklerini bulmak için her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyebilmek amacıyla gruplandırma yapılır.
2
Çarpanları sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını belirleyin.
sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 veya tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} denklem parçaları elde edilir.
İki ifadenin çarpımının sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Denklemdeki fonksiyonların tanım kümesini kontrol edin.
tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonu x=π2x = \frac{\pi}{2} değerinde tanımsızdır. Bu nedenle sin⁡(x)=1  ⟹  x=π2\sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} değeri çözüm kümesine alınamaz.
Orijinal denklemde yer alan tanjant fonksiyonunun tanımlı olmadığı değerler denklemi de tanımsız yapacağından kök olamaz.
4
tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} denkleminin verilen aralıktaki köklerini bulun.
[0,2π)[0, 2\pi) aralığında tanjantı 3\sqrt{3} olan açılar x1=π3x_1 = \frac{\pi}{3} ve x2=4π3x_2 = \frac{4\pi}{3} olarak bulunur.
Tanjant fonksiyonu birinci ve üçüncü bölgelerde pozitif değer alır.
5
Bulunan geçerli kökleri toplayın.
Toplam=π3+4π3=5π3\text{Toplam} = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} radyandır.
Soruda bizden istenen geçerli tüm farklı gerçel köklerin toplamıdır.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve tanım kümesi sınırlamalarına dikkat edilmesi.

Alternative Method

Denklemdeki tan⁡(x)\tan(x) ifadesi sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} olarak yazılıp payda eşitlenirse, sin⁡2(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)+3cos⁡(x)cos⁡(x)=0\frac{\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x)\cos(x) - \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x)}{\cos(x)} = 0 denklemi elde edilir. Pay kısmındaki ifade sin⁡(x)(sin⁡(x)−1)−3cos⁡(x)(sin⁡(x)−1)=0  ⟹  (sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−3cos⁡(x))=0\sin(x)(\sin(x) - 1) - \sqrt{3}\cos(x)(\sin(x) - 1) = 0 \implies (\sin(x) - 1)(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydanın sıfır olamayacağı (yani cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0 koşulu) göz önünde bulundurulduğunda, sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 için cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 olacağından bu kök elenir. Diğer taraftan sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0  ⟹  sin⁡(x)=3cos⁡(x)  ⟹  tan⁡(x)=3\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \implies \sin(x) = \sqrt{3}\cos(x) \implies \tan(x) = \sqrt{3} elde edilerek aynı köklere ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Question 29Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere, tan⁡(x)+cot⁡(x)=43\tan(x) + \cot(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı π2\frac{\pi}{2} radyandır.
Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen matematiksel ifade doğrudur.
Verilen denklem çözüldüğünde [0,π][0, \pi] aralığındaki gerçel köklerin π6\frac{\pi}{6} ve π3\frac{\pi}{3} olduğu görülür. Bu köklerin toplamı π2\frac{\pi}{2} radyan olduğundan ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
tan⁡(x)+cot⁡(x)\tan(x) + \cot(x) ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} elde edilir.
Trigonometrik denklemleri çözmek için öncelikle ifadeleri daha sade bir forma dönüşt��rmek gerekir.
2
Paydadaki sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(x)\cos(x) ifadesi için sinüs yarım açı formül��nü (sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)) uygulayarak denklemi yeniden düzenleyin.
1sin⁡(x)cos⁡(x)=2sin⁡(2x)\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{\sin(2x)} olur. Buradan denklemi 2sin⁡(2x)=43\frac{2}{\sin(2x)} = \frac{4}{\sqrt{3}} şeklinde yazıp içler dışlar çarpımı yaparsak sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Farklı trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadeyi tek bir sinüs fonksiyonu cinsinden yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek amaçlanır.
3
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x∈[0,2π]2x \in [0, 2\pi] olduğunu göz önünde bulundurarak sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} denkleminin köklerini bulun.
2x=π3  ⟹  x1=π62x = \frac{\pi}{3} \implies x_1 = \frac{\pi}{6} ve 2x=2π3  ⟹  x2=π32x = \frac{2\pi}{3} \implies x_2 = \frac{\pi}{3} bulunur.
Belirlenen aralıkta sinüs değerini 32\frac{\sqrt{3}}{2} yapan tüm açı değerlerini tespit etmek gerekir.
4
Bulunan köklerin toplamını hesaplayarak ifadedeki değerle karşılaştırın.
x1+x2=π6+π3=3π6=π2x_1 + x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} radyandır.
İfadenin doğruluğunu kesin olarak teyit etmek için kökler toplamı kontrol edilir.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerde özdeşlikler ve yarım açı formülleri yardımıyla kök bulma

Alternative Method

tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ifadesinde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 özdeşliği elde edilir. Buradan doğrudan paydanın sin⁡(x)cos⁡(x)=34\sin(x)\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} olması gerektiği görülür. Bu eşitliğin her iki tarafı 2 ile çarpılarak yarım açı formülünden sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} denklemine daha hızlı ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 30Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
tan⁡(x)⋅cos⁡(3π2−2x)=−sin⁡(x)\tan(x) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(x)
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Show answer & explanation

Answer: 2π2\pi

Answer

Denklemi sa��layan köklerin toplamı 2π2\pi radyandır.
Denklem düzenlendiğinde elde edilen sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 eşitliğinin [0,π][0, \pi] aralığındaki ve tanjantı tanımlı yapan kökleri 00, π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6} ve π\pi sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 2π2\pi radyandır.

Step-by-Step Solution

1
Tanjant fonksiyonunun tanımlı olması için kosinüsün sıfırdan farklı olması gerektiği belirlenir ve kosinüs indirgeme formülü uygulanır.
cos⁡(x)≠0⇒x≠π2\cos(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} ve cos⁡(3π2−2x)=−sin⁡(2x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(2x) olarak bulunur.
İndirgeme yaparak denklemi sadeleştirmek ve tanımsızlık oluşturan değerleri baştan dışarıda bırakmak için.
2
Elde edilen indirgenmiş ifade denklemde yerine yazılır, tanjant ve yarım açı formülleri açılarak sadeleştirilir.
sin⁡(x)cos⁡(x)⋅(−sin⁡(2x))=−sin⁡(x)⇒sin⁡(x)cos⁡(x)⋅(2sin⁡(x)cos⁡(x))=sin⁡(x)⇒2sin⁡2(x)=sin⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot (-\sin(2x)) = -\sin(x) \Rightarrow \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot (2\sin(x)\cos(x)) = \sin(x) \Rightarrow 2\sin^2(x) = \sin(x) elde edilir.
Tüm ifadeleri ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla tek bir fonksiyon türüne dönüştürmek için.
3
Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
2sin⁡2(x)−sin⁡(x)=0⇒sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=02\sin^2(x) - \sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 elde edilir.
Sadeleştirme yapıp kök kaybetmemek için tüm terimler tek tarafta toplanarak ortak çarpan parantezine alınır.
4
Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökler tespit edilir.
sin⁡(x)=0⇒x=0\sin(x) = 0 \Rightarrow x = 0 veya x=πx = \pi. 2sin⁡(x)−1=0⇒sin⁡(x)=12⇒x=π62\sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} veya x=5π6x = \frac{5\pi}{6} kökleri bulunur.
Her bir çarpanı sıfır yapan açı değerlerinin verilen sınırlı aralıktaki karşılıklarını bulmak için.
5
Bulunan tüm kökler toplanır.
0+π6+5π6+π=2π0 + \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi = 2\pi elde edilir.
Denklemin farklı gerçel köklerinin toplamını hesaplamak için.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin çözümünde indirgeme formülleri, yarım açı özdeşlikleri, ortak çarpan parantezine alma yöntemi ve tanım kümesi kontrolü.
Question 31Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
2sin⁡2(x)−sin⁡(2x)−cos⁡(2x)=02\sin^2(x) - \sin(2x) - \cos(2x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Denklemin verilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin düzenlenmesiyle elde edilen 3tan⁡2(x)−2tan⁡(x)−1=03\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0 denkleminin kökleri tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 ve tan⁡(x)=−1/3\tan(x) = -1/3 şeklindedir. [0,π][0, \pi] aralığında tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 için bir kök, tan⁡(x)=−1/3\tan(x) = -1/3 için ikinci bölgede bir kök olmak üzere tam 2 adet kök mevcuttur.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik denklemdeki çift katlı açıl�� terimleri yarım açı formülleri kullanarak tek açı cinsinden yazın.
2sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−(1−2sin⁡2(x))=02\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (1 - 2\sin^2(x)) = 0 elde edilir. Düzenlendiğinde denklem 4sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1=04\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0 biçimini alır.
Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri ortak bir açıya indirgemek denklemin çözümünü mümkün kılar.
2
Denklemdeki sabit terim olan 11 yerine sin⁡2(x)+cos⁡2(x)\sin^2(x) + \cos^2(x) temel özdeşliğini yazın.
4sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=0⇒3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)=04\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 0 \Rightarrow 3\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0 elde edilir.
Denklemi ikinci dereceden homojen bir forma getirerek çarpanlara ayırma yöntemini uygulamak.
3
Elde edilen homojen denklemin her iki tarafını da cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölerek denklemi tanjant cinsinden yazın (burada cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 denklemi sağlamadığı için bölme işlemi tanımlıdır).
3tan⁡2(x)−2tan⁡(x)−1=03\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (3tan⁡(x)+1)(tan⁡(x)−1)=0(3\tan(x) + 1)(\tan(x) - 1) = 0 olur.
Homojen denklemleri çözmek için en standart yöntem tanjant fonksiyonuna dönüştürmektir.
4
Elde edilen tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 ve tan⁡(x)=−13\tan(x) = -\frac{1}{3} denklemlerinin [0,π][0, \pi] aralığındaki köklerini bulun.
tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 için birinci bölgedeki kök x=π4x = \frac{\pi}{4} olur. tan⁡(x)=−13\tan(x) = -\frac{1}{3} için ikinci bölgedeki kök x=π−arctan⁡(13)x = \pi - \arctan\left(\frac{1}{3}\right) olur. Toplam kök sayısı 2'dir.
Verilen kapalı aralıkta tanjant fonksiyonunun işaretlerine göre köklerin bulunması ve sayılması.

Key Concept

Yarım açı formülleri ve homojen trigonometrik denklemlerin çözümü

Alternative Method

Denklem 3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)=03\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0 olarak elde edildikten sonra doğrudan (3sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)−cos⁡(x))=0(3\sin(x) + \cos(x))(\sin(x) - \cos(x)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Buradan her bir parantez sıfıra eşitlenerek kök sayılarına ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 32Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−3cos⁡(2x)=3\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x) = \sqrt{3}
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Show answer & explanation

Answer: 5π6\frac{5\pi}{6}

Answer

Farklı gerçel köklerin toplamı \frac{5\pi}{6} radyandır.
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel kökleri x=π3x = \frac{\pi}{3} ve x=π2x = \frac{\pi}{2} olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı olan 5π6\frac{5\pi}{6} değerini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Denklemdeki çift açı formüllerini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırma formatına getirelim.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ve cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 özdeşliklerini denklemde yerine yazalım:
2sin⁡(x)cos⁡(x)−3(2cos⁡2(x)−1)=32\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}(2\cos^2(x) - 1) = \sqrt{3}
2sin⁡(x)cos⁡(x)−23cos⁡2(x)+3=32\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos^2(x) + \sqrt{3} = \sqrt{3}
2sin⁡(x)cos⁡(x)−23cos⁡2(x)=02\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos^2(x) = 0
Trigonometrik denklemleri çözmek için ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırmak en temel yöntemlerden biridir.
2
Elde edilen denklemi ortak çarpan parantezine alalım.
2cos⁡(x)(sin⁡(x)−3cos⁡(x))=02\cos(x)(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)) = 0
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım.
1) 2cos⁡(x)=0  ⟹  cos⁡(x)=02\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = 0. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitliği sağlayan tek değer x=π2x = \frac{\pi}{2}'dir.

2) sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0  ⟹  sin⁡(x)=3cos⁡(x)\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \implies \sin(x) = \sqrt{3}\cos(x). Her iki tarafı cos⁡(x)\cos(x)'e bölersek (çünkü cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 durumunu ayrı inceledik) tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} elde ederiz. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitliği sağlayan tek değer x=π3x = \frac{\pi}{3}'tür.
Belirtilen [0,π][0, \pi] tanım aralığındaki tüm gerçel kökleri eksiksiz belirlemek gerekir.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplayalım.
Ko¨kler toplamı=π3+π2=2π+3π6=5π6\text{Kökler toplamı} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi + 3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Soruda bizden istenen kökler toplamı değerini bulmak.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin çarpanlara ayırma ve yarım açı formülleri yardımıyla çözülmesi
Question 33Question →
x∈[0,3π2]x \in \left[0, \frac{3\pi}{2}\right] olmak üzere, cos⁡(2x)+sin⁡(x)=0\cos(2x) + \sin(x) = 0 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Show answer & explanation

Answer: False

Answer

İfade yanlıştır. Denkleminin verilen aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3 değil, 2'dir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü denklemin sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 eşitliğinden gelen iki kökünden biri olan x=11π6x = \frac{11\pi}{6} açısı [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığının dışında kalır. Bu nedenle aralıktaki gerçek kök sayısı 3 değil, 2'dir.

Step-by-Step Solution

1
cos⁡(2x)\cos(2x) yerine yarım açı formülü olan 1−2sin⁡2(x)1 - 2\sin^2(x) ifadesini yazarak denklemi tek değişkenli hale getirin.
1−2sin⁡2(x)+sin⁡(x)=0⇒2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−1=01 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 0 \Rightarrow 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0
İkinci dereceden bir denklem yapısı elde ederek çarpanlara ayırma yöntemini uygulayabilmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak sin⁡(x)\sin(x) için olası değerleri bulun.
(2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)−1)=0⇒sin⁡(x)=1 veya sin⁡(x)=−1/2(2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \text{ veya } \sin(x) = -1/2
Çarpımın sonucunun sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.
3
sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 denkleminin verilen [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındaki kökünü bulun.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
Verilen aralıkta sinüs değeri 1 olan tek açı π2\frac{\pi}{2} radyandır.
4
sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denkleminin [0,2π]\left[0, 2\pi\right] aralığındaki genel köklerini belirleyin ve hangilerinin verilen [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığının içinde kaldığını denetleyin.
x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6} (aralıkta) ve x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} (aralık dışında)
3π2=9π6\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} olduğundan, x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} kökü 3π2\frac{3\pi}{2} üst sınırını aşar ve bu nedenle çözüm kümesine alınmaz.
5
Aralığa dahil olan kökleri bir araya getirerek denklemin toplam kök sayısını tespit edin.
Çözüm kümesi C\c={π2,7π6}Ç = \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}\right\} olup denklemin 2 farklı gerçel kökü vardır.
Tanımlı aralık içerisindeki geçerli köklerin sayılması gerekir.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerde yarım açı formülleri yardımıyla ikinci dereceden denklemlere dönüşüm yapılması ve köklerin verilen sınırlı bir aralığa göre elenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 34Question →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−2sin⁡(x)+cos⁡(x)−1=0\sin(2x) - 2\sin(x) + \cos(x) - 1 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Show answer & explanation

Answer: 5π5\pi

Answer

Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki farklı köklerinin toplamı 5π5\pi radyandır.
Denklem yarım açı formülüyle açılıp (2sin⁡(x)+1)(cos⁡(x)−1)=0(2\sin(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 ve sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denklemleri elde edilir. Belirtilen [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığında cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 denklemini sağlayan değerler 00 ve 2π2\pi; sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denklemini sağlayan değerler ise 7π6\frac{7\pi}{6} ve 11π6\frac{11\pi}{6}'dır. Bu değerlerin toplamı 0+2π+7π6+11π6=5π0 + 2\pi + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 5\pi olduğundan doğru yanıt 5π5\pi değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini açın.
Denklem 2sin⁡(x)cos⁡(x)−2sin⁡(x)+cos⁡(x)−1=02\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x) + \cos(x) - 1 = 0 şekline dönüşür.
Denklemi ortak çarpan parantezine alabilmek için tüm terimleri benzer trigonometrik ifadeler cinsinden yazmalıyız.
2
İfadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.
2sin⁡(x)(cos⁡(x)−1)+1(cos⁡(x)−1)=0⇒(2sin⁡(x)+1)(cos⁡(x)−1)=02\sin(x)(\cos(x) - 1) + 1(\cos(x) - 1) = 0 \Rightarrow (2\sin(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Çarpım durumuna getirilen denklemin köklerini ayrı ayrı bulmak kolaylaşır.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek temel trigonometrik denklemleri elde edin.
2sin⁡(x)+1=0⇒sin⁡(x)=−122\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\frac{1}{2} ve cos⁡(x)−1=0⇒cos⁡(x)=1\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = 1 denklemleri bulunur.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
4
Elde edilen denklemlerin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerini bulun.
cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 için x=0x = 0 ve x=2πx = 2\pi; sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} için x=7π6x = \frac{7\pi}{6} ve x=11π6x = \frac{11\pi}{6} elde edilir.
Belirtilen kapalı aralıkta bu fonksiyonların aldığı değerlere karşılık gelen açıları belirlememiz gerekir.
5
Bulunan tüm farklı kökleri toplayın.
0+2π+7π6+11π6=2π+3π=5π0 + 2\pi + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 2\pi + 3\pi = 5\pi bulunur.
Soruda denklemi sağlayan tüm farklı gerçel sayıların toplamı istenmektedir.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin yarım açı ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözülmesi, belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.
Question 35Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=1\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 1
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Verilen denklemin bu aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklem sadeleştirildiğinde cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} haline gelir. Bu denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümleri 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi değerleridir. Dolayısıyla kök sayısı 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin her iki tarafını 2'ye bölün.
32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x)=12\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1}{2}
Sol taraftaki ifadeyi kosinüs fark formülüne dönüştürmek amacıyla uygun katsayıları elde etmek.
2
sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} değerlerini yerlerine yazarak kosin��s fark formülünü uygulayın.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)+sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x−π3)=12\cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) özdeşliğinden faydalanarak ifadeyi tek bir fonksiyona indirgemek.
3
cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} denkleminin genel çözümlerini yazın.
2x−π3=π3+2kπ  ⟹  2x=2π3+2kπ  ⟹  x=π3+kπ2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi
veya
2x−π3=−π3+2kπ  ⟹  2x=2kπ  ⟹  x=kπ2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi
(burada k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin çözüm kümesinin periyodik yapısını uygulamak.
4
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığına uyan kökleri seçin.
x=π3+kπx = \frac{\pi}{3} + k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=π3k = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}.
x=kπx = k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=0k = 0 \implies x = 0 ve k=1  ⟹  x=πk = 1 \implies x = \pi.
Sadece belirtilen kapalı aralığa düşen gerçel sayı çözümlerini filtrelemek.
5
Elde edilen farklı köklerin sayısını belirleyin.
Kökler: 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi olmak üzere toplam 3 tanedir.
Aralıktaki tüm farklı çözümlerin sayısını netleştirmek.

Key Concept

Lineer trigonometrik denklemlerin yardımcı açılar yardımıyla tek bir fonksiyona dönüştürülerek çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması.
Question 36Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡2(x)−(1+3)sin⁡(x)cos⁡(x)+3cos⁡2(x)=0\sin^2(x) - (1 + \sqrt{3})\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}\cos^2(x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Show answer & explanation

Answer: 7π12\frac{7\pi}{12}

Answer

Farklı gerçel köklerin toplamı 7π12\frac{7\pi}{12} radyandır.
Denklemin her iki tarafı cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölündüğünde elde edilen tan⁡2(x)−(1+3)tan⁡(x)+3=0\tan^2(x) - (1 + \sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0 denklemi (tan⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\tan(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan elde edilen kökler [0,π][0, \pi] aralığında π4\frac{\pi}{4} ve π3\frac{\pi}{3} olup toplamları 7π12\frac{7\pi}{12} değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemin her iki tarafı cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölünerek denklem tan⁡(x)\tan(x) cinsinden yazılır.
tan⁡2(x)−(1+3)tan⁡(x)+3=0\tan^2(x) - (1 + \sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon türünden ifade ederek çarpanlara ayırmayı kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır.
(tan⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\tan(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0
Denklemi sağlayan tan⁡(x)\tan(x) değerlerini ayrı ayrı belirlemek.
3
Çarpanlar sıfıra eşitlenerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökler bulunur.
tan⁡(x)=1  ⟹  x1=π4\tan(x) = 1 \implies x_1 = \frac{\pi}{4}
tan⁡(x)=3  ⟹  x2=π3\tan(x) = \sqrt{3} \implies x_2 = \frac{\pi}{3}
Tanjant değerleri pozitif olduğundan, belirtilen aralıktaki I. bölge açılarını tespit etmek.
4
Bulunan köklerin toplamı hesaplanır.
x1+x2=π4+π3=7π12x_1 + x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12}
Soruda istenen toplam kök değerini bulmak.

Key Concept

Homojen trigonometrik denklemleri tanjant fonksiyonuna dönüştürerek çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme
Question 37Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere, sin⁡(3x)+cos⁡(x)=0\sin(3x) + \cos(x) = 0 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Doğru
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümü yapıldığında, bölge dönüşümü doğru uygulanarak elde edilen genel çözümlerden üç farklı gerçel kök elde edilir. Bu nedenle önermede belirtilen kök sayısının 3 olduğu bilgisi doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak denklemi tek bir fonksiyon türüne dönüştürme
sin⁡(3x)=−cos⁡(x)\sin(3x) = -\cos(x) ve ardından −cos⁡(x)=sin⁡(x−π2)-\cos(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) eşitliği elde edilir.
Denklemi çözebilmek için her iki tarafı da aynı trigonometrik fonksiyon (bu durumda sinüs) cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Sinüs denkleminin genel çözüm formülünü uygulama
İki durum ortaya çıkar:
1) 3x=x−π2+2kπ3x = x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi
2) 3x=π−(x−π2)+2kπ3x = \pi - \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
sin⁡(f(x))=sin⁡(g(x))\sin(f(x)) = \sin(g(x)) denkleminin genel çözümü f(x)=g(x)+2kπf(x) = g(x) + 2k\pi veya f(x)=π−g(x)+2kπf(x) = \pi - g(x) + 2k\pi şeklindedir.
3
Birinci durum için çözümü sadeleştirme ve kökleri bulma
2x=−π2+2kπ⇒x=−π4+kπ2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
[0,π][0, \pi] aralığı için:
k=1k = 1 için x1=3π4x_1 = \frac{3\pi}{4} bulunur.
Birinci genel çözümden elde edilen açıların verilen [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri belirlenir.
4
İkinci durum için çözümü sadeleştirme ve kökleri bulma
3x=3π2−x+2kπ⇒4x=3π2+2kπ⇒x=3π8+kπ23x = \frac{3\pi}{2} - x + 2k\pi \Rightarrow 4x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
[0,π][0, \pi] aralığı için:
k=0k = 0 için x2=3π8x_2 = \frac{3\pi}{8}
k=1k = 1 için x3=7π8x_3 = \frac{7\pi}{8} bulunur.
İkinci genel çözümden elde edilen açıların verilen [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri belirlenir.
5
Köklerin birleşimini alarak toplam kök sayısını belirleme
[0,π][0, \pi] aralığındaki çözüm kümesi C\c={3π8,3π4,7π8}Ç = \left\{\frac{3\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}\right\} olup eleman sayısı 3'tür.
Her iki durumdan gelen tüm farklı kökler birleştirilerek nihai çözüm kümesi oluşturulur.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin genel çözüm kümesinin bulunması ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 38Question →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
cos⁡(2x)−5sin⁡(x)−3=0\cos(2x) - 5\sin(x) - 3 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Show answer & explanation

Answer: 3π3\pi

Answer

3π3\pi (Kökler toplamı 3π3\pi radyandır)
Denklemde yarım açı formülü uygulanıp düzenleme yapıldığında 2sin⁡2(x)+5sin⁡(x)+2=02\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 denklemine ulaşıl��r. Bu denklem çarpanlarına (2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)+2)=0(2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0 şeklinde ayrılır. Sinüs fonksiyonunun değer kümesi [−1,1][-1, 1] olduğundan, sin⁡(x)=−2\sin(x) = -2 eşitliğini sağlayan bir gerçel sayı yoktur. Buradan sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 elde edilir. Bu eşitliği [0,2π][0, 2\pi] aralığında sağlayan açılar 7π6\frac{7\pi}{6} ve 11π6\frac{11\pi}{6} radyan olup, bu değerlerin toplamı 3π3\pi radyandır.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formülü kullanılarak denklemdeki tüm trigonometrik ifadeler aynı türden yazılır.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) dönüşümü yapılarak denklem 1−2sin⁡2(x)−5sin⁡(x)−3=01 - 2\sin^2(x) - 5\sin(x) - 3 = 0 hâline getirilir.
Denklemi çözebilmek için tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Denklem düzenlenerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılır.
2sin⁡2(x)+5sin⁡(x)+2=0  ⟹  (2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)+2)=02\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 \implies (2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0 elde edilir.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
3
Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek olası sin⁡(x)\sin(x) değerleri belirlenir ve fonksiyonun değer kümesi sınırlarına göre kontrol edilir.
sin⁡(x)=−2\sin(x) = -2 için reel kök yoktur (−1≤sin⁡(x)≤1-1 \leq \sin(x) \leq 1 olduğundan). sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} denkleminin ise gerçel kökleri vardır.
Sinüs fonksiyonunun değer aralığı dışındaki değerler için reel kök oluşmayacağını belirlemek gerekir.
4
[0,2π][0, 2\pi] aralığında sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} denklemini sağlayan kökler bulunur ve bu köklerin toplamı hesaplanır.
Kökler x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6} ve x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} olup, toplamları 7π6+11π6=3π\frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 3\pi radyandır.
İstenen aralıktaki tüm kökleri bulup toplam değerine ulaşmak hedeflenir.

Key Concept

Trigonometrik Denklemler
Estimated Time:2m 0s
Question 39Question →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−2cos⁡(x)=0\sin(2x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Verilen denklem yarım açı formülü yardımıyla çarpanlarına ayrıldığında kosinüsü sıfır veya sinüsü kök iki bölü iki olan değerler aranır. [0,π][0, \pi] aralğında bu şartları sağlayan üç farklı gerçel sayı değeri mevcuttur.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
2sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) yarım açı özdeşliğini denklemde yerine koyarak ortak çarpan parantezine alabilmek için.
2
Denklem ortak çarpan parantezine alınır.
cos⁡(x)(2sin⁡(x)−2)=0\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{2}) = 0
Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanların ayrı ayrı sıfıra eşitlenmesi gerekir.
3
Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
cos⁡(x)=0⇒x=π2\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} ve sin⁡(x)=22⇒x=π4\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} veya x=3π4x = \frac{3\pi}{4}
[0,π][0, \pi] aralığındaki kosinüsü sıfır ve sinüsü 22\frac{\sqrt{2}}{2} olan değerleri belirlemek için.
4
Köklerin aralıkta olup olmadığı kontrol edilir ve toplam kök sayısı bulunur.
x1=π4,x2=π2,x3=3π4x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{3\pi}{4} olmak üzere 3 farklı gerçel kök vardır.
Bulunan tüm köklerin verilen [0,π][0, \pi] aralığına ait ve birbirinden farklı olduğunu doğrulamak için.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 40Question →
x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) olmak üzere,
cos⁡(2x)−3sin⁡(x)−1=0\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Show answer & explanation

Answer: 4π4\pi

Answer

Denklemin farklı gerçel köklerinin toplamı 4π4\pi radyandır.
Denklemde cos(2x) yerine yarım açı formülüyle 1 - 2sin²(x) yazılıp sadeleştirme yapıldığında, -sin(x)(2sin(x) + √3) = 0 elde edilir. (0, 2π) açık aralığında sin(x) = 0 eşitliğini sadece x = π değeri sağlar. sin(x) = -√3/2 eşitliğini ise sinüsün negatif olduğu üçüncü ve dördüncü bölgelerdeki x = 4π/3 ve x = 5π/3 değerleri sağlar. Bu köklerin toplamı π + 4π/3 + 5π/3 = 4π radyandır.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak denklemi tek bir fonksiyon cinsinden yazma
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) özdeşliği denklemde yerine yazıldığında 1−2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)−1=01 - 2\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0 yani −2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)=0-2\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) = 0 elde edilir.
Denklemi çözebilmek için farklı trigonometrik fonksiyonları tek bir değişken cinsine indirgemek gerekir.
2
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırma
−sin⁡(x)(2sin⁡(x)+3)=0-\sin(x)(2\sin(x) + \sqrt{3}) = 0 elde edilir. Buradan denklemin kökleri için sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olmalıdır.
Çarpım durumundaki ifadelerin sıfıra eşit olması, çarpanlardan en az birinin sıfır olmasını gerektirir.
3
Verilen (0,2π)(0, 2\pi) aralığındaki kökleri bulma
sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 için x=πx = \pi'dir (0 ve 2π2\pi açık aralığa dahil değildir).
sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} için ise üçüncü ve dördüncü bölgedeki açılar olan x=4π3x = \frac{4\pi}{3} ve x=5π3x = \frac{5\pi}{3} kökleri elde edilir.
Belirtilen sınırlı aralıktaki tüm olası kökleri belirlemek gerekir.
4
Köklerin toplamını hesaplama
π+4π3+5π3=π+3π=4π\pi + \frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \pi + 3\pi = 4\pi bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için tüm kökler toplanır.

Key Concept

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri kullanarak çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme
Estimated Time:2m 0s
PreviousPage 2 / 2
Trigonometrik Denklemler Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 2 | Examkin