Examkin

Katı Cisimler

60 soru

Tüm türler60Çoktan seçmeli49Sayısal11
Soru 21Soru →

Taban ayrıtı 6 cm6\text{ cm} olan düzgün kare dik piramidin yan yüzlerinin taban düzlemiyle yaptığı açı 60∘60^\circ dir. Buna göre, bu piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacminin piramidin hacmine oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: π9\frac{\pi}{9}

Cevap

Kürenin hacminin piramidin hacmine oranı π9\frac{\pi}{9} olarak bulunur.
Kürenin yarıçapı (r=3 cmr = \sqrt{3}\text{ cm}) ve piramidin yüksekliği (h=33 cmh = 3\sqrt{3}\text{ cm}) doğru hesaplandığında küre hacmi 43π cm34\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3, piramit hacmi ise 363 cm336\sqrt{3}\text{ cm}^3 çıkmaktadır. Bu iki değerin oranı π9\frac{\pi}{9} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Piramidin dikey kesitini belirleyin ve yüksekliğini bulun.
Taban ayrıtı 6 cm6\text{ cm} ve yan yüz açısı 60∘60^\circ olan piramidin karşılıklı iki kenarının orta noktalarından geçen dikey kesiti, bir kenarı 6 cm6\text{ cm} olan bir eşkenar üçgendir. Bu eşkenar üçgenin yüksekliği piramidin yüksekliğine eşittir: h=632=33 cmh = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} olur.
Piramit hacmini ve iç teğet küre yarıçapını bulmak için yükseklik ve dikey kesit ölçüleri gereklidir.
2
Piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin yarıçapını (rr) bulun.
Küre, piramidin tüm yüzeylerine teğet olmalıdır. Bu kürenin dikey kesit düzlemindeki izdüşümü, bir kenarı 6 cm6\text{ cm} olan eşkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Eşkenar üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r=a23=623=3 cmr = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\text{ cm} olarak hesaplanır.
Kürenin hacmini hesaplayabilmek için yarıçapının bilinmesi gerekir.
3
Kürenin hacmini hesaplayın.
Vku¨re=43πr3=43π(3)3=43π cm3V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3 = 4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3 olur.
Oranlama işlemi için pay kısmında yer alacak küre hacmini bulmak gerekir.
4
Piramidin hacmini hesaplayın.
Vpiramit=13⋅Taban Alanı⋅h=13⋅62⋅33=363 cm3V_{\text{piramit}} = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3 olur.
Oranlama işlemi için payda kısmında yer alacak piramit hacmini bulmak gerekir.
5
Kürenin hacmini piramidin hacmine oranlayın.
Oran=Vku¨reVpiramit=43π363=π9\text{Oran} = \frac{V_{\text{küre}}}{V_{\text{piramit}}} = \frac{4\sqrt{3}\pi}{36\sqrt{3}} = \frac{\pi}{9} olarak elde edilir.
Soru kökündeki nihai oran ilişkisini kurmak için bölme işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Düzgün piramitlerin hacmi ve iç teğet küre yarıçapının dikey kesit yardımıyla bulunması.
Soru 22Soru →

Kısa kenarı 6 cm6\text{ cm} ve uzun kenarı 8π cm8\pi\text{ cm} olan dikdörtgen biçimindeki bir kartonun kısa kenarları çakışacak şekilde bükülerek bir dik dairesel silindir elde ediliyor. Buna göre, oluşan bu silindirin hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür? (π=3\pi = 3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Elde edilen silindirin hacmi 288 cm3288\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Karton büküldüğünde oluşan silindirin yüksekliği 6 cm6\text{ cm}, taban dairesinin çevresi ise 24 cm24\text{ cm} olur. Buradan taban yarıçapı r=4 cmr = 4\text{ cm} bulunur. Hacim formülü V=πr2hV = \pi r^2 h uygulandığında 3×16×6=288 cm33 \times 16 \times 6 = 288\text{ cm}^3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin bükülmesiyle oluşan silindirin boyutlarını belirleme
Yükseklik h=6 cmh = 6\text{ cm} ve taban çevresi C\c=24 cmÇ = 24\text{ cm}
Kartonun kısa kenarları çakıştırıldığında kısa kenar yükseklik, uzun kenar ise taban dairesinin çevresi olur.
2
Silindirin taban yarıçapını hesaplama
Taban yarıçapı r=4 cmr = 4\text{ cm}
Taban çevresi 2πr=24 cm2\pi r = 24\text{ cm} ve π=3\pi = 3 olduğundan 6r=246r = 24 denkleminden yarıçap bulunur.
3
Silindirin hacmini hesaplama
Hacim V=288 cm3V = 288\text{ cm}^3
Silindirin hacim formülü V=πr2hV = \pi r^2 h kullanılarak yarıçap ve yükseklik değerleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Dik dairesel silindirin açınımı ve hacim hesabı
Soru 23Soru →

Dik dairesel silindir biçimindeki bir tahta bloktan, tabanları silindirin tabanlarıyla çakışacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kare dik prizma oyularak çıkarılıyor.

Buna göre, geriye kalan tahta kısmın hacminin, oyularak çıkarılan prizmanın hacmine oranı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: π−22\frac{\pi - 2}{2}

Cevap

Kalan kısmın hacminin prizmanın hacmine oranı π−22\frac{\pi - 2}{2}'dir.
Doğru cevap olan π−22\frac{\pi - 2}{2} ifadesi, silindirin hacminden (πr2h\pi r^2 h) kare prizmanın en büyük hacminin (2r2h2r^2 h) çıkarılmasıyla kalan hacmin (πr2h−2r2h\pi r^2 h - 2r^2 h) prizma hacmine bölünmesiyle elde edilir. Bu oranda r2r^2 ve hh terimleri sadeleşerek geriye sadece geometrik sabitlerin oranı kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Silindir ve içine yerleştirilen kare prizmanın boyutlarını tanımlama
Silindirin taban yarıçapı rr, yüksekliği hh olsun. En büyük hacimli kare prizmanın taban köşeleri silindirin taban dairesi üzerinde olmalıdır. Dolayısıyla karenin köşegen uzunluğu, dairenin çapı olan 2r2r olur.
Silindir içine yerleştirilebilecek en büyük kare prizmanın taban alanını maksimum yapmak için köşegen dairenin çapı olmalıdır.
2
Kare prizmanın taban alanını ve hacmini hesaplama
Köşegeni e=2re = 2r olan karenin alanı: Akare=e22=(2r)22=2r2A_{\text{kare}} = \frac{e^2}{2} = \frac{(2r)^2}{2} = 2r^2 olur. Kare prizmanın hacmi: Vprizma=Akare×h=2r2hV_{\text{prizma}} = A_{\text{kare}} \times h = 2r^2 h olarak bulunur.
Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarp��mına eşittir.
3
Silindirin hacmini hesaplama
Dik dairesel silindirin hacmi: Vsilindir=πr2hV_{\text{silindir}} = \pi r^2 h olur.
Silindirin hacmi, taban dairesinin alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır.
4
Geriye kalan tahta kısmın hacmini hesaplama
Vkalan=Vsilindir−Vprizma=πr2h−2r2h=(π−2)r2hV_{\text{kalan}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{prizma}} = \pi r^2 h - 2r^2 h = (\pi - 2)r^2 h olur.
Kalan tahta kısım, silindirin toplam hacminden oyulan prizmanın hacmi çıkarılarak bulunur.
5
Kalan hacmi prizmanın hacmine oranlama
Oran = VkalanVprizma=(π−2)r2h2r2h=π−22\frac{V_{\text{kalan}}}{V_{\text{prizma}}} = \frac{(\pi - 2)r^2 h}{2r^2 h} = \frac{\pi - 2}{2} bulunur.
Soruda istenen kalan kısmın hacminin prizmanın hacmine oranıdır.

Anahtar Kavram

Bir dik dairesel silindirin hacmi (V=πr2hV = \pi r^2 h) ve içine çizilen en büyük kare dik prizmanın taban alanı ile hacim ilişkisi.

İpuçları

1
Silindirin taban dairesinin içine çizilebilecek en büyük karenin köşegeninin neye eşit olduğunu düşünün.
2
En büyük karenin köşegeni dairenin çapına (2r2r) eşittir. Bu karenin alanını köşegen uzunluğu cinsinden d22\frac{d^2}{2} formülüyle hesaplayabilirsiniz.
3
Prizmanın hacmini 2r2h2r^2 h, silindirin hacmini πr2h\pi r^2 h olarak yazdıktan sonra kalan hacmi bulun ve prizma hacmine oranlayarak sadeleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir dik dairesel silindirin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli düzgün altıgen dik prizma çıkarılsaydı kalan hacmin prizmanın hacmine oranı ne olurdu? Bunu hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Oran hesabı yapıldığı için silindirin yarıçapını r=1r = 1 ve yüksekliğini h=1h = 1 kabul edebiliriz. Bu durumda silindirin hacmi π\pi, taban köşegeni 22 olan karenin alanı 222=2\frac{2^2}{2} = 2 ve prizmanın hacmi 22 olur. Kalan tahtanın hacmi π−2\pi - 2 olurken, bunun prizmanın hacmine oranı π−22\frac{\pi - 2}{2} olarak kolayca hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 24Soru →

Bir küpte, bir cisim köşegeni ile bu cisim köşegeniyle ortak bir köşeye sahip olan yüzey köşegenlerinden biri arasındaki açının kosinüsü kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63\frac{\sqrt{6}}{3}

Cevap

Kosinu¨sdeg˘eri63olansec\cenektir.Kosinüs değeri \frac{\sqrt{6}}{3} olan seçenektir.
Küpün bir kenar uzunluğuna aa dersek, yüzey köşegeninin uzunluğu a2a\sqrt{2} ve cisim köşegeninin uzunluğu a3a\sqrt{3} olur. Cisim köşegeni, komşu olduğu yüzey köşegeni ve küpün bir ayrıtı ile bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende cisim köşegeni hipotenüs, yüzey köşegeni ise komşu dik kenardır. Dolayısıyla bu iki köşegen arasındaki açının kosinüsü, komşu dik kenarın hipotenüse oranından a2a3=63\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün bir kenar uzunluğunu harflendirerek yüzey köşegeninin uzunluğunu bulunuz.
Küpün bir ayrıtının uzunluğu aa olsun. Bir yüzdeki dik üçgenden Pisagor bağıntısı kullanılarak yüzey köşegeninin uzunluğu a2a\sqrt{2} olarak bulunur.
Cisim köşegeni ile yüzey köşegeni arasındaki açıyı bulabilmek için öncelikle bu köşegenlerin uzunluklarını küpün ayrıtı cinsinden ifade etmemiz gerekir.
2
Küpün cisim köşegeninin uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz.
Cisim köşegeni, yüzey köşegeni ve bu köşegenlerin birleştiği dikey ayrıtın oluşturduğu dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak cisim köşegeninin uzunluğu (a2)2+a2=a3\sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = a\sqrt{3} olarak bulunur.
Açının trigonometrik oranlarını hesaplayacağımız dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu belirlemek için cisim köşegeninin uzunluğunu hesaplamalıyız.
3
Köşegenlerin oluşturdu��u dik üçgende aralarındaki açının kosinüs değerini hesaplayınız.
Cisim köşegeni ile yüzey köşegeni arasındaki açı θ\theta olsun. Bu dik üçgende cos⁡θ=Koms¸u Dik KenarHipotenu¨s=a2a3=23=63\cos\theta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} olarak hesaplanır.
Kosinüs fonksiyonunun tanımı komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.

Anahtar Kavram

Küpün elemanları (ayrıt, yüzey köşegeni, cisim köşegeni) arasındaki metrik ve açısal ilişkiler.
Soru 25Soru →

Bir ABCDABCD dik yamuğunda [AB]⊥[AD][AB] \perp [AD], [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] ve [AD]∥[BC][AD] \parallel [BC]'dir. Yamuğun kenar uzunlukları ∣AD∣=3 cm|AD| = 3\text{ cm}, ∣BC∣=9 cm|BC| = 9\text{ cm} ve ∣AB∣=8 cm|AB| = 8\text{ cm} olarak verilmiştir. Buna göre, bu dik yamuk [CD][CD] kenarı etrafında 360∘360^\circ döndürüldüğünde oluşan döner cismin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12485\frac{1248}{5}

Cevap

Döner cismin hacmi 1248π5 cm3\frac{1248\pi}{5}\text{ cm}^3 olur.
Yamuk [CD][CD] kenarı etrafında döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi, EBCEBC dik üçgeninin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle oluşan çift koninin hacminden, EADEAD dik üçgeninin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle oluşan çift koninin hacminin çıkarılmasıyla bulunur. Bu hesaplama 1248π5\frac{1248\pi}{5} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Yamuğun paralel olmayan kenarlarını uzatarak bir üçgene tamamlayalım.
[BA][BA] ve [CD][CD] kenarları uzatıldığında EE noktasında kesişir. AD∥BCAD \parallel BC olduğundan EADEAD ve EBCEBC üçgenleri benzerdir.
Dönme eksenini ve sınırları belirlemek için yamuğu dik üçgenlere tamamlamak kolaylık sağlar.
2
Benzerlik oranını kullanarak uzatılan parçaların uzunluklarını bulalım.
Benzerlik oranı ∣AD∣∣BC∣=39=13\frac{|AD|}{|BC|} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}'tür. Buradan ∣EA∣∣EA∣+8=13  ⟹  ∣EA∣=4 cm\frac{|EA|}{|EA| + 8} = \frac{1}{3} \implies |EA| = 4\text{ cm} ve ∣EB∣=12 cm|EB| = 12\text{ cm} bulunur.
Dönecek dik üçgenlerin kenar uzunluklarını belirlemek için benzerlik kullanılır.
3
Üçgenlerin hipotenüs uzunluklarını hesaplayalım.
EADEAD dik üçgeninde ∣EA∣=4 cm|EA|=4\text{ cm}, ∣AD∣=3 cm|AD|=3\text{ cm} ise hipotenüs ∣ED∣=5 cm|ED|=5\text{ cm} olur. EBCEBC dik üçgeninde ∣EB∣=12 cm|EB|=12\text{ cm}, ∣BC∣=9 cm|BC|=9\text{ cm} ise hipotenüs ∣EC∣=15 cm|EC|=15\text{ cm} olur.
Dönme ekseni üzerindeki uzunlukları belirlemek için Pisagor teoremi uygulanır.
4
Üçgenlerin hipotenüslerine ait yüksekliklerini (dönme yarıçaplarını) bulalım.
EADEAD için yarıçap r1=3⋅45=2,4 cmr_1 = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2,4\text{ cm} olur. EBCEBC için yarıçap r2=9⋅1215=7,2 cmr_2 = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7,2\text{ cm} olur.
Hipotenüs etrafında döndürmede yarıçap, hipotenüse indirilen dikmedir.
5
Büyük ve k��çük üçgenlerin döndürülmesiyle oluşan çift konilerin hacimlerini hesaplayalım.
VEAD=13π(2,4)2⋅5=9,6π=48π5 cm3V_{EAD} = \frac{1}{3} \pi (2,4)^2 \cdot 5 = 9,6\pi = \frac{48\pi}{5}\text{ cm}^3 ve VEBC=13π(7,2)2⋅15=259,2π=1296π5 cm3V_{EBC} = \frac{1}{3} \pi (7,2)^2 \cdot 15 = 259,2\pi = \frac{1296\pi}{5}\text{ cm}^3 bulunur.
Çift koni hacmi V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h formülüyle hesaplanır.
6
Büyük hacimden küçük hacmi çıkararak yamuğun döndürülmesiyle oluşan hacmi bulalım.
V=VEBC−VEAD=1296π5−48π5=1248π5 cm3V = V_{EBC} - V_{EAD} = \frac{1296\pi}{5} - \frac{48\pi}{5} = \frac{1248\pi}{5}\text{ cm}^3 elde edilir.
Yamuk, büyük üçgenden küçük üçgenin çıkarılmasıyla elde edildiğinden, döner cismin hacmi de bu farka eşittir.

Anahtar Kavram

Dik yamuğun eğik kenarı etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini benzer üçgenler yardımıyla bulma.
Soru 26Soru →

Bir dik prizmanın tüm yüzey alanı, yanal alanının 32\frac{3}{2} katına eşittir. Bu prizmanın yüksekliği 5 cm5\text{ cm} ve hacmi 125 cm3125\text{ cm}^3 olduğuna göre, taban çevresi kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Taban çevresi 20 cm20\text{ cm}'dir.
Doğru cevap, taban çevresinin 20 cm20\text{ cm} olduğunu belirten seçenektir. Çünkü hacim formülünden taban alanı 25 cm225\text{ cm}^2 olarak bulunur. Yüzey alanı bağıntısından yanal alanın taban alanının 4 katı (100 cm2100\text{ cm}^2) olduğu tespit edilir. Yanal alanın taban çevresi ile yükseklik çarpımı olmasından yola çıkılarak da taban çevresi 20 cm20\text{ cm} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Hacim formülünü kullanarak taban alanını (TT) hesaplayalım.
T=25 cm2T = 25\text{ cm}^2
Dik prizmanın hacmi V=T⋅hV = T \cdot h formülüyle hesaplanır. Hacim 125 cm3125\text{ cm}^3 ve yükseklik h=5 cmh = 5\text{ cm} olarak verildiğinden, 125=T⋅5⇒T=25 cm2125 = T \cdot 5 \Rightarrow T = 25\text{ cm}^2 olur.
2
Tüm yüzey alanı (SS) ve yanal alan (YaY_a) arasındaki ilişkiyi kuralım.
Ya=4TY_a = 4T
Dik prizmanın tüm yüzey alanı S=Ya+2TS = Y_a + 2T şeklindedir. Tüm yüzey alanının yanal alanın 32\frac{3}{2} katı olduğu verildiği için Ya+2T=1.5Ya⇒2T=0.5Ya⇒Ya=4TY_a + 2T = 1.5 Y_a \Rightarrow 2T = 0.5 Y_a \Rightarrow Y_a = 4T eşitliğini elde ederiz.
3
Yanal alanı hesaplayalım.
Ya=100 cm2Y_a = 100\text{ cm}^2
T=25 cm2T = 25\text{ cm}^2 olduğundan, Ya=4⋅25=100 cm2Y_a = 4 \cdot 25 = 100\text{ cm}^2 bulunur.
4
Yanal alan formülünü kullanarak taban çevresini (C\cÇ) bulalım.
C\c=20 cmÇ = 20\text{ cm}
Dik prizmalarda yanal alan Ya=C\c⋅hY_a = Ç \cdot h formülüyle hesaplanır. 100=C\c⋅5⇒C\c=20 cm100 = Ç \cdot 5 \Rightarrow Ç = 20\text{ cm} elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik prizmalarda hacim, yüzey alanı, yanal alan ve taban çevresi arasındaki temel geometrik ilişkiler.

İpuçları

1
Öncelikle hacim formülünü (V=Taban Alanı×Yu¨kseklikV = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}) kullanarak prizmanın taban alanını bulmayı deneyin.
2
Dik prizmanın tüm yüzey alanının, yanal alan ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşit olduğunu (S=Ya+2TS = Y_a + 2T) unutmayın. Verilen oranı bu formülde yerine koyarak yanal alanın taban alanının kaç katı olduğunu bulabilirsiniz.
3
Bulduğunuz yanal alanı, dik prizmalardaki yanal alan formülü olan Taban C¸evresi×Yu¨kseklik\text{Taban Çevresi} \times \text{Yükseklik} ifadesine eşitleyerek taban çevresine ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm4\text{ cm} olan küp şeklindeki tahta bir blok, tabanına paralel bir düzlemle tam ortasından kesilerek iki eş dikdörtgenler prizması elde ediliyor. Buna göre, elde edilen prizmalardan birinin cisim köşegeninin uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

66 değerini içeren seçenektir.
Küpün tabanına paralel olarak tam ortasından kesilmesiyle oluşan prizmanın ayrıtları 4 cm4\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 2 cm2\text{ cm}'dir. Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni formülü d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} olduğundan, bu prizmanın cisim köşegeni d=42+42+22=36=6 cmd = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36} = 6\text{ cm} olarak hesaplanır. Bu nedenle 66 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün kesilmesiyle oluşan prizmanın boyutlarını belirleyin.
Prizmanın ayrıtları 4 cm4\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 2 cm2\text{ cm} olur.
Küp tabanına paralel bir düzlemle ortadan kesildiğinde, taban ayrıtları (4 cm4\text{ cm} ve 4 cm4\text{ cm}) değişmezken yükseklik yarıya iner (4/2=2 cm4 / 2 = 2\text{ cm}).
2
Oluşan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegenini hesaplayın.
d=6 cmd = 6\text{ cm}
Prizmanın cisim köşegeni d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} formülüyle hesaplanır. Burada a=4a=4, b=4b=4 ve c=2c=2 değerleri yerine yazılarak d=42+42+22=16+16+4=36=6 cmd = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6\text{ cm} elde edilir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, prizmanın farklı üç ayrıtının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
Soru 28Soru →

Tabanı düzgün sekizgen olan bir dik prizmanın köşe sayısı, yüz sayısı ve ayrıt sayısının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Düzgün sekizgen dik prizmanın köşe sayısı, yüz sayısı ve ayrıt sayısının toplamı 50'dir.
Sekizgen bir dik prizmanın 16 köşesi, 10 yüzü ve 24 ayrıtı bulunur. Bu değerlerin toplamı 16+10+24=5016 + 10 + 24 = 50 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın tabanındaki çokgenin kenar sayısın�� (n) belirlemek.
n=8n = 8
Prizmanın tabanı bir sekizgen olarak verilmiştir.
2
Köşe sayısını, yüz sayısını ve ayrıt sayısını ayrı ayrı hesaplamak.
Köşe sayısı = 1616, Yüz sayısı = 1010, Ayrıt sayısı = 2424
nn-gen tabanlı bir dik prizmada 2n2n adet köşe, n+2n+2 adet yüz ve 3n3n adet ayrıt bulunur.
3
Hesaplanan tüm eleman sayılarını toplamak.
16+10+24=5016 + 10 + 24 = 50
Soru bizden bu üç eleman sayısının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Prizmaların taban kenar sayısına bağlı olarak köşe, yüz ve ayrıt sayılarının hesaplanması.
Soru 29Soru →

Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi 96 cm396\text{ cm}^3 ve farklı üç yüzünün alanları toplamı 76 cm276\text{ cm}^2 dir. Buna göre, bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2262\sqrt{26}

Cevap

Cisim köşegeninin uzunluğu 226 cm2\sqrt{26}\text{ cm} olan seçenektir.
Prizmanın hacmi ve farklı yüzlerinin alanları toplamı kullanılarak ayrıt uzunlukları 2 cm2\text{ cm}, 6 cm6\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olarak elde edilir. Bu ayrıt uzunluklarına göre cisim köşegeni formülü uygulandığında doğru uzunluk 226 cm2\sqrt{26}\text{ cm} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen hacim ve alan denklemlerini ayrıt uzunlukları cinsinden yazın.
a⋅b⋅c=96a \cdot b \cdot c = 96 ve a⋅b+b⋅c+a⋅c=76a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c = 76 denklemleri elde edilir.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi üç farklı ayrıtının çarpımına, farklı üç yüzünün alanları toplamı ise ikişerli çarpımlarının toplamına eşittir.
2
Ayrıt uzunluklarının tam sayı olmasından yararlanarak olası a,b,ca, b, c değerlerini belirleyin.
a≤b≤ca \le b \le c kabul edilirse, en küçük ayrıt olan aa değeri 9696 sayısının bir böleni olmalıdır. a=1,2,3,4a=1, 2, 3, 4 durumları incelendiğinde sadece a=2a=2 için b+c=14b+c=14 ve b⋅c=48b \cdot c=48 tam sayı çözümleri (yani 66 ve 88) elde edilir.
Soruda ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğu belirtilmiştir, bu durum olası değerleri sınırlar.
3
Bulunan ayrıt uzunlukları ile cisim köşegeni uzunluğunu hesaplayın.
Cisim köşegeni uzunluğu d=22+62+82=104=226 cmd = \sqrt{2^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}\text{ cm} olarak hesaplanır.
Bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu, üç farklı ayrıtının kareleri toplamının kareköküne eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı bileşenleri ve cisim köşegeni arasındaki ilişkiler ile tam sayı bölen analizi.

İpuçları

1
Ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğunu unutmayın. Hacmin bölenlerinden yola çıkarak olası ayrıtları listeleyebilirsiniz.
2
En küçük ayrıt aa olsun. a≤4a \le 4 olmalıdır çünkü a3≤a⋅b⋅c=96a^3 \le a \cdot b \cdot c = 96 bağıntısı geçerlidir.
3
a=2a=2 için b⋅c=48b \cdot c = 48 ve 2(b+c)+48=762(b+c) + 48 = 76 denklemlerini çözerek bb ve cc değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Ayrıtları tam sayı olan ve benzer şekilde hacim ile alan bağıntıları verilen küp veya diğer prizma sorularını çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Cisim köşegeninin karesi a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ac)a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac) özdeşliği ile de ifade edilebilir. Tam sayı bölenlerinden a+b+c=16a+b+c = 16 olduğunu bulduktan sonra bu formülde yerine koyarak 162−2(76)=256−152=10416^2 - 2(76) = 256 - 152 = 104 bulup karekökünü alabiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →

Taban ayrıtı 12 cm12\text{ cm} ve yanal alanı 240 cm2240\text{ cm}^2 olan düzgün kare dik piramidin hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 384384

Cevap

Piramidin hacmi 384 cm3384\text{ cm}^3 tür.
Piramidin hacmi, taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Yanal alandan yanal yüz yüksekliği 10 cm10\text{ cm} olarak hesaplandıktan sonra, Pisagor teoremi yardımıyla cisim yüksekliği 8 cm8\text{ cm} bulunur. Taban alanı 144 cm2144\text{ cm}^2 ile bu yükseklik çarpılıp üçe bölündüğünde hacim 384 cm3384\text{ cm}^3 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yanal alandan yararlanarak yanal yüz yüksekliğini bulun.
Yanal yüz yüksekliği hy=10 cmh_y = 10\text{ cm} olarak bulunur.
Düzgün kare piramidin yanal alanı, 4 adet eş üçgensel yüzün alanları toplamıdır. Yanal Alan = 4⋅(a⋅hy2)=2⋅a⋅hy4 \cdot \left(\frac{a \cdot h_y}{2}\right) = 2 \cdot a \cdot h_y formülüyle hesaplanır. Buradan 240=2⋅12⋅hy  ⟹  hy=10 cm240 = 2 \cdot 12 \cdot h_y \implies h_y = 10\text{ cm} elde edilir.
2
Piramidin cisim yüksekliğini hesaplamak için dik üçgen oluşturun.
Cisim yüksekliği h=8 cmh = 8\text{ cm} olarak bulunur.
Piramidin tepe noktasından tabana inen dikme, taban merkezine düşer. Taban merkezinden yanal yüzün taban kenarına olan uzaklığı, taban ayrıtının yarısıdır (12/2=6 cm12 / 2 = 6\text{ cm}). Cisim yüksekliği (hh), taban yarı uzunluğu (6 cm6\text{ cm}) ve yanal yüz yüksekliği (hy=10 cmh_y = 10\text{ cm}) bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoreminden: h2+62=102  ⟹  h=8 cmh^2 + 6^2 = 10^2 \implies h = 8\text{ cm} (6-8-10 özel dik üçgeni) bulunur.
3
Taban alanını ve piramidin hacmini hesaplayın.
Taban alanı 144 cm2144\text{ cm}^2 ve hacim 384 cm3384\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Taban bir kenarı 12 cm12\text{ cm} olan bir kare olduğundan, Taban Alanı = 122=144 cm212^2 = 144\text{ cm}^2 dir. Piramidin hacmi V=13⋅Taban Alanı⋅Yu¨kseklikV = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik} formülü ile hesaplanır. Buradan V=13⋅144⋅8=384 cm3V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 384\text{ cm}^3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Düzgün kare dik piramidin hacmi, yanal alanı ve cisim yüksekliği ile yanal yüz yüksekliği arasındaki Pisagor bağıntısı ilişkisi.
Soru 31Soru →

Bir dik dairesel koninin içine; koninin tabanına ve yanal yüzeyine teğet olacak biçimde bir küre yerleştiriliyor. Kürenin merkezinin koninin tepe noktasına olan uzaklığı, kürenin yarıçapının 33 katıdır. Buna göre, koninin hacminin kürenin hacmine oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Koninin hacminin kürenin hacmine oranı 2'dir.
Koninin tepe noktası ile kürenin merkezi arasındaki uzaklık 3r3r ve kürenin tabana olan uzaklığı rr olduğundan koninin yüksekliği H=4rH = 4r olur. Kürenin yanal yüzeye teğet olduğu noktadan merkezine çizilen dikmenin uzunluğu rr olup, oluşan dik üçgenler arasındaki benzerlikten koninin taban yarıçapı R=2rR = \sqrt{2}r olarak bulunur. Hacim formülleri oranlandığında doğru sonucun 2 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Küre ve koninin merkezsel kesitini hayal ederek teğetlik noktalarını ve uzunlukları belirleme.
Kürenin yarıçapı rr olsun. Kürenin merkezi OO, koninin tepe noktası TT ve taban merkezi MM olsun. Küre tabana teğet olduğundan OM=rOM = r ve koninin yüksekliği H=TM=TO+OM=3r+r=4rH = TM = TO + OM = 3r + r = 4r olur.
Küre ile koni arasındaki geometrik ilişkileri ve koninin yüksekliğini bulmak için.
2
Kürenin yanal yüzeye teğet olduğu PP noktasını kullanarak dik üçgenler arasındaki benzerliği kurma.
OP⊥TPOP \perp TP ve OP=rOP = r olur. TPOTPO ve TMCTMC (burada CC taban dairesi üzerindeki bir noktadır) dik üçgenleri benzerdir (A.A. benzerliği). Buradan OPMC=TOTC  ⟹  rR=3rTC  ⟹  TC=3R\frac{OP}{MC} = \frac{TO}{TC} \implies \frac{r}{R} = \frac{3r}{TC} \implies TC = 3R elde edilir.
Koninin taban yarıçapı RR ile kürenin yarıçapı rr arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
Pisagor bağıntısını kullanarak koninin taban yarıçapı RR'yi rr cinsinden hesaplama.
TMCTMC dik üçgeninde TC2=TM2+MC2  ⟹  (3R)2=(4r)2+R2  ⟹  8R2=16r2  ⟹  R2=2r2  ⟹  R=2rTC^2 = TM^2 + MC^2 \implies (3R)^2 = (4r)^2 + R^2 \implies 8R^2 = 16r^2 \implies R^2 = 2r^2 \implies R = \sqrt{2}r bulunur.
Koninin taban yarıçapını bulup hacim hesabına geçebilmek için.
4
Koni ve kürenin hacimlerini formüller yardımıyla oranlama.
Vkoni=13πR2H=13π(2r2)(4r)=83πr3V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (2r^2)(4r) = \frac{8}{3}\pi r^3 ve Vku¨re=43πr3V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3 olur. Oran ise VkoniVku¨re=83πr343πr3=2\frac{V_{\text{koni}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 2 olarak elde edilir.
Soru kökündeki oranı bulup çözümü tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Küre ve koni kombinasyonlarında hacim hesaplama, dik üçgende benzerlik ve Pisagor bağıntısı uygulamaları.
Soru 32Soru →

Taban yarıçapı 5π cm\frac{5}{\pi}\text{ cm} ve yüksekli��i 12 cm12\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun alt taban çemberi üzerindeki bir AA noktası ile üst taban çemberi üzerinde, AA noktasın��n dikey izdüşümünün çapraz karşısında (en uzak noktasında) bulunan bir BB noktası işaretlenmiştir. Kutunun dış yan yüzeyi üzerinden, AA noktasından BB noktasına giden en kısa yol kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
En kısa yol, silindirin yan yüzeyinin açınımıyla oluşan dikdörtgende 5 cm yatay ve 12 cm dikey kenarlara sahip dik üçgenin hipotenüsüdür. 5-12-13 özel üçgeninden doğru yanıt 13 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin yan yüzeyinin açınımı yapılarak düzlemsel bir dikdörtgen elde edilir.
Taban çevresi 2πr=2π(5π)=10 cm2 \pi r = 2 \pi \left(\frac{5}{\pi}\right) = 10\text{ cm} ve yüksekliği 12 cm12\text{ cm} olan bir dikdörtgen oluşur.
Yüzey üzerindeki en kısa yolu bulmak amacıyla silindirin dış yüzeyi iki boyutlu bir düzleme açılır.
2
Başlangıç noktası A ile bitiş noktası B'nin açınım üzerindeki konumları ve aralarındaki yatay/dikey mesafeler belirlenir.
B noktası, A'nın dikey izdüşümünün çapraz karşısında olduğundan yatayda yarım çevre kadar yol alınır. Yatay mesafe 102=5 cm\frac{10}{2} = 5\text{ cm}, dikey mesafe ise silindir yüksekliği olan 12 cm12\text{ cm} olur.
Açınım düzleminde en kısa yolun oluşturduğu dik üçgenin kenar uzunluklarını belirlemek gerekir.
3
Elde edilen dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak en kısa doğrusal mesafe hesaplanır.
x2=52+122  ⟹  x2=25+144=169  ⟹  x=13 cmx^2 = 5^2 + 12^2 \implies x^2 = 25 + 144 = 169 \implies x = 13\text{ cm} bulunur.
Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgende en kısa yol hipotenüs uzunluğuna eşittir (5-12-13 özel dik üçgeni).

Anahtar Kavram

Silindir yüzeyi üzerindeki en kısa yol sorularında, silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. İki nokta arasındaki en kısa yol, bu açınım üzerindeki en kısa doğrusal mesafedir (dik üçgenin hipotenüsüdür).

İpuçları

1
Katı cisimler üzerindeki en kısa yol sorularında öncelikle cismin yüzeyini düzlemsel olarak açmalısınız.
2
Silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. Bu dikdörtgenin genişliği taban çevresine (2πr2\pi r), yüksekliği ise silindirin yüksekliğine eşittir.
3
A noktası ile B noktası arasındaki yatay mesafe, silindir yüzeyinin yarısı kadar dolanıldığı için taban çevresinin yarısı (5 cm5\text{ cm}) olacaktır. Dikey mesafe ise 12 cm12\text{ cm}'dir. Oluşan dik üçgende Pisagor uygulayabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde silindir yüzeyi etrafında 1,5 tur veya 2 tam tur atılarak ulaşılan en kısa yol sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özel üçgenler bilgisi kullanılarak: Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu doğrudan 5-12-13 özel dik üçgeni kuralıyla 13 cm olarak bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 33Soru →

Bir dik prizmanın köşe sayısı ile ayrıt sayısının toplamı 15'tir. Bu prizmanın tabanı, dik kenarlarından biri 9 cm9\text{ cm} ve hipotenüsü 15 cm15\text{ cm} olan bir dik üçgendir. Prizmanın yanal alanı, taban alanının 3 katına eşit olduğuna göre, prizmanın hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 243

Cevap

Prizmanın hacmi 243 cm3243\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Prizmanın köşe ve ayrıt sayılarından tabanının üçgen olduğu bulunur. Pisagor bağıntısı ile üçgenin diğer kenarı 12 cm, alanı 54 cm² ve çevresi 36 cm olarak hesaplanır. Yanal alanın taban alanının 3 katı olmasından yükseklik 4.5 cm elde edilir. Hacim ise taban alanı ve yüksekliğin çarpımı ile 243 cm³ bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Köşe sayısı ve ayrıt sayısı toplamını kullanarak prizmanın tabanının kenar sayısını belirleme
n = 3 (Üçgen dik prizma)
Bir n-gen dik prizmanın 2n köşesi ve 3n ayrıtı vardır. 2n + 3n = 15 denkleminden n = 3 bulunur.
2
Tabandaki dik üçgenin bilinmeyen dik kenarını hesaplama
12 cm
Dik kenarlarından biri 9 cm ve hipotenüsü 15 cm olan dik üçgende, Pisagor bağıntısı (92+b2=1529^2 + b^2 = 15^2) kullanılarak diğer dik kenar 12 cm olarak elde edilir.
3
Taban alanı ve taban çevresini hesaplama
Taban Alanı = 54 cm², Taban Çevresi = 36 cm
Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır: (9 * 12) / 2 = 54 cm². Çevresi ise kenarlarının toplamıdır: 9 + 12 + 15 = 36 cm.
4
Prizmanın yüksekliğini bulma
h = 4.5 cm
Yanal alan formülü Çevre * h'dir. Yanal alan taban alanının 3 katına eşit olduğundan, 36 * h = 3 * 54 = 162 eşitliğinden h = 4.5 cm bulunur.
5
Prizmanın hacmini hesaplama
243 cm³
Bir prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı ile bulunur: V = 54 * 4.5 = 243 cm³.

Anahtar Kavram

Prizmalarda köşe, ayrıt ve yüz sayısı ilişkileri ile taban alanı, yanal alan ve hacim hesaplama formülleri.
Soru 34Soru →

Bir kargo firması, ayrıt uzunlukları metre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kolinin yüzeylerini kaplayacaktır. Kolinin farklı üç yüzünün köşegen uzunlukları sırasıyla d1d_1, d2d_2 ve d3d_3 metredir.

Bu köşegen uzunlukları arasında,
d12+d22=66d_1^2 + d_2^2 = 66
d22+d32=59d_2^2 + d_3^2 = 59
d12+d32=75d_1^2 + d_3^2 = 75

bağıntıları bulunduğuna göre, bu kolinin toplam yüzey alanı kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 94

Cevap

94 metrekare
Doğru olan seçenekteki 94 değeri, prizmanın ayrıt uzunluklarının 3, 4 ve 5 metre olarak doğru belirlenmesi ve yüzey alanı formülü olan 2(ab+bc+ac)2(ab + bc + ac) ifadesinin hatasız bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kolinin ayrıt uzunluklarını sırasıyla aa, bb ve cc olarak belirleyip Pisagor bağıntısı yardımıyla yüzey köşegenlerinin karelerini yazalım.
d12=a2+b2d_1^2 = a^2 + b^2, d22=b2+c2d_2^2 = b^2 + c^2 ve d32=a2+c2d_3^2 = a^2 + c^2 bağıntıları elde edilir.
Köşegen uzunlukları ile ayrıt uzunlukları arasında ilişki kurmak için.
2
Elde edilen bu bağıntıları soruda verilen denklemlerde yerlerine yazarak üç bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturalım.
a2+2b2+c2=66a^2 + 2b^2 + c^2 = 66, a2+b2+2c2=59a^2 + b^2 + 2c^2 = 59 ve 2a2+b2+c2=752a^2 + b^2 + c^2 = 75 denklemleri elde edilir.
Ayrıtların karelerini bulmamızı sağlayacak denklem sistemini kurmak için.
3
Oluşturulan üç denklemi taraf tarafa toplayalım.
4a2+4b2+4c2=200  ⟹  a2+b2+c2=504a^2 + 4b^2 + 4c^2 = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 50 eşitliği elde edilir.
Her bir değişkenin değerine ulaşabilmek için ortak bir toplam değeri bulmak.
4
Bulunan a2+b2+c2=50a^2 + b^2 + c^2 = 50 toplamını, ikinci adımdaki denklemlerde tek tek çıkararak her ayrıtın karesini hesaplayalım.
b2=66−50=16b^2 = 66 - 50 = 16, c2=59−50=9c^2 = 59 - 50 = 9 ve a2=75−50=25a^2 = 75 - 50 = 25 bulunur.
Ayrıt uzunluklarının karelerini ayrı ayrı belirlemek için.
5
Ayrıt uzunlukları pozitif tam sayılar olduğundan kareköklerini alalım.
a=5a = 5 metre, b=4b = 4 metre ve c=3c = 3 metre olarak bulunur.
Yüzey alanını hesaplamak için ayrıt uzunluklarının kendilerini elde etmek.
6
Ayrıtları 3, 4 ve 5 metre olan dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanını 2(ab+bc+ac)2(ab + bc + ac) formülü ile hesaplayalım.
S=2(5⋅4+4⋅3+5⋅3)=2(20+12+15)=2⋅47=94S = 2(5 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2(20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94 metrekare bulunur.
Soruda istenen toplam yüzey alanı sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında yüzey köşegenleri ve Pisagor bağıntısının uygulanması, prizmanın toplam yüzey alanı formülü

Alternatif Yöntem

Verilen denklem sisteminde d12d_1^2, d22d_2^2 ve d32d_3^2 ifadelerinin toplamının 2(a2+b2+c2)2(a^2 + b^2 + c^2) değerine eşit olduğu görülebilir. Buradan 2(a2+b2+c2)=66+59+75=200  ⟹  a2+b2+c2=502(a^2 + b^2 + c^2) = 66 + 59 + 75 = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 50 toplamına daha hızlı ulaşılarak ayrıtlar sırasıyla a2=50−(b2+c2)=50−25=25  ⟹  a=5a^2 = 50 - (b^2+c^2) = 50 - 25 = 25 \implies a=5 şeklinde doğrudan belirlenebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 35Soru →

Tabanının bir kenar uzunluğu 6 cm6\text{ cm} ve yüksekliği 4 cm4\text{ cm} olan düzgün kare dik piramidin hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Piramidin hacmi 48 cm348\text{ cm}^3 tür.
Düzgün kare dik piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte biridir. Tabanının bir kenarı 6 cm6\text{ cm} olan karenin alanı 36 cm236\text{ cm}^2 ve yüksekliği 4 cm4\text{ cm} olduğuna göre, hacim 13×36×4=48 cm3\frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48\text{ cm}^3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün kare dik piramidin tabanı bir karedir. Karenin bir kenarı a=6 cma = 6\text{ cm} olduğuna göre taban alanını bulalım.
TA=a2=62=36 cm2T_A = a^2 = 6^2 = 36\text{ cm}^2
Hacim hesabı için taban alanının bilinmesi gerekmektedir.
2
Taban alanı ile yüksekliği (h=4 cmh = 4\text{ cm}) çarpıp 33'e bölelim.
V=13×TA×h=13×36×4=12×4=48 cm3V = \frac{1}{3} \times T_A \times h = \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 12 \times 4 = 48\text{ cm}^3
Piramitlerin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.

Anahtar Kavram

Düzgün kare dik piramidin hacim formülü (V=13×Taban Alanı×Yu¨kseklikV = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}).
Tahmini Süre:45s
Soru 36Soru →

Taban yarıçapı 3π cm\frac{3}{\pi}\text{ cm} ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun alt taban çemberi üzerindeki bir AA noktasından, silindirin yan yüzeyi üzerinden tam bir tur atarak üst taban çemberi üzerinde AA noktasıyla aynı düşey hizada bulunan BB noktasına giden bir karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010

Cevap

En kısa yol 10 cm10\text{ cm}'dir.
Doğru cevap 10 cm10\text{ cm}'dir. Silindir açıldığında oluşan dikdörtgenin taban uzunluğu 6 cm6\text{ cm} (çevre = 2π⋅3π2\pi \cdot \frac{3}{\pi}) ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm}'dir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu, dik kenarları 66 ve 88 olan dik üçgenin hipotenüsü olacağından 6−8−106-8-10 özel üçgeninden 10 cm10\text{ cm} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin taban çevresi hesaplanır.
Taban çevresi C=2πr=2π⋅3π=6 cmC = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 6\text{ cm} olur.
Silindir yan yüzeyi açıldığında, taban çevresi açınım dikdörtgeninin yatay kenar uzunluğunu oluşturur.
2
Silindirin yan yüzey açınımı düzlemsel olarak çizilir.
Yatay kenarı 6 cm6\text{ cm}, düşey kenarı (yükseklik) 8 cm8\text{ cm} olan bir dikdörtgen elde edilir.
Silindir yüzeyi üzerinde tam bir tur atarak en üst noktaya ulaşmak, açınım dikdörtgeninin bir köşesinden karşı köşesine gitmeye karşılık gelir.
3
Pisagor bağıntısı ile köşegen uzunluğu hesaplanır.
En kısa yol xx olsun. x2=62+82=36+64=100⇒x=10 cmx^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow x = 10\text{ cm} bulunur.
Dik kenarları 6 cm6\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olan dik üçgende hipotenüs uzunluğu 6−8−106-8-10 özel üçgeni (3−4−53-4-5 üçgeninin 22 katı) kuralıyla doğrudan bulunabilir.

Anahtar Kavram

Bir silindirin yüzeyi üzerindeki en kısa yol, silindirin yan yüzey açınımı olan dikdörtgenin köşegen uzunluğudur.

İpuçları

1
Silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. Karıncanın izlediği yol bu dikdörtgen üzerinde doğrusal bir çizgidir.
2
Oluşan dikdörtgenin yatay kenarı silindirin taban çevresine (2πr2\pi r), dikey kenarı ise silindirin yüksekliğine eşittir. Bu iki kenarın oluşturduğu dik üçgende en kısa yolu bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Silindir üzerinde yarım tur atılsaydı en kısa yolun nasıl değişeceğini düşünün.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 37Soru →

Tabanı dik üçgen olan bir dik piramidin taban kenar uzunlukları 8 cm8\text{ cm}, 15 cm15\text{ cm} ve 17 cm17\text{ cm}'dir. Bu piramidin yüksekliği 6 cm6\text{ cm} olduğuna göre, hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Piramidin hacmi 120 cm³ tür.
Tabanı oluşturan dik üçgenin dik kenarları 8 cm ve 15 cm olduğundan taban alanı 60 cm² olarak bulunur. Bu değer, piramit yüksekliği olan 6 cm ile çarpılıp 3'e bölündüğünde hacim 120 cm³ olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen dik üçgen tabanın alanını hesaplamak için dik kenar uzunluklarını belirleyin ve alan formülünü uygulayın.
Taban Alanı = \frac{8 \times 15}{2} = 60\text{ cm}^2
Piramidin hacmini bulmak için öncelikle taban alanının bilinmesi gerekir. Dik üçgende dik kenarlar en kısa iki kenardır (8 cm ve 15 cm), en uzun kenar (17 cm) ise hipotenüstür.
2
Piramit hacim formülünü kullanarak piramidin hacmini hesaplayın.
Hacim = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} = \frac{1}{3} \times 60 \times 6 = 120\text{ cm}^2
Piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.

Anahtar Kavram

Piramitlerin hacim hesaplaması

İpuçları

1
Piramidin hacmini bulmak için taban alanı ile yüksekliği çarpıp elde ettiğiniz sonucu 3'e bölmeniz gerekir.
2
Taban bir dik üçgendir. Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. En uzun kenar olan 17 cm hipotenüstür, bu yüzden alan hesabına dahil edilmez.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, taban ayrıtı ve yan yüz yüksekliği verilen düzgün kare piramitlerin hacim hesaplamalarını da inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 38Soru →

Taban yarıçapı 6 birim6\text{ birim} ve yüksekliği 3 birim3\text{ birim} olan dik dairesel silindir biçimindeki üstü açık boş bir kap, tamamen suyla doludur. Bu kabın içine yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olan küre biçiminde demir bir bilye yavaşça bırakılıyor. Bilye kabın tabanına oturduğuna göre, kaptan taşan suyun hacminin kapta kalan suyun hacmine oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15\frac{1}{5}

Cevap

Kaptan taşan suyun hacminin kapta kalan suyun hacmine oranı 15\frac{1}{5}'tir.
Doğru cevap olan oran 15\frac{1}{5}'tir. Silindirin toplam hacmi 108π108\pi birimküp olarak hesaplanır. Yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olan kürenin, 3 birim3\text{ birim} yüksekliğindeki silindire tabandan oturtulduğunda yalnızca alt yarısı silindirin içinde kalır. Bu yarım kürenin hacmi 18π18\pi birimküp olup taşan su hacmine eşittir. Kalan su hacmi ise 108π−18π=90π108\pi - 18\pi = 90\pi birimküptür. Buradan taşan suyun kalan suya oranı 18π90π=15\frac{18\pi}{90\pi} = \frac{1}{5} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin toplam hacmini hesaplayınız.
Vsilindir=π⋅R2⋅H=π⋅62⋅3=108πV_{\text{silindir}} = \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot 6^2 \cdot 3 = 108\pi birimküp
Başlangıçta kap tamamen dolu olduğundan, suyun ilk hacmi silindirin toplam hacmine eşittir.
2
Kürenin silindir içinde kalan (suya batan) kısmının hacmini belirleyiniz.
Kürenin yarıçapı r=3 birimr = 3\text{ birim} ve silindirin yüksekliği H=3 birimH = 3\text{ birim}'dir. Küre tabana oturduğunda, kürenin merkezinin tabana olan uzaklığı yarıçapı kadar (3 birim3\text{ birim}) olur. Silindirin yüksekliği de tam olarak 3 birim3\text{ birim} olduğundan, kürenin merkezi silindirin üst sınır hizasındadır. Dolayısıyla kürenin sadece alt yarısı silindirin içinde kalır. Bu yarım kürenin hacmi: Vbatan=12⋅(43π⋅r3)=23π⋅33=18πV_{\text{batan}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{3}\pi \cdot r^3\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot 3^3 = 18\pi birimküp
Silindirden taşan suyun hacmi, kürenin suya batan kısmının hacmine eşittir.
3
Kapta kalan suyun hacmini bulunuz.
Vkalan=Vsilindir−Vbatan=108π−18π=90πV_{\text{kalan}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{batan}} = 108\pi - 18\pi = 90\pi birimküp
Kalan suyun hacmi, başlangıçtaki toplam su hacminden taşan su hacmi çıkarılarak bulunur.
4
Taşan suyun hacmini kalan suyun hacmine oranlayınız.
Oran=VbatanVkalan=18π90π=15\text{Oran} = \frac{V_{\text{batan}}}{V_{\text{kalan}}} = \frac{18\pi}{90\pi} = \frac{1}{5}
Soruda bizden istenen taşan suyun kalan suya oranıdır.

Anahtar Kavram

Küre ve silindirin hacim bağıntıları ile batan cisimlerin hacmi kadar sıvı taşırması prensibi.

İpuçları

1
Bilye tabana oturduğunda kürenin en üst noktasının yerden yüksekliği ile silindirin yüksekliğini karşılaştırın.
2
Silindirin yüksekliği 3 birim3\text{ birim} ve kürenin yarıçapı 3 birim3\text{ birim} olduğuna göre, kürenin merkezinin silindirin üst yüzey hizasında kaldığını fark edin. Bu durumda kürenin ne kadarlık bir kısmı suyun içindedir?
3
Kürenin tam hacmi 36π36\pi birimküptür. Kürenin yarısı silindirin içinde kaldığından taşan suyun hacmi 18π18\pi birimküptür. Kalan su hacmini bulup oranlama yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, yarısı su dolu bir silindire küre atıldığında su seviyesinin ne kadar yükseleceğini veya suyun taşma sınırına ulaşıp ulaşmayacağını belirlemeye yönelik soruları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 39Soru →

Bir kenar uzunluğu 6 cm6\text{ cm} olan bir küpün ABAB ayrıtı üzerinde, AA köşesine 2 cm2\text{ cm} uzaklıkta bir PP noktası; C′D′C'D' ayrıtı üzerinde ise D′D' köşesine 2 cm2\text{ cm} uzaklıkta bir QQ noktası işaretlenmiştir. Küpün yüzeyi üzerinden gitmek şartıyla, PP noktasından QQ noktasına ulaşmak isteyen bir karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 828\sqrt{2}

Cevap

Karıncanın alabileceği en kısa yol 82 cm8\sqrt{2}\text{ cm}'dir.
Ön yüz, sol yan yüz ve üst yüzün doğrusal olarak yan yana açılmasıyla elde edilen düzlemde, başlangıç noktası ile varış noktası arasındaki mesafe, dik kenarları 8 cm8\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü olmaktadır. Pisagor bağıntısı uygulandığında bu mesafe 82 cm8\sqrt{2}\text{ cm} olarak bulunur. Bu yol, küpün sınırları içinde kalarak yüzey üzerinden gidilebilecek en kısa yoldur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün köşelerini ve verilen noktaları tanımlama
Küpün ayrıt uzunluğu 6 cm6\text{ cm}'dir. PP noktası ABAB ayrıtı üzerinde ve AP=2 cmAP = 2\text{ cm}'dir. QQ noktası C′D′C'D' ayrıtı üzerinde ve D′Q=2 cmD'Q = 2\text{ cm}'dir.
Noktaların küp üzerindeki konumlarını ve başlangıç parametrelerini netleştirmek için.
2
Ön yüz (ABB′A′ABB'A'), sol yan yüz (ADD′A′ADD'A') ve üst yüzü (A′B′C′D′A'B'C'D') düzlemsel olarak yan yana açma
Koordinat düzleminde AA noktası (0,6)(0,6) ve BB noktası (6,6)(6,6) olarak seçilirse, PP noktası ABAB üzerinde (2,6)(2,6) konumunda olur. Sol yan yüz ADAD kenarından sola doğru açıldığında A′(−6,6)A'(-6,6) ve D′(−6,0)D'(-6,0) olur. Üst yüz de sol yan yüzün A′D′A'D' kenarından sola doğru açıldığında C′(−12,0)C'(-12,0) ve D′(−6,0)D'(-6,0) olur. Bu durumda D′Q=2 cmD'Q = 2\text{ cm} olduğundan QQ noktası (−6,−2)(-6, -2) konumuna gelir.
Yüzeyler üzerindeki en kısa yolu iki boyutlu düzlemde doğrusal bir çizgi olarak temsil edebilmek için.
3
Açınım üzerindeki P(2,6)P(2,6) ve Q(−6,−2)Q(-6,-2) noktaları arasındaki mesafeyi hesaplama
Yataydaki değişim Δx=2−(−6)=8 cm\Delta x = 2 - (-6) = 8\text{ cm}, dikeydeki değişim ise Δy=6−(−2)=8 cm\Delta y = 6 - (-2) = 8\text{ cm} olur. Pisagor bağıntısı uygulandığında yolun uzunluğu 82+82=82 cm\sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}\text{ cm} olarak bulunur.
İki nokta arasındaki en kısa doğrusal mesafeyi hesaplamak için.
4
Bulunan doğrusal yolun küpün yüzey sınırları içerisinde kaldığını doğrulama
P(2,6)P(2,6) ve Q(−6,−2)Q(-6,-2) noktalarını birleştiren doğrunun denklemi y=x+4y = x + 4 şeklindedir. Bu doğru, ortak ayrıt olan ADAD doğrusunu (x=0x=0) y=4y=4 noktasında keser. y=4y=4, ADAD ayrıtının [0,6][0,6] aralığında olduğu için geçerlidir. Ayrıca diğer ortak ayrıt DD′DD' doğrusunu (y=0y=0) x=−4x=-4 noktasında keser. x=−4x=-4, DD′DD' ayrıtının [−6,0][-6,0] aralığında olduğu için bu da geçerlidir.
Doğrusal çizginin küpün dışına taşmadığından ve fiziksel olarak yüzey üzerinde yürünebilir olduğundan emin olmak için.

Anahtar Kavram

Katı cisimlerin yüzeyleri üzerindeki en kısa yolları bulmak için cismin yüzeyleri düzlemsel hale getirilerek (açınım yapılarak) iki nokta arasındaki doğrusal mesafe hesaplanır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 40Soru →

Yarıçapı 5 cm5\text{ cm} ve yüksekliği 12 cm12\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir tahta blok, taban merkezinden 3 cm3\text{ cm} uzaklıkta ve tabanına dik bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen arakesit yüzeyinin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

96 (Arakesit alanını veren dikdörtgenin alanı 8 x 12 = 96 cm²)
Silindiri tabanına dik bir düzlemle kestiğimizde elde edilen arakesit bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin yüksekliği silindirin yüksekliği olan 12 cm'dir. Dikdörtgenin genişliği ise silindirin dairesel tabanında, merkezden 3 cm uzaklıktaki kirişin uzunluğuna eşittir. Yarıçapı 5 cm olan dairede, merkezden 3 cm uzaklıktaki kirişin merkezden çizilen dikmeyle iki eş parçaya bölündüğünü biliyoruz. Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı yardımıyla yarım kiriş uzunluğu 4 cm olarak bulunur. Kirişin toplam uzunluğu ise 8 cm olur. Dolayısıyla, arakesit alanını veren dikdörtgenin alanı 8 x 12 = 96 cm² olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Arakesitin geometrik şeklini belirleme.
Arakesit, yüksekliği silindirin yüksekliği (12 cm) ve taban genişliği dairesel tabandaki kirişin uzunluğu olan bir dikdörtgendir.
Silindirin tabanlarına dik düzlemlerle kesilmesiyle oluşan kesitler dikdörtgen olur.
2
Taban dairesindeki kirişin uzunluğunu Pisagor bağıntısı kullanarak hesaplama.
Kirişin yarı uzunluğu 4 cm, tamamı 2 x 4 = 8 cm'dir.
Merkezden 3 cm uzaklıktaki kiriş için dik üçgen oluşturulduğunda yarıçap hipotenüs (5 cm), dik kenarlardan biri uzaklık (3 cm) ve diğeri yarım kiriş uzunluğudur. 3-4-5 özel üçgeninden yarım kiriş 4 cm bulunur.
3
Arakesit dikdörtgeninin alanını hesaplama.
Alan = 8 x 12 = 96 cm² olur.
Dikdörtgenin alanı, iki farklı kenar uzunluğunun çarpımı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Silindirin tabana dik düzlemle kesilmesiyle oluşan dikdörtgen arakesit alanı ve çemberde kiriş özellikleri.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Katı Cisimler Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2 | Examkin