Katı Cisimler Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 3

Yüzey alanı $144\pi\text{ birim}^2$ olan bir kürenin hacmi kaç $\pi\text{ birim}^3$ tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Kürenin hacmi

288\pi\text{ birim}^3

olup, sorulan katsayı değeri 288'dir.

Kürenin yüzey alanı formülü

4\pi r^2 = 144\pi

eşitliğinden

r^2 = 36

ve

r = 6\text{ birim}

bulunur. Bu yarıçap değeri hacim formülünde (

V = \frac{4}{3}\pi r^3

) yerine yazılırsa, hacim

V = \frac{4}{3}\pi (6^3) = 288\pi\text{ birim}^3

olarak elde edilir. Dolayısıyla cevap 288'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Yüzey alanı formülünden kürenin yarıçapını hesaplayın.

r = 6\text{ birim}

Kürenin yüzey alanı

4\pi r^2

formülü ile hesaplanır.

4\pi r^2 = 144\pi

eşitliği ç��züldüğünde

r = 6

elde edilir.

2

Yarıçapı kullanarak kürenin hacmini hesaplayın.

V = 288\pi\text{ birim}^3

Kürenin hacmi

V = \frac{4}{3}\pi r^3

formülü ile hesaplanır. Yarıçap yerine 6 yazıldığında

V = \frac{4}{3}\pi (6^3) = 288\pi

elde edilir.

Anahtar Kavram

Kürenin yüzey alanı ve hacmi formüllerinin doğrudan uygulanması

Soru 42Soru →

Ayrıt uzunlukları birbirinden farklı pozitif tam sayılar olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, sayısal olarak toplam yüzey alanına eşittir. Bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, prizmanın hacminin alabileceği en küçük değer kaçtır?

36

288

400

450

576

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Prizmanın hacminin alabileceği en küçük değer 288'dir.

Verilen koşullara uyan ve cisim köşegeni tam sayı olan iki farklı prizma mevcuttur. Bunlardan ilki

4, 5, 20

boyutlarında olup hacmi

400

birimküptür. İkincisi ise

4, 6, 12

boyutlarında olup hacmi

288

birimküptür. Bu değerler arasından en küçüğü olan

288

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Prizman��n ayrıt uzunluklarına

a

,

b

ve

c

diyelim (

a < b < c

). Soruda verilen hacmin yüzey alanına sayısal eşitliğini denklem haline getirelim.

a \cdot b \cdot c = 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)

elde edilir.

Hacim formülü

V = a \cdot b \cdot c

ve yüzey alanı formülü

A = 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)

olduğu için.

2

Denklemin her iki tarafını

a \cdot b \cdot c

ifadesine bölerek sadeleştirelim.

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}

denklemi elde edilir.

Tam sayı çözümlerini daha kolay sınırlandırmak ve analiz etmek için.

3

a < b < c

sıralaması altında denklemi sağlayan pozitif tam sayı üçlülerini belirleyelim.

a \geq 3

olmalıdır. Bu koşullara uygun tüm

(a, b, c)

üçlüleri:

\{3, 7, 42\}

,

\{3, 8, 24\}

,

\{3, 9, 18\}

,

\{3, 10, 15\}

,

\{4, 5, 20\}

ve

\{4, 6, 12\}

olarak bulunur.

Sınırlı sayıdaki Diophantus denklemi çözümlerini bulmak için.

4

Aday üçlülerin her biri için cisim köşegeninin uzunluğunu (

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

) hesaplayarak tam sayı olup olmadıklarını inceleyelim.

\sqrt{4^2 + 5^2 + 20^2} = \sqrt{441} = 21

(tam sayı) ve

\sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{196} = 14

(tam sayı) bulunur. Diğer durumlar tam sayı sonuç vermez.

Cisim köşegeninin uzunluğunun bir tam sayı olması koşulunu test etmek için.

5

Koşulları sağlayan iki prizmanın hacimlerini karşılaştırarak en küçük olanını seçelim.

Boyutları

4, 5, 20

olan prizmanın hacmi

4 \times 5 \times 20 = 400

, boyutları

4, 6, 12

olan prizmanın hacmi ise

4 \times 6 \times 12 = 288

birimküptür. En küçük hacim

288

olarak bulunur.

Soruda istenen en küçük hacim değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı ve cisim köşegeni bağıntılarının sayı teorisi ile sentezi

Soru 43Soru →

Bir kenar uzunluğu $12$ birim olan bir $ABCDA'B'C'D'$ küpünde, $P$ noktası $[AC]$ yüzey köşegeni üzerinde ve $Q$ noktası $[C'D']$ ayrıtı üzerindedir.

$|AP| = 8\sqrt{2}$ birim ve $|D'Q| = 5$ birim olduğuna göre, $P$ ve $Q$ noktaları arasındaki en kısa uzaklık ( $|PQ|$ ) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

P ve Q noktaları arasındaki en kısa uzaklık 13 birimdir.

Q noktasının taban düzlemindeki dik izdüşümü Q' olmak üzere, |QQ'| = 12 birimdir. Taban düzlemi olan ABCD karesinde P noktasının koordinatları (8, 8) ve Q' noktasının koordinatları (5, 12) olarak bulunur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısı ile |PQ'| = 5 birim olarak elde edilir. QQ' doğrusu taban düzlemine dik olduğundan, P Q' Q dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanarak |PQ|^2 = 5^2 + 12^2 = 169 bağıntısından en kısa uzaklık 13 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Q noktasının taban düzlemine (ABCD yüzeyine) olan dik izdüşüm noktasını belirleyin.

İzdüşüm noktası Q' olup, [CD] ayrıtı üzerindedir. D köşesine uzaklığı 5 birimdir ve düşey yükseklik |QQ'| = 12 birimdir.

Üç boyutlu uzayda uzaklık hesabı yapabilmek için noktaları aynı düzleme indirgemek ve düşey bileşeni belirlemek gerekir.

2

P noktasının kenarlara olan uzaklıklarını veya koordinatlarını bulun.

|AP| = 8\sqrt{2} birim ve ABCD bir kare olduğundan, A köşesini orijin (0,0) olarak kabul edersek P noktasının koordinatları (8, 8) olur.

Karede köşegen üzerindeki bir noktanın kenarlara olan uzaklıkları, 45-45-90 dik üçgeninin kenar özelliklerine göre belirlenir.

3

Taban düzlemindeki P ve Q' noktaları arasındaki yatay uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.

P(8,8) ve Q'(5,12) noktaları arasındaki uzaklık |PQ'|^2 = (8-5)^2 + (12-8)^2 = 3^2 + 4^2 = 25 olup buradan |PQ'| = 5 birim bulunur.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe, dik bileşenlerinin farkının kareleri toplamının kareköküyle bulunur.

4

P Q' Q dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak |PQ| değerini bulun.

|PQ|^2 = |PQ'|^2 + |QQ'|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 olup, buradan |PQ| = 13 birim elde edilir.

QQ' doğrusu taban düzlemine dik olduğundan PQ' doğrusuna da diktir ve P Q' Q bir dik üçgendir.

Anahtar Kavram

Küp içinde noktalar arası uzaklık hesaplanırken dik izd��şüm yöntemi ve üç boyutlu Pisagor teoreminin uygulanması.

Soru 44Soru →

Taban alanı $144\text{ cm}^2$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramit, taban düzlemine paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor. Elde edilen kesik piramidin hacmi, üstte kalan küçük piramidin hacminin 7 katı olduğuna göre, kesik piramidin toplam yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360

Cevap

Kesik piramidin toplam yüzey alanı

360\text{ cm}^2

dir.

Kesik piramidin hacminin üstteki piramidin hacmine oranı 7 olduğundan, küçük piramidin hacminin büyük piramidin hacmine oranı

1/8

olur. Hacimler oranının küp kökü benzerlik oranını verdiğinden benzerlik oranı

1/2

olarak bulunur. Buradan kesit kenarı

6\text{ cm}

ve kesit alanı

36\text{ cm}^2

hesaplanır. Piramidin yan yüz yüksekliği Pisagor teoreminden

10\text{ cm}

bulunduğundan, kesik piramidin yanal yüz yüksekliği

5\text{ cm}

olur. 4 adet yanal yamuk yüzeyin alanı

180\text{ cm}^2

ve taban alanları toplamı

144 + 36 = 180\text{ cm}^2

olduğundan, toplam yüzey alanı

360\text{ cm}^2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hacim ilişkisinden yararlanarak benzerlik oranını belirleyin.

Kesik piramidin hacmi üstteki piramidin hacminin 7 katı ise, tüm piramidin hacmi üstteki piramidin hacminin

1 + 7 = 8

katıdır. Buradan hacimler oranı

\frac{V_{\text{küçük}}}{V_{\text{tüm}}} = \frac{1}{8}

olur. Benzerlik oranı

k

ise,

k^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow k = \frac{1}{2}

bulunur.

Paralel düzlemle kesilen piramitlerde benzerlik oranının küpü, hacimler oranına eşittir.

2

Kesit alanını ve kesit ayrıt uzunluğunu hesaplayın.

Ana piramidin taban alanı

144\text{ cm}^2

olduğuna göre, taban kenarı

a = \sqrt{144} = 12\text{ cm}

'dir. Benzerlik oranı

k = \frac{1}{2}

oldu��undan, kesit karesinin bir kenarı

b = k \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\text{ cm}

olur. Üst taban alanı ise

S_{\text{üst}} = 6^2 = 36\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Benzer şekillerde uzunluklar benzerlik oranıyla, alanlar ise benzerlik oranının karesiyle değişir.

3

Piramidin yan yüz yüksekliğini bulun.

Taban karesinin ağırlık merkezinden bir kenara olan dik uzaklık

\frac{a}{2} = 6\text{ cm}

'dir. Piramidin yüksekliği

H = 8\text{ cm}

olduğuna göre, dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak yan yüz yüksekliği

h_y = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Piramidin yüksekliği, taban kenarının orta noktasına birleştirildiğinde yan yüz yüksekliği ile dik üçgen oluşturur.

4

Kesik piramidin yan yüz yüksekliğini ve yanal alan��nı hesaplayın.

Benzerlik oranı

k = \frac{1}{2}

olduğundan, kesik piramidin yan yüz yüksekliği de ana yan yüz yüksekliğinin yarısı kadar olup

h_{y,\text{kesik}} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ cm}

olur. Kesik piramidin yanal yüzeyi 4 adet eş yamuktan oluşur. Bir yamuğun alanı

A = \frac{a+b}{2} \cdot h_{y,\text{kesik}} = \frac{12+6}{2} \cdot 5 = 45\text{ cm}^2

'dir. Toplam yanal alan ise

Y_{\text{alan}} = 4 \cdot 45 = 180\text{ cm}^2

bulunur.

Kesik piramidin yanal alanı, taban kenarları

a

ve

b

, yüksekliği

h_{y,\text{kesik}}

olan 4 adet yamuğun alanları toplamıdır.

5

Kesik piramidin toplam yüzey alanını hesaplayın.

Toplam Yüzey Alanı = Alt Taban Alanı + Üst Taban Alanı + Yanal Alan =

144 + 36 + 180 = 360\text{ cm}^2

elde edilir.

Kesik piramidin toplam yüzey alanı, alt taban, üst taban ve yan yüzleri oluşturan yamukların alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Piramitlerde benzerlik oranı, hacimler oranının küp köküne eşittir. Kesik piramidin yüzey alanı hesaplanırken alt taban, üst taban ve yanal alanları oluşturan yamuk alanlarının toplamı dikkate alınır.

Soru 45Soru →

Taban ayrıtları $15\text{ cm}$ , $20\text{ cm}$ ve $25\text{ cm}$ olan dik üçgen dik prizma biçimindeki bir tahta blok, tabanının dik açılı köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik boyunca tabana dik bir düzlemle kesilerek iki küçük dik prizmaya ayrılıyor. Elde edilen büyük parçanın tüm yüzey alanı, küçük parçanın tüm yüzey alanından $204\text{ cm}^2$ fazla olduğuna göre, başlangıçtaki tahta bloğun hacmi ka�� $\text{cm}^3$ tür?

500

750

1500

2550

900

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1500

Cevap

Başlangıçtaki tahta bloğun hacmi

1500\text{ cm}^3

tür.

Doğru cevap olan

1500

değerine ulaşmak için öncelikle taban dik üçgeninin alanı (

150\text{ cm}^2

) ve dik köşeden indirilen yüksekliği (

12\text{ cm}

) hesaplanır. Bu yükseklik, tabanı sırasıyla

9-12-15

ve

12-16-20

olan iki dik üçgene böler. Elde edilen iki küçük prizmanın tüm yüzey alanları yazılıp farkları

204\text{ cm}^2

ye eşitlendiğinde prizmanın yüksekliği

10\text{ cm}

olarak bulunur. Başlangıçtaki prizmanın hacmi ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımı (

150 \times 10 = 1500\text{ cm}^3

) olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Taban üçgeninin alanını ve hipotenüse indirilen yüksekliğini bulma

Taban alanı

\text{Alan}(ABC) = 150\text{ cm}^2

ve yükseklik

BH = 12\text{ cm}

olarak bulunur.

Dik üçgenin dik kenarları

15\text{ cm}

ve

20\text{ cm}

olduğuna göre, hipotenüs

25\text{ cm}

'dir (

3-4-5

üçgeninin

5

katı). Alan formülünden:

\text{Alan}(ABC) = \frac{15 \times 20}{2} = 150\text{ cm}^2

olur. Aynı alan hipotenüs ve bu kenara ait yükseklik yardımıyla yazılırsa:

\frac{25 \times BH}{2} = 150 \implies BH = 12\text{ cm}

elde edilir.

2

Hipotenüs üzerindeki parçaların uzunluklarını Öklid bağıntılarıyla belirleme

Dikme ayağı

H

olmak üzere,

AH = 9\text{ cm}

ve

HC = 16\text{ cm}

bulunur.

Öklid'in dik kenar bağıntıları kullanılarak dik kenarların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri hesaplanır:

AB^2 = AH \times AC \implies 15^2 = AH \times 25 \implies AH = 9\text{ cm}

olur. Buradan

HC = AC - AH = 25 - 9 = 16\text{ cm}

bulunur.

3

Oluşan iki küçük prizmanın tüm yüzey alanlarını yükseklik

h

cinsinden yazma

Küçük parçanın yüzey alanı

A_1 = 108 + 36h

, büyük parçanın yüzey alanı

A_2 = 192 + 48h

olur.

Küçük parçanın tabanı

\triangle ABH

(kenarları

9, 12, 15

) olup, taban alanı

T_1 = \frac{9 \times 12}{2} = 54\text{ cm}^2

ve taban çevresi

P_1 = 36\text{ cm}

'dir. Yüzey alanı:

A_1 = 2 \times 54 + 36h = 108 + 36h

. Büyük parçanın tabanı

\triangle CBH

(kenarları

12, 16, 20

) olup, taban alanı

T_2 = \frac{16 \times 12}{2} = 96\text{ cm}^2

ve taban çevresi

P_2 = 48\text{ cm}

'dir. Yüzey alanı:

A_2 = 2 \times 96 + 48h = 192 + 48h

olur.

4

Yüzey alanları farkını kullanarak prizma yüksekliğini ve hacmini hesaplama

Prizma yüksekliği

h = 10\text{ cm}

ve başlangıçtaki hacim

V = 1500\text{ cm}^3

bulunur.

İki parçanın tüm yüzey alanları farkı

204\text{ cm}^2

olarak verilmiştir:

A_2 - A_1 = (192 + 48h) - (108 + 36h) = 204 \implies 84 + 12h = 204 \implies 12h = 120 \implies h = 10\text{ cm}

bulunur. Başlangıçtaki hacim ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır:

V = 150 \times 10 = 1500\text{ cm}^3

.

Anahtar Kavram

Dik prizmalarda yüzey alanı ve hacim bağıntıları ile taban geometrisindeki Öklid bağıntılarının uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 46Soru →

Tabanının dik kenar uzunlukları $3\text{ cm}$ ve $4\text{ cm}$ olan dik üçgen dik prizmanın yüksekliği $8\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, bu prizmanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ 'tür?

16

48

96

108

124

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Prizmanın hacmi

48\text{ cm}^3

'tür.

Doğru cevap olan

48\text{ cm}^3

değerine, dik üçgen şeklindeki tabanın alanını (

T_A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\text{ cm}^2

) hesaplayıp ardından bu alanı prizmanın yüksekliği olan

8\text{ cm}

ile çarparak ulaşılır (

V = 6 \cdot 8 = 48\text{ cm}^3

).

Adım Adım Çözüm

1

Taban alanının hesaplanması

Taban alanı

T_A = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\text{ cm}^2

bulunur.

Dik prizmanın tabanı dik üçgen olduğundan, taban alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır.

2

Prizmanın hacminin hesaplanması

Hacim

V = T_A \cdot h = 6 \cdot 8 = 48\text{ cm}^3

bulunur.

Dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir (

V = T_A \cdot h

). Tabanı dik üçgen olan prizmalarda taban alanı dik kenarların çarpımının yarısı alınarak bulunur.

İpuçları

1

Bir dik prizmanın hacmini bulmak için taban alanı ile yüksekliği çarpmanız gerekir.

2

Öncelikle tabandaki dik üçgenin alanını dik kenarlarını kullanarak hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, tabanı eşkenar üçgen olan bir dik prizmanın hacim hesabı üzerine çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, prizmayı taban ayrıtları 3 cm ve 4 cm, yüksekliği 8 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının yarısı olarak düşünebilirsiniz. Bu durumda hacim,

\frac{3 \cdot 4 \cdot 8}{2} = 48\text{ cm}^3

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 47Soru →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $10\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir kap, yatay bir düzlem üzerine yan yatırılmıştır. Bu kabın içine bir miktar su konulduğunda, suyun üst yüzeyinin alanı $60\sqrt{3}\text{ cm}^2$ olmaktadır. Buna göre, kaptaki suyun hacmi en az kaç $\text{cm}^3$ olabilir?

120\pi - 90\sqrt{3}

60\pi - 90\sqrt{3}

240\pi + 90\sqrt{3}

180\pi - 90\sqrt{3}

40\pi - 90\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $120\pi - 90\sqrt{3}$

Cevap

En az su hacmi

120\pi - 90\sqrt{3}\text{ cm}^3

olur.

Kiriş uzunluğu

6\sqrt{3}\text{ cm}

ve merkeze uzaklığı

3\text{ cm}

olan dairesel kesitte,

120^\circ

lik dilim alanından (

12\pi

) üçgen alanı (

9\sqrt{3}

) çıkarılarak kesit alanı bulunur. Bu alan silindir yüksekliğiyle (

10

) çarpıldığında en az su hacmi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Su yüzeyinin alanından taban dairesindeki kirişin uzunluğunu bulun.

Kiriş uzunluğu

6\sqrt{3}\text{ cm}

'dir.

Yan yatırılmı�� silindirdeki suyun üst yüzeyi bir dikdörtgendir; bu dikdörtgenin alanı, yükseklik ile tabandaki kiriş uzunluğunun çarpımına eşittir.

2

Kirişin daire merkezine olan dik uzaklığını Pisagor bağıntısı yardımıyla hesaplayın.

Uzaklık

d = 3\text{ cm}

'dir.

Merkezden kirişe çizilen dikme kirişi ortalar ve yarıçap ile birlikte bir dik üçgen oluşturur.

3

Kirişi gören merkez açıyı belirleyin.

Merkez açı

120^\circ

olur.

Oluşan dik üçgende karşı dik kenarın hipotenüse oranı

\frac{\sqrt{3}}{2}

olduğundan, yarım açı

60^\circ

ve merkez açı

120^\circ

olur.

4

Suyun kapladığı taban dairesi kesitinin alanını daire dilimi ve üçgen alanlarını kullanarak hesaplayın.

Taban kesit alanı

12\pi - 9\sqrt{3}\text{ cm}^2

olur.

Suyun hacminin en az olması için su seviyesi merkezden aşağıda olmalıdır; bu kesit alanı,

120^\circ

lik dilim alanından üçgen alanının çıkarılmasıyla elde edilir.

5

Kesit alanını silindir yüksekliğiyle çarparak suyun hacmini bulun.

Hacim

120\pi - 90\sqrt{3}\text{ cm}^3

olur.

Silindir hacmi, taban alanı (kesit alanı) ile yüksekliğin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Yan yatırılmış silindirlerde su yüzey alanı, kiriş uzunluğu ve dairesel kesit alanı ilişkisi

İpuçları

1

Silindir yan yatırıldığında su yüzeyi bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin alanından yararlanarak taban dairesindeki suyun oluşturduğu kiriş uzunluğunu bulun.

2

Kirişin merkeze olan dik uzaklığını bulmak için taban dairesinin merkezinden kirişe bir dikme indirin ve Pisagor bağıntısını uygulayın.

3

En az su hacmi için su seviyesinin merkezden aşağıda olması gerektiğini unutmayın. Hacmi bulmak için

120^\circ

lik daire diliminin alanından üçgenin alanını çıkarıp silindir yüksekliğiyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla su yüksekliği bilinen yatay bir silindirde su yüzeyinin alanını sormak veya suyun hacmi verildiğinde su yüksekliğini bulmak gibi ters problem yapıları üzerinde çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin alanını sinüslü alan formülü yerine taban (

6\sqrt{3}\text{ cm}

) ve yükseklik (

3\text{ cm}

) çarpımının yarısı olan

\frac{6\sqrt{3} \cdot 3}{2} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2

formülü ile de doğrudan hesaplayabilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 48Soru →

Yarıçapı $10\text{ cm}$ olan bir küre, merkezinden $6\text{ cm}$ uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.

Buna göre, oluşan dairesel kesitin alanı kaç $\pi\text{ cm}^2$ 'dir?

16

36

64

100

136

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Oluşan dairesel kesitin alanı

64\pi\text{ cm}^2

olduğundan doğru cevap 64'tür.

Küre merkezi, kesit dairesinin merkezi ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende hipotenüs kürenin yarıçapı (

10\text{ cm}

), dik kenarlardan biri merkeze olan uzaklık (

6\text{ cm}

) ve diğer dik kenar kesit dairesinin yarıçapıdır (

r

). Pisagor bağıntısına göre

r^2 + 6^2 = 10^2

den

r = 8\text{ cm}

elde edilir. Dairenin alan formülü olan

\pi r^2

uygulandığında kesitin alanı

64\pi\text{ cm}^2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kürenin merkezi ile kesit dairesinin merkezi arasındaki ilişkiyi kurma.

Küre merkezi

O

, kesit dairesinin merkezi

M

ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta

P

olsun.

OMP

bir dik üçgendir.

Kürenin merkezinden kesit düzlemine çizilen en kısa doğru parçası düzleme diktir.

2

Pisagor bağıntısını kullanarak kesit dairesinin yarıçapını (

r

) hesaplama.

r^2 + 6^2 = 10^2 \implies r^2 + 36 = 100 \implies r^2 = 64 \implies r = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.

3

Kesit dairesinin alanını hesaplama.

\text{Alan} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\text{ cm}^2

. Soru bizden alanın kaç

\pi

olduğunu istediği için sonuç 64'tür.

Yarıçapı

r

olan bir dairenin alanı

\pi r^2

formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir küre bir düzlemle kesildiğinde oluşan ara kesit her zaman bir dairedir. Bu dairenin yarıçapı, kürenin yarıçapı ve kesit düzleminin küre merkezine olan uzaklığı arasında Pisagor bağıntısı kurulabilir.

Soru 49Soru →

Kenar uzunlukları $2\text{ cm}$ ve $6\text{ cm}$ olan bir dikdörtgen, uzun kenarına paralel ve bu kenara $3\text{ cm}$ uzaklıkta bulunan bir eksen etrafında $360^\circ$ döndürülüyor.

Buna göre, oluşan döner cismin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ 'tür?

150

54

96

32

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Dönme eksenine 3 cm uzaklıktaki 2 cm genişliğindeki dikdörtgenin döndürülmesiyle oluşan içi boş silindirin hacmi 96\pi\text{ cm}^3$'tür.

Dönme eksenine 3 cm uzaklıkta bulunan 2 cm genişliğindeki dikdörtgenin döndürülmesiyle oluşan cisim, dış yarıçapı 5 cm, iç yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 6 cm olan içi boş bir silindirdir. Bu cismin hacmi, dış silindirin hacminden (150\pi) iç silindirin hacmi (54\pi) çıkarılarak 96\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dönme ekseni ile dikdörtgen arasındaki mesafeden yararlanarak silindirin iç ve dış yarıçaplarını belirleyin.

İç yarıçap

r = 3\text{ cm}

, dış yarıçap

R = 3 + 2 = 5\text{ cm}

ve yükseklik

h = 6\text{ cm}

'dir.

Dikdörtgen eksenden uzakta döndürüldüğünde ortasında boşluk olan dairesel bir halka (boru şeklinde içi boş silindir) oluşur.

2

Dış silindirin hacmini formül yardımıyla hesaplayın.

V_{\text{dış}} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = 150\pi\text{ cm}^3

Dıştaki sınırların oluşturduğu en büyük hacmi bulmak için dış yarıçap kullanılır.

3

İçteki boş silindirin hacmini hesaplayın.

V_{\text{iç}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi\text{ cm}^3

Dönme ekseni ile dikdörtgen arasındaki boşluğun hacmini bulmak için iç yarıçap kullanılır.

4

Oluşan içi boş cismin net hacmini bulmak için dış silindirin hacminden içteki boşluğun hacmini çıkarın.

V_{\text{net}} = 150\pi - 54\pi = 96\pi\text{ cm}^3

Net hacim, toplam hacimden boşluğun hacmi çıkarılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir düzlemsel şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan katı cisimlerin hacim hesabı (içi boş silindir).

İpuçları

1

Dikdörtgenin bir eksen etrafında döndürülmesiyle hangi geometrik cismin oluşacağını ve ortadaki boşluğun şeklini hayal edin.

2

Dönme eksenine olan en yakın mesafe içteki boş silindirin yarıçapını, en uzak mesafe ise dıştaki silindirin yarıçapını belirler.

3

Oluşan cismin hacmini bulmak için dış silindirin hacminden (

V = \pi R^2 h

) içteki boş silindirin hacmini (

V = \pi r^2 h

) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir dik yamuğun yüksekliği veya taban kenarlarından biri etrafında döndürülmesiyle oluşan kesik koni veya silindir-koni birleşik cisimlerinin hacmini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oluşan halkanın taban alanını (büyük dairenin alanından küçük dairenin alanını çıkararak) hesaplayıp ardından yükseklikle çarparak da hacmi bulabilirsiniz:

T_{alan} = \pi(5^2 - 3^2) = 16\pi

,

V = 16\pi \cdot 6 = 96\pi\text{ cm}^3

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 50Soru →

Hacmi $288\pi\text{ birim}^3$ olan bir küre, bir dik dairesel silindirin içerisine yerleştirildiğinde silindirin alt ve üst tabanları ile yan yüzeyine teğet olmaktadır. Daha sonra bu silindirin içerisine; tepe noktası kürenin merkezinde, tabanı ise silindirin alt tabanıyla çakışacak biçimde bir dik dairesel koni yerleştiriliyor.

Buna göre, yerleştirilen koninin yanal alanı kaç $\pi\text{ birim}^2$ dir?

12\sqrt{2}

36

36\sqrt{2}

72

72\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $36\sqrt{2}$

Cevap

Yerleştirilen koninin yanal alanı

36\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2

dir.

Kürenin verilen hacminden (

288\pi

) yarıçapı

6\text{ birim}

olarak hesaplanır. Kürenin silindire teğet olması ve koninin tepe noktasının kürenin merkezinde bulunması sebebiyle koninin taban yarıçapı

6\text{ birim}

ve yüksekliği

6\text{ birim}

olur. Dik üçgende Pisagor bağıntısı ile koninin ana doğrusu

6\sqrt{2}\text{ birim}

bulunur. Koninin yanal alan formülü olan

\pi \cdot R \cdot a

bağıntısı uygulandığında alan

36\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2

olarak doğru şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kürenin hacim formülünü yazıp yarıçapını hesaplama.

r = 6\text{ birim}

Kürenin hacmi

V = \frac{4}{3}\pi r^3

formülüyle hesaplanır.

288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3

eşitliğinden

r^3 = 216

ve böylece

r = 6\text{ birim}

bulunur.

2

Küre silindire teğet olduğundan silindirin ve koninin taban yarıçapı ile yüksekliğini belirleme.

Koninin taban yarıçapı

R = 6\text{ birim}

ve yüksekliği

h = 6\text{ birim}

dir.

Küre silindirin tabanlarına ve yan yüzeyine teğet olduğundan silindirin yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir (

R = 6

). Koninin tepe noktası kürenin merkezinde olduğundan koninin yüksekliği küre merkezinin alt tabana olan uzaklığına, yani kürenin yarıçapına eşittir (

h = r = 6

).

3

Pisagor bağıntısını kullanarak koninin ana doğrusunu (

a

) hesaplama.

a = 6\sqrt{2}\text{ birim}

Koninin yüksekliği (

h

) ve taban yarıçapı (

R

) birbirine diktir. Dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında

a^2 = R^2 + h^2 \implies a^2 = 6^2 + 6^2 = 72 \implies a = 6\sqrt{2}\text{ birim}

bulunur.

4

Koninin yanal alanı formülünü uygulayarak sonucu bulma.

Y_A = 36\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2

Koninin yanal alanı

Y_A = \pi \cdot R \cdot a

formülüyle hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında

Y_A = \pi \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Kürenin silindir ve koni ile olan geometrik ilişkilerini kullanarak katı cisimlerin hacim ve yanal alan formüllerini uygulama.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, taban yarıçapı ve yüksekliği eşit olan dik dairesel konilerde, koni ana doğrusunun (

a

) taban yarıçapının (

R

)

\sqrt{2}

katı olduğu (

a = R\sqrt{2}

) doğrudan görülebilir. Buradan yanal alan

Y_A = \pi R^2 \sqrt{2}

formülüyle pratik olarak hesaplanabilir. Kürenin yarıçapı

6

bulunduktan sonra

R = 6

yerine yazılarak

Y_A = \pi \cdot 6^2 \cdot \sqrt{2} = 36\sqrt{2}\pi

sonucuna doğrudan ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 51Soru →

Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları sırasıyla $12\text{ cm}^2$ , $15\text{ cm}^2$ ve $20\text{ cm}^2$ olarak verilmiştir.

Buna göre, bu prizmanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

30

47

48

60

94

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının hacmi 60 santimetreküptür.

Prizmanın farklı ayrıtları

a

,

b

ve

c

olmak üzere, hacmi

V = a \cdot b \cdot c

formülüyle hesaplanır. Farklı üç yüzünün alanları

a \cdot b = 12

,

b \cdot c = 15

ve

a \cdot c = 20

olarak verildiğine göre, bu alanların çarpımı

a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 12 \cdot 15 \cdot 20 = 3600

olur. Buradan karekök alındığında hacim

a \cdot b \cdot c = 60\text{ cm}^3

olarak bulunur. Alternatif olarak, çarpımları bu alanları veren pozitif tam sayı ayrıtlar

a=4

,

b=3

ve

c=5

olarak tahmin edilerek de

3 \cdot 4 \cdot 5 = 60

sonucuna hızlıca ulaşılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenler prizmasının farklı üç ayrıt uzunluğunu

a

,

b

ve

c

olarak belirleyip, verilen alanları ayrıtlar cinsinden yazalım.

a \cdot b = 12

,

b \cdot c = 15

ve

a \cdot c = 20

denklemleri elde edilir.

Dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları, komşu ikişer ayrıtının çarpımına eşittir.

2

Elde edilen bu üç denklemi taraf tarafa çarpalım.

(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = 12 \cdot 15 \cdot 20 \implies a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 3600

olur.

Ayrıtların çarpımının karesini elde ederek doğrudan hacim formülüne ulaşmak amaçlanır.

3

Eşitliğin her iki tarafının karekökünü alarak hacmi (

V = a \cdot b \cdot c

) hesaplayalım.

a \cdot b \cdot c = \sqrt{3600} = 60\text{ cm}^3

bulunur.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, farklı üç ayrıt uzunluğunun çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının farklı yüzlerinin alanları ile hacmi arasındaki ilişki (

V^2 = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3

)

Soru 52Soru →

Bir kenar uzunluğu $12\text{ cm}$ olan $ABCD$ düzgün dörtyüzlüsünün $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası ve $[BD]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası işaretleniyor.

$|AE| = 4\text{ cm}$ ve $|BF| = 6\text{ cm}$ olduğuna göre, $C$ , $E$ ve $F$ noktalarından geçen düzlem ile bu düzgün dörtyüzlü iki parçaya ayrıldığında, $ABC$ yüzeyini içeren parçanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ olur?

48\sqrt{2}

96\sqrt{2}

120\sqrt{2}

144

288\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $96\sqrt{2}$

Cevap

96\sqrt{2}\text{ cm}^3

Düzgün dörtyüzlünün toplam hacmi

144\sqrt{2}\text{ cm}^3

olarak hesaplanır. Tepe noktası

D

kabul edilen

D-CEF

piramidinin yanal ayrıtlar üzerindeki uzunlukları

|DE| = 8\text{ cm}

ve

|DF| = 6\text{ cm}

olduğundan, bu piramidin hacminin tüm dörtyüzlünün hacmine oranı

\frac{8}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{1}{3}

olur. Dolayısıyla

ABC

tabanını içeren alt parçanın hacmi, tüm hacmin

\frac{2}{3}

'ü olan

96\sqrt{2}\text{ cm}^3

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Düzgün dörtyüzlünün cisim yüksekliğini bulmak için yükseklik formülü uygulanır.

h = 12\sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{6}\text{ cm}

Hacim hesabında taban alanıyla çarpılacak dik yüksekliğin bilinmesi gerekir.

2

Eşkenar üçgen olan taban alanı hesaplanır.

A_{\text{taban}} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2

Düzgün dörtyüzlünün taban yüzeyi bir kenarı

12\text{ cm}

olan eşkenar üçgendir.

3

Düzgün dörtyüzlünün toplam hacmi hesaplanır.

V_{\text{toplam}} = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{6} = 144\sqrt{2}\text{ cm}^3

Piramidin hacmi, taban alan�� ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.

4

Ortak tepe noktası

D

olan

D-CEF

piramidinin ayrıt oranları kullanılarak hacim oranı bulunur.

|DE| = 12 - 4 = 8\text{ cm}

ve

|DF| = 12 - 6 = 6\text{ cm}

olduğundan,

\frac{V(D-CEF)}{V(D-ABC)} = \frac{DE}{DA} \cdot \frac{DF}{DB} = \frac{8}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{1}{3}

bulunur.

Aynı düzlemle bölünen ve tepe noktası ortak olan piramitlerin hacimleri oranı, ilgili ayrıt uzunluklarının oranlarının çarpımına eşittir.

5

ABC

tabanını içeren alt parçanın hacmi hesaplanır.

V_{\text{alt}} = V_{\text{toplam}} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 144\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = 96\sqrt{2}\text{ cm}^3

Alt parçanın hacmi, toplam dörtyüzlü hacminden üstteki küçük piramidin hacminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Piramitlerde Hacim ve Hacim Oranları

Soru 53Soru →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan bir dik dairesel koni, tabanına paralel bir düzlemle yüksekliğinin tam ortasından kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, üstte kalan küçük koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

24

12

36

48

84

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Küçük koninin hacmi 12 π cm³tür.

Büyük koninin hacmi

V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi\text{ cm}^3

olarak bulunur. Yüksekliğin tam ortasından kesilmesiyle oluşan küçük koni ile büyük koni arasındaki benzerlik oranı

1/2

ve hacimleri oranı

\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

olur. Buradan küçük koninin hacmi

96\pi \cdot \frac{1}{8} = 12\pi\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Büyük koninin hacmini hesaplayınız.

V_{\text{büyük}} = 96\pi\text{ cm}^3

Koninin taban yarıçapı

r = 6\text{ cm}

ve yüksekliği

h = 8\text{ cm}

olduğundan, dik koni hacim formülü olan

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

uygulanarak toplam hacim bulunur.

2

Kesit düzleminin oluşturduğu benzerlik oran��nı belirleyiniz.

k = \frac{1}{2}

Koni yükseklik ekseni boyunca tam ortadan kesildiği için küçük koninin yüksekliğinin büyük koninin yüksekliğine oranı benzerlik oranını verir:

4 / 8 = 1/2

.

3

Benzerlik oranını kullanarak küçük koninin hacmini hesaplayınız.

V_{\text{küçük}} = 12\pi\text{ cm}^3

Benzer katı cisimlerin hacimleri oranı, aralarındaki benzerlik oranının küpüne eşittir. Hacimler oranı

k^3 = (1/2)^3 = 1/8

olup, küçük koninin hacmi büyük koninin hacminin 1/8'i kadardır.

Anahtar Kavram

Konide Benzerlik ve Hacim İlişkisi

Soru 54Soru →

Bir cisim köşegeninin uzunluğu $4\sqrt{3}$ birim olan bir küpün tüm yüzey alanı kaç birimkaredir?

64

16

96

144

192

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $96$

Cevap

Küpün tüm yüzey alanı

96

birimkaredir.

Küpün cisim köşegen uzunluğu

a\sqrt{3}

formülü ile belirlenir.

4\sqrt{3}

birim olarak verilen cisim köşegeni yardımıyla küpün bir ayrıt uzunluğu

a = 4

birim olarak hesaplanır. Küpün tüm yüzey alanı ise 6 yüzünün alanları toplamı olan

6a^2

formülüyle bulunur. Buradan

6 \times 4^2 = 96

birimkare elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Cisim köşegeni formülünü kullanarak küpün bir ayrıt uzunluğunu bulun.

Küpün bir ayrıt uzunluğu

a = 4

birim olarak bulunur.

Bir kenar uzunluğu

a

olan küpün cisim köşegeni

a\sqrt{3}

formülüyle hesaplanır.

a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

eşitliğinden

a = 4

elde edilir.

2

Küpün tüm yüzey alanı formülünü kullanarak alanı hesaplayın.

Yüzey alanı

96

birimkare olarak bulunur.

Küpün 6 adet eş karesel yüzü olduğundan, tüm yüzey alanı

6a^2

formülüyle hesaplanır.

a = 4

için alan

6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96

olur.

Anahtar Kavram

Küpün cisim köşegeni ve tüm yüzey alanı formülleri arasındaki ilişki.

Soru 55Soru →

Dik kenar uzunlukları $|AB| = 9\text{ cm}$ ve $|BC| = 12\text{ cm}$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. Bu üçgen, $A$ köşesinden geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan bir $d$ doğrusu etrafında $360^\circ$ döndürülüyor.

Buna göre, oluşan dönel cismin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

324\pi

432\pi

486\pi

648\pi

972\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $648\pi$

Cevap

Oluşan dönel cismin hacmi

648\pi\text{ cm}^3

tür.

Üçgenin döndürülmesiyle elde edilen cisim, yarıçapı

9\text{ cm}

ve yüksekliği

12\text{ cm}

olan bir silindirin içinden aynı boyutlardaki bir koninin çıkarılmasıyla oluşur. Silindirin hacmi

972\pi\text{ cm}^3

, koninin hacmi ise

324\pi\text{ cm}^3

olduğundan, aradaki fark

648\pi\text{ cm}^3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Döndürme eksenini ve üçgenin konumunu belirleyin.

d

doğrusu

[BC]

'ye paralel ve

A

'dan geçtiği için,

[AB] \perp d

olur.

A

noktası dönme ekseni üzerinde olup yarıçapı

0

,

B

ve

C

noktalarının eksene uzaklığı (yarıçap) ise

|AB| = 9\text{ cm}

'dir.

Oluşan katı cismin boyutlarını ve sınırlarını doğru tanımlamak için.

2

Oluşan dönel cismin geometrik şeklini tanımlayın.

��çgenin

d

doğrusu etrafında döndürülmesiyle taban yarıçapı

r = 9\text{ cm}

ve yüksekliği

h = 12\text{ cm}

olan bir silindir oluşur. Ancak üçgenin hipotenüsü

[AC]

döndüğünde bu silindirin içinden taban yarıçapı

9\text{ cm}

ve yüksekliği

12\text{ cm}

olan bir koni oyulmuş olur.

Hacim hesabını hangi geometrik cisimlerin hacimleri farkı olarak yapacağımızı belirlemek için.

3

Silindir ve koninin hacimlerini hesaplayıp farkını bulun.

Silindirin hacmi:

V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = 972\pi\text{ cm}^3

. Koninin hacmi:

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = 324\pi\text{ cm}^3

. Oluşan cismin hacmi:

V = 972\pi - 324\pi = 648\pi\text{ cm}^3

.

Soruda istenen net hacim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir düzlemsel şeklin bir doğru etrafında d��ndürülmesiyle oluşan katı cismin hacmi, dış sınırların oluşturduğu cismin hacminden içteki boşluğun hacmi çıkarılarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 56Soru →

Taban yarıçapı $9\text{ cm}$ ve yüksekliği $15\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içine, tabanı koninin tabanı ile aynı düzlemde olan bir dik dairesel silindir yerleştiriliyor. Silindirin üst tabanının çevresi, koninin yanal yüzeyine temas etmektedir.

Silindirin hacmi, koninin hacminin $\frac{4}{9}$ 'una eşit olduğuna göre, silindirin yüksekliği kaç $\text{cm}$ 'dir?

3

4

5

6

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Silindirin yüksekliği 5 cm olmalıdır.

Koninin hacmi hesaplanıp benzerlikten türetilen silindir hacim formülüne eşitlendiğinde elde edilen

(15-h)^2 h = 500

denklemini sağlayan geçerli yükseklik değeri 5 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Koninin hacmini formülü kullanarak hesaplayalım.

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 15 = 405\pi\text{ cm}^3

bulunur.

Silindirin hacmi ile kıyaslama yapabilmek için öncelikle koninin toplam hacmini bulmamız gerekir.

2

Silindirin yarıçapı ile yüksekliği arasındaki ilişkiyi benzerlik yardımıyla kuralım.

Silindirin yarıçapı

r

ve yüksekliği

h

olsun. Koninin yanal yüzeyindeki benzerlikten

\frac{r}{9} = \frac{15-h}{15} \implies r = \frac{3(15-h)}{5}

elde edilir.

Silindirin üst taban çemberi koninin yanal yüzeyine değdiği için benzer üçgenler oluşur.

3

Silindirin hacmini veren ifadeyi koninin hacminin

\frac{4}{9}

'una eşitleyelim.

V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{3(15-h)}{5}\right)^2 h = \frac{9\pi}{25}(15-h)^2 h

olur. Bu hacim

\frac{4}{9} \cdot 405\pi = 180\pi

değerine eşitlenir.

Soruda silindirin hacminin koninin hacminin

\frac{4}{9}

'una eşit olduğu belirtilmiştir.

4

Elde edilen denklemi sadeleştirip yüksekliği (

h

) bulalım.

\frac{9\pi}{25}(15-h)^2 h = 180\pi \implies (15-h)^2 h = 500

denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan

h

değeri 5 olarak bulunur (

10^2 \cdot 5 = 500

).

Silindir yüksekliğinin koni sınırları içerisinde (

0 < h < 15

) kalan fiziksel kökünü bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Dik dairesel koni içine yerleştirilen cisimlerde benzerlik oranı ve hacim hesaplama ilişkisi

İpuçları

1

Silindirin üst taban dairesinin köşeleri koninin yanal yüzeyine değdiği için koninin yüksekliği ve yarıçapı ile silindirin yüksekliği ve yarıçapı arasında benzerlik kurabilirsiniz.

2

Koninin tepe noktasından silindirin üst tabanına olan uzaklık

15-h

kadardır. Buradan benzerlik oranını

\frac{r}{9} = \frac{15-h}{15}

şeklinde yazarak

r

'yi

h

cinsinden ifade edin.

3

Silindirin hacmi

V = \pi r^2 h

formülüyle bulunur. Elde ettiğiniz

r

'yi bu formülde yerine yazarak hacmi koninin hacminin

\frac{4}{9}

'una eşitleyin ve oluşan

h(15-h)^2 = 500

denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, koni içine yerleştirilen maksimum hacimli silindirin yüksekliğinin koninin yüksekliğinin kaçta kaçı olduğunu bulmaya çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, seçeneklerdeki değerleri tek tek deneyerek hangisinin hacim oranını

\frac{4}{9}

yaptığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin h = 5 için r = 6 olur; silindir hacmi

180\pi

, koni hacmi ise

405\pi

'dir. Oran

180/405 = 4/9

olarak doğrudan doğrulanır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 57Soru →

Bir dik dairesel koninin yan yüzeyi düzleme açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı $216^\circ$ ve yarıçapı (ana doğrusunun uzunluğu) $15\text{ cm}$ 'dir. Bu koni, tabanına paralel bir düzlemle kesilerek üstte kalan küçük koninin yüksekliğinin altta kalan kesik koninin yüksekliğine oranı $2$ olacak şekilde iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen kesik koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

75

108

180

228

684

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 228

Cevap

Elde edilen kesik koninin hacmi

228\pi\text{ cm}^3

tür.

Doğru cevap

228

değeridir. Koninin yanal yüzey açınımından taban yarıçapı

r = 15 \cdot \frac{216}{360} = 9\text{ cm}

ve Pisagor teoremi yardımıyla yüksekliği

H = 12\text{ cm}

bulunur. Yükseklikler oranı kullanılarak benzerlik oranı

k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

belirlenir. Hacimler oranı

k^3 = \frac{8}{27}

olduğundan kesik koninin hacmi toplam hacmin

\frac{19}{27}

'sidir. Toplam hacim

324\pi\text{ cm}^3

olduğundan kesik koninin hacmi

228\pi\text{ cm}^3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Koninin taban yarıçapını bulma

r = 9\text{ cm}

Yanal yüzey açınımındaki taban yarıçapı (

r

), ana doğru uzunluğu (

a

) ve merkez açı (

\alpha

) ili��kisi

r = a \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

formülüyle bulunur. Buradan

r = 15 \cdot \frac{216}{360} = 9\text{ cm}

elde edilir.

2

Koninin yüksekliğini hesaplama

H = 12\text{ cm}

Dik konide taban yarıçapı (

r

), yükseklik (

H

) ve ana doğru (

a

) arasında Pisagor bağıntısı (

r^2 + H^2 = a^2

) geçerlidir.

9^2 + H^2 = 15^2 \Rightarrow H = 12\text{ cm}

(9-12-15 özel dik üçgeni) bulunur.

3

Küçük koni ve kesik koninin yüksekliklerini belirleme

h_{\text{küçük}} = 8\text{ cm}

,

h_{\text{kesik}} = 4\text{ cm}

Üstte kalan küçük koninin yüksekliğinin altta kalan kesik koninin yüksekliğine oranı

2

olarak verilmiştir (

h_{\text{küçük}} = 2 \cdot h_{\text{kesik}}

). Toplam yükseklik

H = 12\text{ cm}

olduğuna göre,

3 \cdot h_{\text{kesik}} = 12 \Rightarrow h_{\text{kesik}} = 4\text{ cm}

ve

h_{\text{küçük}} = 8\text{ cm}

bulunur.

4

Toplam koni hacmini hesaplama

V_{\text{toplam}} = 324\pi\text{ cm}^3

Koni hacim formülü

V = \frac{1}{3} \pi R^2 H

yardımıyla, orijinal koninin hacmi

V_{\text{toplam}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = 324\pi\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

5

Kesik koninin hacmini bulma

V_{\text{kesik}} = 228\pi\text{ cm}^3

Benzer konilerin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir. Benzerlik oranı

k = \frac{h_{\text{küçük}}}{H} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

'tür. Hacimler oranı

k^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}

olur. Bu durumda üstteki küçük koninin hacmi

V_{\text{küçük}} = \frac{8}{27} V_{\text{toplam}}

ve kesik koninin hacmi

V_{\text{kesik}} = \left(1 - \frac{8}{27}\right) V_{\text{toplam}} = \frac{19}{27} \cdot 324\pi = 19 \cdot 12\pi = 228\pi\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Konide yanal yüzey açınımı elemanları arasındaki ilişki, yükseklik bağıntısı ve paralel kesitlerle oluşan konilerde benzerlik oranı ile hacim oranı (

k^3

) ilişkisi.

Soru 58Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu $8$ birim olan $ABCDA'B'C'D'$ küpünde; $M$ noktası $[AB]$ ayrıtının, $N$ noktası $[CC']$ ayrıtının, $P$ noktası ise $[A'D']$ ayrıtının orta noktasıdır. Buna göre, köşeleri $M$ , $N$ ve $P$ olan $MNP$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

20\sqrt{3}

24\sqrt{3}

12\sqrt{3}

32\sqrt{3}

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $24\sqrt{3}$

Cevap

Köşeleri M, N ve P olan MNP üçgeninin alanı

24\sqrt{3}

birimkaredir.

Küpün belirtilen ayrıtlarının orta noktalarının koordinatları belirlenip iki nokta arası uzaklık formülüyle kenar uzunlukları hesaplandığında, üç kenarın da

4\sqrt{6}

birim olduğu görülür. Kenar uzunlukları eşit olan bu eşkenar üçgenin alanı

\frac{s^2\sqrt{3}}{4}

formülüyle

24\sqrt{3}

birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirip köşe koordinatlarını belirleme

B

köşesi orijin

(0,0,0)

alınırsa;

A(8,0,0)

,

C(0,8,0)

,

C'(0,8,8)

,

A'(8,0,8)

ve

D'(8,8,8)

koordinatları elde edilir.

Noktalar arasındaki mesafeleri analitik yöntemle hatasız şekilde hesaplayabilmek için koordinat sistemi tanımlanır.

2

M, N ve P orta noktalarının koordinatlarını hesaplama

M

noktası

[AB]

'nin orta noktası olduğundan

M(4,0,0)

,

N

noktası

[CC']

'nin orta noktası olduğundan

N(0,8,4)

ve

P

noktası

[A'D']

'nin orta noktası olduğundan

P(8,4,8)

koordinatları bulunur.

Orta nokta formülü

[(x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2, (z_1+z_2)/2]

kullanılarak hedef noktaların koordinatları belirlenir.

3

MNP üçgeninin kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplama

|MN| = \sqrt{(4-0)^2 + (0-8)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim,

|NP| = \sqrt{(0-8)^2 + (8-4)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim,

|PM| = \sqrt{(8-4)^2 + (4-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim bulunur.

Üçgenin kenar uzunlukları bulunarak üçgenin çeşidi (eşkenar üçgen) tespit edilir.

4

Eşkenar üçgenin alan formülünü uygulayarak alanı hesaplama

Bir kenar uzunluğu

s = 4\sqrt{6}

birim olan eşkenar üçgenin alanı:

\text{Alan} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{96\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}

birimkare olarak bulunur.

Kenarları eşit olan üçgen bir eşkenar üçgendir ve alanı bu formülle bulunur.

Anahtar Kavram

Küp üzerinde koordinat sistemi kurarak noktalar arası uzaklık hesaplama ve elde edilen eşkenar üçgenin alanını bulma.

Soru 59Soru →

Taban kenar uzunluğu $6\sqrt{3}\text{ cm}$ olan düzgün üçgen dik piramidin yanal yüz yüksekliği $5\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, bu piramidin hacmi kaç $\sqrt{3}\text{ cm}^3$ tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Doğru cevap 36'dır.

Taban kenarı

6\sqrt{3}\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin yüksekliği

9\text{ cm}

'dir. Ağırlık merkezinin kenara uzaklığı bu yüksekliğin üçte biri olup

3\text{ cm}

'dir. Yanal yüz yüksekliği

5\text{ cm}

ve ağırlık merkezinin kenara uzaklığı

3\text{ cm}

olan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında piramidin yüksekliği

4\text{ cm}

bulunur. Taban alanı

27\sqrt{3}\text{ cm}^2

olan piramidin hacmi

V = \frac{1}{3} \times 27\sqrt{3} \times 4 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olarak elde edilir. Hacmin

\sqrt{3}

'e oranı

36

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabanı oluşturan eşkenar üçgenin yüksekliğini hesaplamak

Taban yüksekliği

9\text{ cm}

olarak bulunur.

Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığını bulabilmek için önce tabanın kendi yüksekliğini bulmamız gerekir.

2

Ağırlık merkezinin kenara olan dik uzaklığını bulmak

Ağırlık merkezinin bir kenara uzaklığı

3\text{ cm}

olarak bulunur.

Eşkenar üçgende ağırlık merkezi yüksekliği kenardan 1 birim, köşeden 2 birim uzakl��kta olacak şekilde

1:2

oranında böler.

3

Piramidin cisim yüksekliğini hesaplamak

Cisim yüksekliği

4\text{ cm}

olarak bulunur.

Cisim yüksekliği, ağırlık merkezinin kenara uzaklığı ve yanal yüz yüksekliği arasında oluşan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanır.

4

Taban alanını hesaplamak

Taban alanı

27\sqrt{3}\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Eşkenar üçgenin alan formülü

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

uygulanır.

5

Piramidin hacmini hesaplamak

Piramidin hacmi

36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Piramit hacim formülü olan

V = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}

kullanılır.

Anahtar Kavram

Düzgün piramitlerin hacmi ve yükseklik bağıntıları

Soru 60Soru →

Taban yarıçapı $3\text{ cm}$ ve yüksekliği $12\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu kap, tabanı yatay düzlemle $45^\circ$ lik açı yapacak biçimde eğilerek bir miktar suyun dökülmesi sağlanıyor. Kap tekrar dik konuma getirildikten sonra içine yarıçapı $3\text{ cm}$ olan küre şeklinde demir bir bilye atılıyor.

Buna göre, son durumda kapta kalan suyun hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ olur?

54

72

81

90

99

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Son durumda kapta kalan suyun hacmi

72\pi\text{ cm}^3

olur.

Silindir

45^\circ

eğildiğinde dökülen suyun hacmi

27\pi\text{ cm}^3

olarak bulunur ve geriye

81\pi\text{ cm}^3

su kalır. Kaptaki boş hacim

27\pi\text{ cm}^3

olur. Kaba yarıçapı

3\text{ cm}

olan bir demir bilye atıldığında, bilyenin hacmi

36\pi\text{ cm}^3

olduğundan bu hacim kaptaki boşluğu aşar ve

9\pi\text{ cm}^3

suyun taşmasına neden olur. Sonuç olarak kapta kalan su hacmi

81\pi - 9\pi = 72\pi\text{ cm}^3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin toplam hacmini hesaplama.

V_{\text{silindir}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 12 = 108\pi\text{ cm}^3

Kabın başlangıçtaki toplam su kapasitesini bulmak için silindirin hacim formülü uygulanır.

2

Kap

45^\circ

eğildiğinde dökülen suyun (oluşan hava boşluğunun) hacmini hesaplama.

Eğik konumdaki hava boşluğunun yüksekliği

x = 2r \cdot \tan 45^\circ = 6 \cdot 1 = 6\text{ cm}

olur. Boşluğun hacmi:

V_{\text{boş}} = \frac{1}{2} \pi r^2 x = \frac{1}{2} \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 27\pi\text{ cm}^3

Eğilme sonucu dökülen su miktarını bulmak için oluşan kesik silindir şeklindeki boşluğun hacmi hesaplanır.

3

Kap tekrar dik konuma getirildiğinde kalan suyun hacmini ve boşluğun hacmini belirleme.

Kalan su hacmi:

108\pi - 27\pi = 81\pi\text{ cm}^3

. Kaptaki boş kısmın hacmi ise dökülen suyun hacmine eşit olup

27\pi\text{ cm}^3

olur.

Bilye atılmadan önceki su ve boşluk hacimlerini netleştirerek taşma durumunu analiz etmek için.

4

İçeri atılan küre şeklindeki demir bilyenin hacmini hesaplama.

V_{\text{bilye}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = 36\pi\text{ cm}^3

Bilyenin ne kadarlık bir hacim kaplayacağını ve ne kadar su taşıracağını belirlemek için küre hacim formülü kullanılır.

5

Bilye atıldıktan sonra taşan su miktarını ve kalan su hacmini hesaplama.

Bilyenin hacmi (

36\pi\text{ cm}^3

) kaptaki boşluk hacminden (

27\pi\text{ cm}^3

) büyük olduğu için su taşar. Taşan su hacmi:

36\pi - 27\pi = 9\pi\text{ cm}^3

olur. Son durumda kalan su hacmi:

81\pi - 9\pi = 72\pi\text{ cm}^3

olur.

Kaba atılan bilyenin taşırdığı su hacmi düşüldükten sonra kapta kalan net su hacmini bulmak için.

Anahtar Kavram

Eğik silindir hacim ilişkisi ve cisimlerin sıvı içinde yer değiştirdiği hacim prensibi.

İpuçları

1

Silindir eğildiğinde dökülen suyun hacmi, oluşan kesik silindir biçimindeki hava boşluğunun hacmine eşittir.

2

Küre kaba atıldığında hacmi kadar suyu yer değiştirir. Eğer kürenin hacmi kaptaki boş hacimden büyükse su taşacaktır.

Daha Fazla Pratik

Silindirin eğim açısının daha büyük olduğu ve bilyenin tamamen batmadığı veya suyun taşmadığı durumları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bilye kaba atıldığında tamamen batmaktadır. Son durumda kap ağzına kadar su ve bilye ile dolu olacağından, kapta kalan suyun hacmi doğrudan silindirin toplam hacminden bilyenin hacmi çıkarılarak da bulunabilir:

V_{\text{kalan su}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{bilye}} = 108\pi - 36\pi = 72\pi\text{ cm}^3

.

Tahmini Süre:2m 30s

Katı Cisimler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm