Examkin

Katı Cisimler

60 soru

Tüm türler60Çoktan seçmeli49Sayısal11
Soru 1Soru →

Yan yüzeyinin açınımı yapıldığında merkez açısı 288∘288^\circ ve yarıçapı (ana doğrusunun uzunluğu) 15 cm15\text{ cm} olan bir daire dilimi elde edilen dik dairesel koni, tabanına paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Oluşan küçük koninin yanal alanının, geriye kalan kesik koninin yanal alanına oranı 45\frac{4}{5} olduğuna göre, bu kesik koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 304

Cevap

Kesik koninin hacmi 304π cm3304\pi\text{ cm}^3 tür.
Doğru cevap olan 304 seçeneği, koninin açınım bağıntısı kullanılarak hesaplanan taban yarıçapı (12 cm12\text{ cm}) ve Pisagor bağıntısı ile bulunan yükseklik (9 cm9\text{ cm}) yardımıyla toplam hacmin (432π cm3432\pi\text{ cm}^3) elde edilmesi, ardından yanal alanlar oranından bulunan benzerlik oranının küpü (k3=8/27k^3 = 8/27) ile kesik koni hacim oranının (19/2719/27) çarpılması sonucu doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yan yüzeyinin açınımı kullanılarak taban yarıçapını bulma.
r=12 cmr = 12\text{ cm}
Yan yüzeyin açınımındaki daire diliminin merkez açısı θ=288∘\theta = 288^\circ ve ana doğrusu a=15 cma = 15\text{ cm} olduğundan, ra=θ360∘\frac{r}{a} = \frac{\theta}{360^\circ} bağıntısı kullanılır. Buradan r=15⋅288360=12 cmr = 15 \cdot \frac{288}{360} = 12\text{ cm} elde edilir.
2
Koninin yüksekliğini bulma.
h=9 cmh = 9\text{ cm}
Dik konide taban yarıçapı (rr), yükseklik (hh) ve ana doğru (aa) dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısı (h2+r2=a2h^2 + r^2 = a^2) uyguland��ğında: h2+122=152  ⟹  h2=225−144=81  ⟹  h=9 cmh^2 + 12^2 = 15^2 \implies h^2 = 225 - 144 = 81 \implies h = 9\text{ cm} bulunur.
3
Tüm koninin hacmini hesaplama.
V=432π cm3V = 432\pi\text{ cm}^3
Koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h şeklindedir. Bulunan değerler formülde yerine yazıldığında: V=13π⋅122⋅9=3π⋅144=432π cm3V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 9 = 3\pi \cdot 144 = 432\pi\text{ cm}^3 elde edilir.
4
Benzerlik oranını yanal alanlar oranından belirleme.
k=23k = \frac{2}{3}
Küçük koninin yanal alanının kesik koninin yanal alanına oranı 45\frac{4}{5} ise, küçük koninin yanal alanının tüm koninin yanal alanına oranı 44+5=49\frac{4}{4+5} = \frac{4}{9} olur. Benzer iki katı cismin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan, k2=49  ⟹  k=23k^2 = \frac{4}{9} \implies k = \frac{2}{3} bulunur.
5
Kesik koninin hacmini hesaplama.
Vf=304π cm3V_f = 304\pi\text{ cm}^3
Benzer katı cisimlerin hacimleri oranı benzerlik oranının küpüne eşittir. Küçük koninin hacminin tüm koninin hacmine oranı k3=(23)3=827k^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} olur. Dolayısıyla geriye kalan kesik koninin hacmi, tüm koninin hacminin 1−827=19271 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}'sidir. Buradan kesik koninin hacmi Vf=1927⋅432π=19⋅16π=304π cm3V_f = \frac{19}{27} \cdot 432\pi = 19 \cdot 16\pi = 304\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Koni benzerliği, yanal alan ve hacim oranları ile açınım bağıntıları

Alternatif Yöntem

Kesik koninin hacmi, kesik koni hacim formülü olan Vf=13πhf(r12+r22+r1r2)V_f = \frac{1}{3}\pi h_f (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) formülü ile doğrudan hesaplanabilir. Burada kesik koninin yüksekliği hf=h−h1=9−6=3 cmh_f = h - h_1 = 9 - 6 = 3\text{ cm}, alt taban yarıçapı r1=12 cmr_1 = 12\text{ cm} ve üst taban yarıçapı r2=8 cmr_2 = 8\text{ cm}'dir. Formülde yerine yazıldığında: Vf=13π⋅3⋅(122+82+12⋅8)=π⋅(144+64+96)=304π cm3V_f = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot (12^2 + 8^2 + 12 \cdot 8) = \pi \cdot (144 + 64 + 96) = 304\pi\text{ cm}^3 elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2Soru →

Tüm yüzey alanı 150150 birimkare olan bir küpün hacmi kaç birimküptür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 125

Cevap

125
Küpün tüm yüzey alanı 6a2=1506a^2 = 150 olarak verilmiştir. Buradan bir ayrıtın karesi a2=25a^2 = 25 ve ayrıt uzunluğu a=5a = 5 birim olarak elde edilir. Küpün hacmi V=a3V = a^3 formülü ile hesaplandığı için V=53=125V = 5^3 = 125 birimküp bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün yüzey alanı formülü kullanılarak bir ayrıtının karesini hesaplama
a2=25a^2 = 25 birimkare
Bir ayrıtı aa olan küpün 6 adet eş karesel yüzü bulunduğundan tüm yüzey alanı 6a26a^2 formülü ile hesaplanır. 6a2=1506a^2 = 150 eşitliğinden a2=25a^2 = 25 elde edilir.
2
Küpün bir ayrıtının uzunluğunu bulma
a=5a = 5 birim
a2=25a^2 = 25 eşitliğinde her iki tarafın karekökü alınarak küpün bir ayrıtının uzunluğu 55 birim olarak bulunur.
3
Küpün hacim formülü yardımıyla hacmini hesaplama
V=125V = 125 birimküp
Bir ayrıtı aa olan küpün hacmi V=a3V = a^3 formülü ile hesaplanır. Buradan V=53=125V = 5^3 = 125 birimküp bulunur.

Anahtar Kavram

Küpün yüzey alanı ve hacim bağıntıları

İpuçları

1
Bir küpün birbirine eş 6 adet kare yüzü olduğunu hatırlayın.
2
Küpün tüm yüzey alanı 150 birimkare ise, bir yüzünün alanını bulmak için bu değeri 6'ya bölün. Buradan bir kenar uzunluğunu elde edin.
3
Bulduğunuz kenar uzunluğunu aa olarak adlandırırsanız, hacmi bulmak için a3a^3 formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Hacmi verilen bir küpün cisim köşegeninin uzunluğunu bulmaya yönelik soruları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →

Taban köşeleri sırasıyla A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F ve üst taban köşeleri sırasıyla A′,B′,C′,D′,E′,F′A', B', C', D', E', F' olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmi 108 cm3108\text{ cm}^3 tür. Bu prizma, alt tabandaki [AB][AB] kenarı ile üst tabandaki [F′C′][F'C'] köşegeninden geçen bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor. Buna göre, oluşan parçalardan hacmi küçük olanın hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Küçük parçanın hacmi 24 santimetreküptür.
Düzgün altıgen dik prizma [FC][FC] dikey köşegen düzlemiyle ikiye ayrıldığında, kesit düzlemi bu parçalardan birini tamamen altta bırakırken (V/2V/2), diğerini dikey dikdörtgen ve üçgen parçalara ayırarak keser. Dikey parçalardan elde edilen alt hacimlerin toplamı 5V/185V/18 olup, prizmanın altında kalan toplam hacim 7V/97V/9, üstünde kalan küçük parçanın hacmi ise 2V/92V/9 olur. Toplam hacim 108 cm3108\text{ cm}^3 olduğundan küçük parçanın hacmi 24 cm324\text{ cm}^3 tür.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın tabanındaki düzgün altıgeni, [AB][AB] kenarına paralel olan en uzun köşegen [FC][FC] boyunca dikey bir düzlemle iki eş parçaya bölelim.
Prizma, taban alanları altıgenin yarısına eşit olan iki eş prizmaya ayrılır. Bu dikey bölmelerden biri (FEDC−F′E′D′C′FEDC - F'E'D'C') tamamen kesit düzleminin altında kalır ve bu kısmın hacmi V2=V2V_2 = \frac{V}{2}'dir.
Kesit düzleminin sınırlarını belirlemek ve hacmi daha kolay hesaplanabilir dikey dilimlere ayırmak için.
2
Yamuk tabanlı prizmalardan ikincisini (ABCF−A′B′C′F′ABCF - A'B'C'F') dikey olarak bir adet dikdörtgenler prizması (ortada) ve iki adet dik üçgen prizmaya (yanlarda) ayıralım.
Ortadaki dikdörtgenler prizmasının taban alanı a⋅da \cdot d, yanlardaki dik üçgen prizmaların taban alanları ise 14ad\frac{1}{4} a d olur (burada aa altıgenin kenar uzunluğu, dd ise [AB][AB] ile [FC][FC] arasındaki mesafedir).
Eğik kesim altında kalan karmaşık hacmi, bilinen temel geometrik cisimlerin hacim formülleriyle parçalayarak hesaplayabilmek için.
3
Kesit düzleminin bu üç dikey parça üzerinde bıraktığı alt hacimleri ayrı ayrı hesaplayalım.
Ortadaki parça köşegen boyunca ikiye bölündüğünden alt hacmi 12adh\frac{1}{2} a d h olur. Yanlardaki üçgen prizma şeklindeki parçaların altında kalan hacimler ise tabanı d×hd \times h olan ve tepe noktası AA (veya BB) olan birer piramit oluşturur. Bu piramitlerin her birinin hacmi 13×(d⋅h)×a2=16adh\frac{1}{3} \times (d \cdot h) \times \frac{a}{2} = \frac{1}{6} a d h olarak hesaplanır.
Kesit düzleminin altında kalan hacim formüllerini uygulamak için.
4
Bu dikey parçalardan elde edilen alt hacimleri toplayarak birinci bölgedeki toplam alt hacmi (V1V_1) bulalım.
V1=12adh+2×(16adh)=56adhV_1 = \frac{1}{2} a d h + 2 \times \left(\frac{1}{6} a d h\right) = \frac{5}{6} a d h elde edilir. Tüm prizmanın hacmi V=3adhV = 3 a d h olduğundan, V1=518VV_1 = \frac{5}{18} V olur.
Bölünen kısımdaki alt hacmin toplam prizma hacmine oranını belirlemek için.
5
Tüm prizmada kesit düzleminin altında ve üstünde kalan toplam hacimleri hesaplayıp küçük parçanın hacmini bulalım.
Alt tarafta kalan toplam hacim Valt=V1+V2=518V+12V=1418V=79VV_{\text{alt}} = V_1 + V_2 = \frac{5}{18} V + \frac{1}{2} V = \frac{14}{18} V = \frac{7}{9} V olur. Üstte kalan küçük parçanın hacmi ise Vu¨st=V−79V=29VV_{\text{üst}} = V - \frac{7}{9} V = \frac{2}{9} V olarak bulunur. Hacim 108 cm3108\text{ cm}^3 olduğundan, küçük parçanın hacmi 29×108=24 cm3\frac{2}{9} \times 108 = 24\text{ cm}^3 elde edilir.
Soru kökündeki değerleri yerine koyarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Prizmaların düzlemle kesilmesi ve hacim hesabı

Alternatif Yöntem

Kesit düzleminin altında kalan hacim, analitik geometri yardımıyla taban alanı üzerinde yükseklik fonksiyonunun iki katlı integrali alınarak da hesaplanabilir. Taban düzleminde [AB][AB] kenarı y=0y=0 doğrusu, [FC][FC] köşegeni ise y=dy=d doğrusu olacak şekilde koordinat sistemi kurulduğunda, kesit düzleminin yüksekliği z(y)=hdyz(y) = \frac{h}{d}y fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyonun ABCFABCF yamuğu üzerindeki integrali, yamuğun ağırlık merkezinin y-koordinatı kullanılarak V1=Alan(ABCF)×z(yˉ)V_1 = \text{Alan}(ABCF) \times z(\bar{y}) şeklinde kolayca bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 4Soru →

Taban yarıçapı 6 cm6\text{ cm} ve yüksekliği 15 cm15\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir bardağın içine; taban yarıçapı 2 cm2\text{ cm} ve yüksekliği 9 cm9\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki içi dolu metal bir cisim, tabanı bardağın tabanına çakışacak şekilde yerleştiriliyor. Daha sonra bardağa 324π cm3324\pi\text{ cm}^3 su dökülüyor. Buna göre, bardağın içindeki suyun yüksekliği kaç  cm\text{ cm} olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bardağın içindeki suyun yüksekliği 10 cm10\text{ cm} olur.
Metal silindir tamamen battığı için bardaktaki toplam hacim, su hacmi (324π324\pi) ile metal silindirin hacminin (36π36\pi) toplamı olan 360π cm3360\pi\text{ cm}^3 olur. Bardağın taban alanı 36π cm236\pi\text{ cm}^2 olduğundan, suyun yüksekliği bu toplam hacmin taban alanına bölünmesiyle 10 cm10\text{ cm} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Metal cismin hacminin hesaplanması
Vmetal=36π cm3V_{\text{metal}} = 36\pi\text{ cm}^3
Bardak içine yerleştirilen metal silindirin kapladığı hacmi belirlemek amacıyla silindir hacim formülü (V=πr2hV = \pi r^2 h) uygulanır.
2
Su yüksekliğinin sınır durumunun analiz edilmesi
Su seviyesinin 9 cm9\text{ cm}'den yüksek olacağının (x>9x > 9) tespit edilmesi
Eğer su seviyesi metal cismin boyundan kısa olsaydı, suyun yüksekliği 324π/(36π−4π)=10,125 cm324\pi / (36\pi - 4\pi) = 10,125\text{ cm} olacaktı. Bu değer metal cismin yüksekliğinden (9 cm) büyük olduğu için metal cismin tamamen battığı anlaşılır.
3
Toplam hacim yardımıyla nihai yüksekliğin hesaplanması
x=10 cmx = 10\text{ cm}
Metal cisim tamamen batt��ğı için bardakta yükselen toplam hacim, su ve metal cismin hacimleri toplamına eşit olur. Bu toplam hacim büyük silindirin taban alanına bölünerek su yüksekliği elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik dairesel silindirin hacminin hesaplanması ve batan cisimlerin sıvı seviyesine etkisi

Alternatif Yöntem

Metal cisim olmasaydı suyun bardakta kaplayacağı yükseklik 324π/36π=9 cm324\pi / 36\pi = 9\text{ cm} olurdu. Metal cisim tamamen battığı için kendi hacmi kadar sıvı yükseltir. Metal cismin hacmi 36π cm336\pi\text{ cm}^3 olduğundan bardakta yaratacağı yükselme miktarı 36π/36π=1 cm36\pi / 36\pi = 1\text{ cm} olur. Buradan toplam su yüksekliği 9+1=10 cm9 + 1 = 10\text{ cm} olarak hızlıca hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →

Taban yarıçapı 3 cm3\text{ cm} ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olan dik dairesel bir silindirin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Silindirin hacmi 72π cm372\pi\text{ cm}^3 tür.
Yarıçapı 3 cm3\text{ cm} ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olan dik dairesel silindirin hacmi, V=πr2hV = \pi r^2 h formülünden V=π×32×8=72π cm3V = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur. Dolayısıyla 7272 seçeneği doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin hacim formülünü belirleyelim.
V=πr2hV = \pi r^2 h
Dik dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpılmasıyla bulunur.
2
Soruda verilen yarıçap (r=3 cmr = 3\text{ cm}) ve yükseklik (h=8 cmh = 8\text{ cm}) değerlerini form��lde yerine yazarak hacmi hesaplayalım.
V=π×32×8=π×9×8=72π cm3V = \pi \times 3^2 \times 8 = \pi \times 9 \times 8 = 72\pi\text{ cm}^3
Taban alanı hesaplanıp yükseklik de��eriyle çarpılarak toplam hacim elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik dairesel silindirin hacmi, taban yarıçapının karesi ile yüksekliğinin ve π\pi sayısının çarpımına eşittir (V=πr2hV = \pi r^2 h).

İpuçları

1
Silindirin hacmini bulmak için taban alanı ile yüksekliği çarpmanız gerekir.
2
Taban alanı bir daire olduğundan alanı πr2\pi r^2 formülüyle hesaplanır. Yarıçapı 3 cm3\text{ cm} olan dairenin alanını bulunuz.
3
Bulduğunuz taban alanını (9π cm29\pi\text{ cm}^2), silindirin yüksekliği olan 8 cm8\text{ cm} ile çarparak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı ve yüksekliği verilen bir silindirin yanal alanını hesaplama sorusu çözerek alan ve hacim formüllerinin farkını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 6Soru →

Ayrıt uzunlukları 3 cm3\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 12 cm12\text{ cm} olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kapalı bir hediye kutusunun içerisine konulabilecek en uzun düz çubuğun boyu en fazla kaç santimetre olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Kutunun içerisine yerleştirilebilecek en uzun düz çubuğun boyu en fazla 13 santimetre olabilir.
Kutunun içerisine yerleştirilebilecek en uzun düz çubuğun uzunluğu, bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegenine eşittir. Ayrıt uzunlukları a=3 cma=3\text{ cm}, b=4 cmb=4\text{ cm} ve c=12 cmc=12\text{ cm} olan prizmanın cisim köşegeni d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} bağıntısıyla hesaplanır. Buradan d=32+42+122=9+16+144=169=13 cmd = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm} bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Kutunun içerisine yerleştirilebilecek en uzun çubuğun prizmanın cisim köşegeni olduğunu belirlemek.
Cisim köşegeni formülü: d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
Bir prizma içine yerleştirilebilecek en uzun doğru parçası, prizmanın en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegenidir.
2
Verilen ayrıt uzunluklarını (3 cm3\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 12 cm12\text{ cm}) formülde yerine yazarak karelerini toplamak.
d2=32+42+122=9+16+144=169d^2 = 3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169
Cisim köşegeninin uzunluğunu bulmak için üç boyuttaki Pisagor teoremi uygulanır.
3
Elde edilen toplamın karekökünü alarak cisim köşegeni uzunluğunu bulmak.
d=169=13 cmd = \sqrt{169} = 13\text{ cm}
Karesi 169 olan uzunluk değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler Prizmasının Cisim Köşegeni
Soru 7Soru →

Yanal alanı 15π cm215\pi\text{ cm}^2 ve taban yarıçapı 3 cm3\text{ cm} olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru yanıt 12 sayısıdır.
Doğru yanıt olan seçenek, koninin yanal alan formülünden elde edilen ana doğru uzunluğu (5 cm5\text{ cm}) ve dik üçgen bağıntısından elde edilen yükseklik (4 cm4\text{ cm}) yardımıyla hacmin 12π cm312\pi\text{ cm}^3 olduğunu doğru bir şekilde göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin ana doğrusunu (aa) bulma
a=5 cma = 5\text{ cm}
Koninin yanal alan formülü Ayan=π⋅r⋅aA_{\text{yan}} = \pi \cdot r \cdot a şeklindedir. Verilenleri yerine yazarsak, 15π=π⋅3⋅a  ⟹  a=5 cm15\pi = \pi \cdot 3 \cdot a \implies a = 5\text{ cm} bulunur.
2
Koninin yüksekliğini (hh) bulma
h=4 cmh = 4\text{ cm}
Dik konide yükseklik (hh), taban yarıçapı (rr) ve ana doğru (aa) arasında Pisagor bağıntısı vardır: h2+r2=a2h^2 + r^2 = a^2. Buradan h2+32=52  ⟹  h=4 cmh^2 + 3^2 = 5^2 \implies h = 4\text{ cm} elde edilir.
3
Koninin hacmini (VV) hesaplama
V=12π cm3V = 12\pi\text{ cm}^3
Koninin hacim formülü V=13⋅π⋅r2⋅hV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h şeklindedir. Değerleri yerine koyduğumuzda V=13⋅π⋅32⋅4=12π cm3V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi\text{ cm}^3 bulunur.

Anahtar Kavram

Dik dairesel koninin yanal alanı, yüksekliği ve hacmi arasındaki geometrik bağıntılar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

Taban yarıçapı 5 cm5\text{ cm} ve yüksekliği 20π cm20\pi\text{ cm} olan dik dairesel silindir şeklindeki bir kutunun alt tabanının çevresi üzerindeki bir AA noktasından, üst tabanının çevresi üzerindeki ve AA noktasının dikey izdüşümünün tam karşısında bulunan (çapsal olarak zıt) bir BB noktasına silindirin yan yüzeyi üzerinden dolanarak gidilecektir. Bu hareketli, silindirin yan yüzeyi etrafında tam olarak 1,51,5 tur (bir buçuk tur) atarak en kısa yoldan BB noktasına ulaştığına göre, aldığı toplam yol kaç π cm\pi\text{ cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2525

Cevap

En kısa yol 25π cm25\pi\text{ cm} olup, toplam yol 2525 adet π cm\pi\text{ cm}'ye eşittir.
Silindirin taban çevresi C=2πR=10π cmC = 2\pi R = 10\pi\text{ cm}'dir. 1,51,5 tur atıldığında yatayda alınan yol 1,5×10π=15π cm1,5 \times 10\pi = 15\pi\text{ cm} olur. Silindirin açınımı yapıldığında yatay kenarı 15π cm15\pi\text{ cm} ve dikey kenarı (yükseklik) 20π cm20\pi\text{ cm} olan bir dik üçgen elde edilir. Bu üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında en kısa yol 25π cm25\pi\text{ cm} olarak hesaplanır. Dolayısıyla alınan toplam yol 25π25\pi yani 2525 katıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin taban dairesinin çevresi hesaplanır.
Taban dairesinin yarıçapı R=5 cmR = 5\text{ cm} olduğundan çevre C=2πR=10π cmC = 2\pi R = 10\pi\text{ cm} olur.
Silindir yüzeyinde yatayda alınan yol taban çevresine bağlıdır.
2
Hareketlinin yatayda aldığı toplam yol belirlenir.
Hareketli 1,51,5 tur attığı için yatayda aldığı yol 1,5×10π=15π cm1,5 \times 10\pi = 15\pi\text{ cm} olarak bulunur.
BB noktası AA'nın dikey izdüşümünün tam karşısında (çapsal olarak zıt konumda) olduğundan, 1,51,5 tur atılması yatayda tam olarak 1,51,5 çevre uzunluğuna karşılık gelir.
3
Hareketlinin dikeyde aldığı yol belirlenir.
Dikeyde alınan yol silindirin yüksekliği olan 20π cm20\pi\text{ cm}'dir.
Kutunun alt tabanından üst tabanına ulaşıldığı için dikey yükseklik tamamen katedilmiştir.
4
Silindirin yan yüzeyi düzleme açılarak en kısa yol Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.
En kısa yol LL olmak üzere, dik kenarları 15π cm15\pi\text{ cm} ve 20π cm20\pi\text{ cm} olan bir dik üçgen olu��ur. Pisagor bağıntısından L2=(15π)2+(20π)2=225π2+400π2=625π2L^2 = (15\pi)^2 + (20\pi)^2 = 225\pi^2 + 400\pi^2 = 625\pi^2 buradan da L=25π cmL = 25\pi\text{ cm} bulunur.
Düzleme açılan yüzeyde iki nokta arasındaki en kısa mesafe, bu iki noktayı birleştiren doğru parçası (hipotenüs) uzunluğudur.

Anahtar Kavram

Silindirin yan yüzeyinin açınımı ve yüzey üzerindeki en kısa yolun Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 9Soru →

Bir dik dairesel koninin yan yüzeyi açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı 216∘216^\circ ve bu daire diliminin yarıçapı 10 cm10\text{ cm}'dir. Bu koni, yüksekliğinin tam ortasından tabanına paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen alttaki kesik koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

Kesik koninin hacmi 84π cm384\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
Verilen merkez açısı ve daire dilimi yarıçapı kullanılarak koninin ana doğrusunun 10 cm10\text{ cm} ve taban yarıçapının 6 cm6\text{ cm} olduğu tespit edilir. Pisagor bağıntısı yardımıyla koninin yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olarak bulunur. Tüm koninin hacmi 96π cm396\pi\text{ cm}^3 tür. Koni yüksekliğinin tam ortasından paralel bir düzlemle kesildiğinde oluşan benzerlik oranı 12\frac{1}{2}'dir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpü olacağından, üstteki küçük koninin hacmi tüm koninin hacminin 18\frac{1}{8}'idir. Alttaki kesik koninin hacmi ise tüm hacmin 78\frac{7}{8}'i olup 84π cm384\pi\text{ cm}^3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin taban yarıçapının (rr) bulunması.
r=6 cmr = 6\text{ cm}
Koninin yan yüzeyinin açınımı olan daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna (a=10 cma = 10\text{ cm}) eşittir. Taban yarıçapı ile ana doğru arasındaki ilişki ra=θ360∘\frac{r}{a} = \frac{\theta}{360^\circ} formülüyle bulunur. Buradan r10=216∘360∘  ⟹  r=6 cm\frac{r}{10} = \frac{216^\circ}{360^\circ} \implies r = 6\text{ cm} elde edilir.
2
Koninin yüksekliğinin (hh) bulunması.
h=8 cmh = 8\text{ cm}
Koni yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğru arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır (h2+r2=a2h^2 + r^2 = a^2). Buradan h2+62=102  ⟹  h2=64  ⟹  h=8 cmh^2 + 6^2 = 10^2 \implies h^2 = 64 \implies h = 8\text{ cm} bulunur.
3
Koninin toplam hacminin (VV) hesaplanması.
V=96π cm3V = 96\pi\text{ cm}^3
Koni hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında V=13π(62)(8)=96π cm3V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = 96\pi\text{ cm}^3 hesaplanır.
4
Kesik koninin hacminin benzerlik ilişkisiyle bulunması.
Vkesik=84π cm3V_{\text{kesik}} = 84\pi\text{ cm}^3
Koni, yüksekliğinin tam ortasından (k=12k = \frac{1}{2} benzerlik oranıyla) kesildiğinde, üstte oluşan küçük koninin hacminin tüm koninin hacmine oranı k3=(12)3=18k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} olur. Bu durumda alttaki kesik koninin hacmi toplam hacmin 1−18=781 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}'ine eşit olur. Buradan Vkesik=78×96π=84π cm3V_{\text{kesik}} = \frac{7}{8} \times 96\pi = 84\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Koni hacmi, açınım özellikleri ve katı cisimlerde benzerlik-hacim ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →

Yarıçapı 1313 birim olan bir kürenin içerisine, taban dairesinin çevresi ve tepe noktası küre yüzeyinde olacak bi��imde bir dik dairesel koni yerleştiriliyor.

Buna göre, bu koninin hacminin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaç π\pi birimküptür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 480

Cevap

En büyük ve en küçük koni hacimleri arasındaki fark 480π480\pi birimküptür.
Koninin tepe noktası küre yüzeyinde ve taban çevresi de küre yüzeyinde olduğu için, küre merkezinin koni tabanına uzaklığı Pisagor bağıntısı ile 5 birim olarak hesaplanır. Tepe noktasının konumuna göre koni yüksekliği 13+5=18 veya 13-5=8 olabilir. Bu iki durumdan elde edilen hacimlerin farkı 480*pi birimküptür.

Adım Adım Çözüm

1
Küre merkezinden koni taban düzlemine olan dik uzaklığı hesaplama.
Uzaklık d=5d = 5 birim olarak bulunur.
Küre yarıçapı R=13R = 13 birim ve koni taban yarıçapı r=12r = 12 birimdir. Küre merkezi, koni taban dairesinin merkezi ve taban çevresi üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısından d2+122=132  ⟹  d=5d^2 + 12^2 = 13^2 \implies d = 5 bulunur.
2
En büyük hacimli koninin yüksekliğini ve hacmini hesaplama.
Yükseklik h1=18h_1 = 18 birim ve hacim Vmax=864πV_{max} = 864\pi birimküp olarak bulunur.
En büyük hacim için koninin tepe noktası ile küre merkezi, taban düzleminin farklı taraflarında yer almalıdır. Bu durumda yükseklik h1=R+d=13+5=18h_1 = R + d = 13 + 5 = 18 birim olur. Hacim ise Vmax=13πr2h1=13π⋅122⋅18=864πV_{max} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 18 = 864\pi olur.
3
En küçük hacimli koninin yüksekliğini ve hacmini hesaplama.
Yükseklik h2=8h_2 = 8 birim ve hacim Vmin=384πV_{min} = 384\pi birimküp olarak bulunur.
En küçük hacim için koninin tepe noktası ile küre merkezi, taban düzleminin aynı tarafında yer almalıdır. Bu durumda yükseklik h2=R−d=13−5=8h_2 = R - d = 13 - 5 = 8 birim olur. Hacim ise Vmin=13πr2h2=13π⋅122⋅8=384πV_{min} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 8 = 384\pi olur.
4
Hacimler arasındaki farkı hesaplama.
Fark 480π480\pi birimküptür.
En büyük hacim ile en küçük hacim arasındaki fark Vmax−Vmin=864π−384π=480πV_{max} - V_{min} = 864\pi - 384\pi = 480\pi birimküptür.

Anahtar Kavram

Küre içerisine çizilen dik koninin boyutlarının küre yarıçapı ve merkez uzaklığı yardımıyla belirlenmesi ile katı cisimlerin hacim bağıntıları.

İpuçları

1
Kürenin merkezinden koninin taban düzlemine bir dikme indirerek dik üçgen oluşturun.
2
Oluşan dik üçgende kürenin yarıçapı (13) hipotenüs, koninin taban yarıçapı (12) dik kenarlardan biridir. Buradan merkez ile taban arasındaki mesafeyi bulun.
3
Koninin tepe noktası küre yüzeyinde olacağından, yüksekliği maksimum yapmak için tepe noktasını merkeze göre tabanın öbür tarafında seçin (13 + d); minimum yapmak için ise aynı tarafında seçin (13 - d).
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 11Soru →

Taban yarıçapı 3 cm3\text{ cm} ve yüksekliği 5 cm5\text{ cm} olan dik dairesel bir silindirin tüm yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Silindirin tüm yüzey alanı 144 cm2144\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Toplam yüzey alanı formülü A=2πr2+2πrhA = 2\pi r^2 + 2\pi r h şeklindedir. Verilen değerler formülde yerine yazıldığında, A=2×3×32+2×3×3×5=54+90=144A = 2 \times 3 \times 3^2 + 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 54 + 90 = 144 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin taban alanlarını hesaplama
Toplam taban alanı 54 cm254\text{ cm}^2
Silindirin alt ve üst olmak üzere iki dairesel tabanı vardır. Tek bir taban alanı T=πr2T = \pi r^2 formülüyle hesaplanır.
2
Silindirin yanal yüzey alanını hesaplama
Yanal alan 90 cm290\text{ cm}^2
Silindirin yan yüzeyinin açınımı bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin alanı Y=2πrhY = 2\pi r h formülüyle bulunur.
3
Toplam yüzey alanını bulma
Toplam yüzey alanı 144 cm2144\text{ cm}^2
Silindirin tüm yüzey alanı, iki taban alanı ile yanal alanın toplamına eşittir (A=2T+YA = 2T + Y).

Anahtar Kavram

Dik dairesel silindirin tüm yüzey alanı, iki taban alanı ile yanal alanının toplamına eşittir.
Soru 12Soru →

Kısa kenar uzunluğu 3 cm3\text{ cm} ve uzun kenar uzunluğu 4 cm4\text{ cm} olan bir dikdörtgen, uzun kenarı etrafında 360∘360^\circ döndürülüyor. Buna göre, oluşan döner cismin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Dikdörtgenin uzun kenarı etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi 36 pi santimetreküptür.
Uzun kenar (4 cm4\text{ cm}) etrafında döndürme yapıldığında taban yarıçapı r=3 cmr = 3\text{ cm} ve yükseklik h=4 cmh = 4\text{ cm} olan bir silindir oluşur. Silindir hacim formülü V=πr2hV = \pi r^2 h uygulandığında hacim 36π36\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Döndürme eksenine göre oluşan geometrik cismi ve boyutlarını belirleyin.
Dikdörtgen, uzun kenarı etrafında döndürüldüğünde bir dik dairesel silindir oluşur. Döndürme ekseni olan uzun kenar silindirin yüksekliği (h=4 cmh = 4\text{ cm}), diğer kısa kenar ise taban yarıçapı (r=3 cmr = 3\text{ cm}) olur.
Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında 360 derece döndürülmesiyle silindir elde edilir; eksen yükseklik, diğer boyut yarıçap olur.
2
Silindirin hacim formülünü uygulayın.
V=πr2hV = \pi r^2 h formülünden V=π×32×4=π×9×4=36π cm3V = \pi \times 3^2 \times 4 = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi\text{ cm}^3 bulunur.
Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpılmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında 360 derece döndürülmesiyle dik dairesel silindir elde edilir. Silindirin hacmi V=πr2hV = \pi r^2 h formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1
Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle hangi katı cismin oluştuğunu hatırlayın.
2
Döndürme ekseni olan kenarın silindirin yüksekliği, diğer kenarın ise taban yarıçapı olacağını dikkate alın.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 13Soru →

Merkezinden 3 birim3\text{ birim} uzaklıktaki bir düzlemle kesilen bir kürenin kesit alanı 16π birim216\pi\text{ birim}^2 dir.

Buna göre, bu kürenin hacminin π\pi cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5003\frac{500}{3}

Cevap

Kürenin hacminin π\pi cinsinden değeri 5003\frac{500}{3}'tür.
Kürenin merkezinden 33 birim uzaklıktaki kesit dairesinin alanı 16π16\pi birimkaredir. Dairenin alan formülünden kesit yarıçapı r=4r = 4 birim bulunur. Küre yarıçapı RR, kesit dairesi yarıçapı rr ve kesit düzleminin merkeze uzaklığı d=3d = 3 arasında dik üçgen ilişkisi (R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2) vardır. Buradan R2=42+32=25R^2 = 4^2 + 3^2 = 25 ve R=5R = 5 birim elde edilir. Kürenin hacim formülü olan V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 uygulandığında hacim 5003π\frac{500}{3}\pi birimküp olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesit dairesinin yarıçapının bulunması
Kesit dairesinin yarıçapı r=4r = 4 birimdir.
Kürenin bir düzlemle kesilmesiyle oluşan kesit bir dairedir. Alanı 16π16\pi birimkare olan bu dairenin yarıçapı πr2=16π\pi r^2 = 16\pi bağıntısından r=4r = 4 birim olarak bulunur.
2
Kürenin yarıçapının bulunması
Kürenin yarı��apı R=5R = 5 birimdir.
Küre merkezi, kesit dairesinin merkezi ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısına göre, kürenin yarıçapı R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2 bağıntısından R2=42+32=25R^2 = 4^2 + 3^2 = 25 ve buradan R=5R = 5 birim bulunur.
3
Kürenin hacminin hesaplanması
Kürenin hacmi V=5003πV = \frac{500}{3}\pi birimküptür.
Yarıçapı R=5R = 5 birim olan kürenin hacmi V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 formülüyle hesaplanır. Buradan V=43π(53)=5003πV = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{500}{3}\pi bulunur.

Anahtar Kavram

Kürenin düzlemle kesilmesi sonucu oluşan kesit dairesi özellikleri ve küre hacmi formülü.

İpuçları

1
Kürenin merkezinden geçen dik doğru, kesit dairesinin merkezine iner ve bu dikey doğru ile kesit dairesinin yarıçapı birbirine diktir.
2
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını (R2=r2+d2R^2 = r^2 + d^2) kullanarak kürenin yarıçapını (RR) bulunuz.
3
Alanı 16π16\pi olan kesit dairesinin yarıçapını 44 bulduktan sonra, dik kenarları 33 ve 44 olan dik üçgenden küre yarıçapını 55 bulup hacim formülünü (V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3) uygulayınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →

Taban yarıçapı 3 cm3\text{ cm} ve ana doğrusunun (yanal ayrıtının) uzunluğu 5 cm5\text{ cm} olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1212

Cevap

Koninin hacmi 12π cm312\pi\text{ cm}^3 tür.
Dik dairesel konide yarıçap, yükseklik ve ana doğru arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır (3−4−53-4-5 üçgeni). Bu ilişkiden yükseklik 4 cm4\text{ cm} olarak bulunur. Koninin hacim formülü olan V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h uygulandığında hacim 12π cm312\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yüksekliğini bulmak için dik üçgen bağıntısını uygulayın.
Yükseklik h=4 cmh = 4\text{ cm} olarak bulunur.
Dik dairesel konide taban yarıçapı (rr), yükseklik (hh) ve ana doğru uzunluğu (aa) arasında r2+h2=a2r^2 + h^2 = a^2 bağıntısı vardır. Buradan 32+h2=52⇒9+h2=25⇒h2=16⇒h=4 cm3^2 + h^2 = 5^2 \Rightarrow 9 + h^2 = 25 \Rightarrow h^2 = 16 \Rightarrow h = 4\text{ cm} elde edilir.
2
Bulunan yükseklik ve taban yarıçapı değerlerini koninin hacim formülünde yerine yazın.
Hacim V=12π cm3V = 12\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Koninin hacmi V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h formülüyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda V=13π⋅32⋅4=13π⋅9⋅4=12π cm3V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik dairesel konide yükseklik, taban yarıçapı ve ana doğru arasındaki ilişkiyi kullanarak hacim hesaplama.

İpuçları

1
Bir dik dairesel konide taban yarıçapı, yükseklik ve yanal ayrıt (ana doğru) bir dik üçgen oluşturur.
2
Yarıçapı 3 cm3\text{ cm} ve hipotenüsü 5 cm5\text{ cm} olan dik üçgenin diğer dik kenarı (yani koninin yüksekliği) kaç cm olur? Buradan yüksekliği bulun.
3
Yüksekliği 4 cm4\text{ cm} bulduktan sonra, koninin hacmini V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h formülünü kullanarak hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, yüksekliği ve yarıçapı verilen bir koninin yanal alanını veya yüzey alanını bulma sorularını çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

Bir düzgün üçgen dik prizmanın yüksekliği, taban ayrıtının uzunluğunun 3\sqrt{3} katına eşittir. Bu prizmanın tüm yüzey alanı 143 cm214\sqrt{3}\text{ cm}^2 olduğuna göre, hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Prizmanın hacmi 6 santimetreküptür.
Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı ile bulunur. Taban alanı 3\sqrt{3} ve yükseklik 232\sqrt{3} olduğundan hacim 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban ayrıtına aa diyerek prizmanın yüksekliğini aa cinsinden yazın.
Prizmanın yüksekliği h=a3h = a\sqrt{3} olur.
Yüksekliğin taban ayrıtının 3\sqrt{3} katı olduğu belirtilmiştir.
2
Taban alanını (TAT_A) ve yanal alanı (YAY_A) aa cinsinden hesaplayın.
TA=a234T_A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} ve YA=3a×h=3a23Y_A = 3a \times h = 3a^2\sqrt{3}
Taban bir kenarı aa olan eşkenar üçgendir. Yanal alan ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır.
3
Toplam yüzey alanını veren denklemi kurun ve aa değerini bulun.
Tüm yüzey alanı 2TA+YA=7a232=143  ⟹  a2=4  ⟹  a=22 T_A + Y_A = \frac{7a^2\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \implies a^2 = 4 \implies a = 2 cm olur.
Prizmanın toplam yüzey alanı, iki taban alanı ile yanal alanın toplamına eşittir.
4
Bulunan aa değeri ile hacmi hesaplayın.
Hacim V=TA×h=3×23=6 cm3V = T_A \times h = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 6\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dik prizmalarda yüzey alanı ve hacim bağıntıları
Soru 16Soru →

Boyutları 22, 33 ve 55 sayıları ile doğru orantılı olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı 248 cm2248\text{ cm}^2 dir. Buna göre, bu prizmanın hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240240

Cevap

Prizmanın hacmi 240 cm3240\text{ cm}^3 tür.
Boyutları 2k2k, 3k3k ve 5k5k olan prizmanın yüzey alanı 2(6k2+15k2+10k2)=62k2=248 cm22(6k^2 + 15k^2 + 10k^2) = 62k^2 = 248\text{ cm}^2 denklemiyle bulunur. Buradan k2=4k^2 = 4 ve k=2k = 2 elde edilir. Prizmanın boyutları 4 cm4\text{ cm}, 6 cm6\text{ cm} ve 10 cm10\text{ cm} olup, hacmi bu değerlerin çarpımı olan 240 cm3240\text{ cm}^3 tür.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın boyutlarını orantı sabiti (kk) cinsinden yazma
Boyutlar 2k2k, 3k3k ve 5k5k olarak ifade edilir.
Boyutların 22, 33 ve 55 sayıları ile doğru orantılı olduğu verilmiştir.
2
Y��zey alanı formülünü kullanarak orantı sabitini (kk) bulma
2(2k⋅3k+3k⋅5k+2k⋅5k)=248  ⟹  2(6k2+15k2+10k2)=248  ⟹  62k2=248  ⟹  k2=4  ⟹  k=22(2k \cdot 3k + 3k \cdot 5k + 2k \cdot 5k) = 248 \implies 2(6k^2 + 15k^2 + 10k^2) = 248 \implies 62k^2 = 248 \implies k^2 = 4 \implies k = 2 bulunur.
Dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı, farklı yüzlerinin alanları toplamının iki katıdır.
3
Prizmanın gerçek boyutlarını ve hacmini hesaplama
Boyutlar: 2(2)=4 cm2(2) = 4\text{ cm}, 3(2)=6 cm3(2) = 6\text{ cm} ve 5(2)=10 cm5(2) = 10\text{ cm} olur. Hacim: V=4×6×10=240 cm3V = 4 \times 6 \times 10 = 240\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Prizmanın hacmi, farklı üç boyutunun çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı ve hacim hesaplamaları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →

Bir kenar uzunluğu 66 birim olan ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' küpünde, AA köşesinin C′D′C'D' ayrıtının orta noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Küpün bir köşesinden karşı yüzeydeki bir ayrıtın orta noktasına olan uzaklık hesaplanırken dik izdüşüm yöntemi kullanılır. C′D′C'D' ayrıtının orta noktası MM ve bu noktanın tabandaki dik izdüşümü CDCD'nin orta noktası olan M′M' olsun. Taban düzlemindeki ADM′ADM' dik üçgeninde ∣AD∣=6|AD| = 6 ve ∣DM′∣=3|DM'| = 3 birim olduğundan ∣AM′∣2=62+32=45|AM'|^2 = 6^2 + 3^2 = 45 olur. MM′MM' doğrusu tabana dik ve ∣MM′∣=6|MM'| = 6 birim olduğundan, AMM′AMM' dik üçgeninde Pisagor bağıntısından ∣AM∣2=∣AM′∣2+∣MM′∣2=45+36=81|AM|^2 = |AM'|^2 + |MM'|^2 = 45 + 36 = 81 bulunur. Buradan ∣AM∣=9|AM| = 9 birim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
C′D′C'D' ayrıtının orta noktasın�� MM olarak adlandırın ve bu noktanın taban düzlemindeki dik izdüşümü olan M′M' noktasını belirleyin.
M′M' noktası, taban düzlemindeki CDCD ayrıtının orta noktasıdır. Buna göre ∣DM′∣=3|DM'| = 3 birim ve ∣AD∣=6|AD| = 6 birim olur.
Üç boyutlu uzayda iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamak için taban düzleminde bir dik izdüşüm noktası oluşturarak dik üçgenler elde edilir.
2
Taban düzleminde yer alan ADM′ADM' dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak ∣AM′∣2|AM'|^2 değerini bulun.
∣AM′∣2=∣AD∣2+∣DM′∣2=62+32=36+9=45|AM'|^2 = |AD|^2 + |DM'|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 birimkare.
AM′AM' uzunluğu, aranılan uzaklığın taban üzerindeki dik bileşenidir.
3
Küpün yüksekliği taban düzlemine dik olduğundan, AMM′AMM' dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak ∣AM∣|AM| uzunluğunu hesaplayın.
∣AM∣2=∣AM′∣2+∣MM′∣2=45+62=45+36=81|AM|^2 = |AM'|^2 + |MM'|^2 = 45 + 6^2 = 45 + 36 = 81 olup, buradan ∣AM∣=9|AM| = 9 birim bulunur.
MM noktasının tabana olan dik uzaklığı küpün bir ayrıt uzunluğuna eşit olup ∣MM′∣=6|MM'| = 6 birimdir.

Anahtar Kavram

Küp içindeki iki nokta arasındaki uzaklığı, dik izdüşüm ve ardışık Pisagor bağıntıları yardımıyla hesaplamak.
Soru 18Soru →

Bir kenar uzunluğu 1515 birim olan ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' küpünde, [AC′][AC'] cisim köşegeni üzerinde 2∣AP∣=∣PC′∣2|AP| = |PC'| olacak şekilde bir PP noktası ve [CC′][CC'] yan ayrıtı üzerinde ∣CQ∣=2∣QC′∣|CQ| = 2|QC'| olacak şekilde bir QQ noktası işaretleniyor. Buna göre, PP ve QQ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

P ve Q noktaları arasındaki uzaklık 15 birimdir.
P noktasının izdüşümü ile oluşturulan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
P noktasının taban düzlemi ABCD üzerindeki dik izdüşümü olan P' noktasını belirleyin ve yüksekliğini bulun.
P' noktası [AC] köşegeni üzerindedir ve |AP'| = 5\sqrt{2} birim, |P'C| = 10\sqrt{2} birimdir. P noktasının tabana uzaklığı (yüksekliği) ise 5 birimdir.
P noktası [AC'] cisim köşegeni üzerinde ve |AP| = (1/3)|AC'| oranında olduğundan, benzerlikten izdüşümü de köşegeni aynı oranda böler ve yüksekliği küpün yüksekliğinin üçte biri olur.
2
Q noktasının yerini ve tabandan yüksekliğini belirleyin.
Q noktası [CC'] üzerinde, C köşesinden 10 birim yüksekliktedir.
|CQ| = 2|QC'| olarak verildiği için [CC'] ayrıtı 2:1 oranında bölünür. Toplam uzunluk 15 birim olduğundan |CQ| = 10 birim olur.
3
P noktasından [CC'] ayrıtına bir dikme indirerek H noktasını oluşturun ve PHQ dik üçgenini elde edin.
PH ve HQ dik kenarlarına sahip PHQ dik üçgeni elde edilir. Burada |PH| = |P'C| = 10\sqrt{2} birim ve |HQ| = |10 - 5| = 5 birimdir.
P'den [CC']'ye çizilen yatay doğru parçası tabandaki [P'C]'ye paralel ve eşittir. H noktasının yüksekliği P ile aynı (5 birim) olduğundan, Q(10 birim) ile arasındaki düşey mesafe 5 birim olur.
4
PHQ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak |PQ| uzunluğunu hesaplayın.
|PQ|^2 = (10\sqrt{2})^2 + 5^2 = 200 + 25 = 225 ise |PQ| = 15 birim bulunur.
Yatay ve düşey doğrular birbirine dik olduğundan PHQ bir dik üçgendir.

Anahtar Kavram

Küp üzerinde verilen noktalar arası uzaklığı dik izdüşüm ve dik üçgen oluşturma (Pisagor) yöntemiyle bulma.
Soru 19Soru →

Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir hediye kutusunun cisim köşegeninin uzunluğu 29 cm\sqrt{29}\text{ cm} dir.

Bu kutunun farklı üç yüzünün alanları toplamı 26 cm226\text{ cm}^2 olduğuna göre, kutunun hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Prizmanın hacmi 24 santimetreküptür.
Doğru seçenekteki 24 değeri, prizmanın ayrıt uzunluklarının 2 cm, 3 cm ve 4 cm olması durumunda elde edilir. Bu ayrıtlar için cisim köşegeni 22+32+42=29\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29} cm ve farklı üç yüzünün alanları toplamı 2⋅3+3⋅4+2⋅4=262\cdot3 + 3\cdot4 + 2\cdot4 = 26 cm2\text{cm}^2 koşullarını sağlar. Dolayısıyla hacim 2⋅3⋅4=242 \cdot 3 \cdot 4 = 24 cm3\text{cm}^3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın ayrıt uzunluklarına aa, bb ve cc diyerek verilen cisim köşegeni uzunluğundan bir denklem elde edelim.
a2+b2+c2=29a^2 + b^2 + c^2 = 29 olur.
Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni formülü d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} şeklindedir. Cisim köşegeni 29 cm\sqrt{29}\text{ cm} verildiğinden kareler toplamı 29'dur.
2
Prizmanın farklı üç yüzünün alanları toplamını veren denklemi yazalım.
ab+bc+ac=26ab + bc + ac = 26 olur.
Prizmanın farklı üç yüzün��n alanları sırasıyla abab, bcbc ve acac olup, bu alanların toplamı 26 cm226\text{ cm}^2 olarak verilmiştir.
3
Ayrıtların toplamını bulmak için (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac) özdeşliğini kullanalım.
(a+b+c)2=29+2(26)=81  ⟹  a+b+c=9(a+b+c)^2 = 29 + 2(26) = 81 \implies a+b+c = 9 bulunur.
Ayrıtlar pozitif uzunluklar olduğundan toplamları pozitif bir değer olan 9 olmalıdır.
4
Toplamları 9, kareleri toplamı 29 ve ikişerli çarpımlarının toplamı 26 olan pozitif tam sayıları deneme yoluyla belirleyelim.
a=2a=2, b=3b=3 ve c=4c=4 değerleri tüm koşulları sağlar.
Ayrıtlar birer tam sayı olduğundan, bu denklemleri sağlayan tek pozitif tam sayı grubu {2,3,4}\{2, 3, 4\}'tür.
5
Belirlediğimiz ayrıt uzunluklarını çarparak prizmanın hacmini hesaplayalım.
V=2⋅3⋅4=24 cm3V = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\text{ cm}^3 bulunur.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç farklı ayrıtının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, yüzey alanları ve hacim ilişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →

Yarıçapı 6 birim6\text{ birim} olan küre biçimindeki bir metal külçe eritilerek yarıçapı 2 birim2\text{ birim} olan küre biçiminde küçük bilyeler yapılacaktır. Buna göre, eritilen metal külçeden bu bilyelerden en fazla kaç adet elde edilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

27
Doğru cevap 27 adettir. Kürenin hacmi V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 formülü ile hesaplanır. Yarıçapı 6 birim6\text{ birim} olan büyük kürenin hacmi 288π birim3288\pi\text{ birim}^3, yarıçapı 2 birim2\text{ birim} olan küçük kürenin hacmi ise 323π birim3\frac{32}{3}\pi\text{ birim}^3 bulunur. Büyük hacim küçük hacme bölündüğünde 288π/(323π)=27288\pi / (\frac{32}{3}\pi) = 27 adet küçük bilye elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük kürenin hacmini V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 formülünü kullanarak hesaplayın.
Vbu¨yu¨k=43⋅π⋅63=43⋅π⋅216=288π birim3V_{\text{büyük}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 216 = 288\pi\text{ birim}^3
Eritilecek metalin toplam hacmini bulmak için.
2
Küçük bilyelerden birinin hacmini aynı formülle hesaplayın.
Vku¨c¸u¨k=43⋅π⋅23=43⋅π⋅8=323π birim3V_{\text{küçük}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 2^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi\text{ birim}^3
Elde edilecek her bir bilyenin hacmini belirlemek için.
3
Büyük kürenin hacmini küçük bilyenin hacmine bölerek elde edilecek toplam bilye sayısını bulun.
Bilye sayısı=288π323π=288⋅332=9⋅3=27\text{Bilye sayısı} = \frac{288\pi}{\frac{32}{3}\pi} = 288 \cdot \frac{3}{32} = 9 \cdot 3 = 27
Toplam metal hacminden kaç adet bilye çıkacağını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Kürenin Hacmi ve Benzerlik İlişkisi

Alternatif Yöntem

Küreler benzer cisimler olduğundan, hacimleri oranı yarıçapları oranının (benzerlik oranının) küpüne eşittir. Yarıçaplar oranı 62=3\frac{6}{2} = 3 olduğundan, elde edilebilecek bilye sayısı 33=273^3 = 27 olarak doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:45s
Sayfa 1 / 3Sonraki