Examkin

Çarpanlara Ayırma

41 soru

Soru 21Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2−y2−6y−9x−y−3 \frac{x^2 - y^2 - 6y - 9}{x - y - 3}
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x + y + 3

Cevap

İfadenin en sade hali x+y+3x + y + 3 şeklindedir.
Verilen rasyonel ifadede pay kısmı, önce eksi parantezine alınarak tam kare formu elde edilmeli, ardından iki kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılmalıdır. Pay kısmındaki (x−y−3)(x - y - 3) çarpanı, payda ile sadeleştiğinde geriye kalan çarpan x+y+3x + y + 3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki ifadenin son üç terimini eksi (-) parantezine alarak gruplandır.
x2−(y2+6y+9)x^2 - (y^2 + 6y + 9)
Terimleri tam kare oluşturacak şekilde düzenlemek için gruplandırma gereklidir.
2
Parantez içindeki ifadenin tam kare olduğunu fark et ve çarpanlarına ayır.
x2−(y+3)2x^2 - (y + 3)^2
y2+6y+9y^2 + 6y + 9 ifadesi (y+3)(y+3)'ün karesidir.
3
Elde edilen ifadede iki kare farkı özdeşliğini uygula: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
(x−(y+3))⋅(x+(y+3))(x - (y+3)) \cdot (x + (y+3))
İfadeyi sadeleştirmek için çarpanlarına ayrılmış hale getirmek gerekir.
4
İç parantezleri açarak ifadeyi düzenle.
(x−y−3)⋅(x+y+3)(x - y - 3) \cdot (x + y + 3)
Sadeleştirme işlemi için terimlerin açık hali gereklidir.
5
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştir.
(x−y−3)(x+y+3)x−y−3=x+y+3\frac{(x - y - 3)(x + y + 3)}{x - y - 3} = x + y + 3
Paydadaki (x−y−3)(x - y - 3) terimi ile paydaki eşleniği birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Bu soru, gruplandırarak çarpanlara ayırma ve iki kare farkı özdeşliğinin birlikte kullanılmasını test etmektedir.

İpuçları

1
Paydaki ifadenin son üç terimine (−y2−6y−9 -y^2 - 6y - 9 ) dikkat edin. Bu terimleri eksi (-) parantezine almayı deneyin.
2
Eksi parantezine aldığınızda oluşan y2+6y+9y^2 + 6y + 9 ifadesi bir tam karedir ((a+b)2(a+b)^2 formundadır).
3
İfadeyi x2−(y+3)2x^2 - (y+3)^2 formatına getirdikten sonra, iki kare farkı özdeşliğini (a2−b2a^2 - b^2) kullanarak çarpanlarına ayırın.

Daha Fazla Pratik

a2−b2−2a+1a^2 - b^2 - 2a + 1 ifadesini çarpanlarına ayırma alıştırması yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi: x=5x=5 ve y=0y=0 gibi, paydayı sıfır yapmayan değerler vererek sonuç kontrol edilebilir. Örneğin x=5,y=0x=5, y=0 için pay: 25−0−0−9=1625 - 0 - 0 - 9 = 16, payda: 5−0−3=25 - 0 - 3 = 2. Sonuç 16/2=816/2 = 8 olur. Şıklarda x+y+3=5+0+3=8x+y+3 = 5+0+3=8 sonucunu veren tek seçenek doğrudur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 22Soru →
Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için,
1x−1y=4 \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4
x⋅y=3 x \cdot y = 3
eĢitlikleri veriliyor.

Buna göre, x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

İfadenin değeri 150'dir.
Verilen kesirli ifade düzenlendiğinde y−xy-x farkının değeri bulunur. Bu farkın karesi alındığında ortaya çıkan özdeşlikte, çarpım değeri yerine yazılarak kareler toplamına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen birinci eşitlikte payda eşitlemesi yapılır.
y−xx⋅y=4\frac{y-x}{x \cdot y} = 4
Kesirli ifadeleri işleyebilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
İkinci eşitlikte verilen x⋅y=3x \cdot y = 3 değeri yerine yazılır ve y−xy-x bulunur.
y−x3=4  ⟹  y−x=12\frac{y-x}{3} = 4 \implies y-x = 12
Bilinmeyenlerden birinin değerini bulmak için verilen çarpım değeri kullanılır.
3
Elde edilen y−x=12y-x=12 eşitliğinin her iki tarafının karesi alınır.
(y−x)2=122  ⟹  y2−2xy+x2=144(y-x)^2 = 12^2 \implies y^2 - 2xy + x^2 = 144
İstenen x2+y2x^2 + y^2 terimine ulaşmak için tam kare özdeşliğinden yararlanılır.
4
Özdeşlikte x⋅y=3x \cdot y = 3 değeri tekrar yerine yazılır ve x2+y2x^2 + y^2 yalnız bırakılır.
x2+y2−2(3)=144  ⟹  x2+y2−6=144  ⟹  x2+y2=150x^2 + y^2 - 2(3) = 144 \implies x^2 + y^2 - 6 = 144 \implies x^2 + y^2 = 150
Sonuca ulaşmak için bilinen değerler yerine konur ve denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşlikleri

İpuçları

1
Birinci denklemde payda eşitlemesi yaparak xx ve yy arasındaki farkı bulmaya çalışın.
2
Payda eşitlemesinden sonra y−xxy=4\frac{y-x}{xy} = 4 elde edeceksiniz. Buradan y−xy-x değerini bulun.
3
Bulduğunuz y−xy-x ifadesinin karesini alın: (y−x)2=y2−2xy+x2(y-x)^2 = y^2 - 2xy + x^2. xyxy değerini zaten biliyorsunuz.

Daha Fazla Pratik

İki sayının toplamı ve çarpımı verildiğinde kareleri toplamını soran soruları inceleyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 23Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için x−y=6x - y = 6 olduğuna göre,
x2−8x+16−y2x+y−4 \frac{x^2 - 8x + 16 - y^2}{x + y - 4}
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin en sade hali ve verilen değerin yerine yazılmasıyla sonuç 2 bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin pay kısmı, önce tam kare (x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16=(x-4)^2) sonra da iki kare farkı özdeşlikleri kullanılarak çarpanlarına ayrılır. Paydadaki ifade ile ortak olan çarpan sadeleştirildiğinde geriye x−y−4x-y-4 ifadesi kalır. Soruda verilen x−y=6x-y=6 değeri yerine yazıldığında doğru sonuç 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi gruplandırarak tam kare özdeşliğini tespit et.
x2−8x+16−y2=(x−4)2−y2x^2 - 8x + 16 - y^2 = (x-4)^2 - y^2
İlk üç terim (x−4)2(x-4)^2 açılımıdır.
2
Elde edilen ifadede iki kare farkı özdeşliğini uygula.
(x−4)2−y2=((x−4)−y)((x−4)+y)=(x−y−4)(x+y−4)(x-4)^2 - y^2 = ((x-4) - y)((x-4) + y) = (x - y - 4)(x + y - 4)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılır.
3
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştir.
(x−y−4)(x+y−4)x+y−4=x−y−4\frac{(x - y - 4)(x + y - 4)}{x + y - 4} = x - y - 4
Paydadaki x+y−4x + y - 4 terimi ile paydaki çarpan birbirini götürür.
4
Verilen x−y=6x - y = 6 değerini sonuç ifadesinde yerine yaz.
6−4=26 - 4 = 2
Sadeleşmiş ifadede değişkenler yerine bilinen değer konulur.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
Pay kısmındaki ilk üç terime (x2−8x+16x^2 - 8x + 16) dikkat edin; bu bir tam kare açılımıdır.
2
İfadeyi (x−4)2−y2(x-4)^2 - y^2 şeklinde yazdıktan sonra iki kare farkı özdeşliğini kullanın.
3
Çarpanlara ayırma işleminden sonra (x+y−4)(x+y-4) çarpanlarını sadeleştirin ve x−yx-y yerine 6 yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla a2−b2−6a+9a^2 - b^2 - 6a + 9 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →

Bir kentsel dönüşüm projesi kapsamında, kenar uzunluğu aa metre olan kare şeklindeki bir arsanın köşesinden, kenar uzunluğu bb metre olan kare şeklindeki bir alan trafo merkezi yapılmak üzere ayrılmıştır (a>ba > b).

Geriye kalan arsa alanının, arsanın ve ayrılan parçanın birer kenar uzunluklarının farkına ((a−b)(a-b)) oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ba + b

Cevap

İstenilen oran a+ba + b ifadesine eşittir.
Soruda verilen geometrik senaryo matematiksel olarak modellendiğinde, büyük karenin alanından (a2a^2) küçük karenin alanı (b2b^2) çıkarılmaktadır. Bu işlem a2−b2a^2 - b^2 ifadesini verir. Soruda bu değerin kenar farkına (a−ba-b) bölünmesi istendiğinden, işlem a2−b2a−b\frac{a^2 - b^2}{a - b} halini alır. İki kare farkı özdeşliği gereği pay (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) olarak çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki (a−b)(a-b) çarpanları sadeleştiğinde geriye a+ba+b kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki arsanın alanı ve ayrılan parçanın alanını belirle.
Başlangıç alanı a2a^2, ayrılan alan b2b^2 metrekaredir.
Kare şeklindeki bir bölgenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
2
Geriye kalan alanı ifade et.
Geriye kalan alan = a2−b2a^2 - b^2.
Toplam alandan ayrılan parça çıkarılarak kalan alan bulunur.
3
Elde edilen alan ifadesini, verilen kenar farkına böl.
Oran = a2−b2a−b\frac{a^2 - b^2}{a - b}.
Soruda kalan alanın kenar farkına oranı sorulmuştur.
4
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi sadeleştir.
(a−b)(a+b)a−b=a+b\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b.
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılarak sadeleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı Özdeşliği
Soru 25Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
4x4+3x2+1 4x^4 + 3x^2 + 1
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x2−x+12x^2 - x + 1

Cevap

2x2−x+12x^2 - x + 1 ifadesi doğru çarpandır.
Verilen 4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesi standart yöntemlerle çarpanlarına ayrılamaz. Bu tip ifadelerde 'terim ekleyip çıkarma' yöntemi kullanılır. İfadeye x2x^2 ekleyip çıkarırsak: (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 elde ederiz. İlk kısım (2x2+1)(2x^2+1)'in karesidir. Böylece ifade (2x2+1)2−x2(2x^2+1)^2 - x^2 şeklinde iki kare farkına dönüşür. Buradan ((2x2+1)−x)((2x2+1)+x)((2x^2+1)-x)((2x^2+1)+x) çarpanları bulunur. Seçeneklerdeki 2x2−x+12x^2 - x + 1 bu çarpanlardan biridir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi tam kareye tamamlayacak şekilde uygun bir terim ekleyip çıkaralım.
4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesini (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 şeklinde yazarız.
Bu sayede ifade iki kare farkı formatına dönüştürülebilir.
2
İlk parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yazalım.
4x4+4x2+1=(2x2+1)24x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2 olduğu için ifade (2x2+1)2−x2(2x^2 + 1)^2 - x^2 halini alır.
Tam kare özdeşliğinin tanınması.
3
İki kare farkı özdeşliğini (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) uygulayalım.
((2x2+1)−x)((2x2+1)+x)((2x^2 + 1) - x)((2x^2 + 1) + x)
Çarpanlara ayırma işleminin tamamlanması.
4
Çarpanları düzenleyelim ve seçenekleri kontrol edelim.
Çarpanlar (2x2−x+1)(2x^2 - x + 1) ve (2x2+x+1)(2x^2 + x + 1) olarak bulunur.
Bulunan çarpanların seçeneklerle eşleştirilmesi.

Anahtar Kavram

Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
İfadeyi standart yöntemlerle (paranteze alma veya gruplandırma) çarpanlarına ayıramıyorsanız, ifadeyi bir tam kareye tamamlamayı düşünün.
2
4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesini (2x2+1)2(2x^2+1)^2 formuna benzetmek için ne eklenip çıkarılmalıdır?
3
İfadeye x2x^2 ekleyip x2x^2 çıkarın. Böylece (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 elde edeceksiniz. Şimdi iki kare farkı özdeşliğini kullanın.

Daha Fazla Pratik

x4+x2+1x^4 + x^2 + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılması sorusunu inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemi denenerek x2=tx^2 = t dönüşümü yapılabilir, ancak 4t2+3t+14t^2 + 3t + 1 ifadesinin reel kökü olmadığı (diskriminant < 0) görüldüğünde, bu yolun kapalı olduğu anlaşılır ve terim ekleme yöntemine dönülür.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 26Soru →
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a≠ba \neq b ve
a2+bc=b2+ac a^2 + bc = b^2 + ac
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a+bc\frac{a + b}{c} ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Verilen eşitlikten hareketle elde edilen a+b=ca + b = c bağıntısı sonucunda istenen oran 1 olarak bulunur.
Verilen denklemde terimler bir tarafa toplanıp (a−b)(a-b) ortak parantezine alındığında, a≠ba \neq b olduğu için a+b−c=0a+b-c=0 sonucuna ulaşılır. Buradan a+b=ca+b=c olduğu görülür ve oran 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki terimleri sol tarafa taşıyarak ifadeyi sıfıra eşitleyin.
a2−b2−ac+bc=0a^2 - b^2 - ac + bc = 0
İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırabilmek için tüm terimlerin aynı tarafta olması gerekir.
2
Terimleri ikili gruplar halinde düzenleyin.
(a2−b2)−(ac−bc)=0(a^2 - b^2) - (ac - bc) = 0
İki kare farkı ve ortak çarpan parantezi yöntemlerini uygulayabilmek için uygun gruplar oluşturulur.
3
a2−b2a^2 - b^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği ile açın.
(a−b)(a+b)−c(a−b)=0(a - b)(a + b) - c(a - b) = 0
Cebirsel ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.
4
İfadeyi ortak olan (a−b)(a - b) çarpanı parantezine alın.
(a−b)(a+b−c)=0(a - b)(a + b - c) = 0
Her iki grupta bulunan ortak çarpan paranteze alınarak çarpım durumuna getirilir.
5
a≠ba \neq b bilgisini kullanarak denklemi çözümleyin.
a−b≠0a - b \neq 0 olduğu için a+b−c=0⇒a+b=ca + b - c = 0 \Rightarrow a + b = c olmalıdır.
İki sayının çarpımı sıfırsa ve çarpanlardan biri sıfır değilse diğeri mutlaka sıfırdır.
6
Bulunan bağıntıyı istenen oranda yerine yazın.
a+bc=cc=1\frac{a + b}{c} = \frac{c}{c} = 1
a+ba + b toplamı cc sayısına eşit olduğundan oran 1 olur.

Anahtar Kavram

Gruplandırma Yöntemiyle Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
Eşitliğin sağındaki tüm ifadeleri sol tarafa alarak ifadeyi sıfıra eşitleyin.
2
a2−b2a^2 - b^2 ve −ac+bc-ac + bc ifadelerini ayrı ayrı gruplandırarak ortak çarpanları bulmaya çalışın.
3
a≠ba \neq b olduğu için (a−b)(a-b) çarpanının sıfır olamayacağını hatırlayın ve diğer çarpanı sıfıra eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

İçinde üç terimli ifadelerin (ax² + bx + c) bulunduğu rasyonel sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

a,ba, b ve cc değerleri için a≠ba \neq b ve denklemi sağlayan uygun sayılar seçebilirsiniz. Örneğin a=2,b=1a=2, b=1 alırsak; 4+c=1+2c⇒c=34 + c = 1 + 2c \Rightarrow c = 3 olur. Bu durumda a+bc=2+13=1\frac{a+b}{c} = \frac{2+1}{3} = 1 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

x+y≠−2x + y \neq -2 olmak üzere,

x2−y2+x−3y−2x+y+2+y \frac{x^2 - y^2 + x - 3y - 2}{x + y + 2} + y

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x - 1

Cevap

İfadenin en sade hâli x - 1 şeklindedir.
İfadenin payı olan x2−y2+x−3y−2x^2 - y^2 + x - 3y - 2 çokterimlisi, (x−y−1)(x+y+2)(x - y - 1)(x + y + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki x+y+2x + y + 2 terimi ile paydaki aynı çarpan sadeleştiğinde geriye x−y−1x - y - 1 kalır. Bu ifadeye ifadenin devamındaki +y+y eklendiğinde −y-y ve +y+y birbirini götürür ve sonuç x−1x - 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi gruplandırarak düzenleyin.
x2+x−(y2+3y+2)x^2 + x - (y^2 + 3y + 2)
Değişkenleri kendi aralarında gruplandırarak üçterimli çarpanlara ayırma yöntemini uygulamak için hazırlık yapılır.
2
yy değişkenine bağlı olan üçterimliyi çarpanlarına ayırın.
y2+3y+2=(y+1)(y+2)y^2 + 3y + 2 = (y + 1)(y + 2)
Çarpımları 2, toplamları 3 olan sayılar 1 ve 2 olduğu için ifade bu şekilde ayrılır.
3
Tüm ifadeyi çarpraz çarpım yöntemi ile çarpanlarına ayırın.
x2+x−(y+1)(y+2)=(x−(y+1))(x+(y+2))=(x−y−1)(x+y+2)x^2 + x - (y + 1)(y + 2) = (x - (y + 1))(x + (y + 2)) = (x - y - 1)(x + y + 2)
x2x^2 terimi x⋅xx \cdot x olarak, sabit terim ise −(y+1)⋅(y+2)-(y+1) \cdot (y+2) olarak ayrıldığında, toplamları ortadaki xx terimini verir.
4
Bulunan çarpanları rasyonel ifadede yerine yazarak sadeleştirme ve toplama işlemlerini yapın.
(x−y−1)(x+y+2)x+y+2+y=(x−y−1)+y=x−1\frac{(x - y - 1)(x + y + 2)}{x + y + 2} + y = (x - y - 1) + y = x - 1
x+y+2x + y + 2 çarpanları birbirini sadeleştirir ve kalan ifadeye y eklendiğinde değişkenler sadeleşerek sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki değişkenli ifadelerde gruplandırma ve üçterimli çarpanlara ayırma yöntemlerinin rasyonel ifadelerde kullanımı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 28Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için verilen,
x2−xy−12y2−x+4y x^2 - xy - 12y^2 - x + 4y
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x - 4y

Cevap

İfadenin çarpanlarından biri x−4yx - 4y dir.
Verilen ifade gruplandırma yöntemiyle çözülür. İlk üç terim x2−xy−12y2=(x−4y)(x+3y)x^2 - xy - 12y^2 = (x - 4y)(x + 3y) şeklinde ayrılır. Kalan kısım ise −(x−4y)-(x - 4y) dir. Ortak çarpan olan (x−4y)(x - 4y) parantezine alındığında ifade (x−4y)(x+3y−1)(x - 4y)(x + 3y - 1) halini alır. Şıklarda bu çarpanlardan x−4yx - 4y bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi gruplandırarak analiz et
İfade (x2−xy−12y2)−(x−4y)(x^2 - xy - 12y^2) - (x - 4y) şeklinde iki gruba ayrılır.
İlk üç terim ikinci dereceden bir üçlü (trinom), son iki terim ise doğrusal bir ifadedir.
2
İlk kısmı (x2−xy−12y2x^2 - xy - 12y^2) çarpanlarına ayır
Carpımları −12y2-12y^2, toplamları −y-y olan iki terim −4y-4y ve +3y+3y dir. Bu kısım (x−4y)(x+3y)(x - 4y)(x + 3y) olur.
x2+bx+cx^2+bx+c biçimindeki ifadelerin çarpanlara ayrılması kuralı uygulanır.
3
Tüm ifadeyi ortak çarpan parantezine al
(x−4y)(x+3y)−1(x−4y)(x - 4y)(x + 3y) - 1(x - 4y) ifadesinde (x−4y)(x - 4y) ortaktır. Sonuç: (x−4y)(x+3y−1)(x - 4y)(x + 3y - 1).
Her iki terimde de (x−4y)(x - 4y) bulunduğu için ortak çarpan parantezine alınır.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
İfadeyi 5 terimli olarak değil, (x2−xy−12y2)(x^2 - xy - 12y^2) ve (−x+4y)(-x + 4y) olmak üzere iki grup halinde düşünün.
2
İlk gruptaki ifadeyi (x+a)(x+b)(x+a)(x+b) formunda çarpanlarına ayırın. Çarpımları −12y2-12y^2, toplamları −y-y olan sayılar nelerdir?
3
İlk kısım (x−4y)(x+3y)(x-4y)(x+3y) olur. İkinci kısım ise −(x−4y)-(x-4y) dir. Şimdi ortak olan (x−4y)(x-4y) parantezine alın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki a2−b2−2a+2ba^2 - b^2 - 2a + 2b tipindeki soruları çözerek gruplandırma yeteneğinizi pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yöntemini kullanarak şıklardaki ifadelerin P(x,y)=0P(x,y) = 0 yapıp yapmadığını kontrol edebilirsiniz (örneğin x=4yx=4y koyduğunuzda sonuç 0 çıkıyorsa çarpan odur).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 29Soru →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x2−y2−4x+6y−5 x^2 - y^2 - 4x + 6y - 5
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x + y - 5

Cevap

İfadenin çarpanlarından biri x + y - 5 ifadesidir.
Verilen ifade gruplandırılarak tam kareye tamamlandığında sabit terimler sadeleşir ve ifade (x−2)2−(y−3)2(x-2)^2 - (y-3)^2 halini alır. Bu iki kare farkı özdeşliği ile açıldığında çarpanlar (x−y+1)(x-y+1) ve (x+y−5)(x+y-5) olarak bulunur. Seçeneklerde verilen doğru çarpan (x+y−5)(x+y-5)'tir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi x ve y değişkenlerine göre gruplandır.
(x2−4x)−(y2−6y)−5(x^2 - 4x) - (y^2 - 6y) - 5
Tam kare ifadeleri oluşturmak için değişkenleri ayırmak gerekir.
2
Her iki grup için tam kareye tamamlama işlemi yap.
((x−2)2−4)−((y−3)2−9)−5((x-2)^2 - 4) - ((y-3)^2 - 9) - 5
x2−4xx^2-4x ifadesi (x−2)2(x-2)^2'den 4 eksiktir; y2−6yy^2-6y ifadesi (y−3)2(y-3)^2'den 9 eksiktir.
3
Parantezleri aç ve sabit sayıları toparla.
(x−2)2−4−(y−3)2+9−5=(x−2)2−(y−3)2(x-2)^2 - 4 - (y-3)^2 + 9 - 5 = (x-2)^2 - (y-3)^2
Sabit terimler (-4 + 9 - 5 = 0) birbirini götürür ve geriye iki kare farkı kalır.
4
İki kare farkı özdeşliğini uygula: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
((x−2)−(y−3))⋅((x−2)+(y−3))((x-2) - (y-3)) \cdot ((x-2) + (y-3))
İfadeyi çarpım durumuna getirmek için son adımdır.
5
Parantez içlerini düzenle.
(x−2−y+3)(x−2+y−3)=(x−y+1)(x+y−5)(x - 2 - y + 3)(x - 2 + y - 3) = (x - y + 1)(x + y - 5)
Çarpanların en sade halini bulmak için.

Anahtar Kavram

Tam Kareye Tamamlama ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
İfadede xx ve yy değişkenlerini ayrı ayrı gruplandırarak tam kare ifadeler (örneğin (x−a)2(x-a)^2) oluşturmaya çalışın.
2
x2−4xx^2 - 4x ifadesini (x−2)2(x-2)^2'ye ve y2−6yy^2 - 6y ifadesini (y−3)2(y-3)^2'ye benzeterek artan sabit sayıları kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

x2+y2+2x−4y+5=0x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0 ise x⋅yx \cdot y kaçtır? sorusu ile tam kare toplamının sıfır olması durumunu inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: x=2x=2 ve y=3y=3 gibi ifadeyi basitleştirecek değerler vererek sonuç 0 bulunabilir. Bu durumda çarpanlardan biri 0 olmalıdır. Seçeneklerde x=2,y=3x=2, y=3 yazıldığında 0 sonucunu veren tek seçenek doğru cevaptır: 2+3−5=02+3-5=0.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →

3x3−12x3x^3 - 12x ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x(x−2)(x+2)3x(x - 2)(x + 2)

Cevap

Verilen ifade en sade haliyle 3x(x−2)(x+2)3x(x - 2)(x + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
İfadenin her iki teriminde de bulunan 3x3x çarpanı dışarı alındığında 3x(x2−4)3x(x^2 - 4) elde edilir. Parantez içindeki x2−4x^2 - 4 ifadesi x2−22x^2 - 2^2 biçiminde bir iki kare farkıdır ve (x−2)(x+2)(x-2)(x+2) olarak çarpanlarına ayrılır. Bu iki adım birleştirildiğinde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak çarpan parantezine alma
3x(x2−4)3x(x^2 - 4)
Her iki terimde de bulunan en büyük ortak çarpan 3x3x ifadesidir.
2
İki kare farkı özdeşliğini uygulama
3x(x−2)(x+2)3x(x - 2)(x + 2)
x2−4x^2 - 4 ifadesi x2−22x^2 - 2^2 şeklinde yazılabildiği için a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma ve İki Kare Farkı Özdeşliği

İpuçları

1
İfadedeki her iki terimde de ortak olan sayı ve harfleri belirleyerek başlayın.
2
3x3x çarpanını parantez dışına aldıktan sonra parantez içinde kalan ifadeye dikkat edin.
3
x2−4x^2 - 4 ifadesi bir 'iki kare farkı'dır. a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 2a3−18a2a^3 - 18a ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 31Soru →

4x2−12x4x^2 - 12x ifadesinin ortak çarpan parantezine alınarak çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4x(x−3)4x(x - 3)

Cevap

Verilen ifade her iki terimde de ortak olan 4x4x parantezine alındığında 4x(x−3)4x(x - 3) sonucu elde edilir.
İfadedeki her iki terim de 4x4x ile tam bölünmektedir. 4x24x^2 terimi 4x⋅x4x \cdot x olarak, −12x-12x terimi ise 4x⋅(−3)4x \cdot (-3) olarak yazılabilir. Ortak olan 4x4x değeri parantez dışına alındığında geriye kalan xx ve −3-3 terimleri parantez içine yazılır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerdeki ortak katsayıyı belirleyin.
4 ve 12 sayılarının en büyük ortak böleni 4'tür.
Her iki terimin de sayısal olarak bölünebileceği en büyük değeri bulmak için.
2
Terimlerdeki ortak değişkeni belirleyin.
x2x^2 ve xx terimlerinde ortak olan değişken xx'dir.
Her iki terimde de en az bir tane xx çarpanı bulunmaktadır.
3
Ortak çarpanı (4x4x) belirleyip her bir terimi bu çarpana bölün.
4x24x=x\frac{4x^2}{4x} = x ve −12x4x=−3\frac{-12x}{4x} = -3
Parantez içine yazılacak terimleri bulmak için bölme işlemi yapılır.
4
İfadeyi çarpan çarpımı şeklinde yazın.
4x(x−3)4x(x - 3)
Dağılma özelliğinin tersini uygulayarak çarpanlara ayırma işlemini tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma

İpuçları

1
Her iki terimde de ortak olan sayı ve harfi bulmaya çalışın.
2
4 ve 12 sayıları kaça bölünür? Ayrıca her iki terimde de xx harfi var mı?
3
İfadeyi 4x4x parantezine almayı deneyin; yani her terimi 4x4x'e bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 3a2+6a3a^2 + 6a ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Parantez dışındaki terimi içeri dağıtarak orijinal ifadeye (4x2−12x4x^2 - 12x) ulaşıp ulaşmadığınızı kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 32Soru →
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2+mx−12x2−x−6 \frac{x^2 + mx - 12}{x^2 - x - 6}
ifadesi sadeleşebilir bir kesir olduğuna göre, mm'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

m değerlerinin toplamı -3'tür.
Kesrin sadeleşebilmesi için pay kısmındaki x2+mx−12x^2 + mx - 12 ifadesinin, paydadaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesinin çarpanlarından en az birini barındırması gerekir. Paydanın çarpanları (x−3)(x-3) ve (x+2)(x+2)'dir. Bu çarpanlar payı sıfır yapan değerlerdir. x=3x=3 için m=1m=1 ve x=−2x=-2 için m=−4m=-4 bulunur. Bu değerlerin toplamı -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Payda ifadesini çarpanlarına ayırarak köklerini bul.
x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) olduğu için, ifadenin tanımsız olduğu noktalar x=3x = 3 ve x=−2x = -2'dir.
Kesrin sadeleşebilmesi için pay ve paydanın en az bir ortak çarpanı olmalıdır. Bu ortak çarpan paydanın çarpanlarından biri, yani (x−3)(x-3) veya (x+2)(x+2) olmalıdır.
2
Pay ifadesinde xx yerine paydanın köklerini yazarak mm değerlerini hesapla (Polinom bölmesi kalanı 0 olmalı mantığıyla).
Durum 1: Ortak çarpan (x−3)(x-3) ise, pay x=3x=3 için 0 olmalıdır. 32+3m−12=0⇒9+3m−12=0⇒3m=3⇒m=13^2 + 3m - 12 = 0 \Rightarrow 9 + 3m - 12 = 0 \Rightarrow 3m = 3 \Rightarrow m = 1.
Eğer (x−3)(x-3) ortak çarpansa, pay polinomu x−3x-3'e tam bölünür, yani P(3)=0P(3)=0 olur.
3
İkinci kök için işlemi tekrarla.
Durum 2: Ortak çarpan (x+2)(x+2) ise, pay x=−2x=-2 için 0 olmalıdır. (−2)2+(−2)m−12=0⇒4−2m−12=0⇒−2m=8⇒m=−4(-2)^2 + (-2)m - 12 = 0 \Rightarrow 4 - 2m - 12 = 0 \Rightarrow -2m = 8 \Rightarrow m = -4.
Eğer (x+2)(x+2) ortak çarpansa, pay polinomu x+2x+2'ye tam bölünür, yani P(−2)=0P(-2)=0 olur.
4
Bulunan mm değerlerini topla.
1+(−4)=−31 + (-4) = -3.
Soruda mm'nin alabileceği değerlerin toplamı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi için pay ve paydanın ortak bir çarpana (köke) sahip olması gerekir.
Soru 33Soru →
x≠−5,x≠−3,x≠−2x \neq -5, x \neq -3, x \neq -2 ve x≠5x \neq 5 olmak üzere,
x3−19x−30x2−25⋅x2+5xx2+5x+6 \frac{x^3 - 19x - 30}{x^2 - 25} \cdot \frac{x^2 + 5x}{x^2 + 5x + 6}
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x

Cevap

İfadenin en sade hâli xx sonucudur.
Verilen rasyonel ifadede önce küplü terim (x−5)(x2+5x+6)(x-5)(x^2+5x+6) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Diğer terimler de çarpanlarına ayrıldığında, pay ve paydadaki (x−5)(x-5), (x+5)(x+5) ve (x2+5x+6)(x^2+5x+6) ifadelerinin tamamı birbirini sadeleştirir ve geriye sadece xx çarpanı kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kesrin payındaki küp ifadeyi çarpanlarına ayır.
x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesini çarpanlarına ayırmak için, paydadaki (x2−25)(x^2-25) ipucu olarak kullanılabilir. x=5x=5 denendiğinde 125−95−30=0125 - 95 - 30 = 0 olduğu görülür. Polinom bölmesi veya Horner yöntemiyle: x3−19x−30=(x−5)(x2+5x+6)x^3 - 19x - 30 = (x-5)(x^2 + 5x + 6) elde edilir.
Üçüncü dereceden ifadelerin çarpanlarını bulmak için rasyonel kök teoremi veya verilen diğer ifadelerden ipucu alma yöntemi kullanılır.
2
Elde edilen ikinci derece ifadeyi ve diğer tüm terimleri çarpanlarına ayır.
Pay: (x−5)(x+2)(x+3)(x-5)(x+2)(x+3). Payda: x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5). İkinci kesir pay: x2+5x=x(x+5)x^2 + 5x = x(x+5). İkinci kesir payda: x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3).
Sadeleştirme yapabilmek için tüm ifadeler çarpım durumuna getirilmelidir.
3
Tüm çarpanları yerine yaz ve sadeleştirme işlemini uygula.
(x−5)(x+2)(x+3)(x−5)(x+5)⋅x(x+5)(x+2)(x+3) \frac{(x-5)(x+2)(x+3)}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{x(x+5)}{(x+2)(x+3)} Ortak çarpanlar (x−5)(x-5), (x+5)(x+5) ve (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) birbirini götürür. Geriye sadece xx kalır.
Pay ve paydadaki aynı çarpanlar birbirini sadeleştirir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve üçüncü dereceden polinomların çarpanlara ayrılması.

İpuçları

1
İşleme başlamadan önce paydadaki (x2−25)(x^2 - 25) ifadesinin çarpanlarına (x−5x-5 ve x+5x+5) dikkat edin. Bu çarpanlardan biri pay kısmındaki x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesinin de bir çarpanı olabilir mi?
2
x=5x=5 değerini x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesinde yerine koyarak sonucun 0 olup olmadığını kontrol edin. Eğer 0 ise, (x−5)(x-5) bir çarpandır.
3
x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesini (x−5)(x-5)'e böldüğünüzde elde edeceğiniz bölüm x2+5x+6x^2 + 5x + 6 olacaktır. Bu ifade, ikinci kesrin paydasıyla aynıdır.

Daha Fazla Pratik

Üçüncü dereceden polinomların çarpanlara ayrılması konusunda daha fazla pratik yapmak için 'Polinomlarda Bölme' konusuna göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yapmak yerine, şıklardan giderek veya xx yerine tanım kümesine uygun basit bir sayı (örneğin x=1x=1) vererek sonuç kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem teorik öğrenmeyi desteklemez.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 34Soru →

3x2−753x^2 - 75 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3(x−5)(x+5)3(x - 5)(x + 5)

Cevap

Verilen ifade önce 3 ortak çarpan parantezine alınmalı, ardından elde edilen x2−25x^2 - 25 ifadesine iki kare farkı özdeşliği uygulanarak 3(x−5)(x+5)3(x - 5)(x + 5) sonucuna ulaşılmalıdır.
Verilen ifade 3 parantezine alındığında x2−25x^2 - 25 elde edilir. 25 sayısı 5'in karesi olduğu için bu ifade x2−52x^2 - 5^2 biçiminde bir iki kare farkıdır. Özdeşlik kuralına göre bu fark, terimlerin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak çarpanı belirle ve dışarı çıkar.
3(x2−25)3(x^2 - 25)
İfadedeki her iki terim de 3 sayısına tam bölünmektedir.
2
Parantez içindeki ifadeye iki kare farkı özdeşliğini uygula.
3(x−5)(x+5)3(x - 5)(x + 5)
x2−25x^2 - 25 ifadesi x2−52x^2 - 5^2 şeklinde yazılabildiğinden a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma ve İki Kare Farkı Özdeşliği

İpuçları

1
İfadedeki her iki terimin de 3 ile bölünüp bölünmediğine bakın.
2
3 parantezine aldıktan sonra parantez içinde kalan x2−25x^2 - 25 ifadesine odaklanın. 25 hangi sayının karesidir?
3
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) özdeşliğini kullanarak parantez içini çarpanlarına ayırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 2x2−182x^2 - 18 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyerek yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardaki ifadeleri tek tek dağıtarak hangisinin 3x2−753x^2 - 75 sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz, ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 35Soru →
a≠1a \neq 1 olmak üzere,
a6−1(a2+1)2−a2⋅a2+a+1a3−1 \frac{a^6 - 1}{(a^2 + 1)^2 - a^2} \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+1a + 1

Cevap

İfadenin en sade hâli a+1a + 1 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifade incelendiğinde, a6−1a^6-1 terimi (a3−1)(a3+1)(a^3-1)(a^3+1) olarak, paydadaki (a2+1)2−a2(a^2+1)^2-a^2 terimi ise a4+a2+1=(a2+a+1)(a2−a+1)a^4+a^2+1 = (a^2+a+1)(a^2-a+1) olarak çarpanlarına ayrılır. İfadedeki ortak çarpanlar olan (a3−1)(a^3-1) ve (a2+a+1)(a^2+a+1) sadeleştirildiğinde geriye (a3+1)/(a2−a+1)(a^3+1) / (a^2-a+1) kalır. Son olarak a3+1a^3+1 ifadesi (a+1)(a2−a+1)(a+1)(a^2-a+1) şeklinde açıldığında paydadaki terimle sadeleşir ve sonuç a+1a+1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a6−1a^6 - 1 ifadesini iki kare farkı yardımıyla çarpanlarına ayırın.
a6−1=(a3−1)(a3+1)a^6 - 1 = (a^3 - 1)(a^3 + 1)
Yüksek dereceli terimleri daha yönetilebilir parçalara ayırmak için temel özdeşliklerden faydalanılır.
2
Paydada yer alan (a2+1)2−a2(a^2 + 1)^2 - a^2 ifadesini açın ve düzenleyin.
a4+2a2+1−a2=a4+a2+1a^4 + 2a^2 + 1 - a^2 = a^4 + a^2 + 1
İfadeyi sadeleştirebilmek için terimleri polinom formatına getirmek gerekir.
3
a4+a2+1a^4 + a^2 + 1 ifadesini, terim ekleyip çıkarma yöntemiyle (veya iki kare farkı olarak) çarpanlarına ayırın.
a4+a2+1=(a2+a+1)(a2−a+1)a^4 + a^2 + 1 = (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)
a4+a2+1a^4 + a^2 + 1 ifadesi özdeşliklerden gelen özel bir çarpan yapısına sahiptir.
4
Tüm çarpanları ana ifadede yerine koyarak sadeleştirmeleri yapın.
(a3−1)(a3+1)(a2+a+1)(a2−a+1)⋅a2+a+1a3−1=a3+1a2−a+1\frac{(a^3 - 1)(a^3 + 1)}{(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} = \frac{a^3 + 1}{a^2 - a + 1}
Pay ve paydadaki ortak olan (a3−1)(a^3 - 1) ve (a2+a+1)(a^2 + a + 1) terimleri birbirini sadeleştirir.
5
Kalan a3+1a^3 + 1 ifadesini küpler toplamı özdeşliği ile açarak son sadeleştirmeyi gerçekleştirin.
(a+1)(a2−a+1)a2−a+1=a+1\frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1} = a + 1
a2−a+1a^2 - a + 1 çarpanları birbirini yok eder ve en sade sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

İki kare farkı, küp toplamı/farkı ve özel üç terimlilerin çarpanlarına ayrılması.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle x4+4x^4 + 4 ifadesini tam kareye tamamlayarak çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x+y=6 x + y = 6
x2y+y2x=18 \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen çarpımın değeri 6'dır.
Verilen rasyonel denklem düzenlendiğinde x3+y3=18xyx^3+y^3 = 18xy elde edilir. Küp toplamı özdeşliği (x+y)((x+y)2−3xy)(x+y)((x+y)^2 - 3xy) biçiminde yazılıp x+y=6x+y=6 değeri yerine konulduğunda, 6(36−3xy)=18xy6(36-3xy)=18xy denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde xy=6xy=6 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemde payda eşitlemesi yapılır.
x3+y3x⋅y=18  ⟹  x3+y3=18xy\frac{x^3 + y^3}{x \cdot y} = 18 \implies x^3 + y^3 = 18xy
Rasyonel ifadeleri tek bir kesir haline getirerek pay kısmında küp toplamı özdeşliğini yakalamak için.
2
İki küp toplamı özdeşliği (x3+y3x^3 + y^3) çarpanlarına ayrılır.
(x+y)(x2−xy+y2)=18xy(x+y)(x^2 - xy + y^2) = 18xy
Verilen x+yx+y değerini kullanabilmek için ifadeyi açmak gerekir.
3
Tam kare özdeşliğinden faydalanarak x2+y2x^2 + y^2 terimi x+yx+y cinsinden yazılır.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
Bu ifade önceki adımda yerine konulursa:
(x+y)((x+y)2−2xy−xy)=18xy(x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = 18xy
(x+y)((x+y)2−3xy)=18xy(x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 18xy
Denklemdeki bilinmeyen sayısını azaltmak ve sadece xyxy çarpımına bağlı bir denklem elde etmek için.
4
x+y=6x+y = 6 değeri denklemde yerine yazılır ve xyxy çözülür.
6(62−3xy)=18xy6(6^2 - 3xy) = 18xy
6(36−3xy)=18xy6(36 - 3xy) = 18xy
Eşitliğin her iki tarafı 6 ile bölünür:
36−3xy=3xy36 - 3xy = 3xy
36=6xy36 = 6xy
xy=6xy = 6
Sonuca ulaşmak için gerekli cebirsel işlemlerin tamamlanması.

Anahtar Kavram

İki Küp Toplamı ve Tam Kare Özdeşlikleri
Soru 37Soru →

aa ve bb gerçel sayıları için a≠−2ba \neq -2b olmak üzere,

a2−4b2−5a−10ba+2b=12 \frac{a^2 - 4b^2 - 5a - 10b}{a + 2b} = 12

olduğuna göre, a−2ba - 2b farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde a−2b−5=12a - 2b - 5 = 12 eşitliği elde edilir, buradan a−2b=17a - 2b = 17 bulunur.
Verilen kesrin payındaki a2−4b2a^2 - 4b^2 ifadesi iki kare farkı olarak (a−2b)(a+2b)(a-2b)(a+2b) şeklinde, −5a−10b-5a - 10b ifadesi ise −5(a+2b)-5(a+2b) şeklinde yazılır. Pay (a+2b)(a+2b) parantezine alındığında (a+2b)(a−2b−5)(a+2b)(a-2b-5) elde edilir. Paydadaki (a+2b)(a+2b) ile sadeleşen bu ifade a−2b−5a-2b-5 haline gelir. a−2b−5=12a-2b-5 = 12 denkleminden istenen a−2ba-2b farkı 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki terimleri gruplandırın.
(a2−4b2)−(5a+10b) (a^2 - 4b^2) - (5a + 10b)
İfadeyi çarpanlarına ayırabilmek için benzer terimleri bir araya getirmeliyiz.
2
İki kare farkı özdeşliğini ve ortak çarpan parantezi yöntemini uygulayın.
(a−2b)(a+2b)−5(a+2b) (a - 2b)(a + 2b) - 5(a + 2b)
a2−4b2=(a−2b)(a+2b)a^2 - 4b^2 = (a-2b)(a+2b) ve 5a+10b=5(a+2b)5a + 10b = 5(a+2b) olduğu için.
3
Payı (a+2b)(a + 2b) ortak parantezine alarak sadeleştirin.
(a+2b)(a−2b−5)a+2b=a−2b−5 \frac{(a + 2b)(a - 2b - 5)}{a + 2b} = a - 2b - 5
a+2b≠0a + 2b \neq 0 olduğu için pay ve paydadaki ortak çarpanlar birbirini götürür.
4
Elde edilen basit denklemi çözün.
a−2b−5=12⇒a−2b=17 a - 2b - 5 = 12 \Rightarrow a - 2b = 17
Eşitliğin sol tarafındaki -5 sayısını sağ tarafa işaretini değiştirerek (+5 olarak) geçirdiğimizde sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı ve Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
Pay kısmındaki terimleri ikişerli gruplandırarak başlayın.
2
İki kare farkı özdeşliğini (x2−y2x^2 - y^2) hatırlayın ve paydadaki ifadeyi çarpan olarak elde etmeye çalışın.
3
Payı (a+2b)(a+2b) parantezine aldığınızda paydadaki terimle sadeleşecektir; geriye kalan ifadeyi 12'ye eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde tam kare ifadeler içeren rasyonel sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 38Soru →

Matematiksel bir ifadede her terimde bulunan ortak sayı ve değişkenlerin parantez dışına alınması işlemine "ortak çarpan parantezine alma" denir.

Buna göre, 8x2y−12xy2 8x^2y - 12xy^2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4xy(2x - 3y)

Cevap

İfadenin en büyük ortak çarpanı belirlenerek yapılan çarpanlara ayırma sonucunda doğru biçim 4xy(2x−3y)4xy(2x - 3y) olarak bulunur.
Verilen 8x2y−12xy28x^2y - 12xy^2 ifadesinde, her iki terimi de bölebilen en büyük sayısal çarpan 4, en büyük değişken çarpanı ise xyxy olduğu için ifade 4xy(2x−3y)4xy(2x - 3y) şeklinde tam olarak çarpanlarına ayrılır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin katsayılarının en büyük ortak bölenini belirleyin.
8 ve 12 sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) 4'tür.
Katsayılar arasındaki en büyük ortak çarpanı bularak parantez dışına almak gerekir.
2
Değişkenlerin ortak olanlarını ve bu ortakların en küçük kuvvetlerini (üslerini) belirleyin.
x2yx^2y ve xy2xy^2 terimlerinde her iki değişkende (xx ve yy) ortaktır. En küçük üsler x1x^1 ve y1y^1 şeklindedir. Ortak değişken çarpanı xyxy olur.
Değişkenlerin parantez dışına alınabilmesi için her terimde en az o kuvvete kadar bulunması gerekir.
3
Katsayı ve değişkenlerden gelen ortak çarpanları birleştirerek ifadeyi paranteze alın.
4xy⋅(8x2y4xy−12xy24xy)=4xy(2x−3y)4xy \cdot ( \frac{8x^2y}{4xy} - \frac{12xy^2}{4xy} ) = 4xy(2x - 3y)
Her bir terim ortak çarpana bölünerek parantez içine yazılacak kalan ifadeler elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma

İpuçları

1
8 ve 12 sayılarının her ikisini de bölen en büyük sayıyı düşünün.
2
Değişkenlere bakın; her iki terimde de ortak olan xx ve yy harflerinden üssü en küçük olanları parantez dışına seçin.
3
Ortak çarpanı 4xy4xy olarak belirledikten sonra, her terimi bu değere bölerek parantez içine ne yazmanız gerektiğini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle 15a2b+10ab215a^2b + 10ab^2 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 39Soru →

x≠1x \neq 1 ve x≠−1x \neq -1 olmak üzere,

x4+x2+1x3+1÷x2+x+1x2−1 \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^3 + 1} \div \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−1x - 1

Cevap

x−1x - 1 ifadesi en sade halidir.
Verilen rasyonel ifadede pay ve payda kısımları çarpanlarına ayrıldığında, x4+x2+1x^4 + x^2 + 1 ifadesi (x2+x+1)(x2−x+1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) şeklinde açılır. Paydadaki x3+1x^3 + 1 ise (x+1)(x2−x+1)(x + 1)(x^2 - x + 1) olarak yazılır. Bölme işleminin ikinci kısmı ters çevrildiğinde (x−1)(x+1)(x - 1)(x + 1) paya, x2+x+1x^2 + x + 1 ise paydaya geçer. Sadeleştirmeler sonucunda geriye sadece x−1x - 1 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
x4+x2+1x^4 + x^2 + 1 ifadesini çarpanlarına ayırın.
x4+x2+1=(x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1)x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
Terim ekleyip çıkarma ve iki kare farkı özdeşliği kullanılarak bu karmaşık ifade sadeleştirilebilir hale getirilir.
2
x3+1x^3 + 1 ve x2−1x^2 - 1 ifadelerini açın.
x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) ve x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
İki küp toplamı ve iki kare farkı temel özdeşlikleridir.
3
Bölme işlemini ters çevirip çarpın ve sadeleştirin.
(x2+x+1)(x2−x+1)(x+1)(x2−x+1)⋅(x−1)(x+1)x2+x+1=x−1 \frac{(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2 + x + 1} = x - 1
Pay ve paydadaki ortak çarpanlar (x2−x+1)(x^2 - x + 1), (x2+x+1)(x^2 + x + 1) ve (x+1)(x + 1) birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Çarpanlara Ayırma (Üç terimli ifadeleri tam kareye tamamlama ve temel özdeşlikler)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 40Soru →

Bir kamu kurumu için geliştirilen finansal analiz modelinde xx planlanan bütçeyi, yy ise gerçekleşen harcamayı temsil etmektedir (x>y>0x > y > 0).

Bu model kapsamında hesaplanan;
x2−xy+4x−4yx2−y2:x+4x2+xy \frac{x^2 - xy + 4x - 4y}{x^2 - y^2} : \frac{x + 4}{x^2 + xy}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x

Cevap

İfadenin en sade hali x değeridir.
Verilen cebirsel ifadede pay kısmı gruplandırılarak (x−y)(x+4)(x-y)(x+4) şeklinde, payda ise iki kare farkından (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) şeklinde yazılır. Bölme işlemi gereği ikinci kesir ters çevrildiğinde payda olan x(x+y)x(x+y) paya geçer. Tüm çarpanlar (x−y,x+y,x+4x-y, x+y, x+4) sadeleştiğinde geriye sadece xx çarpanı kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki x2−xy+4x−4yx^2 - xy + 4x - 4y ifadesini gruplandırarak çarpanlarına ayır.
x(x−y)+4(x−y)=(x−y)(x+4)x(x - y) + 4(x - y) = (x - y)(x + 4)
Dört terimli ifadelerde ortak çarpan parantezine almak için gruplandırma yöntemi kullanılır.
2
Paydadaki x2−y2x^2 - y^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayır.
(x−y)(x+y)(x - y)(x + y)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) özdeşliği uygulanır.
3
İkinci kesrin paydasındaki x2+xyx^2 + xy ifadesini ortak çarpan parantezine al.
x(x+y)x(x + y)
x ortak çarpanı dışarı alınır.
4
Bölme işlemini çarpma işlemine dönüştür (ikinci kesri ters çevirip çarp) ve sadeleştir.
(x−y)(x+4)(x−y)(x+y)⋅x(x+y)x+4=x\frac{(x - y)(x + 4)}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{x(x + y)}{x + 4} = x
Pay ve paydadaki (x−y)(x - y), (x+4)(x + 4) ve (x+y)(x + y) çarpanları birbirini sadeleştirir.

Anahtar Kavram

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Gruplandırma Yöntemi
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Çarpanlara Ayırma Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin