Oran ve Orantı Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir ilçe nüfus müdürlüğünde bir iş günü içerisinde işleme alınan pasaport, kimlik kartı ve sürücü belgesi başvurularının sayıları sırasıyla $3$ , $4$ ve $5$ ile ters orantılıdır. Bu müdürlükte bir günde toplam $940$ başvuru işleme alındığına göre, düzenlenen kimlik kartı başvurusu sayısı kaçtır?

400

300

240

320

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Düzenlenen kimlik kartı başvurusu sayısı 300'dür.

Ters orantı mantığına göre, her bir başvuru türünün sayısı ile orantılı olduğu sayının çarpımı sabit bir

k

değerine eşittir. Bu durumda pasaport sayısı

k/3

, kimlik sayısı

k/4

ve sürücü belgesi sayısı

k/5

olur. Bu değerlerin toplamı

940

'a eşitlendiğinde orantı sabiti

1200

bulunur. İstenen kimlik kartı sayısı ise

1200/4 = 300

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Başvuru sayılarını orantı sabiti cinsinden tanımlama

3 \cdot P = 4 \cdot K = 5 \cdot S = k

(Burada

P

: Pasaport,

K

: Kimlik,

S

: Sürücü Belgesi)

Ters orantılı çoklukların çarpımları sabittir.

2

Değişkenleri

k

cinsinden ifade etme

P = \frac{k}{3}

,

K = \frac{k}{4}

,

S = \frac{k}{5}

Denklemi tek bilinmeyene indirgemek için her bir terim orantı sabitine bölünür.

3

Toplam başvuru sayısı denklemini kurma

\frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{5} = 940

Soruda verilen toplam başvuru sayısı 940 olarak belirtilmiştir.

4

Payda eşitleyip orantı sabitini (

k

) bulma

LCM(3, 4, 5) = 60 \implies \frac{20k + 15k + 12k}{60} = 940 \implies \frac{47k}{60} = 940 \implies k = 1200

Rasyonel ifadelerde toplama yapmak için ortak payda kullanılır.

5

Kimlik kartı başvuru sayısını hesaplama

K = \frac{1200}{4} = 300

İstenen değer olan kimlik kartı sayısı orantı sabitinin 4'e bölümüdür.

Anahtar Kavram

Ters orantılı çoklukların toplamı problemleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 22Soru →

Bir Bakanlık, performans değerlendirmesi sonucunda üç farklı il müdürlüğüne (A, B ve C), denetim raporlarında tespit edilen 'kritik bulgu sayısı' ile ters orantılı olacak şekilde toplam 1550 adet ek personel kadrosu tahsis etmiştir. A, B ve C müdürlüklerinin raporlarındaki kritik bulgu sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, en fazla kadro tahsisi yapılan müdürlük ile en az kadro tahsisi yapılan müdürlük arasındaki fark kaçtır?

350

450

465

500

750

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 450

Cevap

En fazla ve en az kadro alan müdürlükler arasındaki fark 450'dir.

Bulgu sayıları (2, 3, 5) ile ters orantılı dağıtım yapıldığında; A birimi

\frac{1}{2}

, B birimi

\frac{1}{3}

, C birimi

\frac{1}{5}

ile orantılı pay alır. Bu kesirleri tam sayıya çevirmek için 2, 3 ve 5'in ortak katı olan 30 ile genişletirsek paylar sırasıyla 15k, 10k ve 6k olur. Toplam 31k = 1550 olduğundan k = 50 bulunur. En yüksek pay 15k = 750, en düşük pay 6k = 300'dür. Aralarındaki fark 450 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Orantı türünü belirle ve matematiksel ifadeye dök.

Ters orantı olduğu için paylar:

\frac{k}{2}

,

\frac{k}{3}

,

\frac{k}{5}

şeklindedir.

Ters orantıda çoklukların çarpımı sabittir (

2 \cdot A = 3 \cdot B = 5 \cdot C = K

).

2

Kesirli ifadelerden kurtulmak için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bul ve payları tam sayı cinsinden ifade et.

EKOK(2, 3, 5) = 30. Paylar: A = 15x, B = 10x, C = 6x.

İşlem kolaylığı sağlamak için

K

orantı sabiti yerine

30x

kullanmak kesirlerle uğraşmayı engeller.

3

Toplam kadro sayısı üzerinden orantı birimini (x) hesapla.

15x + 10x + 6x = 31x

.

31x = 1550

ise

x = 50

.

Tüm payların toplamı verilen toplam kadro sayısına eşittir.

4

En fazla ve en az alan birimlerin paylarını hesapla ve farkı bul.

En fazla (A):

15 \cdot 50 = 750

. En az (C):

6 \cdot 50 = 300

. Fark:

750 - 300 = 450

.

Soru kökünde bu iki değerin farkı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Ters Orantı Problemleri

İpuçları

1

Ters orantı problemlerinde

A \cdot 2 = B \cdot 3 = C \cdot 5 = K

eşitliğini kurarak başlayın.

2

Kesirlerle uğraşmamak için 2, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulun ve her bir birimin payını bu kat üzerinden ifade edin. (EKOK(2,3,5) = 30).

3

Birimin paylarını 15k, 10k ve 6k olarak belirleyin. Bunların toplamı (31k) 1550'ye eşittir. Buradan k değerini bulup farkı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, sayıları değiştirip 'doğru orantılı' olarak sorarak iki kavram arasındaki farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Toplam pay sayısı üzerinden gitmek yerine birim pay hesabı:

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5} = \frac{15+10+6}{30} = \frac{31}{30}

. Toplam miktar

1550 = 31 \text{ birim}

. 1 birim = 50. Fark (15-6)=9 birim.

9 \times 50 = 450

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 23Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv dairesinde bulunan dosya klasörlerinin sayısının, evrak raflarının sayısına oranı $\frac{8}{3}$ olarak belirlenmiştir. Bu arşivde toplam $15$ adet evrak rafı bulunduğuna göre, dosya klasörlerinin sayısı kaçtır?

11

5

40

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Arşivdeki dosya klasörlerinin sayısı 40'tır.

Verilen oran

\frac{8}{3}

olduğuna göre, her

3

raf için

8

dosya klasörü bulunmaktadır. Raf sayısı

15

olduğuna göre, bu

3

sayısının

5

katıdır (

15 = 3 \times 5

). Orantının bozulmaması için dosya sayısı da

8

sayısının

5

katı olmalıdır (

8 \times 5 = 40

).

Adım Adım Çözüm

1

Oran orantı denklemini kurunuz.

\frac{\text{Dosya Klasörü Sayısı}}{\text{Evrak Rafı Sayısı}} = \frac{8}{3}

Soruda verilen oran, iki çokluk arasındaki ilişkiyi gösterir.

2

Bilinen değeri (evrak rafı sayısı = 15) denklemde yerine yazınız.

\frac{x}{15} = \frac{8}{3}

Bilinmeyen dosya klasörü sayısına

x

diyerek denklem oluşturulur.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyeni bulunuz.

3 \cdot x = 8 \cdot 15 \Rightarrow 3x = 120 \Rightarrow x = 40

Doğru orantılı çokluklarda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Oran, iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır. İki oranın eşitliğine ise orantı denir.

İpuçları

1

Dosya sayısı ile raf sayısı arasında doğru orantı olduğunu unutmayın.

2

Raf sayısı olan

15

, orandaki payda olan

3

'ün kaç katıdır?

3

\frac{x}{15} = \frac{8}{3}

denkleminde içler dışlar çarpımı yaparak

x

değerini yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, toplam personel sayısı verilip bir grubun sayısı istendiğinde

2k + 7k = 9k

mantığını kullanmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Kat yöntemi:

3k = 15

ise

k = 5

bulunur. Dosya sayısı

8k

olduğu için

8 \times 5 = 40

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:45s

Soru 24Soru →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt memuru olarak görev yapan bir personel, $12$ adet dilekçeyi $40$ dakikada sisteme kaydedebilmektedir. Bu personel aynı çalışma hızıyla, $100$ dakikalık çalışma süresi boyunca toplam kaç adet dilekçeyi sisteme kaydedebilir?

24

30

36

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Personel 100 dakikada toplam 30 adet dilekçe kaydedebilir.

Dilekçe sayısı ile süre arasında doğru orantı vardır.

12

dilekçe

40

dakikada yapılıyorsa,

1

dilekçe için

40/12

değil, her

10

dakikada

3

dilekçe yapıldığı görülür (

12/4 = 3

ve

40/4 = 10

). Bu durumda

100

dakika,

10

dakikanın

10

katı olduğu için dilekçe sayısı da

3

'ün

10

katı olan

30

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgiler doğrultusunda doğru orantı denklemini kurun.

\frac{12 \text{ dilekçe}}{40 \text{ dakika}} = \frac{x \text{ dilekçe}}{100 \text{ dakika}}

Dilekçe sayısı arttıkça geçen sürenin de aynı oranda artması gerektiği için doğru orantı kullanılır.

2

Denklemdeki oranları sadeleştirerek işlemi kolaylaştırın.

\frac{3}{10} = \frac{x}{100}

12 ve 40 sayılarını 4 ile sadeleştirerek daha küçük sayılarla işlem yapmak hata payını azaltır.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyen

x

değerini hesaplayın.

10 \times x = 3 \times 100 \Rightarrow 10x = 300 \Rightarrow x = 30

Orantının temel özelliği gereği içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Doğru Orantı ve Orantı Kurma

İpuçları

1

İş miktarı (dilekçe sayısı) ile geçen süre arasındaki ilişkiyi düşünün. Süre arttıkça kayıt edilen dilekçe sayısı da artar mı?

2

Verilen değerlerle bir doğru orantı tablosu veya denklemi oluşturun:

12

dilekçeye

40

dakika geliyorsa,

x

dilekçeye

100

dakika gelir.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak

\frac{12}{40} = \frac{x}{100}

denklemini çözün. Sadeleştirme yapmak işinizi kolaylaştıracaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, dilekçe sayısının sabit tutulup sürenin sorulduğu bir kurguyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Birim süre yöntemini kullanabilirsiniz.

12

dilekçe

40

dakikada kaydediliyorsa,

10

dakikada

12 \div 4 = 3

dilekçe kaydedilir.

100

dakika

10

dakikanın

10

katı olduğu için,

3 \times 10 = 30

dilekçe kaydedilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 25Soru →

Bir kamu kurumunun kırtasiye deposunda bulunan kurşun kalemlerin sayısının, tükenmez kalemlerin sayısına oranı $\frac{3}{5}$ 'tir. Bu depoda $45$ tane kurşun kalem olduğuna göre, tükenmez kalemlerin sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

15

27

60

75

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $75$

Cevap

Depodaki tükenmez kalemlerin sayısı

75

'tir.

Verilen oran

\frac{3}{5}

olduğu için kurşun kalemlerin miktarı

3k

, tükenmez kalemlerin miktarı ise

5k

ile temsil edilebilir.

3k = 45

olduğundan

k = 15

bulunur. Buradan tükenmez kalemlerin sayısı

5 \times 15 = 75

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranı matematiksel olarak ifade edin.

\frac{\text{Kurşun Kalem Sayısı}}{\text{Tükenmez Kalem Sayısı}} = \frac{3}{5}

Oran, iki çokluğun miktar olarak karşılaştırılmasını sağlar.

2

Bilinen değeri yerine yazarak bir orantı kurun.

\frac{45}{x} = \frac{3}{5}

(burada

x

tükenmez kalem sayısıdır)

Verilen kurşun kalem sayısını (

45

) pay kısmına yerleştirerek bilinmeyenle ilişkilendiririz.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyeni yalnız bırakın.

3 \times x = 45 \times 5

\Rightarrow

3x = 225

Orantıdaki temel özellik olan içler dışlar çarpımı, denklemi çözmemize yardımcı olur.

4

Eşitliğin her iki tarafını

3

'e bölün.

x = \frac{225}{3} = 75

Bilinmeyen

x

değerini bulmak için çarpanı karşı tarafa bölü olarak geçiririz.

Anahtar Kavram

İki çokluğun birbirine bölünmesine oran denir. İki oranın eşitliğine ise orantı adı verilir.

İpuçları

1

Oran, iki sayının birbirine bölümüdür. Burada Kurşun / Tükenmez =

3/5

olarak verilmiştir.

2

3

birime

45

kalem düşüyorsa,

1

birime kaç kalem düştüğünü bulun.

3

3

ile hangi sayıyı çarparsak

45

eder? Aynı sayıyı

5

ile çarparak tükenmez kalem sayısını bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Bu kalemlerin toplam sayısını bulmak için bulduğunuz tükenmez kalem sayısını kurşun kalem sayısıyla toplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kat ilişkisini kullanabilirsiniz:

3

sayısı

45

olması için

15

ile çarpılmıştır. Orantının bozulmaması için paydadaki

5

sayısı da

15

ile çarpılmalıdır:

5 \times 15 = 75

.

Tahmini Süre:45s

Soru 26Soru →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, acil sağlık hizmetlerini güçlendirmek amacıyla üç farklı bölgeye (K, L ve M) toplam 120 adet tam donanımlı ambulans tahsis edecektir. Ambulansların bölgelere dağılımı, ilgili bölgelerin nüfus yoğunlukları olan 5, 6 ve 8 sayıları ile doğru orantılı; mevcut istasyon sayıları olan 2, 4 ve 3 sayıları ile ters orantılı olacak şekilde planlanmıştır.

Buna göre, en fazla ambulans tahsis edilen bölge ile en az ambulans tahsis edilen bölge arasındaki fark kaçtır?

15

18

21

24

27

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En fazla ambulans alan M bölgesi (48) ile en az alan L bölgesi (27) arasındaki fark 21'dir.

Soruda verilen bilgilere göre, ambulans sayıları nüfus yoğunluğu ile doğru, istasyon sayısı ile ters orantılıdır. Bu durumda K bölgesi için

K = k \cdot \frac{5}{2}

, L bölgesi için

L = k \cdot \frac{6}{4} = k \cdot \frac{3}{2}

ve M bölgesi için

M = k \cdot \frac{8}{3}

eşitlikleri kurulur. Paydaları eşitlemek için (EKOK=6) genişletme yapıldığında oranlar

K \propto 15

,

L \propto 9

ve

M \propto 16

olur. Toplam oran

15+9+16=40

kattır.

40 \text{ kat} = 120

ise

1 \text{ kat} = 3

olur. En fazla alan M (

16 \times 3 = 48

), en az alan L (

9 \times 3 = 27

) dir. Fark

48 - 27 = 21

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen orantı ilişkilerini matematiksel olarak ifade et.

K = k * (5/2), L = k * (6/4), M = k * (8/3)

Doğru orantı paya, ters orantı paydaya yazılır.

2

Kesirli ifadeleri tam sayıya çevirmek için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bul ve genişlet.

EKOK(2, 4, 3) = 12. Genişletilmiş oranlar: K -> 30k, L -> 18k, M -> 32k. Sadeleştirilmiş hali: K=15x, L=9x, M=16x.

İşlemleri tam sayılarla yapmak hata riskini azaltır.

3

Toplam ambulans sayısını kullanarak orantı sabiti x'i bul.

15x + 9x + 16x = 120 -> 40x = 120 -> x = 3.

Toplam parça sayısını bütüne eşitleyerek birim değeri bulmak gerekir.

4

Her bölgeye düşen ambulans sayısını hesapla.

K = 15*3 = 45, L = 9*3 = 27, M = 16*3 = 48.

Birim değer ile bölge katsayılarını çarparak gerçek sayıları buluruz.

5

En fazla ve en az alan bölgeleri belirleyip farkı al.

En fazla: M (48), En az: L (27). Fark: 48 - 27 = 21.

Sorunun bizden istediği nihai sonuç.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı (Doğru ve Ters Orantı Birlikte)

İpuçları

1

Bir çokluk

x

ile doğru,

y

ile ters orantılı ise bu çokluk

k \cdot \frac{x}{y}

şeklinde ifade edilir.

2

Bölgelerin paylarını

\frac{5}{2}

,

\frac{6}{4}

ve

\frac{8}{3}

kesirleri ile orantılı düşünün. İşlem kolaylığı için bu kesirleri tam sayı yapacak bir sayıyla genişletin.

Daha Fazla Pratik

Bileşik orantı problemlerinde payda eşitleme pratiği için kesirli katsayılar içeren benzer sorular çözünüz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 27Soru →

Bir kamu kurumu, proje destek bütçesini A, B ve C birimlerine sırasıyla 3, 4 ve 6 sayıları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırmayı planlamıştır. Ancak yapılan bir değerlendirme sonucunda, bu bütçenin aynı sayılarla doğru orantılı olarak paylaştırılmasına karar verilmiştir. Bu değişiklik sonucunda A birimine düşen payın 25.000 TL azaldığı görülmüştür. Buna göre, dağıtılan toplam bütçe kaç Türk Lirasıdır?

99.000

108.000

117.000

126.000

144.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 117.000

Cevap

Dağıtılan toplam bütçe 117.000 TL'dir.

Sorunun çözümü için hem ters orantı hem de doğru orantı mantığının aynı toplam miktar üzerinde kurulması gerekir. İlk durumda (ters orantı), 3, 4 ve 6 ile ters orantılı paylaşım yapıldığında A'nın payı toplamın 4/9'u olur. İkinci durumda (doğru orantı), aynı sayılarla doğru orantılı paylaşım yapıldığında A'nın payı toplamın 3/13'ü olur. Bu iki değer arasındaki farkın 25.000 TL olduğu bilgisini kullanarak kurulan

(4/9 - 3/13)T = 25.000

denklemi, toplam bütçenin 117.000 TL olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Ters orantı durumunda (İlk Durum) payların oranını hesapla.

3, 4, 6 ile ters orantılı paylar: k/3, k/4, k/6. Paydalar 12'de eşitlenir: 4k/12, 3k/12, 2k/12. Paylar sırasıyla 4, 3 ve 2 ile orantılıdır. Toplam pay birimi: 4+3+2 = 9 birim. A biriminin payı = (4/9) * Toplam.

Ters orantıda sayılar çarpım durumundadır (3A = 4B = 6C), bu da payların sayıların katları tersine (EKOK üzerinden) orantılı olması demektir.

2

Doğru orantı durumunda (İkinci Durum) payların oranını hesapla.

3, 4, 6 ile doğru orantılı paylar sırasıyla 3, 4 ve 6 birimdir. Toplam pay birimi: 3+4+6 = 13 birim. A biriminin payı = (3/13) * Toplam.

Doğru orantıda paylar sayılarla direkt kat ilişkisindedir (A/3 = B/4 = C/6).

3

İki durum arasındaki fark denklemini kur ve toplam bütçeyi (T) çöz.

A'nın payı azaldığına göre: (4/9)T - (3/13)T = 25.000. Payda eşitle (117): (52T - 27T)/117 = 25.000 → 25T/117 = 25.000. 25'ler sadeleşir: T/117 = 1.000 → T = 117.000 TL.

Soruda verilen '25.000 TL azaldı' bilgisi iki durum arasındaki farkı ifade eder.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı Problemleri

İpuçları

1

Önce toplam bütçeye 'T' deyip, her iki durum için A biriminin alacağı payı T cinsinden kesirli olarak ifade etmeye çalışın.

2

Ters orantı durumunda paylar 1/3, 1/4 ve 1/6 ile orantılıdır. Paydaları 12'de eşitleyerek payların 4, 3 ve 2 ile doğru orantılı olduğunu bulabilirsiniz.

3

İlk durumda A'nın payı toplamın 4/9'u, ikinci durumda ise 3/13'üdür. Bu iki kesir arasındaki farkı (4/9 - 3/13) bulup 25.000'e eşitleyerek toplamı bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, üç kişi yerine iki kişi ve 'biri artarken diğeri azalır' mantığıyla kurgulayan bir problemi çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam bütçeye, hem ters orantıdaki paydaların toplamı (9) hem de doğru orantıdaki paydaların toplamı (13) ile bölünebilen bir sayı (örneğin 117x) vererek işlem yapmak kesirlerden kurtulmanızı sağlar.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 28Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, kültürel etkinlikler kapsamında üç farklı semt kütüphanesine ( $K$ , $L$ ve $M$ ) toplam $700$ adet yeni kitap dağıtacaktır. Bu dağıtımla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $K$ kütüphanesine verilen kitap sayısının $L$ kütüphanesine oranı $\frac{2}{3}$ 'tür.
* $L$ kütüphanesine verilen kitap sayısının $M$ kütüphanesine oranı $\frac{4}{5}$ 'tir.

Buna göre, $L$ kütüphanesine dağıtılan kitap sayısı kaçtır?

160

210

240

280

300

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

L kütüphanesine dağıtılan kitap sayısı 240'tır.

Verilen iki farklı oran birleştirildiğinde kütüphanelerin aldığı paylar sırasıyla 8, 12 ve 15 ile orantılıdır. Toplam 35 birimlik pay 700 kitaba karşılık geldiği için 1 birimlik pay 20 kitaba eşittir. Bu durumda 12 birimlik paya sahip olan kütüphane 240 kitap alır.

Adım Adım Çözüm

1

Oranları ortak terim olan

L

üzerinden eşitleyiniz.

\frac{K}{L} = \frac{2}{3}

ve

\frac{L}{M} = \frac{4}{5}

oranlarında

L

'nin karşısındaki sayıları (

3

ve

4

)

12

'de eşitlemek için birinci oranı

4

ile, ikinci oranı

3

ile genişletiriz:

\frac{K}{L} = \frac{8}{12}

ve

\frac{L}{M} = \frac{12}{15}

.

Üç değişken arasındaki ilişkiyi tek bir orantı sabiti (

k

) ile ifade edebilmek için ortak değişkeni eşitlemek gerekir.

2

Kütüphanelerin aldığı miktarları

k

cinsinden belirleyiniz.

K = 8k

,

L = 12k

ve

M = 15k

olarak tanımlanır.

Eşitlenen oranlar sayesinde tüm kütüphaneler aynı orantı sabitine bağlanmış olur.

3

Toplam kitap sayısını kullanarak orantı sabitini (

k

) bulunuz.

8k + 12k + 15k = 35k = 700

ise

k = \frac{700}{35} = 20

olur.

Verilen toplam miktar, parçaların toplamına eşittir.

4

Soruda istenen kütüphanenin (

L

) miktarını hesaplayınız.

L = 12k = 12 \times 20 = 240

.

L

kütüphanesinin orantıdaki payı

12

birimdir.

Anahtar Kavram

İkili oranları birleştirme ve toplam miktar üzerinden parça değerini bulma.

İpuçları

1

Her iki oranda da bulunan ortak kütüphaneyi (L) bulun ve oranlardaki değerlerini eşitleyin.

2

L'nin karşısındaki 3 ve 4 sayılarını EKOK(3,4) = 12 olacak şekilde genişletin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, en çok alan ile en az alan arasındaki farkı bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 29Soru →

Toplam 1.170 TL tutarındaki bir prim, performans puanları 3, 4 ve 6 olan üç personel arasında, puanları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılmıştır. Eğer bu prim, puanlar ile doğru orantılı olarak paylaştırılsaydı, ilk durumda en yüksek primi alan personelin eline geçen miktar nasıl değişirdi?

250 TL azalır

280 TL artar

250 TL artar

30 TL azalır

270 TL azalır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250 TL azalır

Cevap

İlk durumda en yüksek primi alan personelin payı 250 TL azalır.

Soruda iki farklı paylaşım senaryosu kıyaslanmaktadır. İlk senaryoda (Ters Orantı), paylar 3, 4 ve 6 ile ters orantılı olduğu için payda eşitlemesiyle sırasıyla 4k, 3k ve 2k oranları bulunur. 1170 TL, 9 parçaya bölündüğünde parça başı 130 TL düşer; en yüksek payı 4k (520 TL) ile 3 puanlı personel alır. İkinci senaryoda (Doğru Orantı), paylar 3m, 4m ve 6m olur. 1170 TL, 13 parçaya bölündüğünde parça başı 90 TL düşer; aynı personel 3m (270 TL) alır. Aradaki fark 520 - 270 = 250 TL'dir ve miktar azalmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Ters orantı hesabını yap

Paylar k/3, k/4 ve k/6 ile orantılıdır. Paydalar 12'de eşitlenirse paylar sırasıyla 4, 3 ve 2 kat olur. Toplam kat: 4k + 3k + 2k = 9k.

Ters orantıda sayılar çarpım durumundadır (3a = 4b = 6c). En küçük ortak katları 12 olduğundan a=4k, b=3k, c=2k olur.

2

İlk durumdaki payları hesapla

9k = 1170 ⇒ k = 130. Paylar: 4x130=520 TL, 3x130=390 TL, 2x130=260 TL. En yüksek payı alan: 520 TL ile 3 puanlı personel.

Toplam tutarı toplam birim sayısına bölerek birim değeri buluruz.

3

Doğru orantı hesabını yap

Paylar 3, 4 ve 6 ile doğru orantılıdır. Toplam kat: 3m + 4m + 6m = 13m.

Doğru orantıda sayılar bölüm durumundadır.

4

İkinci durumdaki payları hesapla

13m = 1170 ⇒ m = 90. Paylar: 3x90=270 TL, 4x90=360 TL, 6x90=540 TL.

Aynı personel (3 puanlı) bu durumda 3m = 270 TL alır.

5

Değişimi hesapla

İlk durum: 520 TL. İkinci durum: 270 TL. Fark: 520 - 270 = 250 TL azalır.

Soruda belirtilen 'ilk durumda en yüksek payı alan' kişi için kıyaslama yapılır.

Anahtar Kavram

Ters ve Doğru Orantı İlişkisi

İpuçları

1

Ters orantı kurarken sayıların çarpımının sabit (k) olduğunu hatırlayın: 3a = 4b = 6c = k.

2

Ters orantı için katsayıları bulmak adına 3, 4 ve 6'nın en küçük ortak katını (EKOK) kullanın. Doğru orantı için ise sayıları direkt katsayı olarak toplayın.

3

İlk durumda toplam pay 9 birim (4+3+2), ikinci durumda 13 birimdir (3+4+6). Her iki durumda da toplam para 1.170 TL'dir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam miktar verilmeden 'payın yüzde kaçı değişirdi?' şeklinde sorarak yüzde problemlerini tekrar edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Payların oranlarını kesir olarak yazıp farkı bulabilirsiniz: İlk durumda A kişisi toplamın 4/9'unu, ikinci durumda 3/13'ünü alır. Fark: 1170 x (4/9 - 3/13) işlemiyle de bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 30Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan mimar sayısının mühendis sayısına oranı $\frac{2}{3}$ 'tür. Bu kurumda $12$ mimar çalıştığına göre, mühendis sayısı kaçtır?

8

10

15

18

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Kurumda çalışan mühendis sayısı 18'dir.

Verilen orana göre mimar sayısı

2k

, mühendis sayısı ise

3k

ile temsil edilebilir.

2k = 12

olduğu bilgisi kullanıldığında oran sabiti

k = 6

olarak bulunur. Bu durumda mühendis sayısı olan

3k

ifadesi

3 \times 6 = 18

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranı bir kesir ifadesi olarak yazın.

\frac{\text{Mimar sayısı}}{\text{Mühendis sayısı}} = \frac{2}{3}

Soruda mimar sayısının mühendis sayısına oranının

\frac{2}{3}

olduğu belirtilmiştir.

2

Bilinen mimar sayısını orantıda yerine yerleştirin.

\frac{12}{x} = \frac{2}{3}

Mimar sayısı 12 olarak verildiği için pay kısmına bu değeri, bilinmeyen mühendis sayısına ise

x

yazdık.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi kurun.

2 \times x = 12 \times 3

Orantı özelliğine göre içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

4

Bilinmeyen mühendis sayısını bulmak için denklemi çözün.

2x = 36 \implies x = 18

Her iki tarafı 2'ye bölerek mühendis sayısına ulaştık.

Anahtar Kavram

Oran ve Orantı Tanımı

İpuçları

1

Mimar ve mühendis sayıları arasındaki ilişkiyi

\frac{\text{Mimar}}{\text{Mühendis}} = \frac{2}{3}

şeklinde bir eşitlik olarak yazın.

2

Yazdığınız eşitlikte 'Mimar' yerine 12 yazıp mühendis sayısı için içler dışlar çarpımı yapın.

3

2 birime 12 kişi düşüyorsa, 1 birime kaç kişi düştüğünü bulun ve bu değeri 3 ile çarpın.

Daha Fazla Pratik

Oran sabitini bulmayı öğrendikten sonra, toplam personel sayısının sorulduğu soruları çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kat yöntemi: Mimar sayısı

2k = 12

ise her bir 'kat' (k) için

6

kişi düşer. Mühendis sayısı

3k

olduğuna göre

3 \times 6 = 18

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 31Soru →

Bir kamu personeli seçme sınavında başarılı olan adayların sayısının, başarısız olan adayların sayısına oranı $\frac{3}{7}$ olarak belirlenmiştir. Bu sınavda başarısız olan aday sayısı $210$ olduğuna göre, sınava giren toplam aday sayısı kaçtır?

300

90

490

700

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Sınava giren toplam aday sayısı 300'dür.

Verilen

\frac{3}{7}

oranı doğrultusunda başarılı adaylar 3 birim (

3k

), başarısız adaylar ise 7 birim (

7k

) olarak temsil edilir. 7 birimlik başarısız aday sayısı 210 ise, her bir birim (orantı sabiti

k

) 30 adaya karşılık gelir. Toplam aday sayısı 10 birim (

3k + 7k

) olduğu için

10 \times 30 = 300

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Orantı sabitini (

k

) kullanarak aday sayılarını ifade edin.

Başarılı aday sayısı

3k

, başarısız aday sayısı

7k

olur.

Verilen

\frac{3}{7}

oranı, her 3 başarılı adaya karşılık 7 başarısız aday olduğunu gösterir.

2

Verilen başarısız aday sayısını kullanarak

k

değerini bulun.

7k = 210 \Rightarrow k = 30

.

Soruda başarısız aday sayısının 210 olduğu belirtilmiştir.

3

Toplam aday sayısını birim cinsinden belirleyin ve hesaplayın.

Toplam aday sayısı

= 3k + 7k = 10k

.

10 \times 30 = 300

.

Sınava giren toplam kişi sayısı, başarılı ve başarısız olanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Oran, iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasıdır; orantı ise bu oranların eşitliğidir.

İpuçları

1

Oran

\frac{3}{7}

ise başarılılara

3k

, başarısızlara

7k

diyerek başlayabilirsiniz.

2

Başarısızların sayısı (

7k

) 210 olarak verilmiş. Buradan

k

değerini bulmayı deneyin.

3

k

değerini bulduktan sonra, toplam aday sayısının

3k + 7k = 10k

olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda orantı verildiğinde, bir miktar yerine 'fark' verilseydi (örneğin başarılı ve başarısızlar arasındaki fark),

7k - 3k = 4k

üzerinden işlem yapmanız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Doğru orantı kurarak: 7 birim 210 kişi ise, 10 birim (toplam) x kişidir şeklinde içler dışlar çarpımı yapabilirsiniz:

7x = 10 \times 210 \Rightarrow x = 300

.

Tahmini Süre:45s

Soru 32Soru →

Bir belediyenin park ve bahçeler birimi, üç farklı parka (K, L ve M) toplam 620 adet fidan dikecektir. Dikilecek fidan sayıları sırasıyla; 2 dönümlük K parkının alanı ile doğru, 3 dönümlük L parkının alanı ile ters ve 4 dönümlük M parkının alanı ile ters orantılıdır. Buna göre, L parkına kaç adet fidan dikilecektir?

60

80

120

240

480

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

L parkına 80 adet fidan dikilecektir.

Soruda verilen orantı türlerine göre denklemler kurulur: K doğru orantılı olduğu için 2k, L ters orantılı olduğu için k/3 ve M ters orantılı olduğu için k/4 şeklinde ifade edilir. Toplam fidan sayısı 620 olduğundan, bu ifadelerin toplamı 620'ye eşitlenir. Kurulan denklemden orantı sabiti k=240 bulunur. Soruda L parkı sorulduğu için k/3 değeri hesaplanır ve 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Orantı ilişkilerini matematiksel ifadeye dökme

K = 2k, L = k/3, M = k/4

Doğru orantıda çarpım, ters orantıda bölüm ilişkisi kurulur (K/2 = 3L = 4M = k).

2

Toplam fidan sayısı denklemini kurma

2k + k/3 + k/4 = 620

Tüm parklara dikilecek fidanların toplamı verilmiştir.

3

Paydaları eşitleyerek denklemi çözme (Payda: 12)

(24k + 4k + 3k) / 12 = 620 → 31k / 12 = 620

Rasyonel ifadelerle toplama yapabilmek için paydalar eşitlenir.

4

Orantı sabiti k değerini bulma

31k = 7440 → k = 240

İçler dışlar çarpımı ve sadeleştirme yapılır.

5

İstenen L değerini hesaplama

L = k/3 = 240 / 3 = 80

Bulunan k değeri L parkı için kurulan denklemde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı (Doğru ve Ters Orantı Birlikte)

İpuçları

1

Doğru orantı 'çarpım (k.x)', ters orantı 'bölüm (k/x)' şeklinde ifade edilir. K=2k yazarak başlayın.

2

L ve M ters orantılı olduğu için L = k/3 ve M = k/4 denklemlerini kullanın.

3

Denklem: 2k + k/3 + k/4 = 620. Paydaları 12'de eşitleyerek k'yı bulun, sonra 3'e bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam miktar yerine iki kişi arasındaki fark verildiğinde çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Kesirlerle uğraşmamak için orantı sabitini baştan 12k olarak seçebilirsiniz. Bu durumda K=24k (2 ile doğru), L=4k (3 ile ters -> 12k/3), M=3k (4 ile ters -> 12k/4) olur. Toplam 31k=620 ise k=20 bulunur. L=4k=80 çıkar.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 33Soru →

Bir kamu kurumunun döner sermaye işletmesi, yıl sonunda elde edilen kâr payını üç farklı birimdeki (A, B ve C) projelere dağıtmaktadır. Dağıtım planı ile ilgili şu bilgiler mevcuttur:

* Plan 1: Dağıtım; A birimi ile $2$ doğru, B birimi ile $3$ ters ve C birimi ile $4$ doğru orantılı olacak şekilde yapılırsa,
* Plan 2: Dağıtım; A birimi ile $2$ ters, B birimi ile $3$ doğru ve C birimi ile $4$ ters orantılı olacak şekilde yapılırsa,

A birimine düşen payın, Plan 2'de Plan 1'e göre $520$ TL daha az olduğu hesaplanmıştır.

Buna göre, dağıtılan toplam kâr payı kaç TL'dir?

1900

2280

2850

3420

5700

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2850

Cevap

Toplam kâr payı 2850 TL'dir.

Soruda aynı toplam paranın iki farklı senaryoya göre dağıtımı sorulmaktadır. Birinci durumda A, B, C sayıları sırasıyla 6, 1 ve 12 ile orantılıdır (Toplam 19 pay). İkinci durumda ise 2, 12 ve 1 ile orantılıdır (Toplam 15 pay). Toplam parayı 19 ve 15'in ortak katı olan 285x olarak alırsak; birinci durumda A'nın payı 90x, ikinci durumda 38x olur. Aradaki fark 52x = 520 TL olduğundan x=10 bulunur. Toplam para 285x = 2850 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Plan 1 için oranları kur ve ortak katı belirle.

A:B:C = 2k : k/3 : 4k. Paydadan kurtarmak için 3 ile genişletirsek: A=6, B=1, C=12 birim. Toplam pay = 19 birim.

Doğru orantı çarpım, ters orantı bölüm durumundadır; kesirlerden kurtulmak işlemi kolaylaştırır.

2

Plan 2 için oranları kur ve ortak katı belirle.

A:B:C = m/2 : 3m : m/4. Paydadan kurtarmak için 4 ile genişletirsek: A=2, B=12, C=1 birim. Toplam pay = 15 birim.

İkinci durumda orantı türleri değiştiği için yeni birim katsayıları bulunur.

3

Toplam para miktarını eşitlemek için OKEK(19, 15) hesapla.

OKEK(19, 15) = 285. Toplam paraya 285x diyelim.

Her iki planda da dağıtılan toplam para aynıdır, bu nedenle ortak bir kat üzerinden gidilmelidir.

4

Her iki plan için A biriminin payını 285x cinsinden hesapla.

Plan 1'de A'nın payı: (6/19) * 285x = 90x. Plan 2'de A'nın payı: (2/15) * 285x = 38x.

A'nın payının toplam içindeki oranını bulmak gerekir.

5

Aradaki farkı kullanarak x değerini ve toplam parayı bul.

Fark = 90x - 38x = 52x. Denklem: 52x = 520 => x = 10. Toplam para = 285x = 285 * 10 = 2850.

Soruda verilen 520 TL'lik fark, birim cinsinden farka eşitlenerek bilinmeyen çözülür.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı ve Paylaşım Problemleri

İpuçları

1

Her iki durumda da dağıtılan toplam para miktarı değişmemektedir. İki durum için de toplam payı temsil eden bir 'K' sayısı belirlemelisin.

2

Birinci durumda paylar 6, 1, 12 ile orantılı (Toplam 19k); ikinci durumda 2, 12, 1 ile orantılıdır (Toplam 15m). 19k = 15m eşitliğini sağlamalısın.

3

Toplam paraya 19 ve 15'in en küçük ortak katı olan 285x de. Şimdi A'nın her iki durumda alacağı payı x cinsinden bulup farkı 520'ye eşitle.

Daha Fazla Pratik

B benzeri bir soruda, B kişisinin payının nasıl değiştiğini soran bir alıştırma çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Oran sabiti kullanmadan kesirlerle çözüm: Toplam paraya T diyelim. A'nın ilk payı (6/19)T, ikinci payı (2/15)T. Denklem: (6/19 - 2/15)T = 520.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 34Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı, bir kırsal kalkınma projesi kapsamında $A$ , $B$ ve $C$ köylerindeki kooperatiflere tohum desteği sağlayacaktır. Dağıtılacak tohum miktarlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- $A$ kooperatifine verilen tohum miktarının $B$ kooperatifine verilen tohum miktarına oranı $\frac{3}{4}$ 'tür.
- $B$ kooperatifine verilen tohum miktarının $C$ kooperatifine verilen tohum miktarına oranı ise $\frac{2}{5}$ 'tir.
- $C$ kooperatifine sağlanan tohum desteği, $A$ kooperatifine sağlanandan $2800$ kg daha fazladır.

Buna göre, bu üç kooperatife sağlanan toplam tohum desteği kaç kilogramdır?

2800

4000

5600

6800

16800

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6800

Cevap

Üç kooperatife sağlanan toplam tohum desteği 6800 kg'dır.

Verilen iki ayrı oranı (

A/B

ve

B/C

) ortak olan

B

terimi üzerinden birleştirdiğimizde,

B

her iki durumda da

4

birimi temsil edecek şekilde genişletilir. Bu durumda

A=3k

,

B=4k

ve

C=10k

olur.

C

ve

A

arasındaki

7k

birimlik fark

2800

kg'a karşılık geldiği için

k=400

bulunur. Toplam miktar olan

17k

ise

6800

kg sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranları ortak olan

B

değişkeni üzerinden birleştirmek.

A/B = 3/4

ve

B/C = 2/5 = 4/10

olduğundan

A:B:C = 3:4:10

oranı elde edilir.

Miktarları tek bir bilinmeyen (

k

) cinsinden ifade edebilmek için ortak terimin oranlardaki karşılıkları eşitlenmelidir.

2

Kooperatif miktarlarını

k

cinsinden tanımlamak.

A = 3k

,

B = 4k

ve

C = 10k

olarak belirlenir.

Orantı sabitini kullanarak cebirsel bir denklem kurmak.

3

Soruda verilen fark bilgisini kullanarak

k

değerini hesaplamak.

C - A = 10k - 3k = 7k

ve

7k = 2800

ise

k = 400

bulunur.

Verilen sayısal fark, değişkenler arasındaki farka eşitlenerek orantı sabiti bulunur.

4

Toplam tohum miktarını hesaplamak.

Toplam

= 3k + 4k + 10k = 17k

ve

17 \times 400 = 6800

kg elde edilir.

İstenen değer olan tüm kooperatiflerin toplamı, orantı sabiti ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki farklı orantıdaki ortak terimi eşitleyerek birleşik orantı kurma.

İpuçları

1

Her iki oranda da ortak olan değişken B'dir. B'nin her iki orantıdaki sayısal karşılıklarını eşitlemeyi deneyin.

2

B, ilk oranda 4, ikincisinde 2'dir. İkinci oranı 2 ile genişleterek B'yi her iki tarafta da 4 yapabilirsiniz.

3

B birleştirildiğinde A=3k, B=4k ve C=10k olur. C ve A arasındaki farkın 7k olduğunu görüp bu farkı 2800'e eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla ters orantılı paylaşımları içeren oran birleştirme soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 35Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, altyapı iyileştirme çalışmaları kapsamında ayırdığı toplam 132.000 TL'lik ödeneği; Çınar, Defne ve Erguvan mahallelerine, bu mahallelerin ilçe merkezine olan uzaklıkları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştıracaktır.

Mahallelerin ilçe merkezine olan uzaklıkları sırasıyla 4 km, 6 km ve 12 km olduğuna göre, bu paylaştırma sonucunda en az ödenek alan mahallenin alacağı miktar kaç TL'dir?

22.000

24.000

36.000

44.000

66.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22.000

Cevap

En az ödenek alan mahalle 22.000 TL alır.

Ters orantı mantığına göre, uzaklık arttıkça alınan pay azalır. 4, 6 ve 12 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) 12'dir. Bu sayıları 12'de eşitlemek için gereken katsayılar sırasıyla 3, 2 ve 1'dir. Toplam 6 birimlik pay 132.000 TL ise, 1 birimlik pay (en az alan) 22.000 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Ters orantı kurallarını uygula

Ödenek miktarları uzaklıklarla (4, 6, 12) ters orantılıdır. Paylar sırasıyla k/4, k/6 ve k/12 olacaktır.

Ters orantıda çoklukların çarpımı sabittir (

a \cdot x = k

).

2

Paydaları eşitle ve orantı katsayılarını tam sayıya çevir

Paydalar (4, 6, 12) 12'de eşitlenir. Buna göre paylar: Çınar = 3k, Defne = 2k, Erguvan = k olur.

Kesirli ifadelerle işlem yapmaktansa tam sayı katsayıları kullanmak işlemi kolaylaştırır.

3

Toplam pay sayısını bul ve birim değeri hesapla

Toplam pay = 3k + 2k + k = 6k. Denklem: 6k = 132.000 TL

\Rightarrow

k = 22.000 TL.

Toplam bütçe, toplam pay sayısına bölünerek birim pay (k) bulunur.

4

İstenen değeri (en az ödenek) hesapla

En az ödenek, en düşük katsayıya (k) sahip olan Erguvan mahallesinindir: 1

\times

22.000 = 22.000 TL.

Soru en az ödenek miktarını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Ters orantıda, değişkenlerden biri artarken diğeri aynı oranda azalır.

a, b, c

sayıları ile ters orantılı çokluklar

k/a, k/b, k/c

şeklinde ifade edilir.

İpuçları

1

Ters orantı problemlerinde, verilen sayıların çarpımı sabit bir sayıya eşittir. Kesirlerle uğraşmamak için verilen sayıların (4, 6, 12) EKOK'unu bulun.

2

4, 6 ve 12 sayılarının en küçük ortak katı 12'dir. Buna göre payları;

4 \cdot a = 12k

,

6 \cdot b = 12k

ve

12 \cdot c = 12k

eşitliğini sağlayacak şekilde belirleyebilirsiniz.

3

Paylar sırasıyla 3k, 2k ve 1k olacaktır. Toplam pay (6k) 132.000 TL'ye eşittir. Buradan k değerini bularak en küçük payı (1k) hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik yol: Uzaklıklar 4, 6, 12'dir. 12 km, 4 km'nin 3 katı olduğuna göre; 4 km uzaklıktaki yer, 12 km uzaklıktakinin 3 katı ödenek alır (Ters Orantı). Benzer şekilde 6 km'deki, 12 km'dekinin 2 katı alır. Paylar direkt 3, 2, 1 şeklinde yazılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 36Soru →

Bir kamu kurumundaki bilgisayar sayısının çalışan sayısına oranı $\frac{3}{5}$ 'tir. Bu kurumda toplam 45 çalışan olduğuna göre, kurumdaki bilgisayar sayısı kaçtır?

15

27

75

135

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Kurumdaki bilgisayar sayısı 27'dir.

Verilen orana göre bilgisayar sayısı

3k

, çalışan sayısı

5k

olarak temsil edilir. Çalışan sayısı

5k = 45

olduğundan

k = 9

bulunur. Buradan bilgisayar sayısı

3 \times 9 = 27

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranı matematiksel olarak ifade etme

\frac{\text{Bilgisayar Sayısı}}{\text{Çalışan Sayısı}} = \frac{3}{5}

Soruda bilgisayar sayısının çalışan sayısına oranının 3/5 olduğu belirtilmiştir.

2

Orantı sabiti (

k

) belirleme

\text{Bilgisayar Sayısı} = 3k

,

\text{Çalışan Sayısı} = 5k

Oranlardaki pay ve payda, gerçek değerlerin ortak bir katı ile ifade edilebilir.

3

Verilen çalışan sayısı bilgisini kullanarak

k

değerini bulma

5k = 45 \Rightarrow k = \frac{45}{5} = 9

Kurumda 45 çalışan olduğu bilgisiyle orantı sabiti hesaplanır.

4

Bilgisayar sayısını hesaplama

\text{Bilgisayar Sayısı} = 3k = 3 \times 9 = 27

Hesaplanan orantı sabiti bilgisayar sayısı ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Oran, iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasıdır. Bir

a/b

oranında gerçek değerleri bulmak için orantı sabiti (

k

) kullanılır.

İpuçları

1

Oran, parçaların birbirine olan büyüklüğünü gösterir. Bilgisayarlar 3 kat iken çalışanlar 5 kattır.

2

Çalışan sayısı 45 olduğuna göre, 5 katın kaça denk geldiğini bularak bir 'kat' (birim) değerini hesaplayın.

3

5 \times \text{Kat} = 45

ise

\text{Kat} = 9

'dur. Şimdi bilgisayar sayısı olan 3 katı bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, bilgisayar ve çalışan sayılarının toplamı verilerek her birinin ayrı ayrı değerleri istenebilir.

Alternatif Yöntem

İçler dışlar çarpımı yöntemi:

\frac{3}{5} = \frac{x}{45}

eşitliğinde

5x = 3 \times 45

denkleminden

x = 27

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 37Soru →

Bir belediye, "Sıfır Atık" projesi kapsamında üç farklı mahalleye ( $A$ , $B$ ve $C$ ) toplam $420$ adet geri dönüşüm kutusu dağıtacaktır. Bu dağıtımla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $A$ mahallesine verilen kutu sayısı $2$ ile doğru orantılıdır.
* $B$ mahallesine verilen kutu sayısı $3$ ile doğru orantılıdır.
* $C$ mahallesine verilen kutu sayısı $4$ ile ters orantılıdır.

Buna göre, $B$ mahallesine verilen kutu sayısı $C$ mahallesine verilenden kaç fazladır?

160

180

240

220

260

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $220$

Cevap

B mahallesine verilen kutu sayısı ile C mahallesine verilen kutu sayısı arasındaki fark 220'dir.

B mahallesine verilen kutu sayısı

3k

(240) ve C mahallesine verilen kutu sayısı

k/4

(20) olarak hesaplandığında, aradaki fark

240 - 20 = 220

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Orantı sabitini kullanarak mahallelerin alacağı kutu sayılarını belirleyin.

A = 2k

,

B = 3k

,

C = \frac{k}{4}

Doğru orantıda bölme (veya çarpım durumu), ters orantıda ise çarpma (veya bölme durumu) kullanılarak değişkenler

k

cinsinden ifade edilir.

2

Toplam kutu sayısını kullanarak orantı sabiti

k

değerini hesaplayın.

2k + 3k + \frac{k}{4} = 420 \Rightarrow 5k + \frac{k}{4} = 420 \Rightarrow \frac{21k}{4} = 420 \Rightarrow k = 80

Üç mahalleye dağıtılan toplam miktar 420'ye eşittir.

3

B

ve

C

mahallelerine düşen kutu sayılarını bulun.

B = 3 \times 80 = 240

,

C = \frac{80}{4} = 20

k

değeri değişkenlerde yerine yazılarak gerçek miktarlar elde edilir.

4

İstenen farkı hesaplayın.

240 - 20 = 220

Soruda B mahallesinin C mahallesinden ne kadar fazla kutu aldığı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Doğru ve Ters Orantı Problemleri

İpuçları

1

Doğru orantıda katları (

2k, 3k

), ters orantıda ise bölümleri (

k/4

) kullanın.

2

Denklemdeki kesirden kurtulmak için tüm ifadeleri 4 ile genişleterek

8m, 12m

ve

m

diyebilirsiniz.

3

Toplam 21 birimin 420'ye eşit olduğunu bulun, bu durumda 1 birim 20'ye karşılık gelir.

Daha Fazla Pratik

Karışık (doğru ve ters) orantı problemlerinde payda eşitleme yaparak işlem hızınızı artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kesirlerle uğraşmamak için orantı sabitini

4m

olarak seçebilirsiniz. Bu durumda

A=8m

,

B=12m

ve

C=m

olur.

8m + 12m + m = 21m = 420

ise

m=20

bulunur.

B-C = 12m-m = 11m = 11 \times 20 = 220

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 38Soru →

Bir miktar para 3, 4 ve 6 yaşlarındaki üç kardeşe yaşları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılmıştır.

Eğer bu para aynı kardeşlere yaşları ile doğru orantılı olarak paylaştırılsaydı, en küçük kardeşin alacağı pay ilk duruma göre 500 TL daha az olacaktı.

Buna göre, paylaştırılan toplam para kaç Türk Lirasıdır?

1170

1755

2340

3510

4680

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2340

Cevap

Toplam para miktarı 2340 TL'dir.

Sorunun çözümü iki farklı paylaşım senaryosunun karşılaştırılmasını gerektirir. İlk durumda (ters orantı), 3 yaşındaki çocuk toplam paranın

\frac{4}{9}

'unu alır. İkinci durumda (doğru orantı), aynı çocuk toplam paranın

\frac{3}{13}

'ünü alır. Bu iki kesir arasındaki fark (

\frac{25}{117}

) 500 TL'ye eşittir. Denklem çözüldüğünde toplam paranın 2340 TL olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ters orantı durumundaki payları belirle.

3, 4 ve 6 ile ters orantılı paylar (k/3, k/4, k/6) 12'de eşitlenir. Paylar: 4k, 3k, 2k. Toplam pay sayısı: 4+3+2 = 9 birim.

Ters orantıda sayılarla çarpım sabittir, bu yüzden paydaların en küçük ortak katı (EKOK) alınarak tamsayı oranlarına geçilir.

2

En küçük kardeşin ters orantıdaki payını toplam para (T) cinsinden ifade et.

En küçük kardeş (3 yaşında) ters orantıda en büyük payı alır (4 birim). Payı =

\frac{4}{9}T

.

Kardeşin payı = (Kendi pay birimi / Toplam pay birimi) × Toplam Para.

3

Doğru orantı durumundaki payları belirle.

3, 4 ve 6 ile doğru orantılı paylar: 3m, 4m, 6m. Toplam pay sayısı: 3+4+6 = 13 birim.

Doğru orantıda paylar sayılarla direkt katlıdır.

4

En küçük kardeşin doğru orantıdaki payını toplam para (T) cinsinden ifade et.

En küçük kardeş (3 yaşında) doğru orantıda en küçük payı alır (3 birim). Payı =

\frac{3}{13}T

.

Kardeşin payı = (Kendi pay birimi / Toplam pay birimi) × Toplam Para.

5

Verilen fark bilgisini kullanarak denklem kur ve çöz.

Denklem:

\frac{4T}{9} - \frac{3T}{13} = 500

. Payda eşitle (117):

\frac{52T - 27T}{117} = 500 \Rightarrow \frac{25T}{117} = 500

. Sadeleştirme:

T/117 = 20 \Rightarrow T = 2340

.

Soruda ters orantıdaki payın doğru orantıdaki paydan 500 TL fazla olduğu (veya doğru orantının 500 TL eksik olduğu) belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Hem ters hem de doğru orantının aynı problemde kullanıldığı durumlarda, her iki durum için 'birim pay' toplam para üzerinden kesir olarak ifade edilmeli ve karşılaştırılmalıdır.

İpuçları

1

Önce 3, 4 ve 6 sayılarıyla hem ters orantılı hem de doğru orantılı sayı gruplarını ayrı ayrı belirleyin.

2

Ters orantıda paylar 4k, 3k, 2k (toplam 9k); doğru orantıda paylar 3m, 4m, 6m (toplam 13m) şeklinde olacaktır.

3

Her iki durumda da dağıtılan toplam para (T) aynıdır. En küçük kardeşin (3 yaş) payını T cinsinden yazın: Birinde 4T/9, diğerinde 3T/13 alır. Bu ikisinin farkı 500'dür.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir işin bitirilme süreleri ile işçilerin kapasiteleri arasındaki ters orantı ilişkisini inceleyen problemleri çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayıların EKOK'u üzerinden giderek (EKOK(3,4,6)=12) ters orantı birimlerini bulup, sonra toplam para miktarına 117x (9 ve 13'ün katı) diyerek kesirlerle uğraşmadan da çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 39Soru →

Bir Kalkınma Ajansı, bölgesel destek programı kapsamında K, L ve M illerine bir miktar kalkınma fonunu, bu illerin sırasıyla 1,2; 1,8 ve 2,4 olarak belirlenen 'Sosyal Gelişmişlik Endeksi' puanları ile doğru orantılı olacak şekilde paylaştırmayı planlamıştır.

Ancak yapılan değerlendirme toplantısı sonucunda, daha az gelişmiş illeri desteklemek amacıyla fonun, aynı endeks puanları ile ters orantılı olarak dağıtılmasına karar verilmiştir.

Bu yeni dağıtım planında, K iline düşen pay ilk plana göre 168.000 TL arttığına göre, yeni planda M iline tahsis edilen fon miktarı kaç Türk Lirasıdır?

162.000

216.000

312.000

324.000

702.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 162.000

Cevap

Yeni planda M iline tahsis edilen fon miktarı 162.000 TL'dir.

Doğru cevap, K ilinin payındaki artış üzerinden toplam fonun hesaplanması ve bu toplamın ters orantı kuralına göre M iline düşen kısmının bulunmasıyla elde edilir. Ters orantı katsayıları 2, 3, 4 için sırasıyla 6, 4, 3 olur (OKEK 12). K'nın payı 2/9'dan 6/13'e çıkmıştır. Aradaki fark (28/117) 168.000 TL'ye eşittir. Buradan toplam fon 702.000 TL bulunur. M'nin yeni payı toplamın 3/13'ü olduğundan 162.000 TL sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ondalıklı endeks puanlarını tam sayılara dönüştürerek sadeleştir.

1,2 : 1,8 : 2,4 sayıları 10 ile genişletilip 6'ya bölündüğünde 2, 3 ve 4 ile orantılıdır.

İşlem kolaylığı sağlamak için en küçük tam sayı oranlarını bulmak gerekir.

2

İlk plan (doğru orantı) için her ile düşen pay oranlarını hesapla.

K: 2k, L: 3k, M: 4k. Toplam pay = 9k. K'nın payı = 2/9 T (T: Toplam Fon).

Doğru orantıda paylar katsayıların kendisiyle orantılıdır.

3

İkinci plan (ters orantı) için her ile düşen pay oranlarını hesapla.

K: 1/2, L: 1/3, M: 1/4. Paydalar 12'de eşitlenir -> K: 6m, L: 4m, M: 3m. Toplam = 13m. K'nın yeni payı = 6/13 T.

Ters orantıda paylar, sayıların çarpmaya göre tersiyle orantılıdır.

4

K ili için verilen fark bilgisini kullanarak toplam fon miktarını (T) bul.

(6/13 T) - (2/9 T) = 168.000 => (54 - 26)/117 T = 28/117 T = 168.000 => T = 702.000 TL.

İki durum arasındaki fark denklemi kurularak bilinmeyen toplam tutara ulaşılır.

5

Bulunan toplam fon miktarını kullanarak M ilinin yeni plandaki payını hesapla.

M ilinin yeni payı = 3/13 * 702.000 = 3 * 54.000 = 162.000 TL.

Soruda 'yeni planda M iline düşen miktar' sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı ve Kesir Problemleri

İpuçları

1

Önce verilen ondalıklı sayıları (1,2; 1,8; 2,4) en sade tam sayılar haline getirin. Bu sayılarla hem doğru hem de ters orantı kurmanız gerekecek.

2

Doğru orantıda paylar katsayılarla (2k, 3k, 4k), ters orantıda ise katsayıların tersiyle (k/2, k/3, k/4) ilişkilidir. Her iki durumda da paydaları eşitleyerek K ilinin toplamın kaçta kaçını aldığını bulun.

3

K ili için; (Ters Orantıdaki Payı) - (Doğru Orantıdaki Payı) = 168.000 TL denklemini kurun. Ters orantı payı 6/13, doğru orantı payı 2/9 olacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam miktar değiştiğinde (örneğin fona ekleme yapıldığında) oranların nasıl etkilendiğini sorarak kurgulayın.

Alternatif Yöntem

Orantı sabiti üzerinden çözüm: Doğru orantı için toplam 9k, K=2k. Ters orantı için (katsayılar 6,4,3) toplam 13m, K=6m. Toplam para değişmediğinden 9k = 13m diyerek k=13x, m=9x alabilirsiniz. K'nın farkı: 6(9x) - 2(13x) = 54x - 26x = 28x = 168.000. Buradan x bulunur ve M'nin yeni payı 3m = 3(9x) = 27x hesaplanır.

Tahmini Süre:4m 0s

Oran ve Orantı

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem