Layer 1

Soru 301Soru →

$ABC$ bir üçgen, $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ olmak üzere $|AD| = 4\text{ cm}$ , $|BD| = 2\text{ cm}$ ve $|DE| = 8\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Buna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

4

10

12

16

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Verilen üçgende temel benzerlik teoremi uygulandığında

|BC|

uzunluğu

12\text{ cm}

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

12

değeri,

ADE

ve

ABC

üçgenleri arasındaki

\frac{4}{6}

(yani

\frac{2}{3}

) benzerlik oranının tabanlara uygulanmasıyla elde edilir.

\frac{2}{3} = \frac{8}{|BC|}

eşitliğinden

|BC| = 12\text{ cm}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Benzerlik ilişkisini kurma

ADE \sim ABC

[DE] \parallel [BC]

olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir ve A açısı ortaktır (Açı-Açı benzerliği).

2

Kenarlar arasındaki benzerlik oranını belirleme

\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|}

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır.

3

|AB|

uzunluğunu hesaplama

|AB| = 4 + 2 = 6\text{ cm}

|AB|

uzunluğu,

|AD|

ve

|BD|

parçalarının toplamıdır.

4

Verilen değerleri oran denkleminde yerine yazma ve çözme

\frac{4}{6} = \frac{8}{x} \Rightarrow 4x = 48 \Rightarrow x = 12\text{ cm}

Dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen

|BC|

(x) değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Temel Benzerlik Teoremi (Thales)

İpuçları

1

[DE]

ve

[BC]

birbirine paralel olduğu için küçük üçgen (

ADE

) ile büyük üçgen (

ABC

) benzerdir.

2

Benzerlik oranını yazarken

|AD|

uzunluğunu, üçgenin tüm kenarı olan

|AB|

uzunluğuna oranlamayı unutmayın.

3

Benzerlik oranı

\frac{4}{4+2} = \frac{4}{6}

'dır. Bu oranı tabanlar olan

8

ve

|BC|

'ye uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı verildiğinde bu üçgenlerin alanları oranının nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantı mantığıyla: Yan kenar

4

'ten

6

'ya (

1.5

katına) çıkıyorsa, taban da

8

'den

1.5

katına çıkarak

12

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 302Soru →

$[AB] \perp [AC]$ olan bir $ABC$ dik üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. $|AG| = 10$ cm olduğuna göre, hipotenüsün uzunluğu ( $|BC|$ ) kaç santimetredir?

15

20

25

30

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Hipotenüs uzunluğu 30 santimetredir.

Doğru cevap 30 cm'dir. Ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı (

AD

) 2:1 oranında böler.

|AG|=10

cm verildiğine göre,

|GD|=5

cm ve kenarortayın tamamı

|AD|=15

cm olur. Dik üçgenlerde hipotenüse indirilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü kuralı). Bu nedenle

|AD| = |BC| / 2

eşitliğinden

|BC| = 2 \times 15 = 30

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ağırlık merkezi özelliğini kullan.

|AG| = 2k

,

|GD| = k

ve toplam kenarortay

|AD| = 3k

şeklindedir.

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim olacak şekilde böler.

2

|AG|

değerinden kenarortay uzunluğunu hesapla.

2k = 10

ise

k = 5

. Kenarortay

|AD| = 10 + 5 = 15

cm.

Verilen uzunluk kullanılarak kenarortayın tamamı bulunur.

3

Dik üçgen özelliğini (Muhteşem Üçlü) uygula.

|BC| = 2 \times |AD| = 2 \times 15 = 30

cm.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Muhteşem Üçlü ve Ağırlık Merkezi Oranı

Soru 303Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $A$ köşesinden hipotenüse indirilen dikme ayağı $H$ noktasıdır. Üçgenin dik kenar uzunlukları $b$ ve $c$ , hipotenüse ait yüksekliği ise $h$ ile gösterilmektedir.

16h^2 = b^2 + c^2

eşitliği sağlandığına göre, bu üçgenin en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

15

22,5

30

45

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

En küçük iç açı 15 derecedir.

Verilen

16h^2 = b^2 + c^2

eşitliğinde Pisagor teoremi gereği

b^2 + c^2

yerine

a^2

(hipotenüsün karesi) yazıldığında

16h^2 = a^2

elde edilir. Buradan

4h = a

yani

h = a/4

sonucu çıkar. Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüsün dörtte biri olması durumu, yalnızca 15-75-90 üçgenine özgü bir kuraldır. Dolayısıyla üçgenin dar açıları 15 ve 75 derecedir. En küçük açı 15 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

Pisagor bağıntısını hatırla.

b^2 + c^2 = a^2

(Burada

a

hipotenüs uzunluğudur).

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

2

Verilen denklemde

b^2 + c^2

yerine

a^2

yaz.

16h^2 = a^2

Denklemi basitleştirerek yükseklik (

h

) ile hipotenüs (

a

) arasındaki ilişkiyi bulmak.

3

Her iki tarafın karekökünü al.

4h = a

veya

h = \frac{a}{4}

Uzunluklar pozitif olduğu için doğrudan kök alınabilir.

4

Bu özelliği sağlayan özel üçgeni belirle.

Hipotenüse ait yüksekliği, hipotenüsün 4'te 1'i olan dik üçgen 15-75-90 üçgenidir.

Bu, 15-75-90 üçgeninin ayırt edici özelliğidir (

h = \frac{1}{4} \cdot \text{hipotenüs}

).

5

En küçük açıyı seç.

Açılar

15^\circ

ve

75^\circ

'dir. En küçüğü

15^\circ

'dir.

Soru en küçük iç açıyı sormaktadır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik (

h

) ile hipotenüs (

a

) arasında

h = a/4

bağıntısı varsa, bu üçgen 15-75-90 üçgenidir.

İpuçları

1

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı (

b^2 + c^2

) size tanıdık bir uzunluğu hatırlatmalı.

2

b^2 + c^2 = a^2

(Pisagor) eşitliğini kullanarak verilen denklemde

a

(hipotenüs) ve

h

(yükseklik) arasında bir ilişki kurun.

3

h = a/4

bağıntısını elde ettiğinizde, bu orana sahip olan özel dik üçgeni düşünün.

Daha Fazla Pratik

15-75-90 üçgeninde alan hesaplaması soruları çözerek

h=a/4

kuralını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Geometrik İspat: Hipotenüse ait kenarortayı (

V_a

) çizin. Muhteşem üçlü gereği

V_a = a/2

'dir. Oluşan dik üçgende hipotenüs

V_a

, dik kenar

h

'dir. Eğer

h = a/4

ve

V_a = a/2

ise,

\sin(\alpha) = h/V_a = 1/2

olur. Buradan kenarortay ile yükseklik arasındaki açının

60^\circ

olduğu bulunur, bu da dar açıların farkının

60^\circ

olduğu anlamına gelir (

75^\circ

ve

15^\circ

).

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 304Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu $5\text{ cm}$ olan küp şeklindeki bir blok aşağıda modellenmiştir.

Buna göre, bu bloğun tüm yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

25

60

100

125

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Küpün tüm yüzey alanı

150\text{ cm}^2

dir.

Küp, 6 adet birbirine eş kareden oluşan bir katı cisimdir. Bir ayrıtı

a

olan bir küpün her bir yüzünün alanı

a^2

formülü ile bulunur. Toplam 6 yüz olduğu için tüm yüzey alanı

6a^2

olur. Soruda verilen

a=5\text{ cm}

değeri yerine konulduğunda

6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150\text{ cm}^2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Küpün bir ayrıt uzunluğunu tespit et.

a = 5\text{ cm}

Soruda verilen temel ölçü bir ayrıtın uzunluğudur.

2

Bir yüzeyin (bir karenin) alanını hesapla.

5 \times 5 = 25\text{ cm}^2

Küpün her bir yüzeyi bir karedir ve alanı bir kenarının karesidir.

3

Toplam yüzey sayısını kullanarak tüm alanı bul.

6 \times 25 = 150\text{ cm}^2

Küpün 6 adet eş karesel yüzeyi olduğu için bir yüzün alanı 6 ile çarpılır.

Anahtar Kavram

Küpün Yüzey Alanı

İpuçları

1

Küpün dış yüzeyinin kaç tane kareden oluştuğunu saymayı dene.

2

Bir kenarı

5\text{ cm}

olan tek bir karenin alanını

a^2

formülüyle hesapla.

3

Bulduğun bir yüzey alanını, küpün toplam yüzey sayısı olan 6 ile çarp.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu bir küp değil de ayrıtları farklı bir dikdörtgenler prizması olsaydı, her yüzeyi tek tek hesaplayıp toplaman gerekirdi.

Tahmini Süre:45s

Soru 305Soru →

Aşağıda verilen $ABCD$ ikizkenar yamuğunda $[AB] // [DC]$ ve $|AD| = |BC|$ eşitlikleri sağlanmaktadır.

$[AC] \perp [BC]$ olduğu bilinmektedir.

$|AB| = 13$ cm ve $|DC| = 5$ cm olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $cm^2$ dir?

36

45

54

60

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

ABCD yamuğunun alanı 54 cm²'dir.

İkizkenar yamukta köşelerden indirilen dikmeler tabanda

(a-c)/2

uzunluğunda parçalar oluşturur. Soru kökünde verilen

AC \perp BC

bilgisi, oluşan

ACB

üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Bu dik üçgende hipotenüse ait yükseklik Öklid bağıntısı (

h^2=p \cdot k

) ile bulunur. Taban parçaları 9 ve 4 cm olduğundan yükseklik 6 cm çıkar. Alan formülü ile sonuç 54 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun yüksekliğini (

h

) bulmak için

C

köşesinden

[AB]

kenarına dikme indirilir. Bu noktaya

H

diyelim.

CH \perp AB

İkizkenar yamukta yükseklik indirerek taban üzerinde oluşan parçaları bulmak standart çözüm yöntemidir.

2

İkizkenar yamuk özelliğini kullanarak

|HB|

uzunluğunu hesapla.

|HB| = \frac{|AB| - |DC|}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4

cm

İkizkenar yamukta köşelerden indirilen dikmeler, tabanda eş parçalar ayırır.

3

|AH|

uzunluğunu hesapla.

|AH| = |AB| - |HB| = 13 - 4 = 9

cm

Öklid bağıntısını uygulayabilmek için hipotenüs üzerindeki her iki parçanın uzunluğu gereklidir.

4

ACB

dik üçgeninde (

[AC] \perp [BC]

verildiği için) Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) uygula.

h^2 = |AH| \cdot |HB| \implies h^2 = 9 \cdot 4 = 36 \implies h = 6

cm

Dik üçgende hipotenüse indirilen dikmenin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

5

Yamuğun alanını hesapla:

\text{Alan} = \frac{a+c}{2} \cdot h

\text{Alan} = \frac{13+5}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54

cm²

Yamuğun alanı, alt ve üst tabanların aritmetik ortalaması ile yüksekliğin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

İkizkenar Yamuk ve Öklid Bağıntısı

İpuçları

1

C köşesinden AB tabanına bir dikme indirerek ikizkenar yamuğun taban özelliklerini kullanın.

2

İkizkenar yamukta indirilen dikme, AB tabanını iki parçaya ayırır. Sağdaki küçük parça

(13-5)/2

formülüyle bulunur.

3

ACB üçgeni dik üçgendir (

AC \perp BC

). Bu üçgende hipotenüse inen dikme için Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) uygulayarak yamuğun yüksekliğini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, köşegenlerin birbirine dik olduğu (

AC \perp BD

) durumu inceleyiniz (Bu durumda

h = (a+c)/2

olur).

Alternatif Yöntem

Orta taban uzunluğu 9 cm'dir. İkizkenar yamukta köşegen yan kenara dik ise,

h = \sqrt{p \cdot k}

formülüyle yükseklik bulunur ve Alan = Orta Taban

\times

Yükseklik formülü uygulanabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 306Soru →

$|AB| = |AC|$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 150^\circ$ 'dir. $[BC]$ kenarının uzantısı üzerinde, $C$ köşesine $B$ 'den daha yakın olan bir $P$ noktası alınıyor. $P$ noktasından $AC$ doğrusuna inilen dikmenin uzunluğu $2$ cm, $AB$ doğrusuna inilen dikmenin uzunluğu $8$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kaç cm'dir?

12

6

20

16

4\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

AB kenarının uzunluğu 12 cm'dir.

İkizkenar üçgende tabanın uzantısı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin uzunlukları farkı, ikizkenarlardan birine ait yüksekliği verir. Bu soruda yükseklik

8 - 2 = 6

cm olarak bulunur. Tepe açısı

150^\circ

olduğundan, bu yükseklik üçgenin dışında

30^\circ

'lik bir dik üçgen oluşturur.

30^\circ

'nin karşısı

6

ise hipotenüs (yani üçgenin bir kenarı)

12

cm olur.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar üçgen özelliğini belirle

İkizkenar üçgenin taban uzantısı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin farkı, eşit kenarlara ait yüksekliğe eşittir:

h_c = |PL| - |PK|

.

Nokta taban üzerinde değil, tabanın uzantısında olduğu için dikmelerin toplamı değil farkı alınır.

2

Yüksekliği hesapla

h_c = 8 - 2 = 6

cm.

Verilen dikme uzunlukları formülde yerine konur.

3

Geniş açılı üçgenin dış açısını bul

m(\widehat{BAC}) = 150^\circ

olduğundan,

AB

kenarına ait yükseklik üçgenin dışındadır ve dış açı

180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

'dir.

Yüksekliği kullanarak kenar uzunluğunu bulmak için dik üçgen oluşturulur.

4

30-60-90 üçgeninde kenar uzunluğunu bul

Oluşan dik üçgende

30^\circ

'nin karşısı (yükseklik)

6

cm ise, hipotenüs (

AC

)

12

cm'dir.

\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{h}{AC} \implies \frac{6}{AC} = \frac{1}{2}

.

5

Sonucu belirle

|AB| = |AC|

olduğundan,

|AB| = 12

cm.

İkizkenar üçgenin eşit kenarları aynı uzunluktadır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban uzantısındaki noktadan inilen dikmelerin farkı özelliğinin geniş açılı üçgen geometrisiyle sentezi.

İpuçları

1

İkizkenar üçgenin tabanının uzantısındaki bir noktadan inilen dikmelerle ilgili özel kuralı hatırlayın: Toplam mı, fark mı?

2

Bu dikmelerin farkı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliği verir. Yüksekliği bulduktan sonra açıyı kullanın.

3

Tepe açısı

150^\circ

olan ikizkenar üçgenin yüksekliği üçgenin dışındadır ve dış açı

30^\circ

'dir. 30-60-90 üçgenini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, eşkenar üçgenin dışındaki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerle ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Alan formülü ile:

\text{Alan}(PAB) - \text{Alan}(PAC) = \text{Alan}(ABC)

bağıntısından yola çıkarak yükseklik farkı ispatlanabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 307Soru →

Aşağıda verilen ABCD yamuğunda $[AB] // [DC]$ paralelliği bulunmaktadır.

Verilen açılar ve uzunluklar şöyledir:
- $m(\widehat{DAB}) = 60^\circ$
- $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$
- $|AD| = 4\sqrt{3}$ cm
- $|DC| = 2$ cm

Buna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç $cm^2$ 'dir?

6 + 10\sqrt{3}

24 + 8\sqrt{3}

30 + 6\sqrt{3}

36

60 + 12\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30 + 6\sqrt{3}$

Cevap

Yamuğun alanı

30 + 6\sqrt{3}

cm^2

olarak bulunur.

Verilen açılar kullanılarak oluşturulan dik üçgenler sayesinde yamuğun yüksekliği 6 cm ve alt tabanı

8 + 2\sqrt{3}

cm olarak bulunur. Alan formülü uygulandığında doğru sonuç

30 + 6\sqrt{3}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun yüksekliğini ve taban parçalarını bulmak için D ve C köşelerinden AB kenarına dikmeler indirilir.

D'den inen dikme ayağına H, C'den inen dikme ayağına K denir. Böylece ADH ve CKB dik üçgenleri oluşur.

Yamuk sorularında taban açıları biliniyorsa, yükseklik indirerek özel üçgenler oluşturmak standart çözüm yoludur.

2

ADH (30-60-90) üçgeninde kenar uzunlukları hesaplanır.

Hipotenüs

|AD|=4\sqrt{3}

ise,

60^\circ

'nin karşısındaki dik kenar (yükseklik)

h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6

cm, taban parçası

|AH| = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}

cm bulunur.

30-60-90 üçgeninde

60^\circ

'nin karşısı hipotenüsün

\frac{\sqrt{3}}{2}

katıdır.

3

CKB (45-45-90) üçgeninde kenar uzunlukları hesaplanır.

Yükseklik

|CK|=h=6

cm olduğundan,

45^\circ

'nin karşısındaki diğer dik kenar

|KB|=6

cm olur.

İkizkenar dik üçgende dik kenarlar birbirine eşittir.

4

Alt taban uzunluğu

|AB|

hesaplanır.

|AB| = |AH| + |HK| + |KB| = 2\sqrt{3} + 2 + 6 = 8 + 2\sqrt{3}

cm.

|HK|

uzunluğu üst taban

|DC|

'ye eşittir.

5

Yamuğun alanı hesaplanır.

Alan =

\frac{(|DC| + |AB|) \cdot h}{2} = \frac{(2 + 8 + 2\sqrt{3}) \cdot 6}{2} = (10 + 2\sqrt{3}) \cdot 3 = 30 + 6\sqrt{3}

cm^2

.

Yamuk alanı = (Alt Taban + Üst Taban) x Yükseklik / 2

Anahtar Kavram

Özel açılı yamuklarda alan hesabı için köşelerden dikme indirilerek 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenlerinden yararlanılması.

İpuçları

1

Yamuğun alanını bulmak için alt taban uzunluğuna ve yüksekliğe ihtiyacınız var. D ve C köşelerinden tabana dikmeler indirmeyi deneyin.

2

Dikmeler indirdiğinizde oluşan üçgenlerin açılarına dikkat edin. Sol tarafta 30-60-90, sağ tarafta 45-45-90 üçgeni oluşacaktır.

3

30-60-90 üçgeninde 60 derecenin karşısı (yükseklik), hipotenüsün (

4\sqrt{3}

)

\frac{\sqrt{3}}{2}

katıdır. Bu yüksekliği sağdaki ikizkenar dik üçgende de kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen, ancak taban açılarının 30 ve 45 derece olduğu yamuk sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yamuğu bir paralelkenar ve bir üçgen olarak da bölebilirsiniz (C'den AD'ye paralel çizerek), ancak dikme indirmek bu soruda daha pratik bir çözümdür.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 308Soru →

Ayrıt uzunlukları $2$ cm, $3$ cm ve $5$ cm olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

30

31

40

60

62

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 62

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı 62 santimetrekaredir.

Doğru cevap olan seçenek, prizmanın her bir yüzeyinin (2 adet 2x3, 2 adet 2x5 ve 2 adet 3x5) alanlarının doğru şekilde toplanmasıyla elde edilen 62 değerini içermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Prizmanın farklı boyutlardaki üç yüzünün alanını hesaplayın.

2 \times 3 = 6

cm

^2

,

2 \times 5 = 10

cm

^2

ve

3 \times 5 = 15

cm

^2

Dikdörtgenler prizmasında üç farklı boyutta yüzey bulunur.

2

Bu üç farklı yüzün alanlarını toplayın.

6 + 10 + 15 = 31

cm

^2

Prizmanın toplam yüzey alanının yarısını (her farklı yüzden birer tane) bulmak için.

3

Bulunan toplamı 2 ile çarpın.

31 \times 2 = 62

cm

^2

Prizmada her yüzeyden karşılıklı ikişer adet bulunduğu için toplam alan bu şekilde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı, tüm dış yüzeylerinin alanları toplamıdır ve

Alan = 2(ab + ac + bc)

formülü ile hesaplanır.

İpuçları

1

Bir kutunun (prizmanın) dış yüzeyini boyadığınızı düşünün; toplamda kaç tane dikdörtgen yüzey boyarsınız?

2

Dikdörtgenler prizmasının 6 yüzü vardır ve karşılıklı yüzler birbirine eşittir. Üç farklı dikdörtgen yüzün alanını bulup bunları 2 ile çarpmalısınız.

3

Formül:

Alan = 2 \times (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

. Sorudaki

a=2

,

b=3

ve

c=5

değerlerini bu formülde yerine yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Ayrıtları verilen bir küpün yüzey alanını hesaplayarak kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Her bir yüzün alanını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz:

(2 \times 3) + (2 \times 3) + (2 \times 5) + (2 \times 5) + (3 \times 5) + (3 \times 5) = 6+6+10+10+15+15 = 62

.

Tahmini Süre:45s

Soru 309Soru →

İç açılarının ölçüleri toplamı $1080^{\circ}$ olan bir dışbükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

6

7

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 8'dir (Sekizgen).

Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2) \times 180^{\circ}

formülü ile hesaplanır. Bu formülde

n

kenar sayısıdır. Verilen

1080^{\circ}

değeri formüle eşitlendiğinde

(n-2) \times 180 = 1080

denklemi elde edilir. Her iki taraf 180'e bölündüğünde

n-2 = 6

bulunur. Buradan

n = 8

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını veren formülü hatırla.

Formül:

(n-2) \times 180^{\circ}

Burada

n

kenar sayısını temsil eder.

2

Verilen açı toplamını formüle eşitleyerek denklemi kur.

(n-2) \times 180 = 1080

Soruda iç açılar toplamının

1080^{\circ}

olduğu verilmiştir.

3

Eşitliğin her iki tarafını 180'e bölerek

(n-2)

değerini bul.

\frac{1080}{180} = 6 \Rightarrow n-2 = 6

Sadeleştirme işlemi.

4

Kenar sayısı

n

'i bulmak için 2'yi karşı tarafa at.

n = 6 + 2 = 8

Bilinmeyeni yalnız bırakma.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde İç Açılar Toplamı Formülü

Soru 310Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ ve $[BE]$ kenarortayları $G$ ağırlık merkezinde dik kesişmektedir. $|AD| = 18$ cm ve $|BE| = 24$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

10

15

20

25

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Üçgenin

|AB|

kenarının uzunluğu 20 cm'dir.

Üçgende ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı köşeye

2

birim, kenara

1

birim olacak şekilde böler. Buna göre

|AG| = 12

cm ve

|BG| = 16

cm olur. Kenarortaylar dik kesiştiğinden

m(AGB) = 90^{\circ}

'dir.

12-16-20

özel üçgeni (

3-4-5

üçgeninin 4 katı) gereği

|AB| = 20

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki bölme oranını belirlemek.

|AG| = \frac{2}{3} \cdot |AD|

ve

|BG| = \frac{2}{3} \cdot |BE|

bağıntıları kullanılır.

Bir üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler.

2

Ağırlık merkezi ile köşeler arasındaki mesafeleri hesaplamak.

|AG| = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12

cm ve

|BG| = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16

cm bulunur.

Pisagor bağıntısını uygulayabilmek için dik kesişen kenarortay parçalarının uzunlukları gereklidir.

3

ABG

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulamak.

|AB|^2 = |AG|^2 + |BG|^2 \Rightarrow |AB|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400

cm².

Kenarortaylar dik kesiştiği için

G

noktasındaki açı

90^{\circ}

'dir.

4

|AB|

uzunluğunu kök dışına çıkarmak.

|AB| = \sqrt{400} = 20

cm olarak hesaplanır.

Karesi

400

olan pozitif uzunluk değeri

20

birimdir.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezinin kenarortayı

2:1

oranında bölme özelliği ve dik kesişen kenarortaylarda Pisagor bağıntısı uygulaması.

İpuçları

1

Ağırlık merkezinin kenarortayı köşeden itibaren hangi oranda böldüğünü hatırlayın.

2

|AG|

ve

|BG|

uzunluklarını bulduktan sonra oluşan

AGB

üçgeninin türüne dikkat edin.

3

12

ve

16

uzunluklarını kullanarak Pisagor bağıntısını uygulayın veya

3-4-5

özel üçgeninin katlarını düşünün.

Daha Fazla Pratik

Kenarortayların dik kesiştiği durumlarda hipotenüse ait kenarortay uzunluğu ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi (Muhteşem Üçlü) inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kenarortaylar dik kesiştiğinde

|AB|^2 + |DE|^2 = |AD|^2 + |BE|^2

gibi daha karmaşık formüller yerine, temel

2:1

kuralı ve Pisagor bağıntısı en güvenli yoldur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 311Soru →

Analitik düzlemde $A(1, 4)$ noktasının $y = 2x - 3$ doğrusuna göre simetriği olan nokta $B(a, b)$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

5

6

7

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Simetrik nokta B(5, 2) bulunur ve koordinatları toplamı 7'dir.

Doğru cevap, noktanın doğruya göre simetriği alınırken izlenen 'dik doğru denklemi kurma', 'kesişim noktasını bulma' ve 'orta nokta formülünü tersten uygulama' adımlarının eksiksiz yapılmasıyla 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen doğrunun eğimi bulunur ve simetri ekseni olan dik doğrunun eğimi belirlenir.

m_1 = 2

olduğundan, dik doğrunun eğimi

m_2 = -1/2

olur.

Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir (

m_1 \cdot m_2 = -1

).

2

A(1, 4) noktasından geçen ve eğimi -1/2 olan doğrunun denklemi yazılır.

y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow 2y - 8 = -x + 1 \Rightarrow x + 2y - 9 = 0

.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi:

y - y_1 = m(x - x_1)

.

3

İki doğrunun kesişim noktası (orta nokta M) bulunur.

y = 2x - 3

ile

x + 2y = 9

ortak çözülürse

x + 2(2x - 3) = 9 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3

. Buradan

y = 3

bulunur. M(3, 3).

Simetrik iki noktanın tam ortasındaki nokta, simetri ekseni (ayna) görevi gören doğru üzerindedir.

4

Orta nokta formülü kullanılarak B(a, b) noktasının koordinatları hesaplanır.

\frac{1 + a}{2} = 3 \Rightarrow a = 5

ve

\frac{4 + b}{2} = 3 \Rightarrow b = 2

. B(5, 2).

M noktası, A ve B noktalarının orta noktasıdır.

5

Koordinatların toplamı hesaplanır.

a + b = 5 + 2 = 7

.

Soruda istenen sonuç.

Anahtar Kavram

Analitik geometride bir noktanın bir doğruya göre simetriği, o noktadan doğruya inilen dikmenin doğruyu kestiği noktaya eşit uzaklıktaki diğer uç noktadır.

İpuçları

1

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini bulmak için, önce o noktadan geçen ve verilen doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmalısın.

2

Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir. Verilen doğrunun eğimi 2 olduğuna göre, dik doğrunun eğimi -1/2 olacaktır.

3

İki doğrunun kesişim noktası (orta nokta) bulunduktan sonra, A noktası ile bu orta nokta arasındaki mesafeyi diğer tarafa taşıyarak B noktasını bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu noktanın noktaya göre simetriği üzerinden çözerek aradaki farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Özel bir formül kullanmadan, şıklardan giderek bulunan noktanın orta noktasının doğru denklemini sağlayıp sağlamadığı kontrol edilebilir (ancak bu yöntem toplam sorulduğu için zordur).

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 312Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortaydır. $|AB| = 9$ cm ve $|AC| = 12$ cm olarak verilmiştir. $G$ noktası $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olduğuna göre, $ABD$ üçgeninin alanının $GDC$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

2

\frac{7}{3}

\frac{9}{4}

\frac{5}{2}

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{4}$

Cevap

Alanlar oranı

\frac{9}{4}

olarak bulunur.

İç açıortay teoremi gereği

BD

ve

DC

tabanları

9:12

(yani

3:4

) oranındadır. Bu durum

ABD

üçgeninin alanını toplam alanın

3/7

'si yapar. Ağırlık merkezi olan

G

noktası, her bir kenarla oluşturduğu üçgenin alanını ana üçgenin

1/3

'ü yapacak yükseklik özelliğine sahiptir (

GDC

alanı,

ADC

alanının üçte biridir). Dolayısıyla

(\frac{3}{7}) / (\frac{4}{21}) = \frac{9}{4}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İç açıortay teoremini uygulayarak

BD

ve

DC

kenarları arasındaki oranı belirleyin.

|BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 9 / 12 = 3 / 4

Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.

2

ABD

ve

ADC

üçgenlerinin alanlarını

ABC

üçgeninin toplam alanı (

S

) cinsinden ifade edin.

Alan(ABD) = \frac{3}{7}S

ve

Alan(ADC) = \frac{4}{7}S

Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.

3

Ağırlık merkezinin (

G

) özelliğini kullanarak

GDC

üçgeninin alanını bulun.

Alan(GDC) = \frac{1}{3} Alan(ADC) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}S = \frac{4}{21}S

Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı, köşeye olan uzaklığının yarısıdır (

1:2

oranı). Bu durum,

G

noktasının tabana olan yüksekliğinin,

A

noktasının tabana olan yüksekliğinin

1/3

'ü olmasına neden olur.

4

Alan(ABD)

değerini

Alan(GDC)

değerine oranlayın.

(\frac{3}{7}S) / (\frac{4}{21}S) = \frac{3}{7} \cdot \frac{21}{4} = \frac{9}{4}

İstenen oran rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

İç açıortay teoremi ve ağırlık merkezinin alan üzerindeki

1/3

oranı etkisi

İpuçları

1

Açıortay teoremini kullanarak

BD

ve

DC

uzunlukları arasındaki oranı bulun.

2

Ağırlık merkezinden (

G

) tabana inen dikmenin, köşeden (

A

) inen dikmenin kaçta kaçı olduğunu hatırlayın.

3

Alan(GDC)

'nin

Alan(ADC)

'nin tam olarak

1/3

'ü olduğunu kullanarak oranlama yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dış açıortay ve ağırlık merkezi kombinasyonu için çözerek özellikleri pekiştirin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 313Soru →

$[AB] \perp [BC]$ olan $ABC$ dik üçgeninde, $C$ köşesine ait iç açıortay $[AB]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir.

$|AD| = 5$ cm ve $|BD| = 3$ cm olduğuna göre, $ADC$ üçgeninin alanı kaç $cm^2$ 'dir?

9

10

12

15

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

ADC üçgeninin alanı 15

cm^2

'dir.

Açıortay teoremi gereği kenarlar

3k

ve

5k

orantılıdır. Pisagor bağıntısı ile

k=2

bulunur ve dik kenar

|BC|=6

cm çıkar. İstenen

ADC

üçgeninin tabanı

|AD|=5

cm, bu tabana ait yükseklik ise

|BC|=6

cm'dir. Alan formülü ile sonuç 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıortay teoremini uygula.

\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3}

olduğundan,

|AC| = 5k

ve

|BC| = 3k

denilebilir.

Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.

2

ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bul.

|AB| = 5 + 3 = 8

cm'dir.

(5k)^2 = (3k)^2 + 8^2 \Rightarrow 25k^2 = 9k^2 + 64 \Rightarrow 16k^2 = 64 \Rightarrow k = 2

.

Hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir.

3

BC kenar uzunluğunu ve ADC üçgeninin alanını hesapla.

|BC| = 3k = 3(2) = 6

cm. Alan(

ADC

) =

\frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15

cm^2

.

Geniş açılı veya dik üçgen parçalarında, bir kenara (AD) ait yükseklik o doğrunun uzantısına (BC) inen dikme olabilir. Burada D noktası AB üzerinde olduğundan, AD tabanına ait yükseklik BC uzunluğudur.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Alan Paylaşımı

İpuçları

1

C köşesinden çıkan açıortay, karşı kenarı (AB) komşu kenarların (AC ve BC) oranına göre böler. Bu oranı yazın.

2

|AC|

ve

|BC|

kenarlarını

k

cinsinden ifade edip Pisagor bağıntısı uygulayarak

|BC|

uzunluğunu bulun.

3

|BC|

uzunluğu 6 cm'dir. ADC üçgeninin alanı için taban olarak AD'yi (5 cm), yükseklik olarak ise BC'yi kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dik üçgen yerine çeşitkenar bir üçgende, alan oranı verilip kenar uzunluğu sorularak çözün.

Alternatif Yöntem

Tüm alan üzerinden gidilebilir: Alan(ABC) =

\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24

. Alanlar tabanlarla orantılıdır (Yükseklikleri eşit olduğu için). Tabanlar 5 ve 3 olduğuna göre, toplam 8 birimlik tabana 24 alan düşerse, 5 birimlik tabana (AD) düşen alan

\frac{5}{8} \cdot 24 = 15

olur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 314Soru →

$ABC$ eşkenar üçgeni ile $|BC| = |CD|$ eşitliğini sağlayan $BCD$ ikizkenar üçgeni, $BC$ kenarı ortak olacak şekilde birleştirilmiştir. $m(\widehat{BCD}) = 100^\circ$ ve $D$ noktası $ABC$ üçgeninin dış bölgesinde kaldığına göre, $m(\widehat{ADC})$ kaç derecedir?

10

20

30

40

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 derecedir

ABC

üçgeni eşkenar olduğundan

|BC| = |AC|

'dir. Soruda

|BC| = |CD|

verildiği için

|AC| = |CD|

olur ve

ACD

üçgeni ikizkenar bir yapı kazanır. Bu üçgenin tepe açısı

m(\widehat{ACD}) = 60^\circ + 100^\circ = 160^\circ

olarak hesaplanır. İç açılar toplamı kuralına göre taban açıları

(180^\circ - 160^\circ) / 2 = 10^\circ

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

eşkenar üçgeninin kenar ve açı özelliklerini belirlemek

|AB| = |BC| = |AC|

ve her bir iç açısı

60^\circ

'dir.

Eşkenar üçgenin tanımı gereği tüm kenarlar eşit ve her bir iç açısı

60^\circ

'dir.

2

ACD

üçgeninin kenar eşitliğini ve tepe açısını bulmak

|AC| = |CD|

olduğundan

ACD

ikizkenar bir üçgendir. Tepe açısı

m(\widehat{ACD}) = 60^\circ + 100^\circ = 160^\circ

olur.

|BC| = |AC|

(eşkenar) ve

|BC| = |CD|

(verilen) olduğu için

|AC| = |CD|

olur.

3

ACD

ikizkenar üçgeninde

m(\widehat{ADC})

taban açısını hesaplamak

m(\widehat{ADC}) = (180^\circ - 160^\circ) / 2 = 10^\circ

bulunur.

Bir üçgenın iç açılar toplamı

180^\circ

'dir ve ikizkenar üçgende taban açıları eştir.

Anahtar Kavram

Eşkenar ve ikizkenar üçgenlerin ortak kenar üzerinden açı ilişkileri

İpuçları

1

ABC

eşkenar üçgeninde

|BC|

kenarının

|AC|

kenarına eşit olduğunu ve iç açının

60^\circ

olduğunu kullanın.

2

|AC| = |CD|

olduğunu görerek

ACD

üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu fark edin.

3

ACD

üçgeninin tepe açısı

160^\circ

olduğuna göre, taban açılarını hesaplamak için iç açılar toplamından yararlanın.

Daha Fazla Pratik

D

noktasının üçgenin içinde olması durumunda açının nasıl değişeceğini düşünerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 315Soru →

O merkezli ve yarıçapı $4$ cm olan bir çeyrek çember verilmiştir. Bu çeyrek çemberin dik kenarlarından biri olan $[OA]$ çap kabul edilerek, çeyrek çemberin içine bir yarım çember çiziliyor. Çeyrek çemberin diğer dik kenarının uç noktası olan B noktasından bu yarım çembere çizilen teğetin değme noktası T'dir.

Buna göre, $|BT|$ uzunluğu kaç cm'dir?

2\sqrt{3}

4

2\sqrt{5}

4\sqrt{2}

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Teğet uzunluğu 4 cm'dir.

Soruda verilen geometrik yapıda iki adet dik üçgen oluşmaktadır. İlk olarak, yarım çemberin merkezi (

K

) ile

B

noktası arasındaki mesafe,

O

noktasındaki diklik kullanılarak bulunur (

|BK|=\sqrt{20}

). İkinci olarak, merkezden teğete inilen yarıçapın dikliği (

KT \perp BT

) kullanılarak

KTB

dik üçgeni oluşturulur. Burada

|KT|=2

(yarım çemberin yarıçapı) ve hipotenüs

|BK|=\sqrt{20}

olduğu için,

|BT|^2 + 2^2 = (\sqrt{20})^2

eşitliğinden

|BT|=4

bulunur. İlginç bir geometrik özellik olarak, bu özel kurguda teğet uzunluğu çeyrek çemberin yarıçapına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Şekli zihinde canlandırın veya çizin: O merkezli çeyrek çemberin yarıçapı

R=4

cm'dir. Yarım çemberin çapı

[OA]

olduğuna göre, yarım çemberin merkezi

K

noktası

[OA]

'nın orta noktasıdır ve yarıçapı

r=2

cm'dir.

|OK| = 2

cm,

|OB| = 4

cm (Çeyrek çemberin diğer yarıçapı).

Geometrik şeklin elemanlarını ve ölçülerini tanımlamak çözümün temelidir.

2

Yarım çemberin merkezi olan

K

noktası ile

B

noktasını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu (

|BK|

) Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.

\triangle KOB

dik üçgendir (

O

köşesi dik).

|BK|^2 = |OK|^2 + |OB|^2 \Rightarrow |BK|^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20

.

Teğet uzunluğunu bulmak için oluşturulacak dik üçgenin hipotenüsünü bulmak gerekir.

3

B

noktasından yarım çembere çizilen teğetin değme noktası

T

ile merkez

K

birleştirilir. Merkezden teğete inen yarıçap diktir (

[KT] \perp [BT]

).

\triangle KTB

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın.

|BK|^2 = |KT|^2 + |BT|^2 \Rightarrow 20 = 2^2 + |BT|^2

.

Bir çemberde merkezden teğet noktasına çizilen yarıçapın teğete dik olması kuralı kullanılır.

4

Elde edilen denklemden

|BT|

değerini çekin.

20 = 4 + |BT|^2 \Rightarrow |BT|^2 = 16 \Rightarrow |BT| = 4

cm.

Sonucu bulmak için son aritmetik işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Bir çemberde merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir. Bu özellik sayesinde dik üçgenler oluşturularak uzunluk hesabı yapılabilir.

İpuçları

1

Yarım çemberin merkezi ile teğet noktası T'yi birleştiren bir doğru parçası çizmeyi deneyin.

2

Çember merkezinden teğet noktasına çizilen yarıçapın, teğet doğrusuna dik olduğunu hatırlayın (

KT \perp BT

).

3

Önce B noktası ile yarım çemberin merkezini birleştirerek bir Pisagor bağıntısı uygulayın, ardından oluşan yeni dik üçgende (

KTB

) ikinci bir Pisagor bağıntısı uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, yarım çember yerine tam çemberin karenin içine çizildiği ve köşeden teğet çizildiği soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Analitik Geometri ile çözüm: O noktasını orijin

(0,0)

kabul edin. A

(4,0)

ve B

(0,4)

olur. Yarım çember merkezi K

(2,0)

ve yarıçapı

2

'dir. B noktasından K merkezli çembere çizilen teğetin uzunluğu formülü veya iki nokta arası uzaklık formülü ile yine

4

bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 316Soru →

Bir düzgün çokgenin herhangi bir köşesinden çizilen tüm köşegenler, o köşeye ait iç açıyı ölçüleri birbirine eşit olan parçalara ayırmaktadır. Bu parçalardan her birinin ölçüsü $12^{\circ}$ olduğuna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

54

90

135

180

405

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Toplam köşegen sayısı 90'dır.

Bir düzgün çokgenin çevrel çemberi düşünüldüğünde, kenarlar eşit uzunlukta kirişlerdir. Bir köşeden diğer köşelere çizilen köşegenler, bu kirişleri gören çevre açıları oluşturur. Eşit kirişleri gören çevre açılar eşit olduğundan, iç açı

n-2

tane eş parçaya bölünür. Her bir parçanın ölçüsü

\alpha = \frac{180^{\circ}}{n}

dir. Verilen

\alpha=12^{\circ}

değeri yerine konulduğunda

n=15

bulunur. 15 kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı ise

\frac{15 \times 12}{2} = 90

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bir köşeden çıkan köşegenlerin iç açıyı böldüğü parça açısının formülünü belirle.

Bu açı, çokgenin çevrel çemberinde bir kenarı gören çevre açıdır ve ölçüsü

\frac{180^{\circ}}{n}

formülüyle bulunur.

Düzgün çokgenin köşeleri çevrel çember üzerindedir ve eşit kenarlar eşit yayları, dolayısıyla eşit çevre açıları görür.

2

Verilen açı ölçüsünü kullanarak kenar sayısını (n) bul.

\frac{180}{n} = 12 \implies n = 15

. Çokgen 15 kenarlıdır.

Parça açısı 12 derece olarak verilmiştir.

3

Toplam köşegen sayısını hesapla.

\frac{n(n-3)}{2} = \frac{15(15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 90

.

Bir n-genin toplam köşegen sayısı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde bir köşeden çıkan köşegenler, iç açıyı

\frac{180^{\circ}}{n}

ölçüsünde eş açılara böler.

İpuçları

1

Bir köşeden çizilen köşegenlerin, çokgenin iç açısını kaç tane üçgene ve dolayısıyla kaç parçaya ayırdığını düşünün.

2

Düzgün çokgenin çevrel çemberini hatırlayın. Bir köşeden çıkan ışınlar, eşit uzunluktaki kenarları (kirişleri) görmektedir.

3

Bir kenarı gören çevre açının ölçüsü

\frac{180^{\circ}}{n}

formülüyle bulunur. Buradan n sayısını bulup köşegen formülünde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Bir iç açısı 144 derece olan düzgün çokgenin kenar sayısını bulunuz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 317Soru →

Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı, bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ve bu köşegenlerin çokgeni ayırdığı üçgen sayısının toplamı $22$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

900^{\circ}

1080^{\circ}

1260^{\circ}

1440^{\circ}

1620^{\circ}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1260^{\circ}$

Cevap

Söz konusu dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

1260^{\circ}

olarak hesaplanır.

Çokgenin kenar sayısı

n

ise, bir köşesinden çizilen köşegen sayısı

n-3

ve bu köşegenlerin ayırdığı üçgen sayısı

n-2

olur. Verilen toplam

n + n-3 + n-2 = 22

eşitliğinden

3n-5=22

ve buradan

n=9

bulunur. Dokuzgenin iç açılar toplamı ise

(9-2) \times 180^{\circ} = 1260^{\circ}

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Çokgenin temel özelliklerini temsil eden değişkenlerin belirlenmesi.

Kenar sayısı:

n

, bir köşeden çizilen köşegen sayısı:

n-3

, oluşan üçgen sayısı:

n-2

.

Dışbükey bir çokgende bir köşeden

n-3

tane köşegen çizilir ve bu köşegenler çokgeni

n-2

tane üçgene ayırır.

2

Soruda verilen toplam bilgisinin denkleme dökülmesi.

n + (n-3) + (n-2) = 22

Kenar sayısı, köşegen sayısı ve üçgen sayısının toplamının

22

olduğu ifade edilmiştir.

3

Kurulan denklemin çözülerek kenar sayısının (

n

) bulunması.

3n - 5 = 22 \Rightarrow 3n = 27 \Rightarrow n = 9

.

Değişkenlerin birleştirilmesi ve sabit terimlerin karşıya atılmasıyla kenar sayısı elde edilir.

4

İç açılar toplamı formülünün uygulanması.

(9-2) \times 180^{\circ} = 7 \times 180^{\circ} = 1260^{\circ}

.

n

kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı

(n-2) \times 180^{\circ}

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde kenar sayısı ile köşegen ve oluşan üçgen sayıları arasındaki bağıntılar.

İpuçları

1

Bir dışbükey çokgende bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısının kenar sayısından

3

eksik olduğunu hatırlayın.

2

Bu köşegenler çokgeni kaç adet üçgene ayırır? Kenar sayısı

n

ise bu sayı

n-2

olur.

3

n + (n-3) + (n-2) = 22

denklemini çözerek kenar sayısını bulun, ardından iç açılar toplamı formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Düzgün çokgenlerde bir iç açının nasıl bulunduğuna dair sorularla pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 318Soru →

İç açıları, ortak farkı $4^{\circ}$ olan aritmetik bir dizi oluşturan ve en küçük iç açısının ölçüsü $124^{\circ}$ olan bir dışbükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

9

12

15

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.

Çokgenin iç açılar toplamı

(n-2)180

formülü ile hesaplanır. Aynı zamanda iç açılar aritmetik bir dizi oluşturduğundan, toplam

\frac{n}{2}(a_1 + a_n)

formülü ile de ifade edilebilir. Bu iki ifade eşitlendiğinde

n^2 - 29n + 180 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 9 ve 20'dir. Ancak dışbükeylik şartı gereği en büyük iç açı 180 dereceden küçük olmalıdır.

n=20

alındığında en büyük açı

200^{\circ}

çıkar ki bu dışbükeylik tanımına aykırıdır. Bu nedenle tek geçerli cevap 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Dışbükey bir çokgenin iç açılar toplamı formülünü ve aritmetik dizi toplam formülünü yaz.

İç açılar toplamı:

(n-2) \times 180^{\circ}

. Aritmetik dizi toplamı:

\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]

.

Çokgenin kenar sayısını (

n

) bulmak için geometrik özellik ile sayısal dizi özelliğini eşitlememiz gerekir.

2

Verilen değerleri (

a_1=124

,

d=4

) formüllerde yerine koyarak denklemi kur.

(n-2) \times 180 = \frac{n}{2} [2 \times 124 + (n-1) \times 4]

İç açılar toplamı her iki yöntemde de eşit olmalıdır.

3

Denklemi sadeleştir ve ikinci dereceden denklemi çöz.

360(n-2) = n[248 + 4n - 4] \Rightarrow 360n - 720 = 4n^2 + 244n \Rightarrow 4n^2 - 116n + 720 = 0 \Rightarrow n^2 - 29n + 180 = 0

. Kökler:

n=9

ve

n=20

.

n değerini bulmak için gerekli cebirsel işlemler.

4

Bulunan köklerin dışbükeylik şartını (her bir iç açı < 180°) sağlayıp sağlamadığını kontrol et.

n=9

için en büyük açı:

124 + 8 \times 4 = 156^{\circ} < 180^{\circ}

(Uygun).

n=20

için en büyük açı:

124 + 19 \times 4 = 200^{\circ} > 180^{\circ}

(Uygun değil).

Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı 180 derece veya daha büyük olamaz.

Anahtar Kavram

Çokgenlerin iç açıları toplamı ile aritmetik dizilerin birleştirilmesi ve dışbükeylik kısıtlaması.

İpuçları

1

Bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı

(n-2) \times 180^{\circ}

formülüyle bulunur.

2

İç açılar toplamını aynı zamanda aritmetik dizi toplam formülü

\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]

ile de ifade edip bu iki denklemi eşitlemelisiniz.

3

Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki pozitif kökü olabilir. Hangisinin 'dışbükey' (iç açı < 180°) tanımına uyduğunu kontrol etmeyi unutmayın.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 319Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ cm ve $|BC| = 13$ cm uzunlukları verilmiştir. Buna göre, $AC$ kenarının uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?

8

cm

12

cm

15

cm

18

cm

20

cm

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$ cm

Cevap

20 cm olan uzunluk, üçgen eşitsizliği kuralına uymadığı için AC kenarının uzunluğu olamaz.

Üçgen eşitsizliğine göre bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. Bu soruda kenarların toplamı

6 + 13 = 19

cm'dir. 20 cm değeri bu toplamdan büyük olduğu için üçgen kuralına aykırıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını hatırla.

|b - c| < a < b + c

Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Verilen değerleri eşitsizlikte yerine koy.

|13 - 6| < |AC| < 13 + 6

|AB| = 6

ve

|BC| = 13

değerlerini kullanarak üçüncü kenarın sınırlarını belirleriz.

3

Eşitsizliği çöz.

7 < |AC| < 19

13 - 6 = 7

ve

13 + 6 = 19

işlemlerini yaparak geçerli aralığı buluruz.

4

Seçenekleri kontrol et.

20

değeri

19

'dan büyüktür.

Bulunan aralıkta olmayan tek değer 20 olduğu için bu uzunlukla üçgen oluşturulamaz.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği

İpuçları

1

Bir üçgenin kenarları arasında 'üçgen eşitsizliği' denilen bir kural vardır.

2

Üçüncü kenar, verilen iki kenarın farkından büyük (13-6) ve toplamından küçük (13+6) olmalıdır.

3

7 < |AC| < 19

aralığında olmayan seçeneği işaretle.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, üçüncü kenarın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri olduğunu bulmaya çalışabilirsin.

Tahmini Süre:45s

Soru 320Soru →

Şekildeki $ABC$ ve $ACD$ üçgenleri $AC$ kenarı boyunca birleştirilmiştir. $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm ve $|CD| = 5$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $|AD| = x$ uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

10

11

13

14

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

x'in alabileceği 13 farklı tam sayı değeri vardır.

Soruda iki aşamalı bir analiz gerekmektedir. İlk olarak

ABC

üçgeninde

B

açısı geniş olduğundan

|AC| = b

kenarı için

b^2 > 6^2 + 8^2

yani

b > 10

şartı, üçgen eşitsizliğinden ise

b < 6+8=14

şartı elde edilir. Böylece

b \in (10, 14)

bulunur. İkinci olarak

ACD

üçgeninde

x

için eşitsizlik

|x-5| < b < x+5

şeklindedir. Bir üçgenin oluşabilmesi için

b

'nin

(10, 14)

aralığındaki değerleri ile

(|x-5|, x+5)

aralığının kesişimi boş küme olmamalıdır. Bu durum, aralık uç noktalarının birbirini kapsamasıyla sağlanır:

10 < x+5 \Rightarrow x > 5

ve

|x-5| < 14 \Rightarrow x < 19

. Sonuç olarak

5 < x < 19

aralığındaki tam sayılar

6, 7, \dots, 18

olup toplam 13 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC üçgeninde geniş açı kuralını uygula.

10 < |AC| < 14

B açısı > 90° olduğundan b² > 6² + 8² (b > 10) ve üçgen eşitsizliğinden b < 6 + 8 (b < 14) olmalıdır.

2

ACD üçgeninde üçgen eşitsizliğini x için yaz.

|AC| - 5 < x < |AC| + 5

Bir üçgende bir kenar, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.

3

İki üçgenin oluşturduğu kısıtlamaları birleştirerek x'in çözüm aralığını bul.

5 < x < 19

|AC| değerleri (10, 14) aralığındadır. Üçgenin oluşabilmesi için aralıkların kesişimi boş küme olmamalıdır. Alt sınır: 10 < x+5 => x > 5. Üst sınır: |x-5| < 14 => -14 < x-5 < 14 => -9 < x < 19. Ortak çözüm: 5 < x < 19.

4

Aralıktaki tam sayıları say.

13 tane

x ∈ {6, 7, ..., 18}. Terim sayısı = Son Terim - İlk Terim + 1 = 18 - 6 + 1 = 13.

Anahtar Kavram

İki üçgenli sistemlerde kenar uzunluğu aralığı, ortak kenarın sınır değerlerinin diğer üçgenin eşitsizliği ile kesiştirilmesiyle bulunur.

İpuçları

1

Önce

ABC

üçgeninde

B

açısının geniş olmasını kullanarak

|AC|

kenarı için geçerli aralığı bulun.

2

Bulduğunuz

|AC|

aralığı ile

ACD

üçgenindeki üçgen eşitsizliğinin ortak bir çözümü olmalıdır.

3

|AC|

değeri

(10, 14)

aralığındadır.

x

değeri öyle seçilmelidir ki,

|x-5|

ile

x+5

aralığı bu

(10, 14)

aralığı ile kesişebilsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, açının dar açı (<90°) verildiği durum için çözmeyi deneyin; eşitsizlik yönlerinin nasıl değiştiğini gözlemleyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram