Layer 1

Soru 101Soru →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları cm cinsinden verilmiştir. $ABC$ üçgeni çeşitkenar bir üçgen olup $x$ bir tam sayıdır.

Buna göre, $x$ 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

42

48

50

56

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

x değerlerinin toplamı 42'dir.

Doğru cevap, üçgen eşitsizliğinden gelen

4 < x < 12

aralığındaki tam sayılardan (

5,6,7,8,9,10,11

), üçgenin çeşitkenar olmasını engelleyen değerlerin (

x=6

ve

x=8

) çıkarılmasıyla kalan sayıların (

5,7,9,10,11

) toplanması sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını (

|b-c| < a < b+c

) uygula.

|(2x-4) - x| < 8 < (2x-4) + x

Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Eşitsizliğin sol ve sağ kısımlarını ayrı ayrı çöz.

Sol kısım:

|x-4| < 8 \Rightarrow -8 < x-4 < 8 \Rightarrow -4 < x < 12

. Sağ kısım:

8 < 3x-4 \Rightarrow 12 < 3x \Rightarrow x > 4

. Kesişim aralığı:

4 < x < 12

.

x değeri her iki koşulu da sağlamalıdır. Ayrıca uzunluk negatif olamayacağı için

2x-4>0 \Rightarrow x>2

şartı da zaten sağlanmış olur.

3

Bulunan aralıktaki tam sayıları listele.

x tam sayıları: {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Soruda x'in tam sayı olduğu belirtilmiştir.

4

Çeşitkenar üçgen olma şartını kontrol et ve uygun olmayan değerleri ele.

1)

x \neq 8

(8 elendi). 2)

2x-4 \neq 8 \Rightarrow 2x \neq 12 \Rightarrow x \neq 6

(6 elendi). 3)

x \neq 2x-4 \Rightarrow x \neq 4

(Aralıkta değil). Kalan değerler: {5, 7, 9, 10, 11}

Çeşitkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olmalıdır (

|AB| \neq |AC|

,

|BC| \neq |AB|

,

|AC| \neq |BC|

).

5

Kalan değerleri topla.

5 + 7 + 9 + 10 + 11 = 42

Sonuç hesaplaması.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği ve Çeşitkenar Üçgen Özellikleri

Soru 102Soru →

O merkezli bir çemberin dışındaki bir P noktasından çembere çizilen teğetin değme noktası T'dir. Çemberin yarıçapı $5$ cm ve $|PT| = 12$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, P noktasının çembere olan en kısa uzaklığı kaç cm'dir?

7

8

12

13

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

P noktasının çembere olan en kısa uzaklığı 8 cm'dir.

Soruda verilenler bir dik üçgen oluşturur. Yarıçap (

r=5

) ve teğet uzunluğu (

12

) dik kenarlardır. Pisagor bağıntısı veya 5-12-13 özel üçgeni yardımıyla P noktasının merkeze uzaklığı 13 cm bulunur. Çembere olan en kısa uzaklık ise merkeze olan uzaklıktan yarıçapın farkıdır (

13 - 5 = 8

).

Adım Adım Çözüm

1

Teğet özelliğini kullanarak dik üçgeni oluşturma

Çemberin merkezini O olarak alırsak, yarıçap teğete değme noktasında diktir (

OT \perp PT

). Böylece OPT dik üçgeni oluşur.

Bir çemberde yarıçap, teğet noktasına diktir.

2

Pisagor bağıntısını uygulama

|OT|^2 + |PT|^2 = |PO|^2

formülünden

5^2 + 12^2 = |PO|^2 \Rightarrow 25 + 144 = 169

. Buradan

|PO| = 13

cm bulunur.

Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.

3

En kısa uzaklığı hesaplama

P noktasının çembere en kısa uzaklığı, merkeze olan uzaklıktan yarıçapın çıkarılmasıyla bulunur:

|PO| - r = 13 - 5 = 8

cm.

Bir noktanın çembere en kısa uzaklığı, o noktayı merkeze birleştiren doğrunun çemberi kestiği nokta ile o nokta arasındaki mesafedir.

Anahtar Kavram

Bir noktadan çembere çizilen teğet, değme noktasında yarıçapa diktir ve oluşan dik üçgen (genellikle özel üçgenler) kullanılarak uzunluk hesaplanır.

İpuçları

1

Çemberin merkezi ile teğet noktasını birleştiren yarıçapın, teğet doğrusuna dik olduğunu hatırlayınız.

2

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak P noktasının merkeze olan uzaklığını (

|PO|

) bulunuz.

3

Merkeze olan uzaklık 13 cm'dir. Çembere olan en kısa uzaklığı bulmak için bu mesafeden yarıçapı çıkarmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda P noktasının çembere olan en uzak mesafesinin sorulduğu bir soru çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 103Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğu bilinmektedir. $[BC]$ kenarının uzantısı üzerine $A$ köşesinden indirilen dikmenin ayağı $H$ noktasıdır.

$[AH] \perp [HC]$ , $|AH| = 12\text{ cm}$ ve $|BC| = 15\text{ cm}$ olarak verilmiştir.

$ABC$ üçgeni içinde, $[BC]$ kenarına paralel olacak şekilde çizilen $[DE]$ doğru parçası, kenarları $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktalarında kesmektedir.

$|AD| = 2|DB|$ olduğuna göre, $DBCE$ dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

30

40

50

80

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

DBCE dörtgeninin alanı 50 cm² dir.

Öncelikle ABC üçgeninin alanı (15*12)/2 = 90 cm² olarak bulunur. |AD|=2|DB| bilgisinden benzerlik oranı k=2/3 olarak tespit edilir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (k²) olduğundan, Alan(ADE)/Alan(ABC) = 4/9 olur. Buradan Alan(ADE) = 40 cm² bulunur. İstenen DBCE dörtgeninin alanı ise tüm alandan bu parçanın çıkarılmasıyla 90 - 40 = 50 cm² olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Büyük üçgenin (ABC) alanını hesapla.

Alan(ABC) = (Taban × Yükseklik) / 2 = (15 × 12) / 2 = 90 cm²

Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dışına düşebilir; taban |BC| ve yükseklik |AH| kullanılarak alan bulunur.

2

ADE ve ABC üçgenleri arasındaki benzerlik oranını (k) belirle.

k = |AD| / |AB| = 2k / (2k + k) = 2/3

|AD| = 2|DB| verildiği için toplam kenar |AB| = 3 birim kabul edilir. Paralellikten dolayı temel benzerlik teoremi uygulanır.

3

Alanların oranını bulmak için benzerlik oranının karesini al.

Alan Oranı = k² = (2/3)² = 4/9

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

4

Küçük üçgenin (ADE) alanını hesapla.

Alan(ADE) = Alan(ABC) × (4/9) = 90 × (4/9) = 40 cm²

Bulunan alan oranı büyük üçgenin alanına uygulanır.

5

İstenen dörtgenin (DBCE) alanını bulmak için çıkarma işlemi yap.

Alan(DBCE) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 90 - 40 = 50 cm²

Büyük üçgenin alanından tepedeki küçük üçgenin alanı çıkarılarak alttaki yamuğun alanı bulunur.

Anahtar Kavram

Benzerlik Alan İlişkisi (k -> k²)

İpuçları

1

Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dış bölgesinde olabilir. Önce büyük üçgenin (ABC) alanını hesaplayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 104Soru →

Bir kenar uzunluğu $12$ cm olan $ABC$ eşkenar üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $D$ noktasından $[AB]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $E$ , $[AC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $F$ 'dir.

$AEDF$ dörtgeninin alanı $26\sqrt{3}$ cm $^2$ olduğuna göre, $|BD|$ uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dörtgenin alanından yola çıkarak

|BD|

uzunluğu 4 cm olarak bulunur.

Doğru cevap, eşkenar üçgenin alanından köşelerdeki 30-60-90 üçgenlerinin alanlarının çıkarılmasıyla kurulan

x^2 - 12x + 32 = 0

denkleminin köküdür (

x=4

).

Adım Adım Çözüm

1

AEDF

dörtgeninin alanını bulmak için, tüm üçgenin alanından köşelerdeki dik üçgenlerin (

\\triangle BED

ve

\\triangle DFC

) alanlarını çıkarma yöntemini belirle.

Alan(

AEDF

) = Alan(

ABC

) - [Alan(

BED

) + Alan(

DFC

)]

Düzgün olmayan dörtgenin alanını bulmanın en pratik yolu, bilinen büyük şekilden parça çıkarmaktır.

2

ABC

eşkenar üçgeninin alanını hesapla (kenar

a=12

).

Alan(

ABC

) =

\\frac{12^2\\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3}

cm

^2

.

Eşkenar üçgen alan formülü:

\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}

.

3

|BD| = x

diyerek

|DC| = 12-x

olduğunu yaz ve oluşan 30-60-90 üçgenlerinin (

\\triangle BED

ve

\\triangle DFC

) alanlarını

x

cinsinden ifade et.

Alan(

BED

) =

\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{x}{2} \\cdot \\frac{x\\sqrt{3}}{2} = \\frac{x^2\\sqrt{3}}{8}

. Alan(

DFC

) =

\\frac{(12-x)^2\\sqrt{3}}{8}

.

30-60-90 üçgeninde hipotenüs

k

ise, 30'un karşısı

k/2

, 60'ın karşısı

k\\sqrt{3}/2

olur.

4

Verilen dörtgen alanı (

26\\sqrt{3}

) ile toplam alan eşitliğini kur ve

x

için çöz.

36\\sqrt{3} - (\\frac{x^2\\sqrt{3}}{8} + \\frac{(12-x)^2\\sqrt{3}}{8}) = 26\\sqrt{3}

denklemi çözüldüğünde

x^2 - 12x + 32 = 0

elde edilir.

Alanı verilen değere eşitleyerek bilinmeyeni bulmak için.

5

İkinci dereceden denklemin köklerini bul.

(x-4)(x-8)=0

olduğundan

x=4

veya

x=8

. Şıklarda 4 olduğu için cevap 4'tür.

D

noktası simetrik iki konumda olabilir, soruda 'hangisi olabilir' denmesinin sebebi budur.

Anahtar Kavram

Eşkenar Üçgen Alan Parçalaması

İpuçları

1

Tüm üçgenin alanını hesaplayıp, köşelerde oluşan küçük dik üçgenlerin alanlarını toplam alandan çıkarmayı deneyin.

2

Köşelerde oluşan

\\triangle BED

ve

\\triangle DFC

üçgenleri, 30-60-90 üçgenleridir.

|BD|=x

derseniz dik kenarları

x

cinsinden bulabilirsiniz.

3

|BD|=x

ise

|DC|=12-x

olur.

AEDF

alanı = (Tüm Alan) - (Alan(

BED

) + Alan(

DFC

)). Bu denklem size

x

'e bağlı ikinci dereceden bir denklem verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir karenin köşesinden parça kesilerek oluşturulan alan sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yamuk Alanı Yöntemi:

E

ve

F

noktalarının koordinatlarını veya yüksekliklerini belirleyip, şekli dik yamuklara bölerek de alan hesabı yapılabilir, ancak çıkarma yöntemi daha pratiktir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 105Soru →

Bir çemberin içinde, birbirini dik kesen $[AB]$ ve $[CD]$ kirişleri $P$ noktasında kesişmektedir. $|AP| = 2$ cm, $|PB| = 6$ cm ve $|CP| = 3$ cm olduğuna göre, bu çemberin alanı kaç $\pi$ cm $^2$ 'dir?

13

15

16

\frac{65}{4}

\frac{49}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{65}{4}$

Cevap

Çemberin alanı

\frac{65}{4}\pi

cm

^2

'dir.

Çemberde kesişen kirişler için kuvvet bağıntısı (

2 \cdot 6 = 3 \cdot |PD|

) kullanılarak

|PD|=4

bulunur. Kirişler birbirine dik olduğundan, yarıçap hesabı için

4R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2

formülü veya koordinat düzlemi mantığıyla merkez uzaklıkları kullanılabilir.

R^2 = 16.25

bulunur, alan

\frac{65}{4}\pi

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Çemberde kuvvet bağıntısını kullanarak bilinmeyen parça uzunluğunu bul.

|AP| \cdot |PB| = |CP| \cdot |PD| \Rightarrow 2 \cdot 6 = 3 \cdot |PD| \Rightarrow |PD| = 4

cm.

Kesişen kirişlerin parçalarının çarpımı birbirine eşittir.

2

Çemberin merkezinin kirişlere olan uzaklıklarını ve yarıçapı hesapla.

|AB| = 8

cm (orta nokta M,

AM=4

),

|CD|=7

cm (orta nokta N,

CN=3.5

). Merkezden kirişlere inilen dikmeler kirişleri ortalar.

|MP| = |4-2| = 2

ve

|NP| = |3.5-3| = 0.5

.

Yarıçapı bulmak için merkezden kiriş uç noktasına pisagor uygulanır.

3

Pisagor bağıntısı ile yarıçapın karesini (

R^2

) hesapla.

Merkez

O

,

[AB]

kirişinin orta noktası

M

olsun.

OMB

dik üçgeninde:

R^2 = |OM|^2 + |MB|^2

.

|OM|

mesafesi,

P

noktasının diğer kirişe göre konumundan

0.5

cm bulunur.

R^2 = (0.5)^2 + 4^2 = 0.25 + 16 = 16.25 = \frac{65}{4}

.

Çemberin alanı formülü için

R^2

değeri gereklidir.

4

Alan formülünü uygula.

Alan =

\pi R^2 = \frac{65}{4}\pi

.

Dairenin alanı

\pi R^2

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Çemberde Kiriş Özellikleri ve Kuvvet Bağıntısı

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Birbirini dik kesen kirişler için

4R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2

formülü kullanılabilir.

a=2, b=6, c=3, d=4

için

4R^2 = 4 + 36 + 9 + 16 = 65 \Rightarrow R^2 = 65/4

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 106Soru →

$ABC$ bir üçgen, $D \in [AC]$ noktası işaretlenmiştir. $|BD| = |BC|$ , $m(\widehat{ABD}) = 36^\circ$ ve $m(\widehat{DBC}) = 42^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?

33

36

42

69

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

İç açılar toplamı kuralından yararlanılarak

m(\widehat{BAC}) = 33^\circ

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan 33 değeri, önce

|BD| = |BC|

eşitliğinden

C

açısının

69^\circ

olarak bulunması, ardından

ABC

üçgeninin tüm açılarının toplamının

180^\circ

olması kuralının uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

BDC

üçgeninin iç açılarını belirleyin.

m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) = 69^\circ

|BD| = |BC|

olduğu için

BDC

bir ikizkenar üçgendir. Taban açıları

(180^\circ - 42^\circ) / 2 = 69^\circ

olur.

2

ABC

üçgeninin

B

köşesindeki toplam açıyı hesaplayın.

m(\widehat{ABC}) = 78^\circ

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC}) = 36^\circ + 42^\circ = 78^\circ

olur.

3

ABC

üçgeninin iç açılar toplamını kullanarak

A

açısını bulun.

m(\widehat{BAC}) = 33^\circ

m(\widehat{BAC}) + 78^\circ + 69^\circ = 180^\circ

denkleminden

m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 147^\circ = 33^\circ

elde edilir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban açılarının eşitliği ve bir üçgenin iç açılarının toplamının

180^\circ

olması.

İpuçları

1

Şekildeki ikizkenar olan

BDC

üçgenine odaklanın.

2

|BD| = |BC|

ise

D

ve

C

köşelerindeki açılar birbirine eşittir.

3

C

açısını bulduktan sonra

ABC

üçgeninin tamamındaki iç açılar toplamını 180 dereceye eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgenlerde dış açı özelliklerini kullanarak aynı soruyu çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 107Soru →

$ABC$ bir üçgen ve $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir.

$|AB| = |AD|$ , $m(\widehat{DAC}) = 48^\circ$ ve $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB})$ eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, $m(\widehat{ABC})$ kaç derecedir?

64

68

72

76

82

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

Doğru cevap 76 derecedir.

Verilen açı eşitlikleri ve ikizkenar üçgen özelliği kullanılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde B açısının 76 derece olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken atama

m(\widehat{BAD}) = \alpha

ve

m(\widehat{ABC}) = \beta

diyelim.

Bilinmeyen açıları ifade etmek için harflendirme yöntemi kullanılır.

2

Verilen eşitlikleri kullanma

m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB})

olduğu için

m(\widehat{ACB}) = \alpha

olur.

Soruda verilen açı eşitliği değişkene yansıtılır.

3

İkizkenar üçgen özelliğini kullanma

|AB| = |AD|

olduğu için

\triangle ABD

ikizkenardır. Taban açıları eşittir, yani

m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{ABC}) = \beta

olur.

İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları birbirine eşittir.

4

Denklem sistemi kurma

1.

\triangle ABD

iç açılar toplamı:

\alpha + \beta + \beta = 180^\circ \Rightarrow \alpha + 2\beta = 180

2.

\triangle ABC

iç açılar toplamı:

(\alpha + 48) + \beta + \alpha = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + \beta = 132

Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

kuralı her iki üçgen için de uygulanır.

5

Sistemi çözme

İkinci denklemi -2 ile genişletelim:

-4\alpha - 2\beta = -264

. Bunu birinci denklemle toplayalım:

(\alpha + 2\beta) + (-4\alpha - 2\beta) = 180 - 264 \Rightarrow -3\alpha = -84 \Rightarrow \alpha = 28^\circ

.

Yok etme metodu ile bilinmeyenlerden biri bulunur.

6

Sonucu bulma

Bulunan

\alpha

değerini birinci denklemde yerine koyalım:

28 + 2\beta = 180 \Rightarrow 2\beta = 152 \Rightarrow \beta = 76^\circ

. İstenen açı

m(\widehat{ABC}) = \beta = 76^\circ

.

Bulunan değer denklemde yerine konularak istenen açı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgen ve Denklem Kurma

Soru 108Soru →

Bir ayrıtı $4$ cm olan dolu bir küpün, cisim köşegeni ile belirlenen karşılıklı iki köşesinden; bu köşelerle birleşen ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemlerle üçgen piramit biçiminde parçalar kesilip atılıyor.

Buna göre, geriye kalan cismin yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

84 + 4\sqrt{3}

90 + 2\sqrt{3}

96 + 4\sqrt{3}

84 + 8\sqrt{3}

72 + 6\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $84 + 4\sqrt{3}$

Cevap

Cismin yeni yüzey alanı

84 + 4\sqrt{3}

\text{cm}^2

dir.

Doğru cevap, başlangıçtaki küp alanından (

96

), kesilen iki köşedeki üçer dik üçgenin alanının (

2 \times 6 = 12

) çıkarılması ve yerine oluşan iki eşkenar üçgenin alanının (

2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

) eklenmesiyle bulunur. Sonuç

84 + 4\sqrt{3}

tür.

Adım Adım Çözüm

1

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesapla.

A_{küp} = 6 \times a^2 = 6 \times 4^2 = 96

\text{cm}^2

Küpün yüzey alanı 6 adet karenin alanına eşittir.

2

Bir köşeden kesilen parçanın yüzey alanından eksilttiği miktarı bul.

Eksilen alan:

3 \times \frac{2 \times 2}{2} = 6

\text{cm}^2

Her köşede, ayrıtların orta noktalarından (2 cm) kesim yapıldığı için, küpün yüzeyinden 3 adet ikizkenar dik üçgen (dik kenarları 2 cm) eksilir.

3

Kesim sonucu oluşan yeni yüzeyin (arakesit) alanını hesapla.

Eklenen alan:

\frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}

\text{cm}^2

Kesilen yüzey bir eşkenar üçgendir. Kenar uzunluğu, dik kenarları 2 cm olan dik üçgenin hipotenüsüdür:

2\sqrt{2}

cm. Eşkenar üçgen alanı

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

formülüyle bulunur.

4

Toplam alan değişimini hesapla ve sonucu bul.

Yeni Alan =

96 - 2(6) + 2(2\sqrt{3}) = 96 - 12 + 4\sqrt{3} = 84 + 4\sqrt{3}

İki karşılıklı köşe kesildiği için, eksilen ve eklenen alanlar 2 ile çarpılır. Başlangıç alanından eksilenler çıkarılır, eklenenler toplanır.

Anahtar Kavram

Cisimlerin Yüzey Alanı Değişimi

Soru 109Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ ağırlık merkezi ve $[AD]$ kenarortaydır. $B$ açısına ait iç açıortay doğrusu, $[AG]$ doğru parçasının orta noktasından geçmektedir. Buna göre, $\frac{|AB|}{|BC|}$ oranı kaçtır?

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{1}{4}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{4}$

Cevap

\frac{1}{4}

Doğru yanıt olan

\frac{1}{4}

değerine ulaşmak için önce ağırlık merkezinin

[AD]

kenarortayını

|AG|=2|GD|

şeklinde böldüğü, ardından

[AG]

'nin orta noktası

M

ile birlikte

|AM|=|MG|=|GD|=k

eşitliğinin sağlandığı görülmelidir.

ABD

üçgeninde

[BM]

açıortay olduğundan iç açıortay teoremi gereği

|AB|/|BD| = |AM|/|MD| = k/2k = 1/2

olur.

|BC|=2|BD|

olduğu için

|AB|/|BC| = 1/4

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ağırlık merkezi özelliğini belirleme

|AG| = 2|GD|

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler.

2

AG

parçasının orta noktasını (

M

) kullanma

|AM| = |MG| = k

ise

|GD| = k

olur.

|AG| = 2k

olduğunda, orta nokta bu parçayı

k, k

şeklinde böler. Ağırlık merkezi kuralından

|GD|

de

k

olur.

3

ABD

üçgeninde iç açıortay teoremini uygulama

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AM|}{|MD|} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}

B

açısının açıortayı

[AD]

kenarını

M

noktasında kestiği için kenarların oranı ayırdığı parçaların oranına eşittir. Burada

|MD| = |MG| + |GD| = 2k

dır.

4

Kenarortay özelliğini kullanarak nihai oranı bulma

\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{1}{4}

|AD|

kenarortay olduğundan

|BC| = 2|BD|

dir.

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{1}{2}

ise

\frac{|AB|}{2|BD|} = \frac{1}{4}

bulunur.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi (1:2 oranı) ve iç açıortay teoreminin birlikte kullanımı

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 110Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ ve $[BD] \perp [AC]$ 'dir. $|AB| = 15$ cm ve $|BC| = 20$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

9

12

16

25

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Dik üçgende hipotenüs üzerindeki izdüşüm uzunluğunu veren Öklid bağıntısı kullanılarak

|AD| = 9

cm bulunur.

Verilen

ABC

dik üçgeninde önce Pisagor bağıntısı ile

|AC| = 25

cm olarak bulunur. Ardından Öklid'in dik kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın uzunluğunun karesi (

15^2

), o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşüm uzunluğu (

|AD|

) ile hipotenüsün tamamının (

|AC|

) çarpımına eşittir. Bu durumda

225 = |AD| \times 25

eşitliğinden sonuç 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde Pisagor bağıntısı ile hipotenüs uzunluğunu hesapla.

|AC|^2 = 15^2 + 20^2 \Rightarrow |AC|^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow |AC| = 25

cm.

Öklid bağıntılarını uygulayabilmek için hipotenüsün tamamına ihtiyaç vardır.

2

Öklid'in dik kenar bağıntısını (

|AB|^2 = |AD| \cdot |AC|

) uygula.

15^2 = |AD| \cdot 25 \Rightarrow 225 = |AD| \cdot 25

.

Bir dik üçgende dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

3

|AD|

uzunluğunu bulmak için denklemi çöz.

|AD| = \frac{225}{25} = 9

cm.

Bölme işlemi ile bilinmeyen kenar uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Öklid bağıntıları ve Pisagor teoremi.

İpuçları

1

Öncelikle

15-20-?

özel üçgenini kullanarak hipotenüsün tamamını bulmayı deneyin.

2

Dik kenarların uzunlukları biliniyorsa, Öklid'in dik kenar bağıntısını (

c^2 = p \cdot a

) kullanabilirsiniz.

3

|AB|^2 = |AD| \cdot |AC|

formülünde bildiğiniz değerleri yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda

|BD|

yüksekliğini bulmayı ve ardından

|AD|

ile

|DC|

arasındaki ilişkiyi Öklid'in yükseklik bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) ile kontrol etmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce alanı kullanarak veya Öklid yüksekliği ile

|BD| = 12

bulunur. Daha sonra

ABD

üçgeninde

9-12-15

özel üçgeni (3-4-5'in 3 katı) fark edilerek

|AD| = 9

doğrudan söylenebilir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 111Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ cm ve $|AC| = 15$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $BC$ kenarına ait kenarortayın uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

3

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kenarortay uzunluğu 5 farklı tam sayı değeri alabilir.

Soruda verilen kenarortay uzunluğu

x

olsun. Kenarortay teoremi gereği

x

değeri

\frac{|b-c|}{2} < x < \frac{b+c}{2}

aralığındadır; yani

3,5 < x < 11,5

. Ancak

m(\widehat{A}) > 90^\circ

şartı verildiğinden, kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan daha kısa olmalıdır. Dik üçgen olsaydı hipotenüs

17

ve kenarortay

8,5

olurdu. Geniş açıda

x < 8,5

olmalıdır. Bu iki şartın kesişimi

3,5 < x < 8,5

aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 ve 8 olmak üzere toplam 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortay uzunluğu (

V_a

) için genel sınırları belirle.

\frac{|15-8|}{2} < V_a < \frac{15+8}{2} \Rightarrow 3,5 < V_a < 11,5

Bir üçgende bir kenara ait kenarortay, diğer iki kenarın toplamının yarısından küçük, farkının mutlak değerinin yarısından büyüktür.

2

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

şartının kenarortay üzerindeki etkisini incele.

V_a < \frac{\sqrt{8^2 + 15^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{17}{2} = 8,5

A açısı

90^\circ

olsaydı

V_a = \frac{a}{2} = 8,5

olurdu. A açısı büyüdükçe (

>90^\circ

) karşı kenar (

a

) uzar, ancak kenarortay (

V_a

) kısalır.

3

Elde edilen iki eşitsizliği birleştir ve tam sayıları say.

3,5 < V_a < 8,5

aralığındaki tam sayılar:

\{4, 5, 6, 7, 8\}

(Toplam 5 adet)

Her iki koşulu da (genel üçgen olma şartı ve geniş açı şartı) aynı anda sağlayan değerler çözüm kümesidir.

Anahtar Kavram

Üçgende Kenarortay ve Açı İlişkisi

İpuçları

1

Bir üçgende kenarortay uzunluğu (

V_a

), diğer iki kenarın toplamının yarısından küçük, farkının yarısından büyüktür.

2

Eğer

m(\widehat{A}) = 90^\circ

olsaydı, muhteşem üçlü gereği kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olurdu (8-15-17 üçgenini hatırla).

3

Açının

90^\circ

'den büyük olması (geniş açı), karşısındaki kenarı uzatırken, o köşeden çıkan kenarortayı kısaltır. Yani

V_a < \text{Hipotenüs}/2

olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

m(\widehat{A}) < 90^\circ

(dar açı) şartıyla çözerek kenarortayın alt sınırının nasıl değiştiğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Kenarortayı

x

kadar dışarı uzatarak bir paralelkenar oluşturulabilir. Kenarları 8 ve 15 olan bu paralelkenarın bir köşegeni

2x

olur. Geniş açının bütünleri dar açı olacağından, oluşan üçgende

2x

gören açı

<90^\circ

olur. Buradan

(2x)^2 < 8^2 + 15^2

eşitsizliği kurulabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 112Soru →

Analitik düzlemde $4x - 2y + 6 = 0$ denklemi ile verilen doğrunun eğimi kaçtır?

-2

-\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

2

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

Doğrunun eğimi 2'dir.

Verilen doğru denklemi kapalı formda (

Ax + By + C = 0

) olduğunda eğim

m = -\frac{A}{B}

formülüyle bulunur. Burada

x

'in katsayısı

A=4

ve

y

'nin katsayısı

B=-2

'dir. Formülde yerine koyduğumuzda

m = -\frac{4}{-2} = 2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru denklemini

y

yalnız kalacak şekilde düzenle veya eğim formülünü kullan.

Ax + By + C = 0

şeklindeki bir doğruda eğim

m = -\frac{A}{B}

formülü ile bulunur.

Doğrunun eğimini bulmak için standart yöntem budur.

2

Verilen denklemdeki

A

ve

B

değerlerini belirle.

Denklem

4x - 2y + 6 = 0

olduğu için

A = 4

ve

B = -2

'dir.

x

'in katsayısı

A

,

y

'nin katsayısı

B

'dir.

3

Değerleri formülde yerine koy.

m = -\frac{4}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2

İşaretlere dikkat edilerek bölme işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Doğrunun Eğimi

İpuçları

1

Bir doğrunun eğimini bulmak için denklemi

y = mx + n

haline getirebilirsin. Burada

x

'in katsayısı eğimi verir.

2

Ax + By + C = 0

şeklindeki genel denklemde eğim formülü

m = -\frac{A}{B}

şeklindedir.

3

Verilen denklemde

A=4

ve

B=-2

'dir. Bu değerleri

m = -\frac{A}{B}

formülünde yerine koy.

Daha Fazla Pratik

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemini yazma sorularına çalışabilirsin.

Alternatif Yöntem

Denklemi

y

'ye göre düzenleyerek çözmek:

4x + 6 = 2y

eşitliğinden her iki tarafı 2'ye bölersek

y = 2x + 3

olur.

x

'in katsayısı olan 2 eğimdir.

Tahmini Süre:45s

Soru 113Soru →

$|AB| = |AC|$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. $|BC| = 16$ cm ve $G$ noktasının $A$ köşesine olan uzaklığı $10$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç cm'dir?

13

2√41

15

17

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17 cm

İkizkenar üçgende ağırlık merkezi (

G

), tabana inen yükseklik üzerinde bulunur. Ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böldüğü için,

|AG|=10

ise

|GH|=5

ve toplam yükseklik

|AH|=15

cm olur. Taban

|BC|=16

olduğundan yükseklik tabanı ikiye böler (

|BH|=8

). Oluşan

ABH

dik üçgeni 8-15-17 özel üçgenidir, dolayısıyla

|AB|=17

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A

köşesinden

G

noktasından geçen ve

[BC]

kenarını kesen doğru parçasını çizin ve kesim noktasına

H

deyin.

[AH]

doğru parçası oluşur.

İkizkenar üçgende tepe açısından inen ve ağırlık merkezinden geçen doğru, tabana ait kenarortay ve aynı zamanda yüksekliktir.

2

Ağırlık merkezi özelliğini (k'ya 2k oranı) kullanarak

|GH|

ve toplam

|AH|

yüksekliğini hesaplayın.

|AG| = 2|GH| \Rightarrow 10 = 2|GH| \Rightarrow |GH|=5

cm. Yükseklik

|AH| = 10 + 5 = 15

cm.

Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.

3

İkizkenar üçgen özelliğinden dolayı

H

noktasının

[BC]

tabanını iki eş parçaya böldüğünü belirleyin.

|BH| = |HC| = \frac{16}{2} = 8

cm.

İkizkenar üçgende tepe açısından inen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.

4

ABH

dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak

|AB|

uzunluğunu bulun.

|AB|^2 = |BH|^2 + |AH|^2 \Rightarrow |AB|^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \Rightarrow |AB| = 17

cm.

Oluşan 8-15-17 özel dik üçgeni yardımıyla hipotenüs hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme hem kenarortay hem de açıortaydır; ayrıca ağırlık merkezi bu doğru üzerinde olup kenarortayı 1'e 2 oranında böler.

İpuçları

1

İkizkenar üçgende ağırlık merkezinin (

G

) hangi doğru üzerinde bulunduğunu hatırlayınız.

2

A

köşesinden

G

noktasından geçecek şekilde tabana bir dikme indirin. Ağırlık merkezi kenarortayı hangi oranda böler?

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 114Soru →

Bir mimar, üçgen şeklindeki bir arazinin $A$ köşesinden başlayarak araziyi iki bölgeye ayıracak düz bir çit örmek istiyor. Mimarın belirlediği plana göre, çit üzerindeki her bir noktanın arazinin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına (sınırlarına) olan dik uzaklıkları birbirine eşit olacaktır.

Buna göre mimarın inşa edeceği bu çit, $ABC$ üçgeninin hangi yardımcı elemanı üzerinde yer almalıdır?

[BC]

kenarına ait kenarortay

A

açısına ait iç açıortay

[BC]

kenarına ait yükseklik

[BC]

kenarının orta dikmesi

[AB]

kenarına ait yükseklik

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ açısına ait iç açıortay

Cevap

Mimarın inşa edeceği çit,

A

açısına ait iç açıortay üzerinde yer almalıdır.

İç açıortay, bir açıyı iki eş açıya bölen doğru parçasıdır. Geometrik bir özellik olarak, açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına (üçgenin yan kenarlarına) çizilen dikmelerin uzunlukları her zaman birbirine eşittir. Bu nedenle, çit üzerindeki her noktanın kenarlara uzaklığının eşit olması ancak bu çitin açıortay üzerinde olmasıyla mümkündür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen 'kenarlara eşit dik uzaklık' şartının geometrik karşılığını belirlemek.

Çit üzerindeki bir

P

noktasının

[AB]

kenarına uzaklığı (

h_1

) ile

[AC]

kenarına uzaklığı (

h_2

) için

h_1 = h_2

olmalıdır.

Soruda her noktanın iki kenara olan dik uzaklıklarının eşitliği şart koşulmuştur.

2

Açıortay tanımını ve temel özelliğini hatırlamak.

Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru üzerindeki her nokta, açının kollarından eşit uzaklıktadır.

Bu özellik açıortay teoreminin temelini oluşturur ve geometrik yer olarak açıortayı tanımlar.

3

Sonucu üçgenin yardımcı elemanıyla eşleştirmek.

A

köşesinden başlayıp bu özelliği sağlayan doğru parçası,

A

açısının iç açıortayıdır.

Çit

A

köşesinden başladığı ve yan kenarlara (

[AB]

ve

[AC]

) olan mesafeleri eşitlediği için bu tanıma tam olarak uyar.

Anahtar Kavram

Açıortay üzerindeki her nokta, açının kollarından eşit uzaklıktadır.

İpuçları

1

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı denildiğinde o noktadan doğruya inilen 'dikme' uzunluğu kastedilir.

2

Üçgenin hangi elemanı, bulunduğu açıyı tam ortadan bölerek her iki kenara simetrik bir konumda bulunur?

3

Açıortay teoremini hatırlayın: Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kenarlarına çizilen dikmeler birbirine eşittir.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgende hangi yardımcı elemanların (yükseklik, açıortay, kenarortay) çakışık olduğunu inceleyerek bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bu noktanın aynı zamanda iç teğet çemberin merkezi (

I

) olabileceğini düşünün. İç teğet çemberin merkezi, tüm kenarlara eşit (yarıçap kadar) uzaklıktadır ve bu nokta tüm iç açıortayların kesim noktasıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 115Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde, üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bulunan bir $K$ noktası işaretleniyor ( $|KA| = |KB| = |KC|$ ).

$m(\widehat{ABC}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 50^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{AKB})$ kaç derecedir?

100

110

120

130

140

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

100

K noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir (köşelere eşit uzaklıkta olduğu için). Çemberde merkez açı, aynı yayı gören çevre açının iki katıdır. Sorulan

\widehat{AKB}

açısı

AB

kenarına bakmaktadır.

AB

kenarını gören çevre açı ise

C

açısıdır (

50^\circ

). Bu nedenle

m(\widehat{AKB}) = 2 \cdot m(\widehat{C}) = 2 \cdot 50 = 100^\circ

bulunur. Alternatif olarak ikizkenar üçgen özellikleri kullanılarak da çözülebilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

|KA|=|KB|=|KC|

eşitliğinden yola çıkarak

KAB

,

KBC

ve

KAC

üçgenlerinin ikizkenar olduğunu belirle.

KAB

,

KBC

,

KAC

ikizkenar üçgenlerdir.

Bir noktadan üçgenin köşelerine çizilen doğrular eşit uzunluktaysa, oluşan iç üçgenlerin her biri ikizkenardır.

2

İkizkenar üçgenlerin taban açılarına harf vererek denklem sistemi kur.

m(\widehat{KBA})=m(\widehat{KAB})=x

,

m(\widehat{KBC})=m(\widehat{KCB})=y

,

m(\widehat{KAC})=m(\widehat{KCA})=z

.

İkizkenar üçgenlerde taban açıları eşittir.

3

Verilen açı değerlerini bu harfler cinsinden yaz.

x+y = 60^\circ

(B açısı) ve

y+z = 50^\circ

(C açısı). Ayrıca üçgenin iç açıları toplamından

A

açısını bul:

180 - (60+50) = 70^\circ

, yani

x+z = 70^\circ

.

Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

4

Oluşan denklem sistemini çözerek

x

değerini bul.

(x+y) + (x+z) - (y+z) = 60 + 70 - 50 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow x = 40^\circ

.

AKB açısını bulmak için

KAB

üçgeninin taban açılarına (

x

) ihtiyacımız vardır.

5

AKB

üçgeninin tepe açısını hesapla.

m(\widehat{AKB}) = 180 - 2x = 180 - 80 = 100^\circ

.

Üçgen iç açıları toplamı.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bulunan nokta, o üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Bu durumda merkezdeki açı, gördüğü yayın (veya karşı köşedeki açının) iki katı ile ilişkilidir.

İpuçları

1

K noktasından köşelere çizilen doğru parçalarının eşitliği (

|KA|=|KB|=|KC|

), üç tane ikizkenar üçgen oluşturur.

2

KAB

,

KBC

ve

KAC

üçgenlerinin taban açılarına değişkenler vererek (x, y, z gibi) verilen 60 ve 50 derecelik açıları bu değişkenler cinsinden yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, K noktası iç teğet çember merkezi (iç açıortayların kesim noktası) olduğunda açıların nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol (Çevrel Çember): K noktası köşelere eşit uzaklıkta olduğundan çevrel çemberin merkezidir.

\widehat{AKB}

merkez açısı, aynı yayı gören

\widehat{ACB}

çevre açısının iki katıdır.

m(\widehat{AKB}) = 2 \cdot m(\widehat{C})

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 116Soru →

Bir kenar uzunluğu $6$ cm olan bir $ABCD$ karesinin içine; $A$ ve $B$ köşeleri merkez kabul edilerek $6$ cm yarıçaplı iki çeyrek çember çiziliyor. Buna göre, kare içerisinde bu iki çember yayının kesişmesiyle oluşan kapalı bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

12\pi - 9\sqrt{3}

6\pi - 9\sqrt{3}

18\pi - 36

12\pi - 18\sqrt{3}

9\pi - 9\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12\pi - 9\sqrt{3}$

Cevap

12\pi - 9\sqrt{3}

ifadesi, iki adet

60^\circ

'lik daire diliminin alanından bir eşkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla elde edilen doğru alandır.

Kare içinde oluşturulan

ABE

eşkenar üçgeninin açısı

60^\circ

olduğu için, her iki merkezden çizilen yaylar

60^\circ

'lik daire dilimleri oluşturur. Bu iki dilimin alanları toplamı (

6\pi + 6\pi = 12\pi

), ortak olan

ABE

eşkenar üçgeninin alanını (

9\sqrt{3}

) iki kez içerir. Bu nedenle toplam alandan bir kez üçgenin alanı çıkarılarak

12\pi - 9\sqrt{3}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim noktasını belirleme

Kesişim noktası

E

olsun.

|AE| = 6

cm ve

|BE| = 6

cm (yarıçaplar).

Her iki çemberin yarıçapı karenin bir kenarına (

6

cm) eşittir.

2

Eşkenar üçgeni tanımlama

|AB| = |AE| = |BE| = 6

cm olduğundan

ABE

üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Üç kenarı da yarıçap uzunluğuna eşit olan bir üçgen oluşur.

3

Merkez açıları hesaplama

m(\widehat{EAB}) = 60^\circ

ve

m(\widehat{EBA}) = 60^\circ

olur.

Eşkenar üçgenin iç açıları

60^\circ

'dir.

4

Daire dilimi ve üçgen alanlarını hesaplama

60^\circ

'lik dilim alanı

= \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = 6\pi

. Eşkenar üçgen alanı

= \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}

.

Daire dilimi alanı

\frac{\alpha}{360} \pi r^2

ve eşkenar üçgen alanı

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

formülleriyle bulunur.

5

Toplam taralı alanı bulma

Alan

= \text{Alan}(A\text{-}BE \text{ dilimi}) + \text{Alan}(B\text{-}AE \text{ dilimi}) - \text{Alan}(ABE \text{ üçgeni}) = 6\pi + 6\pi - 9\sqrt{3} = 12\pi - 9\sqrt{3}

.

İki dilim toplandığında ortadaki eşkenar üçgen iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Daire dilimlerinin kesişim bölgesinin alanı, kapsayıcı geometrik şekillerin alan farkları ve trigonometrik oranlar kullanılarak hesaplanır.

İpuçları

1

Karenin kenarı ile çemberlerin yarıçapları arasındaki ilişkiye dikkat edin.

2

Yayların kesişim noktasını köşelerle birleştirdiğinizde oluşan üçgenin türünü belirleyin.

3

Oluşan eşkenar üçgenin açısının

60^\circ

olduğunu kullanarak dilim alanlarını toplayın ve ortak bölgeyi çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Bu soruyu, çeyrek çemberlerin merkezlerini karşı köşeler (

C

ve

D

) olarak değiştirerek tekrar çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 117Soru →

Çevresi $48$ cm olan bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ ve $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu bilinmektedir. Üçgenin eşit kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olduğuna göre, bu uzunluğun alabileceği kaç farklı değer vardır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşit kenar uzunluğunun alabileceği 2 farklı tam sayı değeri vardır.

Doğru cevap, hem üçgen olma şartını (

12 < x < 24

) hem de tepe açısının geniş olma şartını (

x < 14.04

) sağlayan tam sayıların sayısıdır. Bu iki şartın kesişimi

12 < x < 14.04

aralığını verir ve bu aralıkta sadece 13 ve 14 sayıları bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve çevre bağıntısını kur.

Eşit kenarlara

x

, tabana

y

diyelim.

2x + y = 48 \Rightarrow y = 48 - 2x

.

Soruda verilen çevre bilgisi ve ikizkenarlık özelliği matematiksel ifadeye dökülmelidir.

2

Üçgen olma şartını (üçgen eşitsizliği) uygula.

|x - x| < y < x + x \Rightarrow 0 < 48 - 2x < 2x

. Buradan

48 < 4x \Rightarrow x > 12

. Ayrıca

y > 0 \Rightarrow x < 24

. Yani

12 < x < 24

.

Bir üçgenin kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.

3

Geniş açı şartını (

m(\widehat{A}) > 90^\circ

) uygula.

Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür:

y^2 > x^2 + x^2 \Rightarrow y^2 > 2x^2

.

Soruda verilen açı bilgisi, kenar uzunlukları arasında bir eşitsizlik oluşturur.

4

Elde edilen eşitsizliği

x

cinsinden çöz.

(48 - 2x)^2 > 2x^2 \Rightarrow 4(24-x)^2 > 2x^2 \Rightarrow 2(24-x)^2 > x^2

. Her iki tarafın karekökünü alalım:

\sqrt{2}(24-x) > x \Rightarrow 24\sqrt{2} - x\sqrt{2} > x \Rightarrow 24\sqrt{2} > x(1+\sqrt{2})

. Buradan

x < \frac{24\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}

.

Eşitsizlik sisteminin çözüm aralığını bulmak için cebirsel işlemler yapılır.

5

Yaklaşık değer hesapla ve tam sayıları bul.

\sqrt{2} \approx 1.41

alırsak,

x < \frac{24 \times 1.41}{2.41} \approx \frac{33.84}{2.41} \approx 14.04

. Üçgen eşitsizliğinden

x > 12

bulmuştuk. Kesişim:

12 < x < 14.04

. Bu aralıktaki tam sayılar:

13

ve

14

.

Bulunan aralıktaki tam sayı değerleri tespit edilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür (

a^2 > b^2 + c^2

). Ayrıca üçgen eşitsizliği (

|b-c| < a < b+c

) her zaman sağlanmalıdır.

İpuçları

1

İkizkenar üçgenin eşit kenarlarına

x

, tabanına

y

diyerek çevre bağıntısını yazın:

2x + y = 48

.

2

Üçgen eşitsizliğini (

y < 2x

) ve geniş açı şartını (

y^2 > x^2 + x^2

) kullanarak

x

için bir aralık belirleyin.

3

y

yerine

48-2x

koyduğunuzda, geniş açı şartı

(48-2x)^2 > 2x^2

eşitsizliğine dönüşür. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı

x

değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'dar açılı üçgen' şartı ile çözerek çözüm kümesinin nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi ile de yaklaşılabilir:

y^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos(A)

.

A > 90^\circ

olduğu için

\cos(A)

negatiftir, bu da

y^2 > 2x^2

sonucunu verir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 118Soru →

Bir $ABCD$ ikizkenar yamuğunun içine, tüm kenarlarına teğet olan $O$ merkezli bir çember çizilmiştir. Çemberin yarıçapı $6$ cm ve yamuğun yan kenarlarından (paralel olmayan kenarlar) birinin uzunluğu $13$ cm'dir.

Buna göre, bu yamuğun alanı kaç cm $^2$ dir?

78

144

156

312

169

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Yamuğun alanı 156 cm

^2

dir.

Soruda verilen şekil hem bir ikizkenar yamuk hem de bir teğetler dörtgenidir. Teğetler dörtgeni özelliğine göre, karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir (Alt taban + Üst taban = Yan kenar + Yan kenar). Yan kenar

13

cm verildiğinden, tabanların toplamı

13 + 13 = 26

cm olur. Çember tabanlara teğet olduğu için yamuğun yüksekliği çemberin çapına (

2r = 12

cm) eşittir. Alan formülü uygulandığında sonuç

156

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun yüksekliğini belirle.

Çember yamuğun tabanlarına teğet olduğu için, yamuğun yüksekliği (

h

) çemberin çapına eşittir.

h = 2r = 2 \times 6 = 12

cm.

İç teğet çemberin çapı, paralel kenarlar arasındaki dik uzaklığa eşittir.

2

Teğetler dörtgeni özelliğini kullanarak taban uzunlukları toplamını bul.

Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı birbirine eşittir. Yan kenarlar

b=13

ve

d=13

olduğuna göre, tabanlar toplamı

a+c = 13+13 = 26

cm'dir.

Tüm kenarlara teğet olma şartı (teğetler dörtgeni), karşılıklı kenar toplamlarının eşitliğini gerektirir.

3

Yamuğun alanını hesapla.

Alan =

\frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156

cm

^2

.

Yamuk alan formülü: (Alt taban + Üst taban) / 2 x Yükseklik.

Anahtar Kavram

Teğetler Dörtgeni ve Yamuk Alanı İlişkisi

İpuçları

1

Şeklin bir 'teğetler dörtgeni' olduğunu hatırlayınız. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamı hakkında ne söylenebilir?

2

Yamuğun içine çizilen çember tabanlara teğet olduğu için, yamuğun yüksekliği çemberin çapına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Bir dik yamuğun içine çizilen çemberin yarıçapı ve ayırdığı parçalar verildiğinde alan bulma sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Pisagor bağıntısı ile tabanlar tek tek bulunabilir: Yükseklik

12

, yan kenar

13

ise dik üçgenden taban farkının yarısı

5

bulunur.

x-y=10

,

x+y=26

denklemleri kurulabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 119Soru →

Aşağıdaki şekilde $ABC$ ve $ADC$ birer üçgendir. $|AB| = 5$ cm, $|BC| = 12$ cm ve $|CD| = 8$ cm'dir. $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $|AD| = x$ uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Doğru cevap olan 6,

ABC

üçgenindeki geniş açı bilgisinden türetilen

AC > 13

şartı ile

ADC

üçgenindeki üçgen eşitsizliğinin (

x > AC - 8

) birleştirilmesiyle bulunur.

x > 13 - 8

işlemi bizi

x > 5

sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde

[AC]

kenarının sınır değerini belirle.

m(\widehat{ABC}) = 90^\circ

olsaydı,

AC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 \implies AC = 13

cm olurdu.

Pisagor bağıntısı yardımıyla açının geniş olması durumundaki alt sınırı bulmak için.

2

Açı kuralını uygula.

m(\widehat{ABC}) > 90^\circ

verildiği için

AC^2 > 5^2 + 12^2

olmalı, yani

AC > 13

cm'dir.

Geniş açının karşısındaki kenar, dik açı durumundaki kenardan daha uzundur.

3

ADC

üçgeninde üçgen eşitsizliğini uygula.

|AC - CD| < x < AC + CD \implies |AC - 8| < x < AC + 8

.

Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın farkından büyük olmalıdır.

4

x

için alt sınırı hesapla.

AC > 13

olduğundan,

x > 13 - 8 \implies x > 5

cm elde edilir.

AC

değeri 13'ten büyük olduğu sürece

x

değeri de 5'ten büyük kalacaktır.

5

En küçük tam sayı değerini bul.

x > 5

koşulunu sağlayan en küçük tam sayı 6'dır.

Soru bizden en küçük tam sayı değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Üçgenlerde açı-kenar bağıntıları ve üçgen eşitsizliğinin birlikte kullanımı.

Soru 120Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde, $B$ köşesine ait iç açıortay ile $C$ köşesine ait dış açıortay $D$ noktasında kesişmektedir. $m(\widehat{BAC}) = 4x + 20^\circ$ ve $m(\widehat{BDC}) = 3x - 10^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?

20

50

80

90

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

100 derece

Üçgenin bir köşesinden çizilen iç açıortay ile diğer köşesinden çizilen dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı (

D

), tepe açısının (

A

) yarısıdır. Yani

m(\widehat{D}) = m(\widehat{A}) / 2

bağıntısı vardır. Verilenler yerine konulduğunda

3x - 10 = (4x + 20) / 2

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

x = 20

bulunur. Soruda

m(\widehat{BAC})

istendiği için

4x + 20

ifadesinde x yerine 20 yazılır ve sonuç 100 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kuralı Tanımla

m(\widehat{BDC}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2}

Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasındaki açı, kullanılmayan üçüncü açının yarısına eşittir.

2

Denklem Kur

3x - 10 = \frac{4x + 20}{2}

Verilen cebirsel ifadeler kurala uygulanır.

3

Denklemi Çöz

3x - 10 = 2x + 10 \Rightarrow x = 20

Eşitliğin her iki tarafı düzenlenerek bilinmeyen x değeri bulunur.

4

Sonucu Bul

m(\widehat{BAC}) = 4(20) + 20 = 80 + 20 = 100^\circ

Bulunan x değeri, sorulan açı ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Üçgende İç ve Dış Açıortay Arasındaki Açı Bağıntısı

İpuçları

1

Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay kesişiyorsa, kesiştikleri açı ile üçgenin diğer açısı arasında sabit bir oran vardır.

2

D

noktasındaki açı,

A

köşesindeki açının yarısına eşittir:

m(\widehat{BDC}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2}

.

3

3x - 10

ifadesini,

4x + 20

ifadesinin yarısına eşitleyerek x'i bulun.

Daha Fazla Pratik

İki iç açıortayın kesiştiği (

90 + A/2

) ve iki dış açıortayın kesiştiği (

90 - A/2

) durumları da inceleyin.

Alternatif Yöntem

Formülü hatırlamıyorsanız, harflendirme yapabilirsiniz:

m(\widehat{ABD})=m(\widehat{DBC})=a

ve

m(\widehat{ACD})=m(\widehat{DCE})=b

olsun.

\triangle ABC

için dış açı kuralından

2b = m(\widehat{A}) + 2a \Rightarrow m(\widehat{A}) = 2(b-a)

.

\triangle BDC

için dış açı kuralından

b = m(\widehat{D}) + a \Rightarrow m(\widehat{D}) = b-a

. Buradan

m(\widehat{A}) = 2 \cdot m(\widehat{D})

olduğu görülür.

Tahmini Süre:1m 30s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap