Kümeler ve Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 3

Soru 41Soru →

$A = \{a, b, c\}$ ve $B = \{1, 2, 3, 4\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki Venn şemasında $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonu gösterilmiştir.

Buna göre, tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde birbirinden farklı elemanlarla eşleştiği bu $f$ fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit fonksiyon

Birim fonksiyon

Birebir fonksiyon

Örten fonksiyon

Çift fonksiyon

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birebir fonksiyon

Cevap

Verilen şemadaki fonksiyon, her elemanı farklı bir görüntüye eşlediği için birebir fonksiyondur.

Tanım kümesi olan

A

kümesindeki

\{a, b, c\}

elemanlarının her biri, değer kümesi olan

B

kümesinde farklı birer sayıya (

2, 4

ve

1

) gitmektedir. Hiçbir iki eleman aynı sayıya gitmediği için bu durum 'birebir' olma şartını tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1

Eşleşmeleri kontrol edin

f(a)=2, f(b)=4, f(c)=1

Fonksiyonun her eleman için hangi değeri aldığını belirlemek gerekir.

2

Görüntüleri karşılaştırın

2 \neq 4 \neq 1

Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin aynı olup olmadığını anlamak için karşılaştırma yapılır.

3

Fonksiyon çeşidini belirleyin

Birebir fonksiyon

Farklı elemanların görüntüleri de farklı olduğu için bu durum birebir fonksiyon tanımına uyar.

Anahtar Kavram

Birebir Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün birbirinden farklı olması durumudur.

İpuçları

1

Tanım kümesindeki her bir elemanın gittiği sayıya bakın. Hepsi farklı bir yere mi gidiyor?

2

Eğer farklı oklar farklı hedeflere ulaşıyorsa, bu o fonksiyonun 'tekil eşleşme' yaptığını yani birebir olduğunu gösterir.

3

f(a)=2, f(b)=4, f(c)=1

sonuçlarının hepsi birbirinden farklıdır. Bu özellik hangi fonksiyon çeşidini tanımlar?

Daha Fazla Pratik

Değer kümesindeki boşta kalan elemanı da kullanarak fonksiyonun neden 'içine' olduğunu inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer kümesindeki her elemana en fazla bir okun geldiğini kontrol ederek de birebirliği anlayabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 42Soru →

A, B ve C boş kümeden farklı üç küme olmak üzere, $s(A) = 8$ olduğu bilinmektedir.

Kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayıları ile ilgili olarak;

s((A \times B) \cup (A \times C)) = 120

s(A \times (B \cap C)) = 32

eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, B ve C kümelerinin yalnızca birinde bulunan elemanların toplam sayısı kaçtır?

4

7

11

15

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

B ve C kümelerinin yalnızca birinde bulunan eleman sayısı 11'dir.

Soruda verilen kartezyen çarpım eşitlikleri kullanılarak B ve C kümelerinin birleşim ve kesişim eleman sayılarına ulaşılır. Kartezyen çarpımın dağılma özelliği gereği

(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C)

olur. Buradan

s(B \cup C) = 120/8 = 15

bulunur. İkinci eşitlikten

s(B \cap C) = 32/8 = 4

bulunur. 'Yalnızca birinde bulunan' elemanlar, birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılmasıyla (

15 - 4

) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliğini kullan.

(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C)

olduğundan,

s(A) \cdot s(B \cup C) = 120

bulunur.

Kartezyen çarpım, birleşim işlemi üzerine dağılabilir ve eleman sayısı çarpım kuralı ile hesaplanır.

2

s(B \cup C)

değerini hesapla.

8 \cdot s(B \cup C) = 120 \Rightarrow s(B \cup C) = 15

.

Verilen

s(A)=8

değeri yerine yazılır.

3

s(B \cap C)

değerini hesapla.

s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 32 \Rightarrow 8 \cdot s(B \cap C) = 32 \Rightarrow s(B \cap C) = 4

.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülü doğrudan uygulanır.

4

Simetrik fark (yalnızca birinde bulunanlar) formülünü uygula.

s((B \setminus C) \cup (C \setminus B)) = s(B \cup C) - s(B \cap C) = 15 - 4 = 11

.

İstenen bölge, birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın birleşim ve kesişim üzerine dağılma özelliği ile küme eleman sayısı ilişkileri.

İpuçları

1

Kartezyen çarpımın birleşim işlemi üzerine dağılma özelliğini hatırlayın:

(A \times B) \cup (A \times C)

ifadesini paranteze alarak yazabilir misiniz?

2

A \times (B \cup C)

kümesinin eleman sayısı

s(A) \cdot s(B \cup C)

şeklinde hesaplanır. Buradan

s(B \cup C)

değerini bulabilirsiniz.

3

İstenen 'yalnızca birinde bulunan elemanlar', tüm elemanlardan (birleşim) her ikisinde de bulunanların (kesişim) çıkarılmasıyla bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 43Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim faaliyetleri kapsamında, 25 personel fotoğrafçılık kursuna, 20 personel ise ebru kursuna kayıt yaptırmıştır. Her iki kursa da kayıt yaptıran personel sayısı 8 olduğuna göre, bu kurslardan en az birine kayıt yaptıran toplam personel sayısı kaçtır?

37

45

29

53

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Fotoğrafçılık ve ebru kurslarından en az birine katılan toplam personel sayısı 37'dir.

37 cevabı doğrudur çünkü kümelerdeki birleşim formülü (

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

) uygulandığında; fotoğrafçılık (25) ve ebru (20) sayıları toplanıp ortak olanlar (8) çıkarıldığında

25 + 20 - 8 = 37

sonucuna ulaşılır. Bu sayı, kurslardan en az birine kayıtlı olan toplam tekil kişi sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri ve eleman sayılarını belirle

Fotoğrafçılık kümesi

s(F) = 25

, Ebru kümesi

s(E) = 20

, Her iki kurs (kesişim)

s(F \cap E) = 8

.

Problemdeki verileri matematiksel sembollerle ifade etmek çözüm sürecini kolaylaştırır.

2

Birleşim kümesi formülünü uygula

s(F \cup E) = 25 + 20 - 8 = 37

.

'En az birine katılanlar' ifadesi birleşim kümesini (

F \cup E

) ifade eder. Her iki kursa katılanlar her iki kümede de sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Eleman Sayısı Bulma

İpuçları

1

Bu soruyu çözmek için bir Venn şeması çizerek elemanları bölgelere yerleştirmeyi deneyebilirsin.

2

Her iki kursa katılan 8 kişiyi şemanın tam ortasındaki (kesişim) bölgeye yaz. Sonra sadece bir kursa katılanları bulmak için kursların toplam sayısından bu 8'i çıkar.

3

Formül kullanmak istersen: En az birine katılanlar = (Fotoğrafçılık) + (Ebru) - (Her ikisi) şeklinde hesaplayabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Şimdi de 'yalnızca bir kursa katılan' personel sayısını bulmaya çalışabilirsin.

Alternatif Yöntem

Venn şeması yöntemi: Şemada kesişime 8 yazılır. Fotoğrafçılık dairesinin geri kalanına

25 - 8 = 17

, Ebru dairesinin geri kalanına

20 - 8 = 12

yazılır. Tüm bölgelerin toplamı olan

17 + 8 + 12 = 37

cevabı verir.

Tahmini Süre:45s

Soru 44Soru →

E = \{x \in \mathbb{Z} \mid -4 \le x < 6\}

evrensel kümesinin alt kümeleri olan

A

ve

B

şu şekilde tanımlanmıştır:

A = \{x \in E \mid x < 0\}

B = \{x \in E \mid x \text{ asal sayıdır}\}

$E$ kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi, $A$ kümesi ile tam olarak 2 elemanlı, $B$ kümesi ile en az 1 elemanlı bir kesişime sahiptir?

288

336

360

384

448

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 336

Cevap

İstenen şartları sağlayan 336 farklı alt küme vardır.

İstenen alt küme

K

olsun.

K

kümesi üç ayrık bölümden oluşur:

K \cap A

,

K \cap B

ve

K \cap (E \setminus (A \cup B))

. A grubundan 2 eleman (6 yol), B grubundan en az 1 eleman (7 yol) ve kalan gruptan herhangi bir sayıda eleman (8 yol) seçilerek toplam

6 \times 7 \times 8 = 336

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

E, A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazın.

E = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

(10 eleman)

A = \{-4, -3, -2, -1\}

(Negatifler, 4 eleman)

B = \{2, 3, 5\}

(Asallar, 3 eleman)

Kümelerin elemanlarını açıkça görmek işlem yapmayı kolaylaştırır.

2

E kümesini A, B ve bu kümelerin dışında kalan elemanlar (R) olarak parçalara ayırın.

A = \{-4, -3, -2, -1\}

B = \{2, 3, 5\}

R = E \setminus (A \cup B) = \{0, 1, 4\}

Not:

A

ve

B

ayrık kümelerdir (

A \cap B = \emptyset

).

Seçim işlemlerini birbirinden bağımsız gruplar üzerinde yapmak için kümelerin ayrık olduğunu teyit etmek gerekir.

3

A kümesinden seçilecek eleman sayısını hesaplayın (Kesişim tam 2 elemanlı).

\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

farklı seçim.

A kümesinin 4 elemanından tam olarak 2 tanesi seçilmelidir.

4

B kümesinden seçilecek eleman sayısını hesaplayın (Kesişim en az 1 elemanlı).

Tüm alt kümeler - Boş küme =

2^{3} - 1 = 8 - 1 = 7

farklı seçim.

B kümesinin 3 elemanı vardır. Hiç eleman seçilmeyen durum (boş küme) çıkarılarak en az bir elemanlı durumlar bulunur.

5

Kalan (R) kümesinden yapılabilecek seçimleri hesaplayın.

2^{3} = 8

farklı seçim.

R kümesinin 3 elemanı (

0, 1, 4

) için herhangi bir kısıtlama yoktur, tüm alt kümeleri seçilebilir.

6

Tüm bağımsız seçim sayılarını çarpın.

6 \cdot 7 \cdot 8 = 336

.

Çarpma kuralı gereği bağımsız olayların gerçekleşme sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Bu soru, kümelerin ayrık parçalara ayrılmasını ve her parça üzerinde kombinasyon hesapları ile alt küme özelliklerinin (kesişim sayısı) birleştirilmesini test eder.

İpuçları

1

Kümelerin elemanlarını açıkça yazın ve A ile B kümelerinin ortak elemanı olup olmadığını (ayrık olup olmadıklarını) kontrol edin.

2

Evrensel kümeyi üç parçaya ayırın: Sadece A'da olanlar, sadece B'de olanlar ve her ikisinde de olmayanlar. Seçimlerinizi bu gruplar üzerinden bağımsız yapın.

3

A grubundan

\binom{4}{2}

seçim, B grubundan

(2^3 - 1)

seçim ve kalan gruptan

2^3

seçim yapılmalıdır.

Alternatif Yöntem

Tüm durumları hesaplayıp istenmeyen durumları çıkarmak yerine, doğrudan bağımsız olayların çarpımı kuralını uygulamak bu soruda daha pratiktir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 45Soru →

Elemanları ardışık tam sayılardan oluşan bir $A$ kümesinin elemanları $-4 < n \leq 2$ koşulunu sağlamaktadır. Buna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir pozitif tam sayı bulunur?

16

32

48

63

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Kümenin alt kümelerinin 48 tanesinde en az bir pozitif tam sayı bulunur.

En az bir pozitif tam sayı içeren alt kümeleri bulmak için 'tüm durumlar - istenmeyen durumlar' mantığı kullanılır. Küme

s(A)=6

elemanlı olduğundan toplam 64 alt kümesi vardır. Kümedeki pozitif olmayan elemanlar

\{-3, -2, -1, 0\}

olup 4 tanedir. Bu 4 elemanla yazılabilecek 16 alt kümenin hiçbirinde pozitif sayı bulunmaz. Dolayısıyla 64 - 16 = 48 alt kümede en az bir pozitif sayı mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin elemanlarını listeleyin ve eleman sayısını bulun.

-4 < n \leq 2

koşulunu sağlayan tam sayılar:

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}

. Eleman sayısı

s(A) = 6

olur.

Alt küme hesaplamaları için öncelikle kümenin kaç elemanlı olduğunu bilmemiz gerekir.

2

Kümedeki tüm alt kümelerin sayısını hesaplayın.

2^6 = 64

.

n

elemanlı bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

3

İstenmeyen durumu (hiç pozitif sayı bulunmama) belirleyin ve sayısını bulun.

Pozitif olmayan elemanlar:

\{-3, -2, -1, 0\}

(4 adet). Bu elemanlarla oluşturulabilecek alt küme sayısı:

2^4 = 16

.

'En az bir' sorularında tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkarmak en kısa yoldur. Burada istenmeyen durum, seçilen alt kümede hiçbir pozitif sayının bulunmamasıdır.

4

İstenen durumu bulun.

64 - 16 = 48

.

Tüm alt kümelerden, sadece negatif ve sıfır elemanlardan oluşan alt kümeler çıkarıldığında, geriye kalan her alt kümede en az bir tane pozitif sayı (1 veya 2) kalması garanti edilir.

Anahtar Kavram

Alt küme sayısının hesaplanması ve 'en az bir' koşulunun tümleyen (tüm durumlar - istenmeyen durumlar) yöntemiyle çözülmesi.

İpuçları

1

Önce

A

kümesinin elemanlarını listeleyerek kaç elemanlı olduğunu bulun.

2

Bir kümede 'en az bir' şartı varsa, tüm alt kümelerden bu şartı bozan (şartın hiç sağlanmadığı) durumları çıkarmayı deneyin.

3

Pozitif tam sayılar 1 ve 2'dir. Diğer 4 elemanla (

\{-3, -2, -1, 0\}

) oluşturulan alt kümeler pozitif sayı içermez. Bu 16 kümeyi toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'en az bir çift sayı içeren' veya 'en az bir asal sayı içeren' alt küme sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İstenen durumu parçalara ayırarak da çözebilirsiniz: Sadece 1 içerenler, sadece 2 içerenler ve hem 1 hem 2 içerenler. Bu da kombinasyon yoluyla

C(6,1) + C(6,2) + ...

yerine daha karmaşık bir mantık gerektirir, bu yüzden tümleyen yöntemi daha pratiktir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 46Soru →

Bir kamu kurumunun arşivindeki dosyalar incelendiğinde; mavi etiketli dosyaların kümesi $M$ , kırmızı etiketli dosyaların kümesi $K$ ile gösterilmektedir.

Bu arşivde toplam 32 adet mavi etiketli dosya bulunmaktadır ( $s(M) = 32$ ). Hem mavi hem de kırmızı etikete sahip dosya sayısı ise 9'dur ( $s(M \cap K) = 9$ ).

Buna göre, arşivde sadece mavi etiketli olan (kırmızı etiketi bulunmayan) dosya sayısı kaçtır?

9

14

23

32

41

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Sadece mavi etiketli dosya sayısı 23'tür.

Sadece mavi etiketli dosyalar,

M

kümesinin

K

kümesinden farkını ifade eder (

M \setminus K

). Bu sayıyı bulmak için, toplam mavi dosya sayısından (

s(M)

) her iki etikete de sahip olan dosyaların sayısı (

s(M \cap K)

) çıkarılır.

32 - 9 = 23

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilenleri belirle.

s(M) = 32

(Toplam mavi dosya) ve

s(M \cap K) = 9

(Hem mavi hem kırmızı dosya).

Kümelerdeki fark işlemini yapabilmek için mevcut verileri ayrıştırmak gerekir.

2

İstenilen kümenin formülünü yaz.

İstenen:

s(M \setminus K) = s(M) - s(M \cap K)

Bir kümenin farkını bulmak için (sadece M'de olanlar), o kümenin tamamından kesişim kümesi çıkarılır.

3

Değerleri yerine koyarak hesapla.

32 - 9 = 23

Mavi dosyaların tamamından, ortak olan dosyalar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin eleman sayısından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılması (

s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B)

).

İpuçları

1

'Sadece mavi etiketli' ifadesi, mavi olup kırmızı olmayanlar anlamına gelir.

2

Mavi dosyaların tamamı (

M

) içinde, kırmızı etikete de sahip olanlar (

M \cap K

) vardır.

3

Toplam mavi dosya sayısından (32), ortak olan dosya sayısını (9) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu birleşim kümesi formülü üzerinden (

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

) çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 47Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu, her $x$ tam sayısı için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x) = \begin{cases} x - 5, & x > 40 \\ f(f(x + 6)), & x \leq 40 \end{cases}

Buna göre, $f(24)$ ifadesinin değeri kaçtır?

19

35

36

40

41

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Fonksiyonun tanımı gereği oluşan zincirleme hesaplamalar sonucunda değer 36 olarak bulunur.

Verilen fonksiyon McCarthy 91 fonksiyonuna benzer bir yapıdadır.

x > 40

için

f(x) = x-5

kuralı,

x \leq 40

için ise

f(f(x+6))

kuralı geçerlidir. Kritik nokta

x=41

değeridir;

f(41)=36

olur.

x=40

için hesaplandığında

f(40)=f(f(46))=f(41)=36

bulunur. Benzer şekilde geriye doğru gidildiğinde, örneğin

f(39)=f(f(45))=f(40)=36

olduğu görülür. Bu zincirleme yapı, 40 ve altındaki tam sayıların sonucunun 36'ya sabitlendiğini gösterir. Dolayısıyla

f(24)=36

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun davranışını anlamak için sınır değeri olan 40 ve üzerindeki değerleri inceleyelim.

f(41) = 41 - 5 = 36

.

x > 40

olduğu için üstteki kural (

x-5

) uygulanır.

2

x=40

için fonksiyon değerini hesaplayalım.

f(40) = f(f(46))

. İçerideki

f(46) = 46 - 5 = 41

olduğundan,

f(40) = f(41) = 36

olur.

x \leq 40

kuralı gereği iç içe fonksiyon kullanılır.

3

Bir alt değeri,

x=39

için hesaplayalım.

f(39) = f(f(45))

.

f(45) = 40

olduğundan,

f(39) = f(40)

. Önceki adımdan

f(40)=36

bulmuştuk, yani

f(39)=36

.

Geriye doğru gidildikçe sonucun sabitlendiği görülür.

4

Bu örüntüyü

f(24)

değerine kadar genişletelim.

f(24) = f(f(30))

. Eğer

f(30)=36

ise sonuç 36 olacaktır. Zincirleme kural gereği 40 ve altındaki sayılar birbirine bağlanarak en sonunda

f(41)

değerine, yani 36'ya ulaşır.

Tümevarım mantığıyla

x \leq 41

için

f(x)=36

olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Parçalı ve rekürsif (yinelemeli) fonksiyonlarda değer bulma ve örüntü takibi.

İpuçları

1

Önce

x

değerinin 40'tan büyük olduğu bir durumu, örneğin

f(41)

değerini hesaplayın.

2

f(40)

değerini bulmak için tanımı yerine koyun:

f(40) = f(f(46))

. Önce parantez içini çözün.

3

f(40)

,

f(39)

,

f(38)

gibi değerlerin hepsi birbirine bağlıdır ve sonunda

f(41)

değerine, yani 36'ya ulaşırlar.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda fakat farklı sınırlara sahip

f(x)

fonksiyonları tanımlayarak sabit noktayı bulma alıştırması yapın.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 48Soru →

Aşağıdaki Venn şemasında $E$ evrensel kümesi ile bu kümenin alt kümeleri olan $A$ ve $B$ kümelerinin elemanları gösterilmiştir.

Buna göre, $B \setminus A$ (B fark A) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

{6, 7}

{1, 2, 3}

{4, 5}

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {6, 7}

Cevap

B fark A kümesi {6, 7} elemanlarından oluşur.

B fark A kümesi (

B \setminus A

), B kümesinin elemanı olup A kümesinin elemanı olmayan nesnelerin kümesidir. Venn şemasında bu bölge, B dairesinin A dairesiyle örtüşmeyen sağ tarafındaki kısmıdır ve burada 6 ile 7 elemanları bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Venn şemasında B fark A bölgesini tespit etme

B kümesinin sınırları içinde kalan ancak A kümesinin sınırları dışında olan bölge belirlenir.

Bir kümenin diğerinden farkı, birinci kümede olup ikinci kümede olmayan elemanları temsil eder.

2

Belirlenen bölgedeki elemanları listeleme

{6, 7}

Şemada B kümesinin A ile kesişmeyen kısmında 6 ve 7 elemanları yer almaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark İşlemi

İpuçları

1

Fark işlemi (

B \setminus A

), 'B'de olsun ama A'da olmasın' demektir.

2

Şemada B dairesinin içine bakın ve A dairesiyle ortak olan kısmı (ortadaki bölgeyi) kapatın.

3

B dairesinin içinde 4, 5, 6, 7 elemanları var. Bunlardan hangileri A dairesinin de içindedir? Onları listeden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Aynı şema üzerinden A'nın tümleyeni (A') kümesinin elemanlarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 49Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| < 3\}

B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 \leq 9\}

Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

12

20

24

35

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 35'tir.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

formülü ile bulunur. Öncelikle kümelerin eleman sayıları tespit edilmelidir. A kümesi için

|x-2|<3

eşitsizliğinden

-1 < x < 5

aralığı elde edilir ve elemanları

\{0, 1, 2, 3, 4\}

olduğundan

s(A)=5

olur. B kümesi için

y^2 \le 9

eşitsizliğinden

-3 \le y \le 3

aralığı elde edilir ve elemanları

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

olduğundan

s(B)=7

olur. Sonuç olarak

5 \cdot 7 = 35

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirle.

|x - 2| < 3 \Rightarrow -3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5

. Bu aralıktaki tam sayılar:

A = \{0, 1, 2, 3, 4\}

.

s(A) = 5

.

Mutlak değerli eşitsizliği açarak x değerlerini bulmak gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirle.

y^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq y \leq 3

. Bu aralıktaki tam sayılar:

B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

.

s(B) = 7

.

Karesi 9 veya 9'dan küçük olan tam sayılar (negatifler dahil) bulunmalıdır.

3

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula.

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 5 \cdot 7 = 35

.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır:

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)

.

Soru 50Soru →

$A = \{ \emptyset, m, \{m\}, \{m, n\} \}$ kümesi veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

\{m\} \in A

\{m\} \subset A

\{ \emptyset \} \subset A

\{ \{m\} \} \subset A

\{m, n\} \subset A

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{m, n\} \subset A$

Cevap

\{m, n\} \subset A

ifadesi yanlıştır.

Doğru cevap olan seçenek,

\{m, n\}

kümesinin A'nın alt kümesi olduğunu iddia etmektedir. Ancak alt küme tanımına göre,

\{m, n\}

kümesinin elemanları olan

m

ve

n

'nin her ikisinin de A kümesinde eleman olarak bulunması gerekir. A kümesinin elemanları

\emptyset

,

m

,

\{m\}

ve

\{m, n\}

'dir. Görüldüğü gibi

m

kümede vardır ancak

n

tek başına bir eleman olarak yoktur. Bu nedenle alt küme bağıntısı kurulamaz ve ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını tek tek listeleyerek belirle.

A kümesinin elemanları 4 tanedir: 1)

\emptyset

, 2)

m

, 3)

\{m\}

, 4)

\{m, n\}

.

Kümeyi analiz etmek ve eleman/alt küme ayrımlarını yapabilmek için elemanları netleştirmek gerekir.

2

Seçeneklerdeki 'elemanıdır' (

\in

) ve 'alt kümesidir' (

\subset

) ifadelerini kontrol et.

Elemanıdır sembolü için küme içindeki nesne aynen aranır. Alt kümesidir sembolü için, sol taraftaki kümenin tüm elemanlarının sağdaki kümede olup olmadığına bakılır.

Sembollerin tanımlarını doğru uygulamak sorunun çözüm anahtarıdır.

3

Yanlış olduğu iddia edilen

\{m, n\} \subset A

seçeneğini analiz et.

Bu ifadenin doğru olması için, kümenin içindeki

m

ve

n

elemanlarının her ikisinin de A kümesinin elemanı olması gerekir.

m \in A

doğrudur; ancak

n

tek başına A kümesinin elemanı değildir (

n \notin A

).

Alt küme tanımı gereği, alt kümenin her elemanı ana kümede bulunmalıdır.

n

bulunmadığı için ifade yanlıştır.

Anahtar Kavram

Eleman ve Alt Küme Ayrımı

İpuçları

1

Bir ifadenin 'elemanı' (

\in

) olup olmadığını anlamak için küme parantezleri arasındaki virgüle ayrılmış nesnelere aynen bakmalısınız.

2

Bir kümenin 'alt kümesi' (

\subset

) olup olmadığını anlamak için, o kümenin içindeki elemanları tek tek çıkarıp ana kümede var mı diye kontrol etmelisiniz.

3

\{m, n\} \subset A

ifadesinin doğru olması için, hem

m

hem de

n

elemanlarının A kümesinde ayrı ayrı virgülle ayrılmış olarak bulunması gerekir.

n

elemanı A'da tek başına var mı?

Daha Fazla Pratik

İç içe kümeler ve kuvvet kümesi kavramı ile ilgili sorular çözerek eleman/alt küme ayrımını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eleman sayma yöntemi: A kümesinin elemanlarını

x_1, x_2, x_3, x_4

olarak isimlendirin.

x_1=\emptyset

,

x_2=m

,

x_3=\{m\}

,

x_4=\{m, n\}

. Seçenekleri bu isimlerle test edin. Örneğin E seçeneği:

\{x_2, n\} \subset A

demektir.

n

listede olmadığı için yanlıştır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 51Soru →

Bir belediye, iki farklı caddede yapılacak altyapı çalışması için, bakım yapılacak noktaları kapı numaralarına göre belirlemiştir.

A Caddesi'ndeki bakım noktaları kümesi:

A = \{x \mid 15 < x \le 65, \; x = 4k, \; k \in \mathbb{Z} \}

B Caddesi'ndeki bakım noktaları kümesi:

B = \{x \mid 40 \le x < 90, \; x = 6m, \; m \in \mathbb{Z} \}

şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre, bu iki caddede bakım yapılacak noktaların birleşim kümesi olan $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

18

19

2

21

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Hesaplamalar sonucunda birleşim kümesinin eleman sayısı 19 olarak bulunur.

İstenen değer

s(A \cup B)

'dir. Bu değer

s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülü ile bulunur. A kümesi 13 elemanlı, B kümesi 8 elemanlıdır. Her iki kümenin ortak elemanları (kesişim) 48 ve 60 sayılarıdır (2 eleman). Formül uygulandığında

13 + 8 - 2 = 19

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle

A kümesi 15'ten büyük, 65'e eşit veya küçük 4'ün katlarıdır.

A = \{16, 20, 24, ..., 64\}

. Terim sayısı formülünden:

\frac{64-16}{4} + 1 = 13

eleman.

Ortak özellik yöntemiyle verilen kümenin eleman sayısını bulmak için aralıktaki şartı sağlayan sayılar tespit edilir.

2

B kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle

B kümesi 40'tan büyük veya eşit, 90'dan küçük 6'nın katlarıdır.

B = \{42, 48, 54, ..., 84\}

. Terim sayısı formülünden:

\frac{84-42}{6} + 1 = 8

eleman.

B kümesinin liste yöntemiyle elemanlarının analizi.

3

Kesişim kümesi

A \cap B

'yi bul

Kesişim, her iki aralığın ortak bölgesi olan

40 \le x \le 65

aralığında, hem 4'ün hem 6'nın katı (yani OKEK(4,6)=12'nin katı) olan sayılardır. Bu aralıktaki 12'nin katları:

\{48, 60\}

.

s(A \cap B) = 2

.

Birleşim formülünü uygulayabilmek için ortak elemanların sayısının bulunması gerekir.

4

Birleşim kümesi formülünü uygula

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 13 + 8 - 2 = 19

Kümelerin birleşimi hesaplanırken ortak elemanlar iki kez sayılmamalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Eleman Sayısı Hesabı

İpuçları

1

Önce her iki kümenin eleman sayılarını (

s(A)

ve

s(B)

) terim sayısı formülünü kullanarak ayrı ayrı bulunuz.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için sadece

s(A) + s(B)

yapmak yeterli değildir; ortak olan elemanları iki kere saymış olursunuz.

3

Ortak elemanlar hem 4'ün hem de 6'nın katı olan sayılardır (yani 12'nin katları). Kesişim kümesini bulup şu formülü kullanın:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 52Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıda verilmiştir:

A = \{ x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 150, \ \text{EBOB}(x, 18) = 3 \}

B = \{ y \in \mathbb{Z}^+ \mid y \le 150, \ \text{EBOB}(y, 24) = 4 \}

Buna göre, $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

28

30

34

42

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

A ve B kümeleri sırasıyla 17 ve 13 elemanlı olup kesişimleri boştur, toplam 30 eleman vardır.

A kümesi için

x=3k

ve

\text{ebob}(k,6)=1

şartından

k \in \{1, 5, 7, 11, \dots, 49\}

olmak üzere 17 değer vardır. B kümesi için

y=4m

ve

\text{ebob}(m,6)=1

şartından

m \in \{1, 5, 7, \dots, 37\}

olmak üzere 13 değer vardır. A kümesi tek sayılardan, B kümesi çift sayılardan oluştuğu için ayrık kümelerdir.

s(A \cup B) = 17 + 13 = 30

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını analiz et.

x = 3k formatında olmalı ve EBOB(3k, 18) = 3 olduğundan EBOB(k, 6) = 1 olmalıdır. Yani k, 2 ve 3 ile bölünmemelidir.

EBOB tanımı gereği x, 18'in bölenlerinden sadece 3'ü içermeli, 2 veya 9 çarpanını içermemelidir.

2

A kümesinin eleman sayısını hesapla.

3k ≤ 150 ⇒ k ≤ 50. 1'den 50'ye kadar 2 ve 3'e bölünmeyen sayıları bulmalıyız. 50 sayıdan 2'ye bölünenleri (25) ve 3'e bölünenleri (16) çıkarıp, 6'ya bölünenleri (8) ekleriz. Ancak burada k'nın 2 ve 3 ile bölünmemesi gerektiği için: 50 - (25 + 16 - 8) = 17.

İçerme-Dışlama prensibi veya doğrudan sayma yöntemi.

3

B kümesinin elemanlarını analiz et.

y = 4m formatında olmalı ve EBOB(4m, 24) = 4 olduğundan EBOB(m, 6) = 1 olmalıdır. Yani m, 2 ve 3 ile bölünmemelidir.

EBOB(y, 24) = 4 olması için y, 4'ün katı olmalı ancak 8'in veya 12'nin katı olmamalıdır.

4

B kümesinin eleman sayısını hesapla.

4m ≤ 150 ⇒ m ≤ 37. 1'den 37'ye kadar 2 ve 3'e bölünmeyen sayılar: Toplam 37. 2'ye bölünen (18), 3'e bölünen (12), 6'ya bölünen (6). Sayı = 37 - (18 + 12 - 6) = 13.

m değerlerinin sayısını bulmak için eleme yöntemi.

5

Kesişim kümesini kontrol et ve toplamı bul.

A kümesindeki x sayıları 3k ve k tek (2 ile bölünmez) olduğu için x TEK sayıdır. B kümesindeki y sayıları 4m olduğu için y ÇİFT sayıdır. Kesişim boştur. Toplam = 17 + 13 = 30.

Tek ve çift sayıların ortak elemanı olamaz.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ve EBOB İlişkisi

İpuçları

1

EBOB(x, 18) = 3 olması için x sayısı 3'ün katı olmalı, ancak 2'nin veya 3'ün daha yüksek kuvvetlerinin (9 gibi) katı olmamalıdır.

2

x = 3k ve y = 4m dönüşümlerini yapın. EBOB özelliklerinden dolayı k ve m sayılarının hangi sayılarla aralarında asal olması gerektiğini bulun.

3

A kümesindeki elemanların hepsi 3'ün katı ve tek sayıdır (2'ye bölünmezler). B kümesindeki elemanların hepsi 4'ün katıdır (çift sayılardır). Bu durum kesişim kümesi hakkında ne söyler?

Daha Fazla Pratik

EBOB yerine EKOK koşulu verilen benzer bir küme problemi çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kümelerin elemanlarını tek tek listeleyerek de çözüm yapılabilir, ancak sayılar az olduğu için bu yöntem güvenilirdir: A={3, 15, 21...}, B={4, 20, 28...}

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 53Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı 4 ile tam bölünür?

192

208

212

224

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 208

Cevap

Elemanları çarpımı 4 ile tam bölünen alt küme sayısı 208'dir.

Doğru cevap 208'dir çünkü 8 elemanlı kümenin toplam 256 alt kümesinden, çarpımı 4'ün katı olmayan 48 durum çıkarılmıştır. Çarpımın 4'e bölünmemesi için 4 ve 8 hiç alınmamalı, 2 ve 6'dan ise en fazla biri alınmalıdır. Bu koşulu sağlayan

16 \times 3 = 48

durum vardır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm alt kümelerin sayısını hesapla.

2^8 = 256

adet alt küme vardır.

8 elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

2

İstenen durumu doğrudan hesaplamak yerine, 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemini (Tümleyen) kullanmaya karar ver.

İstenmeyen Durum: Elemanların çarpımının 4 ile bölünmemesi.

Çarpımın 4'e bölünmesi için içinde 4, 8 veya (2 ve 6) çifti bulunmalıdır. Bu durumları tek tek saymak yerine tersten gitmek daha kolaydır.

3

Çarpımın 4 ile bölünmemesi için gereken koşulları belirle.

Küme içinde 4 veya 8 asla bulunmamalıdır. Ayrıca, küme içinde 2 ve 6 sayıları aynı anda bulunmamalıdır (çünkü

2 \times 6 = 12

, 4'e bölünür).

Sayı 4'ün katı olmamalıdır. Bunun için 4 ve 8 yasaklıdır. Geriye kalan çift sayılardan (2, 6) en fazla bir tanesi seçilebilir.

4

İstenmeyen durum sayısını hesapla.

Tek sayılar

\{1, 3, 5, 7\}

(4 eleman) serbestçe seçilebilir (

2^4 = 16

durum). Çift sayılardan

\{2, 6\}

kümesinden ise ya hiçbiri, ya sadece 2, ya da sadece 6 seçilebilir (3 durum). Toplam İstenmeyen =

16 \times 3 = 48

.

Tek sayıların her alt kümesi ile izin verilen çift sayı kombinasyonları eşleştirilir.

5

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

256 - 48 = 208

.

Tüm alt kümelerden, çarpımı 4'e bölünmeyenler çıkarıldığında geriye çarpımı 4'e bölünenler kalır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı

İpuçları

1

İstenen durumu (çarpımı 4'e bölünenleri) doğrudan saymak zordur çünkü çok fazla durum vardır. Bunun yerine tersini düşünün: Hangi durumlarda çarpım 4'e BÖLÜNMEZ?

2

Bir çarpımın 4 ile bölünmemesi için, çarpanlar arasında 4 ve 8 kesinlikle olmamalıdır. Ayrıca, içinde sadece bir tane 2 çarpanı bulunduran (örneğin sadece 2 veya sadece 6) sayılardan en fazla kaç tane olabilir?

3

İstenmeyen durumu hesaplarken: 4 ve 8'i kümeden atın. Geriye kalan

\{2, 6\}

kümesinden en fazla 1 eleman seçebilirsiniz (Hiçbiri, sadece 2 veya sadece 6). Tek sayıları ise istediğiniz gibi seçebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, elemanları çarpımı 3'e bölünen alt kümeleri bulunuz.

Alternatif Yöntem

Doğrudan Sayma (Kapsama-Dışlama): İçinde 4 olanlar (

2^7

) + İçinde 8 olanlar (

2^7

) + İçinde {2,6} olanlar (

2^6

) - Kesişimler... şeklinde hesaplanabilir ancak bu yöntem çok daha uzundur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 54Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde uygun koşullarda tanımlı bir

f

fonksiyonu için,

f\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right) = \frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} + 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(4)$ ifadesinin değeri kaçtır?

17

19

21

23

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

İstenen değer 21'dir.

Verilen fonksiyon

f\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)

formundadır. Parantez içindeki ifadeye

u

denildiğinde, bu ifadenin karesi

u^2 = \frac{x^2}{4} - 2 + \frac{4}{x^2}

olur. Buradan

\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} = u^2 + 2

bağıntısı elde edilir. Fonksiyon kuralı

f(u) = u^2 + 2 + 3 = u^2 + 5

olarak bulunur.

f(4)

için

4^2 + 5 = 21

sonucu doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun içindeki ifadeye bir değişken atayın.

u = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}

olsun.

Karmaşık fonksiyon yapısını

f(u)

biçimine dönüştürmek için değişken değiştirmek gerekir.

2

Atanan değişkenin karesini alarak eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyi elde etmeye çalışın.

u^2 = \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{4} - 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = \frac{x^2}{4} - 2 + \frac{4}{x^2}

Tam kare özdeşliği

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

kullanılarak terimler açılır.

3

Elde edilen ifadeyi düzenleyerek

f(u)

kuralını yazın.

Bulduğumuz eşitlikten

\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} = u^2 + 2

olur. Bunu fonksiyonda yerine yazarsak:

f(u) = (u^2 + 2) + 3 = u^2 + 5

elde edilir.

Fonksiyonun kuralını

u

cinsinden en sade hale getirmek çözüm için gereklidir.

4

İstenen

f(4)

değeri için

u=4

yazarak sonucu hesaplayın.

f(4) = 4^2 + 5 = 16 + 5 = 21

Bulunan genel kuralda istenen değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme ve Özdeşlikler

İpuçları

1

Fonksiyonun içindeki ifadeye

u

diyerek, dışarıdaki ifadeyi

u

cinsinden yazmaya çalışın.

2

\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^2

ifadesini açın ve sorudaki eşitliğin sağ tarafı ile karşılaştırın.

3

Kare aldığınızda ortadaki terim -2 olacaktır. Buna göre

\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2}

ifadesi

u^2 + 2

ye eşittir.

Daha Fazla Pratik

f(x + 1/x)

formunda verilen ve

f(x^3 + 1/x^3)

değeri sorulan küp açılımı soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözmek zor olsa da,

\frac{x}{2} - \frac{2}{x} = 4

denklemini sağlayan

x

değeri bulunup ana denklemde yerine yazılabilir. Ancak bu yol köklü sayılar içerdiğinden (

x = 4 \pm 2\sqrt{5}

) işlem hatasına daha açıktır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 55Soru →

$A = \{ 1, 2, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \emptyset \}$ kümesi veriliyor. Buna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde $\{1, 2\}$ eleman olarak bulunur fakat $\{1\}$ ve $2$ elemanlarından en çok biri bulunur?

8

16

20

24

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kümenin

\{1, 2\}

elemanını içeren ve

\{1\}

ile

2

elemanlarından en çok birini barındıran alt küme sayısı 24'tür.

Doğru cevap olan 24,

A

kümesinin eleman sayısının 6 olduğu,

\{1, 2\}

elemanı sabitlendikten sonra kalan 5 eleman (

2^5=32

) içinden,

\{1\}

ve

2

elemanlarının birlikte bulunduğu

2^3=8

durumun çıkarılmasıyla (

32-8=24

) bulunur. Bu yöntem 'en çok biri' koşulunu matematiksel olarak tam karşılar.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirle.

s(A) = 6

. Elemanlar:

1

,

2

,

\{1\}

,

\{1, 2\}

,

\{1, 2, 3\}

ve

\emptyset

.

Alt küme hesaplamaları için kümenin her bir elemanının doğru tanımlanması gerekir; süslü parantez içindeki ifadeler tek bir eleman olarak sayılır.

2

Koşulun ilk kısmını uygula:

\{1, 2\}

elemanını alt kümede sabitle.

Geriye kalan elemanlar:

\{1, 2, \{1\}, \{1, 2, 3\}, \emptyset \}

.

Bir elemanın bulunması istendiğinde o eleman seçilir ve kalan elemanlar üzerinden diğer koşullar değerlendirilir.

3

Kalan 5 eleman ile oluşturulabilecek toplam alt küme sayısını bul.

2^5 = 32

.

n

elemanlı bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülü ile hesaplanır.

4

'En çok biri' koşulunu (tüm durumlar - istenmeyen durumlar) yöntemini kullanarak hesapla.

İstenmeyen durum:

\{1\}

ve

2

elemanlarının ikisinin de aynı anda bulunmasıdır.

\{1\}

ve

2

sabitlendiğinde geriye kalan 3 eleman (

1, \{1, 2, 3\}, \emptyset

) ile

2^3 = 8

alt küme oluşur.

'En çok biri' ifadesi; 'hiçbiri', 'sadece

\{1\}

' veya 'sadece

2

' durumlarını kapsar. Bu da 'ikisi birden bulunmasın' demektir.

5

Sonucu hesapla.

32 - 8 = 24

.

Toplam alt küme sayısından koşulu bozan (ikisinin de bulunduğu) durumlar çıkarılarak istenen sayıya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Alt küme sayısını hesaplarken belirli elemanların bulunma veya bulunmama koşullarının kombinatoryal yöntemlerle analizi.

Soru 56Soru →

$E$ evrensel kümesinin alt kümeleri olan $A$ ve $B$ kümeleri için aşağıdaki eşitlikler ve bilgiler verilmiştir:

* $s(E) = 44$
* $s((A \cup B)') = 4$
* $3 \cdot s(A \setminus B) = 4 \cdot s(B \setminus A)$
* $s(A \cap B)$ değeri bir asal sayıdır.

Buna göre, $s(A)$ değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

25

29

31

33

37

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

A kümesinin eleman sayısının alabileceği en büyük değer 31'dir.

Verilen oranlardan fark kümelerine 4k ve 3k dedikten sonra evrensel küme denklemi 7k + p = 40 halini alır. p'nin asal sayı olma şartını sağlayan k değerleri 3 ve 5'tir. Bu değerler yerine konduğunda s(A) sırasıyla 31 ve 25 bulunur. En büyük değer istendiği için doğru cevap 31'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenleri Venn şeması mantığıyla değişkenlere dök

s(A \setminus B) = 4k

,

s(B \setminus A) = 3k

ve

s(A \cap B) = p

(asal sayı) olsun.

Oran orantı verildiğinde katsayıları çapraz eşleyerek tek değişken (k) kullanmak işlemi kolaylaştırır.

2

Evrensel küme denklemini kur

s(A \cup B) + s((A \cup B)') = s(E)

olduğundan,

(4k + p + 3k) + 4 = 44

elde edilir.

Birleşim kümesi, farklar ve kesişimin toplamıdır. Tümleyen ile toplanınca evrensel kümeyi verir.

3

Denklemi sadeleştir ve p'yi k cinsinden ifade et

7k + p + 4 = 44 \Rightarrow 7k + p = 40 \Rightarrow p = 40 - 7k

Asal sayı analizi yapabilmek için p'yi yalnız bırakmak gerekir.

4

k değerlerini deneyerek p'nin asal olup olmadığını kontrol et

k=1 için p=33 (asal değil); k=2 için p=26 (asal değil); k=3 için p=19 (ASAL); k=4 için p=12 (asal değil); k=5 için p=5 (ASAL); k=6 ve sonrası için p negatif olur.

p sayısının asal sayı olma şartı (2, 3, 5, 7, 11...) problemin kısıtlayıcı faktörüdür.

5

Geçerli durumlarda s(A) değerini hesapla ve en büyüğünü bul

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 4k + p

. Durum 1 (k=3, p=19):

4(3)+19 = 31

. Durum 2 (k=5, p=5):

4(5)+5 = 25

. En büyük değer 31'dir.

A kümesi, sadece A'da olanlar (4k) ile kesişimin (p) toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı Problemleri ve Asal Sayı Analizi

Soru 57Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir asal sayı ve en az bir çift sayı bulunur?

104

106

112

120

122

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 106

Cevap

İstenen şartları sağlayan 106 farklı alt küme vardır.

Soruda 'en az bir asal' ve 'en az bir çift' şartı arandığından, tüm durumlardan bu şartların sağlanmadığı durumları çıkarmak en pratik yoldur. İstenmeyen durumlar: 'Hiç asal sayı bulunmaması' VEYA 'Hiç çift sayı bulunmaması'dır. Bu iki kümenin birleşimini bulurken kesişimlerini (hem asal olmayan hem çift olmayanlar) çıkarmayı unutmamak gerekir. Tüm durum (

128

) eksi İstenmeyen (

8 + 16 - 2 = 22

) işlemi sonucunda

106

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeyi analiz et ve toplam alt küme sayısını bul.

A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

kümesinin 7 elemanı vardır. Tüm alt kümelerin sayısı

2^7 = 128

'dir.

Tüm durumların sayısını belirlemek, istenmeyen durumları çıkarmak için gereklidir.

2

İstenmeyen durumları tanımla (Tümleyen Mantığı).

İstenen: (En az 1 Asal) VE (En az 1 Çift). İstenmeyen (Tümleyen): (Hiç Asal Yok) VEYA (Hiç Çift Yok).

Doğrudan hesaplamak yerine tümleyen yöntemini kullanmak bu tip sorularda daha pratiktir.

3

'Hiç Asal Yok' durumunu hesapla.

Asal sayılar:

\{2, 3, 5, 7\}

. Asal olmayanlar:

\{1, 4, 6\}

(3 eleman). Alt küme sayısı:

2^3 = 8

.

Sadece asal olmayan elemanlardan oluşan alt kümeler, 'en az bir asal sayı' şartını sağlamaz.

4

'Hiç Çift Yok' durumunu hesapla.

Çift sayılar:

\{2, 4, 6\}

. Çift olmayanlar (Tekler):

\{1, 3, 5, 7\}

(4 eleman). Alt küme sayısı:

2^4 = 16

.

Sadece tek sayılardan oluşan alt kümeler, 'en az bir çift sayı' şartını sağlamaz.

5

Kesişim durumunu (Hem Asal Yok Hem Çift Yok) hesapla.

Asal olmayan VE Çift olmayan elemanlar:

\{1\}

(Sadece 1 elemanı). Alt küme sayısı:

2^1 = 2

.

Birleşim formülünde (

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

) kesişimi iki kere çıkarmamak için bu değeri bulmalıyız.

6

İstenmeyen durumların toplam sayısını ve sonucu bul.

İstenmeyen =

8 + 16 - 2 = 22

. Sonuç = Tüm Durumlar - İstenmeyen =

128 - 22 = 106

.

De Morgan kuralı ve küme birleşim prensibi ile doğru sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı (De Morgan Kuralı)

İpuçları

1

İstenen durumu doğrudan saymak yerine, tüm durumlardan 'istenmeyen' durumları çıkarmayı deneyin.

2

İstenmeyen durumlar şunlardır: Kümede hiç asal sayı olmaması VEYA kümede hiç çift sayı olmaması.

3

Asal olmayanların alt küme sayısı ile çift olmayanların alt küme sayısını toplayın, ancak her iki gruba da girenleri (kesişimi) bir kez çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir negatif sayı ve en az bir pozitif sayı' şartıyla çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 58Soru →

$A = \{1, 2, 4, 8\}$ ve $B = \{1, 2, 3, 6\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki Venn şemasında $A$ ve $B$ kümelerinin kesişim bölgesi ( $A \cap B$ ) taralı olarak gösterilmiştir.

Buna göre, taralı bölgenin elemanları aşağıdakilerden hangisidir?

\{1, 2\}

\{1, 2, 3, 4, 6, 8\}

\{4, 8\}

\{3, 6\}

\{1, 2, 4, 8\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{1, 2\}$

Cevap

Taralı bölge, her iki kümede de ortak bulunan elemanları temsil eden

\{1, 2\}

kümesidir.

Venn şemasında iki kümenin birbiriyle çakıştığı bölge kesişim (

A \cap B

) kümesini ifade eder. Hem

A

hem de

B

kümesinin eleman listesine bakıldığında

1

ve

2

sayılarının her ikisinde de ortak olduğu görülür. Bu nedenle taralı bölge

\{1, 2\}

elemanlarından oluşur.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını karşılaştırarak ortak olanları belirle.

A \cap B = \{1, 2\}

Kesişim işlemi (

\\cap

), her iki kümede de aynı anda bulunan elemanların seçilmesidir.

2

Venn şemasındaki taralı bölgeyi analiz et.

Taralı bölge kesişim bölgesidir.

Şemada iki dairenin birbiri üzerine bindiği orta kısım ortak elemanların yeridir.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim işlemi, iki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan yeni bir küme oluşturur.

İpuçları

1

Kesişim (

\\cap

) sembolü, 've' bağlacı gibi düşünülmeli; yani eleman hem A'da hem de B'de olmalıdır.

2

Venn şemasında iki halkanın üst üste bindiği (ortak) alanı kontrol edin.

3

A = \{1, 2, 4, 8\}

ve

B = \{1, 2, 3, 6\}

listelerinde hangi sayıların iki kez yazıldığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Aynı kümeler için birleşim kümesinin eleman sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kümeleri alt alta yazıp aynı olanların altını çizerek kesişim kümesini hızlıca bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 59Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde A ve B kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \leq 3\}

B = \{y \in \mathbb{Z} : |y + 2| \leq 4\}

Buna göre, analitik düzlemde $(A \times B)$ kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını kapsayan en küçük çemberin alanı kaç $\pi$ birimkaredir?

24

25

48

64

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Çemberin yarıçapı 5 birim olduğundan alanı 25π birimkaredir.

Doğru cevap, kümelerin belirlediği dikdörtgensel bölgenin köşegenini çap kabul eden çemberin alanıdır. A kümesi x ekseninde 6 birim, B kümesi y ekseninde 8 birim uzunluğunda bir aralık belirtir. Oluşan 6-8-10 üçgeninden köşegen (çap) 10 bulunur. Yarıçap 5 olduğundan alan

25\pi

olur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarının oluşturduğu aralığı bul.

|x - 1| \leq 3 \implies -3 \leq x - 1 \leq 3 \implies -2 \leq x \leq 4

. (Uzunluk = 4 - (-2) = 6 birim)

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x eksenindeki sınırları belirlemek için.

2

B kümesinin elemanlarının oluşturduğu aralığı bul.

|y + 2| \leq 4 \implies -4 \leq y + 2 \leq 4 \implies -6 \leq y \leq 2

. (Uzunluk = 2 - (-6) = 8 birim)

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek y eksenindeki sınırları belirlemek için.

3

Kartezyen çarpımın oluşturduğu geometrik şekli ve çevreleyen çemberin çapını belirle.

Noktalar 6x8 boyutlarında bir dikdörtgen oluşturur. En küçük çember bu dikdörtgenin köşelerinden geçer. Çap (köşegen)

d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10

birimdir.

Dikdörtgeni içine alan en küçük çemberin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir.

4

Çemberin yarıçapını ve alanını hesapla.

Yarıçap

r = 10/2 = 5

birim. Alan

= \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi

.

Alan formülü

\pi r^2

kullanılarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemde geometrik yorumu ve mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümeleri.

Soru 60Soru →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 3k + 1, \, k \in \mathbb{Z} \}

B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 4m + 2, \, m \in \mathbb{Z} \}

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

{ x ∈ ℤ | x = 7n + 3, n ∈ ℤ }

{ x ∈ ℤ | x = 12n + 1, n ∈ ℤ }

{ x ∈ ℤ | x = 12n + 2, n ∈ ℤ }

{ x ∈ ℤ | x = 12n + 10, n ∈ ℤ }

{ x ∈ ℤ | x = 12n + 6, n ∈ ℤ }

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: { x ∈ ℤ | x = 12n + 10, n ∈ ℤ }

Cevap

A ve B kümelerinin kesişimi, 12 ile bölümünden 10 kalanını veren tam sayılar kümesidir.

Kesişim kümesindeki bir eleman hem

x = 3k + 1

hem de

x = 4m + 2

koşulunu sağlamalıdır. Bu, sayının 3 ile bölümünden 1, 4 ile bölümünden 2 kalanı vermesi demektir. Bu şartı sağlayan ilk pozitif sayı 10'dur (

10 = 3\cdot3+1

ve

10 = 4\cdot2+2

). Kesişimin periyodu ise 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12'dir. Dolayısıyla genel ifade

12n + 10

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin eleman yapısını analiz et

A kümesi 3'e bölündüğünde 1 kalanını, B kümesi 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren sayılardan oluşur.

Kesişim kümesindeki bir x sayısı her iki koşulu da (x ≡ 1 mod 3 ve x ≡ 2 mod 4) sağlamalıdır.

2

Denkliği sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bul

x = 10 sayısı; 10 = 3(3)+1 ve 10 = 4(2)+2 koşullarını sağlar.

Ortak elemanların oluşturduğu dizinin başlangıç noktasını belirlemek gerekir.

3

Genel terimi (periyodu) belirle

Periyot EKOK(3, 4) = 12'dir. Genel ifade x = 12n + 10 olur.

İki aritmetik dizinin ortak elemanları, artış miktarlarının EKOK'u kadar aralıklarla tekrar eder.

Anahtar Kavram

Periyodik Kümelerin Kesişimi (Modüler Aritmetik)

İpuçları

1

Kesişim kümesindeki bir sayı, hem A kümesinin hem de B kümesinin kuralına uymalıdır. Birkaç küçük sayı yazarak (örneğin 1 ile 20 arası) her iki kümede de bulunan sayıları tespit etmeyi deneyin.

2

Sayının artış miktarı (periyodu), A'nın artış miktarı (3) ve B'nin artış miktarının (4) En Küçük Ortak Katı (EKOK) olmalıdır.

3

Hem 3'e bölündüğünde 1 kalanını, hem de 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük pozitif sayı 10'dur. Artış miktarı ise EKOK(3,4)=12'dir. Genel formül bu iki bilgiyi birleştirir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla '3 ile bölündüğünde 1, 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar' kümesini ifade etmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki ifadelerden n=0 veya n=1 için değerler üretip, bu değerlerin A ve B kümelerinin tanımlarına uyup uymadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin, doğru cevaptaki n=0 için x=10 değeri; 10 = 3(3)+1 (A'ya uyar) ve 10 = 4(2)+2 (B'ye uyar) kontrolü yapılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Kümeler ve Fonksiyonlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik