Examkin

Kümeler ve Fonksiyonlar

286 soru

Soru 61Soru →
Tanımlı oldukları en geniş aralıklarda ff sabit, gg birim fonksiyondur.
f(x)=ax+123x−bf(x) = \frac{ax + 12}{3x - b}
g(x)=(c+2)x2+(d−3)x+k−5g(x) = (c + 2)x^2 + (d - 3)x + k - 5
eşitlikleri veriliyor.
f(d)=g(c)f(d) = g(c) olduğuna göre, a+b+da + b + d toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen toplamın değeri 4'tür.
Doğru cevap 4'tür çünkü birim fonksiyon tanımından d=4 bulunur; bu değer f fonksiyonunun sabit değerini -2 olarak belirler. Sabit fonksiyon katsayı oranlarından a=-6 ve b=6 elde edilir. Toplamları 4 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Birim fonksiyon g(x) = x tanımını kullanarak katsayıları analiz et.
x² terimi olmamalı, x'in katsayısı 1 olmalı: c+2=0 ⇒ c=-2 ve d-3=1 ⇒ d=4.
Birim fonksiyon her elemanı kendisine eşler (g(x)=x), bu yüzden x dışındaki terimlerin katsayıları sıfırlanmalı, x'in katsayısı 1 olmalıdır.
2
f(d) = g(c) eşitliğini kullanarak sabit fonksiyonun değerini bul.
f(4) = g(-2). g birim fonksiyon olduğundan g(-2) = -2. O halde f(x) = -2 (sabit).
g fonksiyonunun özelliği kullanılarak eşitliğin sağ tarafı hesaplanır. f sabit olduğu için tüm x değerleri için sonuç -2 olacaktır.
3
Sabit fonksiyon şartı (oran orantı) ile a ve b değerlerini bul.
a/3 = 12/(-b) = -2 (Fonksiyon değeri). Buradan a = -6 ve b = 6 bulunur.
Rasyonel ifadenin sabit fonksiyon olması için pay ve paydadaki derecelerin katsayıları orantılı olmalı ve bu oran fonksiyonun sabit değerine eşit olmalıdır.
4
Bulunan değerleri topla.
a + b + d = (-6) + 6 + 4 = 4.
Soruda istenen nihai işlem gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonun sabit olması için katsayılar oranı eşit olmalı (a/c=b/d=ka/c = b/d = k); birim fonksiyonda ise g(x)=xg(x)=x formunda katsayılar ayarlanmalıdır.

İpuçları

1
Birim fonksiyon g(x)=xg(x) = x kuralına sahiptir. Bu, polinomdaki x'li terimin katsayısının 1, diğer tüm katsayıların 0 olması demektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda, f(x) fonksiyonunun birim, g(x) fonksiyonunun sabit olduğu ve bileşke fonksiyon içeren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 62Soru →
AA ve BB boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,
s(A)=6s(A)=6
s(B)=8s(B)=8
s(A∪B)=10s(A \cup B)=10
eșitlikleri veriliyor.

Buna göre, s((A×B)∪(B×A))s((A \times B) \cup (B \times A)) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 80'dir.
Soruyu çözmek için önce AA ve BB kümelerinin kesişim eleman sayısını bulmalıyız. s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünden 10=6+8−s(A∩B)10 = 6 + 8 - s(A \cap B) yazılır ve s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4 bulunur. Daha sonra bizden istenen s((A×B)∪(B×A))s((A \times B) \cup (B \times A)) ifadesi için genel birleşim kuralı olan s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) uygulanır. Burada s(A×B)=48s(A \times B) = 48 ve s(B×A)=48s(B \times A) = 48'dir. Kesişim bölgesi için ise kartezyen çarpım özelliği gereği (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B) eşitliği kullanılır. Bu durumda kesişim eleman sayısı 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 olur. Sonuç olarak 48+48−16=8048 + 48 - 16 = 80 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A∩BA \cap B kümesinin eleman sayısını bul
s(A∩B)=s(A)+s(B)−s(A∪B)=6+8−10=4s(A \cap B) = s(A) + s(B) - s(A \cup B) = 6 + 8 - 10 = 4
Kümelerin birleşimi formülünden kesişim eleman sayısına ulaşmak gerekir.
2
Kartezyen çarpım kümelerinin ayrı ayrı eleman sayılarını hesapla
s(A×B)=6⋅8=48s(A \times B) = 6 \cdot 8 = 48 ve s(B×A)=8⋅6=48s(B \times A) = 8 \cdot 6 = 48
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır.
3
Kartezyen çarpımların kesişim kümesinin eleman sayısını bul
s((A×B)∩(B×A))=s(A∩B)⋅s(B∩A)=4⋅4=16s((A \times B) \cap (B \times A)) = s(A \cap B) \cdot s(B \cap A) = 4 \cdot 4 = 16
(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) kuralı kullanılır.
4
Birleşim formülünü uygula
48+48−16=8048 + 48 - 16 = 80
s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Birleşimi ve Kesişimi

İpuçları

1
Önce s(A∩B)s(A \cap B) değerini bulmak için kümelerde birleşim formülünü kullanın.
2
İstenen ifade s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) yapısındadır. Burada X=A×BX = A \times B ve Y=B×AY = B \times A olarak düşünülmelidir.
3
Kartezyen çarpımların kesişimi kuralını hatırlayın: (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesi, aslında (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşittir.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin ayrık olduğu durumda kartezyen çarpım birleşiminin nasıl değiştiğini inceleyen bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 63Soru →

K={2,4,6}K = \{2, 4, 6\} kümesi üzerinde tanımlı f:K→Kf: K \rightarrow K fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıda verilmiştir. Bu şemada her eleman oklarla kendisiyle eşleşmiştir. Buna göre, bu ff fonksiyonunun türü aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birim Fonksiyon

Cevap

Verilen eşleşme kuralına göre her eleman kendisine gittiği için bu bir birim fonksiyondur.
Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde yine kendisine eşleyen fonksiyondur. Şemada görüldüğü üzere 2 sayısı 2'ye, 4 sayısı 4'e ve 6 sayısı 6'ya gitmektedir. Bu durum f(x)=xf(x) = x kuralına karşılık geldiği için doğru cevap birim fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1
Şemadaki okları takip ederek her elemanın hangi sayıya gittiğini belirle.
f(2)=2f(2) = 2, f(4)=4f(4) = 4 ve f(6)=6f(6) = 6 olduğu görülür.
Fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değerlerini nasıl değiştirdiğini anlamak için.
2
Eşleşme kuralını (fonksiyonun genel biçimini) tespit et.
f(x)=xf(x) = x kuralı geçerlidir.
Her elemanın kendisiyle eşleştiğini matematiksel olarak ifade etmek için.
3
Bu kurala uyan fonksiyon çeşidinin adını hatırla.
Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyon 'Birim Fonksiyon'dur.
Kavramsal tanımı kullanarak doğru türü belirlemek için.

Anahtar Kavram

Birim (Özdeşlik) Fonksiyon Tanımı

İpuçları

1
Şemada sol taraftaki sayıların her birinin sağ tarafta hangi sayıya gittiğini tek tek takip edin.
2
Okların uçlarına baktığınızda, bir sayının (örneğin 4'ün) yine aynı sayıya mı gittiğini yoksa başka bir sayıya mı yöneldiğini kontrol edin.
3
Her elemanın 'kendisiyle' eşleştiği fonksiyonlara matematikte ne isim verildiğini düşünün (İpucu: 'Ne girerse o çıkar' kuralı).

Daha Fazla Pratik

Eğer şemadaki tüm oklar sadece 4 sayısına gitseydi, bu fonksiyonun türü ne olurdu? (Cevap: Sabit Fonksiyon)

Alternatif Yöntem

f(2)=2,f(4)=4,f(6)=6f(2)=2, f(4)=4, f(6)=6 eşitliklerini yazdıktan sonra fonksiyonun kuralının f(x)=xf(x)=x olduğunu görebiliriz. Bu kural birim fonksiyonun temel tanımıdır.
Tahmini Süre:45s
Soru 64Soru →

Bir kalkınma ajansına sunulan projeler; "İstihdam", "Verimlilik" ve "İnovasyon" olmak üzere üç farklı kriter açısından değerlendirilmiştir. Değerlendirme raporuna göre aşağıdakiler bilinmektedir:

* Toplam 6565 proje onaylanmış olup, her proje en az bir kriteri sağlamaktadır.
* Sadece tek bir kriteri sağlayan projelerin sayıları birbirine eşittir.
* Sadece iki kriteri sağlayan projelerin sayıları birbirine eşittir.
* Her üç kriteri de sağlayan proje sayısı, sadece iki kriteri sağlayan herhangi bir grubun sayısının üçte biridir.
* En az iki kriteri sağlayan toplam proje sayısı 2020'dir.

Buna göre, "Verimlilik" kriterini sağlayan toplam proje sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Verimlilik kriterini sağlayan toplam 29 proje vardır.
Verimlilik kriterini sağlayan proje sayısı, bu kümeye ait tüm alt bölgelerin toplamıdır: Sadece Verimlilik (xx), Verimlilik ve İstihdam (yy), Verimlilik ve İnovasyon (yy) ve her üç kriter (zz). Hesaplamalar sonucu x=15,y=6,z=2x=15, y=6, z=2 bulunduğundan, toplam 15+6+6+2=2915 + 6 + 6 + 2 = 29 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.
Sadece 1 kriter sağlayanlar: xx (her biri için eşit). Sadece 2 kriter sağlayanlar: yy (her biri için eşit). Her 3 kriteri sağlayanlar: zz.
Sözel ifadeyi matematiksel değişkenlere dökmek çözümü kolaylaştırır.
2
"En az iki kriter" ve oran bilgisini kullanarak yy ve zz değerlerini bul.
Verilen oran y=3zy = 3z. Denklem: 3y+z=20⇒3(3z)+z=20⇒10z=20⇒z=23y + z = 20 \Rightarrow 3(3z) + z = 20 \Rightarrow 10z = 20 \Rightarrow z = 2. Buradan y=6y = 6 bulunur.
Üçlü kesişim ve ikili kesişimlerin toplamı 20 olarak verilmiştir.
3
Toplam proje sayısını kullanarak xx değerini bul.
Toplam = 3x+3y+z=653x + 3y + z = 65. 3x+18+2=65⇒3x=45⇒x=153x + 18 + 2 = 65 \Rightarrow 3x = 45 \Rightarrow x = 15.
Evrensel küme (birleşim) formülü ile tek bilinmeyen kalan xx hesaplanır.
4
"Verimlilik" kümesinin eleman sayısını hesapla.
Verimlilik (V) = (Sadece V) + (Sadece V∩İ) + (Sadece V∩E) + (Her üçü). V = x+y+y+z=15+6+6+2=29x + y + y + z = 15 + 6 + 6 + 2 = 29.
Bir kümenin toplam eleman sayısı, o kümeyi oluşturan tüm ayrık bölgelerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1
Projeleri üç kesişen küme olarak düşünün (Venn şeması). Kümelerin sadece kendine ait kısımlarına xx, sadece iki kümenin kesiştiği kısımlara yy ve üçünün kesişimine zz diyerek denklemleri kurun.
2
'En az iki kriteri sağlayan' demek, sadece iki kriteri sağlayanlar (3y3y) ile üçünü de sağlayanların (zz) toplamı demektir (3y+z=203y + z = 20).
3
y=3zy = 3z eşitliğini kullanarak önce zz'yi bulun. Sonra toplam sayı formülü (3x+3y+z=653x + 3y + z = 65) ile xx'i elde edin. Verimlilik kümesi x+2y+zx + 2y + z toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'en çok bir dili bilenler' veya 'en az bir dersi geçenler' kalıplarını kullanan sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 65Soru →

Bir site yönetimi toplantısında, 'Güvenlik Sistemi' ve 'Peyzaj Düzenlemesi' olmak üzere iki farklı proje oylamaya sunulmuştur. Toplantıya katılan toplam 5555 kat malikinin oy kullandığı bu oylama ile ilgili şu bilgiler verilmiştir:

* Sadece Güvenlik Sistemi projesine oy verenlerin sayısı, sadece Peyzaj Düzenlemesi projesine oy verenlerin sayısının 33 katıdır.
* Her iki projeye de oy veren 88 kişi vardır.
* Hiçbir projeye oy vermeyen (çekimser) 77 kişi bulunmaktadır.

Buna göre, Güvenlik Sistemi projesine oy veren toplam kişi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Güvenlik Sistemi projesine oy veren toplam kişi sayısı 38'dir.
Doğru cevap, sadece Güvenlik sistemine oy verenler (3x=303x = 30) ile her iki projeye de oy verenlerin (88) toplamı olan 3838'dir. Denklem 4x+15=554x + 15 = 55 şeklinde kurulup çözüldüğünde x=10x=10 bulunur ve yerine konulur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve verilenleri tanımla.
Evrensel küme (toplam kişi) s(E)=55s(E) = 55. İki küme: Güvenlik (GG) ve Peyzaj (PP). Kesişim s(G∩P)=8s(G \cap P) = 8. Hiçbirine oy vermeyenler s((G∪P)′)=7s((G \cup P)') = 7.
Problemi matematiksel sembollerle ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
2
Bilinmeyenleri değişken cinsinden ifade et.
Sadece Peyzaj'a oy verenlere xx dersek, sadece Güvenlik'e oy verenler 3x3x olur.
Verilen kat ilişkisini denkleme dökmek için.
3
Toplam kişi sayısı üzerinden denklemi kur.
(Sadece G)+(Sadece P)+(Her ikisi)+(Hic¸biri)=Toplam(\text{Sadece } G) + (\text{Sadece } P) + (\text{Her ikisi}) + (\text{Hiçbiri}) = \text{Toplam}
3x+x+8+7=553x + x + 8 + 7 = 55
Evrensel küme, tüm alt bölgelerin toplamına eşittir.
4
Denklemi çözerek xx değerini bul.
4x+15=55⇒4x=40⇒x=104x + 15 = 55 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10.
Bilinmeyen xx değerini bulmak için işlem yapılır.
5
İstenen kümenin eleman sayısını hesapla.
Güvenlik projesine oy verenler = (Sadece G)+(Her ikisi)=3x+8(\text{Sadece } G) + (\text{Her ikisi}) = 3x + 8.
3(10)+8=30+8=383(10) + 8 = 30 + 8 = 38.
Soru 'Sadece Güvenlik'i değil, 'Güvenlik' kümesinin tamamını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Problemi çözmek için bir Venn şeması çizmeyi deneyin. İki kesişen küme ve dışarıda kalan bir bölge olacaktır.
2
Sadece Peyzaj'a oy verenlere xx derseniz, sadece Güvenlik'e oy verenler 3x3x olur. Tüm bölgelerin toplamı 55'e eşittir.
3
Denklem: 3x+x+8+7=553x + x + 8 + 7 = 55. Buradan xx'i bulduktan sonra, Güvenlik kümesi için 3x+83x + 8 işlemini yapmayı unutmayın.

Alternatif Yöntem

Toplam kişi sayısından (5555), hiçbirine oy vermeyenleri (77) çıkarırsanız birleşim kümesini (4848) bulursunuz. s(G∪P)=s(G)+s(P)−s(G∩P)s(G \cup P) = s(G) + s(P) - s(G \cap P) formülünde s(G)=3x+8s(G) = 3x+8 ve s(P)=x+8s(P)=x+8 yazarak da çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 66Soru →
Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere,
A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}
B={x∈Z:x2<17}B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 17\}
kümeleri tanımlanmıştır.

Buna göre, (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

90
Soruda verilen (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) kümesinin eleman sayısını bulmak için s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülü kullanılır. Burada X=A×BX = A \times B ve Y=B×AY = B \times A'dır.

Öncelikle kümelerin eleman sayıları bulunur:
A={−1,0,1,2,3,4,5}⇒s(A)=7A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \Rightarrow s(A)=7
B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}⇒s(B)=9B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \Rightarrow s(B)=9

Buradan s(A×B)=7⋅9=63s(A \times B) = 7 \cdot 9 = 63 ve s(B×A)=9⋅7=63s(B \times A) = 9 \cdot 7 = 63 bulunur.

Önemli nokta kesişim kümesidir: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) = (A \cap B) \times (A \cap B).
A∩B={−1,0,1,2,3,4}A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olup s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6'dır.
Kesişim kümesinin eleman sayısı: 6⋅6=366 \cdot 6 = 36.

Sonuç: 63+63−36=9063 + 63 - 36 = 90.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirle
∣x−2∣≤3⇒−3≤x−2≤3⇒−1≤x≤5|x - 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5. A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}, yani s(A)=7s(A) = 7.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları listelemek gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını belirle
x2<17x^2 < 17 koşulunu sağlayan tam sayılar: −17<x<17-\sqrt{17} < x < \sqrt{17} (≈4.12\approx 4.12). B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}, yani s(B)=9s(B) = 9.
Karesi 17'den küçük olan tam sayıları bulmak gerekir.
3
Kesişim kümesini (A∩BA \cap B) ve eleman sayısını bul
Ortak elemanlar: {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}. s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6.
Birleşim formülünde kullanılacak olan kesişim değerini bulmak için.
4
Birleşim formülünü uygula
s((A×B)∪(B×A))=s(A×B)+s(B×A)−s((A×B)∩(B×A))s((A \times B) \cup (B \times A)) = s(A \times B) + s(B \times A) - s((A \times B) \cap (B \times A)). Bu da s(A)s(B)+s(B)s(A)−[s(A∩B)]2s(A)s(B) + s(B)s(A) - [s(A \cap B)]^2 eşittir. 63+63−36=126−36=9063 + 63 - 36 = 126 - 36 = 90.
Kartezyen çarpımın birleşim eleman sayısını hesaplamak için dahil etme-hariç tutma prensibi kullanılır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Kümelerde Birleşim Prensibi

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça listeleyin ve kaçar elemanlı olduklarını (s(A) ve s(B)) bulun.
2
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülünü hatırlayın: s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y). Burada X ve Y kartezyen çarpım kümeleridir.
3
(A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı, (A∩B)(A \cap B) kümesinin eleman sayısının karesine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 67Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi örten (surjective) bir fonksiyon olmasına rağmen birebir (injective) değildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: f(x)={x2x c¸ift isex−12x tek isef(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift ise} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek ise} \end{cases}

Cevap

Parçalı olarak tanımlanan f(x)={x2x c¸iftx−12x tekf(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek} \end{cases} fonksiyonu.
Verilen parçalı fonksiyon, tüm tam sayıları (örtenlik) çift sayılar dalı üzerinden elde edebilir (f(2y)=yf(2y)=y). Ancak, tek ve çift sayıların görüntüleri çakışabildiği için (örneğin f(0)=0f(0)=0 ve f(1)=0f(1)=0) birebir değildir. Bu durum, sonsuz kümelerde bir fonksiyonun örten olup birebir olmamasının klasik bir örneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Örtenlik testi: Değer kümesindeki (mathbbZ\\mathbb{Z}) her elemanın en az bir kez görüntülenip görüntülenmediğini kontrol et.
D seçeneğinde, her yinmathbbZy \\in \\mathbb{Z} sayısı için x=2yx = 2y (çift sayı) seçilirse f(2y)=2y/2=yf(2y) = 2y/2 = y olur. Yani tüm tam sayılar elde edilebilir, fonksiyon örtendir.
Bir fonksiyonun örten olması için değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
2
Birebirlik testi: Tanım kümesindeki farklı elemanların aynı görüntüye gidip gitmediğini kontrol et.
D seçeneğinde, f(0)=0/2=0f(0) = 0/2 = 0 ve f(1)=(1−1)/2=0f(1) = (1-1)/2 = 0 bulunur. 0neq10 \\neq 1 olmasına rağmen f(0)=f(1)f(0) = f(1) olduğundan fonksiyon birebir değildir.
Farklı girdiler aynı çıktıyı veriyorsa fonksiyon birebir olamaz.
3
Diğer seçenekleri ele.
f(x)=2x+1f(x)=2x+1 (Tek sayıları örter, çiftleri örtmez), f(x)=1−xf(x)=1-x (Hem birebir hem örtendir), f(x)=x3f(x)=x^3 (Sadece küpleri örter), B seçeneği (0 değerini almaz).
Soru bizden 'Örten OLSUN ama Birebir OLMASIN' şartını sağlayan tek fonksiyonu istemektedir.

Anahtar Kavram

Örten fonksiyon, değer kümesindeki her elemanın eşleştiği fonksiyondur. Birebir fonksiyon ise her elemanın farklı bir görüntüye sahip olduğu fonksiyondur. mathbbZ\\mathbb{Z} gibi sonsuz kümelerde bu iki özellik bağımsız olabilir.

İpuçları

1
Fonksiyonun örten olması için Z\mathbb{Z}'deki HER sayının sonuç olarak çıkabilmesi gerekir.
2
Birebir olmaması için, farklı iki xx değerinin (örneğin 0 ve 1) aynı sonucu vermesi gerekir.
3
Parçalı fonksiyonda çift sayıları (2k2k) kullanarak tüm tam sayıları elde edip edemeyeceğinizi kontrol edin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 68Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x)+3f(−x)=2x+4f(x) + 3f(-x) = 2x + 4
eșitliği her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

f(2) değeri -1'dir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte f(2)f(2) değerini bulmak için, denklemde xx yerine hem 22 hem de −2-2 yazılarak iki bilinmeyenli (f(2)f(2) ve f(−2)f(-2)) bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
xx yerine 22 yazılarak ilk denklem oluşturulur.
f(2)+3f(−2)=2(2)+4⇒f(2)+3f(−2)=8f(2) + 3f(-2) = 2(2) + 4 \Rightarrow f(2) + 3f(-2) = 8
İstenen değeri içeren bir denklem elde etmek için.
2
f(−2)f(-2) terimini bulmak için xx yerine −2-2 yazılarak ikinci denklem oluşturulur.
f(−2)+3f(2)=2(−2)+4⇒f(−2)+3f(2)=0f(-2) + 3f(2) = 2(-2) + 4 \Rightarrow f(-2) + 3f(2) = 0
Bilinmeyen f(−2)f(-2) değerini f(2)f(2) cinsinden ifade etmek için.
3
İkinci denklemden f(−2)f(-2) çekilip birinci denklemde yerine yazılır.
f(−2)=−3f(2)f(-2) = -3f(2) olduğundan; f(2)+3(−3f(2))=8f(2) + 3(-3f(2)) = 8
İki bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene düşürmek için.
4
Elde edilen denklem çözülerek f(2)f(2) bulunur.
f(2)−9f(2)=8⇒−8f(2)=8⇒f(2)=−1f(2) - 9f(2) = 8 \Rightarrow -8f(2) = 8 \Rightarrow f(2) = -1
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değişken değiştirme ve denklem sistemi kurma.

İpuçları

1
Verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak f(2)f(2) ve f(−2)f(-2) içeren bir denklem elde ediniz.
2
Sadece x=2x=2 yazmak yetmeyecektir; bilinmeyen f(−2)f(-2) teriminden kurtulmak için xx yerine −2-2 de yazarak ikinci bir denklem oluşturunuz.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi (f(2)+3f(−2)=8f(2) + 3f(-2) = 8 ve f(−2)+3f(2)=0f(-2) + 3f(2) = 0) taraf tarafa yok etme veya yerine koyma metoduyla çözünüz.

Daha Fazla Pratik

f(x)+2f(1/x)=3xf(x) + 2f(1/x) = 3x türündeki rasyonel değişkenli soruları inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 69Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA, BB ve CC kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}
B={y∈Z:y2<17}B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 < 17\}
C={z∈Z:z pozitif tek sayıdır}C = \{z \in \mathbb{Z} : z \text{ pozitif tek sayıdır}\}

Buna göre, (A×B)∩(B×C)(A \times B) \cap (B \times C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
İfade (A∩B)×(B∩C)(A \cap B) \times (B \cap C) şeklinde düzenlenir. A ve B'nin kesişimi {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} (6 eleman), B ve C'nin kesişimi (B'deki pozitif tekler) {1,3}\{1, 3\} (2 eleman) şeklindedir. Sonuç 6×2=126 \times 2 = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği ile sadeleştir.
(A×B)∩(B×C)=(A∩B)×(B∩C)(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)
Bu özdeşlik sayesinde kümelerin tamamını yazmak yerine sadece gerekli kesişim kümelerini bulmak yeterlidir.
2
A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yaz.
A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} (Çünkü −3≤x−2≤3⇒−1≤x≤5-3 \le x-2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5) ve B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} (Çünkü y2<17⇒−4≤y≤4y^2 < 17 \Rightarrow -4 \le y \le 4).
Eşitsizlikleri sağlayan tam sayıları belirlemek için.
3
A∩BA \cap B kümesini ve eleman sayısını bul.
A∩B={−1,0,1,2,3,4}A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Eleman sayısı s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6.
Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir.
4
B∩CB \cap C kümesini ve eleman sayısını bul.
BB kümesindeki 'pozitif tek sayılar' (C kümesi tanımı): {1,3}\{1, 3\}. Eleman sayısı s(B∩C)=2s(B \cap C) = 2.
B kümesinin elemanları içinden C kümesinin şartını sağlayanlar seçilir.
5
Sonucu hesapla.
s((A∩B)×(B∩C))=s(A∩B)⋅s(B∩C)=6⋅2=12s((A \cap B) \times (B \cap C)) = s(A \cap B) \cdot s(B \cap C) = 6 \cdot 2 = 12.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 70Soru →

Bir bakanlıkta görev yapan ve hizmet içi eğitim programına katılan 45 uzmanın her biri, 'Stratejik Planlama' veya 'Risk Yönetimi' eğitimlerinden en az birini almıştır. Bu uzmanlardan 29'u Stratejik Planlama, 25'i ise Risk Yönetimi eğitimi aldığına göre, her iki eğitimi de alan uzman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Her iki eğitimi de alan uzman sayısı 9'dur.
Soruda, her uzmanın en az bir eğitim aldığı belirtildiği için evrensel küme ile birleşim kümesi aynıdır. Kümeler formülüne göre: Birleşim = (A Kümesi) + (B Kümesi) - (Kesişim). Buradan hareketle; 45 = 29 + 25 - (Her ikisi). 45 = 54 - (Her ikisi) işleminden sonuç 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri belirle
s(S) = 29 (Stratejik Planlama), s(R) = 25 (Risk Yönetimi), s(S ∪ R) = 45 (Toplam Mevcut)
Soruda verilen sayısal değerleri küme notasyonu ile ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
2
Kümelerin birleşim formülünü kullan
s(S ∪ R) = s(S) + s(R) - s(S ∩ R)
Herkes en az bir eğitim aldığı için birleşim kümesi toplam mevcuda eşittir.
3
Değerleri formülde yerine koy ve kesişimi (s(S ∩ R)) bul
45 = 29 + 25 - x ⇒ 45 = 54 - x ⇒ x = 9
İki kümenin eleman sayıları toplamından birleşim (toplam grup) çıkarıldığında kesişim bulunur.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşimindeki eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin çıkarılmasıyla bulunur: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

İpuçları

1
Gruptaki herkes en az bir eğitim almıştır, yani boşta kalan kimse yoktur.
2
Stratejik Planlama alanlar (29) ile Risk Yönetimi alanları (25) topladığınızda, toplam uzman sayısını (45) aşıyor musunuz?
3
Aşan miktar, her iki eğitimi de alan (iki kere sayılan) kişilerdir: (29 + 25) - 45 işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'en az bir dil bilenler' yerine 'dil bilmeyenlerin de olduğu' bir soru çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek; Sadece Stratejik Planlama (29-x), Sadece Risk Yönetimi (25-x) ve Her ikisi (x) bölgelerinin toplamını 45'e eşitleyebilirsiniz: (29-x) + x + (25-x) = 45 ⇒ 54 - x = 45 ⇒ x = 9.
Tahmini Süre:45s
Soru 71Soru →
EE evrensel kümesinin boştan farklı AA ve BB alt kümeleri için,
[(A∖B)∪(B∖A)]′∩A [(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' \cap A
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A \cap B

Cevap

İfadenin en sade hali A∩BA \cap B kümesidir.
Verilen ifade adım adım incelendiğinde; parantez içi (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) simetrik farkı belirtir. Bu bölge, sadece A'da ve sadece B'de olan elemanları kapsar. Bu ifadenin tümleyeni (′'), kesişim bölgesi (A∩BA \cap B) ve kümelerin dışındaki bölgeyi ((A∪B)′(A \cup B)') verir. Son adımda bu bölgenin AA ile kesişimi alındığında, evrensel kümenin dışı elenir ve geriye sadece AA ile ortak olan kısım, yani A∩BA \cap B kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki ifadeyi (X=(A∖B)∪(B∖A)X = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)) analiz et.
Bu ifade, AA veya BB'de olup her ikisinde birden olmayan elemanları (Simetrik Fark) temsil eder.
Kümeler teorisinde fark işleminin tanımı gereği A∖BA \setminus B sadece A'da olanları, B∖AB \setminus A sadece B'de olanları verir.
2
Bu ifadenin tümleyenini (X′X') düşün.
X′X', simetrik farkın dışındaki bölgedir. Yani hem AA ve BB'nin kesişimi (A∩BA \cap B) hem de her iki kümenin dışı ((A∪B)′(A \cup B)') bu bölgededir.
Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan tüm elemanları kapsar.
3
Bulunan bölgeyi AA kümesi ile kesiştir (∩A\cap A).
Simetrik farkın dışında kalan elemanlardan sadece AA kümesinin içinde olanlar seçilmelidir. (A∪B)′(A \cup B)' bölgesi AA'nın dışındadır. Geriye sadece A∩BA \cap B kalır.
Kesişim işlemi, her iki kümede ortak olan elemanları verir. AA'nın içinde olup simetrik farkta olmayan tek bölge kesişim bölgesidir.

Anahtar Kavram

Simetrik farkın tümleyeni, iki kümenin kesişimi ile iki kümenin birleşiminin tümleyeninin birleşimidir.

İpuçları

1
İfadeyi Venn şeması üzerinde bölgeleri tarayarak düşünmeyi deneyin.
2
(A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) ifadesi, 'Simetrik Fark' olarak bilinir ve kesişim hariç birleşimdeki tüm elemanları ifade eder.
3
Simetrik farkın tümleyeni, kesişim bölgesi (A∩BA \cap B) ile dış bölgenin birleşimidir. Bunu AA ile kesiştirirseniz geriye ne kalır?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla [(A∪B)∖(A∩B)]′∩B[(A \cup B) \setminus (A \cap B)]' \cap B ifadesini sadeleştirmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

De Morgan Kuralları ile cebirsel çözüm: Fark işlemini kesişime çevirin (A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B'). İfade [(A∩B′)∪(B∩A′)]′∩A[(A \cap B') \cup (B \cap A')]' \cap A olur. De Morgan uygulandığında (A′∪B)∩(B′∪A)∩A(A' \cup B) \cap (B' \cup A) \cap A elde edilir. (B′∪A)∩A=A(B' \cup A) \cap A = A olduğundan (yutma özelliği), geriye (A′∪B)∩A(A' \cup B) \cap A kalır. Dağılma özelliği ile (A′∩A)∪(B∩A)=∅∪(A∩B)=A∩B(A' \cap A) \cup (B \cap A) = \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 72Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={k,l,m,n}B = \{k, l, m, n\} kümeleri verilmiştir. Aşağıdaki şemada AA kümesinden BB kümesine tanımlı bir ff fonksiyonunun eşleşmeleri gösterilmiştir.

Buna göre, şemada özellikleri belirtilen ff fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birebir Fonksiyon

Cevap

Verilen şemada her eleman farklı bir görüntüye gittiği için fonksiyon Birebir Fonksiyondur.
Doğru cevap olan seçenek, tanım kümesindeki her elemanın (1, 2, 3) değer kümesindeki farklı bir elemanla (m, k, n) eşleştiğini doğru bir şekilde ifade eder. Bu durum birebir fonksiyonun temel tanımıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşleşmeleri listeleyelim.
f(1)=mf(1)=m, f(2)=kf(2)=k, f(3)=nf(3)=n
Fonksiyonun davranışını net bir şekilde görmek için şemadaki okları takip ederiz.
2
Birebirliği kontrol edelim.
m≠k≠nm \neq k \neq n
Tanım kümesindeki her eleman (1, 2, 3) farklı bir görüntüye (m, k, n) gittiği için fonksiyon birebirdir.
3
Örtenliği kontrol edelim.
BB kümesindeki 'll' elemanı açıkta kalmıştır.
Değer kümesinde (B) eşleşmeyen en az bir eleman bulunduğu için fonksiyon örten değildir (içine fonksiyondur).
4
Sonucu belirleyelim.
Birebir Fonksiyon
Sadece birebir olma şartı sağlandığı için fonksiyon çeşidi budur.

Anahtar Kavram

Birebir Fonksiyon Tanımı: Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün farklı olmasıdır.

İpuçları

1
Tanım kümesindeki her eleman farklı bir elemana mı gidiyor yoksa bazıları aynı elemanla mı eşleşmiş?
2
Sağdaki B kümesinde açıkta kalan, yani kendisine hiç ok gelmeyen bir eleman var mı?
3
Her eleman farklı bir yere gittiği için 'birebir'dir; ancak 'l' elemanı boşta kaldığı için 'örten' değildir.

Daha Fazla Pratik

B kümesinden 'l' elemanını çıkarırsak fonksiyonun çeşidinde ne gibi bir değişiklik olur?

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu sıralı ikililer kümesi olarak yazarak da görebilirsiniz: f={(1,m),(2,k),(3,n)}f = \{(1, m), (2, k), (3, n)\}. İkinci bileşenlerin hepsi birbirinden farklı olduğu için fonksiyon birebirdir.
Tahmini Süre:45s
Soru 73Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde bir AA kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z | x2−4x+20x−4∈Z} A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \ \middle| \ \frac{x^2 - 4x + 20}{x - 4} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

A kümesinin elemanlarının toplamı 48'dir.
Verilen ifade düzenlendiğinde x+20x−4x + \frac{20}{x-4} elde edilir. Bu ifadenin tam sayı olması için (x−4)(x-4), 20'nin bir böleni olmalıdır. 20'nin tam sayı bölenleri: {±1,±2,±4,±5,±10,±20}\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\} olmak üzere 12 tanedir. Her bir bölen dd için x=d+4x = d + 4 değerini alır. Tüm xx değerlerinin toplamı: ∑(d+4)=∑d+∑4\sum (d + 4) = \sum d + \sum 4. Bölenlerin toplamı (∑d\sum d) simetrik oldukları için 0'dır. O halde toplam 12×4=4812 \times 4 = 48 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi polinom bölmesi veya cebirsel düzenleme ile basitleştir.
x2−4x+20x−4=x(x−4)+20x−4=x+20x−4 \frac{x^2 - 4x + 20}{x - 4} = \frac{x(x-4) + 20}{x - 4} = x + \frac{20}{x - 4}
İfadenin tam sayı olma koşulunu daha kolay analiz etmek için tam kısım ile kesirli kısmı ayırırız.
2
İfadenin tam sayı olması için (x−4)(x - 4)'ün 20'nin tam sayı böleni olması gerektiğini belirle.
x−4∈{±1,±2,±4,±5,±10,±20}x - 4 \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}
xx bir tam sayı olduğundan, 20/(x−4)20 / (x-4) ifadesinin de tam sayı olması gerekir. Bu da paydanın 20'yi tam bölmesini gerektirir.
3
Her bir bölen değeri için xx değerlerini bul ve topla.
Toplam =48= 48.
Her bölen (dd) için x=d+4x = d + 4 eşitliği geçerlidir. Bölenlerin toplamı 0 olduğundan, toplam sadece öteleme miktarına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Tam Sayılarda Bölünebilme ve Küme Tanımı

İpuçları

1
İfadeyi x+Ax−4x + \frac{A}{x-4} biçiminde yazmaya çalışın.
2
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. 20 sayısının tüm tam sayı bölenlerini (negatifler dahil) düşünün.
3
Her bir bölen değeri dd için, x−4=dx - 4 = d eşitliğinden x=d+4x = d + 4 elde edilir. Bu xx değerlerinin toplamını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, x2+10x+1\frac{x^2+10}{x+1} ifadesinin tam sayı olduğu kaç farklı doğal sayı değeri olduğu sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Bölenleri tek tek bulmak yerine, simetri özelliğini kullanabilirsiniz. x−4x - 4 ifadesi dd değerlerini alır. Toplam x=∑(d+4)=∑d+∑4x = \sum (d+4) = \sum d + \sum 4. ∑d=0\sum d = 0 olduğu için sonuç sadece n×4n \times 4 olur (nn: bölen sayısı).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 74Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,
f(x2−2x)=4x2−8x+3f(x^2 - 2x) = 4x^2 - 8x + 3
g(3x+1)=f(x+5)g(3x + 1) = f(x + 5)
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, g(−2)g(-2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Önce g(−2)g(-2) için gerekli xx değeri 3x+1=−23x+1=-2 denkleminden x=−1x=-1 olarak bulunur. Bu değer g(3x+1)=f(x+5)g(3x+1)=f(x+5) eşitliğinde yerine yazıldığında g(−2)=f(4)g(-2)=f(4) elde edilir. ff fonksiyonunun kuralı incelendiğinde f(x2−2x)=4(x2−2x)+3f(x^2-2x) = 4(x^2-2x)+3 olduğu görülür, yani f(u)=4u+3f(u)=4u+3 tür. Buradan f(4)=4(4)+3=19f(4) = 4(4)+3=19 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(-2) değerini bulmak için g(3x+1) eşitliğinde parantez içini -2'ye eşitleyerek x değerini bulma.
3x + 1 = -2 ⇒ 3x = -3 ⇒ x = -1
Fonksiyonun verilen girdiye karşılık gelen bağımsız değişken değerini bulmak gerekir.
2
Bulunan x = -1 değerini g fonksiyonunun eşitliğinde yerine yazarak f cinsinden karşılığını bulma.
g(-2) = f(-1 + 5) = f(4)
g fonksiyonunun çıktısı f fonksiyonuna bağlıdır.
3
f fonksiyonunun kuralını analiz etme. f(x²-2x) = 4x²-8x+3 eşitliğinde sağ tarafı sol taraftaki ifadeye benzetme.
f(x² - 2x) = 4(x² - 2x) + 3 ⇒ f(u) = 4u + 3
Fonksiyonun genel kuralını (f(x) veya f(u)) belirlemek için değişken dönüşümü yapılmalıdır.
4
Elde edilen kuralda istenen f(4) değerini hesaplama.
f(4) = 4(4) + 3 = 16 + 3 = 19
Sonuca ulaşmak için fonksiyon kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değişken dönüşümü ve bileşke mantığı

İpuçları

1
Önce g fonksiyonunun içini -2 yapan x değerini bulunuz.
2
Bulduğunuz x değerini g fonksiyonunun eşitliğinde yerine yazarak f fonksiyonunda hangi değerin istendiğini belirleyiniz.
3
f(x2−2x)=4(x2−2x)+3f(x^2 - 2x) = 4(x^2 - 2x) + 3 parantezlemesini fark edip f(u)=4u+3f(u) = 4u + 3 kuralını kullanınız.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 75Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere, f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Fonksiyonun x=4x = 4 için değeri 10'dur.
Fonksiyon kuralı olan 3x−23x - 2 ifadesinde xx yerine 44 yazıldığında, işlem önceliği kurallarına göre önce 33 ile 44 çarpılır (1212), ardından 22 çıkarılır ve sonuç 1010 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenin yerine koyulması
f(4)=3(4)−2f(4) = 3(4) - 2
Fonksiyonda bir değer bulmak için, tanım kümesinden verilen sayı (44), kuraldaki xx değişkeninin yerine yazılır.
2
Çarpma işleminin yapılması
12−212 - 2
Matematiksel işlemlerde öncelik çarpmadadır; bu yüzden önce 33 ile 44 çarpılır.
3
Çıkarma işleminin yapılması
10
Çarpma sonucundan 22 çıkarılarak nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma

İpuçları

1
f(4)f(4) değerini bulmak için fonksiyondaki xx harfi yerine 44 sayısını yazmalısın.
2
3x3x ifadesi, 33 ile xx değerinin çarpılacağı anlamına gelir. Yani önce 3×43 \times 4 işlemini yapmalısın.
3
İşlem önceliğine dikkat et: Önce çarpma (3×43 \times 4), sonra çıkarma (−2- 2) işlemini yapmalısın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5 için f(3)f(3) değerini hesaplayarak pratik yapabilirsin.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu bir makine gibi düşünebilirsin: Girdi olarak 4 girdiğinde makine önce onu 3 ile çarpar, sonra sonuçtan 2 çıkarır.
Tahmini Süre:45s
Soru 76Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff birim fonksiyon ve gg sabit fonksiyondur.

A=R−{3}A = \mathbb{R} - \{3\} ve B=R−{2}B = \mathbb{R} - \{2\} olmak üzere, h:A→Bh: A \rightarrow B fonksiyonu,
h(x)=ax+4x−bh(x) = \frac{ax + 4}{x - b}
şeklinde tanımlanmış olup birebir ve örtendir.
f(a+b)+g(2023)=9f(a+b) + g(2023) = 9

olduğuna göre, (h∘g)(5)(h \circ g)(5) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Soruda verilen fonksiyon çeşitlerinin özellikleri kullanılarak bilinmeyenler bulunmalıdır. h(x)=ax+4x−bh(x) = \frac{ax+4}{x-b} fonksiyonu için tanım kümesinden çıkarılan eleman paydayı sıfır yapan değerdir (x=bx=b), değer kümesinden çıkarılan eleman ise a1=a\frac{a}{1}=a değeridir. Kümeler R−{3}\mathbb{R}-\{3\} ve R−{2}\mathbb{R}-\{2\} verildiğinden b=3b=3 ve a=2a=2 bulunur. ff birim fonksiyon olduğundan f(a+b)=f(5)=5f(a+b)=f(5)=5 olur. Denklemde yerine yazılırsa 5+g(2023)=95 + g(2023) = 9 işleminden g(2023)=4g(2023)=4 bulunur. gg sabit fonksiyon olduğundan her xx için g(x)=4g(x)=4'tür. İstenen (h∘g)(5)(h \circ g)(5) değeri h(g(5))=h(4)h(g(5))=h(4) olarak hesaplanır. h(4)=2(4)+44−3=12h(4) = \frac{2(4)+4}{4-3} = 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
h fonksiyonunun tanım ve değer kümelerinden a ve b sabitlerini belirle.
b=3b=3 ve a=2a=2
Tanım kümesi R−{3}\mathbb{R}-\{3\} olduğundan paydayı sıfır yapan değer x=3x=3'tür (3−b=0⇒b=33-b=0 \Rightarrow b=3). Değer kümesi R−{2}\mathbb{R}-\{2\} olduğundan yatay asimptot y=a/1=2y=a/1=2'dir (a=2a=2).
2
Verilen denklemde a ve b değerlerini yerine yazarak g fonksiyonunun sabit değerini bul.
g(x)=4g(x) = 4
f(a+b)+g(2023)=9⇒f(5)+g(2023)=9f(a+b) + g(2023) = 9 \Rightarrow f(5) + g(2023) = 9. f birim fonksiyon olduğundan f(5)=5f(5)=5. 5+g(2023)=9⇒g(2023)=45 + g(2023) = 9 \Rightarrow g(2023)=4. g sabit fonksiyon olduğundan her x için g(x)=4g(x)=4.
3
Bileşke fonksiyon değerini hesapla.
12
(h∘g)(5)=h(g(5))=h(4)(h \circ g)(5) = h(g(5)) = h(4). Fonksiyonda yerine koyarsak: h(4)=2(4)+44−3=121=12h(4) = \frac{2(4)+4}{4-3} = \frac{12}{1} = 12.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların birebir ve örten olması için tanım kümesinden paydayı sıfır yapan değerin, değer kümesinden ise asimptot değerinin çıkarılması gerekir.

İpuçları

1
Rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılan sayı paydayı sıfır yapar.
2
Birebir ve örten rasyonel fonksiyonlarda değer kümesinden çıkarılan sayı, x'lerin katsayıları oranıdır (yatay asimptot).
3
a=2 ve b=3 bulduktan sonra, f'nin birim (içi dışı bir) ve g'nin sabit (her zaman aynı değer) olduğunu unutmayınız.

Alternatif Yöntem

Tersi alınan fonksiyon yöntemiyle de çözülebilir: h(x)h(x) birebir ve örten ise tersi de fonksiyondur. h−1(x)h^{-1}(x) bulunduğunda tanım kümesindeki kısıtlama a'yı, değer kümesindeki kısıtlama b'yi verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 77Soru →
Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈Z:∣x+1∣≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 1| \le 2\}
B={x∈Z:x2+x−6<0}B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 + x - 6 < 0\}

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
İstenilen küme (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesidir. Kartezyen çarpımın dağılma özelliğine göre bu ifade (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşittir. Kümeler değişmeli olduğu için B∩A=A∩BB \cap A = A \cap B olur. Dolayısıyla sonuç s(A∩B)×s(A∩B)s(A \cap B) \times s(A \cap B) yani [s(A∩B)]2[s(A \cap B)]^2 olacaktır. AA ve BB kümelerinin ortak elemanları {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\} olup 4 tanedir. Cevap 42=164^2 = 16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çözeriz.
∣x+1∣≤2⇒−2≤x+1≤2⇒−3≤x≤1|x + 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le x + 1 \le 2 \Rightarrow -3 \le x \le 1. Tam sayı elemanlar: {−3,−2,−1,0,1}\{-3, -2, -1, 0, 1\}. (s(A)=5s(A)=5)
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.
2
B kümesinin elemanlarını bulmak için ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.
x2+x−6<0⇒(x+3)(x−2)<0x^2 + x - 6 < 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) < 0. Kökler −3-3 ve 22'dir. Eşitsizlik <0<0 olduğu için kökler arası alınır: (−3,2)(-3, 2). Tam sayı elemanlar: {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}. (s(B)=4s(B)=4)
İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu incelenerek çözüm aralığı bulunur.
3
İki kümenin kesişimini (A∩BA \cap B) buluruz.
A={−3,−2,−1,0,1}A = \{-3, -2, -1, 0, 1\} ve B={−2,−1,0,1}B = \{-2, -1, 0, 1\} olduğu için ortak elemanlar {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}'dir. s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4.
Kartezyen çarpımların kesişimini hesaplamak için önce kümelerin kesişimi gereklidir.
4
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini kullanarak sonucu hesaplarız.
s[(A×B)∩(B×A)]=s(A∩B)×s(B∩A)=4×4=16s[(A \times B) \cap (B \times A)] = s(A \cap B) \times s(B \cap A) = 4 \times 4 = 16.
Özellik: (A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D). Burada C=BC=B ve D=AD=A alınır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımların kesişimi, kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına eşittir: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B).

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazınız.

Daha Fazla Pratik

İki kümenin birleşiminin kartezyen çarpımı ile ilgili sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 78Soru →

Aşağıdaki Venn şemasında AA ve BB kümeleri gösterilmiş ve iki kümenin kesişim bölgesi taranmıştır.

Buna göre, şemada taralı bölge ile gösterilen A∩BA \cap B kümesinin elemanları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {3,4}\{3, 4\}

Cevap

{3,4}\{3, 4\}
Kesişim kümesi (A∩BA \cap B), hem A hem de B kümesine ait olan ortak elemanların oluşturduğu kümedir. Venn şemasında bu bölge iki dairenin üst üste bindiği (kesiştiği) orta bölgedir. Şemaya bakıldığında bu bölgede 33 ve 44 elemanlarının yer aldığı görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Venn şemasındaki kümeleri ve elemanlarını belirleyin.
A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\}
Kümelerin kapsamını anlamak için tüm elemanları listelemek gerekir.
2
Kesişim bölgesindeki (taralı alan) elemanları tespit edin.
A∩B={3,4}A \cap B = \{3, 4\}
Kesişim kümesi (∩\cap), her iki kümenin ortak olduğu bölgedir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim İşlemi

İpuçları

1
Kesişim sembolü olan ∩\cap, 've' anlamına gelir; yani hem A'da hem de B'de olanları arıyoruz.
2
Venn şemasında iki dairenin birbirinin üzerine bindiği orta bölgedeki elemanlara odaklanın.
3
Taralı bölgede yazan sayıları listeleyin: Bu sayılar hem A dairesinin hem de B dairesinin içindedir.

Daha Fazla Pratik

Aynı kümeler için birleşim (A∪BA \cup B) kümesinin eleman sayısını bulmayı deneyin.
Tahmini Süre:45s
Soru 79Soru →
A ve B boş kümeden farklı iki küme ve B⊂AB \subset A olmak üzere,
K=(A×A)∖(B×B)K = (A \times A) \setminus (B \times B)
kümesi tanımlanıyor.

K kümesinin eleman sayısının 48 olduğu bilindiğine göre, A kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

A kümesinin eleman sayısı en az 7'dir.
Verilen K=(A×A)∖(B×B)K = (A \times A) \setminus (B \times B) ifadesi, B⊂AB \subset A koşulu altında, eleman sayısının s(A)2−s(B)2s(A)^2 - s(B)^2 olduğunu gösterir. a2−b2=48a^2 - b^2 = 48 eşitliğini sağlayan pozitif tam sayılar arandığında, (a−b)(a-b) ve (a+b)(a+b) çarpanlarının aynı paritede (ikisi de çift) olması gerektiği görülür. Bu koşulu sağlayan çarpan çiftleri (2, 24), (4, 12) ve (6, 8)'dir. Bu çiftlerden elde edilen aa değerleri sırasıyla 13, 8 ve 7'dir. En küçük değer 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpım ve fark kümesi özelliklerini kullanarak denklem kur.
s(A)=as(A)=a ve s(B)=bs(B)=b olsun. B⊂AB \subset A olduğundan B×B⊂A×AB \times B \subset A \times A'dır. Bu durumda s(K)=s(A×A)−s(B×B)=a2−b2=48s(K) = s(A \times A) - s(B \times B) = a^2 - b^2 = 48 olur.
Alt küme ilişkisi olduğu için eleman sayıları doğrudan çıkarılabilir.
2
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayır.
(a−b)⋅(a+b)=48(a-b) \cdot (a+b) = 48 denklemi elde edilir.
Tam sayı çözümlerini bulmak için ifade çarpım durumuna getirilmelidir.
3
Çarpanların tek-çift durumunu incele.
Çarpımları 48 (çift) olan iki sayının toplamı (2a2a) çift olacağından, çarpanların ikisi de çift sayı olmalıdır.
Teklik-çiftlik analizi yapılarak 1x48 ve 3x16 gibi geçersiz durumlar elenir.
4
Olası çarpan çiftlerini (ikisi de çift olan) incele ve aa değerlerini bul.
Durum 1: a−b=2,a+b=24⇒2a=26⇒a=13a-b=2, a+b=24 \Rightarrow 2a=26 \Rightarrow a=13
Durum 2: a−b=4,a+b=12⇒2a=16⇒a=8a-b=4, a+b=12 \Rightarrow 2a=16 \Rightarrow a=8
Durum 3: a−b=6,a+b=8⇒2a=14⇒a=7a-b=6, a+b=8 \Rightarrow 2a=14 \Rightarrow a=7
Tüm geçerli tamsayı ikililerini belirlemek için.
5
En küçük aa değerini seç.
Bulunan değerler (13, 8, 7) arasından en küçük olan 7'dir.
Soru en az değeri sormaktadır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve iki kare farkı özdeşliğinin sayı teorisiyle ilişkisi.

İpuçları

1
B⊂AB \subset A olduğu için B×BB \times B kümesi A×AA \times A kümesinin alt kümesidir. Eleman sayılarını doğrudan çıkarabilirsiniz.
2
s(A)=as(A)=a ve s(B)=bs(B)=b derseniz, problem a2−b2=48a^2 - b^2 = 48 denklemini sağlayan en küçük aa sayısını bulmaya dönüşür.
3
48 sayısının çarpanlarını düşünün (örneğin 6×86 \times 8). (a−b)(a-b) ve (a+b)(a+b) çarpanlarının toplamı 2a2a (çift sayı) olmalıdır, bu yüzden her iki çarpan da çift sayı olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) eleman sayısını soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tam kare sayıları listeleyerek farkı 48 olanları arayabilirsiniz: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 (49-1=48). 72−12=487^2 - 1^2 = 48 eşitliğini hızlıca görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 80Soru →
EE evrensel kümesinin boştan farklı AA ve BB alt kümeleri için,
[(A∖B)′∩(A∩B)]∪(B∖A) \left[ (A \setminus B)' \cap (A \cap B) \right] \cup (B \setminus A)
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: BB

Cevap

İfadenin en sade hali BB kümesidir.
Verilen ifadede öncelikle fark işleminin tümleyeni alınır: (A∖B)′=A′∪B(A \setminus B)' = A' \cup B. Bu ifade ile (A∩B)(A \cap B) kesiştirildiğinde, (A∩B)(A \cap B) kümesi A′∪BA' \cup B kümesinin bir alt kümesi olduğu için sonuç yine (A∩B)(A \cap B) olur. Son adımda, BB kümesinin AA ile olan kesişimi (A∩B)(A \cap B) ile BB kümesinin AA farkı (B∖A)(B \setminus A) birleştirilir. Bir kümenin kesişim bölgesi ile fark bölgesinin birleşimi, o kümenin kendisine (BB) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki (A∖B)′(A \setminus B)' ifadesini De Morgan kuralı ile açalım.
(A∖B)′=(A∩B′)′=A′∪B(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B
Fark işlemi A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' olarak yazılabilir ve ardından tümleyeni alınır.
2
Köşeli parantez içindeki kesişim işlemini dağılma özelliği veya alt küme ilişkisi ile sadeleştirelim: (A′∪B)∩(A∩B)(A' \cup B) \cap (A \cap B).
A∩BA \cap B
(A∩B)(A \cap B) kümesi hem BB'nin hem de AA'nın alt kümesidir. Dolayısıyla (A′∪B)(A' \cup B) kümesinin de alt kümesidir. Bir kümenin, kendisini kapsayan bir küme ile kesişimi kendisine eşittir.
3
Elde edilen sonucu dışarıdaki ifade ile birleştirelim: (A∩B)∪(B∖A)(A \cap B) \cup (B \setminus A).
BB
(A∩B)(A \cap B), BB kümesinin AA ile ortak olan kısmıdır. (B∖A)(B \setminus A) ise BB kümesinin AA ile ortak olmayan kısmıdır. Bu iki ayrık parçanın birleşimi BB kümesinin kendisini verir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işleminin tümleyeni ve dağılma özellikleri kullanılarak yapılan cebirsel sadeleştirme.

İpuçları

1
Önce parantez içindeki (A∖B)′(A \setminus B)' ifadesini, fark işlemini kesişime çevirerek (A∩B′)′(A \cap B')' şeklinde düşünün ve De Morgan kuralını uygulayın.
2
Bulduğunuz (A′∪B)(A' \cup B) ifadesi ile (A∩B)(A \cap B) ifadesinin kesişimini düşünün. (A∩B)(A \cap B) kümesi, (A′∪B)(A' \cup B) kümesinin içinde midir?
3
Elde ettiğiniz (A∩B)(A \cap B) kümesi ile (B∖A)(B \setminus A) kümesini birleştirin. BB kümesinin AA ile ortak olan kısmı ve AA ile ortak olmayan kısmının birleşimi neyi verir?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (A∪B)′∩(A′∖B)(A \cup B)' \cap (A' \setminus B) ifadesinin sadeleştirilmesini içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgeyi numaralandırabilirsiniz. (A∖B)′(A \setminus B)' bölgesi, AA fark BB dışındaki her yerdir. Bu bölge ile A∩BA \cap B kesiştiğinde sadece kesişim bölgesi kalır. Son olarak bu bölgeye B∖AB \setminus A eklenirse BB kümesinin tamamı elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 4 / 15Sonraki
Kümeler ve Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 4 | Examkin