Examkin

Kümeler ve Fonksiyonlar

286 soru

Soru 101Soru →
A={x∈Z∣20<x<200, x, 3 ile tam bo¨lu¨nu¨r.}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 20 < x < 200, \text{ x, 3 ile tam bölünür.}\}
B={x∈Z∣30≤x≤220, x, 4 ile tam bo¨lu¨nu¨r.}B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 30 \le x \le 220, \text{ x, 4 ile tam bölünür.}\}
kümeleri veriliyor. Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin elemanlarından kaç tanesi 12 ile tam bölünemez?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Verilen A∪BA \cup B kümesinin elemanlarından 77 tanesi 12 ile tam bölünemez.
Verilen aralıklarda 3'ün katı olan 60 elemanlı A kümesi ile 4'ün katı olan 48 elemanlı B kümesinin birleşimi, ortak elemanlar olan 12'nin katları (14 tane) çıkarıldığında 94 elemandan oluşur. Bu 94 eleman arasından 12 ile bölünebilenler; A'nın içinde olup 12'ye bölünen 15 eleman ve B'nin içinde olup 12'ye bölünen 16 elemanın birleşimidir. Bu birleşimde toplam 17 farklı sayı (24'ten 216'ya kadar olan 12'nin katları) bulunur. Dolayısıyla 94 - 17 = 77 eleman 12 ile bölünemez.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A)=60s(A) = 60
20<x<20020 < x < 200 aralığındaki 3'ün katları: 21,24,…,19821, 24, \dots, 198 olup terim sayısı 198−213+1=60\frac{198-21}{3} + 1 = 60 tanedir.
2
BB kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(B)=48s(B) = 48
30≤x≤22030 \le x \le 220 aralığındaki 4'ün katları: 32,36,…,22032, 36, \dots, 220 olup terim sayısı 220−324+1=48\frac{220-32}{4} + 1 = 48 tanedir.
3
A∩BA \cap B kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A∩B)=14s(A \cap B) = 14
A∩BA \cap B, hem 3 hem 4 ile (yani 12 ile) bölünen ve ortak aralıkta (30≤x<20030 \le x < 200) olan sayılardır: 36,48,…,19236, 48, \dots, 192 olup terim sayısı 192−3612+1=14\frac{192-36}{12} + 1 = 14 tanedir.
4
s(A∪B)s(A \cup B) değerini hesapla.
s(A∪B)=94s(A \cup B) = 94
Birleşim formülünden s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=60+48−14=94s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 60 + 48 - 14 = 94 bulunur.
5
A∪BA \cup B içindeki 12 ile tam bölünen elemanları belirle.
17 tane
A∪BA \cup B içindeki 12'nin katları: AA içindekiler (24,36,…,192→1524, 36, \dots, 192 \to 15 tane) veya BB içindekilerdir (36,…,216→1636, \dots, 216 \to 16 tane). Bu iki grubun birleşimi {24,36,…,192,204,216}\{24, 36, \dots, 192, 204, 216\} olup toplam 17 farklı sayıdır.
6
Koşula uygun eleman sayısını bul.
77
Tüm birleşim kümesi elemanlarından 12'ye bölünenleri çıkarırsak: 94−17=7794 - 17 = 77 elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemleri ile bölünebilme özelliklerinin birlikte kullanımı.

Alternatif Yöntem

Doğrudan bölünemeyenleri saymak için: A'daki 12'ye bölünemeyen 3'ün katları (60−15=4560 - 15 = 45) ile B'deki 12'ye bölünemeyen 4'ün katlarını (48−16=3248 - 16 = 32) toplamak yeterlidir. Bu iki grup ayrık kümeler olduğu için (çünkü kesişimdekilerin hepsi 12'ye bölünür), sonuç doğrudan 45+32=7745 + 32 = 77 olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 102Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi Z+\mathbb{Z}^+ üzerinde tanımlı KK kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

K={x∈Z+∣x≤150 ve EBOB(x,36)=9}K = \{ x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 150 \text{ ve } \text{EBOB}(x, 36) = 9 \}

Buna göre, KK kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

K kümesinin eleman sayısı 8'dir.
Doğru cevap, EBOB(x, 36) = 9 şartının matematiksel analizine dayanır. x=9kx = 9k dönüşümü yapıldığında şart EBOB(k,4)=1EBOB(k, 4) = 1 haline gelir. Bu da kk'nın 4 ile aralarında asal olmasını, yani kk'nın tek sayı olmasını gerektirir. 150 sınırına kadar olan 9'un katları içinde (k≤16k \le 16) sadece tek olan kk değerleri (1, 3, ..., 15) çözümü sağlar. Bu da toplam 8 eleman demektir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme tanımındaki EBOB şartını analiz et.
EBOB(x, 36) = 9 olması için, x sayısı 9'un katı olmalıdır (x = 9k).
İki sayının en büyük ortak böleni 9 ise, her iki sayı da 9'a bölünmelidir.
2
EBOB şartını x = 9k dönüşümüyle basitleştir.
EBOB(9k, 36) = 9 ifadesi, 9 · EBOB(k, 4) = 9 şekline dönüşür. Buradan EBOB(k, 4) = 1 olmalıdır.
EBOB özelliğine göre sabit çarpan dışarı alınabilir.
3
k sayısı için gerekli şartı belirle.
EBOB(k, 4) = 1 olması için k ile 4 aralarında asal olmalıdır. 4 sayısı sadece 2 asal çarpanına sahip olduğundan (222^2), k sayısı 2'ye bölünmemelidir (yani k tek sayı olmalıdır).
Aralarında asallık şartı, ortak asal çarpan olmamasını gerektirir.
4
x ≤ 150 şartına göre k'nın alabileceği maksimum değeri bul.
9k ≤ 150 işleminden k ≤ 16,6... bulunur. k tam sayı olduğu için en çok 16 olabilir.
Elemanların üst sınır şartını sağlaması gerekir.
5
1 ile 16 arasındaki uygun k değerlerini say.
k sayısı 16'ya kadar olan tek sayılar olmalıdır: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}. Toplam 8 değer vardır.
k'nın tek sayı olması gerektiğini 3. adımda belirlemiştik.

Anahtar Kavram

Bir kümenin ortak özellik yöntemiyle tanımlanması ve EBOB özellikleri kullanılarak elemanların filtrelenmesi.

İpuçları

1
EBOB(x, 36) = 9 eşitliği, x sayısının 9'un bir katı olduğunu (x=9kx=9k) ancak 36 ile 9'dan daha büyük bir ortak böleni olmadığını anlatır.
2
x yerine 9k yazarak EBOB(9k, 36) ifadesini sadeleştirin. EBOB özelliğini kullanarak 9 parantezine alabilirsiniz.
3
9 · EBOB(k, 4) = 9 sonucuna ulaşmalısınız. Bu, k ile 4'ün aralarında asal olması demektir. 4 sadece 2 asal çarpanına sahip olduğuna göre k nasıl bir sayı olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı EBOB(x, 60) = 15 şartı ile deneyin (Burada x hem 3'e hem 5'e bölünecek ama 2'ye bölünmeyecek).

Alternatif Yöntem

Tüm adayları listeleyip eleme yöntemi: 150'ye kadar 9'un katlarını yazın (9, 18, 27, 36, ...). Her biri için 36 ile EBOB hesaplayın. Örneğin EBOB(18, 36)=18 (Olmaz), EBOB(27, 36)=9 (Olur). Bu şekilde çift katların elendiğini görebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 103Soru →

Bir sitede yapılan ankette A, B ve C gazetelerinden en az birini okuyanlar belirlenmiştir. Anket sonuçlarına göre:

* A gazetesini okuyan: 22 kişi
* B gazetesini okuyan: 20 kişi
* C gazetesini okuyan: 18 kişi
* A ve B gazetelerini okuyan: 9 kişi
* A ve C gazetelerini okuyan: 8 kişi
* B ve C gazetelerini okuyan: 7 kişi
* Her üç gazeteyi de okuyan: 4 kişi

olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, bu sitede sadece bir gazete okuyan kişi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Sadece bir gazete okuyan kişi sayısı 24'tür.
Sadece bir gazete okuyanları bulmak için her bir gazete grubundan, diğerleriyle ortak olan okuyucuları çıkarmalıyız. Ancak ikili kesişimleri çıkarırken üçlü kesişim bölgesini (her üçünü de okuyanları) fazladan çıkarmış oluruz, bu yüzden formülde üçlü kesişim geri eklenir. Hesaplama sonucu Sadece A (9) + Sadece B (8) + Sadece C (7) = 24 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Venn şeması mantığıyla her bir kümenin 'sadece' kendine ait bölgesini hesaplamak için formülü belirle.
Sadece A = s(A) - [s(A∩B) + s(A∩C) - s(A∩B∩C)]
Bir kümenin sadece kendine ait elemanlarını bulmak için, o kümenin diğerleriyle olan ikili kesişimlerini çıkarıp, iki kez çıkarılan üçlü kesişimi bir kez geri eklememiz gerekir.
2
Sadece A gazetesini okuyanların sayısını hesapla.
22 - (9 + 8) + 4 = 22 - 17 + 4 = 9 kişi
s(A) = 22, s(A∩B)=9, s(A∩C)=8, s(A∩B∩C)=4 değerleri yerine konulur.
3
Sadece B gazetesini okuyanların sayısını hesapla.
20 - (9 + 7) + 4 = 20 - 16 + 4 = 8 kişi
s(B) = 20, s(A∩B)=9, s(B∩C)=7, s(A∩B∩C)=4 değerleri yerine konulur.
4
Sadece C gazetesini okuyanların sayısını hesapla.
18 - (8 + 7) + 4 = 18 - 15 + 4 = 7 kişi
s(C) = 18, s(A∩C)=8, s(B∩C)=7, s(A∩B∩C)=4 değerleri yerine konulur.
5
Bulunan değerleri toplayarak sadece bir gazete okuyanların toplam sayısını bul.
9 + 8 + 7 = 24 kişi
Soruda 'sadece bir gazete okuyanlar' sorulduğu için ayrık olan bu üç grubun toplanması gerekir.

Anahtar Kavram

Üçlü kümelerde 'sadece bir' eleman sayısını bulmak için Venn şeması üzerindeki ayrık bölgelerin doğru hesaplanması gerekir.

İpuçları

1
Bu tür sorularda Venn şeması çizmek bölgeleri görmenizi kolaylaştırır. Üç kesişen daire çizin.
2
Hesaplamaya en içten (her üçünü okuyanlardan) başlayın. s(A∩B∩C) = 4 değerini merkeze yazın.
3
Sadece A'yı bulmak için A'nın toplamından, A'nın B ve C ile olan kesişimlerini çıkarın ancak ortak olan 4 kişiyi iki kere çıkarmamaya dikkat edin: 22 - (9 + 8 - 4).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en çok bir gazete okuyanlar' (hiç okumayanları da katarak) şeklinde çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek: En içteki kesişime 4 yazın. (A∩B)'nin geri kalanı 9-4=5 olur. (A∩C)'nin geri kalanı 8-4=4 olur. Sadece A bölgesi için 22 - (5+4+4) = 9 kalır. Diğer kümeler için de aynısını yapıp sadece 'Sadece' bölgelerini toplayın.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 104Soru →

Bir gıda denetiminde incelenecek olan ürünler A={Su¨t, Peynir, Yog˘urt}A = \{\text{Süt, Peynir, Yoğurt}\} kümesi ile, bu ürünlerin gönderileceği laboratuvarlar ise B={Laboratuvar-1, Laboratuvar-2}B = \{\text{Laboratuvar-1, Laboratuvar-2}\} kümesi ile tanımlanmıştır.

Buna göre, her bir ürünün her bir laboratuvara gönderilme durumlarını eşleştirmek amacıyla oluşturulan A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 66 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesi (A×BA \times B), birinci bileşeni AA kümesinden, ikinci bileşeni BB kümesinden alınan tüm sıralı ikililerin kümesidir. Bu kümenin toplam eleman sayısını bulmak için her bir kümenin kaçar elemanı olduğunu bulup çarpmamız gerekir. AA kümesinde 3 ürün, BB kümesinde 2 laboratuvar bulunduğu için toplam 3×2=63 \times 2 = 6 farklı eşleşme (eleman) oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin eleman sayısını belirle.
s(A)=3s(A) = 3
A={Su¨t, Peynir, Yog˘urt}A = \{\text{Süt, Peynir, Yoğurt}\} olduğu için üç elemanı vardır.
2
BB kümesinin eleman sayısını belirle.
s(B)=2s(B) = 2
B={Laboratuvar-1, Laboratuvar-2}B = \{\text{Laboratuvar-1, Laboratuvar-2}\} olduğu için iki elemanı vardır.
3
Kartezyen çarpım eleman sayısı formülünü uygula.
s(A×B)=s(A)×s(B)=3×2=6s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 3 \times 2 = 6
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımı ile bulunur: s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B).

İpuçları

1
Her bir ürünün kaç farklı laboratuvara gönderilebileceğini düşünün.
2
AA kümesinin eleman sayısını (s(A)s(A)) ve BB kümesinin eleman sayısını (s(B)s(B)) ayrı ayrı bulun.
3
Kartezyen çarpımın eleman sayısı için s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Aynı kümeler için B×AB \times A kümesinin eleman sayısını bulmayı deneyin. Sonucun değişip değişmediğini kontrol edin.

Alternatif Yöntem

Tüm ikilileri listeleyerek de sayabilirsiniz: (Süt, Lab1), (Süt, Lab2), (Peynir, Lab1), (Peynir, Lab2), (Yoğurt, Lab1), (Yoğurt, Lab2). Toplamda 6 ikili oluşur.
Tahmini Süre:45s
Soru 105Soru →

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(E)=40s(E) = 40
* s(A′∪B′)=32s(A' \cup B') = 32
* s(A′∩B′)=6s(A' \cap B') = 6
* s(A∖B)=3⋅s(B∖A)−14s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A) - 14

Buna göre, BB kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

B kümesinin eleman sayısı 18'dir.
Soruda verilen De Morgan ifadelerinden hareketle s(A∩B)=8s(A \cap B) = 8 ve s(A∪B)=34s(A \cup B) = 34 olduğu saptanır. Birleşim formülü kullanılarak AA ve BB kümelerinin fark bölgelerinin toplamının 26 olduğu bulunur. Verilen cebirsel bağıntı (s(A∖B)=3⋅s(B∖A)−14s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A) - 14) kullanılarak s(B∖A)s(B \setminus A) değeri 10 olarak hesaplanır. BB kümesinin tamamı sorulduğu için bu fark değerine kesişim eklenerek 18 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
De Morgan yasasını kullanarak kesişim kümesinin eleman sayısını belirlemek.
s(A∩B)=8s(A \cap B) = 8
s(A′∪B′)=s((A∩B)′)=32s(A' \cup B') = s((A \cap B)') = 32 olduğundan, evrensel kümeden tümleyen çıkarıldığında kesişim bulunur: s(A∩B)=40−32=8s(A \cap B) = 40 - 32 = 8.
2
De Morgan yasasını kullanarak birleşim kümesinin eleman sayısını belirlemek.
s(A∪B)=34s(A \cup B) = 34
s(A′∩B′)=s((A∪B)′)=6s(A' \cap B') = s((A \cup B)') = 6 olduğundan, evrensel kümeden dış bölge çıkarıldığında birleşim bulunur: s(A∪B)=40−6=34s(A \cup B) = 40 - 6 = 34.
3
Kümelerin fark bölgeleri arasındaki ilişkiyi kullanarak denklem kurmak.
s(B∖A)=10s(B \setminus A) = 10 ve s(A∖B)=16s(A \setminus B) = 16
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülünde bilinenler yerine yazılırsa: 34=s(A∖B)+s(B∖A)+8⇒s(A∖B)+s(B∖A)=2634 = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + 8 \Rightarrow s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = 26. Sorudaki denklemde s(B∖A)=ks(B \setminus A) = k denirse: (3k−14)+k=26⇒4k=40⇒k=10(3k - 14) + k = 26 \Rightarrow 4k = 40 \Rightarrow k = 10 bulunur.
4
BB kümesinin toplam eleman sayısını hesaplamak.
s(B)=18s(B) = 18
s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) olduğundan, 10+8=1810 + 8 = 18 elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde De Morgan yasaları ve fark işleminin eleman sayısı hesaplamalarıyla olan ilişkisi.
Soru 106Soru →

Bir halk kütüphanesine gelen 3030 kişilik bir gruptaki her bir kişi, tarih veya edebiyat kitaplarından en az birini ödünç almıştır. Bu gruptaki kişilerden 2020'si tarih, 1616'sı ise edebiyat kitabı ödünç aldığına göre, her iki türden de kitap ödünç alan kişi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Her iki türden de kitap ödünç alan kişi sayısı 66'dır.
Tarih ve edebiyat kitaplarını ödünç alanların toplamı (20+16=3620 + 16 = 36), gruptaki toplam kişi sayısından (3030) fazladır. Bu fazlalık (36−30=636 - 30 = 6), her iki kitabı da ödünç alarak iki kez sayılan kişileri temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değerleri küme sembolleriyle ifade edin.
s(T∪E)=30s(T \cup E) = 30, s(T)=20s(T) = 20, s(E)=16s(E) = 16
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel dile çevirmek çözümü kolaylaştırır.
2
Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.
s(T∪E)=s(T)+s(E)−s(T∩E)s(T \cup E) = s(T) + s(E) - s(T \cap E)
Her iki türü de kapsayan (kesişim) bölgeyi bulmak için bu temel formül kullanılır.
3
Bilinen değerleri formülde yerine yerleştirin ve denklemi çözün.
30=20+16−s(T∩E)⇒30=36−s(T∩E)⇒s(T∩E)=630 = 20 + 16 - s(T \cap E) \Rightarrow 30 = 36 - s(T \cap E) \Rightarrow s(T \cap E) = 6
Eşitliğin her iki tarafındaki işlemleri yaparak bilinmeyen kesişim değerini buluruz.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim Formülü

İpuçları

1
Bir Venn şeması çizerek tarih ve edebiyat kümelerini birbirine geçmiş iki daire olarak gösterin.
2
Tarih alanların sayısı ile edebiyat alanların sayısını topladığınızda mevcuttan neden fazla çıktığını düşünün.
3
30=20+16−x30 = 20 + 16 - x denklemindeki xx değeri, her iki türü de seçen kişileri temsil eder.

Daha Fazla Pratik

Eğer grupta hiç kitap almayan kişiler de olsaydı çözüm nasıl değişirdi? Evrensel küme kavramını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması yönteminde; her iki kitabı alanlara xx derseniz, sadece tarih alanlar 20−x20-x, sadece edebiyat alanlar 16−x16-x olur. Bunların toplamı (20−x)+x+(16−x)=30(20-x) + x + (16-x) = 30 denklemini kurarak da x=6x=6 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 107Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi (Z+\mathbb{Z}^+) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z+∣120x∈Z}A = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid \frac{120}{x} \in \mathbb{Z}\}
B={x∈A∣x<10}B = \{x \in A \mid x < 10\}

Buna göre, A∖BA \setminus B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Doğru cevap, 120'nin 10 ve 10'dan büyük pozitif bölenlerinin sayısıdır. A kümesi 120'nin tüm bölenlerini, B kümesi ise 10'dan küçük bölenlerini içerir. Fark kümesi geriye kalan {10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120} elemanlarından oluşur ve toplam 9 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirle (120 sayısının pozitif tam bölenleri).
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Tanım gereği x, 120'yi tam bölen pozitif tam sayılardır.
2
B kümesinin elemanlarını belirle (A kümesindeki elemanlardan 10'dan küçük olanlar).
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
B kümesi, A'nın alt kümesidir ve x < 10 şartını sağlamalıdır.
3
A \ B kümesini bul (A'da olup B'de olmayanlar, yani 10 ve 10'dan büyük bölenler).
A \ B = {10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Fark kümesi tanımı gereği B'deki elemanlar A'dan çıkarılır.
4
Elde edilen kümenin eleman sayısını hesapla.
s(A \ B) = 9
Sonuç kümesindeki elemanlar sayılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi ve eleman sayısı hesabı.

İpuçları

1
Önce A kümesini açık şekilde yazmayı dene. 120 sayısını tam bölen pozitif sayıları listele.
2
A kümesindeki sayılardan hangileri 10'dan küçüktür? Bunlar B kümesini oluşturur.
3
A kümesinden B kümesinde olanları çıkarırsan geriye 10 ve 10'dan büyük bölenler kalır. Bunları say.

Alternatif Yöntem

120 sayısının toplam pozitif bölen sayısını formülle bulup (16), 10'dan küçük olanları tek tek sayıp (7) çıkarmak: 16 - 7 = 9.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 108Soru →
Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere,
A={x∈Z:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x-1| \le 3\}
B={1,2,3,4}B = \{1, 2, 3, 4\}
C={x∈Z:x2<16}C = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 16\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(C×B)(A \times B) \cap (C \times B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
İstenen ifade (A∩C)×B(A \cap C) \times B şeklinde düzenlendiğinde işlem çok daha kısalır. AA kümesi {−2,…,4}\{-2, \dots, 4\} ve CC kümesi {−3,…,3}\{-3, \dots, 3\} olarak bulunduğunda, ortak elemanlar {−2,−1,0,1,2,3}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} olur. Bu 6 elemanlı küme ile 4 elemanlı BB kümesinin kartezyen çarpımı 6×4=246 \times 4 = 24 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın dağılma özelliği kullanarak sadeleştirme
(A×B)∩(C×B)=(A∩C)×B(A \times B) \cap (C \times B) = (A \cap C) \times B
İşlem kolaylığı sağlamak için kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılır. Bu sayede iki büyük kümeyi hesaplamak yerine önce kümelerin kesişimi bulunur.
2
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle bulma
A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} (s(A)=7s(A)=7)
∣x−1∣≤3⇒−3≤x−1≤3⇒−2≤x≤4|x-1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x-1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar.
3
C kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle bulma
C={−3,−2,−1,0,1,2,3}C = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} (s(C)=7s(C)=7)
x2<16⇒−4<x<4x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar (sınırlar dahil değil).
4
A ve C kümelerinin kesişimini (A∩CA \cap C) bulma
A∩C={−2,−1,0,1,2,3}A \cap C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} (s(A∩C)=6s(A \cap C) = 6)
Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir. -3 elemanı A'da yok, 4 elemanı C'de yoktur.
5
Kartezyen çarpım eleman sayısını hesaplama
s((A∩C)×B)=6×4=24s((A \cap C) \times B) = 6 \times 4 = 24
s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) formülü uygulanır. BB kümesinin eleman sayısı 4'tür.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği

İpuçları

1
İki kartezyen çarpım kümesinin kesişimini tek tek hesaplamak yerine, (A×B)∩(C×B)=(A∩C)×B(A \times B) \cap (C \times B) = (A \cap C) \times B özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
CC kümesi için x2<16x^2 < 16 eşitsizliğini sağlayan tam sayıları bulurken negatif sayıları ve sınır değerlerini (<<) dikkatli kontrol edin.
3
A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} ve C={−3,−2,−1,0,1,2,3}C = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} kümelerinin ortak elemanlarını bulun ve BB kümesinin eleman sayısıyla çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (A×B)∪(A×C)(A \times B) \cup (A \times C) işleminin eleman sayısını soran bir soru çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 109Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A={x∈Z:4x+20x+1∈Z} A = \left\{ x \in \mathbb{Z} : \frac{4x + 20}{x + 1} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Kümenin elemanlarının toplamı -10'dur.
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. Polinom bölmesi yapılarak ifade 4+16x+14 + \frac{16}{x+1} haline getirilir. Buradan x+1x+1'in 16'nın tam sayı bölenleri olması gerektiği anlaşılır. 16'nın 10 adet tam sayı böleni vardır (negatifler dahil). Bu bölenlerin her birinden 1 çıkarılarak xx değerleri bulunur ve toplandığında -10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeyi tam sayılı kesre dönüştürerek analiz et.
4x+20x+1=4(x+1)+16x+1=4+16x+1\frac{4x + 20}{x + 1} = \frac{4(x + 1) + 16}{x + 1} = 4 + \frac{16}{x + 1}
Bu dönüşüm, xx'in hangi değerleri alabileceğini bulmak için (x+1)(x+1) ifadesinin 16'nın böleni olması gerektiğini gösterir.
2
16 sayısının tam sayı bölenlerini belirle.
Bölenler kümesi: {−16,−8,−4,−2,−1,1,2,4,8,16}\{-16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16\}
Tam sayılar kümesinde çalıştığımız için negatif bölenler de unutulmamalıdır.
3
Her bir bölen için uygun xx değerlerini hesapla (x+1=bo¨len⇒x=bo¨len−1x+1 = \text{bölen} \Rightarrow x = \text{bölen} - 1).
xx değerleri: {−17,−9,−5,−3,−2,0,1,3,7,15}\{-17, -9, -5, -3, -2, 0, 1, 3, 7, 15\}
Bölenlerin her birinden 1 çıkarılarak kümenin elemanları bulunur.
4
Bulunan xx değerlerini topla.
(−17−9−5−3−2)+(0+1+3+7+15)=−36+26=−10(-17-9-5-3-2) + (0+1+3+7+15) = -36 + 26 = -10
Tüm negatif ve pozitif değerlerin toplamı sonuçtur.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda bölünebilme ve küme oluşturma (Ortak özellik yöntemi)

İpuçları

1
Verilen kesirli ifadeyi 4+16x+14 + \frac{16}{x+1} şeklinde yazmayı deneyin.
2
İfadenin tam sayı olması için (x+1)(x+1) ifadesinin 16 sayısını tam bölmesi gerekir.
3
Tam sayılar kümesinde negatif bölenleri de unutmayın. 16'nın bölenlerini (dd) bulup x=d−1x = d - 1 eşitliğini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla B={x∈N:12x−2∈Z}B = \{x \in \mathbb{N} : \frac{12}{x-2} \in \mathbb{Z}\} kümesinin eleman toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Bölenlerin toplamı (∑d\sum d) 0 olduğundan, her bir xx değeri için x=d−1x = d - 1 yazıp toplarsak: ∑x=∑(d−1)=∑d−∑1=0−(10×1)=−10\sum x = \sum (d - 1) = \sum d - \sum 1 = 0 - (10 \times 1) = -10 sonucuna daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 110Soru →
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
2f(x)−f(1x)=x22f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2
eșitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 114\frac{11}{4}

Cevap

11/4
Verilen fonksiyonel eşitlikte değişken yerine birbirinin tersi olan değerler (x ve 1/x) yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. x=2 ve x=1/2 için oluşturulan denklemler ortak çözüldüğünde f(2) değeri 11/4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte istenen değeri bulmak için önce x = 2 değerini yazarız.
2f(2)−f(1/2)=22=42f(2) - f(1/2) = 2^2 = 4 (I. Denklem)
Fonksiyon kuralını kullanarak f(2) ve f(1/2) arasında bir bağıntı elde etmek.
2
Bilinmeyen f(1/2) değerini yok etmek için eşitlikte bu sefer x = 1/2 değerini yazarız.
2f(1/2)−f(2)=(1/2)2=1/42f(1/2) - f(2) = (1/2)^2 = 1/4 (II. Denklem)
İkinci bir denklem elde ederek iki bilinmeyenli denklem sistemi kurmak.
3
Elde edilen iki denklemi f(2)'yi bulacak şekilde çözeriz. I. denklemi 2 ile genişletip II. denklem ile toplarız.
4f(2)−2f(1/2)=84f(2) - 2f(1/2) = 8 ve −f(2)+2f(1/2)=1/4-f(2) + 2f(1/2) = 1/4 Taraf tarafa toplarsak: 3f(2)=8+14=3343f(2) = 8 + \frac{1}{4} = \frac{33}{4}
Yok etme metodu ile f(1/2) teriminden kurtulup f(2) değerine ulaşmak.
4
Sonuç eşitliğinden f(2) değerini yalnız bırakırız.
f(2)=334⋅13=114f(2) = \frac{33}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{4}
Nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Denklem Sistemi Yöntemi)
Soru 111Soru →

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

3⋅s(A∖B)=4⋅s(B∖A)=s(A∩B) 3 \cdot s(A \setminus B) = 4 \cdot s(B \setminus A) = s(A \cap B)
s((A∪B)′)=7 s((A \cup B)') = 7
s(E)=45 s(E) = 45

Buna göre, AA kümesinin tümleyeninin eleman sayısı (s(A′)s(A')) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Verilen eşitlikler kullanılarak küme bölgeleri kk cinsinden ifade edildiğinde (4k,12k,3k4k, 12k, 3k), evrensel küme toplamından k=2k=2 bulunur. AA'nın tümleyeni, AA kümesinin dışında kalan elemanlardır; yani sadece BB'de olanlar (3k=63k=6) ile her iki kümenin de dışında olanlar (77) toplamıdır: 6+7=136+7=13.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları tek bir değişkene bağla.
s(A∖B)=4ks(A \setminus B) = 4k, s(B∖A)=3ks(B \setminus A) = 3k, s(A∩B)=12ks(A \cap B) = 12k (3 ve 4'ün EKOK'u kullanılarak).
Eşitlikteki katsayıların (3, 4, 1) ortak katını bularak kesirli sayılarla uğraşmaktan kaçınmak için.
2
Evrensel küme denklemini kur.
s(E)=s(A∖B)+s(A∩B)+s(B∖A)+s((A∪B)′)s(E) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A) + s((A \cup B)') olduğundan, 45=4k+12k+3k+745 = 4k + 12k + 3k + 7.
Tüm bölgelerin toplamı evrensel kümeyi verir.
3
kk değerini hesapla.
19k+7=45⇒19k=38⇒k=219k + 7 = 45 \Rightarrow 19k = 38 \Rightarrow k = 2.
Bölge değerlerini bulmak için kk'yı çözmek gerekir.
4
s(A′)s(A') değerini hesapla.
A′=(E∖A)=(B∖A)∪(A∪B)′A' = (E \setminus A) = (B \setminus A) \cup (A \cup B)'. s(A′)=3k+7=3(2)+7=6+7=13s(A') = 3k + 7 = 3(2) + 7 = 6 + 7 = 13.
AA kümesinin dışındaki tüm elemanları (sadece B'de olanlar ve hiçbirinde olmayanlar) toplamak gerekir.

Anahtar Kavram

Kümelerde İşlemler ve De Morgan Kuralları
Soru 112Soru →

ff birim (özdeş) fonksiyon ve gg sabit fonksiyondur.

g(x−5)=f(a−4)g(x-5) = f(a-4)
f(b)+g(a)=13f(b) + g(a) = 13
f(b)−g(b)=7f(b) - g(b) = 7

olduğuna göre, f(a+b)f(a+b) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Birim fonksiyonun özelliği gereği f(a+b)=a+bf(a+b) = a+b olduğundan ve denklemlerden a=7,b=10a=7, b=10 bulunduğundan doğru cevap 17'dir.
Birim fonksiyon tanımına göre f(x)=xf(x)=x olduğu için f(a−4)=a−4f(a-4)=a-4 olur. Sabit fonksiyon tanımına göre g(x−5)=cg(x-5)=c olduğu için c=a−4c=a-4 eşitliği kurulur. Soruda verilen diğer denklemlerde f(b)=bf(b)=b ve g(a)=cg(a)=c ile g(b)=cg(b)=c yazıldığında; b+c=13b+c=13 ve b−c=7b-c=7 sistemi elde edilir. Bu sistemden b=10b=10 ve c=3c=3 bulunur. c=a−4c=a-4 olduğundan 3=a−4⇒a=73=a-4 \Rightarrow a=7 elde edilir. İstenen f(a+b)=a+b=7+10=17f(a+b) = a+b = 7+10 = 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon türlerini tanımla.
f(x)=xf(x) = x ve g(x)=cg(x) = c (sabit)
Birim fonksiyon her elemanı kendisine, sabit fonksiyon ise her elemanı aynı sabit sayıya eşler.
2
g(x−5)=f(a−4)g(x-5) = f(a-4) eşitliğini düzenle.
c=a−4c = a - 4 yani a−c=4a - c = 4
Sabit fonksiyonun her değeri cc iken, birim fonksiyon içerideki ifadeyi dışarıya aynen çıkarır.
3
Diğer iki denklemi bb ve cc cinsinden yaz ve çöz.
b+c=13b + c = 13 ve b−c=7b - c = 7 denklemlerinden 2b=20⇒b=102b = 20 \Rightarrow b = 10 ve c=3c = 3 bulunur.
Taraf tarafa toplama yöntemiyle cc yok edilerek bb değeri elde edilir.
4
aa değerini bul ve istenen ifadeyi hesapla.
a−3=4⇒a=7a - 3 = 4 \Rightarrow a = 7 olur. f(a+b)=f(7+10)=f(17)=17f(a+b) = f(7+10) = f(17) = 17.
ff birim fonksiyon olduğu için toplamın değeri kendisine eşittir.

Anahtar Kavram

Birim fonksiyon f(x)=xf(x)=x kuralı ile, sabit fonksiyon ise g(x)=cg(x)=c kuralı ile çalışır.

İpuçları

1
Birim fonksiyonun 'içi neyse dışı da odur' kuralını hatırla.
2
Sabit fonksiyonun içindeki değişken ne olursa olsun sonucun değişmeyeceğini kullanarak denklemleri sadeleştir.
3
f(b)=bf(b)=b ve g(a)=g(b)=cg(a)=g(b)=c yazarak b+c=13b+c=13 ve b−c=7b-c=7 denklemlerini taraf tarafa topla.

Daha Fazla Pratik

Farklı fonksiyon türlerinin (tek-çift fonksiyonlar gibi) bir arada verildiği sistemleri inceleyebilirsin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 113Soru →

Bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 247'dir. Buna göre, bu kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Kümenin eleman sayısı 8 olarak bulunur ve 3 elemanlı alt küme sayısı 56'dır.
Kümenin eleman sayısı n olsun. Tüm alt kümelerin sayısı 2n2^n dir. 'En az 2 elemanlı' ifadesi, 0 elemanlı (boş küme) ve 1 elemanlı alt kümelerin hariç tutulduğu anlamına gelir. Denklem 2n−(n0)−(n1)=2472^n - \binom{n}{0} - \binom{n}{1} = 247 şeklinde kurulur. Buradan 2n−1−n=247⇒2n−n=2482^n - 1 - n = 247 \Rightarrow 2^n - n = 248 elde edilir. Deneme yoluyla n=8n=8 olduğu görülür (28−8=256−8=2482^8 - 8 = 256 - 8 = 248). Soruda istenen 3 elemanlı alt küme sayısı ise (83)=8⋅7⋅63⋅2⋅1=56\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
En az 2 elemanlı alt küme sayısı formülünü oluştur.
2^n - C(n,0) - C(n,1) = 247
Tüm alt kümelerden 0 ve 1 elemanlı olanları çıkararak en az 2 elemanlı olanları ifade ederiz.
2
Denklemi düzenle ve n değerini bul.
2^n - 1 - n = 247 ⇒ 2^n - n = 248 ⇒ n = 8
2^8 = 256 ve 256 - 8 = 248 olduğu için n=8 denklemi sağlar.
3
Bulunan n değerini kullanarak 3 elemanlı alt küme sayısını hesapla.
C(8,3) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56
Kombinasyon formülü kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Kombinasyon İlişkisi
Soru 114Soru →
Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈Z:−2≤x≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 \leq x \leq 3\}
B={x∈Z:1≤x≤6}B = \{x \in \mathbb{Z} : 1 \leq x \leq 6\}
Buna göre, (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Kartezyen çarpım kümelerinin birleşiminin eleman sayısı 63 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 63 değerine ulaşmak için öncelikle her iki kümenin eleman sayısı (6) belirlenir. Ardından kartezyen çarpımların eleman sayıları (3636 ve 3636) toplanır. Ancak bu iki kümenin kesişimi olan (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesinin elemanları (3×3=93 \times 3 = 9 tane) her iki toplamda da yer aldığı için bir kez çıkarılmalıdır. Sonuç 36+36−9=6336 + 36 - 9 = 63 olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerinin eleman sayılarının bulunması.
s(A)=3−(−2)+1=6s(A) = 3 - (-2) + 1 = 6 ve s(B)=6−1+1=6s(B) = 6 - 1 + 1 = 6.
Sınırlı tam sayı aralıklarındaki eleman sayısı 'son terim - ilk terim + 1' formülü ile bulunur.
2
A×BA \times B ve B×AB \times A kümelerinin eleman sayılarının hesaplanması.
s(A×B)=6×6=36s(A \times B) = 6 \times 6 = 36 ve s(B×A)=6×6=36s(B \times A) = 6 \times 6 = 36.
Bir kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
3
Kesişim kümesi olan (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) eleman sayısının bulunması.
A∩B={1,2,3}A \cap B = \{1, 2, 3\} olduğundan s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3. Kesişim kümesi (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) olup eleman sayısı 3×3=93 \times 3 = 9 olur.
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) özelliği kullanılır.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünün uygulanması.
s((A×B)∪(B×A))=36+36−9=63s((A \times B) \cup (B \times A)) = 36 + 36 - 9 = 63.
s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) genel küme birleşim formülü kartezyen çarpım kümeleri için de geçerlidir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümelerinde birleşim ve kesişim özellikleri

İpuçları

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulurken s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülünü hatırlayın.
2
(A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşit olduğunu kullanın.
3
A={−2,−1,0,1,2,3}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} ve B={1,2,3,4,5,6}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olduğuna göre s(A∩B)s(A \cap B) değerini bulup formülde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Bu kümelerin analitik düzlemde oluşturduğu kapalı bölgelerin alanlarını hesaplayarak geometrik yorum yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 115Soru →

A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.

s(A)=6s(A) = 6
s(B)=8s(B) = 8
s((A×B)∪(B×A))=92s((A \times B) \cup (B \times A)) = 92

olduğuna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12 olarak bulunur.
Verilen bilgilerden kartezyen çarpımların eleman sayıları 48 olarak bulunur. Birleşim formülü kullanılarak kartezyen çarpımların kesişiminin eleman sayısı 4 olarak hesaplanır. (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B) özelliği gereği, bu sayı AA ve BB kümelerinin kesişim sayısının karesidir (k2=4k^2=4). Buradan s(A∩B)=2s(A \cap B)=2 bulunur. Son adımda s(A∪B)=6+8−2=12s(A \cup B) = 6+8-2=12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanın: s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B).
s(A×B)=6⋅8=48s(A \times B) = 6 \cdot 8 = 48 ve s(B×A)=8⋅6=48s(B \times A) = 8 \cdot 6 = 48.
Her iki kartezyen çarpımın eleman sayısı eşittir.
2
Kümelerde birleşim formülünü kartezyen çarpım kümeleri için yazın: s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y).
92=48+48−s((A×B)∩(B×A))92 = 48 + 48 - s((A \times B) \cap (B \times A))
Verilen birleşim değeri ve hesaplanan eleman sayıları ile kesişim kümesinin büyüklüğünü bulmak için.
3
Kartezyen çarpımların kesişim kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
92=96−s((A×B)∩(B×A))⇒s((A×B)∩(B×A))=492 = 96 - s((A \times B) \cap (B \times A)) \Rightarrow s((A \times B) \cap (B \times A)) = 4.
Denklem çözümü.
4
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırlayın: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B).
s((A∩B)×(A∩B))=(s(A∩B))2=4s((A \cap B) \times (A \cap B)) = (s(A \cap B))^2 = 4. Buradan s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2 bulunur.
Kesişim kümesinin eleman sayısına ulaşmak için kritik özellik.
5
A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=6+8−2=12s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 6 + 8 - 2 = 12.
Sonuç istenen değer.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

İpuçları

1
Önce s(A×B)s(A \times B) ve s(B×A)s(B \times A) değerlerini hesaplayıp, birleşim formülünü (s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)) kullanarak kartezyen çarpımların kesişim sayısını bulun.
2
Bulduğunuz değer, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısıdır. Bu küme, (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B)'ye eşittir.
3
Kartezyen kesişim sayısı 4'tür. Bu sayı, s(A∩B)s(A \cap B)'nin karesidir. Buradan s(A∩B)s(A \cap B)'yi bulup genel birleşim formülünde yerine yazın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 116Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu sabit fonksiyon, gg fonksiyonu ise birim fonksiyondur.

f(1)+g(2)=5f(1) + g(2) = 5

olduğuna göre, f(3)+g(1)f(3) + g(1) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Sabit fonksiyonun değeri 3, birim fonksiyonun değeri 1 olduğu için toplam 4'tür.
Birim fonksiyonun tanımı gereği g(2)=2g(2)=2 ve g(1)=1g(1)=1 olur. Soruda verilen f(1)+g(2)=5f(1) + g(2) = 5 denkleminde g(2)g(2) yerine 22 yazıldığında f(1)+2=5f(1) + 2 = 5 bağıntısından f(1)=3f(1) = 3 bulunur. Fonksiyonun sabit olduğu belirtildiği için her xx değeri için f(x)=3f(x)=3 olmalıdır, yani f(3)=3f(3)=3 değerini alır. Son olarak f(3)+g(1)=3+1=4f(3) + g(1) = 3 + 1 = 4 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim fonksiyonun tanımını uygulamak
g(2)=2g(2) = 2 ve g(1)=1g(1) = 1
Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen (g(x)=xg(x)=x) fonksiyondur.
2
Verilen eşitliği kullanarak sabit fonksiyonun değerini bulmak
f(1)+2=5⇒f(1)=3f(1) + 2 = 5 \Rightarrow f(1) = 3
Eşitlikte g(2)g(2) yerine 22 yazılarak sabit fonksiyonun 11 noktasındaki değeri hesaplanır.
3
Sabit fonksiyonun genel kuralını belirlemek
f(3)=3f(3) = 3
Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki aynı elemana götürür (f(x)=cf(x)=c).
4
İstenen toplamı hesaplamak
f(3)+g(1)=3+1=4f(3) + g(1) = 3 + 1 = 4
Bulunan f(3)=3f(3)=3 ve g(1)=1g(1)=1 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sabit ve Birim Fonksiyon Tanımları

İpuçları

1
Birim fonksiyonun özelliğini hatırla: g(x)g(x) her zaman xx değerine eşittir.
2
Sabit fonksiyonda içerideki sayı ne olursa olsun sonuç hep aynıdır. f(1)f(1) değerini bulursan f(3)f(3) de ona eşittir.
3
g(2)=2g(2)=2 bilgisini denklemde yerine koyarak f(1)f(1)'i, ardından f(3)f(3)'ü bulup g(1)=1g(1)=1 ile topla.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, sabit fonksiyonun değerini bilinmeyen bir 'k' sabiti olarak belirleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 117Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde AA kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣18∣x∣+1∈Z ve x<5}A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{18}{|x| + 1} \in \mathbb{Z} \text{ ve } x < 5 \right\}

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 8'dir.
Verilen küme tanımına göre, ∣x∣+1|x|+1 sayısı 18'in bölenleri olmalıdır. Bu durumda ∣x∣|x| değerleri 0, 1, 2, 5, 8 ve 17 olabilir. Buradan elde edilen xx tam sayıları {0,±1,±2,±5,±8,±17}\{0, \pm1, \pm2, \pm5, \pm8, \pm17\} kümesini oluşturur. Ancak soruda verilen x<5x < 5 koşulu nedeniyle 5, 8 ve 17 değerleri elenir. Geriye kalan {0,1,−1,2,−2,−5,−8,−17}\{0, 1, -1, 2, -2, -5, -8, -17\} değerleri kümeyi oluşturur ve toplam 8 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki ilk koşulu analiz et.
∣x∣+1|x| + 1 ifadesi 18 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden biri olmalıdır.
Kesrin sonucunun tam sayı (Z\mathbb{Z}) olması için payda, payı tam bölmelidir.
2
18 sayısının pozitif bölenlerini listele.
Bölenler: {1,2,3,6,9,18}\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}
Olası tüm ∣x∣+1|x|+1 değerlerini belirlemek için.
3
∣x∣|x| değerlerini bulmak için her bölenden 1 çıkar.
∣x∣∈{0,1,2,5,8,17}|x| \in \{0, 1, 2, 5, 8, 17\}
∣x∣+1=k  ⟹  ∣x∣=k−1|x| + 1 = k \implies |x| = k - 1 denklemini çözmek için.
4
Mutlak değerden xx değerlerine geçiş yap.
x∈{0,1,−1,2,−2,5,−5,8,−8,17,−17}x \in \{0, 1, -1, 2, -2, 5, -5, 8, -8, 17, -17\}
∣x∣=a|x| = a ise x=ax = a veya x=−ax = -a olur (0 hariç).
5
İkinci koşul olan x<5x < 5 kısıtlamasını uygula.
Elenenler: 5,8,175, 8, 17. Kalanlar: {0,1,−1,2,−2,−5,−8,−17}\{0, 1, -1, 2, -2, -5, -8, -17\}
Küme tanımındaki 've' bağlacı her iki şartın da sağlanmasını gerektirir.
6
Kalan elemanları say.
Toplam 8 eleman vardır.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ve Mutlak Değerli Eşitsizlikler

İpuçları

1
Kesrin tam sayı olması için paydanın (∣x∣+1|x|+1) payı (18) tam bölmesi gerekir.
2
18'in bölenlerini düşünerek olası ∣x∣|x| değerlerini bulun, ardından xx tam sayılarını listeleyin.
3
∣x∣=17|x|=17 olduğunda xx hem 17 hem de -17 olabilir. x<5x < 5 şartını sağlayanları seçmeyi unutmayın.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 118Soru →

Bir belediyenin düzenlediği hobi kurslarında; 2828 kişilik bir gruptaki her kursiyer fotoğrafçılık veya resim kurslarından en az birine katılmaktadır. Bu gruptaki 1818 kişi fotoğrafçılık, 1515 kişi ise resim kursuna katıldığına göre, sadece resim kursuna katılan kursiyer sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Sadece resim kursuna katılan kursiyer sayısı 1010 kişidir.
Verilen bilgiler ışığında grubun tamamı 2828 kişidir ve herkes en az bir kursa gitmektedir. Fotoğrafçılık (1818) ve Resim (1515) sayılarının toplamı olan 3333, grup mevcudundan (2828) fazla olduğu için aradaki 55 fark her iki kursa da gidenleri gösterir. Resim kursuna giden toplam 1515 kişiden bu ortak giden 55 kişi çıkarıldığında geriye kalan 1010 kişi sadece resim kursuna gitmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeler arasındaki birleşim formülünü yazalım.
s(F∪R)=s(F)+s(R)−s(F∩R)s(F \cup R) = s(F) + s(R) - s(F \cap R)
Her kursiyerin en az bir kursa katıldığı belirtildiği için grubun toplam mevcudu, iki kümenin birleşimine eşittir.
2
Verilen değerleri formülde yerine koyarak kesişim kümesini bulalım.
28=18+15−s(F∩R)28 = 18 + 15 - s(F \cap R) ise 28=33−s(F∩R)28 = 33 - s(F \cap R) buradan s(F∩R)=5s(F \cap R) = 5 bulunur.
Hem fotoğrafçılık hem de resim kursuna giden ortak kişi sayısını belirlememiz gerekir.
3
Sadece resim kursuna katılanları bulmak için toplam resim kursu sayısından kesişimi çıkaralım.
s(R∖F)=s(R)−s(F∩R)=15−5=10s(R \setminus F) = s(R) - s(F \cap R) = 15 - 5 = 10
Resim kursuna katılanların bir kısmı ortak grupta olduğu için 'sadece' ifadesini karşılayan fark kümesini hesaplamalıyız.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Fark İşlemi

İpuçları

1
Gruptaki her kursiyerin en az bir kursa katılması, kimsenin kurs dışında kalmadığı anlamına gelir.
2
İki kursa katılanların sayılarını toplayıp grup mevcuduyla karşılaştırarak, hem fotoğrafçılık hem de resim kursuna giden ortak kişi sayısını bulun.
3
Resim kursuna katılan toplam 1515 kişiden, bulduğunuz ortak kişi sayısını çıkararak sonuca ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Eğer grupta hiç bir kursa katılmayanlar da olsaydı çözümde ne değişirdi?

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebilirsiniz. Sadece fotoğraf alanlara x, her ikisini alanlara y, sadece resim alanlara z derseniz; x+y+z=28, x+y=18 ve y+z=15 denklemlerini kullanarak z değerini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 119Soru →

Reel sayılar kümesinde A=(−2,6]A = (-2, 6] ve B=[1,9)B = [1, 9) aralıkları veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin elemanlarından kaç tanesinin her iki bileşeni de tam sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Her iki bileşeni de tam sayı olan 25 farklı nokta vardır.
İstenen küme (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) şeklinde ifade edilebilir. A∩BA \cap B kümesi [1,6)[1, 6) aralığıdır ve bu aralıkta 5 adet tam sayı (1, 2, 3, 4, 5) bulunur. Bu nedenle oluşan kartezyen çarpım kümesinde 5×5=255 \times 5 = 25 adet tam sayı ikilisi vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini uygula.
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) eşitliği kullanılır.
Kartezyen çarpım işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır ve bu özellik işlemi basitleştirir.
2
A ve B kümelerinin kesişimini bul.
A∩B=(−2,6]∩[1,9)=[1,6)A \cap B = (-2, 6] \cap [1, 9) = [1, 6) aralığıdır. (Alt sınırların büyüğü, üst sınırların küçüğü alınır).
Kesişim işlemi, her iki kümede de ortak olan elemanları belirler.
3
Kesişim kümesindeki tam sayıları belirle.
[1,6)[1, 6) aralığındaki tam sayılar: {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}. Bu kümenin eleman sayısı s(A∩B)=5s(A \cap B) = 5 tir.
Soruda bileşenlerin tam sayı olması istendiği için aralıktaki tam sayı değerleri sayılır.
4
Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesapla.
s((A∩B)×(A∩B))=s(A∩B)⋅s(A∩B)=5⋅5=25s((A \cap B) \times (A \cap B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 5 \cdot 5 = 25.
Sonlu kümeler için kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın kesişim özelliği: (A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D).

İpuçları

1
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırlayınız: (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesini (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) olarak yazabilirsiniz.
2
Kesişim işleminin değişme özelliği olduğundan, ifade (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) haline gelir. Öncelikle AA ve BB aralıklarının kesişimini bulunuz.
3
A∩B=[1,6)A \cap B = [1, 6) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların kaç tane olduğunu bulup, kendisiyle çarpınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, (A∪B)×(A∩B)(A \cup B) \times (A \cap B) kümesinin eleman sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Grafik çizerek çözüm: Koordinat düzleminde x ekseninde A, y ekseninde B aralığını çizip dikdörtgen oluşturun. Aynısını B ve A için yapın. İki dikdörtgenin kesiştiği kare bölgeyi bulun ve içindeki tam sayı noktalarını sayın.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 120Soru →

Aşağıda tanım ve değer kümeleri ile kuralları verilen fonksiyonlardan hangisi örten bir fonksiyon olduğu halde birebir değildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: f:R→[0,∞),f(x)=x2f: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty), f(x) = x^2

Cevap

f:R→[0,∞),f(x)=x2f: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty), f(x) = x^2 fonksiyonu
f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonu, R\mathbb{R}'den [0,∞)[0, \infty) aralığına tanımlandığında, negatif olmayan tüm reel sayıları sonuç olarak verebilir (Örtendir). Ancak f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olduğu için (örneğin f(−3)=9f(-3)=9 ve f(3)=9f(3)=9), farklı girdiler aynı sonucu verir. Bu durum fonksiyonun birebir olma şartını bozar.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen durumu analiz et
Fonksiyonun Örten (Değer kümesindeki tüm elemanların eşleşmesi) olması ancak Birebir (Her elemanın farklı bir görüntüye gitmesi) olmaması isteniyor.
Soruda 'örten olduğu halde birebir değildir' ifadesi yer almaktadır.
2
Doğru seçeneği (f(x)=x2f(x) = x^2) incele
Tanım kümesi R\mathbb{R}, Değer kümesi [0,∞)[0, \infty) verilmiştir. f(−2)=4f(-2) = 4 ve f(2)=4f(2) = 4 olduğundan Birebir Değildir. Her pozitif reel sayının karekökü olduğundan Örtendir.
Yatay doğru testi yapıldığında grafik birden fazla noktada kesilir (birebir değil), ancak değer kümesinin tamamını tarar (örten).
3
Diğer seçenekleri ele
Doğrusal fonksiyonlar (R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R}) hem birebir hem örtendir. Z→Z\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} tanımlı 2x+12x+1 sadece tek sayıları örter, örten değildir. Sabit fonksiyon (f(x)=5f(x)=5) ise sadece tek bir noktayı örter.
Yanlış seçenekler ya her iki şartı sağlar ya da örtenlik şartını sağlamaz.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyon farklı girdileri farklı çıktılara götürür. Örten fonksiyon değer kümesinde açıkta eleman bırakmaz.

İpuçları

1
Bir fonksiyonun birebir olmaması için, en az iki farklı xx değerinin aynı sonuca gitmesi gerekir.
2
Çift dereceli kuvvet fonksiyonlarını (x2,x4x^2, x^4) düşünün; negatif ve pozitif sayıların kuvvetleri aynı olabilir mi?
3
f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunda −2-2 ve 22 değerlerini yerine koyarak sonuçları karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örten fonksiyonların tersinin alınabildiği (ters fonksiyon) durumları inceleyin.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 6 / 15Sonraki