Kümeler ve Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 5

$f$ birim (özdeş) fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyon olmak üzere,

f(2x + b) = (a - 1)x + 5

g(x) = \frac{ax + 12}{3x + c}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

**Buna göre, $b + c$ toplamı kaçtır?**

7

8

14

17

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Birim ve sabit fonksiyon tanımları kullanıldığında

b+c

toplamı 17 olarak bulunur.

Birim fonksiyon tanımına göre

f(2x+b) = 2x+b

olmalıdır. Buradan

2x+b = (a-1)x+5

eşitliğinden

a-1=2 \implies a=3

ve

b=5

bulunur. Sabit fonksiyonda değişkenlerin katsayıları oranı sabitlerin oranına eşit olduğu için

a/3 = 12/c

yazılır.

a=3

için

3/3 = 12/c \implies c=12

bulunur. Sonuç olarak

b+c = 5+12=17

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim fonksiyonun tanımını uygulama

f(2x + b) = 2x + b

olmalıdır.

Birim (özdeş) fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen (

f(x)=x

) fonksiyondur.

2

Parametreleri bulma (

a

ve

b

)

a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3

ve

b = 5

bulunur.

Polinom eşitliği gereği aynı dereceli terimlerin katsayıları ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır.

3

Sabit fonksiyon tanımını uygulama

g(x) = \frac{3x + 12}{3x + c}

ifadesinde

\frac{3}{3} = \frac{12}{c}

olmalıdır.

Rasyonel bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için pay ve paydadaki değişkenlerin katsayıları oranı, sabit terimlerin oranına eşit olmalıdır.

4

Son parametreyi bulma (

c

)

1 = \frac{12}{c} \Rightarrow c = 12

elde edilir.

Oranlar eşitlendiğinde içler dışlar çarpımı veya sadeleştirme ile sonuca ulaşılır.

5

İstenen toplamı hesaplama

b + c = 5 + 12 = 17

bulunur.

Soru kökünde istenen

b

ve

c

değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Birim fonksiyon tanımı ve rasyonel sabit fonksiyon olma şartı

İpuçları

1

Birim fonksiyon, içine giren her şeyi aynen dışarı çıkaran fonksiyondur.

2

f(2x+b)

ifadesini

2x+b

olarak yazıp katsayıları eşitleyerek

a

ve

b

değerlerini bulmayı dene.

3

Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için

x

'li terimlerin birbirini yok etmesi, yani katsayılarının oranının sabit terimlerin oranına eşit olması gerekir.

Daha Fazla Pratik

Birim fonksiyonun grafik üzerindeki gösterimi ile sabit fonksiyonun grafiği arasındaki farkları inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 82Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten $f: A \rightarrow A$ fonksiyonları ele alınıyor. Bu fonksiyonlardan kaç tanesi $|f(1) - f(2)| = 2$ koşulunu sağlar?

24

30

36

48

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Koşulu sağlayan 36 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

İstenen koşul

|f(1) - f(2)| = 2

dir. Bu koşulu sağlayan sayı çiftleri

\{1,3\}, \{2,4\}, \{3,5\}

kümeleridir. Her küme için elemanlar kendi arasında yer değiştirebileceğinden (örneğin

f(1)=1, f(2)=3

veya

f(1)=3, f(2)=1

) toplam

3 \times 2 = 6

farklı başlangıç durumu vardır. Fonksiyon birebir ve örten olduğu için, geriye kalan 3 eleman (

3, 4, 5

) boşta kalan 3 görüntüye

3! = 6

farklı şekilde eşleşir. Çarpma kuralı gereği toplam fonksiyon sayısı

6 \times 6 = 36

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşulu sağlayan görüntü ikililerini belirle

|f(1) - f(2)| = 2

olması için

(f(1), f(2))

ikilisi şu değerleri alabilir:

(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3)

.

Görüntü kümesindeki elemanlar arasındaki farkın mutlak değerce 2 olduğu tüm durumlar listelenmelidir.

2

İlk iki eleman için durum sayısını hesapla

Toplam 6 farklı

(f(1), f(2))

ikilisi vardır.

Listelenen ikililerin sayısı sayma işleminin ilk çarpanıdır.

3

Geriye kalan elemanların eşleşme sayısını hesapla

Geriye kalan 3 eleman (

3, 4, 5

) boşta kalan 3 değere

3! = 6

farklı şekilde eşleşebilir.

Fonksiyon birebir ve örten olduğu için kalan elemanlar kendi aralarında yer değiştirebilir (permütasyon).

4

Toplam fonksiyon sayısını bul

6 \times 6 = 36

.

Saymanın çarpma kuralı gereği, ilk aşamadaki durum sayısı ile ikinci aşamadaki durum sayısı çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir ve Örten Fonksiyon Sayısı (Permütasyon)

İpuçları

1

Önce

f(1)

ve

f(2)

değerlerinin alabileceği ikilileri listeleyerek başlayın.

2

A kümesinde aralarındaki fark mutlak değerce 2 olan kaç sayı çifti var? (Örneğin 1 ve 3 gibi). Bunların kendi aralarındaki yer değişimini de unutmayın.

3

f(1)

ve

f(2)

belirlendikten sonra, geriye kalan 3 elemanın kaç farklı şekilde eşleşebileceğini düşünün (Permütasyon).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

|f(1) - f(2)| \ge 3

koşulu ile çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm ikililer için bir tablo oluşturup farkı 2 olanları işaretleyerek görsel bir sayım yapılabilir, ardından kalanlar için permütasyon uygulanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 83Soru →

Matematikte bir $A$ kümesinin her elemanı aynı zamanda bir $B$ kümesinin de elemanı ise $A$ kümesine $B$ kümesinin bir alt kümesi denir. Bu durum $A \subseteq B$ sembolü ile gösterilir.

Buna göre, $K = \{a, b, c\}$ kümesi verildiğinde aşağıdakilerden hangisi $K$ kümesinin bir alt kümesi değildir?

\emptyset

\{a, c\}

\{a, b, c\}

\{b, d\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{b, d\}$

Cevap

İçinde 'd' elemanını barındıran küme,

K

kümesinin bir alt kümesi değildir.

Doğru cevap olan seçenek, içinde 'd' harfini barındırmaktadır.

K = \{a, b, c\}

kümesinin elemanları arasında 'd' harfi bulunmadığı için, bu elemanı içeren herhangi bir küme

K

'nın alt kümesi olamaz.

Adım Adım Çözüm

1

K

kümesinin elemanlarını belirle.

K

kümesi

a, b

ve

c

elemanlarından oluşmaktadır.

Alt küme kontrolü yapabilmek için önce ana kümenin sınırlarını bilmemiz gerekir.

2

Alt küme tanımını seçeneklere uygula.

\emptyset

(boş küme),

\{a, c\}

ve

\{a, b, c\}

kümelerinin tüm elemanları

K

kümesinde mevcuttur. Ancak

\{b, d\}

kümesindeki 'd' elemanı

K

kümesinde yoktur.

Bir kümenin alt küme olabilmesi için o kümedeki tüm elemanların ana kümede de bulunması şarttır.

Anahtar Kavram

Alt küme tanımı ve temel özellikleri (boş küme ve kümenin kendisi)

İpuçları

1

Alt küme demek, bir kümenin içinden seçilen bazı (veya hiç veya tüm) elemanlarla oluşturulan yeni bir küme demektir.

2

Seçeneklerdeki her bir elemanın

K = \{a, b, c\}

kümesinin içinde olup olmadığını tek tek kontrol edin.

3

Boş kümenin (

\emptyset

) ve kümenin kendisinin her zaman birer alt küme olduğunu, ancak kümede olmayan bir elemanın (örneğin 'd') alt kümede bulunamayacağını unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Bir kümenin eleman sayısı biliniyorsa, toplam alt küme sayısının

2^n

formülü ile nasıl hesaplandığını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek elemanları yerleştirebilir ve her bir seçeneğin bu şemanın sınırları içinde kalıp kalmadığını görsel olarak kontrol edebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 84Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x < 60 \text{ ve } x, 4 \text{ ile kalansız bölünür}\}

B = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x < 60 \text{ ve } x, 6 \text{ ile kalansız bölünür}\}

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

4

8

12

16

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

Verilen

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesi, kartezyen çarpımın özellikleri gereği

(A \cap B) \times (B \cap A)

ifadesine eşittir. Kesişim işlemi değişmeli olduğundan bu ifade aslında

(A \cap B) \times (A \cap B)

demektir.

A \cap B

kümesi, 60'tan küçük olup hem 4'e hem de 6'ya (yani EKOK'ları olan 12'ye) bölünen pozitif tam sayılardır. Bu sayılar

\{12, 24, 36, 48\}

olup toplam 4 tanedir. Kartezyen çarpımın eleman sayısı

s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 4 \cdot 4 = 16

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın kesişim özelliği kullanılarak sadeleştirme.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

.

2

Kesişim kümesinin değişme özelliğini kullanma.

A \cap B = B \cap A

olduğundan, ifade

(A \cap B) \times (A \cap B)

halini alır.

İşlemi basitleştirmek için kümelerin aynı olduğunu belirlemek gerekir.

3

A \cap B

kümesinin elemanlarını belirleme.

Hem 4'e hem 6'ya bölünen sayılar EKOK(4,6)=12'nin katlarıdır.

x < 60

şartını sağlayanlar:

\{12, 24, 36, 48\}

.

Ortak elemanları bulmak için sayıların en küçük ortak katı (EKOK) hesaplanır.

4

Eleman sayılarını kullanarak sonucu hesaplama.

s(A \cap B) = 4

olduğundan,

s((A \cap B) \times (A \cap B)) = 4 \times 4 = 16

.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

İpuçları

1

İşlemi kolaylaştırmak için

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesini

(A \cap B) \times (B \cap A)

şeklinde yazabilirsiniz.

2

Bir sayının hem 4'e hem de 6'ya bölünebilmesi için, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) olan 12'ye bölünmesi gerekir.

3

60'tan küçük ve 12'nin katı olan kaç sayı olduğunu bulun, sonra bu sayıyı kendisiyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

(A \times B) \cup (A \times C)

ifadesinin eleman sayısını soran sorular çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 85Soru →

Bir kamu kurumunun teftiş kurulunda görevli müfettişler; Mali (M), İdari (İ) ve Teknik (T) olmak üzere üç farklı daireyi denetlemektedir. Her müfettiş bu dairelerden en az birini denetlemektedir.

Denetim dağılımı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Her üç daireyi de denetleyen müfettiş sayısı 4'tür.
* Mali ve İdari daireleri denetleyenlerin sayısı 12'dir.
* Mali ve Teknik daireleri denetleyenlerin sayısı 10'dur.
* İdari ve Teknik daireleri denetleyenlerin sayısı 14'tür.
* Sadece bir daireyi denetleyen müfettişlerin toplam sayısı, sadece iki daireyi denetleyen müfettişlerin toplam sayısının yarısıdır.

Buna göre, bu teftişte görev alan toplam müfettiş sayısı kaçtır?

36

40

42

48

58

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Toplam müfettiş sayısı 40'tır.

Toplam müfettiş sayısı, tüm ayrık bölgelerin toplamıdır. Öncelikle 'sadece iki' daireyi denetleyenler bulunur: (12-4) + (10-4) + (14-4) = 8 + 6 + 10 = 24 kişi. Soruda verilen bilgiye göre 'sadece bir' daireyi denetleyenler bunun yarısı yani 12 kişidir. Her üçünü denetleyen 4 kişi de eklendiğinde; 12 (sadece 1) + 24 (sadece 2) + 4 (hepsi) = 40 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen küme eleman sayılarını tanımla ve üçlü kesişimi belirle.

s(M ∩ İ ∩ T) = 4. Ayrıca s(M ∩ İ) = 12, s(M ∩ T) = 10, s(İ ∩ T) = 14.

Venn şemasındaki bölgeleri ayrıştırmak için temel veriler gereklidir.

2

'Sadece iki' daireyi denetleyen müfettiş sayılarını bulmak için ikili kesişimlerden üçlü kesişimi çıkar.

Sadece (M ve İ) = 12 - 4 = 8
Sadece (M ve T) = 10 - 4 = 6
Sadece (İ ve T) = 14 - 4 = 10

M ∩ İ kümesi hem 'sadece M ve İ' hem de 'hepsi' bölgesini kapsar. Ayrıştırma yapılmalıdır.

3

Sadece iki daireyi denetleyenlerin toplam sayısını hesapla.

Toplam (Sadece 2) = 8 + 6 + 10 = 24.

Soruda verilen orantıyı kullanmak için bu toplam gereklidir.

4

Verilen oranı kullanarak 'sadece bir' daireyi denetleyenlerin sayısını bul.

Toplam (Sadece 1) = Toplam (Sadece 2) / 2 = 24 / 2 = 12.

Sorudaki 'sadece bir daireyi denetleyenler, sadece iki daireyi denetleyenlerin yarısıdır' bilgisi uygulanır.

5

Tüm grupları toplayarak toplam müfettiş sayısını bul.

Toplam = (Sadece 1) + (Sadece 2) + (Hepsi) = 12 + 24 + 4 = 40.

Evrensel kümenin (birleşim kümesi) eleman sayısı tüm ayrık bölgelerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Üçlü kümelerde birleşim işlemi yapılırken, kesişim bölgelerinin (sadece iki ve sadece üç kesişim) doğru ayrıştırılması gerekir.

İpuçları

1

Verilen 'Mali ve İdari daireleri denetleyenler' grubu, hem sadece bu iki daireyi denetleyenleri hem de üçünü birden denetleyenleri kapsar.

2

Önce 'sadece iki' daireyi denetleyenlerin sayısını bulmak için, verilen ikili grup sayılarından üçlü kesişim sayısını (4) çıkarın.

3

Sadece iki daireyi denetleyenler: (12-4) + (10-4) + (14-4) = 24. Sadece bir daireyi denetleyenler ise 24'ün yarısıdır.

Daha Fazla Pratik

Üçlü küme problemlerinde 'en az bir' ve 'en çok bir' kavramlarını içeren sorular çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 86Soru →

$A$ kümesi 120 sayısının, $B$ kümesi ise 180 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden oluşmaktadır. Buna göre, $(A \setminus B) \times (B \setminus A)$ kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

24

36

48

72

96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 24'tür.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Burada kümeler fark kümeleri olduğundan, önce

A

ve

B

kümelerinin eleman sayıları, sonra kesişimlerinin eleman sayısı bulunarak fark kümelerinin büyüklükleri hesaplanmalıdır. 120 ve 180 sayılarının pozitif bölen sayıları ve EBOB'larının (60) bölen sayısı kullanılarak sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin eleman sayısını bulmak için 120 sayısını asal çarpanlarına ayır ve pozitif bölen sayısını hesapla.

120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1

olduğundan

s(A) = (3+1)(1+1)(1+1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

.

Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımıdır.

2

B kümesinin eleman sayısını bulmak için 180 sayısını asal çarpanlarına ayır ve pozitif bölen sayısını hesapla.

180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1

olduğundan

s(B) = (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18

.

B kümesinin eleman sayısı da aynı yöntemle bulunur.

3

A ve B kümelerinin kesişimini (EBOB'un bölenleri) bul.

EBOB(120, 180) = 60

.

60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1

.

s(A \cap B) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

.

Kesişim kümesi, her iki sayıyı da bölen sayılardan yani EBOB'un bölenlerinden oluşur.

4

Fark kümelerinin eleman sayılarını hesapla.

s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B) = 16 - 12 = 4

ve

s(B \setminus A) = s(B) - s(A \cap B) = 18 - 12 = 6

.

Bir kümenin fark eleman sayısı, o kümenin toplam eleman sayısından kesişimdeki eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

5

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula.

s((A \setminus B) \times (B \setminus A)) = s(A \setminus B) \cdot s(B \setminus A) = 4 \cdot 6 = 24

.

s(K \times L) = s(K) \cdot s(L)

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bölen sayıları ile küme farkı ve kartezyen çarpım özellikleri

İpuçları

1

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için o sayıyı asal çarpanlarına ayırın.

2

İki kümenin farkının eleman sayısını bulmak için, kümenin kendi eleman sayısından kesişim kümesinin eleman sayısını çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı 3 küme için veya tam sayı bölenleri (negatifler dahil) için uygulayan bir soru çözün.

Alternatif Yöntem

Kümelerin elemanlarını tek tek yazarak da (küçük sayılar için) fark kümelerini bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 87Soru →

Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenler ile her iki dili de bilmeyenlerin bulunduğu bir toplulukta;

* Almanca bilenlerin sayısı, İngilizce bilenlerin sayısının 2 katıdır.
* Sadece Almanca bilenlerin sayısı, sadece İngilizce bilenlerin sayısının 3 katıdır.
* Her iki dili bilenlerin sayısı 4, her iki dili de bilmeyenlerin sayısı 6’dır.

Buna göre, bu toplulukta toplam kaç kişi vardır?

20

22

26

30

34

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Toplulukta toplam 26 kişi vardır.

Doğru çözümde, kümeler Venn şeması mantığıyla ayrık bölgelere ayrılır (Sadece Almanca, Sadece İngilizce, Her İkisi, Hiçbiri). Verilen oranlar kullanılarak bir denklem kurulur (

3x+4 = 2(x+4)

). Bu denklemden bilinmeyen

x=4

bulunur. Sonuç olarak tüm bölgeler (

12, 4, 4, 6

) toplanarak topluluk mevcudu 26 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.

Sadece İngilizce bilenlere

x

denilirse, sadece Almanca bilenler

3x

olur. Kesişim 4, dışarıdaki grup 6'dır.

Soruda verilen 'Sadece Almanca bilenler, sadece İngilizce bilenlerin 3 katıdır' ilişkisini matematiksel ifadeye dökmek için.

2

Almanca ve İngilizce bilenlerin toplam sayılarını

x

cinsinden ifade et.

İngilizce bilenler

s(İ) = x + 4

, Almanca bilenler

s(A) = 3x + 4

olur.

Her dilin toplam konuşan sayısı = Sadece o dili bilenler + Her iki dili bilenler.

3

Verilen kat ilişkisini kullanarak denklem kur ve

x

'i bul.

3x + 4 = 2(x + 4) \Rightarrow 3x + 4 = 2x + 8 \Rightarrow x = 4

.

'Almanca bilenlerin sayısı, İngilizce bilenlerin sayısının 2 katıdır' bilgisini kullanmak için.

4

Bulunan

x

değerini yerine koyarak tüm grupları topla.

Toplam = (Sadece A) + (Sadece İ) + (Her ikisi) + (Hiçbiri) =

3(4) + 4 + 4 + 6 = 12 + 4 + 4 + 6 = 26

.

Topluluğun tamamını bulmak için tüm ayrık bölgelerin toplanması gerekir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Evrensel Küme Problemleri

İpuçları

1

Bu tür sorularda Venn şeması çizmek en iyi yöntemdir. Şemayı; 'Sadece Almanca', 'Sadece İngilizce', 'Her İkisi' ve 'Dışarıdakiler' olmak üzere 4 bölgeye ayırın.

2

Sadece İngilizce bilenlere

x

derseniz, sadece Almanca bilenler

3x

olur. Kesişim bölgesine 4 yazmayı unutmayın.

3

İngilizce bilenlerin toplamı (

x+4

), Almanca bilenlerin toplamı (

3x+4

) olacaktır. Sorudaki '2 katıdır' ilişkisini bu toplamlar arasında kurarak denklemi çözün.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmadan deneme yanılma ile de gidilebilir: Sadece İngilizce bilenler 1 olsa, Sadece Almanca 3 olur. Toplamlar 5 ve 7 (2 katı değil). Sadece İngilizce 4 olsa, Sadece Almanca 12 olur. Toplamlar 8 ve 16 (Tam 2 katı). O halde sayılar doğrudur, hepsi toplanır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 88Soru →

$A = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 2| \le 3\}$ ve $B = \{y \in \mathbb{Z} : |y - 1| \le 4\}$ kümeleri veriliyor.

Buna göre, analitik düzlemde grafiği çizilen $A \times B$ kümesinin tüm elemanlarını içine alan en küçük dairenin yarıçapı kaç birimdir?

3

4

5

7

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük dairenin yarıçapı 5 birimdir.

Verilen mutlak değer eşitsizlikleri çözüldüğünde, A kümesi

[-5, 1]

aralığında (uzunluk 6), B kümesi

[-3, 5]

aralığında (uzunluk 8) değerler alır.

A \times B

kümesi bu sınırlar içinde bir dikdörtgensel bölge oluşturur. Bu dikdörtgeni içine alan en küçük dairenin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir. Pisagor teoreminden köşegen

\sqrt{6^2 + 8^2} = 10

birim bulunur. Yarıçap ise çapın yarısı olduğundan 5 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını ve sayı doğrusundaki uzunluğunu belirle.

|x + 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x + 2 \le 3 \Rightarrow -5 \le x \le 1

. Bu aralığın uzunluğu

1 - (-5) = 6

birimdir.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x'in alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını ve sayı doğrusundaki uzunluğunu belirle.

|y - 1| \le 4 \Rightarrow -4 \le y - 1 \le 4 \Rightarrow -3 \le y \le 5

. Bu aralığın uzunluğu

5 - (-3) = 8

birimdir.

Benzer şekilde y'nin aralığını belirlemek gerekir.

3

A x B kümesinin analitik düzlemde oluşturduğu dikdörtgensel bölgenin boyutlarını analiz et.

Noktalar yatayda 6 birim, dikeyde 8 birim genişliğinde bir dikdörtgen bloğu oluşturur.

Kartezyen çarpım grafiği, bu aralıklardaki tam sayı ikililerinden oluşur.

4

Tüm noktaları içine alan en küçük dairenin yarıçapını hesapla.

Dikdörtgenin köşegeni dairenin çapı olacaktır. Çap =

\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

. Yarıçap =

10 / 2 = 5

.

En uzak iki nokta arasındaki mesafe (köşegen) çapı verir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin grafiği, bileşen kümelerinin sınırlarının oluşturduğu dikdörtgensel bölgeyi doldurur. Bu kümeyi kapsayan en küçük daire, bu dikdörtgenin çevrel çemberidir.

İpuçları

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek veya aralıklarını bularak sayı doğrusundaki uzunluklarını belirleyin.

2

A \times B

kümesinin elemanları analitik düzlemde bir dikdörtgen prizması (ızgara) oluşturur. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları 6 ve 8 birimdir.

3

Bir dikdörtgeni içine alan en küçük dairenin çapı, o dikdörtgenin köşegenidir. 6-8-10 üçgenini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç boyutlu uzayda (A x B x C) kümesini kapsayan en küçük kürenin yarıçapını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Mutlak değer eşitsizliği

|x-a| \le r

formundadır ve buradaki

r

aslında o boyuttaki 'yarıçap' gibidir. A kümesinin yarıçapı 3, B kümesinin yarıçapı 4'tür. İki boyutlu uzayda bileşke yarıçap

R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

formülüyle de bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 89Soru →

$A = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \{ \emptyset \} \}, \{ 1 \}, \{ 1, \{ \emptyset \} \} \}$ kümesi veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

\{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \subseteq A

\{ \{ \emptyset \}, \{ \{ \emptyset \} \} \} \subseteq A

\{ 1, \{ \emptyset \} \} \subseteq A

\{ 1, \{ \emptyset \} \} \in A

\{ \{ 1 \} \} \subseteq A

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{ 1, \{ \emptyset \} \} \subseteq A$

Cevap

Verilen seçenekler arasında yanlış olan ifade '

\{ 1, \{ \emptyset \} \} \subseteq A

' ifadesidir.

\{ 1, \{ \emptyset \} \} \subseteq A

ifadesinin doğru olabilmesi için

1 \in A

ve

\{ \emptyset \} \in A

önermelerinin her ikisinin de doğru olması gerekir.

A

kümesine bakıldığında

\{ \emptyset \}

bir elemandır (

e_2

), ancak

1

sayısı kümenin bir elemanı değildir. Kümedeki ilgili eleman

\{ 1 \}

şeklindedir (

e_4

). Bir elemanın küme parantezi içinde olması ile olmaması matematiksel olarak farklı nesneleri temsil eder. Dolayısıyla

1 \notin A

olduğu için

\{ 1, \{ \emptyset \} \}

kümesi

A

'nın bir alt kümesi olamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Kümenin elemanlarını tek tek belirleyin.

A

kümesinin 5 elemanı vardır:

e_1 = \emptyset

,

e_2 = \{ \emptyset \}

,

e_3 = \{ \{ \emptyset \} \}

,

e_4 = \{ 1 \}

ve

e_5 = \{ 1, \{ \emptyset \} \}

.

Alt küme ve eleman ilişkisini doğru kurmak için önce kümenin sınırlarını netleştirmek gerekir.

2

Alt küme (

\\subseteq

) tanımını uygulayın.

X \subseteq A

olması için

X

kümesinin her bir elemanının

A

kümesinin de elemanı olması gerekir.

Yanlış olan seçeneği bulmak için kapsama özelliğini test etmeliyiz.

3

İlgili seçeneği (C seçeneği) bu tanıma göre inceleyin.

\{ 1, \{ \emptyset \} \}

kümesinin elemanları

1

ve

\{ \emptyset \}

'dir.

A

kümesinde

\{ \emptyset \}

elemanı varken (

e_2

),

1

sayısı tek başına bir eleman değildir (

e_4

elemanı

\{ 1 \}

'dir).

Bir kümede

1

elemanı bulunmuyorsa,

1

'i kapsayan herhangi bir küme

A

'nın alt kümesi olamaz.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanları ile alt kümeleri arasındaki fark; özellikle sembolik ve iç içe geçmiş kümelerde eleman olma (

\\in

) ve alt küme olma (

\\subseteq

) ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Elemanları sembollerle (

e_1, e_2, ...

) etiketleyerek karmaşıklığı azaltabilirsiniz. Eğer bir ifade

\in

ile soruluyorsa listede aynen var mı diye bakın;

\subseteq

ile soruluyorsa süslü parantez içindeki her parçanın listede tek başına olup olmadığını kontrol edin.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 90Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları için,

f\left(\frac{x+2}{3}\right) = 3x - g(x-1)

g(x+1) = 4x - 6

eşitlikleri verilmektedir. Buna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

2

6

10

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10

Doğru cevaba ulaşmak için adım adım fonksiyonların argümanlarını çözümlemek gerekir. Öncelikle

f(\frac{x+2}{3})

ifadesinde parantez içinin 2 olması için

x=4

bulunmalıdır. Bu değer yerine yazıldığında

f(2) = 12 - g(3)

elde edilir. Daha sonra

g(x+1)

kuralında parantez içinin 3 olması için

x=2

değeri kullanılmalıdır; buradan

g(3) = 4(2)-6=2

bulunur. Son olarak

12 - 2 = 10

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(2) değerini bulmak için f fonksiyonunun parantez içindeki ifadesini 2'ye eşitleyip gerekli x değerini bulalım.

\frac{x+2}{3} = 2 \implies x+2 = 6 \implies x = 4

.

Fonksiyon kuralını uygulayabilmek için doğru girdi değişkenini (x) tespit etmek gerekir.

2

Bulduğumuz x=4 değerini f fonksiyonunun eşitliğinde yerine yazalım.

f(2) = 3(4) - g(4-1) = 12 - g(3)

.

Değeri hesaplamak için g(3) değerine ihtiyacımız olduğunu görürüz.

3

g(3) değerini bulmak için g fonksiyonunun tanımını kullanalım. Parantez içini 3 yapan x değerini bulalım.

x+1 = 3 \implies x = 2

.

g fonksiyonunda x yerine doğrudan 3 yazılmaz, parantez içini 3 yapan değer (2) kullanılır.

4

g fonksiyonunda x=2 yazarak g(3) değerini hesaplayalım.

g(2+1) = 4(2) - 6 \implies g(3) = 8 - 6 = 2

.

g(3) değerini elde ederiz.

5

Bulduğumuz g(3) değerini ana denklemde yerine koyarak sonucu bulalım.

f(2) = 12 - 2 = 10

.

İşlemi tamamlarız.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulurken, parantez içindeki ifadenin istenen değere eşitlenmesi ve her fonksiyon için ayrı x değeri çözümlenmesi gerekir.

İpuçları

1

Önce

f

fonksiyonunun parantez içini 2 yapacak

x

değerini bulunuz.

Daha Fazla Pratik

İç içe fonksiyonlar (bileşke) içeren ve

f(g(x))

yapısındaki sorulara çalışmanız önerilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 91Soru →

Aşağıda $A$ kümesinin Venn şeması ile gösterimi verilmiştir:

Buna göre, $A$ kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

b \in A

s(A) = 5

\{b, c\} \in A

3 \subset A

\{a, \Delta\} \in A

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{b, c\} \in A$

Cevap

Venn şemasında bir bütün olarak sınırlandırılmış olan

\{b, c\}

ifadesi

A

kümesinin bir elemanıdır ve

\{b, c\} \in A

gösterimi doğrudur.

Venn şemasında

\{b, c\}

ifadesi bir sınırla çevrelenerek kümenin içine yerleştirilmiştir. Bu,

\{b, c\}

yapısının

A

kümesi için tek bir 'eleman' olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla

\{b, c\} \in A

gösterimi matematiksel olarak doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Venn şemasındaki elemanları tek tek belirleyin.

A

kümesinin elemanları

3

,

a

,

\{b, c\}

ve

\Delta

olarak tespit edilir.

Venn şemasında her bir nokta veya işaretli grup kümenin bir elemanını temsil eder.

2

Eleman sayısını (

s(A)

) hesaplayın.

s(A) = 4

.

\{b, c\}

yapısı küme içinde tek bir nesne olarak yer aldığı için bir eleman olarak sayılır.

3

Seçeneklerdeki sembolik ifadelerin doğruluğunu kontrol edin.

\{b, c\}

ifadesi kümenin bir elemanı olduğu için

\in

sembolü ile gösterilmesi uygundur.

Bir nesne bir kümenin elemanı ise nesne ile küme arasına

\in

sembolü konur.

Anahtar Kavram

Küme Elemanı ve Sembolik Gösterimler

İpuçları

1

Venn şemasında her bir noktanın yanındaki ifadeye odaklanın. Eğer bir grup eleman küçük bir çember veya kutu içine alınmışsa, o grubun tamamı tek bir elemandır.

2

Eleman sayısı hesaplanırken (

s(A)

), parantezli veya gruplanmış ifadeleri tek bir nesne gibi saymayı unutmayın.

3

Bir eleman olduğu gibi yazıldığında yanına

\in

sembolü gelmelidir. Eğer eleman zaten parantezliyse, paranteziyle birlikte yazılıp

\in

sembolü konur.

Daha Fazla Pratik

Farklı eleman tiplerine (sayı, harf, küme, sembol) sahip kümelerin eleman sayılarını bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 92Soru →

Gerçel sayılar kümesi (

\mathbb{R}

) üzerinde

A

ve

B

alt kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 4x \le 0\}

B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| \le 2\}

Analitik düzlemde, elemanları bu kümelerin kartezyen çarpımlarından oluşan

\beta_1 = A \times B

ve

\beta_2 = B \times A

bölgeleri veriliyor.

Buna göre, $(\beta_1 \cup \beta_2)$ birleşim bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

9

16

23

25

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

İstenen bölgenin alanı 23 birimkaredir.

Doğru cevap, kartezyen çarpım bölgelerinin ayrı ayrı alanlarının toplamından, üst üste binen ortak kesişim bölgesinin alanının çıkarılmasıyla bulunur. A ve B kümeleri 4'er birim uzunluğunda aralıklar olduğu için her iki kare bölge 16 birimkaredir. Kesişimleri ise 3 birim uzunluğunda aralıklar olduğundan ortak bölge 9 birimkaredir. Sonuç

16+16-9=23

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin aralığını belirle.

x(x-4) \le 0

eşitsizliğinin kökleri 0 ve 4'tür. Çözüm aralığı

A = [0, 4]

olur. Uzunluk

|A| = 4

birimdir.

İkinci dereceden eşitsizliklerde kökler arası (katsayı pozitif ise negatif bölge) çözüm kümesidir.

2

B kümesinin aralığını belirle.

|x - 1| \le 2

eşitsizliği

-2 \le x - 1 \le 2

olarak açılır. Her tarafa 1 eklenirse

-1 \le x \le 3

olur. Yani

B = [-1, 3]

aralığıdır. Uzunluk

|B| = 4

birimdir.

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.

3

Kartezyen çarpım bölgelerinin (

β_1

ve

β_2

) alanlarını hesapla.

Alan(

β_1

) =

|A| \cdot |B| = 4 \cdot 4 = 16

br².
Alan(

β_2

) =

|B| \cdot |A| = 4 \cdot 4 = 16

br².

Dikdörtgen şeklindeki kartezyen çarpım bölgesinin alanı, kümelerin uzunluklarının çarpımıdır.

4

Kesişim bölgesinin (

β_1 \cap β_2

) alanını bul.

β_1 \cap β_2 = (A \cap B) \times (B \cap A)

şeklindedir.

A \cap B = [0, 4] \cap [-1, 3] = [0, 3]

aralığıdır (Uzunluk 3).

B \cap A = [-1, 3] \cap [0, 4] = [0, 3]

aralığıdır (Uzunluk 3).
Kesişim Alanı =

3 \cdot 3 = 9

br².

İki kartezyen çarpımın kesişimi, bileşen kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına eşittir.

5

Birleşim formülünü uygula.

Alan(

β_1 \cup β_2

) = Alan(

β_1

) + Alan(

β_2

) - Alan(

β_1 \cap β_2

) =

16 + 16 - 9 = 23

.

Kümelerde birleşim işlemi prensibi (Inclusion-Exclusion Principle).

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın geometrik yorumu ve kümelerde birleşim işlemi.

İpuçları

1

Önce A ve B kümelerini sayı doğrusu üzerinde aralık olarak çizin ve uzunluklarını bulun.

2

Analitik düzlemde

A \times B

bölgesi, tabanı A, yüksekliği B olan bir dikdörtgendir. Bu iki dikdörtgenin kesişim bölgesini (

A \cap B

) düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

(A \times A) \cap (B \times B)

bölgesinin alanını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Grafik Çizimi: Koordinat sisteminde x ekseninde [0,4], y ekseninde [-1,3] aralığını tarayarak bir dikdörtgen çizin. Aynısını eksenleri değiştirerek yapın. Oluşan şeklin toplam alanını küçük kareleri sayarak da bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 93Soru →

$A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{a, b\}$ kümeleri veriliyor. Buna göre, $B \times A$ kartezyen çarpım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}

\{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}

\{a, b, 1, 2, 3\}

\{(a, 1), (b, 2), (a, 3)\}

\{(a, b), (1, 2, 3)\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}$

Cevap

Kartezyen çarpım kümesi, birinci bileşeni ilk kümeden (

B

), ikinci bileşeni ikinci kümeden (

A

) seçilerek oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesidir; bu da

\{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}

kümesini verir.

Kartezyen çarpım işlemi

B \times A

şeklinde sorulduğunda, her sıralı ikilinin ilk elemanı

B

kümesinden (

a

veya

b

), ikinci elemanı ise

A

kümesinden (

1, 2

veya

3

) seçilmelidir. Bu kurala uygun olarak oluşturulan tüm ikililer doğru seçenekte verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

B \times A

işleminin tanımını yapın.

B \times A = \{(x, y) : x \in B \text{ ve } y \in A\}

şeklinde tanımlanır.

Kartezyen çarpımda elemanların sırası çok önemlidir; ilk yazılan kümenin elemanları sıralı ikililerin birinci bileşeni olur.

2

B

kümesindeki ilk eleman olan '

a

' için

A

kümesinin her bir elemanıyla eşleşme yapın.

\{(a, 1), (a, 2), (a, 3)\}

ikilileri elde edilir.

Tüm olası eşleşmeleri sistematik bir şekilde bulmak gerekir.

3

B

kümesindeki ikinci eleman olan '

b

' için

A

kümesinin her bir elemanıyla eşleşme yapın.

\{(b, 1), (b, 2), (b, 3)\}

ikilileri elde edilir.

Kümedeki her bir elemanın diğer kümedeki tüm elemanlarla eşleştiğinden emin olunmalıdır.

4

Bulunan tüm sıralı ikilileri bir küme içine yazın.

B \times A = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}

Kartezyen çarpım kümesi tüm bu eşleşmelerin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımda sıralı ikililerin oluşturulması ve küme sırasının önemi.

İpuçları

1

Kartezyen çarpımda

B \times A

dendiğinde, ilk kümenin

B

olduğunu unutmayın.

2

Oluşturacağınız her parantez içindeki ilk eleman

a

veya

b

harfi olmalıdır.

3

B

kümesinde 2,

A

kümesinde 3 eleman olduğu için toplam

2 \times 3 = 6

tane sıralı ikili bulmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Sıralı ikililerin yerini değiştirerek

A \times B

kümesini yazmayı ve eleman sayılarını karşılaştırmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 94Soru →

Tam sayılar kümesi ( $\\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ kümesi aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \\left\\{ x \\in \\mathbb{Z} \\;\\middle|\\; \\frac{4x + 24}{x + 3} \\in \\mathbb{Z} \\text{ ve } x^2 < 30 \\right\\}

Buna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

5

6

7

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 7'dir.

Kümeyi tanımlayan iki koşulun (bölünebilme ve eşitsizlik) aynı anda sağlanması gerekir. İfade düzenlendiğinde

x+3

'ün 12'nin böleni olması gerektiği bulunur. Bu bölenlerden elde edilen

x

adayları arasından karesi 30'dan küçük olanlar süzüldüğünde 7 eleman (

-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3

) kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen cebirsel ifadeyi tam kısımlı kesre çevir.

\frac{4x + 24}{x + 3} = \frac{4(x + 3) + 12}{x + 3} = 4 + \frac{12}{x + 3}

İfadenin tam sayı olması için

\frac{12}{x+3}

kısmının tam sayı olması gerektiğini görmek için.

2

x+3

ifadesinin alabileceği değerleri (12'nin tam sayı bölenlerini) belirle.

x+3 \in \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\}

12'yi tam bölen tüm negatif ve pozitif tam sayıları listelemek gerekir.

3

Her bir bölen değeri için

x

değerlerini bul (

x = \text{bölen} - 3

).

Olası

x

değerleri:

\{-15, -9, -7, -6, -5, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 9\}

Kümeyi oluşturacak aday elemanları belirlemek için.

4

x^2 < 30

koşulunu sağlayan

x

değerlerini seç.

x^2 < 30

aralığı yaklaşık

(-5.47, 5.47)

'dir. Bu aralıktaki değerler:

\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3\}

. (Not:

-6

için

(-6)^2=36 > 30

olduğundan elenir).

Tanım kümesindeki ikinci kısıtlamayı (eşitsizliği) sağlamak için.

5

Elde edilen elemanları say.

Küme

\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3\}

olup eleman sayısı 7'dir.

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ve Tam Sayı Bölünebilme

İpuçları

1

Verilen kesri, tam sayılı kesir biçiminde

4 + \frac{A}{x+3}

olarak yazmaya çalışın.

2

İfadenin tam sayı olması için

x+3

değeri 12'nin bir tam sayı böleni olmalıdır (negatifler dahil).

x

değerlerini buna göre bulun.

3

Bulduğunuz

x

adaylarının karesinin 30'dan küçük olup olmadığını kontrol edin (

-6

'nın karesine dikkat edin).

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 95Soru →

$E$ evrensel kümesinin boştan farklı $A$ ve $B$ alt kümeleri veriliyor.

K = \left[ (A \setminus B)' \setminus (A' \cap B)' \right]'

eşitliği tanımlanıyor. Buna göre,

K

kümesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A \cup B'

B \setminus A

A' \cup B

$A \cap B'

E

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A \cup B'$

Cevap

İfadenin en sade hali

A \cup B'

kümesidir.

Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; önce fark işlemleri kesişim ve tümlemeye çevrilir, ardından De Morgan kuralları uygulanır. İç kısımdaki işlem

(B \setminus A)

sonucunu verir. En dıştaki tümleme işareti ile bu sonuç

(B \setminus A)'

olur, bu da

A \cup B'

ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Parantez içindeki ilk ifadeyi (

A \setminus B

) düzenle.

(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B

(De Morgan kuralı uygulanır).

Fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

2

Parantez içindeki ikinci ifadeyi (

(A' \cap B)'

) düzenle.

(A' \cap B)' = (A')' \cup B' = A \cup B'

(De Morgan kuralı uygulanır).

Kesişimin tümleyeni, tümleyenlerin birleşimine eşittir.

3

Köşeli parantez içindeki fark işlemini uygula:

(A' \cup B) \setminus (A \cup B')

.

(A' \cup B) \cap (A \cup B')' = (A' \cup B) \cap (A' \cap B)

.

X \setminus Y = X \cap Y'

kuralı uygulanır. İkinci ifadenin tümleyeni alındığında

(A \cup B')' = A' \cap B

elde edilir.

4

Elde edilen kesişim işlemini sadeleştir.

(A' \cup B) \cap (A' \cap B) = A' \cap B

.

A' \cap B

kümesi,

A' \cup B

kümesinin bir alt kümesidir (

X \subset Y \Rightarrow X \cap Y = X

). Sonuç

B \setminus A

kümesidir.

5

En dıştaki tümleme işlemini uygula.

K = (A' \cap B)' = (A')' \cup B' = A \cup B'

.

Sonuç,

B \setminus A

kümesinin tümleyenidir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Fark İşlemi Özellikleri

Soru 96Soru →

Bir kalkınma ajansı tarafından 'Yenilenebilir Enerji' (Y) ve 'Akıllı Tarım' (T) olmak üzere iki farklı hibe programı açılmıştır. Bu programlara başvuran belediyelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her belediye bu iki programdan en az birine başvurmuştur.
* Başvuru yapan toplam belediye sayısı, her iki programa da başvuran belediye sayısının 4 katıdır.
* Sadece Yenilenebilir Enerji programına başvuranların sayısı, sadece Akıllı Tarım programına başvuranların sayısından 6 fazladır.
* Sadece Akıllı Tarım programına başvuran belediye sayısı tek basamaklı bir sayıdır.
* Başvuru yapan toplam belediye sayısının 30'dan fazla olduğu bilinmektedir.

Buna göre, 'Yenilenebilir Enerji' programına başvuran toplam belediye sayısı kaçtır?

15

17

23

25

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Yenilenebilir Enerji programına başvuran toplam belediye sayısı 23'tür.

Verilen kısıtlamalara göre oluşturulan denklem sistemi çözüldüğünde; sadece Akıllı Tarım (y=9), kesişim (z=8) ve sadece Yenilenebilir Enerji (x=15) olarak bulunur. Yenilenebilir Enerji programına başvuranların tamamı s(Y) = x + z = 15 + 8 = 23'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri ve değişkenleri tanımla.

s(Y \ T) = x (Sadece Y), s(T \ Y) = y (Sadece T), s(Y ∩ T) = z (Her ikisi). Toplam = x + y + z.

Problemi matematiksel denklemlere dökmek için her bir bölgeye değişken atamak gerekir.

2

Verilen ilişkileri denkleme dök.

1. Denklem: x + y + z = 4z → x + y = 3z
2. Denklem: x = y + 6

Metindeki sözel ifadeler (4 katı, 6 fazlası) cebirsel eşitliklere dönüştürülür.

3

İki denklemi ortak çözerek y ve z arasındaki ilişkiyi bul.

(y + 6) + y = 3z → 2y + 6 = 3z → z = (2y + 6) / 3

Değişken sayısını azaltmak ve tam sayı kısıtlamalarını kullanmak için z, y cinsinden yazılır.

4

Kısıtlamaları (y tek basamaklı, Toplam > 30) kullanarak y değerini bul.

y < 10 ve z tam sayı olmalı.
y=3 için z=4, x=9, Toplam=16 (30'dan küçük - ELENDİ)
y=6 için z=6, x=12, Toplam=24 (30'dan küçük - ELENDİ)
y=9 için z=8, x=15, Toplam=32 (30'dan büyük - GEÇERLİ).

z'nin tam sayı olması için (2y+6) 3'e bölünmelidir. Ayrıca toplam sayı şartı sağlanmalıdır.

5

İstenen Y kümesinin toplam eleman sayısını hesapla.

s(Y) = s(Y \ T) + s(Y ∩ T) = x + z = 15 + 8 = 23.

Soruda 'sadece' değil, programın tamamına başvuranlar sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Küme Problemleri (Denklem Kurma ve Kesişim/Birleşim Mantığı)

İpuçları

1

Kümeleri çizerek üç bölge belirleyin: Sadece Y, Sadece T ve Her İkisi (Kesişim). Değişken vererek denklem kurun.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 97Soru →

E

evrensel kümesinin alt kümeleri olan

A

ve

B

kümeleri için;

s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)

s(A \cap B) = 6

s(A') = 10

s(B') = 14

eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, $E$ evrensel kümesinin eleman sayısı kaçtır?

18

20

22

24

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

E evrensel kümesinin eleman sayısı 24'tür.

Soruda verilen fark ve kesişim bilgileri kullanılarak kümelerin eleman sayıları

x

değişkeni cinsinden ifade edilir.

s(A) + s(A') = s(E)

ve

s(B) + s(B') = s(E)

bağıntıları kullanılarak iki denklem kurulur. Bu denklemlerin çözümünden

x=4

bulunur ve

s(E)=24

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Bilinmeyenleri tanımla

s(B \setminus A) = x

olsun. Bu durumda verilen eşitliğe göre

s(A \setminus B) = 2x

olur.

Kümelerdeki eleman sayılarını tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.

2

A ve B kümelerinin eleman sayılarını yaz

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 2x + 6

ve

s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = x + 6

.

Tümleme işlemi evrensel küme ile kümenin kendisi arasındaki ilişkiye dayandığı için küme eleman sayılarına ihtiyaç vardır.

3

Evrensel küme denklemlerini kur

s(E) = s(A) + s(A') \Rightarrow s(E) = (2x + 6) + 10 = 2x + 16

ve

s(E) = s(B) + s(B') \Rightarrow s(E) = (x + 6) + 14 = x + 20

.

Her iki tümleme bilgisini de kullanarak E kümesi için iki farklı ifade elde etmek ve bunları eşitlemek.

4

Denklemleri eşitle ve x'i bul

2x + 16 = x + 20 \Rightarrow x = 4

.

Bilinmeyen değişkenin değerini bulmak.

5

s(E) değerini hesapla

s(E) = x + 20 = 4 + 20 = 24

.

Bulunan değişkeni yerine koyarak istenen sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Bir küme ile tümleyeninin eleman sayıları toplamı, evrensel kümenin eleman sayısını verir:

s(A) + s(A') = s(E)

.

İpuçları

1

Bir kümenin kendisi ile tümleyeninin eleman sayıları toplamı neye eşittir?

s(A) + s(A') = ?

2

s(B \setminus A)

değerine

x

diyerek başlayın. Bu durumda

s(A \setminus B)

ne olur?

s(A)

ve

s(B)

'yi

x

cinsinden yazmayı deneyin.

3

s(E) = s(A) + 10

ve

s(E) = s(B) + 14

eşitliklerini kullanarak

s(A)

ve

s(B)

arasındaki farkı bulun, ardından

x

değerini çözün.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine farkları kullanalım:

s(E) = s(A) + 10 = s(B) + 14

olduğundan

s(A) - s(B) = 4

olmalıdır. Kümeleri bölgelere ayırırsak

s(A) - s(B) = s(A \setminus B) - s(B \setminus A)

olur.

2x - x = 4 \Rightarrow x=4

. Buradan

s(E)

hesaplanabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 98Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için $f$ birim fonksiyon, $g$ ise sabit fonksiyondur.

g(x) = f(m) - 6

f(2x + g(x)) = (n-1)x + 3m - 2

eşitlikleri her

x

gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(n) + g(m)$ ifadesinin değeri kaçtır?

-8

-7

-5

-1

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

İstenen ifadenin değeri -5'tir.

Birim fonksiyon (

f(x)=x

) ve sabit fonksiyon (

g(x)=k

) tanımları kullanılarak elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde

n=3

,

m=-2

ve

g(x)=-8

bulunur. Buradan

f(n)+g(m) = 3 + (-8) = -5

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyon tanımlarını belirle

f(x) = x

(birim) ve

g(x) = k

(sabit,

k \in \mathbb{R}

).

Soruda verilen fonksiyon türlerinin matematiksel tanımlarının kullanılması gerekir.

2

Birinci eşitliği kullanarak k ve m arasındaki ilişkiyi bul

k = m - 6

g(x)=k

ve

f(m)=m

olduğundan

g(x) = f(m) - 6

eşitliği

k = m - 6

haline gelir.

3

İkinci eşitliği düzenle ve polinom eşitliğini kur

2x + k = (n-1)x + 3m - 2

f

birim fonksiyon olduğundan

f(2x + g(x)) = 2x + k

olur. Bu ifade verilen eşitliğin sağ tarafına denktir.

4

x'in katsayılarını eşitleyerek n değerini bul

2 = n - 1 \Rightarrow n = 3

Eşitliğin her x için sağlanması için x'li terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

5

Sabit terimleri eşitleyerek m ve k değerlerini bul

k = 3m - 2

ve

k = m - 6

denklemlerinden

m - 6 = 3m - 2 \Rightarrow -4 = 2m \Rightarrow m = -2

. Buradan

k = -8

.

Sabit terimlerin eşitliğinden elde edilen denklem sistemi çözülür.

6

İstenen

f(n) + g(m)

değerini hesapla

f(3) + g(-2) = 3 + (-8) = -5

f(3)=3

ve

g

sabit fonksiyon olduğundan

g(-2)=-8

değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Birim ve Sabit Fonksiyon Tanımları

İpuçları

1

f

birim fonksiyon ise

f(x)=x

,

g

sabit fonksiyon ise

g(x)=k

şeklinde yazarak başlayın.

2

İkinci eşitlikte

f(2x+g(x))

ifadesini

2x+k

olarak açıp, sağ taraftaki polinom ile katsayı eşitlemesi yapın.

Daha Fazla Pratik

Sabit fonksiyonun rasyonel ifade olarak verildiği (

f(x) = (ax+b)/(cx+d)

) ve oran orantı kullanılması gereken soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Polinom eşitliği yerine,

x

değişkenine özel değerler (örneğin

x=0

) vererek denklem sistemi elde edilebilir, ancak polinom katsayı eşitlemesi genel çözüm için daha güvenilirdir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 99Soru →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : -5 < x \le 1\}

Buna göre, $(A \times B) \setminus (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

12

17

25

37

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17

Soruda istenen

(A \times B) \setminus (B \times A)

kümesinin eleman sayısını bulmak için, önce

A

ve

B

kümelerinin eleman sayılarını ve kesişimlerinin eleman sayısını belirlemeliyiz.

s(A)=7

ve

s(B)=6

olarak bulunur. Kartezyen çarpımın toplam eleman sayısı

s(A \times B) = 7 \cdot 6 = 42

'dir. Çıkarılacak kısım olan kesişim kümesi

(A \times B) \cap (B \times A)

, aslında

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesine eşittir. Ortak eleman sayısı

s(A \cap B) = 5

olduğundan, kesişim bölgesindeki eleman sayısı

5 \cdot 5 = 25

olur. Sonuç olarak

42 - 25 = 17

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını belirle.

|x| \le 3 \implies -3 \le x \le 3

.

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

.

s(A) = 7

.

Mutlak değer eşitsizliği çözülerek kümenin elemanları listelenir.

2

B kümesinin elemanlarını belirle.

-5 < x \le 1

.

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}

.

s(B) = 6

.

Basit eşitsizlik aralığındaki tam sayılar listelenir.

3

A ve B kümelerinin kesişimini (

A \cap B

) bul.

A \cap B = \{-3, -2, -1, 0, 1\}

.

s(A \cap B) = 5

.

Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir.

4

İstenen kümenin eleman sayısını formülle hesapla.

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \times B) \cap (B \times A))

. Kesişim özelliği gereği bu ifade

s(A) \cdot s(B) - [s(A \cap B)]^2

olur.

7 \cdot 6 - 5^2 = 42 - 25 = 17

.

Kartezyen çarpımın fark ve kesişim özellikleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme Farkı Özellikleri

İpuçları

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek her birinin eleman sayısını bulun.

2

İki kartezyen çarpım kümesinin kesişiminin formülünü hatırlayın:

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

.

Alternatif Yöntem

Kümeleri görselleştirmek için bir koordinat düzlemi çizebilirsiniz. A kümesini x ekseninde, B kümesini y ekseninde işaretleyerek

A \times B

dikdörtgenini oluşturun. Çıkarılacak olan

B \times A

bölgesinin bu dikdörtgenle nerede kesiştiğini (ortak kare bölgeyi) belirleyip toplam noktadan çıkarın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 100Soru →

Bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

x \cdot f(x+1) = (x+2) \cdot f(x)

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(1) = 2$ olduğuna göre, $f(4)$ değeri kaçtır?

10

12

20

24

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İşlemler sonucunda f(4) değeri 20 olarak bulunur.

Verilen indirgemeli bağıntıda x yerine sırasıyla 1, 2 ve 3 değerleri yazılarak her adımda bir sonraki fonksiyon değeri elde edilir.

f(1)=2

iken

f(2)=6

,

f(3)=12

ve son olarak

f(4)=20

sonucuna ulaşılır. Bu süreç, fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değer kümesindeki karşılıklarını adım adım bulma prensibine dayanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde

x=1

yazılarak

f(2)

değeri hesaplanır.

1 \cdot f(2) = (1+2) \cdot f(1) \Rightarrow f(2) = 3 \cdot 2 = 6

Fonksiyonun bir sonraki değerini bulmak için başlangıç değerini kullanmak gerekir.

2

Elde edilen

f(2)

değeri kullanılarak

x=2

için

f(3)

değeri hesaplanır.

2 \cdot f(3) = (2+2) \cdot f(2) \Rightarrow 2 \cdot f(3) = 4 \cdot 6 = 24 \Rightarrow f(3) = 12

Ardışık değerleri bulmaya devam ederek hedef değere yaklaşılır.

3

Elde edilen

f(3)

değeri kullanılarak

x=3

için

f(4)

değeri hesaplanır.

3 \cdot f(4) = (3+2) \cdot f(3) \Rightarrow 3 \cdot f(4) = 5 \cdot 12 = 60 \Rightarrow f(4) = 20

Soru tarafından istenen f(4) değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma ve indirgemeli (recursive) bağıntıların çözümü.

İpuçları

1

Eşitlikte x yerine bilinen değer olan f(1)'i kullanmak için x=1 yazarak başlayın.

2

Her adımda bulduğunuz fonksiyon değerini, bir sonraki x değeri için denklemde yerine koyun.

3

f(4) değerine ulaşmak için x=1, x=2 ve x=3 değerlerini sırayla kullanmanız gerekmektedir.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda olan f(x+1) = x.f(x) biçimindeki faktöriyel tipi fonksiyon sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bağıntıyı f(x+1)/f(x) = (x+2)/x şeklinde yazarak f(4)/f(1) oranını f(4)/f(3) * f(3)/f(2) * f(2)/f(1) çarpımı ile bulabilirsiniz: (5/3) * (4/2) * (3/1) = 10. f(1)=2 olduğundan f(4) = 10 * 2 = 20 bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Kümeler ve Fonksiyonlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram