Examkin

Sayısal Mantık

272 soru

Soru 21Soru →

Bir büyükşehir belediyesine bağlı beş farklı ilçedeki günlük toplanan atık miktarları, bu atıkların geri dönüşüm oranları ve geri dönüştürülemeyen (kalan) atıkların bertaraf edilme birim maliyetleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İlçeGünlük Toplanan Atık (Ton)Geri Dönüşüm Oranı (%)Bertaraf Birim Maliyeti (TL/Ton)
K12025600
L20050500
M30040400
N25020450
P15060800

Not: Bertaraf maliyeti, yalnızca geri dönüştürülemeyen atık miktarı üzerinden hesaplanmaktadır.

Buna göre, günlük toplam bertaraf maliyeti en yüksek olan ilçe ile günlük geri dönüştürülen atık miktarı (ton) en düşük olan ilçe aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: N ve K

Cevap

N ve K
Yapılan hesaplamalar sonucunda, günlük bertaraf maliyeti en yüksek olan ilçe 90.000 TL ile N ilçesidir (250 ton atığın %80'i olan 200 ton x 450 TL). Geri dönüştürülen atık miktarı en düşük olan ilçe ise 30 ton ile K ilçesidir (120 ton atığın %25'i). Bu nedenle doğru sıralama N ve K şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Her ilçe için geri dönüştürülemeyen atık miktarını ve buna bağlı bertaraf maliyetini hesapla.
Formül: (Toplam Atık) x (1 - Geri Dönüşüm Oranı) x (Birim Maliyet)
Soruda bertaraf maliyetinin sadece geri dönüştürülemeyen kısım için ödendiği belirtilmiştir.
2
K ve L ilçelerini hesapla.
K: 120 x 0,75 x 600 = 54.000 TL; L: 200 x 0,50 x 500 = 50.000 TL
K'nin %25'i geri dönüyor, %75'i kalıyor. L'nin %50'si kalıyor.
3
M, N ve P ilçelerini hesapla.
M: 300 x 0,60 x 400 = 72.000 TL; N: 250 x 0,80 x 450 = 90.000 TL; P: 150 x 0,40 x 800 = 48.000 TL
M (%40 geri, %60 kalan), N (%20 geri, %80 kalan), P (%60 geri, %40 kalan).
4
Bertaraf maliyeti en yüksek olan ilçeyi belirle.
N ilçesi (90.000 TL) en yüksektir.
54.000, 50.000, 72.000, 90.000 ve 48.000 değerleri karşılaştırıldı.
5
Her ilçe için geri dönüştürülen atık miktarını hesapla (Miktar x Oran).
K: 120 x 0,25 = 30; L: 200 x 0,50 = 100; M: 300 x 0,40 = 120; N: 250 x 0,20 = 50; P: 150 x 0,60 = 90.
Soru ikinci adımda geri dönüştürülen miktarın en az olduğu ilçeyi sormaktadır.
6
Geri dönüştürülen atık miktarı en düşük olan ilçeyi belirle.
K ilçesi (30 Ton) en düşüktür.
30, 100, 120, 50 ve 90 değerleri karşılaştırıldı.

Anahtar Kavram

Tablo verilerini kullanarak orantısal işlemler yapma ve sonuçları karşılaştırma.
Soru 22Soru →

Bir fabrikada üretilen A, B ve C ürünlerinin 2022 yılındaki sayıca dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde verilmiştir.

2023 yılında, 2022 yılına göre;
* A ürününün üretimi %25 artmış,
* B ürününün üretimi 10 adet azalmış,
* C ürününün üretimi ise değişmemiştir.

2023 yılındaki üretim dağılımı yeni bir daire grafiği ile gösterildiğinde, C ürününe ait daire diliminin merkez açısı 144∘144^\circ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, 2022 yılında üretilen B ürünü sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

2022 yılında üretilen B ürünü sayısı 60'tır.
Verilen açılar (120∘,90∘,150∘120^\circ, 90^\circ, 150^\circ) sadeleştirildiğinde üretim miktarları sırasıyla 4k,3k4k, 3k ve 5k5k olur. 2023 yılındaki değişimler sonrası toplam üretim 13k−1013k-10 ve C ürünü 5k5k olur. C'nin yeni açısı 144∘144^\circ (144/360=2/5144/360 = 2/5) olduğundan, 5k13k−10=25\frac{5k}{13k-10} = \frac{2}{5} denklemi kurulur. Buradan k=20k=20 bulunur. B ürününün başlangıç sayısı 3k3k olduğu için cevap 3×20=603 \times 20 = 60 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Daire grafiğindeki açılara göre 2022 yılındaki üretim miktarlarını orantı sabiti kk cinsinden ifade et.
A: 120∘→4k120^\circ \rightarrow 4k, B: 90∘→3k90^\circ \rightarrow 3k, C: 150∘→5k150^\circ \rightarrow 5k. (Sadeleştirme: 120:90:150⇒4:3:5120:90:150 \Rightarrow 4:3:5)
Daire grafiğinde merkez açılar, o gruba düşen miktarla doğru orantılıdır.
2
Verilen değişimleri uygulayarak 2023 yılı üretim miktarlarını yaz.
A (2023): 4k×1,25=5k4k \times 1,25 = 5k, B (2023): 3k−103k - 10, C (2023): 5k5k.
A'daki %25 artış (4k+k4k + k) ve B'deki 10 adet azalış matematiksel ifadeye dökülür.
3
2023 yılındaki toplam üretim miktarını bul.
Toplam = 5k+(3k−10)+5k=13k−105k + (3k - 10) + 5k = 13k - 10.
Yeni grafiğin tamamını temsil eden kütleyi bulmak için parçalar toplanır.
4
C ürününün yeni merkez açısını kullanarak denklem kur ve kk değerini bul.
C2023Toplam2023=144360⇒5k13k−10=25⇒25k=26k−20⇒k=20\frac{C_{2023}}{\text{Toplam}_{2023}} = \frac{144}{360} \Rightarrow \frac{5k}{13k - 10} = \frac{2}{5} \Rightarrow 25k = 26k - 20 \Rightarrow k = 20.
Parça/Bütün oranı, Merkez Açı/360 oranına eşittir.
5
İstenen 2022 yılı B ürünü sayısını hesapla.
B (2022) = 3k=3×20=603k = 3 \times 20 = 60.
Başlangıçtaki tanıma geri dönülerek sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Daire grafiği problemlerinde veriler, merkez açılarla orantılı (360∘=Tamamı360^\circ = \text{Tamamı}) olarak kurgulanır ve değişimler bu orantı üzerinden denkleme dökülür.

İpuçları

1
Daire grafiğindeki açıları (120, 90, 150) en sade haliyle oranlayarak değişken atayın (örneğin 4k, 3k, 5k).
2
2023 yılı için yeni değerleri k cinsinden yazın: A=%25 artarsa ne olur? B 10 azalırsa ifade ne olur? C değişmezse ne olur?
3
C ürününün yeni miktarının (5k) yeni toplama oranı, 144/360144/360 kesrine eşittir. Bu denklemi çözerek k'yı bulun.

Alternatif Yöntem

Toplam ürün sayısına 360x diyerek de işlem yapılabilir, ancak katsayılar büyüyeceği için sadeleştirilmiş oranlar (4k, 3k, 5k) kullanmak işlemi hızlandırır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →
Gerçel sayılar kümesinde, her x,yx, y için
xΔy=xy+3x+3y+mx \Delta y = xy + 3x + 3y + m
eşitliğiyle verilen işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunmaktadır.

Buna göre, bu işlemde tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı 8'dir.
İşlemin birim elemanı e=−2e=-2 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan sayılar için kurulan x2+6x+8=0x^2 + 6x + 8 = 0 denkleminin kökleri -2 ve -4 olduğundan çarpımları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim elemanı (ee) ve bilinmeyen parametreyi (mm) bulmak için birim eleman tanımı (xΔe=xx \Delta e = x) kullanılır.
x⋅e+3x+3e+m=x  ⟹  e(x+3)=−2x−mx \cdot e + 3x + 3e + m = x \implies e(x+3) = -2x - m
Birim elemanın var olabilmesi için eşitliğin her xx değeri için sağlanması gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki katsayılar oranlanarak ee ve mm değerleri hesaplanır.
e−2=xx  ⟹  e=−2\frac{e}{-2} = \frac{x}{x} \implies e = -2. Sabit terimlerden: 3(−2)=−m  ⟹  m=63(-2) = -m \implies m = 6.
Polinom eşitliği ilkesi gereği xx'li terimlerin ve sabitlerin oranları tutarlı olmalıdır.
3
Tersi kendisine eşit olan sayıları bulmak için xΔx=ex \Delta x = e denklemi kurulur.
x⋅x+3x+3x+6=−2  ⟹  x2+6x+8=0x \cdot x + 3x + 3x + 6 = -2 \implies x^2 + 6x + 8 = 0
Bir elemanın tersi kendisine eşitse, o eleman kendisiyle işleme girdiğinde sonuç birim eleman (e=−2e=-2) olmalıdır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemin kökleri ve çarpımı bulunur.
(x+4)(x+2)=0(x+4)(x+2) = 0 ise kökler x1=−4x_1 = -4 ve x2=−2x_2 = -2. Çarpım: (−4)⋅(−2)=8(-4) \cdot (-2) = 8.
Kökler çarpımı formülü (c/ac/a) veya köklerin doğrudan çarpımı ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemlerde Birim ve Ters Eleman

İpuçları

1
Öncelikle işlemin birim elemanını (ee) bulmalısın. Birim eleman tanımı: her xx için xΔe=xx \Delta e = x.
2
x(e+3)+3e+m=xx(e+3) + 3e + m = x eşitliğinin her xx için sağlanması, xx'in katsayısının ve sabit terimin uygun ayarlanmasını gerektirir.
3
Birim eleman e=−2e = -2 dir. Tersi kendisine eşit olması için xΔx=−2x \Delta x = -2 denklemini çözmelisin.

Daha Fazla Pratik

Birim elemanı olmayan bir işlemde yutan elemanı bulmayı gerektiren bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

İşlem (x+3)(y+3)−3(x+3)(y+3) - 3 biçiminde düzenlenebilir (m=6m=6 olduğu görüldükten sonra). Bu formda birim eleman e+3=1  ⟹  e=−2e+3=1 \implies e=-2 ve tersi kendisine eşitlik (x+3)2=1(x+3)^2 = 1 şeklinde daha hızlı çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde △\triangle ve ◯\bigcirc işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

x△y=3x−2yx \triangle y = 3x - 2y
x◯y={(x△y)2,x<yy△x,x≥yx \bigcirc y = \begin{cases} (x \triangle y)^2, & x < y \\ y \triangle x, & x \ge y \end{cases}

Buna göre, k◯5=4k \bigcirc 5 = 4 eşitliğini sağlayan kk değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 736\frac{73}{6}

Cevap

Doğru cevap, denklemi sağlayan üç farklı değerin toplamı olan \frac{73}{6}'dır.
Soruda verilen parçalı işlem tanımına göre kk değerinin 5'ten küçük veya büyük olmasına göre iki farklı denklem kurulmalıdır. k<5k < 5 için (3k−10)2=4(3k-10)^2=4 denkleminden k=4k=4 ve k=8/3k=8/3 kökleri bulunur; her ikisi de şartı sağlar. k≥5k \ge 5 için ise parametreler yer değiştirerek 5△k=15−2k=45 \triangle k = 15-2k=4 denklemi çözülür ve k=11/2k=11/2 bulunur; bu da şartı sağlar. Bu üç değerin toplamı 73/673/6 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
k◯5k \bigcirc 5 işlemini tanımlı koşullara göre iki ayrı durumda incele.
Durum 1: k<5k < 5 ve Durum 2: k≥5k \ge 5
Parçalı fonksiyon tanımı xx ve yy arasındaki büyüklük ilişkisine dayanmaktadır.
2
1. Durum (k<5k < 5) için denklemi çöz.
(k△5)2=4⇒(3k−10)2=4(k \triangle 5)^2 = 4 \Rightarrow (3k - 10)^2 = 4. Buradan ∣3k−10∣=2|3k - 10| = 2 elde edilir. Çözümler: 3k−10=2⇒k=43k-10=2 \Rightarrow k=4 ve 3k−10=−2⇒k=8/33k-10=-2 \Rightarrow k=8/3.
Karesi 4 olan sayılar 2 ve -2'dir. Her iki kök de k<5k < 5 şartını sağlar (4<54 < 5 ve 2,66...<52,66... < 5).
3
2. Durum (k≥5k \ge 5) için denklemi çöz.
5△k=4⇒3(5)−2k=45 \triangle k = 4 \Rightarrow 3(5) - 2k = 4. Buradan 15−2k=4⇒2k=11⇒k=11/215 - 2k = 4 \Rightarrow 2k = 11 \Rightarrow k = 11/2.
Tanım gereği x≥yx \ge y olduğunda işlem y△xy \triangle x olarak uygulanır. Bulunan 5,55,5 değeri k≥5k \ge 5 şartını sağlar.
4
Bulunan tüm geçerli kk değerlerini topla.
4+83+112=246+166+336=7364 + \frac{8}{3} + \frac{11}{2} = \frac{24}{6} + \frac{16}{6} + \frac{33}{6} = \frac{73}{6}
Rasyonel sayılarda toplama işlemi için paydalar 6'da eşitlenir.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı ve Parçalı Fonksiyonlar

İpuçları

1
İşlem parçalı tanımlandığı için kk değerinin 5'ten küçük olduğu durum ile 5'ten büyük veya eşit olduğu durumu ayrı ayrı incelemelisiniz.
2
k<5k < 5 durumunda karşınıza (A)2=4(A)^2 = 4 şeklinde bir denklem çıkacaktır. Bu denklemin pozitif ve negatif olmak üzere iki çözümü olduğunu unutmayın.
3
k≥5k \ge 5 durumunda tanım gereği y△xy \triangle x uygulanmalıdır, yani xx ve yy yer değiştirmelidir. Bu durumda denklem 5△k=45 \triangle k = 4 halini alır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde bir ff fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x)={3x+1,x asal sayı ise2x−3,x asal sayı deg˘ilse f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & , \text{x asal sayı ise} \\ 2x - 3 & , \text{x asal sayı değilse} \end{cases}

Bir sayı dizisinin terimleri an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n) kuralı ile oluşturulmaktadır.

Dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 olduğuna göre, bu dizinin 5. terimi (a5a_5) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 173

Cevap

Dizinin 5. terimi 173'tür.
Dizinin her adımı, bir önceki sayının asal olup olmamasına göre belirlenir. Sırasıyla 5 (asal) →\to 16 (değil) →\to 29 (asal) →\to 88 (değil) →\to 173 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim a1=5a_1 = 5 olarak verilmiştir. 5 bir asal sayıdır, bu yüzden f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 kuralı uygulanır.
a2=3(5)+1=16a_2 = 3(5) + 1 = 16
Bir sonraki terimi bulmak için mevcut terimin asallığı kontrol edilir.
2
a2=16a_2 = 16 bir asal sayı değildir (2'ye bölünür), bu yüzden f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 kuralı uygulanır.
a3=2(16)−3=32−3=29a_3 = 2(16) - 3 = 32 - 3 = 29
16 çift sayıdır ve asal değildir.
3
a3=29a_3 = 29 bir asal sayıdır, bu yüzden tekrar f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 kuralı uygulanır.
a4=3(29)+1=87+1=88a_4 = 3(29) + 1 = 87 + 1 = 88
29 sadece 1 ve kendisine bölünür, asaldır.
4
a4=88a_4 = 88 bir asal sayı değildir, bu yüzden f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 kuralı uygulanır.
a5=2(88)−3=176−3=173a_5 = 2(88) - 3 = 176 - 3 = 173
88 çift sayıdır ve asal değildir. İstenilen 5. terime ulaşılmıştır.

Anahtar Kavram

Bu soru, koşullu fonksiyonların iteratif uygulanmasını ve asal sayı bilgisini ölçer.

İpuçları

1
Her adımda, elinizdeki sayının asal olup olmadığını kontrol ederek uygun formülü seçmelisiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →

Üç katlı bir binada her katta ikişer daire bulunmakta olup daireler 1'den 6'ya kadar numaralandırılmıştır. 1. katta 1 ve 2, 2. katta 3 ve 4, 3. katta ise 5 ve 6 numaralı daireler yer almaktadır. Bu binada oturan Ali, Burak, Can, Deniz, Emre ve Fatih ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ali, Can'ın oturduğu dairenin tam üst katındaki dairede oturmaktadır.
* Ali ve Emre'nin daire numaralarının toplamı 9'dur.
* Fatih ve Deniz aynı katta oturmaktadır.
* Burak tek numaralı bir dairede oturmaktadır.

Buna göre, 4 numaralı dairede aşağıdaki kişilerden hangisi oturmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Can

Cevap

4 numaralı dairede Can oturmaktadır.
Verilen kurallar adım adım işlendiğinde sadece tek bir yerleşim düzeni mümkündür. Ali ve Emre toplamının 9 olması ve Fatih-Deniz ikilisinin aynı katta olması kısıtları, Ali'nin 6. dairede, Can'ın ise onun altındaki 4. dairede olmasını zorunlu kılar. Bu durumda Burak 5 numaralı tek daireye yerleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Dairelerin katlara dağılımını ve 'Ali, Can'ın tam üstündedir' kuralını analiz et.
Katlar: (1,2), (3,4), (5,6). Ali ve Can arasındaki numara farkı 2 olmalıdır (aynı hizada üst kat). Olası (Ali, Can) çiftleri: (3,1), (4,2), (5,3), (6,4).
Daire numaraları 1-2 (zemin), 3-4 (orta), 5-6 (üst) şeklindedir. Tam üst kat demek +2 numara farkı demektir.
2
'Ali + Emre = 9' kuralını kullanarak olası durumları ele.
Durum 1: Ali=3 ise Emre=6. (Can=1). Kalanlar: 2, 4, 5.
Durum 2: Ali=4 ise Emre=5. (Can=2). Kalanlar: 1, 3, 6.
Durum 3: Ali=5 ise Emre=4. (Can=3). Kalanlar: 1, 2, 6.
Durum 4: Ali=6 ise Emre=3. (Can=4). Kalanlar: 1, 2, 5.
Ali'nin alabileceği değerler üzerinden Emre'nin konumu ve boşta kalan daireler bulunur.
3
'Fatih ve Deniz aynı katta oturuyor' kuralını uygula.
Durum 1 (Kalan 2,4,5): Aynı katta olan çift yok. (Elendi)
Durum 2 (Kalan 1,3,6): Aynı katta olan çift yok. (Elendi)
Durum 3 (Kalan 1,2,6): 1 ve 2 aynı katta. Fatih/Deniz buraya yerleşir. Kalan daire: 6.
Durum 4 (Kalan 1,2,5): 1 ve 2 aynı katta. Fatih/Deniz buraya yerleşir. Kalan daire: 5.
Aynı kat çiftleri (1,2), (3,4) veya (5,6)'dır. Kalan daireler içinde bu çiftlerden biri tam olarak bulunmalıdır.
4
'Burak tek numaralı dairede oturuyor' kuralı ile son elemeyi yap.
Durum 3'te kalan daire 6 (Çift). Burak buraya oturamaz. (Elendi)
Durum 4'te kalan daire 5 (Tek). Burak buraya oturabilir. (Geçerli)
Sadece Durum 4 tüm kuralları sağlar.
5
Geçerli durumda kişilerin yerlerini belirle.
Ali: 6, Can: 4, Emre: 3, Burak: 5, Fatih/Deniz: 1 veya 2.
4 numaralı dairede Can oturmaktadır.

Anahtar Kavram

Mantıksal Çıkarım ve Durum Analizi

İpuçları

1
Öncelikle 'Ali, Can'ın tam üstündedir' ifadesinden olası (Ali, Can) ikililerini yazın: (3,1), (4,2), (5,3), (6,4).
2
Ali + Emre = 9 denklemini her bir olasılık için deneyin. Kalan dairelerin Fatih ve Deniz için yan yana (aynı katta) boşluk bırakıp bırakmadığını kontrol edin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 27Soru →

Bir bilgisayar algoritması, girilen pozitif bir xx tam sayısı için aşağıdaki işlem adımlarını uygulamaktadır:

1. Adım: Sayı çift ise 2'ye böl, tek ise 3 ile çarp ve 1 ekle.
2. Adım: Elde edilen sonucu xx değeri olarak al ve bir sonraki adıma geç.

Bu algoritma başlangıçtaki sayıya art arda 3 kez uygulandığında sonuç olarak 10 sayısı elde ediliyor.

Buna göre, başlangıçta girilebilecek **farklı xx tam sayılarının toplamı** kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 105

Cevap

Başlangıç değerlerinin toplamı 105'tir.
Soruda verilen algoritma sonucundan (10) geriye doğru gidilerek başlangıç sayısı bulunmalıdır. İşlemler 3 adım geri sarıldığında:
1. Adım sonu 10 ise, önceki adım 20 (çift) veya 3 (tek) olabilir.
2. Adım sonu 20 veya 3 ise, önceki adım 40 (20'den) veya 6 (3'ten) olabilir. (Diğer ihtimaller tam sayı çıkmaz).
3. Başlangıç sayısı 40 veya 6 ise:
- 40, 80'den (yarısı) veya 13'ten (3×13+1=403 \times 13 + 1 = 40) gelmiş olabilir.
- 6, sadece 12'den (yarısı) gelmiş olabilir.
Bu durumda olası başlangıç sayıları 80, 13 ve 12'dir. Toplamları 80+13+12=10580 + 13 + 12 = 105 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Algoritmanın tersine işleyişini analiz et
Sonuç YY ise; bir önceki sayı 2Y2Y (çift ise) veya (Y−1)/3(Y-1)/3 (sonuç tam sayı ve tek ise) olabilir.
İleriye doğru 'çift ise /2', 'tek ise 3x+1' yapılıyorsa, geriye doğru tam tersi uygulanır.
2
3. Adım sonucundan (10) geriye doğru 2. Adım sonuçlarını bul
Çift yolundan: 10×2=2010 \times 2 = 20. Tek yolundan: (10−1)/3=3(10-1)/3 = 3. Olası değerler: {20, 3}.
Her iki aday sayı da (20 çift, 3 tek) kurallara uygundur.
3
2. Adım sonuçlarından (20 ve 3) geriye doğru 1. Adım sonuçlarını bul
20'den: 20×2=4020 \times 2 = 40 veya (20−1)/3(20-1)/3 (tam sayı değil).
3'ten: 3×2=63 \times 2 = 6 veya (3−1)/3(3-1)/3 (tam sayı değil). Olası değerler: {40, 6}.
Sadece çift yolları geçerli sonuç üretmiştir.
4
1. Adım sonuçlarından (40 ve 6) başlangıç sayılarını (xx) bul
40'tan: 40×2=8040 \times 2 = 80 veya (40−1)/3=13(40-1)/3 = 13 (13 tektir, geçerli).
6'dan: 6×2=126 \times 2 = 12 veya (6−1)/3(6-1)/3 (tam sayı değil). Başlangıç değerleri: {80, 13, 12}.
40 sayısından hem çift hem tek sayı kaynaklanabilir; 6'dan sadece çift sayı kaynaklanabilir.
5
Bulunan değerleri topla
80+13+12=10580 + 13 + 12 = 105.
Soru tüm farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Tersine İşlem ve Durum Analizi

İpuçları

1
Sonuçtan (10) başlayarak işlemleri geriye doğru yapın. 'Yarısını al' işleminin tersi 2 ile çarpmaktır.
2
'3 ile çarp 1 ekle' işleminin tersi, sayıdan 1 çıkarıp 3'e bölmektir. Ancak bu sadece sonuç tam sayı çıkıyorsa geçerlidir.
3
Her adımda sayının hem çift (2x) hem de tek ((x-1)/3) olma ihtimalini kontrol edin. Toplamda 3 geriye gidiş adımı uygulayacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış ancak adım sayısı daha fazla olan veya sonucun asal sayı olmasını gerektiren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 28Soru →

Bir tekstil fabrikasında üretilen üç farklı kumaş türünün (Pamuk, İpek, Polyester) üretim miktarlarının dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde verilmiştir. Ayrıca bu kumaşların üretim sonrası kalite kontrol testlerinde tespit edilen defo (hata) oranları tablodaki gibidir.

Kumaş TürüDefo Oranı
Pamuk%5
İpek%10
Polyester%20

Fabrikada üretilen toplam defolu kumaş miktarı 810 metre olduğuna göre, kalite kontrol testinden geçen sağlam (defosuz) İpek kumaş miktarı kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1620

Cevap

Sağlam İpek kumaş miktarı 1620 metredir.
Soruda verilen daire grafiği açıları (Pamuk 150∘150^{\circ}, İpek 90∘90^{\circ}, Polyester 120∘120^{\circ}) üretim miktarlarıyla orantılıdır. Bu miktarlara sırasıyla 150k150k, 90k90k ve 120k120k dediğimizde, defo oranları (%5, %10, %20) uygulanarak toplam defo denklemi kurulur (40,5k=81040,5k = 810). Buradan k=20k=20 bulunur. İstenen 'sağlam İpek' miktarı ise toplam İpek (18001800) eksi defolu İpek (180180) işlemiyle 16201620 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Daire grafiğindeki açıları kullanarak her bir kumaş türü için üretim miktarını bir değişken (k) cinsinden ifade et.
Pamuk = 150k150k, İpek = 90k90k, Polyester = 360∘−(150∘+90∘)=120k360^{\circ} - (150^{\circ} + 90^{\circ}) = 120k.
Daire grafiğinde dilimlerin alanları veya açıları, temsil ettikleri miktarlarla doğru orantılıdır.
2
Her bir kumaş türü için verilen defo oranlarını kullanarak defolu miktarları k cinsinden hesapla.
Defolu Pamuk: 150k×0,05=7,5k150k \times 0,05 = 7,5k. Defolu İpek: 90k×0,10=9k90k \times 0,10 = 9k. Defolu Polyester: 120k×0,20=24k120k \times 0,20 = 24k.
Yüzde hesaplaması: Miktar ×\times (Yüzde Oranı / 100).
3
Toplam defolu kumaş miktarını topla ve verilen 810 metre değerine eşitleyip k değerini bul.
7,5k+9k+24k=40,5k7,5k + 9k + 24k = 40,5k. 40,5k=810⇒k=2040,5k = 810 \Rightarrow k = 20.
Toplam defolu miktar soruda verilmiştir, bu sayede orantı sabiti bulunur.
4
Sağlam İpek kumaş miktarını bulmak için toplam İpek üretiminden defolu İpek miktarını çıkar.
Toplam İpek = 90k=90×20=180090k = 90 \times 20 = 1800. Defolu İpek = 9k=9×20=1809k = 9 \times 20 = 180. Sağlam İpek = 1800−180=16201800 - 180 = 1620 m.
Sağlam Miktar = Toplam Üretim - Defolu Miktar.

Anahtar Kavram

Daire grafiklerinde açılar ile gerçek miktarlar arasındaki doğru orantı ve yüzde problemlerinin birlikte kullanımı.

İpuçları

1
Daire grafiğindeki toplam açının 360∘360^{\circ} olduğunu hatırlayın. Bilinmeyen Polyester açısını bularak başlayın.
2
Her bir ürünün miktarını açısına göre bir değişkenle (örneğin 150x150x, 90x90x) ifade edin ve defo yüzdelerini bu ifadeler üzerinden hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, defolu ürün yerine maliyet/satış fiyatı verileriyle deneyin.

Alternatif Yöntem

Orantı sabiti kullanmadan; toplam defo puanı hesabı yapılabilir. (150×5+90×10+120×20=4050150 \times 5 + 90 \times 10 + 120 \times 20 = 4050 puan). 40504050 puan 810810 metreye denk geliyorsa, sağlam İpek puanı (90×90=810090 \times 90 = 8100) kaça denk gelir? Oran: 810/4050=0,2810 / 4050 = 0,2. 8100×0,2=16208100 \times 0,2 = 1620.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →

Birim küplerin üst üste konulmasıyla oluşturulan yukarıdaki yapının, bir ayrıtı 33 birim olan içi dolu büyük bir küpe tamamlanması istenmektedir.

Buna göre, bu yapıyı eksiksiz bir küpe dönüştürmek için en az kaç tane daha birim küp eklenmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1313

Cevap

Yapıyı tamamlamak için 13 tane daha birim küp eklenmelidir.
Bir ayrıtı 33 birim olan tam bir küp 33=273^3 = 27 birim küpten oluşur. Verilen görseldeki yapı incelendiğinde; en alt tabanda 99, onun üstündeki ikinci tabakada 44 ve en üstte 11 küp olduğu görülür (9+4+1=149 + 4 + 1 = 14). Tamamlanması için gereken miktar 27−14=1327 - 14 = 13 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hedeflenen büyük küpün toplam hacmini (küp sayısını) hesapla.
3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27 birim küp.
Bir ayrıtı 3 birim olan dolu bir küpün toplam kaç birim küpten oluştuğunu bilmemiz gerekir.
2
Mevcut yapıda bulunan birim küpleri katman katman say.
Alt kat: 99 (tam dolu), Orta kat: 44 (2×22 \times 2 blok), Üst kat: 11. Toplam: 9+4+1=149 + 4 + 1 = 14 birim küp.
Elimizdeki mevcut malzeme miktarını belirlemek için sayım yapılır.
3
Gereken ek küp sayısını bulmak için çıkarma işlemi yap.
27−14=1327 - 14 = 13 birim küp.
Toplam ihtiyaçtan mevcut olan çıkarılarak eksik miktar bulunur.

Anahtar Kavram

Hacim tamamlama ve üç boyutlu nesneleri katmanlarına ayırarak sayma.

İpuçları

1
Büyük küpü tamamlamak için toplamda kaç tane birim küp gerektiğini (3×3×33 \times 3 \times 3) düşünerek işe başlayın.
2
Şekildeki küpleri sayarken en alttan başlayıp yukarı doğru çıkın. Görünmeyen küplerin, üstteki küpleri taşımak için orada olması gerektiğini unutmayın.
3
Tabanda 9, ortada 4 ve en üstte 1 küp var. Bu toplamı 27'den çıkararak sonuca ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu bir ayrıtı 4 birim olan bir küp için çözmeyi deneyerek hacim tamamlama becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eksik olan boşlukları sayarak da ilerleyebilirsiniz. En üst katta 8 boşluk, orta katta 5 boşluk bulunmaktadır. Toplam 8+5=138 + 5 = 13 boşluk küple doldurulmalıdır.
Tahmini Süre:45s
Soru 30Soru →

Bir mağazanın vitrininde özdeş hediye kutuları, tabanları eşkenar üçgen oluşturacak şekilde üst üste dizilerek bir piramit yapılmaktadır. Bu düzenlemede en üstte (1. katta) 1 kutu, onun altındaki 2. katta 3 kutu ve 3. katta 6 kutu bulunmaktadır. Kutular bu örüntüye göre dizilmeye devam edildiğinde, 8 kattan oluşan bu yapıda toplam kaç adet hediye kutusu kullanılır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

8 katlı piramitte toplam 120 kutu bulunur
Piramidin her katındaki kutu sayısı 'üçgensel sayılar' dizisini oluşturur (an=n(n+1)2a_n = \frac{n(n+1)}{2}).
1. kat: 1
2. kat: 3
3. kat: 6
4. kat: 10
5. kat: 15
6. kat: 21
7. kat: 28
8. kat: 36
Bu değerlerin toplamı: 1+3+6+10+15+21+28+36=1201+3+6+10+15+21+28+36 = 120 bulunur. Bu özel sayı dizisine 'Tetrahedral Sayılar' da denir.

Adım Adım Çözüm

1
Her kattaki kutu sayısını veren örüntüyü belirle.
n. kattaki kutu sayısı 1'den n'ye kadar olan sayıların toplamıdır (Üçgensel Sayılar): n(n+1)/2.
1. kat: 1, 2. kat: 1+2=3, 3. kat: 1+2+3=6...
2
İlk 8 kat için kutu sayılarını hesapla.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36
Her adımda bir önceki sayıya kat numarası eklenir (örn. 4. kat = 6 + 4 = 10).
3
Tüm katlardaki kutu sayılarını topla.
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120
Toplam kutu sayısı istendiği için serinin ilk 8 terimi toplanır.

Anahtar Kavram

Üçgensel Sayılar ve Seri Toplamı

İpuçları

1
Önce her katta kaç kutu olduğunu tek tek yazınız. 1. katta 1, 2. katta 3...
2
Her kattaki artış miktarına dikkat edin. 3. katta 6 kutu var (3 + 3). 4. katta kaç kutu olur? (6 + 4).
3
Katlardaki kutu sayıları: 1, 3, 6, 10... şeklinde ilerler. 8. sayıya kadar bulup hepsini toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla kare piramit (tabanı kare olan) için toplam kutu sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tetrahedral sayı formülü Tn=n(n+1)(n+2)6T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} kullanılarak doğrudan 8⋅9⋅10/6=1208 \cdot 9 \cdot 10 / 6 = 120 bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 31Soru →

Bir alışveriş merkezinin çok katlı otoparkında bulunan park yeri sayıları, kat numarasına göre belirli bir mantıksal kurala göre artmaktadır. Aşağıdaki tabloda ilk 44 kattaki park yeri sayıları verilmiştir:

Kat NumarasıPark Yeri Sayısı
1.1. Kat1212
2.2. Kat1616
3.3. Kat2222
4.4. Kat3030

Her katın park yeri sayısı ile bir alt katın park yeri sayısı arasındaki farkın, kat numarası arttıkça sabit bir miktarda arttığı bilindiğine göre, bu otoparkın 8.8. katında toplam kaç park yeri bulunmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8282

Cevap

Otoparkın 8.8. katında toplam 8282 adet park yeri bulunmaktadır.
Verilen dizide katlar arasındaki farklar 4,6,84, 6, 8 şeklinde ikişer artmaktadır. Bu düzen devam ettirildiğinde 4.4. kattan sonraki artışlar sırasıyla +10,+12,+14+10, +12, +14 ve +16+16 olmalıdır. 4.4. kattaki 3030 sayısına bu farklar eklendiğinde 8.8. katta 8282 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Katlar arasındaki farkları hesapla.
16−12=416 - 12 = 4, 22−16=622 - 16 = 6, 30−22=830 - 22 = 8
Artış kuralını belirlemek için ardışık terimler arasındaki farklara bakılmalıdır.
2
Farklar arasındaki ilişkiyi tespit et.
Artış miktarları (4,6,8,…4, 6, 8, \dots) her adımda 22 artmaktadır.
Örüntünün kuralı, her yeni katta park yeri sayısının bir önceki artıştan 22 daha fazla artmasıdır.
3
Örüntüyü 8.8. kata kadar devam ettir.
5.5. kat: 30+10=4030 + 10 = 40
6.6. kat: 40+12=5240 + 12 = 52
7.7. kat: 52+14=6652 + 14 = 66
8.8. kat: 66+16=8266 + 16 = 82
Belirlenen kural ardışık olarak uygulandığında hedef kata ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde artış miktarının bir örüntü oluşturması (İkinci dereceden örüntüler)

İpuçları

1
Tablodaki park yeri sayıları arasındaki farklara (örneğin 16−1216-12) odaklanın.
2
Farkların 4,6,84, 6, 8 şeklinde gittiğini göreceksiniz. Bir sonraki farkın kaç olacağını tahmin edin.
3
Her adımda eklenen sayı 22 şer artmaktadır. 4.4. kattan sonra sırasıyla 10,12,1410, 12, 14 ve 1616 ekleyerek 8.8. kata ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Farkların sabit olmadığı örüntülerde, farkların kendi içindeki düzenini bulmak soruyu çözmenin anahtarıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 32Soru →

Aşağıdaki şekilde, daireler içindeki sayılar belirli bir kurala göre yerleştirilmiştir.

Kural: Her bir dairenin değeri, kendisine üstten temas eden iki dairenin içindeki sayıların farkının mutlak değerine eşittir.

En alttaki dairede 4 sayısı bulunduğuna göre, xx tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

x tam sayısının alabileceği değerler 14 ve 18 olup, toplamları 32'dir.
Piramit kuralına göre en alt satırdaki denklem ||10 - x| - |x - 22|| = 4 şeklindedir. Bu denklem analiz edildiğinde, x sayısının 10 ile 22 arasında olması gerektiği görülür (aksi takdirde fark sabit 12 çıkar). Bu aralıkta denklem |2x - 32| = 4 halini alır. Mutlak değer tanımı gereği 2x - 32 ifadesi 4'e veya -4'e eşit olabilir. Buradan x = 18 ve x = 14 değerleri bulunur. Bu değerlerin toplamı 32'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Piramidin yapısını ve kuralı analiz et.
Orta sıradaki daireler: |10 - x| ve |x - 22|. En alt daire: ||10 - x| - |x - 22|| = 4.
Kural gereği her alt daire, üstteki iki dairenin farkının mutlak değeridir.
2
Mutlak değerlerin özelliklerini kullanarak x'in olası aralıklarını incele.
x sayısı 10 ile 22 arasında olmalıdır. Eğer x bu aralıkta değilse, dıştaki fark sabit kalır (12 olur) ve 4'e eşit olamaz.
x < 10 için fark |(10-x) - (22-x)| = 12; x > 22 için fark |(x-10) - (x-22)| = 12. Bu durumlar 4 sonucunu vermez.
3
10 < x < 22 aralığı için denklemi çöz.
|(x - 10) - (22 - x)| = 4 => |2x - 32| = 4.
Bu aralıkta |10-x| = x-10 ve |x-22| = 22-x olarak dışarı çıkar.
4
|2x - 32| = 4 denkleminin iki durumunu çöz.
Durum 1: 2x - 32 = 4 => 2x = 36 => x = 18. Durum 2: 2x - 32 = -4 => 2x = 28 => x = 14.
Mutlak değer pozitif bir sayıya eşitse, içindeki ifade o sayıya veya ekslisine eşittir.
5
Bulunan değerleri topla.
14 + 18 = 32.
Soruda x'in alabileceği değerlerin toplamı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler ve Mantıksal Çıkarım

İpuçları

1
Orta sıradaki dairelerin değerlerini x cinsinden yazın: |10 - x| ve |x - 22|.
2
x'in 10 ile 22 arasında olması gerektiğini fark edin, aksi halde en alttaki fark 4 olamaz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla oluşturulmuş, ancak toplama kuralı içeren sayı piramidi soruları çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 33Soru →

Bir teknoloji geliştirme bölgesinde yürütülen K, L ve M kodlu üç farklı Ar-Ge projesinin toplam bütçelerinin dağılımı 1. grafikte (daire grafiği), bu projelerin her birinin bütçesi içindeki personel gideri oranları ise 2. grafikte (sütun grafiği) gösterilmiştir.

Projelerin bütçeleri sadece personel ve donanım giderlerinden oluşmaktadır.

Verilen Bilgi: L projesinin donanım gideri 600.000 TL'dir.

Buna göre, bu üç projenin personel ve donanım giderlerini (bin TL cinsinden) gösteren tablo aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap:

ProjePersonel (Bin TL)Donanım (Bin TL)
K600900
L600600
M720180

Cevap

Doğru tablo, K projesi için 600 Personel / 900 Donanım, L için 600/600 ve M için 720/180 değerlerini gösteren tablodur.
Verilen iki grafiği sentezleyerek çözüm yapılır. Önce L projesinin donanım giderinden (600.000 TL ve %50 oran) L'nin toplam bütçesi (1.200.000 TL) bulunur. Daire grafiğindeki 120 derece 1.2 milyon TL'ye denk geldiğinden, her 1 derece 10.000 TL'dir. K projesi (150°) 1.5 milyon TL, M projesi (90°) 0.9 milyon TL bütçeye sahiptir. Bu bütçelere sütun grafiğindeki personel yüzdeleri (K:%40, M:%80) uygulandığında K için 600 bin TL personel / 900 bin TL donanım; M için 720 bin TL personel / 180 bin TL donanım bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
L projesinin toplam bütçesini hesapla.
Sütun grafiğine göre L'nin personel gideri %50'dir. O halde donanım gideri de %50'dir. %50'si 600.000 TL ise, L'nin toplam bütçesi 1.200.000 TL'dir.
Parça-bütün ilişkisi kurularak referans değer (L bütçesi) bulunur.
2
Toplam bütçe katsayısını (derece başına düşen miktar) bul.
Daire grafiğinde L projesi 120° ile gösterilmiştir. 120° = 1.200.000 TL ise, 1° = 10.000 TL olur.
Daire grafiğindeki dağılım orantısal olduğu için birim değer üzerinden diğerlerine geçiş yapılır.
3
K projesinin bütçesini ve gider kalemlerini hesapla.
K = 150° → 150 × 10.000 = 1.500.000 TL toplam bütçe. Personel (%40) = 1.500.000 × 0.40 = 600.000 TL. Donanım = 900.000 TL.
Bulunan katsayı ve sütun grafiğindeki yüzdeler kullanılarak K değerleri ayrıştırılır.
4
M projesinin bütçesini ve gider kalemlerini hesapla.
M = 90° → 90 × 10.000 = 900.000 TL toplam bütçe. Personel (%80) = 900.000 × 0.80 = 720.000 TL. Donanım = 180.000 TL.
Aynı yöntem M projesi için uygulanır.
5
Sonuçları tablo ile eşleştir (Bin TL cinsinden).
K(600, 900), L(600, 600), M(720, 180). Bu değerler A seçeneğindeki tablo ile uyuşmaktadır.
Bulunan sayısal değerlerin doğru tabloda yer aldığı doğrulanır.

Anahtar Kavram

Veri Dönüşümü ve Orantı

İpuçları

1
Önce L projesine odaklanın. Sütun grafiğinde L'nin personel oranı %50 ise, donanım oranı kaçtır?
2
L'nin donanım gideri 600.000 TL ve oranı %50 olduğuna göre, L'nin *toplam* bütçesini bulabilirsiniz.
3
L'nin toplam bütçesi daire grafiğinde 120°'ye karşılık geliyor. Buradan 1°'nin kaç TL olduğunu bulup K (150°) ve M (90°) bütçelerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Toplam bütçe verilip bir kalemin farkının sorulduğu soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı sabiti kullanarak: L(120°)=4k, K(150°)=5k, M(90°)=3k diyebiliriz. L donanım = 4k * %50 = 2k = 600.000 => k = 300.000. Buradan tüm değerler k yerine konularak bulunur.
Tahmini Süre:3m 30s
Soru 34Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=xy−5x−5y+30x \triangle y = xy - 5x - 5y + 30
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, bu işleme göre tersi kendisine eşit olan tüm sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı 10'dur.
Verilen işlemde birim eleman e=6e=6 olarak bulunur. Bir sayının tersi x−1=5x−24x−5x^{-1} = \frac{5x-24}{x-5} formülüyle hesaplanır. Tersi kendisine eşit olan sayılar için x=x−1x = x^{-1} eşitliği çözüldüğünde x=4x=4 ve x=6x=6 değerleri bulunur. Bu değerlerin toplamı 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bulmak için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini çöz.
xe−5x−5e+30=x⇒x(e−5)−5(e−5)+5=xxe - 5x - 5e + 30 = x \Rightarrow x(e-5) - 5(e-5) + 5 = x (Alternatif: (x−5)(e−5)+5=x(x-5)(e-5) + 5 = x). Buradan (x−5)(e−5)=x−5(x-5)(e-5) = x-5 elde edilir. Sadeleştirilirse e−5=1⇒e=6e-5=1 \Rightarrow e=6.
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce o işlemin birim elemanının bilinmesi gerekir.
2
Bir xx sayısının tersini (x−1x^{-1}) bulmak için x△x−1=ex \triangle x^{-1} = e eşitliğini kur.
x△y=6⇒xy−5x−5y+30=6x \triangle y = 6 \Rightarrow xy - 5x - 5y + 30 = 6.
Ters eleman tanımı gereği, bir sayı tersiyle işleme girdiğinde birim elemanı vermelidir.
3
yy (yani x−1x^{-1}) değerini xx cinsinden ifade et.
y(x−5)−5x+30=6⇒y(x−5)=5x−24y(x-5) - 5x + 30 = 6 \Rightarrow y(x-5) = 5x - 24. Buradan y=5x−24x−5y = \frac{5x-24}{x-5} bulunur.
Ters fonksiyon kuralını oluşturmak için.
4
Tersi kendisine eşit olan sayıları bulmak için y=xy = x eşitliğini çöz.
x=5x−24x−5⇒x(x−5)=5x−24⇒x2−5x=5x−24⇒x2−10x+24=0x = \frac{5x-24}{x-5} \Rightarrow x(x-5) = 5x-24 \Rightarrow x^2 - 5x = 5x - 24 \Rightarrow x^2 - 10x + 24 = 0.
Soruda istenen özel koşulu sağlamak için.
5
İkinci dereceden denklemin köklerini bul ve topla.
(x−6)(x−4)=0(x-6)(x-4) = 0 denkleminin kökleri x1=6x_1 = 6 ve x2=4x_2 = 4'tür. Toplamları: 6+4=106 + 4 = 10.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemlerde Birim ve Ters Eleman

İpuçları

1
Önce işlemin 'birim elemanını' (ee) bulmalısın. Birim eleman kuralı: x△e=xx \triangle e = x.
2
Birim elemanı e=6e=6 bulduktan sonra, ters eleman (yy) kuralını x△y=6x \triangle y = 6 eşitliğinden yy'yi çekerek bulabilirsin.
3
Tersi kendisine eşit demek y=xy = x demektir. Bulduğun ters eleman formülünü xx'e eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

Daha Fazla Pratik

Aynı işlem için 'Hangi sayının tersi yoktur?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Verilen ifade (x−5)(y−5)+5(x-5)(y-5) + 5 şeklinde düzenlenebilir. Bu formda işlem çarpma işlemine benzer özellik gösterir. Çarpma işleminde birim eleman 1 olduğundan, burada (e−5)=1⇒e=6(e-5)=1 \Rightarrow e=6 olur. Tersi kendine eşit olanlar ise (x−5)2=1(x-5)^2 = 1 sağlayanlardır.
Tahmini Süre:3m 30s
Soru 35Soru →

Bir manavdaki toplam 720720 kg meyvenin türlerine göre ağırlıkça dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.

Buna göre, bu manavda bulunan muz miktarı kaç kg'dır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300300

Cevap

Manavda toplam 300 kg muz bulunmaktadır.
Muz diliminin merkez açısı 150∘150^\circ olarak bulunur. Toplam 720720 kg meyve 360∘360^\circ'ye karşılık geldiği için, her 1∘1^\circ için 22 kg meyve düşer. Buradan 150×2=300150 \times 2 = 300 kg sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Muz dilimine karşılık gelen merkez açıyı hesaplayalım.
360∘−(120∘+90∘)=150∘360^\circ - (120^\circ + 90^\circ) = 150^\circ
Daire grafiğinin tamamı 360∘360^\circ olduğu için verilmeyen dilimin açısı bu şekilde bulunur.
2
Toplam miktar ile toplam açı arasında oran kuralım.
360∘→720360^\circ \rightarrow 720 kg ise 1∘→720360=21^\circ \rightarrow \frac{720}{360} = 2 kg
Her bir dereceye karşılık gelen meyve miktarını bulmak hesaplamayı kolaylaştırır.
3
Muzun toplam ağırlığını hesaplayalım.
150∘×2=300150^\circ \times 2 = 300 kg
Muz diliminin açısı ile bir dereceye düşen miktarı çarparak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Daire grafiğinde her bir dilimin merkez açısı, temsil ettiği miktarla doğru orantılıdır.

İpuçları

1
Dairenin tamamının 360360 derece olduğunu ve tüm meyvelerin bu 360360 derece içinde paylaşıldığını hatırla.
2
Elma 120120 derece ve armut 9090 dereceyse, geriye kalan muz diliminin kaç derece olduğunu bulmalısın.
3
360360 derece 720720 kilograma denk geliyorsa, muzun açısı olan 150150 derecenin kaç kilograma denk geleceğini doğru orantı kurarak hesapla.

Daha Fazla Pratik

Meyve miktarları arasındaki farkları (örneğin elmanın muzdan ne kadar az olduğunu) hesaplayarak pratik yapabilirsin.

Alternatif Yöntem

Orantıyı şu şekilde de kurabilirsin: 150∘360∘=x720\frac{150^\circ}{360^\circ} = \frac{x}{720}. Burada 720720, 360360'ın 22 katı olduğu için xx de 150150'nin 22 katı olan 300300 olacaktır.
Tahmini Süre:45s
Soru 36Soru →

Bir toptancı halindeki meyve stoklarının türlerine göre ağırlıkça dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.

Bu meyvelerin birer kilogramlarının satış fiyatları ise şu şekildedir:
- Elma: 2020 TL
- Portakal: 2525 TL
- Muz: 4040 TL

Haldeki portakalların satışından elde edilen toplam gelir 60.00060.000 TL olduğuna göre; elma, portakal ve muzun tamamının satışından elde edilecek toplam gelir kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192.000

Cevap

Toplam gelir 192.000 TL'dir.
Portakalın toplam geliri olan 60.00060.000 TL, birim fiyatı olan 2525 TL'ye bölündüğünde portakalın 2.4002.400 kg olduğu bulunur. Grafikte portakal 120∘120^\circ ile gösterildiğinden, her 11 derecenin 2020 kg meyveye karşılık geldiği saptanır. Buna göre elma 3.0003.000 kg (150∘×20150^\circ \times 20), muz ise 1.8001.800 kg (90∘×2090^\circ \times 20) ağırlığındadır. Elmadan 60.00060.000 TL (3.000×203.000 \times 20) ve muzdan 72.00072.000 TL (1.800×401.800 \times 40) gelir elde edilir. Tüm gelirler toplandığında sonuç 192.000192.000 TL olur.

Adım Adım Çözüm

1
Portakal miktarını hesapla.
60.000/25=2.40060.000 / 25 = 2.400 kg
Toplam gelir, birim fiyat ile miktarın çarpımına eşittir. Portakalın toplam geliri ve birim fiyatı bilindiği için miktarını bulabiliriz.
2
Daire grafiği üzerindeki orantı sabitini bul.
2.400/120∘=202.400 / 120^\circ = 20 kg
Grafikte portakal 120∘120^\circ ile gösterilmiştir. Dolayısıyla her 1∘1^\circ, 2020 kg meyveye karşılık gelmektedir.
3
Elma ve muzun ağırlıklarını ve gelirlerini hesapla.
Elma: 150∘×20=3.000150^\circ \times 20 = 3.000 kg →\rightarrow 3.000×20=60.0003.000 \times 20 = 60.000 TL; Muz: 90∘×20=1.80090^\circ \times 20 = 1.800 kg →\rightarrow 1.800×40=72.0001.800 \times 40 = 72.000 TL
Her bir derecenin temsil ettiği ağırlık miktarını kullanarak diğer meyvelerin ağırlıklarını, ardından birim fiyatlarıyla çarparak gelirlerini hesaplarız.
4
Tüm meyvelerden elde edilen toplam geliri topla.
60.00060.000 (Elma) + 60.00060.000 (Portakal) + 72.00072.000 (Muz) = 192.000192.000 TL
Üç meyvenin ayrı ayrı gelirleri toplanarak toplam sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Daire grafiği ve miktar-fiyat orantısı

İpuçları

1
Önce portakalın toplam gelirini birim fiyatına bölerek kaç kg portakal olduğunu bulun.
2
Bulduğunuz portakal miktarını 120120 dereceye oranlayarak, grafikteki 11 derecenin kaç kg meyveye karşılık geldiğini belirleyin.
3
Elma ve muzun ağırlıklarını bulup fiyatlarıyla çarptıktan sonra, bu değerleri portakalın geliriyle toplayın.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 37Soru →

Aşağıdaki tabloda, bir ülkede 2021-2023 yılları arasında gerçekleşen yıllık enflasyon oranları ve memur maaşlarına yapılan yıllık zam oranları verilmiştir.

YılEnflasyon Oranı (%)Maaş Zammı (%)
20215020
20225020
202320xx

Memur maaşlarının alım gücünün 2023 yılı sonunda, 2021 yılı başına göre toplam %28 azaldığı hesaplanmıştır.

Buna göre, 2023 yılında yapılan maaş zammı oranı (xx) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

2023 yılı maaş zammı oranı %35'tir.
Alım gücünün korunması veya değişimi, maaş artış katsayısının enflasyon katsayısına bölünmesiyle bulunur. İlk iki yıl için bu oran (1,2/1,5) = 0,8'dir. İki yılın sonunda alım gücü 0,8 x 0,8 = 0,64 seviyesine inmiştir. Hedeflenen seviye %28 azalışla 0,72'dir (1 - 0,28). Üçüncü yılın katkısı K olsun; 0,64 x K = 0,72 denkleminden K = 1,125 bulunur. K = (1+Zam)/(1+Enflasyon) olduğundan, 1,125 = (1+x/100)/1,20 eşitliği çözüldüğünde 1+x/100 = 1,35 ve buradan x = 35 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Alım gücü değişim formülünü belirle.
Alım Gücü Endeksi = (1 + Zam Oranı) / (1 + Enflasyon Oranı). Her yılın endeksi çarpılarak toplam değişim bulunur.
Reel maaş (alım gücü), nominal maaş artışının fiyat artışlarına bölünmesiyle bulunur.
2
2021 ve 2022 yılları için yıllık alım gücü değişim katsayılarını hesapla.
2021 Endeksi: (1 + 0,20) / (1 + 0,50) = 1,2 / 1,5 = 0,8. 2022 Endeksi: (1 + 0,20) / (1 + 0,50) = 1,2 / 1,5 = 0,8.
Verilen yüzdeler ondalık sayıya çevrilip (Örn: %20 -> 0,20) formülde yerine konur.
3
İlk iki yılın birikimli etkisini hesapla.
Birikimli Endeks (2021-2022) = 0,8 × 0,8 = 0,64.
Artış/azalış oranları ardışık yıllar için çarpımsal olarak ilerler.
4
Toplam değişim hedefini belirle ve denklemi kur.
Hedef: %28 azalma, yani başlangıcın %72'si (1 - 0,28 = 0,72). Denklem: 0,64 × (2023 Endeksi) = 0,72.
Toplam değişim katsayısı, yıllık katsayıların çarpımına eşittir.
5
2023 yılı endeksini ve x değerini bul.
2023 Endeksi = 0,72 / 0,64 = 9/8 = 1,125. Formül: (1 + x/100) / (1 + 0,20) = 1,125 => 1 + x/100 = 1,125 × 1,2 = 1,35 => x = 35.
Bulunan endeks değerinden enflasyon etkisi arındırılarak nominal zam oranı çekilir.

Anahtar Kavram

Reel Değişim ve Bileşik Endeks Hesabı

İpuçları

1
Alım gücü hesabı yaparken 'Maaş Artış Oranı' ile 'Enflasyon Oranı'nı doğrudan birbirinden çıkarmayın. Bunun yerine değişim katsayılarını (örneğin %20 artış için 1,20) birbirine oranlayın.
2
Bir yıl için Reel Değişim Çarpanı = (1 + Zam%) / (1 + Enflasyon%) şeklindedir. Üç yılın toplam etkisi, bu üç çarpanın çarpımına eşittir.
3
İlk iki yıl için çarpanlar (1,2 / 1,5) = 0,8'dir. İki yılın sonunda eldeki katsayı 0,64 olur. Hedef katsayı ise 0,72'dir. Üçüncü yılın çarpanını bulmak için 0,72'yi 0,64'e bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'Bileşik Faiz' veya 'Nüfus Artış Hızı' problemlerini inceleyerek çarpımsal değişim mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kesir yöntemi: İlk iki yıl oranları 4/5'tir. Çarpımları 16/25 yapar. Hedef 72/100 = 18/25'tir. (16/25) * R3 = 18/25 denkleminden R3 = 18/16 = 9/8 bulunur. 9/8 = (1+x/100)/(6/5) denklemi çözülerek x bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 38Soru →

Bir çiftçinin tarlasında yetiştirdiği üç farklı ürünün (buğday, arpa, mısır) ekim alanlarına göre dağılımı yandaki daire grafiğinde gösterilmiştir. Bu ürünlerin birim alandan elde edilen verim miktarları (ton/dönüm) ise sırasıyla 5, 3 ve 5 sayıları ile doğru orantılıdır.

Buna göre, hasat sonunda elde edilen toplam ürün miktarının dağılımı yeni bir daire grafiği ile gösterilseydi, arpa ürününe ait daire diliminin merkez açısı kaç derece olurdu?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108°

Cevap

Arpa ürününe ait merkez açı 108° olacaktır.
Doğru cevap, üretim miktarının alana ve verime bağlı olduğunu dikkate alarak hesaplanan 108° değeridir. Arpa, alan olarak en büyük paya (150°) sahip olmasına rağmen, düşük verimi (3 birim) nedeniyle üretim payı düşmüştür. Toplam 1500 birimlik üretimin 450 birimi arpadır, bu da %30'luk bir dilime veya 108 dereceye tekabül eder.

Adım Adım Çözüm

1
Grafikte verilmeyen mısır ekim alanının merkez açısını bulma.
360° - (120° + 150°) = 90° (Mısır)
Daire grafiğinin tamamı 360° olduğundan eksik parçayı bulmamız gerekir.
2
Alan ve verim oranlarını kullanarak üretim miktarı için orantı katsayılarını belirleme.
Buğday Üretimi: 120 × 5k = 600k, Arpa Üretimi: 150 × 3k = 450k, Mısır Üretimi: 90 × 5k = 450k.
Toplam Üretim = Ekim Alanı × Verim formülü ile her ürünün üretim payı hesaplanır.
3
Toplam üretim miktarını hesaplama.
Toplam = 600k + 450k + 450k = 1500k
Yeni daire grafiğinin tamamını (360°) temsil edecek toplam değeri bulmak için.
4
Arpa üretimi için yeni merkez açıyı hesaplama.
(450k / 1500k) × 360° = 0,30 × 360° = 108°
Bir parçanın bütüne oranı × 360° formülü ile daire diliminin açısı bulunur.

Anahtar Kavram

Bu soru, veri grupları arasında (Alan → Üretim) ağırlıklı geçiş yapmayı ve orantı kurarak yeni bir grafik oluşturmayı test eder.

İpuçları

1
Önce daire grafiğinde verilmeyen mısırın açısını bulup, her bir dilimi 'alan' birimi olarak düşünün.
2
Toplam Üretim = Alan × Verim formülünü kullanın. Örneğin Buğday için 120 × 5 diyerek bir 'üretim puanı' hesaplayın.
3
Tüm ürünlerin üretim puanlarını toplayın (600k + 450k + 450k). Arpanın bu toplam içindeki oranını 360 ile çarpın.

Daha Fazla Pratik

Verilen bir daire grafiğinden elde edilen gelirin sütun grafiğine dönüştürüldüğü bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Oran yöntemi: Arpanın payı (150×3), Toplam pay (120×5 + 150×3 + 90×5). Oran = 450 / 1500 = 3/10. 360°'nin 3/10'u 108° eder.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 39Soru →

Bir memurun aylık maaşının harcama kalemlerine göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir.

Grafikte kira harcamasının merkez açısı 150∘150^\circ, mutfak harcamasının merkez açısı ise 105∘105^\circ olarak verilmiştir. Geriye kalan harcamalar ise fatura ve ulaşım giderlerinden oluşmaktadır. Ulaşım gideri, fatura giderinin 14\frac{1}{4}'üne eşittir.

Bu memurun kira harcaması mutfak harcamasından 900900 TL fazla olduğuna göre, ulaşım harcaması kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 420

Cevap

Ulaşım harcaması 420 TL'dir.
Kira (150∘150^\circ) ile mutfak (105∘105^\circ) arasındaki 45∘45^\circ’lik fark 900900 TL’ye karşılık gelmektedir. Buradan 1∘=201^\circ = 20 TL olduğu bulunur. Maaşın geri kalan kısmı 360∘−255∘=105∘360^\circ - 255^\circ = 105^\circ’dir. Ulaşım gideri fatura giderinin dörtte biri olduğu için toplam pay 1+4=51 + 4 = 5 birimdir. 105∘÷5=21∘105^\circ \div 5 = 21^\circ ulaşım açısıdır. 21×20=42021 \times 20 = 420 TL ulaşım harcaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kira ve mutfak harcamaları arasındaki merkez açı farkını hesaplayın.
150∘−105∘=45∘150^\circ - 105^\circ = 45^\circ
Soruda verilen TL farkının grafikte kaç derecelik bir dilime karşılık geldiğini bulmak gerekir.
2
Bulunan açı farkını TL değerine oranlayarak 1∘1^\circ'ye düşen para miktarını bulun.
900÷45=20900 \div 45 = 20 TL/derece
Grafikteki her bir derecenin kaç TL'ye eşit olduğunu belirleyerek diğer kalemleri hesaplamayı sağlar.
3
Fatura ve ulaşım için kalan toplam merkez açıyı hesaplayın.
360∘−(150∘+105∘)=105∘360^\circ - (150^\circ + 105^\circ) = 105^\circ
Dairenin tamamı 360∘360^\circ olduğu için diğer harcamalara düşen payı bulmak gerekir.
4
Ulaşım ve fatura arasındaki oranla ulaşım giderine düşen açıyı bulun.
U=F4⇒F=4UU = \frac{F}{4} \Rightarrow F = 4U. U+4U=105∘⇒5U=105∘⇒U=21∘U + 4U = 105^\circ \Rightarrow 5U = 105^\circ \Rightarrow U = 21^\circ
Verilen sözel oranı denkleme dökerek ulaşıma ait dilimin derecesi hesaplanır.
5
Ulaşım açısını birim derece tutarı ile çarpın.
21×20=42021 \times 20 = 420 TL
Ulaşım kalemine ait sayısal değere ulaşmak için orantı tamamlanır.

Anahtar Kavram

Daire grafiği dilimleri arasındaki açı farkını sayısal farklara oranlayarak bilinmeyen verileri bulma.

İpuçları

1
Önce kira ve mutfak açılarının farkını bularak bu farkın kaç TL'ye denk geldiğini belirleyin.
2
Kalan 105105 derecelik dilimi fatura ve ulaşım arasında paylaştırırken 'ulaşım 1 kat, fatura 4 kat' olacak şekilde 55 parçaya bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda daire grafiğindeki verilerin sütun grafiğine dönüştürülmesi istenebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 40Soru →

Bir arşiv görevlisi; K, L, M, N ve P harfleriyle kodlanmış beş farklı dosyayı 1’den 5’e kadar numaralandırılmış raflara yan yana dizecektir. Dosyaların dizilimi ile ilgili bilinenler şunlardır:

* K ve L dosyaları yan yana raflardadır.
* M dosyası, N dosyasının sağındaki raflardan birindedir.
* P ve K dosyaları arasında tam iki dosya bulunmaktadır.
* L dosyası en uçtaki raflardan birindedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: P ve L dosyaları arasında üç dosya vardır

Cevap

P ve L dosyaları arasında üç dosya vardır
Verilen koşullar incelendiğinde iki olası dizilim ortaya çıkar: L-K-N-M-P veya P-N-M-K-L. Her iki durumda da L ve P dosyaları rafın en uçlarında (1 ve 5) yer alır. Dolayısıyla aralarında her zaman 2, 3 ve 4 numaralı raflardaki üç dosya bulunur. Bu bilgi her iki senaryo için de ortak ve kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
L dosyasının konumunu belirle
L dosyası 'en uçta' olduğu için ya 1. ya da 5. raftadır. Bu iki durumu ayrı ayrı incelemeliyiz.
Olasılıkları daraltmak için en kısıtlayıcı koşuldan başlanır.
2
1. Durumu (L=1) incele
L=1 ise, K yan yana olduğu için K=2 olur. P ile K arasında 2 dosya varsa (2+1+2=5), P=5 olur. Kalan 3 ve 4 numaralı yerlere N ve M gelir. M sağda olduğu için N=3, M=4 olur. Dizilim: L-K-N-M-P
Verilen koşullara göre ilk senaryoyu oluşturma.
3
2. Durumu (L=5) incele
L=5 ise, K yan yana olduğu için K=4 olur. P ile K arasında 2 dosya varsa (4-1-2=1), P=1 olur. Kalan 2 ve 3 numaralı yerlere N ve M gelir. M sağda olduğu için N=2, M=3 olur. Dizilim: P-N-M-K-L
İkinci senaryoyu oluşturma.
4
Ortak özellikleri bul
Her iki durumda da P ve L dosyaları 1 ve 5 numaralı raflarda (zıt uçlarda) yer almaktadır. Bu yüzden aralarında (2, 3 ve 4. raflar olmak üzere) daima 3 dosya vardır.
Kesinlikle doğru olan ifadeyi tespit etme.

Anahtar Kavram

Mantıksal Çıkarım ve Durum Analizi

İpuçları

1
L dosyası uçlardan birinde olduğuna göre, L için iki farklı ihtimal vardır: 1. raf veya 5. raf. Her ikisini de deneyin.
2
L=1 ise K=2 olur; P ile K arasında iki dosya varsa P kaçıncı rafta olur? Aynı mantığı L=5 için de kurun.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 14Sonraki
Sayısal Mantık Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin