Examkin

Sayma ve Olasılık

293 soru

Soru 21Soru →
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!=72⋅y!x! = 72 \cdot y!
eşitliği veriliyor.

Buna göre, yy'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

y'nin alabileceği değerler 7 ve 71 olup, toplamları 78'dir.
Verilen eşitlik x!y!=72\frac{x!}{y!} = 72 olarak düşünüldüğünde, bu oran ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 72 sayısı ya tek başına 72 olarak (bu durumda y=71y=71) ya da 9⋅89 \cdot 8 olarak (bu durumda y=7y=7) ifade edilebilir. Bu iki durumun toplamı 78'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği faktöriyel tanımını kullanarak düzenle.
x!y!=72 \frac{x!}{y!} = 72 Bu ifade, xx'ten başlayarak geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 7272 olduğunu gösterir.
Faktöriyel sadeleştirmesinde büyük faktöriyel, küçük faktöriyele benzetilerek açılır.
2
Çarpımın tek bir terimden oluştuğu durumu (Trivial Durum) incele.
Eğer çarpım tek sayı ise, x=72x = 72 olur. Bu durumda eşitlik 72!=72⋅71!72! = 72 \cdot 71! şeklinde sağlanır. Buradan y=71y = 71 bulunur.
Her n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! kuralı gereği, sayı kendisi ile bir eksiğinin faktöriyelinin çarpımıdır.
3
Çarpımın ardışık iki sayının çarpımı olduğu durumu incele.
7272 sayısı ardışık iki sayının çarpımı olarak 9⋅8=729 \cdot 8 = 72 şeklinde yazılabilir. Bu durumda x=9x=9 olur. İfade 9!=9⋅8⋅7!9! = 9 \cdot 8 \cdot 7! şeklinde düzenlenirse, 9!=72⋅7!9! = 72 \cdot 7! elde edilir. Buradan y=7y = 7 bulunur.
x!/y!x! / y! ifadesi ardışık sayıların çarpımıdır.
4
Bulunan değerleri topla.
71+7=7871 + 7 = 78
Soruda yy'nin alabileceği değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! ve n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)! gibi indirgeme özelliklerinin kullanımı.

İpuçları

1
Eşitliği x!y!=72\frac{x!}{y!} = 72 şeklinde yazarak düşünün.
2
Faktöriyel sadeleştirmesinde sonucun (7272'nin) ardışık sayıların çarpımı olması gerekir.
3
72 sayısı kendisi (7272) olarak veya iki ardışık sayının çarpımı (9⋅89 \cdot 8) olarak düşünülebilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! eşitliğinde yy'nin alabileceği değerleri bulunuz (210=210210 = 210, 15⋅1415 \cdot 14, 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 durumları).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 22Soru →

Bir şirketin hizmet içi eğitim programı kapsamında personele 3 gün Liderlik, 2 gün İletişim ve 2 gün Proje Yönetimi olmak üzere toplam 7 günlük eğitim verilecektir. Eğitim programı ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* İletişim eğitimleri art arda günlerde verilecektir.
* Proje Yönetimi eğitimleri art arda günlerde verilmeyecektir.

Buna göre, bu 7 günlük eğitim programı kaç farklı sıralama ile hazırlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Eğitim programı 40 farklı şekilde hazırlanabilir.
Doğru cevap, İletişim eğitimlerinin (İİ) tek bir nesne gibi düşünüldüğü tüm durumlardan (60), hem İletişim hem de Proje (PP) eğitimlerinin bitişik olduğu durumların (20) çıkarılmasıyla 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri ve kısıtlamaları belirle.
3 adet Liderlik (L), 2 adet İletişim (İ), 2 adet Proje (P) eğitimi var. 'İ'ler bir arada olacak, 'P'ler bir arada olmayacak.
Permütasyon hesabını doğru kurgulamak için gruplandırma ve ayırma stratejilerini belirlemek gerekir.
2
İletişim eğitimlerini (İ) tek bir blok kabul et.
Nesneler: {L, L, L, (İİ), P, P}. Burada (İİ) tek bir nesne (X) gibi davranır.
'Art arda' koşulu olan nesneler bağlanarak tek bir birim haline getirilir.
3
Proje (P) eğitimlerinin yan yana OLMADIĞI durumları bulmak için 'Tüm Durum - İstenmeyen Durum' yöntemini kullan.
Tüm Durum (P kısıtı olmadan): {L, L, L, X, P, P} sıralaması.
Nesne sayısı: 6 (3 tane L, 1 tane X, 2 tane P).
Tekrarlı Permütasyon: 6! / (3! · 1! · 2!) = 720 / (6 · 2) = 60.
Önce İletişim eğitimlerinin yan yana olduğu tüm olası sıralamaları hesaplarız.
4
İstenmeyen durumu (P'lerin de yan yana olduğu durum) hesapla.
P'leri de blokla (Y). Nesneler: {L, L, L, X, Y}. Toplam 5 nesne.
Tekrarlı Permütasyon: 5! / 3! = 120 / 6 = 20.
Hem İ hem P bloklarının yan yana olduğu durumları çıkararak P'lerin ayrı olduğu durumları bulacağız.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkar.
60 - 20 = 40.
İ'lerin yan yana olduğu tüm durumlardan, P'lerin de yan yana olduğu durumları çıkarınca geriye İ'lerin yan yana, P'lerin ayrı olduğu durumlar kalır.

Anahtar Kavram

Bu soru, tekrarlı permütasyon konusunda 'bloklama' (yan yana olma) ve 'ayırma/çıkarma' (yan yana olmama) yöntemlerinin birlikte kullanılmasını ölçmektedir.

İpuçları

1
İletişim eğitimleri art arda olacağı için bu 2 günü tek bir paket (X) gibi düşünün. Elinizde 3 Liderlik (L), 1 İletişim Paketi (X) ve 2 Proje (P) var.
2
Proje eğitimlerinin art arda OLMAMASI istendiği için, önce bu kısıt yokmuş gibi tüm durumları hesaplayın. Sonra Proje eğitimlerinin de yan yana olduğu istenmeyen durumları bulup çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, '3 özdeş mavi, 3 özdeş kırmızı boncuk dizilirken kırmızıların hiçbiri yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı dizilim yapılır?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Ayraç Yöntemi: İletişim (X) ve Liderlik (L) günlerini dizin: {L, L, L, X}. Bu 4 nesnenin dizilimi 4!/3! = 4 farklı şekilde olur (Örn: LXL L). Oluşan 5 boşluğa ( _ L _ X _ L _ L _ ) 2 tane Proje (P) eğitimini yerleştirin. C(5,2) = 10. Sonuç: 4 x 10 = 40.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →

Matematikte n!n! ifadesi, 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını ifade eder. Bu tanıma göre 0!=10! = 1 olarak kabul edilmektedir.

Buna göre,
4!+3!0!+2!\frac{4! + 3!}{0! + 2!}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlemin sonucu 10'dur.
Doğru cevap, 4!4! (24) ve 3!3! (6) değerlerinin toplamı olan 30'un, 0!0! (1) ve 2!2! (2) değerlerinin toplamı olan 3'e bölünmesiyle elde edilen 10 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyel değerlerini hesapla.
4!=1×2×3×4=244! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 ve 3!=1×2×3=63! = 1 \times 2 \times 3 = 6
Faktöriyel tanımı gereği sayıların 1'den kendisine kadar olan çarpımı alınır.
2
Payda kısmındaki faktöriyel değerlerini hesapla.
0!=10! = 1 ve 2!=1×2=22! = 1 \times 2 = 2
0!0! tanım gereği 1'dir ve 2!2! için çarpma kuralı uygulanır.
3
Toplama işlemlerini gerçekleştir.
Pay: 24+6=3024 + 6 = 30, Payda: 1+2=31 + 2 = 3
Kesir çizgisinin üst ve altındaki işlemler bölmeden önce sonuçlandırılmalıdır.
4
Son bölme işlemini yap.
30/3=1030 / 3 = 10
Elde edilen pay değeri payda değerine bölünür.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tanımı ve temel işlemleri

İpuçları

1
Faktöriyel değerlerini tek tek hesaplayarak başlayın: 4!, 3!, 2! ve 0!.
2
0!0! değerinin her zaman 1 olduğunu hatırlayın.
3
4!=244! = 24 ve 3!=63! = 6 değerlerini topladıktan sonra, paydadaki 1+2=31+2=3 değerine bölün.

Daha Fazla Pratik

0! ile başlayan faktöriyel toplamlarının birler basamağı ile ilgili sorulara göz atabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 24Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan 5 idareci ve 6 uzman personel arasından, yaklaşan bir proje için 4 kişilik bir çalışma ekibi oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu ekipte en az 2 idarecinin bulunması zorunlu olduğuna göre, kaç farklı seçim yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 215

Cevap

Şartları sağlayan 3 farklı durumun toplamı olan 215 farklı seçim yapılabilir.
Soruda 'en az 2 idareci' şartı olduğu için durumları parçalayarak incelememiz gerekir. Toplam kişi sayısı 5 idareci ve 6 uzmandır.

1. Durum (2 İdareci, 2 Uzman): (52)⋅(62)=10⋅15=150\binom{5}{2} \cdot \binom{6}{2} = 10 \cdot 15 = 150
2. Durum (3 İdareci, 1 Uzman): (53)⋅(61)=10⋅6=60\binom{5}{3} \cdot \binom{6}{1} = 10 \cdot 6 = 60
3. Durum (4 İdareci): (54)⋅(60)=5⋅1=5\binom{5}{4} \cdot \binom{6}{0} = 5 \cdot 1 = 5

Toplam farklı seçim sayısı: 150+60+5=215150 + 60 + 5 = 215 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi olası durumlara ayırarak analiz et.
Ekipte en az 2 idareci olması gerektiği için üç farklı durum söz konusudur:
1. Durum: 2 İdareci ve 2 Uzman
2. Durum: 3 İdareci ve 1 Uzman
3. Durum: 4 İdareci ve 0 Uzman
Kombinasyon problemlerinde 'en az' ifadesi kullanıldığında, şartı sağlayan tüm ayrık durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.
2
Birinci durumu (2 İdareci, 2 Uzman) hesapla.
C(5,2)×C(6,2)=10×15=150C(5,2) \times C(6,2) = 10 \times 15 = 150
5 idareciden 2'sini ve 6 uzmandan 2'sini seçiyoruz. Gruplar birbirinden bağımsız olduğu için çarpma kuralı uygulanır.
3
İkinci durumu (3 İdareci, 1 Uzman) hesapla.
C(5,3)×C(6,1)=10×6=60C(5,3) \times C(6,1) = 10 \times 6 = 60
5 idareciden 3'ünü ve 6 uzmandan 1'ini seçiyoruz.
4
Üçüncü durumu (4 İdareci, 0 Uzman) hesapla.
C(5,4)×C(6,0)=5×1=5C(5,4) \times C(6,0) = 5 \times 1 = 5
Ekibin tamamı idarecilerden oluşabilir.
5
Tüm durumları topla.
150+60+5=215150 + 60 + 5 = 215
Ayrık durumların toplamı, istenen sonucun tamamını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Gruplama (Seçme)
Soru 25Soru →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt işlemleri için A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak dosya numaraları oluşturulacaktır. Dosya numaralarının rakamları birbirinden farklı, 4 basamaklı ve çift sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı dosya numarası oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

İki durumun toplamı olarak 156 farklı dosya numarası oluşturulabilir.
Doğru cevap, 0'ın yarattığı kısıtlamayı yönetmek için problemin iki parçaya bölünmesiyle bulunur. Birinci durumda son basamak 0 olarak sabitlenir (5×4×3×1=605 \times 4 \times 3 \times 1 = 60). İkinci durumda son basamak 2 veya 4 olarak seçilir, bu durumda başa 0 gelemez kısıtı devreye girer (4×4×3×2=964 \times 4 \times 3 \times 2 = 96). Bu iki ayrık durumun toplamı 156'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi analiz et
Küme: {0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}. Koşullar: 4 basamaklı, rakamları farklı, çift sayı. Çift olması için son basamak {0,2,4}\{0, 2, 4\} olmalıdır. 0 hem çift sayı şartını sağlar hem de başa gelemez; bu nedenle 0'ın sonda olduğu ve olmadığı durumlar ayrı incelenmelidir.
Permütasyon sorularında, kısıtlama içeren eleman (burada 0) birden fazla basamağı etkiliyorsa (hem birler hem binler), durumlar ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
2
1. Durum: Son basamağın 0 olduğu sayıları hesapla
Birler basamağı: 0 (1 seçenek). Binler basamağı: Kalan 5 rakamdan hepsi olabilir (5 seçenek). Yüzler: Kalan 4 rakam (4 seçenek). Onlar: Kalan 3 rakam (3 seçenek). İşlem: 5×4×3×1=605 \times 4 \times 3 \times 1 = 60.
Son basamak 0 olduğunda, 0 zaten kullanıldığı için binler basamağına 0 gelme riski ortadan kalkar.
3
2. Durum: Son basamağın 0 olmadığı (2 veya 4 olduğu) sayıları hesapla
Birler basamağı: {2,4}\{2, 4\} (2 seçenek). Binler basamağı: 0 gelemez ve sondaki rakam kullanılamaz, kalan 4 rakam (4 seçenek). Yüzler: Kalan 4 rakam (0 dahil, 4 seçenek). Onlar: Kalan 3 rakam (3 seçenek). İşlem: 4×4×3×2=964 \times 4 \times 3 \times 2 = 96.
Son basamak 0 değilse, binler basamağı için 0 hariç tutulmalıdır.
4
Toplam durumu bul
60+96=15660 + 96 = 156.
Ayrık iki durumun sonuçları toplanır.

Anahtar Kavram

Permütasyon ve Kısıtlı Sıralama (0'ın Durumu)

İpuçları

1
0 rakamı hem çift sayı olma şartını etkiler hem de binler basamağına (en başa) gelemez.
2
Son basamağın 0 olduğu durum ile son basamağın 0 olmadığı (2 veya 4 olduğu) durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.
3
Sonu 0 olanlar: 5×4×3×15 \times 4 \times 3 \times 1. Sonu {2,4} olanlar: 4×4×3×24 \times 4 \times 3 \times 2 (Başa 0 gelemez).

Daha Fazla Pratik

Benzer küme ile rakamları farklı, 5 ile bölünebilen kaç sayı yazılabileceğini hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Tüm 4 basamaklı rakamları farklı sayıları bulun (5×5×4×3=3005 \times 5 \times 4 \times 3 = 300). Tek sayıları (sonu 1, 3, 5 olanlar) hesaplayıp çıkarın. Tek sayılar için 0 sorunu yoktur: Son (3) ×\times Baş (4) ×\times Orta (4) ×\times Orta (3) = 3×4×4×3=1443 \times 4 \times 4 \times 3 = 144. Sonuç: 300−144=156300 - 144 = 156.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olaylarının olasılıkları, bir mm gerçel sayısı cinsinden aşağıdaki gibi modellenmiştir:

P(A)=3mP(A) = 3m
P(B)=2mP(B) = 2m
P(A∩B)=m2P(A \cap B) = m^2

Bu eşitliklerin Kolmogorov olasılık aksiyomlarına uygun bir olasılık fonksiyonu tanımlayabilmesi için, mm sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [0,5−212][0, \frac{5-\sqrt{21}}{2}]

Cevap

[0,5−212][0, \frac{5-\sqrt{21}}{2}]
Doğru aralık, olasılık fonksiyonunun tanım kümesi (0<=P<=1), alt küme özellikleri (P(kesişim)<=P(tekil)) ve birleşim özelliği (P(birleşim)<=1) kısıtlamalarının tümünün ortak çözüm kümesidir. Bu kısıtlamalar m^2 - 5m + 1 >= 0 eşitsizliğine ve 0 <= m <= 2 aralığına götürür, bunların kesişimi de verilen köklü ifadeyi içeren aralıktır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun temel sınırlarını belirle.
Her olasılık değeri [0, 1] aralığında olmalıdır. P(A)=3m >= 0 olduğundan m >= 0 şartı bulunur.
Olasılık negatif olamaz.
2
Alt küme ilişkisinden gelen kısıtlamaları incele.
P(A ∩ B) <= P(B) olmalıdır. m^2 <= 2m => m(m-2) <= 0 => 0 <= m <= 2. (P(A ∩ B) <= P(A) şartı m^2 <= 3m ise 0 <= m <= 3 verir, daha geniş olduğu için dar olan [0, 2] aralığını baz alırız).
Kesişim kümesinin olasılığı, bileşen kümelerin olasılığından büyük olamaz.
3
Birleşim kümesi olasılığının üst sınırını (P(A U B) <= 1) kontrol et.
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülünden: 3m + 2m - m^2 <= 1 => 5m - m^2 <= 1 => m^2 - 5m + 1 >= 0.
Herhangi bir olayın olasılığı 1'i aşamaz.
4
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bul.
m^2 - 5m + 1 = 0 denkleminin kökleri (delta = 25-4=21): m = (5 ± √21) / 2. Eşitsizlik >= 0 olduğu için çözüm, köklerin dışıdır: m <= (5-√21)/2 veya m >= (5+√21)/2.
Kritik noktaları belirlemek için diskriminant yöntemi kullanılır.
5
Tüm kısıtlamaların kesişim kümesini al.
Adım 2'den gelen [0, 2] aralığı ile Adım 4'ten gelen m <= (5-√21)/2 şartı kesiştirilir. Büyük kök (yaklaşık 4.79) 2'den büyük olduğu için elenir. Sonuç: [0, (5-√21)/2].
m değeri tüm olasılık aksiyomlarını aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Aksiyomları ve Eşitsizlik Sistemleri

İpuçları

1
Bir olasılık fonksiyonunda herhangi bir olayın olasılığı 1'i aşamaz. Ayrıca P(A U B) değerini m cinsinden hesaplayıp bunun da 1'den küçük veya eşit olması gerektiğini unutmayın.
2
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülünü kullanarak m'ye bağlı ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edin.

Daha Fazla Pratik

P(A) ve P(B) olasılıklarının verildiği ancak kesişimin aralık olarak sorulduğu Bonferroni eşitsizliği sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Grafik Çözümü: y = 5x - x^2 parabolü ile y=1 doğrusunun kesişim noktalarını inceleyerek, parabolün 1'in altında kaldığı ilk aralığı belirleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 27Soru →

(2x+y)n(2x + y)^n ifadesinin katsayılar toplamı 243243 tür. Buna göre, bu ifadenin açılımında yer alan x3y2x^3 y^2 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80
Öncelikle katsayılar toplamından n değeri bulunur: (2+1)^n = 3^n = 243 ise n=5'tir. İstenen terim x^3 y^2 olduğuna göre, (a+b)^n açılımında baştan (r+1). terim formülü C(n,r) a^(n-r) b^r kullanılır. Burada a=2x, b=y ve n=5'tir. y^2 olması için r=2 seçilir. Katsayı C(5,2) · (2)^3 = 10 · 8 = 80 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı formülünü kullanarak n değerini bulma
x=1 ve y=1 için (2(1) + 1)^n = 3^n = 243 olduğundan n = 5 bulunur.
Bir binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenler yerine 1 yazılarak bulunur.
2
Genel terim formülünü yazma
C(5, r) · (2x)^(5-r) · (y)^r
(a+b)^n açılımının genel terimi C(n,r)·a^(n-r)·b^r dir.
3
İstenen terim için r değerini belirleme
x^3·y^2 olması için y'nin üssü r=2 olmalıdır. (x'in üssü 5-2=3 olur, sağlar).
Terimdeki değişkenlerin kuvvetleri, genel formüldeki kuvvetlerle eşleştirilir.
4
Katsayıyı hesaplama
C(5, 2) · (2)^3 · (1)^2 = 10 · 8 · 1 = 80
Katsayı; kombinasyon değeri ve terimlerin katsayılarının kuvvetleri çarpılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü C(n,r)·a^(n-r)·b^r kullanılarak istenen terimin katsayısı bulunur. Ayrıca katsayılar toplamı için değişkenlere 1 verilir.
Soru 28Soru →
(x−2y)6(x - 2y)^6 ifadesinin binom açılımında baştan dördüncü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -160

Cevap

İfadenin açılımındaki baştan dördüncü terimin katsayısı -160'tır.
Baştan dördüncü terim için r=3r=3 değeri genel terim formülünde yerine koyulduğunda, (63)\binom{6}{3} kombinasyonu ile ikinci terimin küpü olan −8-8 çarpılarak −160-160 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
rr değerini belirle
r=3r = 3
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim istendiğinde, formüldeki rr değeri istenen terim sayısının bir eksiğidir (4−1=34 - 1 = 3).
2
Genel terim formülünü uygula
(63)⋅x6−3⋅(−2y)3\binom{6}{3} \cdot x^{6-3} \cdot (-2y)^3
(a+b)n(a+b)^n açılımında genel terim (nr)⋅an−r⋅br\binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r formülü ile bulunur.
3
Kombinasyon ve üslü ifadeyi hesapla
20⋅x3⋅(−8y3)20 \cdot x^3 \cdot (-8y^3)
(63)=6⋅5⋅43⋅2⋅1=20\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 ve (−2)3=−8(-2)^3 = -8 olduğu için.
4
Terimi ve katsayıyı bul
−160x3y3-160x^3y^3
20⋅(−8)20 \cdot (-8) çarpımı terimin katsayısını verir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında belirli bir terimi bulmak için genel terim formülü olan (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r kullanılır. Baştan k. terim için r=k−1r = k-1 alınmalıdır.

İpuçları

1
Baştan 4. terimi bulmak için genel terim formülünde rr yerine kaç yazmanız gerektiğini düşünün.
2
Genel terim formülü şöyledir: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r. Burada n=6n=6, a=xa=x ve b=−2yb=-2y olarak alınmalıdır.
3
Hesaplamada (63)\binom{6}{3} değerini bulun ve bunu (−2)3(-2)^3 ile çarpmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin kuvvetleri farklı olan (örneğin x2x^2 içeren) ifadelerde sabit terim bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgeninin 6. satırındaki katsayıları (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) kullanarak baştan 4. katsayının 20 olduğunu görebilirsiniz. Ardından bu değeri terimin içindeki katsayı çarpanlarıyla çarparak sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 29Soru →

Bir kırtasiyede satılan kalemlerden 3 tanesi kırmızı, 2 tanesi mavi ve 2 tanesi siyahtır. Aynı renkteki kalemler özdeştir.

Bu kalemlerin tamamı yan yana dizilecektir. Mavi kalemlerin yan yana olması, siyah kalemlerin ise yan yana gelmemesi koşuluyla kaç farklı dizilim yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Kalemler belirtilen şartlara göre 40 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda verilen iki koşulu adım adım uygulamak gerekir. Önce 'Mavi kalemler yan yana' dediği için Mavi kalemleri (MM) tek bir paket (X) yaparız. 'Siyah kalemler yan yana gelmesin' dediği için Siyah kalemleri kenara ayırıp önce kalanları (X, K, K, K) dizeriz. Bu 4 nesne (biri X, üçü K) tekrarlı permütasyonla 4!/3!=44!/3! = 4 farklı şekilde dizilir. Bu nesnelerin oluşturduğu 5 boşluğa (sağ, sol ve aralar) 2 özdeş Siyah kalemi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde yerleştirebiliriz. Çarpım kuralı gereği 4×10=404 \times 10 = 40 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Nesneleri ve grupları tanımla.
3 Kırmızı (K, K, K), 2 Mavi (M, M), 2 Siyah (S, S). Toplam 7 kalem.
Sorudaki özdeş nesneleri ve sayılarını belirlemek çözümün temelidir.
2
'Yan yana olması' istenen Mavi kalemleri tek bir paket haline getir.
Mavi paketi (MM) = X olarak kabul edelim. Artık elimizde dizilecek nesneler: X, K, K, K ve (daha sonra yerleştireceğimiz) S, S.
Birlikte olması istenen nesneler bağlanarak tek bir nesne gibi işlem görür.
3
Yan yana gelmemesi gereken Siyah kalemler hariç diğer nesneleri (X ve K'leri) sırala.
Nesneler: X, K, K, K (Toplam 4 nesne, 3'ü özdeş K).
Permütasyon: 4!3!1!=4\frac{4!}{3!1!} = 4 farklı dizilim.
Tekrarlı permütasyon formülü kullanılarak iskelet dizilimi oluşturulur.
4
Oluşan boşluklara Siyah kalemleri yerleştir (Ayraç Yöntemi).
4 nesne (X, K, K, K) yan yana dizildiğinde baş, son ve aralar olmak üzere toplam 5 boşluk oluşur (_ N _ N _ N _ N _).
Bu 5 boşluktan 2 tanesini seçip Siyah kalemleri yerleştireceğiz:
(52)=5×42=10\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10
Yan yana gelmemesi istenen nesneler, diğer nesnelerin oluşturduğu boşluklara yerleştirilir.
5
Sonuçları çarpma kuralı ile birleştir.
4×10=404 \times 10 = 40
Birinci aşamadaki dizilim sayısı ile ikinci aşamadaki yerleştirme sayısı çarpılır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı nesnelerin diziliminde 'yan yana olma' durumu için paketleme (bloklama), 'yan yana olmama' durumu için ise boşluk (ayraç) yöntemi veya tüm durumdan çıkarma yöntemi kullanılır.

İpuçları

1
Önce yan yana olması istenen Mavi kalemleri birbirine bağlayarak tek bir nesne gibi düşünün.
2
Mavi paket ve Kırmızı kalemleri dizdikten sonra oluşan boşlukları sayın. Siyah kalemleri bu boşluklara yerleştirmelisiniz.
3
Mavi paket (X) ve 3 Kırmızı kalem (K,K,K) toplam 4 nesne olarak dizilir. Bu dizilim 5 boşluk yaratır. 2 Siyah kalemi bu 5 boşluktan ikisine yerleştirin.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumdan Çıkarma Yöntemi: Mavi kalemlerin yan yana olduğu tüm durumlardan (Siyahların kısıtlanmadığı), hem Mavilerin hem de Siyahların yan yana olduğu durumları çıkarabilirsiniz.
1. Maviler birleşik, Siyahlar serbest: (MM), S, S, K, K, K →6!/(1!2!3!)=60\rightarrow 6! / (1! 2! 3!) = 60.
2. Maviler birleşik VE Siyahlar birleşik: (MM), (SS), K, K, K →5!/(1!1!3!)=20\rightarrow 5! / (1! 1! 3!) = 20.
3. Sonuç: 60−20=4060 - 20 = 40.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →

Bir belediye, 'Sıfır Atık' projesi kapsamında düzenleyeceği bir farkındalık seminerinde sunum yapması için belirlenen birbirinden farklı 66 çevre uzmanı arasından 22 kişiyi konuşmacı olarak seçecektir.

Buna göre, bu 22 kişilik konuşmacı grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

6 uzman arasından 2 kişinin seçimi 15 farklı şekilde yapılabilir.
Verilen problemde 6 farklı uzman arasından 2 kişinin seçilmesi istenmektedir. Kişilerin hangi sırayla seçildiği grubun yapısını değiştirmediği için bu bir kombinasyon problemidir. C(6,2)=6×52×1=15C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 işlemi doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nesne sayısını (nn) ve seçilecek nesne sayısını (rr) belirleyin.
n=6n = 6 (uzmanlar) ve r=2r = 2 (seçilecek kişiler).
Kombinasyon formülünde kullanılacak temel değişkenleri belirlemek gerekir.
2
Kombinasyon formülünü (C(n,r)=n!r!⋅(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}) uygulayın.
C(6,2)=6⋅52⋅1C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}
Nesnelerin seçim sırası önemli olmadığında (grup oluşturma) kombinasyon kullanılır.
3
İşlemi sonuçlandırın.
302=15\frac{30}{2} = 15
6 ve 5'in çarpımı olan 30'u, 2'ye bölerek sonucu elde ederiz.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme): Bir küme içerisinden sırasına bakılmaksızın belirli sayıda eleman seçme işlemidir. Temel özellikleri arasında C(n,n)=1C(n, n) = 1 (hepsini seçme) ve C(n,0)=1C(n, 0) = 1 (hiç seçmeme) yer alır.

İpuçları

1
Soruda 'seçme' ve 'grup oluşturma' ifadeleri geçtiği için kombinasyon yöntemini kullanmalısınız.
2
6 elemanlı bir kümeden 2 eleman seçmek için C(6,2)C(6, 2) formülünü hatırlayın.
3
C(6,2)=6⋅52⋅1C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} işlemini yaparak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Seçilen kişi sayısının 2 değil de 6 olduğu durumu (C(6,6)C(6, 6)) düşünerek temel özellikleri pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik yol olarak nn sayısını rr defa geriye doğru açıp (6⋅56 \cdot 5), bunu r!r! (2⋅12 \cdot 1) değerine bölebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 31Soru →
(3x−1)n(3x - 1)^n ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı 128128 olduğuna göre, bu açılımdaki x2x^2 li terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −189-189

Cevap

İfadenin katsayılar toplamından n=7n=7 bulunur ve genel terim formülüyle x2x^2 li terimin katsayısı −189-189 olarak hesaplanır.
Katsayılar toplamı kuralından hareketle açılımın kuvveti n=7n=7 olarak belirlenir. Ardından x2x^2 li terimi bulmak için binom açılım formülünde birinci terimin kuvvetinin 22 olması gerektiği görülür (7−5=27-5=2). Bu da r=5r=5 değerine karşılık gelir. Yapılan hesaplamalar sonucunda −189-189 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını kullanarak nn değerini bulun.
x=1x=1 için (3⋅1−1)n=128⇒2n=27⇒n=7(3 \cdot 1 - 1)^n = 128 \Rightarrow 2^n = 2^7 \Rightarrow n=7
Bir polinomda veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak elde edilir.
2
Genel terim formülünü yazın ve x2x^2 li terimi veren rr değerini belirleyin.
Tr+1=(7r)(3x)7−r(−1)rT_{r+1} = \binom{7}{r} (3x)^{7-r} (-1)^r. x7−r=x2x^{7-r} = x^2 için 7−r=2⇒r=57-r=2 \Rightarrow r=5
x2x^2 terimini elde etmek için birinci terimin kuvvetinin 2 olması gerekir.
3
Belirlenen nn ve rr değerlerini yerini koyarak katsayıyı hesaplayın.
Katsayı =(75)⋅32⋅(−1)5=21⋅9⋅(−1)=−189= \binom{7}{5} \cdot 3^2 \cdot (-1)^5 = 21 \cdot 9 \cdot (-1) = -189
Kombinasyon, üslü sayı ve işaret kuralları uygulanarak sonuç belirlenir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı ve belirli bir terimin katsayısını bulma.

İpuçları

1
Katsayılar toplamını bulmak için açılımdaki xx yerine 11 yazın.
2
2n=1282^n = 128 ise nn kaçtır? Bulduğunuz nn değerini binomun genel terim formülünde kullanın.
3
(ax+b)n(ax+b)^n açılımında xkx^k lı terim için (nr)(ax)n−rbr\binom{n}{r} (ax)^{n-r} b^r formülünde n−r=kn-r=k eşitliğini kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (2x−3)5(2x - 3)^5 açılımındaki sabit terimi bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 32Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan 4 mühendis ve 5 mimar arasından rastgele 3 kişilik bir proje ekibi seçilecektir. Seçilen ekipte en az bir mühendis bulunduğu bilindiğine göre, bu ekipte tam olarak iki mimar bulunma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2037\frac{20}{37}

Cevap

Seçilen ekipte en az bir mühendis olduğu bilindiğinde, tam olarak iki mimar bulunma olasılığı \frac{20}{37}'dir.
Doğru cevap, koşullu olasılık tanımı gereği örnek uzayın daraltılmasıyla bulunur. Toplam durum sayısı 84'tür. Koşul 'en az bir mühendis' olduğundan, sadece mimarlardan oluşan 10 durum (C(5,3)) çıkarılır ve yeni örnek uzay 74 olur. İstenen durum (2 mimar, 1 mühendis) 40 farklı şekilde gerçekleşir. Oran 40/74 = 20/37'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası 3 kişilik ekiplerin sayısını hesapla (Koşulsuz Örnek Uzay).
C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84
Toplam 9 kişi (4 mühendis + 5 mimar) arasından sıra gözetmeksizin 3 kişi seçilmektedir.
2
Koşulu sağlayan yeni örnek uzayı hesapla (E: En az bir mühendis).
s(E) = Tüm Durumlar - Hiç Mühendis Olmayanlar (Hepsi Mimar) = 84 - C(5, 3) = 84 - 10 = 74
'En az bir' koşulu verildiğinde, tüm durumlardan istenmeyen durumun (hiç mühendis yok) çıkarılması en pratik yoldur.
3
İstenen olayın eleman sayısını hesapla (A: Tam olarak iki mimar, E koşulu altında).
s(A \cap E) = C(5, 2) \times C(4, 1) = 10 \times 4 = 40
3 kişilik ekipte tam 2 mimar olması, zorunlu olarak 1 mühendis olmasını gerektirir. Bu durum 'en az bir mühendis' koşulunu zaten sağlar.
4
Koşullu olasılığı hesapla.
P(A|E) = \frac{s(A \cap E)}{s(E)} = \frac{40}{74} = \frac{20}{37}
Koşullu olasılık formülü: İstenen durum sayısı / Koşulu sağlayan tüm durum sayısı.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık problemlerinde örnek uzay, verilen koşula göre daraltılmalıdır (P(A∣B)=s(A∩B)s(B)P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}). 'En az bir' ifadesi içeren durumlarda tümleyen (complement) yöntemi kullanmak işlem kolaylığı sağlar.

İpuçları

1
'...bilindiğine göre' ifadesi, bu sorunun bir koşullu olasılık sorusu olduğunu gösterir. Paydaya tüm durumları (84) değil, sadece koşulu sağlayan durum sayısını yazmalısınız.
2
'En az bir mühendis bulunma' koşulunun eleman sayısını bulmak için, tüm durumlardan 'hiç mühendis bulunmayan' (yani tamamı mimar olan) durumları çıkarın.
3
Örnek Uzay (Payda) = C(9,3) - C(5,3). İstenen Durum (Pay) = 2 Mimar ve 1 Mühendis seçimi = C(5,2) × C(4,1).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'Seçilen bir sayının çift olduğu bilindiğine göre, 5'e bölünebilme olasılığı kaçtır?' gibi sayısal mantık soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak örnek uzayı doğrudan toplayarak da bulabilirsiniz: (1 Müh, 2 Mim) + (2 Müh, 1 Mim) + (3 Müh, 0 Mim) = (4×10) + (6×5) + (4×1) = 40 + 30 + 4 = 74.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →

Bir kamu kurumu tarafından düzenlenen "Kişisel Gelişim ve Planlama" eğitim programında personelin tercih edebileceği seçenekler aşağıda belirtilmiştir:

* Birinci Bölüm: 33 farklı "Zaman Yönetimi" veya 22 farklı "Etkili İletişim" seminerinden yalnızca birine katılım sağlanacaktır.
* İkinci Bölüm: 44 farklı "Liderlik Becerileri" eğitiminden birine katılım sağlanacaktır.
* Sertifika: Eğitimi tamamlayan personele 22 farklı tasarıma sahip "Başarı Sertifikası"ndan biri takdim edilecektir.

Buna göre, bu eğitim programına katılan bir personel; katılacağı seminerleri ve alacağı sertifikayı kaç farklı şekilde seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4040

Cevap

Eğitim programına katılan bir personel toplam 4040 farklı seçim yapabilir.
Personelin birinci bölüm için 3+2=53 + 2 = 5 farklı seçeneği vardır. İkinci bölüm için 44 farklı seçeneği ve sertifika için 22 farklı seçeneği bulunmaktadır. Bu seçimler birbirine bağlı aşamalar olduğu için çarpma kuralı gereği 5×4×2=405 \times 4 \times 2 = 40 farklı şekilde gerçekleştirilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölümdeki toplam seçenek sayısını hesaplayınız.
3+2=53 + 2 = 5
"Veya" bağlacı kullanıldığı için ayrık olaylar söz konusudur ve toplama kuralı uygulanır.
2
Tüm aşamaları birleştirerek toplam seçim sayısını hesaplayınız.
5×4×2=405 \times 4 \times 2 = 40
Birinci bölüm, ikinci bölüm ve sertifika seçimi birbirini takip eden bağımsız işlemler olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel Kuralları (Toplama ve Çarpma)

İpuçları

1
Birinci bölümdeki "veya" bağlacına dikkat edin; bu durumda toplama yapmanız gerekir.
2
Her bir bölümden bir seçim yapıldığı ve bu seçimler bir süreci tamamladığı için bölümler arası sonuçları çarpmalısınız.
3
Aşamaları tek tek belirleyin: Birinci bölüm (55), İkinci bölüm (44), Sertifika (22). Şimdi bu sayıları çarparak sonucu bulun.

Daha Fazla Pratik

Seçeneklere 'veya' yerine 've' bağlacı eklendiğinde durumun nasıl değişeceğini düşünerek benzer bir soru çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 34Soru →

0,0,1,1,2,30, 0, 1, 1, 2, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek birbirinden farklı, 6 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120
Verilen rakam kümesi {0,0,1,1,2,3}\{0, 0, 1, 1, 2, 3\} şeklindedir. Toplam 6 eleman vardır, bunlardan 0 ve 1 rakamları ikişer kez tekrar etmektedir. Tüm durumların sayısı tekrarlı permütasyon formülü ile 6!2!⋅2!=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = 180 olarak bulunur. Ancak sayının 6 basamaklı olması için başa 0 gelemez. Başa gelebilecek adaylar {1,1,2,3}\{1, 1, 2, 3\} olmak üzere 4 tanedir. Toplam 6 rakamdan 4'ü uygun olduğundan, tüm durumların 46\frac{4}{6}'sı geçerlidir. Sonuç 180⋅23=120180 \cdot \frac{2}{3} = 120 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rakamların toplam sayısını ve tekrar eden rakamları belirle.
Toplam rakam (n) = 6. Tekrar edenler: 0 (2 adet), 1 (2 adet).
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayabilmek için n ve tekrar sayılarına ihtiyaç vardır.
2
Koşulsuz tüm durumların sayısını hesapla.
6!2!⋅2!=7204=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = \frac{720}{4} = 180
Tüm dizilimleri bulup, daha sonra istenmeyen durumları elemek veya oran yöntemi kullanmak için gereklidir.
3
Sayının 6 basamaklı olabilmesi için 0 ile başlayamayacağı durumunu hesaba kat.
Toplam 6 rakamdan 4 tanesi (1, 1, 2, 3) sıfırdan farklıdır. Geçerli oran 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
Bir sayının 6 basamaklı olması için binler basamağında 0 olamaz.
4
Tüm durumları geçerli oranla çarp.
180×23=120180 \times \frac{2}{3} = 120
Bu işlem, sadece 0 ile başlamayan geçerli dizilimlerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı nesnelerin sıralanışında, eğer kısıtlayıcı bir koşul (örneğin 0'ın başa gelememesi) varsa, tüm durumların sayısı hesaplanıp geçerli durumların oranına çarpılarak sonuç bulunur.

İpuçları

1
Tekrarlı permütasyon formülünü (n!/n1!⋅n2!…n! / n_1! \cdot n_2! \dots) kullanarak tüm sıralamaları bulabilirsin.
2
Bir sayının 6 basamaklı olabilmesi için ilk basamağı 0 olamaz.
3
Tüm durumların sayısını bulup, başa 0 gelmeyen (yani sıfır dışındaki) rakamların toplam rakamlara oranını ile çarpabilirsin.

Daha Fazla Pratik

İçinde 0 bulunmayan ancak belirli rakamların yan yana gelmesi gereken tekrarlı permütasyon soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan (180), 0 ile başlayan durumları (0'ı başa sabitleyip kalan 5 rakamı sıralayarak: 5!/2! = 60) çıkararak da sonuca ulaşılabilir: 180 - 60 = 120.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 35Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
14!⋅x=y2 14! \cdot x = y^2
eşitliği verilmiştir. Buna göre, xx'in alabileceği en küçük değerin rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Rakamları toplamı 21 olan sayı
Verilen eşitlikte 14!⋅x14! \cdot x ifadesinin bir tam kare (y2y^2) olması istenmektedir. Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanların üslerinin çift sayı olması gerekir. 14!14!'in asal çarpanları incelendiğinde 2112^{11}, 353^5, 11111^1 ve 13113^1 üslerinin tek olduğu görülür. Bu üsleri çift yapmak için xx sayısı en az 2⋅3⋅11⋅13=8582 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 858 olmalıdır. Bu sayının rakamları toplamı 8+5+8=218+5+8=21 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
14! sayısının asal çarpanlarını ve kuvvetlerini belirle.
14!=211⋅35⋅52⋅72⋅111⋅13114! = 2^{11} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1
Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarının üsleri çift sayı olmalıdır.
2
Üssü tek olan asal çarpanları tespit et.
Üssü tek olanlar: 211(2),35(3),111(11),131(13)2^{11} (2), 3^5 (3), 11^1 (11), 13^1 (13)
Bu çarpanların üslerini çift yapmak için en az birer tane daha gereklidir.
3
x sayısını oluşturmak için eksik çarpanları çarp.
x=21⋅31⋅111⋅131=858x = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1 = 858
En küçük x değeri için sadece zorunlu çarpanlar alınır.
4
Bulunan x sayısının rakamlarını topla.
8+5+8=218 + 5 + 8 = 21
Soruda istenen sonuç rakamlar toplamıdır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özelliği ve Asal Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
Bir sayının tam kare olabilmesi için, asal çarpanlarına ayrılmış halinde tüm üslerin çift sayı olması gerekir.
2
14! sayısını asal çarpanlarına ayırarak her bir asal sayının kuvvetini bulun (örneğin 2 kaç kere var?).
3
Kuvveti tek sayı olan asal çarpanları belirleyin. x sayısı bu çarpanların çarpımına eşit olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir faktöriyel ifadesinin tam küp olması için gereken en küçük çarpanı bulunuz.

Alternatif Yöntem

Legendre formülü kullanarak her asal çarpanın kuvvetini (Ep(n!)=∑⌊n/pk⌋E_p(n!) = \sum \lfloor n/p^k \rfloor) hesaplayıp, tek kalanları belirleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 36Soru →

Bir kaymakamlık makamı tarafından yürütülecek "İlçe Tanıtım Projesi" kapsamında 55 idari personel ve 44 saha personeli arasından 33 kişilik bir çalışma komisyonu kurulacaktır. Kurulacak komisyonda her iki gruptan da (idari ve saha) en az birer personel bulunması zorunlu olduğuna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7070

Cevap

Komisyon, her iki gruptan da en az bir kişi bulunması şartıyla toplam 7070 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru yanıt olan 70 sonucuna, istenen şartları sağlayan iki farklı senaryonun ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla ulaşılır. 2 idari ve 1 saha personelinin seçildiği durum 40 farklı şekilde, 1 idari ve 2 saha personelinin seçildiği durum ise 30 farklı şekilde gerçekleşebilir. Bu iki durumun toplamı olan 70, her iki gruptan en az birer personelin bulunduğu tüm olası kombinasyonları verir.

Adım Adım Çözüm

1
Grupları ve kontenjanı belirle.
İdari Personel: 55, Saha Personeli: 44, Toplam Seçilecek: 33.
Problemi çözmek için mevcut havuzu ve kısıtları tanımlamamız gerekir.
2
Her iki gruptan en az birer kişi bulunma şartına uygun durumları listele.
Durum 1: 22 İdari ve 11 Saha personeli; Durum 2: 11 İdari ve 22 Saha personeli.
Üç kişilik grupta 'her iki gruptan en az bir kişi' şartı ancak bu iki senaryo ile sağlanabilir.
3
Birinci durum için kombinasyon hesabını yap.
(52)×(41)=10×4=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40.
55 idari personelden 22'si ve 44 saha personelinden 11'i seçilir.
4
İkinci durum için kombinasyon hesabını yap.
(51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30.
55 idari personelden 11'i ve 44 saha personelinden 22'si seçilir.
5
Tüm uygun durumları topla.
40+30=7040 + 30 = 70.
Farklı olasılıklar toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Gruplama Problemleri

İpuçları

1
3 kişilik komisyonda her iki gruptan da en az bir kişi olması demek, grubun '2 idari + 1 saha' veya '1 idari + 2 saha' şeklinde olması demektir.
2
Grup seçimlerinde sıralama önemli olmadığı için kombinasyon formülünü (C(n,r)C(n,r)) kullanmalısınız.
3
Tüm seçimlerin sayısından (C(9,3)C(9,3)), sadece idari personelin seçildiği durumları ve sadece saha personelinin seçildiği durumları çıkartarak da sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'en az 2 idari personel' şartı olsaydı çözüm nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar yöntemini kullanabiliriz: Tüm olası 3 kişilik seçimlerin sayısından (C(9,3)=84C(9,3) = 84), istenmeyen durumları (hepsinin idari personel olduğu C(5,3)=10C(5,3) = 10 durum ve hepsinin saha personeli olduğu C(4,3)=4C(4,3) = 4 durum) çıkartalım: 84−(10+4)=7084 - (10 + 4) = 70.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 37Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
A=22!+23!2n A = \frac{22! + 23!}{2^n}
ifadesi bir tam sayı belirttiğine göre, nn'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

En büyük değer 22'dir.
Verilen AA ifadesi bir tam sayı ise, paydadaki 2n2^n sayısı paydaki ifadenin içindeki 2 çarpanlarını sadeleştirebilmelidir. Bu yüzden paydaki ifadenin içinde kaç tane 2 çarpanı olduğunu bulmalıyız. Öncelikle 22!+23!22! + 23! ifadesi 22!22! parantezine alınarak 22!(1+23)=22!⋅2422!(1+23) = 22! \cdot 24 elde edilir. 22! içindeki 2 çarpanı sayısı 19'dur. 24 sayısı da 23⋅32^3 \cdot 3 olduğundan buradan 3 adet daha 2 çarpanı gelir. Toplamda 19+3=2219+3=22 adet 2 çarpanı vardır. Dolayısıyla nn en çok 22 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenle.
22!+23!=22!⋅(1+23)=22!⋅2422! + 23! = 22! \cdot (1 + 23) = 22! \cdot 24
Faktöriyelli ifadelerde toplama işlemi yapabilmek için en küçük faktöriyel parantezine alınır.
2
Elde edilen katsayıyı asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3
Çarpan sayısını bulmak için katsayının içindeki 2 çarpanlarını belirlememiz gerekir. Buradan 3 adet 2 çarpanı gelir.
3
22! sayısı içindeki 2 çarpanlarının sayısını Legendre formülü (sürekli bölme) ile hesapla.
⌊222⌋+⌊224⌋+⌊228⌋+⌊2216⌋=11+5+2+1=19\lfloor\frac{22}{2}\rfloor + \lfloor\frac{22}{4}\rfloor + \lfloor\frac{22}{8}\rfloor + \lfloor\frac{22}{16}\rfloor = 11 + 5 + 2 + 1 = 19
Faktöriyel içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için sayı o asala sürekli bölünür ve bölümler toplanır.
4
Tüm 2 çarpanlarını topla.
Toplam = 1919 (faktöriyelden) + 33 (katsayıdan) = 2222
İfadenin bir tam sayı olması için nn en fazla toplam 2 çarpanı sayısı kadar olabilir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ve Asal Çarpanlara Ayırma (Legendre Formülü)

İpuçları

1
İfadeyi 22!22! parantezine alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
22!+23!=22!⋅(1+23)=24⋅22!22! + 23! = 22! \cdot (1 + 23) = 24 \cdot 22! eşitliğini kullanın.
3
Hem 22!22! içindeki hem de çarpan olarak gelen 2424 sayısının içindeki 2 çarpanlarının sayısını bulup toplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 38Soru →

Bir çember üzerinde birbirinden farklı 66 nokta işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2020

Cevap

İşaretlenen 66 noktadan herhangi üçü seçilerek 2020 farklı üçgen oluşturulabilir.
2020 sonucu, çember üzerindeki herhangi üçü doğrusal olmayan 66 noktadan 33 tanesinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren C(6,3)C(6, 3) kombinasyonu ile hesaplanır. Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal olamayacağı için seçilen her üçlü bir üçgen oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını ve üçgen için gereken köşe sayısını belirleyin.
Nokta sayısı n=6n = 6, üçgen için gereken nokta sayısı r=3r = 3.
Bir üçgen oluşturabilmek için doğrusal olmayan üç noktaya ihtiyaç vardır.
2
Kombinasyon formülünü uygulayın.
C(6,3)=6×5×43×2×1C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}
Noktaların seçilme sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır.
3
İşlemi tamamlayarak sonucu bulun.
C(6,3)=1206=20C(6, 3) = \frac{120}{6} = 20.
Pay ve payda sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan nn nokta yardımıyla C(n,3)C(n, 3) kadar farklı üçgen oluşturulabilir. Çember üzerindeki tüm noktalar bu şartı sağlar.

İpuçları

1
Bir üçgen oluşturabilmek için düzlemde doğrusal olmayan kaç noktaya ihtiyacınız olduğunu düşünün.
2
Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal değildir, bu nedenle seçeceğiniz her üç nokta bir üçgen oluşturur. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanmalısınız.
3
66 nokta arasından 33 tanesini seçmek için C(6,3)C(6, 3) formülünü uygulayarak işlemi yapabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu noktalar çember yerine birbirine paralel iki doğru üzerinde (örneğin üstte 3, altta 3) olsaydı kaç üçgen oluşurdu?
Tahmini Süre:45s
Soru 39Soru →

Bir bakanlığın yıllık hizmet içi eğitim planlamasında, birbirinden farklı 4 adet 'Kişisel Gelişim' semineri ve birbirinden farklı 3 adet 'Mevzuat' semineri bulunmaktadır. Bu seminerlerin tamamı, aynı gün içerisinde ve arka arkaya olacak şekilde bir program akışına yerleştirilecektir.

'Mevzuat' seminerlerinin tamamının programda art arda (blok halinde) yer alması koşuluyla, bu 7 seminer kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

720 farklı şekilde sıralanabilir.
İstenen koşulda 3 'Mevzuat' semineri bir arada olmalıdır. Bu 3 semineri tek bir nesne (paket) gibi düşünürsek; elimizde 4 'Kişisel Gelişim' semineri ve 1 'Mevzuat Paketi' olmak üzere toplam 5 nesne oluşur. Bu 5 nesne kendi arasında 5!5! şekilde sıralanır. Ayrıca, Mevzuat paketi içindeki 3 farklı seminer de kendi içinde 3!3! şekilde yer değiştirebilir. Saymanın çarpma kuralına göre toplam durum sayısı 5!×3!=120×6=7205! \times 3! = 120 \times 6 = 720 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gruplama Yöntemini Belirle
3 adet Mevzuat semineri (M1, M2, M3) ayrılmayacakları için tek bir paket/blok [M] olarak düşünülür.
Soruda 'art arda' veya 'yan yana' olma koşulu verildiğinde, bu nesneler birbirine bağlanmış tek bir nesne gibi kabul edilir.
2
Toplam Nesne Sayısını Bul
4 Kişisel Gelişim semineri + 1 Mevzuat Paketi = Toplam 5 nesne.
Sıralamaya girecek birimler: K1, K2, K3, K4 ve [M] blokudur.
3
Ana Sıralamayı Hesapla
5 nesnenin kendi aralarındaki sıralaması: P(5,5) = 5! = 120.
n adet farklı nesne n! farklı şekilde sıralanır.
4
Grup İçi Sıralamayı Hesapla
Mevzuat seminerleri birbirinden farklı olduğu için, paket [M] içindeki 3 seminer kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Bağlanan grubun kendi içindeki yer değişimleri de toplam durumu değiştirir.
5
Sonucu Bul
Toplam durum sayısı = 120 × 6 = 720.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği, bağımsız aşamaların sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Bağlama Yöntemi (Bloklama)
Soru 40Soru →

Bir kamu kurumunda A, B ve C olmak üzere üç farklı hizmet birimi bulunmaktadır. Kuruma gelen bir vatandaşın bu birimlerden yalnızca birinden hizmet alacağı bilinmektedir. Vatandaşın bu birimlerden hizmet alma olasılıkları ile ilgili şu bilgiler verilmiştir:

* A biriminden hizmet alma olasılığı, B biriminden hizmet alma olasılığının 33 katıdır.
* B biriminden hizmet alma olasılığı, C biriminden hizmet alma olasılığının 22 katıdır.

Buna göre, kuruma gelen bir vatandaşın A veya C biriminden hizmet alma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 79\frac{7}{9}

Cevap

Kuruma gelen vatandaşın A veya C biriminden hizmet alma olasılığı 79\frac{7}{9}'dur.
Örnek uzay A, B ve C ayrık olaylarından oluştuğu için toplam olasılık 1'dir. Verilen oranlar kullanılarak P(C)=kP(C)=k, P(B)=2kP(B)=2k ve P(A)=6kP(A)=6k bulunur. Toplam 9k=19k=1 eşitliğinden k=1/9k=1/9 elde edilir. İstenen durum A veya C olduğu için bu olasılıklar toplanır: 6k+k=7k=7/96k + k = 7k = 7/9.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılıkları değişken cinsinden ifade et.
P(C)=kP(C) = k olsun. Bu durumda P(B)=2kP(B) = 2k ve P(A)=3⋅P(B)=3⋅(2k)=6kP(A) = 3 \cdot P(B) = 3 \cdot (2k) = 6k olur.
Soruda verilen kat ilişkilerini matematiksel denkleme dökmek için.
2
Örnek uzayın toplam olasılığını kullanarak kk değerini bul.
P(A)+P(B)+P(C)=1⇒6k+2k+k=1⇒9k=1⇒k=19P(A) + P(B) + P(C) = 1 \Rightarrow 6k + 2k + k = 1 \Rightarrow 9k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{9}.
Olasılık fonksiyonunun özelliklerine göre, ayrık olayların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır.
3
İstenen birleşim olasılığını hesapla.
P(A∪C)=P(A)+P(C)=6k+k=7k=7⋅19=79P(A \cup C) = P(A) + P(C) = 6k + k = 7k = 7 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{9}.
A veya C olayının gerçekleşme olasılığı, bu iki ayrık olayın olasılıklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Ayrık olayların birleşiminin olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir (P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)) ve örnek uzaydaki tüm olayların olasılıkları toplamı 1'dir.

İpuçları

1
Tüm birimlerin olasılıkları toplamı 1'e eşit olmalıdır (P(A)+P(B)+P(C)=1P(A) + P(B) + P(C) = 1).
2
En küçük olasılığa sahip olan C birimine kk diyerek diğerlerini kk cinsinden yazınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer oranlar verilip 'En az birinden hizmet alma' olasılığı sorulan soruları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 15Sonraki
Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin