Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir Adalet Sarayı bünyesinde kurulan Uzlaştırma Komisyonu'nda görevlendirilmek üzere $6$ avukat ve $4$ ekonomist arasından $3$ kişilik bir heyet seçilecektir. Oluşturulacak bu heyette en az $2$ avukatın bulunması zorunlu olduğuna göre, bu heyet kaç farklı şekilde seçilebilir?

80

60

120

96

140

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Heyette en az 2 avukat bulunması şartıyla toplam 80 farklı seçim yapılabilir.

Toplam 80 farklı seçim, 2 avukatlı durum (

60

) ile 3 avukatlı durumun (

20

) toplanmasıyla elde edilir. Bu çözüm, sorudaki 'en az 2 avukat' şartını tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1

Heyet için geçerli olan durumları belirlemek.

Durum 1: 2 Avukat ve 1 Ekonomist; Durum 2: 3 Avukat ve 0 Ekonomist.

"En az 2 avukat" ifadesi, 2 veya daha fazla (bu soruda en fazla 3) avukatın seçilebileceği anlamına gelir.

2

Durum 1 için seçim sayısını hesaplamak (

C(6,2) \times C(4,1)

).

C(6,2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

ve

C(4,1) = 4

olduğundan;

15 \times 4 = 60

.

6 avukat arasından 2 kişi ve 4 ekonomist arasından 1 kişi seçilmelidir.

3

Durum 2 için seçim sayısını hesaplamak (

C(6,3)

).

C(6,3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

.

Heyetin tamamının (3 kişi) avukatlardan oluşması durumudur.

4

Ayrı durumların sonuçlarını toplamak.

60 + 20 = 80

.

Birbirinden bağımsız iki farklı geçerli durum olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon kullanarak belirli şartlara uygun gruplar oluşturma ve toplama yoluyla sayma.

İpuçları

1

"En az 2 avukat" demek, heyette ya 2 avukat ya da 3 avukat olacağı anlamına gelir.

2

2 avukat seçtiğinizde yanına 1 ekonomist seçmelisiniz; 3 avukat seçtiğinizde yanına ekonomist seçmenize gerek kalmaz.

3

C(6,2) x C(4,1) işlemini ve C(6,3) işlemini ayrı ayrı yapıp sonuçları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer heyette 'en fazla 1 ekonomist' bulunması gerekseydi sonuç nasıl değişirdi? (Bu soruyla aynı anlama gelirdi!)

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarabiliriz. Tüm seçimler: C(10,3) = 120. İstenmeyen durumlar: 0 avukat seçimi (C(4,3) = 4) ve 1 avukat seçimi (C(6,1) x C(4,2) = 6 x 6 = 36). Toplam istenmeyen: 4 + 36 = 40. Sonuç: 120 - 40 = 80.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 42Soru →

Aşağıda verilen işlemin sonucu kaçtır?

\frac{5! + 3!}{3! + 0!}

12

18

21

121

126

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İşlemin sonucu 18 olarak bulunur.

Verilen ifadede faktöriyel değerleri hesaplandığında

5! = 120

,

3! = 6

ve

0! = 1

elde edilir. Bu değerler yerlerine konulduğunda pay kısmı

120 + 6 = 126

, payda kısmı ise

6 + 1 = 7

olur. Son aşamada

126 / 7

işlemi yapıldığında sonuç 18 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayın.

5! = 120

,

3! = 6

ve

0! = 1

Faktöriyel tanımına göre

n!

, 1'den n'ye kadar olan sayıların çarpımıdır ve

0! = 1

olarak kabul edilir.

2

Hesaplanan değerleri kesirdeki yerlerine yazarak pay ve payda işlemlerini yapın.

Pay:

120 + 6 = 126

, Payda:

6 + 1 = 7

Kesirli ifadelerde bölme işleminden önce pay ve paydadaki toplama/çıkarma işlemleri tamamlanmalıdır.

3

Payı paydaya bölerek sonucu bulun.

126 / 7 = 18

Kesir çizgisi bölme işlemini ifade eder.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanımı ve Temel Aritmetik İşlemler

İpuçları

1

İşleme başlamadan önce

5!

,

3!

ve

0!

ifadelerinin sayısal değerlerini ayrı ayrı belirleyin.

2

5! = 120

,

3! = 6

ve en önemlisi

0! = 1

olduğunu hatırlayarak kesri yeniden yazın.

3

Kesrin üst kısmını 126, alt kısmını ise 7 olarak bulmalısınız. Şimdi bu iki sayıyı birbirine bölün.

Daha Fazla Pratik

0! ve 1! değerlerinin ikisinin de 1 olduğunu pekiştirmek için benzer bir çıkarma işlemi sorusu çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pay kısmındaki ifadeyi

3!

parantezine alarak da sadeleştirme yapabilirsiniz:

3! \times (5 \times 4 + 1) / (3! + 0!)

. Ancak küçük sayılarla doğrudan hesaplama yapmak bu seviyede daha az hata riski taşır.

Tahmini Süre:45s

Soru 43Soru →

Düzlemde bulunan ve herhangi ikisi çakışık olmayan 4 farklı çember ile 5 farklı doğru en çok kaç noktada kesişebilir?

42

50

52

62

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 62

Cevap

Düzlemdeki 4 çember ve 5 doğru en çok 62 noktada kesişir.

Doğru cevap, tüm olası kesişim senaryolarının maksimum değerlerinin toplamıdır: Çemberlerin kendi aralarında 12, doğruların kendi aralarında 10 ve çember-doğru etkileşiminden 40 nokta olmak üzere toplam 62 nokta bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi üç farklı kesişim türüne ayır: Çember-Çember, Doğru-Doğru ve Çember-Doğru.

Analiz edilecek 3 durum belirlendi.

Farklı geometrik şekillerin birbirleriyle kesişme sayıları farklıdır ve ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.

2

Çemberlerin kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla. 4 çemberden seçilen her ikili (

C(4,2)

) en çok 2 noktada kesişir.

C(4,2) \times 2 = 6 \times 2 = 12

nokta.

İki çember en çok 2 noktada kesişir.

3

Doğruların kendi aralarındaki maksimum kesişim sayısını hesapla. 5 doğrudan seçilen her ikili (

C(5,2)

) en çok 1 noktada kesişir.

C(5,2) \times 1 = 10 \times 1 = 10

nokta.

İki doğru en çok 1 noktada kesişir.

4

Çemberler ile doğruların kesişim sayısını hesapla. Her bir doğru (5 adet) her bir çemberi (4 adet) en çok 2 noktada kesebilir.

4 \times 5 \times 2 = 40

nokta.

Bir doğru ve bir çember en çok 2 noktada kesişir.

5

Tüm kesişim noktalarını topla.

12 + 10 + 40 = 62

nokta.

Toplam kesişim sayısı tüm alt durumların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Farklı geometrik şekil gruplarının maksimum kesişim noktaları hesaplanirken; grup içi kesişimler (kombinasyon ile) ve gruplar arası kesişimler (çarpım ile) ayrı ayrı değerlendirilmeli ve her çift için maksimum kesişim katsayısı (1 veya 2) ile çarpılmalıdır.

İpuçları

1

Şekillerin kesişimlerini üç ayrı grupta inceleyin: Çember-Çember, Doğru-Doğru ve Çember-Doğru.

2

Maksimum kesişim için, herhangi iki çemberin 2 noktada, herhangi iki doğrunun 1 noktada ve bir çember ile bir doğrunun 2 noktada kesiştiğini varsayın.

3

Çemberlerin kendi aralarındaki kesişimi için

C(4,2) \times 2

, doğruların kendi aralarındaki kesişimi için

C(5,2) \times 1

ve çember-doğru kesişimleri için

4 \times 5 \times 2

işlemlerini yapıp toplayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 44Soru →

Bir düzlemde birbirine paralel olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları ile bu doğruları kesen bir $d_3$ doğrusu verilmiştir.

Bu doğrular üzerinde;
* $d_1$ doğrusu üzerinde 5 farklı nokta,
* $d_2$ doğrusu üzerinde 4 farklı nokta,
* $d_3$ doğrusu üzerinde, $d_1$ ve $d_2$ doğruları ile olan kesişim noktaları da dahil olmak üzere 6 farklı nokta

işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu işaretlenen noktalardan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

242

252

266

272

286

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 252

Cevap

İşaretlenen noktalarla oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı 252'dir.

Çözüm için öncelikle düzlemdeki toplam farklı nokta sayısı bulunmalıdır.

d_1

ve

d_2

paralel olup

d_3

bunları kestiğinden iki adet kesişim noktası ortaktır. Toplam

5 + 4 + 6 - 2 = 13

nokta vardır. Bu 13 noktadan rastgele seçilen her 3 nokta bir üçgen oluşturma potansiyeline sahiptir (

\binom{13}{3} = 286

). Ancak, aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz.

d_1

üzerindeki 5 noktadan 10,

d_2

üzerindeki 4 noktadan 4 ve

d_3

üzerindeki 6 noktadan 20 farklı doğrusal üçlü seçilebilir. Tüm durumlardan bu

10 + 4 + 20 = 34

doğrusal durum çıkarıldığında

286 - 34 = 252

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam farklı nokta sayısını belirleyelim.

13 nokta

d_1

üzerinde 5,

d_2

üzerinde 4 nokta vardır.

d_3

doğrusu bu iki doğruyu kestiği için kesişim noktaları her iki doğru için de sayılmıştır. Toplam nokta sayısı:

5 + 4 + (6 - 2) = 13

veya

n(d_1 \cup d_2 \cup d_3) = 5 + 4 + 6 - 1 - 1 = 13

olur.

2

13 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupları (kombinasyonları) hesaplayalım.

286 durum

Herhangi üç noktanın birleşimiyle oluşabilecek tüm durumlar:

\binom{13}{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286

.

3

Aynı doğru üzerinde bulunduğu için üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumları belirleyelim.

34 durum

d_1

üzerindeki 5 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{5}{3} = 10

,

d_2

üzerindeki 4 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{4}{3} = 4

,

d_3

üzerindeki 6 noktadan seçilen 3'lüler:

\binom{6}{3} = 20

. Toplam doğrusal durum:

10 + 4 + 20 = 34

.

4

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkararak sonucu bulalım.

252

Üçgen sayısı = Tüm seçimler - Doğrusal seçimler =

286 - 34 = 252

.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle geometrik şekil sayma problemlerinde, tüm seçimlerden aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) nokta kümelerinin oluşturduğu geçersiz durumlar çıkarılır.

Soru 45Soru →

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere toplam $14$ nokta işaretlenmiştir. Bu noktaların dağılımı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $AB$ kenarı üzerinde, $A$ ve $B$ köşeleri hariç $3$ nokta,
* $BC$ kenarı üzerinde, $B$ ve $C$ köşeleri hariç $2$ nokta,
* $CD$ kenarı üzerinde, $C$ ve $D$ köşeleri hariç $4$ nokta,
* $DA$ kenarı üzerinde, $D$ ve $A$ köşeleri hariç $1$ nokta

bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

329

330

344

359

364

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 329

Cevap

Dikdörtgen üzerindeki noktalardan 329 farklı üçgen oluşturulabilir.

Üçgen oluşturabilmek için seçilen 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir. Dikdörtgen üzerindeki 14 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü gruplardan (364), dikdörtgenin kenarları üzerinde doğrusal olarak dizilmiş olan noktaların kendi aralarındaki 3'lü seçimleri (toplam 35 durum) çıkarıldığında geriye kalan 329 durum geçerli üçgenleri verir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını ve kenar üzerindeki nokta sayılarını belirle.

Toplam nokta: 14. Kenarlardaki noktalar (köşeler dahil): AB kenarı 5, BC kenarı 4, CD kenarı 6, DA kenarı 3 nokta.

Üçgen oluşturmak için seçilecek toplam nesne havuzunu ve doğrusal (geçersiz) grupları belirlemek gerekir.

2

Tüm 3'lü seçimlerin sayısını hesapla.

\binom{14}{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364

.

Herhangi bir sınırlama olmasaydı oluşabilecek maksimum üçgen sayısını bulmak için kombinasyon formülü uygulanır.

3

Kenarlar üzerindeki doğrusal noktaların üçgen oluşturamadığı durumları hesapla.

AB:

\binom{5}{3}=10

, BC:

\binom{4}{3}=4

, CD:

\binom{6}{3}=20

, DA:

\binom{3}{3}=1

. Toplam geçersiz durum:

10+4+20+1=35

.

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturamaz, sadece doğru parçası oluşturur.

4

Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkar.

364 - 35 = 329

.

Geometrik olarak mümkün olan toplam üçgen sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olan noktaların (kenar üzerindekiler) kombinasyonlarının tüm durumlardan çıkarılmasıyla toplam üçgen sayısı bulunur.

Soru 46Soru →

Bir kamu kurumunun A ve B arşiv dolaplarında bulunan dosyaların nitelikleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A Dolabı: $3$ adet "Gizli", $4$ adet "Genel" ibareli dosya,
* B Dolabı: $5$ adet "Gizli", $3$ adet "Genel" ibareli dosya içermektedir.

Kurum içi düzenleme sırasında, A dolabından rastgele bir dosya alınıp niteliğine bakılmaksızın B dolabına aktarılıyor. Bu işlemin ardından B dolabındaki dosyalar karıştırılıyor ve rastgele bir dosya seçiliyor.

Seçilen son dosyanın "Gizli" ibareli olduğu bilindiğine göre, A dolabından B dolabına aktarılan dosyanın da "Gizli" ibareli olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{7}

\frac{19}{31}

\frac{9}{19}

\frac{2}{3}

\frac{38}{63}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{19}$

Cevap

\frac{9}{19}

Soru bir 'sonucun bilindiği durumda sebebin olasılığı' (Bayes Teoremi) problemidir. B'den seçilen dosyanın 'Gizli' olması olayı (

E

), iki farklı yolla gerçekleşebilir:
1. Yol: A'dan Gizli gelir (

\frac{3}{7}

) ve B'den Gizli seçilir (B'de 6 Gizli / 9 Toplam olur). Olasılık:

\frac{3}{7} \cdot \frac{6}{9} = \frac{18}{63}

.
2. Yol: A'dan Genel gelir (

\frac{4}{7}

) ve B'den Gizli seçilir (B'de 5 Gizli / 9 Toplam olur). Olasılık:

\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{9} = \frac{20}{63}

.

Bizden A'dan gelenin 'Gizli' olduğu durumun (1. Yol) olasılığı istendiği için; 1. Yolun Olasılığını, Toplam Olasılığa (1. Yol + 2. Yol) oranlarız:

\frac{18/63}{18/63 + 20/63} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}

.

Adım Adım Çözüm

1

Olası durumları (senaryoları) belirle.

İki ana durum vardır:
1. Durum (

D_1

): A'dan "Gizli" dosya aktarılması ve sonra B'den "Gizli" seçilmesi.
2. Durum (

D_2

): A'dan "Genel" dosya aktarılması ve sonra B'den "Gizli" seçilmesi.

B'den seçilen dosyanın 'Gizli' olduğu biliniyor (Koşul). Bu sonuca götüren tüm yolları hesaplamalıyız.

2

Birinci durumun (

D_1

) olasılığını hesapla.

P(A_{Gizli}) = \frac{3}{7}

. Bu durumda B'de

6

Gizli,

3

Genel olur (Toplam

9

). B'den Gizli seçme olasılığı

\frac{6}{9}

olur.

P(D_1) = \frac{3}{7} \times \frac{6}{9} = \frac{18}{63}

Zincirleme olasılık kuralı:

P(A_{Gizli} \cap B_{Gizli}) = P(A_{Gizli}) \times P(B_{Gizli} | A_{Gizli})

3

İkinci durumun (

D_2

) olasılığını hesapla.

P(A_{Genel}) = \frac{4}{7}

. Bu durumda B'de

5

Gizli,

4

Genel olur (Toplam

9

). B'den Gizli seçme olasılığı

\frac{5}{9}

olur.

P(D_2) = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{63}

Zincirleme olasılık kuralı:

P(A_{Genel} \cap B_{Gizli}) = P(A_{Genel}) \times P(B_{Gizli} | A_{Genel})

4

Bayes teoremi ile koşullu olasılığı hesapla.

İstenen Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durumun Olasılığı (A'dan Gizli gelmesi)}}{\text{Tüm Olası Durumların Toplamı}}

= \frac{P(D_1)}{P(D_1) + P(D_2)} = \frac{18/63}{18/63 + 20/63} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}

Örnek uzay, 'B'den Gizli seçilme' koşulu ile daraltılmıştır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

İpuçları

1

Bu bir 'ağaç diyagramı' veya 'durum incelemesi' sorusudur. Olası iki senaryoyu (A'dan Gizli gelmesi veya A'dan Genel gelmesi) ayrı ayrı düşünün.

2

Her iki senaryo için B dolabındaki toplam dosya sayısının 9 olacağını, ancak Gizli dosya sayısının değişeceğini unutmayın.

3

İstenen Olasılık = (A'dan Gizli gelip B'den Gizli çekilmesi) / [(A'dan Gizli gelip B'den Gizli çekilmesi) + (A'dan Genel gelip B'den Gizli çekilmesi)].

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'Hatalı üretim yapan makinelerden hangisinin seçildiği' problemini çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Olasılık yerine 'sanal vaka sayısı' yöntemi: Paydaların çarpımı olan

63

adet evrensel vaka olduğunu varsayalım. A'dan Gizli gelen vaka sayısı

3/7 \times 63 = 27

, Genel gelen

36

. Eğer

27

vaka varsa (A'dan Gizli geldi), B'den Gizli çekme ihtimali

6/9

.

27 \times (6/9) = 18

başarılı vaka. Diğer durumda

36 \times (5/9) = 20

başarılı vaka. Toplam 'B'den Gizli çekilen' vaka sayısı

18+20=38

. Bunların

18

tanesi A'dan Gizli gelen durumdan kaynaklıdır. Sonuç

18/38 = 9/19

.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 47Soru →

Bir belediyenin park ve bahçeler müdürlüğü, bir dinlenme alanına dikilmek üzere $5$ farklı çınar ağacı ve $4$ farklı ıhlamur ağacı fidanı arasından toplam $4$ fidan seçecektir. Seçilecek fidanlar arasında en az $3$ çınar ağacı fidanı bulunması gerektiğine göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

45

40

126

20

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $45$

Cevap

Seçim yapılabilecek toplam durum sayısı

45

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan 45 değeri, en az 3 çınar fidanı seçilmesi gereken iki senaryonun ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir. Birinci senaryo 3 çınar ve 1 ıhlamur seçimini (

10 \times 4 = 40

), ikinci senaryo ise sadece 4 çınar seçimini (

5 \times 1 = 5

) temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Koşula uygun durumların belirlenmesi

Durum 1:

3

çınar ve

1

ıhlamur; Durum 2:

4

çınar ve

0

ıhlamur.

Soruda 'en az 3 çınar' ifadesi kullanıldığı için çınar sayısının

3

veya daha fazla olması gerekir.

2

Durum 1 için kombinasyon hesaplanması

C(5, 3) \times C(4, 1) = 10 \times 4 = 40

5

çınar arasından

3

,

4

ıhlamur arasından

1

fidan seçilir.

3

Durum 2 için kombinasyon hesaplanması

C(5, 4) \times C(4, 0) = 5 \times 1 = 5

5

çınar arasından

4

,

4

ıhlamur arasından hiç fidan seçilmemesi durumudur.

4

Toplam durum sayısının bulunması

40 + 5 = 45

Ayrı durumların toplamı, kısıta uygun tüm seçenekleri verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Toplama-Çarpma Yoluyla Sayma

İpuçları

1

'En az 3' ifadesi, çınar fidanı sayısının 3 veya 4 olabileceği anlamına gelir.

2

Toplam 4 fidan seçileceği için, 3 çınar seçildiğinde yanında mutlaka 1 ıhlamur fidanı da seçilmelidir.

3

Ayrı durumları (3Ç-1I ve 4Ç-0I) hesaplayıp sonuçları toplamalısınız.

Daha Fazla Pratik

Koşulun 'en çok 2 çınar' olduğu durumu hesaplayarak farkı kavrayabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 48Soru →

Bir devlet arşivinde dijital dosyaların sınıflandırılması amacıyla iki karakterden oluşan bir barkod sistemi geliştirilmiştir. Bu sistemin teknik özellikleri şu şekildedir:

- Birinci karakter; $\{A, B, C, D, E, F\}$ kümesindeki harflerden biri,
- İkinci karakter; $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ kümesindeki rakamlardan biri olacaktır.

Barkodların oluşturulmasında uygulanan kurala göre; birinci karakterde sesli bir harf kullanılması durumunda ikinci karakterin mutlaka bir çift rakam olması gerekmektedir. Birinci karakterde sessiz bir harf kullanılması durumunda ise ikinci karakter için herhangi bir sınırlama bulunmamaktadır.

Buna göre, bu kurala uygun kaç farklı barkod oluşturulabilir?

48

40

32

24

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $40$

Cevap

Verilen kurala uygun olarak toplam

40

farklı barkod oluşturulabilir.

Toplam barkod sayısı, sesli harflerle başlayanlar ve sessiz harflerle başlayanlar olmak üzere iki ayrı grubun toplamıdır. Sesli harfler (

2

adet) seçildiğinde rakamlar mutlaka çift (

4

adet) olmalıdır (

2 \times 4 = 8

). Sessiz harfler (

4

adet) seçildiğinde rakamlar herhangi biri (

8

adet) olabilir (

4 \times 8 = 32

). Bu iki durumun toplamı olan

40

doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1

Harf ve rakam kümelerini kategorize etme

Harf kümesinde

\{A, E\}

olmak üzere

2

sesli,

\{B, C, D, F\}

olmak üzere

4

sessiz harf vardır. Rakam kümesinde ise

\{2, 4, 6, 8\}

olmak üzere

4

çift, toplam

8

rakam vardır.

Soruda verilen koşullar harf ve rakam türlerine bağlı olduğu için gruplandırma yapılması gerekir.

2

Birinci karakterin sesli harf olması durumunu hesaplama

2 \text{ (sesli harf)} \times 4 \text{ (çift rakam)} = 8

farklı barkod.

Çarpma prensibine göre bağımsız seçimlerin sayıları çarpılır.

3

Birinci karakterin sessiz harf olması durumunu hesaplama

4 \text{ (sessiz harf)} \times 8 \text{ (herhangi rakam)} = 32

farklı barkod.

Sessiz harf durumunda rakam kısıtlaması olmadığı için tüm rakamlar seçilebilir.

4

Durumları toplama

8 + 32 = 40

.

Birbirinden ayrı (ayrık) gerçekleşen bu iki ana durum toplama prensibi gereği toplanır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları: Toplama ve Çarpma Prensiplerinin Birlikte Kullanımı

İpuçları

1

Problemi 'sesli harfle başlayanlar' ve 'sessiz harfle başlayanlar' olarak iki ayrı duruma ayırın.

2

Sesli harf seçtiğinizde yanına gelebilecek rakam sayısının azaldığını, sessiz harf seçtiğinizde ise tüm rakamların gelebildiğini unutmayın.

3

Sesli harf durumunda

2 \times 4

, sessiz harf durumunda ise

4 \times 8

işlemini yapıp sonuçları toplamalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, üç haneli ve harf-rakam-harf şeklinde dizilen kod sorularını çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 49Soru →

$n$ bir doğal sayı olmak üzere,

\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 30

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

4

5

6

7

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.

Verilen eşitlikte faktöriyel tanımları kullanılarak paranteze alma işlemi yapıldığında ifade

n(n-1) = 30

haline gelir. Ardışık iki doğal sayının çarpımı 30 olduğunda büyük olan sayı (n) 6 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Pay ve paydadaki faktöriyel ifadelerini, kendi içlerindeki en küçük faktöriyel parantezine alacak şekilde düzenle.

Pay:

n!(n+1) - n! = n!(n+1-1) = n \cdot n!

Payda:

(n-1)! + (n-2)! = (n-2)!(n-1) + (n-2)! = (n-2)!(n-1+1) = n \cdot (n-2)!

Faktöriyelli ifadelerde toplama/çıkarma yapabilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.

2

Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yaz ve sadeleştir.

\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = 30 \implies \frac{n!}{(n-2)!} = 30

Pay ve paydadaki 'n' çarpanları birbirini götürür.

3

Kalan faktöriyelli ifadeyi açarak denklemi çöz.

\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} = 30 \implies n(n-1) = 30

n!

,

(n-2)!

cinsinden yazılarak sadeleştirilir.

4

Ardışık iki sayının çarpımı 30 olan n değerini bul.

6 \times 5 = 30

olduğu için

n = 6

bulunur.

n bir doğal sayı olduğu için pozitif çarpan dikkate alınır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında sadeleştirme işlemi, büyük olan sayının küçüğe benzetilerek açılması (örneğin

n! = n(n-1)!

) prensibine dayanır.

İpuçları

1

Faktöriyelli ifadeleri toplamak veya çıkarmak için, en küçük faktöriyel parantezine almayı deneyin.

2

(n+1)! = (n+1) \cdot n!

ve

(n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)!

eşitliklerini kullanarak pay ve paydayı düzenleyin.

3

Sadeleştirmeler sonucunda

n(n-1) = 30

denklemini elde edeceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, paydasında bilinmeyen bulunan (n+2)! / (n)! = 72 gibi sorular çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 50Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülecek özel bir proje için 1 Proje Yöneticisi, 1 Saha Sorumlusu ve 1 Teknik Analist'ten oluşan üç kişilik bir 'Proje Yürütme Ekibi' kurulacaktır.

Aday havuzunda;
* 3 farklı Proje Yöneticisi adayı (Kemal Bey dahil),
* 4 farklı Saha Sorumlusu adayı (Levent Bey dahil),
* 3 farklı Teknik Analist adayı (Metin Bey dahil)

bulunmaktadır.

Kurumun etik yönetmeliği ve çalışma prensipleri gereği;
1. Proje Yöneticisi adaylarından Kemal Bey ile Saha Sorumlusu adaylarından Levent Bey'in geçmişteki husumetleri nedeniyle aynı ekipte yer almamaları,
2. Saha Sorumlusu adaylarından Levent Bey ile Teknik Analist adaylarından Metin Bey'in akrabalık bağı bulunması nedeniyle aynı ekipte çalışmamaları

istenmektedir.

Buna göre, bu Proje Yürütme Ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

27

30

31

33

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Ekip toplam 31 farklı şekilde oluşturulabilir.

Bu sorunun çözümünde en güvenilir yöntem, tüm olası durumlardan istenmeyen durumların çıkarılmasıdır (Tümleyen Yöntemi). Toplam durum sayısı

3 \times 4 \times 3 = 36

'dır. İstenmeyen durumlar: 1) Kemal ve Levent'in birlikte olduğu

1 \times 1 \times 3 = 3

durum. 2) Levent ve Metin'in birlikte olduğu

3 \times 1 \times 1 = 3

durum. Ancak bu iki yasaklı grubun içinde 'Kemal-Levent-Metin' üçlüsünün olduğu durum her iki hesaplamada da vardır (Kesişim). Bu yüzden toplam istenmeyen durum sayısı

3 + 3 - 1 = 5

olur. Geriye kalan uygun durum sayısı

36 - 5 = 31

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm kısıtlamalar yok sayılarak oluşturulabilecek toplam ekip sayısını hesapla.

3 (Yönetici) × 4 (Sorumlu) × 3 (Analist) = 36 farklı ekip.

Sayma kurallarından çarpma ilkesi kullanılarak genel durum bulunur.

2

İstenmeyen durumları (kısıtlamaları) belirle ve sayılarını hesapla.

Durum 1 (Kemal ve Levent birlikte): 1 × 1 × 3 = 3 durum.
Durum 2 (Levent ve Metin birlikte): 3 × 1 × 1 = 3 durum.

İstenmeyen durumların her biri ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

3

İki istenmeyen durumun kesişimini (hem Kemal, hem Levent, hem Metin'in olduğu durum) bul.

1 (Kemal) × 1 (Levent) × 1 (Metin) = 1 durum.

Kümelerde birleşim formülü (s(A∪B) = s(A) + s(B) - s(A∩B)) gereği, iki kez çıkarılan ortak kesişim kümesi belirlenmelidir.

4

Toplam istenmeyen durum sayısını hesapla ve tüm durumlardan çıkar.

Toplam İstenmeyen = 3 + 3 - 1 = 5.
Sonuç = 36 - 5 = 31.

Tüm durumlardan kurala uymayan durumlar çıkarılarak uygun ekip sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

İçerme-Dışlama Prensibi (Kümeler ve Sayma)

İpuçları

1

Problemi çözmek için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemini kullanmayı deneyin.

2

İstenmeyen durumları hesaplarken, Kemal ve Levent'in birlikte olduğu durumlar ile Levent ve Metin'in birlikte olduğu durumları ayrı ayrı düşünün.

3

İki istenmeyen durumu topladığınızda, her üç ismin (Kemal, Levent, Metin) de bulunduğu durumu iki kere saymış oluyorsunuz. Bunu düzeltmek için kesişimi bir kez çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

İçerme-dışlama prensibini pekiştirmek için 3 kümeli (A, B, C dillerini bilenler) problem sorularına göz atın.

Alternatif Yöntem

Durum Analizi Yöntemi (Toplama Kuralı):
Problemi 'Levent'in seçildiği' ve 'Levent'in seçilmediği' durumlar olarak ikiye ayırın.
1. Durum (Levent YOK): Yönetici (3) × Sorumlu (Levent hariç 3) × Analist (3) = 27 durum.
2. Durum (Levent VAR): Yönetici (Kemal hariç 2) × Sorumlu (1) × Analist (Metin hariç 2) = 4 durum.
Toplam: 27 + 4 = 31 durum.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 51Soru →

Bir düzlemde bulunan 6 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu doğrulardan sadece 2 tanesi birbirine paraleldir.
* Geriye kalan 4 doğru, ne birbirlerine ne de paralel olan doğrulara paraleldir.
* Doğruların herhangi üçü aynı noktada kesişmemektedir.

Buna göre, bu 6 doğru en çok kaç farklı noktada kesişir?

11

12

13

14

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Doğruların oluşturabileceği maksimum kesişim sayısı 14'tür.

6 farklı doğrunun oluşturabileceği maksimum kesişim sayısı C(6,2) = 15'tir. Ancak soruda 2 doğrunun birbirine paralel olduğu belirtilmiştir. Paralel doğrular kesişmediği için, bu doğruların kendi aralarında oluşturabileceği C(2,2) = 1 kesişim noktası toplam sayıdan çıkarılmalıdır. Sonuç: 15 - 1 = 14 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm durumların hesaplanması

C(6, 2) = 15

Herhangi bir şart olmasaydı, 6 doğru en çok C(6,2) kadar noktada kesişirdi.

2

Kesişmeyen durumların belirlenmesi

C(2, 2) = 1

Verilen 2 doğru birbirine paralel olduğu için asla kesişmezler. Bu 1 olası kesişim gerçekleşmez.

3

Sonucun bulunması

15 - 1 = 14

Tüm olası kesişim sayısından, gerçekleşmeyen (paralel doğrular arasındaki) kesişim sayısı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Doğruların Kesişimi

İpuçları

1

Öncelikle hiçbir paralellik şartı olmasaydı 6 doğrunun kaç noktada kesişeceğini hesaplayın.

2

n tane doğru en çok C(n, 2) noktada kesişir. Paralel olan doğrular ise asla kesişmez.

3

C(6, 2) değerinden, paralel olan 2 doğrunun kendi arasındaki olası kesişim sayısını (yani 1'i) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için 'Bir çember üzerindeki 5 nokta ve dışındaki 3 doğru en çok kaç noktada kesişir?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Yapılandırmacı yöntem: Paralel olmayan 4 doğru kendi aralarında C(4,2)=6 noktada kesişir. Bu 4 doğrunun her biri, 2 paralel doğruyu da keser (4x2=8 nokta). Paralel doğrular birbiriyle kesişmez (0 nokta). Toplam: 6 + 8 + 0 = 14.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 52Soru →

\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7

ifadesinin binom açılımında

x^5

li terimin katsayısı kaçtır?

-560

560

-280

280

-35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -560

Cevap

İstenen katsayı -560'tır.

Genel terim formülü

\binom{7}{r}(2x^2)^{7-r}(-x^{-1})^r

kullanıldığında,

x

'in kuvvetinin 5 olması için

r=3

bulunur. Bu durumda katsayı

\binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Binom açılımının genel terim formülünü yaz.

\binom{n}{r} (a)^{n-r} (b)^r

Herhangi bir terimi bulmak için genel formül kullanılır.

2

Verilen ifadedeki değerleri formüle yerleştir (

n=7

,

a=2x^2

,

b=-x^{-1}

).

\binom{7}{r} (2x^2)^{7-r} (-x^{-1})^r = \binom{7}{r} 2^{7-r} x^{2(7-r)} (-1)^r x^{-r}

Değişkenlerin kuvvetlerini birleştirebilmek için terimler düzenlenir.

3

x'in kuvvetlerini toparla ve istenen

x^5

kuvvetine eşitle.

x^{14-2r-r} = x^{14-3r} \Rightarrow 14-3r = 5 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r=3

Hangi terimin

x^5

içerdiğini bulmak için r değeri hesaplanmalıdır.

4

Bulunan r=3 değerini katsayı kısmında yerine yaz ve hesapla.

Katsayı =

\binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560

Kombinasyon, üslü sayı ve işaret çarpımı yapılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı Genel Terim Formülü

İpuçları

1

Binom açılımının genel terim formülü

\binom{n}{r} x^{n-r} y^r

şeklindedir.

2

İfadede

a=2x^2

ve

b=-x^{-1}

olarak düşünülmelidir.

x

'in kuvvetlerini bir araya getirerek

x^5

olması için gereken

r

değerini bulunuz.

3

x

'in kuvveti

2(7-r) + (-1)(r) = 14-3r

olacaktır. Bu ifadeyi 5'e eşitleyerek

r

değerini bulun ve katsayıyı hesaplayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 53Soru →

\left( ax^2 - \frac{1}{x} \right)^n

ifadesinin açılımında

7

terim bulunmaktadır. Bu açılımın sabit terimi

60

ve

a > 0

olduğuna göre, bu açılımdaki

x^3

lü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

-160

160

-80

120

-20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -160

Cevap

Söz konusu binom açılımında

x^3

lü terimin katsayısı

-160

olarak bulunur.

İfadenin açılımında

7

terim olması

n=6

olduğunu gösterir. Sabit terimin

x

'in üssünün sıfır olduğu (

r=4

) terim olduğu tespit edilip katsayı

15a^2=60

eşitliğinden

a=2

bulunur.

x^3

lü terim için gerekli olan

r=3

değeri yerine yazıldığında katsayı

\binom{6}{3} \cdot 2^3 \cdot (-1)^3 = -160

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Terim sayısından

n

değerini belirleme

n + 1 = 7 \Rightarrow n = 6

(x+y)^n

açılımında

n+1

tane terim bulunur.

2

Genel terim formülünü yazma

T_{r+1} = \binom{6}{r} (ax^2)^{6-r} \left( -\frac{1}{x} \right)^r = \binom{6}{r} a^{6-r} (-1)^r x^{12-2r-r}

Binom açılımındaki herhangi bir terimin yapısını belirlemek için genel formül kullanılır.

3

Sabit terimi bulmak için

x

'in üssünü sıfıra eşitleme

12 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4

Sabit terim, değişkenin (

x

) üssünün

0

olduğu terimdir.

4

a

değerini hesaplama

\binom{6}{4} a^{6-4} (-1)^4 = 60 \Rightarrow 15 a^2 = 60 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2

Sabit terimin değeri

60

olarak verildiği için denklem kurulur;

a > 0

olduğu için

2

seçilir.

5

x^3

lü terim için

r

değerini belirleme

12 - 3r = 3 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3

x^3

lü terimin katsayısını bulmak için üs

3

olmalıdır.

6

İstenen katsayıyı hesaplama

\binom{6}{3} a^{6-3} (-1)^3 = 20 \cdot 2^3 \cdot (-1) = 20 \cdot 8 \cdot (-1) = -160

Bulunan

n

,

a

ve

r

değerleri genel terim katsayısında yerine konur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı, terim sayısı ve sabit terim ilişkisi

Daha Fazla Pratik

Binom açılımında ortanca terimin katsayısını bulma veya rasyonel kuvvet içeren açılımlarda sabit terim bulma soruları çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 54Soru →

$E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için aşağıdaki olasılık fonksiyonları verilmiştir:

P(A) = 2x - \frac{1}{6}

P(B) = \frac{1}{3} - x

$A \subset B$ olduğu bilindiğine göre, $x$ gerçel sayısının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[\frac{1}{12}, \frac{1}{6}]

[\frac{1}{12}, \frac{1}{3}]

[-\frac{2}{3}, \frac{1}{6}]

[\frac{1}{6}, \frac{7}{12}]

[\frac{1}{12}, \frac{7}{12}]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[\frac{1}{12}, \frac{1}{6}]$

Cevap

x değerinin [1/12, 1/6] aralığında olması gerektiğini gösteren seçenek

Doğru cevap,

P(A)

ve

P(B)

'nin

[0,1]

aralığında olma şartları ile

A \subset B

olmasından kaynaklanan

P(A) \le P(B)

şartının ortak çözüm kümesidir. Bu üç eşitsizlik sisteminin kesişimi

[\frac{1}{12}, \frac{1}{6}]

aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık fonksiyonu tanımı gereği

0 \le P(A) \le 1

eşitsizliğini

x

için çözün.

0 \le 2x - \frac{1}{6} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{6} \le 2x \le \frac{7}{6} \Rightarrow \frac{1}{12} \le x \le \frac{7}{12}

Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır.

2

0 \le P(B) \le 1

eşitsizliğini

x

için çözün.

0 \le \frac{1}{3} - x \le 1 \Rightarrow -1 \le x - \frac{1}{3} \le 0 \Rightarrow -\frac{2}{3} \le x \le \frac{1}{3}

B olayının olasılığı da 0 ile 1 arasında olmalıdır.

3

A \subset B

olduğu için

P(A) \le P(B)

eşitsizliğini kurun ve çözün.

2x - \frac{1}{6} \le \frac{1}{3} - x \Rightarrow 3x \le \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \Rightarrow 3x \le \frac{3}{6} \Rightarrow x \le \frac{1}{6}

Bir küme diğerinin alt kümesi ise, olasılığı kapsayan kümenin olasılığından büyük olamaz.

4

Elde edilen üç aralığın kesişimini (ortak çözüm kümesini) bulun.

1)

x \ge \frac{1}{12}

, 2)

x \le \frac{1}{3}

, 3)

x \le \frac{1}{6}

. Ortak aralık:

[\frac{1}{12}, \frac{1}{6}]

x değeri tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu Özellikleri ve Alt Küme İlişkisi

İpuçları

1

Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır (

0 \le P(E) \le 1

).

P(A)

ve

P(B)

için bu eşitsizlikleri ayrı ayrı yazın.

2

A

kümesi

B

kümesinin alt kümesi (

A \subset B

) ise,

A

'nın olasılığı

B

'nin olasılığından büyük olamaz (

P(A) \le P(B)

).

3

Üç farklı eşitsizlik elde edeceksiniz:

P(A)

sınırları,

P(B)

sınırları ve

P(A) \le P(B)

. Bu üçünün de aynı anda sağlandığı

x

aralığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'ayrık olaylar' (

A \cap B = \emptyset

) verilip

P(A \cup B)

'nin alabileceği en büyük değer sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde

P(A)

'nın tanımlı olduğu aralığı,

P(B)

'nin tanımlı olduğu aralığı ve

P(A) \le P(B)

eşitsizliğinin çözümünü çizerek kesişim bölgesini görsel olarak belirleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 55Soru →

\left( x^2 - \frac{a}{x} \right)^7

ifadesinin binom açılımında

x^2

li terimin katsayısı ile

x^5

li terimin katsayısının toplamı

280

dir. Buna göre,

a

nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-2

-1

1

2

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen binom açılımında katsayılar toplamı koşulunu sağlayan değer 2'dir.

Genel terim formülü uygulandığında

x^2

li terimin katsayısı

35a^4

,

x^5

li terimin katsayısı ise

-35a^3

olarak bulunur. Bu iki katsayının toplamı olan

35a^4 - 35a^3 = 280

denklemi sadeleştirildiğinde

a^4 - a^3 = 8

elde edilir. Bu eşitliği sağlayan tek tam sayı değeri 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel terim formülünü yaz

T_{r+1} = \binom{7}{r} \cdot (x^2)^{7-r} \cdot \left( -\frac{a}{x} \right)^r = \binom{7}{r} \cdot (-a)^r \cdot x^{14-3r}

Binom açılımındaki herhangi bir terimin yapısını ve

x

in kuvvetini belirlemek için gereklidir.

2

x^2

li terimi belirle

14 - 3r = 2 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4

. Katsayı:

\binom{7}{4} \cdot (-a)^4 = 35a^4

x^2

li terimin hangi

r

değerine karşılık geldiğini bulmak ve katsayısını hesaplamak için kullanılır.

3

x^5

li terimi belirle

14 - 3r = 5 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3

. Katsayı:

\binom{7}{3} \cdot (-a)^3 = -35a^3

x^5

li terimin hangi

r

değerine karşılık geldiğini bulmak ve katsayısını hesaplamak için kullanılır.

4

Katsayıları topla ve denklemi çöz

35a^4 - 35a^3 = 280 \Rightarrow a^4 - a^3 = 8 \Rightarrow a^3(a - 1) = 8

Soruda verilen katsayılar toplamı bilgisini matematiksel bir denkleme dönüştürmek için gereklidir.

5

Bilinmeyeni bul

a = 2

için

2^3 \cdot (2 - 1) = 8 \cdot 1 = 8

sağlanır.

Bulunan denklemi sağlayan

a

değerini tespit etmek için kullanılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü ve katsayı hesabı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 56Soru →

Bir $E = \{a, b, c, d\}$ örnek uzayı üzerinde tanımlı bir $P$ olasılık fonksiyonu için;

* $P(\{a, b\}) = \frac{3}{5}$
* $P(\{b, c\}) = \frac{1}{2}$
* $P(\{c, d\}) = \frac{2}{5}$

eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, $P(\{b\})$ değerinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

1/10

1/5

3/10

2/5

1/2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2/5

Cevap

P({b}) değerinin alabileceği en büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 2/5'tir.

Doğru cevap olan seçenek, olasılık fonksiyonunun her bir çıktı için [0, 1] aralığında değer alması zorunluluğunu doğru şekilde analiz eder.

P(a) = 0,6 - P(b)

olduğundan

P(b) \leq 0,6

;

P(c) = 0,5 - P(b)

olduğundan

P(b) \leq 0,5

ve

P(d) = P(b) - 0,1

olduğundan

P(b) \geq 0,1

sınırları elde edilir. Bu sınırların kesişimi

[0,1; 0,5]

aralığını verir. En büyük değer 0,5 ile en küçük değer 0,1 arasındaki fark 0,4 yani 2/5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması

P(a)=x, P(b)=y, P(c)=z, P(d)=w

olsun.

Örnek uzaydaki her bir çıktının olasılığını matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Denklemlerin kurulması

x+y=0,6

;

y+z=0,5

;

z+w=0,4

ve

x+y+z+w=1

.

Verilen olasılık değerlerini ve örnek uzayın toplam olasılığının 1 olması kuralını kullanmak için.

3

Tüm değişkenlerin y cinsinden ifadesi

x = 0,6 - y

,

z = 0,5 - y

ve

w = 0,4 - z = 0,4 - (0,5 - y) = y - 0,1

.

P({b}) yani y değişkenine bağlı sınırları belirleyebilmek için.

4

Olasılık sınırlarının uygulanması

0 \leq x, y, z, w \leq 1

olmalıdır. Buradan

y \leq 0,6

;

y \leq 0,5

ve

y \geq 0,1

bulunur. Aralık

[0,1; 0,5]

şeklindedir.

Bir olayın olasılığının 0 ile 1 arasında olması gerektiği kuralını uygulamak için.

5

Farkın hesaplanması

0,5 - 0,1 = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

.

Soruda istenen en büyük ve en küçük değer farkını bulmak için.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Sınır Koşulları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 57Soru →

Bir kamu kurumunun Bilgi İşlem Dairesi Başkanlığı, geliştirilen yazılım projelerini takip etmek amacıyla üç bileşenden oluşan bir "Proje Kayıt Kodu" sistemi oluşturmuştur.

Bu kodlama sisteminin bileşenleri ve seçenekleri aşağıdaki gibidir:

1. Hizmet Alanı: Eğitim, Sağlık, Adalet (3 seçenek)
2. Erişim Türü: Web, Mobil, Kiosk (3 seçenek)
3. Veri Gizliliği: Standart, Yüksek (2 seçenek)

Proje kodları oluşturulurken aşağıdaki sınırlamalara uyulması zorunludur:

* Adalet alanındaki projelerin tamamı Yüksek gizlilik seviyesinde olmalıdır.
* Sağlık alanındaki projeler için Kiosk erişim türü kullanılamamaktadır.
* Yüksek gizlilik gerektiren Eğitim projeleri Web üzerinden sunulmamaktadır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı Proje Kayıt Kodu oluşturulabilir?

10

12

14

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Geçerli koşulları sağlayan toplam 12 farklı proje kodu oluşturulabilir.

Soruda verilen üç değişken (Hizmet Alanı, Erişim Türü, Gizlilik) birbirine bağımlı kısıtlamalar içerdiğinden, hesaplamayı Hizmet Alanlarına göre parçalara ayırarak yapmak (Toplama Yoluyla Sayma) en doğru yöntemdir. Adalet için 3, Sağlık için 4 ve Eğitim için 5 geçerli durum vardır. Bunların toplamı 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir hizmet alanı için olası durumları ayrı ayrı analiz et.

Eğitim, Sağlık ve Adalet alanları için geçerli kombinasyonlar hesaplanacaktır.

Kısıtlamalar hizmet alanlarına göre değiştiği için toplama yoluyla sayma ilkesini kullanmak en güvenilir yöntemdir.

2

Adalet alanı için geçerli durumları hesapla.

Adalet projeleri sadece 'Yüksek' gizlilikte olabilir (1 seçenek). Erişim türünde kısıtlama yoktur (Web, Mobil, Kiosk = 3 seçenek). Toplam: 1 × 3 = 3 durum.

'Adalet alanındaki projelerin tamamı Yüksek gizlilik seviyesinde olmalıdır' kuralı uygulandı.

3

Sağlık alanı için geçerli durumları hesapla.

Sağlık projeleri 'Kiosk' olamaz (Geriye Web, Mobil kalır = 2 seçenek). Gizlilik kısıtlaması yoktur (Standart, Yüksek = 2 seçenek). Toplam: 2 × 2 = 4 durum.

'Sağlık alanındaki projeler için Kiosk erişim türü kullanılamamaktadır' kuralı uygulandı.

4

Eğitim alanı için geçerli durumları hesapla.

İki duruma ayıralım: 1) Gizlilik 'Standart' ise: Erişim Web, Mobil, Kiosk olabilir (3 durum). 2) Gizlilik 'Yüksek' ise: Erişim Web olamaz (Mobil, Kiosk kalır = 2 durum). Toplam: 3 + 2 = 5 durum.

'Yüksek gizlilik gerektiren Eğitim projeleri Web üzerinden sunulmamaktadır' kuralı uygulandı.

5

Tüm alanlardan elde edilen sonuçları topla.

Adalet (3) + Sağlık (4) + Eğitim (5) = 12 farklı kod.

Hizmet alanları ayrık kümeler olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma Prensibi)

İpuçları

1

Toplam olası durum sayısından gitmek yerine, her bir Hizmet Alanı (Eğitim, Sağlık, Adalet) için geçerli durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplamayı deneyin.

2

Adalet alanı için 'Gizlilik' seçeneği sadece 1 tanedir (Yüksek). Sağlık alanı için 'Erişim' seçeneği 2 tanedir (Web, Mobil).

3

Eğitim alanı için iki durumu ayrı düşünün: Gizlilik 'Standart' ise tüm erişimler serbesttir. Gizlilik 'Yüksek' ise Web yasaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, rakamları farklı 3 basamaklı sayı oluşturma problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar Yöntemi: Toplam durum (3×3×2 = 18). Çıkarılacaklar: 1) Adalet+Standart (3 durum), 2) Sağlık+Kiosk (2 durum), 3) Eğitim+Yüksek+Web (1 durum). 18 - (3+2+1) = 12.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 58Soru →

Bir kamu kurumunda aday memur eğitimi alan $5$ kişi arasından, kurum içi bir projede görevlendirilmek üzere $2$ kişilik bir çalışma grubu seçilecektir.

Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

7

10

15

20

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$

Cevap

Yapılabilecek farklı seçimlerin sayısı

10

olarak bulunur.

Verilen problemde

5

kişi arasından sıraya bakılmaksızın

2

kişi seçilmektedir. Bu bir kombinasyon problemidir ve

C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10

formülü ile çözülür.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin bir seçme (kombinasyon) mi yoksa sıralama (permütasyon) mı olduğunu belirleyin.

Kombinasyon (Seçme)

Grupta seçilen kişilerin kendi aralarındaki sırası önemli değildir, sadece grubun kimlerden oluştuğu önemlidir.

2

Kombinasyon formülünü (

C(n, r)

) yazın.

C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

n

elemanlı bir kümeden

r

elemanlı alt kümeler oluşturmak için bu genel formül kullanılır.

3

n = 5

ve

r = 2

değerlerini formülde yerine koyarak hesaplamayı yapın.

C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

5! / (2! \cdot 3!)

işlemi sadeleştirildiğinde pay kısmında

5 \times 4

, payda kısmında ise

2 \times 1

kalır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme), nesnelerin sırasına bakılmaksızın oluşturulan gruplardır.

İpuçları

1

Bu soruda kişilerin hangi sırayla seçildiği bir fark yaratır mı, yoksa sadece kimlerin seçildiği mi önemlidir?

2

Sıralama önemli değilse bu bir kombinasyon problemidir. 'Seçme' kelimesine odaklanın.

3

5

elemanlı bir kümeden

2

eleman seçmek için

C(5, 2)

hesaplamasını yapmalısınız:

(5 \times 4) / (2 \times 1)

.

Daha Fazla Pratik

Seçilen kişi sayısını artırarak (örneğin 3 kişi seçmek) sonucun değişip değişmediğini kontrol edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı olarak da düşünülebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 59Soru →

Bir kamu kurumu yemekhanesinde günlük menüde 3 farklı çorba, 5 farklı ana yemek ve 2 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Bir kurum çalışanı öğle yemeği için; bir çorba ve bir ana yemek veya bir ana yemek ve bir tatlı seçmek istemektedir. Buna göre, bu çalışan yemeğini kaç farklı şekilde seçebilir?

10

15

25

30

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Kurum çalışanı yemeğini 25 farklı şekilde seçebilir.

Çalışan iki farklı senaryodan birini tercih edecektir. İlk senaryo (çorba VE ana yemek) çarpma kuralına göre 15 farklı şekilde gerçekleşir. İkinci senaryo (ana yemek VE tatlı) ise 10 farklı şekilde gerçekleşir. Bu iki senaryo 'veya' bağlacı ile birbirine bağlı olduğu için, sonuçlar toplama kuralı ile birleştirilerek 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Çorba ve ana yemek ikilisinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplayınız.

3 \times 5 = 15

farklı seçim.

'Ve' bağlacı kullanıldığında, birbirine bağlı olayların sayıları çarpma kuralı ile hesaplanır.

2

Ana yemek ve tatlı ikilisinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplayınız.

5 \times 2 = 10

farklı seçim.

Yine 've' bağlacı gereği, ana yemek ve tatlı sayıları çarpılır.

3

Bulunan iki farklı durumun toplam seçenek sayısını bulunuz.

15 + 10 = 25

farklı seçim.

'Veya' bağlacı, birbirinden ayrık durumların (olayların) toplama kuralı ile birleştirilmesini gerektirir.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel Kuralları: Çarpma ve Toplama İlkesi

İpuçları

1

Sorudaki 've' ile 'veya' bağlaçlarına dikkat edin; biri çarpma, diğeri toplama işlemini işaret eder.

2

Önce sadece (çorba ve ana yemek) kaç farklı şekilde seçilir bunu bulun, sonra (ana yemek ve tatlı) durumunu hesaplayın.

3

Birinci grup

3 \times 5

, ikinci grup

5 \times 2

şeklindedir; bu iki sonucu toplamanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Bağlaçların yerini değiştirerek (örneğin sadece bir çorba veya bir ana yemek veya bir tatlı) soruyu tekrar çözerek toplama kuralını pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 60Soru →

Bir matematik testinde yer alan

(3x - 2y)^4

ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı ile terim sayısının toplamı kaçtır?

1

4

5

6

630

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen ifadenin katsayılar toplamı ile terim sayısının toplamı 6'dır.

Doğru yanıt olan 6 değeri; değişkenler yerine 1 yazılarak bulunan katsayılar toplamı olan 1 ile, kuvvetin bir fazlası alınarak bulunan terim sayısı olan 5'in toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazılır.

(3 \cdot 1 - 2 \cdot 1)^4 = (3 - 2)^4 = 1^4 = 1

Bir polinomda veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlere 1 değeri verilerek elde edilir.

2

İfadenin açılımındaki terim sayısı hesaplanır.

4 + 1 = 5

(ax + by)^n

açılımında terim sayısı her zaman kuvvetin bir fazlası, yani

n+1

kadardır.

3

Elde edilen iki değer toplanır.

1 + 5 = 6

Soru kökünde bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı için değişkenlere 1 verilir, terim sayısı ise n+1 formülüyle bulunur.

İpuçları

1

Katsayılar toplamını bulmak için x ve y yerine 1 yazmayı dene.

2

Binom açılımında terim sayısının, ifadenin üzerindeki sayının (n) bir fazlası olduğunu hatırla.

3

(3-2)^4

işleminin sonucuna, ifadenin kuvveti olan 4'ün bir fazlasını eklemelisin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin katsayıları değiştiğinde (örneğin 2x+3y) katsayılar toplamının nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

İsterseniz önce terim sayısını (4+1=5) belirleyip, ardından katsayılar toplamını (1) hesaplayarak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Sayma ve Olasılık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram