Diskriminant (Ayırma) Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir pazar araştırmacısı, müşterilerin kredi risk profillerini (düşük, orta, yüksek riskli) belirleyebilmek amacıyla demografik ve finansal değişkenleri kullanarak Adım Adım (Stepwise) Diskriminant Analizi uygulamaktadır. Araştırmacı, modele bağımsız değişkenlerin hangi sırayla ekleneceğini ve modelden nasıl çıkarılacağını belirleyen istatistiksel kriterleri değerlendirmektedir.

Bu analizin değişken seçme ve çıkarma süreciyle ( $F-to-enter$ ve $F-to-remove$ kriterleri) ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modele eklenecek yeni değişkenin modele girme kısmi F değerinin (

F-to-enter

) belirlenen eşik değerden büyük olması ve bu değişkenin Wilks' Lambda istatistiğini en aza indirmesi gerekir; ayrıca önceden modele girmiş bir değişkenin modelden çıkma kısmi F değeri (

F-to-remove

) eşik değerin altına düşerse bu değişken modelden çıkarılır.

Gruplar arası ayrım gücünü maksimize etmek amacıyla, her adımda Wilks' Lambda istatistiğini en büyük yapan (

1

'e en çok yaklaştıran) ve modele girme kısmi F değeri en düşük olan değişken modele dahil edilir.

Adım adım ayırma analizinde değişken seçimi yapılabilmesi için, analizdeki bağımlı değişkenin sürekli (nicel) bir ölçekle, modele eklenecek bağımsız değişkenlerin ise kategorik bir ölçekle ölçülmüş olması zorunludur.

Değişkenlerin modele girme önceliği, her adımda sınıflandırma matrisinin köşegenindeki beklenen hata oranını doğrudan sıfıra indirmesine bağlıdır; modele girme kısmi F değerleri dikkate alınmaz.

Adım adım yöntemde modele değişken ekleme veya çıkarma kararı alınırken, varyans-kovaryans matrislerinin homojenliği varsayımına en dayanıklı test olan Pillai İzi (Pillai's Trace) kullanılmak zorundadır; Wilks' Lambda hesaplaması bu süreçte kullanılamaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modele eklenecek yeni değişkenin modele girme kısmi F değerinin ( $F-to-enter$ ) belirlenen eşik değerden büyük olması ve bu değişkenin Wilks' Lambda istatistiğini en aza indirmesi gerekir; ayrıca önceden modele girmiş bir değişkenin modelden çıkma kısmi F değeri ( $F-to-remove$ ) eşik değerin altına düşerse bu değişken modelden çıkarılır.

Cevap

Modele eklenecek yeni değişkenin modele girme kısmi F değerinin (

F-to-enter

) belirlenen eşik değerden büyük olması ve bu değişkenin Wilks' Lambda istatistiğini en aza indirmesi gerekir; ayrıca önceden modele girmiş bir değişkenin modelden çıkma kısmi F değeri (

F-to-remove

) eşik değerin altına düşerse bu değişken modelden çıkarılır.

Adım adım (stepwise) diskriminant analizinde her aşamada aday değişkenler değerlendirilir. Eklenecek değişken, modele girme toleransını sağlamalı, kısmi F değeri (

F-to-enter

) kritik eşiği aşmalı ve modele eklendiğinde sistemin toplam Wilks' Lambda değerini en aza indiren değişken olmalıdır. Bunun yanında analiz dinamik bir süreçtir; yeni eklenen bir değişken, önceden modele dahil edilmiş bir değişkenin ayrım gücünü istatistiksel olarak anlamsız hale getirirse (kısmi F değeri

F-to-remove

eşiğinin altına düşerse), bu değişken modelden çıkarılır. Doğru cevap bu çift yönlü değerlendirme sürecini tam olarak açıklamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Adım adım diskriminant analizinde modele girme (

F-to-enter

) kuralını değerlendir.

Modele eklenecek değişkenin istatistiksel olarak anlamlı bir ayırma gücü sağlaması için kısmi F değerinin eşik değerden büyük olması ve Wilks' Lambda değerini en çok küçülten (minimize eden) değişken olması gerekir.

Wilks' Lambda açıklanamayan varyansı ölçer; en küçük Wilks' Lambda gruplar arasındaki en iyi ayrımı gösterir.

2

Modelden çıkarma (

F-to-remove

) kuralını değerlendir.

Yeni bir değişken modele eklendiğinde, daha önce modele girmiş olan bir değişkenin açıklayıcılık gücü düşebilir (çoklu bağlantı nedeniyle). Eğer mevcut bir değişkenin kısmi F değeri belirlenen çıkma eşiğinin altına düşerse modelden çıkarılır.

Adım adım yöntemin ileriye doğru seçim (forward) yönteminden farkı, modele giren değişkenlerin tekrar çıkabilmesine olanak tanımasıdır.

3

Seçenekleri bu kurallar ışığında incele.

Doğru değişken seçme ve çıkarma kuralını eksiksiz ve hatasız biçimde tanımlayan tek bir seçenek bulunmaktadır.

Diğer seçenekler Wilks' Lambda istatistiğinin yönünü, değişken ölçek türlerini veya kullanılan test istatistiğini yanlış tanımlamaktadır.

Anahtar Kavram

Adım Adım (Stepwise) Diskriminant Analizi Değişken Seçim Kriterleri

Soru 2Soru →

Bir banka, kredi başvurusunda bulunan müşterilerini "Onaylananlar" (Grup 1) ve "Reddedilenler" (Grup 2) olarak sınıflandırmak amacıyla İki Gruplu Diskriminant Analizi uygulamıştır. Analizde bağımsız değişkenler olarak $X_1$ (Aylık Gelir, bin TL) ve $X_2$ (Borç/Gelir Oranı, %) kullanılmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen bazı istatistikler şunlardır:
- Wilks' $\Lambda$ (Lambda) değeri: $0.45$
- Standardize edilmemiş diskriminant fonksiyonu: $D = -2.5 + 0.8X_1 - 1.2X_2$
- Standardize edilmiş diskriminant katsayıları: $Z_1 = 0.65$ ve $Z_2 = -0.85$

Buna göre, aylık geliri 5 bin TL ( $X_1 = 5$ ) ve borç/gelir oranı %2 ( $X_2 = 2$ ) olan yeni bir başvuru sahibinin analiz sonuçlarıyla değerlendirilmesine ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Wilks'

\Lambda

(Lambda) istatistiğinin

0.45

bulunması gruplar arası ayırma gücünün çok düşük olduğunu gösterir; çünkü bu değerin iyi bir ayrım için

1

'e yakın olması gerekir.

Analizin geçerli olabilmesi için bağımlı değişken olan müşteri kredi onay durumunun kategorik bir yapıdan çıkarılıp sürekli bir değişkene dönüştürülmesi gerekirdi.

Yeni başvurucunun diskriminant skoru

-0.9

'dur ve standardize katsayıların mutlak değerleri dikkate alındığında grupları ayırmada en yüksek göreli katkıya sahip değişken

X_2

'dir.

Sınıflandırma tablosu oluşturulurken beklenen hata oranı yalnızca doğru sınıflandırılan köşegen hücrelerin oranlanmasıyla bulunur, grupların öncelik olasılıkları hesaba katılmaz.

Değişkenlerin ayırma gücüne katkısını belirlemek için kullanılan standardize katsayılar ile değişkenlerin diskriminant fonksiyonuyla olan korelasyonlarını gösteren kanonik yükler tamamen aynı kavramlardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yeni başvurucunun diskriminant skoru $-0.9$ 'dur ve standardize katsayıların mutlak değerleri dikkate alındığında grupları ayırmada en yüksek göreli katkıya sahip değişken $X_2$ 'dir.

Cevap

Yeni başvurucunun diskriminant skoru

-0.9

'dur ve standardize katsayıların mutlak değerleri dikkate alındığında grupları ayırmada en yüksek göreli katkıya sahip değişken

X_2

'dir.

Diskriminant skoru, standardize edilmemiş katsayılar ve ham veriler kullanılarak

D = -2.5 + 0.8(5) - 1.2(2) = -0.9

şeklinde doğru hesaplanmıştır. Değişkenlerin fonksiyona göreli katkıları değerlendirilirken standardize edilmiş katsayıların mutlak değerleri dikkate alınır.

|-0.85| > |0.65|

olduğu için borç/gelir oranının (

X_2

) grupları ayırmadaki katkısı aylık gelirden (

X_1

) daha fazladır.

Adım Adım Çözüm

1

Standardize edilmemiş katsayıları kullanarak diskriminant skorunu hesapla.

D = -2.5 + 0.8(5) - 1.2(2) = -2.5 + 4.0 - 2.4 = -0.9

Bireylerin diskriminant skorları (D) hesaplanırken her zaman standardize edilmemiş (ham) katsayılar ve değişkenlerin orijinal değerleri kullanılır.

2

Standardize edilmiş katsayıların mutlak değerlerini karşılaştırarak değişkenlerin göreli katkısını belirle.

|Z_1| = |0.65| = 0.65

ve

|Z_2| = |-0.85| = 0.85

.

0.85 > 0.65

olduğundan

X_2

'nin katkısı daha büyüktür.

Değişkenlerin ayırma gücüne olan göreli katkıları değerlendirilirken işaretlere (yönlere) değil, standardize edilmiş katsayıların mutlak büyüklüklerine bakılır.

Anahtar Kavram

Diskriminant Skorunun Hesaplanması ve Katsayıların Yorumlanması

Soru 3Soru →

Bir araştırmacı, üç farklı müşteri segmentini harcama alışkanlıklarına göre sınıflandırmak amacıyla diskriminant (ayırma) analizi uygulamaktadır. Analizde modele alınan $X_1$ ve $X_2$ bağımsız değişkenlerinin grupları ayırma güçleri incelenmiş ve bu değişkenlere ait Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) istatistikleri sırasıyla $\Lambda_1 = 0,15$ ve $\Lambda_2 = 0,88$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca modelin genel ayırma gücünü test etmek için gruplar arası Mahalanobis uzaklıkları ( $D^2$ ) da incelenmiştir.

Bu analiz sonuçlarının ayırma gücü bağlamında değerlendirilmesiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Wilks' Lambda değerinin sıfıra yaklaşması gruplar arası ayrışmanın yüksek olduğunu gösterdiğinden,

X_1

değişkeninin ayırma gücü

X_2

değişkeninden daha yüksektir.

X_2

değişkenine ait Wilks' Lambda değeri 1'e daha yakın olduğu için, bu değişkenin grupları sınıflandırma ve ayırma gücü

X_1

değişkenine göre daha fazladır.

Wilks' Lambda istatistiği, matrislerin determinantları yerine izleri (trace) üzerinden hesaplandığı için

\Lambda_2

değeri, modelin açıklanan varyansının daha yüksek olduğuna işaret eder.

X_1

değişkeninin Wilks' Lambda değeri olan

0,15

, bu değişken kullanılarak yapılan sınıflandırma işlemindeki beklenen hata oranının

\%15

olduğunu belirtir.

Varyans-kovaryans matrislerinin homojenliği varsayımı sağlanmadığında bile, ayırma gücünün test edilmesinde Pillai İzi yerine daima Wilks' Lambda kullanılmalıdır çünkü her koşulda en güçlü istatistiktir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Wilks' Lambda değerinin sıfıra yaklaşması gruplar arası ayrışmanın yüksek olduğunu gösterdiğinden, $X_1$ değişkeninin ayırma gücü $X_2$ değişkeninden daha yüksektir.

Cevap

Wilks' Lambda değerinin sıfıra yaklaşması gruplar arası ayrışmanın yüksek olduğunu gösterdiğinden, X1 değişkeninin ayırma gücü X2 değişkeninden daha yüksektir.

Diskriminant (ayırma) analizinde Wilks' Lambda (

\Lambda

) değeri, grup içi açıklanamayan varyansın toplam varyansa oranını yansıtır. Bu değer 0 ile 1 arasında yer alır ve 0'a ne kadar yakınsa, bağımsız değişkenin grupları birbirinden ayırma gücü o kadar yüksektir.

\Lambda_1 = 0,15

değeri sıfıra oldukça yakınken,

\Lambda_2 = 0,88

değeri bire yakındır. Dolayısıyla

X_1

değişkeninin grupları ayırma potansiyeli çok daha fazladır.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin tanımını ve sınırlarını hatırlama.

\Lambda

, grup içi varyans-kovaryans matrisinin determinantının toplam varyans-kovaryans matrisinin determinantına oranıdır ve

0 \leq \Lambda \leq 1

aralığında değer alır.

Değişkenlerin ayırma gücünü karşılaştırmak için istatistiğin yönünü (hangi değerlerin daha iyi olduğunu) bilmek gerekir.

2

Verilen

\Lambda_1

ve

\Lambda_2

değerlerini karşılaştırma ve yorumlama.

\Lambda_1 = 0,15

değeri 0'a daha yakın,

\Lambda_2 = 0,88

değeri ise 1'e daha yakındır.

\Lambda

'nın küçük olması, modeldeki toplam varyansın büyük kısmının gruplar arası farklardan kaynaklandığını gösterir.

0'a yakın

\Lambda

değerleri grupların birbirinden daha belirgin şekilde ayrıldığını ifade eder.

3

Seçenekleri analiz etme ve yanılgıları eleme.

X_1

değişkeni (

\Lambda_1 = 0,15

),

X_2

değişkenine göre grupları çok daha iyi ayırmaktadır. Doğru yorumu içeren seçenek belirlenir.

Wilks' Lambda ile ilgili yaygın hata, değerin 1'e yaklaşmasının iyi olduğunu düşünmektir (ters yorumlama).

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda'nın Yorumlanması ve Ayırma Gücü

Soru 4Soru →

Bir araştırmacı, iki farklı müşteri segmentine (Segment 1 ve Segment 2) sahip bir bankanın müşterilerini risk profillerine göre ayırmak amacıyla diskriminant analizi uygulamış ve aşağıdaki sınıflandırma (karmaşıklık) matrisini elde etmiştir:

Gerçek Sınıf	Tahmin Edilen (Segment 1)	Tahmin Edilen (Segment 2)	Toplam
Segment 1	140	60	200
Segment 2	60	240	300
Toplam	200	300	500

Araştırmada aşağıdaki ek bilgiler verilmiştir:
- Bankanın tüm müşteri kitlesindeki öncelik (prior) olasılıkları Segment 1 için $p_1 = 0.30$ ve Segment 2 için $p_2 = 0.70$ 'dir.
- Gerçekte Segment 1'de olan bir müşteriyi Segment 2'ye yanlış atamanın maliyeti $C(2|1) = 400$ TL'dir.
- Gerçekte Segment 2'de olan bir müşteriyi Segment 1'e yanlış atamanın maliyeti $C(1|2) = 100$ TL'dir.

Buna göre, görünür (apparent) hata oranlarına dayalı olarak hesaplanan beklenen yanlış sınıflandırma maliyeti ( $\hat{ECM}$ ) tahmini değeri kaçtır?

70

65

60

50

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Doğru değer 50'dir.

Beklenen yanlış sınıflandırma maliyeti (ECM), her bir sınıf için öncelik olasılığı, koşullu hata olasılığı ve yanlış sınıflandırma maliyetinin çarpımlarının toplamıdır. Sınıflandırma matrisine göre koşullu hata oranları

\hat{P}(2|1) = 60/200 = 0.30

ve

\hat{P}(1|2) = 60/300 = 0.20

'dir. Verilen öncelik olasılıkları (

p_1=0.30

,

p_2=0.70

) ve maliyetler (

C(2|1)=400

,

C(1|2)=100

)

\hat{ECM} = p_1 \cdot \hat{P}(2|1) \cdot C(2|1) + p_2 \cdot \hat{P}(1|2) \cdot C(1|2)

formülünde yerine konulduğunda;

\hat{ECM} = (0.30 \times 0.30 \times 400) + (0.70 \times 0.20 \times 100) = 36 + 14 = 50

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Segment 1 için koşullu hata olasılığının hesaplanması

\hat{P}(2|1) = \frac{60}{200} = 0.30

Gerçekte Segment 1'de olup yanlışlıkla Segment 2'ye atananların tüm Segment 1'e oranı bulunmalıdır.

2

Segment 2 için koşullu hata olasılığının hesaplanması

\hat{P}(1|2) = \frac{60}{300} = 0.20

Gerçekte Segment 2'de olup yanlışlıkla Segment 1'e atananların tüm Segment 2'ye oranı bulunmalıdır.

3

Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (ECM) formülünün uygulanması

\hat{ECM} = (0.30 \times 0.30 \times 400) + (0.70 \times 0.20 \times 100) = 36 + 14 = 50

Her bir hata olasılığı, o sınıfın öncelik olasılığı (prior probability) ve yanlış atama maliyeti ile çarpılarak toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (Expected Cost of Misclassification - ECM) ve Koşullu Hata Oranları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 5Soru →

Bir araştırmacı, işletmelerin finansal başarı durumlarını "başarılı", "kısmen başarılı" ve "başarısız" olmak üzere üç grupta sınıflandırmak ve yeni kurulacak işletmelerin hangi başarı grubunda yer alacağını tahmin etmek amacıyla bir model kurmak istemektedir. Bu amaçla işletmelerin kârlılık oranı, borçluluk oranı ve aktif büyüklüğü gibi finansal göstergelerini kullanacaktır.

Buna göre, bu araştırmada uygulanacak diskriminant (ayırma) analizi ve varsayımları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Diskriminant analizinin uygulanabilmesi için bağımlı (grup) değişkenin sürekli bir ölçekle, bağımsız değişkenlerin ise kategorik yapıda ölçülmüş olması zorunludur.

Modelin ayırma gücünü test eden Wilks' Lambda istatistiğinin değerinin 1'e yaklaşması, bağımsız değişkenlerin grupları ayırma gücünün zayıf olduğunu gösterir.

Bağımsız değişkenlerin her bir grup düzeyinde çok değişkenli normal dağılım göstermesi varsayılır; değişkenlerin ayrı ayrı (marjinal) normal dağılması bu varsayımın sağlanması için yeterli değildir.

Analizin temel varsayımlarından biri, gruplara ait varyans-kovaryans matrislerinin evrende birbirine eşit (homojen) olmasıdır.

Sınıflandırma aşamasında beklenen hata oranının en aza indirilebilmesi için grupların evrendeki öncel (prior) olasılıkları dikkate alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Diskriminant analizinin uygulanabilmesi için bağımlı (grup) değişkenin sürekli bir ölçekle, bağımsız değişkenlerin ise kategorik yapıda ölçülmüş olması zorunludur.

Cevap

Yanlış olan ifade, bağımlı değişkenin sürekli, bağımsız değişkenlerin kategorik olması gerektiğini savunan ifadedir. Diskriminant analizinde yapı bunun tam tersidir.

Diskriminant (ayırma) analizinin en temel özelliği, bağımlı (grup) değişkenin isimsel veya sıralı (kategorik) bir ölçekle ölçülmüş olması, buna karşılık grupları birbirinden ayırmak için modele dahil edilen bağımsız değişkenlerin (tahmin ediciler) aralık veya oran (sürekli) ölçeğinde olmasıdır. Soruda 'bağımlı değişkenin sürekli, bağımsız değişkenlerin kategorik' olduğu belirtilerek yapı tam tersi biçimde verilmiştir. Bu durum aslında Varyans Analizi (ANOVA) veya t-testi gibi yöntemlerin yapısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmanın amacı ve değişkenlerin yapısını analiz et.

Araştırmada 3 sınıflı ('başarılı', 'kısmen başarılı', 'başarısız') kategorik bir bağımlı değişken ile oransal/sürekli bağımsız değişkenler (kârlılık oranı vb.) kullanılmaktadır.

Kullanılacak istatistiksel yöntemin doğasını belirlemek için değişken türlerinin bilinmesi gerekir.

2

Diskriminant analizinin tanımını ve amacını hatırla.

Diskriminant analizi, önceden belli olan kategorik gruplara (bağımlı değişken) sahip gözlemleri, bağımsız ve sürekli değişkenler kümesi yardımıyla birbirinden en iyi şekilde ayırmayı ve yeni gözlemleri sınıflandırmayı amaçlar.

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu test etmek için temel kavramların net olması şarttır.

3

Seçenekleri analiz varsayımları ve amacı kapsamında değerlendir.

Bağımlı değişkenin sürekli, bağımsızların kategorik olduğunu belirten ifade varyans analizinin (ANOVA) yapısını tarif etmektedir; diskriminant analizinin değil. Diğer tüm ifadeler diskriminant analizinin geçerli varsayımlarıdır.

Soruda 'yanlış' olan ifade istenmektedir.

Anahtar Kavram

Diskriminant analizinde değişken yapıları (kategorik bağımlı, sürekli bağımsız) ve temel analiz varsayımları.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, illeri gelişmişlik endekslerine göre (Düşük, Orta, Yüksek) üç farklı kategoriye ayırmak için çeşitli sosyo-ekonomik göstergeleri kullanarak aşamalı (stepwise) diskriminant çözümlemesi yürütmektedir. Analiz sürecinde, hangi sosyo-ekonomik göstergelerin sınıflandırma fonksiyonunda kalacağına F istatistikleri ve Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) katsayıları yardımıyla karar verilmektedir.

Bu analizin değişken seçimi ve değerlendirme aşamalarına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Sürece katılacak öngörücü değişkenin kısmi F değeri, önceden belirlenen

F_{giriş}

sınırından büyük olmalı ve bu değişkenin sisteme dâhil edilmesiyle elde edilen genel Wilks' Lambda katsayısında istatistiksel olarak anlamlı bir azalma sağlanmalıdır.

Sınıflar arası farklılığı en üst düzeye çıkarmak için, her bir aşamada Wilks' Lambda değerini en fazla artıran ve

1

'e en çok yaklaştıran gösterge seçilerek fonksiyona alınmalıdır.

Aşamalı yöntemin matematiksel olarak uygulanabilmesi için, gruplandırmayı temsil eden bağımlı değişkenin (gelişmişlik endeksi) kategorik yapıda değil, sürekli bir sayısal ölçekte olması şarttır.

Bağımsız değişkenlerin seçimi yapılırken grup varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği (homojenliği) varsayımı göz ardı edilebilir ve Box's M istatistiğine bakılmaksızın doğrudan fonksiyon katsayıları yorumlanır.

Sınıflandırma tablosu üzerinden beklenen hata oranı hesaplanırken, köşegen (çapraz) üzerinde bulunan değerler analizin başarısız atamalarını gösterdiği için bu hücrelerin toplamı dikkate alınır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürece katılacak öngörücü değişkenin kısmi F değeri, önceden belirlenen $F_{giriş}$ sınırından büyük olmalı ve bu değişkenin sisteme dâhil edilmesiyle elde edilen genel Wilks' Lambda katsayısında istatistiksel olarak anlamlı bir azalma sağlanmalıdır.

Cevap

Sürece katılacak öngörücü değişkenin kısmi F değerinin belirlenen kritik eşikten büyük olmasını ve modele dâhil edildiğinde Wilks' Lambda katsayısını anlamlı şekilde düşürmesini belirten ifadedir.

Aşamalı (stepwise) diskriminant analizinde, fonksiyona yeni bir değişkenin dâhil edilmesi için o değişkenin kısmi F değerinin önceden tanımlanmış kritik bir eşikten (F-to-enter) büyük olması şarttır. Bununla birlikte, değişkenin sisteme katılması gruplar arası ayrımı anlamlı derecede artırmalıdır; bu durum Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin istatistiksel olarak anlamlı ölçüde küçülmesi (

0

'a yaklaşması) ile teyit edilir. Çünkü Wilks' Lambda'nın küçülmesi, grup içi varyansın toplam varyans içindeki payının azaldığını ve gruplar arası farklılığın (ayırma kapasitesinin) yükseldiğini ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Aşamalı (stepwise) diskriminant analizinde değişken seçimi kriterlerinin istatistiksel dayanağını hatırlamak.

Modele bir değişkenin girebilmesi için F istatistiğinin (

F_{giriş}

) yeterince büyük olması ve gruba eklenmesinin ayırma gücünü artırması gerektiği tespit edilir.

Sınıflandırma fonksiyonunun optimize edilebilmesi için doğru öngörücülerin istatistiksel sınırları geçmesi zorunludur.

2

Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin özelliklerini ve yorumlama prensiplerini değerlendirmek.

Wilks' Lambda değerinin

0

ile

1

arasında değiştiği;

0

'a yaklaştıkça grup içi varyansın azaldığı ve gruplar arası farklılığın (ayırma gücünün) arttığı belirlenir.

Değişken seçim sürecinde ayırma kapasitesinin matematiksel olarak nasıl ölçüldüğünü kavramak, doğru yorumu yapabilmek için gereklidir.

3

Verilen seçenekleri temel analiz varsayımları çerçevesinde elemeye tabi tutmak.

Bağımlı değişkenin sürekli olması gerektiği, varyans-kovaryans homojenliğinin ihmal edilebileceği ve köşegen değerlerinin hatalı atamaları gösterdiği şeklindeki hatalı ifadeler elenerek değişken giriş kuralını doğru açıklayan ifade doğrulanır.

Kavramsal ve işlemsel çeldiricileri doğru tespit edebilmek, analizin tüm teorik çerçevesine hakim olmayı gerektirir.

Anahtar Kavram

Aşamalı Diskriminant Analizinde Değişken Seçim Kriterleri ve Wilks' Lambda İstatistiğinin Yorumlanması

Soru 7Soru →

Bir finansal analist, şirketleri "Düşük", "Orta" ve "Yüksek" riskli olmak üzere 3 gruba ayırmak amacıyla 4 farklı finansal oran ( $X_1, X_2, X_3, X_4$ ) kullanarak bir diskriminant (ayırma) analizi uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen iki diskriminant fonksiyonuna ( $Z_1$ ve $Z_2$ ) ait temel istatistikler ve standartlaştırılmış diskriminant katsayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İstatistik / Değişken	$Z_1$ Fonksiyonu	$Z_2$ Fonksiyonu
Wilks' $\Lambda$ (Lambda)	$0,25$	$0,85$
Özdeğer ( $\lambda$ )	$2,4$	$0,6$
$X_1$ Katsayısı	$0,85$	$-0,20$
$X_2$ Katsayısı	$-0,15$	$0,75$
$X_3$ Katsayısı	$0,45$	$0,55$
$X_4$ Katsayısı	$0,60$	$-0,10$

Bu analiz sonuçları ve diskriminant katsayılarının yorumlanması ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Birinci diskriminant fonksiyonunun grupları ayırma gücü ikinci fonksiyondan daha yüksektir ve birinci boyutta grupların ayrışmasına en fazla göreli katkıyı

X_1

değişkeni yapmıştır.

İkinci fonksiyonun Wilks'

\Lambda

değeri (

0,85

) daha yüksek olduğu için,

Z_2

fonksiyonu grupları

Z_1

fonksiyonundan daha iyi ayırt etmektedir.

Bu katsayıların elde edilebilmesi için bağımlı değişken olan risk gruplarının sürekli bir ölçekle ölçülmüş olması teorik bir zorunluluktur.

Sınıflandırma aşamasında modelin beklenen hata oranı hesaplanırken grupların öncel (prior) olasılıkları dikkate alınmaz; yalnızca köşegendeki doğru sınıflandırmaların oranı kullanılır.

Katsayılar elde edilirken gruplar içi (

W

) ve gruplar arası (

B

) matrisler kullanılır; matris çarpımında değişme özelliği olduğundan

W^{-1}B

ile

BW^{-1}

işlemleri aynı diskriminant skorlarını üretir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci diskriminant fonksiyonunun grupları ayırma gücü ikinci fonksiyondan daha yüksektir ve birinci boyutta grupların ayrışmasına en fazla göreli katkıyı $X_1$ değişkeni yapmıştır.

Cevap

Birinci diskriminant fonksiyonunun grupları ayırma gücü ikinci fonksiyondan daha yüksektir ve birinci boyutta grupların ayrışmasına en fazla göreli katkıyı

X_1

değişkeni yapmıştır.

Diskriminant analizinde ayırma gücü yüksek olan fonksiyonun Wilks' Lambda değeri küçük (sıfıra yakın), özdeğeri (eigenvalue) ise büyük olmalıdır. Tablo incelendiğinde

Z_1

fonksiyonunun bu kriterleri sağladığı ve daha güçlü bir ayırıcı olduğu görülür. Ayrıca, standartlaştırılmış katsayıların mutlak değeri, o değişkenin ilgili fonksiyondaki ayırıcılığa olan göreli katkısını gösterir.

Z_1

fonksiyonunda mutlak değerce en büyük katsayı

X_1

'e (

|0,85|

) ait olduğu için en büyük katkıyı bu değişken yapmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda ve Özdeğer (eigenvalue) istatistiklerini karşılaştırmak

Z_1

fonksiyonunun Wilks' Lambda değeri daha düşük (

0,25 < 0,85

) ve özdeğeri daha yüksektir (

2,4 > 0,6

).

Diskriminant fonksiyonlarının ayırma gücünü belirlemek için Wilks' Lambda'nın sıfıra yakın (küçük), özdeğerin ise büyük olması gerektiği kuralını uygulamak.

2

Standartlaştırılmış katsayıların mutlak değerlerini incelemek

Z_1

fonksiyonunda mutlak değerce en büyük katsayı

|0,85|

ile

X_1

değişkenine aittir.

Hangi değişkenin grupları ayırmada en fazla göreli katkıyı sağladığını standartlaştırılmış katsayıların büyüklüğüne bakarak tespit etmek.

Anahtar Kavram

Diskriminant fonksiyonlarının ayırma gücü (Wilks' Lambda ve Özdeğer) ve standartlaştırılmış katsayıların yorumlanması

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, ilçeleri sosyoekonomik durumlarına göre "Gelişmiş", "Gelişmekte Olan" ve "Az Gelişmiş" şeklinde önceden belirlenmiş üç farklı sınıfa ayırmak ve yeni verisi gelen bir ilçenin hangi sınıfa atanacağını tahmin etmek için bir sınıflandırma modeli geliştirmektedir. Uzman, tahmin edici olarak eğitim, sağlık ve altyapı harcamaları gibi sürekli ölçüme sahip çeşitli göstergeleri sürece dahil etmiştir.

Bu uzmanın tercih ettiği diskriminant analizi yöntemi ve dayandığı varsayımlar dikkate alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Ayırma fonksiyonlarının istatistiksel anlamlılığını test etmekte kullanılan Wilks' Lambda değerinin 1'e yaklaşması, gruplar arasındaki farklılaşmanın ve modelin ayırt ediciliğinin mükemmel olduğunu gösterir.

Tahmin edici olarak kullanılan nicel göstergelerin tek boyutlu (marjinal) normallik testlerini geçmesi, ayırma fonksiyonlarının türetilmesi için gereken çok değişkenli normalliğin de doğrulandığı anlamına gelir.

Geçerli bir sınıflandırma yapılabilmesi için, tahmin edici değişkenlerin her bir bağımlı değişken kategorisi içinde çok değişkenli normal dağılıma sahip olması ve grup varyans-kovaryans matrislerinin türdeş (homojen) olması beklenir.

Bu yöntemin doğru sonuçlar üretmesi için, ayrım yapılacak ilçelerin ait olduğu grupları belirten temel değişkenin kesintisiz (sürekli) bir ölçekle elde edilmiş olması gerekmektedir.

Örneklem çapının yeterince büyük olduğu durumlarda, gruplar arası varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği (homojenliği) varsayımının Box's M gibi bir testle sınanmasına lüzum kalmaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Geçerli bir sınıflandırma yapılabilmesi için, tahmin edici değişkenlerin her bir bağımlı değişken kategorisi içinde çok değişkenli normal dağılıma sahip olması ve grup varyans-kovaryans matrislerinin türdeş (homojen) olması beklenir.

Cevap

Geçerli bir sınıflandırma yapılabilmesi için, tahmin edici değişkenlerin her bir bağımlı değişken kategorisi içinde çok değişkenli normal dağılıma sahip olması ve grup varyans-kovaryans matrislerinin türdeş (homojen) olması beklenir.

Diskriminant analizinin uygulanabilmesi ve elde edilen sınıflandırma kurallarının güvenilir olması için tahmin edici (bağımsız) değişkenlerin her bir grup içerisinde çok değişkenli normal dağılıma sahip olması şarttır. Ayrıca gruplara ait varyans-kovaryans matrislerinin evrende birbirine eşit (homojen) olduğu varsayılır. Bu nedenle doğru seçenek bu iki temel varsayımı tam ve eksiksiz biçimde ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Analizin amacını belirleme

Diskriminant analizi kategorik grupları nicel bağımsız değişkenlerle en iyi şekilde sınıflandırmayı hedefler.

Yöntemin doğru bağlamda kullanıldığını doğrulamak ve temel felsefesini anlamak için.

2

Bağımlı ve bağımsız değişken yapılarını kontrol etme

Bağımlı değişken (gelişmişlik düzeyi) kategoriktir, tahmin edici değişkenler süreklidir.

Analizin geçerlilik şartlarından biri olan veri türlerini değerlendirmek için.

3

Parametrik varsayımları listeleme

Önemli varsayımlar: Çok değişkenli normallik ve varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği (homojenliği).

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu istatistiksel teorilere göre test etmek için.

4

Çeldirici ifadeleri çürütme

Marjinal normallik çok değişkenli normalliği sağlamaz, Wilks' Lambda 0'a yaklaştıkça ayırıcılık artar ve Box's M testi homojenlik için daima gereklidir.

Yanlış yargıları eleyerek bilimsel olarak en doğru ifadeye ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Diskriminant Analizinin Temel Varsayımları

Soru 9Soru →

Bir bankanın bireysel kredi değerlendirme sürecinde, müşteriler "Krediyi Geri Ödeyenler" ( $\Pi_1$ ) ve "Krediyi Geri Ödeyemeyenler" ( $\Pi_2$ ) olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Geçmiş verilere dayalı olarak geliştirilen bir diskriminant fonksiyonu için şu bilgiler elde edilmiştir:

- Krediyi geri ödeyen müşterileri doğru sınıflandırma oranı %90'dır.
- Krediyi geri ödeyemeyen müşterileri doğru sınıflandırma oranı %75'tir.
- Başvuru yapan müşteriler arasında krediyi geri ödeyememe oranı (öncel olasılık) %20'dir.

Banka, krediyi geri ödeyemeyecek bir müşteriyi "geri ödeyen" olarak sınıflandırıp kredi vermenin maliyetini, krediyi geri ödeyecek bir müşteriyi "geri ödeyemeyen" olarak sınıflandırıp reddetmenin maliyetinin tam 10 katı olarak belirlemiştir.

Buna göre, bu sınıflandırma kuralının Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (ECM), krediyi geri ödeyecek bir müşteriyi reddetme maliyeti ( $c$ ) cinsinden aşağıdakilerden hangisidir?

0,85c

1,30c

0,58c

2,60c

0,13c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,58c$

Cevap

Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (ECM) 0,58c'dir.

Diskriminant analizinde Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (ECM),

ECM = c(2|1) P(2|1) \pi_1 + c(1|2) P(1|2) \pi_2

formülü ile hesaplanır. Burada

\pi_1=0,80

,

\pi_2=0,20

,

P(2|1)=0,10

,

P(1|2)=0,25

,

c(2|1)=c

ve

c(1|2)=10c

olarak verilmiştir. Değerler formülde yerine konduğunda

c(0,10)(0,80) + 10c(0,25)(0,20) = 0,08c + 0,50c = 0,58c

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Öncel olasılıkların (

\pi_1

ve

\pi_2

) belirlenmesi

\pi_2 = 0,20

(Krediyi geri ödeyemeyenler) ve

\pi_1 = 1 - 0,20 = 0,80

(Krediyi geri ödeyenler).

Başvuran müşteriler arasındaki doğal dağılım öncel olasılıkları verir.

2

Koşullu yanlış sınıflandırma olasılıklarının (

P(2|1)

ve

P(1|2)

) hesaplanması

P(2|1) = 1 - 0,90 = 0,10

ve

P(1|2) = 1 - 0,75 = 0,25

.

Yanlış sınıflandırma olasılığı, gruba ait doğru sınıflandırma oranının 1'den çıkarılmasıyla elde edilir.

3

Yanlış sınıflandırma maliyetlerinin (

c(2|1)

ve

c(1|2)

) formülüze edilmesi

c(2|1) = c

ve

c(1|2) = 10c

.

Soruda verilen bilgiye göre,

\Pi_2

'deki birini

\Pi_1

atamanın (kredi vermenin) maliyeti,

\Pi_1

'deki birini

\Pi_2

atamanın (reddetmenin) maliyetinin 10 katıdır.

4

Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (ECM) formülünün uygulanması

ECM = c(2|1) P(2|1) \pi_1 + c(1|2) P(1|2) \pi_2 = c \cdot (0,10) \cdot (0,80) + 10c \cdot (0,25) \cdot (0,20) = 0,08c + 0,50c = 0,58c

.

ECM formülü, her iki tür hatanın olasılığının, o hatanın maliyeti ve grubun öncel olasılığı ile çarpımlarının toplamını ifade eder.

Anahtar Kavram

Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (Expected Cost of Misclassification - ECM)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 10Soru →

Bir araştırmacı, hastaları hastalığın şiddetine göre "Hafif", "Orta", "Ağır" ve "Kritik" olmak üzere $4$ gruba ayırmak amacıyla, hastaların $6$ farklı klinik ölçüm değerini (kan basıncı, nabız vb.) bağımsız değişken olarak kullanıp Çok Gruplu Diskriminant Analizi uygulamıştır.

Analiz sonucunda hesaplanan Wilks' Lambda istatistiği $0.12$ olarak bulunmuş; sınıflandırma (karmaşıklık) matrisinde ise toplam $200$ gözlemden $160$ 'ının köşegen (diyagonal) üzerinde yer aldığı görülmüştür.

Bu araştırma ve elde edilen bulgular ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bu veri seti için türetilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

3

'tür ve modelin doğru sınıflandırma oranı (hit ratio)

\%80

'dir.

Wilks' Lambda istatistiğinin

0.12

gibi

0

'a yakın bir değer alması, gruplar arası varyansın çok düşük olduğunu ve modelin ayırma gücünün zayıf olduğunu gösterir.

Modelin sınıflandırma performansı değerlendirilirken sınıflandırma matrisinin köşegen dışındaki elemanları dikkate alınmalı ve doğru sınıflandırma oranı

\%20

olarak hesaplanmalıdır.

Analizin geçerli olabilmesi için bağımlı değişken konumundaki hastalık şiddeti değişkeninin kategorik değil, mutlaka sürekli (nicel) bir ölçekle ölçülmüş olması gerekir.

Modelin istatistiksel anlamlılığını belirleyen Wilks' Lambda istatistiği, gruplar içi ve toplam varyans-kovaryans matrislerinin determinantları yerine izleri (trace) oranlanarak bulunur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu veri seti için türetilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı $3$ 'tür ve modelin doğru sınıflandırma oranı (hit ratio) $\%80$ 'dir.

Cevap

Bu veri seti için türetilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 3'tür ve modelin doğru sınıflandırma oranı (hit ratio) %80'dir.

Çok gruplu diskriminant analizinde çıkarılabilecek maksimum ayırma fonksiyonu sayısı,

\min(g-1, p)

formülü ile hesaplanır. Araştırmada

4

grup (

g=4

) ve

6

bağımsız değişken (

p=6

) bulunduğundan elde edilebilecek maksimum fonksiyon sayısı

\min(4-1, 6) = 3

'tür. Ayrıca sınıflandırma (karmaşıklık) matrisinde doğru tahmin edilen gözlemler matrisin köşegeninde toplanır. Toplam

200

gözlemin

160

'ı köşegende olduğuna göre, doğru sınıflandırma oranı (hit ratio)

160/200 = \%80

olmaktadır. Bu ifade tüm metrikleri doğru bir şekilde sunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Diskriminant fonksiyonu sayısını belirleme.

Maksimum fonksiyon sayısı

\min(g-1, p)

formülü ile bulunur. Grup sayısı

g=4

ve değişken sayısı

p=6

olduğundan

\min(4-1, 6) = 3

elde edilir.

Çok gruplu ayırma analizinde boyutsallık, grup sayısının bir eksiği ile bağımsız değişken sayısından hangisi küçükse onunla sınırlıdır.

2

Doğru sınıflandırma oranını (hit ratio) hesaplama.

Sınıflandırma matrisinin köşegeninde doğru atanan gözlemler yer alır.

160 / 200 = 0.80

yani

\%80

olarak hesaplanır.

Modelin sınıflandırma başarısı, gerçek grup ile tahmin edilen grubun eşleştiği (köşegen üzerindeki) gözlem sayısının toplam gözleme bölünmesiyle elde edilir.

3

Wilks' Lambda değerini yorumlama.

Wilks' Lambda değeri olan

0.12

,

0

'a yakın bir değerdir. Bu durum modelin ayırma gücünün oldukça yüksek olduğunu gösterir.

Wilks' Lambda grup içi varyansın toplam varyansa oranıdır; küçüldükçe grupların birbirinden iyi ayrıldığı (gruplar arası varyansın yüksek olduğu) anlaşılır.

4

Bağımlı değişken ve istatistik hesaplama varsayımlarını doğrulama.

Diskriminant analizinde bağımlı değişken daima kategoriktir. Ayrıca Wilks' Lambda, izler (trace) ile değil determinant oranları ile hesaplanır.

Bu kavramsal bilgiler ışığında diğer tüm ifadelerin hatalı olduğu teyit edilir.

Anahtar Kavram

Çok Gruplu Diskriminant Analizi Varsayımları ve Temel Metriklerin Yorumlanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) bünyesinde çalışan bir araştırmacı, haneleri tüketim harcamaları alışkanlıklarına göre 'Düşük Tüketim', 'Orta Tüketim' ve 'Yüksek Tüketim' olmak üzere önceden tanımlanmış üç sınıfa ayırmıştır. Araştırmacı, hanelerin aylık gelirleri, hanehalkı büyüklüğü ve kredi kartı borç yükü gibi faktörlerin bu sınıflamayı ne derece açıkladığını belirlemek ve yeni hanelerin hangi sınıfa gireceğini tahmin etmek amacıyla bir diskriminant (ayırma) analizi modeli kurmuştur.

Bu araştırmacının uygulayacağı diskriminant analizinin temel amacı ve varsayımları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modelin kurulabilmesi için bağımlı değişkenin en az eşit aralıklı ölçekle, bağımsız değişkenlerin ise kategorik ölçekle ölçülmüş olması zorunludur.

Diskriminant analizinin temel amacı, önceden tanımlanmış kategorik bağımlı değişkene ait sınıfları, sürekli ölçülmüş bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonları aracılığıyla birbirinden en iyi şekilde ayırmaktır.

Modelin grupları ayırma gücünü sınayan Wilks' Lambda istatistiğinin değerinin

1

'e yaklaşması, bağımsız değişkenlerin haneleri tüketim sınıflarına mükemmel bir şekilde ayrıştırdığı anlamına gelir.

Çok değişkenli normallik varsayımının sağlanması için, modele dahil edilen her bir bağımsız değişkenin ayrı ayrı (marjinal olarak) normal dağılması tek başına yeterli bir koşuldur.

Analizin geçerli sonuçlar verebilmesi için, tüketim sınıflarına ait evren varyans-kovaryans matrislerinin birbirinden farklı (heterojen) olması ve Box's M testinin anlamlı (

p < 0.05

) çıkması beklenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Diskriminant analizinin temel amacı, önceden tanımlanmış kategorik bağımlı değişkene ait sınıfları, sürekli ölçülmüş bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonları aracılığıyla birbirinden en iyi şekilde ayırmaktır.

Cevap

Diskriminant analizinin temel amacı, önceden tanımlanmış kategorik bağımlı değişkene ait sınıfları, sürekli ölçülmüş bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonları aracılığıyla birbirinden en iyi şekilde ayırmaktır.

Verilen seçenekler incelendiğinde doğru olan tek ifade, diskriminant analizinin temel mekanizmasını ve değişken yapısını açıklayan ifadedir. Diskriminant analizi, birimlerin ölçülen sürekli bağımsız değişken değerleri üzerinden, önceden tanımlanmış kategorik bağımlı değişken sınıflarından hangisine ait olduğunu tahmin eden ve bu sınıflar arası ayrışmayı en çoklayan doğrusal fonksiyonlar bulmayı amaçlar.

Adım Adım Çözüm

1

Diskriminant analizinin genel amacını ve değişken yapılarını hatırlamak.

Bağımlı değişkenin (tüketim sınıfları) önceden tanımlı kategorik gruplardan oluşması, bağımsız değişkenlerin (gelir, borç) ise sürekli (en az aralık ölçeğinde) olması gerektiği sonucuna varılır.

Değişkenlerin ölçme düzeyleri, analizin doğru istatistiksel temele oturması için temel ön koşuldur.

2

Yöntemin istatistiksel varsayımlarını ve test istatistiklerinin yorumlarını değerlendirmek.

Bağımsız değişkenlerin her grupta çok değişkenli normal dağılması (marjinal normalliğin yetmediği) ve grupların varyans-kovaryans matrislerinin homojen olması gerektiği (Box's M testinin anlamsız olması) belirlenir. Ayrıca Wilks' Lambda değerinin

0

'a yaklaşmasının iyi ayırıma işaret ettiği hatırlanır.

Yanlış seçeneklerdeki kavram yanılgılarını (heterojen matris beklentisi, Wilks' Lambda'nın ters yorumlanması vb.) tespit edebilmek için bu teorik yapı şarttır.

3

Seçeneklerdeki ifadeleri bu teorik kurallarla karşılaştırmak.

Sadece temel amacı ve değişken yapılarını açıklayan ifadenin tümüyle doğru olduğu, diğer seçeneklerin analiz varsayımlarını kasıtlı olarak hatalı sunduğu görülür.

Soruda 'hangisi doğrudur?' sorulduğu için yanlış yargıları eleyerek doğru ifadeyi kesinleştirmek gerekir.

Anahtar Kavram

Diskriminant Analizinin Amacı ve Varsayımları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Diskriminant (ayırma) analizinde kurulan matematiksel modelin geçerliliği ve sınıflandırma kurallarının doğruluğu, veri setinin belirli istatistiksel varsayımları sağlamasına bağlıdır. Bu varsayımların ihlali, modelin hata oranlarını doğrudan etkiler ve ayırma fonksiyonlarının güvenirliğini düşürür.

Buna göre, diskriminant analizinin istatistiksel varsayımları ve temel amacı dikkate alındığında, aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

Doğrusal sınıflandırma kurallarının optimum şekilde elde edilebilmesi için, açıklayıcı değişkenler vektörünün her bir grup evreninde çok değişkenli normal dağılım göstermesi ve tüm grupların varyans-kovaryans matrislerinin birbirine eşit olması gerekir.

Modele dâhil edilen her bir bağımsız değişkenin kendi içinde tek tek marjinal normal dağılım göstermesi sağlandığında, istatistiksel olarak çok değişkenli normallik varsayımı da kesin olarak sağlanmış kabul edilir.

Diskriminant analizinde grupları birbirinden ayırmak için bağımlı değişkenin en az aralık ölçeğinde sürekli bir yapıya sahip olması, bağımsız değişkenlerin ise kategorik veri formatında tanımlanması zorunludur.

Modelin ayırma kapasitesini test eden Wilks'

\Lambda

(Lambda) istatistiğinin hesaplanan değerinin

1

'e yaklaşması, gruplar arası farklılıkların çok yüksek olduğunu ve başarılı bir sınıflandırma yapıldığını kanıtlar.

Varyans-kovaryans matrislerinin homojenliğini test eden Box's M istatistiğinde anlamlılık düzeyinin

p < 0.05

olarak bulunması, homojenlik varsayımının doğrulandığı anlamına gelir ve analize devam edilmesini destekler.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Doğrusal sınıflandırma kurallarının optimum şekilde elde edilebilmesi için, açıklayıcı değişkenler vektörünün her bir grup evreninde çok değişkenli normal dağılım göstermesi ve tüm grupların varyans-kovaryans matrislerinin birbirine eşit olması gerekir.

Cevap

Doğrusal sınıflandırma kurallarının güvenilirliği için, değişkenlerin her grupta çok değişkenli normal dağılması ve varyans-kovaryans matrislerinin homojen olması gerektiğini ifade eden değerlendirme doğrudur.

Doğru ifade, doğrusal diskriminant analizinin üzerine inşa edildiği istatistiksel temeli kusursuz şekilde tanımlamaktadır. Fisher'in doğrusal ayırma yaklaşımı, gözlemlerin

\Sigma_1 = \Sigma_2 = \dots = \Sigma_k

koşulunu sağlayan eşit varyans-kovaryans matrislerine sahip popülasyonlardan geldiğini ve değişkenler vektörünün her grupta çok değişkenli normal dağıldığını varsayar. Matrisler eşit olmadığında, doğrusal fonksiyon yerine karesel (kuadratik) diskriminant analizi kullanılması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Diskriminant analizinin bağımlı ve bağımsız değişken yapısını değerlendir.

Bağımlı değişkenin kategorik (gruplar), bağımsız değişkenlerin sürekli (nicel) olması gerekir.

Bağımlı değişkenin sürekli olması gerektiğini öne süren önermeler analizin amacına temelden aykırıdır.

2

Dağılım ve matris homojenliği varsayımlarını kontrol et.

Bağımsız değişken vektörü çok değişkenli normal dağılmalı ve grupların varyans-kovaryans matrisleri (

\Sigma_i

) birbirine eşit (homojen) olmalıdır.

Marjinal normallik tek başına yeterli değildir; doğrusal fonksiyon için

\Sigma_1 = \Sigma_2 = \dots = \Sigma_k

varsayımı Box's M testi ile (

p > 0.05

beklenir) desteklenmelidir.

3

Ayırma gücü istatistiklerinin (Wilks' Lambda) yorumlanışını analiz et.

Wilks' Lambda değerinin

1

'e yaklaşması ayırımın kötü,

0

'a yaklaşması ise ayırımın iyi olduğunu gösterir.

Ters yorum içeren seçenekler diskriminant fonksiyonunun gücünü yanlış değerlendirir.

Anahtar Kavram

Diskriminant Analizi Varsayımları ve Değişken Yapısı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) müfettişi, işletmeleri prim borcu ödeme alışkanlıklarına göre $\Pi_1$ (Düzenli Ödeyenler) ve $\Pi_2$ (Düzensiz Ödeyenler) olmak üzere iki sınıfa ayırmak için bir diskriminant fonksiyonu elde etmiştir. Elde edilen fonksiyon kullanılarak 200 işletmelik bir örneklem üzerinde aşağıdaki sınıflandırma matrisi (karmaşıklık matrisi) oluşturulmuştur:

Gerçek Sınıf	Atanan Sınıf: $\Pi_1$	Atanan Sınıf: $\Pi_2$	Toplam
$\Pi_1$ (Düzenli)	45	5	50
$\Pi_2$ (Düzensiz)	45	105	150
Toplam	90	110	200

Buna göre, kurulan diskriminant fonksiyonunun görünür hata oranı (APER) ile gerçekte düzensiz ödeyen bir işletmenin düzenli ödeyen olarak sınıflandırılma olasılığı $P(1|2)$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,25

ve

0,30

0,25

ve

0,10

0,25

ve

0,50

0,75

ve

0,30

0,75

ve

0,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,25$ ve $0,30$

Cevap

Görünür hata oranı

0,25

ve

P(1|2)

olasılığı

0,30

değerlerini veren seçenektir.

Sınıflandırma matrisinde doğru sınıflandırmalar köşegende (45 ve 105) yer alır. Hatalı sınıflandırmalar ise köşegen dışındaki 5 ve 45'tir. Görünür Hata Oranı (APER), hatalı sınıflandırılanların toplamının genel toplama bölünmesiyle bulunur:

\frac{5 + 45}{200} = \frac{50}{200} = 0,25

. Gerçekte

\Pi_2

(Düzensiz) olup

\Pi_1

'e (Düzenli) atananların koşullu olasılığı

P(1|2)

ise, bu hataya düşen gözlem sayısının (45) gerçek

\Pi_2

toplamına (150) bölünmesiyle hesaplanır:

\frac{45}{150} = 0,30

.

Adım Adım Çözüm

1

Görünür hata oranını (APER) hesaplamak için hatalı atanan gözlem sayılarını belirleme.

Hatalı atananlar matrisin köşegeni dışındakilerdir:

n_{12} = 5

ve

n_{21} = 45

. Toplam hatalı atama

= 50

.

APER, kurulan modelin mevcut veri seti üzerindeki genel yanılma payını verir ve köşegen dışı değerlerin toplamıdır.

2

Görünür hata oranını (APER) hesaplama.

APER = \frac{50}{200} = 0,25

.

Görünür hata oranı, toplam hatalı sınıflandırma sayısının toplam gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir.

3

P(1|2)

koşullu hata olasılığını hesaplama.

P(1|2) = \frac{n_{21}}{n_2} = \frac{45}{150} = 0,30

.

P(1|2)

, gerçekte

\Pi_2

sınıfında olan gözlemlerin

\Pi_1

sınıfına atanma oranıdır. Bu nedenle ilgili satırdaki hatalı atanmış değer (45),

\Pi_2

satırının genel toplamına (150) bölünür.

Anahtar Kavram

Sınıflandırma Kuralları ve Hata Oranları (Beklenen Hata Oranı)

Soru 14Soru →

Çok değişkenli istatistiksel analiz yöntemlerinden biri olan Diskriminant (Ayırma) Analizi'nin amacı ve temel varsayımları üzerine aşağıdaki değerlendirmeler yapılmıştır:

I. Analizin uygulanabilmesi için temel şartlardan biri, bağımlı (grup) değişkenin eşit aralıklı veya oran ölçeğinde ölçülmüş sürekli bir değişken olmasıdır.
II. Bağımsız değişkenlerin her birinin tek değişkenli (marjinal) normal dağılıma sahip olması, modelin gerektirdiği çok değişkenli normal dağılım varsayımının sağlandığını matematiksel olarak garanti eder.
III. Gruplara ait kitle varyans-kovaryans matrislerinin homojenliği varsayımı (Box's M testi ile sınanan varsayım) ihlal edildiğinde, sınıflandırma işleminde doğrusal (linear) yerine karesel (quadratic) diskriminant fonksiyonlarının kullanılması teorik olarak daha doğru sonuçlar üretir.
IV. Elde edilen ayırma fonksiyonlarının gücünü sınamak için hesaplanan Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) istatistiğinin değerinin 1'e yaklaşması, gruplar arası varyansın maksimize edildiğini ve modelin ayırma gücünün mükemmele yakınsadığını gösterir.

Diskriminant analizinin teorik altyapısı dikkate alındığında, yukarıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle yanlıştır?

I ve II

I ve IV

II ve IV

I, III ve IV

I, II ve IV

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve IV

Cevap

Yanlış olan ifadeler I, II ve IV numaralı öncüllerdir.

Diskriminant analizinde bağımlı değişken sürekli değil kategorik olmalıdır (I. ifade yanlış). Tek değişkenli normallik, çok değişkenli normalliği garanti etmez (II. ifade yanlış). Varyans-kovaryans matrisleri eşit olmadığında karesel diskriminant fonksiyonları kullanılır (III. ifade doğru). Wilks' Lambda değerinin 1'e yaklaşması ayırma gücünün iyi olduğunu değil, tam aksine ayırma işleminin başarısız olduğunu gösterir (IV. ifade yanlış). Soruda bizden kesinlikle yanlış olan ifadeler istendiği için yanıt I, II ve IV numaralı öncülleri içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülün kavramsal olarak değerlendirilmesi

I. ifade kesinlikle yanlıştır.

Diskriminant analizinde temel amaç gözlemleri önceden bilinen gruplara atamaktır. Bu nedenle bağımlı (grup) değişkenin yapısı sürekli değil, mutlaka kategorik (nominal veya ordinal) olmalıdır.

2

II. öncülün normallik varsayımı açısından değerlendirilmesi

II. ifade kesinlikle yanlıştır.

Çok değişkenli normallik varsayımı için marjinal (tek değişkenli) normallik gerekli bir koşuldur ancak yeterli bir koşul değildir. Değişkenlerin tek tek normal dağılması, ortaklaşa çok değişkenli normal dağılım sergilediklerini matematiksel olarak garanti etmez.

3

III. öncülün varyans-kovaryans matrislerinin homojenliği açısından değerlendirilmesi

III. ifade doğrudur.

Box's M testi ile sınanan varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği varsayımı ihlal edilirse (

\Sigma_i \neq \Sigma

), grupları ayıran sınırlar doğrusal (linear) olmaktan çıkar. Bu durumda Doğrusal Diskriminant Analizi yerine Karesel (Quadratic) Diskriminant Analizi yapılması teorik gerekliliktir.

4

IV. öncülün Wilks' Lambda (

\Lambda

) test istatistiği açısından değerlendirilmesi

IV. ifade kesinlikle yanlıştır.

Wilks' Lambda değeri 0 ile 1 arasında değer alır. Grup içi kareler toplamının, toplam kareler toplamına oranıdır. Değerin 1'e yaklaşması grup ortalamalarının farklılaşmadığını (ayırma gücünün olmadığını), 0'a yaklaşması ise grupların birbirinden çok iyi ayrıldığını gösterir.

Anahtar Kavram

Diskriminant Analizinin Temel Varsayımları ve Test İstatistiklerinin Yorumlanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 15Soru →

Bir Bölgesel Kalkınma Ajansı uzmanı, illeri gelişmişlik düzeylerine göre "Çok Yüksek", "Yüksek", "Orta", "Düşük" ve "Çok Düşük" olmak üzere 5 farklı kategoriye ayırmak amacıyla, illere ait 7 farklı sürekli makroekonomik göstergeyi bağımsız değişken olarak kullandığı bir Çok Gruplu Diskriminant Analizi gerçekleştirmektedir.

Buna göre, analizde elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı ve modelin ayırma gücünü değerlendirmede kullanılan istatistiklerin yorumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 4'tür; analizin genel anlamlılığını test eden Wilks' Lambda değerinin 0'a yaklaşması, makroekonomik göstergelerin grupları ayırmada yüksek bir güce sahip olduğunu gösterir.

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 4'tür; analizin genel anlamlılığını test eden Wilks' Lambda değerinin 1'e yaklaşması, makroekonomik göstergelerin grupları ayırmada yüksek bir güce sahip olduğunu gösterir.

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 7'dir; ayırma gücü, matrislerin determinantları yerine izleri (trace) kullanılarak hesaplanan Wilks' Lambda istatistiğinin 1'den büyük çıkmasıyla kanıtlanır.

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 6'dır; ayrıca diskriminant analizinin temel varsayımı gereği grupları temsil eden bağımlı değişkenin kategorik değil, sürekli bir ölçekle ölçülmüş olması gerekir.

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 5'tir; analizin tahmin başarısını ölçen doğru sınıflandırma oranı (hit ratio), sınıflandırma matrisinin köşegen dışındaki elemanlarının toplamının genel toplama bölünmesiyle bulunur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 4'tür; analizin genel anlamlılığını test eden Wilks' Lambda değerinin 0'a yaklaşması, makroekonomik göstergelerin grupları ayırmada yüksek bir güce sahip olduğunu gösterir.

Cevap

Doğru seçenekte, maksimum diskriminant fonksiyonu sayısının 4 olduğu ve Wilks' Lambda değerinin 0'a yaklaşmasının yüksek ayırma gücünü ifade ettiği belirtilmiştir.

Çok gruplu diskriminant analizinde türetilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

\min(g-1, p)

formülüyle belirlenir. Bu analizde

5

farklı gelişmişlik düzeyi (

g=5

) ve

7

farklı gösterge (

p=7

) kullanıldığından maksimum fonksiyon sayısı

\min(4, 7) = 4

'tür. Modelin genel istatistiksel anlamlılığını ve ayırma gücünü ölçen Wilks' Lambda istatistiği

0

ile

1

arasında değer alır;

0

'a yaklaştıkça modelin grupları birbirinden ayırma kabiliyetinin yüksek olduğu yorumu yapılır.

Adım Adım Çözüm

1

Maksimum elde edilecek diskriminant fonksiyonu sayısını hesaplama

g = 5

(kategori sayısı) ve

p = 7

(bağımsız değişken sayısı) olmak üzere,

\min(5-1, 7) = \min(4, 7) = 4

bulunur.

Çok gruplu diskriminant analizinde üretilebilecek maksimum ayırma fonksiyonu sayısı, grup sayısının bir eksiği ile bağımsız değişken sayısı değerlerinden küçük olanına eşittir.

2

Wilks' Lambda istatistiğini yorumlama

Wilks' Lambda değerinin

0

'a yaklaşması ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Wilks' Lambda, gruplar içi varyans-kovaryans matrisinin determinantının, toplam varyans-kovaryans matrisinin determinantına oranıdır. Değerin

0

'a yaklaşması gruplar arası farkın büyük olduğunu ifade eder.

Anahtar Kavram

Çok Gruplu Diskriminant Analizinde Fonksiyon Sayısı ve Ayırma Gücü

Soru 16Soru →

Bir bölge kalkınma ajansında görevli analist, illeri sosyoekonomik gelişmişlik düzeylerine göre üç farklı gruba ayırmak için dört adet sürekli değişken kullanarak çoklu diskriminant (ayırma) analizi gerçekleştirmiştir.

Yapılan analiz sonucunda, grup içi kareler ve çarpımlar toplamı matrisinin tersi ile gruplar arası kareler ve çarpımlar toplamı matrisinin çarpımına ( $W^{-1}B$ ) ait sıfırdan farklı özdeğerler $\lambda_1 = 4$ ve $\lambda_2 = 1$ olarak elde edilmiştir. (Sınıflandırma modelinde öncelik olasılıkları eşit varsayılmaktadır.)

Buna göre, modelin ayırma gücünün değerlendirilmesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Modelin genel ayırma gücünü ölçen Wilks' Lambda istatistiği, özdeğerlerin toplamı alınarak

5

olarak hesaplanır ve bu değer küçüldükçe modelin hata oranı artar.

Hesaplanan Wilks' Lambda değeri

0,10

'dur; ancak bu değerin

1

'den çok uzak olması, modelin grupları birbirinden ayırt etmede oldukça başarısız olduğunu ifade eder.

Hesaplanan Wilks' Lambda değeri

0,10

'dur ve gruplar arası Mahalanobis uzaklıkları arttıkça bu değerin sıfıra yaklaşması, değişkenlerin ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Birinci ayırma fonksiyonunun açıklayıcılık oranı

\%80

olduğu için, toplam Wilks' Lambda istatistiği doğrudan bu oran üzerinden

0,80

olarak kabul edilir.

Eşit öncelik olasılıkları altında, sınıflandırmaya ilişkin beklenen hata oranı, her bir özdeğerin tersinin toplamına eşit olan

1,25

değeri ile elde edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan Wilks' Lambda değeri $0,10$ 'dur ve gruplar arası Mahalanobis uzaklıkları arttıkça bu değerin sıfıra yaklaşması, değişkenlerin ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Cevap

Doğru yanıt, Wilks' Lambda değerinin 0,10 olarak hesaplandığını ve bu değer sıfıra yaklaştıkça gruplar arası Mahalanobis uzaklıklarının artarak modelin ayırma gücünün yükseldiğini ifade eden seçenektir.

Verilen

\lambda_1 = 4

ve

\lambda_2 = 1

özdeğerleri kullanılarak Wilks' Lambda istatistiği

\Lambda = \frac{1}{1+4} \times \frac{1}{1+1} = 0,10

şeklinde hesaplanır. Diskriminant analizinde Wilks' Lambda'nın sıfıra yaklaşması, değişkenlerin grupları birbirinden ayırma kapasitesinin çok yüksek olduğunu ve gruplar arasındaki merkezler arası ölçüm olan Mahalanobis uzaklığının genişlediğini teorik olarak doğrular.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen özdeğerler (

\lambda_1 = 4

ve

\lambda_2 = 1

) kullanılarak çoklu diskriminant analizi için Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin hesaplanması.

\Lambda = \frac{1}{1+4} \times \frac{1}{1+1} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = 0,10

Diskriminant analizinde

W^{-1}B

matrisinin özdeğerleri biliniyorsa, Wilks' Lambda istatistiği

\Lambda = \prod_{i=1}^{s} \frac{1}{1+\lambda_i}

formülü ile elde edilir.

2

Bulunan

0,10

değerinin, modelin ayırma gücü ve gruplar arası Mahalanobis uzaklığı bağlamında kavramsal olarak yorumlanması.

\Lambda = 0,10

değeri

0

'a oldukça yakındır. Bu durum, modeldeki varyansın büyük kısmının gruplar arası farklılıklardan kaynaklandığını ifade eder.

Wilks' Lambda, grup içi varyansın toplam varyansa oranıdır. Grupların ağırlık merkezleri (centroid) birbirinden uzaklaştıkça (Mahalanobis uzaklığı arttıkça)

\Lambda

değeri

0

'a yaklaşır, bu da ayırma (diskriminant) gücünün yüksek olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda İstatistiğinin Özdeğerlerle Hesaplanması ve Yorumlanması

Soru 17Soru →

Bir e-ticaret platformunun veri bilimi ekibi, müşterileri satın alma davranışlarına göre "Aktif", "Durgun" ve "Kayıp" olmak üzere üç farklı gruba ayırmak amacıyla Çoklu Diskriminant Analizi uygulamıştır. Analizde üç adet bağımsız değişken kullanılmıştır: $X_1$ (Platformda Geçirilen Ortalama Süre), $X_2$ (Aylık Ortalama Sipariş Tutarı) ve $X_3$ (Müşteri Şikayet Sayısı).

Analiz sonucunda elde edilen birinci ayırma fonksiyonu ( $Z_1$ ) için Wilks' $\Lambda$ istatistiği $0,18$ , ikinci ayırma fonksiyonu ( $Z_2$ ) için ise Wilks' $\Lambda$ istatistiği $0,76$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca, birinci diskriminant fonksiyonu ( $Z_1$ ) için elde edilen standardize edilmiş diskriminant katsayıları sırasıyla; $X_1$ için $0,38$ , $X_2$ için $0,84$ ve $X_3$ için $-0,52$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, gerçekleştirilen diskriminant analizi ve elde edilen bulgularla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Birinci fonksiyonda müşteri gruplarını birbirinden ayırmaya en yüksek bireysel katkıyı Aylık Ortalama Sipariş Tutarı (

X_2

) değişkeni sağlamaktadır.

Z_2

fonksiyonunun Wilks'

\Lambda

değeri (

0,76

) daha yüksek olduğundan, grupları ayırma gücü

Z_1

fonksiyonuna göre daha fazladır.

Analizin geçerli olabilmesi için bağımlı değişken olan müşteri gruplarının oranlı veya eşit aralıklı ölçek türüyle ölçülmüş olması gerekir.

Sınıflandırma matrisi oluşturulduğunda, köşegen üzerinde yer alan gözlem sayılarının toplam gözlem sayısına oranı, modelin beklenen hata oranını (expected error rate) verir.

Birinci diskriminant fonksiyonu (

Z_1

), analizde kullanılan bağımsız değişkenlerin veri setindeki toplam varyansını maksimum yapan doğrusal kombinasyondur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci fonksiyonda müşteri gruplarını birbirinden ayırmaya en yüksek bireysel katkıyı Aylık Ortalama Sipariş Tutarı ( $X_2$ ) değişkeni sağlamaktadır.

Cevap

Birinci fonksiyonda müşteri gruplarını birbirinden ayırmaya en yüksek bireysel katkıyı Aylık Ortalama Sipariş Tutarı (

X_2

) değişkeni sağlamaktadır.

Diskriminant analizinde, orijinal değişkenlerin ölçü birimlerinden kaynaklanan farklılıkları ortadan kaldırmak için katsayılar standardize edilir. Standardize edilmiş katsayıların mutlak değerleri, ilgili bağımsız değişkenin diskriminant fonksiyonuna olan göreli katkısını (önemini) ifade eder. Verilen katsayılar mutlak değerce incelendiğinde;

|0,84| > |-0,52| > |0,38|

olduğu görülmektedir. Katsayının negatif veya pozitif olması yönü belirtir, katkı düzeyini mutlak değer belirler. En yüksek mutlak değere sahip olan

X_2

değişkeni, grupları ayırmada en yüksek katkıyı sağlamıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Standardize edilmiş diskriminant katsayılarının mutlak değerlerini hesapla.

|0,38| = 0,38

,

|0,84| = 0,84

,

|-0,52| = 0,52

Standardize edilmiş katsayılar değişkenlerin ölçek farklılıklarından arındırılmıştır; bu nedenle bağımsız değişkenlerin ayırma fonksiyonuna göreli katkısı katsayıların mutlak değeri ile ölçülür.

2

Elde edilen mutlak değerleri büyüklüklerine göre sırala.

|0,84| > |-0,52| > |0,38|

yani

X_2 > X_3 > X_1

Sıralama, hangi değişkenin fonksiyon üzerinde en baskın etkiye sahip olduğunu gösterir.

3

En büyük mutlak değere sahip değişkeni belirle.

En büyük değere sahip değişkenin

X_2

(Aylık Ortalama Sipariş Tutarı) olduğu belirlenir.

Mutlak değeri en büyük olan değişken, o fonksiyon ekseninde grupları birbirinden ayırmaya en çok katkı sağlayan değişkendir.

Anahtar Kavram

Standardize Edilmiş Diskriminant Katsayıları ve Wilks' Lambda

Soru 18Soru →

Bir araştırmacı, hastaları klinik bulgularına göre "Hafif", "Orta" ve "Ağır" olmak üzere üç kategoriye ayırmak amacıyla Çoklu Diskriminant Analizi uygulamıştır. Hastaların sistolik kan basıncı ( $X_1$ ), kolesterol seviyesi ( $X_2$ ) ve açlık kan şekeri ( $X_3$ ) bağımsız değişkenler olarak modele alınmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen birinci diskriminant fonksiyonunun ( $Z_1$ ) standartlaştırılmış diskriminant katsayıları sırasıyla 0,82, -0,64 ve 0,35 olarak hesaplanmıştır. Modelin genel Wilks' $\Lambda$ (Lambda) değeri ise 0,18 olarak bulunmuştur.

Bu analiz sonuçları ve diskriminant analizinin teorik yapısı dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Diskriminant skorları hesaplanırken bu katsayılar değişkenlerin standartlaştırılmış (

Z

) değerleri ile çarpılmalıdır ve grupları ayırmada en yüksek nispi katkıyı sistolik kan basıncı (

X_1

) sağlamıştır.

Wilks'

\Lambda

değerinin 0,18 gibi 0'a yakın bir değer alması, modelin ayırma gücünün oldukça zayıf olduğunu ve grupların iyi ayrılamadığını gösterir.

Bu analizin geçerli olabilmesi için, bağımlı değişken olarak kullanılan hastalık seviyesi kategorilerinin sürekli (nicel) bir değişken yapısında ölçülmüş olması zorunludur.

Modelin beklenen hata oranı, sınıflandırma matrisinin (karmaşıklık matrisi) köşegeninde yer alan doğru sınıflandırılmış gözlem sayılarının toplam gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Diskriminant katsayılarının elde edilmesinde kullanılan

W^{-1}B

(Grup içi varyans-kovaryans matrisinin tersi ile gruplar arası matrisin çarpımı) işlemi, matris cebirinin değişme özelliği gereği

BW^{-1}

ile tamamen aynı sonucu verir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Diskriminant skorları hesaplanırken bu katsayılar değişkenlerin standartlaştırılmış ( $Z$ ) değerleri ile çarpılmalıdır ve grupları ayırmada en yüksek nispi katkıyı sistolik kan basıncı ( $X_1$ ) sağlamıştır.

Cevap

Standartlaştırılmış katsayıların mutlak değerlerine bakıldığında en büyük katkıyı sistolik kan basıncının sağladığını ve skor hesaplamasında standartlaştırılmış değişken değerlerinin kullanılması gerektiğini belirten ifade doğrudur.

Doğru ifade, standartlaştırılmış katsayıların yorumlanması ve diskriminant skorunun hesaplanma mantığıyla ilgilidir. Standartlaştırılmış diskriminant katsayılarının mutlak değerleri, değişkenlerin grupları ayırmadaki göreli önemini gösterir. Mutlak değerce en büyük katsayı

|0,82|

ile sistolik kan basıncına (

X_1

) ait olduğundan en yüksek katkıyı bu değişken sağlamıştır. Ayrıca, katsayılar standartlaştırılmış formda verildiğinde, her bir gözlemin diskriminant skoru hesaplanırken değişkenlerin orijinal (ham) değerleri değil, standartlaştırılmış

Z

skorları kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Katsayıların mutlak değerlerini karşılaştırma

X_1

için

|0,82|

,

X_2

için

|-0,64|

ve

X_3

için

|0,35|

bulunur.

Standartlaştırılmış diskriminant katsayılarının mutlak değeri, o değişkenin grupları ayırmadaki nispi (göreli) katkısını ifade eder. En büyük mutlak değer

X_1

'e aittir.

2

Diskriminant skorunun hesaplanma kuralını belirleme

Katsayılar standartlaştırıldığı için, formülde yerine konulacak bağımsız değişken değerleri de standartlaştırılmış

Z

skorları olmalıdır.

Ham katsayılar ham verilerle, standartlaştırılmış katsayılar ise standartlaştırılmış verilerle çarpılarak skor üretir.

3

Diğer seçeneklerdeki teorik ifadeleri analiz etme

Wilks' Lambda'nın ters yorumlandığı, bağımlı değişkenin sürekli sanıldığı, hata oranı ile isabet oranının karıştırıldığı ve matris çarpımında değişme özelliği varsayıldığı tespit edilir.

Diskriminant analizinin varsayımları, başarı ölçütleri ve ardındaki matris cebiri kurallarını doğru değerlendirmek için gereklidir.

Anahtar Kavram

Diskriminant Katsayıları ve Wilks' Lambda Yorumlaması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 19Soru →

Bir tarım araştırma enstitüsünde, elde edilen buğday tohumları morfolojik özelliklerine göre A türü ( $\Pi_1$ ) ve B türü ( $\Pi_2$ ) olarak sınıflandırılmaktadır. Geçmiş yıllardaki ekim verilerine göre, tohumların $\%60$ 'ının A türü, $\%40$ 'ının ise B türü olduğu bilinmektedir.

Geliştirilen bir diskriminant fonksiyonu, 200 adet tohumdan oluşan bir test verisine uygulanmış ve aşağıdaki sınıflandırma matrisi elde edilmiştir:

Gerçek Tür	$\Pi_1$ 'e Atanan	$\Pi_2$ 'ye Atanan	Toplam
$\Pi_1$ (A Türü)	135	15	150
$\Pi_2$ (B Türü)	25	25	50

Buna göre, hatalı sınıflandırma maliyetlerinin eşit olduğu varsayımı altında, bu diskriminant fonksiyonu için hesaplanan Beklenen Hata Oranı kaçtır?

0{}20

0{}26

0{}30

0{}34

0{}74

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0{}26$

Cevap

Beklenen Hata Oranı

0{}26

olarak hesaplanır.

Beklenen Hata Oranı, sistemin hatalı karar verme olasılığının genel bir ölçüsüdür ve

p_1 \cdot P(2|1) + p_2 \cdot P(1|2)

formülü ile hesaplanır. Tablodan

\Pi_1

grubunun hata olasılığı

P(2|1) = 15/150 = 0{}10

ve

\Pi_2

grubunun hata olasılığı

P(1|2) = 25/50 = 0{}50

olarak bulunur. Önsel olasılıklar olan

0{}60

ve

0{}40

ile bu hata olasılıkları çarpılıp toplandığında sonucun

0{}26

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgilere göre önsel olasılıkları (

p_1

ve

p_2

) belirle.

p_1 = P(\Pi_1) = 0{}60

ve

p_2 = P(\Pi_2) = 0{}40

Beklenen hata oranı hesaplanırken her sınıfın popülasyonda bulunma sıklığını ifade eden önsel olasılıklar temel alınır.

2

Sınıflandırma matrisini kullanarak

\Pi_1

grubunun

\Pi_2

olarak sınıflandırılma olasılığını (

P(2|1)

) hesapla.

P(2|1) = 15 / 150 = 0{}10

Gerçekte

\Pi_1

olan 150 gözlemin 15'i

\Pi_2

olarak hatalı atanmıştır.

3

Sınıflandırma matrisini kullanarak

\Pi_2

grubunun

\Pi_1

olarak sınıflandırılma olasılığını (

P(1|2)

) hesapla.

P(1|2) = 25 / 50 = 0{}50

Gerçekte

\Pi_2

olan 50 gözlemin 25'i

\Pi_1

olarak hatalı atanmıştır.

4

Beklenen Hata Oranını formüle göre hesapla:

AER = p_1 \cdot P(2|1) + p_2 \cdot P(1|2)

AER = (0{}60 \cdot 0{}10) + (0{}40 \cdot 0{}50) = 0{}06 + 0{}20 = 0{}26

Toplam beklenen hata oranı, her bir grubun hatalı sınıflandırılma olasılığının kendi önsel olasılığı ile ağırlıklandırılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Beklenen Hata Oranı (Expected Error Rate)

Soru 20Soru →

Bir araştırmacı, işletmelerin finansal durumlarını öngörebilmek amacıyla "iflas edenler" ve "faaliyetine devam edenler" şeklinde iki gruba ayrılmış bir veri seti üzerinde Fisher'in doğrusal diskriminant (ayırma) analizini uygulamaktadır. Araştırmacı, işletmelerin borçluluk oranı, kârlılık marjı ve likidite oranı gibi bağımsız değişkenlerini kullanarak sınıflandırma kurallarını belirlemeyi amaçlamaktadır.

Bu analizin temel varsayımları, sürecin işleyişi ve sonuçların yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Doğrusal ayırma fonksiyonunun teorik olarak en iyi (optimal) sonucu verebilmesi için iki grubun kitle varyans-kovaryans matrislerinin eşit olduğu (

\Sigma_1 = \Sigma_2

) varsayılır ve fonksiyon katsayıları, birleştirilmiş ortak grup içi kovaryans matrisi kullanılarak hesaplanır.

Gruplar arasındaki farklılığı test etmek için hesaplanan Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin değerinin 1'e yaklaşması, iflas eden ve etmeyen grupların birbirinden çok net bir şekilde ayrıldığını ve modelin ayırma gücünün yüksek olduğunu ifade eder.

Analizin matematiksel olarak uygulanabilmesi için temel ön koşul; işletmelerin iflas durumunu temsil eden bağımlı değişkenin sürekli (nicel) bir ölçekle ölçülmüş olması, bağımsız değişkenlerin ise kategorik olmasıdır.

Modelin sınıflandırma performansını gösteren beklenen hata oranı; sınıflandırma matrisinin (karmaşıklık matrisi) ana köşegeni üzerinde yer alan ve doğru sınıflandırılan gözlem sayılarının toplam gözlem sayısına doğrudan oranlanmasıyla bulunur.

Varyans-kovaryans matrislerinin homojenliği Box's M testi ile incelendiğinde test istatistiğinin anlamlı (

p < 0,05

) bulunması, matrislerin homojen olduğunu ve doğrusal ayırma analizi varsayımlarının kusursuz şekilde sağlandığını kanıtlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Doğrusal ayırma fonksiyonunun teorik olarak en iyi (optimal) sonucu verebilmesi için iki grubun kitle varyans-kovaryans matrislerinin eşit olduğu ( $\Sigma_1 = \Sigma_2$ ) varsayılır ve fonksiyon katsayıları, birleştirilmiş ortak grup içi kovaryans matrisi kullanılarak hesaplanır.

Cevap

Doğrusal ayırma fonksiyonunun teorik olarak en iyi (optimal) sonucu verebilmesi için iki grubun kitle varyans-kovaryans matrislerinin eşit olduğu (

\Sigma_1 = \Sigma_2

) varsayılır ve fonksiyon katsayıları, birleştirilmiş ortak grup içi kovaryans matrisi kullanılarak hesaplanır.

Fisher'in doğrusal diskriminant analizi (LDF), matematiksel olarak doğrusal bir sınıflandırma sınırı oluşturabilmek için her iki grubun varyans-kovaryans matrislerinin eşit olduğunu (

\Sigma_1 = \Sigma_2

) varsayar. Bu varsayım sağlandığında, iki grup için ortak bir varyans yapısı olduğu kabul edilir ve fonksiyon katsayılarının hesaplanmasında her iki grubun varyans-kovaryans matrislerinin ağırlıklı ortalaması olan 'birleştirilmiş ortak grup içi kovaryans matrisi' (

S_p

) kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1

Diskriminant analizinin temel varsayımlarını değerlendirme.

Fisher'in doğrusal diskriminant fonksiyonu, analiz edilecek grupların kitle varyans-kovaryans matrislerinin eşit olduğunu varsayar (

\Sigma_1 = \Sigma_2

).

Doğrusal bir sınır çizgisi (hiperdüzlem) elde edebilmek için her iki grubun aynı varyans yapısına (dağılım şekline) sahip olması teorik bir gerekliliktir.

2

Ayırma fonksiyonu katsayılarının hesaplanma mantığını belirleme.

Varyans-kovaryans matrislerinin eşit olduğu varsayımı altında, gruplara ait veriler istatistiksel olarak birleştirilir ve tek bir ortak (pooled) grup içi kovaryans matrisi (

S_p

) elde edilir. Fonksiyon katsayıları bu matrisin tersi ile grup ortalama vektörleri arasındaki fark kullanılarak hesaplanır.

Ortak bir varyans matrisi kullanmak, değişkenler arasındaki doğrusal bileşeni en iyi şekilde maksimize eder.

3

Çeldiricilerdeki istatistiksel yanılgıları tespit etme.

Bağımlı değişkenin sürekli olması gerektiği yargısı yanlıştır (kategorik olmalıdır). Wilks' Lambda'nın 1'e yaklaşması mükemmelliği değil başarısızlığı gösterir. Köşegen elemanlarının oranı hata oranını değil başarı oranını verir. Box's M testinde p'nin 0,05'ten küçük olması ise homojenliği değil heterojenliği (varsayımın ihlalini) kanıtlar.

Doğru analitik yorumlama için test istatistiklerinin çalışma yönlerinin iyi bilinmesi gerekir.

Anahtar Kavram

İki Gruplu Diskriminant Analizi ve Varyans-Kovaryans Homojenliği Varsayımı

Diskriminant (Ayırma) Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram