Aralık Tahmini Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir enerji uzmanı, yeni nesil bir güneş panelinin günlük ortalama enerji üretim miktarını ( $\mu$ , kWh) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla üretim bandından rastgele $n=16$ adet panel seçerek teste tabi tutmuştur. Panellerin günlük enerji üretim miktarlarının normal dağılıma sahip olduğu, ancak kitle varyansının ( $\sigma^2$ ) bilinmediği varsayılmaktadır. Test sonucunda örneklem ortalaması $\bar{x} = 2.40$ kWh ve örneklem standart sapması $s = 0.40$ kWh olarak hesaplanmıştır.

Uzman, kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $\%90$ güven düzeyinde bir aralık tahmini yaparken yanlışlıkla standart normal dağılım ( $Z$ ) tablosunu kullanarak bir hata payı (margin of error) hesaplamış ve hatalı bir güven aralığı bulmuştur.

Buna göre, uzmanın hesaplaması gereken doğru hata payı ile elde edilen güven aralığına dair yapılması gereken doğru kavramsal yorum aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla verilmiştir?

(Hesaplamalarınızda $z_{0.05} = 1.645$ , $t_{15, 0.05} = 1.753$ , $t_{16, 0.05} = 1.746$ değerlerini kullanınız.)

0.1753

/ Aynı yöntemle ardışık olarak oluşturulacak tüm olası güven aralıklarının

\%90

'ının gerçek kitle ortalamasını (

\mu

) kapsaması beklenir.

0.1753

/ Gerçek kitle ortalamasının (

\mu

) hesaplanan bu belirli aralığın içine düşme olasılığı

\%90

'dır.

0.1645

/ Aynı yöntemle ardışık olarak oluşturulacak tüm olası güven aralıklarının

\%90

'ının gerçek kitle ortalamasını (

\mu

) kapsaması beklenir.

0.1645

/ Gerçek kitle ortalamasının (

\mu

) hesaplanan bu belirli aralığın içine düşme olasılığı

\%90

'dır.

0.1746

/ Gerçek kitle ortalamasının (

\mu

) hesaplanan bu belirli aralığın içine düşme olasılığı

\%90

'dır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0.1753$ / Aynı yöntemle ardışık olarak oluşturulacak tüm olası güven aralıklarının $\%90$ 'ının gerçek kitle ortalamasını ( $\mu$ ) kapsaması beklenir.

Cevap

Hata payı

0.1753

olmalı ve kavramsal yorum 'Aynı yöntemle ardışık olarak oluşturulacak tüm olası güven aralıklarının %90'ının gerçek kitle ortalamasını kapsaması beklenir' şeklinde olmalıdır.

Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediğinden,

\mu

tahmini için serbestlik derecesi

n-1=15

olan

t

dağılımı kullanılmalıdır. Doğru kritik değer

t_{15, 0.05} = 1.753

'tür. Hata payı formülü gereği:

1.753 \times (0.40 / \sqrt{16}) = 1.753 \times 0.10 = 0.1753

bulunur. Kavramsal olarak, frekansçı istatistikte güven düzeyi, spesifik bir aralığın sabit olan gerçek parametreyi içerme olasılığı değil, aynı yöntemle oluşturulacak çok sayıdaki ardışık güven aralığının yüzde kaçının gerçek parametreyi kapsayacağının teorik bir ölçüsüdür.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem dağılımının standart hatasını (standart sapmasını) hesapla.

SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.40}{\sqrt{16}} = \frac{0.40}{4} = 0.10

Hata payını bulmak için standart hata değerine ihtiyaç vardır.

2

Kullanılması gereken doğru teorik dağılımı ve kritik değeri belirle.

Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediği için

t

dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi

v = n - 1 = 15

ve

\alpha = 0.10

için tek kuyrukta alan

0.05

olup

t_{15, 0.05} = 1.753

'tür.

Kitle varyansının bilinmemesi ve örneklem standart sapmasının (

s

) kullanılması, Z yerine T dağılımını zorunlu kılar.

3

Doğru hata payını (margin of error) hesapla.

Hata Payı = t_{15, 0.05} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.753 \times 0.10 = 0.1753

Güven aralığının genişliğinin yarısı hata payını verir.

4

Güven düzeyinin doğru frekansçı (frequentist) istatistiksel yorumunu tespit et.

Yorum, spesifik bir aralığın

\mu

'yü içerme olasılığı olarak DEĞİL, tekrar eden örnekleme sürecinin kapsama oranı olarak yapılmalıdır.

Klasik istatistikte parametre (

\mu

) sabit bir değerdir. Hesaplanmış bir aralık parametreyi ya içerir ya içermez (olasılık %0 veya %100). %90 güven düzeyi, tahmin yönteminin uzun vadedeki başarısını ifade eder.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı bilinmediğinde t dağılımı ile hata payı hesabı ve güven aralığı kavramının doğru yorumlanması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 22Soru →

Bir Tarım Bakanlığı araştırmacısı, belirli bir buğday türünün hektar başına veriminin (ton) kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $n=25$ parsellik bir rastgele örneklem seçmiştir. Araştırmacı, kitle varyansının bilinmediğini varsayarak $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığını $[41.744, 58.256]$ olarak hesaplamıştır.

İlerleyen aşamada, geçmiş yıllara ait kesin kayıtlardan kitle varyansının aslında bilindiği ve bu değerin tesadüfi olarak örneklem varyansına tam olarak eşit olduğu ( $\sigma^2 = s^2$ ) anlaşılmıştır.

Buna göre, kitle varyansının bilindiği bilgisi kullanılarak aynı verilerle yeniden hesaplanacak $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Kritik değerler: $Z_{0.025} = 1.96$ , $t_{24, 0.025} = 2.064$ , $t_{25, 0.025} = 2.060$ )

[41.760, 58.240]

[41.998, 58.002]

[42.160, 57.840]

[42.318, 57.682]

[10.800, 89.200]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[42.160, 57.840]$

Cevap

Doğru güven aralığı

[42.160, 57.840]

aralığıdır.

Kitle varyansı bilinmediğinde güven aralığı

t

-dağılımı ile hesaplanır. İlk aralıktan örneklem ortalamasının

50

ve hata payının

8.256

olduğu görülür.

8.256 = 2.064 \times (s / 5)

denkleminden örneklem standart sapması

s = 20

bulunur. İkinci aşamada, kitle varyansının bilindiği varsayımına geçildiğinde

Z

-dağılımı (

Z = 1.96

) kullanılmalıdır. Yeni hata payı

1.96 \times (20 / 5) = 7.84

olur. Örneklem ortalaması olan 50'den bu yeni hata payı çıkarılıp eklendiğinde doğru güven aralığı olan

[42.160, 57.840]

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ilk güven aralığından örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) ve ilk hata payını (

E_1

) bulmak.

\bar{x} = \frac{41.744 + 58.256}{2} = 50

ve

E_1 = 58.256 - 50 = 8.256

bulunur.

Güven aralığı, örneklem ortalaması etrafında simetrik olarak hata payının çıkarılıp eklenmesiyle elde edilir.

2

Kitle varyansı bilinmediği durumdaki hata payı formülünü kullanarak örneklem standart sapmasını (

s

) hesaplamak.

E_1 = t_{24, 0.025} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \Rightarrow 8.256 = 2.064 \times \frac{s}{5} \Rightarrow 8.256 = 0.4128 \times s \Rightarrow s = 20

bulunur.

Başlangıçta varyans bilinmediğinden

n-1 = 24

serbestlik dereceli

t

-dağılımı kullanılarak aralık oluşturulmuştur.

3

Kitle varyansının bilindiği (

\sigma = s = 20

) yeni durum için

Z

-dağılımı ile yeni hata payını (

E_2

) hesaplamak.

E_2 = Z_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{20}{5} = 1.96 \times 4 = 7.84

bulunur.

Kitle varyansı tam olarak bilindiğinde, güven aralığı hesaplamasında standart normal dağılım (

Z

) kullanılır.

4

Yeni hata payını örneklem ortalamasına uygulayarak nihai güven aralığını elde etmek.

Alt sınır:

50 - 7.84 = 42.160

, Üst sınır:

50 + 7.84 = 57.840

. Yeni aralık

[42.160, 57.840]

olur.

Güven aralığı, nokta tahmini üzerinden yeni hata payı ile oluşturulur.

Anahtar Kavram

Kitle varyansının bilinip bilinmemesine göre t veya Z dağılımının seçimi ve güven aralığı sınırlarından standart sapmanın tersine hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Hata paylarının birbirine oranını kullanarak doğrudan bir geçiş yapılabilir: Yeni Hata Payı = Eski Hata Payı * (Z / t) = 8.256 * (1.96 / 2.064) = 7.84. Bu yöntem, s değerini açıkça hesaplamadan direkt sonuca ulaşmayı sağlar.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 23Soru →

Bir sivil toplum kuruluşu, ülke genelinde gençlerin sürdürülebilir enerji projelerine olan ilgisini ve katılım oranını tahmin etmek amacıyla geniş çaplı bir anket çalışması yapmıştır. Bu çalışma kapsamında rastgele seçilen $3600$ gençten $1296$ 'sının bu projelere aktif olarak ilgi duyduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, ülke genelindeki tüm gençlerin sürdürülebilir enerji projelerine ilgi duyma oranı için $\%95$ güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarınızda $Z_{0.05} = 1.645$ , $Z_{0.025} = 1.96$ ve $Z_{0.005} = 2.58$ değerlerini kullanınız ve sonuçları virgülden sonra dört basamak olacak şekilde yuvarlayınız.)

[0.3443, \ 0.3757]

[0.3468, \ 0.3732]

[0.3404, \ 0.3796]

[0.3394, \ 0.3806]

[0.3525, \ 0.3675]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0.3443, \ 0.3757]$

Cevap

Doğru güven aralığı

[0.3443, \ 0.3757]

değerleridir.

Doğru güven aralığı

\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

formülü ile elde edilir. Örneklem oranımız

\hat{p} = 0.36

'dır. Standart hata ise

\sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{3600}} = 0.008

olarak hesaplanır.

\%95

güven düzeyi için gereken

Z_{0.025}

değeri

1.96

'dır. Formülde yerine konduğunda

0.36 \pm (1.96 \times 0.008)

işleminden

0.36 \pm 0.01568

hata payı bulunur. Bu işlem sonucunda aralık

[0.3443, \ 0.3757]

olarak ortaya çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesapla

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{1296}{3600} = 0.36

Güven aralığının nokta tahmini (merkezi) başarı sayısının örneklem çapına oranı ile bulunur.

2

Standart hatayı (SE) hesapla

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{3600}} = \sqrt{\frac{0.2304}{3600}} = \sqrt{0.000064} = 0.008

Büyük örneklemlerde tek kitle oranının standart hatası varyansın örneklem çapına bölümünün karekökü ile bulunur.

3

Kritik değeri belirle

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0.05

olur. Çift yönlü aralık olduğundan

\alpha/2 = 0.025

değeri aranır ve soruda verilen

Z_{0.025} = 1.96

kullanılır.

Güven aralıkları daima dağılımın iki kuyruğuna hata payını eşit olarak paylaştırır.

4

Hata payını (Margin of Error - ME) hesapla

ME = Z_{0.025} \times SE = 1.96 \times 0.008 = 0.01568

Nokta tahmininden sapma miktarı, kritik değer ile standart hatanın çarpımı ile elde edilir.

5

Güven sınırlarını hesapla

Alt Sınır =

0.36 - 0.01568 = 0.34432 \approx 0.3443

, Üst Sınır =

0.36 + 0.01568 = 0.37568 \approx 0.3757

.

Nokta tahmininden hata payı çıkarılıp toplanarak sırasıyla alt ve üst sınırlar elde edilir.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için asimptotik güven aralığı tahmini

Soru 24Soru →

Bir psikometri uzmanı, iki farklı yetenek testinin (Test I ve Test II) ölçüm hassasiyetlerini karşılaştırmak amacıyla kitle varyanslarını incelemektedir. Uygulama sonucunda, Test I rastgele seçilen $n_1 = 31$ adaya, Test II ise bağımsız olarak rastgele seçilen $n_2 = 25$ adaya uygulanmıştır. Elde edilen verilerde, Test II'nin örneklem standart sapmasının, Test I'in örneklem standart sapmasının $\%50$ fazlası olduğu ( $s_2 = 1,5 s_1$ ) görülmüştür.

Buna göre, $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ kitle varyansları oranı için hesaplanacak $\%90$ güven aralığının sınırları aşağıdakilerden hangisidir?
(Kritik tablo değerleri: $F_{0,05; 30, 24} = a$ , $F_{0,05; 24, 30} = b$ ve $Z_{0,05} = c$ olarak alınacaktır.)

\left[ \frac{4}{9a}, \frac{4b}{9} \right]

\left[ \frac{4a}{9}, \frac{4}{9b} \right]

\left[ \frac{4}{9} - \frac{2c}{3}, \frac{4}{9} + \frac{2c}{3} \right]

\left[ \frac{2}{3a}, \frac{2b}{3} \right]

\left[ \frac{9}{4b}, \frac{9a}{4} \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left[ \frac{4}{9a}, \frac{4b}{9} \right]$

Cevap

Hesaplanması gereken doğru aralık formülü

\left[ \frac{4}{9a}, \frac{4b}{9} \right]

şeklindedir.

İki kitle varyansı oranı için

(1-\alpha)

güven aralığı

\left[ \frac{s_1^2}{s_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}}, \frac{s_1^2}{s_2^2} F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1} \right]

formülü ile hesaplanır. Sorudaki verilere göre nokta tahmini

s_1^2 / s_2^2 = (1 / 1,5)^2 = 4/9

'dur. Bu değerin alt sınır için

a

'ya bölünmesi, üst sınır için ise

b

ile çarpılması gerekir. Böylece aralık

\left[ \frac{4}{9a}, \frac{4b}{9} \right]

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem standart sapmaları arasındaki ilişkiden örneklem varyansları oranını hesapla.

s_2 = 1,5 s_1 = \frac{3}{2} s_1 \implies \frac{s_1}{s_2} = \frac{2}{3}

. Buradan varyans oranı

\frac{s_1^2}{s_2^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}

olarak bulunur.

Güven aralığı formülündeki nokta tahmin edici

\frac{s_1^2}{s_2^2}

değeridir.

2

Güven düzeyi ve serbestlik derecelerine göre kullanılacak kritik F değerlerini belirle.

Güven düzeyi

1-\alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05

. Serbestlik dereceleri

\nu_1 = 31 - 1 = 30

ve

\nu_2 = 25 - 1 = 24

. Alt sınır için

F_{0,05; 30, 24} = a

, üst sınır için

F_{0,05; 24, 30} = b

kullanılacaktır.

Varyans oranı güven aralığı asimetrik F dağılımına dayanır ve alt/üst sınırlar farklı serbestlik derecesi dizilişlerine sahiptir.

3

Varyanslar oranı için güven aralığı formülünü uygula.

Alt sınır:

\frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4}{9a}

. Üst sınır:

\frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1} = \frac{4}{9} \cdot b = \frac{4b}{9}

.

F = \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

pivot fonksiyonundan hareketle

\sigma_1^2 / \sigma_2^2

yalnız bırakıldığında sınırlar çarpımsal olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Asimetrik F Dağılımı Güven Aralığı Formülü

Soru 25Soru →

Bir elektronik sistemde yer alan sensörlerin arıza verme süresi (saat cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \quad \theta > 0

Bu sensörlerden rastgele seçilen $n$ tanesinin arıza süreleri bağımsız olarak $X_1, X_2, \ldots, X_n$ olarak gözlemlenmiştir. $\theta$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi $\theta$ için küçük örneklem özelliklerini de koruyan kesin (tam) bir eksen fonksiyonudur ve bu fonksiyonun doğru dağılımı nedir?

Q = \frac{\bar{X} - 2\theta}{S / \sqrt{n}} \sim t_{(n-1)}

Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(2n)}

Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - 2n\theta}{\sqrt{2n}\theta} \sim N(0, 1)

Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}$

Cevap

Doğru eksen fonksiyonu, 4n serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımına uyan Q = (2/θ) * ΣX_i istatistiğidir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, şekil parametresi 2 ve ölçek parametresi

\theta

olan bir Gamma dağılımını ifade etmektedir. Bağımsız

n

adet

\text{Gamma}(2, \theta)

rastgele değişkeninin toplamı, yine bir Gamma dağılımı olan

\text{Gamma}(2n, \theta)

'ya eşittir. Olasılık teorisinden bilindiği üzere,

Y \sim \text{Gamma}(k, \theta)

formundaki bir değişken için

\frac{2Y}{\theta}

dönüşümü yapıldığında elde edilen yeni değişken serbestlik derecesi

2k

olan Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına uyar. Burada

k = 2n

olduğundan serbestlik derecesi

2(2n) = 4n

olur. Dağılımın artık

\theta

parametresine bağlı olmaması, onu tam ve kesin bir eksen (pivot) fonksiyonu yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle dağılımının parametrik ailesini ve özelliklerini belirle.

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta^2} x e^{-x/\theta}

fonksiyonu,

\alpha=2

(şekil) ve

\beta=\theta

(ölçek) parametrelerine sahip Gamma dağılımıdır. Yani her bir

X_i \sim \text{Gamma}(2, \theta)

.

Dağılım ailesini bilmek, örneklem toplamının tam dağılımını türetmek için gereklidir.

2

Örneklem değerlerinin toplamının (

Y = \sum_{i=1}^n X_i

) dağılımını bul.

Bağımsız Gamma değişkenlerinin toplamı kuralına göre,

Y \sim \text{Gamma}(n \cdot 2, \theta) = \text{Gamma}(2n, \theta)

olur.

Eksen fonksiyonları genellikle yeterli istatistikler üzerinden (burada verilerin toplamı) inşa edilir.

3

Gamma dağılımından parametreden bağımsız bir dağılıma (Ki-kare) dönüşüm yap.

Eğer bir

Y \sim \text{Gamma}(k, \theta)

ise,

Q = \frac{2Y}{\theta} \sim \chi^2_{(2k)}

kuralı geçerlidir.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için dağılımının

\theta

'dan tamamen bağımsız olması gerekir.

4

k=2n

değerini formülde yerine koyarak nihai eksen fonksiyonunu elde et.

k = 2n

olduğundan,

2k = 4n

olur. Dolayısıyla

Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}

elde edilir.

Bu istatistik hem gözlemleri (

X_i

) hem de bilinmeyen parametreyi (

\theta

) içerir ve dağılımı (

\chi^2_{4n}

) parametreden tamamen bağımsızdır.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi ile Aralık Tahmini

Soru 26Soru →

Bir kalite standartları enstitüsü, organize sanayi bölgelerinde faaliyet gösteren KOBİ'lerin (Küçük ve Orta Büyüklükteki İşletmeler) çevre yönetim sistemi sertifikasına (ISO 14001) sahip olma oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $6400$ işletme incelenmiş ve bu işletmelerden $4096$ 'sının ilgili sertifikaya sahip olduğu görülmüştür.

Buna göre, KOBİ'lerin çevre yönetim sistemi sertifikasına sahip olma oranı için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda $Z_{0.025} = 1.96$ ve $Z_{0.05} = 1.645$ alınız.)

[0.62040, \ 0.65960]

[0.62355, \ 0.65645]

[0.62530, \ 0.65470]

[0.62824, \ 0.65176]

[0.63013, \ 0.64987]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0.62824, \ 0.65176]$

Cevap

İstenen

\%95

güven aralığı

[0.62824, \ 0.65176]

'dır.

Verilen verilerle örneklem oranı

\hat{p} = \frac{4096}{6400} = 0.64

olarak bulunur. Standart hata formülü

\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}

üzerinden hesaplama yapıldığında

\sqrt{0.2304/6400} = 0.006

elde edilir.

\%95

güven düzeyi için çift yönlü test tablo değeri olan

Z_{0.025} = 1.96

, standart hata olan

0.006

ile çarpılarak

0.01176

hata payı bulunur. Nokta tahmini olan

0.64

'ten bu hata payı çıkarılıp eklendiğinde

[0.62824, \ 0.65176]

güven aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesaplama.

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{4096}{6400} = 0.64

Güven aralığının merkezini belirlemek için başarı oranına (nokta tahminine) ihtiyaç vardır.

2

Kritik

Z

değerini belirleme.

Güven düzeyi

\%95

(

1 - \alpha = 0.95

) olduğundan

\alpha = 0.05

'tir. Çift yönlü aralık arandığı için

Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96

alınır.

Belirtilen güven düzeyinde kitle parametresini kapsama olasılığını sağlamak için uygun olan standart normal dağılım tablo değeri bulunmalıdır.

3

Standart hatayı (SE) hesaplama.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.64 \times 0.36}{6400}} = \sqrt{\frac{0.2304}{6400}} = \sqrt{0.000036} = 0.006

Örneklem oranının örnekleme dağılımındaki standart sapmasını (değişkenliğini) ölçmek gereklidir.

4

Hata payını (ME) ve güven aralığı sınırlarını hesaplama.

ME = 1.96 \times 0.006 = 0.01176

. Alt sınır:

0.64 - 0.01176 = 0.62824

, Üst sınır:

0.64 + 0.01176 = 0.65176

.

Örneklem oranına hata payı eklenip çıkarılarak kitle oranının içinde bulunacağı aralık elde edilir.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için asimptotik güven aralığı

Soru 27Soru →

Devlet Su İşleri (DSİ) tarafından işletilen bir barajdan tarım arazilerine bırakılan günlük su miktarının (bin metreküp cinsinden) normal dağılıma uyduğu bilinmektedir. Belirli bir sulama sezonunda rastgele seçilen $15$ gün boyunca bırakılan su miktarları ölçülmüş ve bu ölçümlerden elde edilen örneklem varyansı $S^2 = 24$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, barajdan bırakılan günlük su miktarının kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%90$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: $\chi^2_{0,05; 14} = 23,68$ , $\chi^2_{0,95; 14} = 6,57$ , $\chi^2_{0,05; 15} = 25,00$ , $\chi^2_{0,95; 15} = 7,26$ )

[14,19; \, 51,14]

[15,20; \, 54,79]

[13,44; \, 46,28]

[1,01; \, 3,65]

[21,92; \, 26,08]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[14,19; \, 51,14]$

Cevap

[14,19; \, 51,14]

aralığıdır.

Tek kitle varyansı (

\sigma^2

) için güven aralığı formülü

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} , \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right]

şeklindedir. Verilen

n=15

,

S^2=24

ve

\%90

güven düzeyi için serbestlik derecesi

15-1=14

olur. Pay kısmı

14 \times 24 = 336

olarak bulunur. Formülde alt sınır için büyük

\chi^2

değeri olan

23,68

, üst sınır için ise küçük

\chi^2

değeri olan

6,57

paydaya yazılır. Aralık işlemleri gerçekleştirildiğinde

[336 / 23,68; \, 336 / 6,57] = [14,19; \, 51,14]

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerlerin ve serbestlik derecesinin belirlenmesi

n = 15

,

S^2 = 24

,

s.d. = n - 1 = 15 - 1 = 14

Güven aralığı formülünde kullanılacak temel parametrelerin tanımlanması gerekir.

2

Güven düzeyine uygun Ki-kare tablo değerlerinin seçilmesi

\%90

güven düzeyi için

\alpha = 0,10

, kuyruk alanları

\alpha/2 = 0,05

. Tablodan

14

serbestlik derecesi için kritik değerler:

\chi^2_{0,05; 14} = 23,68

ve

\chi^2_{0,95; 14} = 6,57

olarak seçilir.

Varyansın asimetrik olan Ki-kare dağılımındaki güven sınırları bu kritik değerlere dayanır.

3

Varyans güven aralığı formülünün pay kısmının hesaplanması

(n-1)S^2 = 14 \times 24 = 336

Ki-kare pivot fonksiyonunun temel bileşenidir.

4

Güven aralığının alt sınırının hesaplanması

\frac{336}{23,68} \approx 14,189 \Rightarrow 14,19

Alt sınır, payın büyük Ki-kare kritik değerine (

\chi^2_{0,05}

) bölünmesiyle elde edilir.

5

Güven aralığının üst sınırının hesaplanması

\frac{336}{6,57} \approx 51,141 \Rightarrow 51,14

Üst sınır, payın küçük Ki-kare kritik değerine (

\chi^2_{0,95}

) bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansının, örneklem varyansı ve Ki-kare dağılımı kullanılarak aralık tahmini

Soru 28Soru →

Bir çevre mühendisi, belirli bir nehirdeki ağır metal derişimlerini (mg/L cinsinden) analiz etmektedir. $n = 16$ farklı noktadan alınan rastgele ve bağımsız su örneklerine ait ölçüm değerleri $X_1, X_2, \ldots, X_{16}$ olup, bu değerlerin Lognormal $(\mu, \sigma^2)$ dağılımına sahip olduğu bilinmektedir. Dağılımın hem $\mu$ hem de $\sigma^2$ parametreleri bilinmemektedir.

Araştırmacı, verileri normalleştirmek amacıyla $Y_i = \ln(X_i)$ dönüşümünü uygulamış; dönüştürülmüş veriler üzerinden örneklem ortalamasını $\bar{Y}$ ve örneklem varyansını $S_Y^2 = \frac{1}{15}\sum_{i=1}^{16} (Y_i - \bar{Y})^2$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, $\mu$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla kullanılması gereken en uygun pivot (eksen) fonksiyonu ve bu fonksiyonun tam dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} \sim t_{(15)}

Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} \sim N(0, 1)

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S_X / 4} \sim t_{(15)}

Q = \frac{15 S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(15)}

Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma / 4} \sim N(0, 1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} \sim t_{(15)}$

Cevap

\mu

parametresi için en uygun pivot fonksiyonu, dönüştürülmüş veriler (Y) üzerinden oluşturulan ve kitle varyansı bilinmediği için

S_Y

kullanan,

n-1=15

serbestlik dereceli

t

dağılımına sahip fonksiyondur.

Doğru seçenek, Lognormal dönüşümü doğru bir şekilde uygulayıp verileri

N(\mu, \sigma^2)

dağılımına indirgeyen ve kitle varyansı bilinmediği için örneklem standart sapmasını (

S_Y

) kullanarak tam olarak

n-1=15

serbestlik dereceli

t

dağılımını veren pivot fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri dönüşümünün dağılımsal sonucunu belirleme.

X_i \sim Lognormal(\mu, \sigma^2)

olduğundan, logaritma dönüşümü sonrası

Y_i = \ln(X_i) \sim N(\mu, \sigma^2)

olur.

Lognormal dağılımın temel özelliği gereği, rastgele değişkenin doğal logaritması her zaman Normal dağılıma uyar.

2

Aranan parametreyi izole edecek temel formülasyonu kurma.

\mu

parametresi için örneklem ortalaması

\bar{Y}

kullanılacaktır. Hem

\mu

hem de

\sigma^2

bilinmediğinden,

\sigma

yerine örneklem standart sapması

S_Y

kullanılmalıdır.

Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen hiçbir parametreye bağlı olmaması ve hesaplanabilir olması gerekir. Bilinmeyen

\sigma

'yı fonksiyonda bırakmak pivot kuralını bozar.

3

İstatistiğin tam dağılımını ve serbestlik derecesini (df) belirleme.

İstatistik

Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / \sqrt{16}} = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4}

biçimini alır ve dağılımı

n-1 = 15

serbestlik dereceli Student's t (

t_{(15)}

) olur.

Normal dağılımlı bir kitleden çekilen örneklemde, ortalamanın standartlaştırılmasında kitle varyansı yerine örneklem varyansı kullanıldığında, istatistik kesin olarak t dağılımını izler.

Anahtar Kavram

Pivot fonksiyonu oluşturulurken; dönüştürülmüş verinin dağılım özellikleri dikkate alınmalı, fonksiyon tahmin edilecek parametreyi içermeli ve fonksiyonun olasılık dağılımı bilinmeyen hiçbir parametreye bağlı olmamalıdır.

Soru 29Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı'na bağlı bir araştırma enstitüsü, belirli bir bitki hastalığının iki farklı tarım bölgesindeki (A ve B bölgeleri) yaygınlık oranlarını karşılaştırmak istemektedir.

A bölgesinden rastgele seçilen $100$ tarlanın $20$ 'sinde, B bölgesinden rastgele seçilen $100$ tarlanın ise $10$ 'unda bu hastalığa rastlanmıştır.

Buna göre, A ve B bölgelerindeki hastalığa yakalanma oranları arasındaki fark $(p_A - p_B)$ için $\%95$ güven düzeyindeki asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
( $Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(-0,037 \,;\, 0,237)

(0,001 \,;\, 0,199)

(-0,007 \,;\, 0,207)

(0,002 \,;\, 0,198)

(0,018 \,;\, 0,182)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,002 \,;\, 0,198)$

Cevap

Doğru güven aralığı

(0,002 \,;\, 0,198)

aralığıdır.

İki kitle oranı farkı için güven aralığı merkezde

\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0,10

değerini temel alır. Standart hata, bağımsız örneklem varyanslarının toplanmasıyla

\sqrt{0,0016 + 0,0009} = 0,05

olarak hesaplanır. %95 güven düzeyi için kritik

Z

değeri

1,96

'dır. Bu değerlerin çarpımıyla hata payı

0,098

olarak bulunur. Alt ve üst sınırlar sırasıyla

0,10 \pm 0,098

işlemiyle

(0,002 \,;\, 0,198)

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki bölge için hastalığa yakalanma oranlarını (

\hat{p}_A

ve

\hat{p}_B

) hesaplayın.

\hat{p}_A = 20/100 = 0,20

ve

\hat{p}_B = 10/100 = 0,10

bulunur. Nokta tahmin edici olan oranlar farkı

\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0,20 - 0,10 = 0,10

olur.

Güven aralığının merkezini (nokta tahminini) belirlemek için örneklem istatistiklerine ihtiyaç vardır.

2

İki kitle oranı farkı için standart hata (SE) değerini hesaplayın.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}_A(1-\hat{p}_A)}{n_A} + \frac{\hat{p}_B(1-\hat{p}_B)}{n_B}} = \sqrt{\frac{0,20 \cdot 0,80}{100} + \frac{0,10 \cdot 0,90}{100}} = \sqrt{0,0016 + 0,0009} = \sqrt{0,0025} = 0,05

elde edilir.

Örneklem oranları farkının dağılımındaki değişimi bularak hata payını hesaplamak için bağımsız örneklemlerin varyansları toplanır.

3

Belirlenen kritik Z değeri ile standart hatayı çarparak hata payını (E) bulun ve güven aralığı sınırlarını oluşturun.

E = 1,96 \cdot 0,05 = 0,098

. Alt sınır:

0,10 - 0,098 = 0,002

. Üst sınır:

0,10 + 0,098 = 0,198

. Sonuç:

(0,002 \,;\, 0,198)

aralığıdır.

Nokta tahmininden her iki yöne doğru hata payı kadar ilerleyerek parametrenin %95 olasılıkla içinde bulunacağı aralığı tanımlamak için.

Anahtar Kavram

İki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı Hesaplaması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 30Soru →

Tarımsal Araştırmalar Enstitüsü, yeni geliştirilen bir buğday çeşidinin protein oranlarındaki değişkenliği incelemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $10$ buğday numunesinin protein oranları ölçülmüş ve örneklem varyansı $S^2 = 1,8$ olarak hesaplanmıştır.

Buğday çeşidinin protein oranlarının normal dağılıma uyduğu varsayımı altında, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%90$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: $\chi^2_{0,05; 9} = 16,92$ , $\chi^2_{0,95; 9} = 3,33$ , $\chi^2_{0,05; 10} = 18,31$ , $\chi^2_{0,95; 10} = 3,94$ , $Z_{0,05} = 1,645$ , $t_{0,05; 9} = 1,83$ )

\left[ \frac{9 \times 1,8}{16,92}; \, \frac{9 \times 1,8}{3,33} \right]

\left[ \frac{9 \times 1,8}{3,33}; \, \frac{9 \times 1,8}{16,92} \right]

\left[ \frac{10 \times 1,8}{18,31}; \, \frac{10 \times 1,8}{3,94} \right]

\left[ 1,8 - 1,83 \frac{\sqrt{1,8}}{\sqrt{10}}; \, 1,8 + 1,83 \frac{\sqrt{1,8}}{\sqrt{10}} \right]

\left[ \frac{1,8}{16,92}; \, \frac{1,8}{3,33} \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left[ \frac{9 \times 1,8}{16,92}; \, \frac{9 \times 1,8}{3,33} \right]$

Cevap

Doğru aralık, payında serbestlik derecesi ile örneklem varyansının çarpımının (9 × 1,8) bulunduğu ve paydaların sırasıyla büyük ve küçük Ki-kare tablo değerlerine bölündüğü seçenektir.

Kitle varyansı (

\sigma^2

) için

\%(1-\alpha)

güven aralığı,

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

istatistiğinin

n-1

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyması temeline dayanır. Serbestlik derecesi

10-1=9

'dur.

\%90

güven düzeyi için kuyruklarda

\%5

'lik alan kalır. Güven aralığının alt sınırı için en büyük tablo değeri olan

16,92

paydaya yazılır. Üst sınır için ise en küçük tablo değeri olan

3,33

paydaya yazılır. Formüle göre pay kısmı

(n-1)S^2

yani

9 \times 1,8

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin ve serbestlik derecesinin belirlenmesi.

Örneklem çapı

n = 10

, örneklem varyansı

S^2 = 1,8

ve serbestlik derecesi

sd = n - 1 = 9

olarak bulunur.

Varyans güven aralığında kullanılan Ki-kare pivot istatistiği serbestlik derecesine bağlıdır.

2

Ki-kare dağılımı kritik değerlerinin seçilmesi.

\%90

güven düzeyi için

\alpha = 0,10

olup, alt ve üst kuyruk alanları

\%5

(

0,05

)'tir. Buna göre tablo değerleri

\chi^2_{0,95; 9} = 3,33

ve

\chi^2_{0,05; 9} = 16,92

olarak alınır.

Güven aralığı oluşturulurken kitle varyansını ortada bırakan sağ ve sol kuyruk kesim noktaları gereklidir.

3

Güven aralığı sınırlarının formülde yerine konulması.

Alt sınır formülü

\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,05; 9}}

ve üst sınır formülü

\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,95; 9}}

'dur. Veriler yerine konulduğunda aralık

\left[ \frac{9 \times 1,8}{16,92}; \, \frac{9 \times 1,8}{3,33} \right]

şeklinde elde edilir.

Eşitsizlik

\sigma^2

için çözüldüğünde paydalar yer değiştirir; böylece alt sınırda matematiksel olarak daha büyük olan tablo değeri kullanılır.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı İstatistiği ve Ki-Kare Dağılımı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Ticaret Bakanlığı, e-ticaret platformlarında tüketici iade haklarına uyum oranlarını iki farklı sektör (A ve B sektörleri) için karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla A sektöründen rastgele seçilen 400 firmanın 320'sinin, B sektöründen rastgele seçilen 500 firmanın ise 250'sinin iade haklarına tam uyum sağladığı tespit edilmiştir.

Buna göre, A ve B sektörlerinin iade haklarına uyum oranları farkı ( $\hat{p}_A - \hat{p}_B$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ ve $Z_{0,05} = 1,645$ alınız.)

(0,2412 \,;\, 0,3588)

(0,2367 \,;\, 0,3633)

(0,2506 \,;\, 0,3493)

(0,1926 \,;\, 0,4074)

(0,2982 \,;\, 0,3018)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,2412 \,;\, 0,3588)$

Cevap

(0,2412 \,;\, 0,3588)

aralığıdır.

İki kitle oranı farkı için güven aralığı hesaplanırken, öncelikle grupların başarı oranları ayrı ayrı tespit edilir (0,80 ve 0,50). Nokta tahmini (fark) 0,30 olarak elde edilir. Standart hata formülüne göre oran varyansları hesaplanıp toplanır ve elde edilen varyans toplamının karekökü alınır. İlgili hesaplama neticesinde standart hata 0,03 bulunur. %95 güven aralığı için gerekli olan kritik tablo değeri 1,96 ile standart hata çarpılarak 0,0588 hata payı (ME) bulunur. Tahmin edilen oran farkına (0,30) bu hata payı eklenip çıkarıldığında

(0,2412 \,;\, 0,3588)

aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranlarının hesaplanması.

\hat{p}_A = \frac{320}{400} = 0,80

ve

\hat{p}_B = \frac{250}{500} = 0,50

olarak bulunur.

Kitle oranlarının nokta tahminlerini elde etmek için gereklidir.

2

Oranlar farkının (nokta tahmini) bulunması.

\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0,80 - 0,50 = 0,30

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek içindir.

3

İki oran farkı için standart hatanın (SE) hesaplanması.

SE = \sqrt{\frac{0,80 \times 0,20}{400} + \frac{0,50 \times 0,50}{500}} = \sqrt{0,0004 + 0,0005} = \sqrt{0,0009} = 0,03

Güven aralığı genişliğini belirleyen standart sapma değerinin örneklem varyansları üzerinden hesaplanmasıdır.

4

Hata payının (ME) hesaplanması.

Z-değeri (

Z_{0,025} = 1,96

) ile standart hata çarpılır:

ME = 1,96 \times 0,03 = 0,0588

%95 güven düzeyi için istenen istatistiksel hata toleransını bulmak içindir.

5

Güven aralığının sınırlarının oluşturulması.

0,30 \pm 0,0588 \implies (0,2412 \,;\, 0,3588)

Nokta tahmininden hata payının çıkarılması ve eklenmesiyle aralık oluşturulur.

Anahtar Kavram

İki kitle oranı farkı için büyük örneklem güven aralığı

Soru 32Soru →

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı denetçileri, yeni açılan bir Yüksek Hızlı Tren (YHT) hattındaki sefer gecikme sürelerinin kitle ortalamasını ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Kitle varyansının bilinmediği ve gecikme sürelerinin normal dağılım gösterdiği varsayılmaktadır. Rastgele seçilen $n=9$ seferin incelenmesi sonucunda, örneklem ortalama gecikme süresi $\bar{x} = 15$ dakika ve örneklem standart sapması $S = 6$ dakika olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kitle ortalama gecikme süresi için %95 güven düzeyindeki güven aralığı ve bu aralığın doğru istatistiksel yorumu aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir?

(Kritik değerler: $Z_{0.025} = 1.96$ , $t_{8, 0.025} = 2.306$ , $t_{9, 0.025} = 2.262$ )

(10.388,\; 19.612)

; Benzer şekilde oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsayacaktır.

(11.080,\; 18.920)

; Gerçek kitle ortalamasının bu aralıkta bulunma olasılığı %95'tir.

(10.388,\; 19.612)

; Gerçek kitle ortalamasının bu aralıkta bulunma olasılığı %95'tir.

(11.080,\; 18.920)

; Benzer şekilde oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsayacaktır.

(1.164,\; 28.836)

; Benzer şekilde oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsayacaktır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(10.388,\; 19.612)$ ; Benzer şekilde oluşturulacak tüm güven aralıklarının %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsayacaktır.

Cevap

Hesaplanan güven aralığı

(10.388,\; 19.612)

olmalı ve bu aralığın yorumu, tekrarlı örneklemlerin %95'inin gerçek parametreyi kapsayacağı yönünde yapılmalıdır.

Doğru seçenekte, kitle varyansı bilinmediğinden serbestlik derecesi 8 olan T dağılımı kritik değeri (2.306) kullanılarak aralık

(10.388, 19.612)

olarak doğru hesaplanmıştır. Ayrıca istatistiksel yorum, frekansçı teorinin temeline uygun olarak 'rastgele örneklemlerle elde edilecek bu tür aralıkların %95'inin gerçek parametreyi kapsayacağı' şeklinde doğru ifade edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametreleri ve uygun dağılımı belirleme

n=9

,

\bar{x}=15

,

S=6

. Kitle varyansı bilinmiyor ve örneklem çapı küçük (

n<30

). Bu nedenle T dağılımı kullanılacaktır.

Kitle varyansı bilindiğinde veya örneklem çok büyük olduğunda Z dağılımı kullanılır. Bilinmediğinde ve n küçük olduğunda serbestlik derecesi

v = n-1

olan T dağılımı esastır.

2

Kritik değeri ve standart hatayı hesaplama

Serbestlik derecesi

v = 9-1 = 8

. Kritik değer

t_{8, 0.025} = 2.306

. Standart hata

S_{\bar{x}} = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = 2

.

Güven aralığı sınırları hesaplanırken örneklem standart sapması değil, ortalamanın standart hatası kullanılmalıdır.

3

Hata payını (E) ve güven sınırlarını hesaplama

E = 2.306 \times 2 = 4.612

. Alt sınır:

15 - 4.612 = 10.388

. Üst sınır:

15 + 4.612 = 19.612

. Aralık:

(10.388, 19.612)

Güven aralığı formülü:

\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}

4

Güven aralığının teorik yorumunu yapma

Klasik istatistikte, hesaplanan belirli bir aralığın kitle ortalamasını içerme olasılığından bahsedilemez (olasılık ya 0 ya da 1'dir). Doğru yorum: Aynı süreç tekrarlandığında elde edilecek aralıkların %95'i kitle ortalamasını içerecektir.

Güven düzeyi, belirli bir aralığın özelliğini değil, tahmin sürecinin (metodun) uzun vadedeki güvenilirliğini ifade eder.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı ve Yorumu (Kitle Varyansı Bilinmiyorken)

Soru 33Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, iki farklı öğretim yönteminin sınav puanları üzerindeki etkisini karşılaştırmaktadır. Yöntemlerin uygulandığı iki bağımsız grubun puanları, sırasıyla normal dağılımlı kitlelerden ( $N(\mu_1, \sigma^2)$ ve $N(\mu_2, \sigma^2)$ ) çekilmiş $n_1$ ve $n_2$ hacimli rastgele örneklemler ile modellenmektedir. Kitle varyansları bilinmemekte ancak eşit olduğu varsayılmaktadır.

Araştırmacı, iki kitle ortalaması farkı ( $\mu_1 - \mu_2$ ) için bir güven aralığı hesaplamak istemektedir. $S_p^2$ ortak (pooled) örneklem varyansını göstermek üzere, bu amaçla kullanılması gereken en uygun pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{S_1^2 + S_2^2}}

\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

Cevap

İki kitle ortalaması farkı için ortak varyans hesabı kullanan T istatistiği formülüdür.

Pivot fonksiyon; ilgilenilen parametreyi içeren, örneklem verilerinden hesaplanabilen, başka bilinmeyen (nuisance) parametre barındırmayan ve dağılımı parametrelerden bağımsız olan bir fonksiyondur. İki kitle ortalaması farkı (

\mu_1 - \mu_2

) için eşit varyanslar varsayımı altında hesaplanan T istatistiği,

n_1+n_2-2

serbestlik dereceli Student-t dağılımına uyar. Bu ifade herhangi bir bilinmeyen parametre içermediği ve dağılımı parametreden bağımsız olduğu için geçerli bir pivottur.

Adım Adım Çözüm

1

Pivot fonksiyonun teorik tanımını değerlendirmek.

Geçerli bir pivot fonksiyon, yalnızca örneklem verilerini ve aranan parametreyi içermeli, başka bilinmeyen parametre barındırmamalı ve olasılık dağılımı parametrelerden bağımsız olmalıdır.

Yanlış bir fonksiyon seçmemek için öncelikle tanım kriterlerini doğrulamak gerekir.

2

Kitle varyanslarının durumuna göre test istatistiğini belirlemek.

Kitle varyansları bilinmiyor ve eşit varsayılıyor. Bu durumda Z dağılımı yerine Student-t dağılımı kullanılır.

\sigma

bilinmediği için örneklem varyansları kullanılarak bir standart hata tahmini yapılmalıdır.

3

Ortak (pooled) varyans formülünü standart hataya entegre etmek.

Standart hata

S_p \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}

şeklinde hesaplanır ve örneklem ortalamaları farkından aranan parametre çıkarılarak standardize edilir.

İki kitle varyansı eşit olduğunda, varyansların en iyi yansız tahmini iki örneklemden elde edilen bilgilerin ağırlıklı ortalamasıyla (ortak varyans) bulunur.

Anahtar Kavram

İki Kitle Ortalaması Farkı İçin Pivot Fonksiyonu ve T Dağılımı

Soru 34Soru →

Bir malzeme mühendisi, yeni üretilen fiber optik kabloların kopma gerilimlerini (megapascal cinsinden) incelemektedir. Kabloların kopma gerilimi olan $X$ rastgele değişkeninin, $\theta > 0$ ölçek parametresine sahip Rayleigh dağılımına uyduğu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu bilinmektedir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

Mühendis, $n$ birimlik rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) üzerinden $\theta^2$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemini kullanarak bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, $\theta^2$ parametresi için aralık tahmininde kullanılabilecek geçerli eksen fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta^2}

Q = \frac{(n-1)S^2}{\theta^2}

Q = \frac{\bar{X} - \theta}{S/\sqrt{n}}

Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\theta^2}

Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Q = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta^2}$

Cevap

Verilen dağılımda parametreden bağımsız bir istatistik elde etmek için dönüşüm yapıldığında Q = \sum X_i^2 / \theta^2 ifadesinin geçerli eksen fonksiyonu olduğu görülür.

Verilen Rayleigh olasılık yoğunluk fonksiyonunda x'in karesi ile \theta'nın karesi orantılı bir şekilde bulunmaktadır. Bir fonksiyonun eksen fonksiyonu olabilmesi için olasılık dağılımının bilinmeyen parametreden bağımsız olması gerekir. X_i^2 / \theta^2 dönüşümü yapıldığında bu oran standart bir olasılık dağılımına (Ki-kare veya Üstel) uyar ve \theta'dan arınır. Bu terimlerin toplamı da parametreden bağımsız olacağı için güven aralığı oluşturulmasında doğrudan eksen fonksiyonu olarak kullanılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eksen (pivot) fonksiyonunun temel tanımını hatırlama.

Bir Q(X, \theta) fonksiyonunun eksen fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen \theta parametresinden tamamen bağımsız olması gerektiği tespit edilir.

Güven aralığı sınırlarını hesaplayabilmek için tablolardan elde edilecek kritik değerlerin bilinmeyen parametreye bağlı olmaması şarttır.

2

Verilen Rayleigh olasılık yoğunluk fonksiyonunu inceleme.

f(x; \theta) fonksiyonundaki üstel terimin -x^2 / (2\theta^2) olduğu görülür.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun yapısı, hangi dönüşümün dağılımı parametreden arındıracağına dair en güçlü ipucunu verir.

3

Dağılımı parametreden bağımsızlaştıracak matematiksel dönüşümü belirleme.

Y_i = X_i^2 / \theta^2 dönüşümü yapıldığında, elde edilen yeni değişkenin dağılımının parametreden bağımsız olan standart bir dağılıma (Üstel veya Ki-kare) dönüştüğü görülür.

Rastgele değişkenin karesi alınıp parametrenin karesine bölündüğünde ölçek parametresi sadeleşir.

4

Örneklem toplamı üzerinden eksen fonksiyonunu oluşturma.

Q = \sum_{i=1}^n (X_i^2 / \theta^2) fonksiyonunun dağılımı, bağımsız ve aynı dağılımlı değişkenlerin toplamı olduğundan yine parametreden bağımsızdır (2n serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı).

n birimlik örneklem için tüm gözlemlerin bilgi katkısını içeren ve dağılımı tamamen bilinen bir Q fonksiyonu inşa edilmiş olur.

Anahtar Kavram

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Tanımı ve Dönüşüm Yöntemi

Soru 35Soru →

Çalışma ve Sosyal Güvenlik Bakanlığı, iki farklı organize sanayi bölgesindeki (OSB) küçük ve orta büyüklükteki işletmelerin (KOBİ) belirli bir istihdam teşvikinden yararlanma oranlarını karşılaştırmak amacıyla bir araştırma yapmıştır. Bu araştırmanın sonuçları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Bölge	İncelenen KOBİ Sayısı ( $n$ )	Teşvikten Yararlanan KOBİ Sayısı
1. OSB	$400$	$160$
2. OSB	$700$	$210$

Buna göre, birinci ve ikinci OSB'lerdeki teşvikten yararlanma oranları farkı ( $p_1 - p_2$ ) için $\%95$ 'lik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Standart normal dağılım kritik değeri $Z_{0,025} = 1,96$ olarak alınacaktır.)

(0,0412 \,;\, 0,1588)

(0,0420 \,;\, 0,1580)

(0,0180 \,;\, 0,1820)

(0,0507 \,;\, 0,1494)

(0,0259 \,;\, 0,1741)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,0412 \,;\, 0,1588)$

Cevap

(0,0412 \,;\, 0,1588)

aralığını içeren seçenek doğrudur.

İki kitle oranı farkı için güven aralığı hesaplanırken, her iki örneklemden elde edilen oranlar ve varyanslar ayrı ayrı hesaplanmalı, standart hata bu varyansların toplamının karekökü alınarak bulunmalıdır. Örneklem oranları farkı 0,10 ve standart hata 0,03 olarak hesaplanmaktadır. Yüzde 95 güven düzeyi için kritik Z değeri olan 1,96 standart hata ile çarpıldığında hata payı 0,0588 bulunur ve fark tahmini olan 0,10'dan çıkarılıp eklendiğinde doğru aralık elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranlarını (

\hat{p}_1

ve

\hat{p}_2

) ve başarısızlık oranlarını (

\hat{q}_1

ve

\hat{q}_2

) hesaplamak.

\hat{p}_1 = \frac{160}{400} = 0,40

ve

\hat{q}_1 = 0,60

;

\hat{p}_2 = \frac{210}{700} = 0,30

ve

\hat{q}_2 = 0,70

.

Güven aralığı ve standart hata hesabı için her iki kitleye ait nokta tahminlerine ihtiyaç vardır.

2

Oranlar farkının nokta tahminini hesaplamak.

\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0,40 - 0,30 = 0,10

Güven aralığının merkezini bulmak için farkın nokta tahmini gereklidir.

3

İki oran farkı için standart hatayı (

SE

) hesaplamak.

SE = \sqrt{\frac{0,40 \cdot 0,60}{400} + \frac{0,30 \cdot 0,70}{700}} = \sqrt{0,0006 + 0,0003} = \sqrt{0,0009} = 0,03

Farkın dağılımındaki değişkenliği ölçmek için bağımsız iki örneklemin varyansları toplanarak standart hata bulunur.

4

Hata payını (Margin of Error) bulup güven aralığı sınırlarını oluşturmak.

Hata Payı

= Z_{0,025} \cdot SE = 1,96 \cdot 0,03 = 0,0588

. Alt sınır:

0,10 - 0,0588 = 0,0412

, Üst sınır:

0,10 + 0,0588 = 0,1588

.

Bulunan hata payı, nokta tahmininden çıkarılıp eklenerek aralığın güven sınırları elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı

Soru 36Soru →

Adalet Bakanlığı'nda görevli bir uzman, belirli bir ihtiyati tedbir türünün ortalama sonuçlanma süresini (gün) tahmin etmek amacıyla $n=16$ dosyadan oluşan rastgele bir örneklem seçmiştir. Dosyaların sonuçlanma sürelerinin normal dağıldığı varsayılmaktadır.

Uzman, kitle varyansının bilinmediği bu durumda yanlışlıkla standart normal dağılım ( $Z$ ) tablosunu kullanarak kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $\%95$ 'lik güven aralığını $(18.04,\; 21.96)$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, kitle ortalaması için hesaplanması gereken doğru $\%95$ 'lik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Tablo değerlerini: $Z_{0.025} = 1.96$ , $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ , $t_{15, 0.05} = 1.753$ olarak alınız.)

(18.247,\; 21.753)

(19.467,\; 20.533)

(17.869,\; 22.131)

(17.880,\; 22.120)

(11.476,\; 28.524)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(17.869,\; 22.131)$

Cevap

Kitle ortalaması için doğru %95'lik güven aralığı

(17.869, 22.131)

'dir.

Sorunun çözümünde ilk adım, hatalı olarak verilen Z-aralığından örnekleme ait istatistiklerin çekilmesidir. Güven aralığının orta noktası her zaman örneklem ortalamasına (

\bar{x}

) eşittir; bu durumda

(18.04+21.96)/2 = 20

'dir. İkinci adımda hata payı (margin of error) bulunur:

21.96 - 20 = 1.96

. Uzman

Z

tablosunu kullandığı için bu hata payı

Z \times (S/\sqrt{n})

formülünden gelmektedir.

1.96 = 1.96 \times (S/4)

eşitliğinden örneklem standart sapması

S=4

olarak bulunur. Gerçekte kitle varyansı bilinmediği için serbestlik derecesi

n-1 = 15

olan T dağılımı kullanılmalıdır. İlgili kritik değer

t_{15, 0.025} = 2.131

'dir. Yeni ve doğru hata payı

E = 2.131 \times (4/\sqrt{16}) = 2.131

olur. Aralık ise

20 \pm 2.131

işleminden

(17.869,\; 22.131)

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hatalı güven aralığından örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) hesaplayın.

\bar{x} = \frac{18.04 + 21.96}{2} = 20.00

Güven aralığının tam orta noktası her zaman nokta tahmin edici olan örneklem ortalamasını verir.

2

Hatalı Z aralığındaki marjinal hatayı (

E_z

) kullanarak örneklem standart sapmasını (

S

) bulun.

E_z = 21.96 - 20.00 = 1.96

. Formül:

1.96 = Z_{0.025} \times \frac{S}{\sqrt{n}} \Rightarrow 1.96 = 1.96 \times \frac{S}{4} \Rightarrow S = 4

Kitle varyansı bilinmese de uzman Z dağılımını kullandığı için

Z \times (S/\sqrt{n})

denklemi üzerinden gerçek

S

değerine ulaşılır.

3

Doğru dağılım olan T dağılımı için serbestlik derecesini (

df

) ve kritik tablo değerini belirleyin.

df = n - 1 = 16 - 1 = 15

.

\%95

güven düzeyi için çift yönlü risk

\alpha/2 = 0.025

'tir. Doğru kritik değer:

t_{15, 0.025} = 2.131

Kitle varyansı bilinmediğinde ve küçük örneklemlerde (

n < 30

),

n-1

serbestlik dereceli Student-t dağılımı kullanılmalıdır.

4

Doğru marjinal hatayı (

E_t

) hesaplayıp aralığı oluşturun.

E_t = 2.131 \times \frac{4}{\sqrt{16}} = 2.131

. Aralık:

(20.00 - 2.131,\; 20.00 + 2.131) = (17.869,\; 22.131)

Gerçek güven aralığı sınırları

\bar{x} \pm E_t

formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı bilinmediğinde ortalama için T-dağılımı temelli aralık tahmini ve tersine mühendislik

Soru 37Soru →

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK) uzmanları, belirli bir sanayi kolundaki işletmelerin aylık ortalama elektrik tüketimini (megawatt-saat, MWh) tahmin etmek istemektedir. Bu sanayi kolundaki işletmelerin aylık tüketim değerlerinin normal dağılıma sahip olduğu bilinmekte ancak kitle varyansı bilinmemektedir.

Rastgele seçilen $n=25$ işletmenin aylık tüketim değerlerinden elde edilen örneklem ortalaması $\bar{X} = 120$ MWh ve örneklem standart sapması $S = 15$ MWh olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu sanayi kolundaki işletmelerin aylık ortalama elektrik tüketimi ( $\mu$ ) için $\%90$ güven düzeyinde oluşturulacak güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda kullanılabilecek bazı kritik değerler: $Z_{0.05} = 1.645$ , $Z_{0.10} = 1.282$ , $t_{24, 0.05} = 1.711$ , $t_{25, 0.05} = 1.708$ , $t_{24, 0.10} = 1.318$ )

(114.867,\; 125.133)

(115.065,\; 124.935)

(114.876,\; 125.124)

(94.335,\; 145.665)

(95.325,\; 144.675)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(114.867,\; 125.133)$

Cevap

Doğru güven aralığı

(114.867,\; 125.133)

şeklindedir.

Verilen problemde kitle varyansı bilinmemektedir. Bu durumda ortalama tahmininde doğru yaklaşım t-dağılımı kullanmaktır. Serbestlik derecesi

n-1 = 25-1 = 24

'tür.

\%90

güven düzeyi için iki yönlü testte

\alpha/2 = 0.05

olur. Tablodan alınan kritik değer

t_{24, 0.05} = 1.711

'dir. Standart hata ise

\frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{15}{5} = 3

olarak bulunur. Formüle yerleştirildiğinde

\bar{X} \pm t \times S_{\bar{X}} \Rightarrow 120 \pm 1.711 \times 3 \Rightarrow 120 \pm 5.133

elde edilir. Bu da bizi

(114.867,\; 125.133)

aralığına götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin tespit edilmesi.

Örneklem çapı

n = 25

, örneklem ortalaması

\bar{X} = 120

, örneklem standart sapması

S = 15

, güven düzeyi

1 - \alpha = 0.90

.

Güven aralığı formülünde kullanılacak bileşenlerin belirlenmesi.

2

Kullanılacak dağılımın ve kritik değerin belirlenmesi.

Kitle varyansı bilinmediği ve örneklem çapı küçük (

n < 30

) olduğu için t-dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi

v = n - 1 = 24

'tür.

\alpha = 0.10

olduğundan

\alpha/2 = 0.05

'tir. Kullanılacak kritik değer:

t_{24, 0.05} = 1.711

.

Varyans bilinmediğinde ve n<30 olduğunda Merkezi Limit Teoremi'nin doğrudan kullanımı yerine Student's t-dağılımı daha kesin ve doğru sonuç verir.

3

Hata payının (Margin of Error) hesaplanması.

Hata payı

E = t_{24, 0.05} \times \frac{S}{\sqrt{n}} = 1.711 \times \frac{15}{\sqrt{25}} = 1.711 \times \frac{15}{5} = 1.711 \times 3 = 5.133

.

Güven aralığının sınırlarını bulmak için ortalamadan ne kadar sapılabileceğinin tespit edilmesi.

4

Güven aralığı sınırlarının oluşturulması.

Alt sınır:

120 - 5.133 = 114.867

. Üst sınır:

120 + 5.133 = 125.133

.

Bulunan hata payının örneklem ortalamasından çıkarılması ve toplanması ile aralığın elde edilmesi.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı bilinmediğinde t-dağılımı kullanarak tek kitle ortalaması için güven aralığı hesaplama.

Soru 38Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, iki farklı ilçedeki (Kuzey ve Güney ilçeleri) asfaltlama çalışmalarında harcanan günlük asfalt miktarlarının değişkenliğini incelemektedir.

Kuzey ilçesinde rastgele seçilen 16 günlük çalışmada harcanan asfalt miktarları (ton) için düzeltilmiş kareler toplamı $\sum_{i=1}^{16} (X_i - \bar{X})^2 = 600$ olarak bulunmuştur. Güney ilçesinde rastgele seçilen 25 günlük çalışmada ise bu değer $\sum_{j=1}^{25} (Y_j - \bar{Y})^2 = 480$ olarak hesaplanmıştır.

Günlük harcanan asfalt miktarlarının bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, Kuzey ilçesindeki varyansın Güney ilçesindeki varyansa oranı $\left( \frac{\sigma_K^2}{\sigma_G^2} \right)$ için $\%98$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(İlgili test istatistiği için tablo değerleri: $F_{0.01; 15, 24} = c$ , $F_{0.01; 24, 15} = d$ ve standart normal dağılım kritik değeri $Z_{0.01} = z$ olarak verilmiştir. $F_{\alpha}$ değerleri sağ kuyruk olasılıklarını ifade etmektedir.)

\left[ \frac{2}{c}, 2d \right]

\left[ \frac{2}{d}, 2c \right]

\left[ \frac{2}{z}, 2z \right]

\left[ \frac{1.25}{c}, 1.25d \right]

\left[ \frac{1}{2d}, \frac{c}{2} \right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left[ \frac{2}{c}, 2d \right]$

Cevap

Güven aralığı

\left[ \frac{2}{c}, 2d \right]

şeklindedir.

Doğru aralık, örneklem varyanslarının oranının F dağılımı kritik değerleriyle ağırlıklandırılması sonucunda bulunur. Kuzey ve Güney ilçeleri için örneklem varyansları

S_K^2 = 600 / 15 = 40

ve

S_G^2 = 480 / 24 = 20

hesaplanarak oranları

2

bulunur. Formüldeki alt sınır için

1/F_{0.01; 15, 24}

(

1/c

) ve üst sınır için

F_{0.01; 24, 15}

(

d

) kullanıldığında

\left[ \frac{2}{c}, 2d \right]

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kuzey ilçesi için örneklem varyansının hesaplanması

S_K^2 = \frac{600}{16-1} = \frac{600}{15} = 40

Düzeltilmiş kareler toplamı serbestlik derecesine (

n_1-1

) bölünmelidir.

2

Güney ilçesi için örneklem varyansının hesaplanması

S_G^2 = \frac{480}{25-1} = \frac{480}{24} = 20

İkinci kitlenin varyans tahmini için aynı formül uygulanır.

3

Örneklem varyansları oranının bulunması

\frac{S_K^2}{S_G^2} = \frac{40}{20} = 2

Güven aralığı formülünün merkez noktası örneklem varyanslarının oranıdır.

4

Güven düzeyi ve kritik F değerlerinin belirlenmesi

\%98

güven için

\alpha = 0.02

ve

\alpha/2 = 0.01

olur. Tablo değerleri:

F_{0.01; 15, 24} = c

ve

F_{0.01; 24, 15} = d

Aralık sınırlarını oluşturmak için

\alpha/2

anlamlılık düzeyindeki sağ ve sol kuyruk değerleri gereklidir.

5

Güven aralığı formülüne değerlerin yerleştirilmesi

Alt sınır:

2 \times \frac{1}{c}

, Üst sınır:

2 \times d \implies \left[ \frac{2}{c}, 2d \right]

\left[ \frac{S_K^2}{S_G^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_K, v_G}}, \frac{S_K^2}{S_G^2} F_{\alpha/2; v_G, v_K} \right]

formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı Tahmini

Soru 39Soru →

Bir biyolog, belirli bir bakteri kültürünün hayatta kalma oranlarını ( $0$ ile $1$ arasında bir değer) incelemektedir. Bu oranların olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilen dağılıma uyduğu bilinmektedir:

f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0

Biyolog, birbirinden bağımsız $n$ farklı kültürden elde edilen $X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemini kullanarak $\theta$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, bu güven aralığını elde etmek için kullanılabilecek tam (exact) pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)

Q = -\frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)

Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} X_i

Q = \frac{\bar{X} - \theta}{S / \sqrt{n}}

Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)$

Cevap

Doğru eksen (pivot) fonksiyonu

Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)

ifadesidir.

Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden (burada

\theta

) bağımsız olması gerekir. Sorudaki

X

değişkeninin yoğunluk fonksiyonu incelendiğinde,

Y = -\ln(X)

dönüşümü yapıldığında

Y \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımına ulaşılır. Bu dağılımı

\theta

'dan kurtarmak için

\theta

ile çarparız:

\theta Y = -\theta \ln(X) \sim \text{Üstel}(1)

. İstatistik biliminde bilindiği üzere,

\text{Üstel}(1)

dağılımı 2 ile çarpıldığında 2 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_2

) dağılımına dönüşür. Dolayısıyla her bir gözlem için

-2\theta \ln(X_i) \sim \chi^2_2

olur. Bağımsız

n

adet gözlemin toplamı da

2n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına (

\chi^2_{2n}

) uyar. Bulunan

-2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)

ifadesinin dağılımı

\theta

'dan tamamen bağımsız olduğu için tam (exact) bir pivot fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dağılım için uygun bir değişken dönüşümü araştırmak.

Y = -\ln(X)

dönüşümü yapılırsa,

Y

'nin dağılımının

\text{Üstel}(\theta)

olduğu görülür.

Pivot fonksiyonu elde edebilmek için dağılımı bilinen ve parametreleri ayrıştırılabilen standart bir dağılıma geçiş yapmak gerekir.

2

Y

değişkeninin dağılımını parametreden (

\theta

) bağımsız hale getirmek.

W = \theta Y = -\theta \ln(X)

değişkeninin dağılımı

\text{Üstel}(1)

olur. Bu dağılım

\theta

'dan bağımsızdır.

Pivot fonksiyonunun en temel özelliği, dağılımının bilinmeyen parametreyi içermemesidir.

3

Örneklemdeki

n

adet gözlemin toplamı üzerinden bilinen bir örneklem istatistiği oluşturmak.

W_i \sim \text{Üstel}(1)

ise

2W_i \sim \chi^2_2

dağılımına uyar.

n

adet bağımsız gözlemin toplamı olan

\sum_{i=1}^n 2W_i = -2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i)

,

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

) dağılımına sahip olur.

Güven aralığı oluşturulurken genellikle Ki-kare gibi tabloları bulunan standart dağılımlar kullanıldığından, ifadeyi Ki-kareye dönüştürmek amaçlanır.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonunun Tanımı ve Değişken Dönüşümü

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 40Soru →

Bir enerji kurumu uzmanı, belirli bir bölgedeki rüzgâr türbinlerinin arızasız çalışma sürelerini (saat cinsinden) modellemektedir. Arızasız çalışma sürelerinin $X \sim \text{Üstel}(\theta)$ dağılımına sahip olduğu ve bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun $x > 0$ için $f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$ olduğu bilinmektedir.

Uzman, $n$ hacimli rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alarak ortalama arızasız çalışma süresini ifade eden $\theta$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, uzmanın kitle parametresi $\theta$ için aralık tahmininde kullanması gereken en uygun pivot (eksen) fonksiyonu ve bu fonksiyonun örneklemleme dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Q = \frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta}

fonksiyonudur ve

\chi^2_{2n}

dağılımına uyar.

Q = \sum_{i=1}^{n} X_i

fonksiyonudur ve

Gamma(n, \theta)

dağılımına uyar.

Q = \frac{\bar{X} - \theta}{S/\sqrt{n}}

fonksiyonudur ve

t_{n-1}

dağılımına uyar.

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta}

fonksiyonudur ve

\chi^2_n

dağılımına uyar.

Q = \frac{n \bar{X}}{\theta^2}

fonksiyonudur ve

\chi^2_{n-1}

dağılımına uyar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Q = \frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta}$ fonksiyonudur ve $\chi^2_{2n}$ dağılımına uyar.

Cevap

Kitle parametresi

\theta

için doğru pivot fonksiyonu

Q = \frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta}

şeklindedir ve bu fonksiyon

\chi^2_{2n}

(2n serbestlik dereceli Ki-kare) dağılımına uyar.

Doğru pivot fonksiyonu, örneklem verilerini ve bilinmeyen parametreyi matematiksel olarak içeren, ancak örneklemleme dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmayan fonksiyondur.

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

olduğunda, her bir

X_i

için dönüşüm yapılarak

\frac{2X_i}{\theta} \sim \chi^2_2

olduğu bulunur. Bu bağımsız

n

adet rastgele değişkenin toplamı alındığında,

\sum_{i=1}^n \frac{2X_i}{\theta} = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

fonksiyonu elde edilir. Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşit bir Ki-kare dağılımına sahip olacağından, bu fonksiyon

\chi^2_{2n}

dağılımına uyar. Dağılım

\theta

'dan bağımsız olduğu için kitle parametresi aralık tahmininde geçerli bir pivot fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Pivot fonksiyonunun tanımını ve aranan şartları belirlemek.

Aranan

Q(X, \theta)

fonksiyonu hem örneklem değerlerini hem de

\theta

'yı içermeli, ancak dağılımı

\theta

'dan (ve diğer olası bilinmeyen parametrelerden) tamamen bağımsız olmalıdır.

Aralık tahmini yapabilmek için sınır değerlerinin parametreden bağımsız standart tablolardan elde edilebilir olması gerekir.

2

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımı için parametreden bağımsız bir dağılım elde edecek doğrusal dönüşümü uygulamak.

X_i

rastgele değişkeni üstel dağıldığında, değişkeni kendi parametresine bölüp 2 ile çarptığımızda elde edilen

Y_i = \frac{2X_i}{\theta}

rastgele değişkeni 2 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_2

) dağılımına uyar.

Üstel dağılım (

\alpha=1, \beta=\theta

olan Gamma dağılımı) ile Ki-kare dağılımı (

\alpha=k/2, \beta=2

olan Gamma dağılımı) arasındaki ilişkiyi kullanarak parametreden bağımsız bir form elde etmek.

3

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamını alarak tüm örneklemi kullanan bir fonksiyon oluşturmak.

n

adet bağımsız

\chi^2_2

dağılımlı değişkenin toplamı alınır.

\sum_{i=1}^n \frac{2X_i}{\theta} = \frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

ifadesi, bağımsız Ki-karelerin serbestlik derecelerinin toplanması kuralı gereği

\chi^2_{2n}

dağılımına uyar.

Tüm örneklem bilgisini (yeterli istatistik olan toplamı) işin içine katarak kitle parametresi için en dar (etkin) güven aralığını oluşturabilmek.

Anahtar Kavram

Pivot Fonksiyonu Yöntemi ve Üstel Dağılım Dönüşümü

Tahmini Süre:1m 30s

Aralık Tahmini

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm