Nokta Tahmini ve Özellikleri

Bir olasılık dağılımından çekilen rastgele bir örneklem için $T$ istatistiğinin, bilinmeyen $\theta$ parametresi için tam (complete) ve yeterli (sufficient) bir istatistik olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $E[g(T)] = \theta$ eşitliğini sağlayan $g(T)$ istatistiği için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu $\theta > 0$ parametresi ile $f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, \quad x > 0$ olarak tanımlanmıştır. Buna göre, bu dağılıma sahip tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı $I(\theta)$ aşağıdakilerden hangisidir?

Beklenen değeri $\lambda$ olan Poisson dağılımına sahip bir kitleden $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekilmiştir. $\lambda$ parametresi için $\hat{\lambda} = \bar{X} + \frac{1}{n}$ şeklinde bir tahmin edici tanımlanmıştır. Buna göre, bu tahmin edicinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir belediyenin ulaşım dairesi, şehir içi ortalama yolculuk süresini ($\mu$) tahmin etmek için yeni bir model kullanmaktadır. Bu modele ait $\hat{\mu}$ tahmin edicisinin yanlılık (bias) miktarı $B(\hat{\mu}) = 4$ dakika ve varyansı $Var(\hat{\mu}) = 9$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, bu tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$X_1, X_2, \dots, X_n$ birimleri, parametresi $\theta > 0$ olan ve olasılık fonksiyonu

şeklinde verilen Poisson dağılımından seçilmiş rastgele bir örneklemdir. Buna göre, $\theta$ parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir parametre tahmin çalışmasında, örneklem çapı $n$ olan bir kitle için $\theta$ parametresinin $\hat{\theta}_n$ tahmin edicisinin beklenen değeri $E(\hat{\theta}_n) = \left(1 - \frac{5}{n}\right)\theta$ şeklinde ifade edilmektedir.

Buna göre, söz konusu tahmin edici için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

İstatistiksel tahmin teorisinde, üstel ailelerin (exponential families) özelliklerinden yararlanılarak tamlık (completeness) özelliği kolaylıkla belirlenebilmektedir. $k$-parametreli bir üstel ailede, doğal (kanonik) parametre uzayının $k$-boyutlu bir açık küme içermesi durumunda, bu dağılım için tanımlanan yeterli istatistik hakkında aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Bir kitle parametresi $\theta$ için önerilen $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin varyansı $0{}15$ ve yan (bias) miktarı $0{}2$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, bu tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE) değeri kaçtır?

Bir araştırmacı, kitle ortalaması $\mu$ ve kitle varyansı $\sigma^2$ olan bir anakütleden $n$ hacimli bir rastgele örneklem seçmiştir. Araştırmacı, $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ fonksiyonunu kullanmaktadır. Bu istatistiksel süreçte yer alan temel kavramlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kitle, parametresi $\lambda$ olan Poisson dağılımına sahiptir. Bu kitleden çekilen $n$ birimlik bir rastgele örneklem için $T = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $\lambda$ parametresi için tam (complete) ve yeterli (sufficient) bir istatistik olduğu bilinmektedir. Buna göre, Lehmann-Scheffe Teoremi uyarınca $\lambda$ parametresinin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir $\theta$ parametresinin tahmini için kullanılan bir $\hat{\theta}_n$ tahmin edicisinin beklenen değeri $E(\hat{\theta}_n) = \frac{n-5}{n} \theta$ olarak verilmiştir.

Buna göre, bu tahmin edicinin asimptotik yansızlık özelliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kitleye ait beklenen değer $E(X) = \theta$ ve varyans $Var(X) = \sigma^2 < \infty$ olsun. Bu kitleden çekilen $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örnekleme dayalı olarak tanımlanan $\hat{\theta}_1 = X_1$ ve $\hat{\theta}_2 = \bar{X} + \frac{1}{n}$ tahmin edicileri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kalite kontrol sürecinde kitlenin $\theta$ parametresini tahmin etmek için kullanılan $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin beklenen değeri $E(\hat{\theta}) = \theta - 0{}4$ ve varyansı $Var(\hat{\theta}) = 0{}09$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE) değeri kaçtır?

Bir kitle parametresi $\theta$ için önerilen iki farklı tahmin ediciye ilişkin şu bilgiler verilmektedir:

- $T_1$ tahmin edicisi her örneklem hacminde yansızdır ($E(T_1) = \theta$) ancak örneklem hacmi $n$ sonsuza giderken varyansı sıfıra yaklaşmamaktadır ($Var(T_1) \rightarrow c > 0$).
- $T_2$ tahmin edicisi yanlı bir tahmin edicidir ancak $n \rightarrow \infty$ iken hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaşmaktadır ($MSE(T_2) \rightarrow 0$).

Bu bilgilere göre, tutarlılık (consistency) özelliği bakımından aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Başarı olasılığı $p$ olan bir Bernoulli dağılımından $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekilmiştir. $p$ parametresini tahmin etmek amacıyla önerilen $\hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i + 1}{n+2}$ tahmin edicisinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen çevre denetimleri kapsamında, bir göldeki su kirliliği seviyesini belirlemek amacıyla kitle ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitle incelenmektedir. Bu kitleden rastgele seçilen $n=2$ birimlik bir örneklem ($X_1, X_2$) kullanılarak $\mu$ parametresi için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) aşağıdakilerden hangisidir?

$X_1, X_2, \dots, X_n$ ($n > 1$) bağımsız ve aynı dağılımlı rasgele örneklemi, beklenen değeri $\theta$ ve varyansı $\theta^2$ olan normal dağılımdan ($X_i \sim N(\theta, \theta^2)$) alınmıştır. Burada $\theta \in (0, \infty)$ bilinmeyen bir parametredir.

Bu dağılıma ait olabilirlik fonksiyonu dikkate alındığında, $T = \left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)$ ortak istatistiğinin yeterlilik (sufficiency) ve tamlık (completeness) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?