Nokta Tahmini ve Özellikleri

Bir istatistik araştırmasında, $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun iki parametreli bir üstel aileye ait olduğu ve

biçiminde ifade edilebildiği bilinmektedir. Parametre uzayı $\Theta$ üzerinde $\eta_2(\theta) = [\eta_1(\theta)]^2$ eşitliğini sağlayan deterministik bir kısıt bulunduğu (eğrisel üstel aile) saptanmıştır. Bu dağılımdan alınan $n$ çaplı bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem için ortak yeterli istatistik $(T_1, T_2) = \left( \sum_{i=1}^n t_1(X_i), \sum_{i=1}^n t_2(X_i) \right)$ olarak elde edilmiştir.

Bu teorik modele göre, $\theta$ parametresinin tahmini ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan bir anakütleden alınan $n$ birimlik ($n \ge 2$) rassal bir örneklem dikkate alınsın ($X_1, X_2, \dots, X_n$). Bilinmeyen $\theta = \mu^2$ parametresinin tahmini için aşağıdaki iki kestirici (tahmin edici) tanımlanmıştır:

I. $T_1 = \bar{X}^2$ (Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasıdır)
II. $T_2 = X_1 \cdot X_2$

Gözlem sayısı $n$ sonsuza ıraksarken ($n \to \infty$), bu iki kestiricinin yansızlık ve tutarlılık durumları hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle söylenebilir?

Bir kamu kurumunda risk analizi yapan bir uzman, ölçüm hatalarını modellemek için iki parametreli $\boldsymbol{\theta} = (\theta_1, \theta_2)$ bir dağılım kullanmaktadır. İncelemeler sonucunda bu dağılımın üstel aile (exponential family) formunda yazılabildiği görülmüştür. Uzman, $n$ çaplı rastgele örneklem üzerinden elde ettiği ortak yeterli istatistik vektörü $\mathbf{T} = (T_1, T_2)$'ye Lehmann-Scheffé teoremini uygulayarak parametreler için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) elde etmek istemektedir.

Modelin doğal (kanonik) parametre vektörü $\boldsymbol{\eta} = (\eta_1, \eta_2)$ ve doğal parametre uzayı $\mathcal{H}$ olmak üzere, $\mathbf{T}$'nin tam (complete) bir istatistik olduğunu ispatlamak için aşağıdaki koşullardan hangisinin sağlanması teorik olarak zorunludur?

$X_1, X_2, \dots, X_n$, parametresi $\lambda > 0$ olan Poisson dağılımından alınmış $n$ hacimli bir rastgele örneklem olsun. Bir araştırmacı, Neyman Çarpanlara Ayırma teoremini kullanarak $T = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $\lambda$ için yeterli (sufficient) olduğunu göstermiştir.

Araştırmacı, $\lambda^2$ parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisini (UMVUE) Lehmann-Scheffe teoremi yardımıyla bulmak istemektedir.

Buna göre, araştırmacının Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmesi için $T$ istatistiği ile ilgili doğrulaması gereken ek özellik ve $\lambda^2$'nin UMVUE'si aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Bir istatistik uzmanı, $(0, \theta)$ aralığında düzgün (üniform) dağılıma sahip bir kitleden $n$ hacimli bağımsız bir rastgele örneklem çekmiştir. Bu örneklemdeki en büyük değeri veren $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ sıra istatistiğini, bilinmeyen $\theta$ parametresi için bir tahmin edici olarak önermiştir.

Bu tahmin edicinin beklenen değeri $E(X_{(n)}) = \frac{n}{n+1}\theta$ olarak hesaplanmıştır.

Tahmin edicinin yan miktarı (bias) ve $n \to \infty$ iken limit durumu dikkate alındığında, $X_{(n)}$ tahmin edicisinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bu modelin üstel aile özellikleri ve parametre tahminine yönelik tamlık (completeness) kavramı dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

$X_1, X_2, \dots, X_n$, varyansı $1$ olan normal dağılımdan ($N(\mu, 1)$) alınmış bir rastgele örneklemi göstermek üzere, kitle ortalamasının karesi olan $\mu^2$ parametresi tahmin edilmek istenmektedir.

Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak bulunacak $\mu^2$ için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

İleri düzey bir istatistiksel modelleme çalışmasında, pozitif değerler alan bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta_1 < 0$ ve $\theta_2 > -1$ olmak üzere şu şekilde tanımlanmıştır:

Bu dağılımdan $n$ birimlik bağımsız bir $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekiliyor. Modelin temel yapısı gereği parametre uzayı $\Theta$, yapısal bir kısıt nedeniyle $\Theta = \{(\theta_1, \theta_2) \in \mathbb{R}^2 : \theta_1 = -2\theta_2^2, \theta_2 > 0 \}$ olarak daraltılmıştır.

Verilen kısıt altında, doğal (kanonik) parametrelere karşılık gelen ortak yeterli istatistik $T = \left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n \ln X_i \right)$ için tamlık (completeness) özelliği ve Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilirliği bağlamında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Buna göre, $\tau(\lambda) = e^{-\lambda}$ fonksiyonunun yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

$X_1, X_2, \dots, X_n$, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0$ olan üstel dağılıma sahip bir kitleden çekilen $n$ çaplı rastgele bir örneklem olsun.

$\bar{X}$ örneklem ortalamasını göstermek üzere, $\theta^2$ parametresi için yansız bir tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

Bir sigorta şirketinde aktüer olarak çalışan bir uzman, belirli bir hasar türüne ait ödenecek tazminat tutarlarını $X$ rassal değişkeni ile modellemektedir. Veriler üzerinde yapılan ön analizler sonucunda, tazminat tutarlarının ortalaması ile standart sapmasının birbirine eşit olduğu varsayılmıştır. Bu duruma uygun olarak $X$ değişkeninin $X \sim N(\theta, \theta^2)$, $\theta > 0$ normal dağılımına sahip olduğu kabul edilmiştir.

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bu dağılımdan alınan bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem olmak üzere, modelin ortak yeterli istatistiği $T = \left(\sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2\right)$ olarak bulunmuştur.

Bu modelleme ve yeterli istatistik $T$ dikkate alındığında, tamlık (completeness) özelliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?