Parametrik Olmayan İlişki Ölçüleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir bölgesel kalkınma ajansında görevli $5$ bağımsız dış uzman ( $k=5$ ), mali destek programı kapsamında finale kalan $7$ farklı yatırım projesini ( $N=7$ ) desteklenebilirlik derecesine göre kendi içlerinde $1$ 'den $7$ 'ye kadar sıralamıştır. Uzmanların sıralamaları arasındaki benzerliği test etmek için yapılan analizde Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği $24$ olarak bulunmuştur.

Sıralamalar arasında bağlı gözlem (eşit sıra) olmadığı varsayımı altında, Kendall Uyuşum (Concordance) katsayısı ( $W$ ) ve bu katsayının istatistiksel anlamlılığı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

(Test için anlamlılık düzeyi $\alpha=0.05$ alınacaktır. İlgili Ki-kare tablo değerleri: $\chi^2_{tablo(4; 0.05)} = 9.49$ , $\chi^2_{tablo(5; 0.05)} = 11.07$ , $\chi^2_{tablo(6; 0.05)} = 12.59$ , $\chi^2_{tablo(7; 0.05)} = 14.07$ )

W = 0.80

'dir. Ancak katsayının

1

'e yakın olması uyumsuzluğun yüksek olduğunu gösterdiğinden, uzmanlar arası anlamlı bir fikir birliği yoktur.

W \approx 0.68

'dir. Hesaplamada ve Ki-kare testinde serbestlik derecesi proje sayısı (

7

) olarak alındığından, tablo değeri aşılarak uyumun anlamlı olduğuna karar verilir.

W = 0.80

'dir. Hesaplanan Ki-kare değeri,

6

serbestlik dereceli tablo değerinden büyük olduğu için uzmanlar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir uyum vardır.

W = -0.80

'dir. Katsayının negatif çıkması, uzmanların projeleri birbirlerine tamamen zıt yönde değerlendirdiğini ve zıt yönlü anlamlı bir ilişki olduğunu gösterir.

Katsayının istatistiksel anlamlılığını test etmek için serbestlik derecesi uzman sayısının bir eksiği (

4

) olarak alınmalıdır; bu nedenle hesaplanan katsayı tablo değerinden büyük olsa da test geçersizdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $W = 0.80$ 'dir. Hesaplanan Ki-kare değeri, $6$ serbestlik dereceli tablo değerinden büyük olduğu için uzmanlar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir uyum vardır.

Cevap

Kendall Uyuşum katsayısı

W = 0.80

olarak hesaplanır ve serbestlik derecesi

N-1 = 6

olduğu için tablo değeri ile karşılaştırıldığında uyum istatistiksel olarak anlamlı bulunur.

Kendall Uyuşum Katsayısı formülü Ki-kare dağılımı ile

\chi^2 = k(N-1)W

şeklinde ilişkilidir. Verilen değerler yerine konduğunda

24 = 5(7-1)W

olur ve buradan

W = 0.80

bulunur. Bu testin serbestlik derecesi her zaman değerlendirilen nesne sayısının bir eksiğidir (

N-1=6

). Tablodan okunan

6

serbestlik dereceli kritik değer

12.59

'dur. Hesaplanan

24

değeri

12.59

'dan büyük olduğu için, uzmanların projeleri sıralamasında şansa bağlanamayacak kadar belirgin (istatistiksel olarak anlamlı) bir uyum olduğu sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametreleri belirle.

Uzman sayısı

k = 5

, proje sayısı

N = 7

, hesaplanan test istatistiği

\chi^2 = 24

.

Kendall W formülü ve serbestlik derecesi hesaplamaları

k

ve

N

değerlerine dayanır.

2

Kendall W katsayısını hesaplamak için Ki-kare ve W arasındaki ilişki formülünü kur.

\chi^2 = k(N-1)W

denklemine göre

24 = 5(7-1)W

işlemi elde edilir.

Soruda doğrudan

\chi^2

değeri verilmiş olup, W'ya ulaşmak için dönüşüm formülü kullanılmalıdır.

3

Denklemi çözerek W katsayısını bul.

24 = 5 \times 6 \times W \Rightarrow 24 = 30W \Rightarrow W = 24 / 30 = 0.80

.

Uzmanlar arasındaki uyumun derecesini (

0

ile

1

arasında) sayısal olarak ifade etmek için gereklidir.

4

Testin serbestlik derecesini (sd) hesapla.

Serbestlik derecesi

sd = N - 1 = 7 - 1 = 6

'dır.

Ki-kare tablosundan doğru kritik değeri okuyabilmek için değerlendirilen nesne sayısının bir eksiği alınır.

5

Hesaplanan değeri tablo değeriyle karşılaştırarak karara var.

Hesaplanan

\chi^2 (24) > \chi^2_{tablo(6; 0.05)} (12.59)

olduğundan uzmanlar arasındaki uyum istatistiksel olarak anlamlıdır.

Test istatistiği kritik tablo değerini aştığında sıfır hipotezi (uyum yoktur) reddedilir.

Anahtar Kavram

Kendall W ile Ki-kare Testi İlişkisi ve Katsayı Sınırları

Soru 102Soru →

Bir eğitim bilimleri araştırmacısı, yeni geliştirilen $8$ farklı öğretim yöntemini değerlendirmek üzere $5$ alan uzmanından bu yöntemleri etkililik derecelerine göre $1$ 'den $8$ 'e kadar sıralamalarını istemiştir.

Uzmanların değerlendirmeleri sonucunda, ikili uzman çiftleri arasındaki Spearman sıra korelasyon katsayılarının ortalaması $\bar{r}_s = 0,25$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, uzmanların genel uyuşumunu gösteren Kendall Uyuşum Katsayısı ( $W$ ) ile bu katsayının istatistiksel anlamlılığını test etmek için hesaplanacak Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiğinin değeri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir? (Verilerde bağlı gözlem bulunmamaktadır.)

W = 0,40

;

\chi^2 = 14,0

W = 0,25

;

\chi^2 = 8,75

W = 0,40

;

\chi^2 = 12,8

W = 0,25

;

\chi^2 = 14,0

W = 0,40

;

\chi^2 = 16,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $W = 0,40$ ; $\chi^2 = 14,0$

Cevap

Kendall Uyuşum Katsayısı

0,40

ve Ki-kare test istatistiği

14,0

değerlerini veren seçenektir.

Soruda verilenlere göre değerlendirici sayısı

k=5

, değerlendirilen nesne sayısı

N=8

ve ikili sıra korelasyonlarının ortalaması

\bar{r}_s = 0,25

'tir. Kendall

W

katsayısı, ortalama Spearman korelasyonu cinsinden

W = \frac{(k-1)\bar{r}_s + 1}{k}

formülü ile ifade edilir. Değerler yerine konulduğunda

W = \frac{(5-1)0,25 + 1}{5} = \frac{2}{5} = 0,40

bulunur. Büyük örneklemlerde (genellikle

N>7

) Kendall

W

katsayısının anlamlılık testi Ki-kare dağılımı kullanılarak yapılır. Test istatistiği

\chi^2 = k(N-1)W

şeklindedir. Buradan

\chi^2 = 5 \times 7 \times 0,40 = 14,0

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametreleri ayrıştırma

Değerlendirici sayısı

k = 5

, değerlendirilen nesne (yöntem) sayısı

N = 8

, ortalama Spearman korelasyonu

\bar{r}_s = 0,25

.

Uyuşum katsayısı ve test istatistiği formüllerinde doğru değişkenleri kullanmak için.

2

Kendall Uyuşum Katsayısını (

W

) hesaplama

W = \frac{(k-1)\bar{r}_s + 1}{k} = \frac{(5-1) \times 0,25 + 1}{5} = \frac{4 \times 0,25 + 1}{5} = \frac{1 + 1}{5} = 0,40

.

Uzmanların ikili değerlendirmelerinin ortalamasından yola çıkarak kümülatif uyuşum derecesini bulmak için.

3

Ki-kare (

\chi^2

) test istatistiğini hesaplama

\chi^2 = k(N-1)W = 5 \times (8-1) \times 0,40 = 5 \times 7 \times 0,40 = 35 \times 0,40 = 14,0

.

Bulunan

W

değerinin istatistiksel anlamlılığını

N-1

serbestlik derecesi üzerinden test edebilecek istatistiği elde etmek için.

Anahtar Kavram

Ortalama Spearman Sıra Korelasyonu ile Kendall Uyuşum Katsayısı İlişkisi ve Anlamlılık Testi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 103Soru →

Bir eğitim bilimleri araştırmacısı, iki farklı araştırma kapsamında elde edilen çapraz tablolar (kontenjans tabloları) üzerindeki ilişkilerin gücünü incelemek için Kontenjans Katsayısını ( $C$ ) hesaplamıştır.

- Tablo I: Öğrencilerin "Öğrenme Stili" ( $2$ kategori) ile "Kayıtlı Olunan Fakülte" ( $3$ kategori) arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Bu tablo için katsayı $C_I = 0,45$ olarak bulunmuştur.
- Tablo II: Öğretmenlerin "Tükenmişlik Düzeyi" ( $7$ kategori) ile "Kıdem Yılı Kategorisi" ( $8$ kategori) arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Bu tablo için katsayı $C_{II} = 0,55$ olarak bulunmuştur.

Araştırmacı analiz raporunda, " $0,55 > 0,45$ olduğu için Tablo II'de incelenen değişkenler arasındaki ilişki, Tablo I'dekine göre daha güçlüdür." şeklinde bir sonuca varmıştır.

Bu araştırmacının ulaştığı sonuç ile ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel olarak en doğrudur?

Doğrudur; Kontenjans katsayısı (

C

) her zaman

0

ile

1

arasında standardize edilmiş bir ölçü olduğu için tabloların boyutundan bağımsız olarak her koşulda doğrudan karşılaştırılabilir.

Yanlıştır; tabloların boyutları farklı olduğundan katsayılar doğrudan karşılaştırılamaz, teorik maksimum değerlerine göre düzeltilmiş katsayılar (

C^*

) hesaplandığında Tablo I'deki ilişkinin daha güçlü olduğu görülür.

Yanlıştır; Tablo I'in satır sayısı

2

olduğu için bu tabloya Kontenjans Katsayısı uygulanamaz, bu tür tablolarda ilişki düzeyi sadece Fi (Phi) katsayısı ile ölçülmelidir.

Yanlıştır; iki farklı kontenjans katsayısının büyüklüğünü kıyaslayabilmek için tabloların serbestlik derecelerinin değil, her iki çalışmadaki örneklem hacimlerinin (

N

) tam olarak eşit olması zorunludur.

Doğrudur; Kontenjans katsayısı (

C

) hesaplanırken ki-kare değerleri örneklem hacmine bölündüğü için, elde edilen katsayılar tablo boyutlarından etkilenmez ve doğrudan mutlak değerleri üzerinden sıralanabilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yanlıştır; tabloların boyutları farklı olduğundan katsayılar doğrudan karşılaştırılamaz, teorik maksimum değerlerine göre düzeltilmiş katsayılar ( $C^*$ ) hesaplandığında Tablo I'deki ilişkinin daha güçlü olduğu görülür.

Cevap

Araştırmacının sonucu yanlıştır çünkü tabloların boyutları farklı olduğundan katsayılar doğrudan karşılaştırılamaz; teorik maksimum değerlerine göre düzeltilmiş katsayılar (C*) hesaplandığında Tablo I'deki ilişkinin daha güçlü olduğu görülür.

Kontenjans katsayısı (C) tam olarak

1

değerini alamaz ve katsayının ulaşabileceği üst sınır tablonun satır ile sütun sayısına bağlıdır. Tablo I (

2 \times 3

) için maksimum değer yaklaşık

0,707

iken, Tablo II (

7 \times 8

) için yaklaşık

0,926

'dır. Hesaplanan C değerlerini, kendi maksimum değerlerine bölerek 'düzeltilmiş katsayıları' (

C^*

) bulduğumuzda; Tablo I için

0,45 / 0,707 \approx 0,636

ve Tablo II için

0,55 / 0,926 \approx 0,594

elde edilir. Düzeltilmiş değerlere bakıldığında Tablo I'deki ilişkinin kendi potansiyeline oranla daha güçlü olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle ham C değerleri üzerinden yapılan basit büyüklük kıyaslaması istatistiksel açıdan geçersizdir.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki tablo için minimum boyut değerini (

k

) belirleme.

Tablo I (

2 \times 3

) için

k = \min(2,3) = 2

. Tablo II (

7 \times 8

) için

k = \min(7,8) = 7

.

Kontenjans katsayısının alabileceği teorik maksimum değer, tablonun satır ve sütun sayılarının en küçüğüne (

k

) göre hesaplanır.

2

Tabloların Kontenjans Katsayısı için alabileceği maksimum değerleri (

C_{max}

) hesaplama.

Tablo I için

C_{max} = \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \sqrt{0,50} \approx 0,707

. Tablo II için

C_{max} = \sqrt{\frac{7-1}{7}} = \sqrt{\frac{6}{7}} \approx \sqrt{0,857} \approx 0,926

.

Farklı boyutlardaki tabloların katsayılarını adil bir şekilde karşılaştırmak için her katsayının kendi üst sınırına bölünmesi (düzeltilmesi) gerekir.

3

Düzeltilmiş Kontenjans Katsayılarını (

C^*

) hesaplayarak ilişki güçlerini kıyaslama.

Tablo I:

C^*_I = \frac{0,45}{0,707} \approx 0,636

. Tablo II:

C^*_{II} = \frac{0,55}{0,926} \approx 0,594

. Buna göre,

0,636 > 0,594

olduğundan Tablo I'deki ilişkinin daha güçlü olduğu saptanır.

Düzeltilmiş katsayılar, ham ilişkinin tablonun elverdiği maksimum potansiyele ne kadar yaklaştığını gösterir ve boyutlardan arındırılmış gerçek bir karşılaştırma imkanı sunar.

Anahtar Kavram

Kontenjans Katsayısının Özellikleri ve Maksimum Değerinin Tablo Boyutlarına Bağlılığı

Soru 104Soru →

Bir yazılım geliştirme şirketinde oluşturulan değerlendirme kurulunda görevli $4$ kıdemli mühendis ( $k=4$ ), yeni tasarlanan $6$ farklı veri işleme algoritmasını ( $N=6$ ) işlem karmaşıklığı, bellek kullanımı ve ölçeklenebilirlik kriterlerini bütünleşik olarak dikkate alarak en verimliden en verimsize doğru sıralamışlardır.

Değerlendirmeler arasındaki tutarlılığı incelemekle görevlendirilen bir analist, Kendall uyuşum (concordance) katsayısını ( $W$ ) hesaplamış ve raporunda şu ifadelere yer vermiştir:

*"Hesaplanan katsayı $W = -0,20$ 'dir. Sıralamalar arasındaki uyumun anlamlılığı $\chi^2 = k(N-1)W$ eşitliği yardımıyla test edilmiş, test istatistiği $\chi^2 = -4,0$ olarak bulunmuş ve istatistiksel açıdan anlamlı bir uyumsuzluk tespit edilmiştir."*

Bu analistin yürüttüğü çalışma ve raporladığı sonuçlar istatistiksel teorisi bağlamında değerlendirildiğinde aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Katsayının negatif çıkması mühendisler arasında güçlü bir zıtlık olduğunu ifade eder, ancak

\chi^2

istatistiği mutlak değerce yorumlanmalıdır.

Mühendisler algoritmaları birbirinden bağımsız değerlendirdiği için, bu veri setinde Kendall W yerine Kruskal-Wallis H testinin tercih edilmesi gerekirdi.

Hesaplanan

W

katsayısı kesinlikle hatalıdır; Kendall uyuşum katsayısı negatif bir değer alamaz ve yalnızca

0

ile

1

aralığında değerler alır.

Test istatistiği hesaplanırken formülde algoritma sayısı

(N)

yerine toplam gözlem sayısı kullanılarak yanlış bir serbestlik derecesi üzerinden işlem yapılmıştır.

Sonuçlar istatistiksel açıdan anlamlı bulunduğuna göre, hangi mühendislerin birbiriyle uyumsuz olduğunu belirlemek amacıyla parametrik post-hoc testlerine geçilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan $W$ katsayısı kesinlikle hatalıdır; Kendall uyuşum katsayısı negatif bir değer alamaz ve yalnızca $0$ ile $1$ aralığında değerler alır.

Cevap

Hesaplanan katsayının hatalı olduğu ve Kendall W katsayısının yalnızca 0 ile 1 arasında değer alabileceğini belirten seçenek doğrudur.

Kendall uyuşum katsayısı (W), formülü gereği

(0 \le W \le 1)

aralığında değer alır. Varyansların oranına dayanan bu ölçü biriminde negatif bir değer elde edilmesi matematiksel olarak mümkün değildir. Bu sebeple analistin bulduğu

-0,20

değeri doğrudan hesaplama hatasına işaret eder ve bu değere bağlı olarak üretilen negatif

\chi^2

değeri de geçersizdir.

Adım Adım Çözüm

1

Kendall W katsayısının matematiksel özelliklerini ve tanımlı olduğu aralığı hatırlamak.

Kendall W katsayısının yalnızca

0 \le W \le 1

aralığında değer alabildiği sonucuna varılır.

Katsayı, gözlemlenen sıra toplamlarının varyansının, maksimum olası varyansa bölünmesiyle elde edilir. Varyans hiçbir koşulda negatif olamayacağından, W katsayısı da negatif olamaz.

2

Spearman korelasyonu ile Kendall W arasındaki farkı dikkate alarak zıtlık durumunu analiz etmek.

Spearman korelasyonu -1 ile 1 arasında değer alabilirken, ikiden fazla değerlendirici (

k \ge 3

) olduğunda herkesin birbiriyle tam tersi yönde sıralama yapması matematiksel olarak imkânsızdır. Bu sebeple W katsayısı alt sınırı sıfırdır.

Analistin bulduğu uyumsuzluk negatif bir korelasyon gibi yorumlanamaz.

3

Analistin raporladığı değerleri (

W = -0,20

ve

\chi^2 = -4,0

) bu teorik sınırlar çerçevesinde değerlendirmek.

Rapordaki değerlerin tümünün istatistiksel olarak geçersiz olduğu ve işlemlerde kesin bir hata yapıldığı belirlenir.

Sınır dışı bir katsayı üzerinden formüle edilerek hesaplanan ki-kare test istatistiği anlamsızdır ve baştan hatalıdır.

Anahtar Kavram

Kendall Uyuşum (Concordance) Katsayısı Sınırları ve Yorumlanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 105Soru →

Bir ulaşım planlama uzmanı, bireylerin 'İşe Gidiş Yöntemi' ( $4$ kategori: Otomobil, Toplu Taşıma, Bisiklet, Yürüyüş) ile yaşadıkları 'Şehir Bölgesi' ( $5$ kategori: Kuzey, Güney, Doğu, Batı, Merkez) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $n = 400$ kişinin katıldığı bir araştırma yapmıştır. Bu iki kategorik değişken arasındaki bağımsızlığı test etmek için yapılan analiz sonucunda Pearson Ki-Kare test istatistiği $\chi^2 = 100$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü ölçmek için Kontenjans Katsayısı'nı ( $C$ ) hesaplamış ve tablonun boyutlarından kaynaklanan üst sınır problemini gidermek amacıyla Düzeltilmiş Kontenjans Katsayısı'nı ( $C^*$ ) elde etmiştir.

Buna göre, araştırmacının hesapladığı Kontenjans Katsayısı ( $C$ ) ve Düzeltilmiş Kontenjans Katsayısı ( $C^*$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

C = \sqrt{\frac{1}{5}} \quad ; \quad C^* = \sqrt{\frac{4}{15}}

C = \sqrt{\frac{1}{5}} \quad ; \quad C^* = \sqrt{\frac{1}{5}}

C = \sqrt{\frac{1}{5}} \quad ; \quad C^* = \sqrt{\frac{1}{4}}

C = \sqrt{\frac{1}{4}} \quad ; \quad C^* = \sqrt{\frac{1}{3}}

C = \sqrt{\frac{1}{4}} \quad ; \quad C^* = \sqrt{\frac{1}{4}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $C = \sqrt{\frac{1}{5}} \quad ; \quad C^* = \sqrt{\frac{4}{15}}$

Cevap

Doğru cevap, Kontenjans Katsayısı'nın (C)

\sqrt{\frac{1}{5}}

ve Düzeltilmiş Kontenjans Katsayısı'nın (

C^*

)

\sqrt{\frac{4}{15}}

olduğu seçenektir.

Kontenjans katsayısı

C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}}

formülü ile hesaplanır. Veriler yerine konduğunda

C = \sqrt{\frac{100}{100 + 400}} = \sqrt{\frac{1}{5}}

bulunur. Düzeltilmiş katsayı için tablonun alabileceği maksimum

C

değeri (

C_{maks}

) hesaplanmalıdır. Üst sınır tablonun satır ve sütun sayılarının minimum olanına (

k = \min(r,c)

) bağlıdır.

4 \times 5

boyutlarındaki bu tablo için

k = \min(4,5) = 4

olur.

C_{maks} = \sqrt{\frac{k-1}{k}} = \sqrt{\frac{3}{4}}

olarak hesaplanır. Düzeltilmiş Kontenjans Katsayısı ise

C^* = \frac{C}{C_{maks}} = \frac{\sqrt{1/5}}{\sqrt{3/4}} = \sqrt{\frac{4}{15}}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Kontenjans Katsayısı (C) hesaplanır.

C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}} = \sqrt{\frac{100}{100 + 400}} = \sqrt{\frac{100}{500}} = \sqrt{\frac{1}{5}}

İki kategorik değişken arasındaki ilişki miktarını belirlemek için temel C katsayısı formülü uygulanır.

2

Çapraz tablonun boyutları üzerinden k değeri belirlenir.

Satır sayısı

r = 4

, sütun sayısı

c = 5

. Formül gereği

k = \min(r, c) = \min(4, 5) = 4

bulunur.

Kontenjans katsayısının alabileceği maksimum değer tablonun satır ve sütun sayısından küçük olanına bağlıdır.

3

Kontenjans Katsayısının alabileceği maksimum değer (

C_{maks}

) hesaplanır.

C_{maks} = \sqrt{\frac{k - 1}{k}} = \sqrt{\frac{4 - 1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}}

Kontenjans katsayısı hiçbir zaman

1

'e eşit olamaz; asimetrik tablolarda üst sınır bu formülle elde edilir.

4

Düzeltilmiş Kontenjans Katsayısı (

C^*

) hesaplanır.

C^* = \frac{C}{C_{maks}} = \frac{\sqrt{1/5}}{\sqrt{3/4}} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{4}{15}}

Gerçek ilişki gücünü

0

ile

1

arasında standart bir ölçüye oturtmak için C değeri, alabileceği maksimum değere bölünür.

Anahtar Kavram

Kontenjans Katsayısı (C) ve Düzeltilmiş Kontenjans Katsayısı

Soru 106Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı'nda görevli bir araştırmacı, Türkiye genelindeki $1200$ tarım arazisinde 'İklim Kuşağı' ( $5$ kategori) ile 'Tarımsal Ürün Deseni' ( $6$ kategori) değişkenleri arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Bu iki nominal değişken arasındaki bağımsızlığı test etmek için yapılan analiz sonucunda Pearson Ki-Kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği $768$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, araştırmacının bu iki değişken arasındaki ilişkinin derecesini belirlemek için kullanması gereken en uygun katsayı ve bu katsayının değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Cramer's V katsayısı;

0.40

Fi (

\phi

) katsayısı;

0.80

Cramer's V katsayısı;

0.80

Cramer's V katsayısı;

0.16

Fi (

\phi

) katsayısı;

0.64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cramer's V katsayısı; $0.40$

Cevap

Doğru cevap, Cramer's V katsayısının seçildiği ve değerin

0.40

olarak bulunduğu seçenektir.

Tablo boyutları

5 \times 6

olduğu için (her iki değişken de 2'den fazla kategoriye sahip), iki nominal değişken arasındaki ilişkiyi ölçmek için Fi (

\phi

) katsayısı yerine Cramer's V katsayısı kullanılmalıdır. Cramer's V formülü

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot \min(r-1, c-1)}}

şeklindedir. Burada satır sayısı

r=5

ve sütun sayısı

c=6

olduğundan,

\min(5-1, 6-1) = \min(4, 5) = 4

'tür. Değerler formülde yerine konduğunda

V = \sqrt{\frac{768}{1200 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{768}{4800}} = \sqrt{0.16} = 0.40

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin kategori sayılarını inceleyerek uygun ilişki katsayısını belirleme.

İklim Kuşağı (

r=5

) ve Tarımsal Ürün Deseni (

c=6

) olduğu için, tablo boyutu

2 \times 2

'den büyüktür. Bu nedenle Fi (

\phi

) katsayısı yerine Cramer's V katsayısı kullanılmalıdır.

Fi katsayısı yalnızca

2 \times 2

boyutundaki kontenjans tablolarında geçerlidir.

2

Cramer's V formülünde yer alan minimum serbestlik derecesi faktörünü (

\min(r-1, c-1)

) hesaplama.

\min(5-1, 6-1) = \min(4, 5) = 4

olarak bulunur.

Cramer's V formülü, Ki-Kare değerini normalize etmek için satır veya sütun sayısının bir eksiğinin minimum değerini paydada kullanır.

3

Verilen değerleri Cramer's V formülüne (

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot \min(r-1, c-1)}}

) yerleştirme ve oranı hesaplama.

V^2 = \frac{768}{1200 \cdot 4} = \frac{768}{4800} = 0.16

elde edilir.

Katsayının karesi formülün iç kısmındaki oranla bulunur.

4

Bulunan oranın karekökünü alarak ilişki katsayısını elde etme.

V = \sqrt{0.16} = 0.40

sonucuna ulaşılır.

Katsayının

0

ile

1

arasında standartlaştırılmış bir değer alması için formül gereği karekök alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Cramer's V Katsayısı Formülü ve Kullanım Koşulları

Soru 107Soru →

Bir araştırmacı, kentsel dönüşüm projelerinde 'Hanehalkı Gelir Düzeyi' ( $X$ ) ile 'Yeni Konut Memnuniyet Derecesi' ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Her iki değişken de sıralama (ordinal) ölçeğinde ölçülmüş olup, gelir düzeyi bağımsız ( $X$ ), memnuniyet derecesi ise bağımlı ( $Y$ ) değişken olarak tanımlanmıştır.

Yapılan çapraz tablo analizinde, $X$ değişkeninde aynı sıralama değerine sahip olup $Y$ değişkeninde farklı değerler alan ( $T_x$ ) çok sayıda gözlem çifti bulunmuştur. Ancak, $Y$ değişkeninde aynı değere sahip olup $X$ değişkeninde farklı değerler alan hiçbir gözlem çifti ( $T_y = 0$ ) bulunmamaktadır.

Buna göre, veri setindeki ilişkiyi açıklamak için hesaplanacak Somers' $d_{y|x}$ ( $Y$ 'nin $X$ 'e bağımlılığı) istatistiğinin teorik yapısı ve diğer uyum katsayılarıyla ilişkisi hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Somers'

d_{y|x}

katsayısının paydasında yalnızca bağımsız değişkende (

X

) birbirinden farklı olan çiftler (

N_c + N_d + T_y

) dikkate alındığından ve

T_y = 0

olduğundan, katsayının değeri Goodman-Kruskal

\gamma

ile aynı çıkacaktır.

Somers'

d_{y|x}

asimetrik bir ölçü olduğundan, formülün paydasına

T_x

gözlem çiftlerini ceza olarak ekler ve bu nedenle

\gamma

katsayısından daha düşük bir değer alır.

Katsayının hesaplanmasında bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirmesi sonucu etkilemeyeceğinden,

T_x

değerinin varlığı

d_{y|x}

ve

d_{x|y}

istatistiklerini eşitleyerek simetrik bir sonuç üretir.

Bağımlı değişkende bağlı çiftlerin olmaması (

T_y = 0

), sıralama (ordinal) yapısının yetersiz olduğunu gösterdiğinden, asimetrik Somers'

d

yerine simetrik özellik gösteren Cramer's V kullanılmalıdır.

Değişkenlerden birinde bağlı gözlem (

T_x > 0

) bulunması, kare tablo varsayımını bozduğundan Somers'

d_{y|x}

yerine doğrudan Kendall'ın

\tau_c

katsayısının hesaplanmasını zorunlu kılar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Somers' $d_{y|x}$ katsayısının paydasında yalnızca bağımsız değişkende ( $X$ ) birbirinden farklı olan çiftler ( $N_c + N_d + T_y$ ) dikkate alındığından ve $T_y = 0$ olduğundan, katsayının değeri Goodman-Kruskal $\gamma$ ile aynı çıkacaktır.

Cevap

Verilen koşullarda (

T_y = 0

), Somers'

d_{y|x}

istatistiğinin formülü sadeleşerek Goodman-Kruskal

\gamma

katsayısının formülü ile tam olarak aynı matematiksel ifadeye dönüşür.

Somers'

d_{y|x}

istatistiği,

X

bağımsız değişkenine karşılık

Y

bağımlı değişkenini öngörmek için kullanılır ve formülü

d_{y|x} = \frac{N_c - N_d}{N_c + N_d + T_y}

şeklindedir. Senaryoda bağımlı değişkene (

Y

) ait bağlı gözlem çiftlerinin bulunmadığı (

T_y = 0

) belirtilmiştir. Bu durumda katsayının paydası

N_c + N_d

değerine eşit olur. Goodman-Kruskal

\gamma

katsayısının formülü de

\frac{N_c - N_d}{N_c + N_d}

olduğundan, bu özel veri yapısında hesaplanan iki katsayı matematiksel olarak aynı sonucu verecektir.

Adım Adım Çözüm

1

Somers' d_{y|x} formülünün bileşenlerinin belirlenmesi

d_{y|x} = (N_c - N_d) / (N_c + N_d + T_y) formülü tespit edilir.

Y bağımlı, X bağımsız değişken olduğunda, katsayının paydasında yalnızca bağımsız değişkende birbirinden farklı olan (N_c + N_d + T_y) gözlem çiftleri yer alır.

2

Goodman-Kruskal gamma katsayısı formülünün belirlenmesi

\gamma = (N_c - N_d) / (N_c + N_d) formülü tespit edilir.

Gamma katsayısı bağlı gözlemleri (ties) formülasyonuna dâhil etmez, sadece uyumlu ve uyumsuz çiftler üzerinden hesaplanır.

3

Senaryodaki veri yapısının formüle entegre edilmesi

Soruda verilen T_y = 0 koşulu Somers' d formülünde yerine konulur: d_{y|x} = (N_c - N_d) / (N_c + N_d + 0).

Bağımlı değişkende eşleşen çift olmadığı için paydadaki T_y terimi sıfırlanır.

4

Katsayıların karşılaştırılması ve sonucun yorumlanması

Sadeleşen Somers' d formülünün, \gamma katsayısının formülüyle birebir aynı olduğu görülür.

Her iki istatistiğin pay ve paydaları matematiksel olarak eşitlendiğinden, elde edilecek değerler de kesinlikle eşit çıkacaktır.

Anahtar Kavram

Somers' d katsayısında asimetrik payda hesaplaması ve gamma ile ilişkisi

Soru 108Soru →

Bir eğitim bilimci, öğrencilerin 'Düşünme Becerisi Seviyesi' (Temel, Orta, İleri) ile 'Problem Çözme Başarısı' (Düşük, Kısmi, Yüksek) arasındaki ilişkiyi incelemektedir.

Yapılan analizde, uyumlu (concordant) çiftlerin sayısının ( $N_c$ ), uyumsuz (discordant) çiftlerin sayısının ( $N_d$ ) $4$ katı olduğu bulunmuştur. Ayrıca veri setinde çok sayıda bağlı (tie) gözlem bulunduğu, bağlı gözlem çiftlerinin toplam sayısının, uyumlu ve uyumsuz çiftlerin toplam sayısına ( $N_c + N_d$ ) eşit olduğu ve her iki değişkende de bağlılıklar bulunduğu saptanmıştır.

Buna göre, Goodman-Kruskal Gamma ( $\gamma$ ) katsayısının değeri kaçtır ve araştırmacı bu veri seti için Gamma yerine Kendall Tau-b katsayısını hesaplasaydı, bulunacak katsayının mutlak değeri Gamma'nın mutlak değerine göre nasıl değişirdi?

\gamma = 0,60

; Kendall Tau-b'nin mutlak değeri daha küçük olurdu.

\gamma = 0,60

; Kendall Tau-b'nin mutlak değeri daha büyük olurdu.

\gamma = 0,30

; Kendall Tau-b'nin mutlak değeri Gamma'ya eşit olurdu.

\gamma = 0,75

; Kendall Tau-b'nin mutlak değeri daha küçük olurdu.

\gamma = 0,80

; Kendall Tau-b'nin mutlak değeri daha büyük olurdu.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\gamma = 0,60$ ; Kendall Tau-b'nin mutlak değeri daha küçük olurdu.

Cevap

Gamma değeri 0,60'tır ve Kendall Tau-b'nin mutlak değeri Gamma'dan daha küçük olur.

Goodman-Kruskal Gamma katsayısı

\gamma = \frac{N_c - N_d}{N_c + N_d}

formülüyle hesaplanır. Formülde

N_c = 4N_d

yerine konduğunda sonuç

\frac{3N_d}{5N_d} = 0,60

olarak bulunur. Gamma, doğası gereği bağlı (tie) gözlemleri tamamen yok sayar ve paydası sadece

N_c + N_d

'den oluşur. Öte yandan, Kendall Tau-b katsayısı bağlı gözlemleri eşitliğin paydasına dahil eder. Her iki katsayının da pay kısmı (

N_c - N_d

) aynıdır. Ancak veri setinde bağlı gözlemlerin bulunması Tau-b'nin paydasını Gamma'nın paydasına göre daha büyük hale getirir. Matematiksel olarak, paydası daha büyük olan kesrin değeri küçüleceğinden, Kendall Tau-b'nin mutlak değeri her zaman Gamma katsayısının mutlak değerinden daha küçük olur.

Adım Adım Çözüm

1

Gamma katsayısının formülünü yazma ve bilinenleri yerine koyma.

\gamma = \frac{N_c - N_d}{N_c + N_d}

formülünde

N_c = 4N_d

eşitliği kullanıldığında;

\gamma = \frac{4N_d - N_d}{4N_d + N_d} = \frac{3N_d}{5N_d} = 0,60

elde edilir.

Gamma katsayısı sadece uyumlu (

N_c

) ve uyumsuz (

N_d

) çiftlerin farkının toplamlarına oranına dayanır, hesaplamada bağlı (tie) gözlemleri tamamen dışlar.

2

Kendall Tau-b katsayısının bağlı gözlemlere yaklaşımını analiz etme.

Kendall Tau-b formülünde pay aynı kalırken (

N_c - N_d

), paydada uyumlu ve uyumsuz çiftlerin yanı sıra bağlı gözlem sayıları da (

T_x

,

T_y

) yer alır.

Tau-b'nin paydası

\sqrt{(N_c + N_d + T_x)(N_c + N_d + T_y)}

şeklindedir ve bağlı gözlemler bu değeri büyütür.

3

İki katsayının mutlak değerlerini karşılaştırma.

Aynı pay değerine (

N_c - N_d

) sahip olan iki katsayıdan, paydası daha büyük olan Kendall Tau-b'nin mutlak değeri her zaman Gamma'dan daha küçük olacaktır.

Bir kesrin paydası büyüdükçe (bağlı gözlemlerin eklenmesiyle) kesrin bütünü küçülür.

Anahtar Kavram

Goodman-Kruskal Gamma Katsayısı ve Bağlı Gözlemlerin Etkisi

Soru 109Soru →

Bir yerel yönetim uzmanı, Türkiye'deki çeşitli belediyelerin "Bulunduğu Bölge" (Marmara, Ege, İç Anadolu) ile projelerinde ağırlıklı kullandıkları "Birincil Finansman Kaynağı" (Öz Kaynak, Hibe, Kredi) değişkenleri arasındaki ilişkinin gücünü ölçmek istemektedir. İki değişken de kategorik (nominal) yapıdadır. Uzman, oluşturduğu $3 \times 3$ boyutlarındaki çapraz tablo için Ki-kare test istatistiğini $\chi^2 = 48$ olarak hesaplamış ve veri setinde $N=300$ belediye bulunduğunu raporlamıştır. Uzman, ilişkinin gücünü belirlemek için Fi (Phi) katsayısını kullanmaya karar vermiş ve hesaplamasını $\sqrt{48/300} = 0,40$ şeklinde yapmıştır.

Bu uzmanın analizi ve Fi (Phi) katsayısı kullanımıyla ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

Uzmanın Fi katsayısını kullanması hatalıdır; Fi katsayısı yalnızca

2 \times 2

tablolar için 0 ile 1 arasında değer aldığından, bu analizde ilişkinin gücü Cramer's V katsayısı ile hesaplanmalıdır.

Uzmanın Fi katsayısını kullanması hatalıdır; tablo boyutu büyüdüğünde katsayı 1'i aşabileceğinden, kare tablolar için üst sınırı her zaman tam 1 olan Kontenjans (C) katsayısı tercih edilmelidir.

Uzmanın Fi katsayısını kullanması hatalıdır; değişkenler

3 \times 3

boyutunda kare bir tablo oluşturduğundan, nominal verilerde ilişkinin gücü Kendall Tau-b katsayısı ile ölçülmelidir.

Uzmanın Fi katsayısını kullanması hatalıdır; değişkenler arasında bağımlı-bağımsız ayrımı yapılmadığından, asimetrik bir ölçü olan Somers' d istatistiği kullanılmalıdır.

Uzmanın analizi ve seçimi doğrudur; Fi katsayısı tüm nominal çapraz tablolarda

\sqrt{\chi^2 / N}

formülü ile hesaplanabildiğinden,

0,40

değeri geçerli ve yorumlanabilir bir katsayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Uzmanın Fi katsayısını kullanması hatalıdır; Fi katsayısı yalnızca $2 \times 2$ tablolar için 0 ile 1 arasında değer aldığından, bu analizde ilişkinin gücü Cramer's V katsayısı ile hesaplanmalıdır.

Cevap

Uzmanın Fi katsayısını kullanması hatalıdır; Fi katsayısı yalnızca 2x2 tablolar için 0 ile 1 arasında değer aldığından, bu analizde ilişkinin gücü Cramer's V katsayısı ile hesaplanmalıdır.

Fi (Phi) katsayısı, hesaplama formülü gereği

2 \times 2

boyutundaki tablolarda 0 ile 1 arasında değer alır. Ancak tablo boyutu

2 \times 2

'den büyük olduğunda (örneğin bu sorudaki

3 \times 3

tablo gibi), katsayı 1'den büyük değerler alabilir. Bu durum ilişkinin gücünü yorumlamayı imkansızlaştırdığı için,

2 \times 2

'den büyük nominal tablolarda Fi katsayısı yerine, değeri her zaman 0 ile 1 arasına standardize eden Cramer's V katsayısı kullanılmalıdır. Bu nedenle uzmanın Fi katsayısını seçmesi temel bir hatadır.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve çapraz tablonun boyutlarını analiz etme

Araştırmadaki değişkenler nominal (kategorik) yapıda olup, her biri 3 kategoriye sahiptir. Bu durum

3 \times 3

boyutlarında bir çapraz tablo oluşturur.

Kullanılacak ilişki katsayısı, verinin ölçüm düzeyine ve çapraz tablonun boyutuna doğrudan bağlıdır.

2

Fi (Phi) katsayısının boyut kısıtlamalarını değerlendirme

Fi katsayısı

\phi = \sqrt{\chi^2 / N}

formülü ile hesaplansa da, teorik üst sınırı

\sqrt{\min(r-1, c-1)}

kadardır. Yalnızca

2 \times 2

tablolarda 0 ile 1 arasında kalır.

Tablo

3 \times 3

olduğunda Fi katsayısının alabileceği maksimum değer

\sqrt{2} \approx 1.41

olur. Katsayının 1'i aşması korelasyon bağlamında yorumlanabilirliğini ortadan kaldırır.

3

Doğru katsayıyı belirleme

2 \times 2

'den büyük nominal tablolarda, değeri her zaman 0 ile 1 arasına standardize eden Cramer's V katsayısı kullanılmalıdır.

Cramer's V, katsayıyı satır veya sütun sayısının asgari değerine bölerek boyuttan bağımsız, güvenilir bir ölçüm sağlar.

Anahtar Kavram

Fi (Phi) Katsayısı ve Cramer's V Kullanım Koşulları

Soru 110Soru →

Bir Kamu İhale Kurumu (KİK) uzmanı, ihalelerdeki usulsüzlük iddialarını araştırmak için iki farklı veri seti hazırlamıştır:

- 1. Veri Seti: $400$ ihale dosyası, 'İhale Usulü' (Açık İhale / Pazarlık Usulü) ve 'İnceleme Sonucu' (Usulsüzlük Var / Yok) değişkenlerine göre $2 \times 2$ boyutunda çapraz tablo haline getirilmiş ve bu tablo için Pearson Ki-kare ( $\chi^2$ ) değeri $36$ bulunmuştur.
- 2. Veri Seti: Aynı $400$ dosya, ihalenin yapıldığı 'Coğrafi Bölge' (A, B ve C Bölgeleri) ve 'İnceleme Sonucu' (Usulsüzlük Var / Yok) değişkenlerine göre $3 \times 2$ boyutunda çapraz tablo haline getirilmiştir.

Uzman, her iki veri setindeki değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini (etki büyüklüğünü) ölçmek istemektedir. İlgili değişkenler sınıflayıcı (nominal) ölçek düzeyindedir.

Buna göre, uzmanın 1. veri seti için hesaplaması gereken ilişki katsayısı, bu katsayının değeri ve 2. veri seti için kullanması gereken en uygun katsayı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Fi (Phi) Katsayısı,

0,30

ve Cramer V Katsayısı

Fi (Phi) Katsayısı,

0,30

ve Fi (Phi) Katsayısı

Fi (Phi) Katsayısı,

0,09

ve Cramer V Katsayısı

Cramer V Katsayısı,

0,09

ve Fi (Phi) Katsayısı

Kendall Tau-c,

0,30

ve Fi (Phi) Katsayısı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fi (Phi) Katsayısı, $0,30$ ve Cramer V Katsayısı

Cevap

1. veri seti için hesaplanması gereken katsayı Fi (Phi) katsayısıdır ve değeri 0,30'dur; 2. veri seti için ise Cramer V katsayısı kullanılmalıdır.

1. veri seti

2 \times 2

boyutunda iki nominal değişken içerdiğinden Fi (Phi) katsayısı en uygun ölçüdür. Formülü gereği (

\phi = \sqrt{\chi^2/n}

)

\sqrt{36/400} = \sqrt{0,09}

hesaplaması yapılarak

0,30

sonucu elde edilir. 2. veri seti

3 \times 2

boyutunda olduğu için Fi katsayısının yorum sınırları dışına çıkma riski vardır; bu sebeple

2 \times 2

'den büyük tablolar için tasarlanmış ve her zaman

0

ile

1

arasında değer alan Cramer V katsayısı kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

1. veri seti için en uygun istatistiği belirleme

Fi (Phi) Katsayısı kullanılmalıdır.

Değişkenlerin her ikisi de sınıflayıcı (nominal) düzeyde ve tablo

2 \times 2

boyutundadır.

2 \times 2

boyutundaki nominal değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü ve şiddetini belirlemek için en temel ölçü Fi (Phi) katsayısıdır.

2

1. veri seti için Fi katsayısını hesaplama

Değer

0,30

olarak bulunur.

Fi katsayısı formülü

\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}

şeklindedir. Verilen

\chi^2 = 36

ve

n = 400

değerleri formülde yerine konulduğunda

\phi = \sqrt{\frac{36}{400}} = \sqrt{0,09} = 0,30

elde edilir.

3

2. veri seti için en uygun istatistiği belirleme

Cramer V Katsayısı kullanılmalıdır.

İkinci veri setindeki tablo

3 \times 2

boyutundadır. Fi katsayısının üst sınırı

2 \times 2

'den büyük tablolarda

1

'i aşabileceği için,

R \times C

boyutlu daha büyük tablolarda (özellikle değişkenlerden en az biri 2'den fazla kategoriye sahipse) standardize edilmiş Cramer V katsayısı tercih edilir.

Anahtar Kavram

Fi (Phi) ve Cramer V Katsayılarının Kullanım Alanları ile Hesaplanması

Soru 111Soru →

Adalet Bakanlığı'na bağlı bir araştırma birimi, mahkemelerde görülen $5$ farklı 'Suç Türü' ile sanıklar hakkında verilen $5$ farklı 'Karar Türü' (Beraat, Hapis, Para Cezası, Erteleme, HAGB) arasında istatistiksel açıdan anlamlı bir ilişki olup olmadığını incelemek amacıyla bir kontenjans (çapraz) tablosu oluşturmuştur. Analiz kapsamında rastgele seçilen $N = 600$ dava dosyası incelenmiş ve Pearson Ki-Kare test istatistiği $\chi^2 = 1800$ olarak hesaplanmıştır.

Bu araştırmada elde edilen veriler ve Kontenjans Katsayısı'nın (C) özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bu tablo için Kontenjans Katsayısının (C) alabileceği maksimum üst sınır

\sqrt{0,80}

olup, hesaplanan katsayı değeri

\sqrt{0,75}

'tir.

Tablo boyutları kare (

5 \times 5

) formunda olduğu için değişkenler arası tam bağımlılık durumunda katsayı teorik olarak

1,00

değerine ulaşabilir.

Beklenen frekansların gözlenen frekanslara tam eşit olması durumunda, Ki-Kare değeri maksimize olacağından Kontenjans Katsayısı (C) da maksimum değerini alır.

Hesaplanan katsayı değeri

\sqrt{3,00}

'tür ve katsayı

1,00

'den büyük çıktığı için Cramer's V katsayısının kullanılması zorunludur.

Bu tablo için Kontenjans Katsayısının (C) alabileceği maksimum değer

\sqrt{0,50}

'dir ve hesaplanan değer bu üst sınırın üzerinde kalmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu tablo için Kontenjans Katsayısının (C) alabileceği maksimum üst sınır $\sqrt{0,80}$ olup, hesaplanan katsayı değeri $\sqrt{0,75}$ 'tir.

Cevap

Bu tablo için Kontenjans Katsayısının (C) alabileceği maksimum üst sınır

\sqrt{0,80}

olup, hesaplanan katsayı değeri

\sqrt{0,75}

'tir ifadesi doğrudur.

Verilen bilgiler doğrultusunda Kontenjans Katsayısı

C = \sqrt{\chi^2 / (\chi^2 + N)}

formülüyle hesaplandığında

\sqrt{1800 / 2400} = \sqrt{0,75}

bulunur. Kontenjans katsayısı asla 1 değerini almaz ve

k \times k

boyutlu bir tabloda alabileceği maksimum değer

C_{max} = \sqrt{(k-1)/k}

formülüyle bulunur. Tablo

5 \times 5

olduğu için

k=5

'tir ve maksimum üst sınır

\sqrt{4/5} = \sqrt{0,80}

olarak gerçekleşir. İki bilgi de doğru şekilde verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Kontenjans Katsayısının (C) formülünü hatırlayarak veri seti için hesapla.

C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + N}} = \sqrt{\frac{1800}{1800 + 600}} = \sqrt{\frac{1800}{2400}} = \sqrt{0,75}

Kontenjans katsayısı, Ki-Kare istatistiğinin Ki-Kare ile örneklem hacminin toplamına bölünmesinin kareköküdür.

2

Tablonun minimum boyutunu (k) belirle.

Tablo

5 \times 5

boyutlarındadır. Satır (r) = 5, Sütun (c) = 5. Dolayısıyla

k = \min(5, 5) = 5

olur.

Maksimum C değeri hesaplanırken satır ve sütun sayılarından küçük olan değer dikkate alınır.

3

Bu tablo boyutu için C'nin alabileceği maksimum değeri (

C_{max}

) hesapla.

C_{max} = \sqrt{\frac{k - 1}{k}} = \sqrt{\frac{5 - 1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \sqrt{0,80}

Kontenjans katsayısı hiçbir zaman 1,00 olamaz, tablo boyutuna bağlı olarak asimptotik bir üst sınıra sahiptir.

4

Bulunan değerleri seçeneklerle karşılaştır.

Maksimum sınırın

\sqrt{0,80}

ve hesaplanan katsayının

\sqrt{0,75}

olduğu tespit edilmiştir.

İlgili seçenek hem hesaplama hem de teorik üst sınır bilgisini doğru vermektedir.

Anahtar Kavram

Kontenjans Katsayısının Hesaplanması ve Üst Sınır Özelliği

Soru 112Soru →

Bir halk sağlığı araştırmacısı, iki farklı şehirdeki hastanelerde hastaların 'Yaş Grubu' ile 'Kronik Hastalık Şiddeti' arasındaki ilişkiyi incelemektedir.

Birinci şehirdeki hastanede değişkenler $3 \times 3$ boyutlarında bir çapraz tablo (kontenjans tablosu) ile özetlenmiş, $120$ hastadan elde edilen verilerle hesaplanan ki-kare istatistiği $\chi^2 = 40$ olarak bulunmuştur.

İkinci şehirdeki hastanede ise değişkenler daha detaylı ölçülerek $4 \times 4$ boyutlarında bir tablo ile özetlenmiş, $180$ hastadan elde edilen verilerle ki-kare istatistiği $\chi^2 = 60$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, her iki hastane için Pearson Kontenjans Katsayısı'nı ( $C$ ) hesaplamış ve elde edilen ilişki düzeylerini karşılaştırmak istemiştir.

Buna göre, bu iki araştırma verisi üzerinden yapılacak Kontenjans Katsayısı ( $C$ ) hesaplamaları ve karşılaştırmaları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Kontenjans Katsayısı her boyuttaki tablo için maksimum

1.00

değerine ulaşabildiğinden, hesaplanan katsayılar (

C = 0.50

) iki şehirdeki ilişkinin gücünün birbirine tamamen eşit olduğunu gösterir.

Tablo boyutları her iki hastanede de

2 \times 2

'den büyük olduğu için Kontenjans Katsayısı yerine Fi (Phi) Katsayısı hesaplanmalıdır;

C

katsayısının kullanımı teorik olarak hatalıdır.

Her iki hastanede de Kontenjans Katsayısı

C = 0.50

olarak hesaplanır; ancak tabloların boyutları farklı olduğu için katsayıların alabileceği üst sınırlar birbirinden farklıdır ve doğrudan karşılaştırma yapmak istatistiksel açıdan yanıltıcıdır.

Kontenjans Katsayısı asimetrik bir ölçü olduğu için, hesaplanan değerler yalnızca 'Yaş Grubu' değişkeni bağımlı değişken olarak kabul edildiğinde geçerliliğini korur.

Katsayı formülünün paydasında ki-kare değeri yer almadığı ve sadece toplam örneklem hacmine bölündüğü için, birinci hastanede elde edilen katsayı

\sqrt{0.33}

olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her iki hastanede de Kontenjans Katsayısı $C = 0.50$ olarak hesaplanır; ancak tabloların boyutları farklı olduğu için katsayıların alabileceği üst sınırlar birbirinden farklıdır ve doğrudan karşılaştırma yapmak istatistiksel açıdan yanıltıcıdır.

Cevap

Her iki hastane için de katsayıların

0.50

olduğu ancak farklı tablo boyutlarının üst sınırları değiştirdiği için katsayıların doğrudan karşılaştırılamayacağını ifade eden seçenektir.

Doğru seçenek, iki ayrı veri seti için ki-kare formülü uygulandığında (

C = \sqrt{\chi^2 / (\chi^2 + N)}

) her iki değerin de

0.50

'ye ulaştığını saptamakla kalmaz; Kontenjans Katsayısı'nın tablonun minimum boyut değerine bağlı olan üst sınır kısıtlamasını da doğru analiz eder. Üst sınırları farklı olduğu için doğrudan karşılaştırılamayacaklarını belirterek kavramın bütünleşik anlaşılmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Kontenjans Katsayısı (

C

) genel formülünü hatırlamak.

C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + N}}

Verilen ki-kare ve örneklem büyüklüğü üzerinden katsayıların hesaplanabilmesi için ana formül gereklidir.

2

Birinci hastane verileriyle katsayıyı hesaplamak.

C_1 = \sqrt{\frac{40}{40 + 120}} = \sqrt{\frac{40}{160}} = \sqrt{0.25} = 0.50

Birinci tablodaki ilişkinin mutlak şiddetini bulmak içindir.

3

İkinci hastane verileriyle katsayıyı hesaplamak.

C_2 = \sqrt{\frac{60}{60 + 180}} = \sqrt{\frac{60}{240}} = \sqrt{0.25} = 0.50

İkinci tablodaki ilişkinin mutlak şiddetini bulmak içindir.

4

Tablo boyutlarının katsayı sınırlarına etkisini teorik olarak analiz etmek.

Birinci hastane (

3 \times 3

) için katsayının alabileceği üst sınır

C_{max} = \sqrt{2/3} \approx 0.816

iken, ikinci hastane (

4 \times 4

) için üst sınır

C_{max} = \sqrt{3/4} \approx 0.866

'dır.

Farklı boyuttaki kontenjans katsayılarının birbiriyle doğrudan kıyaslanabilirliğini test etmek için üst sınırlar bilinmelidir.

5

Bulguları sentezleyerek doğru yoruma ulaşmak.

Ham katsayılar eşit (

0.50

) çıksa dahi, sınırları farklı olan katsayıları birbirleriyle doğrudan kıyaslamak istatistiksel açıdan yanıltıcıdır.

Kontenjans katsayısının doğası gereği boyut kısıtlamasına sahip olmasıdır.

Anahtar Kavram

Kontenjans Katsayısı (C) hesaplama, sınırları ve yorumlanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 113Soru →

Bir kamu kurumunda denetim yapan bir müfettiş, rastgele seçilen $5$ personelin 'Liderlik Potansiyeli' ( $X$ ) ile 'Kriz Yönetimi Becerisi' ( $Y$ ) puanları arasındaki ilişkiyi Spearman sıra korelasyon katsayısı ile hesaplamak istemektedir. Müfettişin topladığı puanlar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel	Liderlik Potansiyeli ( $X$ )	Kriz Yönetimi Becerisi ( $Y$ )
1	85	75
2	70	60
3	95	90
4	70	65
5	80	80

Buna göre, bu veriler için hesaplanacak Spearman sıra korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) değeri kaçtır?

0,875

0,900

1,000

-0,500

0,125

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,875

Cevap

Hesaplanan Spearman sıra korelasyon katsayısı 0,875'tir.

Veriler doğru şekilde sıralanıp bağlı gözlemlere (70 puan) 1,5 sıra numarası atandığında, kare farkları toplamı 2,5 olarak bulunur.

n=5

için formül uygulandığında 0,875 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeni için puanları sıralayıp sıra numaralarını atayınız.

70, 70, 80, 85, 95 \rightarrow 1,5; 1,5; 3; 4; 5

(70 puanlı iki kişi için

(1+2)/2=1,5

ortalama sırası kullanılır.)

Spearman katsayısı için ham verilerin büyüklük sırasına dizilmesi gerekir.

2

Y

değişkeni için puanları sıralayıp sıra numaralarını atayınız.

60, 65, 75, 80, 90 \rightarrow 1; 2; 3; 4; 5

İlişki ölçümü her iki değişkenin kendi içindeki sıralamasına dayanır.

3

Personeller için sıra farklarını (

d_i

) ve farkların karelerini (

d_i^2

) hesaplayınız.

Pers 1:

4-3=1 \rightarrow 1^2=1

; Pers 2:

1,5-1=0,5 \rightarrow 0,5^2=0,25

; Pers 3:

5-5=0 \rightarrow 0^2=0

; Pers 4:

1,5-2=-0,5 \rightarrow (-0,5)^2=0,25

; Pers 5:

3-4=-1 \rightarrow (-1)^2=1

Formülde kullanılacak olan toplam kare farkı değerine ulaşmak için gereklidir.

4

Kare farklarını toplayınız (

\sum d_i^2

).

1 + 0,25 + 0 + 0,25 + 1 = 2,5

Spearman formülünün temel bileşenini elde etmek için.

5

Spearman formülünü uygulayınız:

\rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}

\rho = 1 - \frac{6 \times 2,5}{5(25 - 1)} = 1 - \frac{15}{120} = 1 - 0,125 = 0,875

Örneklem hacmi

n=5

kullanılarak katsayı değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Spearman sıra korelasyonu, verilerin normallik varsayımı karşılanmadığında veya veriler sıralama ölçeğinde olduğunda kullanılan, bağlı gözlemler durumunda ortalama sıra numarası atanan bir ilişki ölçüsüdür.

İpuçları

1

Önce

X

ve

Y

sütunlarındaki puanları küçükten büyüğe sıralayarak her personelin kaçıncı sırada olduğunu belirleyin.

2

X

değişkeninde iki tane 70 puanı olduğu için bunlara 1. ve 2. sıraların ortalaması olan 1,5 değerini vermelisiniz.

3

Fark kareleri toplamını (2,5) bulduktan sonra

\rho = 1 - \frac{6 \sum d^2}{120}

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Veri setindeki bağlı gözlem sayısı çok fazla olduğunda kullanılacak olan düzeltilmiş Spearman formülünü inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 114Soru →

Bir kamu kurumunda personelin "Dijital Okuryazarlık Eğitimi"ne katılım durumu (Katıldı / Katılmadı) ile "Görevde Yükselme Sınavı"ndaki başarı durumu (Başarılı / Başarısız) arasındaki ilişki incelenmiştir. $400$ personelin dahil edildiği bu araştırmada, verilerin özetlendiği $2 \times 2$ tipindeki tablodan hesaplanan Ki-kare ( $\chi^2$ ) değeri $36$ bulunmuştur.

Buna göre, değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini ifade eden dörtlü korelasyon (Fi) katsayısı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,09

0,15

0,30

0,45

0,60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,30

Cevap

Dörtlü korelasyon (Fi) katsayısı değeri 0,30 olarak hesaplanır.

Dörtlü korelasyon katsayısı olarak da bilinen Fi (Phi) katsayısı,

2 \times 2

kontenjans tablolarında değişkenler arasındaki ilişkinin miktarını belirlemek için kullanılır.

\phi = \sqrt{\chi^2 / n}

formülü uygulandığında,

\sqrt{36 / 400} = \sqrt{0,09}

işleminden sonuç

0,30

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri tanımlayın.

\chi^2 = 36

ve

n = 400

Hesaplama için gerekli olan Ki-kare istatistiği ve toplam örneklem hacmini belirlemek gerekir.

2

Fi (Phi) katsayısı formülünü uygulayın.

\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}} = \sqrt{\frac{36}{400}}

2 \times 2

kontenjans tablolarında iki kategorik değişken arasındaki ilişki bu formülle hesaplanır.

3

Matematiksel işlemi tamamlayın.

\phi = \sqrt{0,09} = 0,30

Oranın karekökü alınarak katsayının nihai değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fi (Phi) katsayısı,

2 \times 2

tipindeki tablolarda Ki-kare değerine dayalı olarak hesaplanan bir ilişki ölçüsüdür.

Daha Fazla Pratik

Fi katsayısının yorumlanması ve

2 \times 2

dışındaki tablolar için kullanılan Cramer's V katsayısı arasındaki farkları inceleyiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 115Soru →

Bir il sağlık müdürlüğü, kendisine bağlı 5 farklı devlet hastanesinin "Hijyen Denetim Puanı" ( $X$ ) ile "Hasta Memnuniyet Oranı" ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek istemektedir. Hastanelere ait veriler aşağıda verilmiştir:

Hastane	Hijyen Denetim Puanı ( $X$ )	Hasta Memnuniyet Oranı ( $Y$ )
H1	60	65
H2	75	55
H3	75	80
H4	85	70
H5	95	90

*(Not: Hesaplamalarda bağlı gözlem düzeltme faktörü dikkate alınmayacaktır.)*

Buna göre, bu iki değişken arasındaki Spearman sıra korelasyon katsayısı ( $r_s$ ) kaçtır?

0,325

-0,500

0,675

0,800

1,000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,675

Cevap

0,675

Doğru yanıt olan '0,675', aynı değere sahip

X

gözlemlerine (75 puan) sahip H2 ve H3 hastaneleri için sıra ortalamalarının (2,5) doğru şekilde atanması ve elde edilen

\sum d^2 = 6,5

değerinin

r_s = 1 - \frac{6 \sum d^2}{n(n^2 - 1)}

formülüne standart şekilde uygulanmasıyla bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayarak her birine sıra numarası (

R_x

ve

R_y

) atamak.

X

sıraları: H1=1, H2=2,5, H3=2,5, H4=4, H5=5.

Y

sıraları: H2=1, H1=2, H4=3, H3=4, H5=5.

Spearman katsayısı ham veriler üzerinden değil, değerlerin veri seti içindeki sıralamaları üzerinden hesaplanır. H2 ve H3'ün

X

puanları (75) aynı olduğu için 2. ve 3. sıraların ortalaması (2,5) her ikisine de verilmiştir.

2

Her bir hastane için sıra numaraları arasındaki farkı (

d = R_x - R_y

) bulmak.

H1:

1-2 = -1

, H2:

2,5-1 = 1,5

, H3:

2,5-4 = -1,5

, H4:

4-3 = 1

, H5:

5-5 = 0

.

Korelasyon katsayısı, iki değişkenin sıralamaları arasındaki uyumsuzluğu ölçmek için bu farklara ihtiyaç duyar.

3

Sıra farklarının karelerini (

d^2

) alarak toplamak (

\sum d^2

).

\sum d^2 = (-1)^2 + (1,5)^2 + (-1,5)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 1 + 2,25 + 2,25 + 1 + 0 = 6,5

.

Negatif ve pozitif farkların birbirini götürmesini engellemek için farkların kareleri alınır.

4

Spearman sıra korelasyon katsayısı formülünü uygulamak:

r_s = 1 - \frac{6 \sum d^2}{n(n^2 - 1)}

r_s = 1 - \frac{6 \times 6,5}{5(25 - 1)} = 1 - \frac{39}{120} = 1 - 0,325 = 0,675

.

Sıralama verilerine dayalı standart formül yardımıyla ilişki düzeyi hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Spearman Sıra Korelasyon Katsayısının Bağlı Gözlemlerle Hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 116Soru →

Bir e-ticaret platformunda veri analisti olarak çalışan bir uzman, müşterilerin "Sadakat Programı Üyelik Seviyesi" ( $X$ , bağımsız değişken) ile "Yıllık Alışveriş Sıklığı Kategorisi" ( $Y$ , bağımlı değişken) arasındaki ilişkiyi analiz etmektedir. Her iki değişken de sıralama (ordinal) ölçeğindedir.

Veri seti üzerinde yapılan eşleştirme analizi sonucunda şu değerler elde edilmiştir:
- Uyumlu (concordant) çiftlerin sayısı ( $N_c$ ): 80
- Uyumsuz (discordant) çiftlerin sayısı ( $N_d$ ): 20
- Sadece üyelik seviyesinde ( $X$ ) eşit (bağlı) olup alışveriş sıklığında farklı olan çiftlerin sayısı ( $T_X$ ): 100
- Sadece alışveriş sıklığında ( $Y$ ) eşit (bağlı) olup üyelik seviyesinde farklı olan çiftlerin sayısı ( $T_Y$ ): 50
- Her iki değişkende de eşit olan çiftlerin sayısı ( $T_{XY}$ ): 30

Analist, değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü ve düzeyini ölçmek için ** $Y$ 'nin bağımlı değişken olduğunu** vurgulayan en uygun ilişki katsayısını hesaplamak istemektedir.

Buna göre, analistin seçmesi gereken istatistiksel ölçü ve bu ölçünün hesaplanan değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Asimetrik Somers'

d_{Y|X}

katsayısı; 0,40

Asimetrik Somers'

d_{X|Y}

katsayısı; 0,30

Goodman-Kruskal Gamma katsayısı; 0,60

Asimetrik Somers'

d_{Y|X}

katsayısı; 0,24

Asimetrik Somers'

d_{X|Y}

katsayısı; 0,40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Asimetrik Somers' $d_{Y|X}$ katsayısı; 0,40

Cevap

Asimetrik Somers'

d_{Y|X}

katsayısı; 0,40

Soruda

Y

'nin bağımlı,

X

'in bağımsız değişken olduğu açıkça belirtilmiştir. Ordinal değişkenlerde bağımlı değişkenin yönünün belirli olduğu asimetrik durumlarda Somers'

d

katsayısı kullanılmalıdır.

Y

'nin bağımlı olduğu durumda

d_{Y|X}

katsayısı hesaplanır. Somers'

d_{Y|X}

katsayısı, uyumlu ve uyumsuz çiftlerin farkının, yalnızca bağımsız değişkende (

X

) farklılık gösteren çiftlerin toplamına bölünmesiyle elde edilir. Yani formülün paydası

N_c + N_d + T_Y

(bağımsız değişken

X

'te eşit olmayanlar) şeklindedir.

Formülü uygularsak:

d_{Y|X} = \frac{N_c - N_d}{N_c + N_d + T_Y} = \frac{80 - 20}{80 + 20 + 50} = \frac{60}{150} = 0,40

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Soru kökünden bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirleyerek uygun ilişki katsayısını seçmek.

Y

bağımlı ve

X

bağımsız değişken olduğu için asimetrik bir katsayı olan Somers'

d_{Y|X}

hesaplanmalıdır.

Değişkenler arasında yönü belli (asimetrik) bir ilişki arandığında Goodman-Kruskal Gamma gibi simetrik ölçüler yerine Somers'

d

katsayısı tercih edilir.

2

Somers'

d_{Y|X}

formülünü oluşturmak ve verilen çift sayılarını formüle yerleştirmek.

d_{Y|X} = \frac{N_c - N_d}{N_c + N_d + T_Y} = \frac{80 - 20}{80 + 20 + 50}

eşitliği elde edilir.

Y

'nin bağımlı değişken olduğu durumda katsayının paydasına yalnızca bağımsız değişkende (

X

'te) farklı olan çiftler (uyumlu, uyumsuz ve sadece

Y

'de bağlı olanlar) dahil edilir.

3

Formüldeki matematiksel işlemi tamamlayarak katsayı değerini bulmak.

Katsayı

\frac{60}{150} = 0,40

olarak hesaplanır.

Değişkenler arasındaki asimetrik ilişkinin gücünü sayısal olarak belirlemek için hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Somers' d İstatistiği

Parametrik Olmayan İlişki Ölçüleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar