Parametrik Olmayan İlişki Ölçüleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir iletişim araştırmasında, $1250$ katılımcının "yaş grupları" ( $5$ farklı kategori) ile "en sık kullandıkları sosyal medya platformları" ( $6$ farklı kategori) arasındaki ilişki incelenmektedir. Araştırma verileriyle oluşturulan çapraz tabloya uygulanan bağımsızlık testi sonucunda Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği $450$ olarak hesaplanmıştır.

Tablo boyutları dikkate alındığında, bu iki nominal değişken arasındaki ilişkinin miktarını belirlemek için kullanılması gereken en uygun katsayı ve bu katsayının hesaplanmış değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Fi (

\Phi

) Katsayısı;

0.60

Cramer's V Katsayısı;

0.09

Fi (

\Phi

) Katsayısı;

0.36

Cramer's V Katsayısı;

0.30

Cramer's V Katsayısı;

0.60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cramer's V Katsayısı; $0.30$

Cevap

Cramer's V Katsayısı;

0.30

değerini içeren seçenek doğru cevaptır.

Verilen çalışmada çapraz tablo

5 \times 6

boyutlarındadır. Tablo boyutu

2 \times 2

'den büyük olduğu için nominal değişkenler arası ilişkiyi ölçmede Fi (

\Phi

) Katsayısı uygun değildir; en uygun ölçüt Cramer's V Katsayısıdır. Cramer's V'nin hesaplanma formülü

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot \min(r-1, c-1)}}

şeklindedir. Satır sayısı

r=5

, sütun sayısı

c=6

olduğundan

\min(r-1, c-1) = 4

bulunur. Verilenler formülde yerine yazıldığında

V = \sqrt{\frac{450}{1250 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{450}{5000}} = \sqrt{0.09} = 0.30

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kullanılması gereken katsayıyı belirle.

Değişkenler

5

ve

6

kategorili (tablo boyutu

5 \times 6

) olduğu için,

2 \times 2

'den büyük nominal tablolarda ilişki ölçüsü olarak Cramer's V Katsayısı kullanılmalıdır.

Fi (

\Phi

) katsayısı yalnızca

2 \times 2

tablolar için 0-1 aralığında anlamlı değerler üretirken, daha büyük tablolarda üst sınırı 1'i aşabileceği için Cramer's V tercih edilir.

2

Cramer's V hesaplaması için gerekli olan parametreleri belirle.

Satır sayısı

r = 5

, Sütun sayısı

c = 6

. Gözlem sayısı

N = 1250

, Ki-kare

\chi^2 = 450

.

Formüldeki değişkenleri yerlerine koymak için tespit edilmeleri gerekir.

3

Serbestlik derecesine bağlı olan

q

çarpanını hesapla.

q = \min(r-1, c-1) = \min(5-1, 6-1) = \min(4, 5) = 4

Cramer's V formülünde paydada satır ve sütun serbestlik derecelerinden küçük olanı kullanılır.

4

Değerleri formülde yerine koy ve sonucu hesapla.

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot q}} = \sqrt{\frac{450}{1250 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{450}{5000}} = \sqrt{0.09} = 0.30

Cramer's V katsayısının formülü gereği karekök işlemi uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki nominal değişken arasındaki ilişki ölçülürken, çapraz tablonun boyutu

2 \times 2

'den büyükse Fi (

\Phi

) Katsayısı yerine Cramer's V Katsayısı kullanılır. Formülü

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot \min(r-1, c-1)}}

şeklindedir.

Soru 82Soru →

Bir teknoloji firmasında çalışan 5 veri analistinin, yönettikleri projelerin karmaşıklık dereceleri ( $X$ ) ile bu projelerden elde ettikleri başarı puanları ( $Y$ ) 10 üzerinden değerlendirilmiştir. Analistlere ait veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Analist	Karmaşıklık Derecesi ( $X$ )	Başarı Puanı ( $Y$ )
1	4	2
2	6	5
3	4	8
4	1	1
5	8	5

Spearman sıra korelasyon katsayısı hesaplanırken, eşit değerli gözlemler için ortalama sıra numarası verilmesi kuralı dikkate alınacaktır.

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenleri arasındaki Spearman sıra korelasyon katsayısı ve ilişkinin yorumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

-0,50

/ Ters yönlü ve orta düzeyde

0,30

/ Aynı yönlü ve zayıf düzeyde

0,45

/ Aynı yönlü ve orta düzeyde

0,55

/ Aynı yönlü ve orta düzeyde

0,75

/ Aynı yönlü ve güçlü düzeyde

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,55$ / Aynı yönlü ve orta düzeyde

Cevap

0,55

/ Aynı yönlü ve orta düzeyde

Veriler büyükten küçüğe doğru sıralandığında, X değişkeni için 4 değeri iki kez tekrar ettiği için bunlara (3+4)/2 = 3,5 sırası; Y değişkeni için 5 değeri iki kez tekrar ettiği için bunlara (2+3)/2 = 2,5 sırası verilir. Tüm veriler için sıra farklarının kareleri hesaplanıp toplandığında (

\sum d^2 = 9

) değeri bulunur. Formülde

n=5

ile yerine konulduğunda katsayı

0,55

olarak hesaplanır. İşaretin pozitif olması ilişkinin aynı yönlü olduğunu,

0,55

rakamı ise orta şiddette (orta düzeyde) olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki değişkeni (X ve Y) kendi içinde büyükten küçüğe doğru sıralayıp eşit değerlere ortalama sıra numarasını atayın.

X sıralaması: 8(1.), 6(2.), 4 ve 4(3,5.), 1(5.).
Y sıralaması: 8(1.), 5 ve 5(2,5.), 2(4.), 1(5.).

Spearman katsayısı ham veriler üzerinden değil, verilerin sıra numaraları üzerinden hesaplanır. Eşit (bağlı) gözlemlerde sıraların aritmetik ortalaması alınmalıdır.

2

Her analist için sıra numarası farklarını (

d

) ve bu farkların karelerini (

d^2

) hesaplayın.

A1:

3,5 - 4 = -0,5 \Rightarrow d^2 = 0,25

A2:

2 - 2,5 = -0,5 \Rightarrow d^2 = 0,25

A3:

3,5 - 1 = 2,5 \Rightarrow d^2 = 6,25

A4:

5 - 5 = 0 \Rightarrow d^2 = 0

A5:

1 - 2,5 = -1,5 \Rightarrow d^2 = 2,25

Toplam (

\sum d^2

):

9

Korelasyon katsayısının hesaplanmasında, eşleştirilmiş değişkenlerin birbirlerine göre sıra farklılıklarının büyüklüğü temel alınır.

3

Spearman sıra korelasyon katsayısı (

r_s

) formülünü uygulayın.

r_s = 1 - \frac{6 \sum d^2}{n(n^2 - 1)} = 1 - \frac{6 \times 9}{5(25 - 1)} = 1 - \frac{54}{120} = 1 - 0,45 = 0,55

Verilen değerlere göre

n=5

'tir ve formülde yerine koyulduğunda katsayı elde edilir.

4

Bulunan katsayının işaretini ve büyüklüğünü yorumlayın.

İşaret pozitif olduğu için 'Aynı yönlü'. Değer

0,55

olduğu için (genellikle 0,30-0,69 arası orta kabul edilir) 'Orta düzeyde' ilişki.

Korelasyonda işaret ilişkinin yönünü, mutlak değer ise ilişkinin şiddetini belirtir.

Anahtar Kavram

Bağlı gözlemler (eşit değerler) barındıran veri setlerinde Spearman Sıra Korelasyon Katsayısının hesaplanması ve değerinin sınıflandırılması.

Alternatif Yöntem

Eğer bağlı gözlemler çok sayıdaysa ve düzeltme faktörü zorunlu kılınmışsa, sıralara atanan değerler üzerinden Pearson Korelasyon Katsayısı formülü de kullanılabilir. Ortalaması alınmış tam sıra kümesi her iki metotla da aynı kesin sonuca ulaştırır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 83Soru →

Bir otomotiv fabrikasındaki kalite kontrol mühendisi, $N=144$ motor parçası üzerinde yaptığı incelemede, parçaların "Üretim Hattı" (A Hattı / B Hattı) ile "Hata Durumu" (Kusurlu / Kusursuz) arasındaki bağımlılığı araştırmaktadır.

Yapılan analiz sonucunda Pearson Ki-kare test istatistiği $\chi^2 = 36$ olarak bulunmuştur. Mühendis, değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü belirlemek amacıyla dörtlü korelasyon (Fi, $\phi$ ) katsayısını hesaplamıştır.

Buna göre, elde edilen $\phi$ katsayısının değeri ve alternatif ölçülerle teorik karşılaştırması dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Katsayı

0,50

olarak hesaplanır ve tablonun boyutu

2 \times 2

olduğu için bu değer, aynı veri seti için hesaplanacak Cramer's V katsayısıyla matematiksel olarak eşittir.

Katsayı

0,25

olarak hesaplanır ve

\phi

asimetrik bir ölçü olduğundan, "Hata Durumu"nun bağımlı değişken olarak seçilmesi katsayının büyüklüğünü doğrudan değiştirir.

Katsayı

0,50

olarak hesaplanır, ancak üretim hattı sayısı artırılarak tablo

3 \times 2

boyutuna genişletilse bile ilişkiyi ölçmek için Fi katsayısı en uygun yöntem olmaya devam eder.

Katsayı

0,50

olarak hesaplanır; fakat mühendis mükemmel bağımlılık durumunda tam olarak

1

sonucunu veren bir ölçü arıyorsa Fi yerine her zaman Kontenjans Katsayısını (C) tercih etmelidir.

Katsayı

0,25

olarak hesaplanır ve tablo kare formunda (

2 \times 2

) olduğu için, hesaplamanın doğruluğu yalnızca değişkenlerin ordinal yapıda olduğunu varsayan Kendall Tau-c katsayısı ile teyit edilebilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Katsayı $0,50$ olarak hesaplanır ve tablonun boyutu $2 \times 2$ olduğu için bu değer, aynı veri seti için hesaplanacak Cramer's V katsayısıyla matematiksel olarak eşittir.

Cevap

Doğru seçenek, Fi katsayısının

0,50

olarak hesaplandığını ve

2 \times 2

boyutundaki tablolarda Cramer's V katsayısıyla matematiksel olarak aynı değere sahip olduğunu belirten ifadedir.

Fi (

\phi

) katsayısı,

\phi = \sqrt{\chi^2 / N}

formülü ile hesaplanır ve

\sqrt{36 / 144} = \sqrt{0,25} = 0,50

bulunur. Cramer's V katsayısı ise

V = \sqrt{\chi^2 / [N(k-1)]}

formülüne sahiptir. Burada

k

, satır ve sütun sayısından küçük olanı temsil eder.

2 \times 2

boyutundaki tablolarda

k = 2

olduğundan

(k-1) = 1

olur. Bu durumda Cramer's V formülü, tam olarak Fi katsayısı formülüne (

\sqrt{\chi^2 / N}

) eşitlenir. Bu sebeple, doğru yanıt iki katsayının

2 \times 2

tablolarda matematiksel olarak denk olduğunu belirten ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri kullanarak Fi (

\phi

) katsayısını formüle yerleştirme.

\phi = \sqrt{\chi^2 / N}

formülünden

\phi = \sqrt{36 / 144}

denklemi oluşturulur.

Dörtlü korelasyon (Fi) katsayısı, Ki-kare istatistiğinin toplam gözlem sayısına (N) oranının kareköküne eşittir.

2

Karekök içindeki ifadeyi hesaplayıp sayısal sonucu bulma.

\sqrt{0,25} = 0,50

değeri hesaplanır.

Değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü sayısal olarak belirlemek için işlem tamamlanır.

3

Tablo boyutlarına göre Fi ile Cramer's V katsayılarını teorik olarak karşılaştırma.

Tablo

2 \times 2

olduğu için boyutları belirleyen

k

değeri

2

'dir. Cramer's V formülündeki

(k-1)

çarpanı

(2-1)=1

olur ve formül

V = \sqrt{\chi^2 / N}

şeklini alarak Fi katsayısına eşitlenir.

2 \times 2

boyutlu kontenjans tablolarında bu iki istatistiğin birbirine dönüştüğünü ve her zaman aynı sonucu verdiğini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Fi katsayısının hesaplanması, sınırları ve Cramer's V ile olan yapısal ilişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 84Soru →

Bir halk sağlığı merkezi, hastaların sahip olduğu "kronik rahatsızlık türü" ( $5$ farklı kategori) ile benimsedikleri "beslenme alışkanlığı" ( $5$ farklı kategori) arasında istatistiksel bir ilişki olup olmadığını incelemektedir. Toplam $400$ hastadan elde edilen verilerle oluşturulan kontenjans tablosu üzerinden yapılan analiz sonucunda, ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği $256$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu iki nominal değişken arasındaki ilişkinin derecesini gösteren Cramer's V katsayısı kaçtır?

0.80

0.64

0.40

0.20

0.16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0.40$

Cevap

Doğru değer

0.40

'tır.

Cramer's V katsayısı, nominal verilerde ilişkinin derecesini belirlemek için kullanılan ve

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(r-1, c-1)}}

formülüyle hesaplanan bir istatistiktir. Soru kökünde satır sayısı

r=5

, sütun sayısı

c=5

, örneklem hacmi

n=400

ve

\chi^2=256

olarak verilmiştir.

\min(5-1, 5-1) = 4

olduğundan, formülde yerine konulduğunda

V = \sqrt{\frac{256}{400 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{256}{1600}} = \sqrt{0.16} = 0.40

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kontenjans tablosunun satır (

r

) ve sütun (

c

) sayılarından minimum serbestlik boyutunu belirle.

Tablo

5 \times 5

boyutundadır. Bu nedenle

\min(r-1, c-1) = \min(5-1, 5-1) = \min(4, 4) = 4

bulunur.

Cramer's V katsayısı,

2 \times 2

'den büyük tablolarda Fi katsayısının alabileceği maksimum değere göre düzeltme yapılması için bu parametreye ihtiyaç duyar.

2

Verilen ki-kare (

\chi^2

) değerini ve örneklem hacmini (

n

) kullanarak Cramer's V formülünü uygula.

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(r-1, c-1)}} = \sqrt{\frac{256}{400 \cdot 4}}

Değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini

[0, 1]

aralığına normalize etmek için standart Cramer's V formülü kullanılır.

3

Matematiksel işlemi tamamlayarak katsayıyı hesapla.

V = \sqrt{\frac{256}{1600}} = \sqrt{0.16} = 0.40

sonucu elde edilir.

Bölüm işleminin ardından karekök alınması formülün tamamlanması için gereklidir.

Anahtar Kavram

Cramer's V Katsayısı Hesaplama ve Fi Katsayısı ile Farkı

Soru 85Soru →

Bir il tarım müdürlüğünde görevli araştırmacı, çiftçilerin 'Eğitim Düzeyi' (İlkokul, Lise, Üniversite olmak üzere 3 kategori) ile 'Modern Tarım Tekniklerini Kullanma Sıklığı' (Hiç, Bazen, Her Zaman olmak üzere 3 kategori) arasındaki ilişkiyi analiz etmek istemektedir. Örneklemde çok sayıda çiftçi yer aldığı için veri setinde yoğun şekilde bağlı gözlem (ties) mevcuttur.

Buna göre, araştırmacının kullanması gereken en uygun ilişki ölçüsü ve bu ölçünün alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Kendall Tau-b /

[-1, +1]

Kendall Tau-c /

[-1, +1]

Kendall Tau-a /

[-1, +1]

Kendall Tau-b /

[0, +1]

Kendall Tau-c /

[0, +1]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kendall Tau-b / $[-1, +1]$

Cevap

Araştırmacının

3 \times 3

boyutlarındaki kare tablo ve bağlı gözlemler için Kendall Tau-b katsayısını kullanması gerekir ve bu katsayı

[-1, +1]

aralığında değer alır.

Araştırmadaki değişkenler sıralı (ordinal) ölçekte olup her ikisi de 3 kategorilidir. Bu durum

3 \times 3

boyutlarında kare bir çapraz tablo (

r = c

) oluşturur. Bağlı gözlemlerin (ties) varlığında ve kare çapraz tablolarda en uygun ilişki ölçüsü Kendall Tau-b katsayısıdır. Ayrıca, yön bildiren tüm korelasyon katsayılarında olduğu gibi, Kendall Tau-b'nin de alabileceği değer aralığı

[-1, +1]

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin ölçek türünü ve kategori sayısını belirleyerek çapraz tablonun boyutunu saptamak.

Eğitim düzeyi 3 kategori ve kullanım sıklığı 3 kategori olduğundan, veri yapısı

3 \times 3

boyutlarında bir kare çapraz tablo (

r = c

) oluşturur.

Tablonun kare mi (r=c) yoksa dikdörtgen mi (r!=c) olduğu, kullanılacak katsayının belirlenmesinde temel ölçüttür.

2

Bağlı gözlem durumuna ve tablo boyutuna göre en uygun katsayıyı seçmek.

Tablo kare olduğu ve veri setinde çok sayıda bağlı gözlem (ties) bulunduğu için Kendall Tau-b katsayısı seçilmelidir.

Kare tablolarda bağlı gözlem düzeltmesi içeren katsayı Tau-b'dir. Tau-c dikdörtgen tablolar, Tau-a ise bağlı gözlemsiz durumlar içindir.

3

Seçilen katsayının değer aralığını tanımlamak.

Kendall Tau-b bir korelasyon katsayısı olduğundan, aralığı

[-1, +1]

olarak belirlenir.

Değişkenler arasındaki ters yönlü ilişkileri de ifade edebilmek için korelasyon katsayılarının alt sınırı -1'dir.

Anahtar Kavram

Kare (r=c) çapraz tablolarda bağlı gözlem durumunda Kendall Tau-b kullanımı ve korelasyon değer aralığı

Soru 86Soru →

Bir sosyolojik araştırmada, katılımcıların 'meslek grupları' ile 'katıldıkları gönüllü faaliyet türleri' arasındaki ilişkinin incelenmesi amacıyla bir kontenjans tablosu oluşturulmuştur. Bu tablonun analizinde kullanılmak üzere hesaplanan ki-kare bağımsızlık testine ilişkin serbestlik derecesi $20$ olarak bulunmuş olup, tabloda yer alan satır sayısının sütun sayısından $1$ fazla olduğu ( $r = c + 1$ ) bilinmektedir.

Toplam $N = 500$ gözlemin yer aldığı bu çalışmada elde edilen Pearson ki-kare test istatistiği değeri $\chi^2 = 320$ 'dir.

Buna göre, araştırmacının bu iki nominal değişken arasındaki ilişkinin gücünü belirlemek için kullanması gereken en uygun katsayı ve bu katsayının hesaplanan değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cramer's V Katsayısı;

0.40

Cramer's V Katsayısı;

0.16

Fi (

\phi

) Katsayısı;

0.80

Cramer's V Katsayısı;

0.80

Fi (

\phi

) Katsayısı;

0.64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cramer's V Katsayısı; $0.40$

Cevap

Doğru katsayı Cramer's V Katsayısı olup, hesaplanan değeri

0.40

'tır.

Verilen serbestlik derecesi (

20

) ve

r=c+1

eşitliği kullanıldığında tablo boyutları

6 \times 5

olarak bulunur. Boyutlar

2 \times 2

'den büyük olduğu için en uygun ilişki ölçütü Cramer's V katsayısıdır.

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot \min(r-1, c-1)}}

formülünde

\chi^2=320

,

N=500

ve

\min(5,4)=4

değerleri yerine konulduğunda

\sqrt{\frac{320}{2000}} = \sqrt{0.16} = 0.40

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesinden tablo boyutlarını (

r

ve

c

) belirle.

df = (r-1)(c-1) = 20

ve

r = c + 1

olduğundan,

c(c-1) = 20

denklemi çözülerek

c = 5

ve

r = 6

bulunur. Tablo boyutu

6 \times 5

'tir.

Cramer's V katsayısını hesaplamak için minimum kolon veya satır sayısına ihtiyaç vardır.

2

Uygun ilişki katsayısını seç.

Tablo boyutu

2 \times 2

'den büyük (

6 \times 5

) olduğu için Fi (

\phi

) katsayısı yerine Cramer's V katsayısı seçilmelidir.

Fi katsayısı

2 \times 2

tablolar için tasarlanmıştır; daha büyük tablolarda 1'den büyük değerler alabilir.

3

Cramer's V formülünü uygula.

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot \min(r-1, c-1)}}

formülünde değerler yerine konur.

Katsayının formülsel olarak hesaplanması adımıdır.

4

Değerleri formülde yerine koy ve sonucu hesapla.

\min(6-1, 5-1) = \min(5, 4) = 4

bulunur.

V = \sqrt{\frac{320}{500 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{320}{2000}} = \sqrt{0.16} = 0.40

elde edilir.

Doğru matematiksel sonucu bulmak için gerekli işlemdir.

Anahtar Kavram

Cramer's V katsayısının kullanım koşulları ve serbestlik derecesi ile ilişkisi.

Soru 87Soru →

Bir istatistik uzmanı, $X$ (bağımsız) ve $Y$ (bağımlı) sıralayıcı (ordinal) değişkenleri arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Veri setinde uyumlu (concordant) çiftlerin sayısı $N_c$ ve uyumsuz (discordant) çiftlerin sayısı $N_d$ olup, sıfırdan farklı bir ilişki yönü olduğu ( $N_c \neq N_d$ ) bilinmektedir.

Veri setindeki bağlı (tied) gözlemler incelendiğinde;
• Sadece $X$ değişkeninde aynı değeri alan (bağlı) ancak $Y$ değişkeninde farklı değerler alan gözlem çiftlerinin bulunduğu ( $T_X > 0$ ),
• Sadece $Y$ değişkeninde aynı değeri alan ancak $X$ 'te farklı değerler alan hiçbir gözlem çiftinin bulunmadığı ( $T_Y = 0$ )
tespit edilmiştir.

Uzman bu verilerle Goodman-Kruskal Gamma ( $\gamma$ ), Kendall Tau-b ( $\tau_b$ ), $X$ 'in bağımlı olduğu Somers' $d_{X|Y}$ ve $Y$ 'nin bağımlı olduğu Somers' $d_{Y|X}$ katsayılarını hesaplamıştır.

Buna göre, hesaplanan bu istatistiklerin mutlak değerleri arasındaki büyüklük sıralaması aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

|d_{Y|X}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|

|d_{X|Y}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{Y|X}|

|\gamma| > |d_{Y|X}| = |d_{X|Y}| > |\tau_b|

|\tau_b| > |\gamma| = |d_{Y|X}| > |d_{X|Y}|

|d_{Y|X}| > |d_{X|Y}| > |\tau_b| = |\gamma|

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $|d_{Y|X}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|$

Cevap

|d_{Y|X}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|

şeklindeki sıralama doğrudur.

Verilen ordinal ilişki katsayılarında pay her zaman

(N_c - N_d)

olup, katsayıların mutlak büyüklüklerini paydalarındaki bağ (tie) düzeltmeleri belirler. Gamma (

\gamma

) hiçbir bağı dikkate almadığı için paydası en küçük (

N_c + N_d

) ve dolayısıyla mutlak değeri en büyüktür. Y'nin bağımlı olduğu

d_{Y|X}

katsayısında payda

N_c + N_d + T_Y

'dir. Soruda

T_Y = 0

verildiğinden,

d_{Y|X}

'in paydası da

N_c + N_d

olur ve

|d_{Y|X}| = |\gamma|

eşitliği sağlanır. X'in bağımlı olduğu

d_{X|Y}

katsayısının paydası

N_c + N_d + T_X

'tir.

T_X > 0

olduğu için bu payda en büyüktür ve kesrin değeri en küçük olur (

|d_{X|Y}| < |\gamma|

). Kendall Tau-b'nin paydası ise bu iki paydanın geometrik ortalamasıdır. Dolayısıyla

|\tau_b|

, mutlak değerce

|d_{X|Y}|

ile

|d_{Y|X}|

'in tam arasında yer alır. Sonuç olarak

|d_{Y|X}| = |\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|

sıralaması kesin olarak doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Katsayıların teorik formüllerindeki paydaları belirle.

Tüm katsayıların payı (

N_c - N_d

) eşittir. Büyüklük ilişkisi tamamen paydalara bağlıdır. Paydalar:

\gamma

için

(N_c + N_d)

,

d_{Y|X}

için

(N_c + N_d + T_Y)

,

d_{X|Y}

için

(N_c + N_d + T_X)

ve

\tau_b

için

\sqrt{(N_c + N_d + T_X)(N_c + N_d + T_Y)}

'dir.

İlişki katsayılarının mutlak değeri, paydanın büyüklüğü ile ters orantılıdır.

2

Verilen

T_Y = 0

koşulunu formüllerde yerine koy.

d_{Y|X}

'in paydası

(N_c + N_d + 0) = N_c + N_d

olur. Bu durumda

d_{Y|X}

'in formülü tamamen

\gamma

ile aynı hale gelir ve

|d_{Y|X}| = |\gamma|

eşitliği kesinleşir.

Bağımsız değişken

X

üzerinde bağlı olmayan çiftlerin sayısı, bağımlı

Y

'de bağ olmadığında toplam uyumlu/uyumsuz çift sayısına eşittir.

3

T_X > 0

koşulunu kullanarak diğer paydaları karşılaştır.

d_{X|Y}

'nin paydası

(N_c + N_d + T_X)

'tir ve

(N_c + N_d)

'den büyüktür. Dolayısıyla

|d_{X|Y}| < |\gamma|

olur.

Payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür.

4

Kendall

\tau_b

'nin konumunu belirle.

\tau_b

'nin paydası

\sqrt{(N_c + N_d + T_X)(N_c + N_d)}

'dir. Bu değer

(N_c + N_d)

'den büyük,

(N_c + N_d + T_X)

'ten küçüktür. (Yani

d_{Y|X}

ve

d_{X|Y}

paydalarının geometrik ortalamasıdır). Bu da

|\gamma| > |\tau_b| > |d_{X|Y}|

sonucunu verir.

\tau_b

, asimetrik iki Somers' d katsayısının geometrik ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Somers' d Asimetrik Katsayı Yapısı ve Payda Hesaplamaları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 88Soru →

Bir epidemiyolog, bireylerin 'Fiziksel Aktivite Düzeyi' (Düşük, Orta, Yüksek) ile 'Kardiyovasküler Risk Skoru' (Düşük, Orta, Yüksek) arasındaki ilişkiyi $3 \times 3$ boyutlarında bir çapraz tablo ile özetlemiştir. Veri setinde aynı aktivite düzeyinde veya aynı risk kategorisinde yer alan çok sayıda birey (bağlı gözlem / tie) bulunmaktadır. Araştırmacı, bu iki sıralı (ordinal) değişken arasındaki ilişkiyi Goodman-Kruskal Gamma ( $\gamma$ ) katsayısı ile incelemektedir.

Uyumlu çiftlerin sayısının ( $N_c$ ) uyumsuz çiftlerin sayısından ( $N_d$ ) daha fazla olduğu bilinen bu araştırmada, Goodman-Kruskal Gamma katsayısının özellikleri, bağlı gözlemlere yaklaşımı ve diğer ordinal ilişki ölçüleriyle karşılaştırılması hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Gamma katsayısı, değişkenlerden birini bağımlı, diğerini bağımsız olarak tanımlayan asimetrik bir ölçü olduğundan, değişkenlerin analize girme yönü katsayının işaretini ve büyüklüğünü değiştirir.

Bağlı gözlem sayısının veri setinde fazla olması, Gamma katsayısının teorik olarak ulaşabileceği maksimum değerin

+1

'in altına düşmesine (üst sınırın daralmasına) yol açar.

Gamma katsayısı hesaplamada eşitlik içeren (bağlı) gözlem çiftlerini tamamen dışladığı için, elde edilen katsayı değeri, bağlı gözlem düzeltmesi yapan Kendall Tau-b katsayısından genellikle daha büyük veya ona eşit çıkar.

Oluşturulan çapraz tablo

3 \times 3

boyutlarında kare bir matris olduğundan, değişkenler arasındaki bağlı gözlemlerin dağılımından bağımsız olarak Gamma ve Kendall Tau-b katsayıları birbirine tam eşit çıkar.

Gamma katsayısı, uyumlu ve uyumsuz çiftlerin farkını analize dahil edilen tüm gözlem çifti sayısına oranladığından, bağlı gözlemler katsayının hesaplanmasında paydayı doğrudan büyütür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gamma katsayısı hesaplamada eşitlik içeren (bağlı) gözlem çiftlerini tamamen dışladığı için, elde edilen katsayı değeri, bağlı gözlem düzeltmesi yapan Kendall Tau-b katsayısından genellikle daha büyük veya ona eşit çıkar.

Cevap

Gamma katsayısı hesaplamada eşitlik içeren (bağlı) gözlem çiftlerini tamamen dışladığı için, elde edilen katsayı değeri, bağlı gözlem düzeltmesi yapan Kendall Tau-b katsayısından genellikle daha büyük veya ona eşit çıkar.

Goodman-Kruskal Gamma katsayısı, ilişkili iki sıralı değişken arasındaki yönü ve gücü hesaplarken formülünün (

\frac{N_c - N_d}{N_c + N_d}

) hem payında hem de paydasında yalnızca uyumlu (

N_c

) ve uyumsuz (

N_d

) çiftleri kullanır. Aynı kategoride yer alan yani bağlı (tie) durumdaki gözlem çiftleri analize dahil edilmez. Öte yandan Kendall Tau-b katsayısı, bağlı gözlemleri formülünün paydasına ekleyerek bir düzeltme yapar. İlişki pozitifken (

N_c > N_d

) Gamma katsayısı daha küçük bir paydaya bölündüğü için, elde edilen değer Kendall Tau-b katsayısından daha büyük veya en az ona eşit olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Goodman-Kruskal Gamma ile Kendall Tau-b katsayılarının formüllerini ve yapılarını karşılaştırmak.

Gamma katsayısı

\gamma = \frac{N_c - N_d}{N_c + N_d}

formülüyle hesaplanırken, Kendall Tau-b katsayısı paydasında eşitlik (tie) durumlarını hesaba katan bir düzeltme terimi bulundurur.

Bağlı gözlemlerin katsayılar üzerindeki teorik etkisini belirlemek.

2

İlişkinin yönünü değerlendirip katsayıların büyüklüğünü kıyaslamak.

Soru metninde

N_c > N_d

(pozitif ilişki) olduğu verilmiştir. Gamma'nın paydası bağlı gözlemleri içermediği için Tau-b'nin paydasından her zaman daha küçük (veya eşit) olur. Bu da Gamma katsayısının değerinin genellikle daha yüksek çıkmasına yol açar.

Matematiksel olarak paydası daha büyük olan pozitif bir kesrin değerinin daha küçük olacağı mantığını uygulamak.

3

Diğer seçeneklerdeki katsayı özelliklerini (simetri, üst sınır) doğrulamak.

Gamma simetrik bir ölçüdür (Somers' d asimetriktir) ve

3 \times 3

gibi tablolarda bağlı gözlemler bulunsa dahi teorik olarak

+1

veya

-1

değerini alabilir.

Çeldirici seçeneklerde yer alan hatalı kavramsal ifadeleri elemek.

Anahtar Kavram

Goodman-Kruskal Gamma Katsayısının Bağlı Gözlemlere Yaklaşımı ve Karşılaştırmalı Analizi

İpuçları

1

Goodman-Kruskal Gamma formülünde yalnızca uyumlu (

N_c

) ve uyumsuz (

N_d

) çiftlerin kullanıldığını, eşitliklerin (bağlı gözlemlerin) tamamen dışlandığını hatırlayın.

2

Kendall Tau-b katsayısı hesaplanırken paydada bağlı gözlem çiftleri de hesaba katılır, bu durum hesaplamada paydayı büyüten bir etkendir.

3

N_c > N_d

durumunda (pozitif ilişki), paydası daha küçük olan katsayının sonucunun daha büyük olacağını düşünerek Gamma ve Tau-b'yi teorik olarak karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Kare olmayan (örneğin

3 \times 4

) tablolar için uygulanan Kendall Tau-c katsayısının bağlı gözlemlere yaklaşımını Gamma ile karşılaştıran örnek sorular çözmeniz faydalı olacaktır.

Alternatif Yöntem

İki katsayının sınırlarını uç bir varsayımsal örnekle düşünmek pratik bir yöntemdir: Veri setinde hiç uyumsuz çift (

N_d = 0

) olmadığını ancak pek çok bağlı gözlem bulunduğunu varsayın. Gamma katsayısı doğrudan

N_c / N_c = 1

(mükemmel ilişki) olarak hesaplanır. Ancak Kendall Tau-b katsayısında bağlı gözlemler paydayı büyüteceğinden sonuç

1

'den küçük çıkacaktır. Bu durum Gamma'nın genellikle daha yüksek veya eşit değer vereceğini kanıtlar.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 89Soru →

Bir sosyolojik araştırmada, katılımcıların 'Sosyoekonomik Statü' (Alt, Orta, Üst) ile 'Kurumlara Güven Endeksi' (Düşük, Orta, Yüksek) değişkenleri arasındaki ilişki analiz edilmektedir. Oluşturulan $3 \times 3$ boyutundaki kontenjans tablosunda, katılımcıların büyük bir kısmının aynı kategorilerde yığılması nedeniyle çok sayıda bağlı (eş) gözlem çifti oluştuğu tespit edilmiştir. Araştırmacı, bu iki sıralı ölçekli değişken arasındaki ilişkinin derecesini ve yönünü belirlemek için Goodman-Kruskal Gamma ( $\gamma$ ) katsayısını hesaplamaya karar vermiştir.

Bu veri setindeki yoğun bağlı gözlemlerin hesaplamaya etkisi ve Goodman-Kruskal Gamma katsayısının özellikleri dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Gamma katsayısı, bağlı gözlemlerin etkisini hesaplamada yalnızca bağımlı değişken yönünden düzelten asimetrik bir ölçü olduğundan, analize giren değişkenlerin bağımlı veya bağımsız olarak yer değiştirmesi katsayının yönünü ve büyüklüğünü değiştirecektir.

Tabloda yoğun bağlı gözlem bulunduğundan, Gamma katsayısının güvenilir bir sonuç verebilmesi için satır ve sütun sayılarının farklı olması gerekir; mevcut

3 \times 3

boyutundaki kare tablo için Gamma yerine Kendall Tau-c katsayısı kullanılmalıdır.

Gamma katsayısı yalnızca bağlı gözlem bulunmayan

2 \times 2

boyutlu çapraz tablolarda kullanılabildiğinden,

3 \times 3

boyutundaki bu tablo için sıralı değişkenler arasındaki ilişkiyi ölçmek amacıyla Fi (Phi) katsayısı tercih edilmelidir.

Goodman-Kruskal Gamma katsayısı, hesaplamasında yalnızca uyumlu ve uyumsuz gözlem çiftlerini kullanıp bağlı gözlemleri tamamen dışladığından, bu tür tablolarda ilişkinin gücünü Kendall Tau-b katsayısına göre genellikle daha yüksek (şişkin) hesaplama eğilimindedir.

Bağlı gözlem sayısının veri setindeki toplam gözlem sayısına oranının yüksek olması durumunda, iki değişken arasındaki ilişki mükemmel olsa bile hesaplanan Gamma katsayısı matematiksel olarak hiçbir zaman

+1

veya

-1

sınır değerlerine ulaşamaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Goodman-Kruskal Gamma katsayısı, hesaplamasında yalnızca uyumlu ve uyumsuz gözlem çiftlerini kullanıp bağlı gözlemleri tamamen dışladığından, bu tür tablolarda ilişkinin gücünü Kendall Tau-b katsayısına göre genellikle daha yüksek (şişkin) hesaplama eğilimindedir.

Cevap

Doğru yanıt, Gamma katsayısının bağlı gözlemleri tamamen dışladığı için korelasyonu Kendall Tau-b katsayısına göre daha yüksek (şişirilmiş) hesaplama eğiliminde olduğunu belirten seçenektir.

Goodman-Kruskal Gamma katsayısı, hesaplama sürecinde yalnızca

N_c

(uyumlu çiftler) ve

N_d

(uyumsuz çiftler) değerlerini dikkate alır. Satırda, sütunda veya her iki değişkende de aynı olan bağlı gözlemler (ties) formülde ne paya ne de paydaya dahil edilir. Bu nedenle, hesaplama formülünün paydasına bağlı gözlemleri dahil eden (ve dolayısıyla paydayı büyüterek mutlak katsayı değerini küçülten) Kendall Tau-b gibi ölçülere kıyasla, yoğun bağlı gözlem içeren veri setlerinde Gamma katsayısı ilişkinin derecesini daha yüksek (şişirilmiş) tahmin etme eğilimindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve araştırma problemini inceleme

İki sıralı değişken ('Sosyoekonomik Statü' ve 'Kurumlara Güven Endeksi') içeren ve bağlı (eş) gözlemlerin yoğun olduğu bir

3 \times 3

kontenjans tablosuyla çalışılmaktadır.

Kullanılacak ilişki katsayısının özelliklerini (boyut sınırlaması, bağlı gözlemlere duyarlılık) veri setiyle eşleştirmek için gereklidir.

2

Goodman-Kruskal Gamma katsayısının matematiksel yapısını ve özelliklerini değerlendirme

Gamma katsayısı

G = \frac{N_c - N_d}{N_c + N_d}

formülüyle hesaplanır ve simetrik bir ölçüdür. Hem payda hem de paydada yalnızca uyumlu (

N_c

) ve uyumsuz (

N_d

) çiftler yer alır.

Katsayının bağlı gözlemlere olan tepkisini anlamak için formül analizi yapmak şarttır.

3

Bağlı gözlemlerin alternatif non-parametrik ilişki ölçüleri üzerindeki etkilerini analiz etme

Kendall Tau-b, Tau-c ve Somers' d gibi diğer istatistikler, hesaplamalarının paydasında belirli türdeki bağlı gözlem çiftlerine (sadece satır, sadece sütun veya her ikisi) yer vererek katsayıyı düzeltir ve genellikle daha tutucu (düşük) bir sonuç üretir.

Seçeneklerdeki diğer testlerle (Tau-b, Somers' d, Fi, Kontenjans) Gamma arasındaki farkları belirleyebilmek için karşılaştırma gereklidir.

4

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu test etme

Gamma'nın bağlı gözlemleri tamamen dışlaması sebebiyle paydası daha küçük kalır; bu da Gamma'nın, bağlı gözlemleri dikkate alan Tau-b'ye göre mutlak değerce daha büyük sonuçlar vermesine yol açar.

Hangi seçeneğin Gamma'nın özelliklerini tam ve eksiksiz olarak yansıttığını saptamak zorunludur.

Anahtar Kavram

Goodman-Kruskal Gamma Katsayısının Özellikleri ve Bağlı Gözlemlere Yaklaşımı

Soru 90Soru →

Bir kamu politikası araştırmasında, $7$ farklı coğrafi bölge ile bu bölgelerde desteklenen $4$ farklı proje türü (Altyapı, Ar-Ge, Eğitim, İstihdam) arasındaki ilişki incelenmektedir. Toplam $n=300$ projenin dâhil edildiği analizde, iki nominal değişken arasındaki bağımsızlık testi sonucunda hesaplanan Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği $324$ olarak bulunmuştur.

Araştırmacı, değişkenler arasındaki ilişki derecesini belirlemek için Fi ( $\phi$ ) katsayısını hesaplamış ve sonucu $\sqrt{1.08} \approx 1.04$ olarak bulmuştur. Katsayının $1$ 'den büyük çıkması üzerine hesaplama sürecinde kavramsal bir hata yaptığını fark etmiştir.

Buna göre, araştırmacının karşılaştığı bu kavramsal hatanın temel nedeni ve veri yapısına uygun olan katsayının doğru değeri aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir?

Beklenen frekansların tüm hücrelerde eşit dağılmaması nedeniyle Ki-kare değerinin şişmesi; doğru ölçü Cramer's V olup değeri yaklaşık

0.24

'tür.

Çapraz tablonun kare matris (

r=c

) formunda olmaması nedeniyle simetrik ilişkinin bozulması; doğru ölçü Somers' d istatistiği olup değeri

0.60

'tır.

Fi (

\phi

) katsayısının

2 \times 2

'den büyük boyutlu tablolarda

1

'den büyük değerler alabilmesi nedeniyle ölçüme uygun olmaması; doğru ölçü Cramer's V olup değeri

0.60

'tır.

Gözlem sayısının (

n

), değişkenlerin kategori sayılarına göre orantısız büyüklükte olması; doğru ölçü Kontenjans (C) katsayısı olup değeri yaklaşık

0.72

'dir.

İki nominal değişken arasındaki ilişkinin yönünün negatif olması nedeniyle kök dışına çıkılamaması; doğru ölçü Cramer's V olup hesaplanan değeri

0.36

'dır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fi ( $\phi$ ) katsayısının $2 \times 2$ 'den büyük boyutlu tablolarda $1$ 'den büyük değerler alabilmesi nedeniyle ölçüme uygun olmaması; doğru ölçü Cramer's V olup değeri $0.60$ 'tır.

Cevap

Araştırmacının karşılaştığı sorunun nedeni Fi katsayısının boyutları 2x2'den büyük tablolarda 1'i aşabilmesidir. Bu durumda kullanılması gereken doğru ölçü Cramer's V katsayısıdır ve hesaplanan değeri 0.60 olmalıdır.

Fi (Phi) katsayısı, yalnızca 2x2 boyutundaki kontenjans tablolarında 0 ile 1 arasında sınırlandırılmıştır. Boyutları 2x2'den büyük olan (bu soruda 7x4) tablolarda Fi katsayısının hesaplanan değeri 1'i aşabilir, bu nedenle ilişki derecesini yorumlamada kullanılamaz. Bu tür nominal tablolarda en uygun standart ölçü Cramer's V katsayısıdır. Cramer's V hesaplamasında paydadaki düzeltme faktörü olarak satır ve sütun sayılarının 1 eksiğinden küçük olanı, yani

min(r-1, c-1)

kullanılır. Sorudaki değerler yerine konulduğunda

V = \sqrt{324 / (300 \times 3)} = 0.60

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve kullanılan katsayının sınırlılıklarını analiz et.

Değişkenler nominaldir. Tablo boyutu

7 \times 4

'tür. Fi (

\phi

) katsayısı yalnızca

2 \times 2

tablolarda

0-1

arasında değer alır, daha büyük tablolarda

1

'i aşabileceği için uygun değildir.

Kavramsal çelişkinin nedenini belirlemek için istatistiksel ölçülerin önkoşullarını kontrol etmek gerekir.

2

Veri yapısına uygun doğru ilişki katsayısını seç.

Boyutu

2 \times 2

'den büyük olan nominal x nominal çapraz tablolarda en uygun ilişki ölçüsü Cramer's V katsayısıdır.

Cramer's V, tablo boyutundan bağımsız olarak daima

0

ile

1

arasında değer alacak şekilde standardize edilmiştir.

3

Cramer's V katsayısı formülündeki parametreleri belirle.

Satır sayısı

r = 7

, sütun sayısı

c = 4

. Formüldeki min

(r-1, c-1)

değeri min

(6, 3) = 3

olarak bulunur. Toplam gözlem

n = 300

,

\chi^2 = 324

.

Hesaplamada paydadaki düzeltme faktörünün doğru belirlenmesi, serbestlik derecesi ile karıştırılmaması kritik adımdır.

4

Cramer's V (V) katsayısını hesapla.

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(r-1, c-1)}} = \sqrt{\frac{324}{300 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{324}{900}} = \sqrt{0.36} = 0.60

Test istatistiği değerini standardize ederek

0-1

aralığındaki nihai ilişki katsayısını elde etmek.

Anahtar Kavram

Cramer's V Katsayısı hesaplaması ve Fi katsayısı ile kullanım farkları

Soru 91Soru →

Bir kamu kurumu, personelinin 'hizmet içi eğitim alma süreleri' ( $X$ , bağımsız değişken) ile 'performans değerlendirme notları' ( $Y$ , bağımlı değişken) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Sıralayıcı (ordinal) ölçekte ölçülen bu iki değişken için gözlem çiftleri analiz edilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir:

- Uyumlu (kordant) çift sayısı: $45$
- Uyumsuz (diskordant) çift sayısı: $15$
- Sadece eğitim süresinde ( $X$ ) bağlı olan çift sayısı: $20$
- Sadece performans notunda ( $Y$ ) bağlı olan çift sayısı: $40$
- Her iki değişkende de bağlı olan çift sayısı: $10$

Buna göre, eğitim süresinin performans notu üzerindeki etkisini ölçmek amacıyla kullanılacak olan **Somers' d asimetrik ilişki katsayısının ( $d_{Y|X}$ )** değeri ve bu değerin Goodman-Kruskal Gamma ( $\gamma$ ) katsayısı ile ilişkisi aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

d_{Y|X} = 0.30

olarak hesaplanır. Paydada bağımlı değişkendeki (

Y

) bağlı çiftler de hesaba katıldığından, elde edilen katsayı

\gamma

katsayısından (

0.50

) mutlak değerce daha küçüktür.

d_{Y|X} = 0.375

olarak hesaplanır. Paydada bağımsız değişkendeki (

X

) bağlı çiftler hesaba katıldığından, elde edilen katsayı

\gamma

katsayısından (

0.50

) daha küçüktür.

d_{Y|X} = 0.50

olarak hesaplanır. Somers' d katsayısı, asimetrik durumlarda da bağlı çiftleri dışladığı için Goodman-Kruskal

\gamma

katsayısı ile her zaman eşit değer alır.

d_{Y|X} = 0.25

olarak hesaplanır. İki değişken arasındaki asimetrik ilişkiyi ölçerken veri setindeki tüm bağlı çiftler (

T_X, T_Y, T_{XY}

) paydaya dahil edilir.

d_{Y|X} = 0.30

olarak hesaplanır. Goodman-Kruskal

\gamma

katsayısı (

0.23

) hesaplanırken paydaya toplam gözlem çifti sayısı alındığından, Somers' d katsayısı

\gamma

'dan daha büyüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $d_{Y|X} = 0.30$ olarak hesaplanır. Paydada bağımlı değişkendeki ( $Y$ ) bağlı çiftler de hesaba katıldığından, elde edilen katsayı $\gamma$ katsayısından ( $0.50$ ) mutlak değerce daha küçüktür.

Cevap

d_{Y|X} = 0.30

olarak hesaplanır ve Goodman-Kruskal Gamma katsayısı paydada bağlı çiftleri barındırmadığı için her zaman Somers' d katsayısından (mutlak değerce) daha büyüktür veya eşittir.

Doğru hesaplamayı veren seçenekte, asimetrik Somers' d katsayısı (

d_{Y|X}

) hesaplanırken doğru bir şekilde yalnızca

Y

bağımlı değişkeninde bağlı olan çiftler (

T_Y = 40

) paydaya eklenmiştir. Formül

d_{Y|X} = (45-15) / (45+15+40) = 0.30

olarak doğru kurulmuştur. Ayrıca, Goodman-Kruskal Gamma katsayısı bağlı gözlemleri hesaplamaya katmadığından (paydası daha küçüktür), Somers' d katsayısının daima

\gamma

'dan mutlak değerce küçük ya da ona eşit olacağı teorik bilgisi doğru ifade edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Asimetrik Somers' d (

d_{Y|X}

) formülünü ve bileşenlerini belirleyin.

d_{Y|X} = \frac{C - D}{C + D + T_Y}

formülü kullanılmalıdır.

Y

bağımlı değişken olduğunda, paydada yalnızca bağımsız değişkenin (

X

) değerlerinin birbirinden farklı olduğu çiftler (

C + D + T_Y

) dikkate alınır.

2

Verilen değerleri Somers' d (

d_{Y|X}

) formülünde yerine koyun.

d_{Y|X} = \frac{45 - 15}{45 + 15 + 40} = \frac{30}{100} = 0.30

Uyumlu çiftler (

C=45

), uyumsuz çiftler (

D=15

) ve sadece bağımlı değişkende bağlı olan çiftler (

T_Y=40

) kullanılarak katsayı hesaplanır.

3

Goodman-Kruskal Gamma (

\gamma

) katsayısını hesaplayın.

\gamma = \frac{C - D}{C + D} = \frac{45 - 15}{45 + 15} = \frac{30}{60} = 0.50

Gamma katsayısı hiçbir bağlı çifti dikkate almaz, yalnızca uyumlu ve uyumsuz çiftleri kullanır.

4

İki katsayıyı teorik olarak karşılaştırın.

\gamma

katsayısının paydası daha küçük olduğu için,

|\gamma| \ge |d_{Y|X}|

ilişkisi geçerlidir (

0.50 > 0.30

).

Somers' d katsayısı, bağımlı değişkendeki bağlı gözlemleri paydaya ekleyerek ilişkiyi daha muhafazakar bir şekilde ölçer.

Anahtar Kavram

Somers' d Asimetrik Katsayısı ve Bağımlı Değişken Seçimi

Soru 92Soru →

Bir endüstri ve örgüt psikoloğu, sağlık çalışanlarının "Mesleki Tükenmişlik Düzeyi" (Çok Düşük, Düşük, Orta, Yüksek, Çok Yüksek) ile strese karşı kullandıkları "Başa Çıkma Stratejisi" (Problem Odaklı, Duygu Odaklı, Kaçınma, Sosyal Destek Arama) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla rastgele seçilmiş $160$ çalışan üzerinde bir araştırma yürütmüştür.

Elde edilen verilerle oluşturulan çapraz tablo üzerinden yapılan analiz sonucunda Pearson Ki-Kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği değeri $90$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, incelenen iki değişken arasındaki ilişkinin derecesini gösteren Kontenjans (C) katsayısı ve bu katsayının mevcut tablo boyutları için alabileceği maksimum değer ( $C_{max}$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
(İpucu: Gerekli durumlarda $\sqrt{0,1875} \cong 0,433$ ; $\sqrt{0,75} \cong 0,866$ ; $\sqrt{0,80} \cong 0,894$ değerlerini kullanınız.)

0,600

ve

0,866

0,600

ve

1,000

0,600

ve

0,894

0,750

ve

0,866

0,433

ve

0,866

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,600$ ve $0,866$

Cevap

Hesaplanan Kontenjans (C) katsayısı

0,600

ve bu tablo için alabileceği maksimum değer

0,866

'dır.

Kontenjans katsayısı

C = \sqrt{\chi^2 / (\chi^2 + n)}

formülü ile hesaplanır. Veriler yerine konduğunda

\sqrt{90 / (90+160)} = 0,600

elde edilir. Bu katsayının üst sınırı her zaman 1'den küçüktür ve

C_{max} = \sqrt{(q-1)/q}

formülüyle bulunur. Burada

q

, satır ve sütun sayılarından küçük olanıdır.

5

ve

4

kategorili değişkenler için

q=4

'tür ve

C_{max} = \sqrt{3/4} \cong 0,866

olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru değerler

0,600

ve

0,866

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Kontenjans (C) katsayısını hesaplamak için formülü belirle ve verilen değerleri yerine koy.

C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}} = \sqrt{\frac{90}{90 + 160}} = \sqrt{\frac{90}{250}} = \sqrt{0,36} = 0,600

Kontenjans katsayısı, ki-kare değerinin, ki-kare ile örneklem hacmi toplamına oranının kareköküdür.

2

Tablonun satır (r) ve sütun (c) sayılarını belirleyerek minimum kategoriyi (q) bul.

Tükenmişlik Düzeyi için satır sayısı

r = 5

, Başa Çıkma Stratejisi için sütun sayısı

c = 4

.

q = \min(5, 4) = 4

Maksimum C değeri tablonun boyutlarına bağlıdır ve satır ile sütun sayılarının en küçüğü (q) kullanılarak hesaplanır.

3

Kontenjans katsayısının alabileceği maksimum değeri (

C_{max}

) hesapla.

C_{max} = \sqrt{\frac{q - 1}{q}} = \sqrt{\frac{4 - 1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{0,75} \cong 0,866

Kontenjans katsayısı hiçbir zaman tam

1

değerini alamaz; üst sınırı

\sqrt{(q-1)/q}

formülü ile belirlenir.

Anahtar Kavram

Kontenjans katsayısının (C) formülle hesaplanması ve tablo boyutlarına bağlı olan teorik üst sınırının (

C_{max}

) belirlenmesi

Soru 93Soru →

Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) tarafından desteklenecek Ar-Ge projelerinin değerlendirilmesi amacıyla kurulan bir bilimsel komitede görevli $5$ bağımsız panelist ( $k=5$ ), sunulan $7$ farklı projeyi ( $N=7$ ) yenilikçilik potansiyellerine ve yapılabilirliklerine göre en iyiden en kötüye doğru $1$ 'den $7$ 'ye kadar sıralamıştır. Panelistlerin projeleri değerlendirme biçimleri arasındaki genel uyumu (korelasyonu) ölçmek için Kendall Uyuşum (Concordance) Katsayısı ( $W$ ) kullanılmıştır.

Buna göre, elde edilecek katsayı ve hipotez testi süreci ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hesaplanan

W

katsayısı

[0, 1]

aralığında değer alır ve katsayının istatistiksel anlamlılığı, serbestlik derecesi

6

olan Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı kullanılarak test edilebilir.

Panelistlerin projeleri sıralamaları arasında ters yönlü mükemmel bir ilişki (tam bir zıtlık) olması durumunda,

W

katsayısı

-1

değerini alır.

Panelistler birbirinden bağımsız farklı uzmanlar olduğu için, sıralamalar arasındaki uyum düzeyi Friedman testi yerine Kruskal-Wallis H istatistiği üzerinden test edilmelidir.

Panelistlerin değerlendirme esnasında birden fazla projeye aynı sırayı vermesi (bağlı gözlem) durumunda

W

katsayısı hesaplanamaz, verilerin kategorik hale getirilmesi zorunludur.

W

katsayısının kullanılabilmesi için, projeler ile panelistler arasındaki ilişkinin simetrik olması şarttır; çapraz tablolar kare şeklinde değilse Kendall Tau-c katsayısı tercih edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan $W$ katsayısı $[0, 1]$ aralığında değer alır ve katsayının istatistiksel anlamlılığı, serbestlik derecesi $6$ olan Ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımı kullanılarak test edilebilir.

Cevap

Doğru ifade, W katsayısının 0 ile 1 aralığında değer aldığını ve istatistiksel anlamlılığının N-1 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı ile test edilebileceğini belirten seçenektir.

Kendall W katsayısı yapısı gereği yalnızca

0

ile

1

arasında değerler alan bir uyum ölçütüdür. Ayrıca nesne sayısı (

N

) 7 ve daha büyük olduğunda, uyumun şansa bağlı olup olmadığını (istatistiksel anlamlılığı) test etmek için

k(N-1)W

formülü ile hesaplanan ve

N-1

serbestlik derecesine sahip Ki-kare (

\chi^2

) yaklaşımı kullanılır. Bu senaryoda

N=7

olduğu için serbestlik derecesi

7-1=6

olan Ki-kare dağılımı uygundur.

Adım Adım Çözüm

1

Kendall W katsayısının tanım kümesini belirlemek.

W

katsayısı daima

0 \leq W \leq 1

aralığında değer alır.

İkiden fazla (

k > 2

) gözlemcinin sıralamaları arasında 'tam zıtlık' (herkesin diğeriyle ters yönde olması) matematiksel olarak olanaksızdır. Bu yüzden katsayı asla negatif olmaz.

2

Katsayının anlamlılık testinde hangi dağılımın kullanıldığını tespit etmek.

Büyük örneklemlerde (

N \geq 7

) test istatistiği Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar.

W

katsayısının sıfırdan anlamlı derecede farklı olup olmadığını sınamak için

X^2 = k(N-1)W

istatistiği hesaplanır ve bu değer

\chi^2

tablosu ile karşılaştırılır.

3

Ki-kare testi için serbestlik derecesini (sd) hesaplamak.

Serbestlik derecesi =

N - 1 = 7 - 1 = 6

'dır.

Kendall W katsayısının anlamlılık testinde serbestlik derecesi hakem sayısına (

k

) değil, değerlendirilen nesne/proje sayısına (

N

) bağlıdır.

Anahtar Kavram

Kendall Uyuşum (Concordance) Katsayısı Özellikleri ve Anlamlılık Testi

Soru 94Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) araştırmacısı, iş yerlerinin "Tehlike Sınıfı" (Az Tehlikeli, Tehlikeli, Çok Tehlikeli) ile son bir yıldaki "İş Kazası Sıklığı" (Düşük, Orta, Yüksek, Çok Yüksek) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla kapsamlı bir çalışma yürütmüştür. Araştırmacı, elde ettiği $3 \times 4$ boyutundaki kontenjans tablosu üzerinden ki-kare ( $\chi^2$ ) bağımsızlık testini uygulamış ve iki değişken arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki bulmuştur. Ardından, bulunan bu ilişkinin gücünü (derecesini) ölçmek için Fi (Phi) katsayısını kullanmaya karar vermiştir.

Bu araştırmacının izlediği istatistiksel yöntem ve ilişki ölçüsü seçimi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Fi (Phi) katsayısı yalnızca

2 \times 2

boyutundaki kontenjans tabloları için uygun olduğundan bu seçim hatalıdır; araştırmacı

3 \times 4

boyutundaki tablosu için Cramer's V katsayısını tercih etmelidir.

Araştırmacının seçimi doğrudur; çünkü her iki değişken de kategorik veri yapısında olduğunda, tablo boyutundan bağımsız olarak daima Fi (Phi) katsayısı kullanılabilir.

Araştırmacının seçimi doğrudur; ancak Fi katsayısının hesaplanan değeri hiçbir zaman tam

1

'e ulaşamayacağı için, yüksek çıkan sonuçlar mükemmel ilişki olarak yorumlanmamalıdır.

Fi katsayısı asimetrik bir ilişki ölçüsü olduğundan; araştırmacının analize başlamadan önce değişkenlerden hangisinin bağımlı, hangisinin bağımsız değişken olduğuna karar vermesi gerekir.

Araştırmacının seçimi hatalıdır; elde edilen tablo tam kare formunda (

3 \times 3

veya

4 \times 4

) olmadığı için ilişki düzeyi Fi katsayısı yerine Kendall Tau-b katsayısı ile hesaplanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fi (Phi) katsayısı yalnızca $2 \times 2$ boyutundaki kontenjans tabloları için uygun olduğundan bu seçim hatalıdır; araştırmacı $3 \times 4$ boyutundaki tablosu için Cramer's V katsayısını tercih etmelidir.

Cevap

Araştırmacının Fi katsayısı seçimi hatalıdır; çünkü bu katsayı sadece 2x2 boyutundaki tablolar için uygundur. 3x4 boyutundaki tabloda Cramer's V katsayısı kullanılmalıdır.

Fi (Phi) katsayısı, hesaplanış formülü (

\sqrt{\chi^2/n}

) gereği yalnızca iki satır ve iki sütundan oluşan (

2 \times 2

) kontenjans tablolarında değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü ve şiddetini belirlemek için kullanılabilir. Satır veya sütun sayısının 2'den fazla olduğu tablolarda (örneğin sorudaki

3 \times 4

tablosu) katsayı 1'den büyük çıkabileceği için istatistiksel olarak anlamsızlaşır. Bu tür daha büyük boyutlu tablolarda ki-kare temelli uygun bir ilişki ölçüsü olarak, serbestlik derecesi düzeltmesini içeren Cramer's V katsayısı kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

İncelenen verinin özelliklerinin ve çapraz tablonun boyutunun belirlenmesi.

Araştırmacı 3 kategorili bir değişken ile 4 kategorili bir değişkeni çaprazlamış ve

3 \times 4

boyutunda bir kontenjans tablosu elde etmiştir.

Kategorik verilerde ilişki ölçüsünün seçimi, doğrudan oluşturulan çapraz tablonun satır (r) ve sütun (c) sayısına bağlıdır.

2

Fi (Phi) katsayısının kullanım koşullarının değerlendirilmesi.

Fi katsayısı (

\phi

), yalnızca her iki değişkenin de ikişer kategoriye sahip olduğu

2 \times 2

boyutundaki tablolarda ilişki ölçmek için tasarlanmıştır.

2 \times 2

'den büyük tablolarda Fi katsayısının üst sınırı

1

'i aşabileceği için katsayının yorumlanması istatistiksel olarak anlamsızlaşır.

3

Tablo boyutuna uygun doğru ki-kare tabanlı ilişki ölçüsünün belirlenmesi.

Satır veya sütun sayısının 2'den büyük olduğu (

3 \times 4

gibi) tablolarda ilişkinin derecesini belirlemek için Cramer's V katsayısı (veya Kontenjans Katsayısı) seçilmelidir.

Cramer's V, tablo boyutunu (satır veya sütun sayısının minimum olanını) formülüne entegre ederek katsayının her zaman

0

ile

1

arasında değer almasını sağlar.

Anahtar Kavram

Kategorik veri analizinde tablo boyutuna göre uygun parametrik olmayan ilişki ölçüsünün (Fi, Cramer's V, Kontenjans) doğru seçimi.

Soru 95Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, ilköğretim öğrencilerinin "Matematik Kaygısı" (Çok Düşük, Düşük, Orta, Yüksek, Çok Yüksek olmak üzere 5 sıralı kategori) ile "Haftalık Soru Çözme Sıklığı" (Hiç, Nadiren, Bazen, Sık, Çok Sık, Her Gün olmak üzere 6 sıralı kategori) değişkenleri arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Veri setinde aynı kategorik yanıtlara yüksek oranda yığılmalar olduğu (çok sayıda bağlı gözlem bulunduğu) saptanmıştır.

Araştırmacı, hesaplayacağı istatistiksel korelasyon katsayısının, değişkenler arasında mükemmel bir ters veya tam bir aynı yönlü ilişki olması durumunda matematiksel olarak kesinlikle $-1$ veya $+1$ değerini alabilmesini istemektedir.

Buna göre, veri yapısı ve araştırmacının amacı bağlamında aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Veriler

5 \times 6

boyutlarında asimetrik (dikdörtgen) bir çapraz tablo oluşturduğundan, Kendall Tau-b katsayısı mükemmel ilişki durumunda dahi

\pm 1

sınırlarına ulaşamaz; bu nedenle amaca uygun olarak Kendall Tau-c katsayısı kullanılmalıdır.

Bağlı gözlemlerin varlığı nedeniyle düzeltme faktörü içeren Kendall Tau-b katsayısı kullanılmalıdır; çünkü Tau-b, tablo boyutundan bağımsız olarak tüm sıralı verilerde

\pm 1

aralığında tam değer üretebilen tek istatistiktir.

İki sıralı değişken arasında çalışıldığından ve tam

\pm 1

sınırlarına ulaşılmak istendiğinden, ilişki yönünü simetrik olarak değerlendiren Somers' d istatistiği tercih edilmelidir.

Tablo boyutları kare olmadığı için Kendall'ın Tau katsayılarının hiçbiri

\pm 1

değerini alamaz; bu yüzden asimetrik tablolarda mükemmel ilişkiyi ölçmek için Cramer's V katsayısı kullanılmalıdır.

Veri setinde çok sayıda bağlı gözlem bulunması, sıralama farklarına dayalı ölçülerin varyansını bozacağı için Kendall Tau varyantları yerine bağlı gözlemler için daha dirençli olan Spearman Sıra Korelasyon katsayısı hesaplanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Veriler $5 \times 6$ boyutlarında asimetrik (dikdörtgen) bir çapraz tablo oluşturduğundan, Kendall Tau-b katsayısı mükemmel ilişki durumunda dahi $\pm 1$ sınırlarına ulaşamaz; bu nedenle amaca uygun olarak Kendall Tau-c katsayısı kullanılmalıdır.

Cevap

Araştırmacının

5 \times 6

boyutlarında asimetrik (dikdörtgen) bir tablo yapısına sahip olması ve katsayının mükemmel ilişki durumunda

\pm 1

aralığına tam ulaşmasını istemesi nedeniyle Kendall Tau-c katsayısını kullanması gerektiğini belirten ifadedir.

Doğru yaklaşımı sunan ifade, katsayı seçiminin tablonun geometrisine uygun yapıldığı ifadedir. Değişkenlerin kategori sayıları

5

ve

6

olduğu için veriler kare olmayan (dikdörtgen) bir yapıdadır. Kendall Tau-b katsayısı, hesaplama formülündeki payda yapısı gereği yalnızca

R = C

olan kare tablolarda mükemmel korelasyon durumunda

\pm 1

sınırlarına ulaşabilir. Dikdörtgen (

R \neq C

) bir yapıda mükemmel bir ilişki söz konusu olsa bile Tau-b

+1

değerini veremez. Araştırmacı tam olarak

\pm 1

aralığında salınım yapabilen bir katsayı aradığı için, asimetrik tablolar için düzeltilmiş olan Kendall Tau-c katsayısını tercih etmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin ölçüm düzeyini ve tablo boyutlarını analiz et.

Matematik kaygısı 5 kategori, soru çözme sıklığı 6 kategoridir. Bu durum

5 \times 6

boyutlarında dikdörtgen (asimetrik) bir çapraz tablo oluşturur.

Uygulanacak test istatistiğinin (Tau-b veya Tau-c) seçimi doğrudan tablonun kare mi dikdörtgen mi olduğuna bağlıdır.

2

Katsayıların sınır değer (

-1, +1

) alma koşullarını değerlendir.

Kendall Tau-b katsayısı yalnızca satır ve sütun sayılarının eşit olduğu (

R = C

) kare tablolarda mükemmel ilişki durumunda

\pm 1

alabilir. Dikdörtgen tablolarda bu sınırlara ulaşamaz.

Araştırmacının temel şartı, mükemmel ilişki olduğunda katsayının kesinlikle

\pm 1

değerini alabilmesidir.

3

Uygun olan istatistiksel yöntemi belirle.

Bağlı gözlemlerin bulunduğu ve satır/sütun sayısının eşit olmadığı durumlarda mükemmel ilişki için sınır değerleri

\pm 1

olabilen katsayı Kendall Tau-c (Stuart's Tau-c) katsayısıdır.

Kendall Tau-c, Tau-b'nin asimetrik tablolar için sınır değer kısıtlamasını aşacak şekilde tasarlanmış varyantıdır.

Anahtar Kavram

Sıralı değişkenlerde çapraz tablo boyutlarının Kendall Tau katsayılarının (b ve c) alabileceği maksimum değerler üzerindeki etkisi.

Soru 96Soru →

Bir yerel yönetim araştırmacısı, "Vatandaş Başvuru Kanalları" ( $4$ kategori: CİMER, Beyaz Masa, Mobil Uygulama, Çağrı Merkezi) ile bu başvuruların yönlendirildiği "Hizmet Birimleri" ( $6$ farklı daire başkanlığı) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Toplam $n = 200$ başvurudan oluşan rastgele bir örneklem için bağımsızlık testi yapılmış ve Pearson Ki-kare istatistiği $\chi^2 = 384$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacının bu verilere dayanarak kullanması gereken ilişki ölçüsü ve yapacağı kuramsal değerlendirmelerle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cramer's V katsayısı

0.80

'dir. Tablo boyutları

2 \times 2

'den büyük olduğu için Fi (

\phi

) katsayısı

1

'i aşabilir; bu nedenle ilişkinin gücünü yorumlamak için Cramer's V kullanılmalıdır.

Hesaplama sonucunda karekök alınmadan ilişki katsayısı

0.64

bulunur. Kontenjans katsayısının (C) her türlü çapraz tabloda üst sınırı tam olarak

1

olduğu için, bu veri setinde C katsayısı da geçerli bir alternatiftir.

Veri seti için Fi (

\phi

) katsayısı yaklaşık

1.38

bulunduğundan değişkenler arasında mükemmele yakın bir ilişki vardır ve Cramer's V katsayısının hesaplanmasına gerek kalmamıştır.

Cramer's V katsayısı

0.80

'dir ancak değişkenler arasında belirgin bir bağımlı/bağımsız ayrımı yapılabildiği için, bu nominal veri setinde asimetrik bir ölçü olan Somers' d istatistiği tercih edilmelidir.

Tablo kare matris formunda olmadığı için (

4 \times 6

), Cramer's V katsayısı yerine özellikle dikdörtgen matrisler için uygun olan Kendall Tau-c katsayısının kullanılması istatistiksel bir zorunluluktur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cramer's V katsayısı $0.80$ 'dir. Tablo boyutları $2 \times 2$ 'den büyük olduğu için Fi ( $\phi$ ) katsayısı $1$ 'i aşabilir; bu nedenle ilişkinin gücünü yorumlamak için Cramer's V kullanılmalıdır.

Cevap

Cramer's V katsayısının 0.80 olarak doğru hesaplandığı ve Fi katsayısının 1'i aşma riski nedeniyle Cramer's V'nin zorunlu olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Cramer's V katsayısı formülü

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \times \min(r-1, c-1)}}

şeklindedir. Verilen

4 \times 6

boyutu ve

n=200

için işlem yapıldığında

V = \sqrt{384 / 600} = 0.80

bulunur. Boyutu

2 \times 2

'den büyük olan tablolarda Fi (

\phi

) katsayısı hesaplanmak istendiğinde değer

1

'den büyük çıkabilir; bu nedenle ilişkinin gücünü standart bir

0-1

aralığında yorumlayabilmek için Cramer's V katsayısının kullanılması bilimsel olarak zorunludur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesine dayalı düzeltme faktörünün bulunması.

k = \min(r, c)

kuralına göre

r=4

ve

c=6

için minimum değer

4

'tür. Düzeltme faktörü:

k-1 = 4-1 = 3

.

Cramer's V formülündeki payda için tablonun en küçük boyutunun bir eksiği alınmalıdır.

2

Cramer's V formülünün uygulanması.

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}} = \sqrt{\frac{384}{200 \times 3}} = \sqrt{\frac{384}{600}}

.

Ki-kare test istatistiği ve örneklem büyüklüğü kullanılarak ilişkinin gücü standartlaştırılır.

3

İşlemin sonlandırılması.

V = \sqrt{0.64} = 0.80

.

Karekök alma işlemi yapılarak nihai katsayı değeri bulunur.

4

Diğer katsayılarla kuramsal karşılaştırma.

Fi katsayısı

\phi = \sqrt{384/200} \approx 1.38

çıkar. Bu durum Fi'nin yalnızca

2 \times 2

tablolar için uygun olduğunu gösterir.

Büyük boyutlu tablolarda Fi (

\phi

)

1

'i aşabileceği için Cramer's V istatistiksel açıdan en doğru alternatiftir.

Anahtar Kavram

Cramer's V Katsayısı

Soru 97Soru →

Bir finansal analist, banka müşterilerinin sahip oldukları 'hesap türleri' ( $5$ kategori) ile çalıştıkları 'sektör grupları' ( $10$ kategori) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Rastgele seçilen $1000$ müşterinin verisiyle oluşturulan $5 \times 10$ boyutlarındaki kontenjans tablosu (çapraz tablo) üzerinden yapılan bağımsızlık analizi sonucunda, ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği $360$ olarak bulunmuştur.

Verilerin nominal (sınıflayıcı) ölçekte olduğu göz önüne alındığında, bu iki değişken arasındaki ilişkinin derecesini belirlemek için kullanılması gereken en uygun ölçü ve bu ölçünün değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Fi (

\phi

) Katsayısı -

0.36

Cramer's V Katsayısı -

0.30

Fi (

\phi

) Katsayısı -

0.60

Cramer's V Katsayısı -

0.09

Cramer's V Katsayısı -

0.20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cramer's V Katsayısı - $0.30$

Cevap

Doğru katsayı Cramer's V Katsayısıdır ve değeri

0.30

'dur.

Verilen değişkenlerin her ikisi de nominal (sınıflayıcı) ölçekte olduğundan ve oluşturulan çapraz tablonun boyutları

2 \times 2

'den büyük (

5 \times 10

) olduğundan, değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü belirlemek için en uygun ölçü Cramer's V katsayısıdır. Fi (

\phi

) katsayısı bu tablo için kullanılamaz.
Cramer's V katsayısının hesaplanmasında formül

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N(k-1)}}

şeklindedir. Burada

k

, satır ve sütun sayılarından küçük olanı temsil eder; yani

k = \min(5, 10) = 5

'tir.
Değerleri formülde yerine koyduğumuzda:

V = \sqrt{\frac{360}{1000 \times (5-1)}} = \sqrt{\frac{360}{4000}} = \sqrt{0.09} = 0.30

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenlerin tanımlanması ve uygun katsayının seçilmesi

Değişkenler nominal ve tablo boyutu

5 \times 10

olduğu için Cramer's V katsayısı seçilir.

Fi (

\phi

) katsayısı yalnızca

2 \times 2

tablolar için geçerlidir; daha büyük tablolarda Cramer's V kullanılır.

2

Cramer's V formülü için 'k' değerinin belirlenmesi

k = \min(\text{satır}, \text{sütun}) = \min(5, 10) = 5

olarak bulunur.

Formüldeki

k

, tablonun satır ve sütun boyutlarından en küçük olanıdır.

3

Serbestlik derecesi çarpanının

(k-1)

hesaplanması

k - 1 = 5 - 1 = 4

elde edilir.

Cramer's V formülünün paydasında

(k-1)

çarpanı yer alır.

4

Formülün paydasının hesaplanması

N \times (k - 1) = 1000 \times 4 = 4000

bulunur.

Örneklem hacmi (

N

) ile

(k-1)

değeri çarpılır.

5

İstatistiğin hesaplanması ve karekökünün alınması

V = \sqrt{360 / 4000} = \sqrt{0.09} = 0.30

olarak hesaplanır.

Ki-kare değeri paydaya bölünerek sonucun mutlaka karekökü alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Cramer's V Katsayısı Hesaplaması ve Fi Katsayısı ile Farkı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 98Soru →

Milli Eğitim Bakanlığı'nda görevli bir araştırmacı, öğretmenlerin 'Mezun Oldukları Fakülte Türü' ile 'Atandıkları Coğrafi Bölge' değişkenleri arasındaki ilişkinin düzeyini incelemektedir. Araştırma kapsamında rastgele seçilen $400$ öğretmene ait verilerle oluşturulan çapraz tablo üzerinden yapılan ki-kare bağımsızlık testi sonucunda test istatistiği $\chi^2 = 300$ ve serbestlik derecesi $sd = 12$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, çapraz tablodaki satır ve sütun değişkenlerinin kategori sayıları arasındaki farkın mutlak değerce $1$ olduğunu belirtmiştir.

Buna göre, bu iki değişken arasındaki ilişkiyi ölçmek için hesaplanması gereken Cramer's V katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

0.25

0.50

0.65

0.75

0.87

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0.50$

Cevap

Cramer's V katsayısının doğru değeri

0.50

'dir.

Cramer's V katsayısı hesaplanırken formül

V = \sqrt{\chi^2 / (n \cdot \min(r-1, c-1))}

şeklindedir. Verilen

sd = (r-1)(c-1) = 12

ve mutlak boyut farkının 1 olmasından yola çıkıldığında, çarpanlar 4 ve 3 olarak bulunur; dolayısıyla

\min(r-1, c-1) = 3

'tür. Değerler yerine konduğunda

\sqrt{300 / (400 \cdot 3)} = \sqrt{300 / 1200} = \sqrt{0.25} = 0.50

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesi ve kategori sayısı kısıtından yararlanarak tablonun satır (

r

) ve sütun (

c

) sayılarını tespit et.

Serbestlik derecesi formülü

sd = (r-1)(c-1) = 12

'dir. Kategori sayıları farkı

1

ise

|r-c| = 1

olur. Bu durumda ardışık iki sayının çarpımının

12

olması gerekir. Bu sayılar

4

ve

3

'tür. Yani tablo

5 \times 4

veya

4 \times 5

boyutlarındadır.

Cramer's V formülünde tablonun boyutlarına bağlı olan

\min(r-1, c-1)

değerine ihtiyaç vardır.

2

Cramer's V formülündeki boyut katsayısını (

k

) belirle.

k = \min(r-1, c-1) = \min(4, 3) = 3

olarak bulunur.

Tablonun en küçük boyutunun bir eksiği, ilişkinin

0

ile

1

arasında standardize edilmesini sağlar.

3

Cramer's V katsayısı formülünü uygula.

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(r-1, c-1)}} = \sqrt{\frac{300}{400 \cdot 3}}

Değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü hesaplamak için ki-kare test istatistiği, örneklem hacmi ve tablo boyutları ana formülde yerine konulur.

4

Matematiksel işlemleri tamamla ve katsayıyı bul.

V = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{0.25} = 0.50

olarak hesaplanır.

Karekök alma işlemi, katsayının standart aralığa getirilmesi için son ve zorunlu adımdır.

Anahtar Kavram

Cramer's V Katsayısı Hesaplama ve Tablo Boyutları İlişkisi

Soru 99Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, 5 farklı lisenin 'Öğretmen Başına Düşen Öğrenci Sayısı' ( $X$ ) ile 'Üniversiteye Yerleştirme Oranı' ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla aşağıdaki verileri elde etmiştir:

Lise	$X$ (Öğrenci/Öğretmen)	$Y$ (Yerleştirme Oranı - %)
L1	15	60
L2	22	50
L3	22	65
L4	25	40
L5	30	40

Buna göre, bu iki değişken arasındaki Spearman sıra korelasyon katsayısı ( $r_s$ ) kaçtır?

*(Not: Eşit değerler için ortalama sıra numarası kullanılacak olup, bağlı gözlem düzeltme faktörü hesaplamaya dahil edilmeyecektir.)*

-0,60

-0,70

0,40

0,70

0,80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-0,70$

Cevap

İki değişken arasındaki Spearman sıra korelasyon katsayısı

-0,70

olarak bulunmalıdır.

Verilen iki değişkende de bağlı gözlemler (eşit değerler) bulunmaktadır. İlk adımda sıralama yapılırken X değişkeni için 22 değerleri ortalama olarak 2,5; Y değişkeni için 40 değerleri ortalama olarak 1,5 sıra numarası alır. Gözlem çiftlerinin sıra farkları (d) hesaplandıktan sonra karesi alınıp toplanırsa (9 + 0,25 + 6,25 + 6,25 + 12,25) sonuç 34 olur.

r_s = 1 - \frac{6 \times 34}{5 \times 24}

eşitliğinden

r_s = -0,70

katsayısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkenindeki verileri küçükten büyüğe sıralayarak eşit değerler için ortalama sıra numaralarını belirleyin.

Sıralamalar (

R_X

): 15 -> 1; 22 ve 22 değerleri 2. ve 3. sırayı paylaştığı için (2+3)/2 = 2,5; 25 -> 4; 30 -> 5.

Bağlı gözlemler kendi aralarında ardışık sıraları paylaşır ve bu sıraların aritmetik ortalaması her birine eşit olarak atanır.

2

Y

değişkenindeki verileri küçükten büyüğe sıralayarak eşit değerler için ortalama sıra numaralarını belirleyin.

Sıralamalar (

R_Y

): 40 ve 40 değerleri 1. ve 2. sırayı paylaştığı için (1+2)/2 = 1,5; 50 -> 3; 60 -> 4; 65 -> 5.

Y

verileri için de aynı ortalama sıra kuralı geçerlidir.

3

Her bir lise için sıra farklarını (

d = R_X - R_Y

) ve farkların karelerini (

d^2

) hesaplayıp toplayın.

L1:

-3 \implies 9

; L2:

-0,5 \implies 0,25

; L3:

-2,5 \implies 6,25

; L4:

2,5 \implies 6,25

; L5:

3,5 \implies 12,25

. Toplam

\sum d^2 = 34

.

Formülde kullanılmak üzere her gözlem çiftinin sıralama farklarının karelerinin toplamına ihtiyaç vardır.

4

Elde edilen toplamı Spearman sıra korelasyon katsayısı formülünde (

r_s = 1 - \frac{6 \sum d^2}{n(n^2 - 1)}

) yerine koyarak sonucu hesaplayın.

r_s = 1 - \frac{6 \times 34}{5(25 - 1)} = 1 - \frac{204}{120} = 1 - 1,70 = -0,70

.

Formül ile değişkenler arasındaki doğrusal olmayan ilişkinin yönü ve gücü saptanmış olur.

Anahtar Kavram

Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı Hesaplama ve Bağlı Gözlemler

Soru 100Soru →

Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) müfettişleri, işletmelerin faaliyet gösterdiği 'Sektör Tipi' (İnşaat, Tekstil, Hizmet, Tarım olmak üzere $4$ kategori) ile tespit edilen 'Mevzuata Aykırılık Türü' (Kayıt dışı istihdam, Eksik prim bildirimi, İş güvenliği ihlali olmak üzere $3$ kategori) değişkenleri arasındaki ilişkiyi araştırmak üzere rastgele seçilen $N = 252$ işletmeyi incelemiştir. Yapılan analiz sonucunda bu iki değişken arasındaki ilişkiye ait Pearson Ki-kare test istatistiği $\chi^2 = 48$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, incelenen değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini gösteren Kontenjans Katsayısı ( $C$ ) ve bu tablo boyutları için katsayının alabileceği teorik üst sınır ( $C_{max}$ ) değerleri aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

0,400

ve

0,816

0,400

ve

1,000

0,400

ve

0,866

0,160

ve

0,816

0,160

ve

1,000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,400$ ve $0,816$

Cevap

Kontenjans Katsayısı (

C

)

0,400

ve teorik üst sınır (

C_{max}

)

0,816

değerlerini içeren seçenektir.

Verilen bilgiler ışığında Kontenjans Katsayısı, ki-kare değerinin toplam gözlem sayısı ile ki-kare değerinin toplamına bölümünün karekökü ile hesaplanır (

\sqrt{48/300} = 0,400

). Katsayının teorik üst sınırı ise satır ve sütun sayısından küçük olanı (

m=3

) baz alır ve

\sqrt{(m-1)/m}

formülünden

\sqrt{2/3} \approx 0,816

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kontenjans Katsayısı (

C

) formülünü uygulamak.

C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + N}} = \sqrt{\frac{48}{48 + 252}} = \sqrt{\frac{48}{300}} = \sqrt{0,16} = 0,400

bulunur.

Tablodaki ki-kare değerini ve örneklem hacmini kullanarak kontenjans katsayısını hesaplamak için formül gereklidir.

2

Kontenjans tablosunun minimum boyut parametresini (

m

) belirlemek.

Tablo

4

satır (Sektör Tipi) ve

3

sütundan (Aykırılık Türü) oluşmaktadır.

m = \min(r, c) = \min(4, 3) = 3

olarak belirlenir.

Katsayının alabileceği maksimum teorik değer (

C_{max}

), satır veya sütun sayısının en küçüğü olan

m

değerine bağlıdır.

3

Katsayının teorik üst sınırını (

C_{max}

) hesaplamak.

C_{max} = \sqrt{\frac{m-1}{m}} = \sqrt{\frac{3-1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx \sqrt{0,6667} \approx 0,816

elde edilir.

Kontenjans katsayısı kare olmayan tablolarda tam

1

değerini alamaz; üst sınır, bulunan

m

değerine göre bu formülle hesaplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Kontenjans Katsayısı (

C

) ve Üst Sınırı

Parametrik Olmayan İlişki Ölçüleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram