Tek Örneklem Testleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir kamu kurumunda verimlilik analizi yapan bir uzman, $14$ farklı birimden elde edilen performans puanlarını incelemektedir. Verilerin normal dağılım varsayımını karşılayıp karşılamadığını belirleyerek hangi hipotez testini kullanacağına karar vermek isteyen uzman, Shapiro-Wilk ( $W$ ) testini uygulamaya karar vermiştir. Bu testin teknik özellikleri ve uygulama süreci dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Küçük örneklem hacimlerinde (

n < 50

), Shapiro-Wilk testi normallikten sapmaları belirlemede Kolmogorov-Smirnov testine göre genellikle daha yüksek bir istatistiksel güce sahiptir.

Hesaplanan

p

değerinin anlamlılık düzeyinden (

\alpha = 0,05

) küçük olması, verilerin normal dağılım gösterdiğine dair yokluk hipotezinin kabul edilmesi gerektiğini gösterir.

Shapiro-Wilk test istatistiği (

W

),

-1

ile

+1

arasında değerler alan ve verilerin sadece basıklık (kurtosis) düzeyini ölçen bir değerdir.

Shapiro-Wilk testinde yokluk hipotezi (

H_0

), verilerin çekildiği kitle dağılımının normal dağılıma uygun olmadığını ifade edecek şekilde kurulur.

Shapiro-Wilk testi sadece çok büyük örneklemlerde (

n > 1000

) güvenilir sonuçlar verdiği için,

14

gözlemli bu çalışmada Kolmogorov-Smirnov testi tercih edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Küçük örneklem hacimlerinde ( $n < 50$ ), Shapiro-Wilk testi normallikten sapmaları belirlemede Kolmogorov-Smirnov testine göre genellikle daha yüksek bir istatistiksel güce sahiptir.

Cevap

Küçük örneklem hacimlerinde Shapiro-Wilk testinin Kolmogorov-Smirnov testine göre normallikten sapmaları belirlemede daha yüksek güce sahip olduğu ifadesi doğrudur.

Shapiro-Wilk testi, normallik varsayımını test etmek için geliştirilmiş ve özellikle küçük örneklem hacimlerinde (

n < 50

) diğer uyum iyiliği testlerine (Kolmogorov-Smirnov gibi) kıyasla normallikten küçük sapmaları bile yakalayabilen (yüksek güçlü) bir testtir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler normal dağılım gösterir;

H_1

: Veriler normal dağılım göstermez.

Normallik testlerinde temel amaç, mevcut dağılımın teorik normal dağılımdan anlamlı bir fark gösterip göstermediğini test etmektir.

2

Örneklem büyüklüğüne göre test seçimi

n=14

için Shapiro-Wilk testi en uygun seçenektir.

Shapiro-Wilk testi, küçük örneklemlerde (

n < 50

) normallikten sapmaları yakalamada Kolmogorov-Smirnov ve Lilliefors testlerinden daha duyarlıdır (istatistiksel gücü yüksektir).

3

Karar kuralının belirlenmesi

p < 0,05 \Rightarrow H_0

reddedilir;

p > 0,05 \Rightarrow H_0

reddedilemez.

Hesaplanan

p

değeri, yokluk hipotezinin doğruluğu altında gözlenen verilerin elde edilme olasılığını verir; düşük

p

değeri sapmanın anlamlı olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Shapiro-Wilk Testinin Gücü ve Hipotez Yapısı

Daha Fazla Pratik

Shapiro-Wilk ve Kolmogorov-Smirnov testlerinin hangi örneklem büyüklüklerinde birbirlerine üstünlük sağladığını tekrar gözden geçirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 42Soru →

Bir Adalet Sarayı'ndaki Ağır Ceza Mahkemelerinde görülen davaların sonuçlanma sürelerinin medyan değerinin $20$ ay olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $8$ davanın sonuçlanma süreleri (ay cinsinden) aşağıda verilmiştir:

Dava No	Süre (Ay)
1	18
2	22
3	25
4	20
5	15
6	28
7	21
8	19

Buna göre, tek örneklem Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi kullanıldığında, pozitif farklara ait sıra sayıları toplamı ( $W^+$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

10,5

16,0

17,5

21,5

28,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17,5

Cevap

Pozitif farklara ait sıra sayıları toplamı 17,5'tir.

Verilen veri setinde hipotez değeri olan 20 çıkarıldığında elde edilen sıfır dışı farklar

\{-2, 2, 5, -5, 8, 1, -1\}

şeklindedir. Bu farkların mutlak değerleri

1, 1, 2, 2, 5, 5, 8

olarak sıralanır. Bağlı gözlemler dikkate alındığında sıra numaraları

1,5 (1 \text{'ler için}), 3,5 (2 \text{'ler için}), 5,5 (5 \text{'ler için})

ve

7 (8 \text{ için})

olur. Pozitif işaretli farklar olan

+1, +2, +5, +8

değerlerine karşılık gelen sıraların toplamı

1,5 + 3,5 + 5,5 + 7 = 17,5

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlemlerden hipotezdeki medyan değerini (

M_0 = 20

) çıkararak farkları (

D_i

) hesaplayın.

Farklar:

18-20 = -2

,

22-20 = +2

,

25-20 = +5

,

20-20 = 0

,

15-20 = -5

,

28-20 = +8

,

21-20 = +1

,

19-20 = -1

.

Wilcoxon testi farkların büyüklüğü ve yönü üzerine kuruludur.

2

Farkı sıfır olan gözlemleri eleyin ve kalan gözlem sayısını (

n'

) belirleyin.

Sıfır olan 4. dava elenir. Kalan farklar:

-2, +2, +5, -5, +8, +1, -1

. Yeni örneklem hacmi

n'=7

.

Wilcoxon testinde medyan ile aynı değere sahip veriler analize dahil edilmez.

3

Kalan farkların mutlak değerlerini (

|D_i|

) küçükten büyüğe sıralayın ve sıra numaralarını verin.

Mutlak farklar:

1, 1, 2, 2, 5, 5, 8

. Sıra numaraları (bağlı gözlemler için ortalama):

1,5; 1,5; 3,5; 3,5; 5,5; 5,5; 7

.

Bağlı gözlemlerde (aynı mutlak farklar), o değerlerin alacağı sıraların aritmetik ortalaması atanır.

4

Pozitif farklara (

+1, +2, +5, +8

) karşılık gelen sıra numaralarını toplayarak

W^+

değerini bulun.

W^+ = 1,5 (+1 \text{ için}) + 3,5 (+2 \text{ için}) + 5,5 (+5 \text{ için}) + 7 (+8 \text{ için}) = 17,5

.

Test istatistiği pozitif veya negatif işaretli sıraların toplamından elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi Hesaplaması

Soru 43Soru →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, bölgedeki kan grubu dağılımının ülke genelindeki oranlarla ( $A: \%30$ , $B: \%20$ , $AB: \%10$ , $0: \%40$ ) uyumlu olup olmadığını test etmek amacıyla bir araştırma yürütmektedir. Rastgele seçilen $100$ kişilik bir örneklem grubunda elde edilen gözlenen frekanslar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Kan Grubu	A	B	AB	0
Gözlenen Frekans ( $O_i$ )	36	15	12	37

Bu verilere göre, Ki-Kare uyum iyiliği testi için hesaplanan test istatistiği ( $\chi^2$ ) değeri kaçtır?

3,075

3,243

0,075

1,225

3,841

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3,075$

Cevap

Hesaplanan Ki-Kare test istatistiği değeri

3,075

olup doğru cevap bu değeri içeren seçenektir.

Beklenen frekanslar hesaplandığında (

30, 20, 10, 40

) ve Ki-Kare formülü [

\sum (O_i-E_i)^2 / E_i

] uygulandığında, her kategori için sırasıyla

1,2

,

1,25

,

0,4

ve

0,225

değerleri elde edilir. Bunların toplamı olan

3,075

doğru test istatistiğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_i

) hesaplanması

E_A = 100 \times 0,30 = 30

,

E_B = 100 \times 0,20 = 20

,

E_{AB} = 100 \times 0,10 = 10

,

E_0 = 100 \times 0,40 = 40

Uyum iyiliği testinde gözlenen değerlerin karşılaştırılacağı teorik (beklenen) dağılım belirlenmelidir.

2

Varsayımların kontrol edilmesi

Tüm

E_i \geq 5

(30, 20, 10, 40)

Ki-Kare testinin geçerli olması için beklenen frekansların 5'ten küçük olmaması (veya %20'den fazlasının 5'ten küçük olmaması) gerekir.

3

Kategori bazlı Ki-Kare bileşenlerinin hesaplanması

A için:

(36-30)^2 / 30 = 36/30 = 1,2

; B için:

(15-20)^2 / 20 = 25/20 = 1,25

; AB için:

(12-10)^2 / 10 = 4/10 = 0,4

; 0 için:

(37-40)^2 / 40 = 9/40 = 0,225

\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

formülü her bir kategori için ayrı ayrı uygulanır.

4

Toplam Ki-Kare istatistiğinin bulunması

\chi^2 = 1,2 + 1,25 + 0,4 + 0,225 = 3,075

Tüm kategorilerin bileşenleri toplanarak genel test istatistiği elde edilir.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği

Soru 44Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim programının tamamlanma süresinin medyanının $40$ saat olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayımı test etmek amacıyla rastgele seçilen $12$ personelin eğitim tamamlama süreleri (saat cinsinden) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel No	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Süre (Saat)	42	38	40	45	35	40	48	41	39	44	40	43

Buna göre, Tek Örneklem İşaret Testi uygulanırken kullanılacak olan pozitif işaretlerin sayısı ( $S^+$ ) ve test için geçerli olan örneklem hacmi ( $n$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

S^+ = 6

ve

n = 9

S^+ = 6

ve

n = 12

S^+ = 9

ve

n = 12

S^+ = 3

ve

n = 9

S^+ = 6

ve

n = 6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $S^+ = 6$ ve $n = 9$

Cevap

Pozitif işaretlerin sayısı

S^+ = 6

ve örneklem hacmi

n = 9

olarak belirlenmelidir.

Verilen veri setinde medyan olan

40

değerinden büyük

6

adet gözlem bulunmaktadır. Medyana eşit olan

3

adet gözlem ise analiz dışı bırakıldığı için toplam

12

olan gözlem sayısı

9

'a düşer. Bu durumda

S^+ = 6

ve

n = 9

değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotez edilen medyan değerini belirle.

M_0 = 40

Testin temelini oluşturan karşılaştırma değeridir.

2

Gözlem değerlerini medyan ile karşılaştırarak işaretle.

42 (+), 38 (-), 40 (0), 45 (+), 35 (-), 40 (0), 48 (+), 41 (+), 39 (-), 44 (+), 40 (0), 43 (+)

Medyandan büyük olanlar (+), küçük olanlar (-) ve eşit olanlar (0) olarak sınıflanır.

3

Pozitif ve negatif işaretlerin sayılarını bul.

S^+ = 6

(42, 45, 48, 41, 44, 43) ve

S^- = 3

(38, 35, 39)

Test istatistiğinin hesaplanması için gerekli frekanslardır.

4

Sıfır farklarını çıkararak geçerli örneklem hacmini hesapla.

n = 12 - 3 = 9

İşaret testinde medyana eşit olan değerler analize dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Tek örneklem işaret testinde, medyana eşit olan gözlemler (sıfır farkları) örneklemden çıkarılır ve test kalan

n

değeri üzerinden yürütülür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 45Soru →

Bir kamu kurumu, vatandaşların yeni hayata geçirilen bir dijital hizmetten faydalanma durumlarını "Kullanıyor" veya "Kullanmıyor" şeklinde iki kategoride incelemektedir. Toplam $14$ kişilik bir örneklemden elde edilen veriler ışığında, hizmeti kullananların oranının kitle genelinde $0,50$ olup olmadığını test etmek için aşağıdaki parametrik olmayan testlerden hangisinin kullanılması en uygundur?

Binom Testi

Mann-Whitney U Testi

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi

Kruskal-Wallis H Testi

Friedman Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Binom Testi

Cevap

Küçük bir örneklemde (

n=14

) ve iki kategorili (dichotomous) bir veri setinde kitle oranının belirli bir değere eşitliğini test etmek için Binom Testi en uygun yöntemdir.

Verilen senaryoda veriler iki kategorilidir (dichotomous) ve örneklem hacmi küçüktür (

n < 25-30

). Bu koşullar altında kitle oranının test edilmesi için en temel ve uygun parametrik olmayan yöntem Binom testidir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını analiz etme

Veriler "Kullanıyor" ve "Kullanmıyor" şeklinde iki kategoriden oluşmaktadır (Nitel/İsimsel veri).

Test seçimi için verinin hangi ölçek düzeyinde toplandığını belirlemek gerekir.

2

Örneklem hacmini değerlendirme

n = 14

olduğu için örneklem hacmi küçüktür.

Örneklem hacmi, normal dağılım yaklaşımının (z-testi) mı yoksa doğrudan binom dağılımının mı kullanılacağını belirler.

3

Test amacını belirleme

Kitle oranının (

p

) belirli bir değere (

0,50

) eşit olup olmadığını test etmek.

İstatistiki analizin amacı uygun hipotez testini seçmek için kritiktir.

4

Uygun testi seçme

Binom Testi.

İki kategorili verilerde tek örneklem oran testinin parametrik olmayan karşılığı Binom testidir.

Anahtar Kavram

Binom testi, tek örneklemde iki kategorili (başarı/başarısızlık gibi) verilerin kitle oranına ilişkin varsayımları test etmek için kullanılır.

Soru 46Soru →

Bir kamu kurumu, işe alım sürecinde adaylara uygulanan yetkinlik sınavından elde edilen sürekli puanların normal dağılıma uygunluğunu test etmek istemektedir. Bu amaçla "Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi" kullanılmasına karar verilmiştir.

Buna göre, bu araştırma için kurulacak olan temel (sıfır) hipotez ( $H_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

Gözlenen puan dağılımı ile teorik normal dağılım arasında anlamlı bir fark yoktur.

Adayların sınav puanlarının ortalaması, kitle ortalamasına eşittir.

Gözlenen puan dağılımı, teorik normal dağılımdan anlamlı derecede farklıdır.

Puanların varyansı, belirlenen kitle varyansına eşittir.

Sınav puanları ile adayların kıdem süreleri arasında anlamlı bir ilişki yoktur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gözlenen puan dağılımı ile teorik normal dağılım arasında anlamlı bir fark yoktur.

Cevap

Gözlenen puan dağılımı ile teorik normal dağılım arasında anlamlı bir fark yoktur.

Tek örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, eldeki verilerin (gözlenen birikimli dağılım) belirli bir teorik dağılıma (bu soruda normal dağılım) uyup uymadığını test eden parametrik olmayan bir testtir. Bu tür uyum iyiliği testlerinde sıfır hipotezi (

H_0

), gözlenen ve beklenen dağılımlar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olmadığını ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Testin amacını belirleme

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi bir 'uyum iyiliği' (goodness-of-fit) testidir.

Bu test, bir örneklem dağılımının belirli bir teorik dağılıma (normal, üniform, vb.) uyup uymadığını kontrol eder.

2

Sıfır hipotezinin (

H_0

) mantığını kurma

H_0

: Dağılımlar arasında fark yoktur (Uyum vardır).

İstatistiksel testlerde sıfır hipotezi genellikle 'fark yoktur' veya 'etki yoktur' üzerine kurulur.

3

Hipotezi sözel olarak ifade etme

Gözlenen dağılım = Teorik dağılım.

Normal dağılıma uygunluk test edildiği için, gözlenen verilerin normal dağılımdan gelmediğine dair yeterli kanıt olmadığını varsayarız.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem K-S Testi Hipotez Yapısı

Daha Fazla Pratik

K-S testi sonuçları yorumlanırken p-değerinin anlamlılık düzeyinden (alfa) büyük olması durumunda normal dağılım varsayımının sağlandığı sonucuna varıldığını hatırlayınız.

Tahmini Süre:45s

Soru 47Soru →

Bir İl Tarım ve Orman Müdürlüğü, bölgesindeki çiftçilerin ektiği temel ürünlerin (buğday, arpa, mısır) dağılımının geçmiş yıllardaki $\%50$ buğday, $\%30$ arpa ve $\%20$ mısır olan genel oranlarla uyumlu olup olmadığını test etmek istemektedir. Rastgele seçilen $200$ çiftçiden alınan veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Ürün Türü	Gözlenen Çiftçi Sayısı ( $O_i$ )
Buğday	$90$
Arpa	$72$
Mısır	$38$
Toplam	$200$

Buna göre, bu araştırma için uygulanacak ki-kare uyum iyiliği testi sonucunda hesaplanan test istatistiği değeri kaçtır?

3,50

2,00

3,21

248,00

5,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3,50$

Cevap

Ki-kare uyum iyiliği test istatistiği değeri

3,50

olarak bulunur.

Ki-kare uyum iyiliği testinde, her bir kategori için beklenen frekanslar hesaplanır (

100, 60, 40

). Ardından her kategori için gözlenen değer ile beklenen değer arasındaki farkın karesi alınarak ilgili beklenen değere bölünür. Bu işlemler sonucunda buğday için

1,0

, arpa için

2,4

ve mısır için

0,1

değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı olan

3,50

test istatistiğini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_i

) hesaplanması

E_{buğday} = 200 \times 0,50 = 100

;

E_{arpa} = 200 \times 0,30 = 60

;

E_{mısır} = 200 \times 0,20 = 40

Uyum iyiliği testinde gözlenen değerlerin karşılaştırılacağı teorik beklenen frekanslar, örneklem hacmi ile varsayılan oranların çarpılmasıyla bulunur.

2

Her kategori için

(O_i - E_i)^2 / E_i

değerlerinin hesaplanması

Buğday:

(90-100)^2 / 100 = 1

; Arpa:

(72-60)^2 / 60 = 2,4

; Mısır:

(38-40)^2 / 40 = 0,1

Test istatistiği, gözlenen frekansın beklenen frekanstan sapmasının karesinin, beklenen frekansa standardize edilmesini gerektirir.

3

Test istatistiğinin (

\chi^2

) bulunması

\chi^2 = 1,0 + 2,4 + 0,1 = 3,50

Toplam ki-kare istatistiği, her bir sınıfa ait hesaplanan değerlerin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği Hesaplama

Soru 48Soru →

Bir belediyeye bağlı halkla ilişkiler birimi, vatandaşların başvurularının üç farklı departmana (İmar, Fen İşleri, Park ve Bahçeler) eşit oranda dağılıp dağılmadığını test etmek istemektedir. Toplamda $30$ başvurunun incelendiği bu çalışmada elde edilen gözlem değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Departman	Gözlenen Frekans ( $O$ )
İmar	$12$
Fen İşleri	$8$
Park ve Bahçeler	$10$
Toplam	$30$

Buna göre, Ki-kare uyum iyiliği testi için hesaplanması gereken test istatistiği değeri kaçtır?

0,8

2

8,0

0,83

0,4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,8$

Cevap

Hesaplanması gereken Ki-kare test istatistiği değeri

0,8

olarak bulunur.

Eşit dağılım varsayımı altında beklenen frekanslar

30 / 3 = 10

olarak hesaplanır. Gözlenen frekanslar (

12, 8, 10

) ile beklenen frekanslar (

10, 10, 10

) arasındaki farkların karelerinin beklenen frekanslara oranlarının toplamı (

0,4 + 0,4 + 0

) bize

0,8

test istatistiğini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E

) hesaplanması

E = 30 / 3 = 10

Eşit dağılım varsayımı (H0 hipotezi) altında toplam gözlem sayısı kategori sayısına bölünerek her kategori için beklenen frekans bulunur.

2

Her kategori için

(O-E)^2 / E

değerlerinin hesaplanması

İmar:

(12-10)^2 / 10 = 0,4

; Fen İşleri:

(8-10)^2 / 10 = 0,4

; Park:

(10-10)^2 / 10 = 0

Ki-kare formülü gereği gözlenen ve beklenen değerler arasındaki farkın karesinin beklenen değere oranı her hücre için ayrı ayrı hesaplanır.

3

Değerlerin toplanması

\chi^2 = 0,4 + 0,4 + 0 = 0,8

Tüm kategorilere ait değerlerin toplamı genel Ki-kare test istatistiğini verir.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği

Tahmini Süre:50s

Soru 49Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt birimine gelen $12$ adet belgenin türü "Dilekçe ( $D$ )" ve "Rapor ( $R$ )" olarak geliş sırasına göre şu şekilde kaydedilmiştir:

D, D, D, R, D, R, R, R, D, D, R, R

Bu verilerin geliş sırasının rastgele olup olmadığını test etmek amacıyla uygulanacak olan Dizi Testi (Runs Test) için toplam dizi sayısı ( $r$ ) ve örneklem hacimleri ( $n_1, n_2$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

r = 6, n_1 = 6, n_2 = 6

r = 5, n_1 = 6, n_2 = 6

r = 7, n_1 = 6, n_2 = 6

r = 6, n_1 = 5, n_2 = 7

r = 12, n_1 = 6, n_2 = 6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $r = 6, n_1 = 6, n_2 = 6$

Cevap

Toplam dizi sayısı

r = 6

, örneklem hacimleri

n_1 = 6

ve

n_2 = 6

şeklindedir.

Verilen dizide sembol değişimleri takip edildiğinde toplamda 6 adet farklı blok (dizi) oluştuğu görülür. Ayrıca dizide toplam 6 adet 'D' ve 6 adet 'R' harfi bulunmaktadır. Bu durum rastgelelik testi için gerekli temel parametreleri sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dizideki aynı sembolden oluşan ardışık grupları (dizileri) belirleyin.

(D, D, D), (R), (D), (R, R, R), (D, D), (R, R)

Dizi testi, aynı türden gözlemlerin oluşturduğu blokların sayısına dayanır.

2

Belirlenen grupları sayarak toplam dizi sayısını (

r

) bulun.

1. grup:

(DDD)

, 2. grup:

(R)

, 3. grup:

(D)

, 4. grup:

(RRR)

, 5. grup:

(DD)

, 6. grup:

(RR)

. Toplam

r = 6

.

Test istatistiği olan

r

, dizideki değişim noktalarını temel alır.

3

Her bir sembolden kaçar adet olduğunu sayarak

n_1

ve

n_2

değerlerini hesaplayın.

D

sayısı (

n_1

) =

3 + 1 + 2 = 6

;

R

sayısı (

n_2

) =

1 + 3 + 2 = 6

.

Kritik değerlerin belirlenmesi için her iki grubun örneklem hacmi gereklidir.

Anahtar Kavram

Dizi (Rastgelelik) Testi İstatistiği

İpuçları

1

Dizi sayısı, sembollerin değiştiği her bir bloğu temsil eder.

2

Diziyi alt gruplara ayırın: (DDD), (R), (D)... şeklinde devam ederek grupları sayın.

Daha Fazla Pratik

Elde edilen r=6 değerini, n1=6 ve n2=6 için hazırlanan Dizi Testi tablosundaki kritik değerlerle karşılaştırarak rastgelelik hipotezini yorumlayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 50Soru →

Bir belediyenin fen işleri birimi, su arızalarına müdahale süresinin medyan değerinin $30$ dakika olduğunu iddia etmektedir. Rastgele seçilen $5$ arıza için müdahale süreleri (dakika cinsinden) aşağıda verilmiştir:

32, 26, 30, 35, 31

Bu verilere göre, Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi sürecinde pozitif işaretli farkların sıra sayıları toplamı ( $W^+$ ) değeri kaçtır?

7

3

10

15

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Pozitif işaretli farkların sıra sayıları toplamı 7'dir.

Verilen örneklemde medyan 30'dan farklar alındığında

\{2, -4, 0, 5, 1\}

elde edilir. 0 değeri elendikten sonra kalan

\{1, 2, 4, 5\}

mutlak farklarının sıraları sırasıyla

1, 2, 3, 4

olur. Pozitif farklar

+1, +2

ve

+5

olduğu için bunların sıraları olan

1, 2

ve

4

toplandığında 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlemlerden hipotez edilen medyan değerini çıkararak farkları bulun.

32-30=2

,

26-30=-4

,

30-30=0

,

35-30=5

,

31-30=1

Wilcoxon testi, gözlemlerin medyan etrafındaki sapmalarını analiz eder.

2

Sıfıra eşit olan farkları analizden çıkarın ve kalan farkların mutlak değerlerini alın.

Kalan farklar:

2, -4, 5, 1

. Mutlak değerler:

|1|, |2|, |-4|, |5|

(

n=4

)

Medyan ile aynı olan değerler testin gücünü etkilemez ve prosedür gereği elenir.

3

Mutlak farkları küçükten büyüğe sıralayarak sıra numarası verin.

1 \rightarrow 1.

,

2 \rightarrow 2.

,

4 \rightarrow 3.

,

5 \rightarrow 4.

Sıralı istatistikler kullanılarak parametrik olmayan test istatistiği oluşturulur.

4

Orijinal farkı pozitif olan değerlerin sıra numaralarını toplayın (

W^+

).

1

(sırası 1),

2

(sırası 2) ve

5

(sırası 4) için toplam:

1 + 2 + 4 = 7

Test istatistiği, pozitif veya negatif farkların sıra toplamlarından elde edilir.

Anahtar Kavram

Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi'nde gözlemlerin medyanla farkları hesaplanır, sıfır farkları atılır ve mutlak farklar üzerinden sıralama yapılarak işaretli sıra toplamları bulunur.

Daha Fazla Pratik

Bağlı gözlemlerin (aynı mutlak fark değerlerinin) olduğu durumda ortalama sıra numarası kullanımını tekrar ediniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 51Soru →

Bir kamu kurumundaki evrak kayıt sürelerinin medyan değerinin $15$ dakika olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $5$ evrakın kayıt süreleri aşağıda verilmiştir:

Evrak No	Kayıt Süresi (dakika)
1	8
2	11
3	14
4	20
5	25

Dağılımın medyan etrafında simetrik olduğu varsayımı altında, Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi için hesaplanacak test istatistiği ( $T$ ) değeri kaçtır?

7

8

15

6

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Hesaplanan test istatistiği değeri 7'dir.

Verilen 5 gözlem için hesaplanan farklar

-7, -4, -1, 5, 10

şeklindedir. Bu farkların mutlak değerleri (

1, 4, 5, 7, 10

) sıralandığında

1, 2, 3, 4, 5

sıra numaralarını alırlar. Pozitif farkların (

5, 10

) sıraları

3

ve

5

olup toplamı

8

'dir. Negatif farkların (

-1, -4, -7

) sıraları

1, 2

ve

4

olup toplamı

7

'dir. Küçük olan toplam

7

olduğu için test istatistiği budur.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlemlerden test edilen medyan değerini (

M_0 = 15

) çıkararak farkları (

d_i

) hesaplayın.

Farklar:

8-15 = -7

,

11-15 = -4

,

14-15 = -1

,

20-15 = 5

,

25-15 = 10

.

Testin temel süreci, gözlemlerin hipotez edilen medyandan sapmalarını incelemektir.

2

Farkların mutlak değerlerini (

|d_i|

) bulun ve bunları küçükten büyüğe sıralayarak sıra numaraları verin.

Mutlak farklar:

1, 4, 5, 7, 10

. Sıra numaraları:

1 \rightarrow 1, 4 \rightarrow 2, 5 \rightarrow 3, 7 \rightarrow 4, 10 \rightarrow 5

.

Wilcoxon testi, farkların sadece yönünü değil, büyüklüğünü de (sıralama yoluyla) dikkate alır.

3

Sıra numaralarına orijinal farkların işaretlerini atayın ve pozitif (

W^+

) ile negatif (

W^-

) sıra toplamlarını hesaplayın.

Pozitif sıralar (

5

ve

10

için):

3 + 5 = 8

. Negatif sıralar (

-1, -4, -7

için):

1 + 2 + 4 = 7

.

Test istatistiği, bu iki toplamın karşılaştırılmasına dayanır.

4

Test istatistiği (

T

) olarak pozitif ve negatif sıra toplamlarından küçük olanı seçin.

T = \min(W^+, W^-) = \min(8, 7) = 7

.

Wilcoxon işaretli sıra sayıları testinde, örneklem hacmi küçük olduğunda test istatistiği küçük olan toplamdır.

Anahtar Kavram

Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi'nde test istatistiği, farkların mutlak değerce sıralanması ve işaretlerine göre ayrılan bu sıraların toplamlarından küçük olanıdır.

Alternatif Yöntem

Eğer farklardan biri sıfır olsaydı, o gözlem analiz dışı bırakılır ve örneklem hacmi (

n

) azaltılarak işleme devam edilirdi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 52Soru →

Bir kamu kütüphanesinde bir gün boyunca ödünç alınan toplam $60$ kitabın türlerine göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Kitap Türü	Gözlenen Frekans ( $O_i$ )
Roman	$25$
Tarih	$15$
Bilim Kurgu	$20$

Kütüphane yönetimi, okuyucuların kitap türlerini eşit olasılıkla tercih ettiği şeklindeki sıfır hipotezini ( $H_0$ ) test etmek istemektedir. Buna göre, bu veri seti için hesaplanan ki-kare ( $\chi^2$ ) uyum iyiliği test istatistiği değeri kaçtır?

1,25

2,5

2,67

5,0

50,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2,5$

Cevap

2,5

Okuyucuların kitap türlerini eşit oranda tercih ettiği varsayımı altında, her tür için beklenen frekans

60 / 3 = 20

olur. Roman türü için katkı

(25-20)^2 / 20 = 1,25

, Tarih türü için katkı

(15-20)^2 / 20 = 1,25

ve Bilim Kurgu türü için katkı

(20-20)^2 / 20 = 0

olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı olan

2,5

, hesaplanan ki-kare test istatistiğini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_i

) hesaplanması

E = 60 / 3 = 20

H_0

hipotezi eşit tercih oranını varsaydığı için toplam gözlem sayısı (

N=60

) kategori sayısına (

k=3

) bölünür.

2

Her bir kategori için

(O_i - E_i)^2 / E_i

değerlerinin hesaplanması

Roman:

(25-20)^2 / 20 = 1,25

; Tarih:

(15-20)^2 / 20 = 1,25

; Bilim Kurgu:

(20-20)^2 / 20 = 0

Ki-kare test istatistiğinin her bir bileşenini bulmak için gözlenen ve beklenen değerler arasındaki farkın karesi, beklenen değere bölünür.

3

Bileşenlerin toplanarak toplam

\chi^2

değerinin bulunması

\chi^2 = 1,25 + 1,25 + 0 = 2,5

Tüm kategorilerin katkıları toplanarak testin genel istatistiği elde edilir.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Test İstatistiği Hesaplama

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 53Soru →

Bir kamu kurumunda, vatandaş başvurularına cevap verme sürelerinin (gün) normal dağılıma uygunluğu test edilmek istenmektedir. Rastgele seçilen $12$ başvurunun işlem süreleri incelenmiş ve Shapiro-Wilk testi uygulanmıştır. Test sonucunda hesaplanan $p$ değeri $0,742$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, $\%5$ anlamlılık düzeyinde $(\alpha = 0,05)$ yapılabilecek en uygun yorum aşağıdakilerden hangisidir?

Hesaplanan

p

değeri anlamlılık düzeyinden küçük olduğu için verilerin normal dağılmadığına karar verilir.

Örneklem hacmi

30

'dan küçük olduğu için Shapiro-Wilk testi yerine Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi tercih edilmelidir.

Hesaplanan

p

değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için verilerin normal dağılım gösterdiği varsayımı reddedilemez.

Shapiro-Wilk testinde temel hipotez (

H_0

), verilerin normal dağılım göstermediği şeklinde kurulur.

p

değeri

0,05

'den büyük olduğu için verilerin medyan değerinin sıfıra eşit olduğu sonucuna varılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan $p$ değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için verilerin normal dağılım gösterdiği varsayımı reddedilemez.

Cevap

Hesaplanan p değerinin anlamlılık düzeyinden büyük olması nedeniyle verilerin normal dağılım gösterdiği varsayımı reddedilemez.

Shapiro-Wilk testi sonuçlarında

p

değerinin (

0,742

) seçilen anlamlılık düzeyinden (

0,05

) büyük olması, verilerin normal dağılım gösterdiğini belirten temel hipotezin (

H_0

) reddedilmesi için yeterli kanıt olmadığını gösterir. Bu durumda verilerin normal dağıldığı varsayımı ile analize devam edilebilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler normal dağılım göstermektedir;

H_1

: Veriler normal dağılım göstermemektedir.

Normallik testlerinde temel hipotez her zaman dağılımın normale uygun olduğunu varsayar.

2

p değerinin anlamlılık düzeyi (

\alpha

) ile karşılaştırılması

0,742 > 0,05

İstatistiksel karar vermek için hesaplanan olasılık değeri ile önceden belirlenen risk düzeyi karşılaştırılır.

3

İstatistiksel kararın verilmesi

H_0

reddedilemez.

p > \alpha

olduğunda, örneklemden elde edilen kanıtlar temel hipotezi reddetmek için yetersizdir.

Anahtar Kavram

Normallik Testlerinde p-değeri Yorumu

İpuçları

1

Normallik testlerinde temel hipotezin (

H_0

) neyi savunduğunu hatırlayın.

2

p

değeri

\alpha

değerinden büyük olduğunda

H_0

hipotezi hakkında nasıl bir karar verilir?

Daha Fazla Pratik

Shapiro-Wilk testi ile Kolmogorov-Smirnov testi arasındaki güç farklarını küçük örneklemler üzerinden inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 54Soru →

Normal dağılım varsayımının test edilmesinde, anakütle parametrelerinin ( $\mu$ ve $\sigma^2$ ) bilinmediği ve bu değerlerin örneklem verilerinden tahmin edildiği durumlarda kullanılan Kolmogorov-Smirnov testi uyarlaması aşağıdakilerden hangisidir?

Lilliefors testi

Tek örneklem Kolmogorov-Smirnov testi

Shapiro-Wilk testi

Ki-kare uyum iyiliği testi

Dizi (Rastgelelik) testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Lilliefors testi

Cevap

Lilliefors testi

Lilliefors testi, standart Kolmogorov-Smirnov testinin anakütle parametreleri (ortalama ve varyans) bilinmediğinde ve örneklem verilerinden tahmin edildiğinde kullanılan, kritik değerleri bu duruma göre düzeltilmiş bir versiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezin ve kısıtların belirlenmesi

H_0

: Veriler normal dağılım göstermektedir; ancak

\mu

ve

\sigma^2

bilinmemektedir.

Testin hangi koşullar altında (parametrelerin bilinip bilinmemesi) yapılacağını anlamak gerekir.

2

Uygun test yönteminin seçilmesi

Kolmogorov-Smirnov testinin parametre tahminine dayalı versiyonu seçilir.

Standart K-S tabloları, parametreler örneklemden tahmin edildiğinde yanlış (muhafazakar olmayan) sonuçlar üretir; Lilliefors bu durum için özel tablolar geliştirmiştir.

Anahtar Kavram

Lilliefors testi, Kolmogorov-Smirnov testinin parametrelerin (ortalama ve varyans) örneklemden tahmin edildiği durumlardaki özel bir uyarlamasıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 55Soru →

Bir Kalkınma Ajansı, bölgedeki yatırım teşviklerinin dört farklı sektöre (Tarım, Sanayi, Turizm, Hizmet) sırasıyla $\%20$ , $\%30$ , $\%10$ ve $\%40$ oranlarında dağılmasını öngörmektedir. Yapılan bir incelemede, rastgele seçilen $200$ teşvik belgesinin sektörlere göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sektör	Gözlenen Frekans ( $O$ )
Tarım	$48$
Sanayi	$54$
Turizm	$22$
Hizmet	$76$

Bu veriler doğrultusunda, yatırım teşviklerinin öngörülen dağılıma uygun olup olmadığını test etmek için kullanılacak Ki-kare uyum iyiliği test istatistiği değeri kaçtır?

2,6

3,0

29,6

2,4

0,15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,6

Cevap

Ki-kare uyum iyiliği test istatistiği değeri 2,6 olarak hesaplanır.

Verilen oranlar doğrultusunda beklenen frekanslar Tarım için 40, Sanayi için 60, Turizm için 20 ve Hizmet için 80 olarak bulunur. Gözlenen değerlerle bu beklenen değerler arasındaki farkların karelerinin beklenen değerlere oranlarının toplamı (

1,6 + 0,6 + 0,2 + 0,2

) bize 2,6 olan doğru test istatistiğini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir sektör için beklenen frekansların (

E

) hesaplanması

Tarım:

200 \times 0,20 = 40

, Sanayi:

200 \times 0,30 = 60

, Turizm:

200 \times 0,10 = 20

, Hizmet:

200 \times 0,40 = 80

Ki-kare testi, gözlenen değerlerin beklenen teorik değerlerden sapmasını ölçer.

2

Her kategori için

(O-E)^2 / E

bileşenlerinin hesaplanması

Tarım:

\frac{(48-40)^2}{40} = 1,6

; Sanayi:

\frac{(54-60)^2}{60} = 0,6

; Turizm:

\frac{(22-20)^2}{20} = 0,2

; Hizmet:

\frac{(76-80)^2}{80} = 0,2

Test istatistiği formülündeki her bir hücre katkısı belirlenir.

3

Bileşenlerin toplanarak toplam Ki-kare (

\chi^2

) değerinin bulunması

\chi^2 = 1,6 + 0,6 + 0,2 + 0,2 = 2,6

Toplam sapma miktarı test istatistiğini oluşturur.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 56Soru →

Bir trafik polisi, denetim noktasından geçen ilk $10$ aracın plaka kodlarını 'Ankara ( $A$ )' ve 'İstanbul ( $I$ )' olarak geçiş sırasına göre şu şekilde kaydetmiştir:

A, A, I, A, I, I, I, A, A, A

Buna göre, geçiş sırasının rastgeleliğini test etmek için kullanılan Dizi (Rastgelelik) Testi'ndeki toplam dizi sayısı ( $r$ ) kaçtır?

4

5

6

10

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Serideki toplam dizi sayısı 5'tir.

Verilen seride sembol değişimlerini takip ettiğimizde; ilk iki 'A' bir blok, sonra gelen tek 'I' ikinci bir blok, ardından gelen tek 'A' üçüncü bir blok, üç adet 'I' dördüncü bir blok ve son üç 'A' beşinci bir blok oluşturur. Bu durumda toplam dizi sayısı 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri serisini aynı sembollerin yan yana geldiği kesintisiz bloklara (dizilere) ayırın.

Bloklar: (A, A), (I), (A), (I, I, I), (A, A, A) şeklinde ayrılır.

Dizi testi, aynı türden gözlemlerin oluşturduğu her bir grubu tek bir 'dizi' olarak tanımlar.

2

Belirlenen blokları sayın.

1. dizi: AA, 2. dizi: I, 3. dizi: A, 4. dizi: III, 5. dizi: AAA.

Toplam dizi sayısı (r) istatistiğini elde etmek için tüm geçişleri (değişimleri) belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Dizi (rastgelelik) testinde 'r' değeri, serideki benzer öğelerin oluşturduğu kesintisiz kümelerin toplam sayısıdır.

İpuçları

1

Sembollerin her değiştiği noktada yeni bir dizinin başladığını unutmayın.

2

Seriyi (AA) - (I) - (A) şeklinde parçalara ayırarak saymayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri seti için n1 ve n2 değerlerini belirleyerek beklenen dizi sayısı (E[r]) formülünü hatırlayabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 57Soru →

Bir Tarım ve Orman Müdürlüğü tarafından yürütülen çalışmada, belirli bir bölgedeki mısır tarlalarından elde edilen verimin medyan değerinin $500$ kg/dekar olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayımı test etmek amacıyla $7$ farklı tarladan rastgele alınan verim değerleri aşağıda sunulmuştur:

Tarla No	1	2	3	4	5	6	7
Verim (kg/dekar)	480	510	500	530	490	520	550

Tek örneklem Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi kullanılarak yapılan analizde, hipotezde belirtilen medyan değerine eşit olan gözlem (farkı sıfır olan) dışarıda bırakıldığında, pozitif işaretli farklara ait sıra sayıları toplamı ( $W^+$ ) kaçtır?

16

5

21

20

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Hesaplamalar sonucunda pozitif işaretli farkların sıra sayıları toplamı 16 olarak bulunur.

Verilen veriler için hesaplanan farklar

(-20, 10, 0, 30, -10, 20, 50)

içerisindeki sıfır değeri çıkarıldığında elimizde

6

gözlem kalır. Bu farkların mutlak değerleri küçükten büyüğe sıralandığında, ikişer adet bulunan

10

ve

20

değerlerine sırasıyla

1,5

ve

3,5

ortalama sıraları atanır. Pozitif olan farklar (

10, 20, 30, 50

) için bu sıralar toplandığında

1,5 + 3,5 + 5 + 6 = 16

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Farkların hesaplanması ve sıfırların elenmesi

Farklar (

X_i - 500

):

-20, 10, 0, 30, -10, 20, 50

.

0

değeri elenince kalan farklar:

-20, 10, 30, -10, 20, 50

. (

n=6

)

Wilcoxon testinde gözlemlerin hipotez edilen medyandan farkları bulunur ve sıfır farklar analize dahil edilmez.

2

Mutlak farkların sıralanması (bağlı gözlemler dahil)

Mutlak farklar:

10, 10, 20, 20, 30, 50

. Sıralama:

10

için

(1+2)/2=1,5

;

20

için

(3+4)/2=3,5

;

30

için

5

;

50

için

6

.

Aynı mutlak değere sahip gözlemler için ortalama sıra numarası verilir.

3

İşaretlerin atanması ve toplamın bulunması

Pozitif farklar:

+10, +20, +30, +50

. Bunların sıraları:

1,5 + 3,5 + 5 + 6 = 16

.

Pozitif işaretli farklara karşılık gelen sıra numaraları toplanarak W+ istatistiği elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek örneklem Wilcoxon testi, verilerin sürekli olduğu ve medyana göre simetrik bir dağılım sergilediği varsayımı altında, örneklem medyanının belirli bir değere eşit olup olmadığını test eden parametrik olmayan bir yöntemdir.

Daha Fazla Pratik

Wilcoxon testinde örneklem hacmi büyüdüğünde (

n > 20

) kullanılan normal yaklaşım ve z istatistiği formülünü tekrar ediniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 58Soru →

Bir kamu lojistik merkezinde, ürünlerin sevkiyat hazırlık sürelerinin (saat) teorik bir Normal dağılıma uygunluğu Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi ile incelenmektedir. Araştırmacı, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu $S_n(x)$ ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu $F_0(x)$ arasındaki maksimum mutlak farkı hesaplayarak test istatistiğine ulaşmıştır.

Bu test süreci ve sonuçların yorumlanmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Sıfır hipotezi (

H_0

), sevkiyat sürelerinin belirlenen Normal dağılıma uygun olduğunu savunur ve test istatistiği birikimli dağılımlar arasındaki en büyük dikey uzaklıktır.

Sıfır hipotezi (

H_0

), sevkiyat sürelerinin Normal dağılıma uygun olmadığını savunur; bu nedenle p-değeri anlamlılık düzeyinden küçükse verilerin normal dağıldığına karar verilir.

Test istatistiği (

D

), gözlenen frekanslar ile beklenen frekanslar arasındaki ortalama farkı temsil eder ve örneklem hacmi büyüdükçe Ki-kare dağılımına yakınsar.

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi sadece kesikli (discrete) veriler üzerinde uygulanabilir ve gruplandırılmış verilerde Ki-kare uyum iyiliği testinden daha güçlüdür.

Sıfır hipotezi (

H_0

), evren ortalamasının belirli bir değere eşit olduğunu savunur ve test istatistiği birikimli dağılımlar arasındaki toplam alan farkına eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sıfır hipotezi ( $H_0$ ), sevkiyat sürelerinin belirlenen Normal dağılıma uygun olduğunu savunur ve test istatistiği birikimli dağılımlar arasındaki en büyük dikey uzaklıktır.

Cevap

Sıfır hipotezinin verinin belirtilen dağılıma uygun olduğunu belirtmesi ve test istatistiğinin birikimli dağılımlar arasındaki en büyük dikey uzaklık olarak tanımlanması doğrudur.

Doğru olan ifadede belirtildiği gibi, Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, bir örneklemin belirli bir teorik dağılımdan (Normal, Poisson vb.) gelip gelmediğini test eder. Bu testin sıfır hipotezi her zaman 'veriler belirtilen dağılıma uygundur' şeklindedir. Test istatistiği olan

D

ise, gözlenen birikimli dağılım (

S_n(x)

) ile teorik birikimli dağılım (

F_0(x)

) arasındaki en büyük dikey uzaklıktır.

Adım Adım Çözüm

1

Sıfır Hipotezinin Kurulması

H_0: F(x) = F_0(x)

(Gözlenen dağılım teorik dağılıma uygundur)

Uyumluluk testlerinde başlangıç varsayımı farkın olmadığı (uyumun olduğu) yönündedir.

2

Test İstatistiğinin Hesaplanması

D = \max |S_n(x) - F_0(x)|

Kolmogorov-Smirnov testi, gözlenen birikimli frekanslar ile teorik birikimli frekanslar arasındaki en büyük sapmayı ölçer.

3

Karar Kuralının Belirlenmesi

Eğer

D_{hesap} > D_{kritik}

ise

H_0

reddedilir.

Maksimum fark kritik bir eşiği aşıyorsa, gözlenen verinin teorik dağılımdan anlamlı düzeyde saptığı kabul edilir.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi Mekaniği

Soru 59Soru →

Bir yerel yönetim biriminde çalışan $12$ personelin, yeni çalışma düzenine ilişkin görüşleri 'olumlu' veya 'olumsuz' olarak kaydedilmiştir. Örneklem hacminin küçük olduğu ve verilerin iki kategorili (dikotomik) bir yapıda toplandığı bu durumda, çalışanların olumlu görüş bildirme oranının ( $p$ ) belirli bir teorik değere uygunluğunu test etmek için aşağıdaki istatistiksel yöntemlerden hangisinin kullanılması en uygundur?

Binom testi

Ki-kare uyum iyiliği testi

Kolmogorov-Smirnov tek örneklem testi

Dizi (rastgelelik) testi

Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Binom testi

Cevap

Küçük örneklem hacmine sahip dikotomik verilerde oran testi için Binom testi kullanılmalıdır.

Verilen senaryoda veriler dikotomik (iki kategorili) bir yapıdadır ve örneklem hacmi (

n=12

) oldukça küçüktür. Parametrik olmayan istatistikte, tek örneklem üzerinden anakütle oranına yönelik hipotezleri test etmek için, özellikle küçük örneklemlerde tam olasılık değerlerini hesaplayan Binom testi en uygun yöntemdir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını analiz etme

Görüşler 'olumlu' ve 'olumsuz' olarak iki karşılıklı dışlayan kategoriye ayrılmıştır (dikotomik yapı).

Test seçiminde ilk adım verinin ölçek düzeyini ve kategori sayısını belirlemektir.

2

Örneklem hacmini değerlendirme

n = 12

gözlem bulunmaktadır.

Örneklem hacmi küçük olduğunda normal dağılım yaklaşımı yerine tam (exact) olasılıkları kullanan testler tercih edilmelidir.

3

Amaca uygun testi belirleme

Belirli bir orana (

p

) uygunluk testi için iki kategorili verilerde Binom testi uygulanır.

Binom testi, tek örneklem durumunda anakütle oranına ilişkin hipotezleri küçük örneklemlerde test eden temel parametrik olmayan yöntemdir.

Anahtar Kavram

Binom testi, dikotomik (iki kategorili) verilerde ve özellikle küçük örneklemlerde anakütle oranının (

p

) test edilmesinde kullanılır.

Tahmini Süre:45s

Soru 60Soru →

Bir bölge tapu sicil müdürlüğünde çalışan personelin son $18$ günde işleme aldığı günlük evrak sayıları kaydedilmiştir. Elde edilen verilerin normal dağılım varsayımına uygunluğunu denetlemek amacıyla yapılan Shapiro-Wilk testi sonucunda hesaplanan test istatistiği $W = 0,884$ ve anlamlılık değeri $p = 0,032$ olarak bulunmuştur.

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde yapılan bu test sonucuna göre ulaşılabilecek en doğru yargı aşağıdakilerden hangisidir?

p < 0,05

olduğu için yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilir ve verilerin normal dağılım göstermediği sonucuna varılır.

p < 0,05

olduğu için yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez ve verilerin normal dağılım gösterdiği sonucuna varılır.

Örneklem hacmi (

n=18

) küçük olduğu için Shapiro-Wilk testi yerine Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi tercih edilmelidir.

W

istatistiği

1

'e oldukça yakın bir değer aldığı için

p

değerine bakılmaksızın verilerin normal dağıldığına karar verilir.

Yokluk hipotezi (

H_0

) verilerin normal dağılmadığı şeklinde kurulduğu için verilerin normal dağıldığı sonucuna ulaşılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p < 0,05$ olduğu için yokluk hipotezi ( $H_0$ ) reddedilir ve verilerin normal dağılım göstermediği sonucuna varılır.

Cevap

Hesaplanan p-değeri (

0,032

), anlamlılık düzeyinden (

0,05

) küçük olduğu için verilerin normal dağıldığını ifade eden yokluk hipotezi reddedilir ve verilerin normal dağılmadığı sonucuna varılır.

Shapiro-Wilk testinde yokluk hipotezi (

H_0

) verilerin normal dağıldığını belirtir. Eğer hesaplanan

p

değeri, belirlenen anlamlılık düzeyinden (genellikle

0,05

) küçükse

H_0

reddedilir. Bu soruda

0,032 < 0,05

olduğu için verilerin normal dağılmadığı sonucuna ulaşılması istatistiksel olarak doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler normal dağılım gösterir;

H_1

: Veriler normal dağılım göstermez.

Shapiro-Wilk testinde yokluk hipotezi her zaman normallik varsayımının sağlandığını öngörür.

2

P-değeri ile anlamlılık düzeyinin (

\alpha

) karşılaştırılması

0,032 < 0,05

Karar kuralına göre

p < \alpha

ise

H_0

reddedilir.

3

İstatistiksel kararın verilmesi

H_0

reddedilir.

Hesaplanan olasılık değeri, hata payı olarak belirlenen kritik değerden düşüktür.

Anahtar Kavram

Shapiro-Wilk testi p-değeri yorumlaması ve küçük örneklemlerdeki avantajı

Tek Örneklem Testleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik