Tek Örneklem Testleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan müfettişlerin bir denetim raporunu hazırlama sürelerinin medyanının $20$ gün olduğu iddia edilmektedir. Rastgele seçilen $14$ müfettişin rapor hazırlama süreleri (gün) şu şekildedir:

$22, 18, 20, 25, 20, 19, 21, 23, 20, 24, 17, 26, 20, 22$

Buna göre, tek örneklem işaret testi uygulanırken kullanılacak pozitif işaretli gözlem sayısı ( $S^+$ ) ve testte dikkate alınacak örneklem hacmi ( $n$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

S^+ = 7, n = 10

S^+ = 7, n = 14

S^+ = 11, n = 14

S^+ = 3, n = 10

S^+ = 4, n = 10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $S^+ = 7, n = 10$

Cevap

Pozitif işaretli gözlem sayısı

S^+ = 7

ve etkili örneklem hacmi

n = 10

olarak hesaplanır.

Verilen veri setinde test edilen medyan değeri olan

20

çıkarıldığında,

7

adet pozitif (

22, 25, 21, 23, 24, 26, 22

) ve

3

adet negatif (

18, 19, 17

) fark elde edilir. Medyana eşit olan

4

adet gözlem analiz dışı bırakıldığından, testte dikkate alınacak örneklem hacmi

14 - 4 = 10

olur. Dolayısıyla

S^+ = 7

ve

n = 10

değerleri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotez edilen medyan değerine (

M_0 = 20

) göre her bir gözlemin farkını ve işaretini belirleyin.

22(+), 18(-), 20(0), 25(+), 20(0), 19(-), 21(+), 23(+), 20(0), 24(+), 17(-), 26(+), 20(0), 22(+)

İşaret testinde her bir veri noktasının test edilen medyanın altında mı yoksa üstünde mi olduğu belirlenmelidir.

2

Farkı sıfır olan gözlemleri (medyana eşit olanları) analizden çıkarın ve etkili örneklem hacmini (

n

) hesaplayın.

Toplam

14

gözlemden

4

adet '20' değeri çıkarıldığında

n = 14 - 4 = 10

kalır.

İşaret testinde medyan ile tam olarak aynı değere sahip olan gözlemler bilgilendirici olmadıkları için analize dahil edilmezler.

3

Kalan

10

gözlem içindeki pozitif işaretli (

+

) olanları sayarak

S^+

değerini bulun.

22, 25, 21, 23, 24, 26, 22

olmak üzere toplam

7

adet pozitif işaret vardır.

Test istatistiği, belirli bir yöndeki işaretlerin (genellikle pozitiflerin) toplam sayısıdır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem İşaret Testinde Sıfır Farklarının İşlenmesi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 22Soru →

Bir araştırmacı, 20 gözlemden oluşan bir veri setinin normal dağılım varsayımını karşılayıp karşılamadığını belirlemek amacıyla Shapiro-Wilk testini uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda elde edilen bulgular aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Test	İstatistik (W)	Serbestlik Derecesi (sd)	Anlamlılık (p)
Shapiro-Wilk	0,942	20	0,084

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyi dikkate alındığında, ulaşılan sonuç ve bu testin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

p > 0,05

olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez; verilerin normal dağılıma uygun olduğu söylenebilir.

p > 0,05

olduğu için yokluk hipotezi reddedilir; verilerin normal dağılım göstermediği sonucuna varılır.

Örneklem hacmi 50'den küçük olduğu için Shapiro-Wilk yerine Kolmogorov-Smirnov testi tercih edilmeliydi.

Yokluk hipotezi (

H_0

), "Veriler normal dağılım göstermemektedir" şeklinde kurulduğu için varsayımın ihlal edildiği söylenir.

Analiz sonucunda elde edilen p-değeri 0,05'ten büyük olduğu için verilerin homojen varyanslı olduğu ispatlanmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p > 0,05$ olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez; verilerin normal dağılıma uygun olduğu söylenebilir.

Cevap

Hesaplanan p-değeri (0,084) anlamlılık düzeyinden (0,05) büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez ve verilerin normal dağılım gösterdiği kabul edilir.

Shapiro-Wilk testi sonucunda elde edilen p-değeri (0,084), standart anlamlılık düzeyi olan 0,05'ten büyük olduğu için 'Veriler normal dağılım göstermektedir' şeklindeki yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez. Bu durum, verilerin normal dağılım varsayımını sağladığı anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler normal dağılım göstermektedir;

H_1

: Veriler normal dağılım göstermemektedir.

Normallik testlerinde yokluk hipotezi her zaman dağılıma uygunluğu savunur.

2

Karar kuralının uygulanması

p = 0,084 > \alpha = 0,05

Elde edilen p-değeri, seçilen hata payından büyük olduğu için

H_0

hipotezi korunur.

3

Sonucun yorumlanması

Veriler normal dağılım varsayımını karşılamaktadır.

H_0

reddedilemediği için verilerin normal dağılımdan anlamlı bir farklılık göstermediği sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Shapiro-Wilk testi, özellikle küçük örneklemlerde normallik varsayımını denetlemek için kullanılan en güçlü parametrik olmayan testlerden biridir.

H_0

hipotezi verilerin normal dağıldığını ifade eder.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 23Soru →

Bir kalite kontrol uzmanı, yeni bir üretim bandından alınan 15 adet ürünün gramaj değerlerinin normal dağılım varsayımına uygunluğunu test etmek istemektedir. Elde edilen analiz sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Test	İstatistik ( $W$ )	Örneklem Sayısı ( $n$ )	Anlamlılık ( $p$ )
Shapiro-Wilk	0,978	15	0,824

Buna göre, %5 anlamlılık düzeyinde yapılan bu analizle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Küçük örneklemlerde Shapiro-Wilk testi, Kolmogorov-Smirnov testine göre daha güçlü bir normallik testidir ve bu sonuçlara göre veriler normal dağılım sergilemektedir.

Örneklem hacmi 50'den küçük olduğu için Shapiro-Wilk testi yerine Kolmogorov-Smirnov testi tercih edilmeliydi.

Hesaplanan

p = 0,824

değeri 0,05'ten büyük olduğu için yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilir ve verilerin normal dağılmadığına karar verilir.

Shapiro-Wilk testi sadece 100 birimden büyük örneklemlerde parametrik testlere hazırlık amacıyla kullanılan bir ön testtir.

Test istatistiği (

W

) değeri 1'e çok yakın olduğu için verilerin normal dağılım göstermediği kesinleşmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Küçük örneklemlerde Shapiro-Wilk testi, Kolmogorov-Smirnov testine göre daha güçlü bir normallik testidir ve bu sonuçlara göre veriler normal dağılım sergilemektedir.

Cevap

Küçük örneklemlerde Shapiro-Wilk testi, Kolmogorov-Smirnov testine göre daha güçlü bir normallik testidir ve p > 0,05 olduğu için veriler normal dağılım sergilemektedir.

Verilen örneklem hacmi (

n=15

) küçük olduğu için Shapiro-Wilk testi normallik analizi için en uygun ve güçlü araçtır. Analiz sonucunda elde edilen

p=0,824

değeri, yaygın olarak kullanılan

\alpha=0,05

anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için 'Veriler normal dağılım göstermektedir' şeklindeki

H_0

hipotezi reddedilemez. Dolayısıyla verilerin normal dağıldığı sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem büyüklüğüne göre uygun testin belirlenmesi

Shapiro-Wilk testi seçimi doğrudur.

Örneklem hacmi

n = 15

olduğu için (genellikle

n < 50

), Shapiro-Wilk testi normallikten sapmaları belirlemede Kolmogorov-Smirnov ve diğer testlere göre istatistiksel olarak daha güçlüdür.

2

Hipotezlerin kurulması ve karşılaştırma yapılması

0,824 > 0,05

Normallik testlerinde

H_0

: 'Veriler normal dağılım göstermektedir' şeklindedir. Hesaplanan anlamlılık değeri (

p = 0,824

), hata payı olan

\alpha = 0,05

ile karşılaştırılır.

3

İstatistiksel kararın verilmesi

H_0

reddedilemez.

p > \alpha

olduğu durumlarda yokluk hipotezi reddedilemez. Bu durumda verilerin %95 güven düzeyinde normal dağılıma uygun olduğu sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Normallik testlerinde Shapiro-Wilk testinin küçük örneklemlerdeki etkinliği ve p-değeri yorumlaması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 24Soru →

Bir araştırmacı, bir kamu kurumunda çalışan $22$ personelin iş doyumu düzeylerini ölçen bir ölçekten elde edilen puanların dağılımını incelemektedir. Parametrik istatistiksel yöntemlerin ön şartlarını kontrol etmek amacıyla verilere Shapiro-Wilk normallik testi uygulanmış ve şu sonuçlar elde edilmiştir:

* Örneklem Hacmi ( $n$ ): $22$
* Test İstatistiği ( $W$ ): $0,960$
* Anlamlılık Değeri ( $p$ ): $0,425$

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyi dikkate alındığında, bu test sonucuna dayalı olarak yapılacak en isabetli değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

p > 0,05

olduğu için yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez; verilerin normal dağılım gösterdiği varsayımı kabul edilir.

p > 0,05

olduğu için yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilir; verilerin normal dağılım göstermediği sonucuna varılır.

Örneklem hacmi

50

'den küçük olduğu için Shapiro-Wilk testi yerine Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi tercih edilmelidir.

W

istatistiği

1

'e çok yakın olduğu için verilerin normal dağılım varsayımından önemli ölçüde saptığı söylenir.

Elde edilen

p

değeri anlamlılık düzeyinden büyük çıktığı için analizlere parametrik olmayan (non-parametrik) testler ile devam edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p > 0,05$ olduğu için yokluk hipotezi ( $H_0$ ) reddedilemez; verilerin normal dağılım gösterdiği varsayımı kabul edilir.

Cevap

Hesaplanan

p

değerinin (

0,425

), belirlenen anlamlılık düzeyinden (

0,05

) büyük olması sebebiyle yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez ve verilerin normal dağılıma uygun olduğu sonucuna varılır.

Shapiro-Wilk testinde yokluk hipotezi (

H_0

), verilerin normal dağılıma sahip olduğunu ifade eder. İstatistikte

p

değerinin seçilen anlamlılık düzeyinden (genellikle

0,05

) büyük olması, gözlemlenen verinin yokluk hipotezi ile tutarlı olduğunu ve bu hipotezi reddetmek için yeterli kanıt bulunmadığını gösterir. Bu durumda verilerin normal dağıldığı varsayımı altında parametrik testler uygulanabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler normal dağılım göstermektedir;

H_1

: Veriler normal dağılım göstermemektedir.

Normallik testlerinde temel hipotez her zaman dağılımın normal olduğunu savunur.

2

Karar kuralının belirlenmesi

p < 0,05 \Rightarrow H_0

reddedilir;

p > 0,05 \Rightarrow H_0

reddedilemez.

İstatistiksel anlamlılık için

p

değeri ile hata payı (

\alpha

) karşılaştırılır.

3

Kararın verilmesi

0,425 > 0,05

olduğu için

H_0

reddedilemez.

Hesaplanan olasılık değeri eşik değerden büyük olduğu için normal dağılım varsayımının korunduğu kabul edilir.

Anahtar Kavram

Shapiro-Wilk Testi Hipotez Yorumlama

Soru 25Soru →

Bir Kamu Denetçiliği Kurumu, vatandaşların kamu hizmetlerine yönelik şikayet başvurularının alanlara göre dağılımını incelemektedir. Kurumun geçmiş verilerine dayanan teorik beklentisine göre, başvuruların $\%50$ 'sinin "Sosyal Güvenlik", $\%30$ 'unun "Eğitim" ve $\%20$ 'sinin "Sağlık" alanında olması öngörülmektedir. Rastgele seçilen 100 başvuru üzerinde yapılan incelemede elde edilen gözlenen frekanslar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Hizmet Alanı	Gözlenen Frekans ( $O_i$ )
Sosyal Güvenlik	55
Eğitim	24
Sağlık	21
Toplam	100

Bu verilere göre, başvuruların belirtilen teorik dağılıma uygunluğunu test etmek amacıyla yapılacak Ki-Kare uyum iyiliği testi için hesaplanan test istatistiği değeri kaçtır?

1,25

1,75

2,00

2,45

3,15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,75

Cevap

Ki-Kare uyum iyiliği test istatistiği değeri

1,75

olarak hesaplanır.

Doğru seçenek, test istatistiği formülünün her bir hizmet alanı için doğru uygulanmasıyla elde edilen değerdir. Beklenen frekanslar sırasıyla

50, 30

ve

20

olarak belirlenmiş; gözlenen değerlerle farkların kareleri bu değerlere bölünüp toplandığında

0,5 + 1,2 + 0,05 = 1,75

sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen frekansların (

E_i

) hesaplanması

Sosyal Güvenlik:

100 \times 0,50 = 50

; Eğitim:

100 \times 0,30 = 30

; Sağlık:

100 \times 0,20 = 20

Uyum iyiliği testinde gözlenen değerlerin karşılaştırılacağı teorik frekansların belirlenmesi gerekir.

2

Her bir kategori için

(O_i - E_i)^2 / E_i

değerinin hesaplanması

Sosyal Güvenlik:

(55-50)^2 / 50 = 25/50 = 0,5

; Eğitim:

(24-30)^2 / 30 = 36/30 = 1,2

; Sağlık:

(21-20)^2 / 20 = 1/20 = 0,05

Test istatistiği, gözlenen ve beklenen değerler arasındaki farkın normalize edilmiş kareler toplamıdır.

3

Kategorik değerlerin toplanarak test istatistiğinin (

\chi^2

) bulunması

\chi^2 = 0,5 + 1,2 + 0,05 = 1,75

Ki-Kare test istatistiği formülü

\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi İstatistiği

Daha Fazla Pratik

Bu sorunun ardından serbestlik derecesini (

df = k-1

) hesaplayarak tablo değerleri ile karşılaştırma yapmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 26Soru →

Bir belediyenin çağrı merkezine iletilen vatandaş şikayetlerinin çözüm sürelerinin (saat cinsinden) medyan değerinin $13$ saat olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $5$ şikayetin çözüm süreleri aşağıda verilmiştir:

$14, 11, 15, 12, 17$

Buna göre, 'Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi' kullanılarak hesaplanacak olan $W$ test istatistiği ( $W^+$ ve $W^-$ değerlerinden küçük olanı) aşağıdakilerden hangisidir?

3

5

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

Hesaplanan test istatistiği değeri

5

olarak bulunur.

Verilen verilerle yapılan hesaplamada mutlak farkların sıraları

1.5, 3.5, 3.5, 1.5, 5

olarak atanmış; negatif farkların (

11

ve

12

) sıra toplamı

5

, pozitif farkların (

14, 15, 17

) sıra toplamı

10

çıkmıştır. Bunlardan küçük olan

5

değeri doğru test istatistiğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlem değerlerinden hipotez edilen medyan değer (

13

) çıkarılarak farklar (

D_i

) bulunur.

D_i = \{14-13, 11-13, 15-13, 12-13, 17-13\} = \{1, -2, 2, -1, 4\}

olarak hesaplanır.

Testin temelini gözlemlerin medyan etrafındaki dağılımı oluşturur.

2

Farkların mutlak değerleri (

|D_i|

) alınır ve küçükten büyüğe sıralanır.

|D_i| = \{1, 2, 2, 1, 4\}

. Sıralı hali:

1, 1, 2, 2, 4

.

Sıra numarası vermek için büyüklük ilişkisi mutlak değer üzerinden kurulur.

3

Bağlı gözlemler (aynı değerler) için sıra numaralarının ortalaması alınarak atama yapılır.

1

değerleri

1.

ve

2.

sırada olduğu için

(1+2)/2 = 1.5

sırasını;

2

değerleri

3.

ve

4.

sırada olduğu için

(3+4)/2 = 3.5

sırasını alır.

4

değeri ise

5.

sıradadır.

Eşit farklara sahip gözlemlere adil bir sıra numarası vermek için ortalama yöntem kullanılır.

4

Orijinal farkların işaretine göre pozitif (

W^+

) ve negatif (

W^-

) sıra toplamları hesaplanır.

W^+ (1, 2, 4 \text{ için}) = 1.5 + 3.5 + 5 = 10

;

W^- (-2, -1 \text{ için}) = 3.5 + 1.5 = 5

bulunur.

Test istatistiği bu iki toplamdan birine dayanır.

5

Test istatistiği (

W

) olarak küçük olan toplam seçilir.

W = \min(10, 5) = 5

.

Çift yönlü testlerde veya küçük örneklemlerde standart uygulama minimum toplamın kullanılmasıdır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi İstatistiği

Daha Fazla Pratik

Bağlı gözlemlerin (ties) olmadığı bir veri setinde aynı hesaplamayı tekrarlayarak sıra numarası atama mantığını pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 27Soru →

Bir kamu denetim birimi, devlet hastanelerine gelen hastaların bekleme sürelerinin (dakika) belirli bir teorik sürekli dağılıma (örneğin Üstel dağılım) uygun olup olmadığını test etmek istemektedir. Veriler sürekli yapıda olduğu ve grup oluşturulmadan analiz edileceği için Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov (K-S) testi tercih edilmiştir. Bu testin teorik altyapısı ve uygulanışı dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

K-S test istatistiği olan

D

, gözlenen birikimli olasılıklar ile beklenen birikimli olasılıklar arasındaki farkların aritmetik ortalamasıdır.

Bu testin güvenilir sonuçlar verebilmesi için verilerin kategorize edilmesi ve her bir sınıftaki beklenen frekansın en az 5 olması gerekir.

H_0

hipotezi, örneklemin çekildiği kitleye ait birikimli dağılım fonksiyonu

F(x)

ile varsayılan teorik birikimli dağılım fonksiyonu

F_0(x)

arasında anlamlı bir fark olmadığını ifade eder.

Kolmogorov-Smirnov testi sadece normal dağılıma uygunluk için geliştirilmiştir ve verilerin Üstel veya Lognormal dağılıma uygunluğu bu testle denetlenemez.

Hesaplanan

D

istatistiği değeri büyüdükçe, örneklem verilerinin test edilen teorik dağılıma olan uyumunun arttığına karar verilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0$ hipotezi, örneklemin çekildiği kitleye ait birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ ile varsayılan teorik birikimli dağılım fonksiyonu $F_0(x)$ arasında anlamlı bir fark olmadığını ifade eder.

Cevap

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinde temel hipotez (

H_0

), örneklemin çekildiği kitlenin dağılımı ile hedeflenen teorik dağılımın aynı olduğunu (

F(x) = F_0(x)

) savunmaktadır.

Doğru ifade, Kolmogorov-Smirnov testinin temel hipotezini yansıtmaktadır. Bu testte

H_0

hipotezi, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olmadığını, yani verilerin hedeflenen dağılıma uyum sağladığını savunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin Kurulması

H_0: F(x) = F_0(x)

ve

H_a: F(x) \neq F_0(x)

Uyum iyiliği testlerinde temel amaç, verilerin belirli bir dağılımdan gelip gelmediğini kontrol etmektir.

2

Test İstatistiğinin (

D

) Tanımlanması

D = \max |F_n(x) - F_0(x)|

K-S testi, birikimli gözlenen oranlar (

F_n

) ile birikimli teorik olasılıklar (

F_0

) arasındaki en büyük mutlak farkı ölçerek sapmayı belirler.

3

Karar Kuralının Belirlenmesi

Eğer

D_{hesaplanan} > D_{tablo}

ise

H_0

reddedilir.

Maksimum sapma kritik değerden büyükse, verilerin varsayılan dağılıma uymadığı sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, sürekli verilerin birikimli dağılım fonksiyonları üzerinden belirli bir teorik dağılıma uygunluğunu test eden parametrik olmayan bir yöntemdir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir tarım müdürlüğünde kırsal kalkınma destekleme başvurularının incelenme süresinin medyanının $25$ gün olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $12$ başvurunun inceleme süreleri (gün) aşağıdaki gibi kaydedilmiştir:

$28, 22, 25, 30, 25, 27, 21, 29, 25, 26, 23, 25$

Bu veriler kullanılarak tek örneklem işaret testi uygulandığında, testte kullanılacak pozitif işaretli gözlem sayısı ( $S^+$ ) ve etkili örneklem hacmi ( $n$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

S^+ = 5

ve

n = 8

S^+ = 5

ve

n = 12

S^+ = 9

ve

n = 12

S^+ = 3

ve

n = 8

S^+ = 6

ve

n = 8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $S^+ = 5$ ve $n = 8$

Cevap

İşaret testi kurallarına göre sıfır farkları dışlandığında pozitif işaretli gözlem sayısı

S^+ = 5

ve etkili örneklem hacmi

n = 8

olarak bulunur.

Verilen veri setinde

25

değerine eşit

4

gözlem bulunmaktadır ve bunlar çıkarıldığında

n=8

kalmaktadır. Bu

8

değerden

5

tanesi

25

'den büyüktür, bu yüzden

S^+ = 5

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezdeki medyan değeri (

\theta_0 = 25

) ile her bir gözlemi karşılaştırarak işaretleri belirleyin.

28(+), 22(-), 25(0), 30(+), 25(0), 27(+), 21(-), 29(+), 25(0), 26(+), 23(-), 25(0)

İşaret testi, gözlemlerin test edilen medyandan büyük (+) veya küçük (-) olmasına dayanır.

2

Medyana eşit olan (farkı sıfır olan) gözlemleri belirleyin ve örneklemden çıkarın.

4

adet

25

değeri bulunmaktadır. Toplam

12

gözlemden

4

tanesi çıkarıldığında etkili örneklem hacmi

n = 12 - 4 = 8

olur.

İşaret testinde medyana tam eşit olan değerler bilgi sağlamadığı için analize dahil edilmez.

3

Kalan

8

gözlem içindeki pozitif işaretli (

25

'den büyük) değerleri sayın.

28, 30, 27, 29, 26

olmak üzere toplam

5

adet pozitif işaret vardır. Yani

S^+ = 5

.

Test istatistiği olarak pozitif veya negatif işaretlerin sayısı kullanılır.

Anahtar Kavram

Tek örneklem işaret testinde, test edilen medyan değerine eşit olan gözlemlerin örneklemden çıkarılarak analiz yapılması temel bir kuraldır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 29Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin aylık performans puanlarının belirli bir teorik dağılıma (örneğin Normal dağılım) uygunluğunu test etmek amacıyla Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi uygulanmaktadır. Bu testin temel mantığı ve hesaplanma süreci dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Test istatistiği

D

, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile varsayılan teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farkı temsil eder.

Sıfır hipotezi (

H_0

), incelenen örneklemin çekildiği kütle dağılımının belirlenen teorik dağılımdan anlamlı derecede farklı olduğunu savunur.

Test istatistiği hesaplanırken, gözlenen frekanslar ile beklenen frekanslar arasındaki farkların karelerinin beklenen frekanslara oranlarının toplamı kullanılır.

Kolmogorov-Smirnov testi, verilerin kesikli ve gruplandırılmış (kategorik) olduğu durumlarda sürekli verilere oranla daha güvenilir sonuçlar vermektedir.

Test sonucunda elde edilen

D

istatistiği, seçilen anlamlılık düzeyindeki kritik değerden küçük olduğunda sıfır hipotezi reddedilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Test istatistiği $D$ , gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile varsayılan teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farkı temsil eder.

Cevap

Test istatistiği

D

, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile varsayılan teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farkı temsil eder.

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, bir örneklemin belirli bir teorik dağılıma (Normal, Üstel vb.) uyup uymadığını test eder. Bu testin temel dayanağı, gözlenen ampirik birikimli dağılım fonksiyonu ile hipotez edilen teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki en büyük dikey farktır. Bu fark

D

istatistiği olarak adlandırılır ve formülü

D = \sup_x |F_0(x) - S_n(x)|

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler belirtilen teorik dağılıma uygundur.

H_1

: Veriler belirtilen teorik dağılıma uygun değildir.

Uyum iyiliği testlerinde temel varsayım uygunluğun olmasıdır.

2

Birikimli dağılım fonksiyonlarının belirlenmesi

Gözlenen veriler için

S_n(x)

ampirik dağılımı ve varsayılan dağılım için

F_0(x)

teorik birikimli dağılımı hesaplanır.

K-S testi verilerin tüm dağılım profilini karşılaştırır.

3

Test istatistiğinin hesaplanması

D = \max |F_0(x) - S_n(x)|

İki eğri arasındaki en büyük sapma noktası, dağılımların ne kadar benzeştiğinin ölçüsüdür.

4

Karar verme

Eğer

D_{hesaplanan} > D_{tablo}

ise

H_0

reddedilir.

Maksimum fark kritik bir eşiği aşarsa dağılımların aynı olmadığına karar verilir.

Anahtar Kavram

Kolmogorov-Smirnov Test İstatistiği Tanımı

Daha Fazla Pratik

Lilliefors testi ile standart Kolmogorov-Smirnov testi arasındaki farkları (özellikle parametrelerin bilinip bilinmemesi durumu) inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 30Soru →

Bir kamu iktisadi teşebbüsünde görevli bir istatistikçi, son 10 iş günündeki günlük elektrik tüketim miktarlarını (MWh) kayıt sırasına göre şu şekilde not etmiştir:

140, 165, 120, 135, 150, 150, 170, 110, 150, 180

Bu tüketim verilerinin medyana göre rastgele dağılıp dağılmadığını incelemek amacıyla dizi (rastgelelik) testi uygulanacaktır. Medyana eşit olan değerlerin analiz dışı bırakılması kararlaştırıldığına göre; bu test için hesaplanacak olan $n_1$ (medyandan büyük değerler), $n_2$ (medyandan küçük değerler) ve toplam dizi sayısı ( $r$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n_1 = 3, \, n_2 = 4, \, r = 6

n_1 = 3, \, n_2 = 4, \, r = 7

n_1 = 5, \, n_2 = 5, \, r = 6

n_1 = 6, \, n_2 = 4, \, r = 6

n_1 = 4, \, n_2 = 3, \, r = 6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n_1 = 3, \, n_2 = 4, \, r = 6$

Cevap

Doğru yanıt, medyandan büyük değerlerin (

n_1

) 3, medyandan küçük değerlerin (

n_2

) 4 ve toplam dizi sayısının (

r

) 6 olarak hesaplandığı seçenektir.

Verilen 10 günlük tüketim verisinin medyanı 150'dir. Medyandan büyük değerler olan 165, 170 ve 180'den dolayı

n_1=3

; medyandan küçük değerler olan 140, 120, 135 ve 110'dan dolayı

n_2=4

olarak bulunur. Medyana eşit olan değerler çıkarıldıktan sonra elde edilen işaret dizisi '-, +, - -, +, -, +' şeklindedir. Bu dizide toplamda 6 adet blok (dizi) bulunmaktadır, dolayısıyla

r=6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri setini küçükten büyüğe sıralayarak medyan değerini belirleyin.

Sıralı dizi: 110, 120, 135, 140, 150, 150, 150, 165, 170, 180. Toplam 10 veri olduğu için medyan, 5. ve 6. değerlerin ortalaması olan 150'dir.

Dizi testinde gözlemlerin yönünü belirlemek için referans noktası olan medyanın hesaplanması şarttır.

2

Orijinal kayıt sırasındaki her bir değeri medyan ile karşılaştırarak işaret atayın ve medyana eşit olanları çıkarın.

140 (-), 165 (+), 120 (-), 135 (-), 170 (+), 110 (-), 180 (+). (Üç adet 150 değeri analiz dışı bırakılmıştır).

Medyandan büyük değerler (+) ve küçük değerler (-) olarak kodlanır; medyana tam eşit olan değerler analiz dışı tutularak net bir işaret dizisi elde edilir.

3

n_1

,

n_2

ve toplam dizi sayısını (

r

) hesaplayın.

n_1 (+) = 3

adet,

n_2 (-) = 4

adet. İşaret dizisi: (-, +, --, +, -, +) şeklinde olup, işaret grupları sayıldığında

r = 6

bulunur.

Parametrik olmayan dizi testinde test istatistiği bu üç temel parametrenin doğru hesaplanmasına dayanır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Dizi (Rastgelelik) Testi Parametreleri

Daha Fazla Pratik

Daha büyük örneklemler (

n_1

veya

n_2 > 20

) için dizi testinde normal yaklaşım ve Z istatistiği hesaplamasını çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir araştırmacı, bir ilçe nüfus müdürlüğünde pasaport işlemleri için bekleyen vatandaşların bekleme sürelerinin (dakika) normal dağılıma uygun olup olmadığını test etmek amacıyla Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov (K-S) testini uygulamaya karar vermiştir. Veri setinin sürekli bir yapıda olduğu ve parametrelerin önceden bilindiği varsayılmaktadır.

Buna göre, bu testin uygulanması ve test istatistiğinin hesaplanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Test istatistiği olan

D

, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki mutlak farkların en büyüğüdür.

Bu test, özellikle gruplandırılmış kategorik verilerin belirli bir dağılıma uygunluğunu test etmek için Ki-kare testinden daha güçlü bir alternatif sunar.

Test istatistiği hesaplanırken, gözlenen değerler ile beklenen frekanslar arasındaki farkların kareleri toplamı kullanılır.

Sıfır hipotezi (

H_0

), örneklemin çekildiği kitlenin dağılımı ile test edilen teorik dağılım arasında anlamlı bir fark olduğunu savunur.

K-S testinde test istatistiği

D

, birikimli olasılıklar arasındaki farkların aritmetik ortalaması alınarak hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Test istatistiği olan $D$ , gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki mutlak farkların en büyüğüdür.

Cevap

Test istatistiği olan

D

, gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki mutlak farkların en büyüğüdür.

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinde temel amaç, bir örneklemin belirli bir kuramsal dağılıma (normal, üniform, vb.) sahip bir kitleden gelip gelmediğini belirlemektir. Test istatistiği

D

, gözlenen birikimli göreli frekanslar (

S_n(x)

) ile varsayılan teorik birikimli olasılıklar (

F_0(x)

) arasındaki mutlak farkların maksimumu olarak tanımlanır (

D = \max |S_n(x) - F_0(x)|

).

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısının ve test amacının belirlenmesi.

Sürekli veriler (bekleme süresi) ve bir dağılıma (Normal dağılım) uygunluk testi söz konusudur.

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, sürekli verilerin kuramsal bir dağılıma uygunluğunu denetlemek için kullanılır.

2

Test istatistiğinin matematiksel tanımının yapılması.

D = \max |S_n(x) - F_0(x)|

formülü ile ifade edilir.

S_n(x)

gözlenen birikimli dağılımı,

F_0(x)

ise kuramsal (teorik) birikimli dağılımı temsil eder.

3

Hesaplama mantığının açıklanması.

Tüm

x

değerleri için iki fonksiyon arasındaki dikey uzaklıklar hesaplanır ve bu uzaklıkların mutlak değerce en büyüğü test istatistiği olarak seçilir.

K-S testi, gözlenen ve beklenen durum arasındaki en büyük sapmanın tesadüfi olup olmadığını sorgular.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, sürekli değişkenler için gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki maksimum mutlak farkı (

D

) temel alan bir uyum iyiliği testidir.

Daha Fazla Pratik

K-S testinin parametrelerin örneklemden tahmin edildiği durumlar için özelleşmiş hali olan Lilliefors testini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 32Soru →

Bir devlet hastanesinin poliklinik sekreterliğine başvuran $14$ hastanın cinsiyetleri başvuru sırasına göre şu şekilde kaydedilmiştir:

E, E, K, E, K, K, K, E, E, E, K, K, E, E

( $E$ : Erkek, $K$ : Kadın)

Hastaların başvuru sırasının rastgele olup olmadığını belirlemek amacıyla yapılacak bir Dizi (Rastgelelik) Testi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

n_1 = 8, n_2 = 6

ve dizi sayısı

r = 7

olarak hesaplanır.

n_1 = 8, n_2 = 6

ve dizi sayısı

r = 8

olarak hesaplanır.

n_1 = 7, n_2 = 7

ve dizi sayısı

r = 7

olarak hesaplanır.

Gözlem sayıları farklı olduğu için dizi testi yerine bağımsız iki örneklem Mann-Whitney U testi uygulanmalıdır.

Bu veriler için beklenen dizi sayısı (ortalama)

E(r) \approx 6,86

olarak hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n_1 = 8, n_2 = 6$ ve dizi sayısı $r = 7$ olarak hesaplanır.

Cevap

n_1 = 8

,

n_2 = 6

ve dizi sayısı

r = 7

olarak belirlenen seçenek doğrudur.

Veri setindeki gözlemler gruplandırıldığında; (EE), (K), (E), (KKK), (EEE), (KK) ve (EE) şeklinde toplam

7

adet dizi (run) oluşmaktadır. Bu dizilerde toplamda

8

adet Erkek (

n_1

) ve

6

adet Kadın (

n_2

) bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Kategorik grupların (

n_1

ve

n_2

) sayılarını belirle.

n_1 (E) = 8

ve

n_2 (K) = 6

Dizi testinde her bir grubun toplam gözlem sayısı temel parametrelerdir.

2

Bir gruptan diğerine geçişleri takip ederek dizi (run) sayısını (

r

) belirle.

r = 7

Dizi sayısı, birbirini takip eden aynı türden gözlemlerin blok sayısını temsil eder.

3

Elde edilen parametreleri test istatistiği için hazırla.

n_1=8, n_2=6, r=7

Bu değerler, küçük örneklem tablolarından kritik değerleri bulmak veya büyük örneklem yaklaşımı (Z testi) yapmak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Dizi (Rastgelelik) Testi Parametreleri

Soru 33Soru →

Bir kamu bankasının şubesinde vatandaşların gişe işlemlerini tamamlama sürelerinin medyanının $6$ dakika olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayımı test etmek amacıyla tesadüfi olarak seçilen $12$ müşterinin işlem süreleri (dakika olarak) aşağıda verilmiştir:

$4, 7, 6, 8, 5, 9, 6, 10, 3, 7, 6, 8$

Buna göre, tek örneklem işaret testi uygulanırken hesaplanacak olan artı işaretlerinin sayısı ( $S^+$ ) ve analize dahil edilecek olan geçerli örneklem hacmi ( $n$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

S^+ = 6, n = 9

S^+ = 6, n = 12

S^+ = 9, n = 12

S^+ = 3, n = 9

S^+ = 5, n = 10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $S^+ = 6, n = 9$

Cevap

Artı işaretlerinin sayısı

S^+ = 6

ve geçerli örneklem hacmi

n = 9

şeklindedir.

Verilen

12

gözlemden

3

tanesi (

6, 6, 6

) varsayılan medyan değerine eşittir ve analizden çıkarılmalıdır. Kalan

9

gözlemden medyanın üzerinde olanlar (

7, 8, 9, 10, 7, 8

) toplam

6

adettir, bu da

S^+ = 6

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlem değerleri ile varsayılan medyan (

M_0 = 6

) arasındaki farkların işaretlerini belirleyin.

İşaretler:

4-6(-), 7-6(+), 6-6(0), 8-6(+), 5-6(-), 9-6(+), 6-6(0), 10-6(+), 3-6(-), 7-6(+), 6-6(0), 8-6(+)

İşaret testinde her gözlemin medyanın altında mı üstünde mi kaldığına bakılır.

2

Farkı sıfır olan (medyana eşit olan) gözlemleri belirleyerek örneklemden çıkarın.

Sıfır olan değerler:

6, 6, 6

(Toplam 3 adet). Geçerli örneklem hacmi:

n = 12 - 3 = 9

.

İşaret testinde medyana tam eşit olan değerler bilgi sağlamadığı için analize dahil edilmez.

3

Kalan gözlemler içindeki artı (+) işaretli olanların sayısını (

S^+

) hesaplayın.

Artılar:

7, 8, 9, 10, 7, 8

olmak üzere toplam 6 adettir (

S^+ = 6

).

Test istatistiği belirlenen işaretlerin sayılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek örneklem işaret testinde medyana eşit olan gözlemler örneklem hacminden çıkarılır ve test istatistiği kalan veriler üzerinden hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

İşaret testi sonuçlarını yorumlarken binom dağılımı tablolarının nasıl kullanıldığını gözden geçirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 34Soru →

Bir Orman Bölge Müdürlüğü, yeni dikilen fidanların boylarının medyan değerinin $40$ cm olduğunu iddia etmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $6$ fidanın boyları ölçülmüş ve şu sonuçlar elde edilmiştir:

Fidan No	1	2	3	4	5	6
Boy (cm)	$38$	$42$	$45$	$40$	$35$	$48$

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi kullanılarak bu iddia test edilmek istendiğinde, pozitif farklara ait sıra numaralarının toplamı ( $W^+$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

10

5

12

13

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$

Cevap

10

değeri, pozitif yöndeki sapmaların (medyandan büyük olan değerlerin) büyüklük sıralamasındaki yerlerinin toplamıdır.

Pozitif farkların toplamı (

W^+

), verideki medyandan büyük olan değerlerin farklarının mutlak büyüklüklerine göre aldıkları sıra numaralarının (

1,5

,

3,5

ve

5

) toplamı olan

10

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotez edilen medyandan (

M_0 = 40

) farklar hesaplanır.

38-40=-2

,

42-40=2

,

45-40=5

,

40-40=0

,

35-40=-5

,

48-40=8

Wilcoxon testi, gözlemlerin medyan etrafındaki sapmalarının büyüklüğüne ve yönüne dayanır.

2

Sıfır olan farklar analiz dışı bırakılır ve kalan farkların mutlak değerleri alınır.

Kalan farklar:

-2, 2, 5, -5, 8

. Mutlak değerler:

2, 2, 5, 5, 8

. Örneklem hacmi

n=5

olur.

Sıfır farklar testin hassasiyetini etkilemez ve non-parametrik varsayımlar gereği çıkarılır.

3

Mutlak farklar küçükten büyüğe sıralanır ve bağlı gözlemlere ortalama sıra numarası verilir.

Değer

2

için sıra numarası:

(1+2)/2 = 1,5

. Değer

5

için sıra numarası:

(3+4)/2 = 3,5

. Değer

8

için sıra numarası:

5

.

Aynı büyüklükteki farklara eşit sıra numarası verilerek yanlılık önlenir.

4

Pozitif farklara karşılık gelen sıra numaraları toplanır (

W^+

).

Pozitif farklar:

2, 5, 8

. Sıra numaraları toplamı:

1,5 + 3,5 + 5 = 10

.

Soru kökünde istenen test istatistiği bileşeni pozitif farkların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi, parametrik t-testinin varsayımları karşılanmadığında bir kitlenin medyanını test etmek için kullanılan bir sıralama yöntemidir.

Daha Fazla Pratik

Wilcoxon test istatistiğinin (T) genellikle

W^+

ve

W^-

değerlerinden küçük olanı olarak tanımlandığını unutmayın. Bu soruda

T = 5

olacaktır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 35Soru →

Bir kamu iktisadi teşebbüsü tarafından paketlenen fındık içlerinin ağırlıklarının medyan değerinin $250$ gram olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rastgele seçilen $7$ paketin ağırlıkları (gram cinsinden) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Paket No	Ağırlık (gr)
1	246
2	252
3	257
4	250
5	249
6	255
7	259

Buna göre, Wilcoxon işaretli sıra sayıları testinde pozitif farkların sıra sayıları toplamı ( $W^+$ ) kaçtır?

17

4

18

21

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Wilcoxon işaretli sıra sayıları testinde pozitif farklara karşılık gelen sıra sayılarının toplamı 17'dir.

Verilen veri setinde 250 gram olan paket çıkarıldığında kalan farklar

-4, 2, 7, -1, 5, 9

şeklindedir. Bu farkların mutlak değerleri (

1, 2, 4, 5, 7, 9

) küçükten büyüğe sıralandığında pozitif olan farklara (2, 5, 7, 9) sırasıyla 2, 4, 5 ve 6 sıra numaraları atanır. Bu sıra numaralarının toplamı

2+4+5+6=17

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlem değerlerinden test edilen medyan değeri (

M_0 = 250

) çıkarılarak farklar (

d_i

) bulunur.

Farklar:

246-250=-4

,

252-250=2

,

257-250=7

,

250-250=0

,

249-250=-1

,

255-250=5

,

259-250=9

.

Test istatistiği, gözlemlerin hipotez edilen medyandan sapmaları üzerinden hesaplanır.

2

Farkı sıfır olan gözlemler analiz dışı bırakılır ve kalan gözlemlerin mutlak farkları sıralanır.

Analize dahil edilen farklar:

-4, 2, 7, -1, 5, 9

. Mutlak değerleri:

1, 2, 4, 5, 7, 9

. Sıra numaraları sırasıyla:

1, 2, 3, 4, 5, 6

.

Wilcoxon testinde medyana eşit olan değerler bilgi sağlamadığı için çıkarılır ve mutlak büyüklüklere göre sıralama yapılır.

3

Pozitif farklara karşılık gelen sıra sayıları belirlenir ve toplanır.

Pozitif farklar:

2, 5, 7, 9

. Bunların sıra sayıları:

2, 4, 5, 6

. Toplam:

2 + 4 + 5 + 6 = 17

.

Pozitif işaretli sıra sayıları toplamı (

W^+

), test istatistiğinin bileşenlerinden biridir.

Anahtar Kavram

Tek örneklem Wilcoxon testinde, verilerin medyana eşit olanları çıkarıldıktan sonra mutlak farklar sıralanır ve işaretli sıra sayıları toplamı (

W^+

ve

W^-

) üzerinden karar verilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 36Soru →

Bir kamu kurumu, vatandaşların dijital hizmet portalında geçirdikleri işlem sürelerinin (dakika) normal dağılıma uygunluğunu belirlemek amacıyla Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov ( $K-S$ ) testini uygulamaya karar vermiştir. Bu testin teorik varsayımları, sıfır hipotezi ve test istatistiğinin ( $D$ ) yorumlanmasıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Sıfır hipotezi (

H_0

), gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasında anlamlı bir fark olmadığını;

D

istatistiği ise bu iki fonksiyon arasındaki maksimum mutlak farkı ifade eder.

Sıfır hipotezi (

H_0

), incelenen örneklem verilerinin çekildiği evren dağılımının, seçilen kuramsal dağılımdan istatistiksel olarak farklı olduğunu varsayar.

Test istatistiği (

D

), gözlenen birikimli dağılım ile teorik birikimli dağılım arasındaki tüm farkların karelerinin aritmetik ortalaması alınarak hesaplanır.

Kolmogorov-Smirnov testi, verilerin sadece kategorik (nominal) olduğu durumlarda sürekli verilere kıyasla daha yüksek bir test gücüne (power) sahiptir.

Hesaplanan

D

istatistiği değeri kritik tablo değerinden büyük olduğunda, verilerin kuramsal dağılıma uygun olduğu sonucuna varılarak

H_0

hipotezi kabul edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sıfır hipotezi ( $H_0$ ), gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasında anlamlı bir fark olmadığını; $D$ istatistiği ise bu iki fonksiyon arasındaki maksimum mutlak farkı ifade eder.

Cevap

Sıfır hipotezi (

H_0

), gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasında fark olmadığını;

D

istatistiği ise bu iki fonksiyon arasındaki maksimum mutlak farkı ifade eder.

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testinde sıfır hipotezi (

H_0

), gözlenen dağılımın kuramsal dağılıma uygun olduğunu (aralarında fark olmadığını) savunur. Test istatistiği olan

D

ise, ampirik (gözlenen) birikimli dağılım fonksiyonu ile kuramsal (beklenen) birikimli dağılım fonksiyonu arasındaki dikey yöndeki en büyük mutlak farkı temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Dağılım belirlenen kuramsal dağılıma uygundur.

H_1

: Dağılım belirlenen kuramsal dağılıma uygun değildir.

Uyum iyiliği testlerinde başlangıç varsayımı farkın olmadığıdır.

2

Birikimli dağılım fonksiyonlarının (CDF) belirlenmesi

Gözlenen verilerden

S(x)

ve kuramsal modelden

F_0(x)

fonksiyonları elde edilir.

K-S testi frekanslar yerine birikimli olasılıklar üzerinden çalışır.

3

Test istatistiğinin hesaplanması

D = \max |S(x) - F_0(x)|

İki eğri arasındaki en uzak dikey mesafe, örneklemin kuramsal modelden ne kadar saptığının ölçüsüdür.

4

Karar kuralının uygulanması

Eğer

D_{hesap} > D_{tablo}

ise

H_0

reddedilir.

Maksimum farkın kritik eşiği aşması, verilerin o dağılımdan gelme olasılığının düşük olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Test İstatistiği Mantığı

Alternatif Yöntem

Normal dağılımın parametreleri (ortalama ve varyans) örneklemden tahmin edildiğinde standart K-S testi yerine 'Lilliefors Testi' kullanılması daha doğru sonuçlar verir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 37Soru →

Bir kamu kurumu, sunduğu e-devlet hizmetinden yararlanan vatandaşların memnuniyet oranının ( $p$ ) $0,70$ olduğunu varsaymaktadır. Bu varsayımı test etmek amacıyla rastgele seçilen $n=8$ vatandaştan $7$ 'sinin hizmetten memnun olduğu belirlenmiştir. Araştırmacı, memnuniyet oranının varsayılandan daha yüksek olup olmadığını ( $H_1: p > 0,70$ ) test etmek istemektedir.

Binom testi kullanılarak gerçekleştirilecek bu hipotez testi için p-değeri (olasılık değeri) aşağıdakilerin hangisinde doğru formüle edilmiştir?

\binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8

\binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1

1 - \left[ \binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8 \right]

2 \times \left[ \binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8 \right]

\sum_{i=0}^{7} \binom{8}{i} (0,7)^i (0,3)^{8-i}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8$

Cevap

Doğru cevap,

P(X \geq 7)

olasılığını temsil eden

\binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8

ifadesidir.

Sağ kuyruk testinde (

H_1: p > p_0

), p-değeri gözlenen başarı sayısı (

k=7

) ve daha büyük başarı sayılarının (

k=8

) olasılıkları toplamıdır. Binom dağılımı formülü olan

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

kullanılarak yapılan bu toplam, doğru olasılık alanını kapsar.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması ve test yönünün belirlenmesi

H_0: p = 0,70

ve

H_1: p > 0,70

Araştırmacı memnuniyetin 'daha yüksek' olup olmadığını test etmek istediği için sağ kuyruk testi uygulanmalıdır.

2

Verilen parametrelerin tespit edilmesi

n=8

,

p=0,70

,

q=0,30

ve gözlenen başarı sayısı

k=7

Binom olasılık fonksiyonu için gerekli temel bileşenler sorudaki verilerden elde edilir.

3

P-değeri formülünün oluşturulması

p-değeri = P(X \geq 7) = P(X=7) + P(X=8)

Kesikli dağılımlarda sağ kuyruk p-değeri, gözlenen değerden başlayarak maksimum örneklem hacmine kadar olan olasılıkların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Binom Testinde Tek Yönlü P-Değeri Hesaplama

Daha Fazla Pratik

Binom testinde örneklem hacmi büyüdüğünde (

np \geq 5

ve

nq \geq 5

) hangi yaklaşımın kullanılabileceğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 38Soru →

Bir kamu denetçisi, bir belediye iştirakinde çalışan personelin emekliliğe esas teşkil eden toplam çalışma sürelerinin (yıl) belirli bir sürekli olasılık dağılımına (örneğin Üstel Dağılım) uygun olup olmadığını Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi ile analiz etmek istemektedir. Bu analiz çerçevesinde kurulan hipotezler ve kullanılan $D$ test istatistiği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Sıfır hipotezi (

H_0

), gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasında anlamlı bir fark olmadığını savunur ve

D

istatistiği bu iki fonksiyon arasındaki maksimum mutlak dikey uzaklığı temsil eder.

Sıfır hipotezi (

H_0

), gözlenen değerlerin aritmetik ortalamasının teorik dağılımın beklenen değerine eşit olduğunu savunur ve

D

istatistiği birikimli dağılım fonksiyonları arasındaki ortalama farkı temel alır.

Bu test sadece veriler belirli sınıflara ayrıldığında (gruplandırıldığında) uygulanabilir ve sıfır hipotezi gözlenen frekanslar ile beklenen frekansların birbirine eşit olduğunu savunur.

Sıfır hipotezi (

H_0

), verilerin normal dağılmadığını savunur ve test istatistiği (

D

), gözlenen ve teorik birikimli dağılımlar arasındaki farkların kareler toplamı üzerinden hesaplanır.

Testin temel varsayımı verilerin kesikli bir dağılımdan gelmesidir ve

D

istatistiği örneklem medyanı ile kitle medyanı arasındaki farkın standart hataya oranını gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sıfır hipotezi ( $H_0$ ), gözlenen birikimli dağılım fonksiyonu ile teorik birikimli dağılım fonksiyonu arasında anlamlı bir fark olmadığını savunur ve $D$ istatistiği bu iki fonksiyon arasındaki maksimum mutlak dikey uzaklığı temsil eder.

Cevap

Sıfır hipotezinin gözlenen ve teorik birikimli dağılımlar arasında fark olmadığını savunduğu ve test istatistiğinin bu iki fonksiyon arasındaki maksimum mutlak dikey uzaklık olduğu seçenek doğrudur.

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, birikimli dağılım fonksiyonlarının karşılaştırılmasına dayanır. Sıfır hipotezi her zaman örneklemin incelenen teorik dağılıma uygun olduğunu (yani iki birikimli fonksiyon arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olmadığını) savunur.

D

istatistiği ise matematiksel olarak bu iki fonksiyon arasındaki supremum (maksimum) dikey farktır.

Adım Adım Çözüm

1

Testin amacını belirleme

Gözlenen verilerin belirli bir teorik sürekli dağılıma (Üstel, Normal vb.) uygunluğunu test etmek.

Kolmogorov-Smirnov testi bir 'uyum iyiliği' (goodness-of-fit) testidir.

2

Hipotezleri kurma

H_0: F_o(x) = F_t(x)

(Gözlenen birikimli dağılım, teorik birikimli dağılıma eşittir).

Sıfır hipotezi istatistiksel testlerde varsayılan durumun (fark olmaması/uygunluk olması) korunduğunu iddia eder.

3

Test istatistiğini tanımlama

D = \max |F_o(x) - F_t(x)|

K-S testi, iki birikimli eğri arasındaki en büyük ayrışma noktasını bularak bu ayrışmanın anlamlı olup olmadığını denetler.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov testi, örneklemden elde edilen birikimli dağılım fonksiyonu (

F_o

) ile belirlenen teorik dağılımın birikimli dağılım fonksiyonu (

F_t

) arasındaki maksimum dikey mesafeyi (

D

) ölçer.

Daha Fazla Pratik

K-S testinin örneklem parametrelerinin veriden tahmin edildiği durumlar için geliştirilen 'Lilliefors Testi' ile farklarını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 39Soru →

Bir il sağlık müdürlüğü, bölgesindeki yemekhanelerin hijyen puanlarının medyan değerinin $80$ olduğunu test etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $8$ yemekhanenin hijyen puanları aşağıda verilmiştir:

Yemekhane	Hijyen Puanı
1	75
2	85
3	90
4	70
5	80
6	82
7	78
8	95

Buna göre, Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi kullanıldığında hesaplanan test istatistiği ( $T$ ) değeri kaçtır?

10,5

17,5

13,5

6,0

28,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10,5

Cevap

Hesaplanan Wilcoxon test istatistiği değeri 10,5'tir.

Verilen 8 veriden 80 değerine eşit olan veri çıkarıldığında kalan 7 veri üzerinden işlem yapılır. Bu verilerin farkları mutlak değerce sıralanıp bağlı gözlemler için ortalama sıra numaraları verildiğinde (2, 2 -> 1,5; 5, 5 -> 3,5; 10, 10 -> 5,5; 15 -> 7) pozitif farkların toplamı 17,5 ve negatiflerin toplamı 10,5 bulunur. Test istatistiği bu iki değerden küçük olan 10,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Gözlem değerlerinin varsayılan medyandan (

M_0 = 80

) farklarının hesaplanması.

75-80=-5

;

85-80=+5

;

90-80=+10

;

70-80=-10

;

80-80=0

;

82-80=+2

;

78-80=-2

;

95-80=+15

Gözlemlerin test edilen değere göre konumunu belirlemek için farklar alınır.

2

Sıfır olan farkların çıkarılması ve kalan farkların mutlak değerce sıralanması.

Kalan farklar:

-5, +5, +10, -10, +2, -2, +15

. Mutlak değerler:

2, 2, 5, 5, 10, 10, 15

. Sıralar:

2

ve

2

için

1,5

;

5

ve

5

için

3,5

;

10

ve

10

için

5,5

;

15

için

7

.

Sıfır farklar analize katkı sağlamaz; aynı mutlak değere sahip gözlemlere sıra numaralarının ortalaması verilir.

3

Pozitif ve negatif farklara ait sıra numaralarının ayrı ayrı toplanması.

W^+ (Pozitifler) = 1,5 (+2) + 3,5 (+5) + 5,5 (+10) + 7 (+15) = 17,5

.

W^- (Negatifler) = 1,5 (-2) + 3,5 (-5) + 5,5 (-10) = 10,5

.

İstatistiksel anlamlılığı değerlendirmek için sapma yönlerine göre ağırlıklar (sıralar) toplanır.

4

Test istatistiği (

T

) olarak küçük olan toplamın seçilmesi.

T = \min(17,5; 10,5) = 10,5

.

Wilcoxon işaretli sıra sayıları testinde test istatistiği, pozitif ve negatif sıra toplamlarının küçüğüdür.

Anahtar Kavram

Tek Örneklem Wilcoxon İşaretli Sıra Sayıları Testi

Daha Fazla Pratik

Bağlı gözlemlerin (ties) bulunmadığı durumlar için örneklem hacmi büyüdüğünde kullanılan normal yaklaşım (Z testi) formülünü inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 40Soru →

Bir ziraat mühendisi, yeni geliştirilen bir gübreleme yönteminin uygulandığı $28$ farklı parselden elde edilen ürün miktarlarının ( $kg$ ) normal dağılıma uygunluğunu belirlemek amacıyla Shapiro-Wilk testi uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen bulgular aşağıda özetlenmiştir:

İstatistik	Değer
Örneklem Hacmi ( $n$ )	$28$
Shapiro-Wilk ( $W$ )	$0,945$
Anlamlılık ( $p$ )	$0,148$

Buna göre, $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde araştırmacının ulaştığı sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

Hesaplanan

p

değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez ve verilerin normal dağılıma uygun olduğu kabul edilir.

Hesaplanan

p = 0,148

değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilir ve verilerin normal dağılım göstermediği sonucuna varılır.

Örneklem hacmi

50

'den küçük olduğu için Shapiro-Wilk testi sonuçları güvenilir değildir; bunun yerine Kolmogorov-Smirnov testi sonuçları esas alınmalıdır.

Shapiro-Wilk testinde yokluk hipotezi "Veriler normal dağılım göstermemektedir" şeklinde kurulduğundan, verilerin normal dağılmadığı kabul edilir.

Hesaplanan

W

istatistiği

1

değerine yakın olduğu için anlamlılık değerine bakılmaksızın verilerin çok yüksek basıklık değerine sahip olduğu söylenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan $p$ değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez ve verilerin normal dağılıma uygun olduğu kabul edilir.

Cevap

Hesaplanan p değerinin (

0,148

) seçilen anlamlılık düzeyinden (

\alpha=0,05

) büyük olması nedeniyle, verilerin normal dağılım gösterdiğini ifade eden yokluk hipotezi reddedilemez ve verilerin normal dağılıma uygun olduğu sonucuna varılır.

Shapiro-Wilk testinde yokluk hipotezi (

H_0

), incelenen verilerin normal dağılım gösterdiğini varsayar. İstatistiksel analiz sonucunda elde edilen

p

değeri (

0,148

), seçilen hata payı olan

0,05

düzeyinden büyük olduğu için bu hipotez reddedilemez. Dolayısıyla verilerin normal dağılım varsayımını karşıladığı sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0

: Veriler normal dağılım göstermektedir.

H_1

: Veriler normal dağılım göstermemektedir.

Normallik testlerinde temel amaç verilerin varsayılan dağılıma uygunluğunu test etmektir.

2

Anlamlılık değeri ile alfanın karşılaştırılması

p = 0,148 > \alpha = 0,05

İstatistiksel karara varmak için hesaplanan olasılık değeri ile hata payı karşılaştırılır.

3

İstatistiksel kararın verilmesi

H_0

reddedilemez.

p

değeri anlamlılık düzeyinden büyük olduğunda gözlenen durumun şans eseri oluşma ihtimali yüksek kabul edilir ve yokluk hipotezi korunur.

Anahtar Kavram

Shapiro-Wilk testi, özellikle küçük örneklemlerde normallik varsayımını kontrol etmek için kullanılan en güçlü testlerden biridir ve p değerinin alfanın üzerinde olması durumunda normallik varsayımının sağlandığı kabul edilir.

İpuçları

1

Normallik testlerinde

H_0

hipotezinin neyi savunduğunu hatırlayın.

2

p

değeri ile

\alpha

değeri arasındaki büyüklük-küçüklük ilişkisinin hipotez testi kararını nasıl etkilediğini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Shapiro-Wilk ve Kolmogorov-Smirnov testleri arasındaki temel farkları ve örneklem büyüklüğüne göre hangisinin tercih edilmesi gerektiğini tekrar edin.

Tahmini Süre:1m 15s

Tek Örneklem Testleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm