Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

$\mathbf{X} = (X_1, X_2)^T$ rastgele vektörünün, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ aşağıda verilen iki değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir:

\mathbf{X} \sim N_2 \left( \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 36 & 6 \\ 6 & 49 \end{pmatrix} \right)

Buna göre, $X_2$ rastgele değişkeninin marjinal dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

N(15, 49)

N(12, 36)

N(15, 7)

N(15, 6)

N(12, 6)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $N(15, 49)$

Cevap

X_2 değişkeninin marjinal dağılımı N(15, 49) şeklindedir.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir vektörde, her bir bileşenin marjinal dağılımı da normaldir.

X_2

değişkeni için bu dağılımın ortalaması

\mu_2 = 15

ve varyansı

\sigma_2^2 = 49

olarak matris ve vektörden doğrudan okunabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortalama vektörünü analiz et

E[X_2] = 15

\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}

vektöründeki ikinci eleman

X_2

değişkeninin beklenen değeridir.

2

Varyans-kovaryans matrisini analiz et

Var(X_2) = \sigma_2^2 = 49

\boldsymbol{\Sigma}

matrisindeki ikinci satır, ikinci sütun elemanı (

a_{22}

)

X_2

değişkeninin varyansını verir.

3

Marjinal dağılım özelliğini uygula

X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) = N(15, 49)

Çok değişkenli normal dağılımın herhangi bir alt kümesi (marjinal dağılımı) de normal dağılıma sahiptir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Marjinal Dağılım Parametrelerinin Belirlenmesi

Soru 62Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen vatandaş memnuniyeti anketinde, iki farklı hizmet birimine yönelik performans puanları $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu iki değişkenin birbirinden bağımsız olduğu bilinmektedir. $X$ değişkeninin marjinal yoğunluk fonksiyonu $f_X(x) = 2x$ ( $0 < x < 1$ ) ve $Y$ değişkeninin marjinal yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y) = 3y^2$ ( $0 < y < 1$ ) olarak verildiğine göre, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f(x,y) = 6xy^2, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

f(x,y) = 2x + 3y^2, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

f(x,y) = 6xy^2, \quad 0 < x < y < 1

f(x,y) = 5xy, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

f(x,y) = 1, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f(x,y) = 6xy^2, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1$

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal yoğunlukların çarpımı olan

6xy^2

fonksiyonudur ve tanım aralığı

0 < x < 1

ile

0 < y < 1

bölgelerinin birleşimidir.

Bağımsızlık tanımı gereği, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x,y)

, marjinal yoğunluk fonksiyonları

f_X(x)

ve

f_Y(y)

'nin çarpımına eşittir. Bu soruda

2x

ile

3y^2

çarpıldığında

6xy^2

elde edilir. Ayrıca bağımsızlık için tanım aralığının da değişkenlerin birbirinden bağımsız sınırlarına (

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

) sahip olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık şartını belirlemek

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

İki rastgele değişken bağımsız ise ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal fonksiyonların çarpımına eşittir.

2

Marjinal fonksiyonları çarpmak

(2x) \cdot (3y^2) = 6xy^2

Verilen

f_X(x) = 2x

ve

f_Y(y) = 3y^2

ifadeleri çarpılarak ortak fonksiyon elde edilir.

3

Tanım aralığını (destek kümesini) kontrol etmek

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

Bağımsızlık durumunda, ortak fonksiyonun tanımlı olduğu bölge değişkenlerin kendi sınırlarının kartezyen çarpımı olmalıdır (dikdörtgensel bölge).

Anahtar Kavram

Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için gerek ve yeter şart, ortak yoğunluk fonksiyonunun marjinal yoğunlukların çarpımı şeklinde yazılabilmesidir (

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

).

İpuçları

1

Bağımsızlık durumunda

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

formülünü hatırlayın.

2

Verilen iki fonksiyonu çarparak katsayıları ve değişkenleri kontrol edin.

3

Bağımsız değişkenlerin tanım aralığının bir dikdörtgen (sınırların birbirinden bağımsız olduğu bölge) olması gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin sınırları

0 < x < y < 1

şeklinde verildiğinde bağımsızlığın neden bozulacağını integral alarak kanıtlamayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 63Soru →

Bir araştırmacı, iki rastgele değişken olan $X$ ve $Y$ için yaptığı hesaplamalar sonucunda $E[X] = 5$ , $E[Y] = 8$ ve $E[XY] = 40$ değerlerini elde etmiştir. Bu verilere göre, $X$ ve $Y$ değişkenleri arasındaki ilişki ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

X

ve

Y

değişkenleri birbirinden bağımsızdır.

X

ve

Y

değişkenleri arasında negatif yönlü güçlü bir ilişki vardır.

X

ve

Y

değişkenleri arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

X

ve

Y

değişkenlerinin toplamının varyansı, varyansları farkına eşittir.

X

ve

Y

değişkenlerinin çarpımının beklenen değeri sıfırdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X$ ve $Y$ değişkenleri arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Cevap

Değişkenler arasında doğrusal bir ilişki bulunmamaktadır.

Hesaplanan kovaryans değeri sıfır çıktığı için,

X

ve

Y

değişkenleri arasında doğrusal (lineer) bir ilişki bulunmamaktadır. Bu durum, istatistiksel olarak korelasyon katsayısının da sıfır olduğu anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans formülünü kullanarak

Cov(X, Y)

değerini hesaplamak.

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 40 - (5 \times 8) = 40 - 40 = 0

İki değişken arasındaki ilişkinin türünü belirlemek için önce kovaryans değerine bakılmalıdır.

2

Kovaryans değerinin istatistiksel anlamını yorumlamak.

Cov(X, Y) = 0

ise bu değişkenler arasında doğrusal bir ilişki (korelasyon) yoktur.

Korelasyon katsayısı

\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

formülüyle hesaplandığından, payın sıfır olması korelasyonun da sıfır olması demektir.

Anahtar Kavram

Kovaryansın sıfır olması, değişkenler arasında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir; ancak bu durum değişkenlerin mutlaka bağımsız olduğu anlamına gelmez (doğrusal olmayan bir bağımlılık olabilir).

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin bağımsız olduğu durumda varyans ve beklenen değer özelliklerini içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 64Soru →

$\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T$ rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve varyans-kovaryans matrisinin ( $oldsymbol{\Sigma}$ ) aşağıda verildiği bilinmektedir:

\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 25 & 4 & 2 \\ 4 & 36 & -3 \\ 2 & -3 & 49 \end{pmatrix}

Buna göre, $X_2$ rastgele değişkeninin standart sapması ( $\sigma_2$ ) kaçtır?

6

36

5

7

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Varyans-kovaryans matrisindeki

\sigma_{22} = 36

değerinin karekökü olan 6,

X_2

değişkeninin standart sapmasıdır.

Çok değişkenli normal dağılımda

\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin köşegen elemanları olan

\sigma_{11}, \sigma_{22}, \dots, \sigma_{pp}

değerleri her bir rastgele değişkenin varyansını verir. Verilen matriste ikinci değişken

X_2

için köşegen elemanı (2. satır, 2. sütun) 36'dır. Standart sapma varyansın karekökü olduğu için

\sqrt{36} = 6

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Matris üzerinden

X_2

değişkenine ait varyans değerini belirleyin.

\sigma_{22} = Var(X_2) = 36

Çok değişkenli normal dağılımın varyans-kovaryans matrisinde köşegen elemanlar (i. satır, i. sütun), ilgili

X_i

değişkeninin varyansını gösterir.

2

Varyans değerinden standart sapmaya geçiş yapın.

\sigma_2 = \sqrt{36} = 6

Standart sapma, varyansın pozitif kareköküdür.

Anahtar Kavram

Varyans-kovaryans matrisinde köşegen elemanların (diag

(\Sigma)

) varyans değerlerini temsil etmesi.

Alternatif Yöntem

Varyans-kovaryans matrisinin simetrik yapısı incelenerek

\Sigma_{12} = \Sigma_{21} = 4

olduğu görülür; bu bilgi marjinal dağılımın sadece tekil bir parametresine odaklanıldığında karıştırılmamalıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 65Soru →

Bir bakanlık tarafından düzenlenen hizmet içi eğitim programına katılan personellerin unvanlarına göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel Unvanı	Toplam İçindeki Oranı ( $p_i$ )
Aday Memur ( $X_1$ )	$0{}20$
Asil Memur ( $X_2$ )	$0{}40$
Yönetici ( $X_3$ )	$0{}40$

Bu eğitim programına katılanlar arasından rastgele seçilen $50$ personelin unvan dağılımı multinomiyal dağılım göstermektedir.

Buna göre, aday memur sayısı ( $X_1$ ) ile asil memur sayısı ( $X_2$ ) arasındaki kovaryans değeri ( $Cov(X_1, X_2)$ ) kaçtır?

-4

4

0

8

-10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-4$

Cevap

Aday memur sayısı ile asil memur sayısı arasındaki kovaryans değeri

-4

olarak hesaplanır.

Multinomiyal dağılımda

n

deneme ve

k

kategori olduğunda,

X_i

ve

X_j

(

i \neq j

) değişkenleri arasındaki kovaryans

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

şeklinde tanımlanır. Soruda verilen

n=50

,

p_1=0{}20

ve

p_2=0{}40

değerleri formülde yerine yazıldığında

-50 \times 0{}20 \times 0{}40 = -4

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Multinomiyal dağılımın parametrelerini belirleyin.

n = 50

,

p_1 = 0{}20

ve

p_2 = 0{}40

.

Kovaryans hesabı için toplam deneme sayısı ve ilgili kategorilerin gerçekleşme olasılıkları gereklidir.

2

Multinomiyal dağılım için kovaryans formülünü yazın.

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

Multinomiyal dağılımda kategoriler birbirine bağımlı olduğu için kovaryans daima negatiftir ve bu formülle hesaplanır.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı yapın.

Cov(X_1, X_2) = -50 \cdot 0{}20 \cdot 0{}40 = -10 \cdot 0{}40 = -4

Matematiksel çarpım işlemi sonucunda değişkenler arasındaki ilişkiyi gösteren değer elde edilir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal dağılımda rastgele değişkenler arasındaki kovaryans daima negatiftir ve

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

formülü ile bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 66Soru →

Bir kurye şirketinde paketlerin teslimat bölgesi ( $Y$ ) ve kullanılan araç türü ( $X$ ) değişkenleri için ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X \setminus Y$	$1$ (A Bölgesi)	$2$ (B Bölgesi)	$3$ (C Bölgesi)
$1$ (Motosiklet)	$0,20$	$0,10$	$0,10$
$2$ (Kamyonet)	$0,10$	$0,30$	$0,20$

Bir paketin B bölgesine ( $Y=2$ ) teslim edildiği bilindiğine göre, bu teslimatın motosiklet ( $X=1$ ) ile yapılmış olma olasılığı kaçtır?

0,10

0,20

0,25

0,33

0,40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,25$

Cevap

Paketin B bölgesine teslim edildiği bilindiğinde motosikletle yapılmış olma olasılığı

0,25

değeridir.

Verilen tabloda B bölgesine teslimat yapılma olasılığı, sütun toplamı olan

0,10 + 0,30 = 0,40

değeridir. Bu bölgeye yapılan teslimatın motosikletle olma olasılığı (

X=1, Y=2

) ise

0,10

olarak verilmiştir. Koşullu olasılık tanımına göre

\frac{0,10}{0,40} = 0,25

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşul olayının marjinal olasılığını hesaplayın.

P(Y=2) = P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=2) = 0,10 + 0,30 = 0,40

Koşullu olasılık formülünde payda kısmında yer alacak olan marjinal olasılığı belirlemek gerekir.

2

İstenen olayın ortak olasılığını tablodan bulun.

P(X=1, Y=2) = 0,10

Motosiklet (

X=1

) ve B bölgesi (

Y=2

) kesişimindeki olasılık değeri belirlenir.

3

Koşullu olasılık formülünü uygulayın.

P(X=1 | Y=2) = \frac{P(X=1, Y=2)}{P(Y=2)} = \frac{0,10}{0,40} = 0,25

Tanım gereği koşullu olasılık, ortak olasılığın koşul olayının olasılığına oranıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık Kütle Fonksiyonu

İpuçları

1

Soruda 'bilindiğine göre' ifadesi geçiyorsa bu bir koşullu olasılık problemidir.

2

Önce

Y=2

sütunundaki tüm olasılıkları toplayarak paydanızı belirleyin.

3

Formülünüz

P(X=1|Y=2) = \frac{P(X=1, Y=2)}{P(Y=2)}

şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonları üzerinden integral kullanarak koşullu olasılık hesaplama alıştırmaları yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 67Soru →

Bir istatistiksel çalışmada, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerine ilişkin beklenen değerler $E[X] = 5$ ve $E[Y] = 6$ olarak belirlenmiştir. Bu değişkenlerin çarpımlarının beklenen değeri ise $E[XY] = 30$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenleri arasındaki ilişki hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Değişkenler birbirinden bağımsızdır.

Değişkenler arasında pozitif yönlü kuvvetli bir ilişki vardır.

Değişkenlerin toplamının beklenen değeri

30

dır.

Değişkenlerin varyansları birbirine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Cevap

Değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Kovaryans formülü olan

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

hesaplandığında

30 - (5 \times 6) = 0

sonucu elde edilir. İstatistikte kovaryansın sıfır olması, değişkenler arasında doğrusal bir ilişki olmadığını kesin olarak gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans formülünü hatırla.

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X] \cdot E[Y]

İki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve varlığını belirlemek için kovaryans değeri hesaplanmalıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koy.

Cov(X, Y) = 30 - (5 \times 6) = 30 - 30 = 0

Değişkenlerin beklenen değerleri ve çarpımlarının beklenen değeri kullanılarak kovaryansın sayısal değeri bulunur.

3

Kovaryans değerini yorumla.

Cov(X, Y) = 0

ise değişkenler arasında doğrusal (lineer) bir ilişki yoktur.

Sıfır kovaryans, değişkenlerin birbirini doğrusal olarak etkilemediği anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Kovaryansın sıfır olması, iki rastgele değişken arasında doğrusal bir ilişkinin bulunmadığını ifade eder; ancak bu durum değişkenlerin mutlaka bağımsız olduğu anlamına gelmez.

Soru 68Soru →

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri $(0,1)$ aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Yeni rastgele değişkenler $U = X/2$ ve $V = 4Y$ olarak tanımlandığına göre, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

g(u,v) = \frac{1}{2}, \quad 0 < u < \frac{1}{2}, \quad 0 < v < 4

g(u,v) = 1, \quad 0 < u < \frac{1}{2}, \quad 0 < v < 4

g(u,v) = 2, \quad 0 < u < \frac{1}{2}, \quad 0 < v < 4

g(u,v) = \frac{1}{2}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

g(u,v) = \frac{1}{2}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < \frac{1}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $g(u,v) = \frac{1}{2}, \quad 0 < u < \frac{1}{2}, \quad 0 < v < 4$

Cevap

g(u,v) = \frac{1}{2}

fonksiyonu ile

0 < u < 1/2

ve

0 < v < 4

sınırlarını belirten seçenek doğrudur.

Dönüşümün tersi alındığında

x=2u

ve

y=v/4

bulunur. Jakobiyen determinantı

2 \times (1/4) = 1/2

olarak hesaplanır. Sınırlar ise

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

şartlarından

0 < u < 1/2

ve

0 < v < 4

olarak güncellenir. Bu durumda doğru fonksiyon

g(u,v) = 1/2

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşümleri belirleme

x = 2u

ve

y = v/4

Orijinal değişkenleri (

x, y

) yeni değişkenler (

u, v

) cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Jakobiyen determinantını hesaplama

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1/4 \end{vmatrix} = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Değişken dönüşümünde olasılık yoğunluğunu ölçeklendirmek için Jakobiyen çarpanı (

|J|

) gereklidir.

3

Yeni tanım aralıklarını (sınırları) belirleme

0 < 2u < 1 \Rightarrow 0 < u < 1/2

ve

0 < v/4 < 1 \Rightarrow 0 < v < 4

Orijinal değişkenlerin sınırları olan

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

değerlerini

u

ve

v

cinsinden yazmak gerekir.

4

Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu oluşturma

g(u,v) = f(x,y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

x

ve

y

bağımsız düzgün dağıldığı için

f(x,y) = 1

dir; bu değer Jakobiyen ile çarpılır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli sürekli rastgele değişkenlerde lineer dönüşüm ve Jakobiyen yöntemi.

Soru 69Soru →

$\mathbf{X} = (X_1, X_2)^T$ rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve varyans-kovaryans matrisinin aşağıda verildiği bilinmektedir:

\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 16 & -8 \\ -8 & 25 \end{pmatrix}

Buna göre, $X_1$ ve $X_2$ rastgele değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) kaçtır?

-0,40

-0,20

-8,00

0,40

-0,02

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-0,40$

Cevap

Korelasyon katsayısı

-0,40

olarak hesaplanır.

Varyans-kovaryans matrisinin köşegen elemanları olan 16 ve 25 değerlerinin karekökleri alındığında standart sapmalar 4 ve 5 olarak bulunur. Kovaryans değeri olan -8, bu standart sapmaların çarpımı olan 20'ye bölündüğünde korelasyon katsayısı -0,40 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans-kovaryans matrisinden bireysel varyansları ve kovaryansı belirleyin.

\sigma_1^2 = 16

,

\sigma_2^2 = 25

ve

\sigma_{12} = -8

Çok değişkenli normal dağılımda varyans-kovaryans matrisinin köşegen elemanları varyansları, köşegen dışı elemanlar ise kovaryansı verir.

2

Varyanslardan yararlanarak standart sapmaları hesaplayın.

\sigma_1 = \sqrt{16} = 4

ve

\sigma_2 = \sqrt{25} = 5

Korelasyon katsayısı formülü varyansları değil, standart sapmaları gerektirir.

3

Korelasyon katsayısı formülünü uygulayın.

\rho = \frac{\sigma_{12}}{\sigma_1 \sigma_2} = \frac{-8}{4 \times 5} = \frac{-8}{20} = -0,40

Korelasyon katsayısı, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve şiddetini belirlemek için kovaryansın standartlaştırılmasıdır.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımın parametreleri ve korelasyon katsayısı hesaplaması

Soru 70Soru →

İstatistiksel analizlerde iki sürekli rastgele değişken olan $X$ ve $Y$ 'nin bağımsızlığını incelemeden önce, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun ( $f(x,y)$ ) tanımlı olduğu bölgeye (destek kümesine) bakılır. Bağımsızlık için en temel geometrik şart, değişkenlerin sınırlarının birbirinden etkilenmemesi (dikdörtgensel bölge olması) durumudur. Buna göre, aşağıdaki bölgelerden hangisinde tanımlı olan $X$ ve $Y$ değişkenlerinin bağımsız olması matematiksel olarak mümkün değildir?

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

x > 0

ve

y > 0

x^2 + y^2 \leq 4

-1 < x < 1

ve

-5 < y < 5

10 < x < 20

ve

30 < y < 40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x^2 + y^2 \leq 4$

Cevap

Daire bölgesi olan

x^2 + y^2 \leq 4

ifadesi, değişkenlerin sınırlarını birbirine bağımlı kıldığı için bağımsızlık mümkün değildir.

Doğru cevap olan daire bölgesinde (

x^2 + y^2 \leq 4

),

x

ve

y

değişkenlerinin sınırları birbirine denklemsel olarak bağlıdır. Bağımsızlık için

x

'in sınırlarının

y

'den,

y

'nin sınırlarının da

x

'ten tamamen bağımsız (sabit değerli) olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Destek kümesi (support) kavramını analiz etme

Bağımsızlık için ortak PDF'in

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

şeklinde ayrılabilmesi gerekir.

Bu ayrışmanın ön koşulu, destek kümesinin bir kartezyen çarpım (

S_X \times S_Y

) yani geometrik olarak bir dikdörtgen olmasıdır.

2

Daire bölgesinin sınırlarını inceleme

x^2 + y^2 \leq 4

bölgesi için

x

sınırları

-\sqrt{4-y^2} \leq x \leq \sqrt{4-y^2}

şeklindedir.

x

'in alabileceği değerler kümesi doğrudan

y

'nin değerine bağlıdır. Bu durum değişkenler arasında en baştan bir ilişki (bağımlılık) oluşturur.

3

Diğer seçeneklerle karşılaştırma

Diğer tüm seçenekler (

A, B, D, E

) birer dikdörtgensel bölgedir.

Dikdörtgensel bölgelerde bir değişkenin sınırları diğerinden bağımsız sabit sayılar veya bağımsız aralıklardır.

Anahtar Kavram

İki sürekli rastgele değişken bağımsız ise, bunların ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge (support) mutlaka bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım) olmalıdır. Eğer bölge üçgen, daire veya elips gibi 'sınırları birbirine bağlı' bir şekil ise değişkenler mutlaka bağımlıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 71Soru →

Bir bankadaki işlemlerin türü ( $X$ : $0$ =Bireysel, $1$ =Kurumsal) ve işlemin yapıldığı kanal ( $Y$ : $0$ =Mobil, $1$ =Şube) rastgele değişkenleri için ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X \setminus Y$	$0$ (Mobil)	$1$ (Şube)
$0$ (Bireysel)	$0,40$	$0,20$
$1$ (Kurumsal)	$0,10$	$0,30$

Buna göre, seçilen bir işlemin kurumsal olduğu bilindiğine göre, bu işlemin mobil kanal aracılığıyla yapılmış olma olasılığı ( $P(Y=0|X=1)$ ) kaçtır?

0,10

0,20

0,25

0,40

0,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,25$

Cevap

Kurumsal olduğu bilinen bir işlemin mobil kanal aracılığıyla yapılmış olma olasılığı

0,25

olarak hesaplanır.

Doğru cevap, kurumsal işlemlerin (

X=1

) toplam olasılığı olan

0,40

değerinin, hem kurumsal hem de mobil olan işlemlerin (

X=1, Y=0

) olasılığı olan

0,10

değerine bölünmesiyle elde edilen

0,25

sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşul olayı olan

X=1

(Kurumsal) durumunun marjinal olasılığını hesapla.

P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 0,10 + 0,30 = 0,40

Koşullu olasılık formülünde payda kısmında koşulun gerçekleşme olasılığı yer almalıdır.

2

İstenen durumun (

Y=0

) ve koşul durumunun (

X=1

) ortak olasılığını tablodan belirle.

P(X=1, Y=0) = 0,10

Koşullu olasılık formülünün pay kısmında her iki durumun birlikte gerçekleşme olasılığı bulunur.

3

Koşullu olasılık formülünü uygula.

P(Y=0|X=1) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(X=1)} = \frac{0,10}{0,40} = 0,25

Koşullu olasılık, ortak olasılığın koşulun marjinal olasılığına oranıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık Kütle Fonksiyonu (Kesikli)

İpuçları

1

Koşullu olasılık

P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)

formülü ile hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Aynı tabloyu kullanarak sürekli değişkenler için integral içeren koşullu olasılık sorularını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 72Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen denetim faaliyetleri kapsamında, incelenen bir dosyadaki iki farklı hata türünün ( $X$ ve $Y$ ) görülme sayılarına ilişkin ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X \setminus Y$	$0$	$1$
$0$	$0,20$	$0,30$
$1$	$0,10$	$0,40$

Buna göre, bu iki rastgele değişkenin ortak beklenen değeri olan $E[XY]$ kaçtır?

0,35

0,40

0,50

1,00

1,20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,40$

Cevap

Ortak beklenen değer

0,40

olarak hesaplanır.

Doğru seçenek olan

0,40

değeri, ortak olasılık kütle fonksiyonundaki her bir

(x, y)

ikilisinin değerlerinin, o ikilinin olasılığı ile çarpılıp toplanması sonucu elde edilir.

1 \cdot 1 \cdot 0,40

dışındaki tüm terimler sıfır çarpanı nedeniyle etkisiz kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak beklenen değer (

E[XY]

) formülünü belirleme

E[XY] = \sum_{x} \sum_{y} xy \cdot P(X=x, Y=y)

Kesikli rastgele değişkenlerde iki değişkenin çarpımının beklenen değeri, her bir

(x, y)

çiftinin çarpımı ile o çiftin ortak olasılığının çarpımlarının toplamına eşittir.

2

Tablodaki değerleri formülde yerine koyma

E[XY] = (0 \cdot 0 \cdot 0,20) + (0 \cdot 1 \cdot 0,30) + (1 \cdot 0 \cdot 0,10) + (1 \cdot 1 \cdot 0,40)

X

ve

Y

değişkenlerinin alabileceği tüm

(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

değer çiftleri için hesaplama yapılır.

3

İşlemleri tamamlama

E[XY] = 0 + 0 + 0 + 0,40 = 0,40

Sıfır çarpanı içeren terimler elenir ve geriye kalan değer toplanır.

Anahtar Kavram

İki kesikli rastgele değişkenin ortak beklenen değeri, değişkenlerin değerlerinin çarpımı ile ortak olasılıklarının ağırlıklı toplamıdır.

Soru 73Soru →

Bir kamu çağrı merkezinde, müşteri temsilcilerinin bir saatlik zaman diliminde yanıtladıkları çağrı sayısı ( $X$ ) ve çalışma vardiyası ( $Y$ ) rastgele değişkenlerine ait ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir ( $Y=1$ gündüz, $Y=2$ gece vardiyasını temsil etmektedir):

$X \setminus Y$	$1$ (Gündüz)	$2$ (Gece)
$5$	$0{}3$	$0{}1$
$10$	$0{}2$	$0{}4$

Buna göre, gündüz vardiyasında çalışan bir temsilcinin bir saatte yanıtladığı çağrı sayısının beklenen değeri ( $E[X|Y=1]$ ) kaçtır?

7

8

9

3{}5

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Gündüz vardiyasında çalışan bir temsilcinin yanıtladığı ortalama çağrı sayısı 7'dir.

Doğru cevap olan 7 değeri, gündüz vardiyası koşulu altında çağrı sayılarının kendi olasılıklarına göre ağırlıklandırılmasıyla elde edilmiştir.

P(Y=1)=0,5

iken çağrı sayısının 5 olma olasılığı %60, 10 olma olasılığı ise %40'tır.

Adım Adım Çözüm

1

Y=1

(gündüz vardiyası) koşulunun gerçekleşme olasılığını (marjinal olasılık) hesaplayın.

P(Y=1) = P(X=5, Y=1) + P(X=10, Y=1) = 0{}3 + 0{}2 = 0{}5

Koşullu olasılık ve beklenen değer hesaplamalarında paydayı oluşturmak için marjinal olasılık gereklidir.

2

Y=1

koşulu altında

X

değişkeninin alabileceği değerlerin koşullu olasılıklarını bulun.

P(X=5|Y=1) = \frac{0{}3}{0{}5} = 0{}6

ve

P(X=10|Y=1) = \frac{0{}2}{0{}5} = 0{}4

Koşullu beklenen değer, bu koşullu olasılıklar kullanılarak ağırlıklı ortalama şeklinde hesaplanır.

3

Koşullu beklenen değer formülünü uygulayın:

E[X|Y=1] = \sum x \cdot P(X=x|Y=1)

E[X|Y=1] = 5(0{}6) + 10(0{}4) = 3 + 4 = 7

Beklenen değer, rastgele değişkenin değerleri ile bu değerlerin (koşullu) gerçekleşme olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu beklenen değer, bir rastgele değişkenin belirli bir bilginin (koşulun) ışığındaki ortalama değerini temsil eder ve

E[X|Y=y] = \sum x \cdot \frac{P(X=x, Y=y)}{P(Y=y)}

formülüyle hesaplanır.

Tahmini Süre:45s

Soru 74Soru →

Bir mobilya fabrikasında üretilen ürünler malzeme türü ( $X$ : $0$ =Sunta, $1$ =Masif) ve kalite kontrol sonucu ( $Y$ : $0$ =Standart altı, $1$ =Standart) olarak sınıflandırılmaktadır. Bu ürünlerin ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X$ \ $Y$	$0$	$1$
$0$	$0,20$	$0,30$
$1$	$0,40$	$0,10$

Buna göre, rastgele seçilen bir ürünün standart olduğu bilindiğine göre ( $Y=1$ ), bu ürünün sunta ( $X=0$ ) olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,30

0,40

0,60

0,75

0,80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,75$

Cevap

Rastgele seçilen bir ürünün standart olduğu bilindiğinde sunta olma olasılığı

0,75

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan

0,75

değeri,

P(X=0, Y=1)

ortak olasılığının (

0,30

),

P(Y=1)

marjinal olasılığına (

0,40

) bölünmesiyle elde edilir. Bu işlem, standart olduğu bilinen ürünler içindeki sunta oranını tam olarak yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşul olayı olan

Y=1

durumunun marjinal olasılığını hesaplayın.

P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) = 0,30 + 0,10 = 0,40

Koşullu olasılık formülünde payda kısmında kullanılacak toplam olasılığı belirlemek için gereklidir.

2

X=0

ve

Y=1

olaylarının ortak olasılığını tablodan belirleyin.

P(X=0, Y=1) = 0,30

Koşullu olasılık formülünün pay kısmında her iki durumun aynı anda gerçekleşme olasılığı kullanılır.

3

Koşullu olasılık formülünü uygulayın:

P(X=0|Y=1) = \frac{P(X=0, Y=1)}{P(Y=1)}

P(X=0|Y=1) = \frac{0,30}{0,40} = 0,75

Belirli bir koşul altında olasılık, ilgilenilen durumun olasılığının kısıtlanmış örnek uzayındaki ağırlığıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde koşullu olasılık dağılımı hesaplanırken, ortak olasılık değeri ilgili marjinal olasılığa bölünür.

Soru 75Soru →

Bir kamu hastanesinin acil servisine başvuran hastalar; tıbbi öncelik durumlarına göre "Kırmızı Alan" ( $X_1$ ), "Sarı Alan" ( $X_2$ ) ve "Yeşil Alan" ( $X_3$ ) olmak üzere üç kategoriye ayrılmaktadır. Bir hastanın bu kategorilere atanma olasılıkları sırasıyla $p_1 = 0,20$ , $p_2 = 0,50$ ve $p_3 = 0,30$ olarak belirlenmiştir. Rastgele seçilen $20$ hastadan oluşan bir grupta, Kırmızı Alan ( $X_1$ ) ve Sarı Alan ( $X_2$ ) kategorilerine giren hasta sayıları arasındaki kovaryans değeri ( $Cov(X_1, X_2)$ ) kaçtır?

-2

2

0

3,2

-4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2$

Cevap

Kırmızı Alan ve Sarı Alan kategorileri arasındaki kovaryans değeri

-2

olarak hesaplanır.

Multinomiyal dağılımda, farklı iki kategori olan

X_1

ve

X_2

arasındaki kovaryans

Cov(X_1, X_2) = -n \cdot p_1 \cdot p_2

formülü ile bulunur. Soruda verilen

n=20

,

p_1=0,20

ve

p_2=0,50

değerleri formülde yerine yazıldığında

-20 \times 0,20 \times 0,50 = -2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleyin.

n = 20

,

p_1 = 0,20

,

p_2 = 0,50

Multinomiyal dağılımda kovaryans hesabı için toplam deneme sayısı ve ilgili kategorilerin olasılıkları gereklidir.

2

Multinomiyal dağılım için kovaryans formülünü uygulayın.

Cov(X_1, X_2) = -n \times p_1 \times p_2

Multinomiyal dağılımda

i \neq j

için

X_i

ve

X_j

arasındaki ilişki her zaman negatiftir çünkü bir kategorideki artış diğerleri için kalan kontenjanı azaltır.

3

Sayısal değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplayın.

Cov(X_1, X_2) = -20 \times 0,20 \times 0,50 = -20 \times 0,10 = -2

Verilen parametrelerle yapılan çarpma işlemi sonucunda aranan kovaryans değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Kovaryans

İpuçları

1

Multinomiyal dağılımda farklı kategoriler arasındaki ilişkinin (kovaryansın) yönünü hatırlayın.

2

Kovaryans hesabı için

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle Yeşil Alan (

X_3

) kategorisinin varyansını hesaplayarak dağılımın marjinal özelliklerini pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 76Soru →

Bir kamu projesinde iki farklı aşamanın tamamlanma süreleri $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Proje kaynaklarının verimli kullanımı adına bu iki aşamanın toplam süresinin en fazla 10 saat ( $X + Y \leq 10$ ) olması hedeflenmektedir. Bu kısıtlama altında, değişkenlerin negatif değer alamayacağı ( $x \geq 0, y \geq 0$ ) bilinmektedir.

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Tanımlanan destek kümesi (destek bölgesi) bir dikdörtgen oluşturmadığı için

X

ve

Y

bağımlı değişkenlerdir.

X

ve

Y

her zaman bağımsızdır çünkü iki farklı aşamanın süreleri birbirini fiziksel olarak etkilemez.

Eğer her iki değişken de normal dağılıma sahipse, toplam süre kısıtı bağımsızlığı etkilemez.

Kovaryansın sıfır (

Cov(X,Y) = 0

) olduğu hesaplanırsa, bu kısıt altında bile değişkenlerin bağımsız olduğu söylenebilir.

Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı her zaman ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tanımlanan destek kümesi (destek bölgesi) bir dikdörtgen oluşturmadığı için $X$ ve $Y$ bağımlı değişkenlerdir.

Cevap

Destek kümesi bir dikdörtgen oluşturmadığı ve değişkenlerin sınırları birbirine bağlı olduğu için değişkenler bağımlıdır.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için temel matematiksel şartlardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin bir dikdörtgen (veya sonsuz çeyrek düzlem gibi kartezyen çarpım) olmasıdır. Soruda verilen

x+y \leq 10

kısıtı,

Y

'nin sınırlarını

X

'e bağlı hale getirdiği için (veya tam tersi), bu değişkenlerin bağımsız olması matematiksel olarak imkansızdır.

Adım Adım Çözüm

1

Destek kümesinin (tanım aralığının) belirlenmesi

Destek kümesi:

D = \{(x,y) : 0 \leq x, 0 \leq y, x + y \leq 10\}

Bağımsızlık incelemesinde ilk adım ortak yoğunluk fonksiyonunun sıfırdan farklı olduğu bölgeyi kontrol etmektir.

2

Sınırların birbirine bağımlılığının kontrolü

0 \leq y \leq 10 - x

Y

değişkeninin alabileceği değerlerin üst sınırı,

X

değişkeninin o andaki değerine göre değişmektedir.

3

Bağımsızlık kuralı ile karşılaştırma

Bölge dikdörtgensel (kartezyen çarpım) olmadığı için bağımsızlık şartı ihlal edilir.

Bağımsızlık için

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

şartının yanı sıra destek kümesinin de

I_A(x)I_B(y)

şeklinde ayrıştırılabilir olması (dikdörtgen olması) gerekir.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için destek kümesinin (support) dikdörtgensel olması zorunluluğu.

Daha Fazla Pratik

Bağımsız değişkenlerin toplamının varyansının, varyansların toplamına eşit olduğunu (kovaryansın 0 olması nedeniyle) hatırlayarak benzer problemleri çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 77Soru →

İstatistik teorisinde iki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için gerekli olan en temel geometrik şartlardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesinin (tanım aralığı) bir dikdörtgen veya kartezyen çarpım formunda olmasıdır. Buna göre, $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri için aşağıda tanımlanan destek kümelerinden hangisi bu iki değişkenin bağımlı (bağımsız olmayan) olduğunu kesin olarak gösterir?

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

aralığında tanımlı olması

x > 0

ve

y > 0

bölgesinde tanımlı olması

0 < x < y < 1

şeklinde bir üçgensel bölge olması

Kovaryans değerinin sıfır (

Cov(X,Y) = 0

) olması

Beklenen değerlerin birbirine eşit (

E[X] = E[Y]

) olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0 < x < y < 1$ şeklinde bir üçgensel bölge olması

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesinin

0 < x < y < 1

şeklinde bir üçgensel bölge olması, değişkenlerin bağımlı olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Bağımsız rastgele değişkenler için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge (destek kümesi), değişkenlerin bireysel tanım aralıklarının kartezyen çarpımı olmalıdır. Üçgensel bir bölgede (

0 < x < y < 1

),

x

değişkeninin üst sınırı olan

y

, sabit bir sayı değil bir değişkendir. Bu durum,

X

'in alabileceği değerlerin

Y

'nin değerine göre kısıtlandığını gösterir ve çarpanlara ayrılma özelliğini bozarak kesin bağımlılığa yol açar.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık şartını hatırla

f(X,Y) = f_X(x) \times f_Y(y)

olmalıdır.

İki değişkenin bağımsız olması için ortak yoğunluk fonksiyonunun, marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı şeklinde yazılabilmesi gerekir.

2

Geometrik destek kümesi kuralını uygula

Bağımsız değişkenlerin destek kümesi her zaman

[a, b] \times [c, d]

şeklinde bir dikdörtgen olmalıdır.

Eğer

x

'in sınırları

y

'ye bağlıysa (veya tersi), fonksiyon marjinal fonksiyonların çarpımı şeklinde çarpanlarına ayrılamaz.

3

Üçgensel bölgeyi analiz et

0 < x < y < 1

aralığında

x

'in sınırları sabit değildir,

y

'ye bağlıdır.

x

değişkeni sadece

0

ile

y

arasındaki değerleri alabilmektedir.

y

'nin değeri değiştikçe

x

'in alabileceği değerler kümesi de değiştiği için değişkenler bağımlıdır.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesi her zaman bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım) formunda olmalıdır. Sınırların birbirine bağımlı olduğu (üçgen, daire vb.) bölgeler doğrudan bağımlılığı gösterir.

Soru 78Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin günlük hazırladığı rapor sayısı ( $X$ ) ve personelin kıdem düzeyi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi gösteren ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$Y$ \ $X$	1	2
0 (Düşük)	0,3	0,2
1 (Yüksek)	0,1	0,4

Buna göre, personelin kıdem düzeyinin yüksek ( $Y=1$ ) olduğu bilindiğinde, hazırladığı rapor sayısının beklenen değeri ( $E[X|Y=1]$ ) kaçtır?

0,9

1,4

1,6

1,8

1,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,8

Cevap

Personelin kıdem düzeyinin yüksek olduğu bilindiğinde beklenen rapor sayısı 1,8'dir.

Verilen ortak olasılık tablosunda

Y=1

satırına bakıldığında, toplam olasılığın 0,5 olduğu görülür. Bu satırdaki her bir değer 0,5'e bölünerek

X

için koşullu olasılıklar 0,2 ve 0,8 olarak bulunur. Bu olasılıklarla

X

değerlerinin çarpımlarının toplamı (

1 \times 0,2 + 2 \times 0,8

) bize 1,8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşul olayı olan

Y=1

durumunun marjinal olasılığını hesaplayın.

P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = 0,1 + 0,4 = 0,5

Koşullu olasılıkların toplamının 1 olması için ortak olasılıkların koşulun toplam olasılığına bölünmesi gerekir.

2

Y=1

bilindiğinde

X

değişkeninin koşullu olasılık kütle fonksiyonunu belirleyin.

P(X=1|Y=1) = \frac{0,1}{0,5} = 0,2

ve

P(X=2|Y=1) = \frac{0,4}{0,5} = 0,8

P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}

formülü uygulanır.

3

Koşullu beklenen değer formülünü uygulayarak sonucu bulun.

E[X|Y=1] = \sum x \cdot P(X=x|Y=1) = (1 \times 0,2) + (2 \times 0,8) = 0,2 + 1,6 = 1,8

Beklenen değer, değerlerin kendi olasılıklarıyla çarpılıp toplanmasıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu Beklenen Değer

Tahmini Süre:45s

Soru 79Soru →

Bir kamu kurumunun iki farklı projesinin yıllık maliyetleri $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu projelere ilişkin maliyetlerin beklenen değerleri $E[X] = 12$ bin TL ve $E[Y] = 15$ bin TL olarak belirlenmiştir. Ayrıca, proje maliyetlerinin çarpımının beklenen değeri $E[XY] = 186$ (bin TL) $^2$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, bu iki projenin maliyetleri arasındaki kovaryans ( $Cov(X, Y)$ ) değeri kaçtır?

186

180

6

0

366

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İki projenin maliyetleri arasındaki kovaryans değeri 6'dır.

Kovaryans hesaplanırken

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

formülü kullanılır. Verilen değerler yerleştirildiğinde

186 - (12 \times 15) = 186 - 180 = 6

sonucu bulunur. Bu pozitif değer, projelerin maliyetleri arasında aynı yönlü bir doğrusal ilişki olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans hesaplama formülünü belirle.

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

Kovaryans, iki değişkenin ortak değişimini ölçen temel istatistiksel bir göstergedir.

2

Değişkenlerin beklenen değerlerinin çarpımını hesapla.

12 \times 15 = 180

Formüldeki

E[X]E[Y]

terimini bulmak için maliyetlerin beklenen değerleri çarpılır.

3

Ortak beklenen değerden bu çarpımı çıkar.

186 - 180 = 6

Kovaryans tanımı gereği, çarpımın beklenen değerinden beklenen değerlerin çarpımı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kovaryans, iki rastgele değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirlemek için kullanılan, çarpımın beklenen değeri ile beklenen değerlerin çarpımı arasındaki farktır.

Daha Fazla Pratik

Kovaryans değerini kullanarak ve değişkenlerin varyansları verildiğinde korelasyon katsayısını hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 80Soru →

Bir kamu kurumuna gelen evraklar; 'Resmi Yazı' ( $X_1$ ), 'Dilekçe' ( $X_2$ ) ve 'Rapor' ( $X_3$ ) olmak üzere üç kategoriye ayrılmaktadır. Bu evrak türlerinin gelme olasılıkları aşağıda verilmiştir:

Evrak Türü	Değişken	Olasılık ( $p_i$ )
Resmi Yazı	$X_1$	$0,5$
Dilekçe	$X_2$	$0,3$
Rapor	$X_3$	$0,2$

Kuruma gelen toplam $n = 10$ evrakın multinomiyal dağılım gösterdiği varsayıldığında, Resmi Yazı sayısı ile Dilekçe sayısı arasındaki kovaryans değeri $Cov(X_1, X_2)$ kaçtır?

-1,5

1,5

0

2,1

-3,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-1,5$

Cevap

Resmi Yazı (

X_1

) ve Dilekçe (

X_2

) sayıları arasındaki kovaryans

-1,5

olarak hesaplanır.

Multinomiyal dağılımda

X_i

ve

X_j

(

i \neq j

) değişkenleri arasındaki kovaryans

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

şeklinde tanımlanır. Soruda verilen değerlere göre

-10 \times 0,5 \times 0,3

işlemi sonucunda

-1,5

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parametreleri belirleyin.

n = 10, p_1 = 0,5, p_2 = 0,3

Multinomiyal dağılımda toplam deneme sayısı ve ilgili kategorilerin başarı olasılıkları gereklidir.

2

Multinomiyal dağılım için kovaryans formülünü uygulayın.

Cov(X_1, X_2) = -n \times p_1 \times p_2

Multinomiyal dağılımda farklı sınıflar arasındaki ilişki her zaman negatiftir çünkü birinin artması diğerlerinin (toplam n sabit olduğu için) azalma eğiliminde olmasına neden olur.

3

Sayısal değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

Cov(X_1, X_2) = -10 \times 0,5 \times 0,3 = -1,5

Doğru çarpım sonucu istenen kovaryans değerini verir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Kovaryans

Tahmini Süre:45s

Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar