Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir istatistiksel analizde kullanılan $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_p)^T$ rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu rastgele vektörü oluşturan $X_1, X_2, \dots, X_p$ bileşenlerinin birbirlerinden istatistiksel olarak bağımsız olduğu varsayıldığında, bu dağılıma ait varyans-kovaryans matrisinin $(\boldsymbol{\Sigma})$ yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

Birim matris

Köşegen matris

Alt üçgen matris

Tekil (singular) matris

Ortogonal matris

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Köşegen matris

Cevap

Varyans-kovaryans matrisinin yapısı köşegen matristir.

Çok değişkenli normal dağılımda, rastgele vektörün bileşenleri bağımsız ise bu bileşenler arasındaki tüm ikili kovaryanslar sıfır olur. Varyans-kovaryans matrisinde köşegen dışı elemanlar kovaryansları gösterdiğinden, bu elemanların tamamı sıfır olur. Sadece ana köşegen üzerindeki varyanslar sıfırdan farklı kalacağı için matris bir köşegen matris yapısına bürünür.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık varsayımının analiz edilmesi

Cov(X_i, X_j) = 0

(

i \neq j

için)

İstatistiksel olarak bağımsız rastgele değişkenler arasındaki kovaryans her zaman sıfırdır.

2

Varyans-kovaryans matrisinin

(\boldsymbol{\Sigma})

tanımının uygulanması

(\boldsymbol{\Sigma})_{ij} = 0

(

i \neq j

)

Matrisin köşegen dışı elemanları kovaryansları temsil eder ve bağımsızlık gereği bu değerler sıfıra eşittir.

3

Matris formunun belirlenmesi

Köşegen matris

Yalnızca köşegen üzerindeki elemanları (varyansları) sıfırdan farklı, diğer tüm elemanları sıfır olan matrislere köşegen matris denir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda bağımsızlık ve varyans-kovaryans matrisi ilişkisi

İpuçları

1

Rastgele değişkenler bağımsız olduğunda aralarındaki kovaryans değerinin ne olduğunu hatırlayın.

2

Matrisin köşegen dışı elemanları kovaryansları temsil eder. Bağımsızlık durumunda bu değerler sıfıra eşittir.

Daha Fazla Pratik

Varyansların hepsinin eşit olduğu özel bir köşegen matris durumunun (küresel dağılım) sonuçlarını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 42Soru →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

f(x, y) = \begin{cases} k, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, bu ifadenin geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için $k$ sabitinin değeri kaç olmalıdır?

1/2

1

3/2

2

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olması için k sabitinin değeri 2 olmalıdır.

Verilen fonksiyonun tanımlı olduğu bölge bir dik üçgendir (köşeleri (0,0), (1,0) ve (1,1)). Bu üçgenin alanı

(\text{taban} \times \text{yükseklik}) / 2 = (1 \times 1) / 2 = 1/2

birim karedir. Fonksiyon bu bölge üzerinde sabit bir

k

değerine sahip olduğundan, integral sonucu

k \times \text{Alan}

olacaktır.

k \times (1/2) = 1

eşitliğinden

k = 2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam olasılık kuralını yazın.

\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy \, dx = 1

Bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzay üzerindeki integrali her zaman 1'e eşit olmalıdır.

2

Fonksiyonun tanımlı olduğu sınırlar için integrali kurun.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} k \, dy \, dx = 1

Fonksiyon

0 < y < x < 1

bölgesinde tanımlı olduğundan,

y

değişkeni 0'dan

x

'e kadar,

x

değişkeni ise 0'dan 1'e kadar değişmektedir.

3

İç integrali (

y

değişkenine göre) hesaplayın.

\int_{0}^{x} k \, dy = [ky]_0^x = kx

Sabit bir değerin integrali, değişkenin kendisiyle çarpımına eşittir.

4

Dış integrali (

x

değişkenine göre) hesaplayarak sonucu 1'e eşitleyin.

\int_{0}^{1} kx \, dx = [\frac{kx^2}{2}]_0^1 = \frac{k}{2} = 1

Elde edilen

kx

ifadesinin

x

sınırlarında integrali alınarak toplam olasılık bulunur.

5

Denklemi çözerek

k

değerini bulun.

k = 2

Olasılığın 1 olabilmesi için k/2 oranının 1'e eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunda (PDF), fonksiyonun tanımlı olduğu bölge üzerindeki hacim (integral) her zaman 1 olmalıdır. Eğer fonksiyon bir sabitse, bu sabit değer bölgenin alanının çarpmaya göre tersidir (

k = 1 / \text{Alan}

).

Daha Fazla Pratik

Aynı bölge üzerinde

f(x, y) = k \cdot x

fonksiyonu için normalizasyon sabitini hesaplayarak bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 43Soru →

Bir teknoloji mağazasında, iki farklı ürün grubunun aylık satış iade oranları $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

f(x, y) = \begin{cases} k(2x + 3y), & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, $f(x, y)$ fonksiyonunun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için $k$ sabitinin değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{5}{2}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{5}$

Cevap

İfadenin olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için k sabiti 2/5 değerini almalıdır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımı gereği, fonksiyonun tüm tanım bölgesi üzerindeki integrali 1'e eşit olmalıdır.

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

sınırları içerisinde

k(2x + 3y)

fonksiyonunun integrali hesaplandığında

2,5k

sonucu elde edilir.

2,5k = 1

eşitliğinden

k = 1 / 2,5 = 2/5

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun temel şartını belirleyin.

\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx \, dy = 1

Bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için tüm uzaydaki hacminin 1'e eşit olması gerekir.

2

Verilen tanım aralıklarına göre çift katlı integrali kurun.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} k(2x + 3y) \, dx \, dy = 1

Değişkenler

0

ile

1

arasında tanımlı olduğu için integral sınırları bu değerlere göre belirlenir.

3

İçteki integrali (

x

'e göre) hesaplayın.

\int_{0}^{1} k [x^2 + 3xy]_{x=0}^{x=1} \, dy = \int_{0}^{1} k(1 + 3y) \, dy

2x

teriminin integrali

x^2

, sabit kabul edilen

3y

teriminin integrali ise

3xy

olur.

4

Dıştaki integrali (

y

'ye göre) hesaplayın.

k [y + \frac{3y^2}{2}]_{0}^{1} = k(1 + \frac{3}{2}) = \frac{5}{2}k

Elde edilen tek değişkenli fonksiyonun integral sınırları uygulanarak toplam hacim

k

cinsinden bulunur.

5

Elde edilen sonucu 1'e eşitleyerek

k

değerini bulun.

\frac{5}{2}k = 1 \Rightarrow k = \frac{2}{5}

Normalizasyon sabitini bulmak için integral sonucunun çarpmaya göre tersi alınır.

Anahtar Kavram

Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Normalizasyonu

Daha Fazla Pratik

Aynı fonksiyon için marjinal yoğunluk fonksiyonlarını

f_X(x)

ve

f_Y(y)

hesaplayarak değişkenlerin bağımsız olup olmadığını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 44Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim programında, katılımcıların tamamladıkları eğitim modülü sayısı ( $Y$ ) ile bu modüller sonucunda kazandıkları uzmanlık sertifikası sayısı ( $X$ ) arasındaki ilişkiyi gösteren ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$Y \setminus X$	1	2
1	0,10	0,30
2	0,20	0,40

Buna göre, bir katılımcının 1 modül tamamladığı ( $Y=1$ ) bilindiğine göre, kazandığı sertifika sayısının beklenen değeri ( $E[X|Y=1]$ ) kaçtır?

0,70

1,50

1,70

1,75

1,60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,75

Cevap

Personelin 1 modül tamamladığı bilindiğinde, sertifika sayısının beklenen değeri 1,75'tir.

Verilen tabloda

Y=1

satırı incelendiğinde, bu durumun toplam olasılığı 0,40 olarak bulunur. Bu satırdaki her bir değerin (0,10 ve 0,30) toplam satır olasılığına bölünmesiyle elde edilen 0,25 ve 0,75 olasılıkları,

X

değişkeninin değerleri olan 1 ve 2 ile çarpılıp toplandığında 1,75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Y=1

koşulunun marjinal olasılığını hesaplayınız.

P(Y=1) = 0,10 + 0,30 = 0,40

Koşullu olasılık hesaplanırken paydada yer alacak toplam olasılığı belirlemek gerekir.

2

Y=1

durumunda

X

'in alabileceği değerler için koşullu olasılıkları belirleyiniz.

P(X=1|Y=1) = 0,10 / 0,40 = 0,25

ve

P(X=2|Y=1) = 0,30 / 0,40 = 0,75

P(X|Y) = P(X,Y) / P(Y)

formülü uyarınca her bir hücre değeri toplam koşul olasılığına bölünür.

3

Koşullu beklenen değer tanımını uygulayınız.

E[X|Y=1] = (1 \times 0,25) + (2 \times 0,75) = 0,25 + 1,50 = 1,75

Beklenen değer, rastgele değişkenin değerleri ile bu değerlerin gerçekleşme olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde koşullu beklenen değer, belirli bir durumun gerçekleştiği bilindiğinde değişkenin ağırlıklı ortalamasıdır.

Daha Fazla Pratik

Aynı tabloyu kullanarak

Var(X|Y=1)

değerini hesaplayarak koşullu varyans kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eğer değişkenler bağımsız olsaydı,

E[X|Y=1] = E[X]

olurdu. Ancak bu tabloda

P(X=1, Y=1) = 0,10

iken

P(X=1) \times P(Y=1) = 0,30 \times 0,40 = 0,12

olduğu için değişkenlerin bağımlı olduğu ve koşullu beklentinin marjinal beklentiden farklı çıkacağı baştan öngörülebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 45Soru →

Bir lojistik merkezindeki iki farklı paketleme hattında meydana gelen hata oranları $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır:

f(x, y) = \frac{1}{2}(x + 3y), \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

Buna göre, $Y$ hattına ait marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{6y + 1}{4}, \quad 0 < y < 1

\frac{2y + 3}{4}, \quad 0 < y < 1

\frac{3y + 1}{2}, \quad 0 < y < 1

\frac{1 + 3y}{2}, \quad 0 < y < 1

\frac{y + 3}{4}, \quad 0 < y < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{6y + 1}{4}, \quad 0 < y < 1$

Cevap

\frac{6y + 1}{4}, \quad 0 < y < 1

ifadesi doğru marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Verilen ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x, y) = \frac{1}{2}(x + 3y)

,

0 < x < 1

sınırları içerisinde

x

değişkenine göre entegre edildiğinde,

f_Y(y) = \frac{1}{2} [x^2/2 + 3xy]_0^1 = \frac{1}{2} (1/2 + 3y) = \frac{6y+1}{4}

sonucu elde edilir. Bu işlem,

Y

değişkeninin her bir değeri için

X

'in tüm olasılık kütlesinin toplanmasını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımını yazınız.

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx

Y

değişkeninin marjinalini bulmak için ortak fonksiyonun

X

değişkenine göre entegre edilmesi gerekir.

2

X

değişkeninin tanımlı olduğu

0 < x < 1

aralığı için integrali kurunuz.

f_Y(y) = \int_0^1 \frac{1}{2}(x + 3y) dx

Değişkenlerin tanım aralığı integralin sınırlarını belirler.

3

x

değişkenine göre integral alma işlemini gerçekleştiriniz.

f_Y(y) = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + 3xy \right]_0^1

x

teriminin integrali

x^2/2

, sabit kabul edilen

3y

teriminin integrali ise

3xy

olur.

4

Sınır değerlerini (0 ve 1) yerine koyarak ifadeyi sadeleştiriniz.

f_Y(y) = \frac{1}{2} \left( (\frac{1^2}{2} + 3(1)y) - 0 \right) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 3y) = \frac{1}{4} + \frac{3y}{2} = \frac{1 + 6y}{4}

Belirli integralin temel teoremi uygulanarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (Sürekli Durum)

İpuçları

1

f_Y(y)

fonksiyonunu bulmak için ortak yoğunluk fonksiyonunu hangi değişkene göre entegre etmeniz gerektiğini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı ortak yoğunluk fonksiyonunu kullanarak

X

değişkeninin marjinal yoğunluk fonksiyonu olan

f_X(x)

'i hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 46Soru →

İstatistiksel analizlerde, iki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için temel şartlardan biri, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesinin) yapısıdır. $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun $0 < x < y < 1$ bölgesi üzerinde tanımlı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Değişkenler bağımlıdır çünkü tanımlı oldukları bölge (destek kümesi) bir dikdörtgen (kartezyen çarpım kümesi) yapısında değildir.

Değişkenlerin kovaryans değeri sıfır ise, tanımlı oldukları bölgeye bakılmaksızın bu değişkenler bağımsızdır.

Değişkenler bağımsızdır çünkü her iki değişken de aynı

(0, 1)

aralığında değerler almaktadır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu sabit bir değer aldığı sürece değişkenler her zaman bağımsızdır.

Değişkenlerin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının toplamı ortak yoğunluk fonksiyonunu veriyorsa değişkenler bağımsızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Değişkenler bağımlıdır çünkü tanımlı oldukları bölge (destek kümesi) bir dikdörtgen (kartezyen çarpım kümesi) yapısında değildir.

Cevap

Değişkenler bağımlıdır çünkü tanımlı oldukları bölge (destek kümesi) bir dikdörtgen (kartezyen çarpım kümesi) yapısında değildir.

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsız olabilmesi için temel bir geometrik şart vardır: Değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge (destek kümesi), değişkenlerin bireysel aralıklarının kartezyen çarpımı olan bir dikdörtgen (veya sonsuz aralıklar için tüm düzlem) şeklinde olmalıdır. Soruda verilen

0 < x < y < 1

bölgesi bir üçgendir ve

x

ile

y

değerleri birbirine bağlı sınırlar içerir. Bu durum, değişkenlerin bağımlı olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlı olduğu bölgeyi (destek kümesini) analiz etme

0 < x < y < 1

eşitsizliği,

x

ve

y

eksenleri arasında bir üçgen bölgeyi tanımlar.

Bağımsızlık incelemesinde ilk adım, değişkenlerin değer aralıklarının birbirine bağlı olup olmadığını kontrol etmektir.

2

Sınırların bağımlılığını kontrol etme

x

değişkeninin üst sınırı

y

değişkenine,

y

değişkeninin alt sınırı ise

x

değişkenine bağlıdır.

Eğer bir değişkenin sınırları diğer değişkene bağlıysa, bu durum değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpanlarına ayrılamayacağını gösterir.

3

Bağımsızlık teorisini uygulama

Bağımsız sürekli rastgele değişkenler için destek kümesi mutlaka

S_X \times S_Y

(bir dikdörtgen) şeklinde olmalıdır.

Tanımlı bölge bir dikdörtgen (veya kare) değilse, değişkenler arasındaki olasılık ilişkisi bağımlıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsız olabilmesi için gerekli olan 'dikdörtgen destek kümesi' şartı.

İpuçları

1

Değişkenlerin tanımlı olduğu

0 < x < y < 1

eşitsizliğine bakın. Bir değişkenin alabileceği değerler diğerine bağlı mıdır?

2

Bağımsız değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x,y) = g(x)h(y)

şeklinde çarpanlarına ayrılabilmelidir. Sınırlar buna izin veriyor mu?

Daha Fazla Pratik

Dikdörtgen bir bölge (örneğin

0 < x < 1, 0 < y < 1

) üzerinde tanımlı fakat fonksiyonel olarak çarpanlarına ayrılamayan (örneğin

f(x,y) = x+y

) durumları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak düşünün:

xy

düzleminde

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

bir kare belirtirken,

x < y

şartı bu kareyi ikiye bölerek bir üçgen oluşturur. Bağımsızlık için bölgenin her zaman tam bir kare/dikdörtgen olması zorunludur.

Tahmini Süre:45s

Soru 47Soru →

Bir araştırma merkezinde gözlemlenen iki farklı veri setine ait $X$ ve $Y$ kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık kütle fonksiyonu değerleri aşağıda verilmiştir:

$P(X=1, Y=1) = 0,25$
$P(X=1, Y=2) = 0,15$
$P(X=2, Y=1) = 0,20$
$P(X=2, Y=2) = 0,40$

Buna göre, bu iki değişkenin ortak beklenen değeri ( $E[XY]$ ) kaçtır?

1,55

1,60

2,48

2,55

3,15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,55

Cevap

Ortak beklenen değer (

E[XY]

) 2,55 olarak hesaplanır.

Ortak beklenen değer,

E[XY] = \sum \sum x y P(x,y)

formülüyle hesaplanır. Verilen değerlere göre:

(1 \times 1 \times 0,25) + (1 \times 2 \times 0,15) + (2 \times 1 \times 0,20) + (2 \times 2 \times 0,40) = 0,25 + 0,30 + 0,40 + 1,60 = 2,55

sonucu bulunur. Bu nedenle 2,55 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak beklenen değer formülünü belirle.

E[XY] = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot y \cdot P(X=x, Y=y)

Kesikli rastgele değişkenlerde ortak beklenen değer, her bir çıktı ikilisinin kendi olasılığıyla çarpımlarının toplamıdır.

2

Her bir durum için

x \cdot y \cdot P(x, y)

değerlerini hesapla.

(1 \cdot 1 \cdot 0,25) = 0,25

,

(1 \cdot 2 \cdot 0,15) = 0,30

,

(2 \cdot 1 \cdot 0,20) = 0,40

,

(2 \cdot 2 \cdot 0,40) = 1,60

Formüldeki terimleri tek tek bulmak için çarpma işlemi uygulanır.

3

Hesaplanan tüm değerleri topla.

0,25 + 0,30 + 0,40 + 1,60 = 2,55

Toplam sembolü uyarınca tüm sonuçlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

İki kesikli rastgele değişkenin ortak beklenen değeri, değişkenlerin çarpımının olasılık ağırlıklı ortalamasıdır.

Soru 48Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin hizmet içi eğitimlerden aldığı puan ( $X$ ) ile yıllık performans değerlendirme notu ( $Y$ ) arasındaki ilişki incelenmektedir. Yapılan istatistiksel analizler sonucunda değişkenlerin beklenen değerleri $E[X] = 70$ ve $E[Y] = 80$ olarak belirlenmiştir. Ayrıca bu iki değişkenin çarpımının beklenen değeri $E[XY] = 5620$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenleri arasındaki kovaryans ( $Cov(X, Y)$ ) değeri kaçtır?

0

20

150

5600

5620

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İki değişken arasındaki kovaryans değeri 20'dir.

Kovaryans hesaplanırken

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

formülü uygulanır. Verilen değerlere göre

5620 - (70 \times 80) = 5620 - 5600 = 20

sonucu elde edilir. Bu nedenle 20 değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans formülünü belirleyin.

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

Kovaryans, değişkenlerin ortak beklenen değeri ile beklenen değerlerinin çarpımı arasındaki farktır.

2

E[X]

ve

E[Y]

değerlerini çarparak beklenen değerlerin çarpımını bulun.

70 \times 80 = 5600

Formülün ikinci terimini hesaplamak için gereklidir.

3

E[XY]

değerinden bulunan sonucu çıkarın.

5620 - 5600 = 20

Kovaryans değerine ulaşmak için çıkarma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Kovaryans, iki rastgele değişkenin birlikte ne kadar değiştiklerinin bir ölçüsüdür ve

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

formülü ile hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Kovaryansın işareti (pozitif/negatif) değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü nasıl etkiler sorusunu inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 49Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan müfettişlerin günlük inceledikleri dosya sayısı ( $X$ ) ile müfettişlerin mesleki tecrübe yılı ( $Y$ ) arasındaki ilişki üzerine bir çalışma yapılmıştır. Bu çalışma sonucunda, tecrübe yılına bağlı olarak beklenen dosya sayısı $E[X|Y] = 0,4Y + 3$ fonksiyonu ile modellenmiştir. Kurumdaki müfettişlerin ortalama tecrübe yılı $E[Y] = 15$ olduğuna göre, bir müfettişin günlük incelediği dosya sayısının beklenen değeri ( $E[X]$ ) kaçtır?

6

9

15

18

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Müfettişin günlük incelediği dosya sayısının beklenen değeri 9'dur.

Yinelenen Beklentiler Yasası'na göre

E[X] = E[E[X|Y]]

eşitliği geçerlidir. Verilen

E[X|Y] = 0,4Y + 3

ifadesinin tekrar beklentisi alındığında

0,4E[Y] + 3

elde edilir. Ortalama tecrübe yılı olan 15 yerine konulduğunda

0,4 \times 15 + 3 = 6 + 3 = 9

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Yinelenen Beklentiler Yasası'nın (Law of Iterated Expectations) belirlenmesi

E[X] = E[E[X|Y]]

Bir rastgele değişkenin beklenen değerini bulmak için, o değişkenin başka bir değişkene göre koşullu beklentisinin tekrar beklentisi alınabilir.

2

Verilen koşullu beklenen değer fonksiyonunun yerine yazılması

E[X] = E[0,4Y + 3]

Soruda verilen

E[X|Y] = 0,4Y + 3

ifadesi temel formülde yerine yerleştirilir.

3

Beklenen değerin doğrusallık özelliğinin uygulanması

E[X] = 0,4 E[Y] + 3

Beklenen değer operatörü doğrusal olduğu için sabitleri ve katsayıları dışarı çıkarabiliriz.

4

Bilinen değerin yerine konularak hesaplamanın tamamlanması

E[X] = 0,4(15) + 3 = 6 + 3 = 9

E[Y] = 15

değeri yerine yazılarak aritmetik işlem sonuçlandırılır.

Anahtar Kavram

Yinelenen Beklentiler Yasası (Law of Iterated Expectations)

İpuçları

1

E[X] değerini bulmak için Yinelenen Beklentiler Yasası'nı (

E[X] = E[E[X|Y]]

) hatırlayın.

2

Verilen

0,4Y + 3

ifadesinin beklenen değerini alırken

E[Y]

değerini kullanmanız gerekecektir.

Daha Fazla Pratik

Koşullu varyans ve toplam varyans yasası (Law of Total Variance) arasındaki ilişkiyi inceleyerek benzer problemleri çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 50Soru →

Bir kamu kütüphanesinden kitap ödünç alan okuyucuların tercih ettikleri kitap türleri; Roman ( $X_1$ ), Bilim ( $X_2$ ) ve Sanat ( $X_3$ ) olmak üzere üç kategoriye ayrılmaktadır. Rastgele seçilen bir okuyucunun bu kategorileri tercih etme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kitap Kategorisi	Olasılık ( $p_i$ )
Roman ( $X_1$ )	$0,5$
Bilim ( $X_2$ )	$0,3$
Sanat ( $X_3$ )	$0,2$

Kütüphaneden rastgele seçilen $20$ okuyucunun kitap tercihleri multinomiyal dağılım göstermektedir. Buna göre, Roman ve Bilim kategorilerini tercih eden okuyucu sayıları arasındaki kovaryans değeri ( $Cov(X_1, X_2)$ ) kaçtır?

-3,0

3,0

0

-0,15

-5,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-3,0$

Cevap

Roman ve Bilim kategorileri arasındaki kovaryans değeri

-3,0

olarak hesaplanır.

Multinomiyal dağılımda herhangi iki farklı çıktı (

X_i

ve

X_j

) arasındaki kovaryans, toplam deneme sayısı (

n

) ile bu çıktıların olasılıklarının (

p_i

ve

p_j

) çarpımının negatifine eşittir. Verilen problemde

n=20

,

p_1=0,5

ve

p_2=0,3

değerleri kullanılarak hesaplanan

-20 \times 0,5 \times 0,3 = -3,0

sonucu bu tanıma tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin belirlenmesi

n = 20

,

p_1 = 0,5

,

p_2 = 0,3

Multinomiyal dağılım formülünde kullanılacak olan toplam deneme sayısı ve ilgili kategorilerin olasılıkları sorudan elde edilir.

2

Kovaryans formülünün uygulanması

Cov(X_1, X_2) = -n \cdot p_1 \cdot p_2

Multinomiyal dağılımda

i \neq j

için iki değişken arasındaki ilişkiyi veren standart kovaryans formülü budur.

3

Hesaplama işleminin yapılması

Cov(X_1, X_2) = -20 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = -3,0

Sayısal değerler yerine koyularak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Multinomiyal dağılımda rastgele değişkenler arasındaki kovaryans her zaman negatiftir ve

-n p_i p_j

formülü ile hesaplanır.

Soru 51Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde, gelen destek taleplerinin tipi ( $Y$ ) ve bu taleplerin çözüm süreleri (saat olarak, $X$ ) arasındaki ilişki incelenmektedir. Destek talepleri "Yazılım" ( $Y=1$ ) ve "Donanım" ( $Y=2$ ) olmak üzere iki kategoriye ayrılmıştır. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X \setminus Y$	$1$ (Yazılım)	$2$ (Donanım)
$1$ saat	$0,20$	$0,10$
$2$ saat	$0,20$	$0,20$
$3$ saat	$0,10$	$0,20$

Sisteme gelen bir talebin "Donanım" ( $Y=2$ ) tipinde olduğu bilindiğine göre, bu talebin beklenen çözüm süresi ( $E[X|Y=2]$ ) kaç saattir?

1,8

2,0

2,2

2,5

0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,2

Cevap

Koşullu beklenen değer 2,2 saattir.

Verilen tabloya göre 'Donanım' kategorisinin toplam olasılığı

0,5

olup, bu kategori altındaki

X=1, X=2

ve

X=3

değerlerinin olasılıkları bu toplama oranlandığında sırasıyla

0,2

,

0,4

ve

0,4

elde edilir. Bu olasılıklarla

X

değerlerinin çarpımlarının toplamı

2,2

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşulun gerçekleşme olasılığını (marjinal olasılık) hesaplayın.

P(Y=2) = 0,10 + 0,20 + 0,20 = 0,50

Koşullu olasılık hesaplamak için payda değerini bulmak gerekir.

2

Y=2

verildiğinde

X

değişkeninin koşullu olasılıklarını hesaplayın.

P(X=1|Y=2) = 0,10 / 0,50 = 0,2

P(X=2|Y=2) = 0,20 / 0,50 = 0,4

P(X=3|Y=2) = 0,20 / 0,50 = 0,4

Beklenen değer, değerlerin kendi olasılıklarıyla çarpılmasıdır; burada koşullu olasılıklar kullanılmalıdır.

3

Koşullu beklenen değer formülünü uygulayın.

E[X|Y=2] = (1 \times 0,2) + (2 \times 0,4) + (3 \times 0,4) = 0,2 + 0,8 + 1,2 = 2,2

Beklenen değer, rastgele değişkenin alabileceği değerlerin ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu beklenen değer, bir rastgele değişkenin başka bir rastgele değişkenin belirli bir değeri aldığı bilindiği durumdaki ortalamasıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 52Soru →

İki sürekli rastgele değişkenin ( $X$ ve $Y$ ) bağımsız olabilmesi için temel matematiksel şartlardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesi) bir kartezyen çarpım kümesi (dikdörtgensel bölge) olmasıdır. Bir başka deyişle, bir değişkenin alabileceği değerlerin sınırları, diğer değişkenin değerine bağlı olmamalıdır.

Buna göre, aşağıda verilen tanımlı aralıklardan hangisi $X$ ve $Y$ değişkenlerinin kesinlikle bağımlı olduğunu gösterir?

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

x > 0

ve

y > 0

0 < x < y < 1

1 < x < 5

ve

2 < y < 4

-\infty < x < \infty

ve

-\infty < y < \infty

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0 < x < y < 1$

Cevap

X'in üst sınırının Y'ye bağlı olduğu

0 < x < y < 1

durumu, değişkenlerin kesinlikle bağımlı olduğunu gösterir.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin bir dikdörtgen olması zorunludur. Belirtilen seçenekler arasında sadece

0 < x < y < 1

ifadesi bir üçgen belirtmektedir; burada

x

'in alabileceği değerler

y

'nin o anki değerine bağlı olarak değiştiği için değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık için bölge şartını kontrol et

Bağımsız değişkenler için

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

olmalıdır.

Eğer fonksiyon çarpanlarına ayrılabiliyorsa, bu fonksiyonun tanımlı olduğu bölge de her iki eksende bağımsız aralıkların çarpımı (

a < x < b

ve

c < y < d

) olmalıdır.

2

Seçeneklerdeki sınır bağımlılıklarını incele

0 < x < y < 1

aralığında

x

değişkeni

0

ile

y

arasında değer almaktadır.

Sınırlarda bir değişkenin sembolü (burada

y

) yer alıyorsa, marjinal olasılık hesaplanırken integral sınırları bu değişkene bağlı kalacaktır, bu da bağımlılık yaratır.

3

Geometrik yorum yap

Üçgensel bölge bağımlılığı simgeler.

Dikdörtgen olmayan (üçgen, daire vb.) destek kümeleri, değişkenlerin değer aralıklarının birbirini kısıtladığı anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı ve Destek Kümesi İlişkisi

İpuçları

1

Değişkenlerin sınırlarında diğer değişkenin adının geçip geçmediğine bakın.

2

Bağımsızlık için

x

ve

y

eksenleri üzerinde çizilen bölgenin bir dikdörtgen (veya tüm düzlem) olması gerekir.

Daha Fazla Pratik

Bağımsızlık durumunda

E[XY] = E[X]E[Y]

ve

Cov(X,Y) = 0

özelliklerini hatırlayınız.

Tahmini Süre:45s

Soru 53Soru →

İstatistik teorisinde rastgele değişkenlerin bağımsızlığı ile bu değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçen parametreler (kovaryans ve korelasyon) arasındaki ilişki göz önüne alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

X

ve

Y

rastgele değişkenleri bağımsız ise

Cov(X, Y) = 0

olur.

Cov(X, Y) = 0

ise

X

ve

Y

rastgele değişkenleri her zaman bağımsızdır.

Bağımsız iki değişkenin korelasyon katsayısı

1

veya

-1

değerini alır.

X

ve

Y

bağımsız ise beklenen değerlerin çarpımı (

E[X] \cdot E[Y]

) her zaman sıfırdır.

Ayrık olaylar kümesi üzerinde tanımlanan tüm rastgele değişkenler bağımsızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri bağımsız ise $Cov(X, Y) = 0$ olur.

Cevap

İki rastgele değişken bağımsız ise kovaryansları her zaman sıfıra eşittir.

Rastgele değişkenler bağımsız olduğunda, bir değişkenin aldığı değer diğeri hakkında hiçbir bilgi vermez. Bu durum, aralarındaki doğrusal ilişkinin derecesini ölçen kovaryansın ve dolayısıyla korelasyon katsayısının matematiksel olarak sıfır çıkmasını zorunlu kılar.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık tanımının beklenen değer üzerindeki etkisini belirle.

E[XY] = E[X] \cdot E[Y]

X

ve

Y

bağımsız olduğunda ortak beklenen değer, marjinal beklenen değerlerin çarpımına eşit olur.

2

Kovaryans formülünü hatırla.

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X] \cdot E[Y]

Kovaryans, değişkenlerin ortak değişimini ölçen standart matematiksel ifadedir.

3

Bağımsızlık şartını kovaryans formülünde yerine koy.

Cov(X, Y) = (E[X] \cdot E[Y]) - (E[X] \cdot E[Y]) = 0

E[XY]

yerine

E[X] \cdot E[Y]

yazıldığında terimler birbirini götürür ve sonuç sıfır olur.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık her zaman sıfır kovaryansı gerektirir, ancak sıfır kovaryans her zaman bağımsızlığı gerektirmez.

Daha Fazla Pratik

Bağımsızlık ve kovaryans arasındaki farkı daha iyi anlamak için

X

değişkeninin standart normal dağılıma sahip olduğu ve

Y = X^2

olduğu durumu inceleyebilirsiniz. Burada

Cov(X, Y) = 0

çıkmasına rağmen değişkenler tam bağımlıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 54Soru →

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_p)^T$ rastgele vektörünün varyans-kovaryans matrisi ( $\boldsymbol{\Sigma}$ ) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

Matris simetriktir ve yarı-pozitif tanımlıdır.

Matrisin tüm elemanları pozitif değerlidir.

Matrisin köşegen elemanları standart sapma değerlerini verir.

Matris her zaman tersi alınabilir (pozitif tanımlı) bir matristir.

Matrisin köşegen dışı elemanları korelasyon katsayılarına eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Matris simetriktir ve yarı-pozitif tanımlıdır.

Cevap

Varyans-kovaryans matrisi simetriktir ve yarı-pozitif tanımlıdır.

Çok değişkenli normal dağılımda varyans-kovaryans matrisi, değişkenlerin kendi varyanslarını ve aralarındaki kovaryansları içeren kare bir matristir. Bu matris, kovaryansın tanımı gereği simetriktir ve istatistiksel tutarlılık için (varyansın negatif çıkmaması adına) her zaman yarı-pozitif tanımlı olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans-kovaryans matrisinin simetri özelliğini değerlendir.

\sigma_{ij} = Cov(X_i, X_j)

ve

\sigma_{ji} = Cov(X_j, X_i)

olduğundan

\sigma_{ij} = \sigma_{ji}

'dir.

Kovaryans işleminin değişme özelliği matrisin devriğine eşit olmasını (simetriyi) sağlar.

2

Matrisin tanımlılık özelliğini kontrol et.

Herhangi bir sabit

\mathbf{a}

vektörü için

Var(\mathbf{a}^T\mathbf{X}) = \mathbf{a}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{a} \geq 0

olmalıdır.

Varyans değeri hiçbir zaman negatif olamaz, bu da karesel formun sonucunun sıfır veya daha büyük olmasını gerektirir (yarı-pozitif tanımlılık).

Anahtar Kavram

Varyans-Kovaryans Matrisinin Özellikleri

İpuçları

1

Kovaryans matrisinin köşegen elemanlarının neyi temsil ettiğini hatırlayın.

2

Kovaryansın negatif olup olamayacağını ve matrisin simetrik yapısını düşünün.

Daha Fazla Pratik

Varyans-kovaryans matrisi birim matris olduğunda değişkenlerin bağımsızlığı hakkında ne söylenebilir?

Tahmini Süre:45s

Soru 55Soru →

Bir bakanlık bünyesinde çalışan 50 personelin görev yaptıkları birimler ( $Y$ ) ve uzmanlık sertifikasına sahip olma durumları ( $X$ ) aşağıda verilen ortak olasılık kütle fonksiyonu tablosu ile özetlenmiştir:

Birim / Sertifika	Sertifikalı ( $X=1$ )	Sertifikasız ( $X=0$ )	Toplam
Strateji Birimi ( $Y=1$ )	$8$	$12$	$20$
Operasyon Birimi ( $Y=2$ )	$18$	$12$	$30$
Toplam	$26$	$24$	$50$

Bu kurumdan rastgele seçilen bir personelin Operasyon Biriminde ( $Y=2$ ) çalıştığı bilindiğine göre, bu personelin uzmanlık sertifikasına sahip olma ( $X=1$ ) olasılığı kaçtır?

0,60

0,36

0,40

0,52

0,69

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,60$

Cevap

Operasyon biriminde çalışan personelin sertifikalı olma olasılığı

0,60

olarak bulunur.

Operasyon biriminde çalışan toplam

30

kişi bulunmaktadır. Bu

30

kişi içerisinden sertifikalı olanların sayısı

18

olduğu için, koşullu olasılık

18/30 = 0,60

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşul olayının marjinal olasılığını veya toplam sayısını belirleyin.

n(Y=2) = 18 + 12 = 30

Koşullu olasılıkta örnek uzayı, koşul olarak verilen olayın gerçekleştiği alt küme ile sınırlanır.

2

Koşul kümesi içindeki istenen olayın (kesişim kümesi) sayısını belirleyin.

n(X=1 \cap Y=2) = 18

Operasyon biriminde olup aynı zamanda sertifikalı olan kişi sayısı formülün pay kısmını oluşturur.

3

Koşullu olasılık formülünü uygulayarak sonucu hesaplayın.

P(X=1 | Y=2) = \frac{18}{30} = 0,60

P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}

tanımı gereği oranlama yapılır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde koşullu olasılık, ortak olasılığın marjinal olasılığa bölünmesiyle elde edilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda sürekli dağılımlar için integrasyon yöntemini içeren uygulamalara çalışılabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 56Soru →

Bir mühendislik projesinde incelenen iki farklı ölçüm sonucu $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır:

f(x, y) = \begin{cases} 4xy, & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

f_X(x) = 2x, \quad 0 < x < 1

f_X(x) = 2y, \quad 0 < y < 1

f_X(x) = 4x, \quad 0 < x < 1

f_X(x) = x, \quad 0 < x < 1

f_X(x) = 1, \quad 0 < x < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_X(x) = 2x, \quad 0 < x < 1$

Cevap

X

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_X(x) = 2x, \quad 0 < x < 1

olarak bulunur.

Sürekli iki değişkenli bir dağılımda

X

'in marjinal yoğunluk fonksiyonu, ortak yoğunluk fonksiyonunun

y

üzerinden integralinin alınmasıyla bulunur.

0 < y < 1

aralığında

4xy

fonksiyonunun

y

değişkenine göre integrali

2x

sonucunu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünü belirle.

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy

X

'in marjinal dağılımını bulmak için ortak yoğunluk fonksiyonunu

y

üzerinden entegre etmemiz gerekir.

2

Verilen fonksiyonu ve

y

değişkeninin sınırlarını integrale yerleştir.

f_X(x) = \int_{0}^{1} 4xy \, dy

Fonksiyon

0 < y < 1

aralığında tanımlı olduğu için integral sınırları bu değerlerdir.

3

y

değişkenine göre integrali hesapla.

f_X(x) = 4x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = 4x \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 2x

4x

terimi

y

için sabit kabul edilir,

y

teriminin integrali ise

y^2/2

olur.

Anahtar Kavram

Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

İpuçları

1

X

'in marjinalini bulmak için diğer değişken olan

y

üzerinden integral almalısınız.

2

İntegral sınırlarını

y

değişkeninin tanımlı olduğu

0

ile

1

aralığı olarak belirleyin.

3

y

üzerinden integral alırken

4x

terimini bir katsayı (sabit) gibi integral dışına alabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemi

Y

değişkeninin marjinal dağılımını bulmak için de yaparak değişkenlerin bağımsız olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 57Soru →

Bir Sosyal Yardımlaşma ve Dayanışma Vakfı tarafından hazırlanan yardım paketleri üç farklı türden oluşmaktadır. Bu paketlerin türleri ve seçilme olasılıkları aşağıda verilmiştir:

Paket Türü	Seçilme Olasılığı ( $p_i$ )
Gıda Paketi ( $X_1$ )	$0,5$
Temizlik Paketi ( $X_2$ )	$0,3$
Giyim Paketi ( $X_3$ )	$0,2$

Bu vakıftan rastgele seçilen $n = 10$ adet yardım paketi için $X_1$ ve $X_2$ değişkenleri arasındaki kovaryans değeri ( $Cov(X_1, X_2)$ ) kaçtır?

-1,5

1,5

0

-3,0

2,1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-1,5$

Cevap

İki değişken arasındaki kovaryans

-1,5

olarak hesaplanır.

Multinomiyal dağılımda

X_i

ve

X_j

(

i \neq j

) değişkenleri arasındaki kovaryans

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

formülü ile bulunur. Soruda verilen

n=10

,

p_1=0,5

ve

p_2=0,3

değerleri formüle uygulandığında

-10 \times 0,5 \times 0,3 = -1,5

elde edilir. Bu negatif değer, paket seçimleri arasındaki ters yönlü bağımlılığı gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Multinomiyal dağılım parametrelerini belirleme

n = 10

,

p_1 = 0,5

,

p_2 = 0,3

Kovaryans hesaplaması için gerekli olan toplam deneme sayısı ve ilgili kategorilerin gerçekleşme olasılıklarını tanımlamak gerekir.

2

Kovaryans formülünü uygulama

Cov(X_1, X_2) = -n \cdot p_1 \cdot p_2

Multinomiyal dağılımda iki farklı rastgele değişken arasındaki doğrusal ilişkinin formülü budur.

3

Sayısal hesaplamayı yapma

Cov(X_1, X_2) = -10 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = -1,5

Verilen değerlerin formülde yerine yerleştirilmesiyle nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Kovaryans

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 58Soru →

Sürekli $X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y) = e^{-(x+y)}$ ( $x > 0, y > 0$ ) olarak verilmiştir. $U = 2X$ ve $V = 3Y$ şeklinde bir değişken dönüşümü tanımlandığında, $(U, V)$ rastgele değişken çiftinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0

g(u,v) = e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0

g(u,v) = 6 e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0

g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(u+v)}, \quad u > 0, v > 0

g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad 0 < u < v

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0$

Cevap

g(u,v) = \frac{1}{6} e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})}, \quad u > 0, v > 0

ifadesidir.

Doğru cevapta,

x

yerine

u/2

ve

y

yerine

v/3

yazılmış ve fonksiyon Jakobiyen determinantı olan

1/6

ile çarpılmıştır. Ayrıca

x>0

ve

y>0

şartlarından gelen

u>0

ve

v>0

sınırları doğru belirtilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm denklemlerini oluşturun.

x = \frac{u}{2}

ve

y = \frac{v}{3}

Orijinal yoğunluk fonksiyonunda yerine koyabilmek için

x

ve

y

değişkenlerini

u

ve

v

cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v \\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Çok değişkenli dönüşümlerde, değişken değiştirme formülü gereği

|J|

çarpanı gereklidir.

3

Dönüşüm formülünü uygulayın ve yeni PDF'i bulun.

g(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = e^{-(\frac{u}{2} + \frac{v}{3})} \cdot \frac{1}{6}

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun yeni değişkenlere göre ölçeklenmiş halini bulmak için standart formül kullanılır.

4

Yeni değişkenlerin tanım aralığını (sınırlarını) belirleyin.

u > 0

ve

v > 0

Orijinal sınırlardan (

x>0, y>0

),

u/2 > 0 \Rightarrow u > 0

ve

v/3 > 0 \Rightarrow v > 0

elde edilir.

Anahtar Kavram

İki boyutlu sürekli rastgele değişkenlerde lineer dönüşüm ve Jakobiyen yöntemi.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin toplamı olan Z = X + Y gibi bir değişkenin marjinal dağılımını bulmak için bu ortak yoğunluk üzerinden integral almayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 59Soru →

Bir belediyenin sunduğu ulaşım hizmetlerine yönelik yapılan bir kamuoyu araştırmasında, vatandaşların hizmetten "çok memnun", "orta düzeyde memnun" veya "hiç memnun değil" olma olasılıkları sırasıyla $0,4$ , $0,2$ ve $0,4$ olarak saptanmıştır. Bu araştırmaya katılan rastgele seçilmiş $50$ kişilik bir grupta, "çok memnun" olanların sayısı $X_1$ , "orta düzeyde memnun" olanların sayısı ise $X_2$ ile gösterilmektedir. Buna göre, $X_1$ ve $X_2$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans ( $Cov(X_1, X_2)$ ) değeri kaçtır?

-4

4

0

-0,08

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-4$

Cevap

İki değişken arasındaki kovaryans değeri

-4

olarak hesaplanmaktadır.

Multinomiyal dağılımın temel özelliklerinden biri, herhangi iki farklı rastgele değişken (

X_i

ve

X_j

) arasındaki kovaryansın

-n \cdot p_i \cdot p_j

olmasıdır. Soruda verilen

n=50

,

p_1=0,4

ve

p_2=0,2

değerleri bu formüle yerleştirildiğinde elde edilen

-4

değeri doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Multinomiyal dağılım parametrelerini belirleyin.

n = 50

,

p_1 = 0,4

,

p_2 = 0,2

ve

p_3 = 0,4

Kovaryans hesaplaması için toplam deneme sayısı ve ilgili kategorilerin gerçekleşme olasılıkları gereklidir.

2

Kovaryans formülünü uygulayın.

Cov(X_1, X_2) = -n \cdot p_1 \cdot p_2

Multinomiyal dağılımda rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçmek için standart kovaryans formülü kullanılır.

3

Sayısal hesaplamayı tamamlayın.

Cov(X_1, X_2) = -50 \cdot 0,4 \cdot 0,2 = -50 \cdot 0,08 = -4

Parametreler formülde yerine yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Kovaryans

Soru 60Soru →

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri $(0,1)$ aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu durumda $U = 2X$ ve $V = 3Y$ olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

g(u,v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3

g(u,v) = 1, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3

g(u,v) = 6, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3

g(u,v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 1, \ 0 < v < 1

g(u,v) = 1, \quad 0 < u < 1, \ 0 < v < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $g(u,v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3$

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

1/6

olup, tanım aralığı

0 < u < 2

ve

0 < v < 3

şeklindedir.

Dönüşüm kuralı uygulandığında, Jakobiyen determinantı

1/6

olarak hesaplanır ve

U

ile

V

değişkenlerinin sınırları sırasıyla

(0,2)

ve

(0,3)

aralıklarına genişler. Bu iki durumun birleşimi doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinal ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleme

f(x,y) = 1, \quad 0 < x < 1, \ 0 < y < 1

X

ve

Y

bağımsız ve

(0,1)

aralığında düzgün dağılımlı olduğu için marjinal yoğunluklarının çarpımı ortak yoğunluğu verir.

2

Ters dönüşüm fonksiyonlarını bulma

x = \frac{u}{2}

ve

y = \frac{v}{3}

U = 2X

ve

V = 3Y

denklemlerinden

x

ve

y

değişkenlerini yalnız bırakırız.

3

Jakobiyen determinantını hesaplama

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Değişken dönüşümü formülünde yoğunluk fonksiyonunun ölçeklenmesi için Jakobiyen determinantına ihtiyaç vardır.

4

Yeni sınırları belirleme

0 < \frac{u}{2} < 1 \Rightarrow 0 < u < 2

ve

0 < \frac{v}{3} < 1 \Rightarrow 0 < v < 3

x

ve

y

değişkenlerinin orijinal sınırlarını

u

ve

v

cinsinden ifade ederiz.

5

Yeni yoğunluk fonksiyonunu yazma

g(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

Dönüşüm kuralı gereği orijinal fonksiyon ile Jakobiyen'in mutlak değeri çarpılır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli bir dönüşümde yeni yoğunluk fonksiyonu, orijinal yoğunluk fonksiyonunun ters dönüşümlerle ifadesinin Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmasıyla elde edilir.

İpuçları

1

Yeni yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

g(u,v) = f(x,y) \cdot |J|

formülünü kullanmalısın.

2

Jakobiyen determinantını hesaplarken ters dönüşüm fonksiyonlarının (

x=u/2, y=v/3

) türevlerini almalısın.

3

U=2X

olduğu için

X

değişkeni

0

ile

1

arasındayken

U

değişkeni

0

ile

2

arasında değer alacaktır.

Daha Fazla Pratik

Daha karmaşık olan

U=X+Y

ve

V=X-Y

gibi toplam/fark dönüşümlerini inceleyerek Jakobiyen matrisinin nasıl kurulduğunu pekiştirebilirsin.

Tahmini Süre:1m 30s

Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar