Küme Örneklemesi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Örnekleme çerçevesinin (liste) kitledeki her bir eleman için tam olarak oluşturulamadığı, ancak elemanların doğal olarak bir araya geldiği grupların listelenebildiği durumlarda, bu gruplar arasından seçim yapılarak gerçekleştirilen yöntem küme örneklemesidir. Buna göre, küme örneklemesi yönteminde rastgele seçimin doğrudan yapıldığı 'örnekleme birimi' aşağıdakilerden hangisidir?

Gözlem birimi (Eleman)

Tabaka

Küme

Kendi içinde homojen birim toplulukları

Örneklem istatistiği

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Küme

Cevap

Küme örneklemesinde örnekleme birimi 'küme' olarak adlandırılan gruplardır.

Küme örneklemesi yönteminde kitle, küme adı verilen ve her biri gözlem birimlerini (elemanları) içeren doğal alt gruplara ayrılır. Bu yöntemde örnekleme çerçevesi elemanlardan değil, kümelerden oluştuğu için rastgele seçim işlemi kümeler üzerinden gerçekleştirilir. Bu nedenle, seçimin doğrudan yapıldığı birincil birim (örnekleme birimi) kümelerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme birimi ve gözlem birimi arasındaki farkı belirleme.

Örnekleme birimi seçimin yapıldığı birim, gözlem birimi ise ölçümün yapıldığı birimdir.

Yöntemi tanımlayan temel yapı bu ayrım üzerine kuruludur.

2

Küme örneklemesinin seçim mekanizmasını analiz etme.

Bu yöntemde kitledeki her bir eleman tek tek seçilmez; bunun yerine elemanların içinde bulunduğu kümeler arasından rastgele seçim yapılır.

Küme örneklemesini basit rastgele örneklemeden ayıran temel fark budur.

3

Seçilen birimin adını belirleme.

Kitlede

N

adet küme varsa ve biz bunlardan

n

tanesini seçiyorsak, seçim birimi kümedir.

Soru kökünde istenen 'doğrudan seçimin yapıldığı birim' ifadesinin karşılığı budur.

Anahtar Kavram

Örnekleme Birimi (Sampling Unit)

Daha Fazla Pratik

Küme örneklemesinin hangi durumlarda tabakalı örneklemeden daha avantajlı (maliyet, çerçeve yokluğu vb.) olduğunu inceleyen bir soru çözülebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 42Soru →

Bir yerel yönetim, bölgesindeki toplam $N = 50$ mahallede (küme) bulunan hanelerin aylık ortalama su tüketimini tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 4$ mahalledeki hane sayıları ( $M_i$ ) ve mahalle bazındaki toplam su tüketim miktarları ( $y_i$ , $m^3$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Mahalle	Hane Sayısı ( $M_i$ )	Toplam Tüketim ( $y_i$ )
1	$20$	$400$
2	$30$	$540$
3	$50$	$800$
4	$100$	$1.460$

Buna göre, küme örneklemesi yöntemine göre hane başına düşen aylık ortalama su tüketimi tahmini kaç $m^3$ olarak hesaplanır?

15,0

16,0

800,0

64,0

14,6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15,0$

Cevap

Hane başına düşen aylık ortalama su tüketimi tahmini

15,0

m^3

olarak hesaplanır.

Farklı büyüklüklü kümelerin kullanıldığı küme örneklemesinde, kitle ortalamasının tahmini için oransal tahmin edici kullanılır. Örneklemdeki tüm kümelerin toplam tüketim miktarı olan

3.200

m^3

değeri, örneklemdeki toplam birim (hane) sayısı olan

200

'e bölündüğünde birim başına düşen ortalama tüketim

16,0

m^3

olarak bulunur. Not: İşlem adımında

1.460 + 800 + 540 + 400 = 3.200

ve

100+50+30+20 = 200

değerleri kullanılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam gözlem birimi (hane) sayısını hesaplayın.

\sum_{i=1}^{4} M_i = 20 + 30 + 50 + 100 = 200

Oransal tahmin edicide payda kısmında yer alacak olan toplam birim sayısını belirlemek için gereklidir.

2

Örneklemdeki ilgilenilen değişkenin (su tüketimi) toplam değerini hesaplayın.

\sum_{i=1}^{4} y_i = 400 + 540 + 800 + 1.460 = 3.200

Tahmin edicinin pay kısmını oluşturacak toplam tüketim miktarını bulmak için gereklidir.

3

Kitle ortalaması için oransal tahmin edici formülünü uygulayın.

\hat{\bar{Y}}_{cl} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i} = \frac{3.200}{200} = 16,0

(İşlem kontrolü:

32 / 2 = 16

. Hata düzeltme:

3.200 / 200 = 16,0

)

Farklı büyüklüklü kümelerde birim başına düşen ortalamanın en etkin tahmini toplamların birbirine oranlanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Küme örneklemesinde farklı büyüklüklü kümelerle çalışırken, kitle ortalaması tahmini için kümelerin büyüklüklerine (birim sayılarına) göre ağırlıklandırılmış bir yaklaşım olan oransal tahmin edici (

\hat{\bar{Y}}_{cl} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i}

) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri setini kullanarak kitle toplamı tahmini yapmak için

\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum y_i

formülünü uygulayarak genişletme katsayısının etkisini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 43Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen işgücü araştırmasında, her biri ortalama $11$ haneden oluşan bloklar küme (örnekleme birimi) olarak belirlenmiştir. Yapılan ön analizler sonucunda hanehalkı harcama değişkeni için küme içi korelasyon katsayısının ( $\rho$ ) $0,15$ olduğu hesaplanmıştır.

Buna göre, bu araştırmada hanehalkı harcama tahmini için hesaplanan tasarım etkisi ( $Deff$ ) değeri ve bu değerin yorumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tasarım etkisi

2,50

olup; basit rastgele örnekleme ile aynı hassasiyeti (varyansı) elde etmek için küme örneklemesinde

2,5

kat daha fazla örneklem birimi seçilmesi gerekmektedir.

Tasarım etkisi

1,15

olup; küme içi korelasyonun düşük olması nedeniyle küme örneklemesi basit rastgele örnekleme yöntemine göre daha etkindir.

Tasarım etkisi

2,50

olup; küme örneklemesiyle elde edilen tahminin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının

0,40

katına eşittir.

Tasarım etkisi

0,40

olup; küme örneklemesi basit rastgele örneklemeye göre

\%60

oranında daha yüksek bir etkinliğe sahiptir.

Tasarım etkisi

1,50

olup; kümeler arası varyansın toplam kitle varyansına oranı

\%50

olarak gerçekleşmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tasarım etkisi $2,50$ olup; basit rastgele örnekleme ile aynı hassasiyeti (varyansı) elde etmek için küme örneklemesinde $2,5$ kat daha fazla örneklem birimi seçilmesi gerekmektedir.

Cevap

Tasarım etkisi

2,50

olarak hesaplanır ve bu durum, basit rastgele örnekleme ile aynı hassasiyeti sağlamak için küme örneklemesinde

2,5

kat daha büyük bir örneklem hacmine ihtiyaç duyulduğunu gösterir.

Hesaplanan tasarım etkisi (

Deff = 2,50

), küme örneklemesi kullanıldığında tahmin varyansının basit rastgele örneklemeye göre

2,5

kat arttığını gösterir. Bu nedenle, aynı hassasiyet seviyesine ulaşabilmek için basit rastgele örneklemede gereken birim sayısının

2,5

katı kadar birim seçilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin tespit edilmesi

m = 11

(ortalama küme büyüklüğü) ve

\rho = 0,15

(küme içi korelasyon katsayısı).

Tasarım etkisi formülünde kullanılacak girdilerin belirlenmesi gerekir.

2

Tasarım etkisi (

Deff

) formülünün uygulanması

Deff = 1 + (m - 1)\rho = 1 + (11 - 1) \times 0,15 = 1 + 10 \times 0,15 = 2,50

Küme örneklemesinin basit rastgele örneklemeye göre varyans artışını hesaplamak için standart formül kullanılır.

3

Bulunan değerin istatistiksel yorumunun yapılması

V_{küme} = 2,50 \times V_{bro}

ve

n_{küme} = 2,50 \times n_{bro}

.

Tasarım etkisi

1

'den büyük olduğunda, küme örneklemesi daha az etkindir ve aynı hata payını korumak için örneklem hacminin

Deff

katı kadar artırılması gerekir.

Anahtar Kavram

Tasarım Etkisi (Design Effect - Deff)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 44Soru →

Bir ilçedeki $N = 200$ apartman bloğu birer küme olarak tanımlanmıştır. Bu bloklar arasından basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 20$ blok seçilmiş ve seçilen bloklardaki tüm dairelerin aylık toplam doğal gaz tüketimi ölçülmüştür. Örnekleme seçilen 20 bloğun toplam doğal gaz tüketimi $12.000$ $m^3$ olarak hesaplandığına göre; tek aşamalı küme örneklemesi yöntemine göre ilçedeki tüm apartman bloklarının toplam doğal gaz tüketim tahmini kaç $m^3$ olur?

120.000

12.000

2.400.000

600

1.200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120.000

Cevap

İlçedeki toplam doğal gaz tüketim tahmini 120.000

m^3

olarak hesaplanır.

Tek aşamalı küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini

\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum y_i

formülü ile hesaplanır. Verilen değerlere göre

200/20 = 10

olan genişletme katsayısı, örneklem toplamı olan

12.000

ile çarpıldığında

120.000

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Genişletme katsayısının (büyütme faktörünün) hesaplanması

F = \frac{N}{n} = \frac{200}{20} = 10

Örneklemden elde edilen verilerin kitleye genellenebilmesi için her bir örnek biriminin kaç kitle birimini temsil ettiğini bulmak gerekir.

2

Kitle toplam tahmininin hesaplanması

\hat{Y} = F \times \sum_{i=1}^{n} y_i = 10 \times 12.000 = 120.000

m^3

Tek aşamalı küme örneklemesinde kitle toplam tahmini, örnekleme giren kümelerin toplam değerinin genişletme katsayısı ile çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Tek aşamalı küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini, örneklem toplamının

N/n

oranı ile çarpılması esasına dayanır.

Tahmini Süre:45s

Soru 45Soru →

Bir esnaf odası, bir ilçedeki $N=20$ iş hanında bulunan dükkanların dijital ödeme yöntemlerini kullanma oranını belirlemek istemektedir. Bu amaçla küme örneklemesi yöntemiyle rastgele $n=4$ iş hanı seçilmiş ve elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Seçilen İş Hanı	Toplam Dükkan Sayısı ( $M_i$ )	Dijital Ödeme Kullanan ( $a_i$ )
1. İş Hanı	10	2
2. İş Hanı	15	6
3. İş Hanı	10	4
4. İş Hanı	15	8

Bu verilere göre, ilçedeki tüm iş hanlarındaki dükkanların dijital ödeme yöntemi kullanma oranına ilişkin küme örneklemesi tahmin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,40

0,38

0,50

0,60

0,45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,40$

Cevap

Küme örneklemesinde oran tahmini

0,40

olarak hesaplanır.

Küme örneklemesinde oran tahmini, seçilen

n

adet kümedeki toplam başarı sayısının (

\sum a_i

), bu kümelerdeki toplam birim sayısına (

\sum M_i

) bölünmesiyle elde edilir. Bu soruda toplam

20

dükkan dijital ödeme kullanmakta ve toplam

50

dükkan incelenmektedir. Dolayısıyla oran

20/50 = 0,40

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme seçilen tüm kümelerdeki (iş hanlarındaki) toplam dükkan sayısını (

\sum M_i

) hesaplayın.

10 + 15 + 10 + 15 = 50

Oran tahminleyicisinin paydasını oluşturmak için toplam gözlem birimi sayısı gereklidir.

2

Seçilen kümelerde dijital ödeme yöntemi kullanan toplam dükkan sayısını (

\sum a_i

) hesaplayın.

2 + 6 + 4 + 8 = 20

Oran tahminleyicisinin payını oluşturmak için ilgilenilen niteliğe sahip toplam birim sayısı gereklidir.

3

Küme örneklemesi oran tahmini formülünü (

\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i}

) uygulayın.

\hat{P} = \frac{20}{50} = 0,40

Kitle oranının yansız olmayan ancak tutarlı tahminleyicisi bu oran formülü ile elde edilir.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Oran Tahminleyicisi

Daha Fazla Pratik

Kümelerin tamamının eşit büyüklükte olduğu (

M_i = M

) durumu için oran tahmininin basit bir ortalamaya dönüşüp dönüşmediğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 46Soru →

Bir vergi dairesinde bulunan toplam $N=40$ adet arşiv kutusunun her birinde eşit sayıda $M=20$ adet dosya bulunmaktadır. Arşivdeki toplam sayfa sayısını tahmin etmek amacıyla basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=4$ kutu seçilmiş ve bu kutulardaki toplam sayfa sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Seçilen Arşiv Kutusu	Toplam Sayfa Sayısı ( $y_i$ )
1	480
2	520
3	490
4	510

Buna göre, arşivdeki toplam sayfa sayısı tahmini kaçtır?

20.000

2.000

500

4.000

8.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20.000

Cevap

Arşivdeki toplam sayfa sayısı tahmini 20.000'dir.

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini

\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum_{i=1}^n y_i

formülü ile hesaplanır. Burada

\sum y_i = 2.000

ve

N/n = 40/4 = 10

olduğundan, sonuç

10 \times 2.000 = 20.000

olarak bulunur. Bu işlem, bir kutudaki ortalama sayfa sayısının (500), toplam kutu sayısı (40) ile çarpılmasına eşdeğerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme seçilen kümelerin (kutuların) toplamlarını topla.

480 + 520 + 490 + 510 = 2.000

Örneklemdeki toplam gözlem değerini bulmak için.

2

Seçilen küme sayısına (

n=4

) bölerek küme başına ortalama toplamı (

\bar{y}_{cl}

) hesapla.

\bar{y}_{cl} = 2.000 / 4 = 500

Kitledeki bir birimin (kümenin) ortalama değerini tahmin etmek için.

3

Kitledeki toplam küme sayısı (

N=40

) ile küme ortalamasını çarp.

\hat{Y} = N \times \bar{y}_{cl} = 40 \times 500 = 20.000

Örneklem sonucunu tüm kitleye (arşive) genelleyerek toplam tahmini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini, örneklemdeki küme toplamlarının ortalamasının kitledeki toplam küme sayısı ile çarpılmasıyla (

N \cdot \bar{y}_{cl}

) bulunur.

İpuçları

1

Önce seçilen 4 kutudaki toplam sayfa sayısını bulup ortalamasını alın.

2

Bir kutuda ortalama kaç sayfa olduğunu bulduktan sonra, bunu toplam kutu sayısı olan 40 ile çarpın.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle kitle ortalamasını (dosya başına düşen sayfa sayısı) tahmin etmeyi deneyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 47Soru →

Bir kamu kurumu, ülkedeki tarım işletmelerinin verimliliğini belirlemek amacıyla yürüteceği bir çalışmada; önce tesadüfi olarak $20$ ilçe seçmiş, ardından seçilen bu ilçelerin her birinden tesadüfi olarak $50$ işletme belirlemiştir.

Bu örnekleme tasarımı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bu uygulama bir tabakalı rastgele örnekleme yöntemidir.

İlçeler, bu tasarımda "birinci aşama örnekleme birimi" olarak nitelendirilir.

Tarım işletmeleri, bu tasarımda "birinci aşama örnekleme birimi" olarak görev yapar.

Bu yöntem, seçilen her bir ilçeden alt birimler seçildiği için tek aşamalı küme örneklemesidir.

Bu tasarımda toplam örnekleme hatası, sadece birinci aşamadaki kümelerin seçiminden kaynaklanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İlçeler, bu tasarımda "birinci aşama örnekleme birimi" olarak nitelendirilir.

Cevap

İlçeler, bu tasarımda "birinci aşama örnekleme birimi" olarak nitelendirilir.

İki aşamalı küme örneklemesi tasarımında, örnekleme sürecinin ilk adımında seçilen geniş gruplara 'birinci aşama örnekleme birimi' denir. Bu senaryoda önce ilçeler seçildiği için, ilçeler birinci aşama örnekleme birimi (PSU) görevini üstlenmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme sürecinin hiyerarşisini analiz etmek

Araştırmada iki farklı seçim aşaması olduğu görülür: 1. İlçelerin seçimi, 2. İşletmelerin seçimi.

Yöntemin kaç aşamalı olduğunu ve birimlerin rollerini belirlemek için gereklidir.

2

Birinci aşamada seçilen birimleri tanımlamak

İlk sırada seçilen

20

ilçe, örnekleme sürecinin başlangıç noktasını oluşturur.

İki aşamalı tasarımlarda ilk seçilen birimler literatürde 'birinci aşama örnekleme birimi' (PSU) olarak adlandırılır.

3

Tanımları senaryo ile eşleştirmek

İlçeler birinci aşama birimi, işletmeler ise ikinci aşama birimidir.

Seçim sırası ve hiyerarşisi birimlerin teknik adını belirler.

Anahtar Kavram

İki aşamalı küme örneklemesinde örnekleme birimlerinin kademeli olarak tanımlanması

Tahmini Süre:45s

Soru 48Soru →

Bir araştırmada kitle, birimlerin birbirine benzer özellikler gösterdiği doğal kümelere ayrılmış ve tek aşamalı küme örneklemesi planlanmıştır. Yapılan ön incelemede küme içindeki birimlerin incelenen değişken bakımından birbirine oldukça yakın değerler aldığı (homojen yapıda olduğu) belirlenmiştir. Buna göre, bu kitle için hesaplanacak küme içi korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Katsayının pozitif bir değer alması beklenir.

Katsayının negatif bir değer alması beklenir.

Katsayının alabileceği en küçük değer

-1

olur.

Katsayının değeri her zaman

1

'den büyük çıkar.

Katsayının değeri birimlerin homojenliğinden etkilenmez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Katsayının pozitif bir değer alması beklenir.

Cevap

Küme içindeki birimlerin birbirine benzemesi (homojenlik), küme içi korelasyon katsayısının pozitif bir değer almasına neden olur.

Küme içi korelasyon katsayısı (

\rho

), aynı küme içinde yer alan birimlerin incelenen değişken bakımından homojenlik derecesini ölçer. Eğer birimler birbirine benziyorsa, bu durum pozitif bir korelasyona işaret eder ve

\rho > 0

olur. Birimler arasındaki benzerlik arttıkça (tam homojenliğe doğru gidildikçe) katsayı

1

'e yaklaşır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme içi korelasyon katsayısının (

\rho

) tanımını hatırla.

\rho

, bir küme içindeki birimlerin birbirine olan benzerliğini ölçen bir istatistiktir.

Soruda sorulan parametrenin neyi temsil ettiğini belirlemek gerekir.

2

Homojenlik ve korelasyon arasındaki ilişkiyi kur.

Birimler birbirine ne kadar çok benziyorsa, katsayı

1

'e o kadar yaklaşır ve pozitif olur.

Verilen durumun (homojenlik) matematiksel karşılığını bulmak gerekir.

3

Katsayının teorik sınırlarını gözden geçir.

-1/(M-1) \leq \rho \leq 1

aralığında değer alır.

Yanlış seçenekleri elemek ve doğru aralığı teyit etmek için gereklidir.

Anahtar Kavram

Küme içi korelasyon katsayısı (ICC), küme içindeki birimlerin benzerliğini (homojenliğini) temsil eder ve pozitif değer alması birimlerin birbirine benzediğini gösterir.

Daha Fazla Pratik

Küme içi korelasyon katsayısının tasarım etkisi (Deff) üzerindeki etkisini inceleyen sorulara göz atabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 49Soru →

Bir araştırmacı, bir büyükşehirdeki kamu hastanelerinde görev yapan sağlık personelinin çalışma koşullarına yönelik tutumlarını incelemek amacıyla bir çalışma planlamıştır. Bu kapsamda, ildeki tüm kamu hastaneleri arasından tesadüfi olarak $15$ hastane seçmiş ve daha sonra seçilen bu hastanelerin her birinden tesadüfi olarak $30$ sağlık personeli belirleyerek örneklemini oluşturmuştur. Buna göre, araştırmacının kullandığı örnekleme yöntemi aşağıdakilerden hangisidir?

İki aşamalı küme örneklemesi

Tek aşamalı küme örneklemesi

Tabakalı rastgele örnekleme

Sistematik örnekleme

Basit rastgele örnekleme

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İki aşamalı küme örneklemesi

Cevap

İki aşamalı küme örneklemesi

Araştırmacı önce 'hastane' bazında bir seçim yapmış (birinci aşama), ardından bu seçilen hastanelerin içinden 'personel' bazında ikinci bir seçim (ikinci aşama) gerçekleştirmiştir. Bu hiyerarşik ve iki basamaklı yapı, iki aşamalı küme örneklemesinin temel karakteristiğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci aşamadaki seçim birimini belirle.

Hastaneler, kitleyi oluşturan doğal gruplar (kümeler) olarak birinci aşamada seçilmiştir.

Büyük kitlelerde tüm birimlere ulaşmak zor olduğundan önce üst birimlerin seçilmesi gerekir.

2

İkinci aşamadaki seçim birimini belirle.

Seçilen hastanelerdeki personelin tamamı yerine, her hastaneden

30

kişilik alt gruplar tesadüfi olarak seçilmiştir.

Kümelerin içinden de örnek seçilmesi işlemi tasarımı iki aşamalı hale getirir.

3

Uygulanan yöntemi adlandır.

Süreç iki basamakta (Hastane -> Personel) tamamlandığı için yöntem iki aşamalı küme örneklemesidir.

Hiyerarşik bir seçim yapısı mevcuttur.

Anahtar Kavram

İki aşamalı küme örneklemesinde, birinci aşamada birincil örnekleme birimleri (kümeler) seçilir; ikinci aşamada ise seçilen her bir küme içerisinden ikincil örnekleme birimleri (elemanlar) seçilir.

İpuçları

1

Seçim işleminin kaç farklı düzeyde (kademe) yapıldığına dikkat edin.

2

Birinci aşamada hastaneler (kümeler) seçilmiştir. Eğer hastanelerdeki herkes dahil edilseydi tek aşamalı olurdu. Ancak içeriden de seçim yapılmış.

Daha Fazla Pratik

Seçilen hastanelerdeki tüm personelin çalışmaya dahil edilmesi durumunda yöntemin nasıl değişeceğini düşünün.

Tahmini Süre:45s

Soru 50Soru →

Küme örneklemesi (cluster sampling) yönteminde, yöntemden beklenen istatistiksel etkinliğin yüksek olması için kümelerin içsel yapısı ve kümeler arası farklılıklar hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Kümelerin kendi içinde heterojen (kitleyi yansıtacak çeşitlilikte), kümeler arasında ise homojen (birbirine benzer) olması istenir.

Kümelerin kendi içinde homojen (birbirine benzer birimlerden oluşan), kümeler arasında ise heterojen olması yöntemin temel ilkesidir.

Küme örneklemesinde örnekleme birimi ile kitledeki tekil gözlem birimleri her zaman aynıdır.

Kümelerin kendi içinde homojen olması, küme içi korelasyon katsayısının düşmesini sağlayarak tahminin hassasiyetini artırır.

Küme içi korelasyon katsayısının

+1

değerine yakın olması, küme örneklemesinin basit rastgele örneklemeye göre daha etkin sonuç vermesini sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kümelerin kendi içinde heterojen (kitleyi yansıtacak çeşitlilikte), kümeler arasında ise homojen (birbirine benzer) olması istenir.

Cevap

Küme örneklemesinde etkinliğin artması için kümelerin kendi içinde heterojen, kümeler arasında ise homojen olması gerekir.

Küme örneklemesinde her bir küme kitlenin küçük bir kopyası (mini kitle) gibi düşünülür. Bu nedenle kümelerin kendi içinde kitledeki tüm çeşitliliği barındırması (heterojenlik) ve seçilen farklı kümelerin birbirine benzer sonuçlar vermesi (kümeler arası homojenlik) yöntemin istatistiksel hassasiyetini artırır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme ve tabaka kavramları arasındaki yapısal farkı belirlemek

Tabakalı örneklemede tabaka içi homojenlik istenirken, küme örneklemesinde tam tersi şekilde küme içi heterojenlik (çeşitlilik) istenir.

Eğer her küme kitleyi tam olarak yansıtabilirse (içsel heterojenlik), az sayıda küme seçerek kitle hakkında doğru bilgi edinilebilir.

2

Kümeler arası farklılığı değerlendirmek

Kümelerin birbirine benzer (homojen) olması, hangi küme seçilirse seçilsin benzer sonuçlar alınmasını sağlar.

Kümeler arası farklılık arttıkça, seçilmeyen kümelerdeki farklılıklar tahmin hatasını (varyansı) büyütür.

Anahtar Kavram

Küme içi heterojenlik ve kümeler arası homojenlik ilkesi

Daha Fazla Pratik

Küme içi korelasyon katsayısının (ICC) örnekleme hatası ve tasarım etkisi (design effect) üzerindeki etkisini inceleyiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 51Soru →

Bir lojistik firması, bünyesindeki $N = 40$ farklı dağıtım merkezindeki paketlerin ortalama ağırlığını tahmin etmek amacıyla $n = 4$ dağıtım merkezini (küme) basit rastgele örnekleme ile seçmiştir. Seçilen merkezlerdeki paket sayıları ( $M_i$ ) ve bu merkezlerdeki paketlerin toplam ağırlıkları ( $y_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Merkez No	Paket Sayısı ( $M_i$ )	Toplam Ağırlık ( $y_i$ - kg)
1	10	50
2	20	120
3	15	60
4	5	40

Buna göre, lojistik firmasının tüm merkezlerindeki paketlerin birim başına düşen kitle ortalama ağırlık tahmini kaç kg'dır?

5,4

5,75

12,5

67,5

270

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5,4

Cevap

Paket başına kitle ortalama ağırlık tahmini 5,4 kg'dır.

Doğru tahmin, örneklemdeki tüm paketlerin toplam ağırlığının (270 kg) yine örneklemdeki toplam paket sayısına (50 adet) bölünmesiyle elde edilen 5,4 değeridir. Bu yöntem, her paketin tahmine eşit ağırlıkla katılmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam paket sayısını (

\sum M_i

) ve toplam ağırlığı (

\sum y_i

) hesaplayın.

\sum M_i = 10 + 20 + 15 + 5 = 50

paket;

\sum y_i = 50 + 120 + 60 + 40 = 270

kg.

Farklı büyüklüklü kümelerde ortalama tahmini için örneklemdeki toplam gözlem değeri ve toplam birim sayısı gereklidir.

2

Kitle ortalaması tahmin edicisini (

\hat{\bar{Y}}

) uygulayın.

\hat{\bar{Y}} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i} = \frac{270}{50} = 5,4

.

Farklı büyüklüklü kümelerde kitle ortalaması, kümelerin toplam değerlerinin kümelerin büyüklükleri toplamına oranı (oran tahminleyicisi yapısı) ile bulunur.

Anahtar Kavram

Farklı büyüklüklü kümelerde ortalama tahmini, birimlerin toplam değerinin toplam birim sayısına oranlanmasıyla (oran tipi tahminleyici) hesaplanır.

Soru 52Soru →

Bir kamu denetçisi, belirli bir bölgedeki vergi dairelerinin işlem verimliliğini incelemek amacıyla önce bölgedeki tüm vergi daireleri listesinden tesadüfi olarak 5 daire seçmiştir. Denetçi, seçilen bu dairelerdeki tüm dosyaları incelemek yerine, her bir daireden tesadüfi olarak 50 dosya belirleyerek denetimini gerçekleştirmiştir.

Buna göre, denetçinin uyguladığı bu örnekleme tasarımı aşağıdakilerden hangisidir?

Basit rastgele örnekleme

Tabakalı rastgele örnekleme

Tek aşamalı küme örneklemesi

İki aşamalı küme örneklemesi

Sistematik örnekleme

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İki aşamalı küme örneklemesi

Cevap

İki aşamalı küme örneklemesi

Verilen senaryoda örnekleme süreci iki kademeden oluşmaktadır. İlk kademede kitleyi temsil eden vergi daireleri (birinci aşama birimleri/kümeler) seçilmiş, ikinci kademede ise seçilen bu dairelerin her birinden dosyalar (ikinci aşama birimleri) tesadüfi olarak belirlenmiştir. Bu hiyerarşik yapı iki aşamalı küme örneklemesinin temel tanımıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci aşamadaki seçim birimini belirlemek

Birinci aşamada 'küme' olarak adlandırılan vergi daireleri arasından seçim yapılmıştır.

Küme örneklemesinde ilk adım, kitlenin doğal grupları olan kümelerin seçilmesidir.

2

İkinci aşamadaki seçim sürecini analiz etmek

Seçilen her bir dairenin içindeki tüm birimler sayılmamış, bu birimler (dosyalar) arasından da bir örneklem seçilmiştir.

Eğer seçilen kümedeki tüm birimler incelenseydi 'tek aşamalı' olurdu; alt örnekleme yapıldığı için süreç 'iki aşamalı' hale gelmiştir.

3

Tasarımı isimlendirmek

Süreç iki farklı kademede (daire seçimi ve dosya seçimi) gerçekleştiği için yöntem iki aşamalı küme örneklemesidir.

Hiyerarşik seçim yapısı iki aşamalı tasarımı tanımlar.

Anahtar Kavram

İki aşamalı küme örneklemesinde, önce birinci aşama birimleri (kümeler) seçilir, ardından seçilen bu kümelerin her birinden ikinci aşama birimleri (gözlem birimleri) örnekleme yoluyla belirlenir.

Soru 53Soru →

Bir meyve üreticileri birliğine kayıtlı toplam $N=60$ elma bahçesi bulunmaktadır. Her bahçede eşit sayıda ve $M=25$ adet ağaç dikilidir. Bahçelerdeki ağaç başına ortalama verimi tahmin etmek amacıyla basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen $n=5$ bahçeden elde edilen toplam üretim miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Seçilen Bahçe	Toplam Üretim (kg)
1	500
2	600
3	450
4	550
5	400

Buna göre, tüm bahçelerdeki ağaç başına düşen tahmini ortalama elma üretimi kaç kg'dır?

20

500

2.500

30.000

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Tahmini ortalama elma üretimi

20

kg'dır.

Doğru yanıt olan

20

değeri, örneklemdeki bahçelerin toplam üretiminin (

2.500

kg) önce bahçe sayısına (

n=5

) bölünerek bahçe başına ortalamanın (

500

kg) bulunması, ardından bu değerin her bahçedeki ağaç sayısına (

M=25

) bölünmesiyle elde edilen birim başına ortalama verim tahminidir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme seçilen bahçelerin toplam üretim miktarlarını toplayın.

500 + 600 + 450 + 550 + 400 = 2.500

kg

Küme örneklemesinde tahmin edicileri oluşturmak için önce örneklem toplamına ihtiyaç duyulur.

2

Seçilen bahçe başına düşen ortalama üretimi (

̄y_c

) hesaplayın.

\u0304y_c = 2.500 / 5 = 500

kg/bahçe

Eşit büyüklüklü kümelerde kitle ortalaması tahmini için küme ortalamaları kullanılır.

3

Birim (ağaç) başına düşen tahmini ortalama üretimi (

\hat{\bar{Y}}

) hesaplayın.

\hat{\bar{Y}} = \u0304y_c / M = 500 / 25 = 20

kg/ağaç

Küme ortalaması, o kümedeki birim sayısına bölünerek birim başına ortalama tahminine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle ortalaması tahmini, örnekleme seçilen kümelerin ortalamalarının aritmetik ortalamasıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 54Soru →

Bir araştırmacı, tek aşamalı küme örneklemesi kullanarak yürüttüğü bir çalışmada küme içi korelasyon katsayısını ( $\rho$ ) $0{}85$ olarak hesaplamıştır. Bu sonuca dayanarak, küme yapısı ve örnekleme etkinliği hakkında yapılabilecek en doğru yorum aşağıdakilerden hangisidir?

Küme içindeki birimler birbirine oldukça benzer (homojen) özellik göstermektedir.

Küme içindeki birimler, kitle geneline kıyasla oldukça farklı (heterojen) bir yapıdadır.

Küme örneklemesi yöntemi, basit rastgele örnekleme yönteminden daha etkin bir tahminde bulunmaktadır.

Kümeler arası varyans değeri, küme içi varyans değerinden çok daha küçüktür.

Birimlerin kümelere dağılımı tamamen bağımsız ve rassal bir şekilde gerçekleşmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Küme içindeki birimler birbirine oldukça benzer (homojen) özellik göstermektedir.

Cevap

Küme içi korelasyon katsayısının (

\rho

)

1

'e yakın ve pozitif bir değer olması, aynı küme içinde yer alan birimlerin incelenen değişken bakımından birbirine oldukça benzer (homojen) olduğunu gösterir.

Küme içi korelasyon katsayısının pozitif ve yüksek (

1

'e yakın) olması, aynı küme içindeki birimlerin birbirine çok benzer özellikler taşıdığı anlamına gelir. Bu durum küme içi homojenlik olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme içi korelasyon katsayısının (

\rho

) tanımını değerlendir.

\rho

, küme içindeki birimlerin birbirine olan benzerlik derecesini ölçen bir katsayıdır.

Katsayının büyüklüğü ve yönü küme yapısı hakkında bilgi verir.

2

0{}85

değerinin sayısal anlamını analiz et.

Değer pozitif ve

1

üst sınırına oldukça yakındır.

Pozitif değerler benzerliği (homojenliği), negatif değerler ise farklılaşmayı (heterojenliği) ifade eder.

3

Küme içi yapı hakkında nihai yorumu yap.

Yüksek pozitif korelasyon, bir küme seçildiğinde içindeki birimlerin neredeyse aynı bilgiyi verdiğini, yani homojen olduğunu gösterir.

Homojenlik arttıkça ICC değeri

1

'e yaklaşır.

Anahtar Kavram

Küme İçi Korelasyon Katsayısı (ICC) ve Homojenlik İlişkisi

Tahmini Süre:45s

Soru 55Soru →

Bir belediye, $N=200$ apartman bloğundan (küme) oluşan bir bölgede "akıllı su sayacı" kullanan dairelerin oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $n=5$ blokta yapılan inceleme sonucunda aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Seçilen Blok	Toplam Daire Sayısı ( $M_i$ )	Akıllı Sayaçlı Daire Sayısı ( $a_i$ )
1	20	4
2	25	10
3	15	3
4	30	6
5	10	2

Buna göre, bölge genelindeki akıllı sayaç kullanım oranına ilişkin küme örneklemesi nokta tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

0,25

0,24

0,244

0,125

0,20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,25

Cevap

Kitle oranının nokta tahmini, örneklemdeki toplam akıllı sayaçlı daire sayısının toplam daire sayısına bölünmesiyle elde edilen

0,25

değeridir.

Küme örneklemesinde oran tahmini, seçilen tüm kümelerdeki toplam özellikli birim sayısının, bu kümelerdeki toplam gözlem birimi sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Bu örnekte toplam

25

akıllı sayaçlı daire, toplam

100

daire içerisinde bulunduğu için oran

0,25

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki toplam akıllı sayaçlı daire sayısını (

\sum a_i

) hesaplayın.

\sum a_i = 4 + 10 + 3 + 6 + 2 = 25

Oran tahminleyicisinin pay kısmını oluşturmak için ilgilenilen özellikli birimlerin toplamı gereklidir.

2

Örneklemdeki toplam gözlem birimi (daire) sayısını (

\sum M_i

) hesaplayın.

\sum M_i = 20 + 25 + 15 + 30 + 10 = 100

Oran tahminleyicisinin payda kısmını oluşturmak için toplam birim sayısı gereklidir.

3

Küme örneklemesi oran tahminleyicisi formülünü uygulayın.

\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{25}{100} = 0,25

Kitle oranı, örneklem toplamlarının birbirine oranı (oran tahminleyicisi) ile tahmin edilir.

Anahtar Kavram

Küme örneklemesinde kitle oranı tahmini, kümelerin toplamları üzerinden yapılan bir oran (ratio) tahminidir.

Alternatif Yöntem

Eğer tüm kümeler eşit büyüklükte (

M

) olsaydı, küme oranlarının aritmetik ortalaması ile bu yöntem aynı sonucu verirdi. Ancak küme büyüklükleri farklı olduğunda daima toplamların oranı kullanılmalıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 56Soru →

Bir kurumun arşivinde bulunan $N = 100$ adet dosya dolabının her biri birer küme olarak tanımlanmıştır. Arşivdeki toplam evrak sayısını tahmin etmek amacıyla, bu dolaplar arasından basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 10$ dolap seçilmiş ve seçilen dolaplardaki tüm evraklar sayılmıştır.

Seçilen dolaplara ilişkin veriler aşağıdadır:

Değişken	Değer
Toplam Küme Sayısı ( $N$ )	100
Örnekleme Seçilen Küme Sayısı ( $n$ )	10
Örneklemdeki Dolaplarda Bulunan Toplam Evrak Sayısı	2500

Bu verilere göre, tek aşamalı küme örneklemesi yöntemiyle arşivdeki toplam evrak sayısı tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

25000

2500

250

250000

1000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25000

Cevap

Arşivdeki toplam evrak sayısı tahmini 25000 olarak hesaplanır.

Tek aşamalı küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini, örneklemdeki kümelerin toplam değerinin genişletme faktörü (

N/n

) ile çarpılmasıyla bulunur. Bu soruda

100/10 = 10

olan genişletme faktörü, örneklemdeki 2500 evrak ile çarpıldığında 25000 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Genişletme (büyütme) faktörünü hesapla.

N/n = 100/10 = 10

Tek aşamalı küme örneklemesinde örneklem sonuçlarını kitle geneline yaymak için kitledeki küme sayısının örneklemdeki küme sayısına oranı kullanılır.

2

Örneklemdeki toplam değer ile genişletme faktörünü çarp.

10 \times 2500 = 25000

Seçilen kümelerdeki tüm birimler gözlendiği için, örneklem toplamı genişletme faktörü ile çarpılarak kitle toplamı tahmin edilir.

Anahtar Kavram

Tek Aşamalı Küme Örneklemesinde Kitle Toplamı Tahmini

İpuçları

1

Örneklemde seçilen dolap sayısı, toplam dolap sayısının kaçta biridir?

2

10 dolapta 2500 evrak varsa, kitledeki 100 dolapta tahminen kaç evrak olur?

Daha Fazla Pratik

Aynı verileri kullanarak küme başına düşen ortalama evrak sayısını hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 57Soru →

Bir kamu hastanesine bağlı toplam $N=30$ poliklinik bulunmaktadır. Her poliklinikte eşit sayıda $M=12$ adet muayene odası vardır. Polikliniklerdeki toplam günlük hasta sayısını tahmin etmek amacıyla basit rastgele örnekleme ile $n=3$ poliklinik seçilmiş ve bu polikliniklerdeki toplam hasta sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Poliklinik No	Toplam Hasta Sayısı
1	110
2	140
3	110

Buna göre, hastanedeki tüm polikliniklerdeki toplam günlük hasta sayısı tahmini kaçtır?

3600

360

120

43200

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3600

Cevap

Hastanenin toplam günlük hasta sayısı tahmini 3600 olarak hesaplanır.

Kitle toplamı tahmini (

\hat{Y}

), örneklemdeki küme toplamlarının aritmetik ortalamasının (

120

), kitledeki toplam küme sayısı (

N=30

) ile çarpılması sonucunda elde edilen

3600

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme seçilen kümelerin (polikliniklerin) toplam değerlerini toplayarak örneklem toplamını bulalım.

\sum_{i=1}^{n} y_i = 110 + 140 + 110 = 360

Kitle toplamını tahmin etmek için önce örneklemdeki toplam gözlem değerine ihtiyaç duyulur.

2

Küme başına düşen ortalama hasta sayısını hesaplayalım.

\bar{y}_{s} = \frac{360}{3} = 120

Ortalama küme değeri, kitledeki toplam küme sayısı ile çarpılarak kitle toplamı tahmin edilecektir.

3

Kitle toplamı tahmin edicisi formülünü uygulayalım.

\hat{Y} = N \times \bar{y}_{s} = 30 \times 120 = 3600

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamı tahmini, toplam küme sayısı ile küme ortalamasının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Eşit Büyüklüklü Küme Örneklemesinde Kitle Toplamı Tahmini

Soru 58Soru →

Bir tarım il müdürlüğü, sorumluluk bölgesinde bulunan toplam $N=40$ adet seranın her birinde eşit sayıda ve $M=10$ adet ekim sırası bulunduğunu bilmektedir. Seralardaki toplam hastalıklı bitki sayısını tahmin etmek amacıyla basit rastgele örnekleme ile $n=4$ sera (küme) seçilmiştir.

Seçilen seralardaki toplam hastalıklı bitki sayıları ( $y_i$ ) aşağıda verilmiştir:

Sera ( $i$ )	Hastalıklı Bitki Sayısı ( $y_i$ )
1	12
2	18
3	26
4	24

Buna göre, bu bölgedeki tüm seralarda bulunan toplam hastalıklı bitki sayısının tahmini ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

800

ve

14.400

800

ve

16.000

8.000

ve

14.400

8.000

ve

16.000

800

ve

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $800$ ve $14.400$

Cevap

Tahmin değeri 800 ve bu tahminin varyansı 14.400 değerlerini içeren seçenektir.

Doğru seçenekte; kitle toplamının tahmini

\hat{Y} = N \cdot \bar{y}_c

eşitliği kurularak

40 \cdot 20 = 800

şeklinde, bu tahminin varyansı ise Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı dahil edilerek

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot \frac{1-f}{n} \cdot s_u^2

eşitliğiyle

40^2 \cdot \frac{1 - 0.1}{4} \cdot 40 = 14.400

şeklinde kusursuzca hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemdeki küme ortalamasını (

\bar{y}_c

) hesapla.

\bar{y}_c = \frac{12 + 18 + 26 + 24}{4} = \frac{80}{4} = 20

Kitle toplamı tahminine ulaşabilmek için öncelikle seçilen kümelerin toplam değerlerinin ortalaması bulunmalıdır.

2

Kitle toplamı tahminini (

\hat{Y}

) hesapla.

\hat{Y} = N \cdot \bar{y}_c = 40 \cdot 20 = 800

Küme örneklemesinde kitle toplamı, evrendeki küme sayısı (

N

) ile küme başına düşen ortalama değerin (

\bar{y}_c

) çarpımıyla tahmin edilir. Veriler halihazırda küme toplamları olduğundan

M

değerine ihtiyaç yoktur.

3

Örneklemdeki kümeler arası varyansı (

s_u^2

) hesapla.

s_u^2 = \frac{(12-20)^2 + (18-20)^2 + (26-20)^2 + (24-20)^2}{4-1} = \frac{(-8)^2 + (-2)^2 + 6^2 + 4^2}{3} = \frac{64+4+36+16}{3} = \frac{120}{3} = 40

Toplam tahminin varyansını bulabilmek için, örneklemdeki küme toplamlarının kendi ortalamalarından olan sapmalarının varyansı (

s_u^2

) hesaplanmalıdır.

4

Toplam tahmininin varyansını (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesapla.

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot \frac{1-f}{n} \cdot s_u^2 = 40^2 \cdot \frac{1 - (4/40)}{4} \cdot 40 = 1600 \cdot \frac{0.9}{4} \cdot 40 = 1600 \cdot 9 = 14.400

Eşit büyüklüklü kümelerde toplam tahminin varyansı

N^2 \cdot \frac{1-f}{n} \cdot s_u^2

formülü ile elde edilir. Çarpan olarak Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) eklenmelidir.

Anahtar Kavram

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamının ve kitle toplamı varyansının tahmini

Soru 59Soru →

Tasarım etkisi ( $Deff$ ), karmaşık bir örnekleme tasarımının varyansının, aynı örneklem hacmindeki basit rastgele örneklemenin varyansına oranı olarak tanımlanır ve kümelerin eşit $M$ büyüklüğünde olduğu tek aşamalı küme örneklemesinde $Deff = 1 + (M-1)\rho$ formülüyle hesaplanır.

Bir araştırmacı, uygulayacağı tek aşamalı küme örneklemesi tasarımının, basit rastgele örneklemeye göre daha etkin (daha düşük varyanslı) veya en az onun kadar etkin olmasını hedeflemektedir.

Kümelerdeki birim sayısının ( $M$ ) 1'den büyük olduğu ( $M > 1$ ) bilindiğine göre, araştırmacının bu hedefine ulaşabilmesi için küme içi korelasyon katsayısının ( $\rho$ ) sağlaması gereken koşul aşağıdakilerden hangisidir?

\rho \le 0

\rho > 0

\rho \ge \frac{1}{M-1}

\rho = 1

\rho = \frac{1}{M}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\rho \le 0$

Cevap

Küme içi korelasyon katsayısı

\rho \le 0

eşitsizliğini sağlamalıdır.

Bir örnekleme tasarımının basit rastgele örneklemeden daha etkin olması, tasarım etkisinin (

Deff

) 1'den küçük veya ona eşit olması anlamına gelir.

Deff = 1 + (M-1)\rho \le 1

eşitsizliğinde

M > 1

olduğundan, ifadenin sağlanması ancak

\rho \le 0

olması ile mümkündür. Kavramsal olarak da kümelerin kendi içinde heterojen (kitleye benzer varyansa sahip) olması küme örneklemesinin etkinliğini artırır, bu durum negatif veya sıfır korelasyon anlamına gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Etkinlik için tasarım etkisi (

Deff

) koşulunu belirleme

Deff \le 1

Küme örneklemesinin basit rastgele örneklemeye göre en az onun kadar veya daha etkin olabilmesi için varyansının daha küçük veya ona eşit olması gerekir.

2

Deff

formülünü eşitsizlikte yerine koyma

1 + (M-1)\rho \le 1

Soruda verilen tasarım etkisi formülü kullanılarak matematiksel eşitsizlik oluşturulur.

3

Eşitsizliği

\rho

için çözme

(M-1)\rho \le 0

Eşitsizliğin her iki tarafından 1 çıkarıldığında küme büyüklüğü ve korelasyon katsayısının çarpım durumu elde edilir.

4

M > 1

bilgisini kullanarak

\rho

'nun işaretini saptama

\rho \le 0

M > 1

olduğu için

(M-1)

terimi kesinlikle pozitiftir. Sonucun 0'a eşit veya küçük çıkması için

\rho

'nun 0 veya negatif olması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Küme örneklemesinde tasarım etkisi ile küme içi korelasyon katsayısı (ICC) arasındaki ilişki.

Soru 60Soru →

Bir kamu araştırma kurumu, Türkiye genelindeki KOBİ'lerin (Küçük ve Orta Büyüklükteki İşletmeler) yıllık Ar-Ge harcamalarını tahmin etmek amacıyla bütçe kısıtı altında iki aşamalı küme örneklemesi tasarımı planlamaktadır.

Tasarımın birinci aşamasında birincil örnekleme birimi olan Organize Sanayi Bölgeleri (OSB), ikinci aşamasında ise seçilen her bir OSB içindeki ikincil örnekleme birimi olan KOBİ'ler rastgele seçilecektir.

Yapılan pilot çalışmada, aynı OSB içinde faaliyet gösteren KOBİ'lerin Ar-Ge harcama tutarlarının birbirine çok benzer olduğu (küme içi korelasyonun pozitif ve yüksek olduğu), ancak farklı OSB'lerin Ar-Ge harcama ortalamalarının birbirinden oldukça farklı olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, sabit bir araştırma bütçesi altında kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansını en aza indirmek (etkinliği maksimize etmek) için, örneklem hacmi dağıtımında aşağıdaki stratejilerden hangisinin izlenmesi istatistiksel açıdan en uygundur?

Birinci aşamada seçilecek OSB sayısı (

n

) olabildiğince büyük tutulmalı, buna karşılık seçilen her OSB'den alınacak KOBİ sayısı (

m

) küçük tutulmalıdır.

Birinci aşamada seçilecek OSB sayısı (

n

) olabildiğince küçük tutulmalı, buna karşılık seçilen her OSB'den alınacak KOBİ sayısı (

m

) büyük tutulmalıdır.

Pilot çalışma sonuçları küme örneklemesinin ideal yapısına, yani kümelerin kendi içinde homojen ve kümeler arasında heterojen olması ilkesine uyduğundan, sadece birkaç OSB seçilerek bu OSB'lerdeki tüm KOBİ'ler taranmalıdır.

Sabit bütçe altında ölçüm ve çerçeve hatalarını en aza indirmek amacıyla, aşamalar arası örnekleme dışı hatayı dengelemek için

n

ve

m

hacimleri eşit büyüklükte belirlenmelidir.

Verinin fiilen üzerinden derleneceği örnekleme birimi OSB'ler olduğundan, varyans hesaplamasında gözlem birimi olan KOBİ'lerin küme içi değişimi dikkate alınmamalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci aşamada seçilecek OSB sayısı ( $n$ ) olabildiğince büyük tutulmalı, buna karşılık seçilen her OSB'den alınacak KOBİ sayısı ( $m$ ) küçük tutulmalıdır.

Cevap

Birinci aşamada seçilecek OSB sayısı (

n

) olabildiğince büyük tutulmalı, buna karşılık seçilen her OSB'den alınacak KOBİ sayısı (

m

) küçük tutulmalıdır.

İki aşamalı küme örneklemesinde toplam varyans, birinci aşama (kümeler arası) ve ikinci aşama (kümeler içi) varyans bileşenlerinden oluşur. Küme içi korelasyonun (ICC) yüksek olması, aynı küme (OSB) içindeki birimlerin (KOBİ'lerin) birbirine çok benzediğini gösterir. Bu durumda aynı kümeden daha fazla birim seçmek (

m

değerini artırmak) yeni ve bağımsız bilgi sağlamaz, varyansı düşürmede etkisiz kalır. Varyansın ana kaynağı farklı özelliklere sahip kümeler arası değişim olduğundan, sabit bütçe altında etkinliği artırmak için birinci aşamada seçilen küme sayısını (

n

) artırmak ve her kümeden az sayıda birim (

m

) seçmek istatistiksel açıdan en doğru stratejidir.

Adım Adım Çözüm

1

Küme içi korelasyonun (ICC) varyans üzerindeki etkisini analiz etme

Yüksek ICC'nin aynı kümedeki (OSB) birimlerin benzer olduğunu, dolayısıyla asıl varyans kaynağının kümeler (OSB'ler) arası farklılık olduğunu gösterdiği belirlenir.

Tasarımda varyansı kontrol altına alabilmek için hangi aşamanın daha kritik olduğunu tespit etmek amacıyla.

2

Bütçe fonksiyonu ile varyans ilişkisini değerlendirme

Sabit bütçe (

C = c_1n + c_2nm

) altında

n

(küme sayısı) artırıldığında

m

(küme içi eleman sayısı) değerinin zorunlu olarak küçültülmesi gerektiği görülür.

Optimum dağıtımı bütçe kısıtını ihlal etmeden gerçekleştirebilmek için.

3

Optimum stratejiyi belirleme

Toplam varyansı en çok etkileyen birinci aşama (kümeler arası) varyansı küçültmek için

n

değerinin olabildiğince büyük tutulması, aynı OSB'den fazla KOBİ seçmenin bilgi katmayacağı anlaşıldığından

m

değerinin küçük tutulması gerektiği sonucuna varılır.

Kitle ortalaması tahmin edicisinin etkinliğini (hassasiyetini) maksimize etmek için.

Anahtar Kavram

İki Aşamalı Küme Örneklemesinde ICC ve Optimum Örneklem Dağıtımı

Küme Örneklemesi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram