Deney Tasarımı ve Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir e-ticaret platformu, $4$ farklı ürün tavsiye algoritmasının (işlem) kullanıcıların ortalama sepet tutarları üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Müşterilerin geçmiş alışveriş alışkanlıklarından kaynaklanabilecek varyansı kontrol altına almak amacıyla, kullanıcılar alışveriş sıklıklarına göre $5$ farklı segmente (blok) ayrılmış ve "Rastgele Bloklar Deney Tasarımı" uygulanmıştır.

Deney sonucunda elde edilen verilerle oluşturulan kısmi Varyans Analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	$F$
Algoritmalar (İşlem)	?	$240$	?	?
Segmentler (Blok)	?	$200$	?	?
Hata	?	?	?
Genel	?	$560$

Tablodaki eksik değerler hesaplandığında, bu deney tasarımı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Tavsiye algoritmalarının etkisini test eden

F

istatistiği değeri

8.0

'dır.

Segmentlerin (blok) modeli açıklamaktaki anlamlılığını test eden

F

istatistiği değeri

5.0

'dır.

Deneyin hata (artık) serbestlik derecesi

16

'dır.

Varyans analizi sonucunda hesaplanan Hata Kareler Ortalaması (KO) değeri

10

'dur.

Deneyde bloklama yapılmayıp Tamamen Rastgele Tasarım kullanılsaydı, modelin Hata Kareler Toplamı

320

olurdu.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Deneyin hata (artık) serbestlik derecesi $16$ 'dır.

Cevap

Yanlış olan ifade, hata serbestlik derecesinin 16 olduğunu belirten ifadedir. Rastgele Bloklar Deney Tasarımında doğru hata serbestlik derecesi 12'dir.

Deneyde

4

işlem (

k=4

) ve

5

blok (

b=5

) bulunmaktadır. Rastgele Bloklar Deney Tasarımında hata serbestlik derecesi formülü

(k-1)(b-1)

şeklindedir. Buna göre hata serbestlik derecesi

(4-1)(5-1) = 3 \times 4 = 12

olmalıdır. İfadede belirtilen

16

değeri, bloklama işleminin hiç yapılmadığı 'Tamamen Rastgele Deney Tasarımı' için geçerli olan

N-k = 20-4=16

değeridir. Soru bizden yanlış olan ifadeyi bulmamızı istediği için doğru cevap budur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (SD) hesapla.

İşlem sayısı (

k=4

), blok sayısı (

b=5

).

\text{SD}_{işlem} = 4 - 1 = 3

.

\text{SD}_{blok} = 5 - 1 = 4

.

\text{SD}_{hata} = (4-1)(5-1) = 12

. Toplam

\text{SD} = 20 - 1 = 19

.

ANOVA tablosundaki eksik SD değerlerini bulmak için işlem ve blok sayıları kullanılır.

2

Hata Kareler Toplamını (KT) bul.

\text{Hata KT} = 560 - 240 - 200 = 120

.

Genel KT, diğer tüm KT bileşenlerinin (İşlem, Blok ve Hata) toplamına eşittir.

3

Kareler Ortalamalarını (KO) hesapla.

\text{İşlem KO} = 240/3 = 80

.

\text{Blok KO} = 200/4 = 50

.

\text{Hata KO} = 120/12 = 10

.

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

İşlem ve Blok için F istatistiklerini hesapla.

F_{işlem} = 80/10 = 8.0

.

F_{blok} = 50/10 = 5.0

.

F

test istatistiği, ilgili kaynağın KO değerinin Hata KO değerine bölünmesiyle bulunur.

5

Tamamen Rastgele Tasarım (CRD) varsayımı için Hata KT'yi değerlendir.

CRD uygulansaydı:

\text{CRD Hata KT} = \text{Blok KT} + \text{RBD Hata KT} = 200 + 120 = 320

olurdu.

Bloklama yapılmasaydı, bloklar arası varyans doğrudan sistemin açıklanamayan hatasına karışırdı.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında Varyans Analizi (ANOVA) Bileşenleri

Soru 42Soru →

Bir endüstri yöneylem araştırmacısı, 3 farklı montaj hattı tasarımının (A, B ve C) işçilerin günlük üretim miktarları ( $Y$ ) üzerindeki etkisini incelemek amacıyla başlangıçta Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) uygulamış ve tasarımlar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulamamıştır. Daha sonra işçilerin mesleki kıdem yıllarını ( $X$ ) ortak değişken (covariate) olarak modele dahil edip Kovaryans Analizi (ANCOVA) gerçekleştirdiğinde, tasarımlar arasındaki temel etkinin anlamlı hale geldiğini tespit etmiştir.

Modelin incelenmesi sonucunda şu bulgulara ulaşılmıştır:
I. Ortak değişken ( $X$ ) ile bağımlı değişken ( $Y$ ) arasındaki havuzlanmış grup içi regresyon katsayısı pozitif yönlüdür ( $b_w > 0$ ).
II. Düzeltilmemiş (gözlenen) günlük üretim miktarı ortalamaları $\bar{Y}_A > \bar{Y}_B > \bar{Y}_C$ şeklinde sıralanmaktadır.
III. ANCOVA sonucunda hesaplanan düzeltilmiş (adjusted) grup ortalamaları arasındaki açıklık (fark), düzeltilmemiş ortalamalar arasındaki açıklıktan çok daha büyüktür (yani A ve C grupları birbirlerinden daha da uzaklaşmıştır).

ANCOVA'nın temel prensipleri dikkate alındığında, modelin anlamlı çıkmasını ve ortalamalar arası farkın açılmasını açıklayan en doğru istatistiksel yargı aşağıdakilerden hangisidir?

Mesleki kıdem (

X

) işçiler arasındaki rastgele değişkenliği açıklayarak hata kareler ortalamasını düşürmüştür; ayrıca A grubundaki işçilerin ortalama kıdem yılı, genel kıdem yılı ortalamasından düşük olduğu için bu grubun üretim ortalaması yukarı yönlü düzeltilmiştir.

Modelde regresyon doğrularının paralelliği varsayımı ihlal edilmiş ve ortak değişken her tasarım grubu için farklı eğimlerle üretimi etkileyerek gruplararası kareler toplamını yapay olarak artırmıştır.

Ortak değişken ile montaj hattı tasarımları arasındaki etkileşim varyansı ANCOVA tarafından gruplararası varyansa eklenmiş, böylece A ile C tasarımları arasındaki açıklık genişletilmiştir.

Ortak değişken için ayrı bir serbestlik derecesi kullanılması, ANOVA'daki gruplararası serbestlik derecesini (k-1) azaltmış ve bu matematiksel daralma gruplararası kareler ortalamasını otomatik olarak büyütmüştür.

Ortak değişkenin bağımsız bir tahmin edici olarak modele girmesi modelin karmaşıklığını artırmış ve düzeltilmiş

R^2

yerine standart

R^2

'nin kullanılması modelin açıklanan varyansını şişirerek F değerini anlamlı kılmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Mesleki kıdem ( $X$ ) işçiler arasındaki rastgele değişkenliği açıklayarak hata kareler ortalamasını düşürmüştür; ayrıca A grubundaki işçilerin ortalama kıdem yılı, genel kıdem yılı ortalamasından düşük olduğu için bu grubun üretim ortalaması yukarı yönlü düzeltilmiştir.

Cevap

ANCOVA, ortak değişken yardımıyla hata varyansını düşürür. Grup ortalamalarındaki açıklığın artması ise, yüksek performanslı grubun ortak değişken ortalamasının genel ortalamadan düşük olmasından kaynaklanır.

Kovaryans analizi (ANCOVA), faktör düzeyleri dışındaki ölçülebilir değişkenlerin (kıdem gibi) bağımlı değişken (üretim) üzerindeki etkisini arındırır. Bu süreçte hata varyansı (

MS_{Error}

) küçüldüğü için ANOVA'da bulunamayan anlamlılık yakalanabilir. Ayrıca, gruplararası ortalama farklılığının daha da açılması, yüksek performansa sahip grubun (A) aslında diğerlerine göre dezavantajlı bir konumda (kıdem ortalamasının altında) olduğunu gösterir. ANCOVA bu dezavantajı matematiksel olarak dengelediğinde (

\bar{Y}'_A = \bar{Y}_A - b_w(\bar{X}_A - \bar{X}_{..})

denklemine göre

\bar{X}_A < \bar{X}_{..}

durumu), grubun gerçek performans ortalaması yukarı doğru revize edilir ve fark büyür.

Adım Adım Çözüm

1

ANOVA'dan ANCOVA'ya geçişte F istatistiğinin anlamlı hale gelmesinin nedenini belirle.

Ortak değişkenin (

X

) modele eklenmesi, bağımlı değişken (

Y

) üzerindeki açıklanamayan (rastgele) hata varyansını (

SS_{Error}

) düşürür, bu da F istatistiğinin paydasını küçülterek testin istatistiksel gücünü artırır.

Kovaryans analizinin temel amacı, ortak değişkenin açıkladığı varyansı hata varyansından çıkararak daha hassas bir test elde etmektir.

2

Düzeltilmiş grup ortalamaları formülünü yaz ve yönleri analiz et.

Formül:

\bar{Y}'_j = \bar{Y}_j - b_w(\bar{X}_j - \bar{X}_{..})

. Soruda

b_w > 0

verilmiştir ve

\bar{Y}_A > \bar{Y}_B > \bar{Y}_C

şeklindedir.

Ortak değişkenin gruplar arası başlangıç farklarını nasıl düzelttiğini matematiksel olarak görmek için eşitlik gereklidir.

3

Düzeltilmiş ortalamalar arasındaki farkın nasıl açılabileceğini değerlendir.

Farkın açılması için, zaten yüksek olan A grubunun düzeltilmiş ortalamasının daha da artması (

\bar{Y}'_A > \bar{Y}_A

) gerekir. Bu ancak formüldeki

- b_w(\bar{X}_A - \bar{X}_{..})

teriminin pozitif değer almasıyla mümkündür.

Eğer A grubu ortalamadan yüksek bir deneyime sahip olsaydı, model A'nın başarısını kıdeme bağlayıp puanını aşağı çekerdi. Fark açıldığına göre tam tersi yaşanmıştır.

4

Terimin pozitif olma şartını eşitsizlik ile çöz.

b_w > 0

olduğu için çarpımın pozitif olması adına

(\bar{X}_A - \bar{X}_{..})

değerinin negatif olması zorunludur. Yani

\bar{X}_A < \bar{X}_{..}

olmalıdır.

Matematiksel eşitsizlik kuralı gereği, A grubunun ortalama kıdemi genel kıdem ortalamasının altında olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kovaryans Analizinde (ANCOVA) Düzeltilmiş Ortalamalar ve Hata Varyansının Küçültülmesi

Soru 43Soru →

Bir fizik tedavi merkezinde, eklem ağrısı şikayetiyle başvuran hastaların iyileşme süreleri (gün) üzerinde $4$ farklı tedavi yönteminin etkisini incelemek amacıyla rastgele seçilen toplam $24$ hasta üzerinde tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen kısmi ANOVA tablosunda Genel Kareler Toplamı $420$ ve Gruplar İçi (Hata) Kareler Toplamı $240$ olarak hesaplanmıştır. Varyans analizi temel varsayımlarının sağlandığı bilinmektedir.

Buna göre, bu analiz için hesaplanan test istatistiği ( $F$ ) değeri kaçtır?

0,75

4,50

5,00

5,75

11,67

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5,00$

Cevap

Test istatistiği (

F

) değeri

5,00

'dir.

Tek yönlü varyans analizinde test istatistiği (

F

), gruplar arası kareler ortalamasının (

GAKO

) hata kareler ortalamasına (

HKO

) bölünmesiyle elde edilir. Soruda verilen Genel Kareler Toplamı (

420

) ile Hata Kareler Toplamı (

240

) farkından Gruplar Arası Kareler Toplamı

180

bulunur. Serbestlik dereceleri

k-1=3

ve

n-k=20

değerlerine bölünerek sırasıyla

GAKO=60

ve

HKO=12

hesaplanır. Bu iki değerin oranı bize

5,00

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Gruplar arası kareler toplamını (

GAKT

) bulmak

GAKT = GKT - HKT = 420 - 240 = 180

Varyans analizinde genel değişkenlik (

GKT

), gruplar arası değişkenlik (

GAKT

) ve gruplar içi hata değişkenliğinin (

HKT

) toplamına eşittir.

2

Serbestlik derecelerini (

sd

) hesaplamak

sd_{GAKT} = k - 1 = 4 - 1 = 3

ve

sd_{HKT} = n - k = 24 - 4 = 20

Kareler ortalamalarını bulabilmek için her bir kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesi gerekir.

3

Kareler ortalamalarını bulmak

GAKO = \frac{180}{3} = 60

ve

HKO = \frac{240}{20} = 12

Test istatistiği, varyans tahminleri olan kareler ortalamalarının oranına dayanır.

4

F test istatistiğini hesaplamak

F = \frac{GAKO}{HKO} = \frac{60}{12} = 5,00

F

değeri, gruplar arası varyansın hata varyansına oranı ile elde edilir.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu ve F İstatistiği Hesaplaması

Soru 44Soru →

Bir otomobil fabrikasında $5$ farklı üretim bandı (A faktörü) ve $3$ farklı çalışma vardiyası (B faktörü) kullanılarak üretilen araçlardaki ortalama boya hatası sayıları incelenmektedir. Her bir üretim bandı ve vardiya kombinasyonu için $4$ 'er günlük rastgele örneklem alınarak tam şansa bağlı iki yönlü varyans analizi uygulanmıştır.

Elde edilen varyans analizi tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F Hesap
Üretim Bandı (A)	$120$
Vardiya (B)	$45$
Etkileşim (AxB)	$160$
Hata	$225$
Genel

Buna göre, vardiya (B) faktörü ile etkileşim (AxB) faktörüne ait hesaplanan $F$ test istatistikleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

9,00

ve

4,00

9,00

ve

2,13

4,80

ve

2,13

1,60

ve

0,71

10,40

ve

4,62

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $9,00$ ve $4,00$

Cevap

9,00

ve

4,00

İki yönlü varyans analizinde

a=5

(üretim bandı),

b=3

(vardiya) ve

n=4

(tekrar) olarak verilmiştir. Etkileşim serbestlik derecesi

SD_{AB} = (a-1)(b-1) = 4 \times 2 = 8

olarak bulunur. Hata serbestlik derecesi ise

SD_{Hata} = ab(n-1) = 5 \times 3 \times 3 = 45

'tir. Kareler ortalamaları hesaplandığında

KO_{AB} = \frac{160}{8} = 20

ve

KO_{Hata} = \frac{225}{45} = 5

elde edilir. Son olarak

F_B = \frac{KO_B}{KO_{Hata}} = \frac{45}{5} = 9,00

ve

F_{AB} = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}} = \frac{20}{5} = 4,00

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin hesaplanması

SD_A = 5-1=4

,

SD_B = 3-1=2

,

SD_{AB} = 4 \times 2 = 8

,

SD_{Hata} = 5 \times 3 \times (4-1) = 45

Varyans analizi tablosundaki eksik kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili varyans kaynaklarının serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Eksik kareler ortalamalarının bulunması

KO_{AB} = \frac{160}{8} = 20

,

KO_{Hata} = \frac{225}{45} = 5

F istatistiklerini hesaplarken kullanılacak kareler ortalamaları, kareler toplamlarının serbestlik derecelerine bölünmesiyle elde edilir. Vardiya için

KO_B = 45

tabloda verilmiştir.

3

F test istatistiklerinin hesaplanması

F_B = \frac{KO_B}{KO_{Hata}} = \frac{45}{5} = 9,00

ve

F_{AB} = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}} = \frac{20}{5} = 4,00

Her bir faktörün ve etkileşimin anlamlılığını test etmek için ilgili kareler ortalaması, hata kareler ortalamasına bölünür.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) Tablosunun Doldurulması

Soru 45Soru →

Bir üretim sürecinde, "Makine" faktörünün (muamele) parça kalitesi üzerindeki etkisini incelemek için bir Latin Karesi deney tasarımı kurulmuştur. Süreçte ayrıca "Operatör" ve "Vardiya" faktörlerinin (bloklar) olası etkileri de iki yönlü olarak kontrol altına alınmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen kısmi Varyans Analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F
Operatör (Satır)	?	400	?
Vardiya (Sütun)	?	550	?
Makine (Muamele)	?	MKT	MKO	6.00
Hata	?	HKT	HKO
Toplam	35	2450

Buna göre, tablodaki Hata Kareler Ortalaması (HKO) ve Muamele Kareler Toplamı (MKT) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

30 ve 900

24 ve 900

120 ve 900

30 ve 180

12 ve 1440

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30 ve 900

Cevap

Doğru değerler sırasıyla 30 ve 900'dür.

Latin Karesi deney tasarımında Toplam Serbestlik Derecesi

n^2 - 1

formülü ile bulunur. Tabloda 35 verildiği için

n^2 = 36

ve

n = 6

'dır. Buna göre Muamele SD =

n - 1 = 5

ve Hata SD =

(n - 1)(n - 2) = 20

olur. ANOVA tablosunun eklenebilirlik özelliğinden

\text{Toplam KT} = \text{Satır KT} + \text{Sütun KT} + MKT + HKT

yazılabilir. Bilinenleri yerine koyduğumuzda

2450 = 400 + 550 + MKT + HKT \Rightarrow MKT + HKT = 1500

elde edilir. F test istatistiği formülünden yararlanarak;

F = \frac{MKO}{HKO} = \frac{MKT / 5}{HKT / 20}

olur. F değerini 6'ya eşitlediğimizde

4 \times \frac{MKT}{HKT} = 6 \Rightarrow MKT = 1.5 \times HKT

bulunur. Bu eşitliği birinci denklemde yerine yazarsak

2.5 \times HKT = 1500

ve

HKT = 600

hesaplanır. Buradan

MKT = 900

olur. Son olarak Hata Kareler Ortalaması

HKO = \frac{600}{20} = 30

olarak bulunur. İstenen değerler sırasıyla 30 ve 900'dür.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam Serbestlik Derecesinden yola çıkarak Latin Karesi tasarımının boyutunu (

n

) belirleyin.

Toplam SD =

n^2 - 1 = 35

olduğundan,

n^2 = 36

ve

n = 6

olarak bulunur.

Varyans analizi tablosundaki diğer tüm serbestlik derecelerini hesaplayabilmek için deney boyutunun bilinmesi gerekir.

2

Muamele ve Hata için serbestlik derecelerini (SD) hesaplayın.

Muamele SD =

n - 1 = 5

. Hata SD =

(n - 1)(n - 2) = 5 \times 4 = 20

.

Kareler ortalamalarını bulmak ve F test istatistiği denklemini kurmak için bu değerlere ihtiyaç vardır.

3

Kareler toplamlarının eklenebilirlik özelliğini kullanarak

MKT + HKT

toplamını bulun.

Toplam KT = Satır KT + Sütun KT + MKT + HKT

\Rightarrow

2450 = 400 + 550 + MKT + HKT

. Buradan

MKT + HKT = 1500

bulunur.

Bilinmeyen iki kareler toplamı (MKT ve HKT) için birinci temel denklemi oluşturmak amacıyla kareler toplamı özelliği kullanılır.

4

Verilen F istatistiğini kullanarak MKT ve HKT arasındaki matematiksel ilişkiyi çıkarın.

F = \frac{MKO}{HKO} = \frac{MKT / 5}{HKT / 20} = \frac{MKT}{5} \times \frac{20}{HKT} = 4 \times \frac{MKT}{HKT}

.

F=6

verildiğinden

4 \times MKT = 6 \times HKT \Rightarrow MKT = 1.5 \times HKT

.

İkinci denklemi oluşturarak bilinmeyen kareler toplamlarını çözmek.

5

İki denklemi ortak çözerek MKT ve HKT değerlerini, ardından da HKO değerini hesaplayın.

1.5 \times HKT + HKT = 1500 \Rightarrow 2.5 \times HKT = 1500 \Rightarrow HKT = 600

. Buradan

MKT = 900

bulunur.

HKO = \frac{HKT}{\text{Hata SD}} = \frac{600}{20} = 30

.

Soru kökünde bizden istenen HKO ve MKT değerlerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Latin Karesi deney tasarımında serbestlik derecelerinin hesabı ve ANOVA tablosundaki içsel matematiksel bağıntıların (F oranı denklemi) çözümü.

Alternatif Yöntem

Matematiksel bir alternatif olarak; serbestlik derecelerinin oranı olan 20/5 = 4 değerini, F istatistiğine (6) böldüğümüzde doğrudan MKT ve HKT arasındaki oransal ilişkiyi (6/4 = 1.5) elde edebiliriz. Bu pratik yöntem zaman kazandırır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 46Soru →

Bir endüstri mühendisi, üç farklı montaj hattında kullanılan robot kolların bir parçayı işleme süreleri arasındaki farklılıkları incelemek amacıyla varyans analizi (ANOVA) uygulamayı planlamaktadır. Mühendis, analiz öncesinde elde ettiği verilerin ANOVA'nın temel varsayımlarını sağlayıp sağlamadığını çeşitli istatistiksel testler ve yöntemlerle değerlendirmiştir.

Bu mühendisin varsayım kontrolleri ve model yapısı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Robot kolların performanslarının genellenebilir bir kitleyi temsil etmediği ve sadece bu üç hattın karşılaştırılmak istendiği durumda sabit etkiler modeli (fixed effects model) uygundur.

İşlem sürelerine ait gözlemlerin birbirinden bağımsız olması varsayımı, ölçümlerin her bir hatta birbirini etkilemeyecek şekilde rastgele zamanlarda yapılmasıyla güvence altına alınır.

Hataların (artıkların) normal dağılıp dağılmadığını kontrol etmek için ölçüm verileri üzerinden Shapiro-Wilk veya Kolmogorov-Smirnov testleri kullanılabilir.

Varyansların homojenliğini sınayan Levene testinde hesaplanan

p

değerinin

0.05

'ten küçük çıkması, ilgili varsayımın sağlandığını ve standart ANOVA'ya güvenle devam edilebileceğini gösterir.

Varyansların homojenliği varsayımının ihlal edildiği tespit edilirse, grup ortalamalarını karşılaştırmak için klasik F-testi yerine Welch veya Brown-Forsythe test istatistiklerinden yararlanılabilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyansların homojenliğini sınayan Levene testinde hesaplanan $p$ değerinin $0.05$ 'ten küçük çıkması, ilgili varsayımın sağlandığını ve standart ANOVA'ya güvenle devam edilebileceğini gösterir.

Cevap

Varyansların homojenliğini sınayan Levene testinde hesaplanan p değerinin 0.05'ten küçük çıkması, ilgili varsayımın sağlandığını ve standart ANOVA'ya güvenle devam edilebileceğini belirten ifade yanlıştır.

Varyansların homojenliğini test eden Levene testinde yokluk hipotezi (

H_0

), grup varyanslarının birbirine eşit (homojen) olduğunu ileri sürer. Test sonucunda hesaplanan

p

değerinin

\alpha = 0.05

anlamlılık düzeyinden küçük çıkması,

H_0

hipotezinin reddedildiğini gösterir. Bu durum, varyansların homojen olmadığı ve varyans analizi varsayımının ihlal edildiği anlamına gelir. Varsayım sağlanmadığı için standart ANOVA'ya güvenle devam edilemez; bunun yerine Welch testi gibi alternatiflere başvurulması gerekir. Bu nedenle, varsayımın sağlandığını iddia eden bu ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans analizi (ANOVA) varsayımlarını ve bunların nasıl test edildiğini gözden geçir.

Temel varsayımlar; gözlemlerin bağımsızlığı, hataların normal dağılımı ve grup varyanslarının homojenliğidir.

Soruda araştırmacının yaptığı varsayım kontrollerinin doğruluğu sorgulanmaktadır.

2

Levene testinin hipotez yapısını analiz et.

Levene testinde yokluk hipotezi (

H_0

), 'grup varyansları birbirine eşittir (homojendir)' şeklinde kurulur.

Test sonucunda elde edilen

p

değerini doğru yorumlamak için yokluk hipotezinin bilinmesi gerekir.

3

Levene testinde

p < 0.05

sonucunu yorumla.

p < 0.05

olması durumunda

H_0

reddedilir. Bu durum varyansların homojen olmadığı, yani ANOVA'nın temel bir varsayımının ihlal edildiği anlamına gelir.

Anlamlılık düzeyi

\alpha = 0.05

'ten küçük

p

değerleri yokluk hipotezinin reddini gerektirir.

4

Seçenekleri değerlendirerek yanlış ifadeyi belirle.

Levene testinde

p < 0.05

bulunmasını varsayımın 'sağlandığı' yönünde yorumlayan seçenek bilimsel olarak yanlıştır ve sorunun doğru cevabıdır.

Soru bizden yanlış olan ifadeyi bulmamızı istemektedir.

Anahtar Kavram

Varyans Analizinde Varsayım Kontrolleri ve Levene Testi

Soru 47Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığında görevli bir uzman, dört farklı sulama yönteminin buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla bir deney tasarlamıştır. Her bir sulama yöntemi için birbirinden bağımsız $6$ farklı tarım arazisi rastgele seçilmiştir. Varyans analizi (ANOVA) öncesinde yapılan varsayım kontrollerinde şu sonuçlar elde edilmiştir:

- Hata terimlerinin normalliğini sınamak için yapılan Shapiro-Wilk testi sonucunda $p$ -değeri $0,24$ bulunmuştur.
- Grup varyanslarının homojenliğini sınamak için yapılan Levene testi sonucunda $p$ -değeri $0,02$ bulunmuştur.

Buna göre, analizin varsayımları ve izlenmesi gereken istatistiksel adımla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? (Anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ alınacaktır.)

Hata terimleri normal dağılım varsayımını sağlamaktadır ancak grup varyansları homojen değildir; bu durumda klasik F-testi yerine varyans eşitsizliğine dirençli olan Welch veya Brown-Forsythe testleri kullanılmalıdır.

Levene testi sonucunda

p < 0,05

bulunması varyansların homojenliği varsayımının sağlandığını gösterdiğinden, klasik tek yönlü varyans analizi doğrudan uygulanmalıdır.

Shapiro-Wilk testinde

p > 0,05

elde edilmesi normallik varsayımının ihlal edildiğini gösterdiğinden, varyans analizi yerine doğrudan parametrik olmayan Kruskal-Wallis testi tercih edilmelidir.

Normallik ve homojenlik testlerinin her ikisinde de genel modelin anlamlılığı test edildiğinden, varyans analizi atlanarak gruplar arası farkları belirlemek için doğrudan çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerine geçilmelidir.

Varyansların homojen olmaması, deneyde sabit etkili model (fixed effects) yerine rastgele etkili modelin (random effects) kullanılması gerektiğini gösteren temel bir bulgudur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hata terimleri normal dağılım varsayımını sağlamaktadır ancak grup varyansları homojen değildir; bu durumda klasik F-testi yerine varyans eşitsizliğine dirençli olan Welch veya Brown-Forsythe testleri kullanılmalıdır.

Cevap

Hata terimleri normal dağılım varsayımını sağlamaktadır ancak grup varyansları homojen değildir; bu durumda klasik F-testi yerine varyans eşitsizliğine dirençli olan Welch veya Brown-Forsythe testleri kullanılmalıdır.

Varyans analizinde (ANOVA) kullanılan varsayım testlerinde sıfır hipotezi (

H_0

) genel olarak varsayımın sağlandığını ifade eder. Shapiro-Wilk testinde

H_0

: 'Örneklem normal dağılıma sahip bir kitleden gelmektedir' şeklindedir. Verilen

p = 0,24

değeri

0,05

'ten büyük olduğu için

H_0

reddedilemez ve normallik varsayımı sağlanır. Levene testinde ise

H_0

: 'Grup varyansları eşittir' şeklindedir. Elde edilen

p = 0,02

değeri

0,05

'ten küçük olduğu için

H_0

reddedilir; yani varyanslar homojen değildir. Normalliğin sağlandığı ancak varyansların homojen olmadığı durumlarda, klasik F-testi yerine varyans farklılıklarına karşı sağlam (robust) bir yöntem olan Welch veya Brown-Forsythe istatistiği tercih edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Normallik varsayımını Shapiro-Wilk testinin p-değeri üzerinden değerlendirmek.

p = 0,24 > 0,05 olduğu için sıfır hipotezi (H0: Veriler normal dağılıma uymaktadır) reddedilemez.

Varsayım testlerinde p-değerinin anlamlılık düzeyinden büyük olması varsayımın sağlandığını gösterir.

2

Varyansların homojenliği varsayımını Levene testinin p-değeri üzerinden değerlendirmek.

p = 0,02 < 0,05 olduğu için sıfır hipotezi (H0: Grup varyansları eşittir) reddedilir.

p-değerinin anlamlılık düzeyinden küçük olması, grupların varyansları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğunu, yani homojenlik varsayımının ihlal edildiğini gösterir.

3

Elde edilen sonuçlara göre uygun istatistiksel yöntemi belirlemek.

Normallik sağlandığı ancak homojenlik ihlal edildiği için Welch ANOVA veya Brown-Forsythe testi kullanılmalıdır.

Klasik ANOVA varyans eşitsizliğine karşı hassastır. Homojenlik sağlanamadığında robust (sağlam) testler kullanılarak Tip 1 hata oranı kontrol altında tutulur.

Anahtar Kavram

ANOVA Varsayımları ve İhlal Durumunda Alınacak Önlemler

Soru 48Soru →

Bir kamu bankası, ülke geneline yayılmış $400$ şubesinde sunulan yeni bir hizmet modelinin müşteri bekleme süreleri üzerindeki etkisini incelemek üzere tek yönlü bir varyans analizi (ANOVA) planlamaktadır. Banka yönetimi, zaman ve bütçe kısıtlarını göz önüne alarak bu $400$ şube içerisinden kura yöntemiyle tesadüfi olarak $8$ şube seçmiş ve çalışmayı sadece bu şubelerden elde edilen verilerle yürütmüştür. Araştırmacının temel amacı, yalnızca analize dâhil edilen $8$ şubedeki durumu karşılaştırmak değil; elde edilecek bulguları çalışmaya katılmayan diğer $392$ şubeye de genelleyerek tüm banka ağının bekleme süresi varyansına ilişkin bir çıkarım yapmaktır.

Varyans analizinin temel ilkelerine göre, araştırmacının kurması gereken istatistiksel modelin türü ve bu seçimin temel gerekçesi aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Rastgele Etkiler Modeli (Model II); çünkü faktörün düzeyleri daha büyük bir popülasyondan tesadüfi olarak seçilmiş olup, çıkarımlar faktörün tüm popülasyonuna genellenecektir.

Sabit Etkiler Modeli (Model I); çünkü analize dâhil edilen

8

şubenin her biri kendi içinde belirli ve sabit operasyonel süreçlere sahip olduğundan, şubeler arası farklar sabit kabul edilmelidir.

Karışık Etkiler Modeli (Model III); çünkü bankanın genel hizmet politikaları tüm şubeler için sabit bir etki yaratırken, müşterilerin bekleme süreleri rastgele dalgalanmalar göstermektedir.

Sabit Etkiler Modeli (Model I); çünkü deneyde kullanılan şube sayısı araştırmacı tarafından bilinçli olarak sınırlandırılmış olup, F testi yalnızca bu sınırlı sayıdaki grupların ortalamalarını karşılaştırmaktadır.

Rastgele Bloklar Modeli; çünkü her bir şubenin fiziksel kapasitesi farklı olduğundan şubeler blok olarak değerlendirilmeli ve şube içi varyans hata teriminden ayrıştırılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Rastgele Etkiler Modeli (Model II); çünkü faktörün düzeyleri daha büyük bir popülasyondan tesadüfi olarak seçilmiş olup, çıkarımlar faktörün tüm popülasyonuna genellenecektir.

Cevap

Araştırmada kurulası gereken model Rastgele Etkiler Modeli'dir (Model II). Sebebi, çalışılan şubelerin tüm şubeleri temsil etmek üzere rastgele seçilmiş olması ve nihai amacın bulguları evrene genellemek olmasıdır.

Varyans analizinde (ANOVA) model seçimi araştırmanın hipotezleri ve faktör düzeylerinin nasıl oluşturulduğu ile doğrudan ilgilidir. Eğere araştırmacı, bir faktörün tüm olası düzeylerini deneye dâhil ediyorsa veya yalnızca deneye dâhil ettiği belirli düzeyler (örneğin X, Y ve Z öğretim yöntemleri) için bir çıkarım yapmak istiyorsa 'Sabit Etkiler Modeli (Model I)' kullanılır. Ancak, faktörün düzeyleri çok geniş bir evrenden (burada

400

şube) rassal olarak çekiliyorsa (burada

8

şube) ve asıl amaç bu örneğe dayanarak tüm evrendeki varyans bileşeni hakkında genel bir karara varmaksa 'Rastgele Etkiler Modeli (Model II)' kullanılmalıdır. Doğru seçenekte bu ayrım net bir biçimde tanımlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmadaki faktörün (şube) düzeylerinin nasıl belirlendiğini analiz et.

400

şubelik bir evrenden tesadüfi olarak

8

şube (faktör düzeyi) seçilmiştir.

Varyans analizinde model türünü (Sabit vs. Rastgele) belirleyen temel unsur faktör düzeylerinin seçiliş biçimidir.

2

Araştırmacının hipotez ve genelleme hedefini belirle.

Araştırmacının amacı sadece o

8

şubeyi kıyaslamak değil, geriye kalan

392

şubeyi de kapsayacak biçimde tüm popülasyon (evren) için çıkarım yapmaktır.

Çıkarımın sadece deneye katılan birimlerle sınırlı kalıp kalmayacağı kullanılacak ANOVA modelini dikte eder.

3

Bulguları ANOVA teorisindeki model tanımlarıyla eşleştir.

Düzeylerin rastgele seçilmesi ve çıkarımın evrene genellenmesi koşullarını sağlayan model 'Rastgele Etkiler Modeli (Model II)'dir.

Eğer amaç sadece seçilen belirli

8

şubeyi birbiriyle karşılaştırmak olsaydı Sabit Etkiler Modeli (Model I) kullanılırdı.

Anahtar Kavram

Sabit Etkiler ve Rastgele Etkiler Modelleri (Model I ve Model II)

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 49Soru →

Bir kimya mühendisi, yeni geliştirilen $p$ farklı katalizör türünün (ana faktör) tepkime verimi üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Deney ortamındaki değişkenliği kontrol altına alabilmek amacıyla; sıcaklık, basınç ve karıştırma hızı olmak üzere üç farklı blok faktörünün de deneye dâhil edilmesine karar verilmiştir. Her bir blok faktörü ve ana faktör $p$ düzeye sahiptir. Mühendis, deney maliyetlerini minimize etmek için tam faktöriyel tasarım yerine, üç yönlü kısıtlama sağlayan Grek-Latin Karesi deney tasarımını kullanmıştır.

Buna göre, kurulan bu deney tasarımıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Tasarımın içerdiği toplam gözlem sayısı, faktörlerin düzey sayısının karesi olan

p^2

kadardır.

Modelde hata varyansının tahmin edilebilmesi ve temel etkinin tekrarsız test edilebilmesi için düzey sayısı

p

'nin en az 4 olması gerekir.

Bu tasarımın kurulabilmesi için, temelini oluşturan iki Latin Karesinin birbirine ortogonal (dik) olması şartı aranır.

Varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata kareler toplamına ait serbestlik derecesi

(p-1)(p-2)

bağıntısı ile elde edilir.

Blok faktörlerinden biri tasarımdan çıkarılarak Latin Karesi tasarımına dönüştürüldüğünde, hata serbestlik derecesi

p-1

birim artar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata kareler toplamına ait serbestlik derecesi $(p-1)(p-2)$ bağıntısı ile elde edilir.

Cevap

Varyans analizi tablosunda hata kareler toplamına ait serbestlik derecesinin (p-1)(p-2) formülü ile hesaplanacağını belirten ifade yanlıştır.

Grek-Latin Karesi deney tasarımında; genel toplamdan satır, sütun, ana faktör (Latin harfleri) ve ikinci blok (Grek harfleri) faktörlerine ait serbestlik dereceleri düşüldükten sonra kalan hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

formülü ile elde edilir. İfadede yer alan

(p-1)(p-2)

formülü, sadece iki bloklu kısıtlama sunan (satır ve sütun) Latin Karesi tasarımı için geçerlidir. Modele her yeni blok eklendiğinde hata serbestlik derecesi azalır. Bu nedenle hata formülünü

(p-1)(p-2)

olarak aktaran seçenek kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Grek-Latin Karesi deney tasarımının yapısını ve içerdiği faktör sayısını incele.

Tasarım; 1 ana faktör ve 3 blok faktörü (sıcaklık, basınç, karıştırma hızı) olmak üzere toplam 4 kısıtlama yönü içerir. Toplam gözlem sayısı

p^2

'dir.

Serbestlik derecelerinin genel toplamdan nasıl dağıtıldığını bulmak için modele giren faktör sayılarının belirlenmesi gerekir.

2

Genel ve faktörlere ait serbestlik derecelerini hesapla.

Genel S.D.:

p^2 - 1

. Satır, sütun, Latin (ana faktör) ve Grek (3. blok) faktörlerinin her birinin S.D.:

p - 1

.

Hata serbestlik derecesini bulmak için toplam serbestlik derecesinden, modele dâhil edilen faktör etkilerinin serbestlik dereceleri çıkarılır.

3

Hata serbestlik derecesi formülünü türet.

Hata S.D. =

(p^2 - 1) - 4(p - 1) = (p - 1)(p + 1) - 4(p - 1) = (p - 1)(p - 3)

olarak bulunur.

Yanlış olan ifadeyi tespit edebilmek için doğru matematiksel bağıntının ortaya konulması elzemdir.

4

Seçeneklerdeki ifadeleri elde edilen teorik bilgilerle karşılaştır.

Hata serbestlik derecesini

(p-1)(p-2)

olarak veren ifadenin Grek-Latin Karesi için değil, iki yönlü kısıtlama sunan Latin Karesi için geçerli olduğu tespit edilir.

Soru kökünde hangi ifadenin kavramsal ve matematiksel olarak hatalı olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi tasarımında faktör özellikleri, serbestlik derecesi dağılımı ve ortogonallik şartları.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 50Soru →

Bir endüstri mühendisi, bir üretim hattındaki 4 farklı montaj yönteminin ( $M_1, M_2, M_3, M_4$ ) ürün tamamlanma süresi (dakika) üzerindeki etkilerini incelemektedir. Vardiya farklılıkları ve personel izinleri nedeniyle, her bir yöntemle üretilen ve kalite kontrolünden geçen ürün sayılarında eşitsizlikler oluşmuş; nihai örneklem hacimleri $n_1=20$ , $n_2=18$ , $n_3=22$ ve $n_4=16$ olarak gerçekleşmiştir.

Veriler üzerinde yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, test istatistiği $F_{hesap} = 6.42$ ve $p$ -değeri $0.001$ olarak hesaplanmıştır ( $\alpha = 0.05$ ). Mühendis, hem tüm olası ikili yöntem eşleşmelerini karşılaştırmak hem de geleneksel yöntemler olan $M_1$ ve $M_2$ 'nin ortalama tamamlanma süresi ile yeni nesil yöntemler olan $M_3$ ve $M_4$ 'ün ortalama tamamlanma süresi arasında anlamlı bir fark olup olmadığını (karmaşık karşılaştırma) test etmek istemektedir. Mühendis ayrıca, yapılacak tüm bu karşılaştırmalar dizisi için aile boyu Tip I hata oranını (experimentwise error rate) kesin olarak kontrol altında tutmayı hedeflemektedir.

Buna göre, uygulanması gereken çoklu karşılaştırma (post-hoc) prosedürü ve istatistiksel özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi en uygundur?

ANOVA sonucunda null hipotez reddedildiği için post-hoc analizi yapılması şartları sağlanmıştır; örneklem hacimleri eşit olmadığından ve hem ikili hem de karmaşık zıtlıklar (contrasts) test edilmek istendiğinden, aile boyu Tip I hata oranını tüm olası karşılaştırmalar için kontrol edebilen Scheffé testi tercih edilmelidir.

Varyans analizi sonucu anlamlı (

p < 0.05

) çıkmasaydı bile, mühendis karmaşık karşılaştırmalar yapmayı planladığı için genel

F

testinin sonucu göz ardı edilerek doğrudan çoklu karşılaştırma aşamasına geçilmeli ve bu amaçla test gücü en yüksek olan Tukey HSD kullanılmalıdır.

Tüm olası ikili ve karmaşık karşılaştırmalar için Tukey HSD testi kullanılmalıdır; çünkü Tukey testi, örneklem hacimleri eşit olmadığında Scheffé testine kıyasla aile boyu Tip I hata oranını daha kesin kontrol eder ve Tip II hatayı tamamen sıfırlar.

Geleneksel ve yeni nesil yöntemlerin ortalamalarının gruplandırılarak karşılaştırılmak istenmesi, veri setinde gizli bir etkileşim etkisi (interaction effect) olduğunu gösterdiğinden, tek yönlü ANOVA'nın geçerliliği düşer ve post-hoc testleri yerine doğrudan iki yönlü (Two-Way) ANOVA modeline geçilmelidir.

Örneklem hacimlerindeki farklılıklar dikkate alındığında, hata kareler ortalamasının (MSE) serbestlik derecesi üzerindeki olumsuz etkisini ortadan kaldırmak için en muhafazakar yaklaşım olan Fisher'in LSD testi kullanılmalı ve karmaşık karşılaştırmalar bu testin sağladığı güven aralıklarıyla yapılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ANOVA sonucunda null hipotez reddedildiği için post-hoc analizi yapılması şartları sağlanmıştır; örneklem hacimleri eşit olmadığından ve hem ikili hem de karmaşık zıtlıklar (contrasts) test edilmek istendiğinden, aile boyu Tip I hata oranını tüm olası karşılaştırmalar için kontrol edebilen Scheffé testi tercih edilmelidir.

Cevap

Örneklem hacimlerinin eşit olmaması, karmaşık karşılaştırmalar içermesi ve aile boyu Tip I hata kontrolü gerektirmesi nedenleriyle en uygun prosedürün Scheffé testi olduğunu belirten seçenektir.

Senaryodaki üç temel kısıt (eşit olmayan örneklem hacmi, karmaşık zıtlıkların test edilmesi ve aile boyu Tip I hatanın kesin kontrolü) dikkate alındığında, bu koşulların tamamını sağlayan tek istatistiksel yöntem Scheffé testidir. Varyans analizinde

F

testi anlamlı (

p = 0.001

) bulunduğu için, Tip I hata oranını şişirmeden Scheffé zıtlıklarının uygulanmasının ön koşulu da mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans analizi (ANOVA) genel

F

testinin anlamlılığının değerlendirilmesi.

p = 0.001 < 0.05

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir. Gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunduğu için post-hoc analizi yapılması uygundur.

Genel bir anlamlılık bulunmadan post-hoc testlerine geçmek, özellikle LSD gibi testlerde Tip I hata riskini (aile boyu hata oranı) kabul edilemez seviyelere çıkarır.

2

Araştırmanın veri yapısının ve karşılaştırma hedeflerinin incelenmesi.

Grupların örneklem hacimleri eşit değildir (

n_1 \neq n_2 \neq n_3 \neq n_4

). Mühendis sadece ikili (A-B, A-C vb.) değil, aynı zamanda karmaşık (A+B vs C+D) karşılaştırmalar (zıtlıklar) talep etmektedir.

Veri yapısı ve araştırma hipotezleri, kullanılacak post-hoc testinin varsayımlarını (eşit n gerekliliği) ve kapasitesini (zıtlık analizi) belirler.

3

Uygun çoklu karşılaştırma (post-hoc) testinin seçilmesi.

LSD karmaşık karşılaştırmalar yapamaz ve aile boyu hatayı koruyamaz. Tukey HSD temel olarak ikili karşılaştırmalar için tasarlanmıştır. Scheffé testi ise eşit olmayan örneklemlerde çalışabilen, hem ikili hem de karmaşık zıtlıkları (contrasts) test edebilen ve tüm bu kombinasyonlarda aile boyu Tip I hatayı kesin olarak

\alpha

düzeyinde tutan yegane yöntemdir.

Mühendisin tüm kısıtlarını ve hedeflerini (aile boyu hatanın kontrolü, eşitsiz n, karmaşık karşılaştırmalar) aynı anda sağlayan en uygun teorik araç Scheffé testidir.

Anahtar Kavram

Çoklu Karşılaştırma Testlerinde Yöntem Seçimi Kriterleri (LSD, Tukey, Scheffé)

Soru 51Soru →

Bir kimya mühendisliği araştırmasında, reaksiyon süresi (dakika) üzerinde $4$ farklı sıcaklık seviyesinin (A faktörü) ve $5$ farklı katalizör türünün (B faktörü) etkileri, her bir deney koşulunda eşit sayıda tekrar yapılarak İki Yönlü Varyans Analizi ile incelenmiştir. Deney sonucunda elde edilen verilere göre oluşturulan kısmi ANOVA tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
A Faktörü (Sıcaklık)	$150$	$F_A$
B Faktörü (Katalizör)	$320$
Etkileşim (A $\times$ B)	$3,50$
Hata
Toplam	$59$	$2410$

(Not: Etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olduğu bilinmektedir.)

Buna göre, A faktörüne ait test istatistiği ( $F_A$ ) ve etkileşim etkisinin doğru yorumu aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir?

7,50

; Sıcaklık seviyelerinin reaksiyon süresi üzerindeki etkisi, kullanılan katalizör türüne göre değişiklik göstermektedir.

9,33

; Sıcaklık seviyelerinin reaksiyon süresi üzerindeki etkisi, kullanılan katalizör türüne göre değişiklik göstermektedir.

7,50

; Sıcaklık ve katalizör türü, reaksiyon süresini birbirinden bağımsız olarak etkilemektedir.

5,10

; Sıcaklık ve katalizör türü, reaksiyon süresini birbirinden bağımsız olarak etkilemektedir.

3,67

; Sıcaklık seviyelerinin reaksiyon süresi üzerindeki etkisi, kullanılan katalizör türüne göre değişiklik göstermektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7,50$ ; Sıcaklık seviyelerinin reaksiyon süresi üzerindeki etkisi, kullanılan katalizör türüne göre değişiklik göstermektedir.

Cevap

7,50

ve sıcaklık seviyelerinin etkisinin katalizör türüne göre değiştiğini belirten seçenektir.

Verilen tabloda eksik değerler adım adım tamamlandığında

Hata \ KO = 20

olarak bulunur ve

F_A = 150 / 20 = 7,50

elde edilir. İstatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim etkisi, modeldeki faktörlerin bağımsız olmadığını, sıcaklığın reaksiyon süresine etkisinin katalizör türüne göre değiştiğini ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans kaynaklarının serbestlik derecelerini (sd) hesaplama.

A faktörü

sd = 4-1 = 3

, B faktörü

sd = 5-1 = 4

, Etkileşim

sd = 3 \times 4 = 12

. Toplam

sd = 59

olduğundan Hata

sd = 59 - (3+4+12) = 40

bulunur.

ANOVA tablosundaki eksik değerleri bulabilmek için öncelikle serbestlik derecelerinin tam olarak bilinmesi gerekir.

2

Kareler Toplamı (KT) değerlerini hesaplama.

A faktörü için

KT_A = 3 \times 150 = 450

. B faktörü için

KT_B = 320

. Toplam KT özelliğinden:

KT_{AB} + KT_H = 2410 - 450 - 320 = 1640

olur.

Hata varyansına (KO_H) ulaşabilmek için, etkileşim ve hata kareler toplamlarının birlikte ifade edilmesi gerekir.

3

Etkileşim F istatistiğinden yararlanarak Hata Kareler Ortalamasını (KO_H) bulma.

F_{AB} = (KT_{AB}/12) / (KT_H/40) = 3,50

eşitliğinden

KT_{AB} = 1,05 \times KT_H

bulunur.

1,05 \times KT_H + KT_H = 1640 \Rightarrow 2,05 \times KT_H = 1640 \Rightarrow KT_H = 800

ve

KO_H = 800 / 40 = 20

elde edilir.

A faktörüne ait test istatistiğini bulmak için Hata Kareler Ortalamasına (KO_H) ihtiyaç vardır.

4

A faktörünün F istatistiğini hesaplama ve etkileşimi yorumlama.

F_A = 150 / 20 = 7,50

olarak bulunur. Etkileşimin anlamlı olması, bir faktörün (sıcaklık) etkisinin diğer faktörün (katalizör) seviyelerine bağlı olduğunu gösterir.

Soru bizden F_A değerini ve anlamlı etkileşimin kavramsal karşılığını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Tablo Tamamlama ve Etkileşim Etkisi

Soru 52Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) uzmanları, 5 farklı coğrafi bölgedeki hanehalklarının aylık ortalama gıda harcamalarının (TL) bölgeler arası anlamlı bir farklılık gösterip göstermediğini analiz etmektedir. Örnekleme alınan hane sayıları, bölgelerin nüfus yoğunluklarına göre orantılı olarak belirlendiği için alt grup hacimleri birbirinden farklıdır ( $n_1=120$ , $n_2=85$ , $n_3=150$ , $n_4=90$ , $n_5=105$ ).

Elde edilen verilerle yapılan Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) sonucunda, genel test istatistiği $F_{(4, 545)} = 6,18$ ve olasılık değeri $p < 0,001$ olarak bulunmuştur.

Uzmanlar analizlerine devam ederken sadece tekil bölgeleri birbirleriyle değil, aynı zamanda "kıyı bölgelerinin ortalaması" ile "iç bölgelerin ortalaması" gibi ikiden fazla grubun doğrusal kombinasyonlarını içeren karmaşık kontrastları (complex contrasts) da test etmek istemektedir. Bu çoklu karşılaştırmalar sırasında, aile boyu Tip I hata (family-wise error) oranının $\alpha = 0,05$ seviyesini kesinlikle aşmaması temel bir kısıt olarak belirlenmiştir.

Buna göre, uzmanların amacına ulaşması için tercih etmesi gereken en uygun post-hoc testi ve istatistiksel gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Fisher'in En Küçük Önemli Fark (LSD) testi seçilmelidir. Çünkü ANOVA sonucunda genel F testinin anlamlı (

p < 0,001

) çıkması, 5 gruplu bir tasarımda ortaya çıkacak tüm ikili ve karmaşık karşılaştırmalarda deney bazında (experiment-wise) Tip I hatanın tamamen korunmasını garanti eder.

Tukey HSD testi seçilmelidir. Çünkü araştırmacının temel amacı aile boyu Tip I hatayı sınırlandırmak olduğunda, Tukey testi eşit olmayan örneklem hacimlerine rağmen karmaşık (complex) karşılaştırmalarda Scheffé testinden çok daha güçlü ve muhafazakar bir yapı sunar.

Dunnett testi seçilmelidir. Çünkü bölgeler arası örneklem büyüklüklerinin farklı olması (

n_i \neq n_j

) ve karmaşık kontrastların test edilecek olması, kontrol grubu zorunluluğunu ortadan kaldırarak Dunnett testini Tip I hatayı en az şişiren yöntem haline getirir.

Scheffé testi seçilmelidir. Çünkü örneklem hacimlerinin eşit olmadığı durumlarda geçerliliğini koruyan bu test, olası tüm ikili ve karmaşık doğrusal karşılaştırmalar (kontrastlar) için aile boyu Tip I hata oranını en muhafazakar biçimde kontrol altında tutar.

Post-hoc testi yerine tüm grup çiftleri için bağımsız iki örneklem t-testi uygulanmalıdır. Çünkü post-hoc yöntemleri, yalnızca ANOVA sonucunda genel F istatistiği anlamsız (

p > 0,05

) çıktığında, yani

H_0

reddedilemediğinde, modelin yakalayamadığı gizli farklılıkları tespit etmek amacıyla kullanılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Scheffé testi seçilmelidir. Çünkü örneklem hacimlerinin eşit olmadığı durumlarda geçerliliğini koruyan bu test, olası tüm ikili ve karmaşık doğrusal karşılaştırmalar (kontrastlar) için aile boyu Tip I hata oranını en muhafazakar biçimde kontrol altında tutar.

Cevap

Araştırmanın kısıtlarına (eşit olmayan örneklemler, karmaşık karşılaştırma ihtiyacı ve sıkı Tip I hata kontrolü) en uygun istatistiksel yöntem olan Scheffé testini öneren seçenektir.

Soruda araştırmacıları zorlayan üç temel kısıt bulunmaktadır: Birincisi alt gruplardaki örneklem hacimlerinin birbirinden farklı olması, ikincisi grupların kombinasyonları üzerinden karmaşık (complex) kontrast analizlerinin yapılacak olması ve üçüncüsü Tip I hata oranının çok sıkı korunmak istenmesidir. İstatistiksel literatürde, örneklem eşitsizliğine karşı oldukça dirençli olan, ANOVA sonrası yapılabilecek olası tüm ikili ve karmaşık doğrusal kombinasyonların test edilmesine imkan tanıyan ve tüm bu karşılaştırmalar sürecinde aile boyu Tip I hata (family-wise error) oranını en muhafazakar (conservative) biçimde

\alpha

seviyesinde tutmayı başaran yegane yöntem Scheffé testidir.

Adım Adım Çözüm

1

ANOVA sonucunun değerlendirilmesi ve post-hoc gerekliliğinin teyit edilmesi

Genel F testi istatistiksel olarak anlamlı (

p < 0,001

) çıkmıştır. Bu sonuç, 5 bölge arasında en az bir farklılık olduğunu kesin olarak gösterir.

Anlamlı F testi, farklılıkların kaynağını tespit edebilmek için Tip I hatayı kontrol eden bir post-hoc (çoklu karşılaştırma) testinin uygulanmasını meşru ve zorunlu kılar.

2

Çalışmanın matematiksel ve yöntemsel kısıtlarının listelenmesi

1) Örneklem hacimleri birbirinden farklıdır (

n_i \neq n_j

). 2) Sadece ikili değil, 'karmaşık karşılaştırmalar' (ikiden fazla grubun birbiriyle kıyaslanması) yapılacaktır. 3) Aile boyu Tip I hata (family-wise error) oranının mutlak kontrolü istenmektedir.

Doğru post-hoc testinin seçilebilmesi için araştırmacının hedeflerinin ve verinin yapısının test varsayımlarıyla eşleştirilmesi gerekir.

3

Post-Hoc test alternatiflerinin kısıtlarla filtrelenmesi

LSD testi 3'ten fazla grupta Tip I hatayı iyi koruyamaz. Tukey testi temelde yalnızca ikili karşılaştırmalar için dizayn edilmiştir ve karmaşık kontrastlarda yetersizdir. Dunnett testi bir kontrol grubuna ihtiyaç duyar.

Yanlış test seçimi, ya istatistiksel gücü düşürür ya da araştırmacıyı farkında olmadan %5'in çok üzerinde bir Tip I hata yapmaya (olmayan bir farkı var gibi görmeye) iter.

4

Scheffé testinin özelliklerinin doğrulanması

Scheffé yöntemi, F dağılımını baz aldığı için eşit olmayan örneklemlerde sorunsuz çalışır ve sonsuz sayıda olası karmaşık doğrusal karşılaştırmayı

\alpha

hata payı içinde tutacak kadar muhafazakardır.

TÜİK uzmanlarının talep ettiği tüm zorlu koşulları (farklı n, karmaşık kontrast, sıkı

\alpha

kontrolü) aynı anda sağlayan tek post-hoc testidir.

Anahtar Kavram

Post-Hoc (Çoklu Karşılaştırma) Testlerinin Seçim Kriterleri ve Aile Boyu Tip I Hata Kontrolü

Soru 53Soru →

Bir teknoloji dergisi, piyasadaki $3$ farklı akıllı telefon markasının (A, B ve C) standart kullanım koşullarındaki batarya dayanım sürelerini (saat) karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla her markadan rastgele $6$ 'şar adet olmak üzere, toplam $18$ telefon test edilmiştir.

Elde edilen verilere ilişkin tek yönlü varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Ortalaması (KO)
Gruplar Arası	$48$
Gruplar İçi (Hata)
Genel (Toplam)	$120$

Araştırmacı, analiz öncesinde varyansların homojenliği varsayımını Levene testi ile incelemiş ve test sonucunda $p\text{-değeri} = 0,024$ olarak bulunmuştur. (Anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ alınacaktır.)

Buna göre, standart ANOVA tablosundan hesaplanacak test istatistiği ( $F$ ) değeri ve araştırmanın sonucuna ilişkin en uygun değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

F = 5,00

; Levene testi sonucuna göre varyansların homojenliği varsayımı sağlanmadığı için standart ANOVA sonuçları yanıltıcı olabilir, alternatif yöntemlere (örn. Welch ANOVA) başvurulmalıdır.

F = 5,00

; Levene testinin

p

-değeri

0,05

'ten küçük olduğu için varyansların homojen olduğu doğrulanmıştır, ANOVA sonuçlarına güvenle dayanılabilir.

F = 3,33

; Hesaplanan test istatistiği ile varyansların homojen olmadığı görülmüş olup,

H_0

hipotezi doğrudan kabul edilmelidir.

F = 5,67

; Varyansların homojenliği sağlandığından, test istatistiği tablo değeri ile karşılaştırılarak gruplar arası fark analiz edilebilir.

F = 6,00

; Varyanslar homojen olmasa da hesaplanan

F

değeri yeterince büyük olduğundan, farkın hangi markalardan kaynaklandığını bulmak için doğrudan post-hoc testlerine geçilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = 5,00$ ; Levene testi sonucuna göre varyansların homojenliği varsayımı sağlanmadığı için standart ANOVA sonuçları yanıltıcı olabilir, alternatif yöntemlere (örn. Welch ANOVA) başvurulmalıdır.

Cevap

Hesaplanan F değerinin

5,00

olduğu ve Levene testi sonucunda varyansların homojenliği sağlanmadığından alternatif yöntemlerin (Welch ANOVA vb.) kullanılması gerektiği yönündeki ifadedir.

Doğru yanıt, hem

F

hesap değerinin (

5,00

) doğru bulunduğu hem de varsayım testinin (

p=0,024

) doğru yorumlandığı seçenektir. ANOVA tablosunda eksik olan hata kareler toplamı

120 - 48 = 72

olarak bulunur. Serbestlik dereceleri

k-1 = 2

ve

n-k = 15

'tir. Buradan KO değerleri sırasıyla

24

ve

4,8

olur.

F = 24 / 4,8 = 5,00

'tir. Levene testi

p < \alpha

olduğundan varyansların homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir; dolayısıyla standart ANOVA yerine varyans eşitsizliğine dirençli yöntemler seçilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (sd) hesaplayın.

Gruplar arası sd =

k - 1 = 3 - 1 = 2

. Toplam sd =

n - 1 = 18 - 1 = 17

. Gruplar içi (Hata) sd =

n - k = 18 - 3 = 15

.

Kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili kareler toplamlarını bölmemiz gereken serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Eksik olan kareler toplamını ve kareler ortalamalarını hesaplayın.

Gruplar İçi KT = Genel KT - Gruplar Arası KT =

120 - 48 = 72

. Gruplar Arası KO =

48 / 2 = 24

. Gruplar İçi (Hata) KO =

72 / 15 = 4,8

.

F istatistiği, gruplar arası kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranıdır.

3

Test istatistiğini (

F

) hesaplayın.

F = \text{Gruplar Arası KO} / \text{Gruplar İçi KO} = 24 / 4,8 = 5,00

.

ANOVA tablosundaki en temel istatistik F değeridir ve H0 hipotezinin test edilmesinde kullanılır.

4

Levene testinin p-değerini yorumlayın ve istatistiksel yaklaşımı belirleyin.

Levene testi için

p = 0,024 < 0,05

olduğundan varyansların eşitliği (

H_0

) reddedilir. Varyanslar homojen değildir.

ANOVA'nın en önemli varsayımlarından biri varyans homojenliğidir. Bu varsayım ihlal edildiğinde standart F testi tip-1 hata riskini koruyamaz, bu nedenle Welch ANOVA gibi alternatif testler kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunun Tamamlanması ve Varsayım İhlallerinin Yorumlanması

Soru 54Soru →

Varyans analizi uygulamalarında, muamele faktörünün etkisini daha hassas ölçebilmek için deney birimlerindeki heterojenlik farklı yönlerden kontrol altına alınır.

Bir çalışmada, tüm faktörlerin düzey sayısının eşit ( $p$ ) olduğu ve toplam $p^2$ adet gözlemin kullanıldığı bir Grek-Latin Karesi deney tasarımı planlanmıştır.

Buna göre; bu tasarımın içerdiği kısıtlama yönü sayısı, tasarımın ortogonallik şartını sağlayarak teorik olarak kurulabilmesi için gereken **minimum düzey sayısı ( $p$ )** ve çalışmada $p=5$ kullanılması durumunda elde edilecek hata serbestlik derecesi aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

İki yönlü kısıtlama /

p=2

/

12

Üç yönlü kısıtlama /

p=3

/

8

Üç yönlü kısıtlama /

p=4

/

16

İki yönlü kısıtlama /

p=3

/

8

Üç yönlü kısıtlama /

p=3

/

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Üç yönlü kısıtlama / $p=3$ / $8$

Cevap

Tasarım üç yönlü kısıtlama içerir, teorik olarak kurulabilmesi için gereken minimum p değeri 3'tür ve p=5 için hata serbestlik derecesi 8'dir.

Grek-Latin Karesi deney tasarımı; muamele faktörünün yanı sıra üç farklı blok faktörünü (satır, sütun ve grek harfi) eş zamanlı olarak kontrol altına alır (üç yönlü kısıtlama). Bu tasarım iki ortogonal Latin karesinin birleşimi olduğundan teorik olarak kurulabilmesi için gereken minimum düzey sayısı

p=3

'tür. Tasarımda her faktörün düzey sayısı eşit olup toplam

p^2

gözlem bulunur. Hata serbestlik derecesi genel bir formül olarak

(p-1)(p-3)

ile hesaplanır.

p=5

düzey için bu değer

(5-1)(5-3) = 4 \times 2 = 8

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Grek-Latin Karesi deney tasarımının kısıtlama sayısını belirle.

Muamele faktörünün dışında, 'satır', 'sütun' ve 'grek harfi' olmak üzere 3 farklı blok faktörü (kısıtlama yönü) vardır.

Tasarımın amacı, üç farklı dışsal değişkenin etkisini kontrol altına almaktır.

2

Tasarımın kurulabilmesi için gereken minimum düzey sayısını (p) bul.

Minimum düzey sayısı

p=3

'tür.

Grek-Latin karesi, iki ortogonal Latin karesinin üst üste çakıştırılmasıyla elde edilir. İki ortogonal Latin karesi teorik olarak en az

p=3

boyutu için mevcuttur (p=2 ve p=6 için ortogonal Latin karesi yoktur).

3

p=5

durumu için hata serbestlik derecesini hesapla.

Genel S.D = 24. Muamele S.D = 4, Satır S.D = 4, Sütun S.D = 4, Grek Harfi S.D = 4. Hata S.D =

24 - (4+4+4+4) = 8

. Formül:

(p-1)(p-3)

.

ANOVA tablosunda toplam serbestlik derecesinden (

p^2-1

), dört faktörün (1 ana + 3 blok) serbestlik dereceleri toplamı (

4 \times (p-1)

) çıkarılır.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Deney Tasarımı Özellikleri ve Serbestlik Derecesi

Soru 55Soru →

Bir çevre bilimci, $5$ farklı gölden aldığı su numunelerindeki kurşun miktarlarını (ppm) karşılaştırmak amacıyla toplam $45$ bağımsız numune üzerinde tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamak istemektedir.

Araştırmacı, analiz sonucunda Hata Kareler Ortalamasının (Gruplariçi Kareler Ortalaması) $12$ ve Genel Kareler Toplamının $880$ olduğunu hesaplamıştır. Ayrıca, analiz öncesinde grupların varyanslarının homojenliğini incelemek için yapılan Levene testinin $p$ -değeri $0,014$ olarak bulunmuştur.

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde, bu araştırmanın varyans analizi sonuçlarına ilişkin aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel olarak en doğru ve eksiksizdir? ( $F_{tablo(4, 40; 0,05)} = 2,61$ )

Hesaplanan

F

değeri

8,33

'tür; test istatistiği kritik değerden büyük olmasına rağmen varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, klasik ANOVA yerine Welch ANOVA gibi alternatif bir yöntem tercih edilmelidir.

Hesaplanan

F

değeri

8,33

'tür; Levene testi sonucuna göre varyansların homojenliği varsayımı sağlandığı için göller arasındaki kurşun miktarı farkı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Grup serbestlik derecesi

5

alınarak hesaplanan

F

değeri

6,67

'dir; varyansların homojenliği sağlandığından temel hipotez reddedilir ve sonuç güvenilirdir.

Hata serbestlik derecesi

44

olarak alınarak hesaplanan

F

istatistiği

7,33

'tür; varyansların homojenliği ihlal edilmiş olsa da klasik ANOVA bu duruma her zaman dirençli olduğundan temel hipotez reddedilir.

Hesaplanan

F

değeri

0,83

olup kritik değerden (

2,61

) küçüktür; varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden analiz sonucunda göller arasında anlamlı bir fark bulunamamıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan $F$ değeri $8,33$ 'tür; test istatistiği kritik değerden büyük olmasına rağmen varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, klasik ANOVA yerine Welch ANOVA gibi alternatif bir yöntem tercih edilmelidir.

Cevap

Hesaplanan F değeri 8,33'tür ancak varyans homojenliği ihlal edildiği için alternatif yöntemler kullanılmalıdır.

Verilen bilgilerden geriye doğru gidildiğinde; Gruplariçi serbestlik derecesi (45-5=40) ve Gruplariçi KO (12) çarpılarak Gruplariçi Kareler Toplamı 480 bulunur. Genel Kareler Toplamından (880) bu değer çıkarılarak Gruplararası Kareler Toplamı (400) elde edilir. Gruplararası KO = 400 / (5-1) = 100'dür. Buradan F = 100 / 12 = 8,33 bulunur. Ancak Levene testi p-değeri (0,014) 0,05'ten küçük olduğu için varyans homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir. Bu durumda klasik ANOVA yerine varyans farklılıklarına dirençli alternatif testlerin (Welch ANOVA vb.) kullanılması gerektiği yargısı tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (sd) hesaplama

Genel sd = 45 - 1 = 44; Gruplararası sd = 5 - 1 = 4; Gruplariçi (Hata) sd = 45 - 5 = 40.

Varyans analizi tablosundaki kareler ortalamalarını bulabilmek için doğru serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Eksik Kareler Toplamı (KT) değerlerini bulma

Gruplariçi KT = Gruplariçi KO * Gruplariçi sd = 12 * 40 = 480. Gruplararası KT = Genel KT - Gruplariçi KT = 880 - 480 = 400.

Test istatistiğini bulmak için Gruplararası Kareler Ortalamasına (KO) ulaşmamız, bunun için de Gruplararası KT'yi bilmemiz gerekir.

3

Gruplararası Kareler Ortalamasını (KO) ve F test istatistiğini hesaplama

Gruplararası KO = 400 / 4 = 100. F = Gruplararası KO / Gruplariçi KO = 100 / 12 = 8,33.

Gruplar arası varyansın, grup içi varyansa oranı F test istatistiğini verir.

4

ANOVA varsayımlarını Levene testi ile değerlendirme

Levene testi p-değeri 0,014 < 0,05 olduğundan, varyansların eşit olduğu yönündeki H0 hipotezi reddedilir.

Klasik tek yönlü ANOVA'nın güvenilir sonuç vermesi için varyansların homojen olması şarttır.

5

Sonuçları sentezleyerek istatistiksel kararı verme

F değeri (8,33) kritik değerden (2,61) büyük olsa da, varsayım ihlali nedeniyle Welch ANOVA veya Kruskal-Wallis gibi yöntemlere başvurulmalıdır.

Varsayım ihlali durumunda klasik F testi Tip 1 hata oranını şişirebilir, bu yüzden istatistiksel olarak daha sağlam (robust) yöntemler seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA'da Geriye Doğru Tablo Hesaplaması ve Varsayım İhlallerinin Yorumlanması

Soru 56Soru →

Bir araştırmacı, yeni bir gıda ambalajlama tekniğini test etmek amacıyla Rastgele Bloklar tasarımına dayalı bir Bölünmüş Parseller (Split-Plot) deneyi yürütmüştür. Çalışmada, depolama sıcaklığı ana parsel faktörü (A) ve ambalaj malzemesi alt parsel faktörü (B) olarak belirlenmiştir.
Araştırmacı, deneyde kullanılan blok sayısının ana parsel faktörünün seviye sayısına eşit olduğunu ( $r = a$ ) raporlamıştır.
Gerçekleştirilen varyans analizi (ANOVA) sonucunda aşağıdaki bilgiler elde edilmiştir:
- A ve B faktörleri arasındaki etkileşime ( $A \times B$ ) ait serbestlik derecesi $6$ 'dır.
- Alt parsel hatasına (Error B) ait serbestlik derecesi $24$ 'tür.

Buna göre, Ana Parsel Hatası (Error A) serbestlik derecesi kaçtır ve Alt Parsel Faktörünün (B) temel etkisinin anlamlılığını test etmek için hesaplanacak $F$ istatistiği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

9

ve

F = \frac{MS_B}{MS_{Error B}}

9

ve

F = \frac{MS_B}{MS_{Error A}}

6

ve

F = \frac{MS_B}{MS_{Error B}}

4

ve

F = \frac{MS_B}{MS_{Error B}}

12

ve

F = \frac{MS_B}{MS_{Error A}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $9$ ve $F = \frac{MS_B}{MS_{Error B}}$

Cevap

Ana parsel hatası serbestlik derecesi 9'dur ve alt parsel faktörünün (B) testi için F istatistiği F = MS_B / MS_{Error B} şeklinde hesaplanmalıdır.

Verilen sistemde

r=a

bilgisi kullanıldığında, alt parsel hatası serbestlik derecesi

a(a-1)(b-1)=24

halini alır. Etkileşim serbestlik derecesi olan

(a-1)(b-1)=6

bu denklemde yerine yazıldığında

a \times 6 = 24

den

a=4

ve

r=4

bulunur. Ana parsel hatası serbestlik derecesi formülü

(r-1)(a-1)

olduğundan sonuç

(4-1)(4-1)=9

çıkar. Ek olarak, Bölünmüş Parseller (Split-Plot) tasarımının karakteristik özelliği gereği, alt parsel faktörü (B) alt parsel hatasına (Error B) bölünerek test edilir, bu nedenle F istatistiği

F = \frac{MS_B}{MS_{Error B}}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgilere göre serbestlik derecesi formüllerini yazmak.

df(A \times B) = (a-1)(b-1) = 6

,

df(Error B) = a(r-1)(b-1) = 24

ve

r = a

.

Sistemi cebirsel olarak çözebilmek için deney tasarımına ait yapısal formüllerin matematiksel karşılıklarının belirlenmesi gerekir.

2

Alt parsel hatası formülünde bilinenleri yerine koyarak 'a' değerini bulmak.

r=a

olduğundan

r-1 = a-1

olur. Denklem

a(a-1)(b-1) = 24

şeklini alır.

(a-1)(b-1) = 6

olduğu bilindiğine göre,

a \times 6 = 24

eşitliğinden

a = 4

ve dolayısıyla

r = 4

bulunur.

Ana parsel hatasının serbestlik derecesini hesaplayabilmek için

a

(ana parsel seviye sayısı) ve

r

(blok sayısı) değerlerine ihtiyaç vardır.

3

Ana Parsel Hatası (Error A) serbestlik derecesini hesaplamak.

df(Error A) = (r-1)(a-1) = (4-1)(4-1) = 3 \times 3 = 9

olarak bulunur.

Ana parsel faktörünün etkilerini test etmekte kullanılan Ana Parsel Hatasının serbestlik derecesi formülü

(r-1)(a-1)

'dir.

4

Alt parsel faktörü (B) için kullanılacak doğru F-testi oranını belirlemek.

Doğru test oranı

F = \frac{MS_B}{MS_{Error B}}

şeklindedir.

Bölünmüş parseller tasarımında alt parsel faktörünün temel etkileri ve etkileşimleri, alt parsel varyansını temsil eden Error B (Alt Parsel Hatası) kullanılarak test edilir.

Anahtar Kavram

Bölünmüş Parseller (Split-Plot) Tasarımında Serbestlik Derecesi Hesaplamaları ve F-Testi Yapısı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 57Soru →

Bir gıda mühendisi, peynir üretiminde raf ömrünü etkileyen faktörleri incelemek amacıyla rastgele bloklar tasarımına dayalı bölünmüş parseller (split-plot) deney tasarımı kurmuştur.

Deneyde uygulaması (değiştirilmesi) zor olan "Depo Sıcaklığı" (A) faktörü ana parsel (whole-plot) faktörü olarak, "Ambalaj Türü" (B) faktörü ise alt parsel (sub-plot) faktörü olarak belirlenmiştir. Araştırmada $a = 3$ farklı depo sıcaklığı ve $b = 4$ farklı ambalaj türü kullanılmış, deney $r = 5$ blokta (farklı üretim partilerinde) yürütülmüştür.

Buna göre, ana parsel faktörünün (A) istatistiksel anlamlılığını test etmek için hesaplanacak $F$ test istatistiğinin oranı ve bu oranın paydasında yer alan hata teriminin serbestlik derecesi (sd) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?
( $MS$ : İlgili kaynağın ortalama karesini ifade etmektedir.)

F = \frac{MS_A}{MS_{\text{Hata B}}}

, sd

= 36

F = \frac{MS_A}{MS_{\text{Hata B}}}

, sd

= 44

F = \frac{MS_A}{MS_{\text{Hata A}}}

, sd

= 14

F = \frac{MS_A}{MS_{\text{Hata A}}}

, sd

= 8

F = \frac{MS_A}{MS_{A \times B}}

, sd

= 6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{MS_A}{MS_{\text{Hata A}}}$ , sd $= 8$

Cevap

Ana parsel faktörünün (A) temel etkisini test etmek için doğru oran

F = \frac{MS_A}{MS_{\text{Hata A}}}

şeklinde oluşturulur ve Hata A'nın serbestlik derecesi

8

'dir.

Bölünmüş parseller (split-plot) deney tasarımında iki farklı hata terimi ortaya çıkar: Ana parsel hatası (Hata A) ve Alt parsel hatası (Hata B).
Ana parsel faktörünün (A) anlamlılığını test etmek için, A faktörünün ortalama karesi (

MS_A

), kendi hata terimi olan Hata A'nın ortalama karesine (

MS_{\text{Hata A}}

) bölünmelidir.

Rastgele bloklar tasarımına dayalı bölünmüş parsellerde serbestlik dereceleri (sd) şu şekilde hesaplanır:
- Blok:

r - 1 = 5 - 1 = 4

- A Faktörü:

a - 1 = 3 - 1 = 2

- Hata A:

(r - 1)(a - 1) = 4 \times 2 = 8

- B Faktörü:

b - 1 = 4 - 1 = 3

- **A

\times

B Etkileşimi:**

(a - 1)(b - 1) = 2 \times 3 = 6

- Hata B:

a(r - 1)(b - 1) = 3 \times 4 \times 3 = 36

Buna göre, test istatistiği

F = \frac{MS_A}{MS_{\text{Hata A}}}

olmalı ve paydadaki Hata A'nın serbestlik derecesi 8 olarak hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımının türünü ve faktörlerin seviyelerini belirleme.

Tasarım: Rastgele bloklara dayalı bölünmüş parseller. Parametreler: Blok sayısı

r=5

, ana parsel faktörü

a=3

, alt parsel faktörü

b=4

.

Varyans analizi (ANOVA) tablosunu ve doğru serbestlik derecesi formüllerini oluşturabilmek için tasarım bileşenlerinin netleştirilmesi gerekir.

2

Ana parsel faktörü (A) için kullanılacak test istatistiğini belirleme.

Ana parsel faktörünün istatistiksel anlamlılığı, ana parsel hatası (Hata A) kullanılarak test edilir. Bu nedenle F oranı

F = \frac{MS_A}{MS_{\text{Hata A}}}

olmalıdır.

Bölünmüş parseller tasarımında kısıtlı rastgeleleştirme nedeniyle ana parsel ve alt parsel için iki ayrı hata terimi bulunur. Her faktör kendi düzeyindeki varyansı temsil eden ilgili hata terimine bölünmelidir.

3

Hata A'nın serbestlik derecesini (sd) hesaplama.

Rastgele bloklar modelinde formül:

sd_{\text{Hata A}} = (r-1)(a-1)

. Değerler yerine konduğunda

(5-1)(3-1) = 4 \times 2 = 8

bulunur.

Ana parsel hatası, bloklar ile ana parsel faktörü (A) arasındaki etkileşimi yansıttığı için serbestlik derecesi bu iki kaynağın serbestlik derecelerinin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Bölünmüş Parsellerde Varyans Analizi ve Hata Terimlerinin Ayrıştırılması

Soru 58Soru →

Bir büyükşehir belediyesi Ulaşım Planlama Dairesi, üç farklı güzergâh optimizasyon uygulamasının (X, Y ve Z) otobüs hatlarındaki günlük ortalama sefer gecikme süreleri (dakika) üzerindeki etkisini karşılaştırmak istemektedir. Araştırmacı, gecikme sürelerinin o günkü trafik yoğunluğu indeksinden de ciddi şekilde etkilendiğini bilmektedir. Bu nedenle, salt optimizasyon uygulamalarının etkisini görebilmek amacıyla trafik yoğunluğu indeksini sürekli bir değişken olarak modele dâhil edip Kovaryans Analizi (ANCOVA) uygulamıştır.

Buna göre, araştırmacının trafik yoğunluğu indeksini analize bir ortak değişken (kovaryat) olarak eklemesinin temel istatistiksel amacı aşağıdakilerden hangisidir?

Optimizasyon uygulamalarının gecikme süreleri üzerindeki asıl etkisini görebilmek için, trafik yoğunluğundan kaynaklanan değişkenliği hata varyansından arındırarak modelin istatistiksel gücünü artırmak.

Optimizasyon uygulamaları ile trafik yoğunluğu indeksi arasındaki etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirlemek.

Trafik yoğunluğundan kaynaklanabilecek çoklu doğrusal bağlantı ve değişen varyans sorunlarını gidererek EKK tahmincilerinin sapmasızlığını sağlamak.

Trafik yoğunluğu indeksini bir kukla (dummy) değişkene dönüştürerek, uygulamaların referans kategoriye göre eğim farklılıklarını yorumlamak.

Sefer gecikmelerindeki genel nedenli doğal dalgalanmaları özel nedenli sapmalardan ayırarak trafik sürecini istatistiksel kontrol altına almak.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Optimizasyon uygulamalarının gecikme süreleri üzerindeki asıl etkisini görebilmek için, trafik yoğunluğundan kaynaklanan değişkenliği hata varyansından arındırarak modelin istatistiksel gücünü artırmak.

Cevap

Doğru yanıt, trafik yoğunluğundan kaynaklanan değişkenliğin hata varyansından çıkarılarak testin istatistiksel gücünün artırılmasını ifade eden seçenektir.

Kovaryans analizi (ANCOVA), standart Varyans Analizinin (ANOVA) ve doğrusal regresyonun birleşimidir. Araştırmacının ilgilendiği temel bağımsız değişkenlerin (optimizasyon modelleri) yanı sıra, bağımlı değişken (gecikme süresi) üzerinde güçlü etkisi olduğu bilinen sürekli bir değişken (trafik yoğunluğu) ortama eklendiğinde, bu sürekli değişkenden kaynaklanan dalgalanmalar istatistiksel olarak filtrelenir. Başka bir deyişle, ortak değişkenin bağımlı değişkende yarattığı açıklanan varyans, hata varyansından (residual variance) ayrıştırılır. Hata varyansının küçülmesi, asıl ilgilenilen gruplar arası farkların (uygulamaların etkisinin) daha net bir şekilde ortaya çıkmasını sağlar ve F testinin istatistiksel gücünü (statistical power) maksimize eder.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans Analizi'nin (ANCOVA) tanımını ve temel işlevini hatırlama.

ANCOVA, bağımsız kategorik değişkenlerin (faktörlerin) bağımlı değişken üzerindeki etkisini incelerken, bağımlı değişkeni etkileyen ancak araştırmanın ana konusu olmayan sürekli değişkenleri (ortak değişken/kovaryat) istatistiksel olarak kontrol altında tutar.

Soruda trafik yoğunluğu indeksinin neden analize dâhil edildiği sorulmaktadır.

2

Ortak değişkenin modele eklenmesinin hata varyansı (Error Variance) üzerindeki etkisini değerlendirme.

Ortak değişkenin bağımlı değişkende açıkladığı varyans, Toplam Kareler Toplamı içindeki Hata Kareler Toplamı'ndan (SSE) düşülür.

Hata kareler toplamının küçülmesi, faktörlerin (optimizasyon uygulamalarının) grup ortalamaları arasındaki farkı test eden F istatistiğinin (F = MS_gruplar / MS_hata) değerini büyütür.

3

Seçenekleri bu istatistiksel prensibe göre eleme.

Hata varyansının arındırılarak istatistiksel gücün artırılması kavramını veren seçenek doğru bulunur. Etkileşim test etmek, kalite kontrol yapmak veya kukla değişkene çevirmek yanlış konseptlerdir.

ANCOVA'nın özünü doğrudan yansıtan istatistiksel sonuç gücün artmasıdır.

Anahtar Kavram

Kovaryans Analizinin (ANCOVA) Temel Amacı ve Hata Varyansının Düşürülmesi

Soru 59Soru →

Bir e-ticaret platformunun veri bilimi ekibi, platformdaki yeni öneri algoritmalarının (muamele) kullanıcıların sitede geçirdiği ortalama süre üzerindeki etkisini incelemektedir. Sürenin, "kullanıcı yaş grupları" ve "coğrafi bölgeler" olmak üzere iki farklı dışsal varyans kaynağından etkileneceği bilindiğinden, bu iki yönlü değişimi kontrol altına almak amacıyla bir Latin Karesi deney tasarımı kurulmuştur. Deneye ait istatistiksel model $Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}$ olarak tanımlanmıştır.

Deney sonucunda elde edilen kısmi Varyans Analizi (ANOVA) tablosuna ait veriler aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)
Satır (Yaş Grupları)	-	-	$50$
Sütun (Coğrafi Bölgeler)	-	$180$	-
Muamele (Algoritmalar)	-	-	-
Hata	-	-	$12$
Genel	$35$	$850$	-

Buna göre, öneri algoritmalarının ana etkisini test etmek için hesaplanan $F$ test istatistiği ve modelin hata serbestlik derecesi (sd) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

3,00

ve

20

2,00

ve

25

6,00

ve

5

2,50

ve

20

1,00

ve

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3,00$ ve $20$

Cevap

F istatistiğinin

3,00

ve hata serbestlik derecesinin

20

olarak hesaplandığı seçenektir.

Latin Karesi tasarımının temel özelliği, satır, sütun ve muamele düzey sayılarının eşit (

n

) olmasıdır. Soruda Genel Serbestlik Derecesi (

n^2-1

)

35

verildiğine göre

n=6

'dır. Tasarımın hata serbestlik derecesi formülü olan

(n-1)(n-2)

kullanıldığında

5 \times 4 = 20

bulunur.

Varyans analizi tablosunu eksiksiz oluşturduğumuzda durum şöyledir:

Varyans Kaynağı	sd	KT	KO	F
Satır (Yaş Grupları)	$5$	$250$	$50$	-
Sütun (Coğrafi Bölgeler)	$5$	$180$	$36$	-
Muamele (Algoritmalar)	$5$	$180$	$36$	$3,00$
Hata	$20$	$240$	$12$	-
Genel	$35$	$850$	-	-

Genel KT dengesinden Muamele KT

= 850 - (250 + 180 + 240) = 180

çıkar. Muamele KO

= 180 / 5 = 36

ve buradan test istatistiği

F = 36 / 12 = 3,00

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarımın boyutunu (n) belirlemek.

n = 6

Latin Karesi tasarımında toplam gözlem sayısı

N = n^2

'dir. Genel serbestlik derecesi

n^2 - 1 = 35

olarak verildiğinden

n^2 = 36

ve dolayısıyla

n = 6

bulunur.

2

Modeldeki tüm serbestlik derecelerini hesaplamak.

Satır sd = 5, Sütun sd = 5, Muamele sd = 5, Hata sd = 20

Latin karesinde temel etkilerin serbestlik dereceleri

(n-1)

'dir. Hata serbestlik derecesi ise

(n-1)(n-2)

formülü ile

5 \times 4 = 20

olarak hesaplanır.

3

Eksik Kareler Toplamı (KT) değerlerini bulmak.

Satır KT = 250, Hata KT = 240

KT = KO \times sd

ilişkisi kullanılarak; Satır KT =

50 \times 5 = 250

ve Hata KT =

12 \times 20 = 240

elde edilir.

4

Muamele Kareler Toplamını (MKT) hesaplamak.

Muamele KT = 180

Genel KT = Satır KT + Sütun KT + Muamele KT + Hata KT eşitliğinden;

850 = 250 + 180 + \text{Muamele KT} + 240 \implies \text{Muamele KT} = 180

bulunur.

5

F test istatistiğini elde etmek.

F = 3,00

Muamele Kareler Ortalaması

= 180 / 5 = 36

'dır.

F

istatistiği = Muamele KO / Hata KO

= 36 / 12 = 3,00

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Latin Karesi deney tasarımında serbestlik derecesi dağılımı ve varyans analizi bileşenleri arasındaki matematiksel ilişkiler

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 60Soru →

Bir spor fizyologu, üç farklı antrenman programının (A, B ve C) atletlerin yarışma sonu laktat eşiği değerleri üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı, sporcuların antrenman öncesi dinlenik kalp atım hızlarını (DKAH) ortak değişken (kovaryat) olarak belirlemiş ve bir Kovaryans Analizi (ANCOVA) yürütmeye karar vermiştir.

Analiz öncesi varsayımları test eden araştırmacı, antrenman programı (grup faktörü) ile DKAH (ortak değişken) arasındaki etkileşim terimini modele eklemiş ve bu etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olduğunu ( $p = 0,014$ ) tespit etmiştir.

Buna göre, araştırmacının bu bulguyu nasıl yorumlaması ve analize dair atması gereken en uygun adım aşağıdakilerden hangisidir?

Regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir, dolayısıyla standart ANCOVA modelinin kullanılması uygun değildir.

Bağımlı değişkene ait hata varyanslarının gruplar arası eşitliği varsayımı ihlal edilmiştir, bu nedenle parametrik olmayan alternatif testlere geçilmelidir.

Ortak değişkenin bağımlı değişkeni açıklama gücü yetersiz bulunmuştur, DKAH değişkeni modelden çıkarılarak doğrudan Tek Yönlü ANOVA uygulanmalıdır.

Modelin çoklu bağlantı sorunu içerdiği saptanmıştır, düzeltilmiş

R^2

değeri yerine standart

R^2

dikkate alınarak analize devam edilmelidir.

Etkileşim etkisi anlamlı bulunduğu için ana etkilerin analizi bırakılmalı ve gruplar arası farkı bulmak için doğrudan post-hoc testlerine geçilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir, dolayısıyla standart ANCOVA modelinin kullanılması uygun değildir.

Cevap

Regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir, dolayısıyla standart ANCOVA modelinin kullanılması uygun değildir.

Kovaryans Analizinde (ANCOVA), standart düzeltilmiş ortalamaların hesaplanabilmesi için ortak değişkenin (kovaryat) bağımlı değişken üzerindeki etkisinin her grupta aynı olması gerekir. Bu duruma 'regresyon eğimlerinin homojenliği' denir ve bağımsız değişken ile ortak değişken arasındaki etkileşim terimi test edilerek kontrol edilir. Soruda verilen p=0,014 değeri, etkileşimin anlamlı olduğunu yani regresyon doğrularının paralel olmadığını (eğimlerin homojenliği varsayımının ihlal edildiğini) gösterir. Bu durumda standart ANCOVA kullanılamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans Analizi (ANCOVA) varsayımlarını ve etkileşim teriminin işlevini hatırlamak.

ANCOVA'nın en önemli varsayımlarından biri 'regresyon eğimlerinin homojenliği'dir. Bu varsayım, ortak değişken (kovaryat) ile bağımlı değişken arasındaki ilişkinin (eğimin) her bir grupta aynı (paralel) olmasını gerektirir.

Model, ortak değişkenin etkisini tüm gruplar için tek bir havuzlanmış eğim (pooled slope) kullanarak düzeltir.

2

Araştırmacının bulgusunu (

p = 0,014

) değerlendirmek.

Grup faktörü ile ortak değişken (DKAH) arasındaki etkileşimin istatistiksel olarak anlamlı olması (

p < 0,05

), grupların regresyon doğrularının eğimlerinin birbirinden farklı olduğunu kanıtlar.

Etkileşim teriminin anlamlılığı, ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin grup seviyelerine göre değiştiğini gösterir.

3

Sonuca varmak.

Eğimlerin homojenliği varsayımı ihlal edildiği için araştırmacı standart ANCOVA analizini sonlandırmalıdır.

Varsayım ihlali durumunda standart ANCOVA yanlış sonuçlar üretir; bunun yerine Johnson-Neyman tekniği veya düzenleyici (moderatör) değişken analizleri gibi alternatif yöntemler kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

ANCOVA'da Regresyon Eğimlerinin Homojenliği Varsayımı

Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm