Deney Tasarımı ve Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde, $4$ farklı gübre türü (A faktörü) ve $3$ farklı sulama yönteminin (B faktörü) yeni bir buğday çeşidinin verimi üzerindeki etkisi araştırılmaktadır. Deney, her bir gübre-sulama kombinasyonu için $5$ farklı deneme tarlasında (tekrar sayısı) gerçekleştirilmiş ve elde edilen verilerle aşağıdaki varyans analizi tablosu oluşturulmuştur.

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
Gübre (A)	$150$
Sulama (B)	$90$
Etkileşim (AxB)	$180$	$F_{AxB}$
Hata	$240$
Genel	$660$

Buna göre, Etkileşim (AxB) etkisine ait hesaplanan $F$ test istatistiği ( $F_{AxB}$ ) ve $\alpha=0,05$ anlamlılık düzeyinde etkileşim etkisinin yorumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? (Tablo değeri: $F_{0,05; 6, 48} = 2,29$ )

6,00

; Gübre türünün verim üzerindeki etkisi, uygulanan sulama yöntemine göre değişmektedir.

3,00

; Gübre türünün verim üzerindeki etkisi, uygulanan sulama yöntemine göre değişmektedir.

7,20

; Gübre türünün verim üzerindeki etkisi, uygulanan sulama yöntemine göre değişmektedir.

6,00

; Gübre ve sulama yöntemlerinin ortak etkisi anlamsızdır, faktörler birbirinden bağımsız etki eder.

0,75

; Gübre ve sulama yöntemlerinin ortak etkisi anlamsızdır, faktörler birbirinden bağımsız etki eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6,00$ ; Gübre türünün verim üzerindeki etkisi, uygulanan sulama yöntemine göre değişmektedir.

Cevap

6,00

; Gübre türünün verim üzerindeki etkisi, uygulanan sulama yöntemine göre değişmektedir.

İki yönlü ANOVA'da etkileşim (AxB) serbestlik derecesi

(a-1)(b-1) = (4-1)(3-1) = 6

'dır. Hata serbestlik derecesi

ab(n-1) = 4 \times 3 \times (5-1) = 48

'dir. Kareler ortalamaları sırasıyla

KO_{AB} = 180 / 6 = 30

ve

KO_{Hata} = 240 / 48 = 5

olarak hesaplanır. Test istatistiği

F = KO_{AB} / KO_{Hata} = 30 / 5 = 6,00

bulunur.

6,00 > 2,29

olduğu için

H_0

reddedilir; yani gübre türünün verim üzerindeki etkisi, sulama yöntemine göre anlamlı bir şekilde farklılık göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin (sd) hesaplanması.

Gübre (A) için

sd_A = 4 - 1 = 3

. Sulama (B) için

sd_B = 3 - 1 = 2

. Etkileşim için

sd_{AB} = 3 \times 2 = 6

. Hata için

sd_{Hata} = 4 \times 3 \times (5 - 1) = 48

.

Varyans analizinde kareler ortalamalarını bulmak için her bir varyans kaynağının kendi serbestlik derecesine bölünmesi gerekir.

2

Etkileşim ve Hata kareler ortalamalarının (KO) hesaplanması.

KO_{AB} = 180 / 6 = 30

ve

KO_{Hata} = 240 / 48 = 5

.

Kareler Ortalaması = Kareler Toplamı / Serbestlik Derecesi (

KO = KT / sd

) formülü ile bulunur.

3

Etkileşim etkisine ait F test istatistiğinin hesaplanması.

F_{AxB} = KO_{AB} / KO_{Hata} = 30 / 5 = 6,00

.

Ortak etkinin anlamlılığını test etmek için etkileşime ait kareler ortalaması, hata kareler ortalamasına oranlanır.

4

Hesaplanan F değeri ile tablo değerinin karşılaştırılarak yorumlanması.

F_{hesap} = 6,00 > F_{tablo} = 2,29

olduğundan

H_0

hipotezi reddedilir. Etkileşim anlamlıdır.

Hesaplanan test istatistiği kritik tablo değerinden büyükse etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır; yani bir faktörün etkisi, diğer faktörün seviyesine göre değişiklik gösterir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde (ANOVA) etkileşim etkisinin serbestlik derecesi hesaplamaları, F istatistiğinin bulunması ve sonucun yorumlanması.

Soru 62Soru →

Bir kamu kurumu, hizmet içi eğitim faaliyetleri kapsamında uygulanan $4$ farklı eğitim programının personelin performans değerlendirme puanları üzerindeki etkisini incelemek amacıyla rastgele seçilen toplam $24$ personel ile bir çalışma yürütmüştür. Yapılan tek yönlü varyans analizi sonucunda, gruplar arası kareler toplamı $120$ ve genel kareler toplamı $320$ olarak hesaplanmıştır.

Varyans analizi varsayımlarının tam olarak sağlandığı bilindiğine göre, bu analiz için hesaplanan $F$ test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2,50

3,00

4,00

4,60

4,80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,00

Cevap

Hesaplanan F test istatistiği değeri 4,00'tür.

Tek yönlü varyans analizinde

F

istatistiği, gruplar arası kareler ortalamasının (GAKO) grup içi kareler ortalamasına (GiKO) bölünmesiyle bulunur. Verilen bilgilerde GAKT =

120

ve Genel KT =

320

olduğundan, GiKT =

320 - 120 = 200

olarak elde edilir. Serbestlik dereceleri

sd_{GAKT} = 4 - 1 = 3

ve

sd_{GiKT} = 24 - 4 = 20

'dir. Buradan GAKO =

120 / 3 = 40

ve GiKO =

200 / 20 = 10

hesaplanır. Sonuç olarak

F = 40 / 10 = 4,00

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Grup içi kareler toplamını (GiKT) hesapla.

GiKT = Genel\ KT - GAKT = 320 - 120 = 200

Varyans analizinde genel kareler toplamı, gruplar arası ve grup içi kareler toplamlarının bütünüdür.

2

Gruplar arası ve grup içi serbestlik derecelerini (sd) bul.

sd_{GAKT} = k - 1 = 4 - 1 = 3

ve

sd_{GiKT} = n - k = 24 - 4 = 20

Kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili varyans kaynaklarının serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

3

Kareler ortalamalarını (KO) hesapla.

GAKO = \frac{120}{3} = 40

ve

GiKO = \frac{200}{20} = 10

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

F test istatistiğini hesapla.

F = \frac{GAKO}{GiKO} = \frac{40}{10} = 4,00

F test istatistiği, gruplar arası kareler ortalamasının grup içi kareler ortalamasına oranıdır.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA Tablosu ve F İstatistiği Hesaplaması

Soru 63Soru →

Bir perakende zincirinin veri analitiği ekibi, dört farklı mağaza içi aydınlatma konseptinin (A, B, C ve D) müşterilerin mağazada geçirdikleri süre üzerindeki etkisini incelemektedir. Mağazaların fiziksel büyüklüklerindeki farklılıkların, müşterilerin içeride geçirdiği süreyi doğrudan etkileyebileceğini düşünen ekip, "mağaza metrekaresini" ortak değişken (covariate) olarak modele dahil ederek bir Kovaryans Analizi (ANCOVA) uygulamaya karar vermiştir.

Analize başlamadan önce, ANCOVA'nın geçerliliği için kritik olan regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği (paralelliği) varsayımının sağlanıp sağlanmadığını test etmek amacıyla bir ön model kurulmuştur.

Buna göre, kurulan bu ön modelde aşağıdaki bulgulardan hangisinin elde edilmesi, eğimlerin homojenliği varsayımının ihlal edildiğini kesin olarak gösterir?

Aydınlatma konsepti ile mağaza metrekaresi arasındaki etkileşim teriminin istatistiksel olarak anlamlı bulunması

Mağaza metrekaresinin (ortak değişken) modeldeki temel etkisinin istatistiksel olarak anlamsız çıkması

Modelin hata terimlerinde değişen varyans (heteroskedastisite) sorununun tespit edilmesi

Bağımlı değişkendeki toplam varyansın büyük bir kısmının ortak değişken tarafından açıklanması

Aydınlatma konsepti gruplarının kendi içindeki serbestlik derecelerinin birbirinden farklı olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Aydınlatma konsepti ile mağaza metrekaresi arasındaki etkileşim teriminin istatistiksel olarak anlamlı bulunması

Cevap

Eğimlerin homojenliği varsayımının ihlal edildiğini gösteren durum, bağımsız değişken (aydınlatma konsepti) ile ortak değişken (mağaza metrekaresi) arasındaki etkileşim teriminin istatistiksel olarak anlamlı bulunmasıdır.

ANCOVA modelinin güvenilir sonuçlar üretebilmesi için, ortak değişken (covariate) ile bağımlı değişken arasındaki doğrusal ilişkinin eğimi, bağımsız değişkenin (faktörün) tüm düzeylerinde aynı (paralel) olmalıdır. Eğer ön modelde faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşim terimi istatistiksel olarak anlamlı bulunursa, bu durum eğimlerin gruplara göre farklılık gösterdiği anlamına gelir ve eğimlerin homojenliği varsayımı ihlal edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans Analizinde (ANCOVA) test edilen varsayımı tanımla.

Regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımı aranmaktadır.

Soru kökü, spesifik olarak bu varsayımın ihlalini gösteren istatistiksel bulguyu sormaktadır.

2

Eğimlerin homojenliği varsayımının istatistiksel karşılığını belirle.

Bu varsayım, ortak değişken (X) ile bağımlı değişken (Y) arasındaki ilişkinin (eğimin), faktörün (bağımsız değişken) her bir seviyesinde aynı olduğunu ifade eder.

Eğer eğimler aynı değilse, ortak değişkenin etkisi gruplara göre değişiyor demektir ve standart ANCOVA düzeltmesi yapılamaz.

3

Bu varsayımın test edilme yöntemini açıkla.

Varsayımın testi için ön modelde 'Bağımsız Değişken

\times

Ortak Değişken' etkileşim terimi modele eklenir ve anlamlılığına bakılır.

Etkileşim teriminin istatistiksel olarak anlamlı çıkması (

p < \alpha

), eğimlerin faktör seviyelerine göre anlamlı şekilde farklılaştığını kanıtlar.

4

Seçenekleri analiz et ve doğru bulguyu seç.

Aydınlatma konsepti ile mağaza metrekaresi arasındaki etkileşimin anlamlı olması, varsayımın ihlalidir.

Etkileşimin anlamlılığı, eğimlerin paralel olmadığı (homojen olmadığı) anlamına gelir.

Anahtar Kavram

ANCOVA Varsayımları ve Eğimlerin Homojenliği

Soru 64Soru →

Bir kimya mühendisi, bir polimerin dayanımını optimize etmek amacıyla üç farklı faktörün (A: Sıcaklık, B: Basınç, C: Katalizör Oranı) etkilerini incelemek için $n=3$ tekrarlı $2^3$ tam faktöriyel deney tasarımı uygulamıştır. Toplam gözlem sayısı 24'tür.

Mühendis, verilerin analizi sonucunda faktörlerin ve etkileşimlerinin etki (effect) tahminlerini aşağıdaki gibi hesaplamıştır:
- $A$ etkisi = 4
- $B$ etkisi = -3
- $C$ etkisi = 2
- $AB$ etkileşimi = 2
- $AC$ etkileşimi = -1
- $BC$ etkileşimi = 1
- $ABC$ etkileşimi = 3

Deneye ilişkin Genel Kareler Toplamı ( $Genel\ KT$ ) 424 olarak verilmiştir.

Buna göre, $ABC$ üçlü etkileşiminin anlamlılığını test etmek için kullanılacak $F$ -test istatistiğinin değeri kaçtır?

1,48

2,36

3,46

5,40

7,76

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5,40

Cevap

ABC üçlü etkileşimine ait F-test istatistiğinin değeri 5,40'tır.

Verilen etki tahminlerinden Kareler Toplamına (KT) geçiş formülü

KT = \text{Etki}^2 \cdot n \cdot 2^{k-2}

şeklindedir. Burada

k=3

ve

n=3

olduğundan çarpan

6

'dır. Etkileşimler de dahil tüm etkilerin kareleri alınarak

6

ile çarpıldığında, sırasıyla 96, 54, 24, 24, 6, 6 ve 54 değerleri bulunur. Tüm bunların toplamı Model KT'yi verir (

264

). Genel KT

424

olduğuna göre, Hata KT

424 - 264 = 160

olur. Toplam

2^3 \cdot 3 = 24

gözlem vardır;

2^3 = 8

hücre olduğundan Hata serbestlik derecesi

24 - 8 = 16

'dır. Hata Kareler Ortalaması

160 / 16 = 10

'dur. ABC etkileşiminin kareler toplamı

54

ve serbestlik derecesi

1

olduğu için KO değeri de

54

'tür.

F = 54 / 10 = 5,40

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

2^k

faktöriyel tasarımlarda Etki (Effect) değerinden Kareler Toplamı (

KT

) hesaplama çarpanını belirleme.

Çarpan

= n \cdot 2^{k-2} = 3 \cdot 2^{3-2} = 3 \cdot 2 = 6

olarak bulunur.

Bir etkinin kareler toplamı formülü

KT = \text{Etki}^2 \cdot n \cdot 2^{k-2}

şeklindedir.

2

Verilen etki tahminlerini kullanarak her bir faktör ve etkileşim için Kareler Toplamlarını hesaplama.

KT_A = 6 \cdot 4^2 = 96

KT_B = 6 \cdot (-3)^2 = 54

KT_C = 6 \cdot 2^2 = 24

KT_{AB} = 6 \cdot 2^2 = 24

KT_{AC} = 6 \cdot (-1)^2 = 6

KT_{BC} = 6 \cdot 1^2 = 6

KT_{ABC} = 6 \cdot 3^2 = 54

Model Kareler Toplamını bulmak için sistemdeki tüm etkilerin kareler toplamlarının bilinmesi gerekir.

3

Model Kareler Toplamını (

Model\ KT

) bulma.

Model\ KT = 96 + 54 + 24 + 24 + 6 + 6 + 54 = 264

elde edilir.

Ortogonal tasarımlarda Model Kareler Toplamı, tüm temel ve etkileşim etkilerinin kareler toplamlarının ardışık toplamına eşittir.

4

Hata Kareler Toplamını (

Hata\ KT

) hesaplama.

Hata\ KT = Genel\ KT - Model\ KT = 424 - 264 = 160

bulunur.

ANOVA tablosunun eklenebilirlik varsayımı gereği

Genel\ KT = Model\ KT + Hata\ KT

'dir.

5

Hata Serbestlik Derecesini (

sd_{Hata}

) ve Hata Kareler Ortalamasını (

Hata\ KO

) bulma.

Toplam gözlem

N=24

.

sd_{Genel} = 23

,

sd_{Model} = 2^3 - 1 = 7

.

sd_{Hata} = 23 - 7 = 16

.

Hata\ KO = 160 / 16 = 10

olarak elde edilir.

F

istatistiğinin paydasını oluşturan Hata Kareler Ortalamasına (MSE) ulaşmak gereklidir.

6

ABC etkileşimi için F-test istatistiğini hesaplama.

KO_{ABC} = KT_{ABC} / 1 = 54 / 1 = 54

.

F_{ABC} = KO_{ABC} / Hata\ KO = 54 / 10 = 5,40

bulunur.

Bir etkinin anlamlılığı, o etkinin Kareler Ortalamasının Hata Kareler Ortalamasına oranlanmasıyla test edilir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Deney Tasarımlarında Etki Tahminlerinden ANOVA Değerlerinin Elde Edilmesi

Soru 65Soru →

İstatistiksel deney tasarımı uygulamalarında kullanılan Grek-Latin karesi modeli ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Muamele faktörünün etkisini daha hassas ölçebilmek için deney materyalindeki varyasyonu üç yönlü kısıtlama (üç farklı blok faktörü) ile kontrol altına alır.

Modelin ortogonallik yapısı sayesinde, muamele ve kontrol edilen tüm blok faktörlerinin etkileri birbirine karışmadan bağımsız olarak tahmin edilebilir.

Hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

formülüyle bulunduğundan, tekrarsız bir deneyde hata varyansının tahmin edilebilmesi için düzey sayısının (

p

) en az 3 olması istatistiksel açıdan yeterlidir.

Geleneksel Latin karesi tasarımındaki satır ve sütun kısıtlarına, Grek harfleriyle ifade edilen üçüncü bir kısıt değişkeninin ortogonal biçimde eklenmesiyle oluşturulur.

Tasarımda yer alan her bir faktörün düzey sayısı eşit (

p

) olup, deney sonucunda toplam

p^2

adet gözlem elde edilir ve genel serbestlik derecesi

p^2-1

olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hata serbestlik derecesi $(p-1)(p-3)$ formülüyle bulunduğundan, tekrarsız bir deneyde hata varyansının tahmin edilebilmesi için düzey sayısının ( $p$ ) en az 3 olması istatistiksel açıdan yeterlidir.

Cevap

Yanlış olan ifade, hata varyansının tahmini için p=3 düzeyinin yeterli olduğunu öne süren seçenektir.

Varyans analizi (ANOVA) modellerinde, bir etkinin veya hatanın varyansını tahmin edebilmek için o kaynağa ait serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olması şarttır. Grek-Latin karesi tasarımında hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

eşitliği ile bulunur. Eğer faktör düzey sayısı

p=3

alınırsa, hata serbestlik derecesi

(3-1)(3-3) = 0

değerini alır. Paydası sıfır olan bir varyans hesabı tanımsız olacağı için, tekrarsız bir Grek-Latin karesi tasarımında

p=3

düzeyi istatistiksel test yapmak için yeterli değildir; tasarımın uygulanabilmesi için düzey sayısının genellikle

p \ge 4

(matematiksel istisnalar hariç) olması önerilir. Bu sebeple ilgili ifade kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerde verilen Grek-Latin karesi özelliklerini teorik çerçevede analiz et.

Tasarımın üç blok faktörüne sahip olduğu, ortogonal yapıda olduğu,

p^2

gözlem içerdiği ve Latin karesinin bir uzantısı olduğu belirlendi (Diğer seçenekler doğru).

Yanlış olan ifadeyi bulmak için temel özelliklerin sağlamasının yapılması.

2

Hata serbestlik derecesi formülünü irdele ve

p=3

durumunu formülde yerine koy.

Formül

(p-1)(p-3)

'tür.

p=3

için hesaplama:

(3-1)(3-3) = 2 \times 0 = 0

bulunur.

Seçenekteki 'p=3 olması yeterlidir' iddiasının matematiksel olarak test edilmesi.

3

Hata serbestlik derecesinin sıfır (0) çıkmasının varyans analizi üzerindeki etkisini yorumla.

Hata varyansı (Hata Kareler Ortalaması), Hata Kareler Toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur. Bölme işleminde payda sıfır olamayacağından varyans tahmin edilemez.

İstatistikte varyans tahmini için serbestlik derecesinin kesinlikle sıfırdan büyük (

>0

) olması gerektiğinin gösterilmesi.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Tasarımı Varsayımları ve Serbestlik Derecesi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 66Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, geliştirilen dört farklı öğretim stratejisinin (muamele) öğrencilerin matematik başarı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı, başarı üzerinde etkili olabilecek "öğretmenin kıdem yılı" ve "sınıf mevcudu" olmak üzere iki farklı dışsal değişkeni (blok) kontrol altına almak için Latin Karesi deney tasarımını kullanmaya karar verir.

Bu deney tasarımının doğru bir şekilde kurulabilmesi ve standart varyans analizinin (ANOVA) yapılabilmesi için aşağıdakilerden hangisi zorunludur?

Öğretmenin kıdem yılı ve sınıf mevcudu faktörlerinin her birinin tam olarak dörder düzeyinin (kategorisinin) bulunması

Öğretim stratejileri ile bloklama faktörleri arasında oluşabilecek etkileşim (interaction) etkilerinin analize dahil edilmesi

İki dışsal bloklama değişkeninden yalnızca birinin sistematik varyans kaynağı olarak modele alınması ve diğerinin göz ardı edilmesi

Hata serbestlik derecesinin hesaplanabilmesi için deney karesindeki her bir hücrede en az iki gözlem değerinin (tekrarın) bulunması

Analizde kullanılacak toplam serbestlik derecesinin

(n-1)(n-2)

formülü ile hesaplanması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Öğretmenin kıdem yılı ve sınıf mevcudu faktörlerinin her birinin tam olarak dörder düzeyinin (kategorisinin) bulunması

Cevap

Öğretmenin kıdem yılı ve sınıf mevcudu faktörlerinin her birinin tam olarak dörder düzeyinin (kategorisinin) bulunması

Latin Karesi deney tasarımının en temel kuralı ve ayırt edici özelliği, muamele düzey sayısı ile iki yönlü blok faktörlerinin (satır ve sütun) düzey sayılarının birbirine eşit olma zorunluluğudur (

t = r = c = n

). Araştırmada dört farklı öğretim stratejisi (muamele) kullanıldığı için, her iki dışsal değişkenin de (öğretmen kıdemi ve sınıf mevcudu) tam olarak dörder düzeye sahip olması gerekir. Aksi takdirde, her bir muamelenin her bir satırda ve her bir sütunda tam olarak bir kez yer aldığı karesel yapı (Latin Square) oluşturulamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Latin Karesi deney tasarımının temel koşulunu hatırlama

Tasarımın adındaki 'Kare' yapısı gereği, muamele (t), satır bloğu (r) ve sütun bloğu (c) düzey sayılarının birbirine eşit olması gerektiği belirlenir (

t = r = c = n

).

Modelin geçerliliği

n \times n

matris yapısının oluşturulabilmesine bağlıdır.

2

Soru kökündeki muamele düzey sayısını belirleme

Dört farklı öğretim stratejisi kullanıldığı için muamele düzey sayısı

t = 4

'tür.

Muamele sayısı diğer bloklama faktörlerinin düzey sayısını dikte eder.

3

Bloklama faktörleri için zorunlu koşulu uygulama

Muamele sayısı 4 olduğuna göre, birinci blok olan 'öğretmenin kıdem yılı' ve ikinci blok olan 'sınıf mevcudu' değişkenlerinin her birinin 4 düzeyli (kategorili) olması gerektiği sonucuna varılır.

Eşit düzey sayısı kuralının ihlali durumunda Latin Karesi analizi uygulanamaz.

Anahtar Kavram

Latin Karesi deney tasarımında temel varsayımlar ve düzey sayısı eşitliği (

t=r=c

kuralı)

İpuçları

1

Latin Karesi modelinin adındaki 'kare' (square) kelimesi, deneyin boyutları (satır ve sütun sayıları) hakkında önemli bir ipucu verir.

2

Bu tasarımda muamele (treatment), satır bloğu ve sütun bloğu düzey sayıları birbirine eşit olmalıdır (

t = r = c

).

3

Soru kökünde dört farklı öğretim stratejisi olduğu belirtilmiştir. Bu durumda karesel yapının korunması için blok değişkenlerinin de dörder düzeyi olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Grek-Latin karesi tasarımında kontrol altına alınan dışsal değişken sayısının Latin Karesi tasarımından farkını inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 67Soru →

Bir çağrı merkezi yöneticisi, müşteri temsilcilerine verilen $5$ farklı stres yönetimi eğitiminin (A, B, C, D, E) çağrı çözme süreleri üzerindeki etkisini araştırmak istemektedir. Bu amaçla, 'çağrı merkezinin $5$ farklı şubesi' ve 'haftanın $5$ farklı iş günü' dışsal faktörler olarak kontrol altına alınarak $5 \times 5$ 'lik bir Latin Karesi deney tasarımı uygulanmıştır.

Deney sonucunda elde edilen verilere göre; Genel Kareler Toplamı $500$ , Şubeler arası Kareler Toplamı $120$ , Günler arası Kareler Toplamı $100$ ve Eğitimler arası Kareler Toplamı $160$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu deney tasarımı için oluşturulacak Varyans Analizi (ANOVA) tablosundaki 'Hata Kareler Ortalaması' (Artık Varyans) değeri kaçtır?

6

7,5

10

15

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$

Cevap

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri

10

'dur.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), Hata Kareler Toplamının (SSE) kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur. Toplam kareler toplamından (500) diğer varyans kaynakları (120, 100 ve 160) çıkarıldığında

SSE = 120

olarak hesaplanır.

5 \times 5

'lik bir Latin Karesi için hata serbestlik derecesi

(k-1)(k-2) = 4 \times 3 = 12

'dir. Buradan

120 / 12 = 10

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamını (SSE) bulmak için genel kareler toplamından diğer varyans kaynaklarını çıkarmak.

SSE = 500 - (120 + 100 + 160) = 500 - 380 = 120

olarak bulunur.

Varyans analizinde Genel Kareler Toplamı, modele ait tüm alt kareler toplamlarının (satır, sütun, muamele ve hata) toplamına eşittir.

2

Latin Karesi deney tasarımı için Hata Serbestlik Derecesini (

df_{hata}

) hesaplamak.

k=5

olduğu için

df_{hata} = (k-1)(k-2) = (5-1)(5-2) = 4 \times 3 = 12

elde edilir.

Latin Karesinde iki farklı yönde bloklama (satır ve sütun) yapıldığından, hata varyansına ait serbestlik derecesi

(k-1)(k-2)

formülü ile bulunur.

3

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplamak.

MSE = \frac{SSE}{df_{hata}} = \frac{120}{12} = 10

olarak hesaplanır.

Kareler ortalamaları, her bir kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Deney Tasarımında ANOVA ve Serbestlik Dereceleri

Soru 68Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, toplu taşımada kullanılacak $6$ farklı otobüs güzergâh optimizasyon algoritmasının (muamele) sefer süreleri üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Sefer sürelerinin, otobüs şoförlerinin tecrübe düzeylerinden ve haftanın günlerinden de önemli ölçüde etkilendiği bilinmektedir. Araştırmacı, şoförleri $6$ farklı tecrübe grubuna ayırmış ve deneyi haftanın $6$ gününde yürüterek her iki dışsal değişkeni de (satır ve sütun blokları olarak) kontrol altına alan bir Latin Karesi deney tasarımı kurmuştur.

Buna göre, bu araştırmada kullanılan deney tasarımının istatistiksel doğrusal modeli ve varyans analizi tablosundaki hata kareler toplamına ait serbestlik derecesi aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru verilmiştir?

(Not: $\mu$ genel ortalamayı, $\rho_i$ satır etkisini, $\gamma_j$ sütun etkisini, $\tau_k$ muamele etkisini, $(\rho\gamma)_{ij}$ etkileşim etkisini ve $\varepsilon$ rastgele hata terimini temsil etmektedir.)

Doğrusal Model:

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

, Hata Serbestlik Derecesi:

20

Doğrusal Model:

Y_{ij} = \mu + \rho_i + \tau_j + \varepsilon_{ij}

, Hata Serbestlik Derecesi:

25

Doğrusal Model:

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

, Hata Serbestlik Derecesi:

5

Doğrusal Model:

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

, Hata Serbestlik Derecesi:

35

Doğrusal Model:

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + (\rho\gamma)_{ij} + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

, Hata Serbestlik Derecesi:

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Doğrusal Model: $Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}$ , Hata Serbestlik Derecesi: $20$

Cevap

Doğrusal Model:

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

ve Hata Serbestlik Derecesi:

20

olarak verilen seçenektir.

Latin Karesi deney tasarımında iki dışsal kısıt (satır ve sütun) kontrol altına alındığı için doğrusal modelde genel ortalamaya ek olarak satır (

\rho_i

), sütun (

\gamma_j

) ve muamele (

\tau_k

) ana etkileri toplanarak ifade edilir. Etkileşimlerin olmadığı varsayılır. Deney boyutu

n=6

olduğundan, hata teriminin serbestlik derecesi

(n-1)(n-2)

formülünden yola çıkılarak

(6-1)(6-2) = 5 \times 4 = 20

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmanın deney tasarımını ve boyutunu belirle.

Araştırmada

6

muamele,

6

satır bloğu ve

6

sütun bloğu olduğu için

n=6

boyutunda bir Latin Karesi deney tasarımı kullanılmıştır.

Tasarımın türünü ve

n

sayısını belirlemek, doğrusal modeli oluşturmak ve serbestlik derecelerini hesaplamak için ilk adımdır.

2

Latin Karesi deney tasarımının doğrusal modelini oluştur.

Doğrusal Model:

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

Latin Karesi tasarımında bir bağımlı değişken; genel ortalama, satır etkisi (şoför), sütun etkisi (gün), muamele etkisi (algoritma) ve rastgele hatanın doğrusal bir fonksiyonu olarak modellenir. Etkileşimler varsayım gereği modele dahil edilmez.

3

Hata kareler toplamı için serbestlik derecesini (SD) hesapla.

Hata SD =

(n-1)(n-2)

formülünden

(6-1)(6-2) = 5 \times 4 = 20

olarak bulunur.

Varyans analizi tablosunda genel serbestlik derecesinden

(n^2-1)

, satır

(n-1)

, sütun

(n-1)

ve muamele

(n-1)

serbestlik dereceleri çıkarıldığında hata terimine

(n-1)(n-2)

kalır.

Anahtar Kavram

Latin Karesi deney tasarımında doğrusal modelin yapılandırılması ve hata serbestlik derecesinin

(n-1)(n-2)

formülü ile hesaplanması.

Soru 69Soru →

Bir kalite kontrol mühendisi, tekstil üretiminde kullanılan $5$ farklı dokuma makinesinin ürettiği kumaşlardaki kopma direncini karşılaştırmak istemektedir. Her makineden bağımsız olarak $8$ 'er adet kumaş örneği alınarak test edilmiştir. Kumaş dirençlerinin normal dağılıma uyduğu belirlenmiştir.

Yapılan tek yönlü varyans analizine ait ANOVA tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı	Serbestlik Derecesi	Kareler Ortalaması	$F$ Hesap
Gruplar Arası	$240$
Gruplar İçi
Genel	$940$

Ayrıca, grupların varyanslarının homojenliği varsayımını test etmek için uygulanan Bartlett testinin p-değeri $0,014$ bulunmuştur (Anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ alınacaktır).

Buna göre, tabloda eksik olan değerler hesaplandığında elde edilen standart $F$ test istatistiği ve analizin geçerliliğine dair en uygun değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

F = 3,00

; Varyanslar homojen olmadığı için standart ANOVA yerine Welch varyans analizi gibi alternatif yöntemler tercih edilmelidir.

F = 3,00

; Varsayımlar sağlandığından standart

F

testi sonuçları doğrudan kullanılarak gruplar arası farklar yorumlanmalıdır.

F = 2,74

; Varyanslar homojen olmadığı için standart ANOVA yerine Welch varyans analizi gibi alternatif yöntemler tercih edilmelidir.

F = 2,49

; Varsayımlar sağlandığından standart

F

testi sonuçları doğrudan kullanılarak gruplar arası farklar yorumlanmalıdır.

F = 3,34

; Varyanslar homojen olmadığı için standart ANOVA yerine Welch varyans analizi gibi alternatif yöntemler tercih edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = 3,00$ ; Varyanslar homojen olmadığı için standart ANOVA yerine Welch varyans analizi gibi alternatif yöntemler tercih edilmelidir.

Cevap

Hesaplanan

F

değeri

3,00

'tür ve Bartlett testi sonucunda varyanslar homojen olmadığı için Welch varyans analizi gibi alternatif yöntemler kullanılmalıdır.

Verilen bilgilere göre

k=5

ve toplam örneklem hacmi

n = 5 \times 8 = 40

'tır. Serbestlik dereceleri; Gruplar Arası için

k-1 = 4

, Gruplar İçi için

n-k = 35

'tir. Gruplar İçi Kareler Toplamı

940 - 240 = 700

olarak bulunur. Kareler ortalamaları hesaplandığında Gruplar Arası KO =

240/4=60

ve Gruplar İçi KO =

700/35=20

olur. Buradan

F

değeri

60/20=3,00

olarak elde edilir. Bartlett testinde p-değeri

0,014 < 0,05

olduğu için 'Varyanslar homojendir' şeklindeki

H_0

hipotezi reddedilir. Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiği için standart

F

testi yerine varyans farklılıklarına dirençli olan Welch ANOVA veya Brown-Forsythe gibi alternatif testler kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin hesaplanması

Gruplar Arası sd =

5 - 1 = 4

; Genel sd =

40 - 1 = 39

; Gruplar İçi sd =

40 - 5 = 35

Kareler ortalamalarını bulabilmek için her bir varyans kaynağının serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

2

Gruplar içi kareler toplamının bulunması

Gruplar İçi KT = Genel KT - Gruplar Arası KT =

940 - 240 = 700

Varyans analizi tablosunda eksik olan toplam varyans bileşenini tamamlamak için.

3

Kareler ortalamalarının ve

F

istatistiğinin hesaplanması

Gruplar Arası KO =

240 / 4 = 60

; Gruplar İçi KO =

700 / 35 = 20

;

F = 60 / 20 = 3,00

Gruplar arası varyansın, gruplar içi varyansa oranını bularak test istatistiğini elde etmek için.

4

Varsayım testinin yorumlanması

Bartlett testi p-değeri (

0,014

) <

\alpha

(

0,05

) olduğundan

H_0

reddedilir. Varyanslar homojen değildir.

Standart ANOVA'nın geçerliliği, grupların varyanslarının eşit olmasına (homojenliğe) bağlıdır.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu Hesaplamaları ve Varsayım İhlallerinin Yorumlanması

Soru 70Soru →

Bir lojistik firması, yeni geliştirilen $3$ farklı motor yağının (işlem) araçların yakıt tüketimi üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Araç modelleri arasındaki potansiyel farklılıkları kontrol altına almak için, $7$ farklı araç modeli (blok) kullanılarak Rastgele Bloklar Deney Tasarımı (RBDT) uygulanmıştır. Elde edilen verilere ait kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F Değeri
Motor Yağı (İşlem)	?	?	?	?
Araç Modeli (Blok)	6	?	60
Hata	?	120	?
Genel	20	640

Buna göre, Motor Yağı (İşlem) faktörüne ait test istatistiği ( $F_{hesap}$ ) ve bu Rastgele Bloklar Deney Tasarımının, Tamamen Rastgele Deney Tasarımına (TRDT) göre Göreli Etkinliği (GE) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

F_{hesap} = 8,0

;

GE = 2,4

F_{hesap} = 8,0

;

GE = 2,5

F_{hesap} = 8,0

;

GE = 6,0

F_{hesap} = 16,0

;

GE = 3,0

F_{hesap} = 12,0

;

GE = 2,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F_{hesap} = 8,0$ ; $GE = 2,5$

Cevap

Doğru cevap test istatistiğinin 8,0 ve Göreli Etkinliğin 2,5 olduğu seçenektir.

Verilen tabloda Genel SD = 20 (N=21) ve Blok SD = 6 (b=7) olduğundan işlem sayısı k=3'tür. İşlem SD = 2, Hata SD = 12 olur. Kareler toplamları eşitliğinden İşlem KT = 160 bulunur. İşlem KO = 160/2 = 80, Hata KO = 120/12 = 10'dur. Bu durumda F değeri = 80/10 = 8,0 olarak hesaplanır. Göreli Etkinlik ise [6(60) + 14(10)] / [20(10)] = 500/200 = 2,5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (SD) ve eksik

N

,

k

,

b

parametrelerini belirleme.

İşlem SD = 2, Hata SD = 12.

Tabloda Genel SD = 20 verilmiştir,

N - 1 = 20 \Rightarrow N = 21

. Blok SD = 6 verilmiştir,

b - 1 = 6 \Rightarrow b = 7

.

N = b \times k

olduğundan

21 = 7 \times k \Rightarrow k = 3

(İşlem sayısı) bulunur. İşlem SD =

k - 1 = 2

. Hata SD =

(k-1)(b-1) = 2 \times 6 = 12

olur. (Sağlama: 2 + 6 + 12 = 20).

2

Kareler Toplamı (KT) ve Kareler Ortalaması (KO) eksiklerini tamamlama.

Blok KT = 360, İşlem KT = 160, İşlem KO = 80, Hata KO = 10.

Blok KT = Blok SD \times Blok KO = 6 \times 60 = 360

.

İşlem KT = Genel KT - Blok KT - Hata KT = 640 - 360 - 120 = 160

.

İşlem KO = İşlem KT / İşlem SD = 160 / 2 = 80

.

Hata KO = Hata KT / Hata SD = 120 / 12 = 10

.

3

Motor yağı (İşlem) için

F_{hesap}

test istatistiğini bulma.

F_{işlem} = 8,0

.

Varyans analizi gereği F değeri ilgili etkinin hata terimine oranıdır:

F_{işlem} = İşlem KO / Hata KO = 80 / 10 = 8,0

.

4

Göreli Etkinliği (GE) formül ile hesaplama.

GE = 2,5

.

GE Formülü:

[df_{blok}KO_{blok} + (df_{işlem} + df_{hata})KO_{hata}] / [df_{genel}KO_{hata}]

. Değerleri yerine koyarsak:

[6(60) + (2 + 12)(10)] / [20(10)] = [360 + 140] / 200 = 500 / 200 = 2,5

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında ANOVA Tablosunun Tamamlanması ve Göreli Etkinlik Hesabı

Soru 71Soru →

Karayolları Genel Müdürlüğünde görevli bir araştırmacı, Türkiye genelindeki tüm otoyollarda kullanılma potansiyeli olan farklı asfalt katkı maddelerinin performansını değerlendirmek istemektedir. Bu amaçla, laboratuvar ortamında geliştirilen $50$ farklı katkı maddesi arasından kura yöntemiyle seçilen $4$ tanesi kullanılarak hazırlanan numunelerin aşınma dirençleri ölçülmüştür.

Araştırmacı varyans analizi (ANOVA) uygulamadan önce temel varsayımları test etmiş ve şu sonuçları elde etmiştir:
- Artıkların normalliği için Shapiro-Wilk testi: $p = 0,215$
- Grup varyanslarının homojenliği için Levene testi: $p = 0,034$

Araştırmanın tasarımı ve elde edilen varsayım testi sonuçları birlikte değerlendirildiğinde, aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak en doğru yaklaşımı yansıtır? (Anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ alınacaktır.)

Araştırma bir sabit etkiler tasarımıdır; varyans homojenliği sağlanamadığı durumlarda ana kütle ortalamaları arasındaki farkı bulmak amacıyla doğrudan çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerine geçilmesi yeterlidir.

Araştırma bir rastgele etkiler tasarımıdır; Levene testindeki anlamlılık düzeyi (

p < 0,05

), grupların aşınma dirençleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğunu doğrudan gösterdiği için F testine gerek yoktur.

Araştırma bir sabit etkiler tasarımıdır; Shapiro-Wilk testi

p > 0,05

olduğundan normallik varsayımı ihlal edilmiştir ve bu nedenle parametrik olmayan alternatif testlere geçilmelidir.

Araştırma bir rastgele etkiler tasarımıdır; normallik varsayımı sağlanmasına rağmen varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, standart varyans analizi yerine Welch testine başvurulmalıdır.

Araştırma bir rastgele etkiler tasarımıdır; Levene testinde

p

değerinin

0,05

'ten küçük olması varyansların homojen olduğunu kanıtladığından, klasik F istatistiği güvenle yorumlanabilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Araştırma bir rastgele etkiler tasarımıdır; normallik varsayımı sağlanmasına rağmen varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, standart varyans analizi yerine Welch testine başvurulmalıdır.

Cevap

Araştırma bir rastgele etkiler tasarımıdır; normallik varsayımı sağlanmasına rağmen varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, standart varyans analizi yerine Welch testine başvurulmalıdır.

Deneyde incelenen 4 faktör düzeyi, 50 düzeylik daha geniş bir evrenden tesadüfi olarak seçildiği için bu bir rastgele etkiler tasarımıdır (Model II). Varsayım testlerinde H0 hipotezi her zaman 'sorun yoktur' (normallik vardır, varyanslar homojendir) şeklindedir. Shapiro-Wilk testi için

p = 0,215 > 0,05

olduğundan normallik varsayımı sağlanmıştır. Ancak Levene testi için

p = 0,034 < 0,05

olduğundan varyansların homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir. Varyansların homojen olmadığı durumlarda klasik F testi hatalı sonuçlar üretebileceğinden, Welch varyans analizi uygulanması istatistiksel olarak en doğru prosedürdür.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımının türünün belirlenmesi

Araştırmanın bir rastgele etkiler modeli (Model II) olduğu tespit edilir.

Deneyde kullanılan faktör düzeyleri (4 asfalt katkı maddesi), ilgilenilen olası tüm düzeylerin bulunduğu bir popülasyondan (50 madde) kura yöntemiyle tesadüfi olarak seçilmiştir.

2

Normallik varsayımının değerlendirilmesi

Normallik varsayımı sağlanmıştır.

Shapiro-Wilk testinin temel hipotezi (H0) verilerin normal dağıldığı yönündedir. Bulunan p değeri (0,215), 0,05'ten büyük olduğu için H0 reddedilemez.

3

Varyansların homojenliği varsayımının değerlendirilmesi

Varyans homojenliği varsayımı ihlal edilmiştir.

Levene testinin temel hipotezi (H0) grup varyanslarının eşit (homojen) olduğu yönündedir. Bulunan p değeri (0,034), 0,05'ten küçük olduğu için H0 reddedilir.

4

İhlal durumuna uygun istatistiksel testin seçilmesi

Klasik ANOVA yerine Welch veya Brown-Forsythe testi kullanılmalıdır.

Varyansların homojen olmadığı durumlarda standart F testi Tip I hata oranını koruyamaz. Bu nedenle varyans eşitsizliğine karşı dirençli olan Welch testine başvurulması en doğru yaklaşımdır.

Anahtar Kavram

Varyans analizinde model seçimi (Sabit ve Rastgele Etkiler) ile varsayım testlerinin (Normallik, Varyans Homojenliği) p-değerleri üzerinden doğru yorumlanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 72Soru →

Bir tarım araştırmacısı, $4$ farklı gübre türünün (işlem) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Tarladaki toprak nemi farklılıklarını kontrol altına almak amacıyla tarla $6$ farklı bloğa ayrılmış ve Rastgele Bloklar Deney Tasarımı uygulanmıştır.

Elde edilen verilere göre oluşturulan kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)	Serbestlik Derecesi (SD)
İşlem (Gübre)	$270$	?
Blok (Nem)	$300$
Hata
Genel	$1020$

Buna göre, gübre türlerinin verim üzerindeki etkisini test etmek için kullanılacak hesaplanan F istatistiği ( $F_{hesap}$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,6

2,0

3,0

3,6

4,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,0

Cevap

İşlemler (Gübre) için hesaplanan F istatistiği 3,0'dır.

Varyans analizi tablosunda eksik değerlerin bulunması için öncelikle hata kareler toplamı (SSE) ve serbestlik dereceleri hesaplanmalıdır. Hata KT = Genel KT - İşlem KT - Blok KT = 1020 - 270 - 300 = 450'dir. İşlem serbestlik derecesi (k-1) = 4-1 = 3, hata serbestlik derecesi ise (k-1)(b-1) = 3 * 5 = 15'tir. Buradan İşlem KO = 270 / 3 = 90 ve Hata KO = 450 / 15 = 30 bulunur. F istatistiği ise İşlem KO / Hata KO = 90 / 30 = 3,0 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini (SD) hesapla.

İşlem SD = 4 - 1 = 3. Blok SD = 6 - 1 = 5. Hata SD = (4 - 1) * (6 - 1) = 3 * 5 = 15.

Kareler ortalamalarını bulabilmek için her bir varyans kaynağının serbestlik derecesi gereklidir.

2

Hata Kareler Toplamını (KT) bul.

Hata KT = Genel KT - İşlem KT - Blok KT = 1020 - 270 - 300 = 450.

Varyans analizinde Genel KT, diğer tüm bileşenlerin (İşlem, Blok ve Hata) kareler toplamlarına eşittir.

3

Kareler Ortalamalarını (KO) hesapla.

İşlem KO = 270 / 3 = 90. Hata KO = 450 / 15 = 30.

F istatistiği, açıklanan varyansın (İşlem KO) açıklanamayan varyansa (Hata KO) oranıdır.

4

İşlemler için F istatistiğini hesapla.

F = İşlem KO / Hata KO = 90 / 30 = 3,0.

Gübre türlerinin etkisini test etmek için işlem etkisine ait kareler ortalaması hata kareler ortalamasına bölünür.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında Kısmi ANOVA Tablosunun Tamamlanması

Soru 73Soru →

Bir ulaştırma mühendisi, 3 farklı asfalt karışımının (A, B ve C) trafik yükü altındaki aşınma dirençlerini karşılaştırmak amacıyla bir deney tasarlamıştır. Her bir asfalt türünden eşit sayıda numune alınmış ( $n_A = n_B = n_C = 15$ ) ve laboratuvar ortamında aşınma testine tabi tutulmuştur.

Elde edilen verilerle gerçekleştirilen tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda test istatistiği $F(2, 42) = 6.24$ ve $p\text{-değeri} = 0.004$ olarak hesaplanmıştır. Varyansların homojenliği varsayımının sağlandığı bilinmektedir.

Mühendis, elde ettiği bu sonuca dayanarak hangi asfalt karışımlarının birbirinden anlamlı derecede farklı olduğunu belirlemek için sadece tüm olası ikili karşılaştırmaları yapmak istemektedir.

Bu araştırmada kullanılacak çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi ve gerekçesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak en uygundur?

Örneklem hacimleri eşit olduğu ve yalnızca ikili karşılaştırmalar yapılacağı için, deney bazındaki (family-wise) Tip I hata oranını hedeflenen

\alpha

seviyesinde tam olarak koruyan Tukey HSD testi kullanılmalıdır.

Varyans analizinde

H_0

hipotezi reddedilemeseydi (

p > 0.05

), gruplar arasında gözlemlenmeyen gizli farklılıkları ortaya çıkarmak amacıyla gücü en yüksek olan Fisher LSD testi uygulanmalıydı.

İkili karşılaştırmalarda gerçekte fark varken yok deme hatasını (Tip II) en aza indirmek hedeflendiğinden, Tukey HSD'ye göre Tip I hata kontrolünde daha esnek olan Scheffé testi tercih edilmelidir.

Çoklu karşılaştırma testlerinde kullanılacak hata serbestlik derecesi, genel kareler toplamı serbestlik derecesine (

N-1

) eşit olarak hesaplandığı için eşit örneklemlerde daima Fisher LSD kullanılmalıdır.

Numunelerin alındığı yollar arası olası çevresel değişkenliği kontrol etmek için, ikili karşılaştırmalara geçmeden önce model doğrudan Latin Karesi deney tasarımı ile yeniden analiz edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem hacimleri eşit olduğu ve yalnızca ikili karşılaştırmalar yapılacağı için, deney bazındaki (family-wise) Tip I hata oranını hedeflenen $\alpha$ seviyesinde tam olarak koruyan Tukey HSD testi kullanılmalıdır.

Cevap

Örneklem hacimleri eşit olduğu ve yalnızca ikili karşılaştırmalar yapılacağı için, deney bazındaki (family-wise) Tip I hata oranını hedeflenen

\alpha

seviyesinde tam olarak koruyan Tukey HSD testi kullanılmalıdır.

Doğru yanıt olan ifadede, Tukey HSD testinin temel kullanım koşulları olan 'eşit örneklem hacmi' ve 'tüm olası ikili karşılaştırmalar' doğru bir şekilde belirtilmiştir. Tukey HSD, Fisher LSD'nin aksine deney bazında Tip I hata oranını tam olarak

\alpha

seviyesinde korurken, Scheffé testine kıyasla ikili karşılaştırmalarda daha yüksek istatistiksel güce sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans analizi (ANOVA) sonucunu değerlendir

p = 0.004 < 0.05

olduğu için yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilir.

Gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemek ve post-hoc testine gerek olup olmadığına karar vermek için.

2

Grupların örneklem hacimlerini kontrol et

Tüm gruplar için

n = 15

olup örneklem hacimleri eşittir.

Çoklu karşılaştırma testlerinin birçoğu (örneğin Tukey HSD) örneklem hacimlerinin eşit olup olmamasına karşı duyarlıdır.

3

Araştırmacının karşılaştırma amacını belirle

Araştırmacı karmaşık (lineer) karşılaştırmalar değil, yalnızca tüm olası ikili karşılaştırmaları (A-B, A-C, B-C) yapmak istemektedir.

Karşılaştırma türü (sadece ikili mi yoksa karmaşık mı) Scheffé ile Tukey/LSD arasındaki seçimi belirler.

4

Uygun post-hoc testini seç

Eşit örneklem hacmi, yalnızca ikili karşılaştırma ihtiyacı ve Tip I hata oranının korunması gereklilikleri Tukey HSD testini işaret eder.

Scheffé testi basit ikili karşılaştırmalar için gereğinden fazla tutucudur, Fisher LSD ise Tip I hatayı şişirir. Tukey HSD en dengeli ve doğru seçenektir.

Anahtar Kavram

ANOVA sonrası uygun çoklu karşılaştırma (post-hoc) testinin seçimi ve Tip I hata kontrolü

Soru 74Soru →

Bir il sağlık müdürlüğü, vatandaşları aşı kampanyası hakkında bilgilendirmek amacıyla hazırlanan $5$ farklı kamu spotu formatının (muamele) bilgi hattına gelen günlük çağrı sayısına etkisini incelemek istemektedir. Çağrı sayılarındaki değişkenliği etkileyebilecek "Haftanın Günleri" ( $5$ iş günü) ve "Günün Saat Dilimleri" ( $5$ farklı zaman dilimi) olarak belirlenen iki dışsal faktörü eşanlı kontrol altına almak amacıyla bir Latin Karesi deney tasarımı planlanmıştır.

Kurulan doğrusal model şu şekildedir:

Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}

Burada

\rho_i

gün etkisini,

\gamma_j

saat dilimi etkisini,

\tau_k

kamu spotu etkisini ve

\varepsilon_{ijk}

rastgele hata terimini göstermektedir.

Araştırma sonucunda elde edilen verilere göre Genel Kareler Toplamı $150$ , Günler faktörüne ait Kareler Toplamı $40$ , Saat Dilimleri faktörüne ait Kareler Toplamı $30$ ve Kamu Spotu formatlarına ait Kareler Toplamı $50$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, hata serbestlik derecesi ve kamu spotu formatlarının etkisini test etmek için hesaplanan $F$ test istatistiği değeri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

12

ve

5.00

16

ve

6.67

20

ve

8.33

12

ve

2.50

4

ve

12.50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12$ ve $5.00$

Cevap

Hata serbestlik derecesi 12 ve F test istatistiği 5.00 olarak hesaplanır.

Latin Karesi tasarımında

k=5

(5 gün, 5 saat dilimi, 5 format) düzey vardır. Hata serbestlik derecesi formülü

(k-1)(k-2)

olduğundan

(5-1)(5-2) = 12

olarak bulunur. Muamele serbestlik derecesi ise

k-1 = 4

'tür. Hata Kareler Toplamı, Genel Kareler Toplamından (150) diğer bilinen kareler toplamlarının (40, 30 ve 50) çıkarılmasıyla

30

bulunur. Muamele Kareler Ortalaması (MKO)

50 / 4 = 12.5

ve Hata Kareler Ortalaması (HKO)

30 / 12 = 2.5

'tir. Muamelelerin etkisini test eden F istatistiği ise

MKO / HKO = 12.5 / 2.5 = 5.00

şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Muamele (k), satır ve sütun sayısını belirle.

k = 5

olarak belirlenir.

Latin Karesi tasarımında satır, sütun ve muamele düzey sayıları birbirine eşittir (

n \times n

özelliği).

2

Serbestlik derecelerini (SD) hesapla.

Genel SD

= 5^2 - 1 = 24

. Muamele SD

= 5 - 1 = 4

. Hata SD

= (5 - 1)(5 - 2) = 12

.

Varyans analizi tablosunda doğru kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili serbestlik dereceleri formülleri uygulanmalıdır.

3

Hata Kareler Toplamını (HKT) bul.

HKT

= 150 - (40 + 30 + 50) = 30

.

Genel Kareler Toplamı, tüm faktörlerin ve hatanın kareler toplamlarının bileşimidir. Hata KT, diğer bileşenlerin Genel KT'den çıkarılmasıyla elde edilir.

4

Kareler Ortalamalarını hesapla.

MKO

= 50 / 4 = 12.5

ve HKO

= 30 / 12 = 2.5

.

F

istatistiğini bulmak için Muamele Kareler Toplamı kendi serbestlik derecesine, Hata Kareler Toplamı kendi serbestlik derecesine bölünür.

5

F

test istatistiğini hesapla.

F = 12.5 / 2.5 = 5.00

.

Muamelenin anlamlılığını test etmek için Muamele Kareler Ortalaması, Hata Kareler Ortalamasına oranlanır.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Tasarımında Varyans Analizi ve Serbestlik Dereceleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 75Soru →

Bir e-ticaret firması, web sitesindeki farklı tasarım arayüzlerinin (A faktörü: Klasik, Modern) ve müşterilere sunulan indirim oranlarının (B faktörü: %5, %10, %15) müşterilerin sitede geçirdikleri süre üzerindeki etkisini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (faktöriyel tasarım) uygulamıştır.

Her bir Tasarım $\times$ İndirim kombinasyonu için rassal olarak 5'er müşteri seçilmiş ve toplam 30 müşterinin verisi analiz edilerek aşağıdaki kısmi ANOVA tablosu oluşturulmuştur:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
Tasarım (A)	45
İndirim (B)	120
Tasarım $\times$ İndirim (AB)	80
Hata	480
Genel	29	725

Buna göre, Tasarım ve İndirim faktörlerinin ortak etkisini gösteren etkileşim (AB) için hesaplanan F test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1.33

2.00

2.25

3.00

4.00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2.00

Cevap

Etkileşim (AB) için hesaplanan F test istatistiği değeri 2.00'dır.

Varyans analizinde Tasarım faktörünün 2, İndirim faktörünün 3 seviyesi olduğu için etkileşimin serbestlik derecesi (2-1)×(3-1)=2'dir. Hata serbestlik derecesi, genel serbestlik derecesinden diğerlerinin çıkarılmasıyla (29-1-2-2) 24 olarak bulunur. Kareler toplamları ilgili serbestlik derecelerine bölündüğünde; etkileşimin kareler ortalaması 80/2 = 40, hatanın kareler ortalaması ise 480/24 = 20 olarak elde edilir. Etkileşim için F istatistiği bu iki değerin birbirine oranlanmasıyla 40/20 = 2.00 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım (A) ve İndirim (B) faktörlerinin serbestlik derecelerini hesapla.

sd(A) = 2 - 1 = 1

ve

sd(B) = 3 - 1 = 2

bulunur.

Her bir faktörün serbestlik derecesi, kendi kategori (seviye) sayısının bir eksiği alınarak hesaplanır.

2

Etkileşimin (AB) serbestlik derecesini hesapla.

sd(AB) = sd(A) \times sd(B) = 1 \times 2 = 2

bulunur.

İki yönlü etkileşimin serbestlik derecesi, ilgili temel faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımı ile elde edilir.

3

Hata serbestlik derecesini hesapla.

sd(Hata) = sd(Genel) - sd(A) - sd(B) - sd(AB) = 29 - 1 - 2 - 2 = 24

bulunur.

Genel serbestlik derecesinden, modele dahil edilen tüm varyans kaynaklarının serbestlik dereceleri çıkarılarak hata için kalan değer bulunur.

4

Etkileşim (AB) ve Hata terimleri için Kareler Ortalamasını (KO) hesapla.

KO(AB) = \frac{80}{2} = 40

ve

KO(Hata) = \frac{480}{24} = 20

olarak hesaplanır.

Varyans analizi tablosunda her kaynağın Kareler Ortalaması, kendi Kareler Toplamının kendi Serbestlik Derecesine bölünmesiyle bulunur.

5

Etkileşim (AB) için F istatistiğini hesapla.

F_{AB} = \frac{KO(AB)}{KO(Hata)} = \frac{40}{20} = 2.00

sonucuna ulaşılır.

Herhangi bir etkinin anlamlılığını test eden F istatistiği, o etkinin Kareler Ortalamasının, Hata Kareler Ortalamasına oranlanmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Deney Tasarımlarında İki Yönlü ANOVA Tablosunun Tamamlanması ve F İstatistiği Hesabı

Soru 76Soru →

Bir tekstil fabrikasında, $7$ farklı dokuma tezgahı ayarının (muamele) üretilen kumaşın gerginliği üzerindeki etkisi incelenmek istenmektedir. Kalite kontrol mühendisi, deney sırasında kumaş gerginliğini etkileyebilecek iki önemli dışsal faktör (kısıt) olduğunu belirlemiştir: vardiyada çalışan $7$ farklı operatör ve kullanılan $7$ farklı iplik partisi.

Mühendis, bu iki dışsal faktörün oluşturacağı değişkenliği eşzamanlı olarak kontrol altına almak ve hata varyansını küçültmek amacıyla $7 \times 7$ 'lik bir Latin Karesi deney tasarımı (Latin Square Design) kurgulamıştır.

Buna göre, bu deney tasarımı sonucunda elde edilecek varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata (artık) kareler toplamına ait serbestlik derecesi kaçtır?

6

30

36

42

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$

Cevap

Doğru cevap

30

'dur.

Latin Karesi deney tasarımında genel değişkenlik; muamele, satır ve sütun faktörleri ile hata (artık) olmak üzere dört temel bileşene ayrılır.

n \times n

boyutlarındaki bir Latin Karesi tasarımında toplam gözlem sayısı

n^2

'dir. Genel serbestlik derecesi

n^2 - 1

olarak hesaplanır. Muamele, satır ve sütun etkilerinin her biri için ayrı ayrı

(n-1)

serbestlik derecesi ayrılır. Geriye kalan hata serbestlik derecesi şu formülle elde edilir:

SD_{Hata} = (n^2 - 1) - (n - 1) - (n - 1) - (n - 1) = (n-1)(n-2)

Verilen senaryoda tasarım

7 \times 7

boyutunda (

n = 7

) olduğundan, hata serbestlik derecesi

(7-1)(7-2) = 6 \times 5 = 30

olarak bulunur.

ANOVA Tablosu Serbestlik Derecesi Dağılımı:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi	$n=7$ için Değer
Muamele (Tezgah)	$n - 1$	$6$
Satır (Operatör)	$n - 1$	$6$
Sütun (İplik)	$n - 1$	$6$
Hata (Artık)	$(n - 1)(n - 2)$	$30$
Genel Toplam	$n^2 - 1$	$48$

Adım Adım Çözüm

1

Tasarımın boyutunu (

n

) belirlemek.

Muamele, satır (operatör) ve sütun (iplik partisi) sayıları eşit ve

7

olduğundan

n = 7

'dir.

Varyans analizi tablosundaki serbestlik dereceleri tasarımın boyutuna (

n

) doğrudan bağlıdır.

2

Latin Karesi deney tasarımı için hata serbestlik derecesi formülünü hatırlamak.

Hata serbestlik derecesi formülü:

(n-1)(n-2)

'dir.

Genel serbestlik derecesinden (

n^2-1

); muamele, satır ve sütun serbestlik dereceleri (her biri için

n-1

) çıkarıldığında matematiksel olarak bu ifade elde edilir.

3

Formülde

n = 7

değerini yerine koyarak sonucu hesaplamak.

(7-1)(7-2) = 6 \times 5 = 30

bulunur.

Deneye ait hata kareler toplamının serbestlik derecesini elde etmek için hesaplamanın tamamlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Deney Tasarımında Serbestlik Derecesi Dağılımı

Soru 77Soru →

Bir kamu kurumu bünyesinde çalışan bir istatistikçi, üç farklı çalışma modelinin (uzaktan, hibrit, ofis) personel verimliliği üzerindeki etkilerini Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) ile karşılaştırmayı planlamaktadır. Analiz öncesinde yapılan Levene testi sonucunda anlamlılık değeri $p = 0,024$ olarak bulunmuştur.

Bu bulguya dayanarak, araştırmacının izlemesi gereken en uygun bilimsel yaklaşım aşağıdakilerden hangisidir?

Gruplar arası varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiği için Welch ANOVA veya Brown-Forsythe testi tercih edilmelidir.

Levene testi sonucu

p < 0,05

olduğu için varyansların homojen olduğu kabul edilmeli ve standart F testi ile analize devam edilmelidir.

Varyansların homojen olmaması durumunda ANOVA hiçbir şekilde yapılamayacağı için çalışma basit doğrusal regresyon modeline dönüştürülmelidir.

Bu durum normallik varsayımının da ihlal edildiğini kesin olarak kanıtladığı için doğrudan parametrik olmayan Kruskal-Wallis testi uygulanmalıdır.

Grup varyansları farklı çıktığı için modelde sabit etkiler yerine rastgele etkiler modeli kullanılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gruplar arası varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiği için Welch ANOVA veya Brown-Forsythe testi tercih edilmelidir.

Cevap

Varyansların homojenliği varsayımı ihlal edildiği için Welch ANOVA veya Brown-Forsythe testi tercih edilmelidir.

Varyans analizinde (ANOVA) gruplar arası varyansların homojenliği (

homoscedasticity

) temel bir varsayımdır. Levene testi sonucunda

p < 0,05

elde edilmesi, bu varsayımın çiğnendiğini gösterir. Bu durumda, standart

F

testi yerine varyans farklılıklarına karşı dayanıklı olan Welch testi veya Brown-Forsythe testi kullanılması istatistiksel olarak en doğru yaklaşımdır.

Adım Adım Çözüm

1

Levene testi sonucunu yorumla

p = 0,024 < 0,05

olduğu için

H_0

(varyanslar homojendir) hipotezi reddedilir.

Anlamlılık düzeyinin 0,05'ten küçük olması istatistiksel olarak anlamlı bir farklılığı, yani varyansların eşit olmadığını gösterir.

2

ANOVA varsayım ihlalinin etkisini değerlendir

Standart

F

testi (Fisher ANOVA), varyans homojenliği ihlal edildiğinde I. Tip hata oranını yükseltir ve güvenilir sonuç vermez.

ANOVA'nın temel varsayımlarından biri olan varyansların homojenliği sağlanmadığında kareler toplamı oranları sapma gösterir.

3

Alternatif yöntemi belirle

Welch testi veya Brown-Forsythe testi gibi 'robust' (dayanıklı) yöntemler kullanılmalıdır.

Bu testler, grup varyanslarının farklı olduğu durumlarda serbestlik derecesini düzelterek geçerli bir

p

değeri üretir.

Anahtar Kavram

ANOVA Varsayımları ve Homojenlik İhlali

İpuçları

1

Levene testinde H0 hipotezi 'varyanslar eşittir' şeklindedir. P değerinin 0,05'ten küçük olması bu hipotez hakkında ne söyler?

2

Eğer varyanslar eşit değilse, klasik F testinin serbestlik derecelerinde düzeltme yapan hangi 'Welch' temelli testler aklınıza geliyor?

Daha Fazla Pratik

Varyans homojenliği sağlandığında ancak normallik ihlal edildiğinde hangi testin (örn. Kruskal-Wallis) tercih edilmesi gerektiğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Varyansların homojenliğini sağlamak için veriye logaritmik veya karekök gibi 'veri dönüştürme' (transformation) işlemleri uygulanarak standart ANOVA'ya devam edilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 78Soru →

Bir eğitim ve araştırma hastanesinin acil servisinde, $3$ farklı triyaj protokolünün (A faktörü) ve $4$ farklı hemşire uzmanlık alanının (B faktörü) hastaların ortalama ilk müdahale süresi (dakika) üzerindeki etkisi incelenmektedir. Bu amaçla her bir protokol-uzmanlık alanı kombinasyonunda (hücresinde) rastgele seçilen $5$ hastanın verisi kaydedilmiştir.

Elde edilen veriler kullanılarak oluşturulan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) tablosunun bazı özet değerleri aşağıda verilmiştir:
- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ): $1200$
- A Faktörü Kareler Ortalaması ( $MSA$ ): $120$
- B Faktörü F-istatistiği ( $F_B$ ): $12,00$
- Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ): $10$

Buna göre, triyaj protokolü ile uzmanlık alanı etkileşimine (A $\times$ B) ait Kareler Toplamı ( $SS_{AB}$ ) ve F-istatistiği ( $F_{AB}$ ) değerleri aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

SS_{AB} = 120

ve

F_{AB} = 2,00

SS_{AB} = 120

ve

F_{AB} = 1,09

SS_{AB} = 540

ve

F_{AB} = 9,00

SS_{AB} = 10

ve

F_{AB} = 0,17

SS_{AB} = 950

ve

F_{AB} = 15,83

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SS_{AB} = 120$ ve $F_{AB} = 2,00$

Cevap

SS_{AB} = 120

ve

F_{AB} = 2,00

değerlerini içeren seçenektir.

Verilen çalışma yapısında a=3, b=4 ve hücre başına n=5'tir. Bu durum

df_A=2

,

df_B=3

,

df_{AB}=6

ve

df_E=48

değerlerini üretir. Parametrelerin karşılıklı ilişkilerinden yola çıkarak

SSA = 120 \times 2 = 240

;

MSB = 12 \times 10 = 120

ve

SSB = 120 \times 3 = 360

; hata için ise

SSE = 10 \times 48 = 480

olarak bulunur. Tüm bu kareler toplamları toplam değer olan 1200'den çıkarıldığında etkileşime 120 birimlik kareler toplamı kalır. Etkileşim kareler ortalaması (

MS_{AB}

)

120/6=20

olur. Son olarak

F_{AB} = 20 / 10 = 2,00

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Çalışma tasarımı üzerinden tüm serbestlik derecelerini (df) hesaplayın.

a=3

,

b=4

,

n=5

. Toplam gözlem

N = 3 \times 4 \times 5 = 60

.

df_A = 3 - 1 = 2

df_B = 4 - 1 = 3

df_{AB} = (3-1)(4-1) = 2 \times 3 = 6

df_E = a \times b \times (n-1) = 3 \times 4 \times 4 = 48

Kareler Toplamı (SS) ve Kareler Ortalaması (MS) geçişleri için serbestlik dereceleri zorunludur.

2

A Faktörüne ait Kareler Toplamını (

SSA

) bulun.

SSA = MSA \times df_A = 120 \times 2 = 240

Genel kareler toplamından (SST) etkileşimi ayrıştırmak için her bir ana etkinin SS değerine ihtiyaç vardır.

3

B Faktörüne ait Kareler Toplamını (

SSB

) bulun.

F_B = MSB / MSE \Rightarrow 12,00 = MSB / 10 \Rightarrow MSB = 120

.

SSB = MSB \times df_B = 120 \times 3 = 360

B faktörünün varyans analizi tablosundaki payını hesaplamak için MS ve SS değerlerine geri dönülmelidir.

4

Hataya ait Kareler Toplamını (

SSE

) hesaplayın.

SSE = MSE \times df_E = 10 \times 48 = 480

Modeldeki açıklanamayan varyans miktarını toplam varyanstan düşmek için gereklidir.

5

Etkileşim Kareler Toplamını (

SS_{AB}

) elde edin.

SS_{AB} = SST - (SSA + SSB + SSE) = 1200 - (240 + 360 + 480) = 1200 - 1080 = 120

Toplam varyansın diğer bileşenleri bilindiğinde, kalan varyans etkileşim bileşenini verir.

6

Etkileşim F-istatistiğini (

F_{AB}

) hesaplayın.

MS_{AB} = SS_{AB} / df_{AB} = 120 / 6 = 20

.

F_{AB} = MS_{AB} / MSE = 20 / 10 = 2,00

Etkileşim etkisinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için F değeri hesaplanmalıdır.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA Tablosunun Yapısı ve Serbestlik Dereceleri

Soru 79Soru →

Bir Orman Genel Müdürlüğü araştırma birimi, orman yangınlarına müdahale etkinliğini artırmak amacıyla $8$ farklı yangın söndürme kimyasalının performansını test etmektedir. Araştırmacılar, rüzgâr şiddetinin (satır) ve bitki örtüsü yoğunluğunun (sütun) yangın söndürme süresi üzerindeki bozucu etkilerini iki yönlü olarak kontrol altına almak için $8 \times 8$ boyutlarında bir Latin Karesi deney tasarımı kurgulamıştır.

Buna göre, bu deney tasarımına ait varyans analizi (ANOVA) tablosunda kimyasalların temel etkisini test etmek için kullanılacak hata (artık) serbestlik derecesi kaçtır?

7

42

49

56

63

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $42$

Cevap

Doğru yanıt

42

'dir.

Bir Latin Karesi deney tasarımında satır, sütun ve muamele düzey sayıları birbirine eşittir (

r = c = t = n

). Bu tasarıma ait genel modelin serbestlik derecesi toplamı

n^2-1

'dir. Sistemdeki üç ana faktörün (satır, sütun, muamele) her biri

(n-1)

kadar serbestlik derecesi tüketir. Geriye kalan hata (artık) serbestlik derecesi ise matematiksel olarak

(n-1)(n-2)

formülü ile hesaplanır. Soru metninde sistem

8 \times 8

olarak belirtildiğinden (

n=8

), hata serbestlik derecesi

(8-1) \times (8-2) = 7 \times 6 = 42

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımının düzey sayısını (

n

) belirleme.

Muamele, satır ve sütun sayılarının eşit olduğu

8 \times 8

boyutunda bir Latin Karesi olduğundan

n = 8

'dir.

Varyans analizi tablosundaki tüm serbestlik dereceleri temel

n

değerine bağlı olarak hesaplanır.

2

Latin Karesi deney tasarımı için hata serbestlik derecesi formülünü belirleme.

Hata serbestlik derecesi formülü:

(n-1)(n-2)

Latin Karesi tasarımında iki yönlü bloklama yapıldığı için, toplam serbestlik derecesinden (

n^2-1

) muamele, satır ve sütun serbestlik dereceleri (her biri

n-1

) çıkarıldığında geriye

(n-1)(n-2)

kalır.

3

Verilen

n=8

değerini formülde yerine koyma ve hesaplama.

(8-1) \times (8-2) = 7 \times 6 = 42

Varyans analizi tablosunda

F

test istatistiğinin paydasını oluşturan hata kareler ortalamasını bulmak için bu serbestlik derecesine bölünmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Deney Tasarımında Serbestlik Derecesi Hesaplamaları

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 80Soru →

Bir veri bilimi ekibi, $4$ farklı makine öğrenmesi modelinin tahmin süreleri (milisaniye) arasındaki farkı incelemek için her bir model üzerinde $11$ bağımsız test çalıştırmış ve toplam $44$ gözlem elde etmiştir.

Yapılan Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) sonucunda, Genel Kareler Toplamı $500$ ve Hata (Gruplariçi) Kareler Toplamı $320$ olarak hesaplanmıştır.

Analiz öncesinde yapılan varsayım kontrollerinde, veri setinde kalıntıların normal dağılıma uygun olduğu ancak grup varyanslarının homojen olmadığı ( $p < 0,05$ ) tespit edilmiştir.

Bu araştırmanın analiz süreci ve elde edilen sonuçları hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? ( $F_{\text{tablo}(0,05; 3; 40)} = 2,84$ )

Hesaplanan test istatistiği

F = 7,50

'dir; ancak varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, bu değere dayanarak temel hipotezi (

H_0

) reddetmek istatistiksel açıdan yanıltıcı olabilir.

Hesaplanan test istatistiği

F = 7,50

'dir;

F

değeri tablo değerinden büyük olduğu için varyans heterojenliği göz ardı edilerek modeller arası farkın anlamlı olduğu kesin olarak söylenebilir.

Hesaplanan test istatistiği

F = 5,63

'tür; test istatistiği tablo değerinden büyük olduğu için modellerin tahmin süreleri arasında anlamlı fark vardır.

Hesaplanan test istatistiği

F = 8,06

'dır; normallik varsayımı sağlandığı için analiz sonuçları varyans farklarından etkilenmez ve güvenilirdir.

Hesaplanan test istatistiği

F = 23,70

'tir; kareler toplamı değerlerinin analiziyle varyans heterojenliğinin olumsuz etkileri kendiliğinden ortadan kalkmış olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan test istatistiği $F = 7,50$ 'dir; ancak varyans homojenliği varsayımı ihlal edildiğinden, bu değere dayanarak temel hipotezi ( $H_0$ ) reddetmek istatistiksel açıdan yanıltıcı olabilir.

Cevap

Doğru hesaplanan

F

değeri

7,50

'dir ancak varyans homojenliği sağlanmadığından bu sonuca güvenilemeyeceğini belirten ifade doğrudur.

Varyans analizi işlemlerinde sırasıyla; Grup Serbestlik Derecesi (

k-1 = 3

), Hata Serbestlik Derecesi (

n-k = 40

), Gruplar Arası Kareler Toplamı (

500 - 320 = 180

) olarak bulunur. Kareler ortalamaları hesaplandığında

MSG = 180/3=60

ve

MSE = 320/40=8

elde edilir. Buradan test istatistiği

F = 60/8 = 7,50

olarak bulunur. Ancak soru metninde açıkça grup varyanslarının homojen olmadığı (

p < 0,05

) belirtilmiştir. ANOVA'nın en temel varsayımlarından olan varyans homojenliği sağlanmadığında, standart

F

testinin hata payı öngörülemez hale gelir ve tablo değeriyle yapılan karşılaştırma yanıltıcı sonuçlar verir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini hesapla.

Gruplar arası (Model) serbestlik derecesi:

df_G = k - 1 = 4 - 1 = 3

. Hata (Gruplariçi) serbestlik derecesi:

df_E = n - k = 44 - 4 = 40

.

Varyans analizi tablosunda kareler ortalamalarını bulmak için uygun serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Eksik bırakılan Gruplar Arası Kareler Toplamını (SSG) hesapla.

SSG = SST - SSE \implies SSG = 500 - 320 = 180

.

Genel Kareler Toplamı, gruplar arası ve gruplariçi kareler toplamlarının bütünüdür.

3

Kareler Ortalamalarını (MS) hesapla.

Gruplar Arası Kareler Ortalaması:

MSG = 180 / 3 = 60

. Hata Kareler Ortalaması:

MSE = 320 / 40 = 8

.

F

istatistiği, modelin açıkladığı varyansın açıklanamayan varyansa oranıdır.

4

Test istatistiği

F

'i hesapla.

F = MSG / MSE = 60 / 8 = 7,50

.

Hesaplanan F değeri ile kritik tablo değeri karşılaştırılarak H0 hakkında karar verilir.

5

Varsayım ihlalini yorumla.

F = 7,50 > 2,84

çıkmasına rağmen, grup varyanslarının homojen olmaması standart ANOVA'nın Tip 1 hata oranını şişirir. Test sonucu yanıltıcıdır.

Tek yönlü varyans analizinin temel varsayımlarından biri ihlal edildiğinde testin güvenirliği kaybolur ve Welch F gibi alternatif testlere ihtiyaç duyulur.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu Hesaplamaları ve Varsayım İhlallerinin Etkisi

Tahmini Süre:2m 30s

Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm