Zaman Serileri Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 7

Soru 121Soru →

Bir kamu kurumu için hazırlanan ekonomik raporda, yıllık reel yatırım harcamalarındaki değişimlerin bir otoregresif süreç izlediği tespit edilmiştir. İlgili zaman serisi için tahmin edilen $AR(2)$ model denklemi şu şekildedir:

Y_t = 0,5 Y_{t-1} + 0,3 Y_{t-2} + \epsilon_t

Burada $\epsilon_t$ beyaz gürültü sürecidir. Bu modelin durağanlığı ve karakteristik özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Model durağandır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Katsayılar toplamı

(\phi_1 + \phi_2)

1'den küçük olmasına rağmen,

\phi_2 - \phi_1 < 1

koşulu sağlanmadığı için model durağan değildir.

Model durağandır ve otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Model durağan değildir çünkü

\phi_2

katsayısının mutlak değeri 0,5'ten büyük olmalıdır.

Model durağandır ve hem ACF hem de PACF grafikleri 2. gecikmeden sonra kesilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağandır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Cevap

Model durağandır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Verilen modelin katsayıları incelendiğinde;

\phi_1 + \phi_2 = 0,8 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 = -0,2 < 1

ve

|\phi_2| = 0,3 < 1

şartlarının tamamı sağlanmaktadır, bu nedenle model durağandır. Ayrıca, bir

AR(p)

süreci için kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) tam olarak

p

. gecikmeden sonra sıfıra düşer (kesilir). Bu model

AR(2)

olduğu için PACF 2. gecikmeden sonra kesilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Model katsayılarını belirleyin.

\phi_1 = 0,5

ve

\phi_2 = 0,3

.

AR(2)

denklemindeki gecikmeli terimlerin katsayıları durağanlık analizi için gereklidir.

2

AR(2)

durağanlık koşullarını test edin.

1)

\phi_1 + \phi_2 = 0,8 < 1

2)

\phi_2 - \phi_1 = -0,2 < 1

3)

|\phi_2| = 0,3 < 1

Bir

AR(2)

sürecinin durağan olması için bu üç eşitsizliğin aynı anda sağlanması gerekir. Tüm şartlar sağlandığı için model durağandır.

3

AR(2)

modelinin teorik ACF ve PACF davranışını belirleyin.

ACF: Sönümlenir (Tails off), PACF: 2. gecikmede kesilir (Cuts off).

Otoregresif modellerin derecesi (

p

), PACF grafiğindeki kesilme noktası ile tanımlanır.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Şartları ve Tanımlama

İpuçları

1

AR(2)

durağanlık şartlarını (toplam, fark ve mutlak değer kontrolleri) hatırlayın.

2

AR(1)

için sadece

|\phi| < 1

yeterliyken,

AR(2)

için üç ayrı eşitsizliği kontrol etmeniz gerekir.

3

AR

modellerinde PACF grafiği modelin derecesini (

p

) gösteren bir 'kesilme' (cutoff) sergiler.

Daha Fazla Pratik

Katsayıların işaretleri ters olsaydı (örneğin

\phi_2 = -0,8

) durağanlık durumunun nasıl değişeceğini analiz edin.

Alternatif Yöntem

Karakteristik denklemin köklerini

(\lambda^2 - \phi_1\lambda - \phi_2 = 0)

bularak, köklerin mutlak değerce 1'den küçük (birim çember içinde) olup olmadığını kontrol ederek de durağanlığa karar verilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 122Soru →

Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK), bir il müdürlüğüne yapılan aylık emeklilik başvuru sayılarını öngörmek için bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Son beş aya ait gerçekleşen başvuru sayıları ( $Y_t$ ) ve modelin ürettiği öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	120	100
2	150	160
3	90	110
4	140	130
5	110	110

Buna göre, kullanılan öngörü modelinin Ortalama Kare Hata (MSE - Mean Squared Error) değeri kaçtır?

12

60

200

250

1000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Ortalama Kare Hata (MSE) değeri 200'dür.

Ortalama Kare Hata (MSE), tahmin edilen değerlerin gerçek değerlerden ne kadar saptığının karesel ortalamasını veren bir ölçüttür. Formülü

MSE = \frac{\sum (Y_t - F_t)^2}{n}

şeklindedir. Verilen tablodaki hatalar sırasıyla 20, -10, -20, 10 ve 0'dır. Bu hataların kareleri (400, 100, 400, 100, 0) toplandığında 1000 değeri elde edilir. Toplam 5 gözlem (

n=5

) olduğu için,

\frac{1000}{5} = 200

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her ay için gerçekleşen değer ile öngörü değeri arasındaki hatayı (

e_t = Y_t - F_t

) hesaplayın.

e_1 = 120 - 100 = 20

e_2 = 150 - 160 = -10

e_3 = 90 - 110 = -20

e_4 = 140 - 130 = 10

e_5 = 110 - 110 = 0

Öngörü performansını ölçmek için öncelikle her dönem yapılan tahminin hata miktarı bulunmalıdır.

2

Bulunan her bir hatanın karesini (

e_t^2

) alarak toplayın.

e_1^2 = 400

e_2^2 = 100

e_3^2 = 400

e_4^2 = 100

e_5^2 = 0

Toplam =

400 + 100 + 400 + 100 + 0 = 1000

MSE hesaplamasında pozitif ve negatif hataların birbirini götürmesini engellemek ve büyük hataları daha fazla cezalandırmak için hataların kareleri toplanır.

3

Hata kareleri toplamını toplam gözlem sayısına (

n

) bölün.

MSE = \frac{1000}{5} = 200

Kare hataların ortalamasını (MSE) bularak modelin genel hata metrik değerini elde ederiz.

Anahtar Kavram

Ortalama Kare Hata (MSE) Hesaplaması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 123Soru →

Bir tarım ekonomisti, belirli bir bölgedeki aylık pamuk fiyatı değişimlerini modellemektedir. Yapılan analizde, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinde ilk iki gecikmenin istatistiksel olarak anlamlı olduğu ve 3. gecikmeden itibaren aniden sıfıra düştüğü; Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinin ise dalgalı bir şekilde yavaşça sönümlendiği görülmüştür. Ekonomist, bu bulgular doğrultusunda uygun zaman serisi modelini kurmuş ve modelin hareketli ortalama parametrelerini $\theta_1 = 0.4$ ve $\theta_2 = 1.2$ olarak tahmin etmiştir.

Buna göre, kurulan zaman serisi modelinin yapısı ve istatistiksel geçerliliği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Model

MA(2)

sürecini tanımlamaktadır; bu model sonlu hareketli ortalama yapısı gereği her zaman durağandır, ancak

|\theta_2| < 1

koşulu sağlanmadığı için tersinirlik (invertibility) şartını ihlal etmektedir.

Model

AR(2)

sürecini tanımlamaktadır; çünkü ACF'nin 2. gecikmeden sonra aniden kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi otoregresif yapıya işaret eder ve seri durağandır.

Model

MA(2)

sürecini tanımlamaktadır; seri tersinirlik şartını sağlamaktadır, ancak

|\theta_2| < 1

parametre kısıtı aşıldığı için durağanlık koşulunu sağlamamaktadır.

Modelin

ARMA(2,2)

formunda olduğu anlaşılmaktadır; ilk iki gecikmedeki belirgin ACF anlamlılığı, seride güçlü bir trend bileşeninin bulunduğunu kanıtlar.

Model

AR(2)

sürecini tanımlamaktadır; ancak karakteristik denklemin kökleri birim çemberin içinde kalacağı için model durağan değildir ve serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model $MA(2)$ sürecini tanımlamaktadır; bu model sonlu hareketli ortalama yapısı gereği her zaman durağandır, ancak $|\theta_2| < 1$ koşulu sağlanmadığı için tersinirlik (invertibility) şartını ihlal etmektedir.

Cevap

Model MA(2) sürecini tanımlamaktadır; model doğası gereği her zaman durağandır ancak parametre değerleri tersinirlik şartını sağlamamaktadır.

Zaman serisi analizinde, ACF grafiğinin belirli bir q gecikmesinden sonra aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi) ve PACF'nin sönümlenmesi, modelin Hareketli Ortalama (MA) sürecine ait olduğunu gösterir. İlk iki gecikme anlamlı olduğu için model MA(2)'dir. Matematiksel olarak, sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin toplamından oluşan MA süreçleri her zaman durağandır ve durağanlıkları parametrelere bağlı değildir. Ancak bir MA sürecinin geçmiş gözlemler cinsinden sonsuz bir AR sürecine dönüştürülebilmesi (tersinirlik - invertibility) için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir. MA(2) modeli için temel tersinirlik kısıtlarından biri mutlak değerce

|\theta_2| < 1

olmasıdır. Tahmin edilen

\theta_2 = 1.2

değeri bu kısıtı aştığı için model durağan olmasına rağmen tersinir değildir.

Adım Adım Çözüm

1

ACF ve PACF grafiklerinin teorik davranışlarını değerlendirmek

ACF'nin 2. gecikmede kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi modelin 2. dereceden bir Hareketli Ortalama (MA(2)) modeli olduğunu gösterir.

Zaman serilerinde modelin türünü ve derecesini (p, q) belirlemek.

2

MA modelinin durağanlık koşulunu analiz etmek

Tüm sonlu MA süreçleri (MA(q)), hata terimlerinin sonlu doğrusal birleşimi olduğundan parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır.

Modelin durağan olup olmadığını teorik varsayımlar üzerinden test etmek.

3

MA(2) modelinin tersinirlik (invertibility) şartını kontrol etmek

Tersinirlik için karakteristik denklem kökleri birim çember dışında olmalıdır; bu da |θ₂| < 1 şartını gerektirir. θ₂ = 1.2 olduğundan bu koşul ihlal edilmiştir.

Tahmin edilen parametrelerin geçerliliğini ve modelin AR sürecine dönüştürülebilirliğini doğrulamak.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinin Belirlenmesi ve Tersinirlik Koşulu

Alternatif Yöntem

Tersinirlik kontrolü,

\theta(B) = 1 - 0.4B - 1.2B^2 = 0

karakteristik denkleminin kökleri hesaplanarak da yapılabilir. Köklerden en az birinin mutlak değerce 1'den küçük olması (birim çemberin içinde yer alması) tersinirliği doğrudan bozar.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 124Soru →

Ulusal çapta faaliyet gösteren bir perakende zinciri, stok yönetimini optimize etmek amacıyla son 8 yıla ait haftalık satış verilerini analiz etmektedir. Veri setinin incelenmesi sonucunda şu temel bulgular elde edilmiştir:

I. Yılbaşı ve bayram haftalarındaki satış artışlarının genliği, genel satış hacmi (trend) yükseldikçe orantılı olarak artmaktadır.
II. Her 52 haftada bir, benzer yönde ve büyüklükte (oransal olarak) satış dalgalanmaları tekrarlanmaktadır.
III. Ekonomik daralma ve genişleme evrelerine bağlı olarak, kesin bir periyodu olmayan ve genellikle 3 ila 5 yıl süren uzun vadeli dalgalanmalar gözlemlenmektedir.

Bu bulgular ışığında, söz konusu zaman serisinin bileşenleri ve ayrıştırma modeli seçimi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

3 ila 5 yıl süren uzun vadeli hareketler doğrudan trend bileşenini ifade ederken, genliğin zamanla artması analiz için toplanabilir modelin uygun olduğunu gösterir.

52 haftalık dalgalanmalar döngüsel hareket olarak sınıflandırılır ve serideki orantılı artışlar mevsimsel etkinin sabit olduğunu gösterdiğinden toplanabilir modele başvurulmalıdır.

52 haftalık tekrarlayan hareketler mevsimsellik, 3-5 yıllık değişken periyotlu hareketler döngüsel bileşen olup; dalgalanma genliğinin trende bağlı değişmesi çarpımsal modelin kullanılmasını gerektirir.

Hem 52 haftalık hem de 3-5 yıllık dalgalanmalar belirli periyotlarla gerçekleştiğinden mevsimsellik altında birleştirilir ve bu durum modelin her zaman çarpımsal olmasını zorunlu kılar.

Genliğin trendle orantılı artması seride değişen varyans sorunu olduğunu gösterir; bu durumu gidermek ve 52 haftalık hareketleri modellemek için SARIMA modellerinde mevsimsel fark alma işlemi olan

d

parametresinden yararlanılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52 haftalık tekrarlayan hareketler mevsimsellik, 3-5 yıllık değişken periyotlu hareketler döngüsel bileşen olup; dalgalanma genliğinin trende bağlı değişmesi çarpımsal modelin kullanılmasını gerektirir.

Cevap

Verilen senaryoda 52 haftalık tekrarlayan dalgalanmalar mevsimsellik, 3-5 yıllık kesin periyodu olmayan dalgalanmalar döngüsel bileşendir. Dalgalanma genliğinin trend ile orantılı artması ise modelin çarpımsal olmasını gerektirir.

Verilen senaryoda üç temel kavram sınanmaktadır: Birincisi, her 52 haftada (1 yıl) bir tekrar eden dalgalanmalar sabit periyotlu olduğundan mevsimsel harekettir. İkincisi, 3 ila 5 yıl arasında değişen ve kesin bir periyodu olmayan uzun vadeli hareketler döngüsel bileşendir. Üçüncüsü, dalgalanma genliğinin zaman içindeki genel artış eğilimiyle (trendle) birlikte orantılı olarak artması, varyansın sabit olmadığını gösterir. Bu durum toplanabilir ayrıştırma modeli (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) varsayımlarına aykırıdır; dolayısıyla bileşenlerin birbiriyle çarpıldığı çarpımsal model (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

) tercih edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Zaman serisindeki sabit ve değişken periyotlu dalgalanmaların türünü belirleme.

52 haftalık (1 yıllık) sabit periyotlu tekrarlar 'Mevsimsellik' (

S_t

), 3-5 yıllık kesin periyodu olmayan makroekonomik dalgalanmalar ise 'Döngüsel' (

C_t

) bileşendir.

Mevsimsel hareketler takvim yılı içinde bilinen periyotlarla tekrarlanırken, döngüsel hareketler iş çevrimlerine bağlıdır ve periyotları değişkendir.

2

Zaman serisi ayrıştırma modelinin (toplanabilir vs çarpımsal) uygunluğunu değerlendirme.

Dalgalanmaların genliğinin (şiddetinin) trend seviyesi yükseldikçe orantılı artması, bileşenlerin toplanabilir değil, çarpımsal bir ilişki içinde olduğunu gösterir.

Toplanabilir modelde mevsimsel etkinin büyüklüğü trendden bağımsız ve sabittir. Çarpımsal modelde ise dalga boyutu trend ile orantılı olarak büyür veya küçülür.

Anahtar Kavram

Zaman Serilerinin Bileşenleri ve Çarpımsal Model Varsayımı

Soru 125Soru →

Bir üretim tesisindeki haftalık enerji tüketimi verileri durağan hale getirildikten sonra incelenmiş ve seriye ait örneklem otokorelasyon katsayılarının (ACF) ilk ikisi $\rho_1 = 0,5$ ve $\rho_2 = 0,4$ olarak hesaplanmıştır.

Bunun yanı sıra, serinin kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak anlamsızlaştığı (güven sınırları içine girdiği ve kesildiği) belirlenmiştir.

Buna göre, bu zaman serisini modellemek için en uygun sürecin türü ve bu modele ait en yüksek dereceli parametrenin (AR(p) modeli için $\phi_p$ , MA(q) modeli için $\theta_q$ ) tahmini değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

MA(2) modeli; 0,2

AR(2) modeli; 0,4

AR(2) modeli; 0,2

MA(2) modeli; 0,4

AR(1) modeli; 0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AR(2) modeli; 0,2

Cevap

Seri AR(2) süreci ile modellenmelidir ve en yüksek dereceli parametresi olan

\phi_2

'nin tahmini değeri 0,2'dir.

Verilen seride kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfırlandığı için bu seri açıkça bir AR(2) sürecidir. İkinci dereceden otoregresif modelin en yüksek dereceli parametresi (

\phi_2

), Yule-Walker denklemlerinden türetilen ve ikinci kısmi otokorelasyon katsayısına eşit olan

\phi_2 = (\rho_2 - \rho_1^2) / (1 - \rho_1^2)

formülü ile bulunur. Değerler formülde yerine konduğunda

(0,4 - 0,25) / (1 - 0,25) = 0,15 / 0,75 = 0,2

elde edilir. Bu nedenle süreç AR(2)'dir ve beklenen parametre değeri 0,2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin PACF grafiğinin nerede kesildiğini belirleyerek model türünü tespit etme.

PACF 2. gecikmeden sonra sıfırlandığı için süreç ikinci dereceden otoregresif, yani AR(2)'dir.

Zaman serilerinde AR(p) modellerinin karakteristik özelliği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) p. gecikmeden sonra kesilmesidir.

2

AR(2) modeli için ikinci parametreyi (

\phi_2

) bulmak amacıyla Yule-Walker denklemlerini kurma.

Yule-Walker denklemleri:

\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1

ve

\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2

şeklindedir.

Otokorelasyon katsayıları (

\rho

) ile otoregresif parametreler (

\phi

) arasındaki ilişki Yule-Walker denklemleriyle formüle edilir.

3

Yule-Walker denklemlerini çözerek

\phi_2

değerini elde etme.

İlk denklemden

\phi_1 = \rho_1 (1 - \phi_2)

çekilip ikinci denklemde yerine yazıldığında,

\phi_2 = (\rho_2 - \rho_1^2) / (1 - \rho_1^2)

formülü elde edilir.

Amacımız en yüksek dereceli parametre olan

\phi_2

'yi mevcut

\rho_1

ve

\rho_2

değerleri cinsinden doğrudan hesaplamaktır.

4

Verilen değerleri (

\rho_1 = 0,5

ve

\rho_2 = 0,4

) formülde yerine koyarak sonucu hesaplama.

\phi_2 = (0,4 - 0,5^2) / (1 - 0,5^2) = (0,4 - 0,25) / (1 - 0,25) = 0,15 / 0,75 = 0,2

olarak bulunur.

Parametrenin sayısal tahmini için denklemlerde cebirsel işlemlerin tamamlanması gerekir.

Anahtar Kavram

AR(p) modellerinde model derecesinin PACF ile belirlenmesi ve Yule-Walker denklemleri kullanılarak parametre tahmini yapılması

Soru 126Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan istatistik uzmanı, kurumun vergi gelirlerine ait zaman serisini analiz etmek için Box-Jenkins yöntemini kullanmaktadır. Uzmanın, serinin durağanlığını sağlamak amacıyla fark alma ( $d$ ) işlemini gerçekleştirdiği ve otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ile kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafiklerini yorumlayarak olası model derecelerini belirlediği aşama aşağıdakilerden hangisidir?

Kimliklendirme (Tanımlama)

Parametre Tahmini

Tanısal Denetim (Uygunluk Kontrolü)

Öngörü (Tahminleme)

Model Karşılaştırma

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kimliklendirme (Tanımlama)

Cevap

Kimliklendirme (Tanımlama) aşaması, serinin durağanlaştırıldığı ve grafikler yardımıyla uygun ARIMA model yapısının seçildiği ilk adımdır.

Kimliklendirme (Tanımlama) aşaması, zaman serisi analizinde serinin durağanlığının sağlanması (

d

derecesi) ve ACF/PACF grafiklerine bakılarak modelin gecikme yapısının (

p

ve

q

) belirlendiği başlangıç aşamasıdır. Bu nedenle soru kökündeki işlemler tam olarak bu aşamayı tanımlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Box-Jenkins yönteminin aşamalarını belirleme

Yöntem; Kimliklendirme, Tahmin, Tanısal Denetim ve Öngörü olmak üzere 4 ana aşamadan oluşur.

Sürecin hangi adımında hangi işlemin yapıldığını anlamak için temel metodolojiyi bilmek gerekir.

2

Soru kökündeki işlemleri (fark alma, ACF/PACF yorumlama) analiz etme

Durağanlık kontrolü (fark alma) ve grafiksel model derecesi belirleme işlemleri 'Kimliklendirme' (Identification) aşamasına aittir.

Modelin yapısı (dereceleri) belirlenmeden katsayı tahmini veya öngörü yapılamaz.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins metodolojisinin ilk aşaması olan Kimliklendirme (Identification), serinin durağanlığının sağlanmasını ve ACF/PACF grafikleriyle p ve q derecelerinin belirlenmesini kapsar.

Daha Fazla Pratik

Box-Jenkins yönteminin ikinci aşaması olan 'Tahmin' sürecinde hangi yöntemlerin (EKK, En Çok Olabilirlik vb.) kullanıldığını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 127Soru →

Bir ulaşım planlama uzmanı, uluslararası bir limanın 2000-2025 yılları arasındaki aylık yolcu trafiği verilerini incelemektedir. Verilerin görsel ve istatistiksel analizinde şu temel bulgular elde edilmiştir:

- İncelenen dönem boyunca limanı ziyaret eden yolcu sayısında genel bir artış eğilimi mevcuttur.
- Her yıl yaz aylarında gözlenen yoğunluk ile kış aylarındaki düşüş arasındaki fark (dalgalanma genliği), genel yolcu hacmi arttıkça orantılı bir şekilde genişlemektedir.
- Seride ayrıca, küresel turizm krizleri ve toparlanma süreçlerine bağlı olarak ortaya çıkan, başlangıcı ve bitişi kesin olarak bilinemeyen, yaklaşık 4 ila 7 yıl süren iniş-çıkış evreleri bulunmaktadır.

Bu zaman serisinin özellikleri dikkate alındığında, model seçimi ve serinin bileşenleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Yaz ve kış ayları arasındaki dalgalanmaların genliğinin genel hacimle birlikte artması çarpımsal modelin kullanımını gerektirirken; 4-7 yıl süren değişken periyotlu iniş-çıkış evreleri döngüsel bileşeni ifade eder.

Dalgalanmaların yolcu hacmiyle orantılı büyümesi serinin toplanabilir (additive) yapıda olduğunu gösterir; 4-7 yıllık öngörülemeyen evreler ise istatistiksel olarak düzensiz bileşen kapsamında değerlendirilir.

Her yıl düzenli olarak tekrarlayan yoğunluk değişimleri döngüsel bileşeni oluştururken; 4-7 yıllık periyotlara sahip iniş-çıkış evreleri serinin mevsimsel hareketleri olarak tanımlanır.

Yolcu hacmine bağlı olarak büyüyen dalgalanmalar varyansın sabit kaldığını kanıtlar; bu sebeple analizde çarpımsal model yerine durağan toplanabilir model tercih edilmelidir.

4-7 yıl süren iniş-çıkış evreleri serinin deterministik trendini meydana getirir; yaz ve kış ayları arasındaki farkların giderek açılması ise serinin tam durağan bir yapı sergilediğini gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yaz ve kış ayları arasındaki dalgalanmaların genliğinin genel hacimle birlikte artması çarpımsal modelin kullanımını gerektirirken; 4-7 yıl süren değişken periyotlu iniş-çıkış evreleri döngüsel bileşeni ifade eder.

Cevap

Zamanla artan mevsimsel genlikler serinin çarpımsal (multiplicative) model ile ayrıştırılması gerektiğini, 4-7 yıl süren değişken periyotlu iniş-çıkışlar ise döngüsel (konjonktürel) bileşeni temsil eder.

Zaman serilerinde mevsimsel dalgalanmaların genliğinin (şiddetinin) serinin genel seviyesi (trend) ile birlikte orantılı olarak artması veya azalması durumunda çarpımsal (multiplicative) ayrıştırma modeli kullanılır. Eğer dalgalanmaların genliği zaman içinde genel seviyeden bağımsız olarak sabit kalsaydı toplanabilir (additive) model uygun olurdu. Ayrıca, seride 1 yılı aşan ve genellikle ekonomik, politik veya küresel nedenlerle ortaya çıkan, periyodu tam olarak öngörülemeyen genişleme ve daralma evrelerine döngüsel (konjonktürel) bileşen adı verilir. Verilen senaryodaki her iki durum da bu tanımlarla birebir eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Serideki dalgalanma genliğinin (şiddetinin) zaman içindeki değişimini incelemek.

Genel yolcu hacmi arttıkça, yaz ve kış ayları arasındaki mevsimsel dalgalanmaların orantılı olarak arttığı tespit edilmiştir.

Zaman serisi ayrıştırmasında toplanabilir (additive) ve çarpımsal (multiplicative) modeller arasındaki seçim, mevsimsel dalgalanmaların genliğinin trend ile birlikte değişip değişmediğine dayanır.

2

1 yıldan uzun süren ve kesin olarak öngörülemeyen dalgalanma evrelerinin hangi bileşene ait olduğunu belirlemek.

Başlangıcı ve bitişi kesin olarak bilinmeyen, 4-7 yıl süren iniş-çıkışların döngüsel (konjonktürel) bileşen olduğu belirlenmiştir.

Mevsimsel hareketler 1 yıl içindeki sabit periyotlu tekrarlardır. Döngüsel hareketler ise 1 yıldan uzun süren, ekonomik veya küresel nedenlerle oluşan ve periyodu sabit olmayan makro dalgalanmalardır.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde bileşenlerin özellikleri ve ayrıştırma modelleri (Toplanabilir ve Çarpımsal)

Soru 128Soru →

Bir tarım birliği, buğday verimindeki yıllık dalgalanmaları ( $Y_t$ ) analiz etmek amacıyla aşağıdaki ARMA(1,1) modelini kurmuştur:

Y_t = 0,7 Y_{t-1} + \epsilon_t - 0,4 \epsilon_{t-1}

Buna göre, bu modelin durağan (stationary) bir süreç olması için sağlanması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

|0,7| < 1

|-0,4| < 1

|0,7| + |-0,4| < 1

0,7 \times (-0,4) < 1

Modelin durağanlığı için katsayılar üzerinde herhangi bir kısıt bulunmamaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $|0,7| < 1$

Cevap

Modelin durağan olması için sadece otoregresif katsayının mutlak değerce 1'den küçük olması (

|0,7| < 1

) gerekmektedir.

ARMA(p,q) modellerinin durağanlığı (stationarity), serinin istatistiksel özelliklerinin zaman içinde değişmemesi anlamına gelir ve bu durum sadece modelin otoregresif (AR) kısmındaki katsayılar tarafından belirlenir. Verilen

Y_t = 0,7 Y_{t-1} + \epsilon_t - 0,4 \epsilon_{t-1}

modelinde, AR(1) katsayısı

\phi_1 = 0,7

olduğu için durağanlık koşulu

|0,7| < 1

ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Modeldeki katsayıları ve rollerini belirleyin.

\phi_1 = 0,7

(AR katsayısı) ve

\theta_1 = -0,4

(MA katsayısı).

Hangi katsayının hangi özelliği (durağanlık veya tersine çevrilebilirlik) kontrol ettiğini ayırt etmek için.

2

Durağanlık (stationarity) kuralını ARMA modelleri için hatırlayın.

Bir ARMA(p,q) modelinin durağanlığı tamamen AR kısmının parametrelerine bağlıdır ve MA kısmından bağımsızdır.

Yanlış katsayıya (MA) kısıt uygulama hatasından kaçınmak için.

3

Birinci dereceden otoregresif yapı için durağanlık koşulunu uygulayın.

|\phi_1| < 1

olması gerektiğinden, doğru koşul

|0,7| < 1

şeklindedir.

Verilen model için spesifik matematiksel gerekliliği saptamak için.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık Koşulu

Tahmini Süre:45s

Soru 129Soru →

Afet ve Acil Durum Yönetimi Başkanlığı (AFAD), bir afet bölgesindeki aylık çadır ihtiyacını (bin adet) öngörmek için bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Son dört aya ait gerçekleşen çadır talepleri ve modelin ürettiği öngörü değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay	Gerçekleşen Talep ( $Y_t$ )	Öngörülen Talep ( $F_t$ )
1	12	10
2	15	16
3	14	15
4	18	15

Buna göre, kullanılan öngörü modelinin Ortalama Hata Kareleri (MSE) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,75

1,75

2,25

3,75

5,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,75

Cevap

Modelin Ortalama Hata Kareleri (MSE) değeri 3,75'tir.

Ortalama Hata Kareleri (MSE), zaman serisinde her bir dönem için gerçekleşen değer (

Y_t

) ile öngörülen değer (

F_t

) arasındaki farkların (hataların) karelerinin ortalamasıdır. Hatalar sırasıyla 2, -1, -1 ve 3 olarak bulunur. Bu değerlerin kareleri (4, 1, 1, 9) toplandığında 15 elde edilir. 4 aylık veriye sahip olduğumuz için gözlem sayısı (n) 4'tür. 15'in 4'e bölünmesiyle MSE değeri 3,75 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir ay için gerçekleşen değer ile öngörülen değer arasındaki hata payını (

e_t = Y_t - F_t

) hesapla.

e_1 = 12 - 10 = 2

e_2 = 15 - 16 = -1

e_3 = 14 - 15 = -1

e_4 = 18 - 15 = 3

Zaman serilerinde öngörü performansını belirleyebilmek için öncelikle her dönemdeki sapma (hata) miktarının bulunması gerekir.

2

Bulunan her bir hata payının karesini (

e_t^2

) al ve topla.

2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 3^2 = 4 + 1 + 1 + 9 = 15

MSE formülünde, negatif hataların pozitif hataları sıfırlamasını engellemek ve büyük hataları oransal olarak daha fazla cezalandırmak için hataların kareleri alınarak toplanır.

3

Hata kareleri toplamını toplam gözlem sayısına (

n=4

) böl.

MSE = \frac{15}{4} = 3,75

Ortalama Hata Kareleri (MSE), hata karelerinin aritmetik ortalamasını ifade ettiği için toplam değer n'e bölünür.

Anahtar Kavram

Ortalama Hata Kareleri (Mean Squared Error - MSE)

Soru 130Soru →

Orman Genel Müdürlüğü (OGM), belirli bir bölgedeki yıllık çam fidanı üretim miktarını (bin adet) planlamak amacıyla bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Son dört yıla ait gerçekleşen fidan üretim miktarları ( $Y_t$ ) ve modele ait öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yıl ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	50	45
2	40	48
3	20	25
4	100	95

Buna göre, kullanılan öngörü modelinin Ortalama Mutlak Yüzde Hatası (MAPE) yüzde kaçtır?

5,75

7,50

15,00

34,75

60,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15,00

Cevap

Doğru cevap 15,00'tir.

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE) formülü

MAPE = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} \left| \frac{Y_t - F_t}{Y_t} \right| \times 100

şeklindedir. Adım adım uygulandığında:
- 1. Yıl:

|(50 - 45) / 50| \times 100 = 10

- 2. Yıl:

|(40 - 48) / 40| \times 100 = 20

- 3. Yıl:

|(20 - 25) / 20| \times 100 = 25

- 4. Yıl:

|(100 - 95) / 100| \times 100 = 5

Toplam yüzde hata =

10 + 20 + 25 + 5 = 60

. Dönem sayısı olan 4'e bölündüğünde

60 / 4 = 15

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir dönem için mutlak hatayı

|Y_t - F_t|

hesaplayın.

1. Yıl:

|50 - 45| = 5

2. Yıl:

|40 - 48| = 8

3. Yıl:

|20 - 25| = 5

4. Yıl:

|100 - 95| = 5

Öngörü değerlerinin gerçek değerlerden ne kadar saptığını yön bağımsız olarak bulmak için.

2

Her dönemin mutlak hatasını o dönemin gerçek değerine bölerek mutlak yüzde hatayı (

\left| \frac{Y_t - F_t}{Y_t} \right| \times 100

) bulun.

1. Yıl:

(5 / 50) \times 100 = \%10

2. Yıl:

(8 / 40) \times 100 = \%20

3. Yıl:

(5 / 20) \times 100 = \%25

4. Yıl:

(5 / 100) \times 100 = \%5

Hatanın gerçek değere oranla büyüklüğünü standart bir yüzde formunda ifade etmek için.

3

Bulunan mutlak yüzde hataları toplayıp gözlem sayısına (

n=4

) bölerek ortalamayı (MAPE) hesaplayın.

MAPE = \frac{10 + 20 + 25 + 5}{4} = \frac{60}{4} = 15

Serinin bütününe ait ortalama mutlak yüzde hatayı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE)

Soru 131Soru →

Bir büyükşehir belediyesinde ulaşım planlama uzmanı olarak çalışan bir araştırmacı, şehir içi metro hattının günlük yolcu talebini öngörmek amacıyla Box-Jenkins yöntemini kullanmaktadır. Araştırmacı analiz sürecinde şu bulgulara ulaşmıştır:

- Orijinal serinin durağan olmadığı tespit edilmiş ve serinin birinci mertebeden farkı alınarak durağanlık sağlanmıştır.
- Durağanlaştırılmış seri üzerinden hesaplanan Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinde, değerlerin ikinci gecikmeden sonra istatistiksel sınırların içine düşerek anlamsızlaştığı (kesildiği) görülmüştür.
- Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinde ise katsayıların zamanla üstel olarak sönümlendiği gözlemlenmiştir.

Buna göre, araştırmacının Box-Jenkins kimliklendirme (tanımlama) aşamasında belirlediği en uygun ön model aşağıdakilerden hangisidir?

ARIMA(0, 1, 2)

ARIMA(2, 1, 0)

ARIMA(0, 0, 2)

ARIMA(2, 0, 0)

ARIMA(2, 1, 2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $ARIMA(0, 1, 2)$

Cevap

Verilen özelliklere göre en uygun model

ARIMA(0, 1, 2)

modelidir.

Box-Jenkins yönteminin kimliklendirme aşamasında

ARIMA(p, d, q)

modelinin dereceleri belirlenir. Serinin durağanlaştırılması için birinci mertebeden fark alınması

d=1

olduğunu ifade eder. Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra kesildiği ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) sönümlendiği için süreç bir Hareketli Ortalama sürecidir ve derecesi 2'dir (

q=2

). Seride otoregresif bir davranış olmadığı için

p=0

'dır. Tüm bunlar bir araya getirildiğinde uygun modelin

ARIMA(0, 1, 2)

olduğu görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Durağanlık için yapılan işlemin modelin 'd' (fark alma) derecesine yansıtılması.

d = 1

Orijinal serinin durağan olmadığı ve durağanlığı sağlamak için serinin birinci mertebeden farkının alındığı belirtilmiştir.

2

ACF ve PACF grafiklerinin davranışına bakılarak sürecin otoregresif (AR) mi yoksa hareketli ortalama (MA) mı olduğunun belirlenmesi.

Süreç bir Hareketli Ortalama (MA) sürecidir.

Teorik olarak, ACF'nin belirli bir gecikmeden sonra kesilmesi (sıfır olması) ve PACF'nin üstel olarak sönümlenmesi sadece saf MA süreçlerine özgü bir durumdur.

3

Modelin 'p' (AR derecesi) ve 'q' (MA derecesi) parametrelerinin belirlenmesi.

p = 0

ve

q = 2

ACF grafiği ikinci gecikmeden sonra kesildiği için hareketli ortalama derecesi

q=2

olur. Modelde AR terimi olmadığı için

p=0

olarak alınır.

4

Bulunan parametrelerin

ARIMA(p, d, q)

genel gösteriminde yerine konulması.

ARIMA(0, 1, 2)

Parametreler sırasıyla

p=0

,

d=1

ve

q=2

olarak modele yerleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins yönteminde ACF ve PACF grafikleri yardımıyla model kimliklendirmesi

Soru 132Soru →

Karayolları Genel Müdürlüğü (KGM), belirli bir otoyol gişesinden geçen aylık araç sayısını (bin adet) öngörmek için bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Son dört aya ait gerçekleşen ve model tarafından öngörülen araç sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	10	12
2	15	14
3	12	15
4	18	16

Buna göre, kullanılan öngörü modelinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2.0

4.5

6.0

8.0

18.0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4.5$

Cevap

Öngörü modelinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri

4.5

'tir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülü

\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} (Y_t - F_t)^2

şeklindedir. Hatalar (

e_t = Y_t - F_t

) sırasıyla

10-12=-2

,

15-14=1

,

12-15=-3

ve

18-16=2

olarak bulunur. Bu hataların kareleri alınarak toplandığında

4 + 1 + 9 + 4 = 18

elde edilir. Gözlem sayısı

n=4

olduğuna göre,

\text{MSE} = \frac{18}{4} = 4.5

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir ay için hata (

e_t = Y_t - F_t

) değerlerini hesaplayın.

e_1 = -2

,

e_2 = 1

,

e_3 = -3

,

e_4 = 2

Öngörü hatasını bulmak için gerçekleşen değerden öngörü değeri çıkarılır.

2

Hesaplanan hata değerlerinin karelerini (

e_t^2

) bulun.

e_1^2 = 4

,

e_2^2 = 1

,

e_3^2 = 9

,

e_4^2 = 4

MSE formülünde pozitif ve negatif hataların birbirini götürmemesi ve büyük hataların cezalandırılması için hataların karesi alınır.

3

Hata karelerinin toplamını (

\sum e_t^2

) hesaplayın.

Hata kareleri toplamı

= 4 + 1 + 9 + 4 = 18

Formülün pay kısmındaki toplam değeri bulmak için elde edilen tüm kareler toplanır.

4

Hata kareleri toplamını toplam gözlem sayısına (

n=4

) bölerek MSE değerini bulun.

\text{MSE} = \frac{18}{4} = 4.5

Hata Kareler Ortalaması (MSE), toplam kare hatanın gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Soru 133Soru →

Zaman serileri analizinde kullanılan $q$ . dereceden bir hareketli ortalama $MA(q)$ süreci ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

Süreç, katsayı parametrelerinin değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır.

Süreç, katsayı parametrelerinin değerlerinden bağımsız olarak her zaman tersinirdir.

Sürecin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF),

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilir.

Sürecin otokorelasyon fonksiyonu (ACF), üstel olarak azalarak sönümlenir.

Sürecin durağan olması için karakteristik denklemin köklerinin birim çember dışında kalması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç, katsayı parametrelerinin değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır.

Cevap

Hareketli ortalama (MA) süreçleri, katsayı parametrelerinin değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır.

Hareketli ortalama (

MA

) modelleri, tanım gereği beyaz gürültü serilerinin sonlu bir toplamıdır. Bu yapı, sürecin ortalamasının ve varyansının zamana göre değişmemesini garanti eder. Dolayısıyla, parametre değerleri ne olursa olsun bir

MA(q)

süreci her zaman zayıf durağanlık koşullarını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

MA(q) sürecinin matematiksel yapısını incele.

Y_t = \mu + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-q}

Sürecin bileşenlerini görmek, istatistiksel özelliklerini belirlemek için ilk adımdır.

2

Durağanlık tanımını (ortalama ve varyans) uygula.

E[Y_t] = \mu

ve

Var(Y_t) = \sigma^2(1 + \theta_1^2 + \dots + \theta_q^2)

Ortalama ve varyansın zamandan bağımsız ve sabit olması durağanlık için yeterlidir.

3

Sonucu yorumla.

MA süreçleri her zaman durağandır.

Varyans formülü katsayıların karesini içerdiği için her zaman sonlu ve sabittir.

Anahtar Kavram

MA süreçlerinde durağanlık (her zaman sağlanır) ve tersinirlik (koşulludur) ayrımı.

Soru 134Soru →

Bir kamu kurumu, aylık sosyal yardım başvurularındaki rastgele dalgalanmaları incelemek için $Y_t = e_t - 0,4 e_{t-1}$ (burada $e_t \sim WN(0, \sigma^2)$ ) şeklinde bir birinci dereceden hareketli ortalama ( $MA(1)$ ) modeli belirlemiştir. Bu modelin temel istatistiksel özellikleri dikkate alındığında, durağanlık ve tersinirlik (invertibility) durumları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Model her zaman durağandır ve katsayının mutlak değeri 1'den küçük olduğu için tersinirdir.

Model durağan değildir ancak tersinirdir.

Modelin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) birinci gecikmeden sonra kesilmez, sonsuza kadar sönümlenerek azalır.

Modelin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) birinci gecikmeden sonra kesilir.

Modelin durağan olabilmesi için katsayısının mutlak değeri 1'den küçük olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model her zaman durağandır ve katsayının mutlak değeri 1'den küçük olduğu için tersinirdir.

Cevap

Model her zaman durağandır ve katsayısının mutlak değeri 1'den küçük olduğu için tersinirdir.

Hareketli ortalama (MA) modelleri, katsayıları ne olursa olsun her zaman durağan süreçlerdir. Ancak bu modellerin tersinir (invertible) olabilmesi, yani otoregresif (AR) bir sürece dönüştürülebilmesi için katsayısının mutlak değerinin 1'den küçük (

|\theta| < 1

) olması gerekir. Verilen modelde katsayı

-0,4

olduğu ve mutlak değeri 1'den küçük olduğu için model hem durağan hem de tersinirdir.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin tipini ve katsayısını belirleyin.

Model

MA(1)

tipindedir ve katsayısı

\theta = -0,4

olarak verilmiştir.

Modelin özelliklerini analiz etmek için önce derecesini ve parametrelerini tanımak gerekir.

2

Durağanlık (stationarity) şartını kontrol edin.

MA modelleri katsayı değeri ne olursa olsun her zaman durağandır.

Hareketli ortalama modelleri, sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin toplamı olduğu için varyans ve otokovaryansları zamanla değişmez.

3

Tersinirlik (invertibility) şartını kontrol edin.

|-0,4| = 0,4 < 1

olduğu için model tersinirdir.

Bir

MA(1)

modelinin tersinir olması için karakteristik denklemin kökünün birim çemberin dışında kalması, yani katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) modellerinin her zaman durağan olduğu, ancak tersinirlik için katsayı sınırlaması (

|\theta| < 1

) gerektirdiği bilgisidir.

Daha Fazla Pratik

MA(2) modelleri için tersinirlik şartlarını (üçgen bölge şartları) inceleyerek bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 135Soru →

Zaman serisi verileriyle yapılan ekonometrik analizlerde, serilerin durağanlık özelliklerinin belirlenmesi modelin güvenilirliği açısından kritik bir adımdır. Bu amaçla yaygın olarak kullanılan Dickey-Fuller (DF) veya Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) birim kök testlerinde sınanan temel ( $H_0$ ) hipotez aşağıdakilerden hangisidir?

Seri durağandır.

Seri birim kök içermektedir.

Seri fark durağan (

DS

) bir süreçtir.

Seride değişen varyans (heteroskedasite) sorunu bulunmamaktadır.

Serinin hata terimleri arasında otokorelasyon vardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Seri birim kök içermektedir.

Cevap

Serinin birim kök içermesi (durağan olmaması)

Dickey-Fuller ve ADF testlerinde temel hipotez (

H_0

), serinin durağan olmadığını yani birim kök içerdiğini ifade eder. Eğer hesaplanan test istatistiği (

\tau

), tablo kritik değerinden küçükse (sol kuyruk testi olduğu için mutlak değerce büyükse),

H_0

reddedilir ve serinin durağan olduğu sonucuna varılır. Bu nedenle doğru yanıt serinin birim kök içerdiğini belirten seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim kök testlerinin mantıksal kurgusunu belirle.

Dickey-Fuller tipi testlerde temel amaç, serideki stokastik trendin (birim kökün) varlığını araştırmaktır.

İstatistiksel testlerde genellikle 'statüko' veya istenmeyen durum sıfır hipotezi olarak kurulur.

2

Hipotez formülasyonunu hatırla.

H_0: \rho = 1

(veya

\Delta Y_t

regresyonunda katsayı sıfır) ise birim kök vardır.

Sıfır hipotezi reddedilemediğinde serinin durağan olmadığı ve analizden önce farkının alınması gerektiği sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

Birim kök testlerinde sıfır hipotezi her zaman durağan olmama (birim kök varlığı) üzerine kurulur.

Tahmini Süre:45s

Soru 136Soru →

Bir ekonomist, bir ülkenin son 40 yıllık Gayrisafi Yurt İçi Hasıla (GSYİH) verilerini analiz ederken, ekonomideki büyüme ve daralma evrelerinin yaklaşık 7 ile 10 yıllık periyotlarla dalgalanmalar yaptığını gözlemlemiştir. Sabit bir takvim yılına bağlı olmayan, süresi ve genliği değişkenlik gösterebilen bu tür uzun süreli dalgalanmalar, zaman serisi bileşenlerinden hangisi ile tanımlanır?

Trend (Eğilim)

Mevsimsel Hareketler

Döngüsel (Konjonktürel) Hareketler

Düzensiz (Tesadüfi) Hareketler

Çarpımsal Model Bileşeni

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Döngüsel (Konjonktürel) Hareketler

Cevap

Ekonomideki büyüme ve daralma gibi sabit bir periyodu olmayan ve bir yıldan uzun süren dalgalanmalar döngüsel (konjonktürel) hareketler olarak tanımlanır.

Döngüsel (konjonktürel) hareketler, süresi genellikle bir yıldan uzun olan (2-10 yıl veya daha fazla) ve ekonomik çevrimler gibi daralma-genişleme şeklinde ortaya çıkan dalgalanmaları temsil eder. Soruda belirtilen 7-10 yıllık süre ve sabit bir takvime bağlı olmama durumu bu bileşenin temel özelliğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen zaman aralığını analiz et.

Dalgalanmaların 7-10 yıl sürdüğü belirtilmiştir.

Zaman serisi bileşenleri arasındaki temel farklardan biri hareketin süresidir.

2

Hareketin düzenini ve periyodunu değerlendir.

Hareketlerin sabit bir takvime bağlı olmadığı ve değişken süreli olduğu görülmektedir.

Mevsimsel hareketler sabit periyotludur (1 yıl), döngüsel hareketler ise değişken periyotludur (>1 yıl).

3

Uygun bileşeni tanımla.

Uzun vadeli büyüme-daralma döngüleri 'Döngüsel Hareketler' bileşenine karşılık gelir.

Konjonktürel dalgalanmalar tipik olarak makroekonomik verilerde bu şekilde gözlemlenir.

Anahtar Kavram

Zaman serisi bileşenlerinin süre ve periyot farkına göre ayırt edilmesi.

İpuçları

1

Hareketin bir yıldan kısa mı yoksa uzun mu sürdüğüne dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Mevsimsel ve döngüsel hareketlerin grafiksel gösterimleri arasındaki farkları inceleyiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 137Soru →

Bir kamu iktisadi teşebbüsünde görevli istatistikçi, kurumun aylık ham madde stok düzeylerini (

Y_t

) analiz etmek amacıyla gecikme operatörü (

L

) kullanarak aşağıdaki zaman serisi modelini kurmuştur:

(1 - 0,4L) Y_t = (1 + 0,7L) \epsilon_t

Burada

\epsilon_t

beyaz gürültü serisini ifade etmektedir. Buna göre, bu modelin türü ve durağanlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

ARMA(1,1) modelidir ve durağandır.

ARMA(1,1) modelidir ve durağan değildir.

ARMA(1,2) modelidir ve durağandır.

MA(1) modelidir ve tersine çevrilebilirdir.

AR(1) modelidir ve durağan değildir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ARMA(1,1) modelidir ve durağandır.

Cevap

Model ARMA(1,1) yapısındadır ve otoregresif katsayısı mutlak değerce 1'den küçük olduğu için durağandır.

Verilen modelde

Y_t

teriminin katsayılar polinomu

(1 - 0,4L)

birinci dereceden olduğu için

p=1

, hata terimi

\epsilon_t

katsayılar polinomu

(1 + 0,7L)

birinci dereceden olduğu için

q=1

'dir. Bu durum modelin ARMA(1,1) olduğunu gösterir. Durağanlık için AR katsayısı olan 0,4'ün mutlak değeri incelenir;

|0,4| < 1

olduğu için süreç durağandır.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin yapısını gecikme operatörü üzerinden tanımlama

Model

(1 - \phi L) Y_t = (1 + \theta L) \epsilon_t

formundadır.

AR ve MA kısımlarının derecelerini belirlemek için standart gösterimle karşılaştırma yapılır.

2

Modelin derecelerini (p,q) belirleme

p=1

ve

q=1

olduğu görülür.

AR polinomu

1 - 0,4L

(1. derece) ve MA polinomu

1 + 0,7L

(1. derece) olduğu için model ARMA(1,1) tipindedir.

3

Durağanlık şartını kontrol etme

|\phi| = |0,4| < 1

şartı sağlanmaktadır.

ARMA modellerinde durağanlık sadece AR kısmına bağlıdır ve AR(1) katsayısının mutlak değerinin 1'den küçük olması yeterlidir.

Anahtar Kavram

ARMA(p,q) modellerinin gecikme operatörü ile gösterimi ve durağanlık kriterleri

Soru 138Soru →

Bir iktisatçı, bir kamu kurumunun yıllık reel yatırım harcamaları serisinin durağanlığını incelemek amacıyla Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testi uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Parametre	Değer
ADF Test İstatistiği ( $\tau_{hesap}$ )	$-1,45$
%5 Kritik Değer ( $\tau_{tablo}$ )	$-2,93$
Gecikme Sayısı	$2$

Buna göre, %5 anlamlılık düzeyinde serinin durağanlık özelliği hakkında yapılabilecek en uygun değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

Temel hipotez (

H_0

) reddedilemez; seri birim kök içermektedir.

Temel hipotez (

H_0

) reddedilir; seri durağan bir yapıdadır.

Hesaplanan değer kritik değerden büyük olduğu için seri trend durağandır.

Gecikme sayısı 2 olduğu için seride değişen varyans sorunu bulunmaktadır.

Test istatistiği negatif çıktığı için seri kesinlikle durağandır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Temel hipotez ( $H_0$ ) reddedilemez; seri birim kök içermektedir.

Cevap

Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için temel hipotez reddedilemez ve serinin birim kök içerdiği (durağan olmadığı) sonucuna varılır.

Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testinde temel hipotez (

H_0

), serinin birim kök içerdiğini ve dolayısıyla durağan olmadığını savunur. Karar aşamasında hesaplanan

\tau

istatistiği, seçilen anlamlılık düzeyindeki kritik tablo değerinden daha küçük (mutlak değerce daha büyük negatif) ise

H_0

reddedilir. Bu soruda hesaplanan

-1,45

değeri,

-2,93

kritik değerinden daha büyük (daha az negatif) olduğu için temel hipotez reddedilemez. Bu durum, serinin birim kök içerdiğini ve seviyesinde durağan olmadığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

ADF testi hipotezlerini belirle.

H_0

: Seri birim kök içerir (durağan değildir).

H_1

: Seri durağandır.

Birim kök testlerinde temel hipotez her zaman durağan olmama durumu üzerine kurulur.

2

Hesaplanan test istatistiği ile kritik tablo değerini karşılaştır.

-1,45 > -2,93

(Hesaplanan değer kritik değerden büyüktür).

ADF testi sol kuyruk testi olduğu için reddetme bölgesi kritik değerin solunda (daha negatif kısımda) kalır.

3

Karar kuralını uygula.

\tau_{hesap} > \tau_{tablo}

olduğu için

H_0

reddedilemez.

Hesaplanan değer reddetme bölgesine düşmemiştir.

Anahtar Kavram

Birim kök testlerinde (ADF) karar kuralı ve hipotez yapısı

Tahmini Süre:45s

Soru 139Soru →

Nüfus ve Vatandaşlık İşleri Genel Müdürlüğü, bir il müdürlüğüne yapılan aylık pasaport başvuru sayılarını öngörmek amacıyla bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Aşağıdaki tabloda üç aylık döneme ait gerçekleşen ( $Y_t$ ) ve öngörülen ( $F_t$ ) başvuru sayıları (bin adet) verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörülen ( $F_t$ )
1	50	45
2	60	65
3	55	50

Buna göre, bu modelin üç aylık performansı dikkate alındığında Ortalama Mutlak Hata (MAE) değeri kaçtır?

0

5

15

25

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Ortalama Mutlak Hata (MAE) değeri 5 olarak hesaplanır.

MAE hesaplanırken her dönem için gerçek değer ile öngörülen değer arasındaki farkın mutlak değeri alınır:

|50-45|=5

,

|60-65|=5

ve

|55-50|=5

. Bu mutlak hataların toplamı 15'tir. Gözlem sayısı olan 3'e bölündüğünde sonuç 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir zaman dilimi (

t

) için hata (

e_t = Y_t - F_t

) ve mutlak hata (

|e_t|

) değerlerini hesaplayınız.

t=1: |50-45|=5

,

t=2: |60-65|=5

,

t=3: |55-50|=5

MAE hesaplaması için öncelikle tahminlerin gerçek değerlerden ne kadar saptığının mutlak büyüklüğü belirlenmelidir.

2

Hesaplanan mutlak hataların toplamını bulunuz.

\sum |e_t| = 5 + 5 + 5 = 15

Ortalama alabilmek için toplam hata miktarının belirlenmesi gerekir.

3

Toplam mutlak hatayı gözlem sayısına (

n=3

) bölerek MAE değerine ulaşınız.

MAE = \frac{15}{3} = 5

MAE formülü

\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} |Y_t - F_t|

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ortalama Mutlak Hata (MAE), öngörü hatalarının mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasıdır ve modelin ortalama hata büyüklüğünü ölçer.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri seti için MAPE (Ortalama Mutlak Yüzde Hata) değerini hesaplayarak modelin yüzde kaçlık bir hata payıyla çalıştığını bulunuz.

Tahmini Süre:45s

Soru 140Soru →

Bir kamu kurumunun aylık bütçe harcamaları incelenmiş ve harcama serisinin $Y_t = 0,6 Y_{t-1} + \epsilon_t$ şeklinde bir model yapısına sahip olduğu belirlenmiştir. Burada $\epsilon_t$ terimi beyaz gürültü (hata) sürecini temsil etmektedir.

Bu zaman serisi modelinin türü ve durağanlık durumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Birinci dereceden otoregresif [AR(1)] modelidir ve

|\phi| < 1

şartını sağladığı için durağandır.

Birinci dereceden hareketli ortalama [MA(1)] modelidir ve katsayısı pozitif olduğu için durağandır.

Birinci dereceden otoregresif [AR(1)] modelidir ve katsayısı

0,5

'ten büyük olduğu için durağan değildir.

İkinci dereceden otoregresif [AR(2)] modelidir ve tek gecikmeli terim içerdiği için durağandır.

Otoregresif hareketli ortalama [ARMA(1,1)] modelidir ve durağanlığı belirlenemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci dereceden otoregresif [AR(1)] modelidir ve $|\phi| < 1$ şartını sağladığı için durağandır.

Cevap

Model birinci dereceden otoregresif [AR(1)] yapısındadır ve katsayısı mutlak değerce 1'den küçük olduğu için durağandır.

Verilen

Y_t = 0,6 Y_{t-1} + \epsilon_t

denklemi, serinin mevcut değerinin doğrudan bir önceki değerine bağlı olduğunu ifade eden standart bir AR(1) modelidir. Bu tür modellerde durağanlık için gerekli ve yeterli şart, otoregresif katsayının mutlak değerinin

1

'den küçük olmasıdır (

|\phi| < 1

). Denklemdeki katsayı

0,6

olduğu ve bu değer

1

'den küçük olduğu için model durağandır.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin matematiksel formunu analiz etmek.

Y_t

değerinin

Y_{t-1}

değişkeni ile açıklanması, bu sürecin birinci dereceden bir otoregresif [AR(1)] süreci olduğunu kanıtlar.

Otoregresif (AR) modeller, bir zaman serisinin mevcut değerini kendi geçmiş değerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade eder.

2

Durağanlık şartını kontrol etmek.

Bir AR(1) modelinin durağan olabilmesi için otoregresif parametre olan

\phi

katsayısının mutlak değerinin

1

'den küçük olması (

|\phi| < 1

) gerekir.

Bu şart, serinin varyansının ve ortalamasının zaman boyunca sabit kalmasını sağlayarak istatistiksel çıkarımların geçerli olmasını sağlar.

3

Verilen katsayıyı şartla karşılaştırmak.

Modelde

\phi = 0,6

olarak verilmiştir.

|0,6| < 1

eşitsizliği sağlandığı için seri durağandır.

Katsayı durağanlık bölgesi olan

(-1, 1)

aralığı içerisinde yer almaktadır.

Anahtar Kavram

AR(1) Modellerinde Tanımlama ve Durağanlık Şartı

Zaman Serileri Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram