Examkin

Kuyruk Modelleri

127 soru

Soru 21Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin vatandaş şikayetlerini topladığı çözüm masasına gelen başvuruların ortalama varış hızı saatte 1818 adettir (λ=18\lambda = 18). Yapılan incelemeler sonucunda sistemdeki (kuyruk + hizmet) ortalama başvuru sayısının 33 olduğu (L=3L = 3) ve bir başvurunun çözüm masasında ortalama işlem süresinin (hizmet süresi) 66 dakika olduğu belirlenmiştir. Buna göre, bir başvurunun kuyrukta beklediği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bir başvurunun kuyrukta beklediği ortalama süre 4 dakikadır.
Little Teoremi'ne göre sistemdeki ortalama süre W=L/λW = L / \lambda formülüyle hesaplanır. Verilen değerler yerine konulduğunda 3/18=1/63/18 = 1/6 saat, yani 1010 dakika elde edilir. Bu süre, sistemde geçirilen toplam süredir. Kuyrukta bekleme süresi (WqW_q) ise toplam süreden ortalama hizmet süresinin çıkarılmasıyla bulunur: 10−6=410 - 6 = 4 dakika.

Adım Adım Çözüm

1
Little Teoremi (L=λWL = \lambda W) kullanılarak sistemde geçirilen ortalama sürenin (WW) hesaplanması.
W=L/λ=3/18=1/6W = L / \lambda = 3 / 18 = 1/6 saat.
Sistemdeki ortalama sayı ile geliş hızı arasındaki temel ilişkiyi kurmak.
2
Bulunan sürenin saate çevrilmesi (dakika birimine dönüştürme).
W=(1/6)×60=10W = (1/6) \times 60 = 10 dakika.
Soruda istenen ve verilen diğer süre birimleriyle (6 dakika) uyum sağlamak.
3
Kuyrukta bekleme süresinin (WqW_q), toplam süreden hizmet süresinin çıkarılmasıyla bulunması.
Wq=W−(1/μ)=10−6=4W_q = W - (1/\mu) = 10 - 6 = 4 dakika.
Sistemde geçirilen sürenin, kuyrukta bekleme ve hizmet alma sürelerinin toplamı olması (W=Wq+WsW = W_q + W_s).

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Performans Ölçütleri Arasındaki İlişkiler
Soru 22Soru →

Bir kaymakamlık danışma biriminde 22 görevli hizmet vermektedir. Birimin fiziksel kısıtları nedeniyle, sistemde (hizmet alanlar ve bekleyenler dahil) aynı anda en fazla 33 vatandaşın bulunmasına izin verilmektedir. Vatandaşların birime varışları saatte ortalama 22 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, görevlilerin her birinin bir vatandaşa verdiği hizmet süresi ise ortalama 3030 dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur.

Sistem kapasitesinin tamamen dolu olduğu durumda gelen vatandaşların hizmet almadan ayrıldığı varsayıldığında; yeni gelen bir vatandaşın sistemin dolu olması nedeniyle içeriye kabul edilmeme olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/111/11

Cevap

Yeni gelen bir vatandaşın sistemin dolu olması nedeniyle hizmet alamama olasılığı 1/111/11 olarak hesaplanır.
Verilen (M/M/2/3) kuyruk modelinde, λ=2\lambda=2 ve μ=2\mu=2 olduğu için λ/μ=1\lambda/\mu=1 oranına ulaşılır. Sistemin boş olma olasılığı P0=4/11P_0 = 4/11 olarak bulunduktan sonra, sistemin tam dolu olduğu n=3n=3 durumu için formül uygulandığında P3=1/11P_3 = 1/11 sonucu elde edilir. Bu değer, sistem dolu olduğu için yeni gelen vatandaşın reddedilme olasılığını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirleyin.
λ=2\lambda = 2 vatandaş/saat, μ=1/0,5=2\mu = 1/0,5 = 2 vatandaş/saat, c=2c = 2 görevli, K=3K = 3 sistem kapasitesi.
Kuyruk modelini tanımlamak için varış hızı, hizmet hızı ve kapasite değerlerine ihtiyaç vardır.
2
Kullanımoranını(ρ)hesaplayın.Kullanım oranını (\rho) hesaplayın.
ρ=λcμ=22×2=0,5\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{2}{2 \times 2} = 0,5
Çok kanallı modellerde sistem denge durumunu belirlemek için kanal başına düşen yoğunluk hesaplanır.
3
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplayın.
P0=[∑n=011nn!+122!∑n=23(0,5)n−2]−1=[1+1+0,5(1+0,5)]−1=[2+0,75]−1=4/11P_0 = [\sum_{n=0}^{1} \frac{1^n}{n!} + \frac{1^2}{2!} \sum_{n=2}^{3} (0,5)^{n-2}]^{-1} = [1 + 1 + 0,5(1 + 0,5)]^{-1} = [2 + 0,75]^{-1} = 4/11
Sistemin diğer durum olasılıklarını bulmak için temel normalize edici değer olan P0P_0 gereklidir.
4
Sistemin dolu olma olasılığını (P3P_3) hesaplayın.
P3=(λ/μ)3c!c3−cP0=132!×21×411=14×411=1/11P_3 = \frac{(\lambda/\mu)^3}{c! c^{3-c}} P_0 = \frac{1^3}{2! \times 2^1} \times \frac{4}{11} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{11} = 1/11
M/M/c/K modelinde yeni varışların reddedilme olasılığı, sistemin tam kapasite (n=Kn=K) olduğu durum olasılığına eşittir.

Anahtar Kavram

(M/M/c/K) modellerinde kayıp olasılığı, sistemin tam kapasiteye ulaştığı PKP_K durum olasılığına eşittir.
Soru 23Soru →

Bir kamu kurumunun dijital arşiv biriminde gelen talepleri karşılamak üzere 22 adet veri giriş uzmanı görev yapmaktadır. Birime gelen talepler saatte ortalama 66 adet olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gerçekleşmekte ve her bir uzman bir talebi ortalama 2020 dakikada (saatte 33 talep) üstel dağılıma uygun olarak sonuçlandırmaktadır. Birimin fiziksel ve teknik imkanları nedeniyle sistemde aynı anda (hizmet alanlar dahil) en fazla 33 talep bulunabilmektedir. Sistem dolu olduğunda gelen yeni talepler kabul edilmemektedir. Bu verilere göre, sistemin durağan halde (steady-state) tam kapasite ile dolu olma ve gelen bir talebin geri çevrilme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2/72/7

Cevap

Sistemin tam kapasite ile dolu olma olasılığı 2/72/7'dir.
Verilen (M/M/2/3) modelinde, λ/μ=2\lambda/\mu = 2 olarak bulunur. Sistemin boş olma olasılığı P0=1/7P_0 = 1/7 olarak hesaplanır. Sistemin tam kapasite ile dolu olma olasılığı P3P_3, formül gereği P0P_0 değerinin ilgili katsayı ile çarpılmasıyla 2/72/7 olarak elde edilir. Bu değer aynı zamanda sisteme gelen bir talebin geri çevrilme olasılığına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerinin belirlenmesi
λ=6\lambda = 6, μ=3\mu = 3, c=2c = 2, K=3K = 3
Sistemin (M/M/c/K) yapısında olduğu ve parametrelerin birim zamana (saat) uyarlandığı teyit edilir.
2
Kullanım oranının (λ/μ\lambda/\mu) hesaplanması
λ/μ=6/3=2\lambda/\mu = 6/3 = 2
Olasılık formüllerinde kullanılacak olan temel oran belirlenir.
3
Sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
P0=[1+21/1!+22/2!+23/(2!×21)]−1=[1+2+2+2]−1=1/7P_0 = [1 + 2^1/1! + 2^2/2! + 2^3/(2! \times 2^1)]^{-1} = [1 + 2 + 2 + 2]^{-1} = 1/7
Sonlu kapasiteli çok kanallı modelde durum olasılıklarının toplamının 1 olması kuralından P0P_0 bulunur.
4
Sistemin tam kapasite (n=3) olma olasılığının (P3P_3) hesaplanması
P3=12!×23−2×(2)3×P0=84×17=2/7P_3 = \frac{1}{2! \times 2^{3-2}} \times (2)^3 \times P_0 = \frac{8}{4} \times \frac{1}{7} = 2/7
Gelen talebin kabul edilmemesi için sistemin maksimum kapasiteye ulaşmış olması gerekir.

Anahtar Kavram

(M/M/c/K) modellerinde durum olasılıkları ve sistem kapasitesi kısıtı.
Soru 24Soru →

Bir vergi dairesindeki tahsilat veznesine mükellefler, Poisson sürecine uygun olarak ortalama 66 dakikada bir varmaktadır. Veznedeki görevlinin bir mükellefin işlemini tamamlama süresi ise üstel dağılıma uygun olup ortalama 44 dakikadır.

Buna göre, bu kuyruk sistemine ait saatlik varış hızı (λ\lambda) ve saatlik hizmet hızı (μ\mu) değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: λ=10,μ=15\lambda = 10, \mu = 15

Cevap

Saatlik varış hızı λ=10\lambda = 10 ve saatlik hizmet hızı μ=15\mu = 15 olarak hesaplanır.
Ortalama varış hızı, birim zamandaki varış sayısını ifade eder ve 6060 dakikanın ortalama varış aralığına (66 dakika) bölünmesiyle λ=10\lambda = 10 bulunur. Benzer şekilde, saatlik hizmet hızı, 6060 dakikanın ortalama hizmet süresine (44 dakika) bölünmesiyle μ=15\mu = 15 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ortalama varış süresinden saatlik varış hızını (λ\lambda) hesaplayın.
λ=60/6=10\lambda = 60 / 6 = 10 mükellef/saat
Varışlar arası ortalama süre 66 dakika olduğundan, bir saatteki (6060 dakika) varış sayısı bu sürenin bölünmesiyle bulunur.
2
Ortalama hizmet süresinden saatlik hizmet hızını (μ\mu) hesaplayın.
μ=60/4=15\mu = 60 / 4 = 15 mükellef/saat
Bir mükellefe verilen ortalama hizmet süresi 44 dakika olduğundan, görevlinin bir saatte hizmet verebileceği maksimum kapasite 60/460/4 ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kuyruk modellerinde zaman aralıkları (üstel) ile hızlar (Poisson) arasındaki ters ilişki ve birim tutarlılığı.
Soru 25Soru →

Bir vergi dairesinde mükelleflere tek bir memur hizmet vermektedir. Vergi dairesine mükelleflerin varışları saatte ortalama 44 kişi (λ=4\lambda = 4) olacak şekilde Poisson dağılımına uygun gerçekleşmektedir. Memurun bir mükellefe hizmet verme süresinin ortalaması 1212 dakika ve bu sürenin standart sapması 66 dakikadır.

Sistemin kararlı olduğu varsayıldığında, kuyrukta bekleyen ortalama mükellef sayısı (LqL_q) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,02,0

Cevap

Sistemin kararlı durumdaki ortalama kuyruk uzunluğu 2,02,0 mükellef olarak bulunur.
Ortalama kuyruk uzunluğu olan 2,02,0 değeri, verilen varış hızı, ortalama hizmet süresi ve hizmet süresi standart sapması kullanılarak Pollaczek-Khinchine formülünün doğru uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birimlerin saat cinsinden eşitlenmesi ve temel parametrelerin belirlenmesi
λ=4\lambda = 4 kişi/saat; E[S]=12/60=0,2E[S] = 12/60 = 0,2 saat; σ=6/60=0,1\sigma = 6/60 = 0,1 saat.
Pollaczek-Khinchine formülünde kullanılacak tüm zaman birimlerinin uyumlu olması gerekir.
2
Trafik yoğunluğu (ρ\rho) ve varyans (σ2\sigma^2) değerlerinin hesaplanması
ρ=λ×E[S]=4×0,2=0,8\rho = \lambda \times E[S] = 4 \times 0,2 = 0,8 ve σ2=(0,1)2=0,01\sigma^2 = (0,1)^2 = 0,01.
Sistemin kararlılığı (ρ<1\rho < 1) kontrol edilir ve formül için gerekli bileşenler hazırlanır.
3
Pollaczek-Khinchine formülü ile LqL_q değerinin hesaplanması
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=16×0,01+0,642(1−0,8)=0,16+0,640,4=2,0L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1 - \rho)} = \frac{16 \times 0,01 + 0,64}{2(1 - 0,8)} = \frac{0,16 + 0,64}{0,4} = 2,0.
(M/G/1) modellerinde ortalama bekleme uzunluğu bu formül aracılığıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Pollaczek-Khinchine (P-K) formülü, hizmet süresinin rastgele (Genel) bir dağılıma sahip olduğu (M/G/1) kuyruk sistemlerinde performans ölçütlerini hesaplamak için kullanılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 26Soru →

Bir Sosyal Güvenlik İl Müdürlüğü bünyesindeki genel sağlık sigortası (GSS) servisinin tek bir bankosuna başvuru yapan vatandaşların varışları, ortalama 1515 dakikada bir gerçekleşen Poisson sürecine uygun bir dağılım göstermektedir. Bankodaki görevli memurun bir vatandaşa ayırdığı hizmet süresi ise ortalama 1010 dakika olan üstel dağılıma uymaktadır.

Buna göre, bu kuyruk sisteminin saatlik bazda varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızı (μ\mu) değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: λ=4\lambda = 4, μ=6\mu = 6

Cevap

Sistemin saatlik varış hızı λ=4\lambda = 4 ve hizmet hızı μ=6\mu = 6 olarak belirlenmiştir.
Kuyruk modellerinde varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızı (μ\mu), birim zaman başına gerçekleşen olay sayısını temsil eder. Soruda varışlar arası süre 1515 dakika olarak verildiği için, bir saatte (6060 dakika) ortalama 60/15=460/15 = 4 varış gerçekleşir. Benzer şekilde, ortalama hizmet süresi 1010 dakika olduğundan, görevli bir saatte ortalama 60/10=660/10 = 6 vatandaşa hizmet verebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda) hesaplanır.
λ=60 dakika15 dakika/vatandas¸=4 vatandas¸/saat\lambda = \frac{60 \text{ dakika}}{15 \text{ dakika/vatandaş}} = 4 \text{ vatandaş/saat}
Varışlar arası süre verildiğinde, belirli bir zaman dilimindeki (1 saat) varış sayısını bulmak için toplam süre ortalama süreye bölünür.
2
Hizmet hızı (μ\mu) hesaplanır.
μ=60 dakika10 dakika/vatandas¸=6 vatandas¸/saat\mu = \frac{60 \text{ dakika}}{10 \text{ dakika/vatandaş}} = 6 \text{ vatandaş/saat}
Hizmet süresi verildiğinde, memurun bir saatte ortalama kaç vatandaşa hizmet verebileceğini bulmak için saatlik süre (60 dk) ortalama hizmet süresine bölünür.

Anahtar Kavram

Kuyruk sistemlerinde hız (rate) ve süre (time) parametreleri arasındaki ters ilişki ve birim birleştirme.

Daha Fazla Pratik

Varış sürecinin Poisson olması, varışlar arası sürenin Üstel dağılıma sahip olmasıyla eşdeğerdir. Bu ilişkiyi diğer modellerde de kullanabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

Bir Karayolları Denetim İstasyonunda ağır vasıtaların tartım işlemleri için istasyona varışları arasındaki sürelerin ortalaması 88 dakika olan üstel dağılıma uygun olduğu; bir görevlinin bir aracın tartım işlemini bitirme süresinin ise ortalaması 66 dakika olan üstel dağılıma uygun olduğu belirlenmiştir. Buna göre, bu sistem için saatlik ortalama varış hızı (λ\lambda), saatlik ortalama hizmet hızı (μ\mu) ve bir saatlik sürede istasyona varan araç sayısının olasılık dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: λ=7,5\lambda = 7,5; μ=10\mu = 10; Poisson Dağılımı

Cevap

Ortalama saatlik varış hızı λ=7,5\lambda = 7,5, saatlik hizmet hızı μ=10\mu = 10 olup, varan araç sayısının dağılımı Poisson dağılımıdır.
Ortalama varışlar arası süre 88 dakika olduğunda, saatlik hız 60/8=7,560/8 = 7,5 olur. Hizmet süresi 66 dakika olduğunda, saatlik hizmet kapasitesi 60/6=1060/6 = 10 olur. Sürelerin üstel dağılması, birim zamandaki varış ve hizmet sayılarının Poisson dağılımına sahip olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
Saatlik ortalama varış hızının (λ\lambda) hesaplanması
λ=60/8=7,5\lambda = 60 / 8 = 7,5 araç/saat
Varışlar arası ortalama süre verildiğinde, varış hızı bu sürenin tersidir ve birim zaman (saat) cinsine çevrilmelidir.
2
Saatlik ortalama hizmet hızının (μ\mu) hesaplanması
μ=60/6=10\mu = 60 / 6 = 10 araç/saat
Ortalama hizmet süresi verildiğinde, hizmet hızı bu sürenin tersidir ve birim zaman (saat) cinsine çevrilmelidir.
3
Varış sayısının olasılık dağılımının belirlenmesi
Poisson Dağılımı
Kuyruk teorisinde varışlar arası süreler Üstel dağılım gösteriyorsa, belirli bir zaman aralığında sisteme varan birim sayısı Poisson dağılımı gösterir.

Anahtar Kavram

Kuyruk sistemlerinde hız (rate) ve süre (time) arasındaki ters ilişki ile Poisson/Üstel dağılım dönüşümü.
Soru 28Soru →

Bir kargo dağıtım merkezinde gelen paketler tek bir bant üzerinden tasnif edilmektedir. Merkezin fiziksel kapasitesi, tasnif işlemi devam eden paket dahil toplam 44 paketle sınırlıdır; kapasite dolduğunda gelen paketler merkeze kabul edilmemektedir. Paketlerin merkeze varış hızı saatte ortalama 55 paket olup Poisson dağılımına uygundur. Banttaki tasnif süresi ise paket başına ortalama 1212 dakikadır ve üstel dağılım göstermektedir. Buna göre, bu kuyruk sistemine kabul edilen etkin (gerçekleşen) ortalama paket varış hızı saatte kaç pakettir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,0

Cevap

Sisteme kabul edilen etkin ortalama paket varış hızı saatte 4,0 pakettir.
Verilen sistemde varış hızı λ=5\lambda = 5 ve hizmet hızı μ=5\mu = 5 olup trafik yoğunluğu ρ=1\rho = 1 seviyesindedir. Toplam kapasite K=4K = 4 olduğu için, ρ=1\rho = 1 özel durumunda sistemin dolu olma olasılığı PK=1/(K+1)=1/5=0,20P_K = 1 / (K+1) = 1/5 = 0,20 olarak bulunur. Etkin varış hızı, sisteme girmeyi başaran paketlerin hızını temsil eder ve λeff=λ(1−PK)=5(0,8)=4\lambda_{eff} = \lambda (1 - P_K) = 5(0,8) = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birimleri eşitleyerek varış (λ\lambda) ve hizmet (μ\mu) hızlarını belirleyiniz.
λ=5\lambda = 5 paket/saat; μ=60/12=5\mu = 60 / 12 = 5 paket/saat.
Hızların aynı zaman biriminde (saat) olması hesaplama için zorunludur.
2
Trafik yoğunluğunu (ρ\rho) ve sistem kapasitesini (KK) tespit ediniz.
ρ=λ/μ=5/5=1\rho = \lambda / \mu = 5 / 5 = 1; K=4K = 4.
ρ=1\rho = 1 durumu için kullanılacak formüller farklılık göstermektedir.
3
Sistemin dolu olma (bloklanma) olasılığını (PKP_K) hesaplayınız.
Pn=1K+1P_n = \frac{1}{K+1} formülünden P4=14+1=0,20P_4 = \frac{1}{4+1} = 0,20.
ρ=1\rho = 1 olduğunda tüm durum olasılıkları birbirine eşittir.
4
Etkin varış hızını (λeff\lambda_{eff}) hesaplayınız.
λeff=λ(1−PK)=5×(1−0,20)=4\lambda_{eff} = \lambda(1 - P_K) = 5 \times (1 - 0,20) = 4.
Sisteme sadece bloklanmayan paketler giriş yapabildiği için ham varış hızı kabul edilme olasılığı ile çarpılır.

Anahtar Kavram

M/M/1/K modelinde etkin varış hızı, bloklanma olasılığı dikkate alınarak hesaplanır ve ρ=1\rho=1 durumunda olasılıklar homojen dağılır.

Alternatif Yöntem

Olasılıkların eşitliğinden yararlanarak: P0=P1=P2=P3=P4=0,2P_0=P_1=P_2=P_3=P_4=0,2. Sisteme kabul edilmeme durumu sadece P4P_4 anında gerçekleşir. Beklenen giriş hızı 5×(P0+P1+P2+P3)=5×0,8=45 \times (P_0+P_1+P_2+P_3) = 5 \times 0,8 = 4 şeklinde de bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 29Soru →

Bir belediyenin emlak vergisi tahsilat veznesinde tek bir memur hizmet vermektedir. Vezneye mükellef varışları saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Veznedeki hizmet süreleri ise genel bir dağılım göstermekte olup sistem parametreleri aşağıda verilmiştir:

ParametreDeğer
Ortalama varış hızı (λ\lambda)44 mükellef/saat
Ortalama hizmet süresi (E[S]E[S])1010 dakika
Hizmet süresi standart sapması (σ\sigma)55 dakika

Buna göre, (M/G/1)(M/G/1) kuyruk modeli varsayımı altında, sisteme gelen bir mükellefin kuyrukta bekleyerek geçirdiği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12,5

Cevap

Kuyrukta beklenen ortalama süre 12,512,5 dakikadır.
Kuyrukta beklenen ortalama süre, hizmet sürelerinin hem ortalamasına hem de varyansına bağlı olan Pollaczek-Khinchine formülü ile hesaplanır. Verilen değerler formüle yerleştirildiğinde (λ=1/15\lambda=1/15, E[S]=10E[S]=10, σ=5\sigma=5, ρ=2/3\rho=2/3), bekleme süresi 12,512,5 dakika olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim dönüşümü ve varış hızının belirlenmesi
λ=4\lambda = 4 kişi/saat →λ=460=115\rightarrow \lambda = \frac{4}{60} = \frac{1}{15} kişi/dakika
Hesaplamaların dakika cinsinden istenmesi nedeniyle tüm parametreler aynı zaman birimine çevrilmelidir.
2
Kullanım oranının (ρ\rho) hesaplanması
ρ=λ×E[S]=115×10=23\rho = \lambda \times E[S] = \frac{1}{15} \times 10 = \frac{2}{3}
Sistemin kararlılığını ve doluluk oranını belirlemek için kullanım faktörü gereklidir.
3
Pollaczek-Khinchine (P-K) formülünün uygulanması
Wq=λ(E[S]2+σ2)2(1−ρ)=115(102+52)2(1−23)=125152(13)=25323=12,5W_q = \frac{\lambda (E[S]^2 + \sigma^2)}{2(1 - \rho)} = \frac{\frac{1}{15} (10^2 + 5^2)}{2(1 - \frac{2}{3})} = \frac{\frac{125}{15}}{2(\frac{1}{3})} = \frac{\frac{25}{3}}{\frac{2}{3}} = 12,5 dakika
Hizmet süreleri üstel dağılmadığında (genel dağılım), kuyruk bekleme süresi P-K formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Pollaczek-Khinchine formülü, (M/G/1)(M/G/1) modellerinde hizmet süresinin varyansının kuyruk uzunluğu ve bekleme süresi üzerindeki etkisini açıklar.

İpuçları

1
Soruda hizmet sürelerinin genel (GG) bir dağılım olduğu belirtildiğinden Pollaczek-Khinchine formülünü kullanmalısınız.
2
Varış hızı saatlik verildiği için önce dakikaya çevirin: λ=4/60=1/15\lambda = 4/60 = 1/15.
3
Wq=[λ(E[S]2+σ2)]/[2(1−ρ)]W_q = [\lambda(E[S]^2 + \sigma^2)] / [2(1-\rho)] formülünde ρ=λ×E[S]\rho = \lambda \times E[S] değerini kullanarak hesaplama yapın.

Daha Fazla Pratik

Eğer hizmet süresi varyansı sıfır olsaydı (sabit hizmet süresi - M/D/1), bekleme süresinin nasıl değişeceğini hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Önce kuyruktaki ortalama müşteri sayısını (LqL_q) hesaplayıp ardından Little teoremi (Wq=Lq/λW_q = L_q / \lambda) ile zamana geçiş yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 30Soru →

Bir üniversite kütüphanesinin ödünç verme bankosunda, öğrencilere hizmet vermek üzere 22 adet özdeş görevli çalışmaktadır. Kütüphaneye kitap iadesi veya ödünç işlemi için gelen öğrencilerin varışları saatte ortalama 88 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir görevlinin bir öğrenciye hizmet verme süresi ise ortalama 1212 dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, (M/M/2)(M/M/2) kuyruk modeline göre sistemin tamamen boş olması olasılığı (P0P_0) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/9

Cevap

Sistemin tamamen boş olması olasılığı 1/91/9 olarak hesaplanır.
Verilen değerlere göre λ/μ=16\lambda/\mu = 1{}6 ve ρ=08\rho = 0{}8 olarak bulunur. (M/M/2)(M/M/2) sisteminin boş olma olasılığı formülünde değerler yerine konulduğunda [1+16+64]−1=1/9[1 + 1{}6 + 6{}4]^{-1} = 1/9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızı (μ\mu) parametrelerini belirleyiniz.
λ=8\lambda = 8 öğrenci/saat; μ=60/12=5\mu = 60 / 12 = 5 öğrenci/saat (her bir görevli için).
Kuyruk modellerinde tüm parametrelerin aynı zaman biriminde (saat) olması gerekmektedir.
2
Kanal sayısını (cc), λ/μ\lambda/\mu oranını ve trafik yoğunluğunu (ρ\rho) hesaplayınız.
c=2c = 2, λ/μ=8/5=16\lambda/\mu = 8/5 = 1{}6 ve ρ=λ/(c⋅μ)=8/(2⋅5)=08\rho = \lambda / (c \cdot \mu) = 8 / (2 \cdot 5) = 0{}8.
ρ<1\rho < 1 olduğu için sistem dengededir (steady-state). Bu değerler P0P_0 formülünde kullanılacaktır.
3
(M/M/c)(M/M/c) modeli için sistemin boş olma olasılığı (P0P_0) formülünü uygulayınız.
P0=[∑n=0c−1(λ/μ)nn!+(λ/μ)cc!(1−ρ)]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c! (1 - \rho)} \right]^{-1} formülünden P0=[1+16+1622!(1−08)]−1P_0 = [1 + 1{}6 + \frac{1{}6^2}{2! (1 - 0{}8)}]^{-1} elde edilir.
Çok kanallı sistemlerde sistemin boş olması olasılığı tüm kanalların boş olduğu durumların toplamını ve kuyruk olasılığını içerir.
4
İşlemleri sonuçlandırınız.
P0=[26+2562⋅02]−1=[26+25604]−1=[26+64]−1=1/9P_0 = [2{}6 + \frac{2{}56}{2 \cdot 0{}2}]^{-1} = [2{}6 + \frac{2{}56}{0{}4}]^{-1} = [2{}6 + 6{}4]^{-1} = 1/9.
Paydadaki toplam değeri 99 olduğu için olasılık değeri 1/91/9 olur.

Anahtar Kavram

(M/M/c)(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modellerinde Kararlı Durum Olasılıkları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →

Bir noterlik dairesinde işlem yaptırmak isteyen vatandaşların varışları Poisson sürecine uygun olup saatte ortalama 1818 kişi dairesine ulaşmaktadır. Noter kâtibinin bir vatandaşın işlemini tamamlama süresi ise üstel dağılıma uygun ve ortalama 22 dakikadır. Buna göre, bu kuyruk sistemine ait varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızı (μ\mu) parametrelerinin 'saat' birimi üzerinden değerleri aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: λ=18\lambda = 18; μ=30\mu = 30

Cevap

Varış hızı λ=18\lambda = 18 ve hizmet hızı μ=30\mu = 30 olarak hesaplanan seçenek doğrudur.
Verilen sistemde varış hızı doğrudan saatlik bazda 1818 olarak ifade edilmiştir. Hizmet süresi ortalama 22 dakika olduğu için, personelin bir saatte (60 dakika) kaç kişiye hizmet verebileceği hesaplandığında 60/2=3060 / 2 = 30 değeri elde edilir. Bu durumda her iki parametre de 'kişi/saat' cinsinden ifade edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızının (λ\lambda) belirlenmesi
λ=18\lambda = 18 kişi/saat
Soruda varışların Poisson sürecine uygun olduğu ve saatte ortalama 18 kişinin geldiği doğrudan belirtilmiştir.
2
Hizmet hızının (μ\mu) hesaplanması
E[s]=2E[s] = 2 dakika/kişi ise μ=602=30\mu = \frac{60}{2} = 30 kişi/saat
Hizmet hızı, ortalama hizmet süresinin çarpmaya göre tersidir. Birimlerin uyumlu olması için 1 saatteki (60 dakika) hizmet kapasitesi hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kuyruk sistemlerinde hız parametreleri (λ\lambda ve μ\mu) her zaman birim zamanda gerçekleşen olay sayısı (oran) olarak ifade edilmelidir ve birimleri birbiriyle uyumlu olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Varışların Poisson dağılımına uygun olması durumunda, varışlar arası sürelerin üstel dağılıma uygun olduğunu hatırlayınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 32Soru →

Bir imalathanede bulunan 22 adet özdeş makine için bozulma oranı makine başına günde ortalama 11 (λ=1\lambda = 1)'dir. Arızalanan makinelerle ilgilenen 11 tamirci bulunmaktadır ve tamir hızı günde ortalama 22 (μ=2\mu = 2)'dir. Hem bozulma hem de tamir süreleri üstel dağılıma uymaktadır. Bu bilgilere göre, sistemin kararlı hal (steady-state) durumunda sistemdeki beklenen ortalama makine sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,8

Cevap

Sistemdeki beklenen ortalama makine sayısı 0,8'dir.
Sistemdeki beklenen makine sayısı, her bir durumdaki makine sayısının o durumun olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur. P0=0,4P_0=0,4, P1=0,4P_1=0,4 ve P2=0,2P_2=0,2 değerleri kullanıldığında L=1(0,4)+2(0,2)=0,8L = 1(0,4) + 2(0,2) = 0,8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametrelerin belirlenmesi
N=2N = 2, λ=1\lambda = 1, μ=2\mu = 2, c=1c = 1
Sonlu kaynaklı kuyruk modeli formüllerini uygulamak için temel veriler gereklidir.
2
Sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
P0=[1+2!1!(0,5)1+2!0!(0,5)2]−1=[1+1+0,5]−1=0,4P_0 = [1 + \frac{2!}{1!}(0,5)^1 + \frac{2!}{0!}(0,5)^2]^{-1} = [1 + 1 + 0,5]^{-1} = 0,4
Diğer durum olasılıklarını bulmak için normalizasyon sabiti olan P0 hesaplanmalıdır.
3
Sistemde nn makine olma olasılıklarının (P1,P2P_1, P_2) hesaplanması
P1=2(0,5)(0,4)=0,4P_1 = 2(0,5)(0,4) = 0,4 ve P2=2(0,25)(0,4)=0,2P_2 = 2(0,25)(0,4) = 0,2
Beklenen değer hesabı için her durumun gerçekleşme olasılığına ihtiyaç vardır.
4
Beklenen makine sayısı (LL) formülünün uygulanması
L=0(0,4)+1(0,4)+2(0,2)=0,8L = 0(0,4) + 1(0,4) + 2(0,2) = 0,8
L, durumların (makine sayısının) olasılıklarıyla ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı kuyruk modellerinde (Makine Bakım Problemi) durum olasılıkları ve beklenen sistem uzunluğu hesabı.
Soru 33Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt birimine gelen başvurular saatte ortalama 66 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Görevli bir personelin bir başvuruyu sonuçlandırma süresi ise ortalama 66 dakika olup üstel dağılım göstermektedir. Bu sistemin (M/M/1)(M/M/1) kuyruk modeli varsayımlarını karşıladığı ve kararlı durumda (steady-state) çalıştığı bilindiğine göre, kuyrukta bekleyen (hizmet alan kişi hariç) ortalama kişi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,9

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı 0,9'dur.
Verilen problemde varış hızı λ=6\lambda = 6 kişi/saat ve hizmet hızı μ=10\mu = 10 kişi/saat olarak belirlenmiştir. (M/M/1)(M/M/1) modelinde kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı Lq=λ2μ(μ−λ)L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} formülüyle bulunur. Değerler yerine yazıldığında 36/40=0,936 / 40 = 0,9 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri aynı zaman birimine çevirerek belirleyin.
λ=6\lambda = 6 kişi/saat; μ=60/6=10\mu = 60 / 6 = 10 kişi/saat.
Kuyruk modellerinde varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızı (μ\mu) değerlerinin birimleri aynı (saatlik) olmalıdır.
2
Sistem kullanım oranını (trafik yoğunluğu) hesaplayın.
ρ=λμ=610=0,6\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{6}{10} = 0,6.
ρ<1\rho < 1 olduğu için sistem kararlı durumdadır ve performans ölçütleri hesaplanabilir.
3
Kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı (LqL_q) formülünü uygulayın.
Lq=λ2μ(μ−λ)=3610(10−6)=3640=0,9L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{36}{10(10 - 6)} = \frac{36}{40} = 0,9 kişi.
M/M/1 modelinde kuyruk uzunluğu bu formül ile veya Lq=ρ21−ρL_q = \frac{\rho^2}{1 - \rho} ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

(M/M/1) Modelinde Kuyruk Uzunluğu Hesaplama
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 34Soru →

Bir Tapu Müdürlüğünde randevulu gelen vatandaşların evrak inceleme işlemleri için ortalama varış hızı saatte 1515 kişidir (λ=15\lambda = 15). Yapılan gözlemler sonucunda, bekleme hattındaki (kuyruktaki) ortalama kişi sayısının (LqL_q) 0,50,5 olduğu ve bir vatandaşın evrak inceleme işleminin ortalama 33 dakika sürdüğü saptanmıştır.

Buna göre, bir vatandaşın bu müdürlükte evrak inceleme işlemleri için (sistemde) geçirdiği toplam süre ortalama kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Vatandaşın sistemde geçirdiği toplam süre ortalama 5 dakikadır.
Doğru yanıt olan seçenek, Little Teoremi aracılığıyla hesaplanan bekleme süresi (22 dakika) ile soruda verilen hizmet süresinin (33 dakika) toplamından elde edilen 55 dakikayı ifade eder. Kuyruk sistemlerinde toplam sistem süresi, bekleme ve hizmet aşamalarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızını (λ\lambda) dakika birimine çeviriniz.
λ=15/60=0,25\lambda = 15 / 60 = 0,25 kişi/dakika
Hizmet süresi ve sonuç dakika cinsinden istendiği için tüm birimler aynı zaman dilimine getirilmelidir.
2
Little Teoremi (Lq=λ×WqL_q = \lambda \times W_q) kullanarak ortalama bekleme süresini (WqW_q) hesaplayınız.
Wq=Lq/λ=0,5/0,25=2W_q = L_q / \lambda = 0,5 / 0,25 = 2 dakika
Kuyruktaki kişi sayısı ile varış hızı arasındaki ilişki bekleme süresini verir.
3
Sistemde geçirilen toplam süreyi (WW) hesaplayınız.
W=Wq+(1/μ)=2+3=5W = W_q + (1/\mu) = 2 + 3 = 5 dakika
Toplam süre, kuyrukta geçen süre ile hizmette geçen sürenin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Performans Ölçütleri Arasındaki İlişki

Alternatif Yöntem

Önce sistemdeki toplam kişi sayısı (LL) hesaplanarak da sonuca gidilebilir: ρ=λ×hizmet su¨resi=0,25×3=0,75\rho = \lambda \times \text{hizmet süresi} = 0,25 \times 3 = 0,75. Buradan L=Lq+ρ=0,5+0,75=1,25L = L_q + \rho = 0,5 + 0,75 = 1,25 bulunur. Little Teoremi (L=λ×WL = \lambda \times W) uyarınca W=1,25/0,25=5W = 1,25 / 0,25 = 5 dakika elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 35Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt birimine gelen mükelleflerin varışları, saatte ortalama 6 kişi (λ=6\lambda = 6) olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Kayıt işlemleri tek bir memur tarafından gerçekleştirilmekte olup, işlem süreleri genel bir dağılıma (M/G/1M/G/1) sahiptir. Ortalama işlem süresi 8 dakika, işlem sürelerinin standart sapması ise 4 dakikadır.

Buna göre, bu kuyruk sisteminde bekleyen (kuyruktaki) ortalama mükellef sayısı (LqL_q) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,0

Cevap

Kuyruktaki ortalama mükellef sayısı 2,0'dır.
Sistem parametreleri λ=6\lambda=6, ρ=0,8\rho=0,8 ve hizmet süresi varyansı σ2=1/225\sigma^2=1/225 olarak belirlenmiştir. Bu değerler Pollaczek-Khinchine formülünde yerine yazıldığında, payda yer alan λ2σ2+ρ2\lambda^2\sigma^2 + \rho^2 ifadesi 0,800,80 değerini, paydada yer alan 2(1−ρ)2(1-\rho) ifadesi ise 0,400,40 değerini verir. Bölme işlemi sonucunda kuyruktaki ortalama mükellef sayısı 2,0 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kuyruk sistemi parametrelerini aynı zaman birimi (saat) üzerinden belirleyiniz.
λ=6\lambda = 6 kişi/saat. Ortalama hizmet süresi E[S]=8E[S] = 8 dakika =8/60=2/15= 8/60 = 2/15 saat. Hizmet hızı μ=1/E[S]=7,5\mu = 1/E[S] = 7,5 kişi/saat. Sistem yoğunluğu ρ=λ/μ=6/7,5=0,8\rho = \lambda/\mu = 6/7,5 = 0,8.
Pollaczek-Khinchine formülünde kullanılacak hız ve yoğunluk değerlerinin birim uyuşmazlığına yol açmaması için saatlik bazda hesaplanması gerekir.
2
Hizmet süresinin varyansını hesaplayınız.
Standart sapma σ=4\sigma = 4 dakika =4/60=1/15= 4/60 = 1/15 saattir. Varyans σ2=(1/15)2=1/225\sigma^2 = (1/15)^2 = 1/225 saat 2^2.
M/G/1M/G/1 kuyruk modellerinde performans ölçütleri hizmet süresi varyansına doğrudan bağımlıdır.
3
Pollaczek-Khinchine (P-K) formülünü uygulayarak LqL_q değerini bulunuz.
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=62⋅(1/225)+0,822(1−0,8)=36/225+0,640,4=0,16+0,640,4=0,800,4=2,0L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{6^2 \cdot (1/225) + 0,8^2}{2(1-0,8)} = \frac{36/225 + 0,64}{0,4} = \frac{0,16 + 0,64}{0,4} = \frac{0,80}{0,4} = 2,0.
P-K formülü, genel hizmet süreli tek kanallı kuyruk sistemlerinde kuyruktaki ortalama birim sayısını verir.

Anahtar Kavram

Pollaczek-Khinchine (P-K) Formülü

Alternatif Yöntem

Önce kuyrukta bekleme süresi (WqW_q) formülü kullanılıp, ardından Little Teoremi (Lq=λWqL_q = \lambda W_q) yardımıyla kuyruk uzunluğuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →

Bir veri terminalinde işlem gören taleplerin varış ve hizmet süreçleri bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) ile modellenmiştir. Terminalde aynı anda en fazla 2 talep bulunabilmektedir. Sisteme talep geliş hızları sistemdeki talep sayısına (nn) bağlı olarak λ0=6\lambda_0 = 6 birim/saat ve λ1=3\lambda_1 = 3 birim/saat olarak belirlenmiştir. Taleplerin hizmet görme hızı ise sistemdeki birim sayısından bağımsız olarak μ=6\mu = 6 birim/saat sabittir. Buna göre, sistemin dengede (steady-state) olduğu bir anda terminalde hiç talep bulunmama olasılığı (P0P_0) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,40

Cevap

Sistemin boş olma olasılığı 0,40 olarak hesaplanır.
Denge denklemlerine göre sistemin 1 birim içerme olasılığı P1=(6/6)P0=P0P_1 = (6/6)P_0 = P_0 ve 2 birim içerme olasılığı P2=(3/6)P1=0,5P0P_2 = (3/6)P_1 = 0,5P_0 olarak bulunur. Toplam olasılık kuralı (P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1) uygulandığında P0+P0+0,5P0=2,5P0=1P_0 + P_0 + 0,5P_0 = 2,5P_0 = 1 eşitliğinden P0=0,40P_0 = 0,40 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Denge (steady-state) denklemleri kullanılarak her durumun olasılığını P0P_0 cinsinden ifade ediniz.
P1=λ0μ1P0=66P0=P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 = \frac{6}{6} P_0 = P_0 ve P2=λ1μ2P1=36P1=0,5P0P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 = \frac{3}{6} P_1 = 0,5 P_0
Doğum-ölüm süreçlerinde her durum arasındaki geçiş dengesi Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} formülü ile kurulur.
2
Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayınız.
P0+P1+P2=1⇒P0+P0+0,5P0=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1
Kesikli bir olasılık dağılımında tüm olası durumların toplamı 1 olmalıdır.
3
Elde edilen denklemde P0P_0 değerini yalnız bırakarak çözünüz.
2,5P0=1⇒P0=12,5=0,402,5 P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{1}{2,5} = 0,40
Matematiksel sadeleştirme sonucunda sistemin boş olma olasılığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge Durumu Olasılıkları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 37Soru →

Bir üretim tesisinde bulunan 33 adet özdeş makinenin her biri, ortalama 1010 saatte bir arıza yapmaktadır (saatte ortalama bozulma oranı λ=0,1\lambda = 0,1). Tesiste bu makinelerin onarımıyla ilgilenen tek bir teknisyen bulunmakta olup teknisyenin ortalama tamir hızı saatte μ=0,2\mu = 0,2 birimdir. Arızalanma ve tamir sürelerinin sırasıyla Poisson ve üstel dağılıma uygun olduğu varsayıldığında, sistem kararlı hale (steady-state) ulaştığında sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4/194/19

Cevap

Sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığı 4/194/19 olarak hesaplanır.
Verilen modelde N=3N=3 makine ve bir tamirci bulunmaktadır. ρ=0,5\rho = 0,5 değeriyle kurulan P0=[1+3ρ+6ρ2+6ρ3]−1P_0 = [1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3]^{-1} denklemi çözüldüğünde toplam 4,754,75 (yani 19/419/4) çıkmaktadır. Bu değerin tersi olan 4/194/19 sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini belirle.
N=3N = 3, c=1c = 1, λ=0,1\lambda = 0,1, μ=0,2\mu = 0,2
Soruda verilen makine sayısı, tamirci sayısı ve hız değerlerini matematiksel modele dökmek gerekir.
2
Servis yoğunluk oranını (ρ\rho) hesapla.
ρ=λμ=0,10,2=0,5\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5
Sonlu kaynaklı modellerde durum olasılıklarını hesaplamak için kullanılan temel orandır.
3
Sistemin boş olma olasılığı (P0P_0) için denge denklemini kur.
P0=[∑n=033!(3−n)!(0,5)n]−1P_0 = [\sum_{n=0}^{3} \frac{3!}{(3-n)!} (0,5)^n]^{-1}
Tek kanallı (c=1c=1) sonlu popülasyon modelinde P0P_0 formülü bu toplamın tersidir.
4
Toplamın terimlerini tek tek hesapla.
n=0→1n=0 \rightarrow 1, n=1→3×0,5=1,5n=1 \rightarrow 3 \times 0,5 = 1,5, n=2→6×0,25=1,5n=2 \rightarrow 6 \times 0,25 = 1,5, n=3→6×0,125=0,75n=3 \rightarrow 6 \times 0,125 = 0,75
Her bir durumun P0P_0 cinsinden katsayılarını belirlemek gerekir.
5
Toplamı ve P0P_0 değerini bul.
1+1,5+1,5+0,75=4,75→P0=14,75=100475=4191 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 \rightarrow P_0 = \frac{1}{4,75} = \frac{100}{475} = \frac{4}{19}
Elde edilen katsayılar toplanarak sistemin normalize edilmesi sağlanır.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı (Popülasyonlu) Kuyruk Modellerinde (M/M/1/N/N) sistemin boş olma olasılığı, her bir durumun (nn) popülasyon kısıtı altındaki ağırlıklarının toplamının tersine eşittir.

İpuçları

1
Bu bir sonlu kaynaklı (makine bakım) kuyruk problemidir; λ\lambda ve μ\mu oranlarını belirleyerek başlayın.
2
Pn=N!(N−n)!ρnP0P_n = \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n P_0 formülünü kullanarak tüm PnP_n değerlerini P0P_0 cinsinden yazın.
3
P0+P1+P2+P3=1P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1 eşitliğinde ρ=0,5\rho = 0,5 koyarak P0(1+1,5+1,5+0,75)=1P_0(1 + 1,5 + 1,5 + 0,75) = 1 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Aynı sistemde tamircinin beklenen meşguliyet süresini veya kuyrukta bekleyen ortalama makine sayısını (LqL_q) hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Durum geçiş diyagramı (state transition diagram) çizilerek her durum için denge denklemleri (0.3P0=0.2P10.3 P_0 = 0.2 P_1 gibi) yazılarak da çözüme gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 38Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde bulunan 22 adet özdeş tarayıcıdan her biri, Poisson dağılımına uygun olarak haftada ortalama 11 kez (λ=1\lambda = 1) arızalanmaktadır. Arızalı cihazlar, haftada ortalama 22 cihaz tamir edebilen (μ=2\mu = 2) tek bir teknisyen tarafından onarılmaktadır. Tamir süresi üstel dağılıma uymaktadır. Buna göre, bu kurumda herhangi bir zamanda çalışır durumda olması beklenen ortalama tarayıcı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,2

Cevap

Herhangi bir zamanda çalışır durumda olması beklenen tarayıcı sayısı 1,2'dir.
Yapılan hesaplamalar sonucunda sistemde arızalı (tamirde veya sırada bekleyen) cihazların beklenen sayısı L=0,8L = 0,8 olarak bulunmuştur. Toplam cihaz sayısı 22 olduğu için, çalışır durumdaki cihazların beklenen değeri 2−0,8=1,22 - 0,8 = 1,2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirle
N=2N=2, c=1c=1, λ=1\lambda=1, μ=2\mu=2, ρ=λ/μ=0,5\rho = \lambda/\mu = 0,5
Sonlu kaynaklı kuyruk modeli formüllerini uygulamak için temel oranlar gereklidir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla
P0=[∑n=01(2n)(0,5)n+2!(2−2)!1!11(0,5)2]−1=[1+1+0,5]−1=1/2,5=0,4P_0 = [\sum_{n=0}^{1} \binom{2}{n} (0,5)^n + \frac{2!}{(2-2)! 1! 1^1} (0,5)^2]^{-1} = [1 + 1 + 0,5]^{-1} = 1/2,5 = 0,4
Sistemdeki diğer durum olasılıklarını bulmak için normalizasyon sabiti olan P0P_0 gereklidir.
3
Sistemdeki cihaz sayılarına ait olasılıkları (P1,P2P_1, P_2) hesapla
P1=(21)(0,5)1P0=1⋅0,4=0,4P_1 = \binom{2}{1}(0,5)^1 P_0 = 1 \cdot 0,4 = 0,4; P2=2!0!11(0,5)2P0=2⋅0,25⋅0,4=0,2P_2 = \frac{2!}{0! 1^1}(0,5)^2 P_0 = 2 \cdot 0,25 \cdot 0,4 = 0,2
Beklenen değer hesaplaması için her durumun olasılığı bilinmelidir.
4
Sistemdeki beklenen cihaz sayısını (LL) hesapla
L=0(P0)+1(P1)+2(P2)=0(0,4)+1(0,4)+2(0,2)=0,8L = 0(P_0) + 1(P_1) + 2(P_2) = 0(0,4) + 1(0,4) + 2(0,2) = 0,8
Sistemde 'çalışmayan' (tamirdeki veya bekleyen) cihazların ortalaması budur.
5
Çalışır durumdaki beklenen cihaz sayısını bul
E[C\calıs\can]=N−L=2−0,8=1,2E[Çalışan] = N - L = 2 - 0,8 = 1,2
Toplam popülasyondan sistemdeki (arızalı) cihaz sayısı çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı kuyruk modellerinde sistemdeki beklenen birim sayısı (LL) ve operasyonel birim sayısı (N−LN-L) ilişkisi.

Daha Fazla Pratik

Teknisyen sayısının 2'ye çıkarılması durumunda sistem performansındaki değişimi inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 39Soru →

Bir kütüphanenin danışma masasına gelen kullanıcılar saatte ortalama 1515 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gelmektedir. Danışma görevlisi, bir kullanıcıya ortalama 33 dakikada hizmet vermekte olup hizmet süreleri üstel dağılıma uymaktadır. Bu sistemde sonsuz kuyruk kapasitesi varsayıldığında, kuyrukta bekleyen ortalama kullanıcı sayısı (LqL_q) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,25

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama kullanıcı sayısı 2,25 kişidir.
Kuyrukta bekleyen ortalama kullanıcı sayısı (LqL_q), sistemin kullanım oranının karesinin, sistemin boş kalma olasılığına bölünmesiyle bulunur. Bu problemde λ=15\lambda=15 ve μ=20\mu=20 olduğundan, ρ=0,75\rho=0,75 çıkar. Formül uygulandığında 0,5625/0,25=2,250,5625 / 0,25 = 2,25 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızının (λ\lambda) belirlenmesi
λ=15\lambda = 15 kişi/saat
Soruda varış hızının saatte ortalama 15 kişi olduğu belirtilmiştir.
2
Hizmet hızının (μ\mu) aynı zaman birimine (saat) çevrilmesi
μ=60/3=20\mu = 60 / 3 = 20 kişi/saat
Hizmet süresi 3 dakika verildiğinden, bir saatteki hizmet kapasitesi 60/360/3 işlemiyle bulunur.
3
Sistemin kullanım oranının (ρ\rho) hesaplanması
ρ=λ/μ=15/20=0,75\rho = \lambda / \mu = 15 / 20 = 0,75
Modelin kararlı halde çalışması için gereken kullanım oranı hesaplanır.
4
Kuyrukta bekleyen ortalama kullanıcı sayısının (LqL_q) hesaplanması
Lq=ρ21−ρ=0,7521−0,75=0,56250,25=2,25L_q = \frac{\rho^2}{1 - \rho} = \frac{0,75^2}{1 - 0,75} = \frac{0,5625}{0,25} = 2,25
M/M/1 modelinde kuyruk uzunluğu formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

(M/M/1) Modelinde Kuyruk Uzunluğu (LqL_q)

Daha Fazla Pratik

Aynı sistemde bir kullanıcının kuyrukta beklediği ortalama süreyi (WqW_q) hesaplayarak Little Teoremi'ni (Lq=λWqL_q = \lambda W_q) doğrulayabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 40Soru →

Bir ilçe nüfus müdürlüğünde kimlik kartı yenileme işlemleri için gelen vatandaşların ortalama varış hızı saatte 2020 kişidir (λ=20\lambda = 20). Yapılan gözlemler sonucunda, bekleme kuyruğunda bulunan ortalama vatandaş sayısının 44 (Lq=4L_q = 4) olduğu ve bir vatandaşın gişedeki ortalama işlem (hizmet) süresinin 66 dakika sürdüğü belirlenmiştir.

Buna göre, bu müdürlüğe gelen bir vatandaşın sistemde (kuyrukta bekleme ve hizmet alma dahil) geçirdiği ortalama süre kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Vatandaşın sistemde geçirdiği ortalama süre 1818 dakikadır.
Little Teoremi kullanılarak öncelikle vatandaşın kuyrukta bekleme süresi hesaplanır: Wq=Lq/λW_q = L_q / \lambda. Verilenlere göre Wq=4/20=0,2W_q = 4 / 20 = 0,2 saattir. Bu sürenin dakika karşılığı 0,2×60=120,2 \times 60 = 12 dakikadır. Sistemin toplam süresi (WW), kuyrukta bekleme süresi (WqW_q) ile ortalama hizmet süresinin (1/μ1/\mu) toplamıdır. Dolayısıyla 12+6=1812 + 6 = 18 dakika sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kuyrukta bekleme süresini (WqW_q) saat cinsinden hesaplayınız.
Wq=Lq/λ=4/20=0,2W_q = L_q / \lambda = 4 / 20 = 0,2 saat
Little Teoremi'ne göre kuyruk uzunluğu ile kuyrukta bekleme süresi arasında Lq=λWqL_q = \lambda W_q ilişkisi vardır.
2
Hesaplanan süreyi dakika birimine çeviriniz.
0,2×60=120,2 \times 60 = 12 dakika
Soruda hizmet süresi dakika cinsinden verildiği için birimlerin uyuşması gerekmektedir.
3
Sistemde geçirilen toplam süreyi (WW) bulunuz.
W=Wq+(1/μ)=12+6=18W = W_q + (1/\mu) = 12 + 6 = 18 dakika
Sistemde geçirilen toplam süre, kuyrukta bekleme süresi ile hizmet alma süresinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Kuyruk Performans Ölçütleri Arasındaki İlişkiler

İpuçları

1
Little Teoremi olan Lq=λ×WqL_q = \lambda \times W_q formülünü kullanarak işe başlayın.
2
Varış hızının saatlik, işlem süresinin dakikalık verildiğine dikkat ederek birimleri eşitleyin.
3
Bulduğunuz kuyrukta bekleme süresine (WqW_q), vatandaşın gişede geçirdiği hizmet süresini ekleyerek toplam sistem süresine (WW) ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Eğer sistemdeki toplam vatandaş sayısı (LL) sorulsaydı, bekleme kuyruğundaki kişi sayısına gişede işlem gören ortalama kişi sayısını eklemeniz gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Sistemdeki toplam kişi sayısını (LL) bularak da çözüme gidilebilir: L=Lq+ρL = L_q + \rho. Burada ρ=λ/μ=20×(6/60)=2\rho = \lambda / \mu = 20 \times (6/60) = 2 kişidir. L=4+2=6L = 4 + 2 = 6 kişidir. Little Teoremi (L=λWL = \lambda W) uygulandığında 6=20×W⇒W=0,36 = 20 \times W \Rightarrow W = 0,3 saat =18= 18 dakika bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 7Sonraki
Kuyruk Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2 | Examkin