Examkin

Kuyruk Modelleri

127 soru

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt servisinde yapılan gözlemler sonucunda, ziyaretçilerin servise varışlarının saatte ortalama 1212 kişi (λ=12\lambda = 12) olacak şekilde Poisson sürecine uygun olduğu saptanmıştır. Buna göre, birbirini takip eden iki ziyaretçi varışı arasındaki sürenin olasılık dağılımı ve bu sürenin beklenen değeri (ortalama süre) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Üstel dağılım; 5 dakika

Cevap

Üstel dağılım; 5 dakika
Kuyruk modellerinde temel bir özellik olarak, varışların Poisson sürecine uygun olması durumunda varışlar arasındaki sürelerin parametresi λ\lambda olan Üstel Dağılım gösterdiği bilinmektedir. Saatte ortalama 12 varış gerçekleşiyorsa, bir varışın gerçekleşmesi için gereken ortalama süre 1/121/12 saattir. Bu değer dakikaya çevrildiğinde 60/12=560 / 12 = 5 dakika sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızının (λλ) belirlenmesi
λ=12\lambda = 12 varış/saat
Soruda saatlik ortalama varış hızı olarak verilmiştir.
2
Varışlar arası sürenin olasılık dağılımının belirlenmesi
Üstel Dağılım
Kuyruk teorisinde varış süreci Poisson ise, ardışık varışlar arasındaki süreler (inter-arrival times) parametresi λ\lambda olan Üstel Dağılım'a uyar.
3
Beklenen sürenin hesaplanması ve birim dönüşümü
5 dakika
Beklenen süre E[T]=1/λE[T] = 1/\lambda formülü ile bulunur. E[T]=1/12E[T] = 1/12 saat =(1/12)×60= (1/12) \times 60 dakika =5= 5 dakika olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Poisson süreci ile Üstel dağılım arasındaki dualite (Hız vs. Süre ilişkisi)

Daha Fazla Pratik

M/M/1 kuyruk sisteminde hizmet hızının (μ) da verildiği bekleme süresi hesaplama sorularına göz atabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Tek bir personelin görev yaptığı küçük bir noter veznesine müşteriler saatte ortalama 22 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun varış yapmaktadır. Bir müşterinin işlem süresi ortalama 1515 dakika olup üstel dağılım göstermektedir. Vezne ve bekleme alanı dahil toplam müşteri kapasitesi 33 ile sınırlıdır (yani içeride 33 müşteri varken gelen yeni müşteri sisteme kabul edilmemektedir). Buna göre, gelen bir müşterinin veznenin tam dolu olması nedeniyle sisteme kabul edilmeme (kaybedilme) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/151/15

Cevap

Gelen bir müşterinin sistemin tam dolu olması nedeniyle kaybedilme olasılığı 1/151/15 olarak bulunur.
Verilen problemde varış hızı λ=2\lambda=2 ve hizmet hızı μ=4\mu=4 olarak belirlenmiştir. Trafik yoğunluğu ρ=0,5\rho = 0,5 olup sistem kapasitesi K=3K=3'tür. Sonlu kapasiteli tek kanallı kuyruk modellerinde sistemin dolu olma olasılığı PK=P0⋅ρKP_K = P_0 \cdot \rho^K formülü ile hesaplanır. Burada P0=(1−ρ)/(1−ρK+1)P_0 = (1-\rho)/(1-\rho^{K+1}) ifadesinden 8/158/15 olarak bulunur. Bu değer P3=(8/15)⋅(0,5)3P_3 = (8/15) \cdot (0,5)^3 işlemine tabi tutulduğunda 1/151/15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirleyin.
lambda=2\\lambda = 2 müşteri/saat, mu=60/15=4\\mu = 60/15 = 4 müşteri/saat, K=3K = 3
Kuyruk modelini analiz etmek için varış hızı, hizmet hızı ve sistem kapasitesinin ortak zaman biriminde olması gerekir.
2
Trafik yoğunluğunu (yoğunluk oranını) hesaplayın.
rho=fraclambdamu=frac24=0,5\\rho = \\frac{\\lambda}{\\mu} = \\frac{2}{4} = 0,5
Sistemin doluluk olasılıklarını hesaplamak için yoğunluk parametresi gereklidir.
3
Sistemde hiç müşteri olmama olasılığını (P0P_0) bulun.
P0=frac1−rho1−rhoK+1=frac1−0,51−0,54=frac0,50,9375=frac815P_0 = \\frac{1-\\rho}{1-\\rho^{K+1}} = \\frac{1-0,5}{1-0,5^4} = \\frac{0,5}{0,9375} = \\frac{8}{15}
(M/M/1/K) modelinde her bir durum olasılığı P0P_0 değerine bağlıdır.
4
Sistemin tam dolu olma olasılığını (P3P_3) hesaplayın.
P3=P0cdotrho3=frac815cdot(0,5)3=frac815cdotfrac18=frac115P_3 = P_0 \\cdot \\rho^3 = \\frac{8}{15} \\cdot (0,5)^3 = \\frac{8}{15} \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{1}{15}
Sistem kapasitesi 33 olduğu için kaybedilme olasılığı P3P_3 değerine eşittir.

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) sonlu kapasiteli modelde engellenme olasılığı, sistemin maksimum kapasiteye (KK) ulaşma olasılığına (PKP_K) eşittir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunun pasaport dairesine gelen başvurular saatte ortalama 8 kişi (λ=8λ = 8) olacak şekilde Poisson dağılımına uygun gerçekleşmektedir. Başvurulara hizmet veren tek bir görevli bulunmakta olup, hizmet süreleri genel bir dağılıma sahiptir. Ortalama hizmet süresi 6 dakika ve bu sürenin standart sapması 3 dakikadır. Sistemin kararlı durumda olduğu varsayıldığında, Pollaczek-Khinchine formülüne göre kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı (LqL_q) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,0

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı (LqL_q) 2,0'dır.
Pollaczek-Khinchine formülüne göre Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} bağıntısı kullanılır. Verilen değerler saat birimine çevrildiğinde λ=8\lambda=8, ρ=0,8\rho=0,8 ve σ2=0,0025\sigma^2=0,0025 bulunur. Bu değerler formülde yerine koyulduğunda pay kısmı 0,8 ve payda kısmı 0,4 olarak hesaplanır, sonuç 2,0 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Birimleri ortak paydaya (saat) dönüştürün.
E[S]=6 dakika=0,1 saatE[S] = 6 \text{ dakika} = 0,1 \text{ saat}, σ=3 dakika=0,05 saat\sigma = 3 \text{ dakika} = 0,05 \text{ saat}
Kuyruk modellerinde varış hızı ve hizmet süresi birimlerinin uyumlu olması zorunludur.
2
Sisteminyog˘unlukoranını(ρ)hesaplayın.Sistemin yoğunluk oranını (\rho) hesaplayın.
ρ=λ×E[S]=8×0,1=0,8\rho = \lambda \times E[S] = 8 \times 0,1 = 0,8
Pollaczek-Khinchine formülünde temel parametrelerden biri sistem yoğunluğudur.
3
Hizmetsu¨resininvaryansını(σ2)hesaplayın.Hizmet süresinin varyansını (\sigma^2) hesaplayın.
σ2=(0,05)2=0,0025\sigma^2 = (0,05)^2 = 0,0025
M/G/1 modellerinde bekleme süreleri hizmet süresinin varyansına bağlıdır.
4
Pollaczek-Khinchine formülünü uygulayarak LqL_q değerini bulun.
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=82(0,0025)+0,822(1−0,8)=0,16+0,640,4=0,80,4=2L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{8^2(0,0025) + 0,8^2}{2(1-0,8)} = \frac{0,16 + 0,64}{0,4} = \frac{0,8}{0,4} = 2
Genel hizmet dağılımına sahip tek kanallı sistemlerde kuyruk uzunluğunu veren standart formüldür.

Anahtar Kavram

Pollaczek-Khinchine (P-K) Formülü

Daha Fazla Pratik

Aynı sistem için kuyrukta ortalama bekleme süresini (WqW_q) Little teoremini kullanarak hesaplamayı deneyin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunun veznesine gelen kişilerin ortalama varış hızı saatte 2424 kişidir (λ=24\lambda = 24). Gelen kişilerin kurumda (sistemde) geçirdikleri ortalama sürenin (WW) 1010 dakika ve kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısının (LqL_q) 33 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu kurumda bir kişiye veznede verilen ortalama hizmet süresi (1/μ1/\mu) kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,52,5

Cevap

Bir kişiye veznede verilen ortalama hizmet süresi 2,52,5 dakikadır.
Verilen varış hızı saatte 2424 kişi olduğundan dakikada 0,40,4 kişidir. Little Teoremi'ne göre kuyrukta bekleme süresi Wq=Lq/λ=3/0,4=7,5W_q = L_q / \lambda = 3 / 0,4 = 7,5 dakikadır. Sistemin toplam süresi (W=10W = 10 dk) kuyrukta bekleme süresi ile hizmet süresinin toplamı olduğundan, hizmet süresi 10−7,5=2,510 - 7,5 = 2,5 dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızını (λ\lambda) dakika birimine çeviriniz.
λ=24 kis¸i60 dakika=0,4\lambda = \frac{24 \text{ kişi}}{60 \text{ dakika}} = 0,4 kişi/dakika
Süreler dakika cinsinden verildiği için birim uyuşmazlığını önlemek amacıyla ortak birime geçilir.
2
Little Teoremi (Lq=λ⋅WqL_q = \lambda \cdot W_q) yardımıyla kuyrukta bekleme süresini (WqW_q) hesaplayınız.
3=0,4⋅Wq⇒Wq=30,4=7,53 = 0,4 \cdot W_q \Rightarrow W_q = \frac{3}{0,4} = 7,5 dakika
Kuyrukta bekleyen kişi sayısı ve varış hızı bilindiğinde, kuyrukta geçen süre bu bağıntı ile bulunur.
3
Sistemde kalma süresi (WW) ile kuyrukta bekleme süresi (WqW_q) ve hizmet süresi (1/μ1/\mu) arasındaki ilişkiyi kullanarak sonucu bulunuz.
W=Wq+1μ⇒10=7,5+1μ⇒1μ=2,5W = W_q + \frac{1}{\mu} \Rightarrow 10 = 7,5 + \frac{1}{\mu} \Rightarrow \frac{1}{\mu} = 2,5 dakika
Bir müşterinin sistemde geçirdiği toplam süre, kuyrukta beklediği süre ile hizmet aldığı sürenin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Performans Ölçütleri İlişkisi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Kuyruk sistemlerinin temel özelliklerini ve yapısını standart bir biçimde tanımlamak amacıyla kullanılan A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D Kendall notasyonunda, dördüncü sırada yer alan KK sembolü aşağıdakilerden hangisini ifade etmektedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sistem kapasitesini (kuyruk ve hizmetteki toplam maksimum birim sayısı)

Cevap

Kendall notasyonuna göre dördüncü bileşen sistem kapasitesini ifade eden ifadedir.
Kendall notasyonu A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D şeklinde altı bileşenden oluşur. Burada dördüncü sırada bulunan KK sembolü, sistemin (hem hizmet alanlar hem de kuyrukta bekleyenler dahil) alabileceği maksimum müşteri kapasitesini ifade etmektedir. Eğer bu değer sonsuz ise genellikle boş bırakılır veya ∞\infty işareti konur.

Adım Adım Çözüm

1
Kendall notasyonunun standart dizilimini hatırla.
A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D
Sistemin bileşenlerinin hangi sırada yer aldığını belirlemek için temel dizilim gereklidir.
2
Dizilimdeki her bir sembolün anlamını tanımla.
AA: Varış dağılımı, BB: Hizmet dağılımı, ss: Sunucu sayısı, KK: Sistem kapasitesi, NN: Popülasyon büyüklüğü, DD: Hizmet disiplini.
Dördüncü pozisyondaki sembolün karşılığını bulmak için tüm bileşenlerin anlamları incelenir.
3
Soru kökünde sorulan 4. sıradaki KK sembolünü eşleştir.
KK = Sistem kapasitesi.
Notasyon kuralları gereği dördüncü bileşen sistemin alabileceği toplam maksimum birim sayısını temsil eder.

Anahtar Kavram

Kendall Notasyonu Yapısı

Alternatif Yöntem

Notasyonu ezberlemek için 'A-B-S-K-N-D' (AbaS KaNaDı gibi) bir kodlama kullanılabilir: A(rrival)/B(service)/S(ervers)/K(apacity)/N(umber of source)/D(iscipline).
Tahmini Süre:45s
Soru 6Soru →

Kuyruk sistemlerinin yapısal ve operasyonel özelliklerini standart bir biçimde tanımlamak için kullanılan A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D Kendall notasyonunda, beşinci sırada yer alan 'NN' bileşeni aşağıdakilerden hangisini ifade etmektedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sisteme dahil olabilecek birimlerin oluşturduğu kaynak popülasyon büyüklüğünü

Cevap

Sisteme dahil olabilecek birimlerin oluşturduğu kaynak popülasyon büyüklüğünü
Kendall notasyonunda A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D sıralamasına göre beşinci sırada bulunan NN parametresi, sistemin dışında yer alan ve her an sisteme giriş yapma potansiyeli bulunan toplam birim sayısını (kaynak popülasyonunu) temsil etmektedir. Genellikle bu sayı çok büyük olduğunda sonsuz (∞\infty) kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kendall notasyonunun standart dizilimini incele
A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D dizilimi
Her harfin hangi pozisyonda olduğunu belirlemek için gereklidir.
2
Pozisyonları anlamlarıyla eşleştir
1: Varış (AA), 2: Hizmet (BB), 3: Kanal Sayısı (ss), 4: Sistem Kapasitesi (KK), 5: Kaynak Büyüklüğü (NN), 6: Kuyruk Disiplini (DD)
Notasyonun her bir parametresinin fiziksel karşılığını bulmak için.
3
Beşinci sıradaki sembolü tespit et
NN harfi kaynak popülasyonu (source population) temsil eder
Soruda istenen parametrenin doğru tanımını seçmek için.

Anahtar Kavram

Kendall Notasyonu Parametre Sıralaması
Soru 7Soru →

Bir oto yıkama istasyonunda tek bir yıkama kanalı bulunmaktadır. İstasyonun fiziksel kapasitesi, yıkama bandındaki araç dahil toplam 33 araçla sınırlıdır. Araçlar istasyona saatte ortalama 44 adet olacak şekilde Poisson dağılımına uygun gelmekte, bir aracın yıkanması ise ortalama 1515 dakika sürmekte ve bu süre üstel dağılım göstermektedir. Buna göre, istasyona girmeyi başaran bir aracın sistemde (yıkama ve bekleme dahil) geçirdiği ortalama süre (WW) kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İstasyona girmeyi başaran bir aracın sistemde geçirdiği ortalama süre 30 dakikadır.
Verilen problemde varış hızı (λ=4λ = 4) ve hizmet hızı (μ=4μ = 4) eşit olduğu için trafik yoğunluğu ρ=1ρ = 1 olur. Bu özel durumda, sistemin tam kapasite ile dolu olma olasılığı P3=1/(3+1)=0,25P_3 = 1/(3+1) = 0,25 olarak bulunur. Sisteme girmeyi başaran etkin varış hızı λeff=4×(1−0,25)=3λ_{eff} = 4 \times (1 - 0,25) = 3 araç/saat'tir. ρ=1ρ=1 durumunda sistemdeki ortalama araç sayısı formülü L=K/2L = K/2 olduğundan L=1,5L = 1,5 bulunur. Little Teoremi (W=L/λeffW = L / λ_{eff}) uygulandığında ortalama süre 1,5/3=0,51,5 / 3 = 0,5 saat, yani 30 dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış ve hizmet hızlarını aynı birim cinsinden belirleyin.
λ=4\lambda = 4 araç/saat, μ=60/15=4\mu = 60 / 15 = 4 araç/saat.
Hesaplamaların tutarlı olması için birimlerin (saat) uyumlu olması gerekir.
2
Trafikyog˘unlug˘unu(ρ)hesaplayın.Trafik yoğunluğunu (\rho) hesaplayın.
ρ=λ/μ=4/4=1\rho = \lambda / \mu = 4 / 4 = 1.
Modelin davranışını belirlemek için varış ve hizmet hızlarının oranı gereklidir.
3
Sistemin tam dolu olma (kaybedilme) olasılığını (PKP_K) hesaplayın.
ρ=1\rho = 1 olduğu için PK=1/(K+1)=1/(3+1)=0,25P_K = 1 / (K + 1) = 1 / (3 + 1) = 0,25.
Sonlu kapasiteli modellerde ρ=1\rho=1 durumunda tüm durum olasılıkları eşittir.
4
Etkin varış hızını (λeff\lambda_{eff}) hesaplayın.
λeff=λ(1−PK)=4(1−0,25)=3\lambda_{eff} = \lambda(1 - P_K) = 4(1 - 0,25) = 3 araç/saat.
Sadece sisteme girmeyi başaran araçlar sistemde zaman geçirir.
5
Sistemdeki ortalama araç sayısını (LL) hesaplayın.
ρ=1\rho = 1 olduğu için L=K/2=3/2=1,5L = K / 2 = 3 / 2 = 1,5.
ρ=1\rho=1 durumunda sistemdeki beklenen araç sayısı kapasitenin yarısına eşittir.
6
Little Teoremi'ni kullanarak ortalama süreyi (WW) bulun.
W=L/λeff=1,5/3=0,5W = L / \lambda_{eff} = 1,5 / 3 = 0,5 saat = 30 dakika.
Sistemdeki toplam süre, ortalama araç sayısının etkin varış hızına oranıdır.

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) Modeli ve Trafik Yoğunluğu 1 Durumu

Alternatif Yöntem

Sistem süresi W=Wq+1/μW = W_q + 1/\mu olarak da hesaplanabilir. Wq=Lq/λeffW_q = L_q / \lambda_{eff} ve ρ=1\rho=1 için Lq=[K(K−1)]/[2(K+1)]=[3(2)]/[2(4)]=0,75L_q = [K(K-1)] / [2(K+1)] = [3(2)] / [2(4)] = 0,75. Buradan Wq=0,75/3=0,25W_q = 0,75 / 3 = 0,25 saat (15 dk). W=15+15=30W = 15 + 15 = 30 dakika.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →

Bir kamu bankası şubesinde 22 adet vezne hizmet vermektedir. Bankaya gelen müşteriler, saatte ortalama 22 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun bir varış süreci izlemektedir. Her bir vezne görevlisi, bir müşteriye ortalama 3030 dakikada hizmet sunmakta olup hizmet süreleri üstel dağılıma uygundur. Bankada fiziksel alan kısıtlılığı nedeniyle, sistemde bulunabilecek toplam müşteri sayısı (veznede hizmet alanlar ve kuyrukta bekleyenler dahil) en fazla 33 kişi ile sınırlandırılmıştır. Sistem tam kapasiteye ulaştığında gelen müşteriler bankaya kabul edilmemektedir.

Buna göre, bu banka şubesinde kararlı hal (steady-state) durumunda sistemdeki ortalama müşteri sayısı (LsL_s) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (LsL_s) 11 olarak hesaplanır.
Denge durumundaki olasılıklar hesaplandığında P0=4/11P_0=4/11, P1=4/11P_1=4/11, P2=2/11P_2=2/11 ve P3=1/11P_3=1/11 bulunur. Bu olasılıklar kullanılarak hesaplanan beklenen değer Ls=1×(4/11)+2×(2/11)+3×(1/11)=1L_s = 1 \times (4/11) + 2 \times (2/11) + 3 \times (1/11) = 1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerinin belirlenmesi
λ=2\lambda = 2 müşteri/saat, μ=2\mu = 2 müşteri/saat (3030 dk = 0.50.5 saat →1/0.5=2\rightarrow 1/0.5 = 2), c=2c = 2 vezne, K=3K = 3 sistem kapasitesi.
Kuyruk modelini tanımlamak için varış hızı, hizmet hızı, kanal sayısı ve sistem kapasitesi netleştirilmelidir.
2
Trafik yoğunluğu (uu) ve sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
u=λ/μ=2/2=1u = \lambda / \mu = 2 / 2 = 1. 1/P0=∑n=011nn!+∑n=231n2!2n−2=(1+1)+(1/2+1/4)=2.75=11/41/P_0 = \sum_{n=0}^{1} \frac{1^n}{n!} + \sum_{n=2}^{3} \frac{1^n}{2! 2^{n-2}} = (1+1) + (1/2 + 1/4) = 2.75 = 11/4. Buradan P0=4/11P_0 = 4/11.
Sonlu kapasiteli modellerde durum olasılıklarını bulmak için öncelikle P0P_0 hesaplanmalıdır.
3
Sistemdeki müşteri sayısı olasılıklarının (PnP_n) hesaplanması
P1=uP0=4/11P_1 = u P_0 = 4/11, P2=u22P0=2/11P_2 = \frac{u^2}{2} P_0 = 2/11, P3=u34P0=1/11P_3 = \frac{u^3}{4} P_0 = 1/11.
Beklenen değer hesabı için her bir durumun (n=0,1,2,3n=0,1,2,3) gerçekleşme olasılığı gereklidir.
4
Ortalama müşteri sayısının (LsL_s) hesaplanması
Ls=∑n=03nPn=0(4/11)+1(4/11)+2(2/11)+3(1/11)=(4+4+3)/11=11/11=1L_s = \sum_{n=0}^{3} n P_n = 0(4/11) + 1(4/11) + 2(2/11) + 3(1/11) = (4 + 4 + 3)/11 = 11/11 = 1.
Sistemdeki ortalama müşteri sayısı, müşteri sayılarının olasılıkları ile ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

(M/M/c/K)(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Kuyruk Modeli Performans Ölçütleri

Daha Fazla Pratik

Sistemin müşteriyi reddetme olasılığını (PKP_K) hesaplayarak kapasite artırımının etkisini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Önce λeff=λ(1−P3)\lambda_{eff} = \lambda(1 - P_3) hesaplanıp, sonra Little Teoremi yardımıyla Ls=Lq+(λeff/μ)L_s = L_q + (\lambda_{eff} / \mu) formülü kullanılabilir. λeff=2(1−1/11)=20/11\lambda_{eff} = 2(1 - 1/11) = 20/11. Ls=1/11+(20/11/2)=1/11+10/11=1L_s = 1/11 + (20/11 / 2) = 1/11 + 10/11 = 1.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt biriminde 22 adet memur hizmet vermektedir. Birime gelen vatandaşlar saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak ulaşmaktadır. Her bir memurun bir vatandaşın işlemini tamamlama süresi üstel dağılıma uygun olup ortalama 1515 dakikadır. Birimin bekleme alanı ve hizmet noktaları dahil toplam kapasitesi 33 kişi ile sınırlıdır (Kapasite dolduğunda gelen vatandaşlar birime kabul edilmemektedir). Buna göre, sistemde (birimde) bulunan ortalama vatandaş sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Sistemde bulunan ortalama vatandaş sayısı 11 kişidir.
Durağan hal olasılıkları hesaplandığında P0=4/11P_0 = 4/11, P1=4/11P_1 = 4/11, P2=2/11P_2 = 2/11 ve P3=1/11P_3 = 1/11 olarak bulunur. Beklenen değer tanımı gereği L=0(P0)+1(P1)+2(P2)+3(P3)L = 0(P_0) + 1(P_1) + 2(P_2) + 3(P_3) işlemi yapıldığında sonuç 11 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini ve trafik yoğunluğunu belirleme
c=2c=2, K=3K=3, λ=4\lambda=4, μ=4\mu=4 (saatte), r=λ/μ=1r = \lambda/\mu = 1
(M/M/c/K)(M/M/c/K) modelinde kapasite ve hız birimlerinin uyumlu olması gerekir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplama
P0=[∑n=0c−1rnn!+∑n=cKrnc!cn−c]−1=[1+1+1/2+1/4]−1=4/11P_0 = [\sum_{n=0}^{c-1} \frac{r^n}{n!} + \sum_{n=c}^{K} \frac{r^n}{c! c^{n-c}}]^{-1} = [1 + 1 + 1/2 + 1/4]^{-1} = 4/11
Sistemdeki diğer tüm olasılıklar P0P_0 değerine bağlıdır.
3
Sistemdeki müşteri sayısı olasılıklarını (PnP_n) bulma
P1=(1)P0=4/11P_1 = (1)P_0 = 4/11; P2=(1/2)P0=2/11P_2 = (1/2)P_0 = 2/11; P3=(1/4)P0=1/11P_3 = (1/4)P_0 = 1/11
Beklenen değeri hesaplamak için her bir durumun gerçekleşme olasılığına ihtiyaç duyulur.
4
Ortalama müşteri sayısını (LL) hesaplama
L=∑nPn=0(P0)+1(4/11)+2(2/11)+3(1/11)=11/11=1L = \sum n P_n = 0(P_0) + 1(4/11) + 2(2/11) + 3(1/11) = 11/11 = 1
Kesikli bir tesadüfi değişkenin beklenen değeri, değerlerin olasılıkları ile çarpımlarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Sonlu kapasiteli çok kanallı kuyruk modellerinde (M/M/c/K)(M/M/c/K), sistem kapasitesi dolduğunda yeni varışların kabul edilmemesi nedeniyle sistemin her zaman dengeye (steady-state) ulaşması ve performans ölçütlerinin bu sınıra göre hesaplanmasıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →

Bir e-devlet entegrasyon merkezine gelen veri paketlerinin ortalama varış hızı saatte 4040 adettir (λ=40\lambda = 40). Bir veri paketinin kuyrukta beklediği ortalama süre 66 dakika, her bir paketin işlenme (servis) süresi ise ortalama 33 dakikadır. Buna göre, bu sistemdeki (kuyrukta bekleyen ve işlemde olan) ortalama paket sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

Sistemdeki ortalama paket sayısı 66 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan değer, sistemdeki toplam bekleme süresinin (W=9W = 9 dakika =0,15= 0,15 saat) varış hızı (λ=40\lambda = 40) ile çarpılması sonucu elde edilir. Bu, Little Teoremi'nin (L=λWL = \lambda W) doğrudan uygulamasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Zaman birimlerini eşitleyin.
Wq=6W_q = 6 dakika =6/60=0,1= 6/60 = 0,1 saat; Servis süresi =3= 3 dakika =3/60=0,05= 3/60 = 0,05 saat.
Varış hızı (λ\lambda) saatlik birimle verildiği için süreler de saate çevrilmelidir.
2
Sistemde geçirilen toplam süreyi (WW) hesaplayın.
W=Wq+Servis Su¨resi=0,1+0,05=0,15W = W_q + \text{Servis Süresi} = 0,1 + 0,05 = 0,15 saat.
Sistemde geçen süre, kuyrukta bekleme ve fiilen işlem görme sürelerinin toplamıdır.
3
Little Teoremi formülünü uygulayın.
L=λ×W=40×0,15=6L = \lambda \times W = 40 \times 0,15 = 6.
Sistemdeki ortalama birim sayısı, varış hızı ile sistemde geçen ortalama sürenin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi bağıntıları (L=λWL = \lambda W ve Lq=λWqL_q = \lambda W_q)

İpuçları

1
L=λWL = \lambda W formülünü kullanarak sistemdeki toplam sayıyı bulabilirsiniz.
2
WW süresini bulmak için kuyrukta geçen süre ile işlem (servis) süresini toplamanız gerekir.
3
Unutmayın: Dakika olarak verilen süreleri saat birimine çevirmeden saatlik varış hızıyla (λ\lambda) çarpmamalısınız.

Daha Fazla Pratik

Varış hızı ve servis süreleri sabit tutulduğunda, servis hızı iki katına çıkarılırsa LL değerinin nasıl değişeceğini hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Önce kuyruktaki paket sayısını (Lq=40×0,1=4L_q = 40 \times 0,1 = 4) ve ardından servis kanalındaki doluluğu (ρ=40×0,05=2\rho = 40 \times 0,05 = 2) hesaplayıp, bu ikisini toplayarak (4+2=64 + 2 = 6) sistemdeki toplam sayıya (LL) ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →

Bir küçük teknik servis istasyonunda sadece bir teknisyen çalışmaktadır. İstasyonun fiziksel kapasitesi, işlem gören cihaz dahil toplam 44 cihaz ile sınırlıdır. Cihazlar istasyona saatte ortalama 22 adet olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak ulaşmaktadır. Teknisyenin bir cihazı onarma süresi ise ortalama 3030 dakika olup üstel dağılım sergilemektedir. Buna göre, bu servis istasyonuna bir saatte kabul edilen ortalama cihaz sayısı (etkin varış hızı) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,6

Cevap

Servis istasyonuna bir saatte kabul edilen ortalama cihaz sayısı 1,6'dır.
Doğru cevap olan değer, teknisyenin ve sistemin kapasite kısıtları altında sisteme gerçekten girmeyi başaran birimlerin oranını ifade eder. ρ=1\rho = 1 durumu söz konusu olduğunda, sistemde 0,1,2,30, 1, 2, 3 veya 44 cihaz bulunma olasılıklarının her biri eşit olup 1/5=0,201/5 = 0,20 düzeyindedir. Yeni gelen bir cihazın kabul edilmemesi için sistemin 44 cihazla dolu olması gerekir (P4=0,20P_4 = 0,20). Dolayısıyla, gelen cihazların %80'i sisteme kabul edilmektedir. Saatte 22 cihaz geldiğine göre, 2×0,80=1,62 \times 0,80 = 1,6 cihaz/saat değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızı (μ\mu) parametrelerinin ortak birimde belirlenmesi.
λ=2\lambda = 2 cihaz/saat; μ=1/(30/60)=2\mu = 1 / (30/60) = 2 cihaz/saat.
Kuyruk modellerinde tüm hız parametrelerinin aynı zaman birimi (saat) üzerinden hesaplanması gerekir.
2
Trafik yoğunluğunun (ρ\rho) hesaplanması ve model tipinin belirlenmesi.
ρ=λ/μ=2/2=1\rho = \lambda / \mu = 2 / 2 = 1. Sistem (M/M/1/4)(M/M/1/4) modelidir.
ρ=1\rho = 1 durumu, olasılık formüllerinin seçiminde kritik bir ayrım noktasıdır.
3
Sistemin tam kapasite dolu olma olasılığının (PKP_K) hesaplanması.
PK=P4=1K+1=14+1=15=0,20P_K = P_4 = \frac{1}{K+1} = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5} = 0,20.
ρ=1\rho = 1 olduğu durumlarda, tüm durum olasılıkları birbirine eşittir ve 1/(K+1)1/(K+1) formülü ile bulunur.
4
Etkin varış hızının (λeff\lambda_{eff}) hesaplanması.
λeff=λ(1−PK)=2(1−0,20)=2×0,8=1,6\lambda_{eff} = \lambda (1 - P_K) = 2 (1 - 0,20) = 2 \times 0,8 = 1,6.
Sonlu kapasiteli sistemlerde, sistem doluyken gelen birimler kaybedildiği için gerçek varış hızı sistemin boş olduğu zamanlardaki varış oranıdır.

Anahtar Kavram

Sonlu kapasiteli sistemlerde (M/M/1/K) etkin varış hızı hesaplanırken sistemin dolu olma olasılığı (kayıp olasılığı) dikkate alınmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

Bir vergi dairesinde hizmet veren 2 vezne bulunmaktadır. Müşterilerin bu daireye varış süreci saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir veznenin hizmet süresi ise ortalama 2020 dakika olacak şekilde Üstel dağılıma uygundur. Buna göre, bu kuyruk sisteminde bir müşterinin kuyrukta bekleyeceği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Bir müşterinin kuyrukta bekleyeceği ortalama süre 16 dakikadır.
Verilen parametrelerle (λ=4,μ=3,c=2\lambda=4, \mu=3, c=2) sistemin boş olma olasılığı P0=0,2P_0 = 0,2 olarak bulunur. Bu değer kullanılarak kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı Lq=16/15L_q = 16/15 elde edilir. Little Yasası (Wq=Lq/λW_q = L_q / \lambda) uygulandığında bekleme süresi 4/154/15 saat, yani 1616 dakika olarak hesaplanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirle ve kararlılık kontrolü yap.
λ=4\lambda = 4 kişi/saat, μ=3\mu = 3 kişi/saat (60/2060/20), c=2c = 2. Sistem yoğunluğu ρ=λc⋅μ=42⋅3=23<1\rho = \frac{\lambda}{c \cdot \mu} = \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3} < 1.
Sistemin kararlı olup olmadığını ve formüllerde kullanılacak temel hızları saptamak için.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla.
P0=[∑n=01(4/3)nn!+(4/3)22!(11−2/3)]−1=[1+4/3+8/3]−1=[5]−1=0,2P_0 = [\sum_{n=0}^{1} \frac{(4/3)^n}{n!} + \frac{(4/3)^2}{2!} (\frac{1}{1 - 2/3})]^{-1} = [1 + 4/3 + 8/3]^{-1} = [5]^{-1} = 0,2.
Çok kanallı kuyruk modellerinde tüm performans ölçütleri bu temel olasılığa bağlıdır.
3
Kuyruktaki ortalama müşteri sayısını (LqL_q) hesapla.
Lq=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=0,2⋅(4/3)2⋅(2/3)2⋅(1/3)2=32/1352/9=1615L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1 - \rho)^2} = \frac{0,2 \cdot (4/3)^2 \cdot (2/3)}{2 \cdot (1/3)^2} = \frac{32/135}{2/9} = \frac{16}{15} kişi.
Bekleme süresine geçiş yapabilmek için önce kuyruk uzunluğunun bulunması gerekir.
4
Little Yasası ile ortalama bekleme süresini (WqW_q) bul ve dakikaya çevir.
Wq=Lq/λ=(16/15)/4=4/15W_q = L_q / \lambda = (16/15) / 4 = 4/15 saat. Dakika cinsinden: 4/15⋅60=164/15 \cdot 60 = 16 dakika.
İstenen birim olan dakika cinsinden nihai sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

M/M/c modelinde sistem karakteristikleri ve Little Yasası uygulaması
Soru 13Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt biriminde 2 adet banko (kanal) hizmet vermektedir. Sisteme evrak kayıt yaptırmak için gelen vatandaşların varışları saatte ortalama 4 kişi (lambda=4\\lambda=4) olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Her bir banko görevlisinin bir vatandaşın işlemini tamamlama süresi ortalama 15 dakikadır ve üstel dağılım göstermektedir.

Buna göre, sonsuz kuyruk kapasitesine sahip bu (M/M/2)(M/M/2) sisteminde, bir vatandaşın kuyrukta bekleyeceği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Vatandaşın kuyrukta bekleyeceği ortalama süre 5 dakikadır.
Verilen parametrelere göre sistemin boş olma olasılığı 1/31/3 ve kuyruktaki ortalama kişi sayısı 1/31/3 olarak bulunur. Little teoremi uyarınca bu uzunluk varış hızına bölündüğünde bekleme süresi 1/121/12 saat, yani 5 dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirleyin ve sistemin kararlılığını kontrol edin.
lambda=4\\lambda = 4 kişi/saat, mu=60/15=4\\mu = 60/15 = 4 kişi/saat, c=2c = 2. Trafik yoğunluğu rho=fraclambdactimesmu=frac42times4=0,5\\rho = \\frac{\\lambda}{c \\times \\mu} = \\frac{4}{2 \\times 4} = 0,5.
rho<1\\rho < 1 olduğu için sistem dengededir ve performans ölçütleri hesaplanabilir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplayın.
P0=left[frac(4/4)00!+frac(4/4)11!+frac(4/4)22!(1−0,5)right]−1=left[1+1+frac12times0,5right]−1=frac13P_0 = \\left[ \\frac{(4/4)^0}{0!} + \\frac{(4/4)^1}{1!} + \\frac{(4/4)^2}{2!(1-0,5)} \\right]^{-1} = \\left[ 1 + 1 + \\frac{1}{2 \\times 0,5} \\right]^{-1} = \\frac{1}{3}.
Çok kanallı modellerde tüm bekleme süresi ve uzunluk hesaplamaları P0P_0 değerine bağlıdır.
3
Kuyruktaki ortalama müşteri sayısını (LqL_q) hesaplayın.
Lq=fracP0times(lambda/mu)ctimesrhoc!times(1−rho)2=frac(1/3)times12times0,52!times(0,5)2=frac1/60,5=frac13L_q = \\frac{P_0 \\times (\\lambda/\\mu)^c \\times \\rho}{c! \\times (1-\\rho)^2} = \\frac{(1/3) \\times 1^2 \\times 0,5}{2! \\times (0,5)^2} = \\frac{1/6}{0,5} = \\frac{1}{3} kişi.
Kuyrukta bekleme süresine (WqW_q) geçebilmek için önce kuyruk uzunluğu bulunmalıdır.
4
Little teoremini kullanarak kuyrukta bekleme süresini (WqW_q) dakika cinsinden bulun.
Wq=fracLqlambda=frac1/34=frac112W_q = \\frac{L_q}{\\lambda} = \\frac{1/3}{4} = \\frac{1}{12} saat rightarrowfrac112times60=5\\rightarrow \\frac{1}{12} \\times 60 = 5 dakika.
Hesaplanan süre saat birimindedir, soruda istenen dakika birimine çevrilmelidir.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modeli Performans Analizi

Daha Fazla Pratik

Eğer sistemde 3 banko olsaydı bekleme süresinin nasıl değişeceğini hesaplayarak kapasite artırımının etkisini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →

Bir kuyruk sisteminde doğum-ölüm süreci geçerlidir. Sistemdeki birim sayısına (nn) bağlı olarak varış hızları λn\lambda_n ve hizmet hızları μn\mu_n aşağıda tanımlanmıştır:

λn={2,n=01,n=10,n≥2\lambda_n = \begin{cases} 2, & n=0 \\ 1, & n=1 \\ 0, & n \geq 2 \end{cases}
μn={2,n=12,n=2\mu_n = \begin{cases} 2, & n=1 \\ 2, & n=2 \end{cases}

Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı (P2P_2) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,2

Cevap

Sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı 0,2'dir.
Denge denklemleri (λnPn=μn+1Pn+1λ_n P_n = μ_{n+1} P_{n+1}) kullanılarak tüm durum olasılıkları P0P_0 cinsinden ifade edilir. P1=P0P_1 = P_0 ve P2=0,5P0P_2 = 0,5 P_0 ilişkileri bulunduktan sonra olasılıklar toplamı 1'e eşitlenir. P0+P0+0,5P0=1P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1 eşitliğinden P0=0,4P_0 = 0,4 bulunur. Buradan P2=0,5×0,4=0,2P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denge denklemlerini (local balance equations) kurun.
2P0=2P1⇒P1=P02P_0 = 2P_1 \Rightarrow P_1 = P_0 ve 1P1=2P2⇒P2=0,5P1=0,5P01P_1 = 2P_2 \Rightarrow P_2 = 0,5P_1 = 0,5P_0
Denge durumunda her durum arasındaki geçiş hızları birbirine eşit olmalıdır.
2
Toplam olasılık kuralını (normalizasyon) uygulayın.
P0+P1+P2=1⇒P0+P0+0,5P0=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + P_0 + 0,5P_0 = 1
Sistemin tüm olası durumlarının olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.
3
P0P_0 değerini hesaplayın.
2,5P0=1⇒P0=1/2,5=0,42,5P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 1 / 2,5 = 0,4
Sistemin boş olma olasılığı, diğer olasılıkların temelini oluşturur.
4
İstenen P2P_2 olasılığını bulun.
P2=0,5×0,4=0,2P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2
Bulunan P0P_0 değeri kullanılarak P2P_2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Denge Durumu Olasılıkları ve Normalizasyon Koşulu
Soru 15Soru →

Küçük bir fotokopi dükkanında tek bir fotokopi makinesi ile hizmet verilmektedir. Dükkanın fiziksel kapasitesi, makinede işlemi devam eden müşteri dahil toplam 44 kişi ile sınırlıdır. Müşteriler dükkana saatte ortalama 1212 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gelmektedir. Tek bir müşterinin fotokopi işlemlerinin tamamlanma süresi ortalama 55 dakikadır ve üstel dağılıma uygundur.

Buna göre, dükkana gelen bir müşterinin dükkan kapasitesi dolu olduğu için hizmet alamadan geri dönme olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,20

Cevap

Sistemin dolu olma ve müşterinin geri dönme olasılığı 0,20'dir.
Verilen problemde varış hızı ve hizmet hızı birbirine eşittir (λ=μ=12\lambda = \mu = 12). Bu durumda trafik yoğunluğu ρ=1\rho = 1 olur. (M/M/1/K) modelinde ρ=1\rho = 1 olduğunda, sistemdeki her bir durumun (00 ile KK arası) olasılığı eşit olup 1/(K+1)1/(K+1) formülüyle bulunur. Toplam kapasite K=4K=4 olduğundan, sistemin dolu olma olasılığı 1/(4+1)=0,201/(4+1) = 0,20 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış ve hizmet hızlarını belirle.
λ=12\lambda = 12 müşteri/saat; μ=60/5=12\mu = 60 / 5 = 12 müşteri/saat.
Kuyruk parametrelerini hesaplamak için birimlerin (saatlik) uyumlu olması gerekir.
2
Trafikyog˘unlug˘unu(ρ)hesapla.Trafik yoğunluğunu (\rho) hesapla.
ρ=λ/μ=12/12=1\rho = \lambda / \mu = 12 / 12 = 1.
ρ=1\rho = 1 durumu, (M/M/1/K) modelinde olasılık hesaplamaları için özel bir durumdur.
3
Sistem kapasitesini (K) belirle.
K=4K = 4.
İşlem gören dahil toplam kapasite modeldeki KK değerini verir.
4
ρ=1\rho = 1 durumu için PnP_n olasılık formülünü uygula.
Pn=1K+1⇒P4=14+1=15=0,20P_n = \frac{1}{K+1} \Rightarrow P_4 = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5} = 0,20.
ρ=1\rho = 1 olduğunda, sistemdeki müşteri sayısının 0,1,...,K0, 1, ..., K olması olasılıkları birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) Modeli ve Trafik Yoğunluğunun Bir Olduğu Özel Durum
Soru 16Soru →

Bir bakanlığın teknik destek biriminde gelen talepler 33 adet özdeş uzman tarafından karşılanmaktadır. Taleplerin birime varış süreci saatte ortalama 66 talep olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir uzmanın hizmet süresi ise saatte ortalama 33 talep olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Bu kuyruk sistemi (M/M/3) yapısında olduğuna göre, sistemin boş olma (hiç talep bulunmama) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/9

Cevap

Sistemin boş olma olasılığı 1/9'dur.
Verilen parametrelerle (λ=6,μ=3,c=3λ=6, μ=3, c=3) yapilan hesaplamada, sistemin boş olma olasılığı (P0P_0) formülündeki toplam terimi 55 ve rasyonel terim 44 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı olan 99'un tersi alındığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirle
λ=6\lambda = 6, μ=3\mu = 3, c=3c = 3
M/M/c modelinde varış hızı, hizmet hızı ve kanal sayısı temel girdilerdir.
2
Kapasite kullanım oranını (trafik yoğunluğunu) hesapla
ρ=λc×μ=63×3=23\rho = \frac{\lambda}{c \times \mu} = \frac{6}{3 \times 3} = \frac{2}{3}
Sistemin kararlı olup olmadığını ve formülün rasyonel kısmını hesaplamak için gereklidir.
3
Formüldeki toplam kısmını (n=0n=0'dan c−1c-1'e) hesapla
∑n=02(λ/μ)nn!=200!+211!+222!=1+2+2=5\sum_{n=0}^{2} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} = \frac{2^0}{0!} + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} = 1 + 2 + 2 = 5
P0P_0 formülünün ilk parçası olan sunucuların tamamen dolmadığı durumların toplamıdır.
4
Formüldeki rasyonel terim kısmını hesapla
(λ/μ)cc!(1−ρ)=233!(1−2/3)=86×(1/3)=43×3=4\frac{(\lambda/\mu)^c}{c!(1-\rho)} = \frac{2^3}{3!(1-2/3)} = \frac{8}{6 \times (1/3)} = \frac{4}{3} \times 3 = 4
Sunucuların tamamının meşgul olduğu ve kuyruk oluşabileceği durumları temsil eden kısımdır.
5
Sonuçları toplayıp tersini al
P0=[5+4]−1=1/9P_0 = [5 + 4]^{-1} = 1/9
Sistemin boş olma olasılığı, tüm olası durumların toplamının çarpmaya göre tersidir.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modeli - Boşta Kalma Olasılığı (P0P_0)

İpuçları

1
c=3c=3 olduğu için toplam sembolünü n=0,1,2n=0, 1, 2 değerleri için hesaplamalısınız.
2
λ/μ\lambda/\mu oranının 22 olduğunu ve ρ\rho değerinin 2/32/3 olduğunu kullanarak formülü basitleştirin.
3
Formülün rasyonel kısmında c!=3!=6c! = 3! = 6 değerini paydada kullanmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Bu verileri kullanarak sistemdeki ortalama kuyruk uzunluğunu (LqL_q) hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →

Bir tekstil atölyesinde bulunan 22 adet özdeş dokuma makinesinin her biri ortalama 1010 saatte bir arızalanmaktadır. Arızalanan makineler, tek bir teknisyen tarafından ortalama 55 saatte tamir edilmektedir. Arıza ve tamir sürelerinin üstel dağılıma uygun olduğu varsayıldığında, sistemde (tamirde veya tamir sırasında bekleyen) bulunan beklenen makine sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,80

Cevap

Sistemde bulunan beklenen makine sayısı 0,80'dir.
Verilen problemde 22 makine ve 11 tamirci bulunmaktadır (M/M/1//2M/M/1//2 modeli). Sistemin boş olma olasılığı P0=0,40P_0 = 0,40, sistemde bir makine olma olasılığı P1=0,40P_1 = 0,40 ve iki makine olma olasılığı P2=0,20P_2 = 0,20 olarak hesaplanır. Beklenen makine sayısı ise L=1⋅P1+2⋅P2=1⋅(0,40)+2⋅(0,20)=0,80L = 1 \cdot P_1 + 2 \cdot P_2 = 1 \cdot (0,40) + 2 \cdot (0,20) = 0,80 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirle
N=2N = 2, λ=1/10=0,1\lambda = 1/10 = 0,1, μ=1/5=0,2\mu = 1/5 = 0,2, s=1s = 1
Sonlu kaynaklı modelin (Makine Bakım Problemi) çözümüne başlamak için temel hız değerlerini ve popülasyon büyüklüğünü belirlemek gerekir.
2
Servis yoğunluğu oranını (ρ\rho) hesapla
ρ=λμ=0,10,2=0,5\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5
Durum olasılıklarını hesaplamak için varış hızının hizmet hızına oranı gereklidir.
3
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla
P0=[∑n=0NN!(N−n)!ρn]−1=[1+2(0,5)+2(0,25)]−1=[1+1+0,5]−1=0,4P_0 = [ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n ]^{-1} = [1 + 2(0,5) + 2(0,25)]^{-1} = [1 + 1 + 0,5]^{-1} = 0,4
Sistemin denge durumundaki olasılık dağılımının temeli boş olma olasılığıdır.
4
Diğer durum olasılıklarını hesapla
P1=2!1!(0,5)1(0,4)=0,4P_1 = \frac{2!}{1!} (0,5)^1 (0,4) = 0,4; P2=2!0!(0,5)2(0,4)=0,2P_2 = \frac{2!}{0!} (0,5)^2 (0,4) = 0,2
Beklenen değeri hesaplamak için her bir n durumu (sistemdeki makine sayısı) için olasılıklar gereklidir.
5
Beklenen makine sayısını (LL) hesapla
L=∑n=02n⋅Pn=0(0,4)+1(0,4)+2(0,2)=0,4+0,4=0,8L = \sum_{n=0}^{2} n \cdot P_n = 0(0,4) + 1(0,4) + 2(0,2) = 0,4 + 0,4 = 0,8
Sistemdeki beklenen birim sayısı, durumların olasılıklarıyla ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı (popülasyonlu) kuyruk modellerinde varış hızı sistemdeki birim sayısına bağlıdır, bu nedenle sonsuz kaynaklı standart M/M/1M/M/1 formülleri geçerli değildir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 18Soru →

Bir kuyruk sistemindeki birimlerin varış ve hizmet süreçleri bir doğum-ölüm süreciyle tanımlanmıştır. Sistemdeki birim sayısına (nn) bağlı olarak varış hızları (λn\lambda_n) ve hizmet hızları (μn\mu_n) şu şekildedir:

λ0=2 birim/saat\lambda_0 = 2 \text{ birim/saat}
λ1=1 birim/saat\lambda_1 = 1 \text{ birim/saat}
λn=0(n≥2 ic¸in)\lambda_n = 0 \quad (n \ge 2 \text{ için})
μn=2 birim/saat(n≥1 ic¸in)\mu_n = 2 \text{ birim/saat} \quad (n \ge 1 \text{ için})

Sistemin denge (steady-state) durumuna ulaştığı bilindiğine göre, sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı (P2P_2) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,20

Cevap

Sistemin denge durumunda 2 birim bulunma olasılığı 0,20'dir.
Denge denklemlerine göre P1=P0P_1 = P_0 ve P2=0,5P0P_2 = 0,5 P_0 ilişkileri kurulur. Toplam olasılık olan P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 eşitliğinden 2,5P0=12,5 P_0 = 1 bulunur ve buradan P0=0,4P_0 = 0,4 elde edilir. İstenen P2P_2 değeri ise 0,5×0,4=0,20,5 \times 0,4 = 0,2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Denge (Steady-State) denklemlerini her bir durum geçişi için yazın.
P1=λ0μ1P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 ve P2=λ1μ2P1P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1
Denge durumunda bir duruma giriş hızı o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır.
2
Hız değerlerini yerlerine koyarak P1P_1 ve P2P_2 değerlerini P0P_0 cinsinden ifade edin.
P1=22P0=1P0P_1 = \frac{2}{2} P_0 = 1 P_0 ve P2=12P1=0,5P0P_2 = \frac{1}{2} P_1 = 0,5 P_0
Tüm olasılıkları tek bir değişken (P0P_0) cinsinden yazmak çözümü kolaylaştırır.
3
Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayın.
P0+P1+P2=1⇒P0+1P0+0,5P0=1⇒2,5P0=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + 1 P_0 + 0,5 P_0 = 1 \Rightarrow 2,5 P_0 = 1
Bir sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.
4
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) ve ardından istenen P2P_2 olasılığını hesaplayın.
P0=12,5=0,4P_0 = \frac{1}{2,5} = 0,4 ve P2=0,5×0,4=0,2P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2
P2P_2 değeri, P0P_0 değerinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Normalizasyon Koşulu
Soru 19Soru →

Bir belediyenin çözüm merkezinde (Beyaz Masa) vatandaşlara sunulan hizmet süreciyle ilgili yapılan bir çalışmada aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Süreç BileşeniOrtalama SüreOlasılık Dağılımı
Ardışık iki varış arası süre66 dakikaÜstel
Tek bir vatandaşa verilen hizmet süresi55 dakikaÜstel

Buna göre, bu sistemin saatlik varış hızı (λ\lambda) ve saatlik hizmet hızı (μ\mu) değerleri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: λ=10,μ=12\lambda = 10, \mu = 12

Cevap

Sistemin saatlik varış hızı λ=10\lambda = 10 ve saatlik hizmet hızı μ=12\mu = 12 olarak hesaplanır.
Saatlik varış hızı λ\lambda, 60 dakikanın ortalama varışlar arası süreye (6 dakika) bölünmesiyle 1010 olarak bulunur. Benzer şekilde, saatlik hizmet hızı μ\mu, 60 dakikanın ortalama hizmet süresine (5 dakika) bölünmesiyle 1212 olarak hesaplanır. Bu değerler sistemin kapasite kullanım oranını (trafik yoğunluğu) belirlemek için temel teşkil eder.

Adım Adım Çözüm

1
Saatlik varış hızının (λ\lambda) hesaplanması
λ=60/6=10\lambda = 60 / 6 = 10 vatandaş/saat
Varış hızı, birim zamandaki (1 saat = 60 dakika) ortalama varış sayısını ifade eder. Ardışık iki varış arası süre 66 dakika ise, bir saatte ortalama 1010 vatandaş gelir.
2
Saatlik hizmet hızının (μ\mu) hesaplanması
μ=60/5=12\mu = 60 / 5 = 12 vatandaş/saat
Hizmet hızı, birim zamandaki (1 saat = 60 dakika) ortalama hizmet kapasitesini ifade eder. Bir hizmet 55 dakika sürüyorsa, bir personel saatte ortalama 1212 vatandaşa hizmet verebilir.

Anahtar Kavram

Kuyruk modellerinde hız (oran) ve zaman parametreleri arasındaki ters ilişki (Rate=1/Mean TimeRate = 1 / Mean\,Time)

Daha Fazla Pratik

Bu veriler ışığında sistemin trafik yoğunluğunu (ρ=λ/μ\rho = \lambda / \mu) hesaplayarak sistemin kararlılığını test ediniz.

Alternatif Yöntem

Süreyi saate çevirerek de hesaplanabilir: 66 dakika = 010{}1 saat. Buradan λ=1/01=10\lambda = 1 / 0{}1 = 10. 55 dakika = 1/121/12 saat. Buradan μ=1/(1/12)=12\mu = 1 / (1/12) = 12.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 20Soru →

Bir tekstil işletmesinde bulunan 33 adet özdeş dokuma makinesi, her biri ortalama 2020 saatte bir arızalanmaktadır (Poisson dağılımı). Arızalanan makineler, bu makinelerden sorumlu tek bir teknisyen tarafından ortalama 1010 saatte tamir edilmektedir (Üstel dağılım). Makinelerin bozulma ve tamir süreçlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayıldığında, teknisyenin önünde tamir edilmeyi bekleyen (kuyrukta olan) ortalama makine sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12/1912/19

Cevap

Sistemde tamir edilmeyi bekleyen ortalama makine sayısı 12/1912/19'dur.
Verilen parametrelerle sonlu kaynaklı kuyruk modeli çözüldüğünde, sistemin boş olma olasılığı P0=4/19P_0 = 4/19 olarak bulunur. Bu değer üzerinden hesaplanan P2=6/19P_2 = 6/19 ve P3=3/19P_3 = 3/19 olasılıkları kullanılarak, kuyrukta bekleyen makinelerin beklenen değeri Lq=1⋅P2+2⋅P3=12/19L_q = 1 \cdot P_2 + 2 \cdot P_3 = 12/19 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametrelerin belirlenmesi
N=3N = 3, c=1c = 1, λ=1/20\lambda = 1/20 arıza/saat, μ=1/10\mu = 1/10 tamir/saat
Sonlu kaynaklı model (Makine Bakım Problemi) için gerekli giriş verileri tanımlanmalıdır.
2
Hizmet yoğunluk oranının (ρ\rho) hesaplanması
ρ=λ/μ=(1/20)/(1/10)=0,5\rho = \lambda / \mu = (1/20) / (1/10) = 0,5
Olasılık hesaplamalarında kullanılacak temel oran belirlenir.
3
Sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
1/P0=∑n=033!(3−n)!(0,5)n=1+1,5+1,5+0,75=4,75⇒P0=4/191/P_0 = \sum_{n=0}^{3} \frac{3!}{(3-n)!} (0,5)^n = 1 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 \Rightarrow P_0 = 4/19
Diğer tüm durum olasılıklarının temeli olan boş sistem olasılığı bulunur.
4
Durum olasılıklarının hesaplanması (Pn=N!(N−n)!ρnP0P_n = \frac{N!}{(N-n)!} \rho^n P_0)
P1=6/19,P2=6/19,P3=3/19P_1 = 6/19, P_2 = 6/19, P_3 = 3/19
Kuyruk uzunluğu hesabı için gerekli olan n>cn > c durumlarındaki olasılıklar bulunur.
5
Beklenen kuyruk uzunluğunun (LqL_q) hesaplanması
Lq=∑n=c+1N(n−c)Pn=(2−1)P2+(3−1)P3=6/19+2(3/19)=12/19L_q = \sum_{n=c+1}^{N} (n-c) P_n = (2-1)P_2 + (3-1)P_3 = 6/19 + 2(3/19) = 12/19
Kuyrukta bekleyen birimlerin matematiksel beklentisi alınır.

Anahtar Kavram

Sonlu kaynaklı (popülasyonlu) kuyruk modellerinde varış hızı, sistemdeki boş makine sayısına bağlı olarak değişir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemde 2 teknisyen olması durumunda (c=2) P0P_0 ve LqL_q değerlerinin nasıl değişeceğini hesaplayınız.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 7Sonraki
Kuyruk Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik | Examkin