Examkin

Kuyruk Modelleri

127 soru

Soru 41Soru →

Bir belediyenin çözüm merkezinde vatandaşlardan gelen talepler 22 adet özdeş operatör tarafından karşılanmaktadır. Merkeze gelen çağrıların saatte ortalama 66 olduğu ve Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Bir operatörün bir çağrıyı karşılama süresi ise ortalama 1515 dakikadır ve üstel dağılıma uymaktadır. Buna göre, bu çözüm merkezinde sistemin tamamen boş olma (operatörlerin her ikisinin de boşta olması) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/71/7

Cevap

Sistemin tamamen boş olma olasılığı 1/71/7 olarak hesaplanır.
Verilen parametrelerle (λ=6,μ=4,c=2\lambda=6, \mu=4, c=2) M/M/cM/M/c modeli için sistemin boş olma olasılığı formülü uygulandığında; ilk iki terimin toplamı 2,52,5 ve kuyruk teriminin değeri 4,54,5 gelmektedir. Toplamları olan 77 değerinin çarpmaya göre tersi alınarak 1/71/7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini belirle
λ=6\lambda = 6 çağrı/saat, c=2c = 2. Ortalama hizmet süresi 1515 dakika ise μ=60/15=4\mu = 60 / 15 = 4 çağrı/saat.
M/M/c modelinde hız birimlerinin (saatlik) ortak olması gerekir.
2
Kullanım oranını (ρ\rho) hesapla
ρ=λc×μ=62×4=0,75\rho = \frac{\lambda}{c \times \mu} = \frac{6}{2 \times 4} = 0,75.
Sistemin kararlı olup olmadığını ve P0P_0 formülündeki payda kısmını belirlemek için gereklidir.
3
P0P_0 olasılığını formülize et
P0=[∑n=0c−1(λ/μ)nn!+(λ/μ)cc!(1−ρ)]−1P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!(1 - \rho)} \right]^{-1} formülü uygulanır.
M/M/c modelinde sistemin boş olma olasılığı bu karmaşık formül ile bulunur.
4
Değerleri formülde yerine koy ve hesapla
P0=[(1,5)00!+(1,5)11!+(1,5)22!(1−0,75)]−1=[1+1,5+2,250,5]−1=[2,5+4,5]−1=1/7P_0 = \left[ \frac{(1,5)^0}{0!} + \frac{(1,5)^1}{1!} + \frac{(1,5)^2}{2!(1 - 0,75)} \right]^{-1} = [1 + 1,5 + \frac{2,25}{0,5}]^{-1} = [2,5 + 4,5]^{-1} = 1/7.
Matematiksel işlemler sonucunda nihai olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Kuyruk Modelinde Sistemin Boş Olma Olasılığı (P0P_0)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 42Soru →

Bir kamu kurumunun teknik destek biriminde 22 uzman görev yapmaktadır. Birime gelen talepler saatte ortalama 1010 adet olacak şekilde Poisson dağılımına, uzmanların hizmet süreleri ise uzman başına saatte ortalama 1010 talebi karşılayacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Birimin bekleme alanı ve hizmet noktaları dahil toplam kapasitesi 33 talep ile sınırlıdır. Buna göre, sistemin dolu olması nedeniyle yeni gelen bir talebin geri çevrilme (sisteme kabul edilmeme) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/111/11

Cevap

Sistemin dolu olması nedeniyle bir talebin geri çevrilme olasılığı 1/111/11 olarak hesaplanır.
Verilen (M/M/2/3) modelinde, λ/μ=1\lambda/\mu = 1 olduğu için sistemin boş olma olasılığı P0=[∑n=011nn!+122!∑n=23(0.5)n−2]−1P_0 = [ \sum_{n=0}^{1} \frac{1^n}{n!} + \frac{1^2}{2!} \sum_{n=2}^{3} (0.5)^{n-2} ]^{-1} formülünden 4/114/11 bulunur. Sistemin dolu olduğu durum (P3P_3) ise 12!⋅21⋅(1)3⋅P0\frac{1}{2! \cdot 2^1} \cdot (1)^3 \cdot P_0 işlemiyle 1/111/11 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini belirle
λ=10\lambda = 10, μ=10\mu = 10, c=2c = 2, K=3K = 3
(M/M/c/K) modelinde varış hızı, hizmet hızı, kanal sayısı ve sistem kapasitesi hesaplama için temel girdilerdir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla
P0=[1+1+0.5(1+0.5)]−1=4/11P_0 = [1 + 1 + 0.5(1 + 0.5)]^{-1} = 4/11
P0P_0 değeri, diğer tüm durum olasılıklarının hesaplanması için gereklidir.
3
Sistemin dolu olma olasılığını (P3P_3) hesapla
P3=12!×23−2×(10/10)3×P0=1/4×4/11=1/11P_3 = \frac{1}{2! \times 2^{3-2}} \times (10/10)^3 \times P_0 = 1/4 \times 4/11 = 1/11
Sonlu kapasiteli sistemlerde geri çevrilme olasılığı, sistemin kapasite sınırına (KK) ulaştığı andaki olasılığa (PKP_K) eşittir.

Anahtar Kavram

(M/M/c/K) modelinde sistemin dolu olma olasılığı (PKP_K) ve kayıp olasılığı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 43Soru →

Bir marangoz atölyesinde 33 adet özdeş zımpara makinesi bulunmaktadır. Her bir makine ortalama 22 saatte bir arızalanmakta (Poisson dağılımı) ve arızalanan bir makinenin tamiri tek bir usta tarafından ortalama 11 saatte (üstel dağılım) tamamlanmaktadır.

Buna göre, atölyedeki tüm makinelerin çalışır durumda olma (tamircinin boşta kalma) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4/19

Cevap

Atölyedeki tüm makinelerin çalışır durumda olma olasılığı 4/19'dur.
Verilen problemde popülasyon kısıtlı (N=3N=3) olduğu için sonlu kaynaklı kuyruk modeli uygulanmalıdır. λ/μ=0,5\lambda/\mu = 0,5 oranı kullanılarak yapılan hesaplamada, sistemin boş olma olasılığı P0=(1+1,5+1,5+0,75)−1=4/19P_0 = (1 + 1,5 + 1,5 + 0,75)^{-1} = 4/19 olarak bulunur. Bu değer tamircinin hiçbir makineyle ilgilenmediği, yani tüm makinelerin sağlam olduğu durumu ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1
Model parametrelerini belirleyin.
N=3N = 3 (toplam makine), λ=1/2=0,5\lambda = 1/2 = 0,5 (arıza hızı), μ=1/1=1,0\mu = 1/1 = 1,0 (tamir hızı), c=1c = 1 (usta sayısı).
Sonlu kaynaklı kuyruk modelinde (M/M/1/N/N) hesaplama yapabilmek için temel hızların ve popülasyonun bilinmesi gerekir.
2
Durum olasılıklarını (PnP_n) veren formülü kurun.
Pn=N!(N−n)!(λμ)nP0P_n = \frac{N!}{(N-n)!} (\frac{\lambda}{\mu})^n P_0
Sistemde nn adet arızalı makine bulunma olasılığı, sonlu kaynaklı modellerde bu genel formül ile belirlenir.
3
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplamak için toplam olasılık denklemini (ΣPn=1Σ P_n = 1) kullanın.
P0[1+3!2!(0,5)1+3!1!(0,5)2+3!0!(0,5)3]=1P_0 [1 + \frac{3!}{2!}(0,5)^1 + \frac{3!}{1!}(0,5)^2 + \frac{3!}{0!}(0,5)^3] = 1
Tüm olası durumların (0, 1, 2, 3 makine arızalı) toplam olasılığı 1 olmalıdır.
4
Parantez içindeki terimleri hesaplayın.
1+(3×0,5)+(6×0,25)+(6×0,125)=1+1,5+1,5+0,75=4,751 + (3 \times 0,5) + (6 \times 0,25) + (6 \times 0,125) = 1 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75
Her bir durumun P0P_0 cinsinden katsayısı toplanarak P0P_0 değeri çekilir.
5
Sonucu rasyonel ifadeye çevirin.
P0=14,75=119/4=419P_0 = \frac{1}{4,75} = \frac{1}{19/4} = \frac{4}{19}
Bulunan ondalık değer sınav formatına uygun olarak kesirli ifadeye dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı Kuyruk Modellerinde (Makine Bakım Problemleri) durum olasılıkları, arıza yapan birimlerin popülasyonu azaldıkça varış hızının değişmesi nedeniyle faktöriyel terimler içerir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 44Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt biriminde 22 adet banko hizmet vermektedir. Birime gelen evraklar saatte ortalama 44 adet olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak ulaşmaktadır. Her bir bankoda evrakların işlenme süresi üstel dağılıma uygun olup saatte ortalama 22 evrak tamamlanmaktadır. Birimin fiziksel kısıtları nedeniyle sistemde (hizmet alanlar ve bekleyenler dahil) en fazla 33 evrak bulunabilmektedir.

Buna göre, birime gelen bir evrakın sistemin tam kapasite dolu olması nedeniyle kabul edilmeme (kaybedilme) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2/72/7

Cevap

Sistemin tam kapasite dolu olması nedeniyle evrakın kabul edilmeme olasılığı 2/72/7 olarak hesaplanır.
Verilen parametrelerle (λ=4,μ=2,c=2,K=3\lambda=4, \mu=2, c=2, K=3) sistemin denge durumu olasılıkları hesaplandığında, sistemin her bir durumu için olasılık ağırlıklarının eşit (1,2,2,21, 2, 2, 2) olduğu görülür. Bu durumda toplam ağırlık 77 birim olup, her bir durumun olasılığı bu toplam içindeki payıdır. Sistemin dolu olduğu n=3n=3 durumu için bu pay 2/72/7 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirleme
λ=4\lambda = 4, μ=2\mu = 2, c=2c = 2, K=3K = 3
M/M/c/K modeli için varış hızı, hizmet hızı, kanal sayısı ve sistem kapasitesi tanımlanmalıdır.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplama
P0=[1+2+2+2]−1=1/7P_0 = [1 + 2 + 2 + 2]^{-1} = 1/7
P0=[∑n=0c−11n!(λμ)n+∑n=cK1c!cn−c(λμ)n]−1P_0 = [\sum_{n=0}^{c-1} \frac{1}{n!} (\frac{\lambda}{\mu})^n + \sum_{n=c}^{K} \frac{1}{c! c^{n-c}} (\frac{\lambda}{\mu})^n]^{-1} formülü uygulanır. λ/μ=2\lambda/\mu = 2 olduğu için; n=0→1n=0 \rightarrow 1, n=1→2n=1 \rightarrow 2, n=2→22/2!=2n=2 \rightarrow 2^2/2! = 2, n=3→23/(2!×21)=2n=3 \rightarrow 2^3/(2! \times 2^1) = 2 olur.
3
Sistemin dolu olma olasılığını (PKP_K) hesaplama
P3=12!23−2(2)3×P0=2×1/7=2/7P_3 = \frac{1}{2! 2^{3-2}} (2)^3 \times P_0 = 2 \times 1/7 = 2/7
Sonlu kapasiteli sistemlerde varışın reddedilme olasılığı, sistemin tam kapasite (KK) dolu olma olasılığına (PKP_K) eşittir.

Anahtar Kavram

M/M/c/K modelinde sistemin dolu olma olasılığı ve denge durumu denklemleri

Daha Fazla Pratik

Sistemin beklenen evrak sayısını (LsL_s) hesaplayarak Little Teoremi'nin sonlu kapasiteli sistemlerdeki farklarını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 45Soru →

Bir teknik servis istasyonuna gelen cihazların varış süreci, sistemdeki cihaz sayısına (nn) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci ile modellenmektedir. Varış hızları λn=4−n\lambda_n = 4 - n birim/saat (n=0,1,2,3n=0, 1, 2, 3) ve hizmet hızı her cihaz için sabit μ=2\mu = 2 birim/saat olarak verilmiştir. Sistemin maksimum kapasitesi 3 birimdir. Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu varsayıldığında, sistemde tam olarak 2 cihaz bulunma olasılığı (P2P_2) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/31/3

Cevap

Sistemde tam olarak 2 cihaz bulunma olasılığı 1/31/3'tür.
Denge denklemleri kurulduğunda P1=2P0P_1 = 2P_0, P2=3P0P_2 = 3P_0 ve P3=3P0P_3 = 3P_0 bağıntıları elde edilir. Bu olasılıkların toplamı (P0+2P0+3P0+3P0P_0 + 2P_0 + 3P_0 + 3P_0) 1'e eşitlendiğinde P0=1/9P_0 = 1/9 olarak bulunur. İstenen durum olan sistemde 2 cihaz bulunma olasılığı P2=3P0P_2 = 3P_0 olduğundan, sonuç 3/9=1/33/9 = 1/3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Denge denklemlerini kullanarak her bir durum olasılığını P0P_0 cinsinden ifade edin.
P1=λ0μP0=42P0=2P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu}P_0 = \frac{4}{2}P_0 = 2P_0; P2=λ1μP1=32(2P0)=3P0P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu}P_1 = \frac{3}{2}(2P_0) = 3P_0; P3=λ2μP2=22(3P0)=3P0P_3 = \frac{\lambda_2}{\mu}P_2 = \frac{2}{2}(3P_0) = 3P_0
Doğum-ölüm süreçlerinde Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n}P_{n-1} bağıntısı geçerlidir.
2
Toplam olasılık kuralını (normalizasyon) uygulayarak P0P_0 değerini bulun.
P0+2P0+3P0+3P0=1⇒9P0=1⇒P0=1/9P_0 + 2P_0 + 3P_0 + 3P_0 = 1 \Rightarrow 9P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 1/9
Sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı 1'e eşit olmalıdır.
3
İstenen P2P_2 değerini hesaplayın.
P2=3P0=3×(1/9)=3/9=1/3P_2 = 3P_0 = 3 \times (1/9) = 3/9 = 1/3
Birinci adımda bulunan P2=3P0P_2 = 3P_0 ilişkisi kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge Denklemleri
Soru 46Soru →

Bir vergi dairesinin veznesine gelen mükellefler saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gelmektedir. Veznedeki görevli memur, bir mükellefin işlemini üstel dağılıma uygun olarak ortalama 1212 dakikada tamamlamaktadır. Bu kuyruk sistemi (M/M/1) modeline uygun olduğuna göre, sistemde (kuyrukta bekleyenler ve işlem gören dahil) beklenen ortalama mükellef sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4,0

Cevap

Sistemdeki beklenen ortalama mükellef sayısı 4'tür.
Sistemdeki beklenen ortalama mükellef sayısı (LL), hem kuyrukta bekleyenleri hem de veznede işlem gören kişiyi kapsar. λ=4\lambda = 4 ve μ=5\mu = 5 değerleri kullanılarak L=45−4=4L = \frac{4}{5-4} = 4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızının (μ\mu) saatlik bazda belirlenmesi
λ=4\lambda = 4 mükellef/saat; μ=6012=5\mu = \frac{60}{12} = 5 mükellef/saat
Kuyruk modellerinde hesaplama yapabilmek için varış ve hizmet hızlarının aynı zaman birimi (saat) cinsinden ifade edilmesi gerekir.
2
Sistem yoğunluğunun (ρ\rho) kontrol edilmesi
ρ=λμ=45=0,8\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{4}{5} = 0,8
Sistemin kararlı (steady-state) olabilmesi için ρ<1\rho < 1 şartı sağlanmalıdır (0,8<10,8 < 1 olduğu için sistem dengededir).
3
Sistemdeki beklenen ortalama mükellef sayısı (LL) formülünün uygulanması
L=λμ−λ=45−4=41=4L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{4}{5 - 4} = \frac{4}{1} = 4
(M/M/1) modelinde sistemdeki toplam birim sayısını veren temel formül budur.

Anahtar Kavram

(M/M/1) Kuyruk Modelinde Sistem Performans Ölçütleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 47Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt servisine başvuran vatandaşların varışları arası sürelerin ortalaması 1212 dakika olan üstel dağılıma uygun olduğu belirlenmiştir.

Buna göre, bu servis için saatlik ortalama varış hızı (λ\lambda) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Saatlik ortalama varış hızı 55 birimdir.
Kuyruk sistemlerinde varışlar arası ortalama süre ile varış hızı arasında ters orantı vardır. Eğer her 1212 dakikada bir kişi geliyorsa, 6060 dakikalık bir periyotta (bir saat) toplam 60/12=560 / 12 = 5 kişi sisteme dahil olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen varışlar arası süreyi belirleme
E[t]=12E[t] = 12 dakika/varış
Soruda varışların üstel dağılıma uygun olduğu ve ortalamasının 1212 dakika olduğu belirtilmiştir.
2
Varış hızı (λ\lambda) ile varışlar arası süre arasındaki ilişkiyi kurma
λ=1/E[t]\lambda = 1 / E[t] (Dakika bazında)
Kuyruk teorisinde varışlar arası süre üstel dağılıyorsa, birim zamandaki varış sayısı Poisson dağılır ve hız sürenin çarpmaya göre tersidir.
3
Birim dönüşümü yaparak saatlik hızı hesaplama
λ=60/12=5\lambda = 60 / 12 = 5
Bir saat 6060 dakikadır. Dakikada ortalama 1/121/12 varış oluyorsa, saatte 55 varış gerçekleşir.

Anahtar Kavram

Varış Hızı ve Varışlar Arası Süre İlişkisi

İpuçları

1
Varış hızı (λλ) ile varışlar arası ortalama süre arasında ters bir ilişki vardır.
2
Ortalama süre 1212 dakika ise, 11 saat (yani 6060 dakika) içinde kaç tane 1212 dakikalık periyot olduğunu bulun.

Daha Fazla Pratik

Varışların Poisson dağıldığı bir sistemde hizmet süresi sabit olduğunda Kendall notasyonunun nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 48Soru →

Bir kamu kurumunun merkez kütüphanesinde ödünç verme birimine vatandaşların varışları Poisson sürecine uygun olup, her bir kütüphane görevlisinin işlem süresi üstel dağılım göstermektedir. Birimde 4 görevli paralel olarak hizmet sunmakta; bekleme alanı ve işlemdeki vatandaş sayısı toplamda 20 kişi ile sınırlandırılmaktadır. İşlemlerin 'ilk gelen ilk çıkar' (FCFS) disiplinine göre yürütüldüğü bu sistemin Kendall notasyonu (A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D) ile standart gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: M/M/4/20/∞/FCFSM/M/4/20/\infty/FCFS

Cevap

Sistemin Kendall notasyonu ile doğru gösterimi M/M/4/20/∞/FCFSM/M/4/20/\infty/FCFS şeklindedir.
Verilen problemde varışlar Poisson ve hizmetler üstel olduğu için ilk iki pozisyon 'M/M' olur. 4 paralel görevli ve 20 kişilik toplam sistem kapasitesi sırasıyla '4' ve '20' değerlerini getirir. Bu verileri A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D şablonuna yerleştirdiğimizde ortaya çıkan tam notasyon M/M/4/20/∞/FCFSM/M/4/20/\infty/FCFS şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Varış sürecinin (A) belirlenmesi
A=MA = M
Poisson varış süreci, Kendall notasyonunda Markovian özelliği temsil eden 'M' harfi ile gösterilir.
2
Hizmet sürecinin (B) belirlenmesi
B=MB = M
Üstel dağılım gösteren hizmet süreleri, Kendall notasyonunda 'M' harfi ile gösterilir.
3
Paralel kanal sayısının (s) belirlenmesi
s=4s = 4
Birimde paralel olarak hizmet veren görevli sayısı notasyonun üçüncü sırasına yazılır.
4
Sistem kapasitesinin (K) belirlenmesi
K=20K = 20
Sistemde izin verilen maksimum müşteri sayısı (kuyruk + hizmet) dördüncü sıraya yazılır.
5
Kaynak büyüklüğü (N) ve disiplinin (D) eklenmesi
N=∞N = \infty ve D=FCFSD = FCFS
Vatandaşların geldiği kaynak sınırsız kabul edilir ve disiplin ilk gelen ilk çıkar olarak belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Kendall Notasyonu Parametre Sıralaması (A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 49Soru →

Bir yazılım şirketinin teknik destek birimine gelen yardım talepleri saatte ortalama 1212 adet (λ=12\lambda = 12) olacak şekilde Poisson dağılımına uygun gerçekleşmektedir. Talepler tek bir uzman tarafından karşılanmakta olup, bir talebin çözümlenme süresinin ortalaması 33 dakika ve standart sapması 22 dakikadır. Buna göre, sistemin kararlı hal durumunda kuyrukta bekleyen ortalama talep sayısı (LqL_q) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,65

Cevap

Sistemin kararlı hal durumunda kuyrukta bekleyen ortalama talep sayısı 0,650,65 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 0,650,65 değeri, Pollaczek-Khinchine formülünde birim uyuşmazlığı giderildikten sonra (λ=0,2\lambda = 0,2, E[S]=3E[S] = 3, σ2=4\sigma^2 = 4) değerlerin yerine konulmasıyla elde edilir. Formül Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birimlerin uyumlulaştırılması ve varış hızının (λ\lambda) dakika cinsinden hesaplanması
λ=12 talep/saat=12/60=0,2 talep/dakika\lambda = 12 \text{ talep/saat} = 12/60 = 0,2 \text{ talep/dakika}
Hizmet süresi parametreleri dakika cinsinden verildiği için varış hızı da dakikaya çevrilmelidir.
2
Sistem kullanım oranının (yoğunluk) hesaplanması
ρ=λ×E[S]=0,2×3=0,6\rho = \lambda \times E[S] = 0,2 \times 3 = 0,6
Sistemin kararlılığı ve formül uygulaması için kullanım oranının belirlenmesi gerekir (ρ<1\rho < 1 şartı sağlanmaktadır).
3
Hizmet süresi varyansının hesaplanması
σ2=22=4 dakika2\sigma^2 = 2^2 = 4 \text{ dakika}^2
Pollaczek-Khinchine formülünde hizmet süresinin standart sapması değil, varyansı kullanılmaktadır.
4
Pollaczek-Khinchine formülünün uygulanması
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=(0,2)2×4+(0,6)22(1−0,6)=0,16+0,360,8=0,65L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{(0,2)^2 \times 4 + (0,6)^2}{2(1-0,6)} = \frac{0,16 + 0,36}{0,8} = 0,65
Genel hizmet süreli (M/G/1) kuyruk modellerinde kuyruk uzunluğu bu formül ile bulunur.

Anahtar Kavram

(M/G/1) modelinde kuyruk uzunluğu, hizmet süresinin varyansından doğrudan etkilenir ve Pollaczek-Khinchine formülü ile hesaplanır.

İpuçları

1
Varış hızı saatte 12 ise, 1 dakikada ortalama kaç talep geldiğini bularak başlayın.
2
M/G/1 modelinde kuyruk uzunluğu için Pollaczek-Khinchine formülünü kullanın: Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)}
3
Kullanım oranı ρ=0,6\rho = 0,6 ve hizmet süresi varyansı σ2=4\sigma^2 = 4 değerlerini formülde yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle bekleme süresi WqW_q değerini Little teoremi (Lq=λWqL_q = \lambda W_q) yardımıyla hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Varyasyon katsayısı (Cs=σ/E[S]C_s = \sigma / E[S]) kullanılarak da çözülebilir. Cs=2/3C_s = 2/3 ise Lq=ρ2(1+Cs2)2(1−ρ)=0,36(1+4/9)0,8=0,65L_q = \frac{\rho^2(1 + C_s^2)}{2(1-\rho)} = \frac{0,36(1 + 4/9)}{0,8} = 0,65.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 50Soru →

Bir vergi dairesinin vezne bölümünde 33 adet memur (c=3c = 3) hizmet vermektedir. Dairenin fiziksel kısıtlamaları nedeniyle, içeride hizmet alanlar ve bekleyenler dahil aynı anda en fazla 1010 vatandaşın (K=10K = 10) bulunmasına izin verilmektedir. Vatandaşların geliş hızı saatte ortalama 1212 kişi (λ=12\lambda = 12) ve bir memurun ortalama hizmet hızı saatte 55 kişidir (μ=5\mu = 5). Bu sistem (M/M/c/K)(M/M/c/K) kuyruk modeli ile temsil edildiğinde, kuyrukta (bekleme yerinde) bekleyebilecek azami vatandaş sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Söz konusu kuyruk sisteminde bekleyebilecek azami vatandaş sayısı 77 kişidir.
Doğru cevap olan 77 değeri, toplam bina kapasitesi olan 1010 kişiden, aynı anda hizmet alabilen 33 kişinin (vezne sayısı) çıkarılmasıyla hesaplanır. Bu fark, bekleme salonunun (kuyruğun) alabileceği maksimum kişi sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirleyin.
c=3c = 3 (memur sayısı), K=10K = 10 (toplam sistem kapasitesi).
Kuyruk modelinin temel bileşenlerini tanımlamak çözümün ilk adımıdır.
2
Kuyruk kapasitesi ile sistem kapasitesi arasındaki ilişkiyi kullanın.
Kuyruk Kapasitesi =K−c= K - c
Sonlu kapasiteli modellerde, sistemde izin verilen toplam kişi sayısından hizmet alanlar çıkarıldığında bekleme alanının kapasitesi bulunur.
3
Hesaplamayı gerçekleştirin.
10−3=710 - 3 = 7
Sistemde en fazla 1010 kişi bulunabiliyorsa ve bunlardan 33 tanesi aynı anda hizmet alabiliyorsa, geri kalan 77 kişi kuyrukta bekleyebilir.

Anahtar Kavram

(M/M/c/K)(M/M/c/K) modellerinde toplam sistem kapasitesi (KK), hizmetteki müşteriler ile kuyrukta bekleyen müşterilerin toplam limitini ifade eder.

Daha Fazla Pratik

Bu modelde sistemin tam dolu olma olasılığı (P10P_{10}) hesaplanırken kullanılan formüldeki üs değerlerini inceleyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 51Soru →

Bir belediyenin dijital arşiv biriminde gelen evraklar tek bir tarayıcı personeli tarafından sisteme girilmektedir. Evrakların birime varışları saatte ortalama λ=2\lambda = 2 hızında Poisson dağılımına uygun gerçekleşirken, personelin bir evrakı tarama süresi saatte ortalama μ=4\mu = 4 evrak olacak şekilde üstel dağılım göstermektedir. Birimin fiziksel kapasitesi, taranmakta olan evrak dahil toplam K=3K = 3 evrak ile sınırlıdır. Kapasite doluyken gelen evraklar işleme alınmadan başka bir birime yönlendirilmektedir.

Buna göre, bu (M/M/1/3) kuyruk sisteminde birim zamanda arşive kabul edilen etkin varış hızı (λetkin\lambda_{etkin}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28/1528/15

Cevap

Sisteme kabul edilen etkin varış hızı 28/1528/15 evrak/saat olarak bulunur.
Doğru cevap olan ifade, sistemin kapasitesinin dolu olduğu anlarda gelen varışların sisteme kabul edilmediğini dikkate alarak gerçekte hizmete giren evrak oranını hesaplamaktadır. ρ=0,5\rho=0,5 ve K=3K=3 için sistemin dolu olma olasılığı 1/151/15 olduğundan, gelenlerin 14/1514/15'i sisteme kabul edilir. Bu oran varış hızı olan 22 ile çarpıldığında 28/1528/15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Trafik yoğunluğu (ρ\rho) değerini belirle.
ρ=λμ=24=0,5\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{2}{4} = 0,5
M/M/1/K modellerinde sistem olasılıklarını hesaplamak için ρ\rho değerine ihtiyaç duyulur.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla.
P0=1−ρ1−ρK+1=1−0,51−0,54=0,50,9375=815P_0 = \frac{1-\rho}{1-\rho^{K+1}} = \frac{1-0,5}{1-0,5^4} = \frac{0,5}{0,9375} = \frac{8}{15}
Sistemin diğer eyalet olasılıklarını bulmak için temel olasılık P0P_0 gereklidir.
3
Sistemin tam kapasite dolu olma (engelleme) olasılığını (PKP_K) hesapla.
P3=P0×ρ3=815×(0,5)3=815×18=115P_3 = P_0 \times \rho^3 = \frac{8}{15} \times (0,5)^3 = \frac{8}{15} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{15}
Sonlu kapasiteli sistemlerde gelenlerin bir kısmı sistem dolu olduğu için reddedilir; bu oran PKP_K ile temsil edilir.
4
Etkin varış hızını (λetkin\lambda_{etkin}) hesapla.
λetkin=λ(1−PK)=2(1−115)=2×1415=2815\lambda_{etkin} = \lambda(1 - P_K) = 2 \left(1 - \frac{1}{15}\right) = 2 \times \frac{14}{15} = \frac{28}{15}
Etkin varış hızı, toplam varış hızından sistem dolu olduğu için giremeyenlerin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) sistemlerinde etkin varış hızı, sistem kapasitesi nedeniyle reddedilmeyen birimlerin gerçek varış oranını temsil eder.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 52Soru →

Bir halk kütüphanesinin üyelik kayıt masasına gelen kişilerin ortalama varış hızı saatte 1212 kişidir (λ=12\lambda = 12). Gelen bir kişinin kayıt masasında (sistemde) geçirdiği ortalama süre 1515 dakikadır. Little Teoremi temel alınarak yapılan hesaplamaya göre, bu sistemdeki ortalama kişi sayısı (LL) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Sistemdeki ortalama kişi sayısı 33 olarak hesaplanır.
Ortalama varış hızı λ=12\lambda = 12 kişi/saat ve sistemde geçirilen ortalama süre W=15W = 15 dakikadır. Öncelikle 1515 dakika saat birimine çevrilerek 15/60=0,2515/60 = 0,25 saat elde edilir. Little Teoremi'ne göre L=λ×WL = \lambda \times W bağıntısı kullanılarak L=12×0,25=3L = 12 \times 0,25 = 3 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim dönüşümü yapılması
W=15 dakika=15/60=0,25 saatW = 15 \text{ dakika} = 15/60 = 0,25 \text{ saat}
Varış hızı saatlik verildiği için bekleme süresi de saat birimine çevrilmelidir.
2
Little Teoremi formülünün uygulanması
L=λ×WL = \lambda \times W
Sistemdeki ortalama kişi sayısını bulmak için varış hızı ile sistemde geçirilen ortalama süre çarpılır.
3
Sayısal hesaplamanın tamamlanması
L=12×0,25=3L = 12 \times 0,25 = 3
Elde edilen veriler yerine konularak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Little Teoremi (L=λWL = \lambda W)
Tahmini Süre:45s
Soru 53Soru →

Kuyruk sistemlerinin yapısal özelliklerini ve süreçlerini tanımlamak amacıyla kullanılan Kendall notasyonu genel olarak A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D biçiminde gösterilmektedir. Bu notasyonda her bir sembol, sistemin farklı bir karakteristiğini ifade etmektedir.

Buna göre, M/D/1/5/∞/FCFSM/D/1/5/\infty/FCFS şeklinde tanımlanan bir kuyruk modelinde hizmet (servis) süresi dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirlenmiş (Sabit) dağılım

Cevap

Hizmet süresi dağılımı Belirlenmiş (Sabit) dağılım olarak tanımlanır.
Kendall notasyonunda ikinci pozisyonda (BB) yer alan sembol hizmet süresi dağılımını ifade eder. 'D' harfi 'Deterministic' kelimesinin karşılığı olup, hizmet sürelerinin değişken olmadığını, yani sabit (belirlenmiş) bir süreye sahip olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Kendall notasyonunun (A/B/s/K/N/DA/B/s/K/N/D) bileşenlerini tanımlayın.
A: Varış süreci, B: Hizmet süreci, s: Kanal sayısı, K: Sistem kapasitesi, N: Kaynak büyüklüğü, D: Kuyruk disiplini.
Soru kökündeki sembollerin hangi özelliği temsil ettiğini belirlemek için standart dizilimi bilmek gerekir.
2
Soru metnindeki M/D/1/5/∞/FCFSM/D/1/5/\infty/FCFS ifadesinde ikinci sıradaki sembolü tespit edin.
İkinci sırada 'D' sembolü yer almaktadır.
Hizmet süreci dağılımı notasyonun her zaman ikinci sırasında (BB konumu) gösterilir.
3
'D' sembolünün anlamını çözümleyin.
D = Deterministic (Belirlenmiş/Sabit).
Kuyruk teorisinde 'D' harfi, rassal olmayan ve süresi önceden tam olarak bilinen sabit işlemleri ifade eder.

Anahtar Kavram

Kendall Notasyonu - Hizmet Süreci Dağılımı (BB)
Tahmini Süre:45s
Soru 54Soru →

Bir noterlik dairesinde evrak onayı yaptırmak isteyen vatandaşların varış süreci, saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Noterlikte aynı hızla ve birbirinden bağımsız çalışan 22 adet vezne (kanal) bulunmakta olup, her bir vezne bir vatandaşın işlemini ortalama 2020 dakikada (üstel dağılım) tamamlamaktadır. Buna göre, bu noterlikte bir vatandaşın işlem için kuyrukta bekleyeceği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Noterlikte bir vatandaşın kuyrukta bekleyeceği ortalama süre 16 dakikadır.
Ortalama kuyrukta bekleme süresinin 16 dakika olarak hesaplandığı seçenek doğrudur. Verilen λ=4\lambda=4, μ=3\mu=3 ve c=2c=2 değerleri ile sistemin yoğunluk oranı ρ=2/3\rho=2/3 olarak bulunur. Sistemin tamamen boş olma olasılığı P0=0,20P_0=0,20 olarak hesaplandıktan sonra kuyruk uzunluğu Lq=16/15L_q=16/15 bulunur. Little Yasası'na göre Wq=Lq/λW_q = L_q / \lambda işlemi yapıldığında 4/154/15 saat, yani 16 dakika sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirle.
λ=4\lambda = 4 kişi/saat, c=2c = 2 kanal, μ=1/(20/60)=3\mu = 1 / (20/60) = 3 kişi/saat.
Hesaplamalarda birim uyuşmazlığı yaşamamak için tüm hızların saat cinsinden olması gerekir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla.
P0=[∑n=01(4/3)nn!+(4/3)22!(11−4/6)]−1=[1+1,33+4/3]−1=1/5=0,20P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{1} \frac{(4/3)^n}{n!} + \frac{(4/3)^2}{2!} \left( \frac{1}{1 - 4/6} \right) \right]^{-1} = \left[ 1 + 1,33 + 4/3 \right]^{-1} = 1/5 = 0,20.
M/M/cM/M/c modellerinde bekleme süresi formülleri P0P_0 değerine bağlıdır.
3
Ortalama kuyruk uzunluğunu (LqL_q) hesapla.
Lq=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=0,20×(4/3)2×(2/3)2×(1/3)2=1615≈1,067L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1 - \rho)^2} = \frac{0,20 \times (4/3)^2 \times (2/3)}{2 \times (1/3)^2} = \frac{16}{15} \approx 1,067 kişi.
Sistem yoğunluğu ρ=λ/(cμ)=4/6=2/3\rho = \lambda / (c\mu) = 4/6 = 2/3 kullanılarak kuyruktaki ortalama kişi sayısı bulunur.
4
Little yasası ile bekleme süresini (WqW_q) hesapla ve dakikaya çevir.
Wq=Lq/λ=(16/15)/4=4/15W_q = L_q / \lambda = (16/15) / 4 = 4/15 saat. Dakika cinsinden: 4/15×60=164/15 \times 60 = 16 dakika.
Little Yasası (Lq=λWqL_q = \lambda W_q) bekleme süresi ile kuyruk uzunluğu arasındaki temel ilişkidir.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modelinde Bekleme Süresi Analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 55Soru →

Bir kargo dağıtım merkezinin tasnif birimine gelen paketler, saatte ortalama 1212 adet olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak ulaşmaktadır. Tasnif masasında görevli personelin bir paketi inceleyip sisteme giriş yapması için geçen süre, ortalama 44 dakika olan üstel dağılıma sahiptir. Bu sistem (M/M/1) kuyruk modeli varsayımlarını karşıladığına göre, tasnif masası önündeki kuyrukta bekleyen ortalama paket sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,2

Cevap

Tasnif masası önündeki kuyrukta bekleyen ortalama paket sayısı 3,2'dir.
Kuyrukta bekleyen ortalama paket sayısı hesaplanırken λ=12\lambda = 12 ve ortalama hizmet süresi 44 dakika üzerinden hesaplanan μ=15\mu = 15 değerleri kullanılır. Lq=λ2μ(μ−λ)L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} formülü yerine konulduğunda 144/(15×3)=3,2144 / (15 \times 3) = 3,2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda) ve hizmet hızının (μ\mu) belirlenmesi.
λ=12\lambda = 12 paket/saat; μ=60/4=15\mu = 60 / 4 = 15 paket/saat.
Kuyruk modellerinde birimlerin (saatlik hız) birbiriyle uyumlu olması gerekir.
2
Sistemin kararlılık durumunun kontrol edilmesi.
ρ=λ/μ=12/15=0,8<1\rho = \lambda / \mu = 12 / 15 = 0,8 < 1.
Sonsuz kapasiteli modellerde λ<μ\lambda < \mu şartı sistemin dengeye ulaşması için zorunludur.
3
Kuyrukta bekleyen ortalama paket sayısı (LqL_q) formülünün uygulanması.
Lq=λ2μ(μ−λ)=12215(15−12)=14445=3,2L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{12^2}{15(15 - 12)} = \frac{144}{45} = 3,2.
Soruda sadece kuyrukta bekleyenler sorulduğu için LqL_q formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

(M/M/1) Kuyruk Modelinde Kuyruk Uzunluğu (Lq)

Daha Fazla Pratik

Varış hızı değişmeden hizmet süresi yarıya düşerse (2 dakika olursa) kuyruktaki bekleme sayısının nasıl değişeceğini hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Önce sistemdeki ortalama paket sayısı L=λμ−λ=123=4L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{12}{3} = 4 bulunur. Ardından Lq=L−ρL_q = L - \rho bağıntısı kullanılarak Lq=4−0,8=3,2L_q = 4 - 0,8 = 3,2 sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 56Soru →

Bir gümrük limanındaki konteyner muayene sahasına gelen tırların ortalama varış hızı saatte 2424 adettir (λ=24\lambda = 24). Bir tırın perondaki muayene işlemi ortalama 22 dakika sürmektedir. Muayene sırasındaki (kuyrukta) bekleyen tırların ortalama sayısı 3,03,0 olduğuna göre, tüm sistemdeki (kuyruk + muayene) ortalama tır sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,83,8

Cevap

Sistemdeki ortalama tır sayısı 3,83,8 olarak hesaplanır.
3,83,8 sonucu, sistemdeki ortalama uzunluğu veren L=Lq+ρL = L_q + \rho formülünün doğrudan sonucudur. Burada ρ=λ/μ\rho = \lambda / \mu oranı 24/30=0,824/30 = 0,8 olarak hesaplanır ve verilen Lq=3,0L_q = 3,0 değeri ile toplandığında 3,83,8 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hizmet hızı ve trafik yoğunluğunun (ρ\rho) hesaplanması
ρ=0,8\rho = 0,8
Varış hızı saatlik olarak verildiğinden, 22 dakikalık hizmet süresi saate çevrilmelidir. 1/μ=2/60=1/301/\mu = 2/60 = 1/30 saattir. Trafik yoğunluğu ρ=λ×(1/μ)=24×(1/30)=0,8\rho = \lambda \times (1/\mu) = 24 \times (1/30) = 0,8 olarak bulunur.
2
Little Teoremi bağıntısı kullanılarak sistemdeki toplam tır sayısının (LL) bulunması
L=3,8L = 3,8
Sistemdeki toplam tır sayısı (LL), kuyruktaki tır sayısı (LqL_q) ile hizmetteki ortalama tır sayısının (ρ\rho) toplamına eşittir: L=Lq+ρ=3,0+0,8=3,8L = L_q + \rho = 3,0 + 0,8 = 3,8.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Kuyruk Performans Ölçütleri Arasındaki İlişkiler

Daha Fazla Pratik

Little teoreminin L=λWL = \lambda W ve Lq=λWqL_q = \lambda W_q formülleri arasındaki farkı pekiştirmek için bekleme süreleri üzerinden hesaplama yapan sorular çözülmelidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 57Soru →

Butik bir otelin resepsiyonunda tek bir görevli hizmet vermektedir. Otele müşteri varışları saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, bir müşterinin kayıt işlemlerinin süresi ise ortalama 1515 dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Otel lobisinin fiziksel kapasitesi, işlemleri süren müşteri dahil toplam 33 kişi ile sınırlıdır. Lobide yer olmadığında gelen müşteriler otele kabul edilmeden geri dönmektedir.

Buna göre, otel resepsiyonuna kabul edilen efektif varış hızı (λeff\lambda_{eff}) saatte kaç müşteridir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Efektif varış hızı saatte 3 müşteridir.
Verilen problemde λ=4\lambda = 4 ve μ=4\mu = 4 olduğu için ρ=1\rho = 1 durumundadır. Sistemin toplam kapasitesi K=3K = 3 olduğundan, sistemin dolu olma olasılığı P3=1/(3+1)=0,25P_3 = 1/(3+1) = 0,25 olarak hesaplanır. Efektif varış hızı, sisteme girmeyi başaranların hızını temsil eder ve λ×(1−P3)\lambda \times (1 - P_3) işlemiyle 33 müşteri/saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parametrelerin ortak birime (saat) dönüştürülmesi
λ=4\lambda = 4 müşteri/saat; μ=60/15=4\mu = 60 / 15 = 4 müşteri/saat
Kuyruk modellerinde varış ve hizmet hızlarının aynı zaman birimi cinsinden olması zorunludur.
2
Trafik yoğunluğunun (ρ\rho) hesaplanması
ρ=λ/μ=4/4=1\rho = \lambda / \mu = 4 / 4 = 1
Sistemin çalışma karakteristiğini ve kullanılacak olasılık formüllerini belirlemek için gereklidir.
3
Sistemin dolu olma (kayıp/bloklanma) olasılığının (PKP_K) hesaplanması
P3=1/(K+1)=1/(3+1)=0,25P_3 = 1 / (K + 1) = 1 / (3 + 1) = 0,25
ρ=1\rho = 1 olduğu durumlarda M/M/1/KM/M/1/K modelinde her durumun olasılığı birbirine eşittir ve 1/(K+1)1/(K+1) formülüyle bulunur.
4
Efektif varış hızının (λeff\lambda_{eff}) hesaplanması
λeff=λ×(1−P3)=4×(1−0,25)=3\lambda_{eff} = \lambda \times (1 - P_3) = 4 \times (1 - 0,25) = 3 müşteri/saat
Efektif varış hızı, sisteme gelenlerin sistemin dolu olmama olasılığı ile çarpılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Sonlu kapasiteli (M/M/1/K) sistemlerde, sistem doluyken gelen müşteriler kaybolur; bu nedenle sisteme giren gerçek (efektif) varış hızı ham varış hızından düşüktür.

Alternatif Yöntem

ρ=1\rho = 1 olduğu durumlarda, tüm durum olasılıkları (P0,P1,P2,P3P_0, P_1, P_2, P_3) eşit olup 0,250,25 değerindedir. λeff\lambda_{eff} ayrıca μ×(1−P0)\mu \times (1 - P_0) formülüyle de bulunabilir. Buradan 4×(1−0,25)=34 \times (1 - 0,25) = 3 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 58Soru →

Bir belediyenin emlak vergisi ödeme veznesine gelen vatandaşların ortalama varış hızı saatte 5050 kişidir (λ=50\lambda = 50). Bir vatandaşın vezne önündeki kuyrukta (bekleme hattında) beklediği ortalama süre 66 dakikadır. Buna göre, Little Teoremi uyarınca vezne önündeki kuyrukta bekleyen ortalama vatandaş sayısı (LqL_q) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Vezne önündeki kuyrukta bekleyen ortalama vatandaş sayısı 5'tir.
Little Teoremi'ne göre kuyruktaki ortalama uzunluk (LqL_q), ortalama varış hızı (λ\lambda) ile kuyrukta beklenen ortalama sürenin (WqW_q) çarpımıdır. Saatte 50 kişinin geldiği ve 6 dakika (0,1 saat) beklendiği durumda, 50×0,1=550 \times 0,1 = 5 vatandaşın kuyrukta olduğu sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parametrelerin belirlenmesi ve birim kontrolü yapılması
λ=50\lambda = 50 kişi/saat, Wq=6W_q = 6 dakika
Little Teoremi uygulanırken varış hızı ve bekleme süresinin aynı zaman biriminde (saat veya dakika) olması gerekir.
2
Bekleme süresinin saat birimine dönüştürülmesi
Wq=660=0,1W_q = \frac{6}{60} = 0,1 saat
Varış hızı saatlik olarak verildiği için bekleme süresi de saate çevrilmelidir.
3
Little Teoremi (Lq=λ×WqL_q = \lambda \times W_q) formülünün uygulanması
Lq=50×0,1=5L_q = 50 \times 0,1 = 5
Kuyruktaki ortalama uzunluk, varış hızı ile kuyrukta geçirilen ortalama sürenin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi (Kuyruk Uzunluğu ve Bekleme Süresi İlişkisi)
Soru 59Soru →

Bir kamu bankasının gişe hizmetlerinde 22 adet özdeş vezne görev yapmaktadır. Bankaya gelen müşterilerin varış süreci saatte ortalama 66 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir veznedarın hizmet süresi ise müşteri başına ortalama 1212 dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, bu bankadaki kuyruk sisteminde herhangi bir anda hiç müşteri bulunmama olasılığı (P0P_0) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,25

Cevap

Sistemin boş olma olasılığı 0,250,25 olarak hesaplanır.
Verilen parametrelerle (M/M/2) kuyruk modeli formülü uygulandığında, sistemdeki toplam ağırlıklı durumların tersi alınarak boşta kalma olasılığı 0,250,25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Varış hızı (λ\lambda), hizmet hızı (μ\mu) ve kanal sayısını (cc) belirleyiniz.
λ=6\lambda = 6 müşteri/saat, μ=60/12=5\mu = 60 / 12 = 5 müşteri/saat, c=2c = 2.
Kuyruk parametrelerinin aynı zaman birimi (saat) üzerinden tanımlanması gerekir.
2
Sistem yoğunluk oranlarını hesaplayınız.
λμ=65=1,2\frac{\lambda}{\mu} = \frac{6}{5} = 1,2 ve ρ=λcμ=610=0,6\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{6}{10} = 0,6.
P0P_0 formülünde kullanılacak temel oranlardır.
3
(M/M/c) için P0P_0 formülünü uygulayınız.
P0=[∑n=011n!(1,2)n+12!(1,2)2(11−0,6)]−1P_0 = [\sum_{n=0}^{1} \frac{1}{n!} (1,2)^n + \frac{1}{2!} (1,2)^2 (\frac{1}{1-0,6})]^{-1}
Çok kanallı sistemlerde sistemin boş olma olasılığı kümülatif toplam ve kuyruk kuyruğu bileşeninden oluşur.
4
İşlemleri sonuçlandırınız.
P0=[(1+1,2)+(0,5×1,44×2,5)]−1=[2,2+1,8]−1=1/4=0,25P_0 = [ (1 + 1,2) + (0,5 \times 1,44 \times 2,5) ]^{-1} = [ 2,2 + 1,8 ]^{-1} = 1/4 = 0,25.
Matematiksel sadeleştirme ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Modeli Boşta Kalma Olasılığı (P0P_0)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 60Soru →

Türk Standartları Enstitüsü (TSE) bünyesindeki bir ürün belgelendirme birimine başvurusu yapılan dosyaların ortalama varış hızı saatte 1515 adettir (λ=15\lambda = 15). Bir dosyanın kuyrukta beklediği ortalama süre 1212 dakika ve bir dosyanın uzman tarafından incelenmesi için geçen ortalama süre (hizmet süresi) 44 dakikadır. Little Teoremi ve performans ölçütleri dikkate alındığında, bu belgelendirme sistemindeki (kuyrukta bekleyenler ve incelemedekiler dahil) ortalama dosya sayısı (LL) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Sistemdeki ortalama dosya sayısı 4 olarak hesaplanır.
Sistemdeki ortalama dosya sayısını (LL) bulmak için önce sistemde geçirilen toplam süreyi (WW) hesaplamalıyız. WW, kuyrukta bekleme süresi (Wq=12W_q = 12 dk) ile hizmet süresinin (1/μ=41/\mu = 4 dk) toplamıdır (W=16W = 16 dk). Saatte 15 dosya geldiği için bu süreyi saate çevirdiğimizde 16/6016/60 saat elde ederiz. Little Teoremi'ne göre L=λ×W=15×(16/60)=4L = \lambda \times W = 15 \times (16/60) = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim dönüşümlerini yapın ve sistemdeki ortalama süreyi (WW) belirleyin.
Wq=12W_q = 12 dakika, Hizmet süresi (1/μ1/\mu) = 44 dakika. Toplam süre W=12+4=16W = 12 + 4 = 16 dakika.
Little Teoremi uygulanırken varış hızı (λλ) saatlik verildiği için sürenin de saate çevrilmesi gerekir.
2
Sistemdeki ortalama süreyi (WW) saat birimine çevirin.
W=16/60=4/15W = 16 / 60 = 4 / 15 saat.
Varış hızı saatte 15 dosya olduğundan, süre birimi de saat olmalıdır.
3
Little Teoremi (L=λWL = \lambda W) formülünü kullanarak sistemdeki dosya sayısını hesaplayın.
L=15×(4/15)=4L = 15 \times (4 / 15) = 4.
Sistemdeki ortalama dosya sayısı, varış hızı ile sistemde geçirilen toplam sürenin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Performans Ölçütleri İlişkisi
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 3 / 7Sonraki
Kuyruk Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3 | Examkin