Kuyruk Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir liman işletmesinde, özel bir yükü taşımak üzere tahsis edilmiş tam $15$ adet ring aracı bulunmaktadır. Bu araçların arıza yapma süreleri üstel dağılıma uymaktadır. Liman içindeki tamir atölyesinde $4$ adet bağımsız ve özdeş onarım kanalı mevcuttur. Atölye, standart bir modül değişimi prosedürü uyguladığı için her bir aracın onarım süresi kesin olarak $45$ dakika sürmektedir. Atölyenin fiziksel alanı, onarımda olanlar dâhil en fazla $10$ aracın aynı anda sistemde bulunmasına izin vermektedir. Araçlar atölyeye alındıklarında, taşıdıkları yükün aciliyet derecesine göre sınıflandırılmakta ve onarıma bu öncelik sırasına göre alınmaktadır.

Buna göre, bu tamir atölyesindeki kuyruk sisteminin Kendall notasyonu ile tam gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

M/D/4/10/15/PRI

D/M/4/10/15/PRI

M/D/4/15/10/PRI

M/M/4/10/15/FCFS

M/D/10/4/\infty/PRI

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M/D/4/10/15/PRI$

Cevap

Sistemin Kendall notasyonu

M/D/4/10/15/PRI

şeklindedir.

Genişletilmiş Kendall notasyonu

A/B/s/K/N/D

yapısına sahiptir. Metne göre; arızaların üstel olması varışların Markovian (

M

) olduğunu, onarım süresinin kesin olması hizmetin deterministik (

D

) olduğunu gösterir. 4 adet kanal (

s=4

), sistemin 10 araçlık limiti (

K=10

), filonun 15 araçlık kısıtlı bir popülasyon olması (

N=15

) ve aciliyet derecesine göre öncelik verilmesi (

PRI

) bilgileri sırasıyla yerine konduğunda doğru gösterim

M/D/4/10/15/PRI

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Varış (A) ve Hizmet (B) dağılımlarını belirle.

A =

M

, B =

D

Arızalar (varışlar) üstel dağılıma (M) uyarken, onarım (hizmet) süresi kesin olarak 45 dakika sürdüğü için deterministiktir (sabit, D).

2

Hizmet kanalı sayısını (s) belirle.

s =

4

Atölyede 4 adet bağımsız onarım kanalı olduğu metinde açıkça belirtilmiştir.

3

Sistem kapasitesini (K) belirle.

K =

10

Atölyenin fiziksel olarak onarımda olanlar dâhil en fazla 10 aracı barındırabildiği ifade edilmiştir.

4

Kaynak popülasyonunu (N) belirle.

N =

15

Sisteme giriş yapabilecek toplam araç sayısı, tahsis edilmiş 15 adet ring aracı ile sınırlıdır (sonlu popülasyon).

5

Kuyruk disiplinini (D) belirle.

Disiplin =

PRI

Onarıma alma işlemi yükün aciliyet derecesine göre yapıldığı için Öncelikli (Priority - PRI) kuralı geçerlidir.

6

Parametreleri

A/B/s/K/N/D

sırasında birleştir.

M/D/4/10/15/PRI

Genişletilmiş Kendall notasyonunun standart dizilimi bu şekildedir.

Anahtar Kavram

Kendall Notasyonu (

A/B/s/K/N/D

)

Soru 82Soru →

Bir hastanenin yoğun bakım ünitesinde $4$ adet özdeş ve kritik öneme sahip solunum cihazı (ventilatör) bulunmaktadır. Çalışır durumdaki her bir cihazın arızalanma süresi üstel dağılıma uymakta olup, bir cihaz ortalama $1$ ayda bir arızalanmaktadır ( $\lambda = 1$ arıza/ay). Bu cihazların bakım ve onarımından sorumlu $1$ adet biyomedikal teknikeri görev yapmaktadır. Teknikerin tamir süreleri üstel dağılıma uymakta ve bir cihazı ortalama yarım ayda tamir etmektedir ( $\mu = 2$ tamir/ay).

Buna göre, denge durumunda sistemde ortalama kaç adet cihazın arızalı (tamirde veya tamir sırasında sıra bekleyen) olması beklenir?

1

\frac{9}{7}

\frac{38}{21}

\frac{46}{21}

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{46}{21}$

Cevap

Sistemdeki beklenen arızalı cihaz sayısı

\frac{46}{21}

'dir.

Sonlu kaynaklı (makine bakım) kuyruk modellerinde, sistemde beklenen müşteri (arızalı makine) sayısı

L

hesaplanırken öncelikle

P_0

(hiç arızalı makine olmama olasılığı) formülü kullanılır.

P_0

değeri

\frac{2}{21}

olarak bulunduktan sonra, tamircinin sürekli meşgul olma oranı (

1-P_0 = \frac{19}{21}

) üzerinden efektif arıza hızı

\lambda_{eff} = \mu(1-P_0) = \frac{38}{21}

olarak elde edilir. Son adımda

L = N - (\lambda_{eff} / \lambda)

eşitliğinden sistemde beklenen arızalı cihaz sayısı

4 - \frac{38}{21} = \frac{46}{21}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Probleme ait parametrelerin belirlenmesi.

Toplam popülasyon

N = 4

, bozulma oranı

\lambda = 1

arıza/ay, tamir oranı

\mu = 2

tamir/ay ve servis kanalı (tamirci) sayısı

c = 1

.

Kullanılacak sonlu kaynaklı kuyruk modeli formülleri için temel değişkenlerin tanımlanması gerekir.

2

Sistemin boş olma olasılığının (

P_0

) hesaplanması.

P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{4} \frac{4!}{(4-n)!} (\frac{1}{2})^n \right]^{-1} = \left[ 1 + 4(0.5) + 12(0.25) + 24(0.125) + 24(0.0625) \right]^{-1} = [1 + 2 + 3 + 3 + 1.5]^{-1} = \frac{2}{21}

.

Sonlu kaynaklı sistemlerde performans ölçütlerini bulabilmek için öncelikle sistemde hiç arızalı makine bulunmama olasılığı olan

P_0

bulunmalıdır.

3

Efektif bozulma hızının (

\lambda_{eff}

) hesaplanması.

Teknikerin meşguliyet oranı

1 - P_0 = 1 - \frac{2}{21} = \frac{19}{21}

'dir. Buradan

\lambda_{eff} = \mu(1 - P_0) = 2 \times \frac{19}{21} = \frac{38}{21}

arıza/ay bulunur.

Sistemdeki beklenen makine sayısını (

L

) bulmak için gerçekte sisteme giren (arızalanan) efektif oranın bilinmesi gerekir.

4

Sistemdeki beklenen arızalı cihaz sayısının (

L

) hesaplanması.

L = N - \frac{\lambda_{eff}}{\lambda} = 4 - \frac{38/21}{1} = \frac{84 - 38}{21} = \frac{46}{21}

adet cihaz.

Denge durumunda sistemde bulunan (tamirde veya sırada bekleyen) ortalama birim sayısı bu formülle elde edilir.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı Kuyruk Modelleri (M/M/1/K/K)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 83Soru →

Bir Tapu Müdürlüğünde ipotek tesis işlemleri için $3$ adet özdeş memur görev yapmaktadır. Müdürlüğe ipotek işlemi için gelen vatandaşların varış süreci, ortalama her $6$ dakikada bir kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Bir memurun bir ipotek işlemini tamamlama süresi ortalama $12$ dakika olup üstel dağılım göstermektedir.

Buna göre, sistem kararlı durumdayken (steady-state) kuyrukta bekleyen ortalama vatandaş sayısı ( $L_q$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{8}{31}

\frac{4}{9}

\frac{8}{9}

\frac{4}{3}

\frac{26}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{9}$

Cevap

Sistem kararlı durumdayken kuyrukta bekleyen ortalama kişi sayısı

\frac{8}{9}

'dur.

Verilen bilgilerden

\lambda = 10

kişi/saat,

\mu = 5

kişi/saat ve

c=3

olarak bulunur. Sistemin boş kalma olasılığı formülünde değerler yerine konduğunda

P_0 = \frac{1}{9}

elde edilir. Kuyruktaki müşteri sayısı formülü

L_q = \frac{r^c \lambda \mu}{(c-1)!(c\mu - \lambda)^2} P_0

kullanılarak

L_q = \frac{8 \times 50}{2 \times 25} \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranları ortak bir zaman birimine (saat) çevirerek temel parametreleri belirleyin.

Geliş hızı:

\lambda = \frac{60}{6} = 10

kişi/saat. Hizmet hızı:

\mu = \frac{60}{12} = 5

kişi/saat. Kanal sayısı:

c = 3

. Trafik yoğunluğu (sistem kullanım oranı):

\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{10}{3 \times 5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} < 1

. Ortalama meşgul kanal sayısı:

r = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{10}{5} = 2

.

Çok kanallı bekleme hattı modellerinde hesaplamaların doğru yapılabilmesi için varış ve hizmet hızlarının aynı zaman biriminde ifade edilmesi ve sistemin kararlı (

\rho < 1

) olduğunun teyit edilmesi gerekir.

2

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) formül yardımıyla hesaplayın.

P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!} \left( \frac{c\mu}{c\mu - \lambda} \right) \right]^{-1}

P_0 = \left[ \frac{2^0}{0!} + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} \left( \frac{3 \times 5}{3 \times 5 - 10} \right) \right]^{-1}

P_0 = \left[ 1 + 2 + 2 + \frac{8}{6} \times \frac{15}{5} \right]^{-1} = \left[ 5 + \frac{8}{6} \times 3 \right]^{-1} = \left[ 5 + 4 \right]^{-1} = \frac{1}{9}

Kuyruk uzunluğunu bulabilmek için öncelikle sistemde hiç müşteri olmaması (tüm memurların boşta olması) ihtimalinin bilinmesi zorunludur.

3

Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısını (

L_q

) hesaplayın.

L_q = \left[ \frac{(\lambda/\mu)^c \lambda \mu}{(c-1)!(c\mu - \lambda)^2} \right] P_0

L_q = \left[ \frac{2^3 \times 10 \times 5}{2! \times (15 - 10)^2} \right] \times \frac{1}{9} = \left[ \frac{8 \times 50}{2 \times 25} \right] \times \frac{1}{9} = \frac{400}{50} \times \frac{1}{9} = 8 \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

(M/M/c) modelinde kuyruk uzunluğu (Lq), boşta kalma olasılığı (P0) ve sistem parametreleri üzerinden hesaplanır.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Kuyruk Modeli Performans Ölçütleri

Soru 84Soru →

Bir belediyenin iletişim merkezindeki (Beyaz Masa) tek bir gişede vatandaşlara hizmet verilmektedir. Sistemdeki vatandaş sayısına ( $n$ ) bağlı olarak, gişeye yeni bir vatandaşın geliş hızı $\lambda_n$ (kişi/saat) ve gişenin hizmet hızı $\mu_n$ (kişi/saat) bir doğum-ölüm süreci ile modellenmiştir.

Vatandaşlar kuyruğun uzunluğunu gördüklerinde beklemekten vazgeçebilmektedir. Sistemdeki kişi sayısına göre varış hızları sırasıyla;
$\lambda_0 = 6$
$\lambda_1 = 4$
$\lambda_2 = 2$
$\lambda_n = 0 \quad (n \ge 3)$
olarak belirlenmiştir.

Gişedeki memurun hizmet hızı ise sistemde en az bir kişi varken sabittir ve $\mu_n = 2 \quad (n \ge 1)$ kişi/saat olarak verilmiştir.

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) tamamen boş olma olasılığı ( $P_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{40}

\frac{1}{16}

\frac{1}{15}

\frac{1}{7}

\frac{3}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{16}$

Cevap

Sistemin kararlı durumda tamamen boş olma olasılığı

\frac{1}{16}

'dır.

Doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum olasılıkları hesaplanırken her durum için

P_n

değerleri sırasıyla önceki durumlar üzerinden birbirinin çarpımı olarak

P_0

cinsinden ifade edilir.

P_1 = 3P_0

,

P_2 = 6P_0

ve

P_3 = 6P_0

bulunduktan sonra, katsayıların toplamı (

1 + 3 + 6 + 6 = 16

) normalizasyon şartı gereği 1'e eşitlenerek sistemin boş kalma olasılığı

\frac{1}{16}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreci denge (steady-state) denklemlerini kullanarak her bir

n

durumu için

P_n

olasılıklarını

P_0

cinsinden ifade edin.

P_n = C_n \cdot P_0

ilişkisi kurulur. Burada

C_n = \frac{\lambda_0 \cdot \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \cdot \mu_2 \cdots \mu_n}

formülü geçerlidir.

Kararlı durumda bir duruma giriş hızı, o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır (Denge şartı).

2

C_1, C_2

ve

C_3

katsayılarını verilen parametrelere göre hesaplayın.

C_1 = \frac{6}{2} = 3 \implies P_1 = 3P_0

C_2 = \frac{6 \cdot 4}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 \implies P_2 = 6P_0

C_3 = \frac{6 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{48}{8} = 6 \implies P_3 = 6P_0

Sistemde en fazla 3 kişi bulunabileceği için (

\lambda_3 = 0

), sadece

P_1, P_2

ve

P_3

hesaplanır.

3

Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayarak

P_0

'ı bulun.

P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0(1 + 3 + 6 + 6) = 1

16 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{16}

Sistem mutlaka bu 4 durumdan birinde bulunmak zorundadır, olasılıklar toplamı 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Duruma Bağlı Doğum-Ölüm Süreçleri ve Normalizasyon

Soru 85Soru →

Bir e-ticaret platformunun müşteri hizmetleri çağrı merkezine gelen çağrılar incelendiğinde, art arda gelen iki çağrı arasındaki sürenin ortalama $72$ saniye olduğu ve bu sürenin üstel dağılıma uyduğu belirlenmiştir. Müşteri temsilcilerinin bir çağrıyı yanıtlama (hizmet) süreleri de üstel dağılım göstermektedir. Bir müşteri temsilcisi hiç ara vermeksizin çalıştığında $6$ saatlik bir vardiyada ortalama $450$ çağrıyı sonuçlandırabilmektedir. Kuyruk sisteminin performans analizi için tüm oranların saatlik bazda standartlaştırılması istenmektedir.

Buna göre; sistemdeki saatlik varış sayısının dağılımı, bir çağrının hizmet süresinin dağılımı ve saatlik bazda standartlaştırılmış varış hızı ( $\lambda$ ) ile hizmet hızı ( $\mu$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Poisson, Üstel;

\lambda = 72

,

\mu = 450

Üstel, Poisson;

\lambda = 50

,

\mu = 75

Poisson, Üstel;

\lambda = 50

,

\mu = 75

Poisson, Üstel;

\lambda = 1,2

,

\mu = 1,25

Üstel, Poisson;

\lambda = 0,83

,

\mu = 1,25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Poisson, Üstel; $\lambda = 50$ , $\mu = 75$

Cevap

Varış sayısının Poisson, hizmet süresinin Üstel dağıldığı ve saatlik hızların

\lambda = 50

,

\mu = 75

olduğu seçenektir.

Kuyruk teorisinin temel kabullerine göre, iki olay arası süre sürekli bir değişken olarak Üstel dağılıma sahipse, birim zamanda gerçekleşen olay sayısı kesikli bir değişken olarak Poisson dağılımına uyar. Bu nedenle saatlik varış sayısı Poisson dağılımlıdır. Hizmet süresi ise doğrudan Üstel olarak verilmiştir. Saatlik oranlar için birim dönüştürme yapıldığında; 1 saatte (3600 saniye) ortalama varış hızı

\lambda = 3600 / 72 = 50

çağrı/saat olur. 6 saatte 450 çağrı hizmet alıyorsa 1 saatteki hizmet hızı

\mu = 450 / 6 = 75

çağrı/saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Varış sayısı ve hizmet süresi rassal değişkenlerinin olasılık dağılımlarını belirleme.

Varış sayısı: Poisson dağılımı, Hizmet süresi: Üstel dağılım.

Kuyruk teorisinde varışlar arası süre üstel dağılıyorsa, belirli bir zaman aralığındaki varış sayısı (kesikli değişken) Poisson dağılımına uyar. Hizmet süresi ise (sürekli değişken) soruda belirtildiği üzere üstel dağılımdır.

2

Saatlik varış hızını (

\lambda

) hesaplama.

\lambda = 50

çağrı/saat.

Art arda gelen iki çağrı arası ortalama süre 72 saniyedir. 1 saat 3600 saniye olduğundan, 1 saatte beklenen varış sayısı:

\lambda = \frac{3600}{72} = 50

çağrıdır.

3

Saatlik hizmet hızını (

\mu

) hesaplama.

\mu = 75

çağrı/saat.

Müşteri temsilcisi 6 saatte 450 çağrıyı yanıtlayabilmektedir. Saatlik hizmet kapasitesi (hızı):

\mu = \frac{450}{6} = 75

çağrıdır.

Anahtar Kavram

Kuyruk Sistemlerinde Olasılık Dağılımları ve Parametrelerin Birim Standartlaştırması

Soru 86Soru →

Bir İl Tarım ve Orman Müdürlüğü gıda kontrol laboratuvarına, analiz edilmek üzere saatte ortalama $30$ numune getirilmektedir. Laboratuvarın numune kabul bankosunda işlem görmek için sırada bekleyen numune sayısının ortalama $5$ adet olduğu belirlenmiştir.

Her bir numunenin sisteme kayıt edilmesi ve ön inceleme işlemi ortalama $2$ dakika sürmektedir.

Buna göre, bir numunenin laboratuvara getirilmesinden kayıt işleminin tamamlanmasına kadar geçen toplam ortalama süre ( $W$ ) kaç dakikadır?

4,5

6

7

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12 dakikadır.

Bir numunenin sistemde geçirdiği toplam süreyi (

W

) bulmak için öncelikle Little Teoremi (

L_q = \lambda \times W_q

) yardımıyla kuyrukta bekleme süresi (

W_q

) hesaplanmalıdır. Varış hızı saatte

30

numune olduğundan, dakikadaki varış hızı

\lambda = \frac{30}{60} = 0,5

numunedir. Formülden

W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{5}{0,5} = 10

dakika olarak bulunur. Sistemde geçirilen toplam süre (

W

) ise kuyrukta bekleme süresi ile işlem süresinin (

1/\mu = 2

dakika) toplamıdır:

W = 10 + 2 = 12

dakika. Doğru seçenek

12

dakikayı gösteren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Varış hızını (

\lambda

) dakika cinsinden hesapla.

\lambda = \frac{30}{60} = 0,5

numune/dakika.

Hizmet (işlem) süresi dakika cinsinden verildiği için, varış hızının da dakikaya çevrilerek birim uyumunun sağlanması gerekir.

2

Little Teoremi (

L_q = \lambda \times W_q

) yardımıyla kuyrukta bekleme süresini (

W_q

) bul.

W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{5}{0,5} = 10

dakika.

Sistemde geçirilen toplam süreyi bulmadan önce numunenin sadece sırada (kuyrukta) ne kadar zaman geçirdiği hesaplanmalıdır.

3

Sistemde geçirilen toplam süreyi (

W

) hesapla.

W = W_q + \frac{1}{\mu} = 10 + 2 = 12

dakika.

Bir numunenin laboratuvarda geçirdiği toplam süre, kuyrukta beklediği süre ile işlemde geçen sürenin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Kuyruk Performans Ölçütleri

Alternatif Yöntem

Little Teoremi tüm sistem için de doğrudan uygulanabilir: Sistemdeki ortalama numune sayısı (

L

), kuyruktaki numune sayısı ile işlem gören numune sayısının toplamıdır.

L = L_q + (\lambda \times \frac{1}{\mu}) = 5 + (0,5 \times 2) = 6

numune. Buradan sistemde geçen toplam süre

W = \frac{L}{\lambda} = \frac{6}{0,5} = 12

dakika şeklinde de tek formülle hesaplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 87Soru →

Uluslararası bir limanda, gelen konteynerlerin gemiye yüklenmesi için tek bir dev vinç kullanılmaktadır. Konteynerlerin vince varışları, saatte ortalama $12$ konteyner olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Bir konteynerin vinç tarafından gemiye yüklenme süresi ise $2$ dakika ile $6$ dakika arasında değişen sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir.

Buna göre, sistem kararlı durumdayken yükleme işlemi için kuyrukta bekleyen ortalama konteyner sayısı ( $L_q$ ) kaçtır?

\frac{24}{15}

\frac{26}{15}

\frac{36}{15}

\frac{38}{15}

\frac{48}{15}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{26}{15}$

Cevap

Doğru yanıt

\frac{26}{15}

değerini veren seçenektir.

Verilen problemde hizmet süresi genel (sürekli düzgün) bir dağılım izlediği için kuyruk yapısı M/G/1'dir. Gerekli zaman birimi dönüşümleri yapıldığında

\lambda=1/5

,

E[S]=4

ve

\sigma^2=4/3

olarak bulunur. Bu parametrelerle

\rho = 4/5

elde edilir ve Pollaczek-Khinchine formülü olan

L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)}

denkleminde yerine yazıldığında sonuç

\frac{26}{15}

olarak hesaplanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Varış hızı (

\lambda

) parametresinin zaman birimini hizmet süresiyle uyumlu olacak şekilde dakikaya çeviriniz.

\lambda = 12 \text{ konteyner/saat} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \text{ konteyner/dakika}

Kuyruk modellerinde tüm zaman parametreleri aynı birim cinsinden ifade edilmelidir.

2

Hizmet süresi düzgün dağıldığı için ortalama hizmet süresini (

E[S]

) ve varyansını (

\sigma^2

) hesaplayınız.

Ortalama

E[S] = \frac{2+6}{2} = 4 \text{ dakika}

. Varyans

\sigma^2 = \frac{(6-2)^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \text{ dakika}^2

.

M/G/1 modelinde Pollaczek-Khinchine formülü için hizmet süresinin beklenen değerine ve varyansına ihtiyaç vardır.

3

Sistem kullanım oranını (

\rho

) hesaplayınız.

\rho = \lambda \times E[S] = \frac{1}{5} \times 4 = \frac{4}{5} = 0.8

. (

\rho < 1

olduğu için sistem kararlıdır).

Kuyruk uzunluğunu formülize edebilmek için trafik yoğunluğunun bilinmesi gerekir.

4

Pollaczek-Khinchine (P-K) formülünü kullanarak kuyrukta bekleyen ortalama müşteri (konteyner) sayısını (

L_q

) bulunuz.

L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{(1/25)(4/3) + (16/25)}{2(1-4/5)} = \frac{4/75 + 48/75}{2/5} = \frac{52/75}{2/5} = \frac{52}{75} \times \frac{5}{2} = \frac{26}{15}

Hizmet süreleri üstel dağılmadığı (genel bir dağılıma sahip olduğu) için M/M/1 yerine M/G/1 kuyruk uzunluğu formülü uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü Uygulaması

Soru 88Soru →

Bir havalimanı gümrük müdürlüğünde, ithal edilen belirli bir teknolojik ürün grubunun denetimi için tek bir gümrük muayene memuru görev yapmaktadır. Bu ürünlerin muayene noktasına varışları saatte ortalama $3$ ürün olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır.

Memurun bir ürünü muayene etme süresi genel (keyfi) bir dağılıma sahip olup, ortalama muayene süresi $15$ dakika ve muayene süresinin varyansı $75 \text{ dakika}^2$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, muayene edilmek üzere kuyrukta bekleyen ortalama ürün sayısı ( $L_q$ ) kaçtır?

0,50

1,25

1,50

2,25

3,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1,50$

Cevap

Doğru cevap

1,50

değeridir.

Verilen problem bir (M/G/1) kuyruk modelidir. Zaman birimlerini dakika cinsinden sabitlediğimizde

\lambda = 1/20

ürün/dakika ve

E[S] = 15

dakika olur. Kullanım faktörü

\rho = 0,75

'tir. Hizmet süresi varyansı

\sigma^2 = 75

olarak verilmiştir. Pollaczek-Khinchine formülü olan

L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)}

denklemi çözüldüğünde pay kısmı

0,75

, payda kısmı ise

0,50

çıkar. Oranlandığında sonuç

1,50

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin birimlerini ortak bir formata (dakika) dönüştürün.

Varış hızı

\lambda = 3 \text{ ürün/saat} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \text{ ürün/dakika}

. Ortalama hizmet süresi

E[S] = 15 \text{ dakika}

. Varyans

\sigma^2 = 75 \text{ dakika}^2

.

Pollaczek-Khinchine (P-K) formülünün doğru sonuç vermesi için tüm zaman birimlerinin uyuşması zorunludur.

2

Sistem kullanım oranını (

\rho

) hesaplayın.

\rho = \lambda \cdot E[S] = \frac{1}{20} \cdot 15 = \frac{15}{20} = 0,75

.

Sistemin dengede olduğunu doğrulamak (

\rho < 1

) ve formülde kullanmak için kullanım oranı bulunmalıdır.

3

Pollaczek-Khinchine formülü ile kuyruktaki ortalama birim sayısını (

L_q

) hesaplayın.

L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{(\frac{1}{20})^2 \cdot 75 + (0,75)^2}{2(1 - 0,75)} = \frac{\frac{75}{400} + 0,5625}{2(0,25)} = \frac{0,1875 + 0,5625}{0,50} = \frac{0,75}{0,50} = 1,50

.

Hizmet süresi genel bir dağılıma (M/G/1) sahip olduğu için klasik M/M/1 formülü yerine varyansı hesaba katan P-K formülü kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

(M/G/1) Kuyruk Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Soru 89Soru →

Bir limandaki gemi yükleme-boşaltma tesisinde, sisteme gemi varış hızı ve gemilere verilen hizmet hızı, sistemdeki gemi sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) ile modellenmiştir.

Maksimum kapasitenin 3 gemi olduğu (sistemde 3 gemi varken yeni gemilerin başka limana yönlendirildiği) bu sistemde hızlar aşağıdaki gibidir:
- Sisteme gemi varış hızı: $\lambda_n = (3 - n)\lambda$ , ( $n = 0, 1, 2$ ) ve $\lambda_n = 0$ ( $n \ge 3$ )
- Gemilere hizmet verilme hızı: $\mu_n = n\mu$ , ( $n = 1, 2, 3$ )

Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemdeki beklenen gemi sayısı ( $L$ ) ile sistemin tamamen boş olma olasılığı ( $P_0$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? ( $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ )

L = \frac{\rho + 2\rho^2 + 3\rho^3}{1+\rho+\rho^2+\rho^3} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1+\rho+\rho^2+\rho^3}

L = \frac{3\rho + 12\rho^2 + 18\rho^3}{1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3}

L = \frac{3\rho}{1+\rho} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}

L = 3\rho \quad , \quad P_0 = (1-\rho)^3

L = \frac{\rho + \rho^2 + \frac{\rho^3}{2}}{1 + \rho + \frac{\rho^2}{2} + \frac{\rho^3}{6}} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1 + \rho + \frac{\rho^2}{2} + \frac{\rho^3}{6}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $L = \frac{3\rho}{1+\rho} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}$

Cevap

Sistemdeki beklenen gemi sayısının

L = \frac{3\rho}{1+\rho}

ve boş olma olasılığının

P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}

olduğu seçenek doğru cevaptır.

Denge durumunda doğum-ölüm süreçleri için geçiş denklemi

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

formülü ile çözülür. Parametreler yerine konduğunda

P_1 = 3\rho P_0

,

P_2 = 3\rho^2 P_0

ve

P_3 = \rho^3 P_0

olasılıkları elde edilir. Toplam olasılığın 1 olması kuralından, parantez içi ifadenin

(1+\rho)^3

Binom açılımına denk olduğu görülür ve

P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}

bulunur. Sistemdeki ortalama uzunluk olan

L = \sum n P_n

hesabı yapıldığında ve

P_0

ile çarpıldığında sonuç sadeleşerek

\frac{3\rho}{1+\rho}

bağıntısını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreçleri için genel denge (steady-state) denklemlerini her bir duruma (n) uygulayın.

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

ilişkisi kullanılarak olasılıklar

P_0

cinsinden yazılır.

Sistem sürekli denge halinde olduğu için, her durumdan çıkış hızı o duruma giriş hızına eşit olmalıdır.

2

Verilen varış (

\lambda_n

) ve hizmet (

\mu_n

) hızlarını kullanarak

P_1, P_2

ve

P_3

olasılıklarını

P_0

cinsinden türetin.

P_1 = \frac{3\lambda}{\mu}P_0 = 3\rho P_0

,

P_2 = \frac{2\lambda}{2\mu}P_1 = 3\rho^2 P_0

,

P_3 = \frac{\lambda}{3\mu}P_2 = \rho^3 P_0

Sistem durum olasılıklarının bağıl değerlerini belirlemek için duruma özgü katsayılar sisteme entegre edilir.

3

Toplam olasılığın 1'e eşit olması (Normalizasyon) kuralını uygulayarak

P_0

'ı bulun.

\sum_{n=0}^{3} P_n = P_0 (1 + 3\rho + 3\rho^2 + \rho^3) = 1

. Binom açılımından

(1+\rho)^3 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}

elde edilir.

Sistemin mutlaka bu dört durumdan (0, 1, 2, 3) birinde bulunması gerektiği için durum olasılıkları toplamı 1 olmalıdır.

4

Beklenen gemi sayısı formülünü (

L = \sum_{n=0}^{3} n P_n

) uygulayın ve denklemi sadeleştirin.

L = 1(3\rho P_0) + 2(3\rho^2 P_0) + 3(\rho^3 P_0) = 3\rho (1 + 2\rho + \rho^2) P_0

. Bu denklem

3\rho (1+\rho)^2 P_0

olarak yazılır.

P_0

'ı yerine koyarsak:

L = \frac{3\rho (1+\rho)^2}{(1+\rho)^3} = \frac{3\rho}{1+\rho}

Sistemdeki ortalama birim sayısını bulmak için her durumun birim sayısıyla o durumda bulunma olasılığı ağırlıklandırılarak toplanır.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Soru 90Soru →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda tek bir hızlı şarj ünitesi bulunmaktadır. İstasyonun fiziksel alan kısıtlaması nedeniyle, şarj işlemi devam eden araç dâhil olmak üzere sistemde aynı anda en fazla $3$ aracın bulunmasına izin verilmektedir. Kapasite dolduğunda gelen araçlar bekleme yapamadan istasyondan ayrılmaktadır.

İstasyona araç varışları saatte ortalama $2$ araç olacak şekilde Poisson dağılımına uymakta, bir aracın şarj edilme süresi ise ortalama $15$ dakika olup üstel dağılım göstermektedir.

Buna göre, istasyona şarj için gelen bir aracın sistem kapasitesinin dolu olması sebebiyle istasyona giremeden ayrılma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{14}

\frac{1}{8}

\frac{1}{15}

\frac{2}{15}

\frac{8}{15}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{15}$

Cevap

Sisteme gelen bir aracın geri dönme olasılığı (sistemin dolu olma durumu olan

P_3

)

\frac{1}{15}

değeridir.

Verilen (M/M/1/K) kuyruk probleminde varış hızı

\lambda = 2

, hizmet hızı

\mu = 4

ve kapasite

K = 3

'tür. Trafik yoğunluğu

\rho = \frac{1}{2}

'dir. Sisteme gelen bir müşterinin içeri girememesi, sistemin tamamen dolu (

n=3

) olması anlamına gelir.

\rho \neq 1

iken

P_K

formülü

P_K = \frac{(1-\rho)\rho^K}{1-\rho^{K+1}}

şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında hesaplama

\frac{1/16}{15/16}

şeklinde sadeleşir ve sonuç

\frac{1}{15}

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Kuyruk modelinin temel parametrelerini (varış hızı, hizmet hızı ve sistem kapasitesi) ortak bir zaman birimi üzerinden belirle.

Araç varış hızı

\lambda = 2

araç/saat. Bir aracın şarj süresi

15

dakika olduğundan, bir saatte hizmet verilen araç sayısı

\mu = \frac{60}{15} = 4

araç/saat. Sistem kapasitesi

K = 3

.

Kuyruk formüllerinde

\lambda

ve

\mu

parametrelerinin aynı zaman birimine (örneğin saat) dönüştürülmesi zorunludur.

2

Sistemin trafik yoğunluğunu (

\rho

) hesapla.

\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

olarak bulunur.

(M/M/1/K) modelinde sistem olasılıklarının formülü

\rho

'nun

1

'e eşit olup olmamasına göre değişmektedir.

3

\rho \neq 1

durumu için, kapasitenin tam dolu olduğu durumun (

n=K

) olasılığını hesapla.

P_K = \frac{(1-\rho)\rho^K}{1-\rho^{K+1}}

formülünde değerleri yerine koyarsak:

P_3 = \frac{(1 - 1/2)(1/2)^3}{1 - (1/2)^4} = \frac{(1/2) \cdot (1/8)}{1 - 1/16} = \frac{1/16}{15/16} = \frac{1}{15}

elde edilir.

Sistem kapasitesi

3

araç ile sınırlı olduğundan,

3.

aracın sistemde olduğu anlarda gelen yeni araçlar kuyruğa giremez ve istasyondan ayrılır (engellenme olasılığı).

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Modelde Engellenme Olasılığı (Blocking Probability)

Soru 91Soru →

Bir otomotiv yedek parça fabrikasında, özel bir kalite kontrol istasyonuna gelen parçaların gelişler arası süreleri $k=3$ parametreli Erlang dağılımına uymaktadır. Bu istasyonda birbirine paralel ve bağımsız çalışan, kalite kontrol testini gerçekleştiren özdeş $2$ adet otomatik cihaz bulunmaktadır. Her bir cihaz, bir parçanın test işlemini tam olarak $4,5$ dakikada tamamlamaktadır.

İstasyonun girişindeki bekleme alanı (kuyruk) fiziki kısıtlar nedeniyle en fazla $10$ adet parçayı alabilmektedir. Cihazlarda test edilen parçalarla birlikte istasyonda aynı anda en fazla $12$ parça bulunabilmektedir. Potansiyel parça kaynağı (popülasyon) sonsuz kabul edilmektedir. Parçalar bekleme alanında üst üste dizilen bir yığın (stack) yapısıyla depolandığı için, boşalan cihazlar her zaman bekleme alanına en son eklenen parçayı ilk olarak alıp test etmektedir.

Bu kalite kontrol istasyonundaki kuyruk sisteminin tam Kendall notasyonu $(A/B/s/K/N/D)$ formatında aşağıdakilerden hangisi ile doğru ifade edilir?

E_3 / D / 2 / 12 / \infty / LCFS

D / E_3 / 2 / 12 / \infty / LCFS

E_3 / D / 2 / 10 / \infty / LCFS

M / D / 2 / 12 / \infty / FCFS

E_3 / M / 2 / 12 / \infty / FCFS

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E_3 / D / 2 / 12 / \infty / LCFS$

Cevap

Doğru Kendall notasyonu

E_3 / D / 2 / 12 / \infty / LCFS

şeklindedir.

Kendall notasyonu

(A/B/s/K/N/D)

sırasıyla

6

parametreyi ifade eder: Varışlar Erlang dağıldığı için

A = E_3

. Hizmet süresi tam (sabit)

4,5

dakika olduğu için deterministik

B = D

. İki özdeş cihaz paralel çalıştığı için sunucu sayısı

s = 2

. Sistem kapasitesi, kuyruk (

10

) ve hizmet veren cihazların (

2

) toplamı olduğundan

K = 12

. Kaynak popülasyon sonsuz verildiğinden

N = \infty

. Son gelen parça ilk işlendiği için kuyruk disiplini Last-Come, First-Served mantığıyla

D = LCFS

'dir. Bu nedenle doğru eşleştirme

E_3 / D / 2 / 12 / \infty / LCFS

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Varış (

A

) ve Hizmet (

B

) dağılımlarını belirleme.

A = E_3

ve

B = D

Gelişler arası süre

k=3

parametreli Erlang dağılımı olduğu için

A

yerine

E_3

yazılır. Hizmet süresi tam olarak

4,5

dakika sabit olduğundan deterministik anlamına gelen

D

kullanılır.

2

Paralel kanal (

s

) ve Sistem kapasitesi (

K

) değerlerini belirleme.

s = 2

ve

K = 12

Özdeş

2

cihaz paralel çalıştığından

s=2

'dir. Sistem kapasitesi (

K

), kuyruktaki (

10

) ve cihazlardaki (

2

) parçaların toplamıdır.

3

Kaynak popülasyonu (

N

) ve Kuyruk disiplini (

D

) değerlerini belirleme.

N = \infty

ve Disiplin

= LCFS

Potansiyel parça kaynağı sonsuz olduğu için

N = \infty

alınır. Parçalar yığın yapısıyla depolandığı ve en son gelen ilk işlendiği için disiplin LCFS'dir.

Anahtar Kavram

Kuyruk Sistemlerinde Kendall Notasyonu (A/B/s/K/N/D)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 92Soru →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda aynı anda en fazla 3 araç bulunabilmektedir (1 araç şarj ünitesinde, en fazla 2 araç bekleme sırasında). Sisteme araç varış hızı ve sistemin şarj (hizmet) hızı, istasyondaki araç sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci ile modellenmiştir.

İstasyondaki araç sayısına göre varış hızları ( $\lambda_n$ ) ve hizmet hızları ( $\mu_n$ ) saatlik olarak aşağıdaki gibidir:
- $\lambda_0 = 6$ , $\lambda_1 = 4$ , $\lambda_2 = 2$ ve $n \ge 3$ için $\lambda_n = 0$
- $\mu_1 = 2$ , $\mu_2 = 4$ , $\mu_3 = 4$

Buna göre, sistemin denge (steady-state) durumunda tamamen dolu olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{11}

\frac{2}{17}

\frac{1}{5}

\frac{3}{17}

\frac{6}{17}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{17}$

Cevap

Sistemin tamamen dolu olma olasılığı

\frac{3}{17}

'dir.

Denge durumunda doğum-ölüm süreci ardışık oranlar kuralına uyar.

P_1 = 3P_0

,

P_2 = 3P_0

ve

P_3 = 1.5P_0

olarak bulunur. Tüm bu katsayıları

P_0

(1 katsayısı) ile topladığımızda sistemin toplam olasılık çarpanı 8.5 (veya

\frac{17}{2}

) olur. Buradan

P_0 = \frac{2}{17}

elde edilir. Bize sistemin tamamen dolu olduğu

n=3

durumu sorulduğundan,

P_3 = 1.5 \times \frac{2}{17} = \frac{3}{17}

doğru sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreci denge denklemlerini kullanarak her durumun olasılığını (

P_n

)

P_0

cinsinden ifade edin.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}P_0 = \frac{6}{2}P_0 = 3P_0

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2}P_1 = \frac{4}{4}(3P_0) = 3P_0

P_3 = \frac{\lambda_2}{\mu_3}P_2 = \frac{2}{4}(3P_0) = 1.5P_0 = \frac{3}{2}P_0

Denge (steady-state) koşullarında bir duruma giriş hızı, o durumdan çıkış hızına eşittir ve

P_n = P_{n-1} \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n}

bağıntısı geçerlidir.

2

Sistemdeki tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitleyerek

P_0

değerini hesaplayın.

P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0 + 3P_0 + 3P_0 + 1.5P_0 = 1

8.5P_0 = 1 \implies \frac{17}{2}P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{2}{17}

Bir olasılık dağılımında tüm olası durumların olasılıkları toplamı daima 1 olmak zorundadır.

3

Sistemin tamamen dolu olması durumu olan

P_3

olasılığını bulun.

P_3 = \frac{3}{2}P_0 = \frac{3}{2} \times \frac{2}{17} = \frac{3}{17}

Sistem en fazla 3 araç alabildiği için, tamamen dolu olma durumu sistemde tam olarak 3 aracın bulunmasıdır (

n=3

).

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge (Steady-State) Denklemleri ve Olasılık Hesaplamaları

Soru 93Soru →

Bir teknokentte hizmet veren bulut bilişim destek merkezine, kullanıcılardan gelen teknik destek talepleri saatte ortalama $15$ adet ( $\lambda = 15$ ) olacak şekilde bir Poisson sürecine uygun olarak ulaşmaktadır. Bu merkezde bir talebin sisteme girmesiyle tamamen çözülüp kapatılması arasında geçen ortalama toplam süre $4$ saattir. Bir müşteri temsilcisinin bir talebi aktif olarak inceleme ve çözme (hizmet) süresi ise ortalama $1{}5$ saat sürmektedir.

Buna göre, Little Teoremi ve kuyruk performansı ölçütleri dikkate alındığında, bu destek merkezinde sırada bekleyen (henüz bir temsilci tarafından işleme alınmamış) ortalama talep sayısı ( $L_q$ ) kaçtır?

22{}5

37{}5

50{}0

60{}0

82{}5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $37{}5$

Cevap

Bu destek merkezinde sırada bekleyen ortalama talep sayısı

37{}5

'tir.

Doğru sonuca ulaşmak için iki aşamalı bir hesaplama yapılmalıdır. İlk olarak, sistemde geçirilen toplam süreden (

4

saat), sadece işlem için harcanan hizmet süresi (

1{}5

saat) çıkarılarak talebin kuyrukta ne kadar beklediği (

W_q = 2{}5

saat) bulunur. İkinci aşamada, Little Teoremi'nin kuyruk için uyarlanmış hali olan

L_q = \lambda \times W_q

formülü uygulanır. Varış hızı saatte

15

talep olduğundan,

15 \times 2{}5 = 37{}5

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Soru metninde verilen parametreleri matematiksel sembollerle ifade ediniz.

Varış hızı:

\lambda = 15

talep/saat. Sistemdeki ortalama toplam süre:

W = 4

saat. Ortalama hizmet süresi:

\frac{1}{\mu} = 1{}5

saat.

Kuyruk modellerinde performans ölçütlerini hesaplayabilmek için öncelikle verilen değerlerin doğru parametrelere (hız mı, süre mi) karşılık geldiğini belirlemek gerekir.

2

Kuyrukta geçen ortalama bekleme süresini (

W_q

) hesaplayınız.

W_q = W - \frac{1}{\mu} = 4 - 1{}5 = 2{}5

saat.

Sistemde geçirilen toplam süre (

W

), kuyrukta bekleme süresi (

W_q

) ile hizmet alma süresinin (

1/\mu

) toplamına eşittir.

3

Little Teoremini kullanarak kuyrukta bekleyen ortalama talep sayısını (

L_q

) bulunuz.

L_q = \lambda \times W_q = 15 \times 2{}5 = 37{}5

talep.

Little Teoremine göre, bir kuyrukta bekleyen ortalama birim sayısı (

L_q

), varış hızı (

\lambda

) ile kuyrukta geçirilen ortalama sürenin (

W_q

) çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Sistemdeki Sürelerin İlişkisi (

W = W_q + 1/\mu

ve

L_q = \lambda W_q

)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 94Soru →

Bir ulusal güvenlik merkezinde, sahada görev yapan tam $25$ adet özel veri toplama istasyonundan gelen şifreli sinyaller analiz edilmektedir. İstasyonların sinyal üretimi birbirlerinden bağımsız olup ardışık iki sinyal arasındaki süre üstel dağılıma uymaktadır. Merkezde, gelen bu sinyalleri eşzamanlı olarak çözebilen $4$ adet bağımsız kripto-analiz sunucusu bulunmaktadır. Kullanılan şifreleme algoritmasının yapısı gereği, herhangi bir sinyalin sunucudaki çözümlenme süresi kesin olarak sabittir. Sistemin güvenlik donanımı, işlemde olan sinyaller haricinde en fazla $10$ adet sinyali bekletebilecek bir tampon belleğe (buffer) sahiptir; tampon bellek tam doluysa gelen yeni sinyaller reddedilmektedir. Ayrıca işlem sırası, sinyallerin geliş zamanına göre değil, içerdiği tehdit seviyesine göre belirlenmektedir.

Bu sistemin özelliklerini eksiksiz biçimde ifade eden altı parametreli Kendall notasyonu ( $A/B/c/K/N/Z$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

M/D/4/14/25/PRI

M/D/4/10/25/PRI

D/M/4/14/25/PRI

M/M/4/14/25/PRI

M/D/4/14/\infty/PRI

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M/D/4/14/25/PRI$

Cevap

Sistemi tam olarak ifade eden notasyon

M/D/4/14/25/PRI

olmalıdır.

Kendall notasyonu (

A/B/c/K/N/Z

) kuralına göre; gelişler üstel (

M

), hizmet sabit (

D

), sunucu sayısı

4

, toplam kapasite

10+4=14

, popülasyon kaynağı

25

istasyon ve işlem sırası öncelikli (

PRI

) olduğundan sıralama

M/D/4/14/25/PRI

şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Varış ve hizmet dağılımlarını belirleme (

A

ve

B

).

Varışlar üstel dağıldığı için

A=M

(Markovian). Hizmet süresi kesin olarak sabit olduğu için

B=D

(Deterministic).

Kendall notasyonunda ilk iki parametre her zaman sırasıyla varış ve hizmet sürelerinin olasılık dağılımını gösterir.

2

Sunucu sayısını (

c

) belirleme.

4

adet bağımsız kripto-analiz sunucusu olduğu için

c=4

.

Üçüncü parametre paralel çalışabilen kanal (sunucu) sayısını ifade eder.

3

Sistem kapasitesini (

K

) hesaplama.

Sistem kapasitesi, bekleme kapasitesi (

10

) ile işlem kapasitesinin (

4

) toplamı olan

14

'tür.

Kendall notasyonundaki dördüncü parametre (

K

), sadece kuyrukta bekleyenleri değil, sistemdeki maksimum toplam birim sayısını belirtir.

4

Kaynak/Popülasyon büyüklüğünü (

N

) ve kuyruk disiplinini (

Z

) belirleme.

Sinyaller tam

25

istasyondan geldiği için popülasyon

N=25

. İşlemler tehdit seviyesine göre yapıldığı için disiplin

Z=PRI

(Priority) olur.

Beşinci parametre popülasyonun sonlu veya sonsuz olduğunu, altıncı parametre ise hizmete alınma kuralını tanımlar.

Anahtar Kavram

Altı Parametreli Kendall Notasyonunun Yapısı ve Analizi

Soru 95Soru →

Bir sınır gümrük kapısındaki tek kanallı denetim noktasına tırlar, saatte ortalama $15$ araç olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gelmektedir. Bu noktadaki görevli gümrük memuru, bir tırın denetimini ortalama $3$ dakikada üstel dağılıma uygun olarak tamamlamaktadır. Sistemde tırların bekleme kapasitesi sınırsızdır.

Buna göre, bu denetim noktasında kuyrukta bekleyen ortalama tır sayısı ( $L_q$ ) kaçtır?

0,75

2,00

2,25

3,00

4,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2,25$

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama tır sayısı

2,25

'tir.

Doğru seçenekte hesaplanan

2,25

değeri, geliş hızı

\lambda = 15

ve hizmet hızı

\mu = 20

(saatteki hizmet kapasitesi) için (M/M/1) kuyruk modelinin temel formülü olan

L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)}

kullanılarak elde edilmiştir.

\frac{225}{100}

işlemi tam olarak

2,25

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Geliş hızını (

\lambda

) ve hizmet hızını (

\mu

) aynı zaman birimi (saat) cinsinden ifade et.

Geliş hızı:

\lambda = 15

tır/saat. Hizmet süresi

3

dakika olduğundan, hizmet hızı:

\mu = \frac{60}{3} = 20

tır/saat.

Kuyruk formüllerinin doğru çalışabilmesi için geliş ve hizmet hızlarının aynı zaman dilimi üzerinden ifade edilmesi gerekir.

2

(M/M/1) modeli için kuyrukta bekleyen ortalama birim sayısı (

L_q

) formülünü uygula.

L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)}

formülünde değerleri yerine koy.

Soru bizden sistemdeki toplam araç sayısını (

L

) değil, yalnızca denetim için sıra bekleyen araç sayısını (

L_q

) istemektedir.

3

Matematiksel işlemi tamamla.

L_q = \frac{15^2}{20(20 - 15)} = \frac{225}{20 \times 5} = \frac{225}{100} = 2,25

tır.

Sistem durağan durumdadır (

\lambda < \mu

) ve kuyrukta bekleyen araç sayısının beklenen değeri

2,25

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bu problem, tek kanallı ve sonsuz kapasiteli (M/M/1) kuyruk modellerinde performans ölçütlerinden biri olan 'kuyruk uzunluğu'nun (

L_q

) hesaplanmasını test etmektedir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 96Soru →

Bir gümrük kapısındaki tek peronlu pasaport kontrol noktasında, yolcu gelişleri Poisson sürecine uymakta olup ortalama varış hızı saatte 30 yolcudur ( $\lambda = 30$ ).

Pasaport kontrol memurunun hizmet süresi üstel dağılıma sahiptir ancak memurun çalışma hızı sistemdeki yolcu sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişmektedir. Sistemde sadece 1 yolcu varken (sadece işlem gören yolcu) memur standart hızında çalışmakta ve saatte 30 yolcuya hizmet verebilmektedir ( $\mu_1 = 30$ ). Ancak sistemde 2 veya daha fazla yolcu bulunduğunda (kuyruk oluştuğunda) memur baskı hissederek hızlanmakta ve saatte 60 yolcu kapasitesiyle hizmet vermektedir ( $n \ge 2$ için $\mu_n = 60$ ).

Varış hızının sistemdeki yolcu sayısından bağımsız olduğu ve sistem kapasitesinin sonsuz olduğu bilindiğine göre, sistem denge (steady-state) durumundayken sistemde tam olarak 2 yolcu bulunma olasılığı ( $P_2$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{6}

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{12}

\frac{1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{6}$

Cevap

Sistemde tam olarak 2 yolcu bulunma olasılığı

\frac{1}{6}

'dır.

Doğum-ölüm süreçlerinde sistemin her bir durumu için

P_n = C_n P_0

katsayısı hesaplanır. Soru kökündeki duruma göre varış hızı sabit (

\lambda=30

) iken, hizmet hızı

n=1

için

30

,

n \ge 2

için

60

'tır. Bu durumda katsayılar

C_0=1, C_1=1, C_2=\frac{1}{2}, C_3=\frac{1}{4}\dots

şeklinde bir geometrik dizi oluşturur. Toplam katsayı

1 + \frac{1}{1-0.5} = 3

olduğundan

P_0 = \frac{1}{3}

bulunur. Sistemde tam olarak iki kişi olma olasılığı ise

P_2 = C_2 \cdot P_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum ve ölüm süreçleri için hıza bağlı katsayıları (

\lambda_n

ve

\mu_n

) belirle.

Tüm

n \ge 0

için

\lambda_n = 30

. Ölüm oranları ise

\mu_1 = 30

ve

n \ge 2

için

\mu_n = 60

şeklindedir.

Denge denklemlerinde durum olasılıklarını (

P_n

) hesaplamak için geçiş hızlarının her durum (

n

) için açıkça bilinmesi gerekir.

2

Her bir

n

durumu için

C_n = \frac{\lambda_0 \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n}

katsayılarını hesapla.

C_0 = 1

.

C_1 = \frac{30}{30} = 1

.

C_2 = \frac{30 \cdot 30}{30 \cdot 60} = \frac{1}{2}

.

C_3 = \frac{30 \cdot 30 \cdot 30}{30 \cdot 60 \cdot 60} = \frac{1}{4}

. Genel terim

n \ge 1

için

C_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

olur.

Her durumun olasılığı, boş olma olasılığının (

P_0

) bu katsayılarla çarpımına eşittir (

P_n = C_n P_0

).

3

Tüm olasılıkların toplamının 1 olmasından yola çıkarak

P_0

değerini bul (

\sum P_n = 1 \Rightarrow P_0 \sum C_n = 1

).

Toplam

S = C_0 + C_1 + C_2 + \dots = 1 + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\right)

. Parantez içi sonsuz geometrik dizidir ve toplamı

\frac{1}{1-0.5} = 2

yapar. Genel toplam

1 + 2 = 3

olur. Dolayısıyla

P_0 = \frac{1}{3}

'tür.

Kuyruk modelinin steady-state (denge) durumunda olabilmesi için olasılık uzayının toplamı 1'e eşitlenmelidir.

4

P_n = C_n P_0

bağıntısını kullanarak istenen

P_2

değerini hesapla.

P_2 = C_2 \cdot P_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

olarak bulunur.

Sistemde tam olarak 2 kişi olması, sistemin

n=2

durumunda bulunması demektir.

Anahtar Kavram

Durum-bağımlı Doğum ve Ölüm Süreçleri Denge Denklemleri

Soru 97Soru →

Bir limana yük boşaltmak için gelen gemilerin oluşturduğu kuyruk sistemi incelenmektedir. Yapılan analizlere göre;

- Gemilerin limanda (kuyrukta bekleme ve boşaltma işlemi dahil) geçirdikleri ortalama süre $5$ gün,
- Gemilerin sadece boşaltma sırası beklerken geçirdikleri ortalama süre $3$ gün,
- Rıhtımlarda yük boşaltma işlemi devam eden (hizmet halinde olan) ortalama gemi sayısı ise $4$

olarak tespit edilmiştir.

Liman yönetiminin, gemilerin sadece sırada beklemesinden kaynaklanan birim maliyeti, kuyrukta bekleyen gemi başına günlük $10.000$ TL'dir.

Buna göre, limandaki sistemde bulunan (bekleyen ve hizmet alan) **toplam ortalama gemi sayısı ( $L$ ) ve liman yönetiminin katlandığı günlük toplam kuyruk bekleme maliyeti** sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

10

gemi

-

60.000

TL

10

gemi

-

100.000

TL

6

gemi

-

60.000

TL

10

gemi

-

40.000

TL

14

gemi

-

100.000

TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$ gemi $-$ $60.000$ TL

Cevap

10

gemi

-

60.000

TL

Doğru yanıt, sistemdeki toplam gemi sayısının (

L

) 10 ve günlük toplam kuyruk bekleme maliyetinin 60.000 TL olduğu seçenektir. Geliş hızı

\lambda

, hizmetteki gemi sayısı formülünden (

L_s = \lambda W_s \implies 4 = \lambda \times 2

) 2 gemi/gün olarak bulunur. Buradan toplam gemi sayısı

L = 2 \times 5 = 10

gemi olur. Kuyruktaki gemi sayısı ise

L_q = 10 - 4 = 6

gemidir. Kuyruk maliyeti de

6 \times 10.000 = 60.000

TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ortalama hizmet süresini (

W_s

) hesapla.

W_s = W - W_q = 5 - 3 = 2

gün.

Sistemde geçirilen toplam süre, kuyrukta beklenen süre ile hizmet alınan sürenin toplamına eşittir.

2

Sisteme gemi geliş hızını (

\lambda

) bul.

L_s = \lambda \times W_s \implies 4 = \lambda \times 2 \implies \lambda = 2

gemi/gün.

Little Teoremi sistemin sadece hizmet alanına da uygulanabilir (

L_s = \lambda W_s

).

3

Sistemdeki toplam ortalama gemi sayısını (

L

) hesapla.

L = \lambda \times W = 2 \times 5 = 10

gemi.

Tüm sistem için Little Teoremi uygulanır.

4

Kuyrukta bekleyen ortalama gemi sayısını (

L_q

) bul.

L_q = L - L_s = 10 - 4 = 6

gemi.

Sistemdeki gemiler, kuyruktakiler ve hizmet alanların toplamıdır (Alternatif olarak

L_q = \lambda \times W_q = 2 \times 3 = 6

ile de bulunabilir).

5

Günlük toplam kuyruk bekleme maliyetini hesapla.

Maliyet

= L_q \times 10.000 = 6 \times 10.000 = 60.000

TL.

Sadece sırada bekleme maliyeti istendiği için kuyruktaki gemi sayısı (

L_q

) baz alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Sistemin Alt Bileşenlerine Uygulanması

Soru 98Soru →

Bir kamu kurumu siber güvenlik müdahale merkezinde, tespit edilen şüpheli ağ paketlerinin analizi tek bir uzman sistem üzerinden yapılmaktadır. Merkeze şüpheli paket gelişleri Poisson sürecine, uzman sistemin analiz süreleri ise Üstel dağılıma uymaktadır.

Sistem donanım kısıtları nedeniyle aynı anda en fazla 3 şüpheli paketi barındırabilmektedir (1 paket analiz edilirken en fazla 2 paket kuyrukta bekleyebilir). Sistem tamamen dolu olduğunda gelen yeni şüpheli paketler alternatif bir yedek merkeze yönlendirilerek sisteme alınmamaktadır.

Ağ yükü ve aciliyet protokollerine göre sistemdeki paket sayısına ( $n$ ) bağlı olarak varış hızı ( $\lambda_n$ ) ve hizmet hızı ( $\mu_n$ ) (paket/dakika) dinamik olarak değişmektedir:

Sistemdeki Paket Sayısı ( $n$ )	Varış Hızı ( $\lambda_n$ )	Hizmet Hızı ( $\mu_n$ )
0	3	0
1	4	2
2	2	3
3	0	4

Buna göre, sistem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, bu merkezde (analiz edilen ve bekleyen toplam) ortalama şüpheli paket sayısı ( $L$ ) kaçtır?

\frac{8}{11}

\frac{9}{11}

\frac{14}{13}

\frac{17}{11}

\frac{17}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{11}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{17}{11}

'dir. Duruma bağlı varış ve hizmet hızlarıyla elde edilen denge denklemleri çözülerek sistemdeki ortalama paket sayısı bulunmuştur.

Sistemde duruma bağlı varış ve hizmet hızları uygulandığı için klasik kuyruk formülleri yerine kararlı durum (steady-state) denge denklemleri kullanılmalıdır. Doğum-Ölüm süreci mantığıyla komşu durumlar arasındaki akışlar eşitlenir (

\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n

). Buradan

P_1 = 1.5 P_0

,

P_2 = 2 P_0

,

P_3 = P_0

bulunur. Olasılıkların toplamı 1'e eşitlenerek

P_0 = 2/11

elde edilir. Son adımda,

L = \sum n P_n

beklenen değer formülü uygulanarak

L = 1(3/11) + 2(4/11) + 3(2/11) = 17/11

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-Ölüm süreci için her bir duruma ait kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini kur.

Giren akış = Çıkan akış mantığıyla:
Durum 0:

\lambda_0 P_0 = \mu_1 P_1 \Rightarrow 3P_0 = 2P_1

Durum 1:

\lambda_1 P_1 = \mu_2 P_2 \Rightarrow 4P_1 = 3P_2

Durum 2:

\lambda_2 P_2 = \mu_3 P_3 \Rightarrow 2P_2 = 4P_3

Sistem durumları birbirine bağımlı hızlara sahip olduğu için standart formüller (örn.

M/M/1

) kullanılamaz; temel prensipten denklemler üretilmelidir.

2

Tüm durum olasılıklarını (

P_1, P_2, P_3

) sistemin boş olma olasılığı (

P_0

) cinsinden ifade et.

P_1 = \frac{3}{2} P_0 = 1.5 P_0

P_2 = \frac{4}{3} P_1 = \frac{4}{3}(\frac{3}{2} P_0) = 2 P_0

P_3 = \frac{2}{4} P_2 = \frac{1}{2}(2 P_0) = 1 P_0

Sistemin herhangi bir anında tüm olasılıkların toplamının 1 olması kuralını uygulayabilmek için tek bilinmeyenli denkleme dönüştürmek gerekir.

3

Olasılıklar toplamını 1'e eşitleyerek

P_0

değerini hesapla.

\sum P_n = P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0(1 + \frac{3}{2} + 2 + 1) = 1

P_0(\frac{11}{2}) = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{2}{11}

Sistemin olasılık dağılımının (olasılık kütle fonksiyonu) geçerli olabilmesi için normalizasyon şartıdır.

4

Diğer olasılıkları sayısal değere çevir ve Beklenen Değer formülü ile Sistemdeki Ortalama Paket Sayısını (

L

) bul.

P_1 = \frac{3}{11}, P_2 = \frac{4}{11}, P_3 = \frac{2}{11}

L = \sum_{n=0}^{3} n \cdot P_n = 0(\frac{2}{11}) + 1(\frac{3}{11}) + 2(\frac{4}{11}) + 3(\frac{2}{11})

L = \frac{0 + 3 + 8 + 6}{11} = \frac{17}{11}

Sistemdeki ortalama birim sayısı, her bir durumun o durumda bulunma olasılığı ile çarpımlarının toplamına (beklenen değerine) eşittir.

Anahtar Kavram

Duruma Bağlı (State-Dependent) Varış ve Hizmet Hızları ile Kararlı Durum (Steady-State) Analizi

Soru 99Soru →

Bir limanda yük boşaltma işlemi için $2$ adet rıhtım ( $c=2$ ) bulunmaktadır. Limanın fiziksel koşulları gereği rıhtımda boşaltma yapanlar da dâhil olmak üzere liman sahasında en fazla $3$ gemi ( $K=3$ ) bulunabilmektedir. Gelen gemilerin varışları günlük ortalama $2$ gemi olacak şekilde Poisson dağılımına uymakta, her bir rıhtımın boşaltma süresi ise üstel dağılıma uymakta olup bir rıhtımın hizmet hızı günlük ortalama $2$ gemidir.

Kapasite dolu olduğunda limana gelen gemiler başka bir limana yönlendirilmektedir.

Buna göre, gelen bir geminin başka bir limana yönlendirilme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{16}

\frac{1}{12}

\frac{1}{11}

\frac{1}{4}

\frac{4}{11}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{11}$

Cevap

Sistemin tam dolu olması (

K=3

) nedeniyle gelen bir geminin geri çevrilme (yönlendirilme) olasılığı

\frac{1}{11}

'dir.

Çok kanallı ve sonlu kapasiteli (M/M/c/K) kuyruk modelinde, sisteme gelen bir birimin geri çevrilme olasılığı sistemin tam dolu olma olasılığına (

P_K

) eşittir. Verilen parametreler

c=2

,

K=3

,

\lambda=2

ve

\mu=2

olarak tanımlandığında, trafik yoğunluğu

r=1

olur. İlgili formül yardımıyla önce sistemin boş kalma olasılığı (

P_0 = 4/11

) bulunur, ardından

n=3

için olasılık denklemi kurularak sistemin dolu olma olasılığı olan

P_3 = 1/11

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kuyruk sistemi temel parametrelerini belirleme

\lambda = 2

gemi/gün,

\mu = 2

gemi/gün, kanal sayısı

c = 2

, sistem kapasitesi

K = 3

Model tipinin (M/M/2/3) tanımlanması ve formüllerin doğru uygulanabilmesi için temel değişkenlerin tespit edilmesi gerekir.

2

Trafik yoğunluğu (

r

) ve sistem kullanım oranını (

\rho

) hesaplama

r = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{2}{2} = 1

ve

\rho = \frac{r}{c} = \frac{1}{2} = 0.5

P_0

ve diğer durum olasılıklarının hesaplanmasında kullanılacak temel oranların bulunması.

3

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) veren toplam formülünü kurma

P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{1} \frac{1^n}{n!} + \frac{1^2}{2!} \sum_{n=2}^{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} \right]^{-1}

Çok kanallı ve sonlu kapasiteli modellerde

P_n

olasılıklarını bulmak için öncelikle normalizasyon katsayısı olan

P_0

'ın bilinmesi zorunludur.

4

P_0

denklemini çözerek sistemin boş kalma olasılığını hesaplama

P_0 = \left[ 1 + 1 + \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^0 + \left(\frac{1}{2}\right)^1 \right) \right]^{-1} = \left[ 2 + \frac{1}{2}(1 + 0.5) \right]^{-1} = \left[ 2.75 \right]^{-1} = \frac{4}{11}

Sistemin tamamen dolu olma olasılığını (

P_3

) formül üzerinden elde edebilmek için

P_0

'ın sayısal değerine ihtiyaç vardır.

5

Gelen bir geminin başka limana yönlendirilme olasılığını (

P_3

) hesaplama

P_3 = \frac{r^3}{c! c^{3-c}} P_0 = \frac{1^3}{2! \cdot 2^1} \cdot \frac{4}{11} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{11} = \frac{1}{11}

Sistem kapasitesi

K=3

olduğunda gelen müşteri (gemi) sisteme kabul edilmez, bu nedenle yönlendirilme olasılığı sistemin

n=3

durumunda olma olasılığına eşittir.

Anahtar Kavram

(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Kuyruk Modeli

Soru 100Soru →

Bir otoyol dinlenme tesisinde bulunan elektrikli araç şarj istasyonuna, araçlar saatte ortalama $40$ araç ( $\lambda = 40$ ) varış hızıyla gelmektedir.

İstasyona gelen bir aracın şarj işlemine başlamadan önce kuyrukta beklediği ortalama süre $15$ dakika ( $W_q$ ), aracın şarj edilme işlemi ise ortalama $12$ dakika ( $\frac{1}{\mu}$ ) sürmektedir. Sistem kararlı durumda çalışmaktadır.

Buna göre, Little Teoremi dikkate alındığında, bu şarj istasyonunda (kuyrukta bekleyen ve şarj olan) ortalama toplam araç sayısı ( $L$ ) kaçtır?

8

10

18

27

1080

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Şarj istasyonundaki ortalama toplam araç sayısı 18'dir.

Little Teoremine göre, sistemdeki ortalama müşteri sayısı (

L

), varış hızı (

\lambda

) ile sistemde geçirilen ortalama sürenin (

W

) çarpımına eşittir. Sistemde geçirilen toplam süre, kuyrukta bekleme süresi ile şarj edilme süresinin toplamıdır (

W = 15 + 12 = 27

dakika). Varış hızı saatlik (

40

araç/saat) olarak verildiği için, süre saate çevrilmeli (

27/60 = 0,45

saat) ve

\lambda

ile çarpılmalıdır. Buradan

L = 40 \times 0,45 = 18

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bir aracın sistemde geçirdiği toplam süreyi (

W

) hesapla.

W = W_q + \frac{1}{\mu} = 15 \text{ dk} + 12 \text{ dk} = 27 \text{ dk}

Little Teoremine göre sistemdeki toplam araç sayısını bulabilmek için, aracın hem kuyrukta beklediği hem de hizmet gördüğü (şarj olduğu) toplam süreye ihtiyaç vardır.

2

Zaman birimlerini eşitle (dakikayı saate çevir).

W = \frac{27}{60} \text{ saat} = 0,45 \text{ saat}

Araçların varış hızı (

\lambda

) saatlik olarak (

40

araç/saat) verilmiştir. İşlem yapabilmek için sürenin de saat cinsinden ifade edilmesi gerekir.

3

Little Teoremini kullanarak sistemdeki ortalama müşteri sayısını (

L

) hesapla.

L = \lambda \times W = 40 \times 0,45 = 18 \text{ araç}

Little Teoremi (

L = \lambda \times W

), sistemdeki toplam birim sayısının, varış hızı ile sistemde geçirilen sürenin çarpımına eşit olduğunu belirtir.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Performans Ölçütleri Arasındaki İlişkiler

Kuyruk Modelleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm