Kuyruk Modelleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir İl Göç İdaresi Müdürlüğünde, ikamet izni başvurularını değerlendirmek üzere $2$ adet özdeş onay masası bulunmaktadır. Masalardaki her bir memur saatte ortalama $3$ başvuruyu sonuçlandırabilmektedir. Müdürlüğe başvuru için gelen kişilerin geliş süreci saatte ortalama $4$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Başvuruların değerlendirilme süreleri ise üstel dağılıma sahiptir.

Sistem kararlı duruma ulaştığında, başvuru için gelen bir kişinin sırada (kuyrukta) beklediği ortalama süre kaç dakikadır?

16

20

32

36

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Başvuru için gelen bir kişinin sırada beklediği ortalama süre 16 dakikadır.

Verilen (M/M/2) modelinde varış hızı λ=4 ve hizmet hızı μ=3 iken sistemin boşta kalma olasılığı P0 = 1/5'tir. Buradan kuyruk uzunluğu Lq = 16/15 kişi bulunur. Little Teoremi (Wq = Lq / λ) gereği saat cinsinden bekleme süresi 4/15'tir. Bu değerin 60 ile çarpılmasıyla kuyrukta bekleme süresi tam olarak 16 dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kuyruk sistemi parametrelerini ve sistemin kararlılığını belirleyin.

Geliş hızı

\lambda = 4

kişi/saat, hizmet hızı

\mu = 3

kişi/saat, kanal sayısı

c = 2

. Sistem kullanım oranı

\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

.

\rho < 1

olduğundan sistem kararlıdır.

Performans ölçütlerini hesaplayabilmek için öncelikle ortak birimdeki hızların ve sistem dengesinin saptanması gerekir.

2

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) hesaplayın.

P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!} \left( \frac{1}{1 - \rho} \right) \right]^{-1}

P_0 = \left[ 1 + \frac{4/3}{1!} + \frac{(4/3)^2}{2!} \left( \frac{1}{1 - 2/3} \right) \right]^{-1}

P_0 = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{16/9}{2} \times 3 \right]^{-1} = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{8}{3} \right]^{-1} = \left[ 1 + \frac{12}{3} \right]^{-1} = \frac{1}{5}

Çok kanallı kuyruk modellerinde tüm performans göstergeleri, sistemde hiç müşteri olmama olasılığına (

P_0

) bağlıdır.

3

Kuyrukta bekleyen ortalama başvuru sayısını (

L_q

) bulun.

L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1-\rho)^2} = \frac{\frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)}{2! \times \left(1 - \frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{5} \times \frac{16}{9} \times \frac{2}{3}}{2 \times \frac{1}{9}}

L_q = \frac{\frac{32}{135}}{\frac{2}{9}} = \frac{32}{135} \times \frac{9}{2} = \frac{16}{15} \text{ kişi}

Little Teoremine göre bekleme süresini bulmak için önce sırada bekleyen ortalama müşteri sayısını bilmek gerekir.

4

Sırada bekleme süresini (

W_q

) saat cinsinden hesaplayıp dakikaya çevirin.

W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{16/15}{4} = \frac{4}{15} \text{ saat}

W_q \text{ (dakika)} = \frac{4}{15} \times 60 = 16 \text{ dakika}

Soru kökünde sonucun dakika cinsinden istendiği açıkça belirtilmiştir. Bulunan saat değeri 60 ile çarpılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı Bekleme Hattı Performans Ölçütleri

Soru 102Soru →

Bir nüfus müdürlüğünde sadece pasaport işlemlerine bakan tek kanallı bir gişeye vatandaşlar, saatte ortalama $24$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gelmektedir. Gişe memurunun bir vatandaşa hizmet verme süresi üstel dağılıma uymakta olup, bir işlemin ortalama tamamlanma süresi $2$ dakikadır.

Buna göre, bir vatandaşın pasaport işlemi için gişe kuyruğunda beklediği ortalama süre kaç dakikadır?

3,2

4

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Bir vatandaşın kuyrukta beklediği ortalama süre 8 dakikadır.

Kuyrukta beklenen ortalama süre (

W_q

), varış oranının (

\lambda = 24

) hizmet oranı ile farkının çarpımına (

\mu(\mu-\lambda)

) bölünmesiyle bulunur.

\mu = 30

olarak hesaplandıktan sonra formüle yerleştirildiğinde sonuç

2/15

saat, yani

8

dakika çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametreleri aynı zaman birimine (saat) çevirerek varış hızı (

\lambda

) ve hizmet hızı (

\mu

) değerlerini belirleyin.

Varış hızı

\lambda = 24

kişi/saat. Ortalama hizmet süresi

2

dakika olduğundan, hizmet hızı

\mu = 60 / 2 = 30

kişi/saat olarak bulunur.

Kuyruk formüllerini doğru uygulayabilmek için

\lambda

ve

\mu

oranlarının aynı zaman birimi cinsinden ifade edilmesi gerekir.

2

Tek kanallı kuyruk modeli (M/M/1) için kuyrukta beklenen ortalama süre (

W_q

) formülünü yazın.

W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}

İstenen değer sistemde geçen toplam süre değil, yalnızca kuyrukta beklenen süredir.

3

Bulunan parametreleri formülde yerine koyarak

W_q

değerini saat cinsinden hesaplayın.

W_q = \frac{24}{30(30 - 24)} = \frac{24}{30 \times 6} = \frac{24}{180} = \frac{2}{15}

saat.

Zaman oranları saat cinsinden girildiği için sonuç saat biriminde çıkar.

4

Bulunan değeri soru kökünde istenen dakika birimine çevirin.

W_q = \frac{2}{15} \times 60 = 8

dakika.

Soruda sonucun dakika cinsinden olması istenmiştir.

Anahtar Kavram

Kuyruk modellerinde varış hızı, hizmet hızı ve bekleme süresi parametrelerinin hesaplanması.

Soru 103Soru →

Bir gümrük kapısında peronlara gelen tırların oluşturduğu kuyruk sistemi incelenmektedir. Sistemle ilgili elde edilen veriler şunlardır:

- Sisteme gelen tırların ortalama varış hızı saatte $30$ tırdır ( $\lambda = 30$ tır/saat).
- Bir peronun bir tıra hizmet verme (işlem yapma) hızı saatte $5$ tırdır ( $\mu = 5$ tır/saat).
- Bir tırın sistemde (kuyrukta bekleme ve peronda işlem görme dâhil) geçirdiği ortalama toplam süre $40$ dakikadır ( $W = 40$ dakika).
- Maliyet analizine göre; kuyrukta bekleyen tırların neden olduğu gecikme maliyeti tır başına dakikada $5$ TL, peronda işlem gören tırların operasyonel maliyeti ise tır başına dakikada $10$ TL'dir.

Buna göre, sistemdeki (kuyruk ve peronlar dâhil) tüm tırların oluşturduğu $1$ saatlik ortalama toplam maliyet kaç TL'dir?

130

4.200

7.800

9.600

10.200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7.800$

Cevap

Sistemin 1 saatlik ortalama toplam maliyeti 7.800 TL'dir.

Sistem maliyeti analizinde kuyruk ve hizmet aşamaları ayrı ayrı değerlendirilmelidir. Hizmet hızı saatte 5 tır olduğundan hizmet süresi 1/5 saat, yani 12 dakikadır. Sistemde geçirilen 40 dakikanın 12 dakikası peronda, 28 dakikası kuyrukta geçmektedir. Little Teoremine göre (L = λW) kuyrukta ortalama 14 tır, peronlarda ise ortalama 6 tır bulunur. Dakikalık maliyetler üzerinden (14 × 5) + (6 × 10) = 130 TL bulunur. 1 saatlik toplam maliyet ise 130 × 60 = 7.800 TL olur.

Adım Adım Çözüm

1

Peronda geçen ortalama hizmet süresini (

W_s

) hesapla.

W_s = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{5}\text{ saat} = 12\text{ dakika}

Hizmet hızı (

\mu

) verildiği için, bir tırın işlem süresi bunun tersidir.

2

Kuyrukta bekleme süresini (

W_q

) hesapla.

W_q = W - W_s = 40 - 12 = 28\text{ dakika}

Sistemde geçen toplam süre, kuyrukta bekleme ve hizmet görme sürelerinin toplamına eşittir.

3

Little Teoremi (

L = \lambda W

) ile kuyruktaki ve perondaki ortalama tır sayılarını bul.

Kuyruktaki tır sayısı:

L_q = 30 \times \frac{28}{60} = 14

tır. Perondaki tır sayısı:

L_s = 30 \times \frac{12}{60} = 6

tır.

Maliyetler tır başına verildiğinden, sistemin her iki bölgesindeki ortalama tır sayısını belirlemek gerekir.

4

Sistemin

1

dakikalık maliyetini hesapla.

(14 \times 5) + (6 \times 10) = 70 + 60 = 130\text{ TL/dk}

Kuyruktaki her tır dakikada 5 TL, perondaki her tır dakikada 10 TL maliyet oluşturur.

5

Sistemin

1

saatlik (60 dk) toplam maliyetini bul.

130 \times 60 = 7.800\text{ TL}

Soruda 1 saatlik ortalama maliyet sorulduğu için dakikalık maliyet 60 ile çarpılmalıdır.

Anahtar Kavram

Little Teoremi ve Sistem Bileşenlerinin (Kuyruk ve Hizmet) Analizi

Alternatif Yöntem

Sisteme giren her bir tırın, girdiği andan çıkana kadar oluşturduğu toplam maliyet üzerinden de pratik olarak sonuca ulaşılabilir. Bir tırın oluşturduğu kuyruk maliyeti:

28 \text{ dk} \times 5 \text{ TL/dk} = 140

TL, peron maliyeti:

12 \text{ dk} \times 10 \text{ TL/dk} = 120

TL'dir. Bir tırın tek başına oluşturduğu toplam maliyet

260

TL'dir. Saatte ortalama

\lambda = 30

tır sisteme giriş yaptığından,

1

saatlik toplam sistem maliyeti:

30 \times 260 = 7.800

TL bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 104Soru →

Bir kamu kurumunun elektronik belge yönetim sistemine (EBYS) evrak gelişleri, saatte ortalama $100$ evrak olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Tek kanallı olan bu sistemde evrakların işlenme süreleri üstel dağılım göstermektedir (M/M/1 modeli).

Kurumun sistem analistleri, kapasite planlaması yaparken aşağıdaki maliyet fonksiyonunu kullanmaktadır:
- Sistemin işlem kapasitesini (hizmet hızı $\mu$ ) artırmanın maliyeti: Her $1$ birimlik (evrak/saat) hız artışı için saatte $100$ TL
- Sistemde bekleyen ve işlem gören (kuyrukta ve işlemde olan) her bir evrakın kurum için yarattığı toplam gecikme maliyeti: Saatte $900$ TL

*(Not: Toplam maliyet fonksiyonu, birim hizmet maliyeti ile $\mu$ 'nün çarpımı ve birim gecikme maliyeti ile sistemdeki ortalama evrak sayısının ( $L$ ) çarpımının toplamından oluşmaktadır.)*

Buna göre, sistemin toplam saatlik maliyetini en küçükleyen (minimize eden) optimum hizmet hızı ( $\mu$ ) saatte kaç evrak olmalıdır?

103

109

130

400

1000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $130$

Cevap

Sistemin toplam saatlik maliyetini en küçükleyen optimum hizmet hızı saatte

130

evrak olmalıdır.

Toplam maliyet fonksiyonu doğru bir şekilde

TC(\mu) = 100\mu + 900(100/(\mu-100))

olarak ifade edilip, bu fonksiyonun

\mu

'ye göre türevi alındığında

100 - 90000/(\mu-100)^2 = 0

denklemi elde edilir. Buradan

(\mu-100)^2 = 900

bulunur ve

\mu > 100

kısıtıyla çözüldüğünde optimum hizmet hızının saatte

130

evrak olduğu hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Sistemdeki ortalama evrak sayısı (

L

) için (M/M/1) kuyruk modeli formülünü yazmak.

L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{100}{\mu - 100}

Gecikme maliyeti sistemde bulunan (kuyruk + işlem) evrak sayısına göre hesaplandığından

L

formülüne ihtiyaç vardır.

2

Verilen bilgilere göre Toplam Saatlik Maliyet (

TC

) fonksiyonunu

\mu

cinsinden oluşturmak.

TC(\mu) = 100\mu + 900L = 100\mu + 900 \left( \frac{100}{\mu - 100} \right) = 100\mu + \frac{90000}{\mu - 100}

Optimizasyon yapabilmek için toplam maliyeti tek bir değişkene (

\mu

) bağlı bir denklem haline getirmek gerekir.

3

Maliyet fonksiyonunun minimum noktasını bulmak için

\mu

'ye göre birinci türevini almak.

\frac{d(TC)}{d\mu} = 100 - \frac{90000}{(\mu - 100)^2}

Bir fonksiyonun minimum veya maksimum noktasında birinci türevi sıfıra eşittir.

4

Türevi sıfıra eşitleyerek optimum

\mu

değerini çözmek.

100 = \frac{90000}{(\mu - 100)^2} \implies (\mu - 100)^2 = 900 \implies \mu - 100 = 30 \implies \mu = 130

Hizmet hızı (

\mu

) varış hızından (

\lambda=100

) büyük olmalıdır, bu nedenle karekök işleminde pozitif değer (

+30

) dikkate alınarak denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Kuyruk Modellerinde Maliyet Optimizasyonu

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 105Soru →

Bir liman işletmesine yük gemilerinin varışları Poisson sürecine uymaktadır. Yapılan gözlemlere göre, herhangi bir $2$ saatlik zaman diliminde limana hiç gemi gelmeme olasılığı $e^{-8}$ olarak hesaplanmıştır.

Limandaki tek vincin gemilere hizmet verme süreleri üstel dağılıma sahip olup, vincin saatlik hizmet hızının ( $\mu$ ), saatlik varış hızından ( $\lambda$ ) $\%25$ daha fazla olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu limanda bir geminin ortalama hizmet süresi kaç dakikadır?

0,2

5

6

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Bir geminin ortalama hizmet süresi 12 dakikadır.

Herhangi bir

t

süresi içinde

x

sayıda varış olma olasılığı Poisson dağılımına göre

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^x}{x!}

formülü ile ifade edilir. Soruda

2

saatlik bir dilimde hiç gemi gelmeme olasılığı

P(X=0) = e^{-\lambda \cdot 2} = e^{-8}

olarak verilmiştir. Buradan

2\lambda = 8

ve

\lambda = 4

gemi/saat olarak bulunur.

Hizmet hızı (

\mu

), varış hızından (

\lambda

)

\%25

daha fazla olduğuna göre

\mu = 4 \cdot (1 + 0,25) = 5

gemi/saat olur.

Üstel dağılıma sahip hizmet süresinin beklenen değeri, hizmet hızının tersidir. Saat cinsinden ortalama hizmet süresi

E[S] = 1/\mu = 1/5

saattir. Soru bizden sonucu dakika cinsinden istediği için, süreyi

60

ile çarparız:

(1/5) \cdot 60 = 12

dakika sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu kullanılarak saatlik varış hızının (

\lambda

) bulunması.

\lambda = 4

gemi/saat

Poisson sürecinde hiç varış olmama olasılığı

P(X=0) = e^{-\lambda \cdot t}

formülü ile ifade edilir.

t=2

saat için

e^{-2\lambda} = e^{-8}

olduğundan

2\lambda = 8

olur.

2

Saatlik hizmet hızının (

\mu

) hesaplanması.

\mu = 5

gemi/saat

Hizmet hızı, varış hızından

\%25

fazla olarak verildiği için

\mu = \lambda + 0,25\lambda = 4 \cdot 1,25 = 5

işlemi yapılır.

3

Ortalama hizmet süresinin saat cinsinden bulunması.

E[S] = 1/5

saat

Hizmet süreleri üstel dağılıma sahip olduğundan, ortalama hizmet süresi hizmet hızının çarpmaya göre tersidir (

1/\mu

).

4

Bulunan saat cinsinden sürenin dakikaya dönüştürülmesi.

12

dakika

Soru kökünde sonucun dakika biriminden istendiği belirtilmiştir.

(1/5) \cdot 60 = 12

dakika elde edilir.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde varış olasılıkları ve üstel hizmet süresi birim dönüşümleri

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 106Soru →

Bir siber güvenlik merkezinde, ağ üzerinde tespit edilen şüpheli aktiviteler (olaylar) otomatik bir analiz yazılımı tarafından tek bir sunucuda sırayla incelenmektedir. Şüpheli olayların sisteme gelişleri bir Poisson sürecine uymakta olup, saatte ortalama $12$ olay gelmektedir.

Analiz yazılımının bir olayı inceleme süresi genel bir dağılıma sahip olup, ortalama inceleme süresi $4$ dakika ve inceleme süresinin standart sapması $3$ dakikadır. Sistemin kapasitesi sonsuzdur.

Buna göre, sisteme giren şüpheli bir olayın sistemde geçirdiği beklenen toplam süre (kuyrukta bekleme ve inceleme) kaç dakikadır?

12,0

12,5

16,5

13,5

20,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16,5

Cevap

Sisteme giren şüpheli bir olayın sistemde geçirdiği beklenen toplam süre 16,5 dakikadır.

Doğru yanıt, genel dağılımlı hizmet süreleri için Pollaczek-Khinchine formülünün doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilen 16,5 değeridir. Denklemde

\lambda = 0,2

ve varyans

\sigma^2 = 9

olarak kullanıldığında kuyrukta bekleme süresi (

W_q

) 12,5 dakika bulunur. Buna ortalama inceleme süresi olan

4

dakika ilave edildiğinde sistemde geçirilen toplam süre 16,5 dakikaya ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Birimleri uyumlu hale getirme ve temel parametreleri belirleme.

Geliş hızı:

\lambda = 12 \text{ olay/saat} = 0,2 \text{ olay/dakika}

. Ortalama hizmet süresi:

E[S] = 4 \text{ dakika}

. Hizmet hızı:

\mu = 1/4 = 0,25 \text{ olay/dakika}

. Varyans:

\sigma^2 = 3^2 = 9 \text{ dakika}^2

. Sistem kullanım oranı:

\rho = \lambda / \mu = 0,2 / 0,25 = 0,8

.

Zaman birimlerinin tüm hesaplamalarda tutarlı olması için saat cinsinden verilen hız dakikaya çevrilmelidir.

2

Pollaczek-Khinchine formülünü kullanarak kuyrukta beklenen olay sayısını (

L_q

) hesaplama.

L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{(0,2)^2 \times 9 + (0,8)^2}{2(1 - 0,8)} = \frac{0,04 \times 9 + 0,64}{0,4} = \frac{0,36 + 0,64}{0,4} = \frac{1}{0,4} = 2,5 \text{ olay}

.

(M/G/1) modelinde kuyruk uzunluğu, hizmet süresinin genel dağılımına ait varyans değerini içeren bu formülle bulunur.

3

Little Teoremi ile kuyrukta bekleme süresini (

W_q

) hesaplama.

W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{2,5}{0,2} = 12,5 \text{ dakika}

.

Kuyrukta bekleme süresi, kuyruk uzunluğunun varış hızına bölünmesiyle elde edilir.

4

Sistemde geçirilen toplam süreyi (

W_s

) hesaplama.

W_s = W_q + E[S] = 12,5 + 4 = 16,5 \text{ dakika}

.

Bir olayın sistemde geçirdiği toplam süre, kuyrukta beklediği süre ile inceleme (hizmet) süresinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

(M/G/1) Kuyruk Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Soru 107Soru →

Bir akıllı serada otonom olarak hasat yapan $3$ adet özdeş robot bulunmaktadır. Robotların arızasız çalışma süreleri üstel dağılıma uymakta olup, bir robot ortalama $2$ günde bir arıza yapmaktadır (arıza oranı makine başına $\lambda = 0,5$ arıza/gün). Serada bu robotların bakım ve onarımından sorumlu $1$ adet teknisyen görev yapmaktadır. Teknisyenin bir arızalı robotu tamir etme süresi üstel dağılıma uymakta olup, ortalama tamir süresi $1$ gündür ( $\mu = 1$ tamir/gün).

Buna göre, kararlı durumda (steady-state) sistemde bulunan (tamir edilen veya tamir için sıra bekleyen) ortalama robot sayısı ( $L$ ) kaçtır?

\frac{12}{19}

\frac{15}{19}

1

\frac{27}{19}

\frac{30}{19}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{27}{19}$

Cevap

Sistemde bulunan ortalama robot sayısı

\frac{27}{19}

olarak hesaplanır.

Verilen problem Sonlu Kaynaklı (Makine Bakım) Kuyruk Modelidir. Parametreler

N=3

,

\lambda=0,5

ve

\mu=1

olarak tanımlanmıştır. Sistemin boş olma olasılığı (

P_0

), seri toplamı formülü olan

\left[ \sum \frac{N!}{(N-n)!} (\lambda/\mu)^n \right]^{-1}

üzerinden

4/19

olarak bulunur. Sistemdeki ortalama makine sayısı formülü

L = N - (\mu/\lambda)(1 - P_0)

kullanıldığında sonucun

\frac{27}{19}

olduğu açıkça görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Model parametrelerini belirleme.

N = 3

(toplam popülasyon),

c = 1

(servis kanalı),

\lambda = 0,5

(makine başına bozulma hızı),

\mu = 1

(tamir hızı).

Sonlu kaynaklı kuyruk modelinde formülleri uygulayabilmek için temel girdi parametrelerinin standardize edilmesi gerekir.

2

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) hesaplama.

P_0 = \frac{4}{19}

P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n \right]^{-1}

formülü kullanılır.

n=0 \Rightarrow 1

n=1 \Rightarrow \frac{3!}{2!} (0,5)^1 = 3 \times 0,5 = 1,5

n=2 \Rightarrow \frac{3!}{1!} (0,5)^2 = 6 \times 0,25 = 1,5

n=3 \Rightarrow \frac{3!}{0!} (0,5)^3 = 6 \times 0,125 = 0,75

Toplam =

1 + 1,5 + 1,5 + 0,75 = 4,75 = \frac{19}{4}

. Buradan

P_0 = \frac{4}{19}

bulunur.

3

Sistemdeki ortalama birim sayısını (

L

) hesaplama.

L = \frac{27}{19}

Sonlu model için

L

formülü:

L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0)

şeklindedir.
Değerleri yerine koyarsak:

L = 3 - \frac{1}{0,5} \times \left(1 - \frac{4}{19}\right) = 3 - 2 \times \left(\frac{15}{19}\right) = 3 - \frac{30}{19} = \frac{57 - 30}{19} = \frac{27}{19}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Sonlu Kaynaklı Kuyruk Modelleri (M/M/1/K/K)

Alternatif Yöntem

L

değerini

L = \sum_{n=0}^{N} n \cdot P_n

şeklinde uzun yoldan da hesaplayabiliriz.

P_1 = \frac{6}{19}

,

P_2 = \frac{6}{19}

,

P_3 = \frac{3}{19}

olduğundan;

L = 0 \times \frac{4}{19} + 1 \times \frac{6}{19} + 2 \times \frac{6}{19} + 3 \times \frac{3}{19} = \frac{6 + 12 + 9}{19} = \frac{27}{19}

sonucu aynı şekilde teyit edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 108Soru →

Ulusal Yargı Ağı Bilişim Sistemi (UYAP) teknik destek merkezinde görevli tek bir uzman, kullanıcılardan gelen çağrıları karşılamaktadır. Çağrıların merkeze gelişi saatte ortalama $20$ çağrı olacak şekilde Poisson dağılımına, uzmanın çağrıları yanıtlama süresi ise üstel dağılıma uymaktadır.

Mevcut durumda, sistemde (kuyrukta bekleyenler ve hizmet alan dahil) ortalama $4$ çağrı bulunduğu gözlemlenmiştir.

Hizmet kalitesini artırmak isteyen yönetim, yalnızca kuyrukta bekleyen ortalama çağrı sayısının ( $L_q$ ) $0,5$ olmasını hedeflemektedir.

Buna göre, yeni hedefe ulaşılabilmesi için uzmanın saatlik hizmet hızında ( $\mu$ ) yapılması gereken artış miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

20

25

15

35

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Uzmanın saatlik hizmet hızındaki gerekli artış miktarı

15

çağrı/saattir.

Mevcut durumda

L = 4

ve

\lambda = 20

kullanıldığında,

L = \frac{\lambda}{\mu_1 - \lambda}

denkleminden

\mu_1 = 25

bulunur. Hedeflenen durumda

L_q = 0,5

ve

\lambda = 20

kullanıldığında,

L_q = \frac{\lambda^2}{\mu_2(\mu_2 - \lambda)}

denkleminden

0,5 = \frac{400}{\mu_2^2 - 20\mu_2}

eşitliği elde edilir. Bu eşitlik düzenlendiğinde

\mu_2^2 - 20\mu_2 - 800 = 0

ikinci dereceden denklemi ortaya çıkar. Denklemin pozitif kökü

\mu_2 = 40

'tır. İstenen artış miktarı

40 - 25 = 15

'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Mevcut durumdaki hizmet hızının (

\mu_1

) bulunması

L = \frac{\lambda}{\mu_1 - \lambda} \Rightarrow 4 = \frac{20}{\mu_1 - 20} \Rightarrow 4\mu_1 - 80 = 20 \Rightarrow 4\mu_1 = 100 \Rightarrow \mu_1 = 25

çağrı/saat

Sistemde bulunan ortalama müşteri sayısı (

L

) denklemi kullanılarak mevcut kapasite belirlenir.

2

Hedeflenen yeni hizmet hızı (

\mu_2

) için kuyruk uzunluğu (

L_q

) denkleminin kurulması

L_q = \frac{\lambda^2}{\mu_2(\mu_2 - \lambda)} \Rightarrow 0,5 = \frac{20^2}{\mu_2(\mu_2 - 20)}

Yönetimin hedefi sadece kuyrukta bekleyenlerin sayısı (

L_q

) olduğundan ilgili M/M/1 formülü kullanılır.

3

İkinci dereceden denklemin çözülmesi

0,5 = \frac{400}{\mu_2^2 - 20\mu_2} \Rightarrow \mu_2^2 - 20\mu_2 = 800 \Rightarrow \mu_2^2 - 20\mu_2 - 800 = 0 \Rightarrow (\mu_2 - 40)(\mu_2 + 20) = 0 \Rightarrow \mu_2 = 40

çağrı/saat

Matematiksel işlemler tamamlanarak hedeflenen kaliteye ulaşmak için gereken yeni hizmet hızı elde edilir.

4

Hizmet hızındaki artış miktarının hesaplanması

\Delta\mu = \mu_2 - \mu_1 = 40 - 25 = 15

çağrı/saat

Soruda hedeflenen hıza ulaşmak için yapılması gereken değişim (artış) miktarı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

(M/M/1) Modelinde Sistem Uzunluğu (

L

) ve Kuyruk Uzunluğu (

L_q

) Performans Ölçütleri

Soru 109Soru →

Türkiye Cumhuriyeti Devlet Demiryolları'na (TCDD) bağlı faaliyet gösteren bir yüksek hızlı tren (YHT) bakım merkezinde süreç optimizasyonu yapılmaktadır. Merkezde yan yana dizilmiş, birbirinden bağımsız hizmet veren tam $6$ adet özdeş bakım peronu mevcuttur. Bakım merkezine trenlerin gelişler arası süreleri üstel dağılıma (Markovyan sürece) uymaktadır. Her bir perondaki periyodik bakım işlemi, tam otomatik robotik sistemler sayesinde hiçbir sapma olmaksızın standart ve sabit bir sürede tamamlanmaktadır. Tesisin fiziksel sınırları gereği, peronlarda bakımda olanlar ve dışarıda kuyrukta bekleyenler de dâhil olmak üzere merkezde aynı anda en fazla $11$ tren barınabilmektedir. TCDD'nin bu hatta hizmet veren toplam YHT filosu $35$ adet araçtan oluşmaktadır. Merkeze giriş yapan trenlerden, güvenlik sensörlerinde kritik uyarı verenlere her zaman diğerlerinden daha önce bakım hizmeti sağlanmaktadır.

Buna göre, bu bakım merkezindeki kuyruk sisteminin standart Kendall notasyonu ( $A/B/s/K/N/D$ ) ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

D/M/6/11/35/PRI

P/D/6/11/35/PRI

M/D/6/11/35/PRI

M/D/6/5/35/PRI

M/D/6/11/\infty/FCFS

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M/D/6/11/35/PRI$

Cevap

Doğru notasyon

M/D/6/11/35/PRI

şeklindedir.

Verilen senaryoda parametreler sırasıyla incelendiğinde; gelişler arası süreler üstel olduğu için

A=M

, hizmet süresi sabit olduğu için

B=D

, bakım peronu sayısı

s=6

, tesisin toplam alabileceği maksimum tren sayısı

K=11

, hizmet alan toplam popülasyon filoyla sınırlı olduğundan

N=35

ve kuyruk disiplini öncelikli hizmet prensibine dayandığı için

D=PRI

olmaktadır. Bu parametrelerin

A/B/s/K/N/D

şablonuna yerleştirilmesiyle tam doğru notasyon olan

M/D/6/11/35/PRI

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Varış (Geliş) dağılımını (

A

) belirleme

A = M

Gelişler arası süreler üstel dağılıma uyduğundan süreç Markovyan'dır ve 'M' ile gösterilir.

2

Hizmet süresi dağılımını (

B

) belirleme

B = D

Bakım işlemi sapma olmaksızın sabit bir sürede tamamlandığından deterministik yapıdadır ve 'D' ile gösterilir.

3

Hizmet sunucu sayısını (

s

) belirleme

s = 6

Merkezde birbirinden bağımsız

6

adet özdeş bakım peronu bulunmaktadır.

4

Sistem kapasitesini (

K

) belirleme

K = 11

Kendall notasyonunun 4. hanesi kuyruk değil, 'toplam sistem' kapasitesini verir. Tesis aynı anda en fazla

11

tren barındırabilmektedir.

5

Popülasyon büyüklüğünü (

N

) belirleme

N = 35

Geliş yapabilecek potansiyel müşteri kaynağı, filodaki toplam

35

trenden ibaret olduğu için popülasyon sonludur.

6

Kuyruk disiplinini (

D

) belirleme

Disiplin = PRI

Kritik uyarısı olan trenlere öncelik verildiği için kuyruk disiplini öncelikli (Priority - PRI) hizmettir.

Anahtar Kavram

Kuyruk Modellerinde Kendall Notasyonu (

A/B/s/K/N/D

)

Soru 110Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin akıllı trafik yönetim merkezinde, sinyalizasyon arızalarının bildirildiği bir veri işleme birimi incelenmektedir.

Sisteme gelen arıza bildirimlerinin Poisson sürecine uygun olarak gerçekleştiği saptanmıştır. Bildirimleri inceleyen tam $8$ adet bağımsız sunucu bulunmaktadır ve her bir sunucunun bir bildirimi çözümleme süresi $k=3$ parametreli Erlang dağılımı ile modellenmektedir. Sistemin veri tabanı altyapısındaki kapasite sınırı sebebiyle, anlık olarak işlem görenler ve kuyrukta bekleyenler de dâhil olmak üzere sistemde aynı anda en fazla $100$ bildirim barınabilmekte, bu sınır aşıldığında yeni gelen bildirimler reddedilmektedir. Kuyrukta bekleyen bildirimlerin sunuculara atanmasında, kavşakların trafik yoğunluğu seviyesine göre önceden tanımlanmış bir aciliyet sınıflandırması kullanılmaktadır. Kapasite sınırı aşılmadığı sürece arıza bildirimlerinin sonsuz bir kaynaktan geldiği varsayılacaktır.

Buna göre, belirtilen kuyruk sisteminin Kendall notasyonuna ( $A/B/s/K/N/D$ ) göre doğru gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

M / E_3 / 8 / 100 / \infty / PRI

P / E_3 / 8 / 100 / \infty / PRI

E_3 / M / 8 / 100 / \infty / PRI

M / E_3 / 8 / 92 / \infty / PRI

M / E_3 / 8 / 100 / \infty / FCFS

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M / E_3 / 8 / 100 / \infty / PRI$

Cevap

Sistemin Kendall notasyonu ile doğru gösterimi

M / E_3 / 8 / 100 / \infty / PRI

şeklindedir.

Verilen kuyruk sisteminde varışlar Poisson (

M

), hizmet süresi 3 parametreli Erlang (

E_3

), sunucu sayısı

8

, maksimum sistem kapasitesi

100

, kaynak büyüklüğü sonsuz (

\infty

) ve kuyruk disiplini aciliyete dayalı öncelikli (PRI) olarak belirlenmiştir. Bu parametrelerin Kendall notasyonundaki standart sıralaması (

A/B/s/K/N/D

) uygulandığında doğru gösterim

M / E_3 / 8 / 100 / \infty / PRI

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Varış (A) ve Hizmet (B) dağılımlarını belirleme

Varışlar Poisson süreci olduğundan

A = M

(Markovian). Hizmet süresi Erlang-3 olduğundan

B = E_3

.

Kendall notasyonunun ilk iki parametresi varış ve hizmet süreçlerinin olasılıksal dağılımını ifade eder.

2

Sunucu sayısı (s) ve Sistem kapasitesini (K) belirleme

Sunucu sayısı

s = 8

. Toplam kapasite 100 olarak verildiği için

K = 100

.

Üçüncü parametre paralel sunucu sayısını, dördüncü parametre ise sistemde (kuyruk + sunucu) bulunabilecek maksimum birim sayısını gösterir.

3

Kaynak büyüklüğü (N) ve Kuyruk disiplinini (D) belirleme

Kaynak sonsuz (

N = \infty

). Aciliyet sınıflandırması olduğu için disiplin Öncelikli (

D = PRI

).

Beşinci parametre potansiyel müşteri popülasyonunu, altıncı parametre ise kuyruktan müşteri seçim kuralını belirtir.

Anahtar Kavram

Kendall Notasyonunun 6 Parametreli Genişletilmiş Formu

Soru 111Soru →

Bir gümrük müdürlüğünün ithalat denetim peronunda tek bir kontrol memuru görev yapmaktadır. Güvenlik ve alan kısıtlamaları nedeniyle peronda (biri denetimde, diğerleri kuyrukta bekleyen olmak üzere) en fazla $4$ tırın bulunmasına izin verilmektedir. Peronda $4$ tır varken gelen yeni tırlar başka bir kapıya yönlendirilmekte ve perona alınmamaktadır.

Tırların perona gelişleri saatte ortalama $6$ araç olacak şekilde Poisson dağılımına uymakta, bir tırın denetim süresi ise ortalama $10$ dakika sürmekte ve üstel dağılım göstermektedir.

Buna göre; sistemin tamamen dolu olma olasılığı ( $P_K$ ), kuyrukta bekleyen ortalama tır sayısı ( $L_q$ ) ve bir tırın peronda geçirdiği ortalama toplam süre ( $W$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

\frac{1}{5}

,

\frac{6}{5}

tır,

25

dakika

\frac{1}{5}

,

\frac{6}{5}

tır,

20

dakika

\frac{1}{5}

,

2

tır,

15

dakika

\frac{1}{4}

,

\frac{5}{4}

tır,

25

dakika

\frac{1}{6}

,

\frac{5}{3}

tır,

30

dakika

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{5}$ , $\frac{6}{5}$ tır, $25$ dakika

Cevap

Sistemin dolu olma olasılığı

\frac{1}{5}

, kuyruktaki ortalama tır sayısı

\frac{6}{5}

ve sistemde geçirilen ortalama süre

25

dakikadır.

Sistem kapasitesi

K=4

ve trafik yoğunluğu

\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{6}{6} = 1

olduğundan sistemin dolu olma olasılığı

P_4 = \frac{1}{K+1} = \frac{1}{5}

'tir. Sistemdeki ortalama tır sayısı

L = \frac{K}{2} = 2

olup, buradan kuyruk uzunluğu

L_q = L - (1-P_0) = 2 - \frac{4}{5} = \frac{6}{5}

bulunur. Efektif varış hızı

\lambda_{eff} = \lambda(1-P_4) = 6 \cdot \frac{4}{5} = 4.8

tır/saat'tir. Little Teoremine göre sistemde geçirilen süre

W = \frac{L}{\lambda_{eff}} = \frac{2}{4.8} = \frac{5}{12}

saat, yani

25

dakikadır.

Adım Adım Çözüm

1

Varış ve hizmet hızlarını (

\lambda, \mu

) aynı zaman biriminde ifade edip trafik yoğunluğunu (

\rho

) hesaplamak.

\lambda = 6

tır/saat. Bir denetim

10

dakika sürdüğünden saatte

\mu = \frac{60}{10} = 6

tır/saat hizmet verilir. Trafik yoğunluğu

\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{6}{6} = 1

bulunur.

Kuyruk modelinde kullanılacak doğru matematiksel formül setini (

\rho=1

durumu) belirlemek için.

2

\rho=1

durumu için sistemin tam dolu olma olasılığını (

P_K

) hesaplamak.

Sistem kapasitesi

K=4

'tür.

\rho=1

olduğunda tüm durumların olasılıkları eşittir (

P_n = \frac{1}{K+1}

). Buradan

P_4 = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5}

elde edilir.

Sisteme giriş yapamayıp yönlendirilen tırların oranını ve efektif varış hızını bulabilmek için.

3

Sistemdeki (

L

) ve kuyruktaki (

L_q

) ortalama tır sayısını hesaplamak.

\rho=1

için sistemdeki tır sayısı

L = \frac{K}{2} = \frac{4}{2} = 2

tırdır. Kuyruktaki tır sayısı:

L_q = L - (1-P_0) = 2 - (1 - \frac{1}{5}) = 2 - \frac{4}{5} = \frac{6}{5}

tır.

Sistem performans ölçütlerini elde etmek ve Little teoremine girdi sağlamak için.

4

Sisteme girmeyi başaran efektif varış hızını (

\lambda_{eff}

) belirlemek.

\lambda_{eff} = \lambda \cdot (1 - P_4) = 6 \cdot (1 - \frac{1}{5}) = 6 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} = 4.8

tır/saat.

Sonlu kapasiteli modellerde bekleme süreleri hesaplanırken nominal varış hızı yerine sadece sisteme kabul edilen tırların hızı dikkate alınmalıdır.

5

Bir tırın sistemde geçirdiği ortalama süreyi (

W

) Little Teoremi ile hesaplamak.

W = \frac{L}{\lambda_{eff}} = \frac{2}{4.8} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}

saat. Dakikaya çevrildiğinde:

\frac{5}{12} \cdot 60 = 25

dakika bulunur.

Sistemde geçirilen toplam süreyi bulmak için.

Anahtar Kavram

M/M/1/K Kuyruk Modelinde

\rho=1

Özel Durumu ve Efektif Varış Hızı

Soru 112Soru →

Bir maden işletmesinde, çıkarılan cevheri taşımakla görevli $3$ adet dev kaya kamyonu bulunmaktadır. Kamyon sayısı belirli ve sınırlı olduğundan, bu durum makine bakım problemi (sonlu kaynaklı kuyruk modeli) oluşturmaktadır.

Her bir kamyonun arızalanma süresi üstel dağılıma uymakta olup, bir kamyon haftada ortalama $1$ kez arızalanmaktadır (kamyon başına bozulma oranı $\lambda = 1$ arıza/hafta). Sistemde, arızalanan kamyonlara müdahale eden $1$ adet özel donanımlı tamir ekibi (tek servis kanalı) görev yapmaktadır. Tamir ekibinin onarım süresi de üstel dağılıma uymakta olup, ekip haftada ortalama $4$ kamyonu tamir edebilme kapasitesine sahiptir (tamir oranı $\mu = 4$ tamir/hafta).

Buna göre, rastgele seçilen bir anda bu maden işletmesinde arızalı durumda olan (tamir edilen veya tamir edilmeyi bekleyen) beklenen ortalama kamyon sayısı ( $L$ ) kaçtır?

\frac{18}{71}

\frac{24}{71}

\frac{1}{3}

\frac{57}{71}

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{57}{71}$

Cevap

Rastgele bir anda sistemde arızalı bulunan beklenen ortalama kamyon sayısı

\frac{57}{71}

'dir.

Sistem, sınırlı sayıda (N=3) kaynaktan gelen taleplerden oluştuğu için 'Makine Bakım Problemi' çerçevesinde ele alınmalıdır. Bu modelde sistemin boş olma olasılığı

P_0

,

\frac{\lambda}{\mu}

oranının kombinatorik varyasyonlarıyla elde edilir ve

P_0 = \frac{32}{71}

olarak hesaplanır. Ardından,

L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0)

denklemi uygulanarak doğrudan sistemdeki beklenen ortalama birim sayısı

\frac{57}{71}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Model parametrelerini ve kullanılacak kuyruk sistemini belirleme.

Popülasyon

N = 3

, kanal sayısı

c = 1

, varış hızı

\lambda = 1

, hizmet hızı

\mu = 4

. Sonlu kaynaklı tek kanallı kuyruk modeli (

M/M/1/K/N

makine bakım problemi) kullanılacaktır.

Müşteri popülasyonu sınırlı (3 kamyon) olduğu için standart sonsuz M/M/1 formülleri kullanılamaz.

2

Sistemin boş olma (hiç arızalı kamyon olmama) olasılığını (

P_0

) hesaplama.

P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n \right]^{-1}

formülü uygulanır.

\frac{\lambda}{\mu} = \frac{1}{4}

'tür.

P_0^{-1} = 1 + \frac{3!}{2!}(\frac{1}{4})^1 + \frac{3!}{1!}(\frac{1}{4})^2 + \frac{3!}{0!}(\frac{1}{4})^3

P_0^{-1} = 1 + 3(\frac{1}{4}) + 6(\frac{1}{16}) + 6(\frac{1}{64}) = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{32}

Paydalar 32'de eşitlenirse:

P_0^{-1} = \frac{32 + 24 + 12 + 3}{32} = \frac{71}{32}

. Buradan

P_0 = \frac{32}{71}

bulunur.

Sonlu popülasyon modellerinde performans ölçütlerini (L, Lq) bulabilmek için temel durum olan

P_0

'a ihtiyaç vardır.

3

Beklenen arızalı kamyon sayısını (

L

) formül yardımıyla hesaplama.

L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0)

formülü kullanılarak:

L = 3 - \frac{4}{1} \left(1 - \frac{32}{71}\right) = 3 - 4 \left(\frac{39}{71}\right)

L = 3 - \frac{156}{71} = \frac{213}{71} - \frac{156}{71} = \frac{57}{71}

elde edilir.

Sonlu popülasyon modelinde sistemdeki ortalama birim sayısını (

L

) veren en kestirme ve doğrudan hesaplama yöntemi bu formüldür.

Anahtar Kavram

Makine bakım problemlerinde (sonlu popülasyonlu kuyruk modelleri), varış hızı sistemdeki makine sayısına bağlı olarak dinamik bir şekilde değiştiği için durum olasılıkları faktöriyel çarpanlarıyla hesaplanır.

Soru 113Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğünde, emeklilik işlemlerini yürütmek üzere $2$ adet özdeş tahsis uzmanı görev yapmaktadır. Dosyaların birime geliş süreci saatte ortalama $5$ dosya olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir uzmanın dosyayı inceleyip sonuçlandırma süresi ise saatte ortalama $3$ dosya olacak şekilde üstel dağılıma uymaktadır.

Sistemin kararlı (steady-state) durumda olduğu varsayımı altında, kuyrukta bekleyen ortalama dosya sayısı ( $L_q$ ) kaçtır?

\frac{25}{33}

\frac{25}{6}

\frac{60}{11}

\frac{125}{33}

\frac{125}{18}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{125}{33}$

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama dosya sayısı

\frac{125}{33}

'tür.

Verilen (M/M/2) kuyruk modelinde varış hızı

\lambda=5

dosya/saat, hizmet hızı

\mu=3

dosya/saat olarak verilmiştir. Sistem kullanım faktörü

\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{5}{6}

olmaktadır. Çok kanallı yapıda sistemin boş kalma olasılığı

P_0 = \left[ 1 + \frac{5}{3} + \frac{(5/3)^2}{2!} \frac{1}{1 - 5/6} \right]^{-1} = \frac{1}{11}

olarak hesaplanır. Kuyrukta bekleyen ortalama dosya sayısı ise

L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1-\rho)^2}

formülü kullanılarak

L_q = \frac{(\frac{1}{11}) (\frac{25}{9}) (\frac{5}{6})}{2 (\frac{1}{36})} = \frac{125}{33}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen (M/M/c) parametrelerini belirle ve kullanım faktörünü (

\rho

) hesapla.

\lambda = 5

,

\mu = 3

,

c = 2

.

\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{5}{2 \times 3} = \frac{5}{6}

. Trafik yoğunluğu

\frac{\lambda}{\mu} = \frac{5}{3}

.

P_0

ve

L_q

formüllerinde kullanılacak temel oranları elde etmek.

2

Sistemin tamamen boş olma olasılığını (

P_0

) hesapla.

P_0 = \left[ \frac{(5/3)^0}{0!} + \frac{(5/3)^1}{1!} + \frac{(5/3)^2}{2!} \left( \frac{1}{1 - 5/6} \right) \right]^{-1} = \left[ 1 + \frac{5}{3} + \frac{25/18}{1/6} \right]^{-1} = \left[ \frac{8}{3} + \frac{25}{3} \right]^{-1} = \left( \frac{33}{3} \right)^{-1} = \frac{1}{11}

.

M/M/c modelinde performans ölçütlerini bulabilmek için öncelikle sistemin boş kalma olasılığına ihtiyaç vardır.

3

Kuyrukta bekleyen ortalama birim sayısı (

L_q

) formülünü uygula.

L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1-\rho)^2} = \frac{(\frac{1}{11}) (\frac{5}{3})^2 (\frac{5}{6})}{2! (1 - \frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{1}{11} \times \frac{25}{9} \times \frac{5}{6}}{2 \times \frac{1}{36}} = \frac{\frac{125}{594}}{\frac{1}{18}} = \frac{125}{594} \times 18 = \frac{125}{33}

.

Soru metninde istenen spesifik performans ölçütünü nihai olarak elde etmek.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model Parametreleri ve

L_q

Hesabı

Soru 114Soru →

Üst düzey güvenlik protokollerinin uygulandığı bir kamu kurumunun gizli belge imha tesisinde, belgeler tek bir özel fırında (imha ünitesinde) yok edilmektedir.

Tesis girişine imha edilecek belge getiren araçların varışları, ortalama $5$ dakikada $1$ araç olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır. Özel fırındaki imha işlemleri ise üstel dağılıma uymakta olup, araç başına ortalama $10$ dakika sürmektedir. Güvenlik kuralları gereği, tesis içine (fırında işlem gören araç dâhil) aynı anda en fazla $3$ araç alınabilmektedir. Kapasite doluyken gelen araçlar güvenlik riski oluşturmamak için tesise alınmadan derhâl geri çevrilmektedir.

Buna göre, sisteme kabul edilen araçların saatteki efektif varış hızı ( $\lambda_{\text{eff}}$ ) ve tesis içinde sırasını bekleyen ortalama araç sayısı ( $L_q$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{28}{5}

ve

\frac{4}{3}

\frac{14}{3}

ve

\frac{4}{15}

\frac{28}{5}

ve

\frac{34}{15}

9

ve

\frac{3}{4}

12

ve

\frac{4}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{28}{5}$ ve $\frac{4}{3}$

Cevap

Efektif varış hızı

\frac{28}{5}

ve kuyruktaki araç sayısı

\frac{4}{3}

'tür.

Soruda kapasite

K=3

ile sınırlandırılmıştır. Saatteki hızlar

\lambda=12

ve

\mu=6

olduğundan yoğunluk

\rho=2

'dir.

\rho \neq 1

olduğu için

P_0 = (1-\rho)/(1-\rho^{K+1}) = 1/15

ve

P_3 = \rho^3 P_0 = 8/15

bulunur. Efektif varış hızı

\lambda_{\text{eff}} = \lambda(1-P_3) = 12(7/15) = 28/5

hesaplanır. Sistemdeki müşteri sayısı

L=34/15

, kuyruktaki müşteri sayısı ise

L_q = L - (1-P_0) = 4/3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen süreleri aynı zaman birimi (saat) üzerinden varış (

\lambda

) ve hizmet (

\mu

) hızlarına dönüştürün.

\lambda = \frac{60}{5} = 12

araç/saat ve

\mu = \frac{60}{10} = 6

araç/saat.

Kuyruk modellerinde oranların aynı zaman dilimini (genellikle saat) yansıtması gerekir.

2

Kapasiteyi belirleyip, trafik yoğunluğunu (

\rho

) hesaplayın.

K = 3

(1 işlemde + 2 kuyrukta).

\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{12}{6} = 2

.

\rho \neq 1

olduğu için genel (M/M/1/K) formülleri kullanılmalıdır.

3

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) ve sistemin tam dolu olma olasılığını (

P_3

) hesaplayın.

P_0 = \frac{1 - \rho}{1 - \rho^{K+1}} = \frac{1 - 2}{1 - 2^4} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15}

.

P_3 = \rho^3 P_0 = 8 \times \frac{1}{15} = \frac{8}{15}

.

Efektif varış hızı ve sistemdeki araç sayılarını bulmak için sınır olasılık durumlarına ihtiyaç vardır.

4

Saatteki efektif varış hızını (

\lambda_{\text{eff}}

) hesaplayın.

\lambda_{\text{eff}} = \lambda (1 - P_3) = 12 \times (1 - \frac{8}{15}) = 12 \times \frac{7}{15} = \frac{84}{15} = \frac{28}{5}

araç/saat.

Sistem dolu olduğunda gelen araçlar reddedildiği için yalnızca sisteme kabul edilenler hesaba katılır.

5

Sistemdeki ortalama araç sayısını (

L

) bulup, buradan kuyruktaki ortalama araç sayısını (

L_q

) elde edin.

L = \sum_{n=0}^{3} n P_n = 0(\frac{1}{15}) + 1(\frac{2}{15}) + 2(\frac{4}{15}) + 3(\frac{8}{15}) = \frac{34}{15}

.

L_q = L - (1 - P_0) = \frac{34}{15} - \frac{14}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}

.

Kuyruktaki ortalama müşteri sayısı, sistemdeki toplam müşteri sayısından hizmet görenlerin ortalamasının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

(M/M/1/K) Tek Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model Hesaplamaları

Soru 115Soru →

Bir KOSGEB il müdürlüğünde, girişimci destek projelerinin ön onay işlemlerini yürütmek üzere $3$ adet özdeş uzman görev yapmaktadır. Müdürlüğe gelen proje onay başvuruları, saatte ortalama $4$ başvuru olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gerçekleşmektedir. Her bir uzmanın bir projeyi inceleme ve ön onay verme süresi üstel dağılıma uymakta olup, bir uzman saatte ortalama $2$ projeyi sonuçlandırabilmektedir.

Buna göre, sistem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında bu onay biriminde kuyrukta bekleyen ortalama proje başvuru sayısı ( $L_q$ ) kaçtır?

\frac{2}{9}

\frac{8}{13}

\frac{8}{9}

\frac{4}{3}

\frac{26}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{9}$

Cevap

Kuyrukta bekleyen ortalama proje başvuru sayısı

\frac{8}{9}

'dur.

Soruda

3

kanallı (M/M/3) ve sonsuz kapasiteli bir kuyruk modeli tanımlanmıştır. Varış hızı

\lambda=4

, hizmet hızı

\mu=2

ve kanal sayısı

c=3

olarak verilmiştir. Sistem yoğunluğu

\rho = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

olduğundan sistem kararlıdır. M/M/c modelinde sistemin boş kalma olasılığı (

P_0

), paydada faktöriyellerin ve son terimde

\frac{1}{1-\rho}

ifadesinin yer aldığı standart formülle hesaplanır ve

\frac{1}{9}

olarak bulunur. Kuyrukta bekleyen ortalama sayı (

L_q

) ise ilgili M/M/c formülünde

\frac{P_0 \cdot r^c \cdot \rho}{c! \cdot (1-\rho)^2}

yerine konulduğunda

\frac{8}{9}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sistem parametrelerini (

c, \lambda, \mu

) ve sistem yoğunluğunu (

\rho

) belirleme

c=3

,

\lambda=4

,

\mu=2

ve

\rho = \frac{4}{3 \times 2} = \frac{2}{3}

bulunur.

M/M/c kuyruk modelinde kullanılacak temel girdilerin ve sistemin kararlı olup olmadığının (

\rho < 1

) tespit edilmesi gerekir.

2

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) hesaplama

P_0 = \left[ \frac{2^0}{0!} + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} \left( \frac{1}{1 - 2/3} \right) \right]^{-1} = [1 + 2 + 2 + 4]^{-1} = \frac{1}{9}

Çok kanallı kuyruk modellerinde performans ölçütlerini bulmak için öncelikle tüm kanalların boş olduğu durumun olasılığı bulunmalıdır.

3

Kuyrukta bekleyen ortalama başvuru sayısını (

L_q

) hesaplama

L_q = \frac{P_0 \cdot (\lambda/\mu)^c \cdot \rho}{c! \cdot (1-\rho)^2} = \frac{(1/9) \cdot 2^3 \cdot (2/3)}{3! \cdot (1/3)^2} = \frac{16/27}{6/9} = \frac{16/27}{18/27} = \frac{8}{9}

Kuyruk uzunluğu,

P_0

ve yoğunluk oranları kullanılarak M/M/c kuyruk uzunluğu formülü ile elde edilir.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modeli Performans Ölçütleri

Soru 116Soru →

T.C. Devlet Demiryolları (TCDD) lojistik merkezinde, yük trenlerinin manevra sahasına gelişleri ve sevk işlemleri incelenmektedir. Yapılan analizlerde, sahaya art arda gelen iki yük treni arasındaki sürenin ortalama $40$ dakika olduğu ve bu sürenin üstel dağılıma uyduğu saptanmıştır. Sahadaki sinyalizasyon ve sevk ekibi ise bir vardiyada ( $8$ saat) ortalama $15$ trenin sevk işlemini tamamlayabilmektedir ve işlem süreleri de üstel dağılıma uymaktadır.

Sistemdeki tren varışlarının rassal değişken tabiatı ve kuyruk modellemesindeki temel varsayımlar dikkate alındığında, sistemin saatlik varış hızı ( $\lambda$ ), saatlik hizmet hızı ( $\mu$ ) ve belirli bir süredeki varış sayısının uyduğu olasılık dağılımı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Saatlik varış hızı

\lambda = 1,5

ve saatlik hizmet hızı

\mu = 1,875

olup, varış sayısı Poisson dağılımına uyar.

Saatlik varış hızı

\lambda = 40

ve saatlik hizmet hızı

\mu = 15

olup, varış sayısı üstel dağılıma uyar.

Saatlik varış hızı

\lambda = 1,5

ve saatlik hizmet hızı

\mu = 15

olup, varış sayısı Poisson dağılımına uyar.

Saatlik varış hızı

\lambda = 0,66

ve saatlik hizmet hızı

\mu = 1,875

olup, varış sayısı üstel dağılıma uyar.

Saatlik varış hızı

\lambda = 1,5

ve saatlik hizmet hızı

\mu = 0,53

olup, varış sayısı Poisson dağılımına uyar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Saatlik varış hızı $\lambda = 1,5$ ve saatlik hizmet hızı $\mu = 1,875$ olup, varış sayısı Poisson dağılımına uyar.

Cevap

Saatlik varış hızı

\lambda = 1,5

ve saatlik hizmet hızı

\mu = 1,875

olup, varış sayısı Poisson dağılımına uyar.

Verilen iki varış arası süre 40 dakika olduğundan, 1 saatteki varış hızı

\lambda = 60/40 = 1,5

tren/saattir. Hizmet sistemi 8 saatte 15 işlem tamamladığından saatlik hizmet hızı

\mu = 15/8 = 1,875

tren/saattir. Gelişler arası süre üstel dağılımlı ise matematiksel bir zorunluluk olarak belirli bir zaman dilimindeki varışların sayısı Poisson dağılımına uyar.

Adım Adım Çözüm

1

Varış hızının (

\lambda

) saatlik cinsten hesaplanması.

\lambda = 60 / 40 = 1,5

tren/saat.

Soruda verilen 40 dakika, iki trenin peş peşe gelmesi arasında geçen ortalama süredir. Bir saatte (60 dakika) kaç tren geleceğini bulmak için 60'ı 40'a bölmemiz gerekir.

2

Hizmet hızının (

\mu

) saatlik cinsten hesaplanması.

\mu = 15 / 8 = 1,875

tren/saat.

Ekip, 8 saatlik bir vardiyada toplam 15 trene hizmet verebilmektedir. Saat başına düşen hizmet kapasitesini (hızını) bulmak için toplam tren sayısı toplam süreye bölünmelidir.

3

Varış sayısının teorik olasılık dağılımının belirlenmesi.

Belirli bir zaman aralığındaki varış sayısı Poisson dağılımına uyar.

Kuyruk teorisinin temel varsayımlarına göre, varışlar arası süreler üstel dağılıma uyduğunda, belirli bir birim zamanda gerçekleşen varışların sayısı Poisson dağılımı ile ifade edilir.

Anahtar Kavram

Kuyruk modellerinde varış/hizmet hızlarının standartlaştırılması ve rassal süreçlerin olasılık dağılımları.

Soru 117Soru →

Bir hava trafik kontrol merkezinde, acil iniş izni isteyen insansız hava araçları (İHA) için tek bir otonom analiz sistemi bulunmaktadır. Bu sisteme İHA'ların varış hızı, o an sistemde bulunan (analiz edilen veya kuyrukta bekleyen) İHA sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişmektedir.

- Sistem boşken ( $n=0$ ) varış hızı: saatte 12 İHA
- Sistemde 1 İHA varken ( $n=1$ ) varış hızı: saatte 6 İHA
- Sistemde 2 İHA varken ( $n=2$ ) varış hızı: saatte 4 İHA

Sistem kapasitesi en fazla 3 İHA ile sınırlıdır (1'i analizde, 2'si kuyrukta). Dolayısıyla, sistemde 3 İHA bulunduğunda yeni gelen araçlar başka bir merkeze yönlendirilmektedir. Otonom analiz sisteminin hizmet süresi üstel dağılıma uymakta olup saatte ortalama 4 İHA'ya hizmet verebilmektedir. Sistemdeki araç sayısından bağımsız olarak hizmet hızı sabittir.

Bu Doğum-Ölüm (Birth-Death) sürecine göre, sistemin denge durumunda (steady-state) tamamen boş kalma olasılığı ( $P_0$ ) kaçtır?

\frac{1}{40}

\frac{1}{13}

\frac{1}{12}

\frac{1}{7}

\frac{2}{13}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{13}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{1}{13}

değeridir. Denge durumunda tüm olasılıkların

P_0

cinsinden toplamı

13P_0

değerine eşittir ve

13P_0 = 1

denkleminden bu sonuca ulaşılır.

Bu problemde varış hızı sisteme o anki durumuna bağlı olarak değiştiği için standart kuyruk formülleri kullanılamaz. Temel Doğum-Ölüm (Birth-Death) süreci denge denklemleri kullanılarak her bir durumun olasılığı

P_0

cinsinden ifade edilmeli (

P_1 = 3P_0

,

P_2 = 4,5P_0

,

P_3 = 4,5P_0

) ve tüm olasılıkların toplamı (

13P_0

) 1'e eşitlenerek çözüme ulaşılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Sistemdeki araç sayısına (

n

) göre varış (

\lambda_n

) ve hizmet (

\mu_n

) hızlarını belirleyiniz.

Varış hızları:

\lambda_0 = 12

,

\lambda_1 = 6

,

\lambda_2 = 4

,

\lambda_n = 0

(

n \ge 3

). Hizmet hızları sabittir:

\mu_n = 4

(

n \ge 1

).

Sistemin durumlarına ait denge denklemlerini kurabilmek için durumlar arası geçiş oranlarının netleştirilmesi gerekir.

2

Doğum-Ölüm süreci genel formülü olan

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

bağıntısını kullanarak tüm olasılıkları

P_0

cinsinden ifade ediniz.

P_1 = \frac{12}{4} P_0 = 3P_0

P_2 = \frac{6}{4} P_1 = 1,5 \times 3P_0 = 4,5P_0

P_3 = \frac{4}{4} P_2 = 1 \times 4,5P_0 = 4,5P_0

Sistem dengedeyken bir duruma giriş oranı o durumdan çıkış oranına eşit olmalıdır, bu denklik her durumun olasılığını boş kalma olasılığı cinsinden verir.

3

Tüm durumların olasılıkları toplamını 1'e eşitleyerek

P_0

değerini hesaplayınız.

P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0 + 3P_0 + 4,5P_0 + 4,5P_0 = 1

13P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{13}

Bir olasılık dağılımında gerçekleşebilecek tüm birbirini dışlayan durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Duruma Bağlı (State-Dependent) Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge Denklemleri

Soru 118Soru →

Bir vergi dairesinin borç yapılandırma servisinde, evrak kabul işlemlerini yürütmek üzere yan yana $2$ adet özdeş vezne bulunmaktadır. Mükelleflerin bu servise gelişleri saatte ortalama $20$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır.

Her bir veznede bir mükellefin işleminin tamamlanma süresi ortalama $2,4$ dakika sürmekte olup üstel dağılım göstermektedir. Servisteki bekleme alanının kapasitesinin sınırsız olduğu bilinmektedir.

Buna göre, sistem sürekli duruma (steady-state) ulaştığında serviste hiçbir mükellefin bulunmama (sistemin tamamen boş olma) olasılığı ( $P_0$ ) kaçtır?

\frac{3}{7}

\frac{3}{5}

\frac{15}{23}

\frac{15}{43}

\frac{25}{53}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{7}$

Cevap

Sistemin tamamen boş olma olasılığı

\frac{3}{7}

'dir.

Doğru yanıt

\frac{3}{7}

olmalıdır. Çok kanallı kuyruk sistemlerinde (M/M/c) sistemin boş olma olasılığı hesaplanırken öncelikle

r = \frac{\lambda}{\mu}

ve

\rho = \frac{\lambda}{c\mu}

parametreleri bulunur.

\lambda = 20

,

\mu = 25

(

60/2,4

) ve

c = 2

değerleri ile

r=0,8

ve

\rho=0,4

elde edilir. Formül gereği

P_0 = [1 + 0,8 + (\frac{0,8^2}{2!}) \times (\frac{1}{1-0,4})]^{-1}

denklemi çözüldüğünde sonuç

30/70

yani

3/7

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen geliş ve hizmet sürelerinin ortak bir zaman birimine (saat) dönüştürülmesi.

Geliş hızı

\lambda = 20

kişi/saat. Hizmet süresi

2,4

dakika olduğundan, hizmet hızı

\mu = \frac{60}{2,4} = 25

kişi/saat. Vezne sayısı

c = 2

.

Kuyruk modellerinde geliş ve hizmet hızlarının aynı zaman birimi cinsinden ifade edilmesi zorunludur.

2

Sistem yoğunluk faktörü (trafik yoğunluğu,

r

) ve sistemin kullanım oranının (

\rho

) hesaplanması.

r = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{20}{25} = 0,8

. Kullanım oranı

\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{20}{2 \times 25} = 0,4

.

P_0

formülünde seri açılımı için

r

, yakınsama çarpanı için ise

\rho

parametrelerine ihtiyaç vardır.

3

(M/M/c) çok kanallı kuyruk modeli için boşta kalma olasılığı (

P_0

) formülünün uygulanması.

P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{r^n}{n!} + \frac{r^c}{c!} \left( \frac{1}{1-\rho} \right) \right]^{-1}

formülü yazılır.

Sistem kapasitesinin sonsuz olduğu çok kanallı sistemlerde bekleme teorisinin temel

P_0

denklemi budur.

4

Değerlerin formülde yerine konulması ve işlemin sonuçlandırılması.

P_0 = \left[ \frac{0,8^0}{0!} + \frac{0,8^1}{1!} + \frac{0,8^2}{2!} \left( \frac{1}{1-0,4} \right) \right]^{-1} = \left[ 1 + 0,8 + \frac{0,64}{2} \times \frac{5}{3} \right]^{-1} = \left[ 1,8 + 0,32 \times \frac{5}{3} \right]^{-1} = \left[ \frac{18}{10} + \frac{16}{30} \right]^{-1} = \left[ \frac{54+16}{30} \right]^{-1} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}

.

Rasyonel sayı işlemlerinin sadeleştirilerek olasılık değerinin bulunması amaçlanır.

Anahtar Kavram

Çok Kanallı Sonsuz Kapasiteli Kuyruk Modellerinde (M/M/c) Boşta Kalma Olasılığı (

P_0

)

Soru 119Soru →

Bir gümrük muhafaza müdürlüğünde işlemlerin yürütüldüğü tek bir vezneye mükelleflerin varışları arasındaki süre ortalama $12$ dakikadır. Görevli memurun bir mükellefe sunduğu hizmet süresi ise ortalama $10$ dakikadır. Varışların Poisson, hizmet sürelerinin ise Üstel dağılıma uygun olduğu varsayıldığında, bu sisteme ait saatlik varış hızı ( $\lambda$ ) ve saatlik hizmet hızı ( $\mu$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\lambda = 5, \mu = 6

\lambda = 12, \mu = 10

\lambda = 6, \mu = 5

\lambda = 0,08, \mu = 0,1

\lambda = 5, \mu = 10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\lambda = 5, \mu = 6$

Cevap

Sistemin saatlik varış hızı

\lambda = 5

ve saatlik hizmet hızı

\mu = 6

olarak belirlenmiştir.

Doğru yanıt olan değerler, 60 dakikanın sırasıyla 12 ve 10 dakikaya bölünmesiyle elde edilen saatlik kapasiteyi temsil eder. Bir saatte her 12 dakikada bir varış oluyorsa toplam 5 varış (

\\lambda=5

), her 10 dakikada bir hizmet tamamlanıyorsa toplam 6 hizmet (

\\mu=6

) gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortalama varış süresinden saatlik varış hızının (

\lambda

) hesaplanması

\lambda = 5

birim/saat

Varışlar arası ortalama süre

E(t) = 1/\lambda

formülü ile verilir.

12

dakikalık süre saate çevrildiğinde

12/60 = 1/5

saat olur. Buradan

\lambda = 1 / (1/5) = 5

mükellef/saat bulunur.

2

Ortalama hizmet süresinden saatlik hizmet hızının (

\mu

) hesaplanması

\mu = 6

birim/saat

Ortalama hizmet süresi

E(s) = 1/\mu

formülü ile verilir.

10

dakikalık hizmet süresi saate çevrildiğinde

10/60 = 1/6

saat olur. Buradan

\mu = 1 / (1/6) = 6

mükellef/saat bulunur.

Anahtar Kavram

Kuyruk modellerinde varış ve hizmet hızları, ilgili ortalama sürelerin çarpmaya göre tersine eşittir ve birim zaman (genellikle saat) cinsinden ifade edilir.

İpuçları

1

Hız ve süre arasındaki ters ilişkiyi hatırlayın: Hız = 1 / Ortalama Süre.

2

Hızları hesaplarken tüm zaman birimlerinin (dakika ve saat) aynı olduğundan emin olun.

Daha Fazla Pratik

Bu hız değerlerini kullanarak sistemin yoğunluk oranını (trafik yoğunluğu) hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 120Soru →

Bir bilgisayar ağındaki veri paketlerinin bir işlemciye varış hızı, sistemdeki paket sayısına ( $n$ ) bağlı olarak $\lambda_n = \frac{6}{n+1}$ paket/ms olarak değişmektedir. İşlemcinin paket işleme (hizmet) hızı ise her durumda sabittir ve $\mu = 3$ paket/ms'dir. Sistemin kapasitesi en fazla 2 paket ile sınırlı olduğuna göre (sistemde 2 paket varken yeni gelenler reddedilir), denge durumunda (steady-state) sistemde tam olarak 2 paket bulunma olasılığı ( $P_2$ ) kaçtır?

0,20

0,40

0,50

0,33

0,60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,40

Cevap

Denge durumunda sistemde 2 paket bulunma olasılığı 0,40'tır.

Sistemdeki geçiş hızları analiz edildiğinde,

n=1

durumu

n=0

durumunun iki katı,

n=2

durumu ise

n=1

durumu ile eşit olasılığa sahiptir. Bu durumda

1:2:2

oranı oluşur ve toplam 5 birimden 2 birimi (

2/5=0,40

) sistemde 2 paket olma olasılığını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Sistem durumları için varış ve hizmet hızlarını belirle.

\lambda_0 = 6/(0+1) = 6

,

\lambda_1 = 6/(1+1) = 3

ve

\mu_1 = 3, \mu_2 = 3

.

Doğum-ölüm sürecinin hız parametrelerini kurmak için gereklidir.

2

Durum olasılıklarını (

P_1

ve

P_2

)

P_0

cinsinden ifade et.

P_1 = (\lambda_0 / \mu_1) P_0 = (6/3) P_0 = 2P_0

;

P_2 = (\lambda_1 / \mu_2) P_1 = (3/3) (2P_0) = 2P_0

.

Denge (steady-state) denklemleri olan

\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n

bağıntısı uygulanır.

3

Toplam olasılık kuralını kullanarak

P_0

değerini bul.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + 2P_0 + 2P_0 = 1 \Rightarrow 5P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 0,20

.

Sistemin mutlaka bu üç durumdan birinde bulunması gerektiği prensibine dayanır.

4

İstenen

P_2

olasılığını hesapla.

P_2 = 2 \times P_0 = 2 \times 0,20 = 0,40

.

İkinci adımda bulunan bağıntı ile

P_0

değeri birleştirilir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Genel Denge Denklemleri

Kuyruk Modelleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları