Kuyruk Modelleri

Bir küçük tamir atölyesinde aynı anda en fazla 2 cihaz bulunabilmektedir (sistem kapasitesi $K=2$). Atölyedeki cihaz sayısına ($n$) bağlı olarak geliş hızları ($\lambda_n$) ve hizmet hızları ($\mu_n$) saatlik birimler cinsinden şu şekilde tanımlanmıştır:

Bu sistemin doğum-ölüm süreci (birth-death process) varsayımlarına uygun olarak denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, atölyenin tamamen boş olma olasılığı ($P_0$) kaçtır?

Bir kamu sağlığı laboratuvarında analiz edilmek üzere gelen numuneler saatte ortalama $4$ adet ($\lambda = 4$) olacak şekilde Poisson dağılımına uygun bir varış süreci izlemektedir. Numuneler, tek bir analiz cihazında işlenmektedir. Cihazın bir numuneyi analiz etme süresinin ortalaması $12$ dakika ($0,2$ saat) ve varyansı $0,01$ $\text{saat}^2$ olarak belirlenmiştir.

Sistemin kararlı (denge) durumunda olduğu varsayıldığında, (M/G/1) kuyruk modeline göre kuyrukta bekleyen ortalama numune sayısı ($L_q$) kaçtır?

Bir gümrük kapısında araçların kontrolü için 3 adet peron bulunmaktadır. Gümrük sahasının fiziksel yapısı gereği, işlem sırası bekleyen ve işlem gören araçlar dâhil olmak üzere sahada aynı anda en fazla 25 araç bulunabilmektedir. Araçların gümrüğe varışlarının Poisson sürecine, gümrük muayene sürelerinin ise üstel dağılıma uygun olduğu ve araçların 'ilk gelen ilk hizmet alır' (FCFS) prensibiyle işleme alındığı bilinmektedir. Buna göre, söz konusu gümrük sisteminin Kendall notasyonu ($A/B/s/K/N/D$) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunun girişinde bulunan otomatik geçiş kontrol sistemi, araçların giriş kartlarını sabit bir sürede okumaktadır. Sisteme araçların varış hızı saatte ortalama $2$ araç ($\lambda = 2$) olup Poisson dağılımına uygundur. Otomatik sistemin her bir aracı kontrol etme süresi ise sabit $15$ dakikadır. Buna göre, bu kuyruk sisteminde bekleyen ortalama araç sayısı ($L_q$) kaçtır?

Bir noterlik dairesinde işlem yaptırmak üzere gelen vatandaşların ortalama varış hızı saatte $12$ kişidir ($\lambda = 12$). Bu noterlikte bir vatandaşın kuyrukta (sırada) beklediği ortalama süre $16$ dakika ($W_q = 16$ dk) olarak hesaplanmıştır. Noterin bir vatandaşın işlemini tamamlaması için geçen ortalama hizmet süresi ise $4$ dakikadır. Buna göre, bu noterlikteki sistemde bulunan ortalama vatandaş sayısı ($L$) kaçtır?

Bir kargo dağıtım merkezine paketler ortalama saatte $20$ adet ($\lambda = 20$) hızla gelmektedir. Bir paketin bu merkezdeki toplam işlem ve bekleme süresi (sistemde kalma süresi) ortalama $15$ dakikadır. Buna göre, kargo dağıtım merkezindeki sistemde bulunan ortalama paket sayısı ($L$) kaçtır?

Bir ilçe belediyesinin su tahsilat veznesine gelen vatandaşlar, saatte ortalama $6$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak ulaşmaktadır. Veznedeki görevlinin bir vatandaşın işlemini tamamlama süresi üstel dağılıma uygun olup, saatte ortalama $9$ kişiye hizmet verebilmektedir. Buna göre, bu sistemde (kuyrukta bekleyenler ve hizmet alanlar dahil) bulunan ortalama vatandaş sayısı kaçtır?

Bir sosyal güvenlik merkezinde yapılandırma başvurularını almak üzere tek bir memur görevlendirilmiştir. Merkeze başvuru için gelen vatandaşların varışları saatte ortalama $5$ kişi ($\lambda = 5$) olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Memurun bir vatandaşın işlemini tamamlama süresinin ortalaması $0,1$ saat ve bu hizmet süresinin varyansı $0,02$ saat-karedir. Buna göre, sistemdeki kuyrukta bekleyen ortalama vatandaş sayısı ($L_q$) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunun evrak kayıt biriminde, vatandaşların varışlarının Poisson sürecine uygun olduğu, görevli memurun ise her bir evrak üzerindeki işlemi tam olarak 3 dakikada (sabit sürede) tamamladığı tespit edilmiştir. Sistem kapasitesinin ve kaynak büyüklüğünün herhangi bir sınırlandırmaya tabi olmadığı varsayıldığında; bu sistemin yapısını tanımlayan Kendall notasyonu aşağıdakilerden hangisidir?

Bir gümrük kapısında araçların evrak kontrollerini yapmak üzere $2$ adet özdeş kontrol noktası hizmet vermektedir. Araçların gümrük kapısına varış süreci saatte ortalama $4$ araç olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir kontrol noktasındaki hizmet süreci ise saatte ortalama $6$ araca hizmet verilecek şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, bu kuyruk sisteminde herhangi bir anda sistemin tamamen boş olması olasılığı ($P_0$) kaçtır?

Bir vergi dairesinde tek bir memur mükelleflere hizmet vermektedir. Mükelleflerin daireye varışları saatte ortalama $2$ kişi ($\lambda = 2$) olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Memurun bir mükellefe verdiği hizmet süresinin ortalaması $15$ dakika ($0,25$ saat) ve bu hizmet süresinin varyansı $0,125$ saat karedir ($\sigma^2 = 0,125$). Buna göre, bu sistemde kuyrukta bekleyen ortalama mükellef sayısı ($L_q$) kaçtır?

Bir üniversite kütüphanesinin ödünç verme bankosunda tek bir memur görev yapmaktadır. Bankoya kitap iade etmek için gelen öğrencilerin varışları saatte ortalama $12$ kişi ($\lambda = 12$) olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Memurun bir iade işlemini gerçekleştirme süresinin ortalaması $3$ dakika, bu sürenin standart sapması ise $4$ dakikadır. Buna göre, (M/G/1) kuyruk modeli varsayımı altında, kuyrukta bekleyen ortalama öğrenci sayısı ($L_q$) kaçtır?

Bir Aile Sağlığı Merkezinde muayene hizmeti vermek üzere $3$ adet özdeş doktor görev yapmaktadır. Merkeze gelen hastaların varış süreci saatte ortalama $6$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, bir doktorun bir hastaya hizmet verme süreci ise saatte ortalama $4$ kişiye bakacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, bu kuyruk sisteminin kullanım oranı (trafik yoğunluğu) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir Tapu Müdürlüğünde randevulu işlemleri gerçekleştirmek üzere $2$ adet banko ($c=2$) hizmet vermektedir. Müdürlüğe gelen vatandaşlar saatte ortalama $4$ kişi ($\lambda=4$) olacak şekilde Poisson dağılımına uygun olarak gelmektedir. Her bir personelin bir işlemi tamamlama hızı saatte $4$ kişidir ($\mu=4$). Fiziksel alan kısıtları nedeniyle, müdürlük içerisinde hizmet alanlar dahil toplamda en fazla $3$ vatandaşın ($K=3$) bulunmasına izin verilmekte; sistem doluyken gelen vatandaşlar içeri alınmamaktadır.

Bu kuyruk sisteminde durağan hal olasılıklarından sistemin boş olma olasılığı $P_0 = \frac{4}{11}$ olarak hesaplandığına göre, müdürlüğe gelen bir vatandaşın sistemin tam kapasite dolu olması nedeniyle içeri alınmama (kaybedilme) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir PTT şubesinde kargo kabul işlemlerini gerçekleştiren bir görevlinin, bir müşterinin işlemini tamamlaması için geçen sürenin ortalaması $2,5$ dakikadır. Bu hizmet süresinin üstel dağılıma uygun olduğu varsayıldığında, görevlinin saatlik ortalama hizmet hızı ($\mu$) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir ilçe seçim kuruluna seçmen kaydı sorgulaması için gelen vatandaşların ortalama varış hızı saatte $16$ kişidir ($\lambda = 16$). Bir vatandaşın bu kurulda geçirdiği ortalama toplam süre (kuyrukta bekleme ve işlem süresi dahil) $15$ dakikadır. Buna göre, Little Teoremi'ne göre seçim kurulundaki sistemde bulunan ortalama vatandaş sayısı ($L$) kaçtır?

Bir ilçe nüfus müdürlüğünde pasaport işlemleri için $2$ adet özdeş banko hizmet vermektedir. Müdürlüğe gelen vatandaşların varış süreci saatte ortalama $4$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir bankodaki işlem süresi ise ortalama $20$ dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, sistemde işlem gören veya kuyrukta bekleyen hiç kimsenin olmama olasılığı ($P_0$) kaçtır?

Bir kuyruk sisteminde birimlerin sisteme varış (doğum) ve sistemden ayrılış (ölüm) hızları, sistemdeki birim sayısına ($n$) bağlı olarak aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

- Varış hızları: $\lambda_0 = 4$ birim/saat, $\lambda_1 = 2$ birim/saat ve $n \geq 2$ için $\lambda_n = 0$
- Hizmet hızları: $\mu_1 = 4$ birim/saat, $\mu_2 = 4$ birim/saat

Sistemin kararlı hal (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemin boş olma olasılığı ($P_0$) kaçtır?