Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2181Soru →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,

f(x)=x2+ax+bx2−x+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - x + 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

f′(0)=3f'(0) = 3
f′(1)=2f'(1) = 2

olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

f'(2) değeri -1'dir.
Bölümün türevi kuralı doğru uygulanıp, verilen başlangıç koşullarıyla a ve b katsayıları sırasıyla 4 ve -1 olarak bulunduktan sonra türev fonksiyonunda x = 2 yazıldığında sonuç -1 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türev kuralını uygulayarak f'(x) türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=(2x+a)(x2−x+1)−(x2+ax+b)(2x−1)(x2−x+1)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x^2-x+1) - (x^2+ax+b)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}
Rasyonel bir fonksiyonun türevini hesaplamak için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
f'(0) = 3 eşitliğini kullanarak a ve b arasındaki ilk denklemi elde edin.
f'(0) = \frac{a \cdot 1 - b \cdot (-1)}{1} = a + b \implies a + b = 3
Türev fonksiyonunda x = 0 yazılarak verilen değere eşitlenir.
3
f'(1) = 2 eşitliğini kullanarak a ve b değerlerini bulun.
f'(1) = \frac{(2+a)(1) - (1+a+b)(1)}{1^2} = 2 + a - 1 - a - b = 1 - b \implies 1 - b = 2 \implies b = -1$. Buradan a - 1 = 3 \implies a = 4 bulunur.
Türev fonksiyonunda x = 1 yazılarak elde edilen ifade verilen değere eşitlenir ve a ile b bilinmeyenleri çözülür.
4
Bulunan a = 4 ve b = -1 değerlerini türev fonksiyonunda yerine yazarak f'(2) değerini hesaplayın.
f'(2) = \frac{(2(2)+4)(2^2-2+1) - (2^2+4(2)-1)(2(2)-1)}{(2^2-2+1)^2} = \frac{24 - 33}{9} = -1
Elde edilen fonksiyon kuralı kullanılarak x = 2 noktasındaki türev hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi ve Bilinmeyen Katsayıların Bulunması
Soru 2182Soru →

Bir [a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir ff fonksiyonunun [a,b][a, b] aralığındaki belirli integrali, bu aralığın herhangi bir eş bölüntüsüne göre hesaplanan Riemann sol toplamından her zaman büyüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Sürekli ve artan bir fonksiyon için [a,b][a, b] aralığındaki belirli integral, Riemann sol toplamından (alt toplamdan) her zaman büyüktür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü sürekli ve artan bir fonksiyon için sol uç noktalar fonksiyonun minimum değerlerini verir. Dolayısıyla Riemann sol toplamı bir alt toplam belirtir ve bu alt toplam integral değerinden kesinlikle küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Artan fonksiyonun alt aralıklardaki uç değerlerini belirleme
Her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında f(x)f(x) artan olduğu için en küçük değer sol uçta yani f(xi−1)f(x_{i-1}) noktasında, en büyük değer ise sağ uçta yani f(xi)f(x_i) noktasında alınır.
Artan fonksiyon tanımı gereği, aralıktaki daha k��çük girdiler daha küçük çıktılar üretir.
2
Riemann sol toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki ilişkiyi kurma
Sol uç noktalar kullanılarak hesaplanan Riemann sol toplamı \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x şeklindedir ve bu değer doğrudan Riemann alt toplamına eşittir.
Her alt aralıkta fonksiyonun minimum değeri sol uçta gerçekleştiği için sol toplam alt toplamı verir.
3
Alt toplam ile belirli integral değerini kıyaslama
Sürekli ve artan bir fonksiyon için, integral altındaki alan (belirli integral) ile Riemann alt toplamı arasında \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x < \int_a^b f(x) dx ilişkisi vardır.
Grafiksel olarak alt toplamı oluşturan dikdörtgenler tamamen eğrinin altında kalır ve eğri altındaki toplam alandan daha küçük bir alan kaplar.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı ile belirli integral arasındaki eşitsizlik ilişkisi
Soru 2183Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2) dx+∫12f(5−2x) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{1}^{2} f(5 - 2x) \, dx = 10
ve
∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 83\frac{8}{3}

Cevap

Doğru cevap 83\frac{8}{3} değeridir.
Doğru değer olan 83\frac{8}{3}, her bir integral terimine sırasıyla uygun değişken değiştirmeleri uygulanıp sınırlar güncellendikten ve elde edilen doğrusal denklem sistemi çözüldükten sonra elde edilen değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral teriminde u=x2u = x^2 dönüşümü yapılır.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 olur. Bu durumda terim 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali daha basit bir formda ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
İkinci integral teriminde v=5−2xv = 5 - 2x dönüşümü yapılır.
dv=−2 dx  ⟹  dx=−dv2dv = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  v=3x = 1 \implies v = 3 ve x=2  ⟹  v=1x = 2 \implies v = 1 olur. Bu durumda terim ∫31f(v)(−dv2)=12∫13f(v) dv\int_{3}^{1} f(v) \left(-\frac{dv}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(v) \, dv haline gelir.
İkinci terimi de tek değişkenli integral biçiminde ifade edebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
3
Dönüşümler ilk denklemde yerine yazılır ve denklem düzenlenir.
12∫14f(x) dx+12∫13f(x) dx=10  ⟹  ∫14f(x) dx+∫13f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 elde edilir.
Denklemdeki katsayıları sadeleştirerek integraller arasındaki doğrusal bağıntı bulunur.
4
Belirli integralin parçalama özelliği ve verilen ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bilgisi kullanılarak denklem sistemi çözülür.
∫14f(x) dx=∫13f(x) dx+∫34f(x) dx=∫13f(x) dx+4\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4 yazılır. Bu ifade ortak denklemde yerine yazıldığında: (∫13f(x) dx+4)+∫13f(x) dx=20  ⟹  2∫13f(x) dx=16  ⟹  ∫13f(x) dx=8\left(\int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4\right) + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 \implies 2\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 16 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 bulunur.
Sistemdeki bilinmeyen integral değerleri belirlenir.
5
Sorulan ∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx integralinde w=x3+2w = x^3 + 2 dönüşümü yapılır.
dw=3x2 dx  ⟹  x2 dx=dw3dw = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{dw}{3} olur. Sınırlar: x=−1  ⟹  w=1x = -1 \implies w = 1 ve x=1  ⟹  w=3x = 1 \implies w = 3 olur. İntegral 13∫13f(w) dw=13⋅8=83\frac{1}{3} \int_{1}^{3} f(w) \, dw = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3} olarak hesaplanır.
Hedef integral ifadesi değişken değiştirme ile hesaplanabilir hale getirilir.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, dönüşüm formüllerini açıkça yazmak yerine diferansiyel terimlerini doğrudan içeriye taşıyarak (x dx=12d(x2)x \, dx = \frac{1}{2} d(x^2) ve dx=−12d(5−2x)dx = -\frac{1}{2} d(5-2x) vb.) integral doğrudan diferansiyel formunda da düzenlenebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2184Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(2−x)=4f(x) + f(2-x) = 4
eşitliğini sağlamaktadır.
g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt
olmak üzere,
g(4)−g(2)=10g(4) - g(2) = 10
olduğunu göre, g(−2)g(-2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Belirli integral özellikleri ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak doğru değer 2 olarak bulunur.
Doğru değer olan 2, belirli integralin sınır değiştirme ve değişken değiştirme kurallarının [2,4][2, 4] aralığına uygulanıp, u=2−tu = 2-t dönüşümü yapıldıktan sonra elde edilen ∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2 eşitliği ve g(−2)=−∫−20f(t) dtg(-2) = -\int_{-2}^{0} f(t) \, dt tanımı birleştirilerek bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(2)g(2) integral değerini hesaplamak için verilen fonksiyonel denklem [0,2][0, 2] aralığında entegre edilir.
g(2)=4g(2) = 4
f(x)+f(2−x)=4  ⟹  ∫02(f(x)+f(2−x)) dx=∫024 dx=8f(x) + f(2-x) = 4 \implies \int_{0}^{2} (f(x) + f(2-x)) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx = 8 elde edilir. Sol taraftaki ikinci integralde u=2−xu = 2-x değişken değiştirmesi yapılırsa ∫02f(2−x) dx=∫02f(u) du\int_{0}^{2} f(2-x) \, dx = \int_{0}^{2} f(u) \, du olur. Böylece 2∫02f(x) dx=8  ⟹  g(2)=42 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 8 \implies g(2) = 4 bulunur.
2
Verilen g(4)−g(2)=10g(4) - g(2) = 10 bilgisi kullanılarak [2,4][2, 4] aralığındaki belirli integral değeri tespit edilir.
∫24f(t) dt=10\int_{2}^{4} f(t) \, dt = 10
g(4)−g(2)=∫04f(t) dt−∫02f(t) dt=∫24f(t) dtg(4) - g(2) = \int_{0}^{4} f(t) \, dt - \int_{0}^{2} f(t) \, dt = \int_{2}^{4} f(t) \, dt olduğundan bu değer doğrudan 1010 olarak bulunur.
3
∫24f(t) dt\int_{2}^{4} f(t) \, dt integralinde u=2−tu = 2-t değişken değiştirmesi yapılarak sınırların [−2,0][-2, 0] aralığına taşınması sağlanır.
∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2
u=2−t  ⟹  dt=−duu = 2-t \implies dt = -du olur. Sınırlar için: t=2  ⟹  u=0t = 2 \implies u = 0 ve t=4  ⟹  u=−2t = 4 \implies u = -2 olur. Buradan,
∫24f(t) dt=∫0−2f(2−u)(−du)=∫−20f(2−u) du\int_{2}^{4} f(t) \, dt = \int_{0}^{-2} f(2-u) (-du) = \int_{-2}^{0} f(2-u) \, du
elde edilir. f(2−u)=4−f(u)f(2-u) = 4 - f(u) eşitliği yerine yazıldığında:
∫−20(4−f(u)) du=10  ⟹  [4u]−20−∫−20f(u) du=10  ⟹  8−∫−20f(u) du=10  ⟹  ∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} (4 - f(u)) \, du = 10 \implies \left[ 4u \right]_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0} f(u) \, du = 10 \implies 8 - \int_{-2}^{0} f(u) \, du = 10 \implies \int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2 bulunur.
4
g(−2)g(-2) değeri, integral sınırlarının yönü dikkate alınarak hesaplanır.
g(−2)=2g(-2) = 2
g(−2)=∫0−2f(t) dt=−∫−20f(t) dtg(-2) = \int_{0}^{-2} f(t) \, dt = -\int_{-2}^{0} f(t) \, dt olduğundan, bir önceki adımda bulunan −2-2 değeri yerine yazıldığında g(−2)=−(−2)=2g(-2) = -(-2) = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi, integral sınırlarının güncellenmesi ve fonksiyon simetrilerinin belirli integral üzerindeki etkileri.
Soru 2185Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x=x0x = x_0 noktasında sürekli olan bir ff fonksiyonu ile her gerçel sayı değeri için süreksiz olan bir gg fonksiyonunun bileşkesi olan (g∘f)(g \circ f) fonksiyonu da x=x0x = x_0 noktasında kesinlikle süreksizdir ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen bileşke fonksiyon iddia edildiği gibi kesinlikle süreksiz olmak zorunda değildir; sürekli de olabilir. Bu nedenle ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır. Sürekli bir sabit fonksiyon ile her noktada süreksiz olan bir fonksiyonun bileşkesi, her noktada sürekli olan sabit bir fonksiyon oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını ve verilen süreklilik koşullarını analiz edin.
ff fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında süreklidir. gg fonksiyonu ise tanım kümesindeki hiçbir noktada sürekli değildir. Bizden (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) fonksiyonunun x0x_0 noktasındaki süreklilik durumu istenmektedir.
Bileşke fonksiyonun yapısını belirleyerek analiz adımlarını oluşturmak.
2
İçteki sürekli ff fonksiyonunu sabit bir fonksiyon olarak seçerek karşıt örnek kurgulayın.
f(x)=cf(x) = c (c∈Rc \in \mathbb{R}) sabit fonksiyonunu seçelim. Sabit fonksiyonlar tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan, bu fonksiyon x0x_0 noktasında da süreklidir.
Sabit fonksiyonların süreklilik özelliğinden yararlanarak dıştaki süreksiz fonksiyonun etkisini sınırlandırmak.
3
Seçilen ff fonksiyonu ile bileşke fonksiyonu hesaplayın ve sürekliliğini inceleyin.
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(c)(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(c) olur. g(c)g(c) değeri bir gerçel sayı sabitidir (örneğin kk). Bu durumda (g∘f)(x)=k(g \circ f)(x) = k sabit fonksiyonu elde edilir. Sabit fonksiyonlar her noktada sürekli olduğundan, bileşke fonksiyon x=x0x = x_0 noktasında süreklidir. Bu durum, verilen genel iddianın her zaman doğru olmadığını gösterir.
Bileşke fonksiyonun sürekli olabileceğini göstererek önermenin yanlışlığını kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve karşıt örnek yöntemiyle önermelerin yanlışlanması
Soru 2186Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Kesişim noktaları x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak belirlendikten sonra, [−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar ayrı ayrı integral ile hesaplanır. Fonksiyonların simetrik yapısından dolayı her iki bölgenin alanı da 4 birimkaredir. Dolayısıyla toplam alan 8 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kesişim noktaları x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak elde edilir.
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği apsis değerlerinin hesaplanması gerekir.
2
Kesişim noktaları arasındaki aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğunu analiz edin.
[−2,0][-2, 0] aralığında x3−3x≥xx^3 - 3x \geq x iken [0,2][0, 2] aralığında x≥x3−3xx \geq x^3 - 3x olur.
İntegral ile alan hesabı yapılırken üst sınırda yer alan fonksiyondan alt sınırda yer alan fonksiyon çıkarılır.
3
Belirlenen aralıklarda integral alarak alanları ayrı ayrı hesaplayın.
[0,2][0, 2] aralığındaki alan ∫02(4x−x3) dx=[2x2−x44]02=4\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4 birimkare bulunur. Simetriden dolayı [−2,0][-2, 0] aralığındaki alan da 4 birimkaredir.
Her bir sınırlı bölgenin alanı, eğrilerin farkının belirli integrali alınarak bulunur.
4
Elde edilen alan değerlerini toplayarak toplam alanı bulun.
Toplam Alan = 4+4=84 + 4 = 8 birimkaredir.
Eğriler arasında kalan tüm sınırlı bölgelerin toplam alanını bulmak için ayrı ayrı hesaplanan alanlar toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktaları sınır kabul edilerek, üstteki fonksiyon ile alttaki fonksiyonun farkının belirli integrali alınarak hesaplanır.
Soru 2187Soru →
Her xx gerçel sayısı için f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu,
lim⁡x→2f(x)x2−4=3\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2 - 4} = 3
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -11

Cevap

−11-11
Limit değerinin gerçel sayı olması, payda sıfıra giderken payın da sıfıra gitmesini gerektirir. Bu durum, f(x)f(x) fonksiyonunun (x−2)(x-2) çarpanına sahip olduğunu gösterir. Çarpanlar sadeleştirilip limit hesaplandığında fonksiyon f(x)=(x−2)(x+10)f(x) = (x-2)(x+10) olarak belirlenir ve buradan f(1)=−11f(1) = -11 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değerinin bir gerçel sayı olması için belirsizlik durumunun belirlenmesi
x→2x \to 2 iken payda sıfıra yaklaştığından (22−4=02^2 - 4 = 0), limitin bir gerçel sayı (3) çıkabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Dolayısıyla, f(2)=0f(2) = 0 olmalıdır.
Payda sıfır iken pay sıfırdan farklı bir sayı olursa limit tanımsız ya da sonsuz olur. Limitin gerçel sayı olması ancak 0/00/0 belirsizliğinin bulunmasıyla mümkündür.
2
Fonksiyonun çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılması ve limitin hesaplanması
f(2)=0f(2) = 0 olduğundan, f(x)f(x) fonksiyonunun çarpanlarından biri (x−2)(x-2)'dir. Başkatsayısı 11 olan ikinci dereceden bir fonksiyon olduğu için fonksiyonu f(x)=(x−2)(x−k)f(x) = (x-2)(x-k) şeklinde yazabiliriz. Bu durumda limit:
lim⁡x→2(x−2)(x−k)(x−2)(x+2)=lim⁡x→2x−kx+2=2−k4=3\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-k)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-k}{x+2} = \frac{2-k}{4} = 3
Buradan 2−k=12  ⟹  k=−102-k = 12 \implies k = -10 bulunur.
Ortak çarpan olan (x−2)(x-2) sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve ardından xx yerine 22 yazılarak limit değeri elde edilir.
3
Fonksiyonun denkleminin yazılması ve f(1)f(1) değerinin hesaplanması
k=−10k = -10 değeri yerine yazıldığında fonksiyon f(x)=(x−2)(x+10)f(x) = (x-2)(x+10) olur. İstenen f(1)f(1) değeri:
f(1)=(1−2)(1+10)=(−1)⋅11=−11f(1) = (1-2)(1+10) = (-1) \cdot 11 = -11
olarak bulunur.
Fonksiyonun tam denklemi elde edildikten sonra istenen noktadaki değeri doğrudan değişken yerine yazılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilmesi ve belirsizlik durumunda payda sıfıra giderken limitin var olması için payın da sıfıra gitmesi gerekliliği.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2188Soru →
∫12x(x2−1)3 dx\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 818\frac{81}{8}

Cevap

İntegralin doğru değeri 81/8'dir.
u=x2−1u = x^2 - 1 dönüşümü yapıldığında du=2x dxdu = 2x \, dx olur ve buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. Sınırlar x=1x = 1 için u=0u = 0 ve x=2x = 2 için u=3u = 3 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫03u3 du\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^3 \, du haline gelir ve hesaplandığında 818\frac{81}{8} sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme için dönüşüm tanımlanır ve diferansiyel hesabı yapılır.
u=x2−1u = x^2 - 1 ve du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x(x2−1)3 dxx(x^2 - 1)^3 \, dx ifadesini uu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12−1=0x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0, üst sınır için x=2  ⟹  u=22−1=3x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3
İntegral değişkeni xx'ten uu'ya geçtiği için sınırların da uu değişkeninin aldığı değerlerle değiştirilmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral hesaplanır.
∫03u3du2=12[u44]03=12(814−0)=818\int_{0}^{3} u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{81}{4} - 0 \right) = \frac{81}{8}
Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralları uygulanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integralin içi hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 2189Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫53f(x) dx=−4\int_{5}^{3} f(x) \, dx = -4

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13(f(x)+2) dx\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen belirli integrallerin sınır bölme özelliği kullanılarak ∫13f(x) dx=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 olarak elde edilir. İstenen integralde yer alan sabit 2 sayısının [1,3][1, 3] aralığındaki belirli integrali ise 2×(3−1)=42 \times (3 - 1) = 4 olur. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç olan 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin sınır bölme özelliğini uygulayarak ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx integralini bulunuz.
∫13f(x) dx=∫15f(x) dx+∫53f(x) dx=12+(−4)=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{3} f(x) \, dx = 12 + (-4) = 8
Belirli integralin sınır özellikleri gereği, herhangi bir sürekli fonksiyon için ∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\int_{a}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx eşitliği geçerlidir.
2
Sorulan integral ifadesini doğrusal (lineer) özelliklerini kullanarak iki ayrı integral olarak yazınız.
∫13(f(x)+2) dx=∫13f(x) dx+∫132 dx\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} 2 \, dx
İntegral işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
3
Sabit terimin belirli integralini hesaplayıp toplam değeri bulunuz.
∫132 dx=2⋅(3−1)=4\int_{1}^{3} 2 \, dx = 2 \cdot (3 - 1) = 4
∫13(f(x)+2) dx=8+4=12\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx = 8 + 4 = 12
Bir sabit cc sayısının [a,b][a, b] aralığındaki belirli integrali c(b−a)c(b - a) formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralin sınır bölme özelliği ve doğrusal (lineer) özellikleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2190Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={ax2+bx+4,x<3∣x2−5∣,x≥3f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 4, & x < 3 \\ |x^2 - 5|, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonu her gerçel sayı için türevlenebilir olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

−12-12
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olması için kritik nokta olan x=3x = 3 noktasında sürekli ve türevlenebilir olması gerekir. Süreklilik şartından 3a+b=03a + b = 0, türevlenebilirlik şartından ise 6a+b=66a + b = 6 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=2a = 2 ve b=−6b = -6 bulunur. Buradan çarpımları −12-12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik Şartının İncelenmesi
9a+3b+4=4  ⟹  3a+b=09a + 3b + 4 = 4 \implies 3a + b = 0 denklemine ulaşılır.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması zorunludur.
2
Türevlenebilirlik Şartının İncelenmesi
6a+b=66a + b = 6 denklemine ulaşılır.
Türevlenebilirlik için limit noktasındaki sağ ve sol türev değerleri birbirine eşit olmalıdır.
3
Denklem Sisteminin Çözülmesi ve Sonuç
a=2a = 2, b=−6b = -6 bulunur ve buradan a⋅b=−12a \cdot b = -12 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi taraf tarafa çıkarma yöntemiyle çözülebilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Alternatif Yöntem

Türevlenebilirlik tanımı limit formülü kullanılarak da sağdan ve soldan limitlerle türevler hesaplanabilir. Ancak pratik olarak sağ ve sol dalların türev fonksiyonlarının limitleri alınarak eşitleme yapmak daha hızlı bir çözüm sunar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2191Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx parabolünün üzerindeki A(1,3)A(1, 3) noktasından çizilen teğet doğrusu xx-eksenini x=−2x = -2 noktasında kesmektedir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Doğru cevap -10'dur.
Teğet doğrusunun geçtiği bilinen iki nokta olan (1, 3) ve (-2, 0) kullanılarak doğrunun eğimi 1 olarak hesaplanır. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki türevi f'(1) = 2a + b bu eğime eşitlenerek 2a + b = 1 denklemi bulunur. Ayrıca A(1, 3) noktası fonksiyonun üzerinde olduğu için a + b = 3 eşitliği sağlanır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a = -2 ve b = 5 elde edilir, çarpımları ise -10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A(1, 3) noktasının parabol üzerinde bulunması bilgisini kullanmak.
f(1)=a(1)2+b(1)=a+b=3f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b = 3 denklemi elde edilir.
Bir eğri üzerindeki nokta, o eğrinin denklemini sağlamak zorundadır.
2
Teğet doğrusunun eğimini iki noktası bilinen doğrunun eğim formülüyle hesaplamak.
Teğet doğrusu A(1,3)A(1, 3) ve (−2,0)(-2, 0) noktalarından geçtiği için eğimi m=3−01−(−2)=1m = \frac{3 - 0}{1 - (-2)} = 1 olur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin e��imini belirlemek için doğrunun geçtiği diğer nokta olan xx-eksenini kestiği nokta kullanılır.
3
Fonksiyonun türevini alıp teğet noktasındaki eğime eşitlemek.
f′(x)=2ax+b⇒f′(1)=2a+b=1f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(1) = 2a + b = 1 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek ve parametrelerin çarpımını bulmak.
a+b=3a + b = 3 ve 2a+b=12a + b = 1 denklemlerinden a=−2a = -2 ve b=5b = 5 bulunur. Buradan a⋅b=−10a \cdot b = -10 elde edilir.
Bilinmeyen aa ve bb değerlerini bulup bizden istenen çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Soru 2192Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−2x2+3f(x) = x^3 - 2x^2 + 3
eğrisinin A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasında dik kesmektedir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Teğet doğrusunun eğimi -0.5'tir.
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri kökler toplamı ilişkisinden b=2−2ab = 2-2a olarak bulunur. AA noktasındaki teğet eğimi m=3a2−4am = 3a^2 - 4a iken, BB noktasındaki türev f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m+1) olur. Doğrunun BB noktasında eğriyi dik kesmesi m⋅f′(b)=−1m \cdot f'(b) = -1 şartını gerektirir. Bu denklemin çözümü (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 olup, teğet doğrusunun eğimi -0.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
b=2−2ab = 2 - 2a
Teğet doğrusunun denklemi ile eğrinin denkleminin ortak çözümünden elde edilen kübik denklemin kökleri aa (çift katlı) ve bb olup, kökler toplamı formülünden 2a+b=22a + b = 2 olur.
2
AA noktasındaki teğet eğimini aa parametresine bağlı olarak yazmak.
m=3a2−4am = 3a^2 - 4a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
BB noktasındaki türev değerini mm cinsinden ifade etmek.
f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m + 1)
b=2−2ab = 2 - 2a değeri f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x fonksiyonunda yerine yazılarak sadeleştirme yapılır.
4
Teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımının −1-1 olmasından yararlanarak mm değerini bulmak.
m=−0.5m = -0.5
f′(a)⋅f′(b)=−1⇒m⋅4(m+1)=−1f'(a) \cdot f'(b) = -1 \Rightarrow m \cdot 4(m+1) = -1 denklemi çözüldüğünde elde edilen (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 tam kare ifadesinden tek bir reel mm değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğimleri arasındaki ilişki ve eğrilerin kesişim noktalarının analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2193Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−6x2+9x+kf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k
fonksiyonunun yerel maksimum noktası AA, yerel minimum noktası BB'dir.

AA ve BB noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine göre, kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6
Doğru cevap −6-6'dır. f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x=1x=1 ve x=3x=3 noktaları yerel ekstremum noktalarının apsisleridir. Bu apsisler fonksiyonda yerine yazıldığında ekstremum noktaları A(1,k+4)A(1, k+4) ve B(3,k)B(3, k) olarak elde edilir. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi −2-2 ve denklemi y=−2x+6+ky = -2x + 6 + k olur. Doğru orijinden geçtiği için sabit terimi sıfır olmalıdır, buradan 6+k=0  ⟹  k=−66 + k = 0 \implies k = -6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleme.
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) elde edilir. Türevin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktalarının apsis adaylarıdır.
2
Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının koordinatlarını bulma.
x=1x = 1 için yerel maksimum noktası A(1,k+4)A(1, k+4) ve x=3x = 3 için yerel minimum noktası B(3,k)B(3, k) olarak bulunur.
Apsisleri fonksiyonda yerine yazarak ekstremum noktalarının ordinatlarını kk cinsinden elde etmek gerekir.
3
İki noktadan geçen doğrunun denklemini yazma.
A(1,k+4)A(1, k+4) ve B(3,k)B(3, k) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=k−(k+4)3−1=−2m = \frac{k - (k+4)}{3-1} = -2 olur. Doğrunun denklemi y−k=−2(x−3)  ⟹  y=−2x+6+ky - k = -2(x - 3) \implies y = -2x + 6 + k olarak bulunur.
Ekstremum noktalarından geçen doğruyu tanımlamak için iki noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılır.
4
Doğrunun orijinden geçmesi şartını uygulayarak kk değerini bulma.
Doğru (0,0)(0,0) noktasından geçtiği için 0=−2(0)+6+k  ⟹  k=−60 = -2(0) + 6 + k \implies k = -6 bulunur.
Orijinden geçen doğruların denklemleri y=mxy = mx formundadır, yani sabit terimleri sıfır olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevini kullanarak yerel ekstremum noktalarını bulma ve bu noktalar yardımıyla analitik geometri kurallarını uygulama.
Soru 2194Soru →

(2,∞)(2, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için

f(x)=∫x3+3x2−4x−12x2−4 dxf(x) = \int \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 - 4} \, dx

eşitliği veriliyor.

f(4)=24f(4) = 24 olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Doğru cevap 40'tır.
İntegral içerisindeki rasyonel ifadenin payı gruplandırılarak çarpanlarına ayrıldığında (x2−4)(x+3)(x^2 - 4)(x + 3) elde edilir. Paydadaki terim ile sadeleştiğinde geriye kalan x+3x + 3 ifadesinin belirsiz integrali alındığında f(x)=x22+3x+Cf(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C fonksiyonuna ulaşılır. Verilen sınır koşulundan integral sabiti C=4C = 4 olarak hesaplanır. Tanımlanan fonksiyonda değer yerine yazılarak doğru sonuç olan 40 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadenin pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
x3+3x2−4x−12=x2(x+3)−4(x+3)=(x2−4)(x+3)x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x^2 - 4)(x + 3) olduğundan, rasyonel ifade (x2−4)(x+3)x2−4=x+3\frac{(x^2 - 4)(x + 3)}{x^2 - 4} = x + 3 şeklinde sadeleşir.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek gerekir.
2
Sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini hesaplayarak fonksiyon kuralını oluşturun.
f(x)=∫(x+3) dx=x22+3x+Cf(x) = \int (x + 3) \, dx = \frac{x^2}{2} + 3x + C elde edilir.
Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel kuralı ve integral sabiti belirlenir.
3
Verilen sınır koşulunu kullanarak integral sabitini hesaplayın.
f(4)=422+3(4)+C=20+C=24f(4) = \frac{4^2}{2} + 3(4) + C = 20 + C = 24 eşitliğinden C=4C = 4 bulunur.
Fonksiyonun kuralını tam olarak elde etmek için integral sabitinin bulunması gerekir.
4
Elde edilen fonksiyon kuralında istenen x değerini yerine yazarak sonucu hesaplayın.
f(6)=622+3(6)+4=18+18+4=40f(6) = \frac{6^2}{2} + 3(6) + 4 = 18 + 18 + 4 = 40 bulunur.
Soruda bizden istenen hedef değeri elde etmek için fonksiyon kuralı kullanılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Soru 2195Soru →

Her x∈Rx \in \mathbb{R} için sürekli olan bir ff fonksiyonu,

f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6

eşitliğini sağlamaktadır.
∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10

olduğuna göre,

∫14f(x) dx\int_{1}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin değeri 8 olarak bulunur.
Verilen f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 fonksiyonel eşitliğinin [0,3][0, 3] aralığındaki integrali alındığında, belirli integralin lineerlik ve değişken değiştirme özellikleri kullanılarak ∫03f(x) dx+∫14f(x) dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 eşitliğine ulaşılır. Burada ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değeri yerine yazıldığında, aranan integralin değeri 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının [0,3][0, 3] aralığında belirli integralini alın.
∫03f(x) dx+∫03f(4−x) dx=∫036 dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{0}^{3} 6 \, dx = 18
Verilen belirli integral sınırları [0,3][0, 3] olduğundan, bu aralıkta entegrasyon yaparak verilen bilgileri kullanmayı hedefleriz.
2
Sol taraftaki ikinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=−dxdu = -dx ve yeni sınırlar: x=0  ⟹  u=4x = 0 \implies u = 4, x=3  ⟹  u=1x = 3 \implies u = 1 olur.
İntegral sınırlarını hedeflediğimiz [1,4][1, 4] aralığıyla ilişkilendirmek ve fonksiyonun içini basitleştirmek.
3
Değişken değiştirmeyi ikinci integrale uygulayarak basitleştirin.
∫03f(4−x) dx=∫41f(u)(−du)=∫14f(u) du=∫14f(x) dx\int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{4}^{1} f(u) (-du) = \int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(x) \, dx
Belirli integralin sınır değiştirme özelliği (eksi işaretinin sınırları ters çevirmesi) ve değişken adının integralin değerini etkilememesi.
4
Elde edilen sonuçları ana denklemde yerine yazarak hedef integrali hesaplayın.
10+∫14f(x) dx=18  ⟹  ∫14f(x) dx=810 + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
Verilen ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değerini yerine yazarak bilinmeyen integrali çekmek.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve integral sınırlarının güncellenmesi ile integralin lineerlik özellikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2196Soru →
(1,∞)(1, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(x)=∫x7/2−x1/2x3/2−x1/2 dxf(x) = \int \frac{x^{7/2} - x^{1/2}}{x^{3/2} - x^{1/2}} \, dx
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=6f(2) = 6 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 956\frac{95}{6}

Cevap

956\frac{95}{6}
İntegral içerisindeki ifade x1/2x^{1/2} ve (x−1)(x-1) çarpanlarına göre sadeleştirildiğinde x2+x+1x^2+x+1 polinomuna dönüşür. Bu ifadenin integral kurallarına göre entegre edilmesiyle elde edilen genel kuralda, f(2)=6f(2)=6 koşulu uygulanarak integral sabiti C=−23C = -\frac{2}{3} olarak bulunur. Bu aşamadan sonra fonksiyonda x=3x=3 yazıldığında rasyonel işlemler sonucu doğru yanıt olan 956\frac{95}{6} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
x2+x+1x^2 + x + 1
İfadeyi temel integral alma kurallarına uygun hale getirmek için payı x1/2(x3−1)x^{1/2}(x^3 - 1) ve paydayı x1/2(x−1)x^{1/2}(x - 1) olarak yazıp sadeleştiririz. x>1x > 1 olduğundan iki küp farkı açılımıyla (x3−1)/(x−1)=x2+x+1(x^3 - 1) / (x - 1) = x^2 + x + 1 elde edilir.
2
Sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini alın.
f(x)=x33+x22+x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C
Polinom fonksiyonların integral alma kuralı olan üssü 1 artırıp yeni üsse bölme kuralını her bir terim için ayrı ayrı uygularız.
3
f(2)=6f(2) = 6 sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (CC) bulun.
C=−23C = -\frac{2}{3}
Genel fonksiyon kuralında x=2x = 2 yazıp ifadeyi 6'ya eşitleyerek CC sabitinin değerini netleştiririz: 83+2+2+C=6  ⟹  203+C=6  ⟹  C=−23\frac{8}{3} + 2 + 2 + C = 6 \implies \frac{20}{3} + C = 6 \implies C = -\frac{2}{3}.
4
Bulunan fonksiyon kuralında x=3x = 3 yazarak istenen değeri hesaplayın.
f(3)=956f(3) = \frac{95}{6}
Soruda istenen f(3)f(3) değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 3 yazarız: f(3)=273+92+3−23=12+92−23=956f(3) = \frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 3 - \frac{2}{3} = 12 + \frac{9}{2} - \frac{2}{3} = \frac{95}{6}.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, cebirsel sadeleştirme ve integral sabiti bulma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2197Soru →

[0,3][0, 3] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu aralık, her birinin uzunluğu 11 birim olan 33 eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı, Riemann alt toplamından kaç birimkare fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark 99 birimkaredir.
Fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve azalandır. Genişliği 11 birim olan 33 eş alt aralık için Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak 2222 birimkare, Riemann alt toplamı ise sağ uç noktalar kullanılarak 1313 birimkare olarak elde edilir. Bu iki değer arasındaki fark 99 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Aralığı ve alt aralıkları belirleme
[0,3][0, 3] aralığı 33 eş parçaya bölündüğünde her bir alt aralığın genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1 birim olur. Alt aralıklar sırasıyla [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamını hesaplamak için öncelikle bölüntü noktalarını ve aralık genişliğini bulmamız gerekir.
2
Fonksiyon değerlerini uç noktalarda hesaplama
f(0)=9−02=9f(0) = 9 - 0^2 = 9, f(1)=9−12=8f(1) = 9 - 1^2 = 8, f(2)=9−22=5f(2) = 9 - 2^2 = 5 ve f(3)=9−32=0f(3) = 9 - 3^2 = 0 bulunur.
Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak olan fonksiyon yüksekliklerini belirlemek için uç noktalardaki değerleri hesaplamalıyız.
3
Riemann üst toplamını hesaplama
f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 fonksiyonu [0,3][0, 3] aralığında azalan olduğu için her bir alt aralıktaki maksimum değer sol uç noktada gerçekleşir. Riemann üst toplamı: U=Δx⋅[f(0)+f(1)+f(2)]=1⋅[9+8+5]=22U = \Delta x \cdot [f(0) + f(1) + f(2)] = 1 \cdot [9 + 8 + 5] = 22 birimkaredir.
Azalan fonksiyonlarda Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak hesaplanır.
4
Riemann alt toplamını hesaplama
Azalan fonksiyonda her bir alt aralıktaki minimum değer sağ uç noktada gerçekleşir. Riemann alt toplamı: L=Δx⋅[f(1)+f(2)+f(3)]=1⋅[8+5+0]=13L = \Delta x \cdot [f(1) + f(2) + f(3)] = 1 \cdot [8 + 5 + 0] = 13 birimkaredir.
Azalan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı sağ uç noktalar kullanılarak hesaplanır.
5
Üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulma
U−L=22−13=9U - L = 22 - 13 = 9 birimkare bulunur.
Riemann üst toplamının alt toplamdan kaç birimkare fazla olduğunu bulmak için iki değeri birbirinden çıkarırız.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının monoton (azalan) fonksiyonlarda uç noktalar yardımıyla hesaplanması ve aralarındaki farkın bulunması.
Soru 2198Soru →

Aşağıda sınırları verilen sınırlı bölgelerin alanlarını, bu alanları veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde y=x2−2xy = x^2 - 2x ve y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında x≥0x \geq 0 için kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde x=y2−1x = y^2 - 1 parabolü ile x=y+1x = y + 1 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge integral olan 8x - 2x^2 fonksiyonunun 0'dan 4'e integraliyle; ikinci bölge 4x - x^3 fonksiyonunun 0'dan 2'ye integraliyle; üçüncü bölge ise 2 + y - y^2 fonksiyonunun -1'den 2'ye y'ye göre integraliyle eşleşir.
Verilen her üç durumda da integral sınırları, eğrilerin kesişim noktalarının çözülmesiyle doğru bir şekilde elde edilmiştir. x eksenine göre integral alınan ilk iki durumda üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılmış; y eksenine göre integral alınan üçüncü durumda ise sağdaki doğrudan soldaki parabol çıkarılarak doğru integraller eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşleşme için parabollerin kesim noktalarını bulmak üzere denklemleri eşitleyin.
x2−2x=6x−x2⇒2x2−8x=0⇒x(2x−8)=0x^2 - 2x = 6x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(2x - 8) = 0 denkleminden sınırlar x=0x = 0 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarının apsisleri gereklidir.
2
İlk aralıkta hangi parabolün üstte olduğunu belirleyip alan integralini kurun.
[0,4][0, 4] aralığında y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolü üstte, y=x2−2xy = x^2 - 2x parabolü alttadır. Buradan alan ∫04((6x−x2)−(x2−2x)) dx=∫04(8x−2x2) dx\int_{0}^{4} ((6x - x^2) - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{4} (8x - 2x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın sınır değerleri arasındaki integraline eşittir.
3
İkinci eşle��me için x≥0x \geq 0 koşulunda kübik eğri ile doğrunun kesim noktalarını bulun ve integralini oluşturun.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) = 0 denkleminden x≥0x \geq 0 için sınırlar x=0x = 0 ve x=2x = 2 bulunur. Bu aralıkta y=xy = x doğrusu üstte olduğundan alan ∫02(x−(x3−3x)) dx=∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (x - (x^3 - 3x)) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Bölgenin sağlandığı aralıkta üstteki doğrunun denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak alan integrali kurulur.
4
Üçüncü eşleşme için y değişkenine göre entegrasyon yapmak üzere kesim noktalarının ordinatlarını bulun.
y2−1=y+1⇒y2−y−2=0⇒(y−2)(y+1)=0y^2 - 1 = y + 1 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0 denkleminden sınırlar y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olarak bulunur. Aralıkta sağdaki doğru (x=y+1x = y + 1), soldaki parabolden (x=y2−1x = y^2 - 1) büyük olduğundan alan ∫−12((y+1)−(y2−1)) dy=∫−12(2+y−y2) dy\int_{-1}^{2} ((y + 1) - (y^2 - 1)) \, dy = \int_{-1}^{2} (2 + y - y^2) \, dy şeklinde yazılır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları kesim noktalarının ordinatlarıdır ve sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla x veya y değişkenlerine göre ifade etme.
Soru 2199Soru →
Sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫24f(x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İntegralin değeri 3'tür.
Verilen fonksiyonel denklemde belirli integralin sınır değiştirme özelliği kullanıldığında integral değeri değişmez. Taraf tarafa toplama yapılarak tek bir integral altında birleştirilen ifadenin değeri hesaplanır ve ikiye bölünerek aranan değer olan 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integral sınırlarını ve değişkeni dönüştürmek.
∫24f(x) dx=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir.
x=6−ux = 6-u değişken değiştirmesi yapıldığında dx=−dudx = -du olur. Sınırlar x=2x=2 için u=4u=4 ve x=4x=4 için u=2u=2 olur. Böylece ∫24f(x) dx=∫42f(6−u)(−du)=∫24f(6−u) du=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{4}^{2} f(6-u) (-du) = \int_{2}^{4} f(6-u) \, du = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx bulunur.
2
İki integral ifadesini taraf tarafa toplamak.
2∫24f(x) dx=∫24(f(x)+f(6−x)) dx2 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} (f(x) + f(6-x)) \, dx elde edilir.
Soru kökündeki denklemi kullanabilmek amacıyla integralin doğrusal (lineer) özelliğinden faydalanarak iki özdeş integrali toplarız.
3
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29 ifadesini yerine yazarak integral değerini hesaplamak.
2∫24f(x) dx=62 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 ve buradan ∫24f(x) dx=3\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 3 bulunur.
Polinom integral alma kuralı uygulanarak [x3−9x2+29x]24=(64−144+116)−(8−36+58)=36−30=6[x^3 - 9x^2 + 29x]_2^4 = (64 - 144 + 116) - (8 - 36 + 58) = 36 - 30 = 6 hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların yansıması (değişken değiştirme) ve doğrusal toplama özellikleri.
Soru 2200Soru →
∫12(3x−2)2 dx\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Belirli integralin değeri 7'dir.
Doğru seçenekte verilen değer, u=3x−2u = 3x - 2 dönüşümü yapılarak sınırların u=1u=1 ve u=4u=4 olarak güncellenmesi ve dx=du3dx = \frac{du}{3} diferansiyeli kullanılarak integralin 13∫14u2 du=7\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^2 \, du = 7 olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=3x−2u = 3x - 2 dönüşümü yapılır.
Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=3 dxdu = 3 \, dx ve buradan dx=du3dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegrali daha kolay hesaplanabilir bir değişkene dönüştürmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=3(1)−2=1x = 1 \implies u = 3(1) - 2 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=3(2)−2=4x = 2 \implies u = 3(2) - 2 = 4 olur.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.
3
Yeni değişken ve sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫12(3x−2)2 dx=∫14u2⋅du3=13[u33]14=19(43−13)=639=7\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx = \int_{1}^{4} u^2 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{9} (4^3 - 1^3) = \frac{63}{9} = 7 elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru yazılması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 110 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin