Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2201Soru →
lim⁡x→1f(x)−2x−1=3 \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 3
ve
lim⁡x→1(g(x)⋅(x2−1))=4 \lim_{x \to 1} \left( g(x) \cdot (x^2 - 1) \right) = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→1(f(x)⋅g(x)−2g(x)) \lim_{x \to 1} \left( f(x) \cdot g(x) - 2g(x) \right)
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen limitin değeri 6 olarak bulunur.
İstenen limit ifadesi g(x)⋅(f(x)−2)g(x) \cdot (f(x) - 2) şeklinde ortak paranteze alındıktan sonra, f(x)−2x−1\frac{f(x)-2}{x-1} ve g(x)⋅(x−1)g(x) \cdot (x-1) limit bileşenlerine ayrıştırılır. Verilen limit eşitliklerinden bu bileşenlerin limit değerleri sırasıyla 33 ve 22 olarak hesaplanır. Bu iki değerin çarpımı bize doğru sonuç olan 66 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen limit ifadesini ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
lim⁡x→1(f(x)⋅g(x)−2g(x))=lim⁡x→1[(f(x)−2)⋅g(x)]\lim_{x \to 1} \left( f(x) \cdot g(x) - 2g(x) \right) = \lim_{x \to 1} \left[ (f(x) - 2) \cdot g(x) \right] elde edilir.
Limit kurallarını ve verilen eşitlikleri kullanabilmek amacıyla ifadeyi ortak terim parantezine almak işlemi kolaylaştırır.
2
Elde edilen ifadeyi, verilen birinci limit ifadesini kullanabilmek için (x−1)(x-1) terimiyle çarpıp bölün.
lim⁡x→1[f(x)−2x−1⋅g(x)⋅(x−1)]\lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x) - 2}{x - 1} \cdot g(x) \cdot (x - 1) \right] ifadesi oluşur. Limit özelliklerine göre bu ifade iki ayrı limitin çarpımı olarak yazılabilir:
(lim⁡x→1f(x)−2x−1)⋅(lim⁡x→1[g(x)⋅(x−1)])\left( \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 1} \left[ g(x) \cdot (x - 1) \right] \right)
Birinci limit değeri olan lim⁡x→1f(x)−2x−1=3\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 3 ifadesini nihai hesaplamaya dahil edebilmek için bu düzenleme gereklidir.
3
Verilen ikinci limit ifadesini çarpanlarına ayırarak lim⁡x→1[g(x)cdot(x−1)]\lim_{x \to 1} [g(x) cdot (x - 1)] değerini hesaplayın.
lim⁡x→1(g(x)cdot(x2−1))=lim⁡x→1(g(x)cdot(x−1)cdot(x+1))=4\lim_{x \to 1} \left( g(x) cdot (x^2 - 1) \right) = \lim_{x \to 1} \left( g(x) cdot (x - 1) cdot (x + 1) \right) = 4 olarak verilmiştir.

x→1x \to 1 için (x+1)→2(x+1) \to 2 olduğundan limit özelliklerine göre:
lim⁡x→1[g(x)cdot(x−1)]cdotlim⁡x→1(x+1)=4  ⟹  lim⁡x→1[g(x)cdot(x−1)]cdot2=4  ⟹  lim⁡x→1[g(x)cdot(x−1)]=2\lim_{x \to 1} \left[ g(x) cdot (x - 1) \right] cdot \lim_{x \to 1} (x + 1) = 4 \implies \lim_{x \to 1} \left[ g(x) cdot (x - 1) \right] cdot 2 = 4 \implies \lim_{x \to 1} \left[ g(x) cdot (x - 1) \right] = 2 bulunur.
x2−1x^2-1 ifadesi iki kare farkı özdeşliği kullanılarak açılır ve limit değeri bilinen bileşen yardımıyla aranan limit değeri elde edilir.
4
Bulunan limit değerlerini çarpım durumundaki ifadede yerlerine yazarak sonucu hesaplayın.
3⋅2=63 \cdot 2 = 6 elde edilir.
Parçaların limit değerlerinin çarpımı, çarpım şeklindeki ifadenin limitini verir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Şeklindeki Fonksiyonların Limit Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2202Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+6x+2f(x) = -x^2 + 6x + 2 parabolünün tepe noktasının apsisi rr olarak verilmiştir. Buna göre, y=f(x)y = f(x) parabolü ile y=rx+2y = rx + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

92(dokuzbo¨lu¨iki)\frac{9}{2} (dokuz bölü iki)
Parabolün tepe noktasının apsisi r=3r = 3 olarak hesaplanır. Buradan doğrunun denklemi y=3x+2y = 3x + 2 olur. Parabol ile doğrunun kesişim noktaları ortak çözüm denkleminden x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak belirlenir. Bu aralıkta üstteki eğriden (parabolden) alttaki eğri (doğru) çıkarılarak [0,3][0, 3] aralığında alınan belirli integral, alan değerini 92\frac{9}{2} birimkare olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulunuz.
f(x)=−x2+6x+2f(x) = -x^2 + 6x + 2 parabolünde a=−1a = -1 ve b=6b = 6 olduğundan, tepe noktasının apsisi r=−b2a=−62(−1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3 olur.
Soruda tanımlanan doğrunun denklemi tepe noktasının apsisi rr değerine bağlıdır.
2
Elde edilen r=3r = 3 değerini yerine yazarak doğrunun denklemini bulunuz.
Doğrunun denklemi y=rx+2  ⟹  y=3x+2y = rx + 2 \implies y = 3x + 2 olarak bulunur.
İki eğrinin kesişim noktalarını belirleyebilmek için doğrunun tam denklemine ihtiyaç vardır.
3
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını ortak çözüm yaparak bulunuz.
−x2+6x+2=3x+2  ⟹  −x2+3x=0  ⟹  x(3−x)=0-x^2 + 6x + 2 = 3x + 2 \implies -x^2 + 3x = 0 \implies x(3-x) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x1=0x_1 = 0 ve x2=3x_2 = 3 olarak elde edilir.
İki eğri arasında kalan bölgenin integral sınırlarını belirlemek için kesişim noktaları bulunmalıdır.
4
Belirli integral yardımıyla sınırlandırılan bölgenin alanını hesaplayınız.
Alan A=∫03((−x2+6x+2)−(3x+2)) dx=∫03(3x−x2) dx=[3x22−x33]03=(272−9)−0=92A = \int_0^3 \left( (-x^2 + 6x + 2) - (3x + 2) \right) \, dx = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \left( \frac{27}{2} - 9 \right) - 0 = \frac{9}{2} birimkare bulunur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak sınır değerler arasında alınan belirli integral ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2203Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 koşulunu sağlayan her ff fonksiyonu için lim⁡x→a∣f(x)∣f(x)\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{f(x)} limiti her zaman mevcuttur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 koşulunu sağlayan her fonksiyon için bu limit mevcut olmak zorunda değildir; fonksiyonun limit noktasında işaret değiştirmesi durumunda sağ ve sol limitler farklı çıkacağından limit mevcut olmaz.
Verilen ifade yanlıştır. lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 olduğunda lim⁡x→a∣f(x)∣f(x)\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{f(x)} limiti 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşturur. Ancak bu limitin varlığı f(x)f(x) fonksiyonunun x=ax=a noktasındaki davranışına bağlıdır. Örneğin f(x)=x−af(x) = x-a gibi işaret değiştiren bir fonksiyonda sağ limit 11 iken sol limit −1-1 olur. Bu durumda limit mevcut olamaz. Dolayısıyla ifadenin her zaman doğru olduğu iddiası yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit tanımını ve mutlak değer özelliğini hatırlayarak sağdan ve soldan limit incelemesi yapalım.
x→a+x \to a^+ için f(x)f(x) pozitif değerler alıyorsa ∣f(x)∣=f(x)|f(x)| = f(x) olur ve oran 11 çıkar. x→a−x \to a^- için f(x)f(x) negatif değerler alıyorsa ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x) olur ve oran −1-1 çıkar.
Mutlak değerli ifadelerin limitini incelerken kritik noktadaki işaret değişimleri sağ ve sol limitleri doğrudan etkiler.
2
Karşıt bir örnek vererek ifadenin her durumda geçerli olmadığını gösterelim.
f(x)=x−af(x) = x - a fonksiyonu için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 olur. Ancak lim⁡x→a+∣x−a∣x−a=1\lim_{x \to a^+} \frac{|x-a|}{x-a} = 1 ve lim⁡x→a−∣x−a∣x−a=−1\lim_{x \to a^-} \frac{|x-a|}{x-a} = -1 olduğundan, sağ ve sol limitler eşit değildir ve limit yoktur.
Tüm fonksiyonlar için geçerli olduğu iddia edilen bir önermeyi çürütmek için tek bir karşıt örnek sunmak yeterlidir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren limitlerde sağdan ve soldan limit incelemesi yapılarak belirsizliğin giderilmesi.
Soru 2204Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x3−3x2−9x+4f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının sayısı 5'tür.
Doğru cevap 5 olan seçenektir. Çünkü g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonu x=−5,−1,0,1,5x = -5, -1, 0, 1, 5 noktalarında yerel ekstremum değerleri alır. x=0x = 0 noktasında türev tanımlı olmamasına karşın fonksiyon süreklidir ve bu noktada yerel minimum değerine ulaşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınır ve kritik noktaları belirlenir.
f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1) = 0 denkleminden kritik noktalar x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türev sıfırdır ve işaret değiştirir.
2
f′(x)f'(x) ifadesinin işaret tablosuna göre ekstremum türleri incelenir.
x=−1x = -1 noktası yerel maksimum, x=3x = 3 noktası ise yerel minimum noktasıdır.
Türev tablosunda x=−1x = -1 noktasında türevin işareti artıdan eksiye (artanlıktan azalanlığa), x=3x = 3 noktasında ise eksiden artıya (azalanlıktan artanlığa) geçmektedir.
3
g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonunun çift fonksiyon özelliği kullanılarak pozitif bölgedeki ekstremumları aranır.
x>0x > 0 için g(x)=f(x−2)g(x) = f(x-2) olur. Bu durumda yerel ekstremum adayları x−2=−1  ⟹  x=1x-2 = -1 \implies x = 1 ve x−2=3  ⟹  x=5x-2 = 3 \implies x = 5 noktalarıdır. Her iki nokta da pozitif bölgede yer alır. Çift fonksiyon simetrisi sebebiyle negatif bölgede de x=−1x = -1 ve x=−5x = -5 noktaları ekstremumdur.
g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik olduğundan pozitif taraftaki ekstremumların simetriği negatif tarafta da mevcuttur.
4
x=0x = 0 noktasındaki yerel ekstremum durumu incelenir.
x=0x = 0 civarında ∣x∣−2≥−2|x| - 2 \ge -2 olur. f(u)f(u) fonksiyonunun [−2,−1][-2, -1] aralığındaki türevi pozitif olduğundan bu aralıkta artandır. Bu nedenle x=0x = 0 civarında g(x)=f(∣x∣−2)≥f(−2)=g(0)g(x) = f(|x|-2) \ge f(-2) = g(0) eşitsizliği sağlanır. Bu durum x=0x = 0 noktasının bir yerel minimum noktası olduğunu gösterir.
Bir noktanın yerel ekstremum olması için o noktada türevin tanımlı olması zorunlu değildir. Fonksiyon sürekli ise o noktada yön değiştirmesi yeterlidir.
5
Tüm yerel ekstremum noktalarının sayısı toplanır.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri x=−5,−1,0,1,5x = -5, -1, 0, 1, 5 olmak üzere toplam 5 tanedir.
Bulunan bu 5 nokta da yerel ekstremum tanımını eksiksiz karşılar.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren bileşke fonksiyonlarda türevlenebilirliğin olmadığı sivri (kırılma) noktalarda yerel ekstremum bulunabilmesi ve simetri özelliklerinin analizi.
Soru 2205Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
A=∫25f(x) dxA = \int_{2}^{5} f(x) \, dx
B=∫58f(x) dxB = \int_{5}^{8} f(x) \, dx
eşitlikleri veriliyor.
∫283f(x) dx=36\int_{2}^{8} 3f(x) \, dx = 36
ve A−B=4A - B = 4 olduğuna göre, AA değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Belirli integralin özelliklerini uygulayarak elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde A değeri 8 olarak bulunur.
Verilen integral ifadesi dışarıdaki sabit çarpan sadeleştirilerek 12 olarak bulunur. Sınır parçalama özelliği ile bu değer A ve B integrallerinin toplamına eşitlenir (A+B=12A + B = 12). Soruda verilen A−B=4A - B = 4 bilgisiyle ortak çözüm yapıldığında A değeri 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin lineerlik özelliğini uygulayarak kat sayıyı integral dışına çıkarmak.
∫28f(x) dx=12\int_{2}^{8} f(x) \, dx = 12
İntegral içindeki sabit çarpan integralin dışına alınabilir: ∫k⋅f(x) dx=k∫f(x) dx\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx.
2
İntegral sınırlarını parçalayarak A ve B cinsinden bir eşitlik kurmak.
A+B=12A + B = 12
[2,8][2, 8] aralığı 55 noktasından bölünerek ∫28f(x) dx=∫25f(x) dx+∫58f(x) dx\int_{2}^{8} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{8} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir.
3
Elde edilen A+B=12A + B = 12 ve soruda verilen A−B=4A - B = 4 denklemlerini ortak çözmek.
A=8A = 8
İki bilinmeyenli denklem sistemi taraf tarafa toplanarak B değişkeni yok edilir ve A bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde lineerlik (sabit çarpanı dışarı çıkarma) ve sınırların parçalanması özellikleri.
Soru 2206Soru →
∫023x2(x3+1)2 dx\int_{0}^{2} 3x^2 (x^3 + 1)^2 \, dx belirli integralinde u=x3+1u = x^3 + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du

Cevap

∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du ifadesidir.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx olur. İntegralin sınırları ise alt sınır için x=0  ⟹  u=1x = 0 \implies u = 1 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=9x = 2 \implies u = 9 şeklinde güncellenir. Bu dönüşümler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü için du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir.
İntegral içindeki x'e bağlı ifadeleri ve diferansiyeli u cinsinden yazmak için.
2
İntegralin belirli sınırlarını yeni u değişkenine göre hesaplayıp güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=03+1=1x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=23+1=9x = 2 \implies u = 2^3 + 1 = 9 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınır değerlerinin de yeni değişkene uygun hale getirilmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyel dönüşümünü integralde yerine yazarak yeni integrali oluşturunuz.
∫02(x3+1)2⋅(3x2 dx)=∫19u2 du\int_{0}^{2} (x^3 + 1)^2 \cdot (3x^2 \, dx) = \int_{1}^{9} u^2 \, du elde edilir.
Tüm dönüşüm adımlarını birleştirerek u değişkenine bağlı eşdeğer belirli integrali yazmak için.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2207Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 noktasından çizilen teğet doğrusu, xx ekseniyle pozitif yönde 135∘135^\circ lik açı yapmakta ve yy eksenini (0,3)(0, 3) noktasında kesmektedir. Ayrıca ff fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusu, y=3x−1y = 3x - 1 doğrusuna paraleldir. Buna göre, g(x)=f(x2⋅f(x))g(x) = f(x^2 \cdot f(x)) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için g′(1)g'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Türevin geometrik yorumundan f′(1)=−1f'(1) = -1, teğet doğrusunun denkleminden f(1)=2f(1) = 2 ve paralel teğet doğrusundan f′(2)=3f'(2) = 3 değerleri elde edilir. g(x)=f(x2⋅f(x))g(x) = f(x^2 \cdot f(x)) fonksiyonunun türevi zincir ve çarpım kuralları yardımıyla alınıp x=1x = 1 yazıldığında g′(1)=f′(2)⋅(2f(1)+f′(1))=3⋅(4−1)=9g'(1) = f'(2) \cdot (2f(1) + f'(1)) = 3 \cdot (4 - 1) = 9 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev değerini teğet doğrusunun eğiminden belirleme
f′(1)=tan⁡(135∘)=−1f'(1) = \tan(135^\circ) = -1
Bir fonksiyona teğet olan doğrunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini kurarak teğet noktasındaki fonksiyon değerini bulma
y−3=−1(x−0)  ⟹  y=−x+3y - 3 = -1(x - 0) \implies y = -x + 3 doğrusu üzerinde x=1x = 1 için f(1)=2f(1) = 2 bulunur.
Teğet noktası hem fonksiyona hem de teğet doğrusuna ait olduğundan doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
3
Paralel doğru bilgisinden diğer türev değerini bulma
f′(2)=3f'(2) = 3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=3x−1y = 3x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimi 33 olmalıdır.
4
g(x)g(x) fonksiyonunun türev kuralını belirleme
g′(x)=f′(x2⋅f(x))⋅(2x⋅f(x)+x2⋅f′(x))g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x))
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı ve içteki çarpım durumundaki ifadenin türevi için çarpım kuralı uygulanır.
5
g′(1)g'(1) değerini hesaplama
g′(1)=f′(2)⋅(4−1)=3⋅3=9g'(1) = f'(2) \cdot (4 - 1) = 3 \cdot 3 = 9
x=1x = 1 yazılarak elde edilen ifadede bilinen f(1)f(1), f′(1)f'(1) ve f′(2)f'(2) değerleri yerine konur.

Anahtar Kavram

Bileşke ve çarpım fonksiyonlarının türev kuralları ile türevin geometrik yorumunun bir arada kullanılması.
Soru 2208Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=x4−1x2+1−2xf'(x) = \frac{x^4 - 1}{x^2 + 1} - 2x
eşitliği verilmiştir.
f(3)=2f(3) = 2 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde f′(x)=x2−2x−1f'(x) = x^2 - 2x - 1 elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x33−x2−x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + C fonksiyonuna ulaşılır. f(3)=2f(3) = 2 sınır koşulu yerine yazıldığında −3+C=2-3 + C = 2 denkleminden C=5C = 5 bulunur. Fonksiyonda x=0x = 0 yazıldığında f(0)=Cf(0) = C olduğundan, doğru cevap 5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
f′(x)f'(x) ifadesini sadeleştirmek amacıyla pay kısmındaki iki kare farkı özdeşliğini kullanırız.
f′(x)=(x2−1)(x2+1)x2+1−2x=x2−2x−1f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 + 1} - 2x = x^2 - 2x - 1
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak için rasyonel ifadeyi sadeleştirmemiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunu elde ederiz.
f(x)=∫(x2−2x−1) dx=x33−x2−x+Cf(x) = \int (x^2 - 2x - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + C
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
3
f(3)=2f(3) = 2 koşulunu kullanarak integral sabiti CC'yi hesaplarız.
f(3)=333−32−3+C=9−9−3+C=−3+C=2  ⟹  C=5f(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3 + C = 9 - 9 - 3 + C = -3 + C = 2 \implies C = 5
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla integral sabiti belirlenir.
4
f(0)f(0) değerini bulmak için fonksiyonda x=0x = 0 yazarız.
f(0)=033−02−0+5=5f(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 - 0 + 5 = 5
Elde edilen f(x)f(x) fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki değeri doğrudan integral sabiti olan CC'ye eşittir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabiti bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2209Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2
parabolünün üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusu,
y+3x−5=0y + 3x - 5 = 0
doğrusuna diktir.

Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 139\frac{13}{9}

Cevap

Teğet noktasının koordinatları toplamı olan 139\frac{13}{9} seçeneğidir.
Teğet doğrusunun eğimi, dik olduğu doğrunun eğiminin negatif tersidir. Buradan teğet noktasının apsisi x0=53x_0 = \frac{5}{3} ve ordinatı y0=−29y_0 = -\frac{2}{9} olarak bulunur. Koordinatlar toplamı 139\frac{13}{9} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulunuz.
y+3x−5=0  ⟹  y=−3x+5y + 3x - 5 = 0 \implies y = -3x + 5 olduğundan bu doğrunun eğimi m=−3m = -3 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun bu doğruya dik olduğu bilgisiyle teğet doğrusunun eğimini bulmak için.
2
Teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) hesaplayınız.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan, mt⋅(−3)=−1  ⟹  mt=13m_t \cdot (-3) = -1 \implies m_t = \frac{1}{3} elde edilir.
Bir noktadaki türev değerinin o noktadaki teğetin eğimine eşit olması kuralını uygulamak için.
3
Türev alma kurallarını kullanarak teğet noktasının apsisini (x0x_0) bulunuz.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olup, f′(x0)=mt  ⟹  2x0−3=13  ⟹  2x0=103  ⟹  x0=53f'(x_0) = m_t \implies 2x_0 - 3 = \frac{1}{3} \implies 2x_0 = \frac{10}{3} \implies x_0 = \frac{5}{3} bulunur.
Teğet noktasının parabol üzerindeki konumunu belirlemek için.
4
Teğet noktasının ordinatını (y0y_0) ve koordinatları toplamını hesaplayınız.
y0=f(53)=(53)2−3(53)+2=259−5+2=−29y_0 = f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3\left(\frac{5}{3}\right) + 2 = \frac{25}{9} - 5 + 2 = -\frac{2}{9} bulunur. Buradan koordinatlar toplamı: x0+y0=53−29=15−29=139x_0 + y_0 = \frac{5}{3} - \frac{2}{9} = \frac{15 - 2}{9} = \frac{13}{9} elde edilir.
İstenen toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Soru 2210Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−6x2+10x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 4
eğrisinin A(1,f(1))A(1, f(1)) noktasındaki normal doğrusu, bu eğriyi AA noktasından farklı, apsisleri xB<xCx_B < x_C olan BB ve CC noktalarında kesmektedir.

Buna göre, eğrinin CC noktasındaki teğetinin eğimi ile BB noktasındaki normalinin eğiminin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Eğrinin CC noktasındaki teğetinin eğimi ile BB noktasındaki normalinin eğiminin çarpımı 12\frac{1}{2}'dir.
Doğru seçenekte sunulan 1/2 değeri, C noktasındaki teğetin eğimi olan 1 ile B noktasındaki normalin eğimi olan 1/2'nin çarpılmasıyla elde edilmiştir. Bu değerler, eğrinin ilgili noktalardaki türev değerlerinin diklik kuralı (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) ile işlenmesi sonucu doğru şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
AA noktasının koordinatlarını ve fonksiyonun bu noktadaki türev değerini hesaplayın.
f(1)=13−6(1)2+10(1)−4=1f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 10(1) - 4 = 1 olduğundan teğet noktası A(1,1)A(1, 1)'dir. f′(x)=3x2−12x+10f'(x) = 3x^2 - 12x + 10 türev fonksiyonundan f′(1)=1f'(1) = 1 bulunur.
Normal doğrusunun eğimini bulabilmek için teğet noktasındaki türev değerine ihtiyaç duyulur.
2
A(1,1)A(1, 1) noktasındaki normal doğrusunun denklemini yazın.
Normal doğrusunun eğimi mn=−1f′(1)=−1m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -1 olur. Eğimi −1-1 olan ve A(1,1)A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi y−1=−1(x−1)  ⟹  y=−x+2y - 1 = -1(x - 1) \implies y = -x + 2 olarak elde edilir.
Eğriyi kesen diğer noktaları bulmak için normal doğrusunun denklemi gereklidir.
3
Normal doğrusu ile eğrinin ortak çözümünü yaparak BB ve CC noktalarının apsislerini belirleyin.
x3−6x2+10x−4=−x+2  ⟹  x3−6x2+11x−6=0x^3 - 6x^2 + 10x - 4 = -x + 2 \implies x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (x−1)(x−2)(x−3)=0(x-1)(x-2)(x-3) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Apsisler xA=1x_A = 1, xB=2x_B = 2 ve xC=3x_C = 3 olur (xB<xCx_B < x_C).
Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer iki noktanın apsislerini bulmak için ortak çözüm yapılır.
4
C(3,f(3))C(3, f(3)) noktasındaki teğet doğrusunun eğimini bulun.
CC noktasındaki teğet eğimi f′(3)=3(3)2−12(3)+10=1f'(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 10 = 1 olarak hesaplanır.
İstenen çarpımın ilk bileşeni olan teğet eğimini bulmak için türev fonksiyonunda xC=3x_C = 3 yazılır.
5
B(2,f(2))B(2, f(2)) noktasındaki normal doğrusunun eğimini bulun.
BB noktasındaki teğet eğimi f′(2)=3(2)2−12(2)+10=−2f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 10 = -2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi mn,B=−1f′(2)=12m_{n, B} = -\frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{2} olur.
İstenen çarpımın ikinci bileşeni olan normal doğrusu eğimini bulmak için diklik koşulu kullanılır.
6
Bulunan eğim değerlerini çarpın.
f′(3)×mn,B=1×12=12f'(3) \times m_{n, B} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} bulunur.
Soru kökünde bizden istenen çarpım değerini elde etmek için hesaplanan iki eğim çarpılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ile normal doğrularının eğimleri çarpımı -1'dir. Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktalardaki teğet ve normal eğimleri, o noktalardaki türev değerleri yardımıyla bulunur.
Soru 2211Soru →

Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu olan ∣f(x)∣|f(x)|, f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökü olan her xx noktasında kesinlikle türevsizdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır olduğu bir noktada türevlenebilir olması için bu noktadaki türevinin sıfır olması yeterlidir.
Verilen ifadenin genel olarak doğru olmamasının sebebi, f(x)=0f(x) = 0 denkleminin köklerinde fonksiyonun türevinin sıfır olması durumunda mutlak değer fonksiyonunun da o noktada türevlenebilir olmasıdır. Bu duruma en belirgin örnek f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun x=0x = 0 köküdür.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirlik kuralını hatırlayalım.
Türevlenebilir bir f(x)f(x) fonksiyonu için, f(x0)=0f(x_0) = 0 ise ∣f(x)∣|f(x)| fonksiyonunun x0x_0 noktasındaki türevlenebilirliği f′(x0)f'(x_0) değerine bağlıdır.
Kök noktasında fonksiyonun işaret değiştirmesi durumunda türevin varlığını incelemek için.
2
f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ve f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 durumlarını ayrı ayrı analiz edelim.
Eğer f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0 ise, x0x_0 noktasında sağ ve sol türevler farklı işaretli olacağından (biri f′(x0)f'(x_0), diğeri −f′(x0)-f'(x_0)) türev yoktur. Ancak f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ise, sağ ve sol türevlerin her ikisi de 00 olacağından fonksiyon x0x_0 noktasında türevlenebilir olur.
Türev tanımından sağ ve sol limitlerin eşitliğini kontrol etmek için.
3
İddiayı çürütecek bir karşıt örnek (karşı örnek) verelim.
f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunu ele alalım. f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökü x=0x = 0 noktasıdır. ∣f(x)∣=∣x2∣=x2|f(x)| = |x^2| = x^2 fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki türevi lim⁡h→0h2−0h=0\lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0 olup türevlenebilirdir.
İfadenin 'kesinlikle türevsizdir' genellemesinin yanlış olduğunu kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin köklerindeki türevlenebilirliği
Soru 2212Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T1(−4,0)T_1(-4, 0) olan ve kolları sağa doğru açılan P1P_1 parabolü ile tepe noktası T2(8,0)T_2(8, 0) olan ve kolları sola doğru açılan P2P_2 parabolü verilmiştir. Bu iki parabol, yy-eksenini aynı (0,2)(0, 2) ve (0,−2)(0, -2) noktalarında kesmektedir.

Buna göre, P1P_1 ve P2P_2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 32 birimkaredir.
Parabollerin denklemleri sırasıyla x=y2−4x = y^2 - 4 ve x=−2y2+8x = -2y^2 + 8 olarak bulunur. Kesim noktaları olan y=−2y = -2 ve y=2y = 2 sınırları arasında, sağdaki parabolden soldaki parabol çıkarılarak yy değişkenine göre alınan integral alanı 3232 birimkare olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
P1P_1 parabolünün denklemini bulma.
x=y2−4x = y^2 - 4
Tepe noktası T1(−4,0)T_1(-4, 0) olan ve sağa açılan yatay parabol denklemi x=ay2−4x = ay^2 - 4 şeklindedir. (0,2)(0,2) noktasını sağladığından 0=4a−4  ⟹  a=10 = 4a - 4 \implies a = 1 olur.
2
P2P_2 parabolünün denklemini bulma.
x=−2y2+8x = -2y^2 + 8
Tepe noktası T2(8,0)T_2(8, 0) olan ve sola açılan yatay parabol denklemi x=by2+8x = by^2 + 8 şeklindedir. (0,2)(0,2) noktasını sağladığından 0=4b+8  ⟹  b=−20 = 4b + 8 \implies b = -2 olur.
3
Kesim noktalarını belirleme.
y=−2y = -2 ve y=2y = 2
İki parabolün kesim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözeriz: y2−4=−2y2+8  ⟹  3y2=12  ⟹  y=±2y^2 - 4 = -2y^2 + 8 \implies 3y^2 = 12 \implies y = \pm 2.
4
Alan integralini kurma ve hesaplama.
32
[−2,2][-2, 2] aralığında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak yy eksenine göre integral alınır: ∫−22((−2y2+8)−(y2−4)) dy=∫−22(12−3y2) dy=[12y−y3]−22=32\int_{-2}^{2} ((-2y^2 + 8) - (y^2 - 4)) \, dy = \int_{-2}^{2} (12 - 3y^2) \, dy = [12y - y^3]_{-2}^{2} = 32.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın, y değişkenine göre belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 2213Soru →

f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapal�� aralığı, her birinin uzunluğu eşit olan 44 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Riemann alt toplamı 50 olarak bulunur.
Fonksiyon artan olduğu için her alt aralıktaki en küçük değer sol uç noktalarda alınır. Bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamı olan 50 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini hesaplama
Genişlik (\Delta x) = 1
[1, 5] aralığı 4 eşit parçaya bölündüğü için aralık genişliği \Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1 olur.
2
Alt aralıkları belirleme
Aralıklar: [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]
Başlangıç noktası 1 olup, her adımda aralık genişliği kadar (1 birim) ilerlenerek alt aralıklar oluşturulur.
3
Her alt aralıktaki en küçük fonksiyon değerlerini bulma
f(1) = 3, f(2) = 8, f(3) = 15, f(4) = 24
f(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun türevi f'(x) = 2x + 2 olup, [1, 5] aralığında pozitiftir. Fonksiyon artan olduğu için her alt aralıktaki en küçük değer sol uç noktalarda gerçekleşir.
4
Riemann alt toplamını hesaplama
Alt Toplam = 50
Her alt aralıktaki en küçük değer ile aralık genişliği ��arpılıp toplanır: Alt Toplam = 1 \cdot f(1) + 1 \cdot f(2) + 1 \cdot f(3) + 1 \cdot f(4) = 3 + 8 + 15 + 24 = 50.

Anahtar Kavram

Riemann Alt Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2214Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫12f(x2) dx=8\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
∫0π/2sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2f(11+cos⁡2x) dx+∫ee21xln⁡2xf(1ln⁡x) dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegraller sırasıyla değişken değiştirme yöntemiyle sadeleştirildiğinde toplamın sonucu 8 olarak bulunur.
Verilen integralde yapılan değişken değiştirme ile temel integralin değeri 4 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki her iki integral de uygun trigonometrik ve logaritmik dönüşümler yardımıyla aynı sınırlara sahip integrallere indirgenir ve her birinin değeri 4 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk integralde değişken değiştirme uygulanması
∫1/21f(w) dw=4\int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4
∫12f(x2) dx=8\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8 ifadesinde w=x2w = \frac{x}{2} dönüşümü yapılırsa dw=dx2  ⟹  dx=2 dwdw = \frac{dx}{2} \implies dx = 2 \, dw olur. Sınırlar x=1  ⟹  w=1/2x = 1 \implies w = 1/2 ve x=2  ⟹  w=1x = 2 \implies w = 1 olur. Buradan 2∫1/21f(w) dw=8  ⟹  ∫1/21f(w) dw=42 \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 8 \implies \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4 elde edilir.
2
Sorulan ifadedeki trigonometrik integralin hesaplanması
∫1/21f(u) du=4\int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4
I1=∫0π/2sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2f(11+cos⁡2x) dxI_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx integralinde u=11+cos⁡2x=(1+cos⁡2x)−1u = \frac{1}{1 + \cos^2 x} = (1 + \cos^2 x)^{-1} dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında du=−(1+cos⁡2x)−2⋅2cos⁡x⋅(−sin⁡x) dx=sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2 dxdu = -(1 + \cos^2 x)^{-2} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} \, dx olur. Sınırlar x=0  ⟹  u=1/2x = 0 \implies u = 1/2 ve x=π/2  ⟹  u=1x = \pi/2 \implies u = 1 olarak güncellenir. Böylece I1=∫1/21f(u) du=4I_1 = \int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4 bulunur.
3
Sorulan ifadedeki logaritmik integralin hesaplanması
∫1/21f(v) dv=4\int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4
I2=∫ee21xln⁡2xf(1ln⁡x) dxI_2 = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx integralinde v=1ln⁡x=(ln⁡x)−1v = \frac{1}{\ln x} = (\ln x)^{-1} dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında dv=−(ln⁡x)−2⋅1x dx=−1xln⁡2x dx  ⟹  1xln⁡2x dx=−dvdv = -(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{x \ln^2 x} \, dx \implies \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx = -dv olur. Sınırlar x=e  ⟹  v=1x = e \implies v = 1 ve x=e2  ⟹  v=1/2x = e^2 \implies v = 1/2 olur. Buradan I2=∫11/2f(v) (−dv)=∫1/21f(v) dv=4I_2 = \int_{1}^{1/2} f(v) \, (-dv) = \int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4 elde edilir.
4
Elde edilen integral değerlerinin toplanması
I1+I2=4+4=8I_1 + I_2 = 4 + 4 = 8
Her iki integralin de değeri 4 olarak hesaplandığından, toplam ifadenin değeri 8 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel katsayılarının doğru güncellenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2215Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
g(x)=(x2−x+2)⋅f(x)g(x) = (x^2 - x + 2) \cdot f(x)
h(x)=f(x)x2−x+2h(x) = \frac{f(x)}{x^2 - x + 2}
fonksiyonları tanımlanıyor.
g′(1)=8g'(1) = 8
h′(1)=1h'(1) = 1

olduğuna göre, k(x)=f(x)⋅(x3+f(x))k(x) = f(x) \cdot (x^3 + f(x)) fonksiyonu için k′(1)k'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

k'(1) değeri 21'dir.
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının türevleri sırasıyla çarpım ve bölüm kuralları uygulanarak alınır. Elde edilen g'(1) = f(1) + 2f'(1) = 8 ve h'(1) = (2f'(1) - f(1))/4 = 1 denklemlerinden f(1) = 2 ve f'(1) = 3 değerlerine ulaşılır. Sonrasında k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) fonksiyonunun türevi çarpım kuralı ile alınarak k'(1) = f'(1)(1 + f(1)) + f(1)(3 + f'(1)) = 3(3) + 2(6) = 21 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) fonksiyonunun türevini çarpım kuralı ile alıp x = 1 yazarak ilk denklemi oluşturun.
f(1) + 2f'(1) = 8
Çarpım kuralına göre g'(x) = (2x - 1)f(x) + (x^2 - x + 2)f'(x) olur.
2
h(x) fonksiyonunun türevini bölüm kuralı ile alıp x = 1 yazarak ikinci denklemi oluşturun.
2f'(1) - f(1) = 4
Bölüm kuralına göre h'(x) = [f'(x)(x^2 - x + 2) - f(x)(2x - 1)] / (x^2 - x + 2)^2 olur.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek f(1) ve f'(1) değerlerini hesaplayın.
f(1) = 2 ve f'(1) = 3
Denklemleri taraf tarafa topladığımızda 4f'(1) = 12 elde edilir.
4
k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) ifadesinin türevini çarpım kuralı ile hesaplayıp x = 1 yazın.
k'(1) = 21
k'(x) = f'(x)(x^3 + f(x)) + f(x)(3x^2 + f'(x)) türevinde f(1) ve f'(1) değerlerini yerine koyarız.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları (çarpım ve bölüm kuralları)
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2216Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve çift bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(2−x)=f(x)f(2 - x) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3
olduğuna göre,
∫210(x−2)f(x) dx+∫08xf(x+2) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx + \int_{0}^{8} x f(x + 2) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192

Cevap

İstenen toplamın değeri 192'dir.
Verilen çiftlik ve simetri özellikleri fonksiyonun periyodunun 2 olduğunu gösterir. Bu periyodiklik ve integralde sınır öteleme/değişken değiştirme özellikleri kullanılarak, istenen ifade 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx biçimine indirgenir. Bu integral de periyot uzunluğu olan 2 birimlik aralıklara bölünerek ve her aralıkta değişken değiştirme yapılarak hesaplandığında toplam alan 96 bulunur ve 2 katı alınarak 192 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun periyodikliğini belirleme
f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) eşitliği elde edilir, yani fonksiyonun periyodu 2'dir.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliğinde xx yerine −x-x yazılırsa f(2+x)=f(−x)f(2+x) = f(-x) elde edilir. ff çift fonksiyon olduğundan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olup, f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) bulunur.
2
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx değerini hesaplama
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 olarak bulunur.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetrisinden dolayı [0,2][0, 2] aralığı x=1x=1 doğrusuna göre simetriktir. Bu yüzden ∫01f(x) dx=∫12f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 olur. Toplam integral değeri 3+3=63 + 3 = 6 bulunur.
3
Birinci integralde değişken değiştirme yapma
∫210(x−2)f(x) dx=∫08uf(u+2) du=∫08xf(x) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx = \int_{0}^{8} u f(u+2) \, du = \int_{0}^{8} x f(x) \, dx elde edilir.
u=x−2u = x - 2 dönüşümü yapılırsa dx=dudx = du olur. Alt sınır x=2x=2 için u=0u=0, üst sınır x=10x=10 için u=8u=8 olur. f(u+2)=f(u)f(u+2) = f(u) periyodikliği kullanılarak integral basitleştirilir.
4
İki integrali birleştirme
İstenen toplam 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx ifadesine eşit olur.
İkinci integral ∫08xf(x+2) dx\int_{0}^{8} x f(x+2) \, dx olup f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) olduğundan ∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx şeklindedir. İki integral aynı olduğundan katsayıları toplanır.
5
∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx integralini periyotlara bölme
∫08xf(x) dx=∑k=03(6+12k)\int_{0}^{8} x f(x) \, dx = \sum_{k=0}^{3} (6 + 12k) elde edilir.
[0,8][0, 8] aralığı [2k,2k+2][2k, 2k+2] şeklinde 4 periyoda bölünür. Her bir aralıkta x=t+2kx = t + 2k dönüşümü yapılırsa ∫2k2k+2xf(x) dx=∫02tf(t) dt+2k∫02f(t) dt\int_{2k}^{2k+2} x f(x) \, dx = \int_{0}^{2} t f(t) \, dt + 2k \int_{0}^{2} f(t) \, dt elde edilir. ∫02tf(t) dt\int_{0}^{2} t f(t) \, dt integralinde t=2−wt = 2 - w dönüşümü ile bu integralin ∫02f(t) dt=6\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 değerine eşit olduğu görülür. Buradan her bir periyottaki integral 6+12k6 + 12k olur.
6
Toplamı hesaplama ve nihai sonucu bulma
Toplam integral değeri 96, nihai yanıt ise 192 olarak bulunur.
k=0,1,2,3k=0, 1, 2, 3 değerleri için toplam 6+18+30+42=966 + 18 + 30 + 42 = 96 olur. İstenen değer bu integralin 2 katı olduğundan 2×96=1922 \times 96 = 192 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin periyodiklik, simetri ve değişken değiştirme özellikleri
Soru 2217Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
g(x)=∫x⋅f′(x)−2f(x)x3 dxg(x) = \int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx
eşitliği verilmiştir.
f(1)=4f(1) = 4, f(2)=12f(2) = 12 ve g(1)=6g(1) = 6 olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Doğru cevap olan 5 değeri, integralin tanımından elde edilen g(x)=f(x)x2+Cg(x) = \frac{f(x)}{x^2} + C fonksiyonunda başlangıç koşulları kullanılarak C=2C = 2 bulunması ve ardından x=2x = 2 yazılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu belirlemek için bölüm kuralını hatırlayalım.
ddx(f(x)x2)=x⋅f′(x)−2f(x)x3\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{x^2}\right) = \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} eşitliği elde edilir.
Verilen integralin integral alma kuralı gereğince sadeleştirilebilmesi için integrandin bir bölümün türevi olduğunu fark etmemiz gerekir.
2
Belirsiz integralin tanımını kullanarak integrali hesaplayalım.
g(x)=f(x)x2+Cg(x) = \frac{f(x)}{x^2} + C (burada CC integral sabitidir) olarak bulunur.
Türevi bilinen bir ifadenin belirsiz integrali, o ifadenin kendisi ile bir integral sabitinin toplamına eşittir.
3
Verilen sınır/ba��langıç değerlerini kullanarak CC integral sabitini bulalım.
g(1)=f(1)12+C  ⟹  6=4+C  ⟹  C=2g(1) = \frac{f(1)}{1^2} + C \implies 6 = 4 + C \implies C = 2 elde edilir.
Fonksiyonun tek bir belirsiz integral eğrisini belirlemek için başlangıç koşulunu kullanmamız gerekir.
4
Bulduğumuz g(x)g(x) fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak istenen değeri hesaplayalım.
g(2)=f(2)22+2=124+2=3+2=5g(2) = \frac{f(2)}{2^2} + 2 = \frac{12}{4} + 2 = 3 + 2 = 5 bulunur.
Soruda bizden istenen g(2)g(2) değerine ulaşmak için elde ettiğimiz genel kuralda değişken yerine 2 yazarız.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve integral sabitinin (C) bulunması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2218Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=3x2y = 3x^2 parabolü ile y=3y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 4 birimkaredir.
Verilen parabol ile doğrunun kesişim noktaları x=−1x = -1 ve x=1x = 1 olarak bulunur. [−1,1][-1, 1] aralığında doğru (y=3y = 3) parabolün (y=3x2y = 3x^2) üstünde kaldığından, aradaki alan ∫−11(3−3x2) dx\int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx integrali ile hesaplanır. Bu integralin değeri 44 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
y=3x2y = 3x^2 parabolü ile y=3y = 3 doğrusunun kesişim noktalarını bulun.
3x2=3  ⟹  x2=1  ⟹  x=−13x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 ve x=1x = 1.
Kesişim noktaları integralin alt ve üst sınırlarını belirler.
2
Üstteki eğri olan y=3y = 3 doğrusundan alttaki eğri olan y=3x2y = 3x^2 parabolünü çıkararak alanı veren integral ifadesini yazın.
Alan=∫−11(3−3x2) dxAlan = \int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak hesaplanır.
3
İntegrali hesaplayıp sınır değerlerini yerine yazın.
Alan=[3x−x3]−11=(3(1)−13)−(3(−1)−(−1)3)=2−(−2)=4Alan = \left[ 3x - x^3 \right]_{-1}^{1} = (3(1) - 1^3) - (3(-1) - (-1)^3) = 2 - (-2) = 4.
Belirli integralin değerini hesaplayarak alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 2219Soru →
∫0π/2cos⁡(x)⋅f(sin⁡(x)) dx\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \cdot f(\sin(x)) \, dx belirli integralinde u=sin⁡(x)u = \sin(x) değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du

Cevap

∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesi
Doğru seçenekte belirtilen integral, u=sin⁡(x)u = \sin(x) dönüşümüyle elde edilen sınırların (00 ve 11) ve diferansiyelin (du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx) doğru şekilde yerleştirilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=sin⁡(x)u = \sin(x) ise du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx olur.
İntegral içindeki dxdx terimini yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu cinsinden güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡(0)=0x = 0 \implies u = \sin(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/2  ⟹  u=sin⁡(π/2)=1x = \pi/2 \implies u = \sin(\pi/2) = 1 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Bulunan diferansiyel ve sınır değerlerini orijinal integralde yerine yazınız.
∫0π/2f(sin⁡(x))⋅cos⁡(x) dx=∫01f(u) du\int_{0}^{\pi/2} f(\sin(x)) \cdot \cos(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \, du elde edilir.
Tüm bileşenler yeni değişken uu cinsinden ifade edilerek dönüşüm tamamlanır.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak belirli integralin sınırlarının ve diferansiyelinin güncellenmesi.
Soru 2220Soru →
g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1)
f(x)=1x2−mx+9f(x) = \frac{1}{x^2 - mx + 9}

fonksiyonları tanımlanıyor.

(f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonu her xx gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, mm parametresinin [−10,10][-10, 10] kapalı aralığında alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -40

Cevap

Doğru yanıt −40-40 değeridir.
Bileşke fonksiyonun her yerde sürekli olması için dıştaki fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerlerin, içteki fonksiyonun alabileceği değerler kümesinde bulunmaması gerekir. İçteki logaritmik fonksiyonun en küçük değeri 00 olduğundan, paydanın [0,∞)[0, \infty) aralığında kökü olmamalıdır. Bu durum diskriminantın negatif olması veya köklerin her ikisinin de negatif olması (m<6m < 6) durumunda gerçekleşir. Belirtilen aralıktaki tam sayıların toplamı ise −40-40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonunun süreklilik şartını belirleme
(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için sürekli olması için, her yerde tanımlı ve sürekli olan g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1) altındaki görüntüler için f(u)=1u2−mu+9f(u) = \frac{1}{u^2 - mu + 9} fonksiyonunun paydası olan u2−mu+9u^2 - mu + 9 ifadesinin hiçbir zaman sıfır olmaması gerekir.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarını sıfır yapan değerlerde tanımsızdır ve bu noktalarda süreksiz olurlar.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun görüntü kümesini bulma
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için x2≥0  ⟹  x2+1≥1x^2 \geq 0 \implies x^2 + 1 \geq 1 olur.
Logaritma fonksiyonunun artanlık özelliğinden,
u=ln⁡(x2+1)≥ln⁡(1)=0u = \ln(x^2 + 1) \geq \ln(1) = 0 elde edilir.
Yani u∈[0,∞)u \in [0, \infty) aralığındadır.
İçteki fonksiyon olan g(x)g(x) ifadesinin alabileceği değerler kümesi, dıştaki ff fonksiyonunun tanım kümesi ile eşleşmelidir.
3
Paydayı sıfır yapan denklem için koşulları belirleme
u2−mu+9=0u^2 - mu + 9 = 0 denkleminin [0,∞)[0, \infty) aralığında hiçbir gerçek kökünün olmaması gerekir.
Bunun gerçekleşmesi için iki durum mevcuttur:
Durum 1: Denklemin hiçbir gerçek kökü yoktur (diskriminant negatiftir).
Durum 2: Denklemin gerçek kökleri vardır fakat bu köklerin ikisi de negatiftir.
Eğer denklemin kökleri negatifse veya gerçek kökü yoksa, negatif olmayan uu değerleri için payda hiçbir zaman sıfır olamaz.
4
Belirlenen durumlar için eşitsizlikleri çözme
Durum 1: Δ=m2−36<0  ⟹  −6<m<6\Delta = m^2 - 36 < 0 \implies -6 < m < 6 olur.
Durum 2: Δ≥0  ⟹  m≤−6\Delta \geq 0 \implies m \leq -6 veya m≥6m \geq 6 olmalıdır.
Köklerin ikisinin de negatif olması için kökler toplamı u1+u2=m<0u_1 + u_2 = m < 0 ve kökler çarpımı u1⋅u2=9>0u_1 \cdot u_2 = 9 > 0 (zaten sağlanır) olmalıdır.
Bu koşulların kesişiminden m≤−6m \leq -6 elde edilir.
Her iki durumun birleşiminden m<6m < 6 aralığı bulunur.
Her iki durum da paydanın sıfır olmasını engellediği için bu iki koşulun birleşimi alınır.
5
[−10,10][-10, 10] aralığındaki tam sayıların toplamını hesaplama
m<6m < 6 koşulunu sağlayan [−10,10][-10, 10] aralığındaki tam sayılar:
−10,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 değerleridir.
Bu sayıların toplamı:
(−10)+(−9)+(−8)+(−7)+(−6)+(−5)+⋯+5=−40(-10) + (-9) + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + \dots + 5 = -40 olarak bulunur.
−5-5 ile 55 arasındaki sayılar birbirini sadeleştirir ve geriye sadece −10-10 ile −6-6 arasındaki sayıların toplamı kalır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve ikinci dereceden denklemlerin köklerinin işaret incelemesi
ÖncekiSayfa 111 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin